VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 3 Chân trời sáng tạo

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 CTST Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Vận dụng
Tính giá trị biểu thức F

Cho $f(x)$ là một đa thức thỏa mãn $\lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) - 16}{x - 1} = 24$ . Tính giá trị

$F = \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) - 16}{(x - 1)\left( \sqrt{2f(x) + 4} + 6 ight)}$
- A.
  $24$
- B.
  $+ \infty$
- C.
  $2$
- D.
  $0$
Ta có: $\lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) - 16}{x - 1} = 24 \Rightarrow \lim_{x ightarrow 1}\left\lbrack f(x) - 16 ightbrack = 0$

$\Rightarrow \lim_{x ightarrow 1}f(x) = 16$

$\Rightarrow \lim_{x ightarrow 1}\frac{1}{\sqrt{2f(x) + 4} + 6} = \frac{1}{12}$

Khi đó

$F = \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) - 16}{(x - 1)\left\lbrack \sqrt{2f(x) + 4} + 6 ightbrack}$

$F = \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) - 16}{x - 1}.\lim_{x ightarrow 1}\frac{1}{\sqrt{2f(x) + 4} + 6} = 24.\frac{1}{12} = 2$
Câu 2: Nhận biết
Tính giá trị C

Tìm giới hạn $C = \lim_{x ightarrow + \infty}\left( \frac{3 - x}{2x + 3} ight)$
- A.
  $C = 0$
- B.
  $C = - \frac{1}{2}$
- C.
  $C = \frac{2}{3}$
- D.
  $C = - \frac{1}{3}$
Ta có: $C = \lim_{x ightarrow +\infty}\left( \dfrac{3 - x}{2x + 3} ight) = \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{\dfrac{3}{x} - 1}{2 + \dfrac{3}{x}} = -\dfrac{1}{2}$
Câu 3: Thông hiểu
Tính giới hạn

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 2x} + 3x}}{{\sqrt {4{x^2} + 1} - x + 2}}$ bằng
- A.
  $\frac{2}{3}$
- B.
  $-\frac{2}{3}$
- C.
  $\frac{1}{2}$
- D.
  $-\frac{1}{2}$
Ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 2x} + 3x}}{{\sqrt {4{x^2} + 1} - x + 2}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\left| x ight|\sqrt {1 + \dfrac{2}{x}} + 3x}}{{\left| x ight|\sqrt {1 + \dfrac{1}{x}} - x + 2}} \hfill \\ \end{matrix}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\sqrt {1 + \dfrac{2}{x}} + 3}}{{\sqrt {1 + \dfrac{1}{x}} - 1 + \dfrac{2}{x}}} = \frac{{ - 2}}{3}$
Câu 4: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Tính giới hạn sau: $\lim\frac{\sqrt[3]{2n^{2} - n^{3}} + n}{\sqrt{n^{2} + n} - n}$ .

Đáp án: 1

Đáp án là:

Tính giới hạn sau: $\lim\frac{\sqrt[3]{2n^{2} - n^{3}} + n}{\sqrt{n^{2} + n} - n}$ .

Đáp án: 1

Ta có:

$\lim\frac{\sqrt[3]{2n^{2} - n^{3}} + n}{\sqrt{n^{2} + n} - n}$

$= \lim\left\lbrack \frac{2n^{2} - n^{3} + n^{3}}{n^{2} + n - n^{2}} \cdot \frac{\sqrt{n^{2} + n} + n}{\sqrt[3]{\left( 2n^{2} - n^{3} ight)^{2}} + n^{2} - n\sqrt[3]{2n^{2} - n^{3}}} ightbrack$

$= \lim\dfrac{\sqrt{\left( n\sqrt{1 +\dfrac{1}{n}} + n ight)}}{\sqrt[3]{n^{6} \cdot \left( \dfrac{2}{n} - 1ight)^{2}} + n^{2} - n \cdot \sqrt[3]{n^{3}\left( \dfrac{2}{n} - 1ight)}}$

$= \lim\dfrac{\sqrt{1 + \dfrac{1}{n}} +1}{\left( \dfrac{2}{n} - 1 ight)^{\dfrac{2}{3}} + 1 -\sqrt[3]{\dfrac{2}{n} - 1}}$

Khi $n ightarrow \infty$ thì $\ lim\frac{1}{n} = 0$ .

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\lim\left( \left( \dfrac{2}{n} - 1 ight)^{\dfrac{2}{3}} + 1 -\sqrt[3]{\dfrac{2}{n} - 1} ight) = - 1 + 1 + 1 = 1 \\\lim\left( \sqrt{1 + \dfrac{1}{n}} + 1 ight) = 1 \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \lim\dfrac{\left( \sqrt{1 +\dfrac{1}{n}} + 1 ight.\ }{\left( \dfrac{2}{n} - 1 ight)^{\dfrac{2}{3}}+ 1 - \sqrt[3]{\dfrac{2}{n} - 1}} = 1$

$\Rightarrow \lim\frac{\sqrt[3]{2n^{2} - n^{3}} + n}{\sqrt{n^{2} + n} - n} = 1$
Câu 5: Thông hiểu

Xác định sự đúng sai của các kết luận

Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

a) Có hai trong ba hàm số $y = \sin;y =\cos\sqrt{x};y = \tan x$ liên tục trên tập số thực. Sai||Đúng

b) $\lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + x - 1 ight) = - 1$ Đúng||Sai

c) Phương trình $2x^{4} - 5x^{2} + x + 1 = 0$ có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng $(0;2)$ .Đúng||Sai

d) Biết hàm số $f\left( x ight) = \left\{ \begin{gathered} \dfrac{{{x^2} + 1}}{{1 - x}}{\text{ khi x < 1}} \hfill \\ \sqrt {2x - 2} {\text{ khi x}} \geqslant {\text{1}} \hfill \\ \end{gathered} ight.$ . Khi đó $\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = - \infty$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

a) Có hai trong ba hàm số $y = \sin;y =\cos\sqrt{x};y = \tan x$ liên tục trên tập số thực. Sai||Đúng

b) $\lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + x - 1 ight) = - 1$ Đúng||Sai

c) Phương trình $2x^{4} - 5x^{2} + x + 1 = 0$ có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng $(0;2)$ .Đúng||Sai

d) Biết hàm số $f\left( x ight) = \left\{ \begin{gathered} \dfrac{{{x^2} + 1}}{{1 - x}}{\text{ khi x < 1}} \hfill \\ \sqrt {2x - 2} {\text{ khi x}} \geqslant {\text{1}} \hfill \\ \end{gathered} ight.$ . Khi đó $\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = - \infty$ . Sai||Đúng

a) Ta có hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của nó.

Hàm số $y = \sin$ xác định trên tập số thực suy ra hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$

Hàm số $y = \cos\sqrt{x}$ xác định trên $D = \lbrack 0; + \infty)$

Hàm số $y = \tan x$ xác định trên $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}$

Vậy chỉ có suy nhất một hàm số liên tục trên tập số thực.

b) Ta có:

$\lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + x - 1 ight) = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + x ight) - \lim_{x ightarrow - \infty}1$

$= \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1} - x} ight) - 1 = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \frac{\frac{1}{x}}{- \sqrt{1 + \frac{1}{x}} - 1} ight) - 1 = - 1$

c) Xét hàm số $2x^{4} - 5x^{2} + x + 1 = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} f( - 2) = 11;f( - 1) = - 3 \\ f(0) = 1;f(1) = - 1;f(2) = 15 \\ \end{matrix} ight.$

Vì $\left\{ \begin{matrix} f(0).f( - 1) < 0 \\ f(1).f(2) < 0 \\ \end{matrix} ight.$ nên phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng $(0;2)$ .

d) Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow 1^{-}}\left( x^{2} + 1 ight) = 2 > 0 \\ \lim_{x ightarrow 1^{-}}(1 - x) = 0 \\ \end{matrix} ight.$ . Khi $x ightarrow 1^{-} \Leftrightarrow x < 1 \Leftrightarrow 1 - x > 0$

$\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{x^{2} + 1}{1 - x} = + \infty$ .
Câu 6: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Cho hàm số $f(x) = x - 1$ và $g(x) = x^{3}$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

a) Giới hạn $\lim_{x ightarrow 1}f(x) = 3$ . Sai||Đúng

b) Giới hạn $\lim_{x ightarrow 1}g(x) = 1$ . Đúng||Sai

c) $\lim_{x ightarrow 1}\left\lbrack 3f(x) - g(x) ightbrack = - 1$ . Đúng||Sai

d) $\lim_{x ightarrow 1}\frac{\left\lbrack f(x) ightbrack^{2}}{g(x)} = 1$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hàm số $f(x) = x - 1$ và $g(x) = x^{3}$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

a) Giới hạn $\lim_{x ightarrow 1}f(x) = 3$ . Sai||Đúng

b) Giới hạn $\lim_{x ightarrow 1}g(x) = 1$ . Đúng||Sai

c) $\lim_{x ightarrow 1}\left\lbrack 3f(x) - g(x) ightbrack = - 1$ . Đúng||Sai

d) $\lim_{x ightarrow 1}\frac{\left\lbrack f(x) ightbrack^{2}}{g(x)} = 1$ . Sai||Đúng

a) $\lim_{x ightarrow 1}f(x) = \lim_{x ightarrow 1}(x - 1) = 1 - 1 = 0$ .

b) $\lim_{x ightarrow 1}g(x) = \lim_{x ightarrow 1}x^{3} = 1^{3} = 1$ .

c) $\lim_{x ightarrow 1}\left\lbrack 3f(x) - g(x) ightbrack = 3.0 - 1 = - 1$ .

d) $\lim_{x ightarrow1}\frac{\left\lbrack f(x) ightbrack^{2}}{g(x)} = \frac{0}{1} =0$ .
Câu 7: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} 2x^{2} + 3x + 30\ \ \ \ khi\ \ x \geq 2 \\ x + 3a + 4\ \ \ \ khi\ \ x \leq 2 \\ \end{matrix} ight.$ . Khi hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ thì $a \in (m;n)$ ( với $m,n$ là hai số nguyên liên tiếp). Tính $100(m + n)$ .

Đáp án: 2500

Đáp án là:

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} 2x^{2} + 3x + 30\ \ \ \ khi\ \ x \geq 2 \\ x + 3a + 4\ \ \ \ khi\ \ x \leq 2 \\ \end{matrix} ight.$ . Khi hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ thì $a \in (m;n)$ ( với $m,n$ là hai số nguyên liên tiếp). Tính $100(m + n)$ .

Đáp án: 2500

TXĐ: $D\mathbb{= R}$

Hàm số liên tục khi $x eq 2$

Xét tại $x = 2$

Ta có: $f\left( 2 ight) = 44$ ; $\lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{+}}\left( 2x^{2} + 3x + 30 ight) = 44$ ; $\lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{-}}(x + 3a + 4) = 3a + 6$

Để hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ thì $\lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = f(2)$

$\Leftrightarrow 3a + 6 = 44 \Leftrightarrow a = \frac{38}{3} \in (12;13)$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 12 \\ n = 13 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow 100(m + n) = 2500$

Đáp án: $2500$ .
Câu 8: Vận dụng
Xác định số nghiệm của phương trình

Cho hàm số $f(x) = x^{3} - 3x - 1$ . Số nghiệm của phương trình $f(x) = 0$ trên tập số thực là:
- A.
  $2$
- B.
  $1$
- C.
  $3$
- D.
  $0$
Hàm số $f(x) = x^{3} - 3x - 1$ là hàm đa thức có tập xác định $\mathbb{R}$

=> Hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$

=> Hàm số liên tục trên các khoảng $( - 2; - 1),( - 1;0),(0;2)$

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} f( - 2) = - 3 < 0 \\ f( - 1) = 1 > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow f( - 2).f( - 1) < 0$ vậy phương trình có ít nhất một nghiệm trên $( - 2; - 1)$

$\left\{ \begin{matrix} f( - 1) = 1 > 0 \\ f(0) = - 1 < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow f( - 1).f(0) < 0$ vậy phương trình có ít nhất một nghiệm trên $( - 1;0)$

$\left\{ \begin{matrix} f(0) = - 1 < 0 \\ f(2) = 1 > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow f(0).f(2) < 0$ vậy phương trình có ít nhất một nghiệm trên $(0;2)$

Vậy phương trình đã cho có ít nhất ba nghiệm thuộc khoảng $( - 2;2)$ . Tuy nhiên phương trình $f(x) = 0$ là phương trình bậc ba có nhiều nhất ba nghiệm

Vậy phương trình $f(x) = 0$ có đúng ba nghiệm.
Câu 9: Thông hiểu
Hàm số nào dưới đây không liên tục

Hàm số nào dưới đây không liên tục trên khoảng $( - 1;1)$ ?
- A.
  $y = \cos x$
- B.
  $y = \sin x$
- C.
  $y = \tan x$
- D.
  $y = \left\{ \begin{matrix} \sin x\ \ \ \ khi\ x \geq 0 \\ \cos x\ \ \ \ khi\ x < 0 \\ \end{matrix} ight.$
Xét hàm số $y = \left\{ \begin{matrix} \sin x\ \ \ \ khi\ x \geq 0 \\ \cos x\ \ \ \ khi\ x < 0 \\ \end{matrix} ight.$ với $x \in ( - 1;1)$

Ta có: $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \sin x = 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \cos x = 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Suy ra không tồn tại $\lim_{x ightarrow 0}f(x)$ nên hàm số không liên tục tại x = 0

Vậy hàm số không liên tục trên $( - 1;1)$ .
Câu 10: Thông hiểu
Tìm mệnh đề sai

Cho hàm số $f(x) = - 4x^{3} + 4x - 1$ . Mệnh đề nào sai?
- A.
  Hàm số đã cho liên tục trên $\mathbb{R}$
- B.
  Phương trình $f(x) = 0$ không có nghiệm trên khoảng $( - \infty;1)$
- C.
  Phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm trên khoảng $( - 2;0)$
- D.
  Phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất hai nghiệm trên khoảng $\left( - 3;\frac{1}{2} ight)$
Ta có:

$f(x) = - 4x^{3} + 4x - 1$ là hàm đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} f( - 1) = - 1 < 0 \\ f( - 2) = 23 > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow f(x) = 0$ có nghiệm trên $( - 2; - 1)$

Mà $( - 2; - 1) \subset ( - \infty;1)$

Vậy phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm trên khoảng $( - \infty;1)$

Ta có: $\left\{ \begin{gathered} f\left( 0 ight) = - 1 < 0 \hfill \\ f\left( {\dfrac{1}{2}} ight) = \dfrac{1}{2} > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$ có nghiệm trên $\left( 0;\frac{1}{2} ight) \subset \left( - 3;\frac{1}{2} ight)$

Vậy mệnh đề sai là “Phương trình $f(x) = 0$ không có nghiệm trên khoảng $( - \infty;1)$ ”
Câu 11: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{\sqrt[3]{6x - 5} - \sqrt{4x - 3}}{(x - 1)^{2}}\ \ \ khi\ \ x eq 1 \\ 2024m\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ \ x = 1 \\ \end{matrix} ight.$ liên tục tại $x = 1$ khi đó giá trị của tham số $m$ bằng bao nhiêu? (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b).

Đáp án: -1/1012

Đáp án là:

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{\sqrt[3]{6x - 5} - \sqrt{4x - 3}}{(x - 1)^{2}}\ \ \ khi\ \ x eq 1 \\ 2024m\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ \ x = 1 \\ \end{matrix} ight.$ liên tục tại $x = 1$ khi đó giá trị của tham số $m$ bằng bao nhiêu? (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b).

Đáp án: -1/1012

Hàm số xác định tại $x = 1$ .

Ta có $f(1) = 2024m$ . Tính $\lim_{x ightarrow 1}\frac{\sqrt[3]{6x - 5} - \sqrt{4x - 3}}{(x - 1)^{2}}$ .

Đặt $t = x - 1$ thì $x = t + 1$ , $x ightarrow 1$ thì $t ightarrow 0$

$\frac{\sqrt[3]{6x - 5} - \sqrt{4x - 3}}{(x - 1)^{2}} = \frac{\sqrt[3]{6t + 1} - \sqrt{4t + 1}}{t^{2}}$

$= \frac{\sqrt[3]{6t + 1} - (2t + 1)}{t^{2}} + \frac{(2t + 1) - \sqrt{4t + 1}}{t^{2}}$ .

$= \frac{6t + 1 - (8t^{3} + 12t^{2} + 6t + 1)}{t^{2}\left\lbrack \sqrt[3]{(6t + 1)^{2}} + (2t + 1)\sqrt[3]{6t + 1} + (2t + 1)^{2} ightbrack}$ $+ \frac{(4t^{2} + 4t + 1) - (4t + 1)}{t^{2}(2t + 1 + \sqrt{4t + 1})}$ .

$= \frac{- 8t - 12}{\left\lbrack \sqrt[3]{(6t + 1)^{2}} + (2t + 1)\sqrt[3]{6t + 1} + (2t + 1)^{2} ightbrack}$ $+ \frac{4}{(2t + 1 + \sqrt{4t + 1})}$ .

Vậy $\lim_{x ightarrow 1}\frac{\sqrt[3]{6x - 5} - \sqrt{4x - 3}}{(x - 1)^{2}}$

$= \lim_{t ightarrow 0}\{\frac{- 8t - 12}{\left\lbrack \sqrt[3]{(6t + 1)^{2}} + (2t + 1)\sqrt[3]{6t + 1} + (2t + 1)^{2} ightbrack}$ $+ \frac{4}{(2t + 1 + \sqrt{4t + 1})}\} = - 2$ .

Để hàm số liên tục tại $x = 1$ khi $f(1) = \lim_{x ightarrow 1}\frac{\sqrt[3]{6x - 5} - \sqrt{4x - 3}}{(x - 1)^{2}}$

$\Leftrightarrow 2024m = - 2 \Leftrightarrow m = \frac{- 1}{1012}$ .
Câu 12: Nhận biết
Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $(a;b)$ . Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên $\lbrack a;bbrack$ là:
- A.
  $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x ight) = f\left( a ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ + }} f\left( x ight) = f\left( b ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.$
- B.
  $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x ight) = f\left( a ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x ight) = f\left( b ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.$
- C.
  $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x ight) = f\left( a ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ + }} f\left( x ight) = f\left( b ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.$
- D.
  $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x ight) = f\left( a ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x ight) = f\left( b ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.$
Ta có:

Hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $(a;b)$

Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên $\lbrack a;bbrack$ là: $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x ight) = f\left( a ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x ight) = f\left( b ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.$
Câu 13: Vận dụng
Tính giá trị biểu thức P

Biết rằng $\lim\frac{\sqrt[3]{an^{3} + 5n^{2} - 7}}{\sqrt{3n^{2} - n + 2}} = b\sqrt{3} + c$ với $a,b,c$ là các tham số. Tính giá trị của biểu thức $P = \frac{a + c}{b^{3}}$ .
- A.
  $P = 3$
- B.
  $P = \frac{1}{3}$
- C.
  $P = 2$
- D.
  $P = \frac{1}{2}$
Ta có:

$\lim\frac{\sqrt[3]{an^{3} + 5n^{2} - 7}}{\sqrt{3n^{2} - n + 2}}$

$= \lim\dfrac{\sqrt[3]{a + \dfrac{5}{n} -\dfrac{7}{n^{3}}}}{\sqrt{3 - \dfrac{1}{n} + \dfrac{2}{n^{2}}}} =\dfrac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt{3}} =\dfrac{\sqrt{3}.\sqrt[3]{a}}{3}$

$\begin{matrix} \Rightarrow \dfrac{{\sqrt 3 .\sqrt[3]{a}}}{3} = b\sqrt 3 + c \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt[3]{a} = \dfrac{b}{3}} \\ {c = 0} \end{array}} ight. \Rightarrow P = \dfrac{1}{3} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 14: Nhận biết
Hàm số không liên tục

Hàm số nào sau đây không liên tục tại $x = 2$ ?
- A.
  $y = \sqrt{x + 2}$
- B.
  $y = \sin x$
- C.
  $y = \frac{x^{2}}{x - 2}$
- D.
  $y = x^{2} - 3x + 2$
Hàm số $y = \frac{x^{2}}{x - 2}$ có tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 2 ight\}$ nên không liên tục tại $x = 2$ .
Câu 15: Thông hiểu
Tìm giới hạn

Tính giới hạn $\lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{4x^{2} - 2x + 1} - \sqrt{1 - 2x}}{x}$
- A.
  $2$
- B.
  $- 1$
- C.
  $- 2$
- D.
  $0$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{4x^{2} - 2x + 1} - \sqrt{1 - 2x}}{x}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{\left( \sqrt{4x^{2} - 2x + 1} - \sqrt{1 - 2x} ight)\left( \sqrt{4x^{2} - 2x + 1} + \sqrt{1 - 2x} ight)}{x\left( \sqrt{4x^{2} - 2x + 1} + \sqrt{1 - 2x} ight)}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{4x^{2}}{x\left( \sqrt{4x^{2} - 2x + 1} + \sqrt{1 - 2x} ight)}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{4x^{2}}{x\left( \sqrt{4x^{2} - 2x + 1} + \sqrt{1 - 2x} ight)}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{4x}{\sqrt{4x^{2} - 2x + 1} + \sqrt{1 - 2x}} = \frac{0}{1 + 1} = 0$
Câu 16: Thông hiểu

Nhận xét tính đúng sai của các phát biểu

Nhận định sự đúng sai của các kết luận sau?

a) $\lim_{x ightarrow 1}\frac{3x + 2}{2 - x} = 5$ . Đúng||Sai

b) Phương trình $x^{3} - 3x^{2} + 3 = 0$ có đúng 3 nghiệm phân biệt. Đúng||Sai

c) Nếu $\lim_{x ightarrow 0}f(x) = 5$ thì $\lim_{x ightarrow 0}\left\lbrack 3x - 4f(x) ightbrack$ bằng $- 15$ . Sai||Đúng

d) Hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{1 + 2x} - 1}{x}\ \ \ khi\ x\ > \ 0 \\1 + 3x\ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \leq 0 \\\end{matrix} ight.$ gián đoạn tại $x = 0$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Nhận định sự đúng sai của các kết luận sau?

a) $\lim_{x ightarrow 1}\frac{3x + 2}{2 - x} = 5$ . Đúng||Sai

b) Phương trình $x^{3} - 3x^{2} + 3 = 0$ có đúng 3 nghiệm phân biệt. Đúng||Sai

c) Nếu $\lim_{x ightarrow 0}f(x) = 5$ thì $\lim_{x ightarrow 0}\left\lbrack 3x - 4f(x) ightbrack$ bằng $- 15$ . Sai||Đúng

d) Hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{1 + 2x} - 1}{x}\ \ \ khi\ x\ > \ 0 \\1 + 3x\ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \leq 0 \\\end{matrix} ight.$ gián đoạn tại $x = 0$ . Sai||Đúng

Ta có: $\lim_{x ightarrow 1}\frac{3x + 2}{2 - x} = \frac{3.1 + 2}{3 - 1} = 5$

Xét phương trình $x^{2} - 3x^{2} + 3 = 0$ . Đặt $x^{2} - 3x^{2} + 3 = f(x)$ là hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ suy ra hàm số cũng liên tục trên $\lbrack - 1;3brack$ .

Ta có: $f( - 1) = - 1;f(1) = 1;f(2) = - 1;f(3) = 3$

Khi đó: $\left\{ \begin{matrix} f( - 1).f(1) < 0 \\ f(1).f(2) < 0 \\ f(2).f(3) < 0 \\ \end{matrix} ight.$ nên phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất 3 nghiệm

$f(x) = 0$ là phương trình bậc 3 có tối đa 3 nghiệm

Vậy phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm.

Ta có:

Nếu $\lim_{x ightarrow 0}f(x) = 5$ suy ra

$\lim_{x ightarrow 0}\left\lbrack 3x - 4f(x) ightbrack$

$= \lim_{x ightarrow 0}(3x) - 4\lim_{x ightarrow 0}f(x) = 3.0 - 4.5 = - 20$

Ta có:

$\lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{\sqrt{1 + 2x} - 1}{x} = \lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{\left( \sqrt{1 + 2x} - 1 ight)\left( \sqrt{1 + 2x} + 1 ight)}{x\left( \sqrt{1 + 2x} + 1 ight)}$

$= \lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{2}{\sqrt{1 + 2x} + 1} = 1$

$\lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{-}}(1 + 3x) = 1$

Vậy hàm số đã cho liên tục tại x = 0.
Câu 17: Thông hiểu

Xác định kết luận đúng, kết luận sai

Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

a) $\lim_{x ightarrow \infty}\frac{2n + 5}{3n + 7} = \frac{5}{3}$ Sai||Đúng

b) $\lim_{x ightarrow - 2}\left( x^{2} - 2ax + 3 + a^{2} ight) = 3$ khi $a = - 2$ Đúng||Sai

c) Hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 3}{x - \sqrt{3}}\ \ \ khi\ x\ eq \sqrt{3} \\2\sqrt{3}\ \ \ khi\ x\ = \ \sqrt{3} \\\end{matrix} ight.$ liên tục tại $x = \sqrt{3}$ Đúng||Sai

c) $\lim\frac{\cos n}{n} = + \infty$ Sai||Đúng

Đáp án là:

Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

a) $\lim_{x ightarrow \infty}\frac{2n + 5}{3n + 7} = \frac{5}{3}$ Sai||Đúng

b) $\lim_{x ightarrow - 2}\left( x^{2} - 2ax + 3 + a^{2} ight) = 3$ khi $a = - 2$ Đúng||Sai

c) Hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 3}{x - \sqrt{3}}\ \ \ khi\ x\ eq \sqrt{3} \\2\sqrt{3}\ \ \ khi\ x\ = \ \sqrt{3} \\\end{matrix} ight.$ liên tục tại $x = \sqrt{3}$ Đúng||Sai

c) $\lim\frac{\cos n}{n} = + \infty$ Sai||Đúng

Ta có: $\lim_{x ightarrow\infty}\dfrac{2n + 5}{3n + 7} = \lim_{x ightarrow\infty}\dfrac{\dfrac{2n}{n} + \dfrac{5}{n}}{\dfrac{3n}{n} + \dfrac{7}{n}} =\dfrac{2}{3}$

Ta có: Khi $a = - 2$ thì $\lim_{x ightarrow - 2}\left( x^{2} + 4x + 3 + 4 ight) = \lim_{x ightarrow - 2}\left( x^{2} + 4x + 7 ight) = 3$

Ta có: $\left\{ \begin{gathered} f\left( {\sqrt 3 } ight) = 2\sqrt 3 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \left( {\frac{{{x^2} - 3}}{{x - \sqrt 3 }}} ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \left( {x + \sqrt 3 } ight) = 2\sqrt 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Vậy hàm số $f\left( x ight) = \left\{ \begin{gathered} \frac{{{x^2} - 3}}{{x - \sqrt 3 }}{\text{ khi x }} e \sqrt 3 \hfill \\ 2\sqrt 3 {\text{ khi x = }}\sqrt 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.$ liên túc tại $x = \sqrt{3}$

Ta có: $\left\{ \begin{gathered} \left| {\frac{{\cos n}}{n}} ight| \leqslant \frac{1}{n} \hfill \\ \lim \frac{1}{n} = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \lim \frac{{\cos n}}{n} = 0$
Câu 18: Nhận biết
Tính giới hạn

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{{x^2} - 2x - 15}}{{2x - 10}}$ bằng
- A.
  -4
- B.
  -1
- C.
  4
- D.
  $+\infty$
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \dfrac{{{x^2} - 2x - 15}}{{2x - 10}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \dfrac{{\left( {x - 5} ight)\left( {x + 3} ight)}}{{2\left( {x - 5} ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \dfrac{{x + 3}}{2} = 4 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 19: Vận dụng cao
Tính giới hạn hàm số

Tính $\lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2018} + x^{2017} + .... + x - 2018}{x^{2018} + 1}$
- A.
  $2018$
- B.
  $\frac{2019}{2018}$
- C.
  $\frac{2019}{2}$
- D.
  $\frac{2018}{2019}$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1}\dfrac{x^{2018} +x^{2017} + .... + x - 2018}{x^{2018} + 1}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\dfrac{(x -1)\left( x^{2017} + 2x^{2016} + 3.x^{2015} + .... + 2017x + 2018ight)}{(x - 1)\left( x^{2017} + x^{2016} + x^{2015} + .... + x + 1ight)}$

$= \dfrac{\dfrac{2018.2019}{2}}{2018} =\dfrac{2019}{2}$

Vậy $\lim_{x ightarrow 1}\dfrac{x^{2018}+ x^{2017} + .... + x - 2018}{x^{2018} + 1} =\frac{2019}{2}$
Câu 20: Thông hiểu
Tính kết quả giới hạn

Tìm giới hạn $H = \lim_{x ightarrow 1}\left( \frac{3x^{2} - x - 2}{x^{2} - 1} ight)$
- A.
  $H = \frac{5}{2}$
- B.
  $H = 0$
- C.
  $H = 2$
- D.
  $H = 3$
Ta có:

$H = \lim_{x ightarrow 1}\left( \frac{3x^{2} - x - 2}{x^{2} - 1} ight)$

$H = \lim_{x ightarrow 1}\frac{(x - 1)(3x + 2)}{(x - 1)(x + 1)}$

$H = \lim_{x ightarrow 1}\frac{3x + 2}{x + 1} = \frac{5}{2}$
Câu 21: Thông hiểu
Dãy số nào dưới đây có giới hạn bằng 0

Dãy số nào dưới đây có giới hạn bằng 0?
- A.
  $(0,999)^{n}$
- B.
  $(-1,01)^{n}$
- C.
  $(1,01)^{n}$
- D.
  $(-2,001)^{n}$
Ta có: $\lim {(0,999)^n} = 0$
Do $(0,999)^{n}$ là dãy cấp số nhân có $\left| q ight| < 1$
Câu 22: Nhận biết
Tính giới hạn dãy số

Giới hạn $L = \lim\frac{3n - 1}{n + 2}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  0
- C.
  1
- D.
  3
Sử dụng máy tính cầm tay ta được:

$L = \lim\frac{3n - 1}{n + 2} = 3$
Câu 23: Nhận biết
Tính f(0)

Cho hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên $( - 4; + \infty)$ với $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x + 4} - 2}$ với $x eq 0$ . Tính $f(0)$ .
- A.
  $f(0) = 0$
- B.
  $f(0) = 2$
- C.
  $f(0) = 4$
- D.
  $f(0) = 1$
Ta có hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên $( - 4; + \infty)$ nên suy ra

$f(0) = \lim_{x ightarrow 0}f(x)$

$= \lim_{x ightarrow 0}\left( \frac{x}{\sqrt{x + 4} - 2} ight)$

$= \lim_{x ightarrow 0}\left( \sqrt{x + 4} + 2 ight) = 4$
Câu 24: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên biến đổi theo một hàm số thời gian (tính theo ngày) là $g(t) = 45t^{2} - t^{3}$ (người). Tốc độ trung bình gia tăng người bệnh giữa hai thời điểm $t_{1}$ , $t_{2}$ là $V_{tb} = \frac{g\left( t_{2} ight) - g\left( t_{1} ight)}{t_{2} - t_{1}}$ . Tính $\lim_{t ightarrow 10}\frac{g(t) - g(10)}{t - 10}$ và cho biết ý nghĩa của kết quả tìm được.

Đáp án: 600

Đáp án là:

Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên biến đổi theo một hàm số thời gian (tính theo ngày) là $g(t) = 45t^{2} - t^{3}$ (người). Tốc độ trung bình gia tăng người bệnh giữa hai thời điểm $t_{1}$ , $t_{2}$ là $V_{tb} = \frac{g\left( t_{2} ight) - g\left( t_{1} ight)}{t_{2} - t_{1}}$ . Tính $\lim_{t ightarrow 10}\frac{g(t) - g(10)}{t - 10}$ và cho biết ý nghĩa của kết quả tìm được.

Đáp án: 600

Ta có: $\lim_{t ightarrow 10}\frac{g(t) - g(10)}{t - 10} = \lim_{t ightarrow 10}\frac{45t^{2} - t^{3} - 45 \cdot 10^{2} + 10^{3}}{t - 10}$

$\begin{matrix}= \lim_{t ightarrow 10}\dfrac{45(t - 10)(t + 10) - (t - 10)\left( t^{2}+ 10t + 100 ight)}{t - 10} \\\end{matrix}$

$= \lim_{t ightarrow 10}\left( - t^{2} + 35t + 350 ight) = 600$

Từ kết quả trên, ta thấy tốc độ gia tăng người bệnh ngay tại thời điểm $t = 10$ (ngày) là 600 người/ngày.
Câu 25: Nhận biết
Tính giới hạn

Tính giới hạn $\lim_{x ightarrow + \infty}\frac{3x^{2} - 2x}{x^{2} + 1}$
- A.
  $0$
- B.
  $- 1$
- C.
  $3$
- D.
  $2$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{3x^{2} - 2x}{x^{2} + 1}$ $= \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{3 - \dfrac{2}{x}}{1 + \dfrac{1}{x^{2}}} = \dfrac{3 - 0}{1 + 0}= 3$
Câu 26: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}- \dfrac{x}{2}\ \ khi\ \ x \leq 1 \\\dfrac{x^{2} - 3x + 2}{x^{2} - 1}\ \ khi\ \ x > 1 \\\end{matrix} ight.$ . Các kết luận dưới đây đúng hay sai?

a) $\ \lim_{x ightarrow 0}f(x) = - \ 2$ . Sai||Đúng

b) $\ \lim_{x ightarrow 3}f(x) = + \ \infty$ . Sai||Đúng

c) $\lim_{x ightarrow + \ \infty}f(x) = 1$ . Đúng||Sai

d) Hàm số $f(x)$ liên tục tại $x_{0} = 1$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}- \dfrac{x}{2}\ \ khi\ \ x \leq 1 \\\dfrac{x^{2} - 3x + 2}{x^{2} - 1}\ \ khi\ \ x > 1 \\\end{matrix} ight.$ . Các kết luận dưới đây đúng hay sai?

a) $\ \lim_{x ightarrow 0}f(x) = - \ 2$ . Sai||Đúng

b) $\ \lim_{x ightarrow 3}f(x) = + \ \infty$ . Sai||Đúng

c) $\lim_{x ightarrow + \ \infty}f(x) = 1$ . Đúng||Sai

d) Hàm số $f(x)$ liên tục tại $x_{0} = 1$ . Đúng||Sai

a) Sai

$\lim_{x ightarrow 0}f(x) = \lim_{x ightarrow 0}\left( - \frac{x}{2} ight) = 0$ .

b) Sai

$\lim_{x ightarrow 3}f(x) = \lim_{xightarrow 3}\left( \frac{x^{2} - 3x + 2}{x^{2} - 1} ight) =\frac{1}{4}$ .

c) Đúng

$\lim_{x ightarrow + \ \infty}f(x) = \lim_{x ightarrow + \ \infty}\left( \frac{x^{2} - 3x + 2}{x^{2} - 1} ight)$

$= \lim_{x ightarrow + \ \infty}\left( \frac{x - 2}{x + 1} ight) = \lim_{x ightarrow + \ \infty}\left( 1 - \frac{3}{x + 1} ight) = 1$ .

d) Đúng

Ta có:

$f(1) = - \frac{1}{2}$ và $\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\left( - \frac{x}{2} ight) = - \frac{1}{2}$ .

$\lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left( \frac{x^{2} - 3x + 2}{x^{2} - 1} ight) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left( \frac{x - 2}{x + 1} ight) = - \frac{1}{2}$ .

Vậy $f(1) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x)$ nên hàm số $f(x)$ liên tục tại $x_{0} = 1$ .
Câu 27: Nhận biết
Tìm câu sai

Cho $\lim_{x ightarrow x_{0}} = L$ và $\lim_{x ightarrow x_{0}}g(x) = M$ . Công thức nào sau đây sai?
- A.
  $\lim_{x ightarrow x_{0}}\left\lbrack f(x) + g(x) ightbrack = L + M$ .
- B.
  $\lim_{x ightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}$ .
- C.
  $\lim_{x ightarrow x_{0}}\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack = L - M$ .
- D.
  $\lim_{x ightarrow x_{0}}\left\lbrack f(x).g(x) ightbrack = L.M$
Ta có: $\lim_{x ightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}$ chỉ đúng nếu $M eq 0$ .
Câu 28: Thông hiểu
Tính giới hạn dãy số

Giới hạn $\lim_{}\frac{5n^{2} + 6n - 2025}{n^{2}}$ bằng
- A.
  $5$ .
- B.
  $0$ .
- C.
  $- 2025$ .
- D.
  $6$ .
Ta có:

$\lim\frac{5n^{2} + 6n - 2025}{n^{2}}$

$= \lim\dfrac{n^{2}\left( 5 + \dfrac{6}{n}- \dfrac{2025}{n^{2}} ight)}{n^{2}}$

$= \lim\left( 5 + \frac{6}{n} - \frac{2025}{n^{2}} ight) = 5$ .
Câu 29: Thông hiểu
Tính tổng S

Tính tổng S gồm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2} + x\ \ \ \ \ khi\ x < 1 \\ 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\ m^{2}x + 1\ \ \ khi\ x > 1 \\ \end{matrix} ight.$ liên tục tại $x = 1$ .
- A.
  $S = - 1$
- B.
  $S = 0$
- C.
  $S = 1$
- D.
  $S = 2$
Tập xác định $D\mathbb{= R}$

Điều kiện để bài toán trở thành

$\lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = f(1)\ (*)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left( m^{2}x + 1 ight) = m^{2} + 1 \\ \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\left( x^{2} + x ight) = 2 \\ f(1) = 2 \\ \end{matrix} ight.$

$(*) \Leftrightarrow m^{2} + 1 = 2 \Leftrightarrow m = \pm 1$

$S = - 1 + 1 = 0$
Câu 30: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Hàm số nào sau đây gián đoạn tại $x = 1$ ?
- A.
  $y = \frac{2x + 1}{x^{2} + 1}$
- B.
  $y = x^{3} + x + 1$
- C.
  $y = \frac{x}{x^{2} - 1}$
- D.
  $y = \sin x$
Xét hàm số $y = \frac{x}{x^{2} - 1}$ hàm số này không xác định tại x = 1 nên hàm số gián đoạn tại x = 1.
Câu 31: Nhận biết
Tính giới hạn của dãy số

Giới hạn $\lim\frac{2}{n - 3}$ bằng
- A.
  +∞.
- B.
  2.
- C.
  $- \frac{2}{3}$ .
- D.
  0.
Ta có:

$\lim\frac{2}{n - 3} =\lim\dfrac{\dfrac{2}{n}}{1 - \dfrac{3}{n}} = \dfrac{0}{0 - 0} =0$
Câu 32: Thông hiểu
Tính giới hạn dãy số

Cho hai dãy số $\left( u_{n} ight);\left( v_{n} ight)$ với $u_{n} = 2n + 1$ và $v_{n} = \frac{1}{1 - n}$ . Khi đó $\lim_{n ightarrow + \infty}\left( u_{n}v_{n} ight)$ bằng:
- A.
  $0$
- B.
  $2$
- C.
  $- 2$
- D.
  $+ \infty$
Ta có:

$u_{n}v_{n} = (2n + 1).\frac{1}{1 - n} = \frac{2n + 1}{1 - n}$

$\Rightarrow \lim_{n ightarrow + \infty}\left( u_{n}v_{n} ight) = \lim_{n ightarrow + \infty}\frac{2n + 1}{1 - n} = \lim_{n ightarrow + \infty}\frac{2 + \frac{1}{n}}{\frac{1}{n} - 1} = - 2$
Câu 33: Thông hiểu
Tìm giới hạn hàm số

Xác định $\lim_{x ightarrow - 2}\frac{x + 1}{(x + 2)^{2}}$ .
- A.
  $0$
- B.
  $- \infty$
- C.
  $+ \infty$
- D.
  $1$
Ta có:

$\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {x + 1} ight) = - 1 < 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {\left( {x + 2} ight)^2} = 0 \hfill \\ {\left( {x + 2} ight)^2} > 0,\forall x e - 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.$ $\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{x + 1}}{{{{\left( {x + 2} ight)}^2}}} = - \infty$
Câu 34: Vận dụng
Tìm giá trị của tham số a

Tìm tất cả các giá trị của tham số a để $A = \lim\frac{5n^{2} - 3an^{4}}{(1 - a)n^{4} + 2n + 1} > 0$
- A.
  $\left\lbrack \begin{matrix} a \leq 0 \\ a \geq 1 \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $0 < a < 1$
- C.
  $\left\lbrack \begin{matrix} a < 0 \\ a > 1 \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $0 \leq a < 1$
Ta có:

$A = \lim\frac{5n^{2} - 3an^{4}}{(1 - a)n^{4} + 2n + 1}$

$= \lim\dfrac{\dfrac{5}{n^{2}} - 3a}{(1 -a) + \dfrac{2}{n^{3}} + \dfrac{1}{n^{4}}}$

$= \frac{- 3a}{1 - a} > 0$

Giải bất phương trình ta được kết quả $\left\lbrack \begin{matrix} a < 0 \\ a > 1 \\ \end{matrix} ight.$
Câu 35: Thông hiểu
Tìm giá trị thực của tham số m

Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2}\sin \dfrac{1}{x}}&{{\text{ }}khi{\text{ }}x e 0} \\ m&{{\text{ }}khi{\text{ }}x = 0} \end{array}} ight.$ liên tục tại $x = 0$
- A. $m\in (-2;-1)$
- B.
  $m\leq -2$
- C.
  $m\in [-1;7)$
- D.
  $m\in [7;+\infty ]$
Với mọi $x e 0$ ta có:
$0 \leqslant \left| {f(x)} ight| \leqslant \left| {{x^2}\sin \frac{1}{x}} ight| \leqslant {x^2} \to 0$ khi $x \to 0$
=> $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = 0$
Theo giả thiết ta phải có: $\mathop {m = f\left( 0 ight) = \lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = 0$
Câu 36: Thông hiểu
Giới hạn dãy số bằng với số nào sau đây

$\lim\sqrt{4-\frac{\cos2n}{n}}$ bằng số nào sau đây?
- A.
  4
- B.
  2
- C.
  $\sqrt{2}$
- D.
  0
Ta có: $0 \leqslant \left| {\frac{{\cos 2n}}{n}} ight| \leqslant \frac{1}{n} \to 0$
$\Rightarrow \lim \sqrt {4 - \frac{{\cos 2n}}{n}} = 2$
Câu 37: Nhận biết
Tính giới hạn

$\lim_{x ightarrow - \infty}\left( \frac{2x + 1}{x - 1} ight)$ bằng
- A.
  $- 1$
- B.
  $1$
- C.
  $2$
- D.
  $- 2$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow - \infty}\left(\dfrac{2x + 1}{x - 1} ight) = \lim_{x ightarrow - \infty}\left(\dfrac{2 + \dfrac{1}{x}}{1 - \dfrac{1}{x}} ight) = 2$
Câu 38: Nhận biết
Tính lim?

Giá trị của $\lim\frac{1 - n^{2}}{n}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  0
- D.
  1
Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn $n_{M}$ thỏa mãn $\frac{n_{M}^{2} - 1}{n_{M}} > M$

$\Rightarrow n_{M} > \frac{M + \sqrt{M^{2} + 4}}{2}$ .

Ta có:

$\frac{n^{2} - 1}{n} > M\ ,\ \ \forall n > n_{M} = > \lim\frac{n^{2} - 1}{n} = + \infty$

Vậy $\lim\frac{1 - n^{2}}{n} = - \infty$ .
Câu 39: Nhận biết
Tìm giá trị của lim?

Giá trị của $\lim\sqrt[n]{a}$ với a> 0 bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  0
- D.
  1
Nếu a=1 thì ta có luôn giới hạn bằng 1.
Với a > 1 thì khi đó: $a = \left\lbrack 1 +\left( \sqrt[n]{a} - 1 ight) ightbrack^{n} > n(\sqrt[n]{a} -1)$
Suy ra: $0 < \sqrt[n]{a - 1} <\frac{a}{n} ightarrow 0$ nên $\lim\sqrt[n]{a} = 1$
Với 0 < a < 1 thì khi đó: $\frac{1}{a} >1$ .
Suy ra: $\lim \sqrt[n]{\frac{1}{a} }=1 \Rightarrow \lim \sqrt[n]{a}=1.\frac{1}{a}>1 \Rightarrow \lim \sqrt[n]{a}=1$
Tóm lại ta luôn có: $\lim\sqrt[n]{a} =1$ với a > 0 .
Câu 40: Vận dụng cao
Tính giới hạn

Tính $\lim_{xightarrow 0}\dfrac{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x)...(1 + 2018x) -1}{x}$ .
- A.
  $2018.2019$
- B.
  $2019$
- C.
  $2018$
- D.
  $1009.2019$
Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp, với $\forall n \geq 1;n\mathbb{\in N}$ thì

$\lim_{x ightarrow 0}\frac{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x)...(1 + nx) - 1}{x} = \frac{n(n + 1)}{2}(*)$

Với $n = 1$ thì $\left\{ \begin{gathered} VT = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{1 + x - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 1 = 1 \hfill \\ VP = \dfrac{{1\left( {1 + 1} ight)}}{2} = 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow VT = VP$ nên (*) đúng với $n = 1$

Giả sử (*) đúng với $n = k,k \geq 1;k\mathbb{\in N}$ nghĩa là:

$\lim_{x ightarrow 0}\frac{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x)...(1 + kx) - 1}{x} = \frac{k(k + 1)}{2}$

Xét $n = k + 1$ ta có:

$VT = \lim_{x ightarrow 0}\frac{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x)...(1 + kx)(1 + kx + x) - 1}{x}$

$VT = \lim_{x ightarrow 0}\frac{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x)...(1 + kx)(1 + kx) - 1}{x}$

$+ \lim_{x ightarrow 0}\frac{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x)...(x + kx) - 1}{x}$

$VT = \frac{k(k + 1)}{2} + \lim_{x ightarrow 0}\left\lbrack (1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x)...(1 + k) ightbrack$

$VT = \frac{k(k + 1)}{2} + k + 1 = \frac{(k + 1)(k + 2)}{2} = VP$

Vậy (*) đúng với $n = k + 1;k \geq 1;k\mathbb{\in N}$

Bây giờ ta áp dụng với $n = 2018$ thì

$\lim_{x ightarrow 0}\frac{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x)...(1 + 2018x) - 1}{x}$

$= \frac{2018.(2018 + 1)}{2} = 1009.2019$

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 3 Chân trời sáng tạo Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Đấu trường Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 3 Chân trời sáng tạo

Đang tìm đối thủ...

Đang tải...

Tạo phòng ngay Đấu trường chung

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

37 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 3 Chân trời sáng tạo

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 Chân trời sáng tạo
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân
Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số ghép số liệu nhóm
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Đạo hàm
Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 9: Xác suất

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 3 Chân trời sáng tạo

Đổi điểm làm bài

Đổi điểm làm bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đấu trường Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 3 Chân trời sáng tạo

Đang tìm đối thủ...