VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 3 Chân trời sáng tạo

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 CTST Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay

Câu 1: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{\sqrt{x + 7} - 3}{x - 3}\ khi\ \ x > 1 \\ \frac{ax + 15}{4}\ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ \ x \leq 1 \\ \end{matrix} ight.$ . Để hàm số liên tục tại $x = 1$ thì $a$ nhận giá trị là bao nhiêu?

Đáp án: -14||- 14

Đáp án là:

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{\sqrt{x + 7} - 3}{x - 3}\ khi\ \ x > 1 \\ \frac{ax + 15}{4}\ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ \ x \leq 1 \\ \end{matrix} ight.$ . Để hàm số liên tục tại $x = 1$ thì $a$ nhận giá trị là bao nhiêu?

Đáp án: -14||- 14

Tập xác định của hàm số $f(x)$ là $\mathbb{R}$ .

Ta có $f(1) = \frac{a + 15}{4}$

$\lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{\sqrt{x + 3} - 2}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{1}{\left( \sqrt{x + 3} + 2 ight)} = \frac{1}{4}$

$\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\left( \frac{ax + 15}{4} ight) = \frac{a + 15}{4}$

Hàm số đã cho liên tục tại $x = 1$

$\Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = f(1)$

$\Leftrightarrow \frac{1}{4} = \frac{a + 15}{4} \Leftrightarrow a = - 14$ .
Câu 2: Nhận biết
Tính giới hạn

Kết quả của giới hạn $\lim\left( \frac{1}{2} ight)^{n}$ bằng
- A.
  $0$ .
- B.
  $+ \infty$ .
- C.
  $\frac{1}{2}$ .
- D.
  $- \infty$ .
Có $\lim q^{n} = 0$ nếu $|q| < 1$ .

Vì $\left| \frac{1}{2} ight| < 1$ nên $\lim\left( \frac{1}{2} ight)^{n} = 0$ .
Câu 3: Thông hiểu
Chọn phương trình thỏa mãn điều kiện

Phương trình nào dưới đây có nghiệm trong khoảng (0; 1)?
- A.
  $2x^{2} - 3x + 4 = 0$
- B.
  $(x - 1)^{5} - x^{7} - 2 = 0$
- C.
  $3x^{4} - 4x^{2} + 5 = 0$
- D.
  $3x^{2017} - 8x + 4 = 0$
Xét hàm số $f(x) = 3x^{2017} - 8x + 4$ liên tục trên $\mathbb{R}$ .

$\left\{ \begin{matrix} f(0) = 4 \\ f(1) = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow f(0).f(1) = - 4 < 0$

=> Phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $(0;1)$ .
Câu 4: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của mỗi kết luận

Biết giới hạn $\lim\frac{2n^{2} + 1}{3n^{3} - 3n + 3} = a$ và $\lim\frac{n\sqrt{n^{2} + 1}}{\sqrt{4n^{4} - n^{2} + 3}} = b$ . Khi đó:

a) Giá trị $a$ nhỏ hơn 0. Sai||Đúng

b) Giá trị $b$ lớn hơn 0. Đúng||Sai

c) Phương trình lượng giác $\cos x = a$ có một nghiệm là $x = \frac{\pi}{2}$ . Đúng||Sai

d) Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ với công sai $d = b$ và $u_{1} = a$ , thì $u_{3} = \frac{3}{2}$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Biết giới hạn $\lim\frac{2n^{2} + 1}{3n^{3} - 3n + 3} = a$ và $\lim\frac{n\sqrt{n^{2} + 1}}{\sqrt{4n^{4} - n^{2} + 3}} = b$ . Khi đó:

a) Giá trị $a$ nhỏ hơn 0. Sai||Đúng

b) Giá trị $b$ lớn hơn 0. Đúng||Sai

c) Phương trình lượng giác $\cos x = a$ có một nghiệm là $x = \frac{\pi}{2}$ . Đúng||Sai

d) Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ với công sai $d = b$ và $u_{1} = a$ , thì $u_{3} = \frac{3}{2}$ . Sai||Đúng

a) Ta có:

$\lim\dfrac{2n^{2} + 1}{3n^{3} - 3n + 3} =\lim\dfrac{n^{3}\left( \dfrac{2}{n} + \dfrac{1}{n^{3}} ight)}{n^{3}\left(3 - \dfrac{3}{n^{2}} + \dfrac{3}{n^{3}} ight)}$

$= \lim\dfrac{\dfrac{2}{n} +\dfrac{1}{n^{3}}}{3 - \dfrac{3}{n^{2}} + \dfrac{3}{n^{3}}} = \dfrac{0}{3} =0$

b) Ta có:

$\lim\dfrac{n\sqrt{n^{2} +1}}{\sqrt{4n^{4} - n^{2} + 3}} = \lim\dfrac{n^{2}\sqrt{1 +\dfrac{1}{n^{2}}}}{n^{2}\sqrt{4 - \dfrac{1}{n^{2}} +\dfrac{3}{n^{4}}}}$

$= \lim\dfrac{\sqrt{1 +\dfrac{1}{n^{2}}}}{\sqrt{4 - \dfrac{1}{n^{2}} + \dfrac{3}{n^{4}}}} =\dfrac{1}{2}$ .

c) Phương trình lượng giác $\cos x = 0$ có một nghiệm là $x = \frac{\pi}{2}$

d) Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ với công sai $d = \frac{1}{2}$ và $u_{1} = 0$ , thì $u_{3} = 0 + 2.\frac{1}{2} = 1$

Kết luận:

a) Sai

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai
Câu 5: Thông hiểu
Tính giá trị?

Giá trị của $F = \lim\frac{(n - 2)^{7}(2n + 1)^{3}}{\left( n^{2} + 2 ight)^{5}}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  8
- D.
  1
Ta có:

$F = \lim\frac{(n - 2)^{7}(2n + 1)^{3}}{\left( n^{2} + 2 ight)^{5}}$

$= \lim\frac{\left( 1 - \frac{2}{n}ight)^{7}\left( 2 + \frac{1}{n} ight)^{3}}{\left( 1 +\frac{5}{n^{2}} ight)^{5}\ } = 8$
Câu 6: Thông hiểu
Tính giới hạn hàm số

Tính giới hạn $\lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt{x + 2} - 2}{x - 2}$
- A.
  $\frac{1}{2}$
- B.
  $\frac{1}{4}$
- C.
  $0$
- D.
  $1$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt{x + 2} - 2}{x - 2} = \lim_{x ightarrow 3}\frac{\left( \sqrt{x + 2} - 2 ight)\left( \sqrt{x + 2} + 2 ight)}{(x - 2)\left( \sqrt{x + 2} + 2 ight)}$

$= \lim_{x ightarrow 2}\frac{x - 2}{(x - 2)\left( \sqrt{x + 2} + 2 ight)}$

$= \lim_{x ightarrow 2}\frac{1}{\sqrt{x + 2} + 2} = \frac{1}{4}$
Câu 7: Nhận biết
Tính giá trị của M.n

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack - 1;2brack$ và có đồ thị như hình vẽ. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\lbrack - 1;2brack$ . Giá trị của M.n là:
- A.
  $3$
- B.
  $- 3$
- C.
  $1$
- D.
  $- 2$
Hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\lbrack - 1;2brack$ .

Từ đồ thị hàm số đã cho ta thấy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là M = 3; m = -1

Vậy M.n = -3
Câu 8: Vận dụng cao
Tìm các giá trị nguyên của m

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng (−10; 10) để phương trình $x^{3} - 3x^{2} + (2m - 2)x + m - 3 = 0$ có ba nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2},x_{3}$ thỏa mãn $x_{1} < - 1 < x_{2} < x_{3}$ ?
- A.
  $19$
- B.
  $18$
- C.
  $4$
- D.
  $3$
Xét hàm số $f(x) = x^{3} - 3x^{2} + (2m - 2)x + m - 3$ liên tục trên $\mathbb{R}$

Giả sử phương trình có ba nghiệm $x_{1},x_{2},x_{3}$ thỏa mãn $x_{1} < - 1 < x_{2} < x_{3}$ . Khi đó $f(x) = \left( x - x_{1} ight)\left( x - x_{2} ight)\left( x - x_{3} ight)$

Ta có:

$f( - 1) = \left( - 1 - x_{1} ight)\left( - 1 - x_{2} ight)\left( - 1 - x_{3} ight) > 0$ (do $x_{1} < - 1 < x_{2} < x_{3}$ )

Mà $f( - 1) = - m - 5$ nên suy ra $- m - 5 > 0 \Rightarrow m < - 5$

Với $m < - 5$ ta có:

$\lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = - \infty$ nên tồn tại $a < - 1$ sao cho $f(x) < 0\ \ (1)$

Do $m < - 5$ nên $f( - 1) = - m - 5 > 0\ \ \ (2)$

$f(0) = m - 3 < 0;\ \ \ \ (3)$

$\lim_{x ightarrow + \infty}f(x) = + \infty$ nên tồn tại $b > 0$ sao cho $f(b) > 0\ \ (4)$

Từ (1) và (2) suy ra phương tình có nghiệm thuộc khoảng $( - \infty; - 1)$

Từ (2) và (3) suy ra phương tình có nghiệm thuộc khoảng $( - 1;0)$

Từ (3) và (4) suy ra phương tình có nghiệm thuộc khoảng $(0; + \infty)$

Vậy $m < - 5$ thỏa mãn $m \in ( - 10;10);m\mathbb{\in Z}$

$\Rightarrow m \in \left\{ - 9; - 8; - 7; - 6 ight\}$
Câu 9: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng?

Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
- A.
  Nếu $\lim\left| u_{n} ight| = + \infty$ , thì $\lim u_{n} = +\infty$
- B.
  Nếu $\lim\left| u_{n} ight| = + \infty$ , thì $\lim u_{n} = -\infty$
- C.
  Nếu $\lim u_{n} = 0$ , thì $\lim{|u_{n}|} = 0$
- D.
  Nếu $\lim u_{n} = - a$ , thì $\lim{|u_{n}|} = a$
Theo nội dung định lý tìm giới hạn, ta có:

Nếu $\lim u_{n} = 0$ , thì $\lim{|u_{n}|} = 0$
Câu 10: Nhận biết
Tính giá trị C

Tìm giới hạn $C = \lim_{x ightarrow + \infty}\left( \frac{3 - x}{2x + 3} ight)$
- A.
  $C = 0$
- B.
  $C = - \frac{1}{2}$
- C.
  $C = \frac{2}{3}$
- D.
  $C = - \frac{1}{3}$
Ta có: $C = \lim_{x ightarrow +\infty}\left( \dfrac{3 - x}{2x + 3} ight) = \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{\dfrac{3}{x} - 1}{2 + \dfrac{3}{x}} = -\dfrac{1}{2}$
Câu 11: Vận dụng
Có bao nhiêu số tự nhiên k chẵn thỏa mãn đẳng thức

Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn k để $\lim \frac{{n - 2\sqrt {{n^k}} \cos \frac{1}{n}}}{{2n}} = \frac{1}{2}$
- A.
  0
- B.
  1
- C.
  4
- D.
  Vô số
Ta có:
$\frac{{n - 2\sqrt {{n^k}} \cos \frac{1}{n}}}{{2n}} = \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt n \sin 2n}}{{2n}}$
Bài toán trở thành $\lim \frac{{\sqrt n \sin 2n}}{{2n}} = 0$
Ta có: $\lim \cos \frac{1}{n} = \cos 0 = 1$ nên bài toán trở thành tìm k sao cho
$\begin{matrix} \lim \dfrac{{\sqrt {{n^k}} }}{n} = \lim \left( {{n^{\dfrac{k}{2} - 1}}} ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{k}{2} - 1 < 0 \Leftrightarrow k < 2 \hfill \\ \end{matrix}$
Mà $k \in {\mathbb{N}^*};k = 3l$
=> Không tồn tại giá trị của k (do k nguyên dương và k chẵn).
Câu 12: Thông hiểu

Xác định kết luận đúng, kết luận sai

Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

a) Biết rằng $\lim_{x ightarrow 1}f(x) = 1;\lim_{x ightarrow 1}g(x) = - 2$ khi đó $\lim_{x ightarrow 1}\left\lbrack f(x) + g(x) ightbrack = - 1$ Đúng||Sai

b) Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $(a;b)$ . Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên $\lbrack a;bbrack$ là $\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x ight) = f\left( a ight);\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ + }} f\left( x ight) = f\left( b ight)$ . Sai||Đúng

c) $\lim_{x ightarrow - \infty}\frac{3x^{4} - 2x}{5x + 1} = + \infty$ Sai||Đúng

d) Cho hàm số $f(x)$ xác định với mọi $x eq 0$ thỏa mãn $f(x) + 2f\left( \frac{1}{x} ight) = 3x;(x eq 0)$ . Khi đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } \frac{{f\left( x ight)}}{{x - \sqrt 2 }} = 0$ Sai||Đúng

Đáp án là:

Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

a) Biết rằng $\lim_{x ightarrow 1}f(x) = 1;\lim_{x ightarrow 1}g(x) = - 2$ khi đó $\lim_{x ightarrow 1}\left\lbrack f(x) + g(x) ightbrack = - 1$ Đúng||Sai

b) Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $(a;b)$ . Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên $\lbrack a;bbrack$ là $\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x ight) = f\left( a ight);\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ + }} f\left( x ight) = f\left( b ight)$ . Sai||Đúng

c) $\lim_{x ightarrow - \infty}\frac{3x^{4} - 2x}{5x + 1} = + \infty$ Sai||Đúng

d) Cho hàm số $f(x)$ xác định với mọi $x eq 0$ thỏa mãn $f(x) + 2f\left( \frac{1}{x} ight) = 3x;(x eq 0)$ . Khi đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } \frac{{f\left( x ight)}}{{x - \sqrt 2 }} = 0$ Sai||Đúng

a) Ta có: $\lim_{x ightarrow 1}\left\lbrack f(x) + g(x) ightbrack = \lim_{x ightarrow 1}f(x) + \lim_{x ightarrow 1}g(x) = - 1$

b) Ta có:

Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên $\lbrack a;bbrack$ là $\lim_{x ightarrow a^{+}}f(x) = f(a);\lim_{x ightarrow b^{-}}f(x) = f(b)$

c) $\lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{3x^{4} - 2x}{5x + 1} = \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{x^{4}\left( 3 - \dfrac{2}{x^{3}} ight)}{x\left( 5 +\dfrac{1}{x} ight)} = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( x^{3}.\dfrac{3- \dfrac{2}{x^{3}}}{5 + \dfrac{1}{x}} ight)$

$\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3} = - \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{3 - \frac{2}{{{x^3}}}}}{{5 + \frac{1}{x}}}} ight) = \frac{3}{5} > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3{x^4} - 2x}}{{5x + 1}} = - \infty$

d) Ta có:

$f(x) + 2f\left( \frac{1}{x} ight) = 3x;(x eq 0)(*)$

$\Rightarrow f\left( \frac{1}{x} ight) + 2f(x) = \frac{3}{x};(x eq 0)(**)$

Từ (*) và (**) ta có:

$\left\{ \begin{matrix}f(x) + 2f\left( \dfrac{1}{x} ight) = 3x \\f\left( \dfrac{1}{x} ight) + 2f(x) = \dfrac{3}{x} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}f(x) + 2f\left( \dfrac{1}{x} ight) = 3x \\2f\left( \dfrac{1}{x} ight) + 4f(x) = \dfrac{6}{x} \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow f(x) = - x + \frac{2}{x}$

Do đó: $\lim_{x ightarrow\sqrt{2}}\dfrac{f(x)}{x - \sqrt{2}} = \lim_{x ightarrow \sqrt{2}}\left(\dfrac{- x + \dfrac{2}{x}}{x - \sqrt{2}} ight)$

$= \lim_{x ightarrow \sqrt{2}}\frac{- \left( x - \sqrt{2} ight)\left( x + \sqrt{2} ight)}{x\left( x - \sqrt{2} ight)} = \lim_{x ightarrow \sqrt{2}}\frac{- \left( x - \sqrt{2} ight)}{x} = - 2$
Câu 13: Vận dụng
Tính giá trị m

Cho số thực m thỏa mãn $\lim_{x ightarrow + \infty}\frac{m\sqrt{2x^{2} + 3} + 2017}{2x + 2018} = \frac{1}{2}$ . Khi đó giá trị của m là bao nhiêu?
- A.
  $m = \frac{\sqrt{2}}{2}$
- B.
  $m = - \frac{\sqrt{2}}{2}$
- C.
  $m = \frac{1}{2}$
- D.
  $m = - \frac{1}{2}$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow + \infty}\frac{m\sqrt{2x^{2} + 3} + 2017}{2x + 2018} = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{mx\sqrt{2 + \dfrac{3}{x^{2}}} + 2017}{x\left( 2 +\dfrac{2018}{x} ight)} = \dfrac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{m\sqrt{2 + \dfrac{3}{x^{2}}} + \dfrac{2017}{x}}{\left( 2 +\dfrac{2018}{x} ight)} = \dfrac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{m\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow m = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Câu 14: Vận dụng
Tính giá trị biểu thức

Cho hàm số $f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{x - \sqrt {x + 2} }}{{{x^2} - 4}}{\text{ khi }}x > 2} \\ {{x^2} + ax + 3b{\text{ khi }}x < 2} \\ {2x + b - 6{\text{ khi }}x = 2} \end{array}} ight.$ liên tục tại $x = 2$ . Tính giá trị biểu thức $H = a + b$ .
- A.
  $H = \frac{19}{30}$
- B.
  $H = - \frac{173}{16}$
- C.
  $H = \frac{- 93}{16}$
- D.
  $H = \frac{19}{32}$
Ta có: $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x ight) = \frac{3}{{16}} \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x ight) = 2a + 3b + 4 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Từ điều kiện hàm số liên tục tại $x = 2$ ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix}2a + 3b = - \dfrac{61}{16} \\2a + b = \dfrac{99}{16} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \dfrac{179}{32} \\b = - 5 \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow H = a + b = \frac{19}{32}$
Câu 15: Nhận biết
Tìm lim?

Giá trị của $\lim\frac{{(\sin n)}^{2}}{n + 2}$ bằng:
- A.
  0
- B.
  3
- C.
  5
- D.
  8
Với a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn $n_{a} > \frac{1}{a} - 2$

Suy ra

$\frac{\left( \sin n ight)^{2}}{n + 2} < \frac{1}{n + 2} < \frac{1}{n_{a} + 2} < a\ \forall n > n_{a}$

Vậy: $\lim\frac{{{(sin}n)}^{2}}{n + 2} = 0$ .
Câu 16: Nhận biết
Tính giới hạn của hàm số

Tính giới hạn của hàm số $\lim_{x ightarrow + \infty}\frac{3}{x^{2} - 2x + 6}$
- A.
  $0$
- B.
  $2$
- C.
  $1$
- D.
  $- 1$
Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{3}{{{x^2} - 2x + 6}} = 0$ vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{x^2} - 2x + 6} ight) = + \infty$
Câu 17: Nhận biết
Xác định sự gián đoạn của hàm số

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên tập số thực và có đồ thị như hình vẽ:

Hỏi hàm số $f(x)$ không liên tục tại điểm nào sau đây?
- A.
  $x_{0} = 0$
- B.
  $x_{0} = 2$
- C.
  $x_{0} = 3$
- D.
  $x_{0} = 1$
Quan sát đồ thị hàm số ta thấy: $\left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = 3 \\ \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = 0 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) eq \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x)$ nên không tồn tại $\lim_{x ightarrow 1}f(x)$ . Do đó hàm số gián đoạn tại $x_{0} = 1$ .
Câu 18: Thông hiểu
Tính giá trị giới hạn

Giá trị của giới hạn $\lim_{x ightarrow 0}\frac{2\sqrt{1 + x} - \sqrt[3]{8 - x}}{x}$ là:
- A.
  $\frac{5}{6}$
- B.
  $\frac{13}{12}$
- C.
  $\frac{11}{12}$
- D.
  $\frac{- 13}{12}$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow 0}\frac{2\sqrt{1 + x} - \sqrt[3]{8 - x}}{x}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\left( \frac{2\sqrt{1 + x} - 2}{x} + \frac{2 - \sqrt[3]{8 - x}}{x} ight)$

$= \lim_{x ightarrow 0}\left( \frac{2}{\sqrt{x + 1} + 1} + \frac{1}{4 + 2\sqrt[3]{8 - x + \sqrt[3]{(8 - x)^{2}}}} ight)$

$= 1 + \frac{1}{12} = \frac{13}{12}$
Câu 19: Thông hiểu
Giới hạn của hàm số

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} + 1} - \sqrt {x + 5} }}{{2x - 5}}=?$
- A.
  0
- B.
  1
- C.
  2
- D.
  $+\infty$
Ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\sqrt {4{x^2} + 1} - \sqrt {x + 5} }}{{2x - 5}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x\sqrt {4 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} - x\sqrt {\dfrac{1}{x} + \dfrac{5}{{{x^2}}}} }}{{x\left( {2 - \dfrac{5}{x}} ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\sqrt {4 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} - \sqrt {1 + \dfrac{5}{x}} }}{{2 - \dfrac{5}{x}}} = \dfrac{2}{2} = 1 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 20: Thông hiểu
Tìm các giá trị của tham số m

Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{3} - x^{2} + 2x - 2}{x - 1}\ khi\ x eq 1 \\3x + m\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 2 \\\end{matrix} ight.$ liên tục tại $x = 1$ .
- A.
  $m = 0$
- B.
  $m = 2$
- C.
  $m = 4$
- D.
  $m = 1$
Tập xác định $D\mathbb{= R}$

Theo giả thiết ta có:

$3 + m = f(1) = \lim_{x ightarrow 1}f(x)$

$\Rightarrow 3 + m = \lim_{x ightarrow 1}\left( \frac{x^{3} - x^{2} + 2x - 2}{x - 1} ight)$

$\Leftrightarrow 3 + m = \lim_{x ightarrow 1}\frac{(x - 1)\left( x^{2} + 2 ight)}{x - 1}$

$\Leftrightarrow 3 + m = \lim_{x ightarrow 1}\left( x^{2} + 2 ight)$

$\Leftrightarrow 3 + m = 3$

$\Leftrightarrow m = 0$
Câu 21: Thông hiểu
Tính kết quả giới hạn

Tính giới hạn $\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{2x + 1}{x - 1}$
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  $2$
- D.
  $- 2$
Khi $x \mapsto 1^{+}$ ta có: $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {2x + 1} ight) = 3 > 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x - 1} ight) = 0 \hfill \\ x - 1 > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

$\Rightarrow \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{2x + 1}{x - 1} = + \infty$
Câu 22: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Cho $\lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) - 10}{x - 1} = 5$ . Giới hạn $\lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) - 10}{\left( \sqrt{x} - 1 ight)\left( \sqrt{4f(x) + 9} + 3 ight)}$ bằng

Đáp án: 1

Đáp án là:

Cho $\lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) - 10}{x - 1} = 5$ . Giới hạn $\lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) - 10}{\left( \sqrt{x} - 1 ight)\left( \sqrt{4f(x) + 9} + 3 ight)}$ bằng

Đáp án: 1

Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) - 10}{x - 1} = 5$ nên $f(x) - 10\overset{x ightarrow 1}{ightarrow}5(x - 1)$ hay $f(x)\overset{x ightarrow 1}{ightarrow}5x + 5$

Do đó

$\lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) - 10}{\left( \sqrt{x} - 1 ight)\left( \sqrt{4f(x) + 9} + 3 ight)}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{5x + 5 - 10}{\left( \sqrt{x} - 1 ight)\left( \sqrt{4(5x + 5) + 9} + 3 ight)}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{5(x - 1)\left( \sqrt{x} + 1 ight)}{(x - 1)\left( \sqrt{20x + 29} + 3 ight)}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{5\left( \sqrt{x} + 1 ight)}{\left( \sqrt{20x + 29} + 3 ight)} = 1$ .
Câu 23: Thông hiểu
Giá trị của giới hạn

Giá trị của giới hạn $\lim \left( {\sqrt {n + 5} - \sqrt {n + 1} } ight)$ bằng:
- A.
  0
- B.
  1
- C.
  3
- D.
  5
Ta có:
$\begin{matrix} \lim \left( {\sqrt {n + 5} - \sqrt {n + 1} } ight) \hfill \\ = \lim \dfrac{{\left( {\sqrt {n + 5} - \sqrt {n + 1} } ight)\left( {\sqrt {n + 5} + \sqrt {n + 1} } ight)}}{{\sqrt {n + 5} + \sqrt {n + 1} }} \hfill \\ = \lim \dfrac{{n + 5 - n - 1}}{{\sqrt {n + 5} + \sqrt {n + 1} }} \hfill \\ = \lim \dfrac{4}{{\sqrt {n + 5} + \sqrt {n + 1} }} = 0 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 24: Thông hiểu
Tìm giá trị nhỏ nhất của a

Tìm giá trị nhỏ nhất của a để hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 5x + 6}{\sqrt{4x - 3} - x}\ \ \ khi\ x > 3 \\1 - a^{2}x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \leq 3 \\\end{matrix} ight.$ liên tục tại $x = 3$ .
- A.
  $a = - \frac{2}{\sqrt{3}}$
- B.
  $a = \frac{2}{\sqrt{3}}$
- C.
  $a = - \frac{4}{3}$
- D.
  $a = \frac{4}{3}$
Điều kiện bài toán trở thành $\lim_{x ightarrow 3^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 3^{-}}f(x) = f(3)\ \ (*)$

Ta có:

$\lim_{x ightarrow 3^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 3^{+}}\frac{x^{2} - 5x + 6}{\sqrt{4x - 3} - x} = \lim_{x ightarrow 3^{+}}\frac{(x - 2)\left( \sqrt{4x - 3} + x ight)}{1 - x} = - 3$

$\lim_{x ightarrow 3^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 3^{-}}\left( 1 - a^{2}x ight) = 1 - 3a^{3}$

$f(3) = 1 - 3a^{2}$

Khi đó $(*) \Leftrightarrow a = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \Rightarrow a_{\min} = - \frac{2}{\sqrt{3}}$
Câu 25: Nhận biết
Hàm số đã cho liên tục trên khoảng nào

Cho hàm số $f(x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 5x + 6}$ . Khi đó hàm số đã cho liên tục trên khoảng nào?
- A.
  $( - 3;2)$
- B.
  $( - 2; + \infty)$
- C.
  $( - \infty;3)$
- D.
  $(2;3)$
Hàm số có nghĩa khi $x^{2} + 5x + 6 eq 0 \Rightarrow x eq - 3;x eq - 2$

Vậy hàm số $f(x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 5x + 6}$ liên tục trên các khoảng $( - \infty; - 3),( - 3; - 2);( - 2; + \infty)$
Câu 26: Nhận biết
Chọn hình vẽ đúng

Hình nào trong các hình dưới đây là đồ thị của hàm số không liên tục tại x = 1?
- A.
- B.
- C.
- D.
Xét đồ thị hàm số

Vì $\lim_{x ightarrow 1^{+}}y eq \lim_{x ightarrow 1^{-}}y$ nên hàm số không liên tục tại $x = 1$
Câu 27: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}- \dfrac{x}{2}\ \ khi\ \ x \leq 1 \\\dfrac{x^{2} - 3x + 2}{x^{2} - 1}\ \ khi\ \ x > 1 \\\end{matrix} ight.$ . Các kết luận dưới đây đúng hay sai?

a) $\ \lim_{x ightarrow 0}f(x) = - \ 2$ . Sai||Đúng

b) $\ \lim_{x ightarrow 3}f(x) = + \ \infty$ . Sai||Đúng

c) $\lim_{x ightarrow + \ \infty}f(x) = 1$ . Đúng||Sai

d) Hàm số $f(x)$ liên tục tại $x_{0} = 1$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}- \dfrac{x}{2}\ \ khi\ \ x \leq 1 \\\dfrac{x^{2} - 3x + 2}{x^{2} - 1}\ \ khi\ \ x > 1 \\\end{matrix} ight.$ . Các kết luận dưới đây đúng hay sai?

a) $\ \lim_{x ightarrow 0}f(x) = - \ 2$ . Sai||Đúng

b) $\ \lim_{x ightarrow 3}f(x) = + \ \infty$ . Sai||Đúng

c) $\lim_{x ightarrow + \ \infty}f(x) = 1$ . Đúng||Sai

d) Hàm số $f(x)$ liên tục tại $x_{0} = 1$ . Đúng||Sai

a) Sai

$\lim_{x ightarrow 0}f(x) = \lim_{x ightarrow 0}\left( - \frac{x}{2} ight) = 0$ .

b) Sai

$\lim_{x ightarrow 3}f(x) = \lim_{xightarrow 3}\left( \frac{x^{2} - 3x + 2}{x^{2} - 1} ight) =\frac{1}{4}$ .

c) Đúng

$\lim_{x ightarrow + \ \infty}f(x) = \lim_{x ightarrow + \ \infty}\left( \frac{x^{2} - 3x + 2}{x^{2} - 1} ight)$

$= \lim_{x ightarrow + \ \infty}\left( \frac{x - 2}{x + 1} ight) = \lim_{x ightarrow + \ \infty}\left( 1 - \frac{3}{x + 1} ight) = 1$ .

d) Đúng

Ta có:

$f(1) = - \frac{1}{2}$ và $\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\left( - \frac{x}{2} ight) = - \frac{1}{2}$ .

$\lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left( \frac{x^{2} - 3x + 2}{x^{2} - 1} ight) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left( \frac{x - 2}{x + 1} ight) = - \frac{1}{2}$ .

Vậy $f(1) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x)$ nên hàm số $f(x)$ liên tục tại $x_{0} = 1$ .
Câu 28: Nhận biết
Chọn phương án thích hợp

Cho $c$ là hằng số, $k$ là một số nguyên dương. Quy tắc nào sau đây sai?
- A.
  $\lim_{x ightarrow + \infty}c = c$ .
- B.
  $\lim_{x ightarrow + \infty}\frac{1}{x^{k}} = 0$ .
- C.
  $\lim_{x ightarrow + \infty}\frac{1}{x^{k}} = + \infty$ .
- D.
  $\lim_{x ightarrow - \infty}\frac{1}{x^{k}} = 0$ .
Ta có $\lim_{x ightarrow + \infty}\frac{1}{x^{k}} = 0$ với $k$ là một số nguyên dương.
Câu 29: Thông hiểu
Tính giá trị của giới hạn

Giá trị của giới hạn $\lim \left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} - n} ight)$ là:
- A.
  $-\frac{1}{2}$
- B.
  0
- C.
  1
- D.
  $-\infty$
Ta có:
$\begin{matrix} \lim \left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} - n} ight) \hfill \\ = \lim \dfrac{{\left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} - n} ight)\left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} + n} ight)}}{{\left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} + n} ight)}} \hfill \\ \end{matrix}$
$\begin{matrix} = \lim \dfrac{{{n^2} - n + 1 - {n^2}}}{{\left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} + n} ight)}} \hfill \\ = \lim \dfrac{{ - n + 1}}{{\sqrt {{n^2} - n + 1} + n}} \hfill \\ = \lim \dfrac{{n\left( { - 1 + \dfrac{1}{n}} ight)}}{{n\left( {\sqrt {1 - \frac{1}{n} + \dfrac{1}{{{n^2}}}} + 1} ight)}} = - \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 30: Vận dụng cao
Tính giới hạn hàm số

Tính $\lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2018} + x^{2017} + .... + x - 2018}{x^{2018} + 1}$
- A.
  $2018$
- B.
  $\frac{2019}{2018}$
- C.
  $\frac{2019}{2}$
- D.
  $\frac{2018}{2019}$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1}\dfrac{x^{2018} +x^{2017} + .... + x - 2018}{x^{2018} + 1}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\dfrac{(x -1)\left( x^{2017} + 2x^{2016} + 3.x^{2015} + .... + 2017x + 2018ight)}{(x - 1)\left( x^{2017} + x^{2016} + x^{2015} + .... + x + 1ight)}$

$= \dfrac{\dfrac{2018.2019}{2}}{2018} =\dfrac{2019}{2}$

Vậy $\lim_{x ightarrow 1}\dfrac{x^{2018}+ x^{2017} + .... + x - 2018}{x^{2018} + 1} =\frac{2019}{2}$
Câu 31: Thông hiểu
Xác định giới hạn

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (x + 50)\sqrt {\frac{x}{{{x^3} - 6}}}$ bằng:
- A.
  $+\infty$
- B.
  1
- C.
  0
- D.
  $-\infty$
Ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (x + 50)\sqrt {\dfrac{x}{{{x^3} - 6}}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {\dfrac{{x{{\left( {x + 50} ight)}^2}}}{{{x^3} - 6}}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {\dfrac{{{x^3} + 100{x^2} + 50x}}{{{x^3} - 6}}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {\dfrac{{1 + \dfrac{{100}}{{{x^2}}} + \dfrac{{50}}{{{x^3}}}}}{{1 - \dfrac{6}{{{x^3}}}}}} = 1 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 32: Vận dụng
Tính giới hạn

$\lim \frac{{{{( - 1)}^n}}}{{n + 5}}$ bằng:
- A.
  $\frac{-1}{5}$
- B.
  $\frac{-1}{6}$
- C.
  -1
- D.
  0
Ta có:
$0 \leqslant \left| {\frac{{{{( - 1)}^n}}}{{n + 5}}} ight| \leqslant \frac{1}{{n + 5}} < \frac{1}{n}$
Do $\lim \frac{1}{n} = 0$ => $\lim \frac{{{{\left( { - 1} ight)}^n}}}{{n + 5}} = 0$
Câu 33: Nhận biết
Tìm giới hạn của B

Giá trị của $B = \lim\frac{n.\sin n - 3n^{2}}{n^{2}}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  -3
- D.
  1
Ta có:

$B = \lim\frac{n.\sin n - 3n^{2}}{n^{2}} = \lim\frac{\frac{\sin n}{n} - 3}{1} = - 3$
Câu 34: Nhận biết
Tính giới hạn của hàm số

Tính giới hạn $\lim_{x ightarrow - \infty}\frac{2x + 1}{x + 1}$ .
- A.
  $\frac{1}{2}$ .
- B.
  $1$ .
- C.
  $2$ .
- D.
  $- 1$ .
Ta có: $\lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{2x + 1}{x + 1} = \lim_{x ightarrow - \infty}\dfrac{2 +\dfrac{1}{x}}{1 + \dfrac{1}{x}} = 2$ .
Câu 35: Nhận biết
Tính giới hạn A

Tính $A = \lim_{x ightarrow - 1}\left( x^{2} - x + 7 ight)$ .
- A.
  $A = 5$
- B.
  $A = 9$
- C.
  $A = 0$
- D.
  $A = 7$
Ta có: $A = \lim_{x ightarrow - 1}\left( x^{2} - x + 7 ight) = 1 + 1 + 7 = 9$
Câu 36: Thông hiểu
Kết quả đúng?

Kết quả đúng của $\lim\frac{- n^{2} + 2n + 1}{\sqrt{3n^{4} + 2}}$ là?
- A.
  $- \frac{\sqrt{3}}{3}$
- B.
  $- \frac{2}{3}$
- C.
  $\frac{2}{3}$
- D.
  $\frac{1}{2}$
Ta có:

$\lim\frac{- n^{2} + 2n + 1}{\sqrt{3n^{4} + 2}} = \lim\frac{- 1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^{2}}\ }{\sqrt{3 + \frac{2}{n^{2}}\ }}$

$= \frac{- 1 + 0 + 0}{\sqrt{3 + 0}} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$
Câu 37: Thông hiểu
Tìm giới hạn hàm số

Xác định $\lim_{x ightarrow - 2}\frac{x + 1}{(x + 2)^{2}}$ .
- A.
  $0$
- B.
  $- \infty$
- C.
  $+ \infty$
- D.
  $1$
Ta có:

$\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {x + 1} ight) = - 1 < 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {\left( {x + 2} ight)^2} = 0 \hfill \\ {\left( {x + 2} ight)^2} > 0,\forall x e - 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.$ $\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{x + 1}}{{{{\left( {x + 2} ight)}^2}}} = - \infty$
Câu 38: Vận dụng cao
Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số a

Tìm tất cả các giá trị nguyên của a thuộc (0; 2018) để $\lim\sqrt[4]{\dfrac{4^{n} + 2^{n + 1}}{3^{n} + 4^{n+ a}}} \leq \dfrac{1}{1024}$
- A.
  $2007$
- B.
  $2008$
- C.
  $2017$
- D.
  $2016$
Ta có:

$\lim\sqrt[4]{\dfrac{4^{n} + 2^{n +1}}{3^{n} + 4^{n + a}}} = \lim\sqrt[4]{\dfrac{1 + 2\left( \dfrac{1}{2}ight)^{n}}{\left( \dfrac{3}{4} ight)^{n} + 4^{n}}}$

$\begin{matrix} = \sqrt {\dfrac{1}{{{4^a}}}} = \sqrt {\dfrac{1}{{{{\left( {{2^a}} ight)}^2}}}} = \dfrac{1}{{{2^a}}} \leqslant \dfrac{1}{{1024}} \hfill \\ \Leftrightarrow {2^a} \geqslant 1024 = {2^{10}} \hfill \\ \Leftrightarrow a \geqslant 10 \hfill \\ \end{matrix}$

Mà $\left\{ \begin{matrix} a \in (0;2018) \\ a\mathbb{\in Z} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a \in \left\{ 10;11;...;2017 ight\}$

Vậy có tất cả 2008 giá trị nguyên của a thỏa mãn điều kiện đề bài.
Câu 39: Thông hiểu
Tìm m để hàm số liên tục tại một điểm

Cho hàm số $f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 2}}}&{{\text{ }}khi{\text{ }}x e 2} \\ m&{{\text{ }}khi{\text{ }}x = 2} \end{array}} ight.$ . Với giá trị nào của m thì hàm số đã cho liên tục tại $x = 2$ ?
- A.
  -2
- B.
  -1
- C.
  1
- D.
  3
Ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 2}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{\left( {x - 2} ight)\left( {x - 1} ight)}}{{x - 2}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x - 1} ight) = 1 \hfill \\ \end{matrix}$
Để hàm số liên tục tại $x=2$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x ight) = f\left( 2 ight) = 1$
Câu 40: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Cho giới hạn $I = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{2x + 1} - \sqrt[3]{x^{2} + 1}}{\sqrt[3]{8 - x} - \sqrt[3]{8 + x}}$ . Tính giá trị của 100I?

Đáp án: -600||- 600

Đáp án là:

Cho giới hạn $I = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{2x + 1} - \sqrt[3]{x^{2} + 1}}{\sqrt[3]{8 - x} - \sqrt[3]{8 + x}}$ . Tính giá trị của 100I?

Đáp án: -600||- 600

Ta có:

$I = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{2x + 1} - \sqrt[3]{x^{2} + 1}}{\sqrt[3]{8 - x} - \sqrt[3]{8 + x}}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\left( \frac{\sqrt{2x + 1} - \sqrt[3]{x^{2} + 1}}{x}.\frac{x}{\sqrt[3]{8 - x} - \sqrt[3]{8 + x}} ight)$

$= \lim_{x ightarrow 0}\left\{ \left( \frac{\sqrt{2x + 1} - 1}{x} + \frac{1 - \sqrt[3]{x^{2} + 1}}{x} ight).\frac{x}{\sqrt[3]{8 - x} - \sqrt[3]{8 + x}} ight\}$

Ta có:

+) $\lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{2x + 1} - 1}{x} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{2x}{\left( \sqrt{2x + 1} + 1 ight).x} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{2}{\left( \sqrt{2x + 1} + 1 ight)} = 1$

+) $\lim_{x ightarrow 0}\frac{1 - \sqrt[3]{x^{2} + 1}}{x} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{- x^{2}}{\left\lbrack 1 + \sqrt[3]{x^{2} + 1} + \sqrt[3]{\left( x^{2} + 1 ight)^{2}} ightbrack.x}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{- x}{\left\lbrack 1 + \sqrt[3]{x^{2} + 1} + \sqrt[3]{\left( x^{2} + 1 ight)^{2}} ightbrack} = 0$ .

+) $\lim_{x ightarrow 0}\frac{x}{\sqrt[3]{8 - x} - \sqrt[3]{8 + x}}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{x\left\lbrack \left( \sqrt[3]{8 - x} ight)^{2} + \sqrt[3]{8 - x}.\sqrt[3]{8 + x} + \left( \sqrt[3]{8 + x} ight)^{2} ightbrack}{\left( \sqrt[3]{8 - x} ight)^{3} - \left( \sqrt[3]{8 + x} ight)^{3}}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{x\left\lbrack \left( \sqrt[3]{8 - x} ight)^{2} + \sqrt[3]{8 - x}.\sqrt[3]{8 + x} + \left( \sqrt[3]{8 + x} ight)^{2} ightbrack}{- 2x}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{\left\lbrack \left( \sqrt[3]{8 - x} ight)^{2} + \sqrt[3]{8 - x}.\sqrt[3]{8 + x} + \left( \sqrt[3]{8 + x} ight)^{2} ightbrack}{- 2} = - 6$ .

Vậy $I = (1 + 0).( - 6) = - 6 \Rightarrow 100I = - 600$ .

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 3 Chân trời sáng tạo Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

33 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 3 Chân trời sáng tạo

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 Chân trời sáng tạo
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân
Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số ghép số liệu nhóm
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Đạo hàm
Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 9: Xác suất

Lớp 11
Khóa học Lớp 11
Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4 Đề 2
Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 7
Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 4
Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4
Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 5
Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 6

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 3 Chân trời sáng tạo

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4 Đề 2

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 7

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 4

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 5

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 6