Luyện tập Hai mặt phẳng vuông góc CTST

Nếu hình hộp có ba mặt chung một đỉnh là hình vuông thì nó là hình lập phương.

Hình vẽ minh họa:

Đặt SA = a.

Kẻ AM ⊥ SD, m ∈ SD, AN ⊥ SB, N ∈ SB, ta có:

Suy ra:

Do ∆SAD = ∆SAB (c.g.c) => AM = AN

Do đó => ((SCD); (SBC)) = 60◦ => (AM; AN) = 60◦

Xét tam giác SAD, ta có:

Nếu thì ∆AMN đều => AM = MN => x = a

Nếu thì (Vô lý)

Vậy SA = a

Mệnh đề “Cho hai đường thẳng song song a và b và đường thẳng c sao cho c ⊥ a, c ⊥ b. Mọi mặt phẳng (α) chứa c thì đều vuông góc với mặt phẳng (a, b)” là sai. Trong trường hợp a và b trùng nhau, sẽ tồn tại mặt phẳng chứa a và b không vuông góc với mặt phẳng (α) chứa c.

Mệnh đề “Cho a ⊥ b, mọi mặt phẳng chứa b đều vuông góc với a” là sai. Trong trường hợp a và b cắt nhau, mặt phẳng (a, b) chứa b nhưng không vuông góc với a.

Mệnh đề “Cho a ⊥ b, nếu a ⊂ (α) và b ⊂ (β) thì (α) ⊥ (β)” là sai. Trong trường hợp a và b vuông góc nhau và chéo nhau, nếu (α) ⊃ a, (α) // b và (β) ⊃ b, (β) // a thì (α) // (β).

Vậy mệnh đề đúng là mệnh đề: “Cho a ⊥ (α), mọi mặt phẳng (β) chứa a thì (β) ⊥ (α).”

Hình vẽ minh họa:

Từ giả thiết suy ra tam giác ABD đều cạnh a.

Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD).

Do SA = SB = SD nên suy ra H cách đều các đỉnh của tam giác ABD hay H là tâm của tam giác đều ABD.

Suy ra:

Vì ABCD là hình thoi nên HI ⊥ BD.

Tam giác SBD cân tại S nên SI ⊥ BD

=> ((SBD), (ABCD)) = (SI, AI) =

Trong tam vuông SHI ta có:

Do đó ((SBC),(ABCD)) = (SC, AC) =

Tam giác SAC vuông tại A =>

Gọi H là trung điểm của AC, suy ra SH ⊥ (ABC).

Gọi N là trung điểm của AB, suy ra AB ⊥ (SHN).

Lấy K là giao điểm của AM, SH. Do đó

Theo giả thiết, NK là phân giác của góc

Giả sử:

Mặt khác:

(tính chất phân giác).

Gọi E là trung điểm của CM, theo định lí Ta-lét thì:

Vậy

Hình vẽ minh họa:

Kẻ AH ⊥ BC tại H, CK ⊥ BD tại K, HI ⊥ BD tại I.

Theo giả thiết suy ra CK = 8.

Vì (ABC) ⊥ (BCD) AH ⊥ BC nên AH ⊥ (BCD).

Ta có:

=> Góc AIH là góc giữa hai mặt phẳng (ABD) và (BCD).

Xét tam giác ABC vuông tại A

Xét tam giác AHI vuông tại H

=>

Mệnh đề sai là: “Nếu đường thẳng a vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) thì a vuông góc với mặt phẳng (P) và vuông góc với mặt phẳng (Q).”

Hình vẽ minh họa:

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD.

Ta có AN ⊥ CD mà (ACD) ⊥ (BCD) suy ra AN ⊥ (BCD) => AN ⊥ BN

Tam giác ABC cân tại C, có M là trung điểm của AB suy ra CM ⊥ AB

Giả sử (ABC) ⊥ (BCD) mà CM ⊥ AB suy ra CM ⊥ (ABD) => CM ⊥ DM

Khi đó, tam giác MCD vuông cân tại M

=>

Ta lại có

Mà

=>

Dễ thấy rằng BA⊥(ACD), AH⊥(BCD), suy ra góc giữa mặt phẳng (BCD) và mặt phẳng (ACD) bằng góc giữa hai đường thẳng BA và AH, tức là bằng góc

Có một khi a không vuông góc với (P), có vô số khi a vuông góc với (P).

Mỗi đường thẳng a nằm trong (P) đều có đường thẳng b nằm trong (Q) sao cho a vuông góc với b, khi đó (P) và (Q) có thể trùng nhau.

Hình vẽ minh họa:

Ta có: Giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là BC. (1)

Ta có: SA ⊥ (ABC) mà đường thẳng BC nằm trong (ABC)

=> SA ⊥ BC.

Ta có BC ⊥ AH tại H.

=>

Ta lại có:

Từ (1), (2), (3) =>