VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 CTST Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Nhận biết
Tìm kết luận đúng

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ , $SA\bot(ABC)$ . Kết luận nào dưới đây đúng?
- A.
  $(SCB)\bot(SAB)$
- B.
  $(SAC)\bot(SAB)$
- C.
  $(SAC)\bot(SBC)$
- D.
  $(ABC)\bot(SBC)$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} SA\bot(ABC) \\ AC \subset (ABC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AC\bot SA$

Mà $AC\bot AB \Rightarrow AC\bot(SAB)$

Đồng thời $AC \subset (SAC) \Rightarrow (SAC)\bot(SAB)$
Câu 2: Nhận biết
Tính thể tích khối lập phương

Tính thể tích khối lập phương có cạnh bằng $3a$ ?
- A.
  $V = 27a^{3}$
- B.
  $V = 3a^{3}$
- C.
  $V = 9a^{3}$
- D.
  $V = a^{3}$
Ta có: $V = (3a)^{3} = 27a^{3}$
Câu 3: Thông hiểu
Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng (SAC)

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, $AC=a\sqrt{3}$ . Tam giác SBC đều và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy. Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng (SAC).
- A.
  $d=\frac{a\sqrt{39}}{13}$
- B.
  $d = a$
- C.
  $d=\frac{2a\sqrt{39}}{13}$
- D.
  $d=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
Hình vẽ minh họa:
Gọi M là trung điểm của BC
=> $SH \bot BC \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} ight)$
Gọi N là trung điểm của AC
=> $MN \bot AC$
Kẻ $ME \bot SN,\left( {E \in SN} ight)$
$\begin{matrix} d\left( {B,\left( {SAC} ight)} ight) = 2d\left( {M;\left( {SAC} ight)} ight) \hfill \\ = 2ME = 2.\dfrac{{SM.MN}}{{\sqrt {S{M^2} + M{N^2}} }} = \dfrac{{2a\sqrt {39} }}{{13}} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 4: Nhận biết
Tìm khẳng định không chính xác

Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  Nếu đường thẳng $d\bot(\alpha)$ thì $d$ vuông góc với hai đường thẳng trong $(\alpha)$ .
- B.
  Nếu đường thẳng $d$ vuông góc với hai đường thẳng trong $(\alpha)$ thì $d\bot(\alpha)$ .
- C.
  Nếu đường thẳng $d$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong $(\alpha)$ thì $d$ vuông góc với đường thẳng bất kì trong $(\alpha)$ .
- D.
  Nếu $d\bot(\alpha)$ và $a//(\alpha)$ thì $d\bot a$ .
Đường thẳng $d$ vuông góc với hai đường thẳng nằm trong $(\alpha)$ thì $d\bot(\alpha)$ chỉ đúng khi hai đường thẳng đó cắt nhau.
Câu 5: Vận dụng
Góc tạo bởi đường thẳng C’M với mặt phẳng (ACC’A’)

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có $AA' = \frac{{a\sqrt {10} }}{4}';AC = a\sqrt 2 ;BC = a;\widehat {ACB} = {135^0}$$ . Hình chiếu vuông góc của C’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm M của AB. Tính góc tạo bởi đường thẳng C’M với mặt phẳng (ACC’A’)
- A. $90^0$
- B. $60^0$
- C. $45^0$
- D. $30^0$
Trong (ABC) kẻ $MN \bot AC \Rightarrow AC \bot \left( {MNC'} ight)$ ( điểm N thuộc cạnh AC)
Vậy NC’ là hinh chiếu của MC’ trên mp(ACC’A’)
Góc giữa MC’ và mp(ACC’A’) là góc $\widehat {MC'N}$
Ta có
$\begin{matrix} A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} - 2.AC.BC.\cos \widehat {ACB} = 5{a^2} \hfill \\ \Rightarrow AB = a\sqrt 5 \Rightarrow AM = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
CM là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên có
$C{M^2} = \frac{{C{A^2} + C{B^2}}}{2} - \frac{{A{B^2}}}{4} = \frac{{{a^2}}}{4} \Rightarrow CM = \frac{a}{2}$
Tam giác CMC’ vuông tại M, nên $C'M = \sqrt {C{{C'}^2} - C{M^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}$
Diện tích ${S_{\Delta AMC}} = \frac{1}{2}{S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{1}{2}MN \cdot AC \Rightarrow MN = \frac{a}{{2\sqrt 2 }}$
Xét tam giác vuông MC’N, có
$\tan \widehat {MC'N} = \frac{{MN}}{{MC'}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \widehat {MC'N} = {30^o}$
Vậy góc tạo bởi đường thẳng C’M với mặt phẳng (ACC’A’) là $\widehat {MC'N} = {30^o}$
Câu 6: Thông hiểu
Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với mặt đáy và $SA = AB = \sqrt{3}$ . Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác SAB. Khoảng cách từ $G$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng:
- A.
  $\frac{\sqrt{6}}{3}$ .
- B.
  $\frac{\sqrt{6}}{6}$ .
- C.
  $\sqrt{3}$ .
- D.
  $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .
Hình vẽ minh họa

Gọi $M$ là trung điểm của $SB \Rightarrow AM\bot SB$ (vì $\Delta SAB$ cân)

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BC\bot AB \\ BC\bot SA \\ \end{matrix} \Rightarrow BC\bot(SAB) \Rightarrow BC\bot AM ight.$

Và $\left\{ \begin{matrix} AM\bot SB \\ AM\bot BC \\ \end{matrix} \Rightarrow AM\bot(SBC) \Rightarrow GM\bot(SBC) ight.$ tại $M$ .

Do đó $d(G;(SBC)) = GM$ .

Ta có: $SM = \sqrt{AB^{2} + SA^{2}} = \sqrt{6} \Rightarrow AM = \frac{SB}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

Vì $G$ là trọng tâm của $\Delta SAB$ nên $GM = \frac{1}{3}AM = \frac{\sqrt{6}}{6}$ .
Câu 7: Thông hiểu
Xác định góc giữa mặt phẳng (BCD) và mặt phẳng (ACD)

Cho tứ diện ABCD với các đường thẳng AB, AC, AD đôi một vuông góc, H là trực tâm tam giác BCD. Góc giữa mặt phẳng (BCD) và mặt phẳng (ACD) bằng góc nào trong các góc sau đây?
- A.
  $\widehat{ACB}$
- B.
  $\widehat{ADB}$
- C.
  $\widehat{ABH}$
- D.
  $\widehat{BAH}$
Dễ thấy rằng BA⊥(ACD), AH⊥(BCD), suy ra góc giữa mặt phẳng (BCD) và mặt phẳng (ACD) bằng góc giữa hai đường thẳng BA và AH, tức là bằng góc $\widehat{BAH}$
Câu 8: Thông hiểu
Tìm mệnh đề đúng

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ , cạnh đáy bằng $2a$ , đường cao bằng $a\sqrt{2}$ . Giả sử $\left( (SCD);(ABCD) ight) = \alpha$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $\tan\alpha = \sqrt{3}$
- B.
  $\tan\alpha = 2$
- C.
  $\tan\alpha = \frac{\sqrt{2}}{12}$
- D.
  $\tan\alpha = \sqrt{2}$
Hình vẽ minh họa

Gọi $O = AC \cap BC$ , M là trung điểm của CD.

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} (SCD) \cap (ABCD) = CD \\ OM\bot CD \\ SM\bot CD \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \alpha = (OM;SM) = \widehat{SMO}$

Trong tam giác SMO có $\tan\widehat{SMO} = \frac{SO}{OM} = \frac{a\sqrt{2}}{a} = \sqrt{2}$

$\Rightarrow \tan\alpha = \sqrt{2}$
Câu 9: Thông hiểu
Khẳng định đúng trong các khẳng định đã cho

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA ⊥ (ABCD). Gọi AM, AN lần lượt là đường cao của tam giác SAB và tam giác SAD. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
- A. SC ⊥ (ANB)
- B. SC ⊥ (ANC)
- C. SC ⊥ (AMD)
- D. SC ⊥ (AMN)
Hình vẽ minh họa:
Ta có: SA ⊥ (ABCD) => SA ⊥ BC
Mà AB ⊥ BC => BC ⊥ (SAB)
=> BC ⊥ AE
Mà AM nằm trong mặt phẳng (SAB)
Xét tam giác SAB có:
AM ⊥ SB
Mà BC ⊥ AM => AM ⊥ (SBC) => AM ⊥ SC
Chứng minh tương tự ta được: AN ⊥ SC
=> SC ⊥ (AMN)
Câu 10: Thông hiểu
Tính góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD)

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh bên bằng cạnh đáy và bằng a. Gọi M là trung điểm của SC. Tính góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD).
- A. $90^0$
- B. $30^0$
- C. $60^0$
- D. $45^0$
Gọi O là tâm hình vuông ABCD, suy ra SO ⊥ (ABCD).
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {BD \bot SO} \\ {BD \bot AO} \end{array}} ight. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} ight) \Rightarrow BD \bot OM$
Do $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {(MBD) \cap (ABCD) = BD} \\ {OM \subset (MBD)} \\ {OM \bot BD} \\ {OC \subset (ABCD)} \\ {OC \bot BD} \end{array}} ight.$
$\Rightarrow \widehat {\left( {MBD),(ABCD)} ight)} = (\widehat {OM,OC}) = \widehat {MOC}$
Tam giác SOC vuông tại O, trung tuyến OM, suy ra $OM = MC = \frac{{CS}}{2} = \frac{a}{2}$
=> Tam giác MOC cân tại M.
=> $OC = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$
Khi đó $\cos \widehat {MOC} = \frac{{OC}}{{SC}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{a} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \widehat {MOC} = {45^{^0}}$
Vậy $\widehat {\left( {\left( {MDB} ight);\left( {ABCD} ight)} ight)} = {45^0}$
Câu 11: Thông hiểu
Xác định thiết diện tạo bởi (α) và hình chóp

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều và $H$ là trung điểm cạnh $BC$ . Gọi $O$ là trung điểm $AH$ của tam giác $ABC$ , $SO\bot(ABCD)$ . Gọi $I$ là trung điểm cạnh $OH$ . Gọi mặt phẳng $(\alpha)$ qua $I$ và vuông góc với $OH$ . Thiết diện của $(\alpha)$ với hình chóp $S.ABC$ là:
- A.
  Hình thang cân
- B.
  Tam giác vuông
- C.
  Hình thang vuông
- D.
  Hình bình hành
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} (\alpha)\bot OH \\ BC\bot OH \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (\alpha)//BC$

=> Qua I kẻ đường thẳng $d_{1}//BC$ . Gọi $\left\{ \begin{matrix} d_{1} \cap AB = M \\ d_{1} \cap AC = N \\ \end{matrix} ight.$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} SO\bot OH \\ (\alpha)\bot OH \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (\alpha)//SO$ => Qua I kẻ đường thẳng $IK//SO;(K \in SH)$

$(\alpha)//BC$ => Qua K kẻ đường thẳng $d_{2}//BC$ . Gọi $\left\{ \begin{matrix} d_{2} \cap SB = Q \\ d_{2} \cap SC = P \\ \end{matrix} ight.$

=> thiết diện $(\alpha)$ và hình chóp là tứ giác $MNPQ$ có IK là đường trung trực của MN và PQ.

=> $MNPQ$ là hình thang cân.
Câu 12: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SB vuông góc với mặt phẳng (ABCD) (tham khảo hình vẽ). Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  AC ⊥ (SCD)
- B.
  AC ⊥ (SBD)
- C.
  AC ⊥ (SBC)
- D.
  AC ⊥ (SAB)
Hình vẽ minh họa:
Từ giả thiết ABCD là hình vuông và SB vuông góc với đáy
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}AC\bot BD \\AC\bot SB \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow AC\bot(SBD)$
Câu 13: Thông hiểu
Chọn đáp án thích hợp

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ , cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt đáy và $SA = 2a$ . Gọi $M$ là trung điểm của $SC$ . Tính côsin của góc $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $BM$ và mặt phẳng $(ABC)$ ?
- A.
  $\cos\alpha = \frac{\sqrt{7}}{14}$ .
- B.
  $\cos\alpha = \frac{2\sqrt{7}}{7}$ .
- C.
  $\cos\alpha = \frac{\sqrt{5}}{7}$ .
- D.
  $\cos\alpha = \frac{\sqrt{21}}{7}$ .
Hình vẽ minh họa

Gọi $H$ là trung điểm cạnh $AC$ .

Khi đó $HM//SA$ nên $HM$ vuông góc $(ABC)$ tại $H$ .

Do đó $\left( \widehat{BM,(ABC)} ight) = \left( \widehat{BM,BH} ight) = \widehat{MBH}$ do $\Delta MBH$ vuông tại $H$ .

Ta có:

$\cos\widehat{MBH} = \frac{BH}{BM} = \frac{BH}{\sqrt{HM^{2} + BH^{2}}}$ $= \dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{a^{2} + \left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2} ight)^{2}}} = \dfrac{\sqrt{21}}{7}$ .
Câu 14: Nhận biết
Chọn khẳng định có thể sai?

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau. Mệnh đề nào có thể sai?
- A. A’C’ ⊥ BD
- B. A’B ⊥ DC’
- C. BB’ ⊥ BD
- D. BC’ ⊥ A’D
Dễ thấy các đáp án A’C’ ⊥ BD, A’B ⊥ DC’, BC’ ⊥ A’D đúng
Đáp án BB’ ⊥ BD sẽ bị sai trong trường hợp hình hộp có cạnh bên không vuông góc với mặt đáy
Câu 15: Nhận biết

Điền đáp án vào ô trống

Cho khối chóp và lăng trụ có diện tích đáy, chiều cao tương ứng với nhau và thể tích lần lượt là $V$ và $V'$ . Khi đó tỉ số $\frac{V}{V'} =$ 1/3

(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Đáp án là:

Cho khối chóp và lăng trụ có diện tích đáy, chiều cao tương ứng với nhau và thể tích lần lượt là $V$ và $V'$ . Khi đó tỉ số $\frac{V}{V'} =$ 1/3

(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Ta có:

Thể tích khối chóp là: $V = \frac{1}{3}B.h$

Thể tích hình lăng trụ là: $V' = B.h$

Khi đó: $\dfrac{V}{V'} =\dfrac{\dfrac{1}{3}B.h}{B.h} = \dfrac{1}{3}$
Câu 16: Thông hiểu
Tính thể tích hình chóp theo a

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ , $SA = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ . Tam giác $SAC$ vuông tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích hình chóp $S.ABCD$ theo $a$ ?
- A.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{6}}{12}$
- B.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{6}}{3}$
- C.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{6}}{4}$
- D.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{6}$
Hình vẽ minh họa

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên AC

Ta có: $SO = \frac{1}{2}AC = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Suy ra tam giác SAO đều

$\Rightarrow SH = \frac{a\sqrt{6}}{4}$

Thể tích khối chóp là: $V = \frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{6}}{4}.a^{2} = \frac{a^{3}\sqrt{6}}{12}$
Câu 17: Vận dụng
Tính khoảng cách d từ O đến mặt phẳng (SBC)

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 1, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 60⁰. Tính khoảng cách d từ O đến mặt phẳng (SBC)
- A.
  $d=\frac{1}{2}$
- B.
  $d=\frac{\sqrt{2}}{2}$
- C.
  $d=\frac{\sqrt{7}}{2}$
- D.
  $d=\frac{\sqrt{42}}{14}$
Hình ảnh minh họa
Gọi O là tâm ABCD => $SO \bot (ABCD)$
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {OB = \dfrac{{BD}}{2} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \\ {OM = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{1}{2}} \end{array}} ight.$
$\begin{matrix} {60^0} = \left( {SB;\left( {ABCD} ight)} ight) = \left( {SB;OB} ight) = \widehat {SBO} \hfill \\ SO = OB.\tan \widehat {SBO} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
Gọi M là trung điểm của BC, kẻ OK vuông góc với SM (1)
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {BC \bot OM} \\ {BC \bot SO} \end{array}} ight. \Rightarrow BC \bot \left( {SOM} ight) \Rightarrow BC \bot OK\left( 2 ight)$
Xét tam giác vuông SOM ta có:
$\begin{matrix} OK = \dfrac{{SO.OM}}{{\sqrt {S{O^2} + O{M^2}} }} = \dfrac{{\sqrt {42} }}{{14}} \hfill \\ \Rightarrow d\left( {O;\left( {SBC} ight)} ight) = OK = \dfrac{{\sqrt {42} }}{{14}} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 18: Nhận biết
Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c. Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A. Nếu a song song với b và c vuông góc với a thì c vuông góc với b
- B. Nếu c vuông góc với a và c vuông góc với b thì a song song với b
- C. Nếu a và b vuông góc với c thì a và b không thể chéo nhau
- D. Cả ba mệnh đề đều sai
Khi cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c thì mệnh đề : “Nếu a song song với b và c vuông góc với a thì c vuông góc với b” là mệnh đề đúng.
Câu 19: Vận dụng cao
Tính cosin của góc α giữa hai đường thẳng AA’ và BM.

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, tam giác A’BC đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC), M là trung điểm cạnh CC’. Tính cosin của góc α giữa hai đường thẳng AA’ và BM.
- A.
  $\cos\alpha =\frac{2\sqrt{22}}{11}$
- B.
  $\cos\alpha =\frac{\sqrt{11}}{11}$
- C.
  $\cos\alpha =\frac{\sqrt{33}}{11}$
- D.
  $\cos\alpha =\frac{\sqrt{22}}{11}$
Hình vẽ minh họa:
Ta có H là trung điểm của BC => AH⊥ (ABC)
Ta có: A’H = AH = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ nên $AA' = \frac{a\sqrt{6}}{2}$
Do AA’ // CC’ nên (AA’; BM) = (CC’; BM)
Ta tính góc $\widehat{BMC}$
Vì M là trung điểm của CC’ nên $CM =\frac{1}{2}CC' = \frac{1}{2}AA' =\frac{a\sqrt{6}}{4}$
Gọi n là giao điểm của A’M và AC. Do CM // AA’, $CM = \frac{1}{2}AA'$
=> CM là đường trung bình của tam giác AA’N => C là trung điểm của AN
Ta có:
A’C = AC = CN => Tam giác AA’N vuông tại A, AN = 2a; $AA' = \frac{a\sqrt{6}}{2} \Rightarrow A'N= \frac{a\sqrt{10}}{2}$
Tương tự xét tam giác ABN vuông tại B, AB = a, AN = 2a => $BN = a\sqrt{3}$
Xét tam giác A’BN có A’B = a, $BN =a\sqrt{3};A'N = \frac{a\sqrt{10}}{2}$
BM là trung tuyến nên
$\begin{matrix}BM^{2} = \dfrac{BN^{2} + A'B^{2}}{2} - \dfrac{A'N^{2}}{4} \hfill\\BM^{2} = \dfrac{3a^{2} + a^{2}}{2} - \dfrac{5a^{2}}{8} = \dfrac{11a^{2}}{8}\hfill\\\Rightarrow BM = \dfrac{a\sqrt{22}}{4} \hfill\\\end{matrix}$
Xét tam giác BMC có $\cos\widehat{BMC} =\frac{BM^{2} + CM^{2} - BC^{2}}{2.BM.CM} =\frac{\sqrt{33}}{11}$
Câu 20: Thông hiểu
Xác định thể tích V của khối chóp

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ . Biết $\left( (SAB);(ABCD) ight) = 90^{0}$ và tam giác $SAB$ đều. Xác định thể tích hình chóp $S.ABCD$ ?
- A.
  $V = \frac{1}{6}a^{3}$
- B.
  $V = \frac{\sqrt{3}}{6}a^{3}$
- C.
  $V = \frac{\sqrt{3}}{2}a^{3}$
- D.
  $V = \frac{1}{2}a^{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của AB

Tam giác SAB đều nên $SH\bot AB$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} SH\bot AB \\ (SAB)\bot(ABCD) \\ SH \subset (SAB) \\ AB = (SAB) \cap (ABCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow SH\bot(ABCD)$

Vậy SH là đường cao của hình chóp

Xét tam giác AHS vuông tại H ta có:

$SH = \sqrt{SA^{2} - AH^{2}} = \sqrt{a^{2} - \left( \frac{a}{2} ight)^{2}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Thể tích khối chóp là: $V = \frac{1}{3}B.h = \frac{1}{3}.a^{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{6}$
Câu 21: Thông hiểu
Số đo góc giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho hình chóp S.ABC có SA = SB và CA = CB. Tính số đo góc giữa hai đường thẳng chéo nhau SC và AB.
- A. 30⁰
- B. 45⁰
- C. 60⁰
- D. 90⁰
Hình vẽ minh họa:
$\begin{matrix} \overrightarrow {SC} \overrightarrow {AB} = - \overrightarrow {CS} .(\overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CA} ) \hfill \\ = \overrightarrow {CS} .\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CS} .\overrightarrow {CB} \hfill \\ = CS.CA.\cos \widehat {SCA} - CS.CB.\cos \widehat {SCB} \hfill \\ = CS.CA.\dfrac{{S{C^2} + C{A^2} - S{A^2}}}{{2SC.CA}} \hfill \\ - CS.CB.\dfrac{{S{C^2} + C{B^2} - S{B^2}}}{{2SC.CB}} \hfill \\ = \frac{{S{C^2} + C{A^2} - S{A^2}}}{2} - \dfrac{{S{C^2} + C{B^2} - S{B^2}}}{2} = 0 \hfill \\ ({\text{Do }}SA = SB{\text{ v\`a }}CA = CB) \Rightarrow SC \bot AB \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 22: Vận dụng
Tìm độ dài cạnh MN

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB = CD = a$ , trung điểm các cạnh $AD,BC$ lần lượt là $M,N$ . Xác định độ dài đoạn thẳng $MN$ để góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $MN$ bằng $30^{0}$ .
- A.
  $MN = \frac{a\sqrt{3}}{2}$
- B.
  $MN = \frac{a}{2}$
- C.
  $MN = \frac{a\sqrt{3}}{3}$
- D.
  $MN = \frac{a\sqrt{2}}{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi P là trung điểm của AC

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}NP//AB \\MP//CD \\NP = NP = \dfrac{a}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow (AB,CD) = (NP,MN)$

$\cos\widehat{MNP} = \frac{MN^{2} + NP^{2} - MP^{2}}{2MN.NP}$

$= \dfrac{MN^{2} + \dfrac{a}{4}^{2} -\dfrac{a}{4}^{2}}{2MN.\dfrac{a}{2}} = \dfrac{MN}{a}$

$(AB,MN) = 30^{0} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \widehat{MNP} = 30^{0} \\ \widehat{MNP} = 150^{0} \\ \end{matrix} ight.$

$\widehat{MNP} = 30^{0} \Rightarrow \frac{MN}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow MN = \frac{a\sqrt{3}}{2}(TM)$

$\widehat{MNP} = 150^{0} \Rightarrow \frac{MN}{a} = - \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow MN = - \frac{a\sqrt{3}}{2}(KTM)$
Câu 23: Nhận biết
Xác định góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa cặp đường thẳng nào sau đây?
- A.
  (SB, SO)
- B.
  (SB, BD)
- C.
  (SB, SA)
- D.
  (SO, BD)
Hình vẽ minh họa:
Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cắt nhau theo giao tuyến SO và cùng vuông góc với đáy nên SO ⊥ (ABCD).
Vậy góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SB và BD.
Câu 24: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng?

Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
- A.
  Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì nằm trong mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.
- B.
  Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
- C.
  Một đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau nếu nó vuông góc với cả hai đường thẳng đó.
- D.
  Các mệnh đề trên đều sai.
Đáp án đúng: “Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.”
Câu 25: Vận dụng
Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = a, AD = 2a, $SA = a\sqrt{2}$ , SA ⊥ (ABCD). Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAD).
- A.
  30⁰
- B.
  45⁰
- C.
  60⁰
- D.
  90⁰
Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm của AD

=> ABCM là hình vuông => CM ⊥ AD

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} CM\bot AC \\ CM\bot SA \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow CM\bot(SAD)$

Suy ra hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (SAD) là SM

$\Rightarrow \left( SC;(SAD) ight) = (SC;SM) = \widehat{CSM}$

=> $\tan\widehat{CSM} = \frac{CM}{SM} = \frac{AB}{\sqrt{SA^{2} + AM^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

=> $\widehat{CSM} = 30^{0}$
Câu 26: Thông hiểu
Tính cosin góc giữa hai đường thẳng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$ cạnh bằng $a$ và $SA = a\sqrt{3}$ vuông góc với đáy. Tính $cosin$ góc giữa $SB;AC$ .
- A.
  $\cos(SB,AC) = \frac{1}{2}$
- B.
  $\cos(SB,AC) = \cos\widehat{HOI} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
- C.
  $\cos(SB,AC) = \frac{\sqrt{2}}{4}$
- D.
  $\cos(SB,AC) = \frac{1}{4}$
Hình vẽ minh hoạ

Gọi I là trung điểm của SD

=> OI là đường trung bình tam giác SBD

Suy ra $\left\{ \begin{matrix}OI//SB \\OI = \dfrac{SB}{2} = \dfrac{\sqrt{SA^{2} + AB^{2}}}{2} = a \\\end{matrix} ight.$

Ta có: $AI = \frac{SD}{2} = \frac{\sqrt{SA^{2} + AD^{2}}}{2} = a$

$\Rightarrow AI = OI$ nên tam giác AOI cân tại I

Gọi H là tung điểm của OA $\Rightarrow\left\{ \begin{matrix}IH\bot OA \\OH = \dfrac{OA}{2} = \dfrac{AC}{4} = \dfrac{a\sqrt{2}}{4} \\\end{matrix} ight.$

Xét tam giác OHI có:

$\cos\widehat{HOI} = \dfrac{OH}{OI} =\dfrac{\dfrac{a\sqrt{2}}{4}}{a} = \dfrac{\sqrt{2}}{4}$

$\cos(SB,AC) = \cos\widehat{HOI} = \frac{\sqrt{2}}{4}$
Câu 27: Vận dụng cao
Tính tan góc tạo bởi SA và mặt phẳng (ABC)

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) là một điểm nằm trên đoạn thẳng BC. Mặt phẳng (SAB) tạo với (SBC) một góc 60⁰ và mặt phẳng (SAC) tạo với (SBC) một góc ϕ thỏa mãn $\cos\phi = \frac{\sqrt{2}}{4}$ . Gọi ϕ là góc tạo bởi SA và mặt phẳng (ABC), tính tan ϕ.
- A.
  $\frac{\sqrt{3}}{3}$
- B.
  $\frac{\sqrt{2}}{2}$
- C.
  $\frac{1}{2}$
- D.
  $\sqrt{3}$
Hình vẽ minh họa:

Dựng hình chữ nhật HNAM, suy ra tam giác HNC vuông cân tại N và tam giác HMB vuông cân tại M, suy ra AC ⊥ (SHN) và AB ⊥ (SHM).

Kẻ HE ⊥ SB và HF ⊥ SC, HP ⊥ SN và HK ⊥ SM, suy ra HP ⊥ (SAC), HK ⊥ (SAB).

Ta có: $\widehat{HFP} = \phi;cos\phi = \frac{\sqrt{2}}{4} \Rightarrow \sin\phi = \sqrt{\frac{7}{8}}$

=> $\widehat{HEP}$ là góc giữa (SAB) và (SBC) bằng 60⁰

Suy ra:

$\begin{matrix} \sin\phi = \frac{HK}{HF} = \frac{SH.MH}{SN}.\frac{SC}{SH.HC} \\ = \frac{SC}{\sqrt{2}SN} = \sqrt{\frac{7}{8}} \\ \end{matrix}$

$\begin{matrix}\sin\widehat{HEK} = \dfrac{HK}{HE} = \dfrac{SH.MH}{SM}.\dfrac{SB}{SH.HB}\hfill \\= \dfrac{SB}{\sqrt{2}SM} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \hfill\\\end{matrix}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{SC^{2}}{SN^{2}} = \dfrac{7}{4} \\\dfrac{SB^{2}}{SM^{2}} = \dfrac{3}{2} \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{SH^{2} + HC^{2}}{SH^{2} + HN^{2}} = \dfrac{SH^{2} + 2NH^{2}}{SH^{2}+ HN^{2}} = \dfrac{7}{4} \\\dfrac{SH^{2} + HB^{2}}{SH^{2} + HM^{2}} = \dfrac{SH^{2} + 2MH^{2}}{SH^{2}+ HM^{2}} = \dfrac{3}{2} \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 3SH^{2} = NH^{2} \\ SH^{2} = MH^{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow MH^{2} + NH^{2} = 4SH^{2}$

Suy ra $AH^{2} = 4SH^{2} \Rightarrow \tan\left( SA;(ABC) ight) = \frac{AH}{SH} = \frac{1}{2}$
Câu 28: Nhận biết
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, tam giác SAB vuông tại A và tam giác SCD vuông tại D. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
- A.
  AC = BD
- B.
  SO ⊥ (ABCD)
- C.
  AB ⊥ (SAD)
- D.
  BC ⊥ AB
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
$\begin{matrix}\widehat{(CD;SA)} = \widehat{(AB;SA)} = 90^{0} \\\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}CD\bot SA \\CD\bot SD \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow CD\bot AD \\\end{matrix}$
=> ABCD là hình chữ nhật, từ đó ta suy ra
AC = BD
AB ⊥ (SAD)
BC ⊥ AB
Đáp án SO ⊥ (ABCD) sai
Nếu SO ⊥ (ABCD) thì $\left\{\begin{matrix}CD\bot SO \\CD\bot SA \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow CD\bot AO$ điều này vô lí
Câu 29: Vận dụng

Điền đáp án vào ô trống

Giả sử $V$ là thể tích khối tứ diện đều $ABCD$ . Trung điểm tất cả các cạnh của tứ diện tạo thành một đa diện có thể tích $V'$ . Tỉ số $\frac{V'}{V} =$ 1/2

(Kết quả được ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Đáp án là:

Giả sử $V$ là thể tích khối tứ diện đều $ABCD$ . Trung điểm tất cả các cạnh của tứ diện tạo thành một đa diện có thể tích $V'$ . Tỉ số $\frac{V'}{V} =$ 1/2

(Kết quả được ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Hình vẽ minh họa

Giả sử tứ diện đều cạnh bằng a

Hình đa diện cần tính có được bằng cách cắt 4 góc tứ diện

Mỗi góc cũng là một tứ diện đều có cạnh bằng $\frac{a}{2}$

Do đó thể tích phần cắt bỏ là $V'' = 4.\frac{V}{8} = \frac{V}{2}$

(Vì tứ diện cạnh giảm một nưả thì thể tích giảm $\left( \frac{1}{2} ight)^{3} = \frac{1}{8}$

Vậy $V' = \frac{V}{2} \Rightarrow \frac{V'}{V} = \frac{1}{2}$
Câu 30: Thông hiểu
Tìm đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ . Đường thẳng nào dưới đây vuông góc với mặt phẳng $(A'BD)$ ?
- A.
  $AC$
- B.
  $B'D'$
- C.
  $A'C'$
- D.
  $AC'$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $AB = AD = AA' = a$ nên $A$ cách đều các điểm $B,D,A'$

$BC' = DC' = C'A' = a\sqrt{2}$ nên $C'$ cách đều các điểm $B,D,A'$

Do đó A; C’ cùng nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $A'BD$

$\Rightarrow AC'\bot(A'BD)$
Câu 31: Vận dụng cao
Tính khoảng cách từ C’ đến mặt phẳng (A’BM)

Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC, AA’ = 2a. M là trung điểm của B’C’. Khi đó khoảng cách từ C’ đến mặt phẳng (A’BM) là.
- A.
  $\frac{a\sqrt{11}}{\sqrt{17}}$
- B.
  $\frac{a\sqrt{3}}{3}$
- C.
  $\frac{a\sqrt{26}}{\sqrt{107}}$
- D.
  $\frac{a}{2}$
Hình vẽ minh họa:
Gọi N là trung điểm của BC, G là trọng tâm tam giác ABC.
Dựng hình chữ nhật AND
Kẻ GI // BC (I ∈ BD), GH ⊥ A’I (H ∈ A’I)
Ta có: C’N // (A’MB) (do C’N // MB)
=> d(C’, (A’BM)) = d(N, (A’BM))
Mà GN // (A’BM) (do GN // A’M)
=> d(N, (A’BM)) = d(G, (A’BM))
=> d(C’, (A’BM)) = d(G,(A’BM))
Ta có: BD // AN, AN // A’M => BD // A’M => A’, M, B, D đồng phẳng.
BD ⊥ GI (do ANBD là hình chữ nhật)
BD ⊥ A’G (do A’G ⊥ (ABC))
=> BD ⊥ (A’GI) => BD ⊥ GH
Mà A’I ⊥ GH => GH ⊥ (A’MB) => d(G, (A’BM)) = GH
Tính GH: ∆ABC đều, cạnh a
=> $AN = \frac{a\sqrt{3}}{2};AG =\frac{2}{3}AN = \frac{a\sqrt{3}}{3}$
Xét tam giác AA’G vuông tại G
=> $A'G = \sqrt{AA'^{2} -AG^{2}}$
$\Rightarrow A'G = \sqrt{4a^{2} -\frac{a^{2}}{3}} = \frac{a\sqrt{33}}{3}$
Ta lại có: GNBI là hình chữ nhật => $GI= NB = \frac{a}{2}$
Xét tam giác A’GI vuông tại G có GH ⊥ A’I
=> $\frac{1}{GH^{2}} = \frac{1}{GI^{2}}+ \frac{1}{A'G^{2}}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{GH^{2}} =\dfrac{1}{\dfrac{a^{2}}{4}} + \dfrac{1}{\dfrac{11a^{2}}{3}} =\dfrac{47}{11a^{2}}$
Suy ra $GH =\sqrt{\frac{11}{47}}a$
$\Rightarrow d\left( C'(A'BM)ight) = \frac{a\sqrt{11}}{\sqrt{47}}$
Câu 32: Nhận biết
Tính khoảng cách

Cho hình chóp $S.ABC$ có đường thẳng $SA$ vuông góc với đáy $(ABC)$ , $SA = 2a$ . Khoảng cách từ điểm $S$ đến đường thẳng $AB$ bằng:
- A.
  $a.$
- B.
  $3a.$
- C.
  $2a.$
- D.
  $\frac{a}{2}.$
Vì $SA$ vuông góc với đáy $(ABC)$ nên $SA\bot AB \Rightarrow d(S,AB) = SA = 2a$
Câu 33: Thông hiểu
Tìm giá trị x thỏa mãn điều kiện

Cho tam giác $ACD$ và tam giác $BCD$ nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và $AC = AD = BC = BD = a;CD = 2a$ . Với giá trị nào của $x$ thì hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(ABD)$ ?
- A.
  $a\sqrt{2}$
- B.
  $\frac{a\sqrt{2}}{2}$
- C.
  $\frac{a\sqrt{3}}{3}$
- D.
  $a\sqrt{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD

Suy ra $CI\bot AB;DI\bot AB$ mà $(ABC) \cap (ABD) = AB$

Do đó $(ABC)\bot(ABD) \Rightarrow \widehat{CID} = 90^{0} \Rightarrow IJ = \frac{1}{2}CD$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} (ACD)\bot(BCD) \\ AJ\bot CD \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AJ\bot(BCD) \Rightarrow AJ\bot JB$

Mặt khác $JA = JB;(\Delta ACD = \Delta BCD)$ nên tam giác $JAB$ vuông cân tại J

Do đó $IJ = \frac{\sqrt{2}}{2}JA = \frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{AC^{2} - JC^{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{a^{2} - x^{2}}$

Vậy $\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{a^{2} - x^{2}} = x \Leftrightarrow a^{2} = 3x^{2} \Leftrightarrow x = \frac{a\sqrt{3}}{3}$
Câu 34: Thông hiểu
Tìm kết quả đúng

Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ có $SA = SB = SC = AB = AC = a$ và $BC = a\sqrt{2}$ . Kết quả nào dưới đây đúng?
- A.
  $(AB;SC) = 60^{0}$
- B.
  $(AB;SC) = 90^{0}$
- C.
  $(AB;SC) = 30^{0}$
- D.
  $(AB;SC) = 45^{0}$
Ta có:

$BC^{2} = AB^{2} + AC^{2}$ suy ra tam giác ABC vuông tại A

=> M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Vì $SA = SB = SC$ nên $SM$ là đường cao của hình chóp $S.ABC$ .

Hình vẽ minh họa

Gọi N, I lần lượt là trung điểm cạnh AC và SB.

Ta có: MN // AB và IM // SC nên $(SC,AB) = (IM,MN)$

Mà $BN = \sqrt{AB^{2} + AN^{2}} = \sqrt{a^{2} + \frac{a^{2}}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$

$SN = \sqrt{SC^{2} - NC^{2}} = \sqrt{a^{2} - \frac{a^{2}}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

$MN = \frac{a}{2};MI = \frac{a}{2}$

Xét tam giác IMN có

$\cos\widehat{NMI} = \dfrac{MN^{2} +IM^{2} - IN^{2}}{2.MN.IM}$ $= \dfrac{\dfrac{a^{2}}{4} + \dfrac{a^{2}}{4} -\dfrac{3a^{2}}{4}}{2.\dfrac{a}{2}.\dfrac{a}{2}} = -\dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow \widehat{NMI} = 120^{0}$

$\Rightarrow (SC,AB) = (IM,MN) = 60^{0}$
Câu 35: Thông hiểu
Chọn khẳng định sai

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ , $SA$ vuông góc với đáy. Gọi $M$ là trung điểm của $AC$ . Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  $BM\bot AC$
- B.
  $(SBM)\bot(SAC)$
- C.
  $(SAB)\bot(SBC)$
- D.
  $(SAB)\bot(SAC)$
Hình vẽ minh họa

Ta có: tam giác ABC vuông cân tại B, BM là đường trung tuyến nên cũng là đường cao.

$\Rightarrow BM\bot SA$

Lại có: $BM\bot SA \Rightarrow BM\bot(SAC) \Rightarrow BM\bot AC$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BM\bot(SAC) \\ BM \subset (SBM) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (SBM)\bot(SAC)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BC\bot AB \\ BC\bot SA \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAB)$

Mà $BC \subset (SBC) \Rightarrow (SAB)\bot(SBC)$
Câu 36: Thông hiểu
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ ; $SA = a;SA\bot(ABCD)$ . Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SC;BD$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $\frac{a\sqrt{6}}{6}$
- B.
  $a\sqrt{6}$
- C.
  $a\sqrt{3}$
- D.
  $a$
Hình vẽ minh họa

Dựng $Cx//BD;(\alpha) = (SC;Cx)$

$\Rightarrow d(BD;SC) = d\left( BD;(\alpha) ight)$

$d\left( BD;(\alpha) ight) = d\left( O;(\alpha) ight) = \frac{1}{2}d\left( A;(\alpha) ight)$

Dựng $AK\bot SC$ . Dễ thấy $AK\bot(\alpha) \Rightarrow d\left( A;(\alpha) ight) = AK$

$\frac{1}{AK^{2}} = \frac{1}{SA^{2}} + \frac{1}{AC^{2}} \Rightarrow AK = \frac{a\sqrt{6}}{3}$

$\Rightarrow d\left( O;(\alpha) ight) = \frac{a\sqrt{6}}{3}$
Câu 37: Vận dụng cao
Giá trị lớn nhất của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ nội tiếp mặt cầu (S) có bán kính $R = \frac{{\sqrt {17} }}{2}$ . Gọi I; J là trung điểm BC, CD và $\alpha$ là góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng (C’IJ). Giá trị lớn nhất của $\sin \alpha$ là
- A. $\frac{3}{5}$
- B. $\frac{{ - 3}}{5}$
- C. $\frac{4}{5}$
- D. $\frac{{ - 4}}{5}$
Đặt $CD = a\,,\,CB = b\,,CC' = c\,\,\,\left( {a,b,c > 0} ight).$
$AC{'^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} = 17.$
Gọi K là hình chiếu của A lên (C’IJ)
$\left( {\widehat {AC',\left( {C;{\text{IJ}}} ight)}} ight) = \left( {\widehat {AC',AK}} ight) = \alpha$
Ta có $\sin \alpha = \frac{{d\left( {A,\left( {C'{\text{IJ}}} ight)} ight)}}{{AC'}} = \frac{{3d\left( {C,\left( {C'{\text{IJ}}} ight)} ight)}}{{\sqrt {17} }}$
Trong (ABCD) kẻ tại E
$\left\{ \begin{gathered} IJ \bot CE \hfill \\ IJ \bot CC\prime \hfill \\ CE \subset \left( {CEC'} ight) \hfill \\ \,CC' \subset \left( {CEC'} ight) \hfill \\ CE \cap CC' = C \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow IJ \bot \left( {CEC'} ight) \Rightarrow \left( {C'IJ} ight) \bot \left( {CEC'} ight)$
Trong (CEC’) kẻ $CH \bot C'E$ tại H
Suy ra $d\left( {C,\left( {C'{\text{IJ}}} ight)} ight) = CH = h$
Do đó $\sin \alpha = \frac{{3h}}{{\sqrt {17} }}$
Ta có:
$\begin{matrix} \dfrac{1}{{{h^2}}} = \dfrac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{4}{{{a^2}}} + \dfrac{4}{{{b^2}}} = \dfrac{1}{{{c^2}}} + 4\left( {\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}}} ight) \geqslant \dfrac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{{16}}{{{a^2} + {b^2}}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{h^2}}} \geqslant \frac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{{16}}{{17 - {c^2}}} = \dfrac{{17 - {c^2} + {c^2}}}{{17{c^2}}} + \dfrac{{16\left( {17 - {c^2} + {c^2}} ight)}}{{17\left( {17 - {c^2}} ight)}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{h^2}}} \geqslant \dfrac{{17 - {c^2}}}{{17{c^2}}} + \dfrac{{16{c^2}}}{{17\left( {17 - {c^2}} ight)}} + 1 \geqslant 2.\dfrac{4}{{17}} + 1 = \dfrac{{25}}{{17}} \Leftrightarrow h \leqslant \dfrac{{\sqrt {17} }}{5}. \hfill \\ \Rightarrow \sin \alpha \leqslant \dfrac{3}{5}. \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy đạt giá trị lớn nhất là $\frac{3}{5}$
Dấu xảy ra khi: $\left\{ \begin{gathered} {a^2} = {b^2} = \frac{{34}}{5} \hfill \\ {c^2} = \frac{{17}}{5} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = b = \sqrt {\frac{{34}}{5}} \hfill \\ c = \sqrt {\frac{{17}}{5}} \hfill \\ \end{gathered} ight.$
Câu 38: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác cân tại $B$ , $SA\bot(ABC)$ . Gọi $I$ là trung điểm của $AC$ , $H$ là hình chiếu của $I$ trên $SC$ . Chọn khẳng định đúng?
- A.
  $(BIH)\bot(SBC)$
- B.
  $(SAC)\bot(SAB)$
- C.
  $(ABC)\bot(SBC)$
- D.
  $(SAC)\bot(SBC)$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BI\bot AC \\ BI\bot SA;\left( SA\bot(ABC) ight) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BI\bot(SAC) \Rightarrow BI\bot SC(1)$

Theo giả thiết ta có: $SC\bot IH(2)$

Từ (1) và (2) suy ra $SC\bot(BHI)$

Mà $SC \subset (SBC)$ nên $(BHI)\bot(SBC)$
Câu 39: Vận dụng
Tính cos ϕ

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh bằng 2a. Hình chiếu của đỉnh A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của cạnh AB. Biết góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 60◦. Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (BCC’B’) và (ABC). Tính cos ϕ.
- A.
  $\cos\phi = \frac{\sqrt{5}}{5}$
- B.
  $\cos\phi = \frac{\sqrt{3}}{3}$
- C.
  $\cos\phi = \frac{\sqrt{17}}{17}$
- D.
  $\cos\phi = \sqrt{\frac{16}{17}}$
Hình ảnh minh họa:

Gọi M là trung điểm của BC, suy ra $AM = a\sqrt 3$

Gọi K là điểm đối xứng của H qua B, suy ra B’K // A’H, suy ra B’K ⊥ (ABC).

Trong (ABC), dựng BI ⊥ BC (với I ∈ BC).

Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng (BCC’B’) và (ABC) là góc KIB’.

Do tứ giác AHKB’ là hình bình hành nên B’K = A’H = AH . tan 60◦ = $a\sqrt{3}$

Ta có: KI = d(H, BC) = d(A,BC)/2 = AM/2 = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Xét ∆B’IK vuông tại K ta có:

$\begin{matrix}B'I = \sqrt{B'K^{2} + KI^{2}} = \dfrac{a\sqrt{15}}{2} \hfill\\\cos\phi = \cos\widehat{KIB'} =\dfrac{a\sqrt{3}}{2}:\dfrac{a\sqrt{15}}{2} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}\hfill \\\end{matrix}$
Câu 40: Thông hiểu
Tính thể tích khối lăng trụ đứng

Khối lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại A. Biết $AB = 2a$ và góc giữa đường thẳng $BC'$ và mặt phẳng $(ACC'A')$ bằng $30^{0}$ . Tính thể tích khối lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ .
- A.
  $4\sqrt{2}a^{3}$
- B.
  $2\sqrt{2}a^{3}$
- C.
  $2a^{3}$
- D.
  $4a^{3}$
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} AB\bot AC \\ AB\bot AA' \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AB\bot(ACC'A')$

Suy ra $\left( BC';(ACC'A') ight) = (BC';AC') = \widehat{AC'B} = 30^{0}$

Ta có: $AC' = \frac{AB}{tan30^{0}} = 2\sqrt{3}a$

$\Rightarrow AA' = \sqrt{12a^{2} - 4a^{2}} = 2\sqrt{2}a$

Vậy $V_{ABC.A'B'C'} = AA'.S_{ABC} = 2\sqrt{2}a.\frac{1}{2}.2a.2a = 4\sqrt{2}a^{3}$

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

24 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 Chân trời sáng tạo
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân
Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số ghép số liệu nhóm
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Đạo hàm
Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 9: Xác suất

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 11 Chân trời sáng tạo

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân

Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian

Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số ghép số liệu nhóm

Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 7: Đạo hàm

Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian

Chương 9: Xác suất