Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 4 Chân trời sáng tạo

Hình vẽ minh họa

Trong mặt phẳng (SAB), qua M kẻ đường thẳng song song với SI cắt SA tại P.

Trong mặt phẳng (ABC), qua M kẻ đường thẳng song song với IC cắt AC tại N.

Thiết diện là tam giác MNP.

Ta có:

Vậy hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện là tam giác MNP cân tại M.

Hình vẽ minh họa

Vì là trung điểm của và nên

Suy ra cùng thuộc một mặt phẳng.

Trong mặt phẳng gọi là giao điểm của và .

Ta có:

Vậy giao của với là giao của với .

Ta có khẳng định sai là: “Nếu và thì ."

Cho hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) sẽ Song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

Có ba vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng là:

+ Đường thẳng song song với mặt phẳng.

+ Đường thẳng cắt mặt phẳng.

+ Đường thẳng nầm trên mặt phẳng.

Hình vẽ minh họa

Ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến và .

Theo tính chất hình hộp ta có nên

Lại có M là trung điểm của AB nên MN là đường trung bình trong tam giác ABC.

Vậy hay .

 Mệnh đề sai: "Nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đôi một song song hoặc đồng quy."

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Vậy các giao tuyến tạo bởi và hình chóp tạo thành là tam giác .

Hình vẽ minh họa

Xét tam giác SAB có:

M và N lần lượt là trung điểm của SA và SB

=> MN là đường trung bình của tam giác SAB

Mà (ABCD là hình bình hành)

=>

Mặt phẳng (MNC) và (ABD) (hay (ABCD)) lần lượt chứa hai đường thẳng MN và CD song song với nhau và điểm C chung

=> Giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng đi qua điểm chung C và song song với AB là đường thẳng CD

Hay

Theo tính chất của phép chiếu song song ta được

Hình chiếu của hình vuông không thể là hình thang có hai cạnh đáy không bằng nhau.

Vì hình chóp tứ giác có tối đa 5 mặt nên thiết diện không thể là lục giác.

Hình vẽ minh họa:

Giao tuyến của với mặt phẳng là đường thẳng qua và song song với , đường thẳng này cắt tại .

=>

Giao tuyến của với mặt phẳng là đường thẳng qua và song song với , đường thẳng này cắt tại .

=>

Giao tuyến của với mặt phẳng là đường thẳng qua và song song với , đường thẳng này cắt tại .

=>

Vậy các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành .

Do đó

Chứng minh tương tự ta được

Do đó:

Khi trùng với ta có:

Suy ra

Vậy

Hình vẽ minh họa

Giả sử qua  cắt  theo giao tuyến , khi đó thiết diện là tứ giác .

Vì nên MN // AB.

Mặt khác nên là hình bình hành.

Lập luận tương tự cho trường hợp qua cắt theo giao tuyến .

Khi mặt phẳng chiếu song song với đường thẳng đã cho thì đường thẳng đó song song với hình chiếu của nó.

Vì số mặt của hình chóp là 5 nên thiết diện tối đa chỉ có 5 cạnh.

=> Không thể là lục giác.

Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau thì không thể song song với nhau.

Mệnh đề 1 và 2 là mệnh đề sai vì theo điều kiện để hai mặt phẳng song song mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau và hai đường thẳng này song song với thì song song với

Mệnh đề 3 là mệnh đề đúng

Mệnh đề 4 là mệnh đề sai

Hình vẽ minh họa

Giả sử . Nối với cắt tại Suy ra
Ta có: . Suy ra .

Hình vẽ minh họa

Gọi lần lượt là tâm của các hình bình hành

Vì là hình bình hành nên

Từ đó ta có:

(*)

(**)

Từ (*) và (**) suy ra hay