VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 1 Chân trời sáng tạo

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 CTST Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay

Câu 1: Thông hiểu
Tìm điều kiện xác định của hàm số

Với điều kiện xác định của các giá trị lượng giác, cho $P = \dfrac{\sin2a + \sin5a - \sin3a}{1+ \cos a - 2\sin^{2}2a}$ . Đơn giản biểu thức P ta được:
- A.
  $P = 2\tan a$
- B.
  $P = 2\sin a$
- C.
  $P = 2\cot a$
- D.
  $P = 2\cos a$
Ta có:

$P = \dfrac{\sin2a + \sin5a - \sin3a}{1 +\cos a - 2\sin^{2}2a}$

$P = \frac{\sin2a + 2\cos4a.\sin a}{\cos4a +\cos a}$

$P = \frac{2\sin a\cos a +2\cos4a.\sin a}{\cos4a + \cos a}$

$P = \frac{2\sin a\left( \cos a + \cos4aight)}{\cos a + \cos4a}$

$P = 2\sin a$
Câu 2: Nhận biết
Xác định nghiệm phương trình

Nghiệm của phương trình $\cos x = \cos\frac{\pi}{4}$ là:
- A.
  $x = - \frac{\pi}{6} + k2\pi,k\mathbb{\in Z}.$
- B.
  $x = \frac{\pi}{6} + k2\pi,k\mathbb{\in Z}.$
- C.
  $x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi,k\mathbb{\in Z}.$
- D.
  $x = \pm \frac{\pi}{4} + k2\pi,k\mathbb{\in Z}.$
Ta có $\cos x = \cos\frac{\pi}{4} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi}{4} + k2\pi,k\mathbb{\in Z}.$
Câu 3: Thông hiểu

Ghi đáp án đúng vào ô trống

Giải phương trình $\frac{2\sin x}{\cot x} -\frac{\tan x}{\sin x} = 2\left( \sin x - \cos x ight)$ ta được họ nghiệm $x = \frac{\pi}{a} + \frac{k\pi}{b},k,a,b \in Z$ . Tính $P = 2a + 3b$ ?

Đáp án: 11

Đáp án là:

Giải phương trình $\frac{2\sin x}{\cot x} -\frac{\tan x}{\sin x} = 2\left( \sin x - \cos x ight)$ ta được họ nghiệm $x = \frac{\pi}{a} + \frac{k\pi}{b},k,a,b \in Z$ . Tính $P = 2a + 3b$ ?

Đáp án: 11

ĐKXĐ: $\left\{ \begin{matrix} \sin x eq 0 \\ \cos x eq 0 \\ \end{matrix} ight.$ .

$\frac{2\sin x}{\cot x} - \frac{\tan x}{\sin x} = 2\left( \sin x - \cos x ight)$

$\Leftrightarrow 2\sin^{2}x - \tan x\cot x= 2\left( \sin x - \cos x ight)\sin x\cot x$

$\Leftrightarrow 2sin^{2}x - 1 = 2\left( \sin x - \cos x ight)\cos x$

$\Leftrightarrow 2\sin^{2}x - 1 =2\sin x.\cos x - 2\cos^{2}x$

$\Leftrightarrow 2\sin^{2}x + 2\cos^{2}x -1 = \sin2x \Leftrightarrow \sin2x = 1$

$\Leftrightarrow 2x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4} + k\pi\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Đối chiếu điều kiện, nghiệm phương trình là $x = \frac{\pi}{4} + k\pi,k\mathbb{\in Z}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 4 \\ b = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow P = 2a + 3b = 2.4 + 3.1 = 11$ .
Câu 4: Thông hiểu
Giải PT

Nghiệm của phương trình $\sin \left( {\frac{{2x}}{3} + \frac{\pi }{3}} ight) = 0$ là
- A. $x = - \frac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
- B. $x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
- C. $x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
- D. $\Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + \frac{{k3\pi }}{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
Ta có $\sin \left( {\frac{{2x}}{3} + \frac{\pi }{3}} ight) = 0$
$\Leftrightarrow \frac{{2x}}{3} + \frac{\pi }{3} = k\pi$
$\Leftrightarrow \frac{{2x}}{3} = - \frac{\pi }{3} + k\pi$
$\Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + \frac{{k3\pi }}{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$ .
Câu 5: Thông hiểu
PT có nghiệm?

Trong các phương trình sau có bao nhiêu phương trình có nghiệm?
$\sin x = \frac{1}{2};{\text{ }}\sin x = \frac{{ - \sqrt 2 }}{2};{\text{ }}\sin x = \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}$
- A. 0
- B. 1
- C. 3
- D. 2
Do y = sin (x) có tập giá trị là [-1;1] nên các phương trình $\sin x = \frac{1}{2};{\text{ }}\sin x = \frac{{ - \sqrt 2 }}{2}$ có nghiệm;
phương trình ${\text{ }}\sin x = \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}$ vô nghiệm do $\frac{{1 + \sqrt 3 }}{2} > 1$
Câu 6: Thông hiểu
Chọn kết luận đúng

Cho hàm số $y =\tan2x$ . Chọn kết luận đúng trong các kết luận sau khi xét sự biến thiên của hàm số đã cho trên một chu kì tuần hoàn?
- A.
  Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;\frac{\pi}{4} ight)$ và $\left( \frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2} ight)$ .
- B.
  Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;\frac{\pi}{4} ight)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( \frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2} ight)$ .
- C.
  Hàm số luôn đồng biến trên khoảng $\left( 0;\frac{\pi}{2} ight)$
- D.
  Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 0;\frac{\pi}{4} ight)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( \frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2} ight)$ .
Tập xác định: $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}|k\mathbb{\in Z} ight\}$

Hàm số $y = \tan2x$ tuần hoàn với chu kì $\frac{\pi}{2}$ , dựa vào các đáp án đã cho ta xét tính đơn điệu của hàm số trên $\left( 0;\frac{\pi}{2} ight)\backslash\left\{ \frac{\pi}{4} ight\}$

Dựa vào kết quả khảo sát sự biến thiên của hàm số $y = \tan x$ phần lí thuyết ta có thể suy ra với hàm số $y = tan2x$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;\frac{\pi}{4} ight)$ và $\left( \frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2} ight)$ .
Câu 7: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Đổi số đo của góc $72^{0}$ sang radian được kết quả là:
- A.
  $\frac{3\pi}{5}$
- B.
  $\frac{2\pi}{5}$
- C.
  $\frac{2\pi}{3}$
- D.
  $\frac{4\pi}{5}$
Ta có: $1^{0} = \frac{\pi}{180}rad \Rightarrow 72^{0} = 72.\frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{5}rad$
Câu 8: Vận dụng
Tìm số nghiệm của phương trình

Với x thuộc $\left ( 0;1 ight )$ hỏi phương trình $cos^{2}\left ( 6\pi x ight )=\frac{3}{4}$ có bao nhiêu nghiệm:
- A.
  8
- B.
  10
- C.
  11
- D.
  12
Giải phương trình:
$\begin{matrix} {\cos ^2}\left( {6\pi x} ight) = \dfrac{3}{4} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{\cos \left( {12\pi x} ight) + 1}}{2} = \dfrac{3}{4} \hfill \\ \Leftrightarrow 2\cos \left( {12\pi x} ight) + 2 = 3 \hfill \\ \Leftrightarrow \cos \left( {12\pi x} ight) = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {12\pi x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \\ {12\pi x = - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{1}{{36}} + \dfrac{k}{6}} \\ {x = - \dfrac{1}{{36}} + \dfrac{k}{6}} \end{array}} ight.;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Xét nghiệm ${x = \frac{1}{{36}} + \frac{k}{6}}$
Do $x \in \left( {0;1} ight)$ => $0 < \frac{1}{{36}} + \frac{k}{6} < 1 \Rightarrow k \in \left\{ {0;1;2;3;4;5} ight\}$
Xét nghiệm ${x = -\frac{1}{{36}} + \frac{k}{6}}$
Do $x \in \left( {0;1} ight)$ => $0 < -\frac{1}{{36}} + \frac{k}{6} < 1 \Rightarrow k \in \left\{ {1;2;3;4;5;6} ight\}$
Vậy có tất cả 12 giá trị x thỏa mãn
Câu 9: Nhận biết
Đổi số đo sang đơn vị radian

Đổi số đo $365^{0}$ sang số đo theo đơn vị là radian.
- A.
  $\frac{73\pi}{18}$
- B.
  $\frac{73\pi}{36}$
- C.
  $\frac{73\pi}{72}$
- D.
  $2\pi$
Ta có: $365^{0} = \frac{365\pi}{180}rad = \frac{73\pi}{36}rad$
Câu 10: Nhận biết
Hàm số chẵn, hàm số lẻ

Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
- A.
  $y = sin2x$
- B.
  $y = x\cos x$
- C.
  $y = \cos x.cotx$
- D.
  $y = \frac{\tan x}{\sin x}$
Xét hàm số $y = f(x) = sin2x$ có:

Tập xác định $D=\mathbb{ R}$

Khi đó với $\forall x \in D \Rightarrow - x \in D$ ta có:

$\begin{matrix}f( - x) = \sin( - 2x) = - sin2x = - f(x) \hfill \\\Rightarrow f( - x) = - f(x) \hfill\\\end{matrix}$

Vậy hàm số y = sinx là hàm số lẻ

Xét hàm số $y = f(x) = x\cos x$ có:

Tập xác định $D=\mathbb{ R}$

Khi đó với $\forall x \in D \Rightarrow - x \in D$ ta có:

$\begin{matrix}f( - x) = ( - x).cos( - x) = - x\cos x = - f(x) \hfill \\\Rightarrow f( - x) = - f(x) \hfill \\\end{matrix}$

Vậy hàm số y = x.cosx là hàm số lẻ

Xét hàm số $y = f(x) = \cos x.cotx$ có:

Tập xác định $D=\mathbb{ R}$

Khi đó với $\forall x \in D \Rightarrow - x \in D$ ta có:

$\begin{matrix}f( - x) = \cos( - x).cot( - x) = - \cos x.cotx = - f(x) \hfill \\\Rightarrow f( - x) = - f(x) \hfill \\\end{matrix}$

Vậy hàm số $y = \cos x.cotx$ là hàm số lẻ

Xét hàm số $y = f(x) = \frac{\tan x}{\sin x}$ có:

Tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ k\frac{\pi}{2};k\mathbb{\in Z} ight\}$

Khi đó với $\forall x \in D \Rightarrow - x \in D$ ta có:

$\begin{matrix}f( - x) = \dfrac{\tan( - x)}{\sin( - x)} = \dfrac{- \tan x}{- \sin x} =f(x) \hfill\\\Rightarrow f( - x) = f(x) \hfill \\\end{matrix}$

Vậy hàm số $y = \frac{\tan x}{\sin x}$ là hàm số chẵn
Câu 11: Nhận biết
Tim độ dài cung

Trên đường tròn cung có số đo 1 rad là?
- A.
  Cung có độ dài bằng 1.
- B.
  Cung tương ứng với góc ở tâm $60^{0}$ .
- C.
  Cung có độ dài bằng đường kính.
- D.
  Cung có độ dài bằng nửa đường kính.
Cung có độ dài bằng bán kính (nửa đường kính) thì có số đó bằng 1 rad.
Câu 12: Nhận biết
Tìm tập nghiệm của phương trình

Tập nghiệm của phương trình $\sin x = 0$ là:
- A. $x = k2\pi$
- B. $x = \frac{\pi }{2} + k2\pi$
- C. $x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi$
- D. $x = k\pi$
Ta có:
$\begin{matrix} \sin x = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = k2\pi } \\ {x = \pi + k2\pi } \end{array}} ight.;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow x = k\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 13: Vận dụng cao
Chọn mệnh đề đúng.

Hàm số $y = cos^{2}x + 2sinx + 2$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x_{0}$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
- A.
  $x_{0} = \frac{\pi}{2} + k2\pi,\ \k\mathbb{\in Z}.$
- B.
  $x_{0} = - \frac{\pi}{2} + k2\pi,\ \k\mathbb{\in Z}.$
- C.
  $x_{0} = \pi + k2\pi,\ \ k\mathbb{\inZ}.$
- D.
  $x_{0} = k2\pi,\ \ k\mathbb{\inZ}.$
Ta có: $y = cos^{2}x + 2sinx + 2 = 1 -sin^{2}x + 2sinx + 2$
$= - sin^{2}x + 2sinx + 3 = - \left( \sinx - 1 ight)^{2} + 4.$
Mà $- 1 \leq \sin x \leq 1$
$\begin{matrix}\Leftrightarrow - 2 \leq \sin x - 1 \leq 0 \\\Leftrightarrow 0 \leq \left( \sin x - 1 ight)^{2} \leq 4 \\\end{matrix}$
$\begin{matrix}\Leftrightarrow 0 \geq - \left( \sin x - 1 ight)^{2} \geq - 4 \hfill \\\Leftrightarrow 4 \geq - \left( \sin x - 1 ight)^{2} + 4 \geq 0 \hfill \\\end{matrix}$ .
Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng $0$ .
Dấu $'' = ''$ xảy ra $\Leftrightarrow \sin x = - 1\Leftrightarrow x = - \frac{\pi}{2} + k2\pi\ \left( k\mathbb{\in Z}ight).$
Câu 14: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức C

Giá trị của biểu thức $C =\sin\frac{\pi}{24}.\sin\frac{5\pi}{24}.\sin\frac{7\pi}{24}.\sin\frac{11\pi}{24}$ là:
- A.
  $C = \frac{1}{2}$
- B.
  $C = \frac{1}{4}$
- C.
  $C = \frac{1}{8}$
- D.
  $C = \frac{1}{16}$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\sin\dfrac{7\pi}{24} = \cos\dfrac{5\pi}{24} \\\sin\dfrac{11\pi}{24} = \cos\dfrac{\pi}{24} \\\end{matrix} ight.$

Khi đó:

$C =\sin\frac{\pi}{24}.\sin\frac{5\pi}{24}.\sin\frac{7\pi}{24}.\sin\frac{11\pi}{24}$

$C =\sin\frac{\pi}{24}.\sin\frac{5\pi}{24}.\cos\frac{5\pi}{24}.\cos\frac{\pi}{24}$

$C = \dfrac{1}{4}.\left(2\sin\frac{\pi}{24}.\cos\frac{\pi}{24} ight).\left(2.\sin\frac{5\pi}{24}.\cos\frac{5\pi}{24} ight)$

$C =\frac{1}{4}.\sin\frac{\pi}{12}.\sin\frac{5\pi}{12}$

$C = \frac{1}{4}.\frac{1}{2}.\left(\cos\frac{6\pi}{12} + \cos\frac{\pi}{3} ight)$

$C = \frac{1}{4}.\frac{1}{2}.\left( 0 + \frac{1}{2} ight) = \frac{1}{16}$
Câu 15: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Tính giá trị $\cos\left\lbrack \frac{\pi}{3} + \pi(2k + 1)ightbrack$
- A.
  $-\frac{\sqrt{3}}{2}$
- B.
  $\frac{1}{2}$
- C.
  $- \frac{1}{2}$
- D.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$
Ta có:
$\cos\left\lbrack \frac{\pi}{3} + \pi(2k+ 1) ightbrack$
$= \cos\left\lbrack \frac{\pi}{3} + \pi +k2\pi ightbrack$
$= \cos\left\lbrack \frac{\pi}{3} + \piightbrack$
$= - \cos\left( \frac{\pi}{3} ight) = -\frac{1}{2}$
Câu 16: Vận dụng
Tính giá trị biểu thức Q

Cho tam giác $ABC$ có các góc $\widehat{A};\widehat{B};\widehat{C}$ thỏa mãn biểu thức $2\cos\widehat{A} +\cos\widehat{B} + \cos\widehat{C} = \frac{9}{4}$ . Biết rằng $\sin\frac{\widehat{A}}{2} = \frac{x}{y}$ với $x,y\in\mathbb{ N};yeq 0;(x;y) = 1$ . Tính giá trị biểu thức $Q = x + y$ ?
- A.
  $Q = 3$
- B.
  $Q = 5$
- C.
  $Q = 4$
- D.
  $Q = 9$
Ta có:

$2cos\widehat{A} + \cos\widehat{B} + \cos\widehat{C}$

$= 2 - 4\sin^{2}\frac{\widehat{A}}{2} +2\sin\frac{\widehat{A}}{2}.\cos\left( \frac{\widehat{B} - \widehat{C}}{2}ight)$

$= - 4.\left\lbrack \sin^{2}\frac{\widehat{A}}{2} -\frac{1}{2}\sin\frac{\widehat{A}}{2}.\cos\left( \frac{\widehat{B} -\widehat{C}}{2} ight) + \frac{1}{16}\cos^{2}\left( \frac{\widehat{B} -\widehat{C}}{2} ight) ightbrack$

$+ \frac{1}{4}\cos^{2}\left(\frac{\widehat{B} - \widehat{C}}{2} ight) + 2$

$= - 4.\left\lbrack\sin\frac{\widehat{A}}{2} - \frac{1}{4}\cos\left( \frac{\widehat{B} -\widehat{C}}{2} ight) ightbrack^{2} + \frac{1}{4}\cos^{2}\left(\frac{\widehat{B} - \widehat{C}}{2} ight) + 2$

$\leq \frac{1}{4}cos^{2}\left( \frac{\widehat{B} - \widehat{C}}{2} ight) + 2 \leq \frac{9}{4}\forall\Delta ABC$

Dấy “=” xảy ra khi $\left\{ \begin{matrix}\widehat{B} = \widehat{C} \\\sin\dfrac{\widehat{A}}{2} = \dfrac{1}{4} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow x = 1;y = 4 \Rightarrow Q =5$
Câu 17: Vận dụng cao
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của A

Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của biểu thức $A = \sin^{6}x +\cos^{6}x$ .
- A.
  $M = 2;m = 0$
- B.
  $M = 1;m =\frac{1}{2}$
- C.
  $M = 1;m = \frac{1}{4}$
- D.
  $M = \frac{1}{4};m =0$
Ta có:
$A = \sin^{6}x + \cos^{6}x$
$A = \left( \sin^{2}x ight)^{3} + \left(\cos^{2}x ight)^{3}$
$A = \left( \sin^{2}x + \cos^{2}x ight)\left( \sin^{4}x - \sin^{2}x.\cos^{2}x + \cos^{4}x ight)$
$A = \sin^{4}x - \dfrac{1}{4}\sin^{2}2x +\cos^{4}x$
$A = 1 - \dfrac{1}{4}\sin^{2}2x -\dfrac{1}{2}\sin^{2}2x$
$A = 1 -\frac{3}{4}\sin^{2}2x$
$\Rightarrow \sin^{2}2x = \frac{4 -4A}{3}$
Ta lại có: $\sin^{2}2x \in \lbrack0;1brack$
$\Rightarrow 0 \leq \frac{4 - 4A}{3} \leq1$
$\Rightarrow \frac{1}{4} \leq A \leq1$
$\Rightarrow M = 1;m =\frac{1}{4}$
Câu 18: Nhận biết
Tìm nghiệm PTLG

Phương trình lượng giác $\cos 3x = \cos \frac{\pi }{{15}}$ có nghiệm là ?
- A. $x = \pm \frac{\pi }{{15}} + k2\pi$
- B. $x = \pm \frac{\pi }{{45}} + \frac{{k2\pi }}{3}$
- C. $x = - \frac{\pi }{{45}} + \frac{{k2\pi }}{3}$
- D. $x = \frac{\pi }{{45}} + \frac{{k2\pi }}{3}$
Ta có: $\cos 3x = \cos \frac{\pi }{{15}}$ $\Leftrightarrow 3x = \pm \frac{\pi }{{15}} + k2\pi$
$\Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{{45}} + \frac{{k2\pi }}{3}$
Câu 19: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng

Nếu $\sin(a + b) = 0$ thì khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\left| \cos(a + 2b) ight| = \left| \sin a ight|$
- B.
  $\left| \cos(a + 2b) ight| = \left| \sin b ight|$
- C.
  $\left| \cos(a + 2b) ight| = \left| \cos a ight|$
- D.
  $\left| \cos(a + 2b) ight| = \left| \cos b ight|$
Ta có:

$\sin(a + b) = 0 \Rightarrow a + b = k\pi$

$\Rightarrow a = - b + k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Ta lại có:

$\Rightarrow \left| \cos(a + 2b) ight| = \left| \cos( - b + 2b + k\pi) ight|$

$= \left| \cos(b + k\pi) ight| = \left| \cos b ight|$
Câu 20: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Trên đường tròn lượng giác, cung có số đo $\frac{\pi}{6} + \frac{k2\pi}{3};\left(k\in\mathbb{ Z} ight)$ được biểu diễn bởi bao nhiêu điểm?
- A.
  $1$
- B.
  $2$
- C.
  $4$
- D.
  $3$
Xét theo chiều dương với $k = 0,1,2,3$ ta thấy cung có số đo $\frac{\pi}{6} + \frac{k2\pi}{3};\left( k\mathbb{\in Z} ight)$ được biểu diễn bởi ba điểm trên đường tròn lượng giác như sau:
Câu 21: Nhận biết
Xác định chu kì của hàm số

Chu kì của hàm số $y = \tan x$ là
- A.
  $T = \pi$ .
- B.
  $T = 2\pi$ .
- C.
  $T = \frac{\pi}{2}$ .
- D.
  $T = \frac{\pi}{4}$ .
Hàm số $y = \tan x$ tuần hoàn với chu kỳ $T = \pi$ .
Câu 22: Nhận biết
Giải phương trình lượng giác

Tập nghiệm của phương trình $\cot x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ là
- A.
  $S = \left\{ \frac{k\pi}{3},k\mathbb{\in Z} ight\}$ .
- B.
  $S = \left\{ - \frac{\pi}{3} + k\pi,k\mathbb{\in Z} ight\}$ .
- C.
  $S = \left\{ - \frac{\pi}{6} + k\pi,k\mathbb{\in Z} ight\}$ .
- D.
  $S = \left\{ \frac{k\pi}{6},k\mathbb{\in Z} ight\}$ .
Ta có

$\cot x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\Leftrightarrow \cot x = \cot\left( - \frac{\pi}{3} ight)$

$\Leftrightarrow x = - \frac{\pi}{3} + k\pi,\left( k\mathbb{\in Z} ight)$ .
Câu 23: Vận dụng
Xác định tập xác định của hàm số

Tìm tập xác định D của hàm số $y = \sqrt{5 + 2cot^{2}x - \sin x} + \cot\left( \frac{\pi}{2} + x ight)$
- A.
  $D\mathbb{= R}\backslash\left\{\frac{k\pi}{2},k\in\mathbb{ Z} ight\}$
- B.
  $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ -\frac{\pi}{2} + k\pi,k\in\mathbb{ Z} ight\}$
- C.
  $D=\mathbb{ R}$
- D.
  $D\mathbb{= R}\backslash\left\{k\pi,k\in\mathbb{ Z} ight\}$
Hàm số xác định khi và chỉ khi

$5 + 2cot^{2}x - \sin x \geq 0$ và $\cot\left( \frac{\pi}{2} + x ight)$ xác định và $\cot x$ xác định

Ta có: $\cot\left( \frac{\pi}{2} + x ight)$ xác định khi và chỉ khi

$\begin{matrix}\sin\left( \dfrac{\pi}{2} + x ight) eq 0 \hfill \\\Rightarrow \dfrac{\pi}{2} + x eq k\pi\hfill \\\Rightarrow x eq - \dfrac{\pi}{2} + k\pi,k\mathbb{\in Z} \hfill\\\end{matrix}$

Mà cot x xác định khi

$\begin{matrix}\sin x eq 0 \hfill \\\Rightarrow x eq k\pi \hfill \\\Rightarrow x eq + k\pi,k\mathbb{\in Z} \hfill \\\end{matrix}$

Do đó hàm số xác định khi và chỉ khi $\left\{ \begin{matrix}x eq - \dfrac{\pi}{2} + k\pi \\x eq k\pi \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow x eq \dfrac{k\pi}{2},k \in\mathbb{Z}$

Vậy tập xác định của hàm số là $D\mathbb{=R}\backslash\left\{ \frac{k\pi}{2},k \in\mathbb{ Z} ight\}$
Câu 24: Thông hiểu
Tính giá trị

Tính giá trị $\cos\left\lbrack \frac{\pi}{4} + \pi(2k + 1) ightbrack$
- A.
  $- \frac{\sqrt{3}}{2}$
- B.
  $\frac{- \sqrt{2}}{2}$
- C.
  $- \frac{1}{2}$
- D.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$
Ta có:

$\cos\left\lbrack \frac{\pi}{4} + \pi(2k + 1) ightbrack$

$= \cos\left\lbrack \frac{\pi}{4} + \pi + k2\pi ightbrack$

$= \cos\left\lbrack \frac{\pi}{4} + \pi ightbrack$

$= - \cos\left( \frac{\pi}{4} ight) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$
Câu 25: Thông hiểu
Đếm số nghiệm

Hỏi trên $\left[ {0;\frac{\pi }{2}} ight)$ , phương trình $2{\sin ^2}x - 3\sin x + 1 = 0$ có bao nhiêu nghiệm?
- A. 1
- B. 2
- C. 3
- D. 4
Phương trình $2{\sin ^2}x - 3\sin x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \sin x = \frac{1}{2} \hfill \\ \sin x = 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \sin x = \sin \frac{\pi }{6} \hfill \\ \sin x = 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \hfill \\ x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \hfill \\ x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.{\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
Theo giả thiết
$0 \leqslant x < \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 0 \leqslant \frac{\pi }{6} + k2\pi < \frac{\pi }{2} \hfill \\ 0 \leqslant \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi < \frac{\pi }{2} \hfill \\ 0 \leqslant \frac{\pi }{2} + k2\pi < \frac{\pi }{2} \hfill \\ \end{gathered} ight.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} - \frac{1}{{12}} < k < \frac{1}{6}\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}k = 0 \to x = \frac{\pi }{6} \hfill \\ - \frac{5}{{12}} < k < - \frac{1}{{12}}\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}k \in \emptyset \hfill \\ - \frac{1}{4} < k < 0\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}k \in \emptyset \hfill \\ \end{gathered} ight.$
Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm trên $\left[ {0;\frac{\pi }{2}} ight)$ .
Câu 26: Nhận biết
Chọn mệnh đề sai?

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
- A.
  Hàm số y = sinx tuần hoàn với chu kì 2π
- B.
  Hàm số y = cosx tuần hoàn với chu kì 2π
- C.
  Hàm số y = tanx tuần hoàn với chu kì 2π
- D.
  Hàm số y = cotx tuần hoàn với chu kì π
Vì hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kì π

Nên đáp án: “Hàm số y = tanx tuần hoàn với chu kì 2π” là đáp án sai.
Câu 27: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A. $\sin x e 0 \Rightarrow x e \frac{{k\pi }}{2}$
- B. $\sin x = 0 \Rightarrow x = k\pi$
- C. $\tan x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi$
- D. $\cos x = - 1 \Rightarrow x = \pi + k\pi$
Mệnh đề đúng là: $\sin x = 0 \Rightarrow x = k\pi$
Câu 28: Vận dụng
Tìm khẳng định đúng

Cho tam giác $ABC$ có các góc $\widehat{A};\widehat{B};\widehat{C}$ thỏa mãn biểu thức $\sin\frac{\widehat{A}}{2}.cos^{3}\frac{\widehat{B}}{2} - \sin\frac{\widehat{B}}{2}.cos^{3}\frac{\widehat{A}}{2} = 0$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  Tam giác $ABC$ đều
- B.
  Tam giác $ABC$ cân
- C.
  Tam giác $ABC$ vuông
- D.
  Tam giác $ABC$ vuông cân
Ta có:

$\sin\frac{\widehat{A}}{2}.\cos^{3}\frac{\widehat{B}}{2}- \sin\frac{\widehat{B}}{2}.\cos^{3}\frac{\widehat{A}}{2} =0$

$\Leftrightarrow\dfrac{\sin\dfrac{\widehat{A}}{2}}{\cos^{3}\dfrac{\widehat{A}}{2}} =\dfrac{\sin\dfrac{\widehat{B}}{2}}{\cos^{3}\dfrac{\widehat{B}}{2}}$

$\Leftrightarrow\tan\frac{\widehat{A}}{2}\left( 1 + \tan^{2}\frac{\widehat{A}}{2} ight)= \tan\frac{\widehat{B}}{2}.\left( 1 + \tan^{2}\frac{\widehat{B}}{2}ight)$

$\Leftrightarrow \tan\frac{\widehat{A}}{2} = \tan\frac{\widehat{B}}{2} \Leftrightarrow \frac{\widehat{A}}{2} = \frac{\widehat{B}}{2} \Leftrightarrow \widehat{A} = \widehat{B}$

Vậy tam giác $ABC$ cân.
Câu 29: Thông hiểu
Tính giá trị của biểu thức

Cho hàm số $y = 2cos\left( x + \frac{\pi}{3} ight) + 3$ có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất lần lượt là $M$ , $m$ . Tính giá trị của biểu thức $S = 20M - 12m$ .
- A.
  $S = 5$ .
- B.
  $S = 48$ .
- C.
  $S = 60$ .
- D.
  $S = 88$ .
Ta có: $- 1 \leq \cos\left( x + \frac{\pi}{3} ight) \leq 1$

Nên $1 \leq 2cos\left( x + \frac{\pi}{3} ight) + 3 \leq 5$ .

Suy ra $S = 20M - 12m = 20.5 - 12.1 = 88$ .
Câu 30: Thông hiểu
Tìm m để PT vô nghiệm

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $\left( {m - 2} ight)\sin 2x = m + 1$ vô nghiệm.
- A. $m \in \left[ {\frac{1}{2};2} ight]$
- B. $m \in \left( { - \infty ;\frac{1}{2}} ight) \cup \left( {2; + \infty } ight)$
- C. $m \in \left( {\frac{1}{2};2} ight) \cup \left( {2; + \infty } ight)$
- D. $m \in \left( {\frac{1}{2}; + \infty } ight)$
TH1. Với m = 2, phương trình $\left( {m - 2} ight)\sin 2x = m + 1 \Leftrightarrow 0 = 3$ : vô lý.
Suy ra m=2 thì phương trình đã cho vô nghiệm.
TH2. Với $m eq 2$ , phương trình $\left( {m - 2} ight)\sin 2x = m + 1 \Leftrightarrow \sin 2x = \frac{{m + 1}}{{m - 2}}$
Để phương trình vô nghiệm
$\Leftrightarrow \frac{{m + 1}}{{m - 2}} otin \left[ { - \,1;1} ight] \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \frac{{m + 1}}{{m - 2}} > 1 \hfill \\ \frac{{m + 1}}{{m - 2}} < - \,1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m > 2 \hfill \\ \frac{1}{2} < m < 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.$
Kết hợp hai trường hợp, ta được $m \in \left( {\frac{1}{2}; + \infty } ight)$ là giá trị cần tìm.
Câu 31: Vận dụng
Rút gọn biểu thức

Rút gọn biểu thức: $S = \cos\left( \frac{\pi}{2} - x ight).sin(\pi -x) - \sin\left( \frac{\pi}{2} - x ight).cos(\pi - x)$ ta được:
- A.
  $S = 0$
- B.
  $S = sin^{2}x -cos^{2}x$
- C.
  $S=2sinx\cos x$
- D.
  $S = 1$
Ta có:
$S = \cos\left( \frac{\pi}{2} - xight).\sin(\pi - x) - \sin\left( \frac{\pi}{2} - x ight).\cos(\pi -x)$
$S = \sin x.\sin x - \cos x.\cos( -x)$
$S = \sin^{2}x + \cos^{2}x = 1$
Câu 32: Thông hiểu
Tính giá trị F

Cho góc lượng giác $\alpha$ thỏa mãn $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ và $\sin\alpha = \frac{4}{5}$ . Tính $F = \sin2(\alpha + \pi)$
- A.
  $F = - \frac{24}{25}$
- B.
  $F = \frac{24}{25}$
- C.
  $F = - \frac{12}{25}$
- D.
  $F = \frac{12}{25}$
Ta có:

$F = \sin2(\alpha + \pi)$

$= \sin(2\alpha + 2\pi)$

$= \sin2\alpha =2\sin\alpha\cos\alpha$

Từ hệ thức $\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha= 1$

$\Rightarrow \cos\alpha = \pm \sqrt{1 -\sin^{2}\alpha} = \pm \frac{3}{5}$

Do $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ nên $\cos\alpha = - \frac{3}{5}$

Thay $\sin\alpha = \frac{4}{5};\cos\alpha =- \frac{3}{5}$ vào biểu thức ta được:

$F = 2.\frac{4}{5}.\left( - \frac{3}{5} ight) = - \frac{24}{25}$
Câu 33: Thông hiểu
Tìm tất cả các nghiệm?

Tất cả các nghiệm của phương trình tan (x) = cot (x) là?
- A. $x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{4},\,k \in \mathbb{Z}$
- B. $x = \frac{\pi }{4} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}$
- C. $x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,\,k \in \mathbb{Z}$
- D. $x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},\,\,k \in \mathbb{Z}$
Điều kiện $\left\{ \begin{gathered} \sin x e 0 \hfill \\ \cos x e 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.\, \Leftrightarrow \sin 2x e 0\, \Leftrightarrow x e m\frac{\pi }{2}\,{\text{ , }}m \in \mathbb{Z}$
$\tan x = \cot x \Leftrightarrow \tan x = \tan \left( {\frac{\pi }{2} - x} ight)$
$\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} - x + k\pi$
$\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\,\,\,\left( {\,k \in \mathbb{Z}} ight)$ thỏa mãn điều kiện.
Câu 34: Thông hiểu
Chọn đáp án sai

Tìm đẳng thức sai trong các đẳng thức sau (giả sử rằng tất cả các biểu thức lượng giác đều có nghĩa).
- A.
  $tan(a - \pi) = tana$ .
- B.
  $sina + sinb = 2sin\frac{a + b}{2} \cdot sin\frac{a - b}{2}$ .
- C.
  $sina = tana \cdot cosa$ .
- D.
  $cos(a - b) = sinasinb + cosacosb$ .
Ta có: $sina + sinb = 2sin\frac{a + b}{2}cos\frac{a - b}{2}$ , do đó đẳng thức $sina + sinb = 2sin\frac{a + b}{2} \cdot sin\frac{a - b}{2}$ sai.
Câu 35: Thông hiểu
Chu kì T của hàm số

Tìm chu kì T của hàm số $y = - \frac{1}{2}\sin \left( {100\pi x + 50\pi } ight)$
- A. $T = \frac{1}{{50}}$
- B. $T = \frac{1}{{100}}$
- C. $T = \frac{\pi }{{50}}$
- D. $T = 200{\pi ^2}$
Hàm số $y = - \frac{1}{2}\sin \left( {100\pi x + 50\pi } ight)$ tuần hoàn với chu kì $T = \frac{{2\pi }}{{100\pi }} = \frac{1}{{50}}.$
Câu 36: Thông hiểu
Chọn kết quả chính xác

Tìm tập giá trị của hàm số $y = 5\sin x - 12\cos x$ ?
- A.
  $\lbrack - 12;5brack$
- B.
  $\lbrack - 13;13brack$
- C.
  $\lbrack - 17;17brack$
- D.
  $( - 13;13)$
Ta có:

$y = 5\sin x - 12\cos x$

$=>y = 13\left( \frac{5\sin x - 12\cos x}{13}ight)$

$=> y = 13\left( \sin\alpha.\sin x -\cos\alpha.\cos x ight)$

$y = 13cos(x + \alpha)$ (với $\sin\alpha = \frac{5}{13};\cos\alpha =\frac{12}{13}$ )

Lại có:

$- 1 \leq \cos(x + \alpha) \leq 1$

$\Leftrightarrow - 13 \leq 13cos(x + \alpha) \leq 13$

$\Leftrightarrow - 13 \leq y \leq 13$

Vậy tập giá trị của hàm số là $\lbrack - 13;13brack$
Câu 37: Nhận biết
Tìm tập xác định của hàm số

Hàm số $y = \tan\left( 2x - \frac{\pi}{4} ight)$ có tập xác định là gì?
- A.
  $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi,k\mathbb{\in Z} ight\}$
- B.
  $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{3\pi}{8} + k\pi,k\mathbb{\in Z} ight\}$
- C.
  $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{3\pi}{2} + k2\pi,k\mathbb{\in Z} ight\}$
- D.
  $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{3\pi}{8} + \frac{k\pi}{2},k\mathbb{\in Z} ight\}$
Hàm số $y = \tan\left( 2x - \frac{\pi}{4} ight)$ xác định khi

$2x - \frac{\pi}{4} eq \frac{\pi}{2} + k\pi$

$\Rightarrow x eq \frac{3\pi}{8} + \frac{k\pi}{2};\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Vậy tập xác định của hàm số $y = \tan\left( 2x - \frac{\pi}{4} ight)$ là: $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{3\pi}{8} + \frac{k\pi}{2},k\mathbb{\in Z} ight\}$ .
Câu 38: Vận dụng
Hàm số chẵn, hàm số lẻ

Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung?
- A.
  $y = \sin x.\cos2x$
- B.
  $y = \sin^{3}x.\cos\left( x -\frac{\pi}{2} ight)$
- C.
  $y = \frac{\tan x}{\tan^{2}x +1}$
- D.
  $y = \cos x.\sin^{3}x$
Ta dễ dàng kiểm tra được các hàm số

$y = \sin x.\cos2x$

$y = \frac{\tan x}{\tan^{2}x +1}$

$y = \cos x.\sin^{3}x$

là các hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O

Xét hàm số $y = \sin^{3}x.\cos\left( x -\frac{\pi}{2} ight)$ ta có:

$f(x) = y = \sin^{3}x.\cos\left( x -\frac{\pi}{2} ight) = \sin^{3}x.\sin{x} = \sin^{4}x$

Kiểm tra được đây là hàm số chẵn nên có đồ thị đối xứng qua trục tung.
Câu 39: Nhận biết
Tính giá trị của biểu thức B

Tính giá trị của biểu thức $B = \cos\frac{\pi}{30}.\cos\frac{\pi}{5} +\sin\frac{\pi}{30}.\sin\frac{\pi}{5}$ là:
- A.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$
- B.
  $- \frac{\sqrt{3}}{2}$
- C.
  $\frac{\sqrt{3}}{4}$
- D.
  $\frac{1}{2}$
Ta có:

$B = \cos\frac{\pi}{30}.\cos\frac{\pi}{5}+ \sin\frac{\pi}{30}.\sin\frac{\pi}{5}$

$B = \cos\left( \frac{\pi}{30} - \frac{\pi}{5} ight) = \cos\left( - \frac{\pi}{6} ight) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Câu 40: Vận dụng cao
Tính tổng các nghiệm?

Tính tổng các nghiệm trong đoạn [0;30] của phương trình: $\tan x = \tan 3x$
- A. $55 \pi$
- B. $\frac {171 \pi}{2}$
- C. $45 \pi$
- D. $\frac{190 \pi}{2}$
Điều kiện để phương trình có nghĩa:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos {\text{x}} e 0} \\ {\cos 3{\text{x}} e 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x e \dfrac{\pi }{2} + k\pi } \\ {x e \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{3}} \end{array}} ight.\left( * ight)$
Khi đó, phương trình $3{\text{x}} = x + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2}$ so sánh với đk
$\left[ \begin{gathered} x = k2\pi \hfill \\ x = \pi + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.\,,\,x = \in \left[ {0;30} ight]$
$\Rightarrow k = \left\{ {0;...;4} ight\} \Rightarrow x \in \left\{ {0;\pi ;2\pi ;....;9\pi } ight\}$
Vậy, tổng các nghiệm trong đoạn [0;30] của phương trình là: $45\pi$ .

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 1 Chân trời sáng tạo Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

30 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 1 Chân trời sáng tạo

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 Chân trời sáng tạo
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân
Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số ghép số liệu nhóm
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Đạo hàm
Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 9: Xác suất

Lớp 11
Khóa học Lớp 11
Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 7
Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 6
Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 5
Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4
Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4 Đề 2
Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 4

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 1 Chân trời sáng tạo

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 7

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 6

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 5

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4 Đề 2

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 4