Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit CTST

Minh họa bằng đồ thị

\(a>1\)	\(0 < a < 1\)

Ví dụ: Giả sử \(x_{1};x_{2}\) là hai nghiệm của phương trình \(2^{x^{2} - x + 8} - 4^{1 - 3x} = 0\) . Xác định giá trị biểu thức \(M = 4{x_{1}}^{2} - {x_{2}}^{2}\) biết \(x_{1} > x_{2}\) ?

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(2^{x^{2} - x + 8} - 4^{1 - 3x} = 0 \Leftrightarrow 2^{x^{2} - x + 8} = \left( 2^{2} ight)^{1 - 3x}\)

\(\Leftrightarrow 2^{x^{2} - x + 8} = 2^{2.(1 - 3x)}\)

\(\Leftrightarrow x^{2} - x + 8 = 2.(1 - 3x)\)

\(\Leftrightarrow x^{2} + 5x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{1} = - 2 \\ x_{2} = - 3 \\ \end{matrix} ight.\ (tm)\)

\(\Rightarrow M = 4{x_{1}}^{2} - {x_{2}}^{2} = 7\)

2. Phương trình lôgarit

Minh họa bằng đồ thị

\(a>1\)	\(a>1\)
\({\log _a}x > b\) khi và chỉ khi \(x > {a^b}\)	\({\log _a}x > b\) khi và chỉ khi \(0 < x < {a^b}\).

Ví dụ: Giả sử \(S\) là tổng các nghiệm của phương trình:

\(\frac{1}{4}\log_{4}(a - 3)^{8} +\frac{1}{2}\log_{\sqrt{2}}(a + 1) = \log_{2}(4a)\)

Giá trị của \(S\) bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định \(\left\{ \begin{matrix} (a - 3)^{8} > 0 \\ a + 1 > 0 \\ 4a > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a eq 3 \\ a > - 1 \\ a > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a eq 3 \\ a > 0 \\ \end{matrix} ight.\)

 

Phương trình đã cho tương đương:

\(\Leftrightarrow \dfrac{1}{4}\log_{2^{2}}(a- 3)^{8} + \frac{1}{2}\log_{2^{\frac{1}{2}}}(a + 1) =\log_{2}(4a)\)

\(\Leftrightarrow \log_{2}|a - 3| +\log_{2}(a + 1) = \log_{2}(4a)\)

\(\Leftrightarrow \log_{2}|a - 3| =\log_{2}(4a) - \log_{2}(a + 1)\)

\(\Leftrightarrow \log_{2}|a - 3| =\log_{2}\left( \frac{4a}{a + 1} ight)\)

\(\Leftrightarrow |a - 3| = \dfrac{4a}{a +1} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a - 3 = \dfrac{4a}{a + 1} \\a - 3 = - \dfrac{4a}{a + 1} \\\end{matrix} ight.\)

\(\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a^{2} - 6a - 3 = 0 \\ a^{2} + 2a - 3 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 3 + 2\sqrt{3}(tm) \\ a = 3 - 2\sqrt{3}(ktm) \\ a = 1(tm) \\ a = - 3(ktm) \\ \end{matrix} ight.\)

\(\Rightarrow S = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3}\)

3. Bất phương trình mũ

a) Định nghĩa bất phương trình mũ

b) Cách giải bất phương trình mũ

• Khi giải bất phương trình mũ, ta cần chú ý đến tính đơn điệu của hàm số mũ.

\(\boxed{{a^{f\left( x \right)}} > {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} a > 1 \hfill \\ f\left( x \right) > g\left( x \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} 0 < a < 1 \hfill \\ f\left( x \right) < g\left( x \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right.}\)

• Tương tự với bất phương trình dạng:

\(\left[ \begin{gathered} {a^{f\left( x \right)}} \geqslant {a^{g\left( x \right)}} \hfill \\ {a^{f\left( x \right)}} < {a^{g\left( x \right)}} \hfill \\ {a^{f\left( x \right)}} \leqslant {a^{g\left( x \right)}} \hfill \\ \end{gathered} \right.\)

• Trong trường hợp cơ số \(a\) có chứa ẩn số thì:

\(\boxed{{a^M} > {a^N} \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)\left( {M - N} \right) > 0}\).

• Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình mũ: đưa về cùng cơ số; đặt ẩn phụ.

Ví dụ: Cho bất phương trình \(\left( \frac{1}{3} ight)^{x} > 9\) . Xác định nghiệm của bất phương trình đã cho?

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\left( \frac{1}{3} ight)^{x} > 9\Leftrightarrow \left( 3^{- 1} ight)^{x} > 3^{2}\)

\(\Leftrightarrow 3^{- x} > 3^{2}\Leftrightarrow x < - 2\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(x\in ( - \infty; - 2)\)

4. Bất phương trình lôgarit

a) Định nghĩa bất phương trình lôgarit

b) Cách giải bất phương trình lôgarit

Nếu \(a> 1\) thì

\({\log _a}f(x) > {\log _a}g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} g(x) > 0 \hfill \\ f(x) > g(x) \hfill \\ \end{gathered} \right.\)

Nếu \(0 < a < 1\) thì

\({\log _a}f(x) > {\log _a}g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} f(x) > 0 \hfill \\ f(x) < g(x) \hfill \\ \end{gathered} \right.\)

Ví dụ: Tìm giá trị tham số m để bất phương trình \(1 + \log_{5}\left( x^{2} + 1 ight) \geq \log_{5}\left( mx^{2} + 4x + m ight)\) có nghiệm đúng với mọi x.

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(1 + \log_{5}\left( x^{2} + 1 ight) \geq \log_{5}\left( mx^{2} + 4x + m ight)\)

\(\Leftrightarrow \log_{5}\left\lbrack5\left( x^{2} + 1 ight) ightbrack \geq \log_{5}\left( mx^{2} + 4x +m ight)\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 5\left( x^{2} + 1 ight) \geq mx^{2} + 4x + m \\ mx^{2} + 4x + m > 0 \\ \end{matrix} ight.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (5 - m)x^{2} - 4x + 5 - m \geq 0\ \ \ (1) \\ mx^{2} + 4x + m > 0\ \ \ \ (2) \\ \end{matrix} ight.\)

Bất phương trình đã cho có nghiệm đúng với mọi x khi cả (1) và (2) đúng với mọi x.

Với \(m = 0\) hoặc \(m = 5\) không thỏa mãn đề bài.

Với \(m eq 0\) hoặc \(m eq 5\) để thỏa mãn đề bài thì:

\(\left\{ \begin{matrix} 5 - m > 0 \\ 4 - (5 - m)^{2} \leq 0 \\ m > 0 \\ 4 - m^{2} < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m < 5 \\ \left\lbrack \begin{matrix} m \leq 3 \\ m \geq 7 \\ \end{matrix} ight.\ \\ m > 0 \\ \left\lbrack \begin{matrix} m > 2 \\ m < - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\)

\(\Leftrightarrow 2 < m \leq 3\)