VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 3 Chân trời sáng tạo

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 CTST Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay

Câu 1: Thông hiểu
Tính giới hạn của hàm số

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {x(\sqrt {{x^2} + 5} - x)} ight]$ bằng:
- A.
  $\sqrt{5}$
- B.
  $\frac{5}{\sqrt{2}}$
- C.
  $\frac{5}{2}$
- D.
  $+\infty$
Ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\left( {\sqrt {{x^2} + 5} - x} ight) \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x\left( {{x^2} + 5 - {x^2}} ight)}}{{\sqrt {{x^2} + 5} + x}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{5x}}{{x\left( {\sqrt {1 + \dfrac{5}{{{x^2}}}} + 1} ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{5}{{\sqrt 1 + 1}} = \dfrac{5}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 2: Thông hiểu
Tìm điều kiện của a và b thỏa mãn điều kiện

Cho $a,b$ là các số thực khác $0$ . Tìm điều kiện của $a,b$ để giới hạn $\lim_{x ightarrow - \infty}\frac{\sqrt{x^{2} - 3x} + ax}{bx - 1} = 3$
- A.
  $\frac{a - 1}{b} = 3$
- B.
  $\frac{a + 1}{b} = 3$
- C.
  $\frac{- a - 1}{b} = 3$
- D.
  $\frac{a - 1}{- b} = 3$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow - \infty}\frac{\sqrt{x^{2} - 3x} + ax}{bx - 1} = 3$

$\Leftrightarrow \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{- \sqrt{1 - \dfrac{3}{x}} + a}{b - \dfrac{1}{x}} =3$

$\Leftrightarrow \frac{- 1 + a}{b} = 3$

$\Leftrightarrow \frac{a - 1}{b} = 3$
Câu 3: Thông hiểu

Xác định kết luận đúng, kết luận sai

Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

a) $\lim_{x ightarrow \infty}\frac{2n + 5}{3n + 7} = \frac{5}{3}$ Sai||Đúng

b) $\lim_{x ightarrow - 2}\left( x^{2} - 2ax + 3 + a^{2} ight) = 3$ khi $a = - 2$ Đúng||Sai

c) Hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 3}{x - \sqrt{3}}\ \ \ khi\ x\ eq \sqrt{3} \\2\sqrt{3}\ \ \ khi\ x\ = \ \sqrt{3} \\\end{matrix} ight.$ liên tục tại $x = \sqrt{3}$ Đúng||Sai

c) $\lim\frac{\cos n}{n} = + \infty$ Sai||Đúng

Đáp án là:

Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

a) $\lim_{x ightarrow \infty}\frac{2n + 5}{3n + 7} = \frac{5}{3}$ Sai||Đúng

b) $\lim_{x ightarrow - 2}\left( x^{2} - 2ax + 3 + a^{2} ight) = 3$ khi $a = - 2$ Đúng||Sai

c) Hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 3}{x - \sqrt{3}}\ \ \ khi\ x\ eq \sqrt{3} \\2\sqrt{3}\ \ \ khi\ x\ = \ \sqrt{3} \\\end{matrix} ight.$ liên tục tại $x = \sqrt{3}$ Đúng||Sai

c) $\lim\frac{\cos n}{n} = + \infty$ Sai||Đúng

Ta có: $\lim_{x ightarrow\infty}\dfrac{2n + 5}{3n + 7} = \lim_{x ightarrow\infty}\dfrac{\dfrac{2n}{n} + \dfrac{5}{n}}{\dfrac{3n}{n} + \dfrac{7}{n}} =\dfrac{2}{3}$

Ta có: Khi $a = - 2$ thì $\lim_{x ightarrow - 2}\left( x^{2} + 4x + 3 + 4 ight) = \lim_{x ightarrow - 2}\left( x^{2} + 4x + 7 ight) = 3$

Ta có: $\left\{ \begin{gathered} f\left( {\sqrt 3 } ight) = 2\sqrt 3 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \left( {\frac{{{x^2} - 3}}{{x - \sqrt 3 }}} ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \left( {x + \sqrt 3 } ight) = 2\sqrt 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Vậy hàm số $f\left( x ight) = \left\{ \begin{gathered} \frac{{{x^2} - 3}}{{x - \sqrt 3 }}{\text{ khi x }} e \sqrt 3 \hfill \\ 2\sqrt 3 {\text{ khi x = }}\sqrt 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.$ liên túc tại $x = \sqrt{3}$

Ta có: $\left\{ \begin{gathered} \left| {\frac{{\cos n}}{n}} ight| \leqslant \frac{1}{n} \hfill \\ \lim \frac{1}{n} = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \lim \frac{{\cos n}}{n} = 0$
Câu 4: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Tìm tham số $a$ để hàm số $y = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} + 3x + 2}&{{\text{khi}}}&{x \leqslant - 1} \\ {4x + a}&{{\text{khi}}}&{x > - 1} \end{array}} ight.$ liên tục tại $x = - 1$ .
- A.
  $4$ .
- B.
  $1$ .
- C.
  $- 1$ .
- D.
  $- 4$ .
Hàm số xác định trên $\mathbb{R}$ .

Ta có $f( - 1) = 0$ .

$\lim_{x ightarrow ( - 1)^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow ( - 1)^{-}}\left( x^{2} + 3x + 2 ight) = 0$ và $\lim_{x ightarrow ( -1)^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow ( - 1)^{+}}(4x + a) = a -4$ .

Hàm số đã cho liên tục tại $x = - 1$ khi và chỉ khi $\lim_{x ightarrow ( - 1)^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow ( - 1)^{+}}f(x) = f( - 1)$

$\Leftrightarrow a - 4 = 0 \Leftrightarrow a = 4$ .
Câu 5: Thông hiểu
Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0

Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?
- A.
  $u_{n}=\frac{n^{2}-2n}{5n+5n^{2}}$
- B.
  $u_{n}=\frac{1-2n}{5n+5}$
- C.
  $u_{n}=\frac{1-2n^{2}}{5n+5}$
- D.
  $u_{n}=\frac{1-2n}{5n+5n^{2}}$
Ta có:
$\lim \frac{{{n^2} - 2n}}{{5n + 5{n^2}}} = \lim \frac{{n\left( {1 - \frac{2}{n}} ight)}}{{n\left( {\frac{5}{n} + 5} ight)}} = \frac{1}{5}$
$\lim \frac{{1 - 2n}}{{5n + 5}} = \lim \frac{{n\left( {\frac{1}{n} - 2} ight)}}{{n\left( {5 + \frac{5}{n}} ight)}} = \frac{{ - 2}}{5}$
$\lim \frac{{1 - 2{n^2}}}{{5n + 5}} = \lim \frac{{{n^2}\left( {\frac{1}{{{n^2}}} - 2} ight)}}{{n\left( {5 + \frac{5}{n}} ight)}} = + \infty$
$\lim \frac{{1 - 2n}}{{5n + 5{n^2}}} = \lim \frac{{{n^2}\left( {\frac{1}{{{n^2}}} - \frac{2}{n}} ight)}}{{{n^2}\left( {\frac{5}{n} + 5} ight)}} = 0$
Câu 6: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của mỗi kết luận

Biết giới hạn $\lim\frac{2n + 1}{- 3n + 2} = a$ . Khi đó:

a) Giá trị $a$ lớn hơn 0. Sai||Đúng

b) Ba số $- \frac{5}{3};a;\frac{1}{3}$ tạo thành một cấp số cộng với công sai bằng $2$ . Sai||Đúng

c) Trên khoảng $( - \pi;\pi)$ phương trình lượng giác $\sin x = a$ có 3 nghiệm. Sai||Đúng

d) Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ với công bội $q = 3$ và $u_{1} = a$ , thì $u_{3} = - 6$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Biết giới hạn $\lim\frac{2n + 1}{- 3n + 2} = a$ . Khi đó:

a) Giá trị $a$ lớn hơn 0. Sai||Đúng

b) Ba số $- \frac{5}{3};a;\frac{1}{3}$ tạo thành một cấp số cộng với công sai bằng $2$ . Sai||Đúng

c) Trên khoảng $( - \pi;\pi)$ phương trình lượng giác $\sin x = a$ có 3 nghiệm. Sai||Đúng

d) Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ với công bội $q = 3$ và $u_{1} = a$ , thì $u_{3} = - 6$ . Đúng||Sai

a) Ta có: $\lim\frac{2n + 1}{- 3n + 2} = \lim\frac{n\left( 2 + \frac{1}{n} ight)}{n\left( - 3 + \frac{2}{n} ight)} = \lim\frac{2 + \frac{1}{n}}{- 3 + \frac{2}{n}} = \frac{- 2}{3}$

b) Ba số $- \frac{5}{3}; - \frac{2}{3};\frac{1}{3}$ tạo thành một cấp số cộng với công sai bằng 1

c) Trên khoảng $( - \pi;\pi)$ phương trình lượng giác $\sin x = a$ có 2 nghiệm

d) Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ với công bội $q = 3$ và $u_{1} = a$ , thì $u_{3} = - 6$

Kết luận:

a) Sai

b) Sai

c) Sai

d) Đúng
Câu 7: Nhận biết
Tính f(0)

Cho hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên $( - 4; + \infty)$ với $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x + 4} - 2}$ với $x eq 0$ . Tính $f(0)$ .
- A.
  $f(0) = 0$
- B.
  $f(0) = 2$
- C.
  $f(0) = 4$
- D.
  $f(0) = 1$
Ta có hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên $( - 4; + \infty)$ nên suy ra

$f(0) = \lim_{x ightarrow 0}f(x)$

$= \lim_{x ightarrow 0}\left( \frac{x}{\sqrt{x + 4} - 2} ight)$

$= \lim_{x ightarrow 0}\left( \sqrt{x + 4} + 2 ight) = 4$
Câu 8: Thông hiểu

Ghi đáp án vào ô trống

Tìm giá trị của tham số $m$ để hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{x^{2} - x - 2}{x - 2} & \ khi\ x eq 2 \\ m & \ khi\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.$ liên tục trên $\mathbb{R}$ .

Đáp án: 3

Đáp án là:

Tìm giá trị của tham số $m$ để hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{x^{2} - x - 2}{x - 2} & \ khi\ x eq 2 \\ m & \ khi\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.$ liên tục trên $\mathbb{R}$ .

Đáp án: 3

Phần giải chi tiết

Tập xác định $\mathcal{D} = \mathbb{R}$ .

Hàm số $f(x)$ liên tục trên các khoảng $( - \infty;2),(2; + \infty)$ .

Ta có $\left\{ \begin{matrix} f(2) = m \\ \lim_{x ightarrow 2}f(x) = \lim_{x ightarrow 2}\frac{x^{2} - x - 2}{x - 2} = \lim_{x ightarrow 2}(x + 1) = 3. \\ \end{matrix} ight.$

Hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $f(2) = \lim_{x ightarrow 2}f(x) \Leftrightarrow m = 3$ .
Câu 9: Nhận biết
Giới hạn hàm số

Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2{x^3} - 2x{\text{ }}khi{\text{ }}x \geqslant 1} \\ {{x^3} - 2x{\text{ }}khi{\text{ }}x < 1} \end{array}} ight.$ . Khi đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x ight)$ bằng:
- A.
  -4
- B.
  -2
- C.
  -1
- D.
  2
Ta có:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {{x^3} - 2x} ight) = - 1$
Câu 10: Thông hiểu
Tính giới hạn A

Tính giới hạn $A = \lim_{x ightarrow + \infty}\left( \frac{3x^{4} - 2x + 3}{5x^{4} + 3x + 1} ight)$ .
- A.
  $A = 0$
- B.
  $A = 3$
- C.
  $A = \frac{3}{5}$
- D.
  $A = + \infty$
Ta có:

$A = \lim_{x ightarrow + \infty}\left(\dfrac{3x^{4} - 2x + 3}{5x^{4} + 3x + 1} ight)$

$A = \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{x^{4}\left( 3 - \dfrac{2}{x^{3}} + \dfrac{3}{x^{4}}ight)}{x^{4}\left( 5 + \dfrac{3}{x^{3}} + \dfrac{1}{x^{4}}ight)}$

$A = \lim_{x ightarrow + \infty}\dfrac{3- \dfrac{2}{x^{3}} + \dfrac{3}{x^{4}}}{5 + \dfrac{3}{x^{3}} +\dfrac{1}{x^{4}}} = \dfrac{3}{5}$
Câu 11: Nhận biết
Tính giá trị?

Giá trị của $C = lim\ \frac{1}{n^{2} + 2\sqrt{n} + 7}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  0
- D.
  1
Ta có theo tính chất giới hạn, ta có:

$lim\ \frac{1}{n^{2} + 2\sqrt{n} + 7} = 0$
Câu 12: Nhận biết
Tính lim?

Giá trị của $\lim\frac{1 - n^{2}}{n}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  0
- D.
  1
Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn $n_{M}$ thỏa mãn $\frac{n_{M}^{2} - 1}{n_{M}} > M$

$\Rightarrow n_{M} > \frac{M + \sqrt{M^{2} + 4}}{2}$ .

Ta có:

$\frac{n^{2} - 1}{n} > M\ ,\ \ \forall n > n_{M} = > \lim\frac{n^{2} - 1}{n} = + \infty$

Vậy $\lim\frac{1 - n^{2}}{n} = - \infty$ .
Câu 13: Vận dụng cao
Tìm số giao điểm của hàm số với trục hoành

Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $\left\{ \begin{matrix} - 8 + 4a - 2b + c > 0 \\ 8 + 4a + 2b + c < 0 \\ \end{matrix} ight.$ . Khi đó số giao điểm của hàm số $y = x^{3} + ax^{2} + bx + c$ với trục $Ox$ là:
- A.
  $2$
- B.
  $1$
- C.
  $- 2$
- D.
  $3$
Hàm số $y = x^{3} + ax^{2} + bx + c$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$ .

Hàm số $y = x^{3} + ax^{2} + bx + c$ bậc ba nên đồ thị hàm số cắt Ox tối đa tại 3 điểm (1)

Ta có:

$\lim_{x ightarrow - \infty}y = - \infty$ suy ra $\exists\alpha < - 2$ sao cho $f(\alpha) < 0$

Lại có: $\lim_{x ightarrow + \infty}y = + \infty$ suy ra $\exists\beta > 2$ sao cho $f(\beta) > 0$

Mặt khác $\left\{ \begin{matrix} y( - 2) = - 8 + 4a - 2b + c > 0 \\ y(2) = 8 + 4a + 2b + c < 0 \\ \end{matrix} ight.$

Từ đó suy ra $\left\{ \begin{matrix} y(\alpha).y( - 2) < 0 \\ y( - 2).y(2) < 0 \\ y(2).y(\beta) < 0 \\ \end{matrix} ight.$

Do đó đồ thị hàm số cắt Ox tại ít nhất ba điểm (2)

Từ (1) và (2) suy ra đồ thị hàm số đã cho cắt trục Ox tại đúng ba điểm.
Câu 14: Nhận biết
Tính?

Giá trị của $A = \lim\frac{n - 2\sqrt{n}}{2n}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  $\frac 1 2$
- D.
  1
Ta có:

$A = \lim\frac{n - 2\sqrt{n}}{2n} = \lim\frac{1 - \frac{1}{\sqrt{n}}}{2} = \frac{1}{2}$
Câu 15: Nhận biết
Tính giới hạn hàm số

Tính giới hạn $L = \lim_{x ightarrow 3}\frac{x - 3}{x + 3}$ ?
- A.
  $L = - \infty$
- B.
  $L = 0$
- C.
  $L = + \infty$
- D.
  $L = 1$
Ta có:

$L = \lim_{x ightarrow 3}\frac{x - 3}{x + 3} = \frac{3 - 3}{3 + 3} = 0$
Câu 16: Vận dụng
Tính giá trị biểu thức P

Biết rằng $\lim\frac{\sqrt[3]{an^{3} + 5n^{2} - 7}}{\sqrt{3n^{2} - n + 2}} = b\sqrt{3} + c$ với $a,b,c$ là các tham số. Tính giá trị của biểu thức $P = \frac{a + c}{b^{3}}$ .
- A.
  $P = 3$
- B.
  $P = \frac{1}{3}$
- C.
  $P = 2$
- D.
  $P = \frac{1}{2}$
Ta có:

$\lim\frac{\sqrt[3]{an^{3} + 5n^{2} - 7}}{\sqrt{3n^{2} - n + 2}}$

$= \lim\dfrac{\sqrt[3]{a + \dfrac{5}{n} -\dfrac{7}{n^{3}}}}{\sqrt{3 - \dfrac{1}{n} + \dfrac{2}{n^{2}}}} =\dfrac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt{3}} =\dfrac{\sqrt{3}.\sqrt[3]{a}}{3}$

$\begin{matrix} \Rightarrow \dfrac{{\sqrt 3 .\sqrt[3]{a}}}{3} = b\sqrt 3 + c \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt[3]{a} = \dfrac{b}{3}} \\ {c = 0} \end{array}} ight. \Rightarrow P = \dfrac{1}{3} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 17: Nhận biết
Tính giá trị biểu thức T

Cho các giới hạn $\lim_{x ightarrow x_{0}}f(x) = 2;\lim_{x ightarrow x_{0}}g(x) = 3$ . Tính giá trị biểu thức $T = \lim_{x ightarrow x_{0}}\left\lbrack 3f(x) - 4g(x) ightbrack$
- A.
  $H = 6$
- B.
  $H = - 4$
- C.
  $H = 4$
- D.
  $H = - 6$
Ta có:

$T = \lim_{x ightarrow x_{0}}\left\lbrack 3f(x) - 4g(x) ightbrack$

$\Rightarrow T = 3\lim_{x ightarrow x_{0}}f(x) - 4\lim_{x ightarrow x_{0}}g(x) = 6 - 12 = - 6$
Câu 18: Thông hiểu
Tìm mệnh đề sai

Cho hàm số $f(x) = - 4x^{3} + 4x - 1$ . Mệnh đề nào sai?
- A.
  Hàm số đã cho liên tục trên $\mathbb{R}$
- B.
  Phương trình $f(x) = 0$ không có nghiệm trên khoảng $( - \infty;1)$
- C.
  Phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm trên khoảng $( - 2;0)$
- D.
  Phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất hai nghiệm trên khoảng $\left( - 3;\frac{1}{2} ight)$
Ta có:

$f(x) = - 4x^{3} + 4x - 1$ là hàm đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} f( - 1) = - 1 < 0 \\ f( - 2) = 23 > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow f(x) = 0$ có nghiệm trên $( - 2; - 1)$

Mà $( - 2; - 1) \subset ( - \infty;1)$

Vậy phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm trên khoảng $( - \infty;1)$

Ta có: $\left\{ \begin{gathered} f\left( 0 ight) = - 1 < 0 \hfill \\ f\left( {\dfrac{1}{2}} ight) = \dfrac{1}{2} > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$ có nghiệm trên $\left( 0;\frac{1}{2} ight) \subset \left( - 3;\frac{1}{2} ight)$

Vậy mệnh đề sai là “Phương trình $f(x) = 0$ không có nghiệm trên khoảng $( - \infty;1)$ ”
Câu 19: Thông hiểu

Xác định tính đúng sai của các kết luận

Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

a) Hàm số $f(x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 5x + 6}$ liên tục trên khoảng $( - 2; + \infty)$ . Đúng||Sai

b) Biết rằng $\lim\frac{an + 4}{4n + 3} = - 2$ khi đó $2a + 1 = - 15$ Đúng||Sai

c) $\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{\sqrt{x^{3} - x^{2}}}{\sqrt{x - 1} + 1 - x} = - 1$ Sai||Đúng

d) Phương trình $x^{2} - 1000x^{2} + 0,01 = 0$ có nghiệm thuộc khoảng $( - 1;0)$ và $(0;1)$ Sai||Đúng

Đáp án là:

Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

a) Hàm số $f(x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 5x + 6}$ liên tục trên khoảng $( - 2; + \infty)$ . Đúng||Sai

b) Biết rằng $\lim\frac{an + 4}{4n + 3} = - 2$ khi đó $2a + 1 = - 15$ Đúng||Sai

c) $\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{\sqrt{x^{3} - x^{2}}}{\sqrt{x - 1} + 1 - x} = - 1$ Sai||Đúng

d) Phương trình $x^{2} - 1000x^{2} + 0,01 = 0$ có nghiệm thuộc khoảng $( - 1;0)$ và $(0;1)$ Sai||Đúng

a) Hàm số $f(x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 5x + 6}$ có nghĩa khi $x^{2} + 5x + 6 eq 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x eq - 3 \\ x eq 2 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy theo định lí ta có hàm số $f(x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 5x + 6}$ liên tục trên khoảng $( - \infty; - 3),( - 3; - 2),( - 2; + \infty)$ .

b) Ta có: $\lim\frac{an + 4}{4n + 3} = \lim\frac{a + \frac{4}{n}}{4 + \frac{3}{n}} = \frac{a}{4}$

Khi đó: $2a + 1 = - 15$ .

Theo bài ra ta có:

$\lim\frac{an + 4}{4n + 3} = - 2 \Leftrightarrow \frac{a}{4} = - 2 \Leftrightarrow a = - 8$

c) Ta có: $x ightarrow 1^{+} \Rightarrow x > 1 \Rightarrow x - 1 > 0$

$\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{\sqrt{x^{3} - x^{2}}}{\sqrt{x - 1} + 1 - x} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{\sqrt{x^{2}(x - 1)}}{\sqrt{x - 1} - (x - 1)}$

$= \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 1}\left( 1 - \sqrt{x - 1} ight)} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x}{1 - \sqrt{x - 1}} = 1$ s

d) Xét hàm số $x^{2} - 1000x^{2} + 0,01 = f(x)$ có tập xác định $D\mathbb{= R}$

Suy ra hàm số $f(x)$ cũng liên tục trên các khoảng $( - 1;0)$ và $(0;1)$ .

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} f( - 1) = - 1000,99 \\ f(0) = 0,01 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow f( - 1).f(0) < 0$

Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $( - 1;0)$ .

Lại có: $\left\{ \begin{matrix} f(1) = - 999,99 \\ f(0) = 0,01 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow f(1).f(0) < 0$

Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $(0;1)$ .
Câu 20: Vận dụng cao

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2} + mx + n\ \ \ khi\ \ \ \ x < - 5\ \ \\ x + 17\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ \ \ \ - 5 \leq x \leq 10 \\ mx + n + 10\ \ \ \ khi\ \ \ \ x > 10 \\ \end{matrix} ight.$ liên tục trên $\mathbb{R}$ . Khi đó

a) $f( - 5) = 12$ ; $f(10) = 27$ . Đúng||Sai

b) $m > 0,\ \ n > 0$ . Sai||Đúng

c) $2m + n$ là số nguyên tố. Sai||Đúng

d) Giá trị lớn nhất của hàm số $y = m.\sin x+ n.\cos x$ là $\sqrt{12}$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2} + mx + n\ \ \ khi\ \ \ \ x < - 5\ \ \\ x + 17\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ \ \ \ - 5 \leq x \leq 10 \\ mx + n + 10\ \ \ \ khi\ \ \ \ x > 10 \\ \end{matrix} ight.$ liên tục trên $\mathbb{R}$ . Khi đó

a) $f( - 5) = 12$ ; $f(10) = 27$ . Đúng||Sai

b) $m > 0,\ \ n > 0$ . Sai||Đúng

c) $2m + n$ là số nguyên tố. Sai||Đúng

d) Giá trị lớn nhất của hàm số $y = m.\sin x+ n.\cos x$ là $\sqrt{12}$ . Sai||Đúng

a) Đúng.

Ta có : $f( - 5) = - 5 + 17 = 12$ , $f(10) = 10 + 17 = 27$ (mệnh đề a) đúng)

b) Sai.

Với $x < - 5$ ta có $f(x) = x^{2} + mx + n$ , là hàm đa thức nên liên tục trên $( - \infty; - 5)$ .

Với $- 5 < x < 10$ ta có $f(x) = x + 17$ , là hàm đa thức nên liên tục trên $(-5; 10)$ .

Với $x > 10$ ta có $f(x) = mx + n + 10$ , là hàm đa thức nên liên tục trên $(10 ;+\infty)$ .

Để hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ thì hàm số phải liên tục tại $x = - 5$ và $x = 10$ .

Ta có:

$f( - 5) = 12$ ; $f(10) = 27$ .

$\lim_{x ightarrow - 5^{-}}f(x) =\lim_{x ightarrow - 5^{-}}\left( x^{2} + mx + n ight)$ $= - 5m + n + 25$ .

$\lim_{x ightarrow - 5^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow - 5^{+}}(x + 17) = 12$ .

$\lim_{x ightarrow 10^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 10^{-}}(x + 17) = 27$ .

$\lim_{x ightarrow 10^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 10^{+}}(mx + n + 10) = 10m + n + 10$ .

Hàm số liên tục tại $x = - 5$ và $x = 10$ khi

$\left\{ \begin{matrix}- 5m + n + 25 = 12 \\10m + n + 10 = 27 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}- 5m + n = - 13 \\10m + n = 17 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m = 2 \ = - 3 \\\end{matrix} ight.$ (mệnh đề b) sai).

c) Sai.

Ta có $2m + n = 1$ không phải số nguyên tố (mệnh đề c) sai).

d) Sai.

Ta có: $y = m.sinx + n.cosx\ \ \ \Rightarrow \ \ \ y = 2sinx - 3cosx$

Xét phương trình ẩn $x$ :

$2\sin x - 3\cos x = y$

$\Leftrightarrow \sin x.\frac{2}{\sqrt{13}} - \cos x.\frac{3}{\sqrt{13}} =\frac{y}{\sqrt{13}}$

$\Leftrightarrow \sin x.\cos\alpha - \cos x.\sin\alpha = \frac{y}{\sqrt{13}}$ , với $\cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{13}},\ \sin\alpha = \frac{3}{\sqrt{13}}$ .

$\Leftrightarrow \sin(x - \alpha) = \frac{y}{\sqrt{13}}$

Ta có

$\left| \sin(x - \alpha) ight| \leq 1$

$\begin{matrix} \Rightarrow \left| \frac{y}{\sqrt{13}} ight| \leq 1 \\ \Leftrightarrow - \sqrt{13} \leq y \leq \sqrt{13} \\ \end{matrix}$

Suy ra GTLN của $y$ bằng $\sqrt{13}$ khi $\sin(x - \alpha) = 1$ hay $x = \alpha + \frac{\pi}{2} + k2\pi$ , với $\cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{13}},\ \sin\alpha = \frac{3}{\sqrt{13}}$

Vậy khẳng định d) sai.
Câu 21: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức T

Biết $\lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{3x + 1} - 1}{x} = \frac{a}{b}$ , trong đó $a,b$ là hai số nguyên dương và phân số $\frac{a}{b}$ tối giản. Tính giá trị của biểu thức $T = a^{2} + b^{2}$
- A.
  $T = 13$
- B.
  $T = 0$
- C.
  $T = 4$
- D.
  $T = 10$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{3x + 1} - 1}{x}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{\left( \sqrt{3x + 1} - 1 ight)\left( \sqrt{3x + 1} + 1 ight)}{x\left( \sqrt{3x + 1} + 1 ight)}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{3x + 1 - 1}{x\left( \sqrt{3x + 1} + 1 ight)} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{3x}{x\left( \sqrt{3x + 1} + 1 ight)}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{3x + 1} + 1} = \frac{3}{2}$

$\Rightarrow a = 3;b = 2$

$\Rightarrow T = 3^{2} + 2^{2} = 13$
Câu 22: Nhận biết
Tìm khoảng liên tục

Hàm số $f(x) =\dfrac{x^{2} + x\cos x + \sin x}{2sinx + 3}$ liên tục trên:
- A.
  $\lbrack - 1;1brack$
- B.
  $\lbrack 1;5brack$
- C.
  $\left( - \frac{3}{2}; + \infty ight)$
- D.
  $\mathbb{R}$
Ta có: $2sinx + 3 eq 0,\forall x\mathbb{\in R}$

=> Tập xác định $D\mathbb{= R}$

Vậy hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$
Câu 23: Nhận biết
Tìm khoảng liên tục của hàm số

Hàm số $f(x) = \frac{x + 1}{x^{2} - 5x + 4}$ liên tục trên khoảng nào sau đây?
- A.
  $( - \infty;4)$
- B.
  $( - 1;2)$
- C.
  $\lbrack 1; + \infty)$
- D.
  $(2;3)$
Ta có:

Hàm số $f(x) = \frac{x + 1}{x^{2} - 5x + 4}$ là hàm phân thứ hữu tỉ có tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 1;4 ight\}$ nên hàm số $f(x)$ liên tục trên các khoảng $( - \infty;1),(1;4),(4; + \infty)$ .

Do đó $f(x)$ liên tục trên $(2;3)$ .
Câu 24: Nhận biết
Tính giới hạn

Giá trị của $A = \lim\frac{2n + 1}{n - 2}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  2
- D.
  1
Với số thực a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn $n_{a} > \frac{5}{a} + 2 > 2$

Ta có:

$\left| \frac{2n + 1}{n - 2} - 2 ight| = \frac{5}{|n - 2|} < \frac{5}{n_{a} - 2} < a\ với\ mọi\ n > n_{a}$

Vậy A=2.
Câu 25: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Cho hai số thực $a,b$ thỏa mãn $\lim_{x ightarrow 2}\frac{ax^{2} + bx - 2}{x - 2} = 5$ . Tính giá trị biểu thức $S = a + 2b$ .

Đáp án: -4||- 4

Đáp án là:

Cho hai số thực $a,b$ thỏa mãn $\lim_{x ightarrow 2}\frac{ax^{2} + bx - 2}{x - 2} = 5$ . Tính giá trị biểu thức $S = a + 2b$ .

Đáp án: -4||- 4

Vì $\lim_{x ightarrow 2}\frac{ax^{2} + bx - 2}{x - 2} = 5$ là 1 số hữu hạn và $\lim_{x ightarrow 2}(x - 2) = 0$ nên $\lim_{x ightarrow 2}\left( ax^{2} + bx - 2 ight) = 0$ hay $4a + 2b - 2 = 0 \Leftrightarrow b = 1 - 2a$ .

Khi đó:

$\lim_{x ightarrow 2}\frac{ax^{2} + bx - 2}{x - 2} = \lim_{x ightarrow 2}\frac{ax^{2} + (1 - 2a)x - 2}{x - 2}$

$= \lim_{x ightarrow 2}\frac{ax^{2} + x - 2ax - 2}{x - 2} = \lim_{x ightarrow 2}\frac{(ax^{2} - 2ax) + (x - 2)}{x - 2}$

$= \lim_{x ightarrow 2}\frac{(x - 2)(ax + 1)}{x - 2} = \lim_{x ightarrow 2}(ax + 1)$

$= 2a + 1 = 5 \Rightarrow a = 2$

Suy ra $b = - 3$ .

Vậy $S = - 4$ .
Câu 26: Thông hiểu
Giới hạn cần tìm là?

Giới hạn cần tìm của $E = \lim\frac{\sqrt{n^{3} + 2n} + 1}{n + 2}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  0
- D.
  1
$E = \lim\frac{\sqrt{n^{3} + 2n} + 1}{n + 2} = + \infty$
Câu 27: Thông hiểu
Hàm số nào dưới đây không liên tục

Hàm số nào dưới đây không liên tục trên khoảng $( - 1;1)$ ?
- A.
  $y = \cos x$
- B.
  $y = \sin x$
- C.
  $y = \tan x$
- D.
  $y = \left\{ \begin{matrix} \sin x\ \ \ \ khi\ x \geq 0 \\ \cos x\ \ \ \ khi\ x < 0 \\ \end{matrix} ight.$
Xét hàm số $y = \left\{ \begin{matrix} \sin x\ \ \ \ khi\ x \geq 0 \\ \cos x\ \ \ \ khi\ x < 0 \\ \end{matrix} ight.$ với $x \in ( - 1;1)$

Ta có: $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \sin x = 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \cos x = 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Suy ra không tồn tại $\lim_{x ightarrow 0}f(x)$ nên hàm số không liên tục tại x = 0

Vậy hàm số không liên tục trên $( - 1;1)$ .
Câu 28: Nhận biết
Tính giới hạn hàm số

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} + 2} - \sqrt {x + 3} }}{{2x - 3}}$ bằng
- A.
  0
- B.
  1
- C.
  2
- D.
  $+\infty$
Ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\sqrt {4{x^2} + 2} - \sqrt {x + 3} }}{{2x - 3}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x\left( {\sqrt {4 + \dfrac{2}{{{x^2}}}} - \sqrt {\dfrac{1}{x} + \dfrac{3}{{{x^2}}}} } ight)}}{{x\left( {2 - \dfrac{3}{x}} ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x\left( {\sqrt {4 + \dfrac{2}{{{x^2}}}} - \sqrt {\dfrac{1}{x} + \dfrac{3}{{{x^2}}}} } ight)}}{{x\left( {2 - \dfrac{3}{x}} ight)}} \hfill \\ = 1 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 29: Thông hiểu
Phải bổ sung thêm giá trị f(0) bằng bao nhiêu

Cho $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x+1}-1}$ với $xeq 0$ . Phải bổ sung thêm giá trị $f(0)$ bằng bao nhiêu thì hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ ?
- A.
  0
- B.
  1
- C.
  $\sqrt{2}$
- D.
  2
Ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( 0 ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{{\sqrt {x + 1} - 1}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{x\left( {\sqrt {x + 1} + 1} ight)}}{{x + 1 - 1}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\sqrt {x + 1} + 1} ight) = 2 \hfill \\ \end{matrix}$
Để hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ thì
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( 0 ight) = f\left( 0 ight) \hfill \\ \Leftrightarrow 2 = f\left( 0 ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 30: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Số điểm gián đoạn của hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} 0,5 & khi\ \ x = - 1 \\ \frac{x(x + 1)}{x^{2} - 1} & khi\ \ \ x eq - 1,x eq 1 \\ 1 & khi\ \ \ x = 1 \\ \end{matrix} ight.$ là:

Đáp án: 1

Đáp án là:

Số điểm gián đoạn của hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} 0,5 & khi\ \ x = - 1 \\ \frac{x(x + 1)}{x^{2} - 1} & khi\ \ \ x eq - 1,x eq 1 \\ 1 & khi\ \ \ x = 1 \\ \end{matrix} ight.$ là:

Đáp án: 1

Hàm số $y = f(x)$ có TXĐ $D\mathbb{= R}$ .

Hàm số $f(x) = \frac{x(x + 1)}{x^{2} - 1}$ liên tục trên mỗi khoảng $( - \infty; - 1)$ , $( - 1;1)$ và $(1; + \infty)$ .

(i) Xét tại $x = - 1$ , ta có $\lim_{x ightarrow - 1}f(x) = \lim_{x ightarrow - 1}\frac{x(x + 1)}{x^{2} - 1} = \lim_{x ightarrow - 1}\frac{x}{x - 1} = \frac{1}{2} = f( - 1)\overset{}{ightarrow}$ Hàm số liên tục tại $x = - 1$ .

(ii) Xét tại $x = 1$ , ta có

$\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {\mkern 1mu} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {\mkern 1mu} \frac{{x\left( {x + 1} ight)}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {\mkern 1mu} \frac{x}{{x - 1}} = + \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {\mkern 1mu} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {\mkern 1mu} \frac{{x\left( {x + 1} ight)}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {\mkern 1mu} \frac{x}{{x - 1}} = - \infty \hfill \\ \end{gathered} ight. \to$ Hàm số $y = f(x)$ gián đoạn tại $x = 1$ .

Vậy số điểm gián đoạn cần tìm là 1.
Câu 31: Thông hiểu
Xác định giá trị thực của tham số k

Cho hàm số $y =f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}\ khi\ x eq 1 \\k + 1\ \ \ \ \ \ khi\ x = 2 \\\end{matrix} ight.$ liên tục tại $x = 1$ . Xác định giá trị thực của tham số k.
- A.
  $k = \frac{3}{2}$
- B.
  $k = 1$
- C.
  $k = - \frac{1}{2}$
- D.
  $k = 0$
Tập xác định $D = \lbrack 0; + \infty)$

Theo giả thiết ta có:

$k + 1 = f(1) = \lim_{x ightarrow 1}f(x)$

$\Rightarrow k + 1 = \lim_{x ightarrow 1}\left( \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} ight)$

$\Leftrightarrow k + 1 = \lim_{x ightarrow 1}\left( \frac{1}{\sqrt{x} + 1} ight)$

$\Leftrightarrow k + 1 = \frac{1}{2} \Leftrightarrow k = - \frac{1}{2}$
Câu 32: Vận dụng cao
Tính tổng T

Từ độ cao 55,8m của tháp nghiêng Pisa nước Italia người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng $\frac{1}{10}$ độ cao mà quả bóng đạt trước đó. Tổng độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?
- A.
  $(67m;69m)$
- B.
  $(60m;63m)$
- C.
  $(64m;66m)$
- D.
  $(69m;72m)$
Ta có:

Độ cao của quả bóng sau mỗi lần nảy lên là một cấp số nhân lùi vô hạn (u_n) với u₁ = 55,8m, $q = \frac{1}{10}$

Sau khi nảy lên, qua bóng rơi xuống một quãng đường đúng bằng chiều cao.

Từ đó tổng quãng đường mà quả bóng đã di chuyển là

$\begin{matrix} {u_1} + 2{u_2} + 2{u_3} + .... \hfill \\ = {u_1} + 2{u_1}q + 2{u_1}{q^2} + ... \hfill \\ = {u_1} + \dfrac{{2{u_1}q}}{{1 - q}} = \dfrac{{11}}{9}{u_1} = 68,2m \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy tổng quãng đường quả bóng di chuyển nằm trong khoảng $(67m;69m)$ .
Câu 33: Vận dụng
Tìm tham số m

Tìm giá trị thực của m để hàm số $f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 2}}{\text{ khi }}x e 2} \\ {{\text{m khi }}x = 2} \end{array}} ight.$ liên tục tại $x=2$ .
- A. $m=0$
- B. $m=1$
- C. $m=2$
- D. $m=3$
Tập xác định của hàm số: $D = \mathbb{R}$ chứa $x=2$
Theo giả thiết thì ta phải có:
$\begin{matrix} f\left( 2 ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x ight) \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 2}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x + 1} ight) = 3 \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy $m=3$
Câu 34: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Kết quả giới hạn $K = \lim_{x ightarrow + \infty}x\left( \sqrt{x^{2} + 2x} - \sqrt[3]{x^{3} + 3x^{2}} ight) = \frac{a}{b}$ , với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản $(a;b > 0)$ . Tổng $a + b$ bằng bao nhiêu?

Đáp án: 3

Đáp án là:

Kết quả giới hạn $K = \lim_{x ightarrow + \infty}x\left( \sqrt{x^{2} + 2x} - \sqrt[3]{x^{3} + 3x^{2}} ight) = \frac{a}{b}$ , với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản $(a;b > 0)$ . Tổng $a + b$ bằng bao nhiêu?

Đáp án: 3

Ta có

$K = \lim_{x ightarrow + \infty}x\left( \sqrt{x^{2} + 2x} - \sqrt[3]{x^{3} + 3x^{2}} ight)$

$= \lim_{x ightarrow + \infty}x\left\lbrack \left( \sqrt{x^{2} + 2x} - x - 1 ight) + \left( x + 1 - \sqrt[3]{x^{3} + 3x^{2}} ight) ightbrack$

$= \lim_{x ightarrow + \infty}\lbrack\frac{- x}{\sqrt{x^{2} + 2x} + (x + 1)}$ $+ \frac{3x^{2} + x}{(x + 1)^{2} + (x + 1)\sqrt[3]{x^{3} + 3x} + \sqrt[3]{\left( x^{3} + 3x ight)^{2}}}brack$

$= \lim_{x ightarrow + \infty}\lbrack\frac{- 1}{\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + \left( 1 + \frac{1}{x} ight)}$ $+ \frac{3 + \frac{1}{x}}{\left( 1 + \frac{1}{x} ight)^{2} + \left( 1 + \frac{1}{x} ight)\sqrt[3]{1 + \frac{3}{x^{2}}} + \sqrt[3]{\left( 1 + \frac{3}{x^{2}} ight)^{2}}}brack$

$= - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$ .

Suy ra $a + b = 3$ .
Câu 35: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Cho giới hạn $I = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{2x + 1} - \sqrt[3]{x^{2} + 1}}{\sqrt[3]{8 - x} - \sqrt[3]{8 + x}}$ . Tính giá trị của 100I?

Đáp án: -600||- 600

Đáp án là:

Cho giới hạn $I = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{2x + 1} - \sqrt[3]{x^{2} + 1}}{\sqrt[3]{8 - x} - \sqrt[3]{8 + x}}$ . Tính giá trị của 100I?

Đáp án: -600||- 600

Ta có:

$I = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{2x + 1} - \sqrt[3]{x^{2} + 1}}{\sqrt[3]{8 - x} - \sqrt[3]{8 + x}}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\left( \frac{\sqrt{2x + 1} - \sqrt[3]{x^{2} + 1}}{x}.\frac{x}{\sqrt[3]{8 - x} - \sqrt[3]{8 + x}} ight)$

$= \lim_{x ightarrow 0}\left\{ \left( \frac{\sqrt{2x + 1} - 1}{x} + \frac{1 - \sqrt[3]{x^{2} + 1}}{x} ight).\frac{x}{\sqrt[3]{8 - x} - \sqrt[3]{8 + x}} ight\}$

Ta có:

+) $\lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{2x + 1} - 1}{x} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{2x}{\left( \sqrt{2x + 1} + 1 ight).x} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{2}{\left( \sqrt{2x + 1} + 1 ight)} = 1$

+) $\lim_{x ightarrow 0}\frac{1 - \sqrt[3]{x^{2} + 1}}{x} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{- x^{2}}{\left\lbrack 1 + \sqrt[3]{x^{2} + 1} + \sqrt[3]{\left( x^{2} + 1 ight)^{2}} ightbrack.x}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{- x}{\left\lbrack 1 + \sqrt[3]{x^{2} + 1} + \sqrt[3]{\left( x^{2} + 1 ight)^{2}} ightbrack} = 0$ .

+) $\lim_{x ightarrow 0}\frac{x}{\sqrt[3]{8 - x} - \sqrt[3]{8 + x}}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{x\left\lbrack \left( \sqrt[3]{8 - x} ight)^{2} + \sqrt[3]{8 - x}.\sqrt[3]{8 + x} + \left( \sqrt[3]{8 + x} ight)^{2} ightbrack}{\left( \sqrt[3]{8 - x} ight)^{3} - \left( \sqrt[3]{8 + x} ight)^{3}}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{x\left\lbrack \left( \sqrt[3]{8 - x} ight)^{2} + \sqrt[3]{8 - x}.\sqrt[3]{8 + x} + \left( \sqrt[3]{8 + x} ight)^{2} ightbrack}{- 2x}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{\left\lbrack \left( \sqrt[3]{8 - x} ight)^{2} + \sqrt[3]{8 - x}.\sqrt[3]{8 + x} + \left( \sqrt[3]{8 + x} ight)^{2} ightbrack}{- 2} = - 6$ .

Vậy $I = (1 + 0).( - 6) = - 6 \Rightarrow 100I = - 600$ .
Câu 36: Vận dụng
Tính giới hạn của dãy số

Tính giới hạn của hàm số $\lim\left( \frac{1}{n^{2}} + \frac{2}{n^{2}} + ... + \frac{n - 1}{n^{2}} ight)$ .
- A.
  $0$
- B.
  $\frac{1}{3}$
- C.
  $\frac{1}{2}$
- D.
  $1$
Ta có:

$\frac{1}{n^{2}} + \frac{2}{n^{2}} + ... + \frac{n - 1}{n^{2}}$

$= \frac{1}{n^{2}}(1 + 2 + .. + n - 1)$

$= \frac{1}{n^{2}}.\frac{(n - 1)(1 + n - 1)}{2}$

$= \frac{n^{2} - n}{2n^{2}}$

$\Rightarrow \lim\left( \frac{1}{n^{2}} + \frac{2}{n^{2}} + ... + \frac{n - 1}{n^{2}} ight) = \lim\frac{n^{2} - n}{2n} = \frac{1}{2}$
Câu 37: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức H

Tính $H = \lim_{xightarrow 2}\frac{2 - x}{\sqrt{x + 7} - 3}$
- A.
  $H = 6$
- B.
  $H = - 4$
- C.
  $H = 4$
- D.
  $H = - 6$
Ta có:
$H = \lim_{x ightarrow 2}\frac{2 -x}{\sqrt{x + 7} - 3}$
$H = \lim_{x ightarrow 2}\frac{(2 -x)\left( \sqrt{x + 7} + 3 ight)}{\left( \sqrt{x + 7} - 3 ight)\left(\sqrt{x + 7} + 3 ight)}$
$H = \lim_{x ightarrow 2}\frac{(2 -x)\left( \sqrt{x + 7} + 3 ight)}{x + 7 - 9}$
$H = \lim_{x ightarrow 2}\frac{(2 -x)\left( \sqrt{x + 7} + 3 ight)}{- (2 - x)} = - 6$
Câu 38: Nhận biết
Tính giới hạn của hàm số

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3{x^4} - 2{x^5}}}{{5{x^4} + 3{x^6} + 1}}$ bằng:
- A.
  $-\infty$
- B.
  $\frac{3}{5}$
- C.
  $\frac{-2}{5}$
- D.
  0
Ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{3{x^4} - 2{x^5}}}{{5{x^4} + 3{x^6} + 1}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\dfrac{3}{{{x^2}}} - \dfrac{2}{x}}}{{\dfrac{5}{{{x^2}}} + 3 + \dfrac{1}{{{x^6}}}}} = 0 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 39: Nhận biết
Chọn hình vẽ đúng

Hình nào trong các hình dưới đây là đồ thị của hàm số không liên tục tại x = 1?
- A.
- B.
- C.
- D.
Xét đồ thị hàm số

Vì $\lim_{x ightarrow 1^{+}}y eq \lim_{x ightarrow 1^{-}}y$ nên hàm số không liên tục tại $x = 1$
Câu 40: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của mỗi kết luận

Cho ${u_{n} = \dfrac{7^{n} + 2^{2n - 1}+ 3^{n + 1}}{7^{n + 1} + 5^{n - 1}}}$ . Biết $\lim u_{n} = \frac{a}{b}$ (với $a, b\in \mathbb{ Z };\frac{ a}{ b }$ tối giản). Khi đó:

a) $a + b = 8$ Đúng||Sai

b) $a - b = - 7$ Sai||Đúng

c) Bộ ba số $a;b;13$ tạo thành một cấp số cộng có công sai $d = 7$ Đúng||Sai

d) Bộ ba số $a;b;49$ tạo thành một cấp số nhân có công bội $q = 7$ Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho ${u_{n} = \dfrac{7^{n} + 2^{2n - 1}+ 3^{n + 1}}{7^{n + 1} + 5^{n - 1}}}$ . Biết $\lim u_{n} = \frac{a}{b}$ (với $a, b\in \mathbb{ Z };\frac{ a}{ b }$ tối giản). Khi đó:

a) $a + b = 8$ Đúng||Sai

b) $a - b = - 7$ Sai||Đúng

c) Bộ ba số $a;b;13$ tạo thành một cấp số cộng có công sai $d = 7$ Đúng||Sai

d) Bộ ba số $a;b;49$ tạo thành một cấp số nhân có công bội $q = 7$ Đúng||Sai

Ta có

$\lim u_{n} = \lim\dfrac{7^{n} + 2^{2n -1} + 3^{n + 1}}{7^{n + 1} + 5^{n - 1}}$

$= \lim\dfrac{1 + \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{4}{7} ight)^{n} + 3\left( \dfrac{3}{7} ight)^{n}}{7 +\dfrac{1}{5}\left( \dfrac{5}{7} ight)^{n}} = \dfrac{1}{7}$ .

Do đó suy ra $a = 1,b = 7 \Rightarrow a + b = 8$ .

Kết luận:

a) Đúng

b) Sai

c) Đ

d) Đúng

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 3 Chân trời sáng tạo Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

33 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 3 Chân trời sáng tạo

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 Chân trời sáng tạo
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân
Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số ghép số liệu nhóm
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Đạo hàm
Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 9: Xác suất

Lớp 11
Khóa học Lớp 11
Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4
Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 4
Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 7
Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 5
Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 6
Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4 Đề 2

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 3 Chân trời sáng tạo

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 4

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 7

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 5

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 6

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4 Đề 2