Các công thức lượng giác CTST
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ví dụ: Chứng minh công thức:
a) 
\(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) - \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \cos x\)
b) \(\tan x + \tan y = \frac{{2\sin \left( {x + y} \right)}}{{\cos \left( {x + y} \right) + \cos \left( {x - y} \right)}}\)
Hướng dẫn giải
a) \(BDVT = \sin x.\cos \frac{\pi }{4} + \cos x.\sin \frac{\pi }{4}\)
\(- \left( {\sin x.\cos \frac{\pi }{4} - \cos x.\sin \frac{\pi }{4}} \right)\)
\(= 2\cos x.\sin \frac{\pi }{4} = 2.\frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x = \sqrt 2 \cos x = VP\)
b) \(BDVP = \frac{{2\left( {\sin x\cos y + \sin y\cos x} \right)}}{{\cos x\cos y - \sin x\sin y + \cos x\cos y + \sin x\sin y}}\)
\(= \frac{{2\left( {\sin x\cos y + \sin y\cos x} \right)}}{{2\cos x\cos y}} = \tan x.\tan y = VT\)
2. Công thức góc nhân đôi
a) Công thức nhân đôi
- \(\sin 2a = 2\sin a.\cos b\)
- \(\cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a = 2{\cos ^2}a - 1 = 1 - 2{\sin ^2}a\)
- \(\tan 2a = \frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}}\)
b) Công thức nhân ba
- \(\sin 3a = 3\sin a - 4{\sin ^3}a\)
- \(\cos 3a = 4{\cos ^3}a - 3\cos a\)
c) Công thức hạ bậc
| \(\cos a = \pm \sqrt {\frac{{1 + \cos 2a}}{2}}\) |
\(\sin a = \pm \sqrt {\frac{{1 - \cos 2a}}{2}}\) |
Đặt \(t = \tan \frac{a}{2}\) ta có công thức sau:
| \(\sin a = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\) |
\(\cos a = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\) |
\(\tan a = \frac{{2t}}{{1 - {t^2}}}\) |
Ví dụ: Cho biết \(\tan \alpha = 2\). Tính giá trị của biểu thức lượng giác \(\cos 2\alpha ;\sin 2\alpha ;\tan 2\alpha\).
Hướng dẫn giải
Đặt \(\tan \alpha = t = 2\)
Ta có:
\(\sin 2\alpha = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} = \frac{{2.2}}{{1 + {2^2}}} = \frac{4}{5}\)
\(\cos 2\alpha = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} = \frac{{1 - {2^2}}}{{1 + {2^2}}} = \frac{{ - 3}}{5}\)
\(\tan 2\alpha = \frac{2}{{1 - {t^2}}} = \frac{2}{{1 - {2^2}}} = \frac{{ - 4}}{3}\)
3. Công thức biến đổi tích thành tổng
- \(\sin a.\sin b = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {a - b} \right)} \right]\)
- \(\sin a.\sin b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a - b} \right) + \cos \left( {a + b} \right)} \right]\)
- \(\cos a.\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a - b} \right)} \right]\)
Ví dụ: Biến đổi tích thành tổng:
a) \(A = 4\sin 3x\sin 2x\cos x\)
b) \(B = 4\cos \left( {a - b} \right)\cos \left( {b - c} \right)\cos \left( {c - a} \right)\)
Hướng dẫn giải
a) \(A = 4\sin 3x\sin 2x\cos x\)
\(A = 2\sin 3x\left( {\sin 3x + \sin x} \right)\)
\(A = 2{\sin ^2}3x + 2\sin 3x.\sin x\)
\(A = 2{\sin ^2}3x - \cos 4x + \cos x\)
b) \(B = 4\cos \left( {a - b} \right)\cos \left( {b - c} \right)\cos \left( {c - a} \right)\)
\(B = 2\cos \left( {a - b} \right).\left[ {\cos \left( {b - a} \right) + \cos \left( {b - 2c + a} \right)} \right]\)
\(B = 2\cos \left( {a - b} \right).\cos \left( {b - a} \right) + 2\cos \left( {a - b} \right).\cos \left( {b - 2c + a} \right)\)
\(B = 1 + \cos \left( {2a - 2b} \right) + \cos \left( {2a - 2c} \right) + \cos \left( {2c - 2b} \right)\)
4. Công thức biến đổi tổng thành tích
|
· |
|
Ví dụ: Biến đổi tổng thành tích các biểu thức sau:
a) \(C = 2\sin 4a + \sqrt 2\)
b) \(D = 1 + \sin 2x - \cos 2x - \tan 2x\)
c) \(E = \sin 5x + \sin 6x + \sin 7x + \sin 8x\)
Hướng dẫn giải
a) \(C = 2\sin 4a + \sqrt 2\)
\(C = 2\left( {\sin 4a + \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\)
\(C = 2\left( {\sin 4a + \sin \frac{\pi }{4}} \right)\)
\(C = 4\sin \left( {4a + \frac{\pi }{8}} \right).\cos \left( {2a - \frac{\pi }{8}} \right)\)
b) \(D = 1 + \sin 2x - \cos 2x - \tan 2x\)
\(D = 1 - \cos 2x + \sin 2x - \tan 2x\)
\(D = \left( {1 - \cos 2x} \right)\left( {1 - \tan 2x} \right)\)
\(D = 2{\sin ^2}x\left( {\tan \frac{\pi }{4} - \tan 2x} \right)\)
\(D = \frac{{2{{\sin }^2}x.\sin \left( { - 2x + \dfrac{\pi }{4}} \right)}}{{\cos \dfrac{\pi }{4}.\cos 2x}}\)
\(D = \frac{{2\sqrt 2 {{\sin }^2}x.\sin \left( { - 2x + \dfrac{\pi }{4}} \right)}}{{\cos 2x}}\)
c) \(E = \sin 5x + \sin 6x + \sin 7x + \sin 8x\)
\(E = 2.\sin \frac{{13x}}{2}\left( {\cos \frac{{3x}}{2} + \cos \frac{x}{2}} \right)\)
\(E = 4\cos \frac{{13x}}{2}.\cos x.\cos \frac{x}{2}\)
