VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 3 Chân trời sáng tạo

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 CTST Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay

Câu 1: Vận dụng
Tính giá trị m

Cho số thực m thỏa mãn $\lim_{x ightarrow + \infty}\frac{m\sqrt{2x^{2} + 3} + 2017}{2x + 2018} = \frac{1}{2}$ . Khi đó giá trị của m là bao nhiêu?
- A.
  $m = \frac{\sqrt{2}}{2}$
- B.
  $m = - \frac{\sqrt{2}}{2}$
- C.
  $m = \frac{1}{2}$
- D.
  $m = - \frac{1}{2}$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow + \infty}\frac{m\sqrt{2x^{2} + 3} + 2017}{2x + 2018} = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{mx\sqrt{2 + \dfrac{3}{x^{2}}} + 2017}{x\left( 2 +\dfrac{2018}{x} ight)} = \dfrac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{m\sqrt{2 + \dfrac{3}{x^{2}}} + \dfrac{2017}{x}}{\left( 2 +\dfrac{2018}{x} ight)} = \dfrac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{m\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow m = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Câu 2: Nhận biết
Tìm khoảng liên tục của hàm số

Hàm số $f(x) = \frac{x + 1}{x^{2} - 5x + 4}$ liên tục trên khoảng nào sau đây?
- A.
  $( - \infty;4)$
- B.
  $( - 1;2)$
- C.
  $\lbrack 1; + \infty)$
- D.
  $(2;3)$
Ta có:

Hàm số $f(x) = \frac{x + 1}{x^{2} - 5x + 4}$ là hàm phân thứ hữu tỉ có tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 1;4 ight\}$ nên hàm số $f(x)$ liên tục trên các khoảng $( - \infty;1),(1;4),(4; + \infty)$ .

Do đó $f(x)$ liên tục trên $(2;3)$ .
Câu 3: Nhận biết
Tính giới hạn A

Tính $A = \lim_{x ightarrow - 1}\left( x^{2} - x + 7 ight)$ .
- A.
  $A = 5$
- B.
  $A = 9$
- C.
  $A = 0$
- D.
  $A = 7$
Ta có: $A = \lim_{x ightarrow - 1}\left( x^{2} - x + 7 ight) = 1 + 1 + 7 = 9$
Câu 4: Vận dụng
Tìm các giá trị nguyên của tham số a

Tìm các giá trị nguyên của a thuộc $(0;20)$ sao cho $\lim\sqrt{3 + \frac{a.n^{2} - 1}{3 + n^{2}} - \frac{1}{2^{n}}}$ là một số nguyên?
- A.
  $1$
- B.
  $3$
- C.
  $2$
- D.
  $4$
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix}\lim\left( \dfrac{a.n^{2} - 1}{3 + n^{2}} ight) = \lim\dfrac{a -\dfrac{1}{n^{2}}}{\dfrac{3}{n^{2}} + 1} = a \\\lim\left( \dfrac{1}{2^{n}} ight) = \lim\left( \dfrac{1}{2} ight)^{n}= 0 \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \lim\sqrt{3 + \frac{a.n^{2} - 1}{3 + n^{2}} - \frac{1}{2^{n}}} = \sqrt{3 + a}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} a \in (0;20),a\mathbb{\in Z} \\ \sqrt{a + 3}\mathbb{\in Z} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a \in \left\{ 1;6;13 ight\}$

Vậy có ba giá trị nguyên của tham số a thỏa mãn điều kiện đề bài.
Câu 5: Vận dụng
Xét sự liên tục của hàm số

Hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { - x\cos x{\text{ }}khi{\text{ }}x < 0} \\ {\dfrac{{{x^2}}}{{1 + x}}{\text{ }}khi{\text{ }}0 \leqslant x < 1} \\ {{x^3}{\text{ }}khi{\text{ x}} \geqslant {\text{1}}} \end{array}} ight.$
- A. Liên tục tại mọi điểm trừ điểm x = 0.
- B. Liên tục tại mọi điểm trừ x = 1.
- C. Liên tục tại mọi điểm trừ hai điểm x = 0 và x = 1.
- D. Liên tục tại mọi điểm
Ta có: $f(x)$ liên tục tại $x e 0; x e 1$
Tại $x=0$ ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - x\cos x} ight) = 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {\dfrac{{{x^2}}}{{1 + x}}} ight) = 0 \hfill \\ f\left( 0 ight) = 0 \hfill \\ \end{matrix}$
$\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = f\left( 0 ight)$
Vậy hàm số liên tục tại $x=0$
Tại $x=1$ ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {\dfrac{{{x^2}}}{{1 + x}}} ight) = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^3}} ight) = 1 \hfill \\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x ight) e \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy hàm số bị gián đoạn tại $x=1$
Kết luận: Hàm số đã cho liên tục tại mọi điểm trừ x = 1.
Câu 6: Thông hiểu
Tìm hàm số liên tục tại x = 1

Hàm số nào trong các hàm số sau liên tục tại $x = 1$ ?
- A.
  $f(x) = \left\{ \begin{matrix} x + 1\ khi\ x \geq 1 \\ 3x - 1\ khi\ x < 1 \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $f(x) = \frac{x + 3}{x^{2} - 1}$
- C.
  $f(x) = \left\{ \begin{matrix} x + 1\ khi\ x \geq 1 \\ 2x - 3\ khi\ x < 1 \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $f(x) = \sqrt{1 - 2x}$
Xét hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} x + 1\ khi\ x \geq 1 \\ 3x - 1\ khi\ x < 1 \\ \end{matrix} ight.$ có:

$\left\{ \begin{matrix} f(1) = 2 \\ \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}(x + 1) = 2 \\ \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}(3x - 1) = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy hàm số liên tục tại $x = 1$ .
Câu 7: Nhận biết
Xác định hàm số không liên tục

Hàm số nào trong các hàm số dưới đây không liên tục trên $\mathbb{R}$ ?
- A.
  $y = |x|$
- B.
  $y = \sin x$
- C.
  $y = \frac{x}{|x| + 1}$
- D.
  $y = \frac{x}{x + 1}$
Hàm số $y = \frac{x}{x + 1}$ có tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 1 ight\}$ nên hàm số không liên tục trên $\mathbb{R}$ .
Câu 8: Vận dụng
Tính giới hạn

Tính giá trị của giới hạn $\lim\dfrac{1^{2}+ 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2}}{n\left( n^{2} + 1 ight)}$ .
- A.
  $4$
- B.
  $1$
- C.
  $\frac{1}{2}$
- D.
  $\frac{1}{3}$
Đặt $P(n) = \frac{2n^{3} - 3n^{2} + n}{6} = \frac{n(n - 1)(2n + 1)}{6}$ thì ta có:

$1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2}$

$= \left\lbrack P(2) - P(1) ightbrack + \left\lbrack P(3) - P(2) ightbrack + ... + \left\lbrack P(n + 1) - P(n) ightbrack$

$= P(n + 1) - P(1) = \frac{n(n + 1)(2n + 3)}{6}$

Do đó: $\lim\frac{1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2}}{n\left( n^{2} + 1 ight)} = \lim\frac{n(n + 1)(2n + 3)}{6n\left( n^{2} + 1 ight)} = \frac{1}{3}$
Câu 9: Thông hiểu
Tính giới hạn của hàm số

Tính giới hạn $\lim_{x ightarrow - 2}\frac{2x^{2} + 3x - 2}{x^{2} - 4}$ ?
- A.
  $\frac{5}{4}$ .
- B.
  $- \frac{5}{4}$ .
- C.
  $\frac{1}{4}$ .
- D.
  $2$ .
Ta có:

$\lim_{x ightarrow - 2}\frac{2x^{2} + 3x - 2}{x^{2} - 4}$

$= \lim_{x ightarrow - 2}\frac{(2x - 1)(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)}$

$= \lim_{x ightarrow - 2}\frac{2x - 1}{x- 2} = \frac{5}{4}$ .
Câu 10: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Tính $\lim_{x ightarrow + \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 2x - 1} - x - 1 ight)$
- A.
  $- 2$
- B.
  $0$
- C.
  $+ \infty$
- D.
  $- \infty$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow + \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 2x - 1} - x - 1 ight)$

$= \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{\left( \sqrt{x^{2} + 2x - 1} + x + 1 ight)\left( \sqrt{x^{2} + 2x - 1} - x - 1 ight)}{\sqrt{x^{2} + 2x - 1} + x + 1}$

$= \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{- 2}{\sqrt{x^{2} + 2x - 1} + x + 1} = 0$
Câu 11: Nhận biết
Tính giới hạn dãy số

$\lim \frac{{\sqrt[3]{{{n^3} + n}}}}{{6n + 2}}$ bằng:
- A.
  $\frac{1}{6}$
- B.
  $\frac{1}{4}$
- C.
  $\frac{\sqrt[3]{2}}{6}$
- D.
  0
Ta có:
$\begin{matrix} \lim \dfrac{{\sqrt[3]{{{n^3} + n}}}}{{6n + 2}} = \lim \dfrac{{\sqrt[3]{{{n^3}\left( {1 + \dfrac{1}{{{n^3}}}} ight)}}}}{{n\left( {6 + \dfrac{2}{n}} ight)}} \hfill \\ = \lim \dfrac{{n\sqrt[3]{{1 + \dfrac{1}{{{n^3}}}}}}}{{n\left( {6 + \dfrac{2}{n}} ight)}} = \dfrac{1}{6} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 12: Nhận biết
Bổ sung thêm giá trị của f(0)

Cho $f(x)=\frac{x^{2}+5x}{7x}$ với $xeq 0$ . Phải bổ sung thêm giá trị $f(0)$ bằng bao nhiêu thì hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ ?
- A.
  $\frac{5}{7}$
- B.
  $\frac{1}{7}$
- C.
  $0$
- D.
  $\frac{-5}{7}$
Ta có:
Với $xeq 0$ hàm số xác định => Hàm số liên tục khi x > 0 và x < 0
Với x = 0 ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{x^2} + 5x}}{{7x}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{x + 5}}{7} = \dfrac{5}{7} \hfill \\ \end{matrix}$
Để hàm số liên tục tại x = 0 thì
$\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = f\left( 0 ight) \Rightarrow f\left( 0 ight) = \frac{5}{7}$
Câu 13: Nhận biết
Xác định khẳng định đúng

Chọn khẳng định đúng?
- A.
  $\lim_{x ightarrow - \infty}x^{4} = - \infty$
- B.
  $\lim_{x ightarrow - \infty}x^{3} = + \infty$
- C.
  $\lim_{x ightarrow x_{0}}x = x_{0}$
- D.
  $\lim_{x ightarrow + \infty}q^{x} = 0;\left( |q| \geq 1 ight)$
$\lim_{x ightarrow - \infty}x^{4} = + \infty$

$\lim_{x ightarrow - \infty}x^{3} = - \infty$

$\lim_{x ightarrow x_{0}}x = x_{0}$

$\lim_{x ightarrow + \infty}q^{x} = 0;\left( |q| < 1 ight)$
Câu 14: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của mỗi kết luận

Biết giới hạn $\lim\frac{2n + 1}{- 3n + 2} = a$ . Khi đó:

a) Giá trị $a$ lớn hơn 0. Sai||Đúng

b) Ba số $- \frac{5}{3};a;\frac{1}{3}$ tạo thành một cấp số cộng với công sai bằng $2$ . Sai||Đúng

c) Trên khoảng $( - \pi;\pi)$ phương trình lượng giác $\sin x = a$ có 3 nghiệm. Sai||Đúng

d) Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ với công bội $q = 3$ và $u_{1} = a$ , thì $u_{3} = - 6$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Biết giới hạn $\lim\frac{2n + 1}{- 3n + 2} = a$ . Khi đó:

a) Giá trị $a$ lớn hơn 0. Sai||Đúng

b) Ba số $- \frac{5}{3};a;\frac{1}{3}$ tạo thành một cấp số cộng với công sai bằng $2$ . Sai||Đúng

c) Trên khoảng $( - \pi;\pi)$ phương trình lượng giác $\sin x = a$ có 3 nghiệm. Sai||Đúng

d) Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ với công bội $q = 3$ và $u_{1} = a$ , thì $u_{3} = - 6$ . Đúng||Sai

a) Ta có: $\lim\frac{2n + 1}{- 3n + 2} = \lim\frac{n\left( 2 + \frac{1}{n} ight)}{n\left( - 3 + \frac{2}{n} ight)} = \lim\frac{2 + \frac{1}{n}}{- 3 + \frac{2}{n}} = \frac{- 2}{3}$

b) Ba số $- \frac{5}{3}; - \frac{2}{3};\frac{1}{3}$ tạo thành một cấp số cộng với công sai bằng 1

c) Trên khoảng $( - \pi;\pi)$ phương trình lượng giác $\sin x = a$ có 2 nghiệm

d) Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ với công bội $q = 3$ và $u_{1} = a$ , thì $u_{3} = - 6$

Kết luận:

a) Sai

b) Sai

c) Sai

d) Đúng
Câu 15: Thông hiểu
Tính biểu thức K

Tính $K = \lim_{x ightarrow + \infty}\left( \sqrt{4x^{2} + 3x + 1} - 2x ight)$
- A.
  $K = \frac{1}{2}$
- B.
  $K = + \infty$
- C.
  $K = 0$
- D.
  $K = \frac{3}{4}$
Ta có:

$K = \lim_{x ightarrow + \infty}\left( \sqrt{4x^{2} + 3x + 1} - 2x ight)$

$K = \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{4x^{2} + 3x + 1 - 4x^{2}}{\sqrt{4x^{2} + 3x + 1} +2x}$

$K = \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{3x + 1}{\sqrt{4x^{2} + 3x + 1} + 2x}$

$K = \lim_{x ightarrow + \infty}\dfrac{3+ \dfrac{1}{x}}{\sqrt{4 + \dfrac{3}{x} + \dfrac{1}{x^{2}}} + 2} =\dfrac{3}{4}$
Câu 16: Nhận biết
Tính giới hạn hàm số

Tính $\lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2} + x - 2}{x - 1}$ .
- A.
  $3$
- B.
  $- 3$
- C.
  $1$
- D.
  $- 2$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2} + x - 2}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1}\frac{(x - 1)(x + 2)}{x - 1}$

$= \lim_{x ightarrow 1}(x + 2) = 3$
Câu 17: Vận dụng cao
Tìm số tự nhiên n

Cho hàm số $f(x)= \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x + x^{2} + ... + x^{n} - n}{x - 1}\ \ khi\ x eq 1 \\15\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight.$ . Tìm số tự nhiên n để hàm số liên tục tại $x_{0} = 1$ .
- A.
  $n = 5$
- B.
  $n = 4$
- C.
  $n = 0$
- D.
  $n = 1$
Ta có: $f(1) = 15$

$\lim_{x ightarrow 1}f(x) = \lim_{x ightarrow 1}\frac{x + x^{2} + ... + x^{n} - n}{x - 1}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{x - 1 + x^{2} - 1 + ... + x^{n} - 1}{x - 1}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{(x - 1)\left\lbrack 1 + (x + 1) + \left( x^{2} + x + 1 ight) + ... + \left( x^{n - 1} + x^{n - 2} + ... + 1 ight) ightbrack}{x - 1}$

$= 1 + 2 + ... + n = \frac{n(n + 1)}{2}$

Hàm số f(x) liên tục tại $x_{0} = 1$ khi và chỉ khi

$\lim_{x ightarrow 1}f(x) = f(1)$

$\Leftrightarrow \frac{n(n + 1)}{2} = 15$

$\Leftrightarrow n = 5$
Câu 18: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Biết $\lim_{x ightarrow 1}\frac{\sqrt[3]{x + 7} - \sqrt{x + 3}}{x^{2} - 3x + 2} = \frac{a}{b}$ , trong đó $a, b\in\mathbb{ Z}$ . Tính $- 106a + b$ .

Đáp án: -100||- 100

Đáp án là:

Biết $\lim_{x ightarrow 1}\frac{\sqrt[3]{x + 7} - \sqrt{x + 3}}{x^{2} - 3x + 2} = \frac{a}{b}$ , trong đó $a, b\in\mathbb{ Z}$ . Tính $- 106a + b$ .

Đáp án: -100||- 100

Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1}\frac{\sqrt[3]{x + 7} - \sqrt{x + 3}}{x^{2} - 3x + 2} = \lim_{x ightarrow 1}\frac{\sqrt[3]{x + 7} - 2}{(x - 1)(x - 2)} + \lim_{x ightarrow 1}\frac{2 - \sqrt{x + 3}}{(x - 1)(x - 2)}$ .

Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1}\frac{\sqrt[3]{x + 7} - 2}{(x - 1)(x - 2)}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{x + 7 - 2^{3}}{(x - 1)(x - 2)\left\lbrack \sqrt[3]{(x + 7)^{2}} + 2\sqrt[3]{x + 7} + 4 ightbrack}$ .

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{1}{(x - 2)\left( \sqrt[3]{(x + 7)^{2}} + 2\sqrt[3]{x + 7} + 4 ight)} = - \frac{1}{12}$ .

Đồng thời:

$\lim_{x ightarrow 1}\frac{2 - \sqrt{x + 3}}{(x - 1)(x - 2)} = \lim_{x ightarrow 1}\frac{2^{2} - (x + 3)}{(x - 1)(x - 2)(2 + \sqrt{x + 3})}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{- 1}{(x - 2)(2 + \sqrt{x + 3})} = \frac{1}{4}$

$\Rightarrow \lim_{x ightarrow 1}\frac{\sqrt[3]{x + 7} - \sqrt{x + 3}}{x^{2} - 3x + 2} = - \frac{1}{12} + \frac{1}{4} = \frac{1}{6}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 6 \\ \end{matrix} ight.$ .

Vậy $- 106a + b = - 106 + 6 = - 100$ .
Câu 19: Nhận biết
Tính giới hạn dãy số

Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ với $u_{n} = \frac{4^{n - 1}}{5^{n - 2}}$ . Tính $\lim_{n ightarrow + \infty}u_{n}$ .
- A.
  $0$ .
- B.
  $\frac{4}{5}$ .
- C.
  $\frac{4}{25}$ .
- D.
  $\frac{25}{4}$ .
Ta có:

$\lim_{n ightarrow + \infty}u_{n} = \lim_{n ightarrow + \infty}\frac{4^{n - 1}}{5^{n - 2}} = \lim_{n ightarrow + \infty}\left( \left( \frac{4}{5} ight)^{n}.\frac{4^{- 1}}{5^{- 2}} ight) = 0$
Câu 20: Thông hiểu
Giá trị của m để hàm số đã cho liên tục

Cho hàm số $f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {3x - 5}&{{\text{ }}khi{\text{ }}x \leqslant - 2} \\ {mx + 3}&{{\text{ }}khi{\text{ }}x > - 2} \end{array}} ight.$ . Giá trị của m để hàm số đã cho liên tục tại $x = -2$ là:
- A.
  7
- B.
  -7
- C.
  5
- D.
  1
Ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} ight)}^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} ight)}^ - }} \left( {3x - 5} ight) = -11 \hfill \\ f\left( { - 2} ight) = -11 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} ight)}^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} ight)}^ + }} \left( {mx + 3} ight) = - 2m + 3 \hfill \\ \end{matrix}$
Để hàm số liên tục tại $x=-2$ thì
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} ight)}^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} ight)}^ + }} f\left( x ight) = f\left( { - 2} ight)$
$\Leftrightarrow - 2m + 3 = -11 \Rightarrow m = 7$
Câu 21: Thông hiểu
Xác định khoảng liên tục của hàm số

Xác định khoảng liên tục của hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} \cos\frac{\pi x}{2}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ |x| \leq 1 \\ x - 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ |x| > 1 \\ \end{matrix} ight.$ . Mệnh đề nào dưới đây sai?
- A.
  Hàm số liên tục tại $x = - 1$
- B.
  Hàm số liên tục trên các khoảng $( - \infty; - 1),(1; + \infty)$
- C.
  Hàm số liên tục tại $x = 1$
- D.
  Hàm số liên tục trên khoảng $( - 1;1)$
Hàm số liên tục trên các khoảng $( - \infty; - 1),(1; + \infty);( - 1;1)$

Ta có: $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} ight)}^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} ight)}^ - }} \left( {x - 1} ight) = - 2 \hfill \\ f\left( { - 1} ight) = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

=> Hàm số gián đoạn tại $x = - 1$

Ta lại có: $\left\{ \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x - 1} ight) = 0 \hfill \\ f\left( 1 ight) = 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \cos \dfrac{{\pi x}}{2} = 0 \hfill \\ \end{matrix} ight.$

=> Hàm số liên tục tại $x = 1$
Câu 22: Thông hiểu
Kết quả đúng?

Kết quả đúng của $\lim\frac{- n^{2} + 2n + 1}{\sqrt{3n^{4} + 2}}$ là?
- A.
  $- \frac{\sqrt{3}}{3}$
- B.
  $- \frac{2}{3}$
- C.
  $\frac{2}{3}$
- D.
  $\frac{1}{2}$
Ta có:

$\lim\frac{- n^{2} + 2n + 1}{\sqrt{3n^{4} + 2}} = \lim\frac{- 1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^{2}}\ }{\sqrt{3 + \frac{2}{n^{2}}\ }}$

$= \frac{- 1 + 0 + 0}{\sqrt{3 + 0}} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$
Câu 23: Thông hiểu
Tính giới hạn

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 2x} + 3x}}{{\sqrt {4{x^2} + 1} - x + 2}}$ bằng
- A.
  $\frac{2}{3}$
- B.
  $-\frac{2}{3}$
- C.
  $\frac{1}{2}$
- D.
  $-\frac{1}{2}$
Ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 2x} + 3x}}{{\sqrt {4{x^2} + 1} - x + 2}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\left| x ight|\sqrt {1 + \dfrac{2}{x}} + 3x}}{{\left| x ight|\sqrt {1 + \dfrac{1}{x}} - x + 2}} \hfill \\ \end{matrix}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\sqrt {1 + \dfrac{2}{x}} + 3}}{{\sqrt {1 + \dfrac{1}{x}} - 1 + \dfrac{2}{x}}} = \frac{{ - 2}}{3}$
Câu 24: Nhận biết
Tính giá trị?

Giá trị của $\lim\frac{1}{n^{k}}$ với $k \in \mathbb{N^*}$ bằng:
- A.
  0
- B.
  2
- C.
  4
- D.
  5
Với a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn $n_{a} > \sqrt[k]{\frac{1}{a}}$

Suy ra:

$\frac{1}{n^{k}} < \frac{1}{n_{a}^{k}} < a\ \forall n > n_{a}$

Vậy $\lim\frac{1}{n^{k}} = 0$ .
Câu 25: Nhận biết
Tính f(1)

Cho hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$ với $f(x) = \frac{x^{2} - 3x + 2}{x - 1}$ với mọi $x eq 1$ . Tính $f(1)$ .
- A.
  $f(1) = 2$
- B.
  $f(1) = 1$
- C.
  $f(1) = 0$
- D.
  $f(1) = - 1$
Ta có: $f(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$ nên suy ra

$f(1) = \lim_{x ightarrow 1}f(x)$

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2} - 3x + 2}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1}(x - 2) = 1$

Vậy $f(1) = 1$
Câu 26: Vận dụng
Tính giá trị biểu thức

Giả sử $a,b$ là các giá trị để hàm số $f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{{x^2} + ax + b}}{{{x^2} - 4}}{\text{ , khi }}x < - 2} \\ {x + 1{\text{ , khi }}x \geqslant - 2} \end{array}} ight.$ có giới hạn hữu hạn khi $x$ dần tới $- 2$ . Tính giá trị biểu thức $3a - b$
- A.
  $24$
- B.
  $8$
- C.
  $12$
- D.
  $4$
Ta có: $\lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{+}}(x + 1) = - 1$

Suy ra $f(x)$ hữu hạn khi $x$ dần tới $- 2$ khi và chỉ khi

$\lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x)$

$\Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = - 1$

$\Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{x^{2} + ax + b}{x^{2} - 4} = - 1$

$\Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{2x^{2} + ax + b - 4}{x^{2} - 4} = 0(*)$

Do $\lim_{x ightarrow 2^{-}}\left( x^{2} - 4 ight) = 0$ nên điều kiện cần để có (*) là

$\lim_{x ightarrow 2^{-}}\left( 2x^{2} + ax + b - 4 ight) = 0$

$\Rightarrow 2a - b = 4$

Ngược lại với $2a - b = 4$ ta có:

$\Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{2x^{2} + ax + b - 4}{x^{2} - 4} = 0$

$\Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{2x^{2} + ax + 2a - 8}{x^{2} - 4} = 0$

$\Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{2x + a - 4}{x - 2} = 0$

$\Leftrightarrow a = 8$

=> $f(x)$ có giới hạn hữu hạn khi $x$ dần tới $- 2$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 8 \\ b = 12 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow 3a - b = 12$
Câu 27: Thông hiểu
Tính kết quả giới hạn

Tính giới hạn $\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{2x + 1}{x - 1}$
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  $2$
- D.
  $- 2$
Khi $x \mapsto 1^{+}$ ta có: $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {2x + 1} ight) = 3 > 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x - 1} ight) = 0 \hfill \\ x - 1 > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

$\Rightarrow \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{2x + 1}{x - 1} = + \infty$
Câu 28: Vận dụng cao
Tính tổng P

Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,353535 . . . được biểu diễn bởi phân số tối giản $\frac{m}{n}$ . Tính $P = mn$
- A.
  $P = 3456$
- B.
  $P = 3465$
- C.
  $P = 3645$
- D.
  $P = 3546$
Ta có:

$\begin{matrix} 0,353535 = 0,35 + 0,0035 + ... \hfill \\ = \dfrac{{35}}{{{{10}^2}}} + \dfrac{{35}}{{{{10}^4}}} + ... + \dfrac{{35}}{{{{10}^n}}} + ... \hfill \\ \end{matrix}$

Dãy số $\frac{35}{10^{2}};\frac{35}{10^{4}};...;\frac{35}{10^{n}};...$ là một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là $u_{1} = \frac{35}{10^{2}}$ , công sai là $q = 10^{- 2}$

=> $S = \dfrac{u_{1}}{1 - q} =\dfrac{\dfrac{35}{10^{2}}}{1 - 10^{- 2}} = \dfrac{35}{99}$

Vậy $0,353535 = \frac{35}{99}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 35 \\ n = 99 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow P = 3465$
Câu 29: Thông hiểu
Tìm giá trị thực của tham số m

Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{3} - x^{2} + 2x - 2}{x - 1}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x eq 1 \\3x + m\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight.$ liên tục tại $x = 1$ .
- A.
  $m = 0$
- B.
  $m = 6$
- C.
  $m = 4$
- D.
  $m = 2$
Ta có:

$f(1) = m + 3$

$\lim_{x ightarrow 1}f(x) = \lim_{xightarrow 1}\frac{x^{3} - x^{2} + 2x - 2}{x - 1}$

$= \lim_{x ightarrow1}\frac{(x - 1)\left( x^{2} + 2 ight)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow1}\left( x^{2} + 2 ight) = 3$

Hàm số $f(x)$ liên tục tại $x = 1$

$= > m + 3 = 3 = > m = 0$
Câu 30: Thông hiểu
Tính giá trị của giới hạn

Giá trị của giới hạn $\lim \left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} - n} ight)$ là:
- A.
  $-\frac{1}{2}$
- B.
  0
- C.
  1
- D.
  $-\infty$
Ta có:
$\begin{matrix} \lim \left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} - n} ight) \hfill \\ = \lim \dfrac{{\left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} - n} ight)\left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} + n} ight)}}{{\left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} + n} ight)}} \hfill \\ \end{matrix}$
$\begin{matrix} = \lim \dfrac{{{n^2} - n + 1 - {n^2}}}{{\left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} + n} ight)}} \hfill \\ = \lim \dfrac{{ - n + 1}}{{\sqrt {{n^2} - n + 1} + n}} \hfill \\ = \lim \dfrac{{n\left( { - 1 + \dfrac{1}{n}} ight)}}{{n\left( {\sqrt {1 - \frac{1}{n} + \dfrac{1}{{{n^2}}}} + 1} ight)}} = - \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 31: Thông hiểu
Tìm mệnh đề sai

Cho hàm số $f(x) = - 4x^{3} + 4x - 1$ . Mệnh đề nào sai?
- A.
  Hàm số đã cho liên tục trên $\mathbb{R}$
- B.
  Phương trình $f(x) = 0$ không có nghiệm trên khoảng $( - \infty;1)$
- C.
  Phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm trên khoảng $( - 2;0)$
- D.
  Phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất hai nghiệm trên khoảng $\left( - 3;\frac{1}{2} ight)$
Ta có:

$f(x) = - 4x^{3} + 4x - 1$ là hàm đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} f( - 1) = - 1 < 0 \\ f( - 2) = 23 > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow f(x) = 0$ có nghiệm trên $( - 2; - 1)$

Mà $( - 2; - 1) \subset ( - \infty;1)$

Vậy phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm trên khoảng $( - \infty;1)$

Ta có: $\left\{ \begin{gathered} f\left( 0 ight) = - 1 < 0 \hfill \\ f\left( {\dfrac{1}{2}} ight) = \dfrac{1}{2} > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$ có nghiệm trên $\left( 0;\frac{1}{2} ight) \subset \left( - 3;\frac{1}{2} ight)$

Vậy mệnh đề sai là “Phương trình $f(x) = 0$ không có nghiệm trên khoảng $( - \infty;1)$ ”
Câu 32: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Tính $\lim\frac{2n + 1}{1 + n}$ được kết quả là:
- A.
  $2$ .
- B.
  $0$ .
- C.
  $\frac{1}{2}$ .
- D.
  $1$ .
Ta có

$\lim\frac{2n + 1}{1 + n} = \lim\frac{n\left( 2 + \frac{1}{n} ight)}{n\left( \frac{1}{n} + 1 ight)} = \lim\frac{2 + \frac{1}{n}}{\frac{1}{n} + 1} = \frac{2 + 0}{0 + 1} = 2$ .
Câu 33: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Tính giới hạn sau: $\lim\frac{\sqrt[3]{2n^{2} - n^{3}} + n}{\sqrt{n^{2} + n} - n}$ .

Đáp án: 1

Đáp án là:

Tính giới hạn sau: $\lim\frac{\sqrt[3]{2n^{2} - n^{3}} + n}{\sqrt{n^{2} + n} - n}$ .

Đáp án: 1

Ta có:

$\lim\frac{\sqrt[3]{2n^{2} - n^{3}} + n}{\sqrt{n^{2} + n} - n}$

$= \lim\left\lbrack \frac{2n^{2} - n^{3} + n^{3}}{n^{2} + n - n^{2}} \cdot \frac{\sqrt{n^{2} + n} + n}{\sqrt[3]{\left( 2n^{2} - n^{3} ight)^{2}} + n^{2} - n\sqrt[3]{2n^{2} - n^{3}}} ightbrack$

$= \lim\dfrac{\sqrt{\left( n\sqrt{1 +\dfrac{1}{n}} + n ight)}}{\sqrt[3]{n^{6} \cdot \left( \dfrac{2}{n} - 1ight)^{2}} + n^{2} - n \cdot \sqrt[3]{n^{3}\left( \dfrac{2}{n} - 1ight)}}$

$= \lim\dfrac{\sqrt{1 + \dfrac{1}{n}} +1}{\left( \dfrac{2}{n} - 1 ight)^{\dfrac{2}{3}} + 1 -\sqrt[3]{\dfrac{2}{n} - 1}}$

Khi $n ightarrow \infty$ thì $\ lim\frac{1}{n} = 0$ .

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\lim\left( \left( \dfrac{2}{n} - 1 ight)^{\dfrac{2}{3}} + 1 -\sqrt[3]{\dfrac{2}{n} - 1} ight) = - 1 + 1 + 1 = 1 \\\lim\left( \sqrt{1 + \dfrac{1}{n}} + 1 ight) = 1 \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \lim\dfrac{\left( \sqrt{1 +\dfrac{1}{n}} + 1 ight.\ }{\left( \dfrac{2}{n} - 1 ight)^{\dfrac{2}{3}}+ 1 - \sqrt[3]{\dfrac{2}{n} - 1}} = 1$

$\Rightarrow \lim\frac{\sqrt[3]{2n^{2} - n^{3}} + n}{\sqrt{n^{2} + n} - n} = 1$
Câu 34: Nhận biết
Giới hạn hàm số

Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2{x^3} - 2x{\text{ }}khi{\text{ }}x \geqslant 1} \\ {{x^3} - 2x{\text{ }}khi{\text{ }}x < 1} \end{array}} ight.$ . Khi đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x ight)$ bằng:
- A.
  -4
- B.
  -2
- C.
  -1
- D.
  2
Ta có:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {{x^3} - 2x} ight) = - 1$
Câu 35: Vận dụng
Tính giá trị biểu thức

Cho hàm số $f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{x - \sqrt {x + 2} }}{{{x^2} - 4}}{\text{ khi }}x > 2} \\ {{x^2} + ax + 3b{\text{ khi }}x < 2} \\ {2x + b - 6{\text{ khi }}x = 2} \end{array}} ight.$ liên tục tại $x = 2$ . Tính giá trị biểu thức $H = a + b$ .
- A.
  $H = \frac{19}{30}$
- B.
  $H = - \frac{173}{16}$
- C.
  $H = \frac{- 93}{16}$
- D.
  $H = \frac{19}{32}$
Ta có: $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x ight) = \frac{3}{{16}} \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x ight) = 2a + 3b + 4 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Từ điều kiện hàm số liên tục tại $x = 2$ ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix}2a + 3b = - \dfrac{61}{16} \\2a + b = \dfrac{99}{16} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \dfrac{179}{32} \\b = - 5 \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow H = a + b = \frac{19}{32}$
Câu 36: Nhận biết
Tính giá trị

Giá trị của $B = \lim\frac{2n + 3}{n^{2} + 1}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  0
- D.
  1
Với số thực a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn $\ \ n_{a}$ thỏa mãn:

$\frac{2n_{a} + 3}{n_{a}^{2} + 1} < a$

$\Leftrightarrow n_{a} > \frac{1 + \sqrt{a^{2} - 4a + 13}}{a}$

Ta có: $\frac{2n + 3}{n^{2} + 1} < a\ với\ mọi\ n > n_{a}$

Suy ra $B =\lim\frac{2n + 3}{n^{2} + 1} =0$ .
Câu 37: Nhận biết
Tính giới hạn hàm số

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} + 2} - \sqrt {x + 3} }}{{2x - 3}}$ bằng
- A.
  0
- B.
  1
- C.
  2
- D.
  $+\infty$
Ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\sqrt {4{x^2} + 2} - \sqrt {x + 3} }}{{2x - 3}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x\left( {\sqrt {4 + \dfrac{2}{{{x^2}}}} - \sqrt {\dfrac{1}{x} + \dfrac{3}{{{x^2}}}} } ight)}}{{x\left( {2 - \dfrac{3}{x}} ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x\left( {\sqrt {4 + \dfrac{2}{{{x^2}}}} - \sqrt {\dfrac{1}{x} + \dfrac{3}{{{x^2}}}} } ight)}}{{x\left( {2 - \dfrac{3}{x}} ight)}} \hfill \\ = 1 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 38: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng

Biết rằng $f(x) =\left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 1}{\sqrt{x} - 1}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x eq 1 \\a\ \ \ khi\ x eq 1 \\\end{matrix} ight.$ liên tục trên $\lbrack 0;1brack$ với a là tham số. Khẳng định nào sau đây về giá trị a là đúng?
- A.
  $a \in \mathbb{Z}$
- B.
  $a\in\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}$
- C.
  $a > 5$
- D.
  $a < 0$
Ta có:

Hàm số xác định và liên tục trên $\lbrack 0;1brack$

Khi đó $f(x)$ liên tục trên $\lbrack 0;1brack$ khi và chỉ khi $\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = f(1)\ \ \ (*)$

Ta có:

$f(1) = a$

$\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{x^{2} - 1}{\sqrt{x} - 1}$ $= \lim_{x ightarrow 1^{-}}\left\lbrack (x + 1)\left( \sqrt{x} + 1 ight) ightbrack = 4$

$(*) \Leftrightarrow a = 4$
Câu 39: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức T

Biết $\lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{3x + 1} - 1}{x} = \frac{a}{b}$ , trong đó $a,b$ là hai số nguyên dương và phân số $\frac{a}{b}$ tối giản. Tính giá trị của biểu thức $T = a^{2} + b^{2}$
- A.
  $T = 13$
- B.
  $T = 0$
- C.
  $T = 4$
- D.
  $T = 10$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{3x + 1} - 1}{x}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{\left( \sqrt{3x + 1} - 1 ight)\left( \sqrt{3x + 1} + 1 ight)}{x\left( \sqrt{3x + 1} + 1 ight)}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{3x + 1 - 1}{x\left( \sqrt{3x + 1} + 1 ight)} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{3x}{x\left( \sqrt{3x + 1} + 1 ight)}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{3x + 1} + 1} = \frac{3}{2}$

$\Rightarrow a = 3;b = 2$

$\Rightarrow T = 3^{2} + 2^{2} = 13$
Câu 40: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định

Tính được các giới hạn sau, khi đó:

a) $\lim(\sqrt{3})^{n} = - \infty$ Sai||Đúng

b) $\lim\pi^{n} = 0$ Sai||Đúng

c) $\lim\left( n^{3} + 2n^{2} - 4 ight) = + \infty$ Đúng||Sai

d) $\lim\left( - n^{4} + 5n^{3} - 4n ight) = - \infty$ Đúng||Sai

Đáp án là:

Tính được các giới hạn sau, khi đó:

a) $\lim(\sqrt{3})^{n} = - \infty$ Sai||Đúng

b) $\lim\pi^{n} = 0$ Sai||Đúng

c) $\lim\left( n^{3} + 2n^{2} - 4 ight) = + \infty$ Đúng||Sai

d) $\lim\left( - n^{4} + 5n^{3} - 4n ight) = - \infty$ Đúng||Sai

a) $\lim(\sqrt{3})^{n} = +\infty$ (do $\sqrt{3} > 1)$

b) $\lim\pi^{n} = + \infty($ do $\pi > 1)$

c) $\lim\left( n^{3} + 2n^{2} - 4 ight) = \lim n^{3}.\left( 1 + \frac{2}{n} - \frac{4}{n^{3}} ight) = + \infty$ .

Vì $\left\{ \begin{matrix} \lim n^{3} = + \infty \\ \lim\left( 1 + \frac{2}{n} - \frac{4}{n^{3}} ight) = 1 > 0 \\ \end{matrix} ight.$

d) $\lim\left( - n^{4} + 5n^{3} - 4n ight) = \lim n^{4}.\left( - 1 + \frac{5}{n} - \frac{4}{n^{3}} ight) = - \infty$ .

Vì $\left\{ \begin{matrix} \lim n^{4} = + \infty \\ \lim\left( - 1 + \frac{5}{n} - \frac{4}{n^{3}} ight) = - 1 < 0 \\ \end{matrix} ight.$

Kết luận:

a) Sai

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 3 Chân trời sáng tạo Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

33 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 3 Chân trời sáng tạo

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 Chân trời sáng tạo
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân
Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số ghép số liệu nhóm
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Đạo hàm
Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 9: Xác suất

Lớp 11
Khóa học Lớp 11
Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 5
Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 6
Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 4
Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 7
Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4 Đề 2
Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 3 Chân trời sáng tạo

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 5

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 6

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 4

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 7

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4 Đề 2

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4