Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 4 Chân trời sáng tạo

Đường thẳng song song với mặt phẳng khi và chỉ khi không nằm trong , đồng thời song song với một đường thẳng nằm trong .

Hình vẽ minh họa

Vì hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) cùng đi qua S lần lượt chứa 2 đường thẳng song song là AB và CD nên giao tuyến của chúng là đường thẳng đi qua S và song song với AB và CD tức song song với BI.

Hình vẽ minh họa

Giả sử CM và DN đồng phẳng.

Khi đó, ta có A, B cùng thuộc mặt phẳng (MNDC)

=> A, B, C, D đồng phẳng, trái giả thiết ABCD là tứ diện.

Vậy CM và DN chéo nhau.

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Ta lại có: suy ra đường thẳng d đi qua S và song song với AB.

Phương án "Giao tuyến của (SAC) và (SBD) là SO." đúng vì O là giao điểm của AC và BD nên O là điểm chung của (SAC) và (SBD). Hơn nữa, S là điểm chung của (SAC) và (SBD).

Phương án "Giao tuyến của (SAB) và (SCD) là điểm S." sai vì giao tuyến của hai mặt phẳng không thể là điểm

Phương án "Giao tuyến của (SBC) và (SCD) là SK, với K là giao điểm của SD và B" sai vì SD và BC không cắt nhau

Phương án "Giao tuyến của (SOC) và (SAD) là SM, với M là giao điểm của AC và S." sai vì AC và SD không cắt nhau

Hình vẽ minh họa

Gọi là trung điểm của .

Ta có: (do là đường trung bình của tam giác )

Vậy

Hình vẽ minh họa

Vì là trung điểm của và nên

Suy ra cùng thuộc một mặt phẳng.

Trong mặt phẳng gọi là giao điểm của và .

Ta có:

Vậy giao của với là giao của với .

Hình vẽ minh họa

Mặt phẳng qua M, song song với BC nên cắt (ABCD) và (SBC) theo giao tuyến a, qua M và song song BC.

Gọi E = a ∩ AB. Lúc đó qua E và song song SA nên cắt (SAB) theo giao tuyến b, qua E và song song SA.

Gọi F = b ∩ SB.

Tương tự, ∩ (SBC) = c, với c qua F và song song BC.

Gọi Q = c ∩ SC.

Hình tạo bởi các giao tuyến của với các mặt bên của hình chóp là hình thang MEFQ.

Vì ME = CD > QF nên hình thang MEFQ có đáy lớn là FQ.

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Do mặt phẳng (MAB) chứa AB // CD nên giao tuyến của (MAB) với (SCD) là đường thẳng đi qua M và song song với AB.

Giả sử đường thẳng này cắt SD tại điểm I.

Khi đó MI là đường trung bình của tam giác SCD

=> I là trung điểm của SD.

Vậy hình chiếu song song của điểm M theo phương AB lên mặt phẳng (SAD) là trung điểm của SD.

Hình vẽ minh họa:

Xét hai mặt phẳng và .

Ta có: và .

Mà và .

Do đó

Mệnh đề “Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau” sai vì chúng có thể cắt nhau.

Mệnh đề “Hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng phân biệt thì chúng chéo nhau” sai vì chúng có thể song song nhau.

Mệnh đề “Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì chéo nhau” sai vì chúng có thể song song nhau.

Vậy mệnh đề đúng: “Hai đường thẳng nằm trong một mặt phẳng thì chúng không chéo nhau.”

Hình vẽ minh họa

Ta có:

, d đi qua S và .

Hình vẽ minh họa

Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của BC, CC' và B'C'.

=> (tính chất trọng tâm tam giác)

=>

Xét mặt phẳng ta có:

=>

Mà

=>

Từ (1) và (2) => và là hai mặt phẳng phân biệt. Khi đó ta có:

Do ABCD là hình vuông nên tam giác ABC vuông cân tại B.

Hình biểu diễn của tứ diện ABCD’ là tứ giác ABCD nên hình biểu diễn của tam giác ABC là tam giác ABC vuông cân tại B.

Khẳng định đúng là: " Hình biểu diễn của một hình bình hành là một hình bình hành."

Kí hiệu đúng là:

Do suy ra hình chiếu song song của điểm theo phương lên mặt phẳng là điểm .

Hình vẽ minh họa:

Gọi I là tâm của hình lập phương

=> I là trung điểm của AC’.

Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

Khi đó

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và tứ diện là hình thoi MNPQ cạnh bằng

Mặt khác

Diện tích hình thoi MNPQ là

Do nên

=>    sai.