Phép tính Lôgarit CTST
Định nghĩa: Cho hai số thực dương a, b với a ≠1. Số thực μ thỏa mãn đẳng thức 
\({a^\mu } = b\) được gọi là lôgarit cơ số a của b. Kí hiệu \({\log _a}b\).
\(\mu = {\log _a}b \Leftrightarrow {a^\mu } = b\)
Điều kiện xác định
\({\log _a}b\) xác định khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{gathered}
a > 0 \hfill \\
a \ne 1 \hfill \\
b > 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.\).
Chú ý:
- Một số công thức:
| \({\log _a}1 = 0\) |
\({\log _a}a = 1\) |
| \({\log _a}{a^b} = b\) |
\({a^{{{\log }_a}b}} = b\) |
- Lôgarit cơ số 10 của một số dương M được gọi là lôgarit thập phân của M, kí hiệu là \(\log M\)(đọc là lốc của M).
- Lôgarit cơ số e của một số dương M được gọi là lôgarit tự nhiên của M, kí hiệu là \(\ln M\) (đọc là lôgarit Nêpe của M) với \(e = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^x} \approx 2,7183\)
Ví dụ: Tính
|
a) |
b) |
c) |
Hướng dẫn giải
a) \({\log _2}\frac{1}{{32}} = {\log _2}\frac{1}{{{2^5}}} = {\log _2}{2^{ - 5}} = - 5\)
b) \({4^{{{\log }_2}3}} = {\left( {{2^2}} \right)^{{{\log }_2}3}} = {\left( {{2^{{{\log }_2}3}}} \right)^2} = {3^2} = 9\)
c) \(\log 1000 = \log {10^3} = 3\)
2. Tính chất của phép tính lôgarit
Với \(a \in {\mathbb{R}^ + }\backslash \left\{ 1 \right\}\) và \(M,N \in {\mathbb{R}^ + };\alpha \in \mathbb{R}\) ta có:
|
|
|
|
|
\({\log _a}\left( {\frac{1}{N}} \right) = - {\log _a}\left( N \right)\) |
| \({\log _a}\sqrt[n]{M} = \frac{1}{n}{\log _a}\left( M \right),\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\) |
|
Ví dụ: Thực hiện các phép tính sau:
|
a) |
b) |
|
c) |
d) |
Hướng dẫn giải
a) \({\log _3}\frac{9}{{10}} + {\log _3}30 = {\log _3}\left( {\frac{9}{{10}}.30} \right)\) \(= {\log _3}\left( {{3^3}} \right) = 3\)
b) \({\log _5}75 - {\log _5}3 = {\log _5}\frac{{75}}{3}\)\(= {\log _5}25 = {\log _5}{5^2} = 2\)
c) \(2{\log _5}2 - {\log _5}4\sqrt {10} + {\log _5}\sqrt 2\)
\(= {\log _5}{2^2} - {\log _5}4\sqrt {10} + {\log _5}\sqrt 2\)
\(= {\log _5}\frac{{4\sqrt 2 }}{{4\sqrt {10} }} = {\log _5}\frac{1}{{\sqrt 5 }} = {\log _5}{5^{ - \frac{1}{2}}} = - \frac{1}{2}\)
d) \({\log _3}\sqrt 3 - {\log _3}\sqrt[3]{9} + 2{\log _3}\sqrt[4]{{27}}\)
\(= {\log _3}{3^{\frac{1}{2}}} - {\log _3}{3^{\frac{2}{3}}} + 2{\log _3}{3^{\frac{3}{4}}}\)
\(= \frac{1}{2} - \frac{2}{3} + 2.\frac{3}{4} = \frac{4}{3}\)
3. Công thức đổi cơ số
Cho các số dương \(a,b,N\) với \(a \ne 1;b \ne 1\) ta có:
\({\log _a}N = \frac{{{{\log }_b}N}}{{{{\log }_b}a}}\)
Ví dụ: Cho a là một số thực dương. Rút gọn biểu thức: \(M = {\log _{\frac{1}{3}}}a - {\log _{\sqrt 3 }}{a^2} + {\log _9}\frac{1}{a}\)
Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức đổi cơ số ta đưa các biểu thức lôgarit về lôgarit cơ số 3 như sau:
\({\log _{\frac{1}{3}}}a = \frac{{{{\log }_3}a}}{{{{\log }_3}\frac{1}{3}}} = \frac{{{{\log }_3}a}}{{{{\log }_3}{3^{ - 1}}}}\)\(= \frac{{{{\log }_3}a}}{{ - 1}} = - {\log _3}a\)
\({\log _{\sqrt 3 }}{a^2} = 2{\log _{\sqrt 3 }}a = 2.\frac{{{{\log }_3}a}}{{{{\log }_3}\sqrt 3 }}\)\(= 2.\frac{{{{\log }_3}a}}{{{{\log }_3}{3^{\frac{1}{2}}}}} = 2.\frac{{{{\log }_3}a}}{{\frac{1}{2}}} = 4{\log _3}a\)
\({\log _9}\frac{1}{a} = \frac{{{{\log }_3}\frac{1}{a}}}{{{{\log }_3}9}} = \frac{{{{\log }_3}\frac{1}{a}}}{{{{\log }_3}{3^2}}}\)\(= \frac{{{{\log }_3}{a^{ - 1}}}}{2} = - \frac{{{{\log }_3}a}}{2}\)
Thay các kết quả trên vào biểu thức M ta được:
\(M = - {\log _3}a - 4{\log _3}a - \frac{{{{\log }_3}a}}{2} = - \frac{{11}}{2}{\log _3}a\)
Vậy \(M = - \frac{{11}}{2}{\log _3}a\)
