Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 15 phút Toán 11 CTST Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian nha!
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng IJ và SD
Cho hình chóp SABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B có độ dài cạnh AB = a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng IJ và SD.
Hình vẽ minh họa:
Ta có AD // (IJ) ⇒ IJ // (SAD) ⇒ d(IJ, SD) = d(IJ, (SAD)) = d(I, (SAD)) = IA = a/2
Xác định thể tích khối chóp S.ABCD
Khối chóp tứ giác 
có đáy là hình vuông cạnh bằng , . Mặt phẳng tạo với mặt phẳng đáy một góc . Xác định thể tích khối chóp ?
Hình vẽ minh họa
Gọi H là trung điểm của AB
Tam giác SAB cân tại S nên
Ta có:
Vậy SH là đường cao của hình chóp
Xét tam giác AHS vuông tại H ta có:
Vậy thể tích hình chóp là:
Số đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với đường thẳng cho trước.
Trong không gian cho đường thẳng a và điểm M. Có bao nhiêu đường thẳng đi qua M và vuông góc với a?
Trong không gian cho đường thẳng a và điểm M. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M vuông góc với a. Khi đó mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) và đi qua M đều vuông góc với a.
=> Vậy có vô số đường thẳng đi qua M và vuông góc với a.
Tính thể tích khối chóp S.ABC
Cho khối chóp có biết độ dài các cạnh . Thể tích khối chóp là:
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Nên tam giác ABC vuông tại A
Suy ra
Vậy
Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M là trung điểm của BB’. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AM và A’C’.
+ Ta có AC // A’C’ nên góc giữa AM và A’C’ là góc giữa AC và AM.
+ Xét tam giác AMC có:
Áp dụng định lí cosin trong tam giác AMC, ta có:
Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Cho hình chóp tứ giác có đáy là hình vuông cạnh bằng , . Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ?
Hình vẽ minh họa
Ta có: nên AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABCD)
Do đó góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là góc
Đáy là hình vuông cạnh
Ghi đáp án vào ô trống
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại , các cạnh , các góc . Gọi là hình chiếu vuông góc của trên và . Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng và .
Đáp án: 1/3 (Ghi đáp án dưới dạng phân số tối giản a/b).
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại , các cạnh , các góc . Gọi là hình chiếu vuông góc của trên và . Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng và .
Đáp án: 1/3 (Ghi đáp án dưới dạng phân số tối giản a/b).
Hình vẽ minh họa
Gọi là mặt phẳng qua
và vuông góc với
.
Gọi là mặt phẳng qua
và vuông góc với
Khi đó, với
là đỉnh thứ tư của hình vuông ABHC.
Khi đó: là hai tam giác vuông bằng nhau có
.
Gọi là chân đường cao hạ từ đỉnh
của tam giác SAB, ta có
.
Vậy góc giữa hai mặt phẳng và
là
.
Xét cân tại
có
.
Ta có: .
Vậy cosin góc giữa hai mặt phẳng và
bằng
.
Chọn mệnh đề đúng
Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P). Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua a và vuông góc với mặt phẳng (P)?
Có một khi a không vuông góc với (P), có vô số khi a vuông góc với (P).
Tìm khẳng định sai?
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, SA ⊥ (ABCD). I là trung điểm của SC. Khẳng định nào dưới đây sai?
Hình vẽ minh họa:
Ta có: O và I lần lượt là trung điểm của AC và SC
=> OI là đường trung bình của tam giác SAC
=> OI // SA
Mà SA ⊥ (ABCD) => OI ⊥ (ABCD)
Ta có: ABCD là hình chữ nhật => BC ⊥ AB
Mà SA ⊥ BC => BC ⊥ SB
Tương tự ta có: CD ⊥ AD, CD ⊥ SA => CD ⊥ SD
Nếu (SAC) là mặt phẳng trung trực của BD => BD ⊥ AC điều này không thể xảy ra vì ABCD là hình chữ nhật.
Vậy khẳng định sai là: “Mặt phẳng (SAC) là mặt phẳng trung trực của BD.”
Tính thể tích tứ diện
Cho tứ diện có các cạnh đôi một vuông góc với nhau. Gọi trung điểm của các cạnh lần lượt là . Tính thể tích tứ diện , biết .
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Nhận thấy
Chọn khẳng định đúng
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA ⊥ (ABC). Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC, H là hình chiếu của I trên mặt phẳng đáy. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây?
Hình vẽ minh họa:
Ta có: SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ BC
Mà AB ⊥ BC => BC ⊥ (SAB) => BC ⊥ SB
=> Tam giác SBC vuông tại B => I là trung điểm của SC
Theo bài ra ta có: IH ⊥ (ABC) => IH // SA
=> H là trung điểm của cạnh AC,
Mà tam giác ABC vuông tại B => H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Hoàn thành mệnh đề
Cho hình chóp S.ABC có và SA = SB = SC. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC), khi đó:
Hình vẽ minh họa:
Đặt SA = a
Xét tam giác SAB vuông cân tại S ta có:
Xét tam giác SAC cân tại S ta có:
=> SA = SC = AC = a
Áp dụng định lí cosin cho tam giác SBC ra có:
Vậy tam giác ABC vuông tại A mà H là hình chiếu của S trên (ABC) nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Hay H là trung điểm của BC.
Tính cosin góc giữa hai đường thẳng
Cho hình lăng trụ đứng tam giác có đáy là tam giác vuông tại , . Gọi là trung điểm của . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng và .
Hình vẽ minh họa
Gọi N là trung điểm của BB’, ta có: MN//B’C nên
Ta có:
Áp dụng định lí cosin trong tam giác MNA ta có:
Xác định góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa cặp đường thẳng nào sau đây?
Hình vẽ minh họa:
Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cắt nhau theo giao tuyến SO và cùng vuông góc với đáy nên SO ⊥ (ABCD).
Vậy góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SB và BD.
Góc giữa đường thẳng SA và (ABC) là
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A. BC = a. . Góc giữa đường thẳng SA và (ABC) bằng
+) Gọi H là trung điểm BC.
Vì ABC vuông tại A nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Ta có:
=> Hình chiếu của SA lên (ABC) là HA
(vì tam giác SAH vuông tại H)
+) Ta có:
Xét tam giác SHA vuông tại H:
Vậy
Mệnh đề nào là mệnh đề đúng
Mệnh đề nào là mệnh đề đúng?
Khẳng định đúng: “Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng (P) bằng độ dài đoạn AH với H là hình chiếu vuông góc của A trên (P).”
Tìm khẳng định đúng
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Khẳng định đúng là “AB vuông góc với mặt phẳng (SAD)”
Thật vậy, do SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AB
Mặt khác AB ⊥ AD.
Từ đó suy ra AB ⊥ (SDA)
Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và AB’
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A với . Biết BC’ hợp với mặt phẳng (AA’C’C) với một góc 300 và hợp với mặt phẳng đáy góc α sao cho . Gọi M, N lần lượt là trung điểm cạnh BB’ và A’C’. Khoảng cách MN và AC’ là:
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
Đặt AB = x =>
Ta có:
Gọi P là trung điểm của B’C’ => (MNP) // (ABC’)
d(MN, AC’) = d(N, (ABC’)) = d(A’, (ABC’)
Kẻ A’H ⊥ AC’ tại H => A’H ⊥ (ABC’)
=> d(MN, AC’) =
Tính tổng khoảng cách
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng . Gọi O là tâm của đáy ABC, d1 là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) và d2 là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC). Tính d = d1 + d2.
Hình vẽ minh họa:
Gọi M là trung điểm BC.
Ta có:
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của O và A lên SM =>
Ta có:
Ta có:
Xét tam giác SOM có:
Vậy
Tính góc giữa hai vecto
Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Góc giữa cặp vecto là:
Hình vẽ minh họa:
Ta có tam giác ACF là tam giác đều
=> Góc giữa cặp vecto là:
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:
