Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 3 Chân trời sáng tạo

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 CTST Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục nha!

  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Bắt đầu làm bài
Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay
  • Câu 1: Vận dụng

    Tính giá trị m

    Cho số thực m thỏa mãn \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{m\sqrt{2x^{2} +
3} + 2017}{2x + 2018} = \frac{1}{2}. Khi đó giá trị của m là bao nhiêu?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow +
\infty}\frac{m\sqrt{2x^{2} + 3} + 2017}{2x + 2018} =
\frac{1}{2}

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{mx\sqrt{2 + \dfrac{3}{x^{2}}} + 2017}{x\left( 2 +\dfrac{2018}{x} ight)} = \dfrac{1}{2}

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{m\sqrt{2 + \dfrac{3}{x^{2}}} + \dfrac{2017}{x}}{\left( 2 +\dfrac{2018}{x} ight)} = \dfrac{1}{2}

    \Leftrightarrow \frac{m\sqrt{2}}{2} =
\frac{1}{2} \Leftrightarrow m = \frac{\sqrt{2}}{2}

  • Câu 2: Nhận biết

    Tìm khoảng liên tục của hàm số

    Hàm số f(x) =
\frac{x + 1}{x^{2} - 5x + 4} liên tục trên khoảng nào sau đây?

    Ta có:

    Hàm số f(x) = \frac{x + 1}{x^{2} - 5x +
4} là hàm phân thứ hữu tỉ có tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 1;4
ight\} nên hàm số f(x) liên tục trên các khoảng ( -
\infty;1),(1;4),(4; + \infty).

    Do đó f(x) liên tục trên (2;3).

  • Câu 3: Nhận biết

    Tính giới hạn A

    Tính A = \lim_{x
ightarrow - 1}\left( x^{2} - x + 7 ight).

    Ta có: A = \lim_{x ightarrow - 1}\left(
x^{2} - x + 7 ight) = 1 + 1 + 7 = 9

  • Câu 4: Vận dụng

    Tìm các giá trị nguyên của tham số a

    Tìm các giá trị nguyên của a thuộc (0;20)sao cho \lim\sqrt{3 + \frac{a.n^{2} - 1}{3 + n^{2}} -
\frac{1}{2^{n}}} là một số nguyên?

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix}\lim\left( \dfrac{a.n^{2} - 1}{3 + n^{2}} ight) = \lim\dfrac{a -\dfrac{1}{n^{2}}}{\dfrac{3}{n^{2}} + 1} = a \\\lim\left( \dfrac{1}{2^{n}} ight) = \lim\left( \dfrac{1}{2} ight)^{n}= 0 \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \lim\sqrt{3 + \frac{a.n^{2}
- 1}{3 + n^{2}} - \frac{1}{2^{n}}} = \sqrt{3 + a}

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
a \in (0;20),a\mathbb{\in Z} \\
\sqrt{a + 3}\mathbb{\in Z} \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow a \in \left\{ 1;6;13
ight\}

    Vậy có ba giá trị nguyên của tham số a thỏa mãn điều kiện đề bài.

  • Câu 5: Vận dụng

    Xét sự liên tục của hàm số

    Hàm số f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}  { - x\cos x{\text{       }}khi{\text{ }}x < 0} \\   {\dfrac{{{x^2}}}{{1 + x}}{\text{        }}khi{\text{ }}0 \leqslant x < 1} \\   {{x^3}{\text{             }}khi{\text{ x}} \geqslant {\text{1}}} \end{array}} ight.

    Ta có: f(x) liên tục tại x e 0; x e 1

    Tại x=0 ta có: 

    \begin{matrix}  \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - x\cos x} ight) = 0 \hfill \\  \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {\dfrac{{{x^2}}}{{1 + x}}} ight) = 0 \hfill \\  f\left( 0 ight) = 0 \hfill \\ \end{matrix}

    \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = f\left( 0 ight)

    Vậy hàm số liên tục tại x=0

    Tại x=1 ta có:

    \begin{matrix}  \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {\dfrac{{{x^2}}}{{1 + x}}} ight) = \dfrac{1}{2} \hfill \\  \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^3}} ight) = 1 \hfill \\   \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x ight) e \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy hàm số bị gián đoạn tại x=1

    Kết luận: Hàm số đã cho liên tục tại mọi điểm trừ x = 1.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Tìm hàm số liên tục tại x = 1

    Hàm số nào trong các hàm số sau liên tục tại x = 1?

    Xét hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}
x + 1\ khi\ x \geq 1 \\
3x - 1\ khi\ x < 1 \\
\end{matrix} ight. có:

    \left\{ \begin{matrix}
f(1) = 2 \\
\lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}(x + 1) = 2
\\
\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}(3x - 1) = 2
\\
\end{matrix} ight.

    Vậy hàm số liên tục tại x =
1.

  • Câu 7: Nhận biết

    Xác định hàm số không liên tục

    Hàm số nào trong các hàm số dưới đây không liên tục trên \mathbb{R}?

    Hàm số y = \frac{x}{x + 1} có tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{
- 1 ight\} nên hàm số không liên tục trên \mathbb{R}.

  • Câu 8: Vận dụng

    Tính giới hạn

    Tính giá trị của giới hạn \lim\dfrac{1^{2}+ 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2}}{n\left( n^{2} + 1 ight)}.

    Đặt P(n) = \frac{2n^{3} - 3n^{2} + n}{6}
= \frac{n(n - 1)(2n + 1)}{6}thì ta có:

    1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... +
n^{2}

    = \left\lbrack P(2) - P(1) ightbrack
+ \left\lbrack P(3) - P(2) ightbrack + ... + \left\lbrack P(n + 1) -
P(n) ightbrack

    = P(n + 1) - P(1) = \frac{n(n + 1)(2n +
3)}{6}

    Do đó: \lim\frac{1^{2} + 2^{2} + 3^{2} +
... + n^{2}}{n\left( n^{2} + 1 ight)} = \lim\frac{n(n + 1)(2n +
3)}{6n\left( n^{2} + 1 ight)} = \frac{1}{3}

  • Câu 9: Thông hiểu

    Tính giới hạn của hàm số

    Tính giới hạn \lim_{x ightarrow -
2}\frac{2x^{2} + 3x - 2}{x^{2} - 4}?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow - 2}\frac{2x^{2} +
3x - 2}{x^{2} - 4}

    = \lim_{x ightarrow - 2}\frac{(2x -
1)(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)}

    = \lim_{x ightarrow - 2}\frac{2x - 1}{x- 2} = \frac{5}{4}.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Tính giá trị biểu thức

    Tính \lim_{x
ightarrow + \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 2x - 1} - x - 1
ight)

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow + \infty}\left(
\sqrt{x^{2} + 2x - 1} - x - 1 ight)

    = \lim_{x ightarrow +
\infty}\frac{\left( \sqrt{x^{2} + 2x - 1} + x + 1 ight)\left(
\sqrt{x^{2} + 2x - 1} - x - 1 ight)}{\sqrt{x^{2} + 2x - 1} + x +
1}

    = \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{-
2}{\sqrt{x^{2} + 2x - 1} + x + 1} = 0

  • Câu 11: Nhận biết

    Tính giới hạn dãy số

    \lim \frac{{\sqrt[3]{{{n^3} + n}}}}{{6n + 2}} bằng:

    Ta có:

    \begin{matrix}  \lim \dfrac{{\sqrt[3]{{{n^3} + n}}}}{{6n + 2}} = \lim \dfrac{{\sqrt[3]{{{n^3}\left( {1 + \dfrac{1}{{{n^3}}}} ight)}}}}{{n\left( {6 + \dfrac{2}{n}} ight)}} \hfill \\   = \lim \dfrac{{n\sqrt[3]{{1 + \dfrac{1}{{{n^3}}}}}}}{{n\left( {6 + \dfrac{2}{n}} ight)}} = \dfrac{1}{6} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 12: Nhận biết

    Bổ sung thêm giá trị của f(0)

    Cho f(x)=\frac{x^{2}+5x}{7x} với xeq 0. Phải bổ sung thêm giá trị f(0) bằng bao nhiêu thì hàm số f(x) liên tục trên \mathbb{R}?

     Ta có: 

    Với xeq 0 hàm số xác định => Hàm số liên tục khi x > 0 và x < 0

    Với x = 0 ta có: 

    \begin{matrix}  \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{x^2} + 5x}}{{7x}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{x + 5}}{7} = \dfrac{5}{7} \hfill \\ \end{matrix}

    Để hàm số liên tục tại x = 0 thì

    \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = f\left( 0 ight) \Rightarrow f\left( 0 ight) = \frac{5}{7}

  • Câu 13: Nhận biết

    Xác định khẳng định đúng

    Chọn khẳng định đúng?

    \lim_{x ightarrow - \infty}x^{4} = +
\infty

    \lim_{x ightarrow - \infty}x^{3} = -
\infty

    \lim_{x ightarrow x_{0}}x =
x_{0}

    \lim_{x ightarrow + \infty}q^{x} =
0;\left( |q| < 1 ight)

  • Câu 14: Thông hiểu

    Xét tính đúng sai của mỗi kết luận

    Biết giới hạn \lim\frac{2n + 1}{- 3n + 2}
= a. Khi đó:

    a) Giá trị a lớn hơn 0. Sai||Đúng

    b) Ba số -
\frac{5}{3};a;\frac{1}{3} tạo thành một cấp số cộng với công sai bằng 2. Sai||Đúng

    c) Trên khoảng ( - \pi;\pi) phương trình lượng giác \sin x = a có 3 nghiệm. Sai||Đúng

    d) Cho cấp số nhân \left( u_{n}
ight) với công bội q = 3u_{1} = a, thì u_{3} = - 6. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Biết giới hạn \lim\frac{2n + 1}{- 3n + 2}
= a. Khi đó:

    a) Giá trị a lớn hơn 0. Sai||Đúng

    b) Ba số -
\frac{5}{3};a;\frac{1}{3} tạo thành một cấp số cộng với công sai bằng 2. Sai||Đúng

    c) Trên khoảng ( - \pi;\pi) phương trình lượng giác \sin x = a có 3 nghiệm. Sai||Đúng

    d) Cho cấp số nhân \left( u_{n}
ight) với công bội q = 3u_{1} = a, thì u_{3} = - 6. Đúng||Sai

    a) Ta có: \lim\frac{2n + 1}{- 3n + 2} =
\lim\frac{n\left( 2 + \frac{1}{n} ight)}{n\left( - 3 + \frac{2}{n}
ight)} = \lim\frac{2 + \frac{1}{n}}{- 3 + \frac{2}{n}} = \frac{-
2}{3}

    b) Ba số - \frac{5}{3}; -
\frac{2}{3};\frac{1}{3} tạo thành một cấp số cộng với công sai bằng 1

    c) Trên khoảng ( - \pi;\pi) phương trình lượng giác \sin x = a có 2 nghiệm

    d) Cho cấp số nhân \left( u_{n}
ight) với công bội q = 3u_{1} = a, thì u_{3} = - 6

    Kết luận:

    a) Sai

    b) Sai

    c) Sai

    d) Đúng

  • Câu 15: Thông hiểu

    Tính biểu thức K

    Tính K = \lim_{x
ightarrow + \infty}\left( \sqrt{4x^{2} + 3x + 1} - 2x
ight)

    Ta có:

    K = \lim_{x ightarrow + \infty}\left(
\sqrt{4x^{2} + 3x + 1} - 2x ight)

    K = \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{4x^{2} + 3x + 1 - 4x^{2}}{\sqrt{4x^{2} + 3x + 1} +2x}

    K = \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{3x + 1}{\sqrt{4x^{2} + 3x + 1} + 2x}

    K = \lim_{x ightarrow + \infty}\dfrac{3+ \dfrac{1}{x}}{\sqrt{4 + \dfrac{3}{x} + \dfrac{1}{x^{2}}} + 2} =\dfrac{3}{4}

  • Câu 16: Nhận biết

    Tính giới hạn hàm số

    Tính \lim_{x
ightarrow 1}\frac{x^{2} + x - 2}{x - 1}.

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2} + x -
2}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1}\frac{(x - 1)(x + 2)}{x -
1}

    = \lim_{x ightarrow 1}(x + 2) =
3

  • Câu 17: Vận dụng cao

    Tìm số tự nhiên n

    Cho hàm số f(x)= \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x + x^{2} + ... + x^{n} - n}{x - 1}\ \ khi\ x eq 1 \\15\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight.. Tìm số tự nhiên n để hàm số liên tục tại x_{0} = 1.

    Ta có: f(1) = 15

    \lim_{x ightarrow 1}f(x) = \lim_{x
ightarrow 1}\frac{x + x^{2} + ... + x^{n} - n}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{x - 1 +
x^{2} - 1 + ... + x^{n} - 1}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{(x -
1)\left\lbrack 1 + (x + 1) + \left( x^{2} + x + 1 ight) + ... + \left(
x^{n - 1} + x^{n - 2} + ... + 1 ight) ightbrack}{x -
1}

    = 1 + 2 + ... + n = \frac{n(n +
1)}{2}

    Hàm số f(x) liên tục tại x_{0} =
1 khi và chỉ khi

    \lim_{x ightarrow 1}f(x) =
f(1)

    \Leftrightarrow \frac{n(n + 1)}{2} =
15

    \Leftrightarrow n = 5

  • Câu 18: Vận dụng cao

    Ghi đáp án vào ô trống

    Biết \lim_{x ightarrow
1}\frac{\sqrt[3]{x + 7} - \sqrt{x + 3}}{x^{2} - 3x + 2} =
\frac{a}{b}, trong đó a, b\in\mathbb{ Z}. Tính - 106a + b.

    Đáp án: -100||- 100

    Đáp án là:

    Biết \lim_{x ightarrow
1}\frac{\sqrt[3]{x + 7} - \sqrt{x + 3}}{x^{2} - 3x + 2} =
\frac{a}{b}, trong đó a, b\in\mathbb{ Z}. Tính - 106a + b.

    Đáp án: -100||- 100

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1}\frac{\sqrt[3]{x +
7} - \sqrt{x + 3}}{x^{2} - 3x + 2} = \lim_{x ightarrow
1}\frac{\sqrt[3]{x + 7} - 2}{(x - 1)(x - 2)} + \lim_{x ightarrow
1}\frac{2 - \sqrt{x + 3}}{(x - 1)(x - 2)}.

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1}\frac{\sqrt[3]{x +
7} - 2}{(x - 1)(x - 2)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{x + 7 -
2^{3}}{(x - 1)(x - 2)\left\lbrack \sqrt[3]{(x + 7)^{2}} + 2\sqrt[3]{x +
7} + 4 ightbrack}.

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{1}{(x -
2)\left( \sqrt[3]{(x + 7)^{2}} + 2\sqrt[3]{x + 7} + 4 ight)} = -
\frac{1}{12}.

    Đồng thời:

    \lim_{x ightarrow 1}\frac{2 - \sqrt{x
+ 3}}{(x - 1)(x - 2)} = \lim_{x ightarrow 1}\frac{2^{2} - (x + 3)}{(x
- 1)(x - 2)(2 + \sqrt{x + 3})}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{- 1}{(x -
2)(2 + \sqrt{x + 3})} = \frac{1}{4}

    \Rightarrow \lim_{x ightarrow
1}\frac{\sqrt[3]{x + 7} - \sqrt{x + 3}}{x^{2} - 3x + 2} = - \frac{1}{12}
+ \frac{1}{4} = \frac{1}{6}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = 1 \\
b = 6 \\
\end{matrix} ight..

    Vậy - 106a + b = - 106 + 6 = -
100.

  • Câu 19: Nhận biết

    Tính giới hạn dãy số

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) với u_{n} = \frac{4^{n - 1}}{5^{n -
2}}. Tính \lim_{n ightarrow +
\infty}u_{n}.

    Ta có:

    \lim_{n ightarrow + \infty}u_{n} =
\lim_{n ightarrow + \infty}\frac{4^{n - 1}}{5^{n - 2}} = \lim_{n
ightarrow + \infty}\left( \left( \frac{4}{5} ight)^{n}.\frac{4^{-
1}}{5^{- 2}} ight) = 0

  • Câu 20: Thông hiểu

    Giá trị của m để hàm số đã cho liên tục

    Cho hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}  {3x - 5}&{{\text{ }}khi{\text{ }}x \leqslant  - 2} \\   {mx + 3}&{{\text{ }}khi{\text{ }}x >  - 2} \end{array}} ight.. Giá trị của m để hàm số đã cho liên tục tại x = -2 là:

    Ta có:

     \begin{matrix}  \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} ight)}^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} ight)}^ - }} \left( {3x - 5} ight) = -11 \hfill \\  f\left( { - 2} ight) = -11 \hfill \\  \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} ight)}^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} ight)}^ + }} \left( {mx + 3} ight) =  - 2m + 3 \hfill \\ \end{matrix}

    Để hàm số liên tục tại x=-2 thì 

    \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} ight)}^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} ight)}^ + }} f\left( x ight) = f\left( { - 2} ight)

    \Leftrightarrow  - 2m + 3 = -11 \Rightarrow m = 7

  • Câu 21: Thông hiểu

    Xác định khoảng liên tục của hàm số

    Xác định khoảng liên tục của hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}
\cos\frac{\pi x}{2}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ |x| \leq 1 \\
x - 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ |x| > 1 \\
\end{matrix} ight.. Mệnh đề nào dưới đây sai?

    Hàm số liên tục trên các khoảng ( -
\infty; - 1),(1; + \infty);( - 1;1)

    Ta có: \left\{ \begin{gathered}
  \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} ight)}^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} ight)}^ - }} \left( {x - 1} ight) =  - 2 \hfill \\
  f\left( { - 1} ight) = 0 \hfill \\ 
\end{gathered}  ight.

    => Hàm số gián đoạn tại x = -
1

    Ta lại có: \left\{ \begin{matrix}
  \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x - 1} ight) = 0 \hfill \\
  f\left( 1 ight) = 0 \hfill \\
  \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \cos \dfrac{{\pi x}}{2} = 0 \hfill \\ 
\end{matrix}  ight.

    => Hàm số liên tục tại x =
1

  • Câu 22: Thông hiểu

    Kết quả đúng?

    Kết quả đúng của \lim\frac{- n^{2} + 2n + 1}{\sqrt{3n^{4} +
2}} là?

    Ta có:

    \lim\frac{- n^{2} + 2n + 1}{\sqrt{3n^{4}
+ 2}} = \lim\frac{- 1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^{2}}\ }{\sqrt{3 +
\frac{2}{n^{2}}\ }}

    = \frac{- 1 + 0
+ 0}{\sqrt{3 + 0}} = - \frac{\sqrt{3}}{3}

  • Câu 23: Thông hiểu

    Tính giới hạn

    \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 2x}  + 3x}}{{\sqrt {4{x^2} + 1}  - x + 2}} bằng

    Ta có:

    \begin{matrix}  \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 2x}  + 3x}}{{\sqrt {4{x^2} + 1}  - x + 2}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{\left| x ight|\sqrt {1 + \dfrac{2}{x}}  + 3x}}{{\left| x ight|\sqrt {1 + \dfrac{1}{x}}  - x + 2}} \hfill \\ \end{matrix}

    = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{\sqrt {1 + \dfrac{2}{x}}  + 3}}{{\sqrt {1 + \dfrac{1}{x}}  - 1 + \dfrac{2}{x}}} = \frac{{ - 2}}{3}

  • Câu 24: Nhận biết

    Tính giá trị?

    Giá trị của  \lim\frac{1}{n^{k}} với k \in \mathbb{N^*}bằng:

    Với a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn n_{a} >
\sqrt[k]{\frac{1}{a}}

    Suy ra:

    \frac{1}{n^{k}} < \frac{1}{n_{a}^{k}} < a\
\forall n > n_{a}

    Vậy \lim\frac{1}{n^{k}} = 0.

  • Câu 25: Nhận biết

    Tính f(1)

    Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên \mathbb{R} với f(x) = \frac{x^{2} - 3x + 2}{x - 1} với mọi x eq 1. Tính f(1).

    Ta có: f(x) xác định và liên tục trên \mathbb{R} nên suy ra

    f(1) = \lim_{x ightarrow
1}f(x)

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2} - 3x
+ 2}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1}(x - 2) = 1

    Vậy f(1) = 1

  • Câu 26: Vận dụng

    Tính giá trị biểu thức

    Giả sử a,b là các giá trị để hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {\dfrac{{{x^2} + ax + b}}{{{x^2} - 4}}{\text{   , khi }}x <  - 2} \\ 
  {x + 1{\text{   , khi }}x \geqslant  - 2} 
\end{array}} ight. có giới hạn hữu hạn khi x dần tới -
2. Tính giá trị biểu thức 3a -
b

    Ta có: \lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) = \lim_{x
ightarrow 2^{+}}(x + 1) = - 1

    Suy ra f(x) hữu hạn khi x dần tới -
2 khi và chỉ khi

    \lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = \lim_{x
ightarrow 2^{+}}f(x)

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow
2^{-}}f(x) = - 1

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow
2^{-}}\frac{x^{2} + ax + b}{x^{2} - 4} = - 1

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow
2^{-}}\frac{2x^{2} + ax + b - 4}{x^{2} - 4} = 0(*)

    Do \lim_{x ightarrow 2^{-}}\left( x^{2}
- 4 ight) = 0 nên điều kiện cần để có (*) là

    \lim_{x ightarrow 2^{-}}\left( 2x^{2}
+ ax + b - 4 ight) = 0

    \Rightarrow 2a - b = 4

    Ngược lại với 2a - b = 4 ta có:

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow
2^{-}}\frac{2x^{2} + ax + b - 4}{x^{2} - 4} = 0

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow
2^{-}}\frac{2x^{2} + ax + 2a - 8}{x^{2} - 4} = 0

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow
2^{-}}\frac{2x + a - 4}{x - 2} = 0

    \Leftrightarrow a = 8

    => f(x) có giới hạn hữu hạn khi x dần tới - 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = 8 \\
b = 12 \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow 3a - b = 12

  • Câu 27: Thông hiểu

    Tính kết quả giới hạn

    Tính giới hạn \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{2x + 1}{x -
1}

    Khi x \mapsto 1^{+} ta có: \left\{ \begin{gathered}
  \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {2x + 1} ight) = 3 > 0 \hfill \\
  \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x - 1} ight) = 0 \hfill \\
  x - 1 > 0 \hfill \\ 
\end{gathered}  ight.

    \Rightarrow \lim_{x ightarrow
1^{+}}\frac{2x + 1}{x - 1} = + \infty

  • Câu 28: Vận dụng cao

    Tính tổng P

    Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,353535 . . . được biểu diễn bởi phân số tối giản \frac{m}{n}. Tính P = mn

    Ta có:

    \begin{matrix}
  0,353535 = 0,35 + 0,0035 + ... \hfill \\
   = \dfrac{{35}}{{{{10}^2}}} + \dfrac{{35}}{{{{10}^4}}} + ... + \dfrac{{35}}{{{{10}^n}}} + ... \hfill \\ 
\end{matrix}

    Dãy số \frac{35}{10^{2}};\frac{35}{10^{4}};...;\frac{35}{10^{n}};... là một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là u_{1} = \frac{35}{10^{2}}, công sai là q = 10^{- 2}

    => S = \dfrac{u_{1}}{1 - q} =\dfrac{\dfrac{35}{10^{2}}}{1 - 10^{- 2}} = \dfrac{35}{99}

    Vậy 0,353535 = \frac{35}{99}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
m = 35 \\
n = 99 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow P = 3465

  • Câu 29: Thông hiểu

    Tìm giá trị thực của tham số m

    Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{3} - x^{2} + 2x - 2}{x - 1}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x eq 1 \\3x + m\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight. liên tục tại x = 1.

    Ta có:

    f(1) = m + 3

    \lim_{x ightarrow 1}f(x) = \lim_{xightarrow 1}\frac{x^{3} - x^{2} + 2x - 2}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow1}\frac{(x - 1)\left( x^{2} + 2 ight)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow1}\left( x^{2} + 2 ight) = 3

    Hàm số f(x) liên tục tại x = 1

    = > m + 3 = 3 = > m =
0

  • Câu 30: Thông hiểu

    Tính giá trị của giới hạn

    Giá trị của giới hạn \lim \left( {\sqrt {{n^2} - n + 1}  - n} ight) là:

    Ta có:

    \begin{matrix}  \lim \left( {\sqrt {{n^2} - n + 1}  - n} ight) \hfill \\   = \lim \dfrac{{\left( {\sqrt {{n^2} - n + 1}  - n} ight)\left( {\sqrt {{n^2} - n + 1}  + n} ight)}}{{\left( {\sqrt {{n^2} - n + 1}  + n} ight)}} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix}   = \lim \dfrac{{{n^2} - n + 1 - {n^2}}}{{\left( {\sqrt {{n^2} - n + 1}  + n} ight)}} \hfill \\   = \lim \dfrac{{ - n + 1}}{{\sqrt {{n^2} - n + 1}  + n}} \hfill \\   = \lim \dfrac{{n\left( { - 1 + \dfrac{1}{n}} ight)}}{{n\left( {\sqrt {1 - \frac{1}{n} + \dfrac{1}{{{n^2}}}}  + 1} ight)}} =  - \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 31: Thông hiểu

    Tìm mệnh đề sai

    Cho hàm số f(x)
= - 4x^{3} + 4x - 1. Mệnh đề nào sai?

    Ta có:

    f(x) = - 4x^{3} + 4x - 1 là hàm đa thức nên liên tục trên \mathbb{R}.

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
f( - 1) = - 1 < 0 \\
f( - 2) = 23 > 0 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow f(x) = 0 có nghiệm trên ( - 2; - 1)

    ( - 2; - 1) \subset ( -
\infty;1)

    Vậy phương trình f(x) = 0 có nghiệm trên khoảng ( -
\infty;1)

    Ta có: \left\{ \begin{gathered}
  f\left( 0 ight) =  - 1 < 0 \hfill \\
  f\left( {\dfrac{1}{2}} ight) = \dfrac{1}{2} > 0 \hfill \\ 
\end{gathered}  ight. có nghiệm trên \left( 0;\frac{1}{2} ight) \subset \left(
- 3;\frac{1}{2} ight)

    Vậy mệnh đề sai là “Phương trình f(x) =
0 không có nghiệm trên khoảng ( -
\infty;1)

  • Câu 32: Thông hiểu

    Chọn đáp án đúng

    Tính \lim\frac{2n + 1}{1 + n} được kết quả là:

    Ta có

    \lim\frac{2n + 1}{1 + n} =
\lim\frac{n\left( 2 + \frac{1}{n} ight)}{n\left( \frac{1}{n} + 1
ight)} = \lim\frac{2 + \frac{1}{n}}{\frac{1}{n} + 1} = \frac{2 + 0}{0
+ 1} = 2.

  • Câu 33: Vận dụng cao

    Ghi đáp án vào ô trống

    Tính giới hạn sau: \lim\frac{\sqrt[3]{2n^{2} - n^{3}} +
n}{\sqrt{n^{2} + n} - n}.

    Đáp án: 1

    Đáp án là:

    Tính giới hạn sau: \lim\frac{\sqrt[3]{2n^{2} - n^{3}} +
n}{\sqrt{n^{2} + n} - n}.

    Đáp án: 1

    Ta có:

    \lim\frac{\sqrt[3]{2n^{2} - n^{3}} +
n}{\sqrt{n^{2} + n} - n}

    = \lim\left\lbrack \frac{2n^{2} - n^{3}
+ n^{3}}{n^{2} + n - n^{2}} \cdot \frac{\sqrt{n^{2} + n} +
n}{\sqrt[3]{\left( 2n^{2} - n^{3} ight)^{2}} + n^{2} -
n\sqrt[3]{2n^{2} - n^{3}}} ightbrack

    = \lim\dfrac{\sqrt{\left( n\sqrt{1 +\dfrac{1}{n}} + n ight)}}{\sqrt[3]{n^{6} \cdot \left( \dfrac{2}{n} - 1ight)^{2}} + n^{2} - n \cdot \sqrt[3]{n^{3}\left( \dfrac{2}{n} - 1ight)}}

    = \lim\dfrac{\sqrt{1 + \dfrac{1}{n}} +1}{\left( \dfrac{2}{n} - 1 ight)^{\dfrac{2}{3}} + 1 -\sqrt[3]{\dfrac{2}{n} - 1}}

    Khi n ightarrow \infty thì \ lim\frac{1}{n} = 0.

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\lim\left( \left( \dfrac{2}{n} - 1 ight)^{\dfrac{2}{3}} + 1 -\sqrt[3]{\dfrac{2}{n} - 1} ight) = - 1 + 1 + 1 = 1 \\\lim\left( \sqrt{1 + \dfrac{1}{n}} + 1 ight) = 1 \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \lim\dfrac{\left( \sqrt{1 +\dfrac{1}{n}} + 1 ight.\ }{\left( \dfrac{2}{n} - 1 ight)^{\dfrac{2}{3}}+ 1 - \sqrt[3]{\dfrac{2}{n} - 1}} = 1

    \Rightarrow \lim\frac{\sqrt[3]{2n^{2} -
n^{3}} + n}{\sqrt{n^{2} + n} - n} = 1

  • Câu 34: Nhận biết

    Giới hạn hàm số

    Cho hàm số f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {2{x^3} - 2x{\text{  }}khi{\text{ }}x \geqslant 1} \\   {{x^3} - 2x{\text{   }}khi{\text{ }}x < 1} \end{array}} ight.. Khi đó \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x ight) bằng:

    Ta có:

    \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {{x^3} - 2x} ight) =  - 1

  • Câu 35: Vận dụng

    Tính giá trị biểu thức

    Cho hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {\dfrac{{x - \sqrt {x + 2} }}{{{x^2} - 4}}{\text{    khi }}x > 2} \\ 
  {{x^2} + ax + 3b{\text{    khi }}x < 2} \\ 
  {2x + b - 6{\text{    khi }}x = 2} 
\end{array}} ight. liên tục tại x = 2. Tính giá trị biểu thức H = a + b.

    Ta có: \left\{ \begin{gathered}
  \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x ight) = \frac{3}{{16}} \hfill \\
  \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x ight) = 2a + 3b + 4 \hfill \\ 
\end{gathered}  ight.

    Từ điều kiện hàm số liên tục tại x =
2ta có hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix}2a + 3b = - \dfrac{61}{16} \\2a + b = \dfrac{99}{16} \\\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \dfrac{179}{32} \\b = - 5 \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow H = a + b =
\frac{19}{32}

  • Câu 36: Nhận biết

    Tính giá trị

    Giá trị của B =
\lim\frac{2n + 3}{n^{2} + 1} bằng:

    Với số thực a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn \ \
n_{a} thỏa mãn:

    \frac{2n_{a} +
3}{n_{a}^{2} + 1} < a

    \Leftrightarrow n_{a} > \frac{1 +
\sqrt{a^{2} - 4a + 13}}{a}

    Ta có: \frac{2n + 3}{n^{2} + 1} < a\
với\ mọi\ n > n_{a}

    Suy ra  B =\lim\frac{2n + 3}{n^{2} + 1} =0 .

  • Câu 37: Nhận biết

    Tính giới hạn hàm số

    \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} + 2}  - \sqrt {x + 3} }}{{2x - 3}} bằng

    Ta có:

    \begin{matrix}  \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{\sqrt {4{x^2} + 2}  - \sqrt {x + 3} }}{{2x - 3}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{x\left( {\sqrt {4 + \dfrac{2}{{{x^2}}}}  - \sqrt {\dfrac{1}{x} + \dfrac{3}{{{x^2}}}} } ight)}}{{x\left( {2 - \dfrac{3}{x}} ight)}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{x\left( {\sqrt {4 + \dfrac{2}{{{x^2}}}}  - \sqrt {\dfrac{1}{x} + \dfrac{3}{{{x^2}}}} } ight)}}{{x\left( {2 - \dfrac{3}{x}} ight)}} \hfill \\   = 1 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 38: Thông hiểu

    Chọn khẳng định đúng

    Biết rằng f(x) =\left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 1}{\sqrt{x} - 1}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x eq 1 \\a\ \ \ khi\ x eq 1 \\\end{matrix} ight. liên tục trên \lbrack 0;1brack với a là tham số. Khẳng định nào sau đây về giá trị a là đúng?

    Ta có:

    Hàm số xác định và liên tục trên \lbrack
0;1brack

    Khi đó f(x) liên tục trên \lbrack 0;1brack khi và chỉ khi \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = f(1)\ \ \
(*)

    Ta có:

    f(1) = a

    \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x
ightarrow 1^{-}}\frac{x^{2} - 1}{\sqrt{x} - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\left\lbrack (x +
1)\left( \sqrt{x} + 1 ight) ightbrack = 4

    (*) \Leftrightarrow a = 4

  • Câu 39: Thông hiểu

    Tính giá trị biểu thức T

    Biết  \lim_{x
ightarrow 0}\frac{\sqrt{3x + 1} - 1}{x} = \frac{a}{b}, trong đó a,b là hai số nguyên dương và phân số \frac{a}{b} tối giản. Tính giá trị của biểu thức T = a^{2} +
b^{2}

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{3x +
1} - 1}{x}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\left(
\sqrt{3x + 1} - 1 ight)\left( \sqrt{3x + 1} + 1 ight)}{x\left(
\sqrt{3x + 1} + 1 ight)}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{3x + 1 -
1}{x\left( \sqrt{3x + 1} + 1 ight)} = \lim_{x ightarrow
0}\frac{3x}{x\left( \sqrt{3x + 1} + 1 ight)}

    = \lim_{x ightarrow
0}\frac{1}{\sqrt{3x + 1} + 1} = \frac{3}{2}

    \Rightarrow a = 3;b = 2

    \Rightarrow T = 3^{2} + 2^{2} =
13

  • Câu 40: Thông hiểu

    Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định

    Tính được các giới hạn sau, khi đó:

    a) \lim(\sqrt{3})^{n} = - \infty Sai||Đúng

    b) \lim\pi^{n} = 0 Sai||Đúng

    c) \lim\left( n^{3} + 2n^{2} - 4 ight)
= + \infty Đúng||Sai

    d) \lim\left( - n^{4} + 5n^{3} - 4n
ight) = - \infty Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Tính được các giới hạn sau, khi đó:

    a) \lim(\sqrt{3})^{n} = - \infty Sai||Đúng

    b) \lim\pi^{n} = 0 Sai||Đúng

    c) \lim\left( n^{3} + 2n^{2} - 4 ight)
= + \infty Đúng||Sai

    d) \lim\left( - n^{4} + 5n^{3} - 4n
ight) = - \infty Đúng||Sai

    a) \lim(\sqrt{3})^{n} = +\infty (do \sqrt{3} >
1)

    b) \lim\pi^{n} = + \infty( do \pi > 1)

    c) \lim\left( n^{3} + 2n^{2} - 4 ight)
= \lim n^{3}.\left( 1 + \frac{2}{n} - \frac{4}{n^{3}} ight) = +
\infty.

    \left\{ \begin{matrix}
\lim n^{3} = + \infty \\
\lim\left( 1 + \frac{2}{n} - \frac{4}{n^{3}} ight) = 1 > 0 \\
\end{matrix} ight.

    d) \lim\left( - n^{4} + 5n^{3} - 4n
ight) = \lim n^{4}.\left( - 1 + \frac{5}{n} - \frac{4}{n^{3}} ight)
= - \infty.

    \left\{ \begin{matrix}
\lim n^{4} = + \infty \\
\lim\left( - 1 + \frac{5}{n} - \frac{4}{n^{3}} ight) = - 1 < 0 \\
\end{matrix} ight.

    Kết luận:

    a) Sai

    b) Sai

    c) Đúng

    d) Đúng

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 3 Chân trời sáng tạo Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • Điểm thưởng: 0
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo