Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện CTST
Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói góc giữa đường thẳng a với (P) bằng 900.
Hình vẽ minh họa
Nếu đường thẳng a không vuông góc với (P) thì góc giữa a và hình chiếu a’ của a trên (P) gọi là góc giữa đường thẳng a và (P).
Hình vẽ minh họa
Ví dụ: Cho hình chóp 
\(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh a. Tam giác \(SAB\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi \(α\) là góc giữa đường thẳng \(SC\) và \((ABCD)\). Giá trị của \(\tan α\) bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
Gọi H là trung điểm AB.
Vì tam giác ABC đều nên \(SH ⊥ AB\)
Ta có:
\(\left\{ \begin{gathered} \left( {SAB} ight) \bot \left( {ABCD} ight) \hfill \\ \left( {SAB} ight) \cap \left( {ABCD} ight) = AB \hfill \\ SH \subset \left( {SAB} ight) \hfill \\ SH \bot AB\left( {cmt} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} ight)\)
=> Hình chiếu của SC lên \((ABCD)\) là HC.
\(\Rightarrow \,\alpha = \widehat {\left( {SC,\left( {ABCD} ight)} ight)} = \widehat {\left( {SC,HC} ight)} = \widehat {SCH}\) (Vì tam giác SHC vuông tại H)
Ta có: \(SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2};HC = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{4} + {a^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)
Xét tam giác SHC vuông tại H:
\(\tan \alpha = \tan \widehat {SCH} = \dfrac{{SH}}{{HC}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}}} = \dfrac{{\sqrt {15} }}{5}\)
Vậy \(\tan \alpha = \frac{{\sqrt {15} }}{5}\)
2. Góc nhị diện và góc phẳng nhị diện
Góc nhị diện
Hình gồm hai nửa mặt phẳng \((P_1),(Q_1)\) có chung bờ d được gọi là một góc nhị diện, kí hiệu là \([P_1, a, Q_1]\). Đường thẳng d và các nửa mặt phẳng \((P_1),(Q_1)\) tương ứng được gọi là cạnh và các mặt của góc nhị diện đó.
Hình vẽ minh họa
Chú ý:
- Hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến d tạo thành bốn góc nhị diện.
- Mỗi đường thẳng d trong một mặt phẳng chia mặt phẳng thành hai phần, mỗi phần cùng với d là một nửa mặt phẳng bờ d.
Góc phẳng nhị diện
Góc phẳng nhị diện của góc nhị diện là góc có đỉnh nằm trên cạnh của nhị diện có hai cạnh lần lượt nằm trên hai mặt của nhị diện và vuông góc với cạnh của nhị diện.
Chú ý:
a) Đối với một góc nhị diện, các góc phẳng nhị diện đều bằng nhau.
b) Nếu mặt phẳng (R) vuông góc với cạnh d của góc nhị diện và cắt hai mặt \((P_1)\) và \((Q_1)\) của góc nhị diện theo hai nửa đường thẳng Ou và Ov thì \(\widehat {uOv}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện tạo bởi \((P_1)\) và \((Q_1)\).
c) Góc nhị diện có góc phẳng nhị diện là góc vuông được gọi là góc nhị diện vuông.
d) Số đo góc phẳng nhị diện được gọi là số đo góc nhị diện.
e) Số đo góc nhị diện nhận giá trị từ 00 đến 1800.
Ví dụ: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh a, biết \((SAB) ⊥ (ABCD)\), \((SAD) ⊥ (ABCD)\) và \(SA= a\). Tính côsin của số đo góc nhị diện \([S; BD; C]\) và góc nhị diện [B; SC; D].
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
Ta có:
\(SO ⊥BD; CO⊥ BD\) nên góc nhị diện \([S; BD; C]\) bằng góc SOC.
Vì tam giác SAO vuông tại A nên \(SO = \sqrt {S{A^2} + A{O^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\) và \(\cos \widehat {SOC} = - \cos \widehat {SOA} = - \frac{{OA}}{{SO}} = \frac{{ - \sqrt 3 }}{3}\)
Kẻ \(BM⊥ SC\) tại M thì \(DM ⊥ SC\) nên \([B; SC; D]\) là góc BMD.
Ta có \(BC⊥(SAB)\) nên tam giác SBC vuông tại B, tính được: \(\left\{ \begin{gathered}
SB = a\sqrt 2 ;SC = a\sqrt 3 \hfill \\
DM = BM = \frac{{SB.BC}}{{SC}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3} \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
Áp dụng định lí côsin trong tam giác BDM, ta có:
\(\cos \widehat {BMD} = \frac{{B{M^2} + D{M^2} - B{D^2}}}{{2BM.DM}} = - \frac{3}{4}\)
