VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 3 Chân trời sáng tạo

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 CTST Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay

Câu 1: Nhận biết
Tính giá trị của M.n

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack - 1;2brack$ và có đồ thị như hình vẽ. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\lbrack - 1;2brack$ . Giá trị của M.n là:
- A.
  $3$
- B.
  $- 3$
- C.
  $1$
- D.
  $- 2$
Hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\lbrack - 1;2brack$ .

Từ đồ thị hàm số đã cho ta thấy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là M = 3; m = -1

Vậy M.n = -3
Câu 2: Nhận biết
Tìm giới hạn?

Giá trị của $\lim\frac{\sqrt{n + 1}}{n + 2}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  0
- D.
  1
Với mọi số thực a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn $n_{a} = \left\lbrack \frac{1}{a^{2}} - 1 ightbrack + 1$

Ta có:

$\frac{\sqrt{n + 1}}{n + 2} < \frac{1}{\sqrt{n + 1}} < a$ với mọi $n > n_{a}$

Suy ra $\lim\frac{\sqrt{n + 1}}{n + 2} = 0$
Câu 3: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của mỗi kết luận

Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ với $u_{n} = \sqrt{n^{2} + an + 5} -\sqrt{n^{2} + 1}$ , trong đó $a$ là tham số thực.
a) Khi $a = 2$ thì $\lim u_{n} = 1.$ Đúng||Sai
b) Khi $a = 3$ thì $\lim u_{n} = \frac{1}{2}$ . Sai||Đúng
c) Khi $a = - 3$ thì $\lim u_{n} = - \frac{3}{2}$ . Đúng||Sai
d) Khi $a = - 2$ thì $\lim u_{n} = - 1.$ Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ với $u_{n} = \sqrt{n^{2} + an + 5} -\sqrt{n^{2} + 1}$ , trong đó $a$ là tham số thực.
a) Khi $a = 2$ thì $\lim u_{n} = 1.$ Đúng||Sai
b) Khi $a = 3$ thì $\lim u_{n} = \frac{1}{2}$ . Sai||Đúng
c) Khi $a = - 3$ thì $\lim u_{n} = - \frac{3}{2}$ . Đúng||Sai
d) Khi $a = - 2$ thì $\lim u_{n} = - 1.$ Đúng||Sai

Ta có
$\sqrt{n^{2} + an + 5} - \sqrt{n^{2} + 1}ightarrow 0\overset{ightarrow}{}$ Nhận lượng liên hợp :
$\lim u_{n} = \lim\left( \sqrt{n^{2} + an+ 5} - \sqrt{n^{2} + 1} ight)$
$= \lim\frac{an + 4}{\sqrt{n^{2} + an +5} + \sqrt{n^{2} + 1}}$
$= \lim\frac{a + \dfrac{4}{n}}{\sqrt{1 +\dfrac{a}{n} + \dfrac{5}{n^{2}}} + \sqrt{1 + \dfrac{1}{n^{2}}}} =\dfrac{a}{2}$
Câu 4: Vận dụng
Tìm giới hạn?

Giá trị của $\lim\frac{a^{n}}{n!}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  0
- D.
  1
Gọi m là số tự nhiên thỏa: m+1>|a|.
Khi đó với mọi n > m+1.
Ta có: $0 < \left| \frac{a^{n}}{n!}ight| = \left| \frac{a}{1}.\frac{a}{2}\ldots\frac{a}{m} ight|.\left|\frac{a}{m + 1}\ldots\frac{a}{n} ight| < \frac{|a|^{m}}{m!}.\left(\frac{|a|}{m + 1} ight)^{n - m}$
Mà $\lim\left( \frac{|a|}{m + 1}ight)^{n - m} = 0$ .
Từ đó suy ra: $\lim\frac{a^{n}}{n!} =0$ .
Câu 5: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Tại một xưởng sản xuất bột đá thạch anh, giá bán (tính theo nghìn đồng) của $x$ (kg) bột đá thạch anh được tính theo công thức sau: $P(x) = \left\{ \begin{matrix} 4,5x & \ khi\ 0 < x \leq 400 \\ 4x + k & \ khi\ x > 400 \\ \end{matrix}\ ight.$ ( $k$ là một hằng số). Với giá trị nào của $k$ thì hàm số $P(x)$ liên tục trên $(0; + \infty)$ ?

Đáp án: 200

Đáp án là:

Tại một xưởng sản xuất bột đá thạch anh, giá bán (tính theo nghìn đồng) của $x$ (kg) bột đá thạch anh được tính theo công thức sau: $P(x) = \left\{ \begin{matrix} 4,5x & \ khi\ 0 < x \leq 400 \\ 4x + k & \ khi\ x > 400 \\ \end{matrix}\ ight.$ ( $k$ là một hằng số). Với giá trị nào của $k$ thì hàm số $P(x)$ liên tục trên $(0; + \infty)$ ?

Đáp án: 200

Để hàm số $P(x)$ liên tục trên $(0; + \infty)$ thì hàm số phải liên tục tại $x_{0} = 400$ hay $\lim_{xightarrow 400} P(x)=P( 400 )$

Ta có:

$\lim_{x ightarrow 400^{-}}P(x) = \lim_{x ightarrow 400^{-}}4,5x = 4,5.400 = 1800$

$\lim_{x ightarrow 400^{+}}P(x) = \lim_{x ightarrow 400^{-}}(4x + k) = 4.400 + k = 1600 + k$

Để tồn tại $\lim_{xightarrow 400} P( x )$ thì $1800 = 1600 + k$ .

Suy ra $k = 200$
Câu 6: Thông hiểu

Xác định sự đúng sai của các kết luận

Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

a) Có hai trong ba hàm số $y = \sin;y =\cos\sqrt{x};y = \tan x$ liên tục trên tập số thực. Sai||Đúng

b) $\lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + x - 1 ight) = - 1$ Đúng||Sai

c) Phương trình $2x^{4} - 5x^{2} + x + 1 = 0$ có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng $(0;2)$ .Đúng||Sai

d) Biết hàm số $f\left( x ight) = \left\{ \begin{gathered} \dfrac{{{x^2} + 1}}{{1 - x}}{\text{ khi x < 1}} \hfill \\ \sqrt {2x - 2} {\text{ khi x}} \geqslant {\text{1}} \hfill \\ \end{gathered} ight.$ . Khi đó $\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = - \infty$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

a) Có hai trong ba hàm số $y = \sin;y =\cos\sqrt{x};y = \tan x$ liên tục trên tập số thực. Sai||Đúng

b) $\lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + x - 1 ight) = - 1$ Đúng||Sai

c) Phương trình $2x^{4} - 5x^{2} + x + 1 = 0$ có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng $(0;2)$ .Đúng||Sai

d) Biết hàm số $f\left( x ight) = \left\{ \begin{gathered} \dfrac{{{x^2} + 1}}{{1 - x}}{\text{ khi x < 1}} \hfill \\ \sqrt {2x - 2} {\text{ khi x}} \geqslant {\text{1}} \hfill \\ \end{gathered} ight.$ . Khi đó $\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = - \infty$ . Sai||Đúng

a) Ta có hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của nó.

Hàm số $y = \sin$ xác định trên tập số thực suy ra hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$

Hàm số $y = \cos\sqrt{x}$ xác định trên $D = \lbrack 0; + \infty)$

Hàm số $y = \tan x$ xác định trên $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}$

Vậy chỉ có suy nhất một hàm số liên tục trên tập số thực.

b) Ta có:

$\lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + x - 1 ight) = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + x ight) - \lim_{x ightarrow - \infty}1$

$= \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1} - x} ight) - 1 = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \frac{\frac{1}{x}}{- \sqrt{1 + \frac{1}{x}} - 1} ight) - 1 = - 1$

c) Xét hàm số $2x^{4} - 5x^{2} + x + 1 = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} f( - 2) = 11;f( - 1) = - 3 \\ f(0) = 1;f(1) = - 1;f(2) = 15 \\ \end{matrix} ight.$

Vì $\left\{ \begin{matrix} f(0).f( - 1) < 0 \\ f(1).f(2) < 0 \\ \end{matrix} ight.$ nên phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng $(0;2)$ .

d) Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow 1^{-}}\left( x^{2} + 1 ight) = 2 > 0 \\ \lim_{x ightarrow 1^{-}}(1 - x) = 0 \\ \end{matrix} ight.$ . Khi $x ightarrow 1^{-} \Leftrightarrow x < 1 \Leftrightarrow 1 - x > 0$

$\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{x^{2} + 1}{1 - x} = + \infty$ .
Câu 7: Thông hiểu
Xác định giới hạn

Xác định $\lim_{x ightarrow + \infty}\left( \sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 3} ight)$
- A.
  $0$
- B.
  $2$
- C.
  $- \infty$
- D.
  $+ \infty$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow + \infty}\left( \sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 3} ight)$

$= \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{\left( \sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 3} ight)\left( \sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 3} ight)}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 3}}$

$= \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{x + 1 - (x - 3)}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 3}}$

$= \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{4}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 3}}$

$= \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{4}{\sqrt{x}\left( \sqrt{1 + \dfrac{1}{x}} + \sqrt{1 -\dfrac{3}{x}} ight)} = 0$
Câu 8: Nhận biết
Tính giới hạn hàm số

Tính $\lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2} + 3x + 2}{- 2x^{2} + x + 3}$ .
- A.
  $- \frac{1}{2}$ .
- B.
  $\frac{2}{3}$ .
- C.
  $3$ .
- D.
  $\frac{1}{5}$ .
Ta có :

$\lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2} + 3x + 2}{- 2x^{2} + x + 3} = \lim_{x ightarrow 1}\frac{1^{2} + 3.1 + 2}{- 2.1^{2} + 1 + 3} = 3$ .
Câu 9: Nhận biết
Tính giới hạn

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + 1}}{{x - 1}}$ bằng
- A.
  $+\infty$
- B.
  2
- C.
  1
- D.
  $-\infty$
Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + 1}}{{x - 1}} = + \infty$
Do $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} + 1} ight) = 2 > 0 \hfill \\ x \to {1^ + } \Rightarrow x - 1 > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$
Câu 10: Thông hiểu
Tính giá trị giới hạn

Cho hàm số $f(x) = \frac{\sqrt{4x^{2} + x + 1} - \sqrt{x^{2} - x + 3}}{3x + 2}$ . Tính $\lim_{x ightarrow - \infty}f(x)$ .
- A.
  $- \frac{1}{3}$
- B.
  $\frac{2}{3}$
- C.
  $\frac{1}{3}$
- D.
  $- \frac{2}{3}$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow - \infty}f(x)$

$= \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{\sqrt{4x^{2} + x + 1} - \sqrt{x^{2} - x + 3}}{3x + 2}$

$= \lim_{x ightarrow - \infty}\dfrac{-\sqrt{4 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^{2}}} + \sqrt{1 - \dfrac{1}{x} +\dfrac{3}{x^{2}}}}{3 + \dfrac{2}{x}}$

$= \frac{- 2 + 1}{3} = - \frac{1}{3}$
Câu 11: Thông hiểu
Tìm tham số m thỏa mãn điều kiện đề bài

Cho hàm số $f(x)$ xác định và liên tục tại $x = 0$ với $y = f(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2}\sin\frac{1}{x}\ khi\ x eq 0 \\ m\ \ \ \ \ \ khi\ x = 0 \\ \end{matrix} ight.$ . Xác định giá trị tham số m thỏa mãn điều kiện đề bài.
- A.
  $m \in ( - 2; - 1)$
- B.
  $m \leq - 2$
- C.
  $m \in \lbrack - 1;7)$
- D.
  $m \in \lbrack 7; + \infty)$
Với mọi $x eq 0$ ta có:

$0 \leq \left| f(x) ight| = \left| x^{2}\sin\frac{1}{x} ight| \leq x^{2} \mapsto 0$

$\Rightarrow \lim_{x ightarrow 0}f(x) = 0$

Theo giả thiết ta phải có $m = f(0) = \lim_{x ightarrow 0}f(x) = 0$
Câu 12: Thông hiểu

Xét sự đúng sai của các phát biểu

Nhận định sự đúng sai của các kết luận sau?

a) Hàm số $f(x) = \frac{2x + 3}{x - 2}$ liên tục tại $x = 2$ . Sai||Đúng

b) Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack 1;5brack$ và $f(1) = 2;f(5) = 10$ . Khi đó phương trình $f(x) = 7$ có ít nhất một nghiệm trên khoảng $(1;5)$ . Đúng||Sai

c) Biết $\lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) + 1}{x - 1} = - 1$ khi đó $I = \lim_{x ightarrow 1}\frac{xf(x) + 1}{x - 1} = 0$ Sai||Đúng

d) Trong các hàm số $y = x^{2};y = \tan x;y = \sin x;y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + x + 1}$ , có 3 hàm số liên tục trên tập số thực. Đúng||Sai

Đáp án là:

Nhận định sự đúng sai của các kết luận sau?

a) Hàm số $f(x) = \frac{2x + 3}{x - 2}$ liên tục tại $x = 2$ . Sai||Đúng

b) Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack 1;5brack$ và $f(1) = 2;f(5) = 10$ . Khi đó phương trình $f(x) = 7$ có ít nhất một nghiệm trên khoảng $(1;5)$ . Đúng||Sai

c) Biết $\lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) + 1}{x - 1} = - 1$ khi đó $I = \lim_{x ightarrow 1}\frac{xf(x) + 1}{x - 1} = 0$ Sai||Đúng

d) Trong các hàm số $y = x^{2};y = \tan x;y = \sin x;y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + x + 1}$ , có 3 hàm số liên tục trên tập số thực. Đúng||Sai

a) Vì không tồn tại f(2) nên hàm số đã cho gián đoạn tại x = 2.

b) Xét phương trình $f(x) = 7 \Rightarrow f(x) - 7 = 0$

Đặt $g(x) = f(x) - 7$ ta có:

$\left\{ \begin{matrix} g(1) = f(1) - 7 = - 5 \\ g(5) = f(5) - 7 = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow g(1).g(5) < 0$

Vậy phương trình đã cho cót ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $(1;5)$ .

c) Ta có:

$I = \lim_{x ightarrow 1}\frac{xf(x) + 1}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1}\frac{xf(x) + x - x + 1}{x - 1}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{x\left\lbrack f(x) + 1 ightbrack - (x - 1)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1}\left\{ \frac{x\left\lbrack f(x) + 1 ightbrack}{x - 1} ight\} - 1$

$= 1.( - 1) - 1 = - 2$

d) Các hàm số liên tục trên tập số thực là $y = x^{2};y = \sin x;y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + x + 1}$ .
Câu 13: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức H

Tính $H = \lim_{xightarrow 2}\frac{2 - x}{\sqrt{x + 7} - 3}$
- A.
  $H = 6$
- B.
  $H = - 4$
- C.
  $H = 4$
- D.
  $H = - 6$
Ta có:
$H = \lim_{x ightarrow 2}\frac{2 -x}{\sqrt{x + 7} - 3}$
$H = \lim_{x ightarrow 2}\frac{(2 -x)\left( \sqrt{x + 7} + 3 ight)}{\left( \sqrt{x + 7} - 3 ight)\left(\sqrt{x + 7} + 3 ight)}$
$H = \lim_{x ightarrow 2}\frac{(2 -x)\left( \sqrt{x + 7} + 3 ight)}{x + 7 - 9}$
$H = \lim_{x ightarrow 2}\frac{(2 -x)\left( \sqrt{x + 7} + 3 ight)}{- (2 - x)} = - 6$
Câu 14: Vận dụng cao
Tìm giá trị k để hàm số liên tục tại điểm

Cho hàm số $y =f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2016} + x - 2}{\sqrt{2018x + 1} - \sqrt{x + 2018}}\ \ khi\ xeq 1 \\m\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight.$ . Tìm giá trị k để hàm số $y = f(x)$ liên tục tại $x = 1$
- A.
  $m = 2\sqrt{2019}$
- B.
  $m = \frac{2017\sqrt{2018}}{2}$
- C.
  $m = 2$
- D.
  $m = \frac{2018\sqrt{2019}}{2017}$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2016} + x - 2}{\sqrt{2018x + 1} - \sqrt{x + 2018}}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{\left( x^{2016} - 1 + x - 1 ight)\left( \sqrt{2018x + 1} + \sqrt{x + 2018} ight)}{2018x + 1 - (x + 2018)}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{(x - 1)\left\lbrack \left( x^{2015} + x^{2014} + ... + 1 ight) + 1 ightbrack\left( \sqrt{2018x + 1} + \sqrt{x + 2018} ight)}{2018(x - 1) - (x - 1)}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{\left\lbrack \left( x^{2015} + x^{2014} + ... + 1 ight) + 1 ightbrack\left( \sqrt{2018x + 1} + \sqrt{x + 2018} ight)}{2017}$

$= \frac{2017.2\sqrt{2019}}{2017} = 2\sqrt{2019}$
Câu 15: Nhận biết
Xác định hàm số không liên tục

Hàm số nào trong các hàm số dưới đây không liên tục trên $\mathbb{R}$ ?
- A.
  $y = |x|$
- B.
  $y = \sin x$
- C.
  $y = \frac{x}{|x| + 1}$
- D.
  $y = \frac{x}{x + 1}$
Hàm số $y = \frac{x}{x + 1}$ có tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 1 ight\}$ nên hàm số không liên tục trên $\mathbb{R}$ .
Câu 16: Vận dụng

Điền nội dung giải toán vào chỗ trống

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $\lim_{x ightarrow 2}\frac{f(x) - 16}{x - 2} = 12$ . Tính giới hạn $\lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt[3]{5f(x) - 16} - 4}{x^{2} + 2x - 8}$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $\lim_{x ightarrow 2}\frac{f(x) - 16}{x - 2} = 12$ . Tính giới hạn $\lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt[3]{5f(x) - 16} - 4}{x^{2} + 2x - 8}$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 17: Thông hiểu
Tính biểu thức K

Tính $K = \lim_{x ightarrow + \infty}\left( \sqrt{4x^{2} + 3x + 1} - 2x ight)$
- A.
  $K = \frac{1}{2}$
- B.
  $K = + \infty$
- C.
  $K = 0$
- D.
  $K = \frac{3}{4}$
Ta có:

$K = \lim_{x ightarrow + \infty}\left( \sqrt{4x^{2} + 3x + 1} - 2x ight)$

$K = \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{4x^{2} + 3x + 1 - 4x^{2}}{\sqrt{4x^{2} + 3x + 1} +2x}$

$K = \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{3x + 1}{\sqrt{4x^{2} + 3x + 1} + 2x}$

$K = \lim_{x ightarrow + \infty}\dfrac{3+ \dfrac{1}{x}}{\sqrt{4 + \dfrac{3}{x} + \dfrac{1}{x^{2}}} + 2} =\dfrac{3}{4}$
Câu 18: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Cho hàm số $f(x) = \frac{2x - 3}{x^{2} - 1}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  Hàm số liên tục tại $x = 1$ .
- B.
  Hàm số không liên tục tại các điểm $x = \pm 1$ .
- C.
  Hàm số liên tục tại mọi $x\mathbb{\in R}$ .
- D.
  Hàm số liên tục tại $x = - 1$ .
Điều kiện xác định của hàm số $f(x) = \frac{2x - 3}{x^{2} - 1}$ là:

$x^{2} - 1 eq 0 \Rightarrow x eq \pm 1$

Suy ra tập xác định của hàm số là: $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \pm 1 ight\}$

Nên hàm số không liên tục tại các điểm $x eq \pm 1$ .
Câu 19: Nhận biết
Tính giá trị?

Giá trị của $\lim\frac{1}{n^{k}}$ với $k \in \mathbb{N^*}$ bằng:
- A.
  0
- B.
  2
- C.
  4
- D.
  5
Với a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn $n_{a} > \sqrt[k]{\frac{1}{a}}$

Suy ra:

$\frac{1}{n^{k}} < \frac{1}{n_{a}^{k}} < a\ \forall n > n_{a}$

Vậy $\lim\frac{1}{n^{k}} = 0$ .
Câu 20: Thông hiểu
Tìm giới hạn

Tính giới hạn $N = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{4x + 1} - 1}{x^{2} - 3x}$ .
- A.
  $N = - \frac{2}{3}$
- B.
  $N = \frac{2}{3}$
- C.
  $N = \frac{4}{3}$
- D.
  $N = 0$
Ta có:

$N = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{4x + 1} - 1}{x^{2} - 3x}$

$N = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\left( \sqrt{4x + 1} - 1 ight)\left( \sqrt{4x + 1} + 1 ight)}{\left( x^{2} - 3x ight)\left( \sqrt{4x + 1} + 1 ight)}$

$N = \lim_{x ightarrow 0}\frac{4x}{x(x - 3)\left( \sqrt{4x + 1} + 1 ight)}$

$N = \lim_{x ightarrow 0}\frac{4}{(x - 3)\left( \sqrt{4x + 1} + 1 ight)}$

$N = - \frac{2}{3}$
Câu 21: Thông hiểu
Tính giá trị?

Giá trị của $C =\lim\frac{\sqrt[4]{3n^{3} + 1} - n}{\sqrt{2n^{4} + 3n + 1} + n}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  0
- D.
  1
Chia cả tử và mẫu cho $n^{2}$ ta có được.

$C = \lim\frac{\sqrt[4]{\dfrac{3}{n^{5}} +\dfrac{1}{n^{8}}} - \dfrac{1}{n}}{\sqrt{2 + \dfrac{3}{n^{3}} +\dfrac{1}{n^{4}}} + \dfrac{1}{n}} = 0$
Câu 22: Nhận biết
Chọn phương án thích hợp

Với $k$ là số nguyên dương, $c$ là hằng số, giới hạn $\lim_{x ightarrow + \infty}\frac{c}{x^{k}}$ bằng
- A.
  $\mathbf{c}$ .
- B.
  $\mathbf{0}$ .
- C.
  $\mathbf{- \infty}$ .
- D.
  $\mathbf{+ \infty}$ .
Ta có $\lim_{x ightarrow + \infty}c = c$ và $\lim_{x ightarrow + \infty}x^{k} = + \infty$ nên $\lim_{x ightarrow + \infty}\frac{c}{x^{k}} = 0$
Câu 23: Vận dụng
Tìm các giá trị nguyên của tham số a thỏa mãn điều kiện

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc khoảng (-10; 10) để

$A = \lim\left\lbrack 5n - 3\left( a^{2} - 2 ight)n^{3} ightbrack = - \infty$ .
- A.
  $15$
- B.
  $3$
- C.
  $8$
- D.
  $2$
Ta có:

$A = \lim\left\lbrack 5n - 3\left( a^{2} - 2 ight)n^{3} ightbrack$

$= \lim\left\{ n^{3}\left\lbrack \frac{5}{n^{2}} - 3\left( a^{2} - 2 ight) ightbrack ight\} = - \infty$

$\Rightarrow \lim\left\lbrack \frac{5}{n^{2}} - 3\left( a^{2} - 2 ight) ightbrack = a^{2} - 2 < 0$

$\Leftrightarrow - \sqrt{2} < a < \sqrt{2}$

Vì $a\mathbb{\in Z},a \in ( - 10;10) \Rightarrow a = \left\{ - 1;0;1 ight\}$

Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số a thỏa mãn điều kiện đề bài.
Câu 24: Vận dụng
Xác định phương trình thỏa mãn yêu cầu

Phương trình nào dưới đây có nghiệm trong khoảng $(0;1)$ ?
- A.
  $2x^{2} - 3x + 4 = 0$ .
- B.
  $3x^{4} - 4x^{2} + 5 = 0$ .
- C.
  $(x - 1)^{5} - x^{7} - 2 = 0$ .
- D.
  $3x^{2024} - 8x + 4 = 0$ .
Xét phương án $2x^{2} - 3x + 4 = 0$ : $2x^{2} - 3x + 4 = 0$ có $\Delta = 9 - 32 = - 23$

=> Phương trình vô nghiệm.

Xét phương án $3x^{4} - 4x^{2} + 5 = 0$ : $3x^{4} - 4x^{2} + 5 = 0$

Đặt $t = x^{2}(t \geq 0)$ , phương trình trở thành: $3t^{2} - 4t + 5 = 0$ .

$\Delta' = 4 - 15 = - 11$

=> Phương trình vô nghiệm.

Xét phương án $(x - 1)^{5} - x^{7} - 2 = 0$ : $(x - 1)^{5} - x^{7} - 2 = 0 \Leftrightarrow (x - 1)^{5} = x^{7} + 2$

$\forall x \in (0;1) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 1 < 0 \Rightarrow (x - 1)^{5} < 0 \\ x^{7} + 2 > 2 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow$ Phương trình vô nghiệm.

Xét phương án $3x^{2024} - 8x + 4 = 0$ : $3x^{2024} - 8x + 4 = 0$ , xét $f(x) = 3x^{2024} - 8x + 4$ .

$\left\{ \begin{matrix} f(0) = 3.0 - 8.0 + 4 = 4 \\ f(1) = 3.1 - 8.1 + 4 = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow f(0).f(1) < 0$

Mặc khác hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ do đó liên tục trên $\lbrack 0;1brack$ .

Vậy phương trình $3x^{2024} - 8x + 4 = 0$ có ít nhất một nghiệm trong khoảng $(0;1)$ .
Câu 25: Vận dụng cao
Chọn khẳng định đúng

Cho a, b là các số thực thuộc (-1; 1) và các biểu thức:

$\begin{matrix} P = 1 + a + {a^2} + {a^3} + ... \hfill \\ Q = 1 + b + {b^2} + {b^3} + ... \hfill \\ H = 1 + ab + {a^2}{b^2} + {a^3}{b^3} + ... \hfill \\ \end{matrix}$

Chọn khẳng định đúng.
- A.
  $H = \frac{PQ}{P + Q - 1}$
- B.
  $H = \frac{PQ}{P + Q + 1}$
- C.
  $H = \frac{1}{P} + \frac{1}{Q} - \frac{1}{PQ}$
- D.
  $H = \frac{1}{P} + \frac{1}{Q} + \frac{1}{PQ}$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}P = \dfrac{1}{1 - a} \\Q = \dfrac{1}{1 - b} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 - \dfrac{1}{P} \\b = 1 - \dfrac{1}{Q} \\\end{matrix} ight.$ khi đó:

$\begin{matrix} H = \dfrac{1}{{1 - ab}} \hfill \\ = \dfrac{1}{{1 - \left( {1 - \dfrac{1}{P}} ight).\left( {1 - \dfrac{1}{Q}} ight)}} \hfill \\ = \dfrac{{PQ}}{{P + Q - 1}} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 26: Nhận biết
Tính giới hạn hàm số

Tính giới hạn $L = \lim_{x ightarrow 3}\frac{x - 3}{x + 3}$ ?
- A.
  $L = - \infty$
- B.
  $L = 0$
- C.
  $L = + \infty$
- D.
  $L = 1$
Ta có:

$L = \lim_{x ightarrow 3}\frac{x - 3}{x + 3} = \frac{3 - 3}{3 + 3} = 0$
Câu 27: Nhận biết
Tính giới hạn

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{{x^2} - 2x - 15}}{{2x - 10}}$ bằng
- A.
  -4
- B.
  -1
- C.
  4
- D.
  $+\infty$
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \dfrac{{{x^2} - 2x - 15}}{{2x - 10}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \dfrac{{\left( {x - 5} ight)\left( {x + 3} ight)}}{{2\left( {x - 5} ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \dfrac{{x + 3}}{2} = 4 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 28: Nhận biết
Tính giới hạn dãy số

$\lim \frac{{\sqrt[3]{{{n^3} + n}}}}{{6n + 2}}$ bằng:
- A.
  $\frac{1}{6}$
- B.
  $\frac{1}{4}$
- C.
  $\frac{\sqrt[3]{2}}{6}$
- D.
  0
Ta có:
$\begin{matrix} \lim \dfrac{{\sqrt[3]{{{n^3} + n}}}}{{6n + 2}} = \lim \dfrac{{\sqrt[3]{{{n^3}\left( {1 + \dfrac{1}{{{n^3}}}} ight)}}}}{{n\left( {6 + \dfrac{2}{n}} ight)}} \hfill \\ = \lim \dfrac{{n\sqrt[3]{{1 + \dfrac{1}{{{n^3}}}}}}}{{n\left( {6 + \dfrac{2}{n}} ight)}} = \dfrac{1}{6} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 29: Thông hiểu
Tính giá trị tham số a

Tìm giá trị của a để hàm số $y = f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{x + 2} - 2}{x - 2}\ \ khi\ x eq 2 \\2x + a\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 2 \\\end{matrix} ight.$ liên tục tại $x = 2$ .
- A.
  $a = \frac{5}{4}$
- B.
  $a = - \frac{15}{4}$
- C.
  $a = \frac{1}{4}$
- D.
  $a = 1$
Ta có:

$f(2) = a + 4$

$\lim_{x ightarrow 2}f(x) = \lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt{x + 2} - 2}{x - 2}$

$= \lim_{x ightarrow 2}\frac{x + 2 - 4}{(x - 2)\left( \sqrt{x + 2} + 2 ight)}$

$= \lim_{x ightarrow 2}\frac{1}{\sqrt{x + 2} + 2} = \frac{1}{4}$

Hàm số $f(x)$ liên tục tại $x = 2$ khi và chỉ khi

$\lim_{x ightarrow 2}f(x) = f(2)$

$\Leftrightarrow \frac{1}{4} = a + 4$

$\Leftrightarrow a = - \frac{15}{4}$
Câu 30: Vận dụng cao
Tính giới hạn hàm số tại một điểm

Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \dfrac{{\sqrt[3]{{4x - 1}} - \sqrt {x + 2} }}{{\sqrt[4]{{2x + 2}} - 2}}$
- A. $+ \infty$
- B. $- \infty$
- C. $\dfrac{{ - 8}}{{27}}$
- D. 1
Ta có:
$\begin{matrix} f\left( x ight) = \sqrt[3]{{4x - 1}} - 3 \hfill \\ = \dfrac{{4x - 28}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{4x - 1}}} ight)}^2} + 3\sqrt[3]{{4x - 1}} + 9}} \hfill \\ \end{matrix}$
$= \frac{{4\left( {x - 7} ight)}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{4x - 1}}} ight)}^2} + 3\sqrt[3]{{4x - 1}} + 9}}$
$g\left( x ight) = \sqrt {x + 2} - 3 = \frac{{x + 2 - 9}}{{\sqrt {x + 2} + 3}} = \frac{{x - 7}}{{\sqrt {x + 2} + 3}}$
$\begin{matrix} h\left( x ight) = \dfrac{1}{{\sqrt[4]{{2x + 2}} - 2}} \hfill \\ = \dfrac{{\sqrt[4]{{2x + 2}} + 2}}{{\left( {\sqrt[4]{{2x + 2}} - 2} ight)\left( {\sqrt[4]{{2x + 2}} + 2} ight)}} \hfill \\ \end{matrix}$
$= \frac{{\sqrt[4]{{2x + 2}} + 2}}{{\sqrt {2x + 2} - 4}} = \frac{{\left( {\sqrt[4]{{2x + 2}} + 2} ight)\left( {\sqrt {2x + 2} + 4} ight)}}{{\left( {\sqrt {2x + 2} - 4} ight)\left( {\sqrt {2x + 2} + 4} ight)}}$
$\begin{matrix} = \dfrac{{\left( {\sqrt[4]{{2x + 2}} + 2} ight)\left( {\sqrt {2x + 2} + 4} ight)}}{{2x - 14}} \hfill \\ = \dfrac{{\left( {\sqrt[4]{{2x + 2}} + 2} ight)\left( {\sqrt {2x + 2} + 4} ight)}}{{2\left( {x - 7} ight)}} \hfill \\ \end{matrix}$
$\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \left\{ {\left[ {f\left( x ight) - g\left( x ight)} ight].h\left( x ight)} ight\}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \{ \left[ {\frac{4}{{{{\left( {\sqrt[3]{{4x - 1}}} ight)}^2} + 3\sqrt[3]{{4x - 1}} + 9}} - \frac{1}{{\sqrt {x + 2} + 3}}} ight]$
$.\frac{{\left( {\sqrt[4]{{2x + 2}} + 2} ight)\left( {\sqrt {2x + 2} + 4} ight)}}{x}\}$
$= \left( {\frac{4}{{27}} - \frac{1}{6}} ight).\frac{{32}}{2} = - \frac{8}{{27}}$
Vậy $\mathop {\lim Ư}\limits_{x \to 7} \dfrac{{\sqrt[3]{{4x - 1}} - \sqrt {x + 2} }}{{\sqrt[4]{{2x + 2}} - 2}}=\dfrac{-8}{27}$
Câu 31: Thông hiểu
Tìm lim?

Chọn kết quả đúng của $\lim\frac{\sqrt{n^{3} - 2n + 5}}{3 + 5n}$ :
- A.
  5
- B.
  $\frac{2}{5}$
- C.
  $- \infty$
- D.
  $+ \infty$
Ta có :

$\lim\frac{\sqrt{n^{3} - 2n + 5}}{3 + 5n} = \lim\sqrt{n}.\frac{\sqrt{(1 - \frac{2}{n^{2}} + \frac{5}{n^{3}})}}{\frac{3}{n} + 5} = + \infty$

Vì $\lim\sqrt{n} = + \infty$ nên suy ra:

$\lim\frac{\sqrt{\left( 1 - \frac{2}{n^{2}} + \frac{5}{n^{3}} ight)}}{\frac{3}{n} + 5} = \frac{1}{5}$
Câu 32: Vận dụng cao

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2} + mx + n\ \ \ khi\ \ \ \ x < - 5\ \ \\ x + 17\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ \ \ \ - 5 \leq x \leq 10 \\ mx + n + 10\ \ \ \ khi\ \ \ \ x > 10 \\ \end{matrix} ight.$ liên tục trên $\mathbb{R}$ . Khi đó

a) $f( - 5) = 12$ ; $f(10) = 27$ . Đúng||Sai

b) $m > 0,\ \ n > 0$ . Sai||Đúng

c) $2m + n$ là số nguyên tố. Sai||Đúng

d) Giá trị lớn nhất của hàm số $y = m.\sin x+ n.\cos x$ là $\sqrt{12}$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2} + mx + n\ \ \ khi\ \ \ \ x < - 5\ \ \\ x + 17\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ \ \ \ - 5 \leq x \leq 10 \\ mx + n + 10\ \ \ \ khi\ \ \ \ x > 10 \\ \end{matrix} ight.$ liên tục trên $\mathbb{R}$ . Khi đó

a) $f( - 5) = 12$ ; $f(10) = 27$ . Đúng||Sai

b) $m > 0,\ \ n > 0$ . Sai||Đúng

c) $2m + n$ là số nguyên tố. Sai||Đúng

d) Giá trị lớn nhất của hàm số $y = m.\sin x+ n.\cos x$ là $\sqrt{12}$ . Sai||Đúng

a) Đúng.

Ta có : $f( - 5) = - 5 + 17 = 12$ , $f(10) = 10 + 17 = 27$ (mệnh đề a) đúng)

b) Sai.

Với $x < - 5$ ta có $f(x) = x^{2} + mx + n$ , là hàm đa thức nên liên tục trên $( - \infty; - 5)$ .

Với $- 5 < x < 10$ ta có $f(x) = x + 17$ , là hàm đa thức nên liên tục trên $(-5; 10)$ .

Với $x > 10$ ta có $f(x) = mx + n + 10$ , là hàm đa thức nên liên tục trên $(10 ;+\infty)$ .

Để hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ thì hàm số phải liên tục tại $x = - 5$ và $x = 10$ .

Ta có:

$f( - 5) = 12$ ; $f(10) = 27$ .

$\lim_{x ightarrow - 5^{-}}f(x) =\lim_{x ightarrow - 5^{-}}\left( x^{2} + mx + n ight)$ $= - 5m + n + 25$ .

$\lim_{x ightarrow - 5^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow - 5^{+}}(x + 17) = 12$ .

$\lim_{x ightarrow 10^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 10^{-}}(x + 17) = 27$ .

$\lim_{x ightarrow 10^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 10^{+}}(mx + n + 10) = 10m + n + 10$ .

Hàm số liên tục tại $x = - 5$ và $x = 10$ khi

$\left\{ \begin{matrix}- 5m + n + 25 = 12 \\10m + n + 10 = 27 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}- 5m + n = - 13 \\10m + n = 17 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m = 2 \ = - 3 \\\end{matrix} ight.$ (mệnh đề b) sai).

c) Sai.

Ta có $2m + n = 1$ không phải số nguyên tố (mệnh đề c) sai).

d) Sai.

Ta có: $y = m.sinx + n.cosx\ \ \ \Rightarrow \ \ \ y = 2sinx - 3cosx$

Xét phương trình ẩn $x$ :

$2\sin x - 3\cos x = y$

$\Leftrightarrow \sin x.\frac{2}{\sqrt{13}} - \cos x.\frac{3}{\sqrt{13}} =\frac{y}{\sqrt{13}}$

$\Leftrightarrow \sin x.\cos\alpha - \cos x.\sin\alpha = \frac{y}{\sqrt{13}}$ , với $\cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{13}},\ \sin\alpha = \frac{3}{\sqrt{13}}$ .

$\Leftrightarrow \sin(x - \alpha) = \frac{y}{\sqrt{13}}$

Ta có

$\left| \sin(x - \alpha) ight| \leq 1$

$\begin{matrix} \Rightarrow \left| \frac{y}{\sqrt{13}} ight| \leq 1 \\ \Leftrightarrow - \sqrt{13} \leq y \leq \sqrt{13} \\ \end{matrix}$

Suy ra GTLN của $y$ bằng $\sqrt{13}$ khi $\sin(x - \alpha) = 1$ hay $x = \alpha + \frac{\pi}{2} + k2\pi$ , với $\cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{13}},\ \sin\alpha = \frac{3}{\sqrt{13}}$

Vậy khẳng định d) sai.
Câu 33: Thông hiểu
Tính giá trị của giới hạn

Giá trị của giới hạn $\lim \left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} - n} ight)$ là:
- A.
  $-\frac{1}{2}$
- B.
  0
- C.
  1
- D.
  $-\infty$
Ta có:
$\begin{matrix} \lim \left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} - n} ight) \hfill \\ = \lim \dfrac{{\left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} - n} ight)\left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} + n} ight)}}{{\left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} + n} ight)}} \hfill \\ \end{matrix}$
$\begin{matrix} = \lim \dfrac{{{n^2} - n + 1 - {n^2}}}{{\left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} + n} ight)}} \hfill \\ = \lim \dfrac{{ - n + 1}}{{\sqrt {{n^2} - n + 1} + n}} \hfill \\ = \lim \dfrac{{n\left( { - 1 + \dfrac{1}{n}} ight)}}{{n\left( {\sqrt {1 - \frac{1}{n} + \dfrac{1}{{{n^2}}}} + 1} ight)}} = - \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 34: Nhận biết
Chọn đáp án sai

Phát biểu nào dưới đây sai?
- A.
  $\lim u_{n} = c;(c = const)$
- B.
  $\lim\frac{1}{n} = 0$
- C.
  $\lim_{x ightarrow + \infty}q^{n} = 0;\left( |q| > 1 ight)$
- D.
  $\lim\frac{1}{n^{k}} = 0;(k > 1)$
Ta có phát biểu sai là: $\lim_{x ightarrow + \infty}q^{n} = 0;\left( |q| > 1 ight)$

Sửa lại là: $\lim_{x ightarrow + \infty}q^{n} = 0;\left( |q| < 1 ight)$
Câu 35: Thông hiểu
Hàm số nào dưới đây không liên tục

Hàm số nào dưới đây không liên tục trên khoảng $( - 1;1)$ ?
- A.
  $y = \cos x$
- B.
  $y = \sin x$
- C.
  $y = \tan x$
- D.
  $y = \left\{ \begin{matrix} \sin x\ \ \ \ khi\ x \geq 0 \\ \cos x\ \ \ \ khi\ x < 0 \\ \end{matrix} ight.$
Xét hàm số $y = \left\{ \begin{matrix} \sin x\ \ \ \ khi\ x \geq 0 \\ \cos x\ \ \ \ khi\ x < 0 \\ \end{matrix} ight.$ với $x \in ( - 1;1)$

Ta có: $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \sin x = 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \cos x = 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Suy ra không tồn tại $\lim_{x ightarrow 0}f(x)$ nên hàm số không liên tục tại x = 0

Vậy hàm số không liên tục trên $( - 1;1)$ .
Câu 36: Vận dụng
Tính giá trị biểu thức

Giả sử $a,b$ là các giá trị để hàm số $f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{{x^2} + ax + b}}{{{x^2} - 4}}{\text{ , khi }}x < - 2} \\ {x + 1{\text{ , khi }}x \geqslant - 2} \end{array}} ight.$ có giới hạn hữu hạn khi $x$ dần tới $- 2$ . Tính giá trị biểu thức $3a - b$
- A.
  $24$
- B.
  $8$
- C.
  $12$
- D.
  $4$
Ta có: $\lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{+}}(x + 1) = - 1$

Suy ra $f(x)$ hữu hạn khi $x$ dần tới $- 2$ khi và chỉ khi

$\lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x)$

$\Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = - 1$

$\Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{x^{2} + ax + b}{x^{2} - 4} = - 1$

$\Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{2x^{2} + ax + b - 4}{x^{2} - 4} = 0(*)$

Do $\lim_{x ightarrow 2^{-}}\left( x^{2} - 4 ight) = 0$ nên điều kiện cần để có (*) là

$\lim_{x ightarrow 2^{-}}\left( 2x^{2} + ax + b - 4 ight) = 0$

$\Rightarrow 2a - b = 4$

Ngược lại với $2a - b = 4$ ta có:

$\Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{2x^{2} + ax + b - 4}{x^{2} - 4} = 0$

$\Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{2x^{2} + ax + 2a - 8}{x^{2} - 4} = 0$

$\Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{2x + a - 4}{x - 2} = 0$

$\Leftrightarrow a = 8$

=> $f(x)$ có giới hạn hữu hạn khi $x$ dần tới $- 2$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 8 \\ b = 12 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow 3a - b = 12$
Câu 37: Thông hiểu
Xác định các mệnh đề đúng

Cho hàm số $y = f(x) = \sqrt{x - 1}$ . Trong các mệnh đề sau, có bao nhiêu mệnh đề đúng?

i) Hàm số $f(x)$ có tập xác định $D = \lbrack 1; + \infty)$

ii) Hàm số $f(x)$ liên tục trên $\lbrack 1; + \infty)$

iii) Hàm số $f(x)$ gián đoạn tại $x = 1$

iv) Hàm số $f(x)$ liên tục tại $x = 0$
- A.
  $0$
- B.
  $1$
- C.
  $2$
- D.
  $3$
Ta có:

i) Hàm số $f(x)$ có tập xác định $D = \lbrack 1; + \infty)$ đúng

ii) Hàm số $f(x)$ liên tục trên $\lbrack 1; + \infty)$ sai. Vì hàm số gián đoạn tại x = 1

iii) Hàm số $f(x)$ gián đoạn tại $x = 1$ đúng. Vì hàm số không tồn tại giới hạn trái tại $x = 1$

iv) Hàm số $f(x)$ liên tục tại $x = 0$ sai vì $0 otin \lbrack 1; + \infty)$
Câu 38: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}- \dfrac{x}{2}\ \ khi\ \ x \leq 1 \\\dfrac{x^{2} - 3x + 2}{x^{2} - 1}\ \ khi\ \ x > 1 \\\end{matrix} ight.$ . Các kết luận dưới đây đúng hay sai?

a) $\ \lim_{x ightarrow 0}f(x) = - \ 2$ . Sai||Đúng

b) $\ \lim_{x ightarrow 3}f(x) = + \ \infty$ . Sai||Đúng

c) $\lim_{x ightarrow + \ \infty}f(x) = 1$ . Đúng||Sai

d) Hàm số $f(x)$ liên tục tại $x_{0} = 1$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}- \dfrac{x}{2}\ \ khi\ \ x \leq 1 \\\dfrac{x^{2} - 3x + 2}{x^{2} - 1}\ \ khi\ \ x > 1 \\\end{matrix} ight.$ . Các kết luận dưới đây đúng hay sai?

a) $\ \lim_{x ightarrow 0}f(x) = - \ 2$ . Sai||Đúng

b) $\ \lim_{x ightarrow 3}f(x) = + \ \infty$ . Sai||Đúng

c) $\lim_{x ightarrow + \ \infty}f(x) = 1$ . Đúng||Sai

d) Hàm số $f(x)$ liên tục tại $x_{0} = 1$ . Đúng||Sai

a) Sai

$\lim_{x ightarrow 0}f(x) = \lim_{x ightarrow 0}\left( - \frac{x}{2} ight) = 0$ .

b) Sai

$\lim_{x ightarrow 3}f(x) = \lim_{xightarrow 3}\left( \frac{x^{2} - 3x + 2}{x^{2} - 1} ight) =\frac{1}{4}$ .

c) Đúng

$\lim_{x ightarrow + \ \infty}f(x) = \lim_{x ightarrow + \ \infty}\left( \frac{x^{2} - 3x + 2}{x^{2} - 1} ight)$

$= \lim_{x ightarrow + \ \infty}\left( \frac{x - 2}{x + 1} ight) = \lim_{x ightarrow + \ \infty}\left( 1 - \frac{3}{x + 1} ight) = 1$ .

d) Đúng

Ta có:

$f(1) = - \frac{1}{2}$ và $\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\left( - \frac{x}{2} ight) = - \frac{1}{2}$ .

$\lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left( \frac{x^{2} - 3x + 2}{x^{2} - 1} ight) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left( \frac{x - 2}{x + 1} ight) = - \frac{1}{2}$ .

Vậy $f(1) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x)$ nên hàm số $f(x)$ liên tục tại $x_{0} = 1$ .
Câu 39: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức T

Biết $\lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{3x + 1} - 1}{x} = \frac{a}{b}$ , trong đó $a,b$ là hai số nguyên dương và phân số $\frac{a}{b}$ tối giản. Tính giá trị của biểu thức $T = a^{2} + b^{2}$
- A.
  $T = 13$
- B.
  $T = 0$
- C.
  $T = 4$
- D.
  $T = 10$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{3x + 1} - 1}{x}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{\left( \sqrt{3x + 1} - 1 ight)\left( \sqrt{3x + 1} + 1 ight)}{x\left( \sqrt{3x + 1} + 1 ight)}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{3x + 1 - 1}{x\left( \sqrt{3x + 1} + 1 ight)} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{3x}{x\left( \sqrt{3x + 1} + 1 ight)}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{3x + 1} + 1} = \frac{3}{2}$

$\Rightarrow a = 3;b = 2$

$\Rightarrow T = 3^{2} + 2^{2} = 13$
Câu 40: Nhận biết
Hàm số đã cho liên tục trên khoảng nào

Cho hàm số $f(x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 5x + 6}$ . Khi đó hàm số đã cho liên tục trên khoảng nào?
- A.
  $( - 3;2)$
- B.
  $( - 2; + \infty)$
- C.
  $( - \infty;3)$
- D.
  $(2;3)$
Hàm số có nghĩa khi $x^{2} + 5x + 6 eq 0 \Rightarrow x eq - 3;x eq - 2$

Vậy hàm số $f(x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 5x + 6}$ liên tục trên các khoảng $( - \infty; - 3),( - 3; - 2);( - 2; + \infty)$

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 3 Chân trời sáng tạo Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

32 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 3 Chân trời sáng tạo

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 Chân trời sáng tạo
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân
Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số ghép số liệu nhóm
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Đạo hàm
Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 9: Xác suất

Lớp 11
Khóa học Lớp 11
Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 4
Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4
Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 5
Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 6
Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4 Đề 2
Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 7

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 3 Chân trời sáng tạo

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 4

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 5

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 6

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4 Đề 2

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 7