VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 3 Chân trời sáng tạo

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 CTST Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Nhận biết
Tính giới hạn C

Tìm giới hạn $C = \lim_{x ightarrow + \infty}\left( \frac{2x + 1}{x - 1} ight)$
- A.
  $2$
- B.
  $3$
- C.
  $- 1$
- D.
  $1$
Ta có: $C = \lim_{x ightarrow +\infty}\left( \dfrac{2x + 1}{x - 1} ight) = \lim_{x ightarrow +\infty}\left( \dfrac{2 + \dfrac{1}{x}}{1 - \dfrac{1}{x}} ight) =2$
Câu 2: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{\sqrt[3]{6x - 5} - \sqrt{4x - 3}}{(x - 1)^{2}}\ \ \ khi\ \ x eq 1 \\ 2024m\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ \ x = 1 \\ \end{matrix} ight.$ liên tục tại $x = 1$ khi đó giá trị của tham số $m$ bằng bao nhiêu? (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b).

Đáp án: -1/1012

Đáp án là:

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{\sqrt[3]{6x - 5} - \sqrt{4x - 3}}{(x - 1)^{2}}\ \ \ khi\ \ x eq 1 \\ 2024m\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ \ x = 1 \\ \end{matrix} ight.$ liên tục tại $x = 1$ khi đó giá trị của tham số $m$ bằng bao nhiêu? (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b).

Đáp án: -1/1012

Hàm số xác định tại $x = 1$ .

Ta có $f(1) = 2024m$ . Tính $\lim_{x ightarrow 1}\frac{\sqrt[3]{6x - 5} - \sqrt{4x - 3}}{(x - 1)^{2}}$ .

Đặt $t = x - 1$ thì $x = t + 1$ , $x ightarrow 1$ thì $t ightarrow 0$

$\frac{\sqrt[3]{6x - 5} - \sqrt{4x - 3}}{(x - 1)^{2}} = \frac{\sqrt[3]{6t + 1} - \sqrt{4t + 1}}{t^{2}}$

$= \frac{\sqrt[3]{6t + 1} - (2t + 1)}{t^{2}} + \frac{(2t + 1) - \sqrt{4t + 1}}{t^{2}}$ .

$= \frac{6t + 1 - (8t^{3} + 12t^{2} + 6t + 1)}{t^{2}\left\lbrack \sqrt[3]{(6t + 1)^{2}} + (2t + 1)\sqrt[3]{6t + 1} + (2t + 1)^{2} ightbrack}$ $+ \frac{(4t^{2} + 4t + 1) - (4t + 1)}{t^{2}(2t + 1 + \sqrt{4t + 1})}$ .

$= \frac{- 8t - 12}{\left\lbrack \sqrt[3]{(6t + 1)^{2}} + (2t + 1)\sqrt[3]{6t + 1} + (2t + 1)^{2} ightbrack}$ $+ \frac{4}{(2t + 1 + \sqrt{4t + 1})}$ .

Vậy $\lim_{x ightarrow 1}\frac{\sqrt[3]{6x - 5} - \sqrt{4x - 3}}{(x - 1)^{2}}$

$= \lim_{t ightarrow 0}\{\frac{- 8t - 12}{\left\lbrack \sqrt[3]{(6t + 1)^{2}} + (2t + 1)\sqrt[3]{6t + 1} + (2t + 1)^{2} ightbrack}$ $+ \frac{4}{(2t + 1 + \sqrt{4t + 1})}\} = - 2$ .

Để hàm số liên tục tại $x = 1$ khi $f(1) = \lim_{x ightarrow 1}\frac{\sqrt[3]{6x - 5} - \sqrt{4x - 3}}{(x - 1)^{2}}$

$\Leftrightarrow 2024m = - 2 \Leftrightarrow m = \frac{- 1}{1012}$ .
Câu 3: Nhận biết
Tìm giới hạn?

Giá trị của $\lim\frac{2}{n + 1}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  0
- D.
  1
Với mọi a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn $n_{a} = \left\lbrack \frac{2}{a} - 1 ightbrack + 1$

Suy ra $\frac{2}{n + 1} < a\ ,\ \ \forall n > n_{0} = > \lim\frac{2}{n + 1} = 0$
Câu 4: Nhận biết
Hàm số liên tục tại một điểm

Hàm số $y = \frac{- 5}{x\left( x^{2} - 4 ight)}$ liên tục tại điểm nào dưới đây?
- A.
  $x = 0$
- B.
  $x = 2$
- C.
  $x = 1$
- D.
  $x = - 2$
Hàm số $y = \frac{- 5}{x\left( x^{2} - 4 ight)}$ có tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 2;0;2 ight\}$

Theo lí thuyết ta có hàm phân thức luôn liên tục trên tập xác định $D$ .

Khi đó $x = 1 \in D$ suy ra hàm số đã cho liên tục tại điểm $x = 1$ .
Câu 5: Thông hiểu
Tính giá trị của D?

Giá trị của $D = \lim\frac{\sqrt{n^{2} + 1} - \sqrt[3]{3n^{3} + 2}}{\sqrt[4]{2n^{4} + n + 2} - n}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  $\frac{1 - \sqrt[3]{3}}{\sqrt[4]{2} - 1}$
- D.
  1
Ta có:

$D = \lim\frac{\sqrt{n^{2} + 1} - \sqrt[3]{3n^{3} + 2}}{\sqrt[4]{2n^{4} + n + 2} - n}$

$= \lim\dfrac{n\left( \sqrt{1 + \dfrac{1}{n^{2}}} - \sqrt[3]{3 +\dfrac{2}{n^{3}}} ight)}{n\left( \sqrt[4]{2 + \dfrac{1}{n^{3}} +\dfrac{2}{n^{4}}} - 1 ight)}$

$=\frac{1 - \sqrt[3]{3}}{\sqrt[4]{2} -1}$
Câu 6: Thông hiểu
Tính giá trị của giới hạn

Giá trị của giới hạn $\lim \left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} - n} ight)$ là:
- A.
  $-\frac{1}{2}$
- B.
  0
- C.
  1
- D.
  $-\infty$
Ta có:
$\begin{matrix} \lim \left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} - n} ight) \hfill \\ = \lim \dfrac{{\left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} - n} ight)\left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} + n} ight)}}{{\left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} + n} ight)}} \hfill \\ \end{matrix}$
$\begin{matrix} = \lim \dfrac{{{n^2} - n + 1 - {n^2}}}{{\left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} + n} ight)}} \hfill \\ = \lim \dfrac{{ - n + 1}}{{\sqrt {{n^2} - n + 1} + n}} \hfill \\ = \lim \dfrac{{n\left( { - 1 + \dfrac{1}{n}} ight)}}{{n\left( {\sqrt {1 - \frac{1}{n} + \dfrac{1}{{{n^2}}}} + 1} ight)}} = - \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 7: Nhận biết
Tính giới hạn

Kết quả của giới hạn $\lim\left( \frac{1}{2} ight)^{n}$ bằng
- A.
  $0$ .
- B.
  $+ \infty$ .
- C.
  $\frac{1}{2}$ .
- D.
  $- \infty$ .
Có $\lim q^{n} = 0$ nếu $|q| < 1$ .

Vì $\left| \frac{1}{2} ight| < 1$ nên $\lim\left( \frac{1}{2} ight)^{n} = 0$ .
Câu 8: Thông hiểu
Tính giới hạn của hàm số

Tính giới hạn $\lim_{x ightarrow - 2}\frac{2x^{2} + 3x - 2}{x^{2} - 4}$ ?
- A.
  $\frac{5}{4}$ .
- B.
  $- \frac{5}{4}$ .
- C.
  $\frac{1}{4}$ .
- D.
  $2$ .
Ta có:

$\lim_{x ightarrow - 2}\frac{2x^{2} + 3x - 2}{x^{2} - 4}$

$= \lim_{x ightarrow - 2}\frac{(2x - 1)(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)}$

$= \lim_{x ightarrow - 2}\frac{2x - 1}{x- 2} = \frac{5}{4}$ .
Câu 9: Vận dụng
Có bao nhiêu số tự nhiên k chẵn thỏa mãn đẳng thức

Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn k để $\lim \frac{{n - 2\sqrt {{n^k}} \cos \frac{1}{n}}}{{2n}} = \frac{1}{2}$
- A.
  0
- B.
  1
- C.
  4
- D.
  Vô số
Ta có:
$\frac{{n - 2\sqrt {{n^k}} \cos \frac{1}{n}}}{{2n}} = \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt n \sin 2n}}{{2n}}$
Bài toán trở thành $\lim \frac{{\sqrt n \sin 2n}}{{2n}} = 0$
Ta có: $\lim \cos \frac{1}{n} = \cos 0 = 1$ nên bài toán trở thành tìm k sao cho
$\begin{matrix} \lim \dfrac{{\sqrt {{n^k}} }}{n} = \lim \left( {{n^{\dfrac{k}{2} - 1}}} ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{k}{2} - 1 < 0 \Leftrightarrow k < 2 \hfill \\ \end{matrix}$
Mà $k \in {\mathbb{N}^*};k = 3l$
=> Không tồn tại giá trị của k (do k nguyên dương và k chẵn).
Câu 10: Thông hiểu
Tính giá trị giới hạn

Cho hàm số $f(x) = \frac{\sqrt{4x^{2} + x + 1} - \sqrt{x^{2} - x + 3}}{3x + 2}$ . Tính $\lim_{x ightarrow - \infty}f(x)$ .
- A.
  $- \frac{1}{3}$
- B.
  $\frac{2}{3}$
- C.
  $\frac{1}{3}$
- D.
  $- \frac{2}{3}$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow - \infty}f(x)$

$= \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{\sqrt{4x^{2} + x + 1} - \sqrt{x^{2} - x + 3}}{3x + 2}$

$= \lim_{x ightarrow - \infty}\dfrac{-\sqrt{4 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^{2}}} + \sqrt{1 - \dfrac{1}{x} +\dfrac{3}{x^{2}}}}{3 + \dfrac{2}{x}}$

$= \frac{- 2 + 1}{3} = - \frac{1}{3}$
Câu 11: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Cho dãy số $\left( u_{n} \right)$ với $u_{n} = an^{2} + n - 1$ với $a\mathbb{\in R}$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Với $a = 1$ , giới hạn của dãy số đã cho là $1$ . Sai|||Đúng

b) Với $a = 2$ , giới hạn của dãy số đã cho là $+ \infty$ .Đúng||Sai

c) Với $a = - \frac{5}{2}$ , giới hạn của dãy số đã cho là $- \infty$ .Đúng||Sai

d) Với $a \leq 0$ , giới hạn của dãy số đã cho là $- \infty$ . Sai|||Đúng

Đáp án là:

Cho dãy số $\left( u_{n} \right)$ với $u_{n} = an^{2} + n - 1$ với $a\mathbb{\in R}$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Với $a = 1$ , giới hạn của dãy số đã cho là $1$ . Sai|||Đúng

b) Với $a = 2$ , giới hạn của dãy số đã cho là $+ \infty$ .Đúng||Sai

c) Với $a = - \frac{5}{2}$ , giới hạn của dãy số đã cho là $- \infty$ .Đúng||Sai

d) Với $a \leq 0$ , giới hạn của dãy số đã cho là $- \infty$ . Sai|||Đúng

a) Sai: Với $a = 1$ , $u_{n} = n^{2} + n - 1$ .

Ta có: $\lim\left( n^{2} + n - 1 \right) = \lim\ \ n^{2}\left( 1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n^{2}} \right) = + \infty$ .

b) Đúng: Với $a = 2$ , $u_{n} = 2n^{2} + n - 1$ .

Ta có: $\lim\left( 2n^{2} + n - 1 \right) = \lim\ \ n^{2}\left( 2 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n^{2}} \right) = + \infty$ .

c) Đúng: Với $a = - \frac{5}{2}$ , $u_{n} = - \frac{5}{2}n^{2} + n - 1$ .

Ta có: $\lim\left( - \frac{5}{2}n^{2} + n - 1 \right) = \lim\ \ n^{2}\left( - \frac{5}{2} + \frac{1}{n} - \frac{1}{n^{2}} \right) = - \infty$ .

d) Sai: Với $a < 0$ . Ta có: $\lim\left( an^{2} + n - 1 \right) = \lim\ \ n^{2}\left( a + \frac{1}{n} - \frac{1}{n^{2}} \right) = - \infty$ .

Với $a = 0$ , $u_{n} = n - 1$ . Ta có: $\lim(n - 1) = \lim\ \ n\left( 1 - \frac{1}{n} \right) = + \infty$ .
Câu 12: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng?

Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
- A.
  Nếu $\lim\left| u_{n} ight| = + \infty$ , thì $\lim u_{n} = +\infty$
- B.
  Nếu $\lim\left| u_{n} ight| = + \infty$ , thì $\lim u_{n} = -\infty$
- C.
  Nếu $\lim u_{n} = 0$ , thì $\lim{|u_{n}|} = 0$
- D.
  Nếu $\lim u_{n} = - a$ , thì $\lim{|u_{n}|} = a$
Theo nội dung định lý tìm giới hạn, ta có:

Nếu $\lim u_{n} = 0$ , thì $\lim{|u_{n}|} = 0$
Câu 13: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Hàm số nào sau đây gián đoạn tại $x = 1$ ?
- A.
  $y = \frac{2x + 1}{x^{2} + 1}$
- B.
  $y = x^{3} + x + 1$
- C.
  $y = \frac{x}{x^{2} - 1}$
- D.
  $y = \sin x$
Xét hàm số $y = \frac{x}{x^{2} - 1}$ hàm số này không xác định tại x = 1 nên hàm số gián đoạn tại x = 1.
Câu 14: Vận dụng
Tính giá trị biểu thức

Cho hàm số $f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{x - \sqrt {x + 2} }}{{{x^2} - 4}}{\text{ khi }}x > 2} \\ {{x^2} + ax + 3b{\text{ khi }}x < 2} \\ {2x + b - 6{\text{ khi }}x = 2} \end{array}} ight.$ liên tục tại $x = 2$ . Tính giá trị biểu thức $H = a + b$ .
- A.
  $H = \frac{19}{30}$
- B.
  $H = - \frac{173}{16}$
- C.
  $H = \frac{- 93}{16}$
- D.
  $H = \frac{19}{32}$
Ta có: $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x ight) = \frac{3}{{16}} \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x ight) = 2a + 3b + 4 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Từ điều kiện hàm số liên tục tại $x = 2$ ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix}2a + 3b = - \dfrac{61}{16} \\2a + b = \dfrac{99}{16} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \dfrac{179}{32} \\b = - 5 \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow H = a + b = \frac{19}{32}$
Câu 15: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} x - 2 & \ khi\ x < - 1 \\ \sqrt{x^{2} + 1} & \ khi\ x \geq - 1 \\ \end{matrix} ight.$ . Khi đó:

a) Giới hạn $\lim_{x ightarrow - 2}f(x) = \sqrt{5}$ . Sai||Đúng

b) Giới hạn $\lim_{x ightarrow - 1^{-}}f(x) = - 3$ . Đúng||Sai

c) Giới hạn $\lim_{x ightarrow - 1^{+}}f(x) = \sqrt{2}$ . Đúng||Sai

d) Hàm số tồn tại giới hạn khi $x ightarrow - 1$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} x - 2 & \ khi\ x < - 1 \\ \sqrt{x^{2} + 1} & \ khi\ x \geq - 1 \\ \end{matrix} ight.$ . Khi đó:

a) Giới hạn $\lim_{x ightarrow - 2}f(x) = \sqrt{5}$ . Sai||Đúng

b) Giới hạn $\lim_{x ightarrow - 1^{-}}f(x) = - 3$ . Đúng||Sai

c) Giới hạn $\lim_{x ightarrow - 1^{+}}f(x) = \sqrt{2}$ . Đúng||Sai

d) Hàm số tồn tại giới hạn khi $x ightarrow - 1$ . Sai||Đúng

a) Ta có: Giới hạn $\lim_{x ightarrow - 2}f(x) = - 4$

b) Xét dãy số $\left( x_{n} ight)$ bất kì sao cho $x_{n} < - 1$ và $x_{n} ightarrow - 1$ , ta có: $f\left( x_{n} ight) = x_{n} - 2$ .

Khi đó: $\lim_{x ightarrow - 1^{-}}f(x) = \lim f\left( x_{n} ight) = - 1 - 2 = - 3$ .

c) Xét dãy số $\left( x_{n} ight)$ bất kì sao cho $x_{n} > - 1$ và $x_{n} ightarrow - 1$ , ta có: $f\left( x_{n} ight) = \sqrt{x_{n}^{2} + 1}$ .

Khi đó: $\lim_{x ightarrow - 1^{+}}f(x) = \lim f\left( x_{n} ight) = \sqrt{( - 1)^{2} + 1} = \sqrt{2}$ .

d) Vì $\lim_{x ightarrow - 1^{-}}f(x) eq \lim_{x ightarrow - 1^{+}}f(x)$ (hay $- 3 eq \sqrt{2}$ ) nên không tồn tại $\lim_{x ightarrow - 1}f(x)$ .

Kết luận:

a) Sai

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai
Câu 16: Nhận biết
Tính giới hạn dãy số

Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ với $u_{n} = \frac{4^{n - 1}}{5^{n - 2}}$ . Tính $\lim_{n ightarrow + \infty}u_{n}$ .
- A.
  $0$ .
- B.
  $\frac{4}{5}$ .
- C.
  $\frac{4}{25}$ .
- D.
  $\frac{25}{4}$ .
Ta có:

$\lim_{n ightarrow + \infty}u_{n} = \lim_{n ightarrow + \infty}\frac{4^{n - 1}}{5^{n - 2}} = \lim_{n ightarrow + \infty}\left( \left( \frac{4}{5} ight)^{n}.\frac{4^{- 1}}{5^{- 2}} ight) = 0$
Câu 17: Nhận biết
Xác định kết quả giới hạn

Tính giới hạn $\lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2} + 3x - 4}{x - 1}$
- A.
  $- 5$
- B.
  $5$
- C.
  $0$
- D.
  $- 3$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2} + 3x - 4}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1}\frac{(x - 1)(x + 4)}{x - 1}$

$= \lim_{x ightarrow 1}(x + 4) = 5$
Câu 18: Vận dụng cao
Tính giá trị biểu thức Q

Số thập phân vô hạn tuần hoàn 5,231231… được biểu diễn bởi phân số tối giản $\frac{a}{b}$ . Tính tổng $Q = a - b$ .
- A.
  $Q = 1409$
- B.
  $Q = 1490$
- C.
  $Q = 1049$
- D.
  $Q = 1904$
Ta có:

$\begin{matrix} 5,231231... = 5 + 0,231 + 0,000231 + ... \hfill \\ = 5 + \dfrac{{231}}{{{{10}^3}}} + \dfrac{{231}}{{{{10}^6}}} + ... \hfill \\ \end{matrix}$

Dãy số $\frac{231}{10^{3}};\frac{231}{10^{6}};...$ là một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là $u_{1} = \frac{231}{10^{3}}$ , công sai là $q = 10^{- 3}$

$\begin{matrix} \Rightarrow Q = 5 + \dfrac{{\dfrac{{231}}{{{{10}^3}}}}}{{1 - \dfrac{1}{{{{10}^{ - 3}}}}}} = 5 + \dfrac{{231}}{{999}} = \dfrac{{1742}}{{333}} \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 1742} \\ {b = 333} \end{array}} ight. \Rightarrow Q = 1409 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 19: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Đặt $I = \lim\left( \sqrt{n^{2} + a^{2}n} - \sqrt{n^{2} + (a + 2)n + 1} \right)$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Ta biến đổi được $I = \lim\frac{n - 1}{\sqrt{n^{2} + n} + \sqrt{n^{2} + 1}}$ . Sai||Đúng

b) Nếu $I = 0$ thì có 3 giá trị $a$ thỏa mãn. Sai||Đúng

c) Nếu $I = 0$ thì tổng các giá trị $a$ tìm được bằng $1$ . Sai||Đúng

d) Có 2 giá trị $a$ nguyên để $I = 1$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Đặt $I = \lim\left( \sqrt{n^{2} + a^{2}n} - \sqrt{n^{2} + (a + 2)n + 1} \right)$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Ta biến đổi được $I = \lim\frac{n - 1}{\sqrt{n^{2} + n} + \sqrt{n^{2} + 1}}$ . Sai||Đúng

b) Nếu $I = 0$ thì có 3 giá trị $a$ thỏa mãn. Sai||Đúng

c) Nếu $I = 0$ thì tổng các giá trị $a$ tìm được bằng $1$ . Sai||Đúng

d) Có 2 giá trị $a$ nguyên để $I = 1$ . Sai||Đúng

a) Sai: Ta biến đổi được $I = \lim\frac{n - 1}{\sqrt{n^{2} + n} + \sqrt{n^{2} + 1}}$

$\sqrt{n^{2} + a^{2}n} - \sqrt{n^{2} + (a + 2)n + 1} \rightarrow = 0\overset{\rightarrow}{}$ nhân lượng liên hợp.

Ta có $\lim\left( \sqrt{n^{2} + a^{2}n} -\sqrt{n^{2} + (a + 2)n + 1} \right)$ $= \lim\frac{\left( a^{2} - a - 2\right)n - 1}{\sqrt{n^{2} + n} + \sqrt{n^{2} + 1}}$

b) Sai: $I = \lim\frac{a^{2} - a - 2 - \frac{1}{n}}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + \sqrt{1 + \frac{1}{n^{2}}}} = \frac{a^{2} - a - 2}{2}$

Khi $I = 0 \Leftrightarrow \frac{a^{2} - a- 2}{2} = 0 \Leftrightarrow a^{2} - a - 2 = 0$ $\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix}a = - 1 \\a = 2\end{matrix} \right.$

c) Sai: Nếu $I = 0$ thì tổng các giá trị $a$ tìm được bằng $1$ . Khi đó $- 1 + 2 = 1 \neq 0$

d) Sai: Có 2 giá trị $a$ nguyên để $I = 1$

Khi $I = 1 \Leftrightarrow \frac{a^{2} - a- 2}{2} = 1$ $\Leftrightarrow a^{2} - a - 4 = 0 \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix}a = \frac{1 - \sqrt{17}}{2} \\a = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}\end{matrix} \right.$
Câu 20: Thông hiểu
Tìm mệnh đề sai

Cho hàm số $f(x) = - 4x^{3} + 4x - 1$ . Mệnh đề nào sai?
- A.
  Hàm số đã cho liên tục trên $\mathbb{R}$
- B.
  Phương trình $f(x) = 0$ không có nghiệm trên khoảng $( - \infty;1)$
- C.
  Phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm trên khoảng $( - 2;0)$
- D.
  Phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất hai nghiệm trên khoảng $\left( - 3;\frac{1}{2} ight)$
Ta có:

$f(x) = - 4x^{3} + 4x - 1$ là hàm đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} f( - 1) = - 1 < 0 \\ f( - 2) = 23 > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow f(x) = 0$ có nghiệm trên $( - 2; - 1)$

Mà $( - 2; - 1) \subset ( - \infty;1)$

Vậy phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm trên khoảng $( - \infty;1)$

Ta có: $\left\{ \begin{gathered} f\left( 0 ight) = - 1 < 0 \hfill \\ f\left( {\dfrac{1}{2}} ight) = \dfrac{1}{2} > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$ có nghiệm trên $\left( 0;\frac{1}{2} ight) \subset \left( - 3;\frac{1}{2} ight)$

Vậy mệnh đề sai là “Phương trình $f(x) = 0$ không có nghiệm trên khoảng $( - \infty;1)$ ”
Câu 21: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định

Tìm được các giới hạn sau:

a) $\lim_{x ightarrow 2^{+}}(\sqrt{x + 2} - 1) = 1$ . Đúng||Sai

b) $\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{4x - 3}{x - 1} = + \infty$ . Đúng||Sai

c) $\lim_{x ightarrow 2^{-}}\left( \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x^{2} - 4} ight) = - \infty$ . Đúng||Sai

d) $\lim_{x ightarrow - 1^{-}}\frac{|x + 1|}{x^{2} - 1} = - \infty$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Tìm được các giới hạn sau:

a) $\lim_{x ightarrow 2^{+}}(\sqrt{x + 2} - 1) = 1$ . Đúng||Sai

b) $\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{4x - 3}{x - 1} = + \infty$ . Đúng||Sai

c) $\lim_{x ightarrow 2^{-}}\left( \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x^{2} - 4} ight) = - \infty$ . Đúng||Sai

d) $\lim_{x ightarrow - 1^{-}}\frac{|x + 1|}{x^{2} - 1} = - \infty$ . Sai||Đúng

a) Ta có:

$\lim_{x ightarrow 2^{+}}(\sqrt{x + 2} - 1) = \sqrt{2 + 2} - 1 = 1$ .

b) Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{4x - 3}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack (4x - 3) \cdot \frac{1}{x - 1} ightbrack = + \infty$ vì $\lim_{x ightarrow 1^{+}}(4x - 3) = 1,\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{1}{x - 1} = + \infty$ .

c) Ta có:

$\lim_{x ightarrow 2^{-}}\left( \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x^{2} - 4} ight)$

$= \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{x + 2 - 1}{(x - 2)(x + 2)} = \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{x + 1}{(x - 2)(x + 2)}$

$= \lim_{x ightarrow 2^{-}}\left\lbrack \frac{x + 1}{x + 2} \cdot \frac{1}{(x - 2)} ightbrack = - \infty$ , do $\left\{ \begin{matrix}\lim_{x ightarrow 2^{-}}\dfrac{x + 1}{x + 2} = \dfrac{3}{4} \\\lim_{x ightarrow 2^{-}}\dfrac{1}{x - 2} = - \infty \\\end{matrix} ight.$

d) Ta có:

$\lim_{x ightarrow - 1^{-}}\frac{|x + 1|}{x^{2} - 1} = \lim_{x ightarrow - 1^{-}}\frac{- x - 1}{(x - 1)(x + 1)} = \lim_{x ightarrow - 1^{-}}\frac{- 1}{x - 1} = \frac{1}{2}$ .
Câu 22: Vận dụng
Tính giới hạn hàm số

Cho hàm số $f(x) = \frac{2\sqrt{1 + x} - \sqrt[3]{8 - x}}{x}$ . Tính $\lim_{x ightarrow 0}f(x)$ .
- A.
  $\frac{1}{12}$
- B.
  $\frac{13}{12}$
- C.
  $+ \infty$
- D.
  $\frac{10}{11}$
Ta có:

$f(x) = \frac{2\sqrt{1 + x} - \sqrt[3]{8- x}}{x}$ $= 2.\frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x} + \frac{2 - \sqrt[3]{8 - x}}{x}= 2A + B$

Khi đó:

$\lim_{x ightarrow 0}A = \lim_{xightarrow 0}\frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x}$ $= \lim_{x ightarrow0}\frac{\left( \sqrt{1 + x} - 1 ight)\left( \sqrt{1 + x} + 1ight)}{x\left( \sqrt{1 + x} + 1 ight)}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{x}{x\left( \sqrt{1 + x} + 1 ight)} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{1 + x} + 1} = \frac{1}{2}$

Đồng thời

$\lim_{x ightarrow 0}B = \lim_{xightarrow 0}\frac{2 - \sqrt[3]{8 - x}}{x}$ $= \lim_{x ightarrow0}\frac{x}{x\left\lbrack \left( 4 + 2\sqrt[3]{8 - x} ight) + \left(\sqrt[3]{8 - x} ight)^{2} ightbrack}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{1}{\left( 4 + 2\sqrt[3]{8 - x} ight) + \left( \sqrt[3]{8 - x} ight)^{2}} = \frac{1}{12}$

Vậy $\lim_{x ightarrow 0}f(x) = 2\lim_{x ightarrow 0}A + \lim_{x ightarrow 0}B = 2.\frac{1}{2} + \frac{1}{12} = \frac{13}{12}$
Câu 23: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Biết $\lim_{x ightarrow 1}\frac{\sqrt[3]{x + 7} - \sqrt{x + 3}}{x^{2} - 3x + 2} = \frac{a}{b}$ , trong đó $a, b\in\mathbb{ Z}$ . Tính $- 106a + b$ .

Đáp án: -100||- 100

Đáp án là:

Biết $\lim_{x ightarrow 1}\frac{\sqrt[3]{x + 7} - \sqrt{x + 3}}{x^{2} - 3x + 2} = \frac{a}{b}$ , trong đó $a, b\in\mathbb{ Z}$ . Tính $- 106a + b$ .

Đáp án: -100||- 100

Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1}\frac{\sqrt[3]{x + 7} - \sqrt{x + 3}}{x^{2} - 3x + 2} = \lim_{x ightarrow 1}\frac{\sqrt[3]{x + 7} - 2}{(x - 1)(x - 2)} + \lim_{x ightarrow 1}\frac{2 - \sqrt{x + 3}}{(x - 1)(x - 2)}$ .

Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1}\frac{\sqrt[3]{x + 7} - 2}{(x - 1)(x - 2)}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{x + 7 - 2^{3}}{(x - 1)(x - 2)\left\lbrack \sqrt[3]{(x + 7)^{2}} + 2\sqrt[3]{x + 7} + 4 ightbrack}$ .

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{1}{(x - 2)\left( \sqrt[3]{(x + 7)^{2}} + 2\sqrt[3]{x + 7} + 4 ight)} = - \frac{1}{12}$ .

Đồng thời:

$\lim_{x ightarrow 1}\frac{2 - \sqrt{x + 3}}{(x - 1)(x - 2)} = \lim_{x ightarrow 1}\frac{2^{2} - (x + 3)}{(x - 1)(x - 2)(2 + \sqrt{x + 3})}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{- 1}{(x - 2)(2 + \sqrt{x + 3})} = \frac{1}{4}$

$\Rightarrow \lim_{x ightarrow 1}\frac{\sqrt[3]{x + 7} - \sqrt{x + 3}}{x^{2} - 3x + 2} = - \frac{1}{12} + \frac{1}{4} = \frac{1}{6}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 6 \\ \end{matrix} ight.$ .

Vậy $- 106a + b = - 106 + 6 = - 100$ .
Câu 24: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của mỗi kết luận

Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ với $u_{n} = \sqrt{n^{2} + an + 5} -\sqrt{n^{2} + 1}$ , trong đó $a$ là tham số thực.
a) Khi $a = 2$ thì $\lim u_{n} = 1.$ Đúng||Sai
b) Khi $a = 3$ thì $\lim u_{n} = \frac{1}{2}$ . Sai||Đúng
c) Khi $a = - 3$ thì $\lim u_{n} = - \frac{3}{2}$ . Đúng||Sai
d) Khi $a = - 2$ thì $\lim u_{n} = - 1.$ Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ với $u_{n} = \sqrt{n^{2} + an + 5} -\sqrt{n^{2} + 1}$ , trong đó $a$ là tham số thực.
a) Khi $a = 2$ thì $\lim u_{n} = 1.$ Đúng||Sai
b) Khi $a = 3$ thì $\lim u_{n} = \frac{1}{2}$ . Sai||Đúng
c) Khi $a = - 3$ thì $\lim u_{n} = - \frac{3}{2}$ . Đúng||Sai
d) Khi $a = - 2$ thì $\lim u_{n} = - 1.$ Đúng||Sai

Ta có
$\sqrt{n^{2} + an + 5} - \sqrt{n^{2} + 1}ightarrow 0\overset{ightarrow}{}$ Nhận lượng liên hợp :
$\lim u_{n} = \lim\left( \sqrt{n^{2} + an+ 5} - \sqrt{n^{2} + 1} ight)$
$= \lim\frac{an + 4}{\sqrt{n^{2} + an +5} + \sqrt{n^{2} + 1}}$
$= \lim\frac{a + \dfrac{4}{n}}{\sqrt{1 +\dfrac{a}{n} + \dfrac{5}{n^{2}}} + \sqrt{1 + \dfrac{1}{n^{2}}}} =\dfrac{a}{2}$
Câu 25: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng

Biết rằng $f(x) =\left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 1}{\sqrt{x} - 1}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x eq 1 \\a\ \ \ khi\ x eq 1 \\\end{matrix} ight.$ liên tục trên $\lbrack 0;1brack$ với a là tham số. Khẳng định nào sau đây về giá trị a là đúng?
- A.
  $a \in \mathbb{Z}$
- B.
  $a\in\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}$
- C.
  $a > 5$
- D.
  $a < 0$
Ta có:

Hàm số xác định và liên tục trên $\lbrack 0;1brack$

Khi đó $f(x)$ liên tục trên $\lbrack 0;1brack$ khi và chỉ khi $\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = f(1)\ \ \ (*)$

Ta có:

$f(1) = a$

$\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{x^{2} - 1}{\sqrt{x} - 1}$ $= \lim_{x ightarrow 1^{-}}\left\lbrack (x + 1)\left( \sqrt{x} + 1 ight) ightbrack = 4$

$(*) \Leftrightarrow a = 4$
Câu 26: Vận dụng cao
Tính giới hạn hàm số

Tính $\lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2018} + x^{2017} + .... + x - 2018}{x^{2018} + 1}$
- A.
  $2018$
- B.
  $\frac{2019}{2018}$
- C.
  $\frac{2019}{2}$
- D.
  $\frac{2018}{2019}$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1}\dfrac{x^{2018} +x^{2017} + .... + x - 2018}{x^{2018} + 1}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\dfrac{(x -1)\left( x^{2017} + 2x^{2016} + 3.x^{2015} + .... + 2017x + 2018ight)}{(x - 1)\left( x^{2017} + x^{2016} + x^{2015} + .... + x + 1ight)}$

$= \dfrac{\dfrac{2018.2019}{2}}{2018} =\dfrac{2019}{2}$

Vậy $\lim_{x ightarrow 1}\dfrac{x^{2018}+ x^{2017} + .... + x - 2018}{x^{2018} + 1} =\frac{2019}{2}$
Câu 27: Thông hiểu
Tìm khẳng định sai

Cho hàm số $f(x)= \left\{ \begin{matrix}x^{2} - 2x + 3\ \ \ khi\ x > 3 \\1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 3 \\3 - 2x^{2}\ \ \ \ \ khi\ x < 3 \\\end{matrix} ight.$ . Khẳng định nào dưới đây sai?
- A.
  $\lim_{x ightarrow 3^{+}}f(x) =6$
- B.
  $\lim_{x ightarrow 3^{-}}f(x) =6$
- C.
  Không tồn tại $\lim_{x ightarrow3}f(x)$
- D.
  $\lim_{x ightarrow 3^{-}}f(x) = -15$
Ta có:
$\lim_{x ightarrow 3^{+}}f(x) = \lim_{xightarrow 3^{+}}\left( x^{2} - 2x + 3 ight) = 6$
$\lim_{x ightarrow 3^{-}}f(x) = \lim_{xightarrow 3^{-}}\left( 3 - 2x^{2} ight) = - 15$
$\Rightarrow \lim_{x ightarrow3^{+}}f(x) eq \lim_{x ightarrow 3^{-}}f(x)$
=> Không tồn tại giới hạn khi x dần đến 3.
Vậy chỉ có khẳng định $\lim_{x ightarrow3^{-}}f(x) = 6$ sai.
Câu 28: Thông hiểu

Xác định kết luận đúng, kết luận sai

Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

a) $\lim_{x ightarrow \infty}\frac{2n + 5}{3n + 7} = \frac{5}{3}$ Sai||Đúng

b) $\lim_{x ightarrow - 2}\left( x^{2} - 2ax + 3 + a^{2} ight) = 3$ khi $a = - 2$ Đúng||Sai

c) Hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 3}{x - \sqrt{3}}\ \ \ khi\ x\ eq \sqrt{3} \\2\sqrt{3}\ \ \ khi\ x\ = \ \sqrt{3} \\\end{matrix} ight.$ liên tục tại $x = \sqrt{3}$ Đúng||Sai

c) $\lim\frac{\cos n}{n} = + \infty$ Sai||Đúng

Đáp án là:

Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

a) $\lim_{x ightarrow \infty}\frac{2n + 5}{3n + 7} = \frac{5}{3}$ Sai||Đúng

b) $\lim_{x ightarrow - 2}\left( x^{2} - 2ax + 3 + a^{2} ight) = 3$ khi $a = - 2$ Đúng||Sai

c) Hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 3}{x - \sqrt{3}}\ \ \ khi\ x\ eq \sqrt{3} \\2\sqrt{3}\ \ \ khi\ x\ = \ \sqrt{3} \\\end{matrix} ight.$ liên tục tại $x = \sqrt{3}$ Đúng||Sai

c) $\lim\frac{\cos n}{n} = + \infty$ Sai||Đúng

Ta có: $\lim_{x ightarrow\infty}\dfrac{2n + 5}{3n + 7} = \lim_{x ightarrow\infty}\dfrac{\dfrac{2n}{n} + \dfrac{5}{n}}{\dfrac{3n}{n} + \dfrac{7}{n}} =\dfrac{2}{3}$

Ta có: Khi $a = - 2$ thì $\lim_{x ightarrow - 2}\left( x^{2} + 4x + 3 + 4 ight) = \lim_{x ightarrow - 2}\left( x^{2} + 4x + 7 ight) = 3$

Ta có: $\left\{ \begin{gathered} f\left( {\sqrt 3 } ight) = 2\sqrt 3 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \left( {\frac{{{x^2} - 3}}{{x - \sqrt 3 }}} ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \left( {x + \sqrt 3 } ight) = 2\sqrt 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Vậy hàm số $f\left( x ight) = \left\{ \begin{gathered} \frac{{{x^2} - 3}}{{x - \sqrt 3 }}{\text{ khi x }} e \sqrt 3 \hfill \\ 2\sqrt 3 {\text{ khi x = }}\sqrt 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.$ liên túc tại $x = \sqrt{3}$

Ta có: $\left\{ \begin{gathered} \left| {\frac{{\cos n}}{n}} ight| \leqslant \frac{1}{n} \hfill \\ \lim \frac{1}{n} = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \lim \frac{{\cos n}}{n} = 0$
Câu 29: Thông hiểu
Tìm số nghiệm của phương trình

Cho hàm số $f(x)=x^{3}-3x-1$ . Số nghiệm của phương trình $f(x) =0$ trên $\mathbb{R}$ là:
- A.
  0
- B.
  1
- C.
  2
- D.
  3
Hàm số $f(x)=x^{3}-3x-1$ là hàm đa thức có tập xác định là $\mathbb{R}$ nên liên tục trên $\mathbb{R}$
=> Hàm số liên tục trên mỗi khoảng $\left( { - 2; - 1} ight),\left( { - 1;0} ight),\left( {0;2} ight)$
Ta có:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( { - 2} ight) = - 3} \\ {f\left( { - 1} ight) = 1} \end{array} \Rightarrow } ight.f\left( { - 2} ight).f\left( { - 1} ight) < 0$ => Hàm số có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $\left( { - 2; - 1} ight)$
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( { - 1} ight) = 1} \\ {f\left( 0 ight) = - 1} \end{array} \Rightarrow } ight.f\left( { - 1} ight).f\left( 0 ight) < 0$ => Hàm số có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $\left( { - 1; 0} ight)$
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( 2 ight) = 1} \\ {f\left( 0 ight) = - 1} \end{array} \Rightarrow } ight.f\left( 2 ight).f\left( 0 ight) < 0$ => Hàm số có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $\left( { 0; 2} ight)$
Vậy phương trình $f(x) =0$ có ít nhất ba nghiệm thuộc khoảng $\left( { -2; 2} ight)$
Mặt khác phương trình $f(x) =0$ là phương trình bậc ba có nhiều nhất ba nghiệm
=> Phương trình $f(x) =0$ có đúng ba nghiệm trên $\mathbb{R}$
Câu 30: Thông hiểu
Tính f(0)

Cho hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên $[-3;3]$ với $f(x)=\frac{ \sqrt{x+3}-\sqrt{3-x}}{x}$ với $xeq 0$ . Tính $f(0)$
- A.
  $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
- B.
  $\frac{\sqrt{3}}{3}$
- C.
  1
- D.
  0
Ta có: Hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên $[-3;3]$
=> Hàm số liên tục tại $x=0$
=> $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = f\left( 0 ight)$
Ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {x + 3} - \sqrt {3 - x} }}{x} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left( {\sqrt {x + 3} - \sqrt {3 - x} } ight)\left( {\sqrt {x + 3} + \sqrt {3 - x} } ight)}}{{x\left( {\sqrt {x + 3} + \sqrt {3 - x} } ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2x}}{{x\left( {\sqrt {x + 3} + \sqrt {3 - x} } ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{2}{{\sqrt {x + 3} + \sqrt {3 - x} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \hfill \\ \end{matrix}$
=> $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = f\left( 0 ight) = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$
Câu 31: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} 2x^{2} + 3x + 30\ \ \ \ khi\ \ x \geq 2 \\ x + 3a + 4\ \ \ \ khi\ \ x \leq 2 \\ \end{matrix} ight.$ . Khi hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ thì $a \in (m;n)$ ( với $m,n$ là hai số nguyên liên tiếp). Tính $100(m + n)$ .

Đáp án: 2500

Đáp án là:

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} 2x^{2} + 3x + 30\ \ \ \ khi\ \ x \geq 2 \\ x + 3a + 4\ \ \ \ khi\ \ x \leq 2 \\ \end{matrix} ight.$ . Khi hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ thì $a \in (m;n)$ ( với $m,n$ là hai số nguyên liên tiếp). Tính $100(m + n)$ .

Đáp án: 2500

TXĐ: $D\mathbb{= R}$

Hàm số liên tục khi $x eq 2$

Xét tại $x = 2$

Ta có: $f\left( 2 ight) = 44$ ; $\lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{+}}\left( 2x^{2} + 3x + 30 ight) = 44$ ; $\lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{-}}(x + 3a + 4) = 3a + 6$

Để hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ thì $\lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = f(2)$

$\Leftrightarrow 3a + 6 = 44 \Leftrightarrow a = \frac{38}{3} \in (12;13)$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 12 \\ n = 13 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow 100(m + n) = 2500$

Đáp án: $2500$ .
Câu 32: Nhận biết
Xác định khẳng định đúng

Chọn khẳng định đúng?
- A.
  $\lim_{x ightarrow - \infty}x^{4} = - \infty$
- B.
  $\lim_{x ightarrow - \infty}x^{3} = + \infty$
- C.
  $\lim_{x ightarrow x_{0}}x = x_{0}$
- D.
  $\lim_{x ightarrow + \infty}q^{x} = 0;\left( |q| \geq 1 ight)$
$\lim_{x ightarrow - \infty}x^{4} = + \infty$

$\lim_{x ightarrow - \infty}x^{3} = - \infty$

$\lim_{x ightarrow x_{0}}x = x_{0}$

$\lim_{x ightarrow + \infty}q^{x} = 0;\left( |q| < 1 ight)$
Câu 33: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Hàm số nào không liên tục tại $x = 2$ ?
- A.
  $y = \sqrt{x + 2}$
- B.
  $y = \sin x$
- C.
  $y = \frac{x^{2}}{x - 2}$
- D.
  $y = x^{2} - 3x + 2$
Ta có hàm số $y = \frac{x^{2}}{x - 2}$ không xác định tại $x = 2$ nên hàm số không liên tục tại $x = 2$

NB
Câu 34: Nhận biết
Tính f(0)

Cho hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên $( - 4; + \infty)$ với $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x + 4} - 2}$ với $x eq 0$ . Tính $f(0)$ .
- A.
  $f(0) = 0$
- B.
  $f(0) = 2$
- C.
  $f(0) = 4$
- D.
  $f(0) = 1$
Ta có hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên $( - 4; + \infty)$ nên suy ra

$f(0) = \lim_{x ightarrow 0}f(x)$

$= \lim_{x ightarrow 0}\left( \frac{x}{\sqrt{x + 4} - 2} ight)$

$= \lim_{x ightarrow 0}\left( \sqrt{x + 4} + 2 ight) = 4$
Câu 35: Vận dụng
Tìm giới hạn?

Giá trị của $\lim\frac{a^{n}}{n!}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  0
- D.
  1
Gọi m là số tự nhiên thỏa: m+1>|a|.
Khi đó với mọi n > m+1.
Ta có: $0 < \left| \frac{a^{n}}{n!}ight| = \left| \frac{a}{1}.\frac{a}{2}\ldots\frac{a}{m} ight|.\left|\frac{a}{m + 1}\ldots\frac{a}{n} ight| < \frac{|a|^{m}}{m!}.\left(\frac{|a|}{m + 1} ight)^{n - m}$
Mà $\lim\left( \frac{|a|}{m + 1}ight)^{n - m} = 0$ .
Từ đó suy ra: $\lim\frac{a^{n}}{n!} =0$ .
Câu 36: Thông hiểu
Tính giới hạn hàm số

Tính giới hạn $\lim_{x ightarrow 1}\frac{2x^{2} - 3x + 1}{1 - x^{2}}$
- A.
  $\frac{1}{2}$
- B.
  $\frac{1}{4}$
- C.
  $- \frac{1}{4}$
- D.
  $- \frac{1}{2}$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1}\frac{2x^{2} - 3x + 1}{1 - x^{2}} = \lim_{x ightarrow 1}\frac{1 - 2x}{x - 1} = - \frac{1}{2}$
Câu 37: Nhận biết
Tính giới hạn của hàm số

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3{x^4} - 2{x^5}}}{{5{x^4} + 3{x^6} + 1}}$ bằng:
- A.
  $-\infty$
- B.
  $\frac{3}{5}$
- C.
  $\frac{-2}{5}$
- D.
  0
Ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{3{x^4} - 2{x^5}}}{{5{x^4} + 3{x^6} + 1}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\dfrac{3}{{{x^2}}} - \dfrac{2}{x}}}{{\dfrac{5}{{{x^2}}} + 3 + \dfrac{1}{{{x^6}}}}} = 0 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 38: Vận dụng
Tính giới hạn

Tính giới hạn $\lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt{x - 1} + x^{4} - 3x^{3} + x^{2} + 3}{\sqrt{2x} - 2}$
- A.
  $1$
- B.
  $- \frac{1}{4}$
- C.
  $0$
- D.
  $+ \infty$
Ta có:

$\frac{\sqrt{x - 1} + x^{4} - 3x^{3} + x^{2} + 3}{\sqrt{2x} - 2}$

$= \frac{\sqrt{x - 1} - 1}{\sqrt{2x} - 2} + \frac{x^{4} - 3x^{3} + x^{2} + 4}{\sqrt{2x} - 2}$

$= \frac{(x - 2)\left( \sqrt{2x} + 2 ight)}{(2x - 4)\left( \sqrt{x - 1} + 1 ight)} + \frac{(x - 2)\left( x^{3} - x^{2} - x - 2 ight)\left( \sqrt{2x} + 2 ight)}{2x - 4}$

$= \frac{\sqrt{2x} + 2}{2\left( \sqrt{x - 1} + 2 ight)} + \frac{\left( x^{3} - x^{2} - x - 2 ight)\left( \sqrt{2x} + 2 ight)}{2}$

Do đó $\lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt{x - 1} + x^{4} - 3x^{3} + x^{2} + 3}{\sqrt{2x} - 2} = 1$
Câu 39: Thông hiểu
Tính lim

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x(\sqrt {{x^2} + 5} - x)$ bằng:
- A.
  $\sqrt{5}$
- B.
  $\frac{5}{\sqrt{2}}$
- C.
  $\frac{5}{2}$
- D.
  $+\infty$
Ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\left( {\sqrt {{x^2} + 5} - x} ight) \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x\left( {\sqrt {{x^2} + 5} - x} ight)\left( {\sqrt {{x^2} + 5} + x} ight)}}{{\sqrt {{x^2} + 5} + x}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x\left( {{x^2} + 5 - {x^2}} ight)}}{{\sqrt {{x^2} + 5} + x}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{5x}}{{\sqrt {{x^2} + 5} + x}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{5}{{\sqrt {1 + \dfrac{5}{{{x^2}}}} + 1}} = \dfrac{5}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 40: Nhận biết
Tính giới hạn hàm số

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} + 2} - \sqrt {x + 3} }}{{2x - 3}}$ bằng
- A.
  0
- B.
  1
- C.
  2
- D.
  $+\infty$
Ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\sqrt {4{x^2} + 2} - \sqrt {x + 3} }}{{2x - 3}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x\left( {\sqrt {4 + \dfrac{2}{{{x^2}}}} - \sqrt {\dfrac{1}{x} + \dfrac{3}{{{x^2}}}} } ight)}}{{x\left( {2 - \dfrac{3}{x}} ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x\left( {\sqrt {4 + \dfrac{2}{{{x^2}}}} - \sqrt {\dfrac{1}{x} + \dfrac{3}{{{x^2}}}} } ight)}}{{x\left( {2 - \dfrac{3}{x}} ight)}} \hfill \\ = 1 \hfill \\ \end{matrix}$

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 3 Chân trời sáng tạo Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

40 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 3 Chân trời sáng tạo

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 Chân trời sáng tạo
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân
Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số ghép số liệu nhóm
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Đạo hàm
Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 9: Xác suất

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 3 Chân trời sáng tạo

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 11 Chân trời sáng tạo

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân

Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian

Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số ghép số liệu nhóm

Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 7: Đạo hàm

Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian

Chương 9: Xác suất