Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 3 Chân trời sáng tạo

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 CTST Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục nha!

  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Bắt đầu làm bài
Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!
Mua ngay Đổi điểm
  • Câu 1: Thông hiểu

    Kết quả của giới hạn bằng bao nhiêu

    Kết quả của giới hạn \lim \frac{{3\sin n + 4\cos n}}{{n + 1}} bằng:

    Ta có:

    \begin{matrix}  \lim \dfrac{{3\sin n + 4\cos n}}{{n + 1}} \hfill \\   = \lim \left( {\dfrac{{3\sin n}}{{n + 1}} + \dfrac{{4\cos n}}{{n + 1}}} ight) \hfill \\   = \lim \left( {\dfrac{{3\sin n}}{{n + 1}}} ight) + \lim \left( {\dfrac{{4\cos n}}{{n + 1}}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix}  \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {0 \leqslant \left| {\dfrac{{3\sin n}}{{n + 1}}} ight| \leqslant \dfrac{3}{{n + 1}} \to 0} \\   {0 \leqslant \left| {\dfrac{{4\cos n}}{{n + 1}}} ight| \leqslant \dfrac{3}{{n + 1}} \to 0} \end{array}} ight. \hfill \\   \Rightarrow \lim f\left( x ight) = 0 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 2: Nhận biết

    Tính giá trị giới hạn

    Tính giá trị \lim\frac{n^{3} - 7n}{1 - 2n^{2}}

    Ta có: \lim\dfrac{n^{3} - 7n}{1 - 2n^{2}}= \lim\dfrac{n^{3}\left( 1 - \dfrac{7}{n^{2}} ight)}{n^{2}\left(\dfrac{1}{n} + 2 ight)}

    = \lim\dfrac{n.\left( 1 - \dfrac{7}{n^{2}}ight)}{\dfrac{1}{n} + 2} = + \infty

  • Câu 3: Thông hiểu

    Tính f(1)

    Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên \mathbb{R} với f(x)=\frac{x^{3}-3x+2}{x-1} với mọi xeq 1. Tính f(1)

     Ta có:

    \begin{matrix}  \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{{x^3} - 3x + 2}}{{x - 1}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\left( {x + 2} ight){{\left( {x - 1} ight)}^2}}}{{x - 1}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 2} ight)\left( {x - 1} ight) = 0 \hfill \\ \end{matrix}

    Do hàm số đã cho xác định và liên tục trên \mathbb{R}

    => Hàm số liên tục tại x = 1

    => \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x ight) = f\left( 1 ight) = 0

  • Câu 4: Vận dụng

    Xét tính đúng sai của các khẳng định

    Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) \lim_{x ightarrow 3}\left( x^{2} - x
+ 3 ight) = 9. Đúng||Sai

    b) Biết rằng \lim_{x ightarrow 1}f(x) =
2, \lim_{x ightarrow 1}g(x) =
4. Khi đó \lim_{x ightarrow
1}\left( 3f(x) - 5g(x) ight) = - 13. Sai||Đúng

    c) \lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt{4x +1} - 3}{x^{2} - 4} = 1. Sai||Đúng

    d) Biết \lim_{x ightarrow
2}\frac{2x^{2} - ax + 4}{x^{2} - 3x + 2} = b(với a;b\mathbb{\in R}). Khi đó a^{2} + b^{2} = 40. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) \lim_{x ightarrow 3}\left( x^{2} - x
+ 3 ight) = 9. Đúng||Sai

    b) Biết rằng \lim_{x ightarrow 1}f(x) =
2, \lim_{x ightarrow 1}g(x) =
4. Khi đó \lim_{x ightarrow
1}\left( 3f(x) - 5g(x) ight) = - 13. Sai||Đúng

    c) \lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt{4x +1} - 3}{x^{2} - 4} = 1. Sai||Đúng

    d) Biết \lim_{x ightarrow
2}\frac{2x^{2} - ax + 4}{x^{2} - 3x + 2} = b(với a;b\mathbb{\in R}). Khi đó a^{2} + b^{2} = 40. Đúng||Sai

    a) Đúng.

    \lim_{x ightarrow 3}\left( x^{2} - x
+ 3 ight) = 3^{2} - 3 + 3 = 9

    b) Sai.

    \lim_{x ightarrow 1}\left( 3f(x) -
5g(x) ight) = 3.2 - 5.4 = - 14

    c) Sai.

    \lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt{4x +
1} - 3}{x^{2} - 4} = \lim_{x ightarrow 2}\frac{4x + 1 - 9}{(x - 2)(x +
2)(\sqrt{4x + 1} + 3)}

    = \lim_{x ightarrow 2}\frac{4}{(x +
2)(\sqrt{4x + 1} + 3)} = \frac{1}{6}

    d) Đúng.

    Xét thấy x = 2 là nghiệm của phương trình x^{2} - 3x + 2 = 0 (mẫu số) nên x = 2 cũng là một nghiệm của phương trình 2x^{2} - ax + 4 =
0 (tử số) \Rightarrow a = 6.

    Khi đó:

    \lim_{x ightarrow 2}\frac{2x^{2} - ax +4}{x^{2} - 3x + 2} = \lim_{x ightarrow 2}\frac{2x^{2} - 6x + 4}{x^{2}- 3x + 2} = 2.

    Vậy a = 6;b = 2 \Rightarrow a^{2} + b^{2}
= 36 + 4 = 40.

  • Câu 5: Thông hiểu

    Tính giá trị biểu thức

    Tính \lim_{x
ightarrow + \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 2x - 1} - x - 1
ight)

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow + \infty}\left(
\sqrt{x^{2} + 2x - 1} - x - 1 ight)

    = \lim_{x ightarrow +
\infty}\frac{\left( \sqrt{x^{2} + 2x - 1} + x + 1 ight)\left(
\sqrt{x^{2} + 2x - 1} - x - 1 ight)}{\sqrt{x^{2} + 2x - 1} + x +
1}

    = \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{-
2}{\sqrt{x^{2} + 2x - 1} + x + 1} = 0

  • Câu 6: Nhận biết

    Tính giới hạn của hàm số

    Tính giới hạn của hàm số \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{3}{x^{2} - 2x +
6}

    Ta có: \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{3}{{{x^2} - 2x + 6}} = 0\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {{x^2} - 2x + 6} ight) =  + \infty

  • Câu 7: Vận dụng

    Tìm các giá trị thực của m

    Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {{m^2}{x^2}{\text{        khi }}x \leqslant 2} \\ 
  {\left( {1 - m} ight)x{\text{   khi }}x > 2} 
\end{array}} ight. liên tục trên \mathbb{R}?

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    Hàm số liên tục trên mỗi khoảng ( -
\infty;2);(2; + \infty)

    Khi đó hàm số f(x) liên tục trên \mathbb{R} khi và chỉ khi f(x) liên tục tại x = 2

    Hay \lim_{x ightarrow 2}f(x) =
f(2)

    \lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) = \lim_{x
ightarrow 2^{-}}f(x) = f(2)\ \ (*)

    Ta lại có:

    f(2) = 4m^{2}

    \lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) = \lim_{x
ightarrow 2^{+}}\left\lbrack (1 - m)x ightbrack = 2(1 -
m)

    \lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = \lim_{x
ightarrow 2^{-}}\left( m^{2}x^{2} ight) = 4m^{2}

    Khi đó (*) \Leftrightarrow 4m^{2} = 2(1 -
m)

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}m = 1 \\m = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.

    Vậy có hai giá trị thực của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Xét tính đúng sai của các khẳng định

    Cho giới hạn L =
\lim\frac{\sqrt[3]{an^{3} + 5n^{2} - 7}}{\sqrt{3n^{2} - n +
2}}. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Khi a = 1 thì L = \frac{1}{\sqrt{3}}. Đúng||Sai

    b) Khi a = 0 thì L = \frac{1}{3}. Sai||Đúng

    c) Khi a > 0 thì L > 0. Đúng||Sai

    d) Khi L = b\sqrt{3} + c với \ b,\ \ c là các tham số thì P = \frac{a + c}{b^{3}} = \frac{1}{2}. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho giới hạn L =
\lim\frac{\sqrt[3]{an^{3} + 5n^{2} - 7}}{\sqrt{3n^{2} - n +
2}}. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Khi a = 1 thì L = \frac{1}{\sqrt{3}}. Đúng||Sai

    b) Khi a = 0 thì L = \frac{1}{3}. Sai||Đúng

    c) Khi a > 0 thì L > 0. Đúng||Sai

    d) Khi L = b\sqrt{3} + c với \ b,\ \ c là các tham số thì P = \frac{a + c}{b^{3}} = \frac{1}{2}. Sai||Đúng

    Ta có:

    \lim\frac{\sqrt[3]{an^{3} + 5n^{2}
- 7}}{\sqrt{3n^{2} - n + 2}} = \lim\frac{\sqrt[3]{a + \frac{5}{n} -
\frac{7}{n^{3}}}}{\sqrt{3 - \frac{1}{n} + \frac{2}{n^{2}}}} =
\frac{\sqrt[3]{a}}{3}\sqrt{3}

    a) Đúng: Khi a = 1 thì L = \frac{1}{\sqrt{3}}. Với a = 1 thì L =
\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}

    b) Sai: Khi a = 0 thì L = \frac{1}{3}. Với a = 1 thì L =
\sqrt{3}

    c) Đúng: Khi a > 0 thì L > 0. Với a > 0 thì \sqrt[3]{a} > 0 \Rightarrow
\frac{\sqrt[3]{a}}{3}\sqrt{3} > 0 \Rightarrow L > 0

    d) Sai: Khi L = b\sqrt{3} + c với \ b,\ \ c là các tham số thì P = \frac{a + c}{b^{3}} =
\frac{1}{2}

    L = \frac{\sqrt[3]{a}}{3}\sqrt{3} =b\sqrt{3} + c\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}b = \frac{\sqrt[3]{a}}{3} \\c = 0\end{matrix} \right.\  \Rightarrow P = \frac{a + c}{b^{3}} =\frac{a}{\frac{a}{27}} = 27

  • Câu 9: Nhận biết

    Tính giới hạn của hàm số

    \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{3{x^4} - 2{x^5}}}{{5{x^4} + 3{x^6} + 1}} bằng:

    Ta có:

    \begin{matrix}  \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{3{x^4} - 2{x^5}}}{{5{x^4} + 3{x^6} + 1}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{\dfrac{3}{{{x^2}}} - \dfrac{2}{x}}}{{\dfrac{5}{{{x^2}}} + 3 + \dfrac{1}{{{x^6}}}}} = 0 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 10: Thông hiểu

    Tìm giá trị thực của tham số m

    Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{3} - x^{2} + 2x - 2}{x - 1}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x eq 1 \\3x + m\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight. liên tục tại x = 1.

    Ta có:

    f(1) = m + 3

    \lim_{x ightarrow 1}f(x) = \lim_{xightarrow 1}\frac{x^{3} - x^{2} + 2x - 2}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow1}\frac{(x - 1)\left( x^{2} + 2 ight)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow1}\left( x^{2} + 2 ight) = 3

    Hàm số f(x) liên tục tại x = 1

    = > m + 3 = 3 = > m =
0

  • Câu 11: Nhận biết

    Tìm giới hạn?

    Giá trị của \lim\frac{\sqrt{n + 1}}{n + 2} bằng:

    Với mọi số thực a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn n_{a} = \left\lbrack \frac{1}{a^{2}} - 1
ightbrack + 1

    Ta có:

    \frac{\sqrt{n + 1}}{n + 2} <
\frac{1}{\sqrt{n + 1}} < a  với mọi n > n_{a}

    Suy ra \lim\frac{\sqrt{n + 1}}{n + 2} =
0

  • Câu 12: Nhận biết

    Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục

    Cho hàm số y =
f(x) liên tục trên (a;b). Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên \lbrack a;bbrack là:

    Ta có:

    Hàm số y = f(x) liên tục trên (a;b)

    Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên \lbrack a;bbrack là: \left\{ \begin{gathered}
  \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x ight) = f\left( a ight) \hfill \\
  \mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x ight) = f\left( b ight) \hfill \\ 
\end{gathered}  ight.

  • Câu 13: Nhận biết

    Tính giới hạn

    Tính giới hạn \lim\frac{n^{2} - 4n^{3}}{2n^{3} + 5n -
2}

    Ta có:

    \lim\dfrac{n^{2} - 4n^{3}}{2n^{3} + 5n -2} = \lim\dfrac{\dfrac{1}{n} - 4}{2 + \dfrac{5}{n^{2}} - \dfrac{2}{n^{3}}} =\dfrac{0 - 4}{2 + 0 - 0} = - 2

  • Câu 14: Thông hiểu

    Giới hạn của hàm số

    \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} + 1}  - \sqrt {x + 5} }}{{2x - 5}}=?

    Ta có: 

    \begin{matrix}  \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{\sqrt {4{x^2} + 1}  - \sqrt {x + 5} }}{{2x - 5}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{x\sqrt {4 + \dfrac{1}{{{x^2}}}}  - x\sqrt {\dfrac{1}{x} + \dfrac{5}{{{x^2}}}} }}{{x\left( {2 - \dfrac{5}{x}} ight)}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{\sqrt {4 + \dfrac{1}{{{x^2}}}}  - \sqrt {1 + \dfrac{5}{x}} }}{{2 - \dfrac{5}{x}}} = \dfrac{2}{2} = 1 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 15: Vận dụng cao

    Tính lim

    Cho dãy số (un) xác định bởi \left\{ \begin{matrix}
u_{1} = 2;u_{2} = 4 \\
u_{n + 2} = 2u_{n + 1} - u_{n} + 5;(n \geq 1) \\
\end{matrix} ight.. Tính \lim_{n ightarrow\infty}\dfrac{u_{n}}{n^{2}}.

    Ta có:

    \begin{matrix}
  {u_{n + 2}} = 2{u_{n + 1}} - {u_n} + 5 \hfill \\
   \Rightarrow {u_{n + 2}} - {u_{n + 1}} = {u_{n + 1}} - {u_n} + 5 \hfill \\ 
\end{matrix}

    Đặt \Rightarrow v_{n} = u_{n + 1} - u_{n}
\Rightarrow v_{n + 1} = v_{n} + 5;(n \geq 1)

    Từ đó:

    \begin{matrix}
  {u_2} - {u_1} = 2 \hfill \\
  {u_3} - {u_2} = 7 \hfill \\
  {u_4} - {u_3} = 12 \hfill \\
  ... \hfill \\
  {u_{n + 1}} - {u_n} = 5n - 3 \hfill \\ 
\end{matrix}

    Khi đó:

    \begin{matrix}
  {u_{n + 1}} - {u_1} = 2 + 7 + 12 + ... + \left( {5n - 3} ight) \hfill \\
   = \dfrac{{n\left[ {2 + \left( {5n - 3} ight)} ight]}}{2} = \dfrac{{n\left( {5n - 1} ight)}}{2} \hfill \\ 
\end{matrix}

    Từ đó ta có:

    \begin{matrix}
  {u_{n + 1}} = \dfrac{{n\left( {5n - 1} ight)}}{2} + {u_1} \hfill \\
   = \dfrac{{n\left( {5n - 1} ight)}}{2} + 2 = \dfrac{{5{n^2} - n + 4}}{2} \hfill \\ 
\end{matrix}

    Vậy u_{n} = \frac{5n^{2} - 11n +
10}{2}

    => \lim_{n ightarrow
\infty}\frac{u_{n}}{n^{2}} = \lim_{n ightarrow \infty}\left(
\frac{5n^{2} - 11n + 10}{2} ight) = \frac{5}{2}

  • Câu 16: Nhận biết

    Chọn khẳng định đúng

    Xét tính liên tục của hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}
1 - \cos x\ \ \ khi\ x \leq 0 \\
\sqrt{x + 1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x > 0 \\
\end{matrix} ight.. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hàm số xác định với mọi x\mathbb{\in
R}

    Ta có: f(x) liên tục trên ( - \infty;0)(0; + \infty)

    Mặt khác

    f(0) = 1

    \lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) = \lim_{x
ightarrow 0^{+}}\sqrt{x + 1} = 1

    \lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x) = \lim_{x
ightarrow 0^{-}}\left( 1 - \cos x ight) = 0

    Vậy hàm số gián đoạn tại x = 1

  • Câu 17: Vận dụng cao

    Xét tính đúng sai của các khẳng định

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}
x^{2} + mx + n\ \ \ khi\ \ \ \ x < - 5\ \  \\
x + 17\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ \ \ \  - 5 \leq x \leq 10 \\
mx + n + 10\ \ \ \ khi\ \ \ \ x > 10 \\
\end{matrix} ight. liên tục trên \mathbb{R}. Khi đó

    a) f( - 5) = 12;f(10) = 27. Đúng||Sai

    b) m > 0,\ \  n > 0. Sai||Đúng

    c) 2m + n là số nguyên tố. Sai||Đúng

    d) Giá trị lớn nhất của hàm số y = m.\sin x+ n.\cos x là \sqrt{12}. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}
x^{2} + mx + n\ \ \ khi\ \ \ \ x < - 5\ \  \\
x + 17\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ \ \ \  - 5 \leq x \leq 10 \\
mx + n + 10\ \ \ \ khi\ \ \ \ x > 10 \\
\end{matrix} ight. liên tục trên \mathbb{R}. Khi đó

    a) f( - 5) = 12;f(10) = 27. Đúng||Sai

    b) m > 0,\ \  n > 0. Sai||Đúng

    c) 2m + n là số nguyên tố. Sai||Đúng

    d) Giá trị lớn nhất của hàm số y = m.\sin x+ n.\cos x là \sqrt{12}. Sai||Đúng

    a) Đúng.

    Ta có : f( - 5) = - 5 + 17 = 12, f(10) = 10 + 17 = 27 (mệnh đề a) đúng)

    b) Sai.

    Với x < - 5 ta có f(x) = x^{2} + mx + n, là hàm đa thức nên liên tục trên ( - \infty; - 5).

    Với - 5 < x < 10 ta có f(x) = x + 17, là hàm đa thức nên liên tục trên (-5; 10).

    Với x > 10 ta có f(x) = mx + n + 10, là hàm đa thức nên liên tục trên (10 ;+\infty).

    Để hàm số liên tục trên \mathbb{R} thì hàm số phải liên tục tại x = - 5x = 10.

    Ta có:

    f( - 5) = 12;f(10) = 27.

    \lim_{x ightarrow - 5^{-}}f(x) =\lim_{x ightarrow - 5^{-}}\left( x^{2} + mx + n ight) = - 5m + n + 25.

    \lim_{x ightarrow - 5^{+}}f(x) =
\lim_{x ightarrow - 5^{+}}(x + 17) = 12.

    \lim_{x ightarrow 10^{-}}f(x) = \lim_{x
ightarrow 10^{-}}(x + 17) = 27.

    \lim_{x ightarrow 10^{+}}f(x) = \lim_{x
ightarrow 10^{+}}(mx + n + 10) = 10m + n + 10.

    Hàm số liên tục tại x = - 5x = 10 khi

    \left\{ \begin{matrix}- 5m + n + 25 = 12 \\10m + n + 10 = 27 \\\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}- 5m + n = - 13 \\10m + n = 17 \\\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m = 2 \ = - 3 \\\end{matrix} ight. (mệnh đề b) sai).

    c) Sai.

    Ta có 2m + n = 1 không phải số nguyên tố (mệnh đề c) sai).

    d) Sai.

    Ta có: y = m.sinx + n.cosx\ \
\  \Rightarrow \ \ \ y = 2sinx - 3cosx

    Xét phương trình ẩn x:

    2\sin x - 3\cos x = y

    \Leftrightarrow \sin x.\frac{2}{\sqrt{13}} - \cos x.\frac{3}{\sqrt{13}} =\frac{y}{\sqrt{13}}

    \Leftrightarrow \sin x.\cos\alpha - \cos x.\sin\alpha = \frac{y}{\sqrt{13}}, với \cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{13}},\ \sin\alpha =
\frac{3}{\sqrt{13}}.

    \Leftrightarrow \sin(x - \alpha) =
\frac{y}{\sqrt{13}}

    Ta có

    \left| \sin(x - \alpha) ight| \leq
1

    \begin{matrix}
\Rightarrow \left| \frac{y}{\sqrt{13}} ight| \leq 1 \\
\Leftrightarrow - \sqrt{13} \leq y \leq \sqrt{13} \\
\end{matrix}

    Suy ra GTLN của y bằng \sqrt{13} khi \sin(x - \alpha) = 1 hay x = \alpha + \frac{\pi}{2} + k2\pi, với \cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{13}},\
\sin\alpha = \frac{3}{\sqrt{13}}

    Vậy khẳng định d) sai.

  • Câu 18: Vận dụng

    Tính tổng dãy số

    Tính tổng S = 9 + 3 + 1 + \frac{1}{3} +
\frac{1}{9} + ... + \frac{1}{3^{n - 3}} + ... .

    Ta có:

    S = 9 + 3 + 1 + \frac{1}{3} +
\frac{1}{9} + ... + \frac{1}{3^{n - 3}} + ...

    = 9\left( {\underbrace {1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{3^{n - 1}}}} + ...}_{CSN:{u_1} = 1;q = \frac{1}{3}}} ight)

    = 9.\left( \dfrac{1}{1 - \dfrac{1}{3}}ight) = \dfrac{27}{2}

  • Câu 19: Vận dụng

    Xét tính đúng sai của các khẳng định sau

    Ông An bắt đầu đi làm với mức lương khởi điểm là 5000000 đồng một tháng. Cứ sau một chu kỳ 3 năm thì ông An được tăng lương 4\%. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Mức lương ông An nhận được sau 3 năm là 5200000 đồng. Đúng||Sai

    b) Tổng số tiền lương ông An nhận được sau 6 năm đầu là 374400000 đồng. Sai||Đúng

    c) Dự đoán công thức tính số tiền lương ông An được nhận u_{n}, sau n chu kì năm công tác là: u_{n} = 5000000.\left( \frac{26}{25}
\right)^{n}đồng. Sai||Đúng

    d) Giả sử ông An đi làm sau đúng 35 năm thì được về hưu. Tổng số tiền lương ông nhận được trong cả quá trình công tác là 2612277740 đồng. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Ông An bắt đầu đi làm với mức lương khởi điểm là 5000000 đồng một tháng. Cứ sau một chu kỳ 3 năm thì ông An được tăng lương 4\%. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Mức lương ông An nhận được sau 3 năm là 5200000 đồng. Đúng||Sai

    b) Tổng số tiền lương ông An nhận được sau 6 năm đầu là 374400000 đồng. Sai||Đúng

    c) Dự đoán công thức tính số tiền lương ông An được nhận u_{n}, sau n chu kì năm công tác là: u_{n} = 5000000.\left( \frac{26}{25}
\right)^{n}đồng. Sai||Đúng

    d) Giả sử ông An đi làm sau đúng 35 năm thì được về hưu. Tổng số tiền lương ông nhận được trong cả quá trình công tác là 2612277740 đồng. Đúng||Sai

    a) Đúng: Mức lương 3 năm tiếp theo của ông An là:

    5000000 + 5000000.\frac{4}{100} = 5000000.\left( 1
+ \frac{1}{25} \right) = 5200000 (đồng)

    b) Sai: 1 năm = 12 tháng.

    Tổng lương 3 năm đầu là 36.5000000\  =
180\ 000000 đồng.

    Tổng lương từ năm thứ 4 đến năm thứ 6 là: 36.520000 = 187200000 đồng.

    Tổng số tiền lương ông An nhận được sau 6 năm đầu là:

    180000000 + 187200000 = 367200000 đồng.

    c) Sai: Chu kì thứ nhất mức lương của ông An là: u_{1} = 5000000 đồng.

    Chu kì thứ hai mức lương của ông An là:

    u_{2} = 5000000 + 5000000.\frac{4}{100}=5000000.\left( 1 + \frac{1}{25} \right) = 5000000.\frac{26}{25}(đồng)

    Chu kì thứ ba mức lương của ông An là:

    u_{3} = 5000000.\left( \frac{26}{25} \right) +5000000.\left( \frac{26}{25} \right).\frac{1}{25}= 5000000.\left(\frac{26}{25} \right).\left( 1 + \frac{1}{25} \right) = 5000000.\left(\frac{26}{25} \right)^{2}( đồng).

    Chu kì thứ tư mức lương của ông An là:

    u_{4} = 5000000.\left( \frac{26}{25} \right)^{2} +5000000.\left( \frac{26}{25} \right)^{2}.\frac{1}{25}= 5000000.\left(\frac{26}{25} \right)^{2}\left( 1 + \frac{1}{25} \right) =5000000.\left( \frac{26}{25} \right)^{3}(đồng).

    Cứ tiếp tục như vậy ta dự đoán được sau chu kì thứ n số tiền lương ông An nhận được là:

    u_{n} = 5000000.\left( \frac{26}{25}
\right)^{n - 1}(đồng).

    d) Đúng: Tổng tiền lương của chu kì thứ nhất là: 36.5000000\  = 180\ 000000 đồng.

    Tổng tiền lương của chu kì thứ hai là: 36.5000000.\frac{26}{25} đồng.

    Tổng tiền lương của chu kì thứ ba là: 36.5000000.\left( \frac{26}{25}
\right)^{2} đồng.

    ….

    Tổng tiền lương của chu kì thứ mười một là: 36.5000000.\left( \frac{26}{25}
\right)^{10} đồng.

    Tổng tiền lương 2 năm tiếp theo của chu kì thứ mười hai là: 24.5000000.\left( \frac{26}{25}
\right)^{11} đồng.

    Tổng tiền lương sau tròn 35 năm là:

    S = 36.5000000 + 36.5000000.\left( \frac{26}{25} \right) +36.5000000.\left( \frac{26}{25} \right)^{2}+ ... + 36.5000000.\left( \frac{26}{25} \right)^{10} + 24.5000000.\left(\frac{26}{25} \right)^{11}

    = 36.5000000\left( 1 + \frac{26}{25} +
\left( \frac{26}{25} \right)^{2} + ... + \left( \frac{26}{25}
\right)^{10} \right) + 24.5000000.\left( \frac{26}{25}
\right)^{11}

    = \frac{36.5000000.\left( 1 - \left(
\frac{26}{25} \right)^{11} \right)}{1 - \frac{26}{25}} +
24.5000000.\left( \frac{26}{25} \right)^{11} = 2612277740 đồng.

  • Câu 20: Thông hiểu

    Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định

    Tìm được các giới hạn một bên sau:

    a) \lim_{x ightarrow 2^{+}}\frac{x}{x +
1} = \frac{2}{3} Đúng||Sai

    b) \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{2x -
1}{x - 1} = - \infty Sai||Đúng

    c) \lim_{x ightarrow 3^{-}}\frac{x^{2}
- 3x}{x^{2} - 6x + 9} = + \infty Sai||Đúng

    d) \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack
\left( x^{3} - 1 ight)\left( \sqrt{\frac{x}{x^{2} - 1}} ight)
ightbrack = + \infty Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Tìm được các giới hạn một bên sau:

    a) \lim_{x ightarrow 2^{+}}\frac{x}{x +
1} = \frac{2}{3} Đúng||Sai

    b) \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{2x -
1}{x - 1} = - \infty Sai||Đúng

    c) \lim_{x ightarrow 3^{-}}\frac{x^{2}
- 3x}{x^{2} - 6x + 9} = + \infty Sai||Đúng

    d) \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack
\left( x^{3} - 1 ight)\left( \sqrt{\frac{x}{x^{2} - 1}} ight)
ightbrack = + \infty Sai||Đúng

    a) Ta có:

    \lim_{x ightarrow 2^{+}}\frac{x}{x +1} = \frac{2}{2 + 1} = \frac{2}{3}.

    b) \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{2x -
1}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack (2x - 1) \cdot
\frac{1}{x - 1} ightbrack = + \infty (do \lim_{x ightarrow 1^{+}}(2x - 1) = 1\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{1}{x - 1} =
+ \infty).

    c) Ta có:

    \lim_{x ightarrow 3^{-}}\frac{x^{2}- 3x}{x^{2} - 6x + 9} = \lim_{x ightarrow 3^{-}}\frac{x(x - 3)}{(x -3)^{2}}

    = \lim_{x ightarrow 3^{-}}\frac{x}{x -
3} = \lim_{x ightarrow 3^{-}}\left( x\frac{1}{x - 3} ight) = -
\infty

    Do \lim_{x ightarrow 3^{-}}x =
3\lim_{x ightarrow
3^{-}}\frac{1}{x - 3} = - \infty.

    d) Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack
\left( x^{3} - 1 ight)\left( \sqrt{\frac{x}{x^{2} - 1}} ight)
ightbrack

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack
(x - 1)\left( x^{2} + x + 1 ight)\sqrt{\frac{x}{(x - 1)(x + 1)}}
ightbrack

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack
\left( x^{2} + x + 1 ight)\sqrt{\frac{x(x - 1)^{2}}{(x - 1)(x + 1)}}
ightbrack

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack
\left( x^{2} + x + 1 ight)\sqrt{\frac{x(x - 1)}{x + 1}} ightbrack
= 3 \cdot \sqrt{\frac{0}{2}} = 0

  • Câu 21: Thông hiểu

    Tìm giá trị của m

    Tìm m để hàm số y = f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{2\sqrt[3]{x} - x - 1}{x - 1}\ \ khi\ x eq 1 \\mx + 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight. liên tục trên \mathbb{R}.

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1}\frac{2\sqrt[3]{x}
- x - 1}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{2\left(
\sqrt[3]{x} - 1 ight) - (x - 1)}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1}\left(
\frac{2}{\sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{x} + 1} - 1 ight) = -
\frac{1}{3}

    Dễ thấy hàm số liên tục khi x eq
1. Hàm số liên tục tại x =
1 khi và chỉ khi

    \lim_{x ightarrow 1}f(x) =
f(1)

    \Leftrightarrow - \frac{1}{3} = m +
1

    \Leftrightarrow m = -
\frac{4}{3}

  • Câu 22: Vận dụng

    Ghi đáp án vào ô trống

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{5x - 1} - \sqrt[3]{x^{2} + x + 6}}{1 - x}\ ,x > 1 \\ax + 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ,x \leq 1 \\\end{matrix} ight.. Tìm a để hàm số liên tục tại x = 1

    Đáp án: -3||- 3

    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{5x - 1} - \sqrt[3]{x^{2} + x + 6}}{1 - x}\ ,x > 1 \\ax + 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ,x \leq 1 \\\end{matrix} ight.. Tìm a để hàm số liên tục tại x = 1

    Đáp án: -3||- 3

    Xét \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) =
\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{\sqrt{5x - 1} - \sqrt[3]{x^{2} + x +
6}}{1 - x}

    = \lim_{x ightarrow1^{+}}\frac{\sqrt{5x - 1} - 2 + 2 - \sqrt[3]{x^{2} + x + 6}}{1 -x}

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left(\frac{\sqrt{5x - 1} - 2}{1 - x} + \frac{2 - \sqrt[3]{x^{2} + x + 6}}{1 -x} ight)

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left( \frac{5x - 5}{(1 -x)\left( \sqrt{5x - 1} + 2 ight)} + \frac{8 - \left( x^{2} + x + 6ight)}{(1 - x)\left( 4 + 2\sqrt[3]{x^{2} + x + 6} + \left(\sqrt[3]{x^{2} + x + 6} ight)^{2} ight)} ight)

    = \lim_{xightarrow 1^{+}}\left( \frac{- 5}{\left( \sqrt{5x - 1} + 2 ight)} +\frac{x + 2}{4 + 2\sqrt[3]{x^{2} + x + 6} + \left( \sqrt[3]{x^{2} + x +6} ight)^{2}} ight)

    = - \frac{5}{4} + \frac{1}{4} = -
1

    \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x
ightarrow 1^{-}}(ax + 2) = a + 2

    f(1) = a + 2

    Hàm số liên tục tại x = 1

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow
1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = f(1)

    \Leftrightarrow a + 2 = - 1
\Leftrightarrow a = - 3.

  • Câu 23: Thông hiểu

    Tìm khẳng định sai

    Cho hàm số f(x)= \left\{ \begin{matrix}x^{2} - 2x + 3\ \ \ khi\ x > 3 \\1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 3 \\3 - 2x^{2}\ \ \ \ \ khi\ x < 3 \\\end{matrix} ight. . Khẳng định nào dưới đây sai?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 3^{+}}f(x) = \lim_{xightarrow 3^{+}}\left( x^{2} - 2x + 3 ight) = 6

    \lim_{x ightarrow 3^{-}}f(x) = \lim_{xightarrow 3^{-}}\left( 3 - 2x^{2} ight) = - 15

    \Rightarrow \lim_{x ightarrow3^{+}}f(x) eq \lim_{x ightarrow 3^{-}}f(x)

    => Không tồn tại giới hạn khi x dần đến 3.

    Vậy chỉ có khẳng định \lim_{x ightarrow3^{-}}f(x) = 6 sai.

  • Câu 24: Vận dụng

    Tìm giới hạn

    Tính giới hạn \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x^{2} - 3x +
2}{6\sqrt{x + 8} - x - 17}

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x^{2} -
3x + 2}{6\sqrt{x + 8} - x - 17}

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{\left(
x^{2} - 3x + 2 ight)\left( 6\sqrt{x + 8} + x + 17 ight)}{\left(
6\sqrt{x + 8} - x - 17 ight)\left( 6\sqrt{x + 8} + x + 17
ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{\left(
x^{2} - 3x + 2 ight)\left( 6\sqrt{x + 8} + x + 17 ight)}{- x^{2} +
2x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{(x -
2)(x - 1)\left( 6\sqrt{x + 8} + x + 17 ight)}{- (x -
1)^{2}}

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{(x -
2)\left( 6\sqrt{x + 8} + x + 17 ight)}{- x + 1}

    Ta có:

    \left\{ \begin{gathered}
  \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x - 2} ight)\left( {6\sqrt {x + 8}  + x + 17} ight) =  - 36 < 0 \hfill \\
  \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( { - x + 1} ight) = 0 \hfill \\
   - x + 1 < 0,\forall x > 1 \hfill \\ 
\end{gathered}  ight.

    =>  \lim_{x
ightarrow 1^{+}}\frac{x^{2} - 3x + 2}{6\sqrt{x + 8} - x - 17} = +
\infty

  • Câu 25: Nhận biết

    Chọn phương án thích hợp

    Với k là số nguyên dương, c là hằng số, giới hạn \lim_{x ightarrow +
\infty}\frac{c}{x^{k}} bằng

    Ta có \lim_{x ightarrow + \infty}c =
c\lim_{x ightarrow +
\infty}x^{k} = + \infty nên \lim_{x
ightarrow + \infty}\frac{c}{x^{k}} = 0

  • Câu 26: Nhận biết

    Chọn hình vẽ đúng

    Hình nào trong các hình dưới đây là đồ thị của hàm số không liên tục tại x = 1?

    Xét đồ thị hàm số

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}y eq
\lim_{x ightarrow 1^{-}}y nên hàm số không liên tục tại x = 1

  • Câu 27: Thông hiểu

    Tính giá trị tham số a

    Tìm giá trị của a để hàm số y = f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{x + 2} - 2}{x - 2}\ \ khi\ x eq 2 \\2x + a\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 2 \\\end{matrix} ight. liên tục tại x = 2.

    Ta có:

    f(2) = a + 4

    \lim_{x ightarrow 2}f(x) = \lim_{x
ightarrow 2}\frac{\sqrt{x + 2} - 2}{x - 2}

    = \lim_{x ightarrow 2}\frac{x + 2 -
4}{(x - 2)\left( \sqrt{x + 2} + 2 ight)}

    = \lim_{x ightarrow 2}\frac{1}{\sqrt{x
+ 2} + 2} = \frac{1}{4}

    Hàm số f(x) liên tục tại x = 2 khi và chỉ khi

    \lim_{x ightarrow 2}f(x) =
f(2)

    \Leftrightarrow \frac{1}{4} = a +
4

    \Leftrightarrow a = -
\frac{15}{4}

  • Câu 28: Nhận biết

    Tính giới hạn

    \lim_{x
ightarrow - \infty}\left( \frac{2x + 1}{x - 1} ight) bằng

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow - \infty}\left(\dfrac{2x + 1}{x - 1} ight) = \lim_{x ightarrow - \infty}\left(\dfrac{2 + \dfrac{1}{x}}{1 - \dfrac{1}{x}} ight) = 2

  • Câu 29: Thông hiểu

    Mệnh đề nào dưới đây sai

    Cho hàm số y =
f(x)y = g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x_{0}. Mệnh đề nào dưới đây sai?

    Xét trường hợp y = g(x) liên tục tại x_{0}g\left( x_{0} ight) = 0 thì hàm số y = \frac{f(x)}{g(x)} không xác định tại x_{0}.

  • Câu 30: Thông hiểu

    Xét tính đúng sai của các khẳng định

    Đặt I = \lim\left( \sqrt{n^{2} + a^{2}n}
- \sqrt{n^{2} + (a + 2)n + 1} \right). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Ta biến đổi được I = \lim\frac{n -
1}{\sqrt{n^{2} + n} + \sqrt{n^{2} + 1}}. Sai||Đúng

    b) Nếu I = 0 thì có 3 giá trị a thỏa mãn. Sai||Đúng

    c) Nếu I = 0 thì tổng các giá trị a tìm được bằng 1. Sai||Đúng

    d) Có 2 giá trị a nguyên để I = 1. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Đặt I = \lim\left( \sqrt{n^{2} + a^{2}n}
- \sqrt{n^{2} + (a + 2)n + 1} \right). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Ta biến đổi được I = \lim\frac{n -
1}{\sqrt{n^{2} + n} + \sqrt{n^{2} + 1}}. Sai||Đúng

    b) Nếu I = 0 thì có 3 giá trị a thỏa mãn. Sai||Đúng

    c) Nếu I = 0 thì tổng các giá trị a tìm được bằng 1. Sai||Đúng

    d) Có 2 giá trị a nguyên để I = 1. Sai||Đúng

    a) Sai: Ta biến đổi được I = \lim\frac{n
- 1}{\sqrt{n^{2} + n} + \sqrt{n^{2} + 1}}

    \sqrt{n^{2} + a^{2}n} - \sqrt{n^{2} + (a
+ 2)n + 1} \rightarrow = 0\overset{\rightarrow}{}nhân lượng liên hợp.

    Ta có \lim\left( \sqrt{n^{2} + a^{2}n} -\sqrt{n^{2} + (a + 2)n + 1} \right)= \lim\frac{\left( a^{2} - a - 2\right)n - 1}{\sqrt{n^{2} + n} + \sqrt{n^{2} + 1}}

    b) Sai: I = \lim\frac{a^{2} - a - 2 -
\frac{1}{n}}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + \sqrt{1 + \frac{1}{n^{2}}}} =
\frac{a^{2} - a - 2}{2}

    Khi I = 0 \Leftrightarrow \frac{a^{2} - a- 2}{2} = 0 \Leftrightarrow a^{2} - a - 2 = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix}a = - 1 \\a = 2\end{matrix} \right.

    c) Sai: Nếu I = 0 thì tổng các giá trị a tìm được bằng 1. Khi đó - 1
+ 2 = 1 \neq 0

    d) Sai: Có 2 giá trị a nguyên để I = 1

    Khi I = 1 \Leftrightarrow \frac{a^{2} - a- 2}{2} = 1\Leftrightarrow a^{2} - a - 4 = 0 \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix}a = \frac{1 - \sqrt{17}}{2} \\a = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}\end{matrix} \right.

  • Câu 31: Thông hiểu

    Tính giới hạn

    Tính giới hạn \lim\dfrac{4^{n + 1} + 6^{n + 2}}{5^{n} +8^{n}}.

    Ta có:

    \lim\dfrac{4^{n + 1} + 6^{n + 2}}{5^{n} +8^{n}} = \lim\dfrac{\dfrac{4^{n + 1} + 6^{n + 2}}{8^{n}}}{\dfrac{5^{n} +8^{n}}{8^{n}}}

    = \lim\dfrac{4.\left( \dfrac{1}{2}ight)^{n} + 36.\left( \dfrac{3}{4} ight)^{n}}{\left( \dfrac{5}{8}ight)^{n} + 1} = 0

  • Câu 32: Thông hiểu

    Xác định mệnh đề đúng

    Cho phương trình 2x^{4} - 5x^{2} + x + 1 = 0. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Xét hàm số f(x) = 2x^{4} - 5x^{2} + x +1 là đa thực có tập xác định \mathbb{R} nên liên tục trên \mathbb{R}.

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix}f(0) = 1 \\f( - 1) = - 3 \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow f(0).f( - 1) < 0 => Phương trình (*) có ít nhất một nghiệm thuộc ( - 1;1).

    \left\{ \begin{matrix}f(0) = 1 \\f(1) = - 1 \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow f(0).f(1) < 0 => Phương trình (*) có ít nhất một nghiệm thuộc (0;1).

    \left\{ \begin{matrix}f(1) = - 1 \\f(2) = 15 \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow f(1).f(2) < 0 => Phương trình (*) có ít nhất một nghiệm thuộc (1;2).

    Vậy phương trình (*) đã cho có các nghiệm x_{1};x_{2};x_{3} thỏa mãn - 1 < x_{1} < 0 < x_{2} < 1 < x_{3}< 2.

  • Câu 33: Nhận biết

    Tính giá trị biểu thức T

    Cho các giới hạn \lim_{x ightarrow x_{0}}f(x) = 2;\lim_{x
ightarrow x_{0}}g(x) = 3. Tính giá trị biểu thức T = \lim_{x ightarrow x_{0}}\left\lbrack 3f(x) -
4g(x) ightbrack

    Ta có:

    T = \lim_{x ightarrow
x_{0}}\left\lbrack 3f(x) - 4g(x) ightbrack

    \Rightarrow T = 3\lim_{x ightarrow
x_{0}}f(x) - 4\lim_{x ightarrow x_{0}}g(x) = 6 - 12 = - 6

  • Câu 34: Nhận biết

    Tính giá trị của M.n

    Cho hàm số y =
f(x) liên tục trên đoạn \lbrack -
1;2brack và có đồ thị như hình vẽ. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \lbrack - 1;2brack. Giá trị của M.n là:

    Hàm số y = f(x) liên tục trên \lbrack - 1;2brack.

    Từ đồ thị hàm số đã cho ta thấy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là M = 3; m = -1

    Vậy M.n = -3

  • Câu 35: Nhận biết

    Xác định khẳng định đúng

    Chọn khẳng định đúng?

    \lim_{x ightarrow - \infty}x^{4} = +
\infty

    \lim_{x ightarrow - \infty}x^{3} = -
\infty

    \lim_{x ightarrow x_{0}}x =
x_{0}

    \lim_{x ightarrow + \infty}q^{x} =
0;\left( |q| < 1 ight)

  • Câu 36: Thông hiểu

    Xác định mệnh đề đúng

    Mệnh đề nào dưới đây đúng?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow - \infty}\left(
\sqrt{x^{2} + x} - x ight) = + \infty

    \lim_{x ightarrow + \infty}\left(
\sqrt{x^{2} + x} - 2x ight) = - \infty

    \lim_{x ightarrow + \infty}\left(
\sqrt{x^{2} + x} - x ight) = \frac{1}{2}

    \lim_{x ightarrow - \infty}\left(
\sqrt{x^{2} + x} - 2x ight) = + \infty

  • Câu 37: Thông hiểu

    Tính giới hạn hàm số đã cho

    Tính giới hạn của hàm số f(x) = \frac{\sqrt{4x^{2} + 1}}{x + 1} khi x \mapsto - \infty.

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow - \infty}f(x) =
\lim_{x ightarrow - \infty}\frac{\sqrt{4x^{2} + 1}}{x +
1}

    = \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{|x|\sqrt{4 + \dfrac{1}{x^{2}}}}{x + 1} = \lim_{x ightarrow- \infty}\dfrac{- x\sqrt{4 + \dfrac{1}{x^{2}}}}{x + 1}

    = \lim_{x ightarrow - \infty}\dfrac{-\sqrt{4 + \dfrac{1}{x^{2}}}}{1 + \dfrac{1}{x}} = \dfrac{- \sqrt{4}}{1} = -2

  • Câu 38: Vận dụng cao

    Tính giới hạn hàm số

    Tính \lim_{x
ightarrow 1}\frac{x^{2018} + x^{2017} + .... + x - 2018}{x^{2018} +
1}

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1}\dfrac{x^{2018} +x^{2017} + .... + x - 2018}{x^{2018} + 1}

    = \lim_{x ightarrow 1}\dfrac{(x -1)\left( x^{2017} + 2x^{2016} + 3.x^{2015} + .... + 2017x + 2018ight)}{(x - 1)\left( x^{2017} + x^{2016} + x^{2015} + .... + x + 1ight)}

    = \dfrac{\dfrac{2018.2019}{2}}{2018} =\dfrac{2019}{2}

    Vậy \lim_{x ightarrow 1}\dfrac{x^{2018}+ x^{2017} + .... + x - 2018}{x^{2018} + 1} =\frac{2019}{2}

  • Câu 39: Thông hiểu

    Giá trị của giới hạn

    Giá trị của giới hạn \lim \left( {\sqrt {n + 5}  - \sqrt {n + 1} } ight) bằng: 

    Ta có:

    \begin{matrix}  \lim \left( {\sqrt {n + 5}  - \sqrt {n + 1} } ight) \hfill \\   = \lim \dfrac{{\left( {\sqrt {n + 5}  - \sqrt {n + 1} } ight)\left( {\sqrt {n + 5}  + \sqrt {n + 1} } ight)}}{{\sqrt {n + 5}  + \sqrt {n + 1} }} \hfill \\   = \lim \dfrac{{n + 5 - n - 1}}{{\sqrt {n + 5}  + \sqrt {n + 1} }} \hfill \\   = \lim \dfrac{4}{{\sqrt {n + 5}  + \sqrt {n + 1} }} = 0 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 40: Vận dụng cao

    Chọn mệnh đề đúng

    Cho hàm số y =
2x^{3} + ax^{2} + bx + c;(a,b,c \in R) thỏa mãn 9a + 3b + c < −54a − b + c > 2. Gọi S là số giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục Ox. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

    Hàm số đã cho xác định trên \mathbb{R}.

    Ta có: a − b + c > 2 ⇔ a − b + c − 2 > 0f(−1) = −2 + a − b + c nên f(−1) > 0.

    Mặt khác 9a + 3b + c < −54 ⇔ 9a + 3b + c + 54 < 0f(3) = 54 + 9a + 3b + c nên f(3) < 0.

    Ta lại có \lim_{x ightarrow - \infty}y
= - \infty nên tồn tại số m < −1 sao cho f(m) < 0 và \lim_{x ightarrow + \infty}y = +
\infty nên tồn tại số k > 0 sao cho f(3) > 0.

    Vậy f(m) . f(−1) < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (m; −1).

    f(−1) . f(3) < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (−1; 3).

    f(3) . f(k) < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (3; k).

    Từ đó suy ra đồ thị hàm số có 3 điểm chung với trục hoành.

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!
Mua ngay Đổi điểm

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 3 Chân trời sáng tạo Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • Điểm thưởng: 0
Tải file làm trên giấy
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo