Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 4 Chân trời sáng tạo

Hình vẽ minh họa:

Gọi I là tâm của hình lập phương

=> I là trung điểm của AC’.

Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

Khi đó

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và tứ diện là hình thoi MNPQ cạnh bằng

Mặt khác

Diện tích hình thoi MNPQ là

Hình vẽ minh họa

Giao tuyến của với mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng qua M và song song với AC, đường thẳng này cắt CD tại P là trung điểm CD.

Giao tuyến của với mặt phẳng (BCC’B’) là đường thẳng qua N và song song với B’C, đường thẳng này cắt B’C’ tại E là trung điểm B’C’.

Giao tuyến của (α) với mặt phẳng (A’B’C’D’) là đường thẳng qua E và song song với A’C’, đường thẳng này cắt A’B’ tại F là trung điểm A’B’.

Giao tuyến của (α) với mặt phẳng (ABB’A’) là đường thẳng qua F và song song với AB’, đường thẳng này cắt AA’ tại G là trung điểm AA’.

=> Hình lục giác MPNEFG là hình tạo bởi các giao tuyến của với các mặt của hình hộp.

Hình vẽ minh họa

Có 6 đường thẳng là .

Ta có: S là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng (SMN) và (SAC).

Ta có là tâm của hình hình hành

=> (do M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC).

Trong mặt phẳng (ABCD), ta có:

=> O là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng (SMN) và (SAC).

Vậy

Hình vẽ minh họa

Do (a) // CD nên giao tuyến d = (a) ∩ (ABCD) là đường thẳng qua O và song song với CD. Gọi G, H lần lượt là giao điểm của d với BC,AD.

Do (a) // SA nên giao tuyến a = (a) ∩ (SAB) là đường thẳng qua H và song song với SA.

Gọi I là giao điểm của a với SD.

Do (a) // CD nên giao tuyến b = (a) ∩ (SCD) là đường thẳng qua I và song song với CD.

Gọi J lần lượt là giao điểm của b với SC.

Vậy thiết diện tạo bởi (a) và hình chóp là hình thang GHIJ vì GH // IJ //CD.

Hình vẽ minh họa

Xét mặt phẳng ta có:

=>

Vì lần lượt là trung điểm của do đó

Mà hay .

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

Ta có: là đường trung bình trong tam giác SAC

Ta có: là đường trung bình trong tam giác

=>

=>

Dễ thấy cắt tại trung điểm của .

Do đó mệnh đề là mệnh đề sai.

Do ABCD là hình vuông nên tam giác ABC vuông cân tại B.

Hình biểu diễn của tứ diện ABCD’ là tứ giác ABCD nên hình biểu diễn của tam giác ABC là tam giác ABC vuông cân tại B.

Hình vẽ minh họa

Gọi lần lượt là giao điểm của với các cạnh .

Khi đó ta có:

Vậy hình tạo bởi các giao tuyến giữa hai mặt phẳng là tam giác đều

Hình vẽ minh họa

Ta có và  

=> Giao điểm của đường thẳng EG và mặt phẳng (ACD) là giao điểm của đường thẳng EG và AF.

Hình vẽ minh họa

Vậy

Đáp án: "Nếu và ; thì " và "Nếu và thì " sai vì hai đường thẳng có thể chéo nhau.

Đáp án: "Nếu và , thì " sai vì hai mặt phẳng  có thể cắt nhau.

Sử dụng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

Vậy a song song d

Hình vẽ minh họa

Ta có: nên giao tuyến của hai mặt phẳng sẽ đi qua điểm và song song với .

Do đó giao tuyến sẽ đi qua trung điểm của .

Mệnh đề đúng là: "Nếu và không song song với nhau, điểm không nằm trên và  thì luôn có duy nhất một đường thẳng đi qua cắt cả và ."