Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 3 Chân trời sáng tạo

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 CTST Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục nha!

  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Bắt đầu làm bài
Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay
  • Câu 1: Thông hiểu

    Tìm tất cả các giá trị của tham số m

    Cho hàm số f(x)= \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{2x + 1} - 1}{x}\ khi\ x eq 0 \\m^{2} - 2m + 2\ khi\ x eq 0 \\\end{matrix} ight.. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số liên tục tại x = 0?

    Ta có: f(0) = m^{2} - 2m + 2

    \lim_{x ightarrow 0}f(x) = \lim_{x
ightarrow 0}\frac{\sqrt{2x + 1} - 1}{x}

    = \lim_{x ightarrow
0}\frac{2x}{x\left( \sqrt{2x + 1} + 1 ight)} = \lim_{x ightarrow
0}\frac{2}{\sqrt{2x + 1} + 1} = 1

    Hàm số liên tục tại x = 0

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow
0}f(x) = f(0)

    \Leftrightarrow m^{2} - 2m + 1 = 0
\Rightarrow m = 1

  • Câu 2: Thông hiểu

    Xét tính đúng sai của các khẳng định

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}
x - 2 & \ khi\ x < - 1 \\
\sqrt{x^{2} + 1} & \ khi\ x \geq - 1 \\
\end{matrix} ight.. Khi đó:

    a) Giới hạn\lim_{x ightarrow - 2}f(x) =
\sqrt{5}. Sai||Đúng

    b) Giới hạn\lim_{x ightarrow -
1^{-}}f(x) = - 3. Đúng||Sai

    c) Giới hạn\lim_{x ightarrow -
1^{+}}f(x) = \sqrt{2}. Đúng||Sai

    d) Hàm số tồn tại giới hạn khi x
ightarrow - 1 . Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}
x - 2 & \ khi\ x < - 1 \\
\sqrt{x^{2} + 1} & \ khi\ x \geq - 1 \\
\end{matrix} ight.. Khi đó:

    a) Giới hạn\lim_{x ightarrow - 2}f(x) =
\sqrt{5}. Sai||Đúng

    b) Giới hạn\lim_{x ightarrow -
1^{-}}f(x) = - 3. Đúng||Sai

    c) Giới hạn\lim_{x ightarrow -
1^{+}}f(x) = \sqrt{2}. Đúng||Sai

    d) Hàm số tồn tại giới hạn khi x
ightarrow - 1 . Sai||Đúng

    a) Ta có: Giới hạn\lim_{x ightarrow -
2}f(x) = - 4

    b) Xét dãy số \left( x_{n}
ight) bất kì sao cho x_{n} < -
1x_{n} ightarrow -
1, ta có: f\left( x_{n} ight) =
x_{n} - 2.

    Khi đó: \lim_{x ightarrow - 1^{-}}f(x)
= \lim f\left( x_{n} ight) = - 1 - 2 = - 3.

    c) Xét dãy số \left( x_{n}
ight) bất kì sao cho x_{n} > -
1x_{n} ightarrow -
1, ta có: f\left( x_{n} ight) =
\sqrt{x_{n}^{2} + 1}.

    Khi đó: \lim_{x ightarrow - 1^{+}}f(x)
= \lim f\left( x_{n} ight) = \sqrt{( - 1)^{2} + 1} =
\sqrt{2}.

    d) Vì \lim_{x ightarrow - 1^{-}}f(x)
eq \lim_{x ightarrow - 1^{+}}f(x) (hay - 3 eq \sqrt{2} ) nên không tồn tại \lim_{x ightarrow - 1}f(x).

    Kết luận:

    a) Sai

    b) Đúng

    c) Đúng

    d) Sai

  • Câu 3: Nhận biết

    Tính giá trị của M.n

    Cho hàm số y =
f(x) liên tục trên đoạn \lbrack -
1;2brack và có đồ thị như hình vẽ. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \lbrack - 1;2brack. Giá trị của M.n là:

    Hàm số y = f(x) liên tục trên \lbrack - 1;2brack.

    Từ đồ thị hàm số đã cho ta thấy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là M = 3; m = -1

    Vậy M.n = -3

  • Câu 4: Vận dụng

    Ghi đáp án vào ô trống

    Kết quả giới hạn K = \lim_{x ightarrow
+ \infty}x\left( \sqrt{x^{2} + 2x} - \sqrt[3]{x^{3} + 3x^{2}} ight) =
\frac{a}{b}, với \frac{a}{b} là phân số tối giản (a;b > 0). Tổng a + b bằng bao nhiêu?

    Đáp án: 3

    Đáp án là:

    Kết quả giới hạn K = \lim_{x ightarrow
+ \infty}x\left( \sqrt{x^{2} + 2x} - \sqrt[3]{x^{3} + 3x^{2}} ight) =
\frac{a}{b}, với \frac{a}{b} là phân số tối giản (a;b > 0). Tổng a + b bằng bao nhiêu?

    Đáp án: 3

    Ta có

    K = \lim_{x ightarrow + \infty}x\left(
\sqrt{x^{2} + 2x} - \sqrt[3]{x^{3} + 3x^{2}} ight)

    = \lim_{x ightarrow +
\infty}x\left\lbrack \left( \sqrt{x^{2} + 2x} - x - 1 ight) + \left( x
+ 1 - \sqrt[3]{x^{3} + 3x^{2}} ight) ightbrack

    = \lim_{x ightarrow +
\infty}\lbrack\frac{- x}{\sqrt{x^{2} + 2x} + (x + 1)} + \frac{3x^{2} + x}{(x + 1)^{2} + (x +
1)\sqrt[3]{x^{3} + 3x} + \sqrt[3]{\left( x^{3} + 3x
ight)^{2}}}brack

    = \lim_{x ightarrow +
\infty}\lbrack\frac{- 1}{\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + \left( 1 + \frac{1}{x}
ight)} + \frac{3 +
\frac{1}{x}}{\left( 1 + \frac{1}{x} ight)^{2} + \left( 1 + \frac{1}{x}
ight)\sqrt[3]{1 + \frac{3}{x^{2}}} + \sqrt[3]{\left( 1 +
\frac{3}{x^{2}} ight)^{2}}}brack

    = - \frac{1}{2} + 1 =
\frac{1}{2}.

    Suy ra a + b = 3.

  • Câu 5: Vận dụng

    Tìm giá trị của tham số a

    Tìm tất cả các giá trị của tham số a để A
= \lim\frac{5n^{2} - 3an^{4}}{(1 - a)n^{4} + 2n + 1} > 0

    Ta có:

    A = \lim\frac{5n^{2} - 3an^{4}}{(1 -
a)n^{4} + 2n + 1}

    = \lim\dfrac{\dfrac{5}{n^{2}} - 3a}{(1 -a) + \dfrac{2}{n^{3}} + \dfrac{1}{n^{4}}}

    = \frac{- 3a}{1 - a} > 0

    Giải bất phương trình ta được kết quả \left\lbrack \begin{matrix}
a < 0 \\
a > 1 \\
\end{matrix} ight.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Tính f(0)

    Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên [-3;3] với f(x)=\frac{ \sqrt{x+3}-\sqrt{3-x}}{x} với xeq 0. Tính f(0)

    Ta có: Hàm số f(x) xác định và liên tục trên [-3;3]

    => Hàm số liên tục tại x=0

    => \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = f\left( 0 ight)

    Ta có:

    \begin{matrix}  \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {x + 3}  - \sqrt {3 - x} }}{x} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left( {\sqrt {x + 3}  - \sqrt {3 - x} } ight)\left( {\sqrt {x + 3}  + \sqrt {3 - x} } ight)}}{{x\left( {\sqrt {x + 3}  + \sqrt {3 - x} } ight)}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2x}}{{x\left( {\sqrt {x + 3}  + \sqrt {3 - x} } ight)}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{2}{{\sqrt {x + 3}  + \sqrt {3 - x} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \hfill \\ \end{matrix}

    => \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = f\left( 0 ight) = \frac{1}{{\sqrt 3 }}

  • Câu 7: Nhận biết

    Tính f(0)

    Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên ( - 4; + \infty) với f(x) = \frac{x}{\sqrt{x + 4} - 2} với x eq 0. Tính f(0).

    Ta có hàm số f(x) xác định và liên tục trên ( - 4; + \infty) nên suy ra

    f(0) = \lim_{x ightarrow
0}f(x)

    = \lim_{x ightarrow 0}\left(
\frac{x}{\sqrt{x + 4} - 2} ight)

    = \lim_{x ightarrow 0}\left( \sqrt{x +
4} + 2 ight) = 4

  • Câu 8: Thông hiểu

    Tìm giá trị thực của m

    Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {\dfrac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 2}}{\text{ khi }}x e 2} \\ 
  {m{\text{               khi }}x = 2} 
\end{array}} ight. liên tục tại x = 2.

    Tập xác định D\mathbb{= R} chứa x = 2

    Theo giả thiết ta có:

    m = f(2) = \lim_{x ightarrow
2}f(x)

    \Rightarrow m = \lim_{x ightarrow
2}\frac{x^{2} - x - 2}{x - 2} = \lim_{x ightarrow 2}(x + 1) =
3

  • Câu 9: Thông hiểu

    Xác định giới hạn

    \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (x + 50)\sqrt {\frac{x}{{{x^3} - 6}}} bằng:

    Ta có: 

    \begin{matrix}  \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (x + 50)\sqrt {\dfrac{x}{{{x^3} - 6}}}  \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \sqrt {\dfrac{{x{{\left( {x + 50} ight)}^2}}}{{{x^3} - 6}}}  \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \sqrt {\dfrac{{{x^3} + 100{x^2} + 50x}}{{{x^3} - 6}}}  \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \sqrt {\dfrac{{1 + \dfrac{{100}}{{{x^2}}} + \dfrac{{50}}{{{x^3}}}}}{{1 - \dfrac{6}{{{x^3}}}}}}  = 1 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 10: Thông hiểu

    Xác định mệnh đề sai

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow + \infty}\dfrac{3x +2}{x - 1} = \lim_{x ightarrow + \infty}\dfrac{3 + \dfrac{2}{x}}{1 -\dfrac{1}{x}} = \dfrac{3 + 0}{1 - 0} = 3

  • Câu 11: Nhận biết

    Tính giới hạn

    Tính giới hạn \lim\frac{n^{2} - 4n^{3}}{2n^{3} + 5n -
2}

    Ta có:

    \lim\dfrac{n^{2} - 4n^{3}}{2n^{3} + 5n -2} = \lim\dfrac{\dfrac{1}{n} - 4}{2 + \dfrac{5}{n^{2}} - \dfrac{2}{n^{3}}} =\dfrac{0 - 4}{2 + 0 - 0} = - 2

  • Câu 12: Thông hiểu

    Giới hạn cần tìm là?

    Giới hạn cần tìm của E =
\lim\frac{\sqrt{n^{3} + 2n} + 1}{n + 2} bằng:

    E = \lim\frac{\sqrt{n^{3} + 2n} + 1}{n +
2} = + \infty

  • Câu 13: Thông hiểu

    Tìm giá trị nhỏ nhất của a

    Tìm giá trị nhỏ nhất của a để hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 5x + 6}{\sqrt{4x - 3} - x}\ \ \ khi\ x > 3 \\1 - a^{2}x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \leq 3 \\\end{matrix} ight. liên tục tại x = 3.

    Điều kiện bài toán trở thành \lim_{x
ightarrow 3^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 3^{-}}f(x) = f(3)\ \
(*)

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 3^{+}}f(x) = \lim_{x
ightarrow 3^{+}}\frac{x^{2} - 5x + 6}{\sqrt{4x - 3} - x} = \lim_{x
ightarrow 3^{+}}\frac{(x - 2)\left( \sqrt{4x - 3} + x ight)}{1 - x}
= - 3

    \lim_{x ightarrow 3^{-}}f(x) = \lim_{x
ightarrow 3^{-}}\left( 1 - a^{2}x ight) = 1 - 3a^{3}

    f(3) = 1 - 3a^{2}

    Khi đó (*) \Leftrightarrow a = \pm
\frac{2}{\sqrt{3}} \Rightarrow a_{\min} = -
\frac{2}{\sqrt{3}}

  • Câu 14: Nhận biết

    Chọn phương án thích hợp

    Cho c là hằng số, k là một số nguyên dương. Quy tắc nào sau đây sai?

    Ta có \lim_{x ightarrow +
\infty}\frac{1}{x^{k}} = 0 với k là một số nguyên dương.

  • Câu 15: Nhận biết

    Tính giới hạn

    Tính giới hạn \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{3x + 1}{2 -
x}

    Ta có: \left\{ \begin{gathered}
  \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {3x + 1} ight) = 7 > 0 \hfill \\
  \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {x - 2} ight) = 0 \hfill \\
  x - 2 < 0,x \mapsto 2 \hfill \\ 
\end{gathered}  ight.

    \Rightarrow \lim_{x ightarrow
2^{-}}\frac{3x + 1}{2 - x} = + \infty

  • Câu 16: Thông hiểu

    Tính giới hạn hàm số

    Tính giới hạn  \lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt{x + 2} - 2}{x -
2}

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt{x + 2}
- 2}{x - 2} = \lim_{x ightarrow 3}\frac{\left( \sqrt{x + 2} - 2
ight)\left( \sqrt{x + 2} + 2 ight)}{(x - 2)\left( \sqrt{x + 2} + 2
ight)}

    = \lim_{x ightarrow 2}\frac{x - 2}{(x
- 2)\left( \sqrt{x + 2} + 2 ight)}

    = \lim_{x ightarrow 2}\frac{1}{\sqrt{x
+ 2} + 2} = \frac{1}{4}

  • Câu 17: Thông hiểu

    Tìm giá trị của giới hạn?

    Giá trị của B =
\frac{\sqrt{n^{2} + 2n}}{n - \sqrt{3n^{2} + 1}}bằng:

    Ta có:

    B = \lim\dfrac{\dfrac{\sqrt{n^{2} +n}}{n}}{\dfrac{n - \sqrt{3n^{2} + 1}}{n}}

    = \lim\frac{\sqrt{1 +\frac{1}{n}}}{1 - \sqrt{3 + \frac{1}{n^{2}}}} = \frac{1}{1 -\sqrt{3}}

  • Câu 18: Thông hiểu

    Giới hạn của hàm số

    \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} + 1}  - \sqrt {x + 5} }}{{2x - 7}} bằng

    Ta có:

    \begin{matrix}  \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{\sqrt {4{x^2} + 1}  - \sqrt {x + 5} }}{{2x - 7}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{x\left( {\sqrt {4 + \dfrac{1}{{{x^2}}}}  - \sqrt {\dfrac{1}{x} + \dfrac{5}{{{x^2}}}} } ight)}}{{x\left( {2 - \dfrac{7}{x}} ight)}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{\sqrt 4  - 0}}{2} = 1 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 19: Vận dụng cao

    Ghi đáp án vào ô trống

    Tính giới hạn sau: \lim\frac{\sqrt[3]{2n^{2} - n^{3}} +
n}{\sqrt{n^{2} + n} - n}.

    Đáp án: 1

    Đáp án là:

    Tính giới hạn sau: \lim\frac{\sqrt[3]{2n^{2} - n^{3}} +
n}{\sqrt{n^{2} + n} - n}.

    Đáp án: 1

    Ta có:

    \lim\frac{\sqrt[3]{2n^{2} - n^{3}} +
n}{\sqrt{n^{2} + n} - n}

    = \lim\left\lbrack \frac{2n^{2} - n^{3}
+ n^{3}}{n^{2} + n - n^{2}} \cdot \frac{\sqrt{n^{2} + n} +
n}{\sqrt[3]{\left( 2n^{2} - n^{3} ight)^{2}} + n^{2} -
n\sqrt[3]{2n^{2} - n^{3}}} ightbrack

    = \lim\dfrac{\sqrt{\left( n\sqrt{1 +\dfrac{1}{n}} + n ight)}}{\sqrt[3]{n^{6} \cdot \left( \dfrac{2}{n} - 1ight)^{2}} + n^{2} - n \cdot \sqrt[3]{n^{3}\left( \dfrac{2}{n} - 1ight)}}

    = \lim\dfrac{\sqrt{1 + \dfrac{1}{n}} +1}{\left( \dfrac{2}{n} - 1 ight)^{\dfrac{2}{3}} + 1 -\sqrt[3]{\dfrac{2}{n} - 1}}

    Khi n ightarrow \infty thì \ lim\frac{1}{n} = 0.

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\lim\left( \left( \dfrac{2}{n} - 1 ight)^{\dfrac{2}{3}} + 1 -\sqrt[3]{\dfrac{2}{n} - 1} ight) = - 1 + 1 + 1 = 1 \\\lim\left( \sqrt{1 + \dfrac{1}{n}} + 1 ight) = 1 \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \lim\dfrac{\left( \sqrt{1 +\dfrac{1}{n}} + 1 ight.\ }{\left( \dfrac{2}{n} - 1 ight)^{\dfrac{2}{3}}+ 1 - \sqrt[3]{\dfrac{2}{n} - 1}} = 1

    \Rightarrow \lim\frac{\sqrt[3]{2n^{2} -
n^{3}} + n}{\sqrt{n^{2} + n} - n} = 1

  • Câu 20: Nhận biết

    Tính lim?

    Giá trị của \lim\frac{1 - n^{2}}{n} bằng:

    Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn n_{M} thỏa mãn \frac{n_{M}^{2} - 1}{n_{M}} > M

    \Rightarrow n_{M} > \frac{M +
\sqrt{M^{2} + 4}}{2}.

    Ta có:

    \frac{n^{2} - 1}{n} > M\ ,\ \
\forall n > n_{M} = > \lim\frac{n^{2} - 1}{n} = +
\infty

    Vậy \lim\frac{1 - n^{2}}{n} = -
\infty.

  • Câu 21: Thông hiểu

    Tìm điều kiện của a và b thỏa mãn điều kiện

    Cho a,b là các số thực khác 0. Tìm điều kiện của a,b để giới hạn \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{\sqrt{x^{2} -
3x} + ax}{bx - 1} = 3

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow -
\infty}\frac{\sqrt{x^{2} - 3x} + ax}{bx - 1} = 3

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{- \sqrt{1 - \dfrac{3}{x}} + a}{b - \dfrac{1}{x}} =3

    \Leftrightarrow \frac{- 1 + a}{b} =
3

    \Leftrightarrow \frac{a - 1}{b} =
3

  • Câu 22: Vận dụng

    Tìm các giá trị nguyên của tham số a thỏa mãn điều kiện

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc khoảng (-10; 10) để

    A = \lim\left\lbrack 5n - 3\left( a^{2} - 2
ight)n^{3} ightbrack = - \infty.

    Ta có:

    A = \lim\left\lbrack 5n - 3\left( a^{2} -
2 ight)n^{3} ightbrack

    = \lim\left\{ n^{3}\left\lbrack
\frac{5}{n^{2}} - 3\left( a^{2} - 2 ight) ightbrack ight\} = -
\infty

    \Rightarrow \lim\left\lbrack
\frac{5}{n^{2}} - 3\left( a^{2} - 2 ight) ightbrack = a^{2} - 2
< 0

    \Leftrightarrow - \sqrt{2} < a <
\sqrt{2}

    a\mathbb{\in Z},a \in ( - 10;10)
\Rightarrow a = \left\{ - 1;0;1 ight\}

    Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số a thỏa mãn điều kiện đề bài.

  • Câu 23: Thông hiểu

    Xác định khoảng liên tục của hàm số

    Xác định khoảng liên tục của hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}
\cos\frac{\pi x}{2}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ |x| \leq 1 \\
x - 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ |x| > 1 \\
\end{matrix} ight.. Mệnh đề nào dưới đây sai?

    Hàm số liên tục trên các khoảng ( -
\infty; - 1),(1; + \infty);( - 1;1)

    Ta có: \left\{ \begin{gathered}
  \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} ight)}^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} ight)}^ - }} \left( {x - 1} ight) =  - 2 \hfill \\
  f\left( { - 1} ight) = 0 \hfill \\ 
\end{gathered}  ight.

    => Hàm số gián đoạn tại x = -
1

    Ta lại có: \left\{ \begin{matrix}
  \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x - 1} ight) = 0 \hfill \\
  f\left( 1 ight) = 0 \hfill \\
  \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \cos \dfrac{{\pi x}}{2} = 0 \hfill \\ 
\end{matrix}  ight.

    => Hàm số liên tục tại x =
1

  • Câu 24: Thông hiểu

    Xét sự đúng sai của các phát biểu

    Nhận định sự đúng sai của các kết luận sau?

    a) Hàm số f(x) = \frac{2x + 3}{x -
2} liên tục tại x = 2. Sai||Đúng

    b) Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn \lbrack 1;5brackf(1) = 2;f(5) = 10. Khi đó phương trình f(x) = 7 có ít nhất một nghiệm trên khoảng (1;5). Đúng||Sai

    c) Biết \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x)
+ 1}{x - 1} = - 1 khi đó I =
\lim_{x ightarrow 1}\frac{xf(x) + 1}{x - 1} = 0 Sai||Đúng

    d) Trong các hàm số y = x^{2};y = \tan
x;y = \sin x;y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + x + 1}, có 3 hàm số liên tục trên tập số thực. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Nhận định sự đúng sai của các kết luận sau?

    a) Hàm số f(x) = \frac{2x + 3}{x -
2} liên tục tại x = 2. Sai||Đúng

    b) Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn \lbrack 1;5brackf(1) = 2;f(5) = 10. Khi đó phương trình f(x) = 7 có ít nhất một nghiệm trên khoảng (1;5). Đúng||Sai

    c) Biết \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x)
+ 1}{x - 1} = - 1 khi đó I =
\lim_{x ightarrow 1}\frac{xf(x) + 1}{x - 1} = 0 Sai||Đúng

    d) Trong các hàm số y = x^{2};y = \tan
x;y = \sin x;y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + x + 1}, có 3 hàm số liên tục trên tập số thực. Đúng||Sai

    a) Vì không tồn tại f(2) nên hàm số đã cho gián đoạn tại x = 2.

    b) Xét phương trình f(x) = 7 \Rightarrow
f(x) - 7 = 0

    Đặt g(x) = f(x) - 7 ta có:

    \left\{ \begin{matrix}
g(1) = f(1) - 7 = - 5 \\
g(5) = f(5) - 7 = 3 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow g(1).g(5) < 0

    Vậy phương trình đã cho cót ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1;5).

    c) Ta có:

    I = \lim_{x ightarrow 1}\frac{xf(x) +
1}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1}\frac{xf(x) + x - x + 1}{x -
1}

    = \lim_{x ightarrow
1}\frac{x\left\lbrack f(x) + 1 ightbrack - (x - 1)}{x - 1} = \lim_{x
ightarrow 1}\left\{ \frac{x\left\lbrack f(x) + 1 ightbrack}{x - 1}
ight\} - 1

    = 1.( - 1) - 1 = - 2

    d) Các hàm số liên tục trên tập số thực là y = x^{2};y = \sin x;y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} +
x + 1}.

  • Câu 25: Nhận biết

    Tính giới hạn

    Tính giới hạn \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{3x^{2} -
2x}{x^{2} + 1}

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{3x^{2} - 2x}{x^{2} + 1} = \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{3 - \dfrac{2}{x}}{1 + \dfrac{1}{x^{2}}} = \dfrac{3 - 0}{1 + 0}= 3

  • Câu 26: Vận dụng

    Ghi đáp án vào ô trống

    Biết giới hạn \lim_{x ightarrow
2}\frac{\sqrt{3x + 3} + a}{x - 2} = \frac{b}{c}, a là số thực, b, c là các số nguyên dương và \frac{b}{c} tối giản.

    Tính tổng: a + b + c.

    Đáp án: 0

    Đáp án là:

    Biết giới hạn \lim_{x ightarrow
2}\frac{\sqrt{3x + 3} + a}{x - 2} = \frac{b}{c}, a là số thực, b, c là các số nguyên dương và \frac{b}{c} tối giản.

    Tính tổng: a + b + c.

    Đáp án: 0

    \lim_{x ightarrow 2}(x - 2) =
0 nên \lim_{x ightarrow 2}\left(
\sqrt{3x + 3} + a ight) = 0.

    Suy ra a = - 3.

    Với a = - 3 ta được

    \lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt{3x +
3} - 3}{x - 2} = \lim_{x ightarrow 2}\frac{\left( \sqrt{3x + 3} - 3
ight)\left( \sqrt{3x + 3} + 3 ight)}{(x - 2)\left( \sqrt{3x + 3} + 3
ight)}

    = \lim_{x ightarrow 2}\frac{3x - 6}{(x
- 2)\left( \sqrt{3x + 3} + 3 ight)} = \lim_{x ightarrow
2}\frac{3}{\sqrt{3x + 3} + 3} = \frac{1}{2}.

    Vậy b = 1;c = 2.

    Suy ra a + b + c = 0.

  • Câu 27: Nhận biết

    Tính giới hạn hàm số

    Tính \lim_{x
ightarrow 1}\frac{x^{2} + x - 2}{x - 1}.

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2} + x -
2}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1}\frac{(x - 1)(x + 2)}{x -
1}

    = \lim_{x ightarrow 1}(x + 2) =
3

  • Câu 28: Vận dụng

    Hàm số liên tục

    Cho hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}  {\dfrac{{{x^2}}}{x}}&{{\text{ khi }}x < 1,x e 0} \\   0&{{\text{ khi }}x = 0} \\   {\sqrt x }&{{\text{  khi }}x \geqslant 1} \end{array}} ight. hàm số f(x) liên tục tại:

    Tập xác định: D = \mathbb{R}

    \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x = 0 = f\left( 0 ight)

    Vậy hàm số liên tục tại x = 0

    Hàm số liên tục khi x<1

    hàm số liên tục khi x>1

    Tại x = 1 ta có: f(1)=1

    \begin{matrix}  \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{{x^2}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} x = 1 = f\left( 1 ight) \hfill \\  \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \sqrt x  = 1 = f\left( 1 ight) \hfill \\  \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x ight) = f\left( 1 ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy hàm số liên tục tại x=1

    Hàm số liên tục trên \mathbb{R}

  • Câu 29: Vận dụng cao

    Tìm số giao điểm của hàm số với trục hoành

    Cho các số thực a,b,c thỏa mãn \left\{ \begin{matrix}
- 8 + 4a - 2b + c > 0 \\
8 + 4a + 2b + c < 0 \\
\end{matrix} ight.. Khi đó số giao điểm của hàm số y = x^{3} + ax^{2} + bx + c với trục Ox là:

    Hàm số y = x^{3} + ax^{2} + bx +
c xác định và liên tục trên \mathbb{R}.

    Hàm số y = x^{3} + ax^{2} + bx +
c bậc ba nên đồ thị hàm số cắt Ox tối đa tại 3 điểm (1)

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow - \infty}y = -
\infty suy ra \exists\alpha < -
2 sao cho f(\alpha) <
0

    Lại có: \lim_{x ightarrow + \infty}y =
+ \infty suy ra \exists\beta >
2 sao cho f(\beta) >
0

    Mặt khác \left\{ \begin{matrix}
y( - 2) = - 8 + 4a - 2b + c > 0 \\
y(2) = 8 + 4a + 2b + c < 0 \\
\end{matrix} ight.

    Từ đó suy ra \left\{ \begin{matrix}
y(\alpha).y( - 2) < 0 \\
y( - 2).y(2) < 0 \\
y(2).y(\beta) < 0 \\
\end{matrix} ight.

    Do đó đồ thị hàm số cắt Ox tại ít nhất ba điểm (2)

    Từ (1) và (2) suy ra đồ thị hàm số đã cho cắt trục Ox tại đúng ba điểm.

  • Câu 30: Nhận biết

    Hàm số đã cho liên tục trên khoảng nào

    Cho hàm số f(x)
= \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 5x + 6}. Khi đó hàm số đã cho liên tục trên khoảng nào?

    Hàm số có nghĩa khi x^{2} + 5x + 6 eq 0
\Rightarrow x eq - 3;x eq - 2

    Vậy hàm số f(x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2}
+ 5x + 6} liên tục trên các khoảng ( - \infty; - 3),( - 3; - 2);( - 2; +
\infty)

  • Câu 31: Nhận biết

    Hàm số liên tục tại một điểm

    Hàm số y =
\frac{- 5}{x\left( x^{2} - 4 ight)} liên tục tại điểm nào dưới đây?

    Hàm số y = \frac{- 5}{x\left( x^{2} - 4
ight)} có tập xác định D\mathbb{=
R}\backslash\left\{ - 2;0;2 ight\}

    Theo lí thuyết ta có hàm phân thức luôn liên tục trên tập xác định D.

    Khi đó x = 1 \in D suy ra hàm số đã cho liên tục tại điểm x = 1.

  • Câu 32: Vận dụng cao

    Tìm khẳng định đúng

    Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,17232323... được biểu diễn bởi phân số tối giản \frac{m}{n}. Khẳng định nào dưới đây đúng?

    Ta có:

    \begin{matrix}
  0,17232323.... \hfill \\
   = 0,17 + 23.\left( {\dfrac{1}{{{{10}^4}}} + \dfrac{1}{{{{10}^6}}} + \dfrac{1}{{{{10}^8}}} + ...} ight) \hfill \\ 
\end{matrix}

    \begin{matrix}
   = \dfrac{{17}}{{100}} + 23.\dfrac{{\dfrac{1}{{10000}}}}{{1 - \dfrac{1}{{100}}}} = \dfrac{{17}}{{100}} + \dfrac{{23}}{{100.99}} \hfill \\
   = \dfrac{{1706}}{{9900}} = \dfrac{{853}}{{4950}} \hfill \\ 
\end{matrix}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
m = 853 \\
n = 4950 \\
\end{matrix} \Rightarrow 2^{12} < T = 4097 < 2^{13} ight.

  • Câu 33: Thông hiểu

    Xét tính đúng sai của các khẳng định

    Cho giới hạn L = \lim\sqrt{3 +
\frac{an^{2} - 1}{3 + n^{2}} - \frac{1}{2^{n}}}. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) L = 2 khi a = 1.Đúng||Sai

    b) L = 3 thì có 2 giá trị nguyên a thỏa mãn.Sai||Đúng

    c) L > 3 khi a > 6.Đúng||Sai

    d) Có 3 giá trị nguyên của a thuộc (0;20) sao cho \lim\sqrt{3 + \frac{an^{2} - 1}{3 + n^{2}} -
\frac{1}{2^{n}}} là một số nguyên.Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho giới hạn L = \lim\sqrt{3 +
\frac{an^{2} - 1}{3 + n^{2}} - \frac{1}{2^{n}}}. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) L = 2 khi a = 1.Đúng||Sai

    b) L = 3 thì có 2 giá trị nguyên a thỏa mãn.Sai||Đúng

    c) L > 3 khi a > 6.Đúng||Sai

    d) Có 3 giá trị nguyên của a thuộc (0;20) sao cho \lim\sqrt{3 + \frac{an^{2} - 1}{3 + n^{2}} -
\frac{1}{2^{n}}} là một số nguyên.Đúng||Sai

    a) Đúng: Ta có \left\{ \begin{matrix}\lim\frac{an^{2} - 1}{3 + n^{2}} = \lim\frac{a -\frac{1}{n^{2}}}{\frac{3}{n^{2}} + 1} = a \\\lim\frac{1}{2^{n}} = \lim\left( \frac{1}{2} \right)^{n} = 0\end{matrix} \right.

    \Rightarrow \lim\sqrt{3 + \frac{an^{2} - 1}{3 +n^{2}} - \frac{1}{2^{n}}} = \sqrt{3 + a}.

    Khi đó L = 2 \Leftrightarrow \sqrt{3 + a}
= 2 \Leftrightarrow 3 + a = 4 \Leftrightarrow a = 1

    b) Sai: Khi đó L = 3 \Leftrightarrow
\sqrt{3 + a} = 3 \Leftrightarrow 3 + a = 9 \Leftrightarrow a =
6

    c) Đúng: Khi đó L > 3 \Leftrightarrow
\sqrt{3 + a} > 3 \Leftrightarrow 3 + a > 9 \Leftrightarrow a >
6

    d) Đúng: Ta có \left\{ \begin{matrix}
a \in (0;20),\ \ a\mathbb{\in Z} \\
\sqrt{a + 3}\mathbb{\in Z}
\end{matrix} \right.\ \overset{\rightarrow}{}a \in \left\{ 1;6;13
\right\}.

  • Câu 34: Vận dụng

    Chọn mệnh đề đúng

    Cho hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\sin \pi x{\text{     khi }}\left| x ight| \leqslant 1} \\   {x + 1{\text{       khi }}\left| x ight| > 1} \end{array}} ight.. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

    Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x + 1} ight) = 2} \\   {\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {\sin \pi x} ight) = \sin \pi  = 0} \end{array}} ight.

    => Hàm số gián đoạn tại x=1

    Ta lại có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  \begin{gathered}  \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \left( {x + 1} ight) = 0 \hfill \\  f\left( { - 1} ight) = \sin \left( { - \pi } ight) = 0 \hfill \\ \end{gathered}  \\   {\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \left( {\sin \pi x} ight) = \sin \left( { - \pi } ight) = 0} \end{array}} ight.

    => Hàm số liên tục tại x=-1

    Vậy hàm số liên tục trên các khoảng \left( { - \infty ; 1} ight)\left( {  1; + \infty } ight).

  • Câu 35: Thông hiểu

    Xét tính đúng sai của mỗi kết luận

    Cho {u_{n} = \dfrac{7^{n} + 2^{2n - 1}+ 3^{n + 1}}{7^{n + 1} + 5^{n - 1}}}. Biết \lim u_{n} = \frac{a}{b} (với a, b\in \mathbb{ Z };\frac{ a}{ b } tối giản). Khi đó:

    a) a + b = 8 Đúng||Sai

    b) a - b = - 7 Sai||Đúng

    c) Bộ ba số a;b;13 tạo thành một cấp số cộng có công sai d = 7 Đúng||Sai

    d) Bộ ba số a;b;49 tạo thành một cấp số nhân có công bội q = 7 Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho {u_{n} = \dfrac{7^{n} + 2^{2n - 1}+ 3^{n + 1}}{7^{n + 1} + 5^{n - 1}}}. Biết \lim u_{n} = \frac{a}{b} (với a, b\in \mathbb{ Z };\frac{ a}{ b } tối giản). Khi đó:

    a) a + b = 8 Đúng||Sai

    b) a - b = - 7 Sai||Đúng

    c) Bộ ba số a;b;13 tạo thành một cấp số cộng có công sai d = 7 Đúng||Sai

    d) Bộ ba số a;b;49 tạo thành một cấp số nhân có công bội q = 7 Đúng||Sai

    Ta có

    \lim u_{n} = \lim\dfrac{7^{n} + 2^{2n -1} + 3^{n + 1}}{7^{n + 1} + 5^{n - 1}}

    = \lim\dfrac{1 + \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{4}{7} ight)^{n} + 3\left( \dfrac{3}{7} ight)^{n}}{7 +\dfrac{1}{5}\left( \dfrac{5}{7} ight)^{n}} = \dfrac{1}{7}.

    Do đó suy ra a = 1,b = 7 \Rightarrow a +
b = 8.

    Kết luận:

    a) Đúng

    b) Sai

    c) Đ

    d) Đúng

  • Câu 36: Nhận biết

    Chọn mệnh đề đúng?

    Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

    Theo nội dung định lý tìm giới hạn, ta có:

    Nếu \lim u_{n} = 0, thì \lim{|u_{n}|} = 0

  • Câu 37: Vận dụng cao

    Ghi đáp án vào ô trống

    Cho giới hạn I = \lim_{x ightarrow
0}\frac{\sqrt{2x + 1} - \sqrt[3]{x^{2} + 1}}{\sqrt[3]{8 - x} -
\sqrt[3]{8 + x}}. Tính giá trị của 100I?

    Đáp án: -600||- 600

    Đáp án là:

    Cho giới hạn I = \lim_{x ightarrow
0}\frac{\sqrt{2x + 1} - \sqrt[3]{x^{2} + 1}}{\sqrt[3]{8 - x} -
\sqrt[3]{8 + x}}. Tính giá trị của 100I?

    Đáp án: -600||- 600

    Ta có:

    I = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{2x
+ 1} - \sqrt[3]{x^{2} + 1}}{\sqrt[3]{8 - x} - \sqrt[3]{8 +
x}}

    = \lim_{x ightarrow 0}\left(
\frac{\sqrt{2x + 1} - \sqrt[3]{x^{2} + 1}}{x}.\frac{x}{\sqrt[3]{8 - x} -
\sqrt[3]{8 + x}} ight)

    = \lim_{x ightarrow 0}\left\{ \left(
\frac{\sqrt{2x + 1} - 1}{x} + \frac{1 - \sqrt[3]{x^{2} + 1}}{x}
ight).\frac{x}{\sqrt[3]{8 - x} - \sqrt[3]{8 + x}}
ight\}

    Ta có:

    +) \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{2x +
1} - 1}{x} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{2x}{\left( \sqrt{2x + 1} + 1
ight).x} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{2}{\left( \sqrt{2x + 1} + 1
ight)} = 1

    +) \lim_{x ightarrow 0}\frac{1 -
\sqrt[3]{x^{2} + 1}}{x} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{-
x^{2}}{\left\lbrack 1 + \sqrt[3]{x^{2} + 1} + \sqrt[3]{\left( x^{2} + 1
ight)^{2}} ightbrack.x}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{-
x}{\left\lbrack 1 + \sqrt[3]{x^{2} + 1} + \sqrt[3]{\left( x^{2} + 1
ight)^{2}} ightbrack} = 0.

    +) \lim_{x ightarrow
0}\frac{x}{\sqrt[3]{8 - x} - \sqrt[3]{8 + x}}

    = \lim_{x ightarrow
0}\frac{x\left\lbrack \left( \sqrt[3]{8 - x} ight)^{2} + \sqrt[3]{8 -
x}.\sqrt[3]{8 + x} + \left( \sqrt[3]{8 + x} ight)^{2}
ightbrack}{\left( \sqrt[3]{8 - x} ight)^{3} - \left( \sqrt[3]{8 +
x} ight)^{3}}

    = \lim_{x ightarrow
0}\frac{x\left\lbrack \left( \sqrt[3]{8 - x} ight)^{2} + \sqrt[3]{8 -
x}.\sqrt[3]{8 + x} + \left( \sqrt[3]{8 + x} ight)^{2} ightbrack}{-
2x}

    = \lim_{x ightarrow
0}\frac{\left\lbrack \left( \sqrt[3]{8 - x} ight)^{2} + \sqrt[3]{8 -
x}.\sqrt[3]{8 + x} + \left( \sqrt[3]{8 + x} ight)^{2} ightbrack}{-
2} = - 6.

    Vậy I = (1 + 0).( - 6) = - 6 \Rightarrow
100I = - 600.

  • Câu 38: Thông hiểu

    Chọn giá trị đúng của giới hạn?

    Cho dãy số \left(
u_{n} ight) với u_{n} =
\frac{n}{4^{n}}\frac{u_{n +
1}}{u_{n}} < \frac{1}{2}. Chọn giá trị đúng của \lim u_{n} trong các số sau:

    Áp dụng phương pháp quy nạp toán học ta có n \leq 2^{n},\ \forall n \in N

    Nên ta có :

    n \leq 2^{n} \Leftrightarrow
\frac{n}{2^{n}} \leq 1 \Leftrightarrow \frac{n}{2^{n}.2^{n}} \leq
\frac{1}{2^{n}} \Leftrightarrow \frac{n}{4^{n}} \leq \left( \frac{1}{2}
ight)^{n}

    Suy ra : 0 < u_{n} \leq \left(
\frac{1}{2} ight)^{n}, mà \lim\left( \frac{1}{2} ight)^{n} = 0

    Vậy \lim u_{n} = 0.

  • Câu 39: Nhận biết

    Tính giá trị?

    Giá trị của  \lim\frac{1}{n^{k}} với k \in \mathbb{N^*}bằng:

    Với a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn n_{a} >
\sqrt[k]{\frac{1}{a}}

    Suy ra:

    \frac{1}{n^{k}} < \frac{1}{n_{a}^{k}} < a\
\forall n > n_{a}

    Vậy \lim\frac{1}{n^{k}} = 0.

  • Câu 40: Nhận biết

    Tính giới hạn hàm số

    Tính \lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2} +
3x + 2}{- 2x^{2} + x + 3}.

    Ta có :

    \lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2} + 3x +
2}{- 2x^{2} + x + 3} = \lim_{x ightarrow 1}\frac{1^{2} + 3.1 + 2}{-
2.1^{2} + 1 + 3} = 3.

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 3 Chân trời sáng tạo Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • Điểm thưởng: 0
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo