Các quy tắc tính đạo hàm CTST
Hàm số 
\(y = {x^n},\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và \(\left( {{x^n}} \right)' = n.{x^{n - 1}}\).
Ví dụ: \(\left( x \right)' = 1;\left( {{x^2}} \right)' = 2x\)
Ví dụ: Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^7}\). Xác định \(f'\left( 1 \right);f'\left( 2 \right)\)?
Hướng dẫn giải
Đạo hàm của hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^7}\) là:
\(f'\left( x \right) = \left( {{x^7}} \right)' = 7.{x^{7 - 1}} = 7.{x^6}\)
\(\Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
f'\left( 1 \right) = {7.1^6} = 7 \hfill \\
f'\left( 2 \right) = {7.2^6} = 448 \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
2. Đạo hàm của hàm số \(y = \sqrt x\)
Hàm số \(y = \sqrt x\) có đạo hàm trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) và \(\left( {\sqrt x } \right)' = \frac{1}{{2\sqrt x }}\)
3. Đạo hàm của hàm số lượng giác
Công thức đạo hàm hàm lượng giác
| \(\left( {\sin x} \right)' = \cos x\) |
\(\left( {\cos x} \right)' = - \sin x\) |
|
|
|
3. Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit
Công thức đạo hàm hàm số mũ và hàm số lôgarit
| \(\left( {{e^x}} \right)' = {e^x}\) |
|
|
|
|
4. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số
Giả sử các hàm số \(u = u\left( x \right);v = v\left( x \right)\) có đạo hàm trên khoảng \(\left( {a,b} \right)\). Khi đó:
| \(\left( {u + v} \right)' = u' + v'\) |
\(\left( {u - v} \right)' = u' - v'\) |
| \(\left( {uv} \right)' = u'v + uv'\) |
\(\left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}};\left( {v = v\left( x \right) \ne 0} \right)\) |
Chú ý:
- Với \(u = C,\left( {C = const} \right) \Rightarrow \left( {C.v} \right)' = C.v'\)
- Với \(u = 1 \Rightarrow \left( {\frac{1}{v}} \right)' = - \frac{{v'}}{{{v^2}}};\left( {v = v\left( x \right) \ne 0} \right)\)
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số:
|
a) |
b) |
|
c) |
d) |
|
e) |
f) |
Hướng dẫn giải
a) \(y = \left( {\sqrt a + 2} \right)\left( {{a^2} + 1} \right)\)
\(\Rightarrow y' = \left( {\sqrt a + 2} \right)'\left( {{a^2} + 1} \right) + \left( {\sqrt a + 2} \right)\left( {{a^2} + 1} \right)'\)
\(= \frac{1}{{2\sqrt a }}\left( {{a^2} + 1} \right) + \left( {\sqrt a + 2} \right).2a\)
\(= \frac{{{a^2} + 1}}{{2\sqrt a }} + 2a\left( {\sqrt a + 2} \right)\)
b) \(y = \frac{{m - 1}}{{{m^2} + 1}}\)
\(\Rightarrow y' = \left( {\frac{{m - 1}}{{{m^2} + 1}}} \right)'\)
\(= \frac{{\left( {m - 1} \right)'\left( {{m^2} + 1} \right) - \left( {m - 1} \right)\left( {{m^2} + 1} \right)'}}{{{{\left( {{m^2} + 1} \right)}^2}}}\)
\(= \frac{{\left( {{m^2} + 1} \right) - \left( {m - 1} \right).2m}}{{{{\left( {{m^2} + 1} \right)}^2}}}\)\(= \frac{{ - {m^2} + 2m + 1}}{{{{\left( {{m^2} + 1} \right)}^2}}}\)
c) \(y = \left( {\sin x + 2\cos x} \right)\left( {\sin x - 2\cos x + 1} \right)\)
\(\Rightarrow y' = \left( {\sin x + 2\cos x} \right)'\left( {\sin x - 2\cos x + 1} \right)\)\(+ \left( {\sin x + 2\cos x} \right)\left( {\sin x - 2\cos x + 1} \right)'\)
\(= \left( {\cos x - 2\sin x} \right)\left( {\sin x - 2\cos x + 1} \right)\)\(+ \left( {\sin x + 2\cos x} \right)\left( {\cos x + 2\sin x} \right)\)
\(= \sin x.\cos x - 2{\cos ^2}x + \cos x - 2{\sin ^2}x\)\(+ 4\sin x\cos x - 2\sin x + \sin x\cos x\)
\(+ 2{\cos ^2}x + 2{\sin ^2}x + 4\sin x\cos x\)
\(= 10\sin x\cos x + \cos x - 2\sin x\)
d) \(y = \frac{{\tan x - 1}}{{\cot x + 2}}\)
\(\Rightarrow y' = \left( {\frac{{\tan x - 1}}{{\cot x + 2}}} \right)'\)
\(= \frac{{\left( {\tan x - 1} \right)'\left( {\cot x + 2} \right) - \left( {\cot x + 2} \right)'\left( {\tan x - 1} \right)}}{{{{\left( {\cot x + 2} \right)}^2}}}\)
\(= \frac{{\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)\left( {\cot x + 2} \right) + \left( {\tan x - 1} \right)\left( {1 + {{\cot }^2}x} \right)}}{{{{\left( {\cot x + 2} \right)}^2}}}\)
\(= \frac{{2\cot x + 2\tan x + 2{{\tan }^2}x - {{\cot }^2}x + 1}}{{{{\left( {\cot x + 2} \right)}^2}}}\)
e) \(y = \frac{{{2^x} + 1}}{{{2^x} - 1}}\)
\(\Rightarrow y' = \left( {\frac{{{2^x} + 1}}{{{2^x} - 1}}} \right)'\)\(= \frac{{\left( {{2^x} + 1} \right)'\left( {{2^x} - 1} \right) - \left( {{2^x} - 1} \right)'\left( {{2^x} + 1} \right)}}{{{{\left( {{2^x} - 1} \right)}^2}}}\)
\(= \frac{{{2^x}\ln 2\left( {{2^x} - 1} \right) - {2^x}\ln 2\left( {{2^x} + 1} \right)}}{{{{\left( {{2^x} - 1} \right)}^2}}}\)
\(= \frac{{{2^x}\ln 2\left[ {\left( {{2^x} - 1} \right) - \left( {{2^x} + 1} \right)} \right]}}{{{{\left( {{2^x} - 1} \right)}^2}}}\)\(= \frac{{ - {2^{x + 1}}\ln 2}}{{{{\left( {{2^x} - 1} \right)}^2}}}\)
f) \(y = \left( {3\ln x + 2} \right)\left( {2{{\log }_3}x - 5} \right)\)
\(\Rightarrow y' = \left( {3\ln x + 2} \right)'\left( {2{{\log }_3}x - 5} \right) + \left( {3\ln x + 2} \right)\left( {2{{\log }_3}x - 5} \right)'\)
\(= \frac{3}{x}\left( {2{{\log }_3}x - 5} \right) + \frac{2}{{x\ln 3}}\left( {3\ln x + 2} \right)\)
\(= \frac{1}{x}\left( {6{{\log }_3}x + \frac{6}{{\ln 3}}\ln x - 15 + \frac{4}{{\ln 3}}} \right)\)
5. Đạo hàm của hàm hợp
Cho hàm số \(u = g\left( x \right)\) có đạo hàm \(u{'_x}\) tại \(x\) và hàm số \(y = f\left( u \right)\) có đạo hàm \(y{'_u}\) tại \(u\) thì hàm số hợp \(y = f\left( {g\left( x \right)} \right)\) có đạo hàm tại \(y{'_x}\) là \(y{'_x} = y{'_u}.u{'_x}\).
Ta có bảng công thức đạo hàm các hàm hợp như sau:
Ví dụ: Tính đạo hàm các hàm số sau:
|
a) |
b) |
|
c) |
d) |
Hướng dẫn giải
a) \(y = \sqrt{2 + sin3x}\)
\(\Rightarrow y' = \left( \sqrt{2 +
sin3x} \right)' = \frac{(2 + sin3x)'}{2\sqrt{2 +
sin3x}}\)
\(= \frac{cos3x.(3x)'}{2\sqrt{2 +
sin3x}} = \frac{3cos3x}{2\sqrt{2 + sin3x}}\)
b) \(y = ln^{2}(3x + 2)\)
\(\Rightarrow y' = \left\lbrack
ln^{2}(3x + 2) \right\rbrack' = 2ln(3x + 2)\left\lbrack \ln(3x + 2)
\right\rbrack'\)
\(= 2ln(3x + 2).\frac{(3x + 2)'}{3x +
2} = \frac{6}{3x + 2}.ln(3x + 2)\)
c) \(y = \tan\left( \cot x
\right)\)
\(\Rightarrow y' = \left\lbrack
\tan\left( \cot x \right) \right\rbrack' = \frac{\left( \cot x
\right)'}{cos^{2}\left( \cot x \right)} = -
\frac{1}{sin^{2}xcos^{2}\left( \cot x \right)}\)
d) \(y = \log_{3}\left( x^{2} - x\right)\)
\(\Rightarrow y' = \left\lbrack
log_{3}\left( x^{2} - x \right) \right\rbrack' = \frac{\left( x^{2}
- x \right)'}{\left( x^{2} - x \right)ln3}\)
\(= \frac{2x - 1}{x(x -
1)ln3}\)
6. Đạo hàm cấp hai
Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại mỗi điểm \(x \in \left( {a,b} \right)\). Nếu hàm số \(y' = f'\left( x \right)\) lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y’ là đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại x, kí hiệu là \(y''\) hoặc \(f''\left( x \right)\).
Ví dụ: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = \tan \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\)?
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(y = \tan\left( x + \frac{\pi}{3}
\right)\)
\(\Rightarrow y' = \left\lbrack
\tan\left( x + \frac{\pi}{3} \right) \right\rbrack'\)
\(= \dfrac{1}{\cos^{2}\left( x +\dfrac{\pi}{3} \right)} = 1 + \tan^{2}\left( x + \frac{\pi}{3}\right)\)
\(= \dfrac{1}{\cos^{2}\left( x +\dfrac{\pi}{3} \right)} = 1 + \tan^{2}\left( x + \frac{\pi}{3}\right)\)
\(y'' = \left\lbrack 1 +\tan^{2}\left( x + \frac{\pi}{3} \right) \right\rbrack'\)
\(= 2tan\left( x + \frac{\pi}{3}
\right)\left\lbrack \tan\left( x + \frac{\pi}{3} \right)
\right\rbrack'\)
\(= \dfrac{2\tan\left( x + \dfrac{\pi}{3}\right)}{\cos^{2}\left( x + \dfrac{\pi}{3} \right)}\)
Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai
Một chuyển động có phương trình \(s =
f(t)\) thì đạo hàm cấp hai (nếu có) của hàm số \(f(t)\) có gia tốc tức thời của chuyển động. Ta có: \(a(t) = f''(t)\)
Ví dụ: Phương trình chuyển động của một hạt được cho bởi công \(s(t) = 15 + \sqrt{2}\sin\left( 4\pi t +
\frac{\pi}{6} \right)\) trong đó s tính bằng centimét và t tính bằng giây. Tính gia tốc của hạt tại thời điểm t = 3 giây (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Hướng dẫn giải
Gia tốc của hạt tại thời điểm t là \(a(t) =
s''(t) = - 16\pi^{2}\sqrt{2}\sin\left( 4\pi t + \frac{\pi}{6}
\right)\)
Tại thời điểm t = 3s gia tốc của hạt là:
\(a(3) = - 16\pi^{2}\sqrt{2}\sin\left(
12\pi + \frac{\pi}{6} \right) \approx - 111,7\left( m^{2}/s
\right)\)
