VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 CTST Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay

Câu 1: Thông hiểu
Tính số đo góc giữa hai đường thẳng

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $a$ . Gọi $I;J$ lần lượt là trung điểm của $SC;BC$ . Tính số đo góc giữa hai đường thẳng $JI$ và $CD$ ?
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hình vẽ minh họa
Từ giả thiết ta có: $JI//AB$ (do IJ là đường trung bình tam giác SAB)
$\Rightarrow (IJ;CD) =(SB;AB)$
Mặt khác ta lại có tam giác SAB đều nên $\widehat{SBA} = 60^{0}$
$\Rightarrow (SB;AB) = 60^{0} \Rightarrow(IJ;CD) = 60^{0}$
Câu 2: Thông hiểu
Tìm khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 3a. Cạnh bên SA vuông góc với (ABCD), góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD) bằng 30◦ . Tìm khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
- A.
  $\frac{3a\sqrt{5}}{5}$
- B.
  $a\sqrt{3}$
- C.
  $\frac{3a\sqrt{3}}{2}$
- D.
  $\frac{3a}{2}$
Ta có:

Gọi H là chân đường cao lên cạnh SB. Khi đó, ta có

d(A, (SBC)) = AH. sin 30◦ => AH = AB . sin 30◦ = $\frac{3a}{2}$
Câu 3: Nhận biết
Tìm khẳng định sai

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA ⊥ (ABCD). Gọi I là trung điểm của SC. Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABCD) bằng độ dài đoạn thẳng nào?
- A.
  IO
- B.
  IA
- C.
  IC
- D.
  IB
Hình vẽ minh họa:

Do I là trung điểm của SC và O là trung điểm AC nên IO ∥ SA. Do SA ⊥ (ABCD) nên IO ⊥ (ABCD), hay khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABCD) bằng độ dài đoạn thẳng IO
Câu 4: Thông hiểu
Tính thể tích khối chóp tam giác

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ . Hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng đáy là trung điểm $H$ của $BC$ . Tính thể tích khối chóp $S.ABC$ biết $AB = a;AC = a\sqrt{3};SB = a\sqrt{2}$ .
- A.
  $V = \frac{\sqrt{3}a^{3}}{2}$
- B.
  $V = \frac{\sqrt{6}a^{3}}{2}$
- C.
  $V = \frac{\sqrt{3}a^{3}}{6}$
- D.
  $V = \frac{\sqrt{6}a^{3}}{6}$
Hình vẽ minh họa

Xét tam giác ABC vuông tại C ta có: $BC = \sqrt{AB^{2} + AC^{2}} = \sqrt{a^{2} + \left( a\sqrt{3} ight)^{2}} = 2a$

H là trung điểm của BC nên $BH = a$

Xét tam giác SBH vuông tại H có $SH = \sqrt{SB^{2} - HB^{2}} = \sqrt{\left( a\sqrt{2} ight)^{2} - a^{2}} = a$

Diện tích đáy ABC là $S_{ABC} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}a^{2}\sqrt{3}$

Thể tích khối chóp là $V = \frac{1}{3}SH.S_{ABC} = \frac{1}{3}.a.\frac{1}{2}a^{2}\sqrt{3} = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{6}$
Câu 5: Thông hiểu
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ ; $SA\bot(ABCD);SA = a\sqrt{2}$ . Tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau $AC$ và $SB$ bằng:
- A.
  $\frac{a\sqrt{10}}{5}$
- B.
  $\frac{3a}{2}$
- C.
  $\frac{2a}{3}$
- D.
  $a$
Hình vẽ minh họa

Kẻ đường thẳng d qua B và song song AC

Gọi M là hình chiếu vuông góc của A lên d

Gọi H là hình chiếu của A lên SM.

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} SA\bot BM \\ BM\bot AM \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BM\bot(SAM) \Rightarrow AH\bot(SBM)$

$\Rightarrow d(AC;SB) = d\left( A;(SBM) ight) = AH$

Xét tam giác SAM có đường cao AH nên

$\frac{1}{AH^{2}} = \frac{1}{AS^{2}} + \frac{1}{AM^{2}} = \frac{5}{2a^{2}}$

$\Rightarrow AH = \frac{a\sqrt{10}}{5}$
Câu 6: Nhận biết
Tính thể tích khối hộp chữ nhật

Thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước là $2;3;5$ bằng:
- A.
  $42$
- B.
  $30$
- C.
  $60$
- D.
  $15$
Thể tích cần tìm là: $V = 2.3.5 = 30$
Câu 7: Thông hiểu
Chọn mệnh đề sai

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA ⊥ (ABC), H là chân đường cao kẻ từ A của tam giác SAB. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?
- A.
  SA ⊥ BC
- B.
  BC ⊥ AH
- C.
  AC ⊥ AH
- D.
  AH ⊥ SC
Hình vẽ minh họa:

Ta có: SA ⊥ (ABC) mà BC thuộc (ABC)

=> SA ⊥ BC

Xét tam giác ABC vuông tại B ta có:

AB ⊥ BC

=> BC ⊥ (SAB) => BC ⊥ AH

Khi đó: AH ⊥ SB, AH ⊥ BC => AH ⊥ (SBC) => AH ⊥ SC

Nếu có: AH ⊥ AC trong khi SA ⊥ AC thì AC ⊥ (SAB)

=> AC ⊥ AB (vô lí)
Câu 8: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA = SB$ và $AC = CB$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $BC\bot(SAC)$
- B.
  $SB\bot AB$
- C.
  $SA\bot(ABC)$
- D.
  $AB\bot SC$
Hình vẽ minh họa

Gọi I là trung điểm của AB.

Xét tam giác SAB có SA = SB => $SI\bot AB(*)$

Xét tam giác CAB có: $AC = CB$ => $CI\bot AB(**)$

Từ (1) và (2) suy ra $AB\bot(SIC) \Rightarrow AB\bot SC$ .
Câu 9: Thông hiểu
Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SAB)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a ; AD = 2a, $SA \bot \left( {ABCD} ight);SA = a\sqrt 2$ . Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SAB).
- A. 30⁰
- B. 45⁰
- C. 90⁰
- D. 60⁰
Gọi M là trung điểm của AD.
Xét tứ giác ABCM có: AM // BC, AM = AB = BC = a, $\widehat {MAB} = {90^0}$
Suy ra ABCM là hình vuông => MC = AB = a
Xét tam giác ACD có AM là trung tuyến và $CM = \frac{1}{2}AD = a$
Suy ra ACD vuông tại C => AC ⊥ CD
Trong (SAC), dựng AH ⊥ SC
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {CD \bot AC} \\ {CD \bot SA} \\ {SA \cap AC = A} \\ {SA;AC \subset \left( {SAC} ight)} \end{array}} ight. \Rightarrow CD \bot \left( {SAC} ight)$ mà AH ⊂ (SAC) suy ra CD ⊥ AH.
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {AH \bot CD} \\ {AH \bot SC} \\ {CD \cap SC = C} \\ {CD;SC \subset \left( {SCD} ight)} \end{array}} ight. \Rightarrow AH \bot \left( {SCD} ight)\left( 1 ight)$
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {AD \bot SA} \\ {AD \bot AB} \\ {SA \cap AB = A} \\ {SA;AB \subset \left( {SAB} ight)} \end{array}} ight. \Rightarrow AD \bot \left( {SAB} ight)\left( 2 ight)$
Từ (1) và (2) suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là góc giữa hai đường thẳng AH và AD.
Xét tam giác ABC vuông tại B có: $AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = a\sqrt 2$
Xét tam giác SAC vuông tại A có: $SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = 2a$
Xét tam giác SAC vuông tại A và $SA = AC = a\sqrt 2$ nên SAC vuông cân tại A.
Suy ra H là trung điểm SC và $AH = \frac{1}{2}SC = a$
Xét tam giác AHD vuông tại H (vì AH ⊥ (SCD)).
Ta có: $\cos \widehat {HAD} = \frac{{AH}}{{AD}} = \frac{a}{{2a}} = \frac{1}{2}$ suy ra $\widehat {DAH} = {60^0}$
Vậy $\left( {\widehat {\left( {SCD} ight);\left( {SAB} ight)}} ight) = {60^0}$
Câu 10: Thông hiểu

Xác định tính đúng sai của các kết luận

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB, SC. Giả sử HK cắt BC tại D. Khi đó:

a) $\widehat{(AC;AD)} = 90^{0}$ Đúng||Sai

b) $AH\bot(SBC)$ Đúng||Sai

c) $\widehat{(SC;HK)} = 90^{0}$ Đúng||Sai

d) Tam giác SBC cân tại B. Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB, SC. Giả sử HK cắt BC tại D. Khi đó:

a) $\widehat{(AC;AD)} = 90^{0}$ Đúng||Sai

b) $AH\bot(SBC)$ Đúng||Sai

c) $\widehat{(SC;HK)} = 90^{0}$ Đúng||Sai

d) Tam giác SBC cân tại B. Sai||Đúng

$\widehat{(AC;AD)} = 90^{0}$ đúng

$AH\bot(SBC)$ đúng

$\widehat{(SC;HK)} = 90^{0}$ đúng

Tam giác SBC cân tại B. sai
Câu 11: Thông hiểu
Xác định thể tích khối hộp chữ nhật

Cho khối hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy là hình vuông, đường chéo $BD = 4a$ . Biết góc giữa hai mặt phẳng $(A'BD)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $60^{0}$ . Khi đó thể tích hình hộp chữ nhật bằng bao nhiêu?
- A.
  $V = 48\sqrt{3}a^{3}$
- B.
  $V = \frac{16\sqrt{3}}{9}a^{3}$
- C.
  $V = \frac{16\sqrt{3}}{3}a^{3}$
- D.
  $V = 16\sqrt{3}a^{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi góc giữa mặt phẳng $(A'BD)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là $\alpha$ và $O = AC \cap BD$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AO\bot BD \\ AA'\bot BD \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A'O\bot BD$

$\Rightarrow \alpha = (AO;A'O) = \widehat{AOA'} = 60^{0}$

Ta có ABCD là hình vuông, BD = 4a nên $AB = AD = 2a\sqrt{2}$

Ta có: $AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD = 2a$

Xét tam giác AOA’ có $AA' = AO.tan60^{0} = 2a\sqrt{3}$

$\Rightarrow V_{ABCD.A'B'C'D'} = AA'.S_{ABCD} = 2a\sqrt{3}.8a^{2} = 16a^{3}\sqrt{3}$
Câu 12: Thông hiểu

Ghi đáp án vào ô trống

Một tấm ván hình chữ nhật $ABCD$ được dùng làm mặt phẳng nghiêng để kéo một vật lên khỏi hố sâu $2\ m$ . Cho biết $AB = 1\ m$ , $AD = 3,5\ m$ . Tính góc giữa đường thẳng $BD$ và đáy hố. (Kết quả làm tròn đến độ).

Đáp án : 33 $\ ^{0}$

Đáp án là:

Một tấm ván hình chữ nhật $ABCD$ được dùng làm mặt phẳng nghiêng để kéo một vật lên khỏi hố sâu $2\ m$ . Cho biết $AB = 1\ m$ , $AD = 3,5\ m$ . Tính góc giữa đường thẳng $BD$ và đáy hố. (Kết quả làm tròn đến độ).

Đáp án : 33 $\ ^{0}$

Gọi $H$ , $K$ lần lượt là hình chiếu của $C$ , $D$ lên đáy hố là mặt phẳng $(AKHB)$ .

Khi đó $BD$ có hình chiếu lên đáy là $KB$ , suy ra

$\left( BD,(AKHB) ight) = (BD,BK) = \widehat{DBK}$ .

Với độ sâu hố là $DK = CH = 2$ (m), ta có

$AK = \sqrt{AD^{2} - DK^{2}} = \frac{\sqrt{33}}{2}$ .

$KB = \sqrt{AK^{2} + AB^{2}} = \frac{\sqrt{37}}{2}$ .

$\tan DBK = \frac{DK}{KB} = \frac{4\sqrt{37}}{37}$

$\Rightarrow \widehat{DBK} \approx 33{^\circ}$ .
Câu 13: Nhận biết
Chọn mệnh đề sai

Cho hai đường thẳng $a,b$ và mặt phẳng $(Q)$ . Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề dưới đây?
- A.
  Nếu $a//(Q),b\bot(Q)$ thì $a\bot b$ .
- B.
  Nếu $a \subset (Q),b\bot(Q)$ thì $a\bot b$ .
- C.
  Nếu $a\bot(Q),b\bot a$ thì $b//(Q)$ hoặc $b \subset (Q)$ .
- D.
  Nếu $a//(Q),b\bot a$ thì $b\bot(Q)$ .
Mệnh đề: “Nếu $a//(Q),b\bot a$ thì $b\bot(Q)$ .” Sai vì đường thẳng b có thể nằm trong mặt phẳng (Q).
Câu 14: Thông hiểu
Tìm kết luận sai

Cho tứ diện $OABC$ có $OA;OB;OC$ đôi một vuông góc. Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ . Kết luận nào sai?
- A.
  $AB\bot OC$
- B.
  $OH\bot(ABC)$
- C.
  $OH\bot BC$
- D.
  $OH\bot OA$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} OA\bot OC \\ OB\bot OC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow OC\bot(OAB) \Rightarrow OC\bot AB$ đúng

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BC\bot AH \\ BC\bot OA \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(OAH) \Rightarrow BC\bot OH$ đúng

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AB\bot CH \\ AB\bot OC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AB\bot(OCH) \Rightarrow AB\bot OH$

Mà $BC\bot OH \Rightarrow OH\bot(ABC)$ đúng

Vậy $OH\bot OA$ hay tam giác HOA vuông tại H sai
Câu 15: Vận dụng
Tính diện tích tứ giác

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng a (hình hộp như thế gọi là hình hộp thoi) và $\widehat {ABC} = \widehat {B'BA} = \widehat {B'BC} = {60^0}$ . Tính diện tích tứ giác A’B’CD.
- A. ${a^2}$
- B. ${a^2}\sqrt 2$
- C. $\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{3}$
- D. $2{a^2}$
Hình vẽ minh họa:
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {A'B'//C'D} \\ {A'B' = C'D'} \end{array}} ight.;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {CD//C'D'} \\ {CD = C'D'} \end{array}} ight.$
=> A’B’ // CD và A’B’ = CD
=> Tứ giác A’B’CD là hình bình hành
Ngoài ra B’C = a = CD
=> => Tứ giác A’B’CD là hình thoi
Ta sẽ chứng minh tứ giác A’B’CD là hình vuông.
Ta có:
$\begin{matrix} \overrightarrow {CB'} .\overrightarrow {CD} = \left( {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BB'} } ight).\overrightarrow {BA} \hfill \\ = \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {BA} \hfill \\ = \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BA} \hfill \\ = a.a.\cos {60^0} - a.a.\cos {60^0} = 0 \hfill \\ \Rightarrow CB' \bot CD \hfill \\ \end{matrix}$
=> Tứ giác A’B’CD là hình vuông.
Diện tích hình vuông đó là a²
Câu 16: Vận dụng cao
Tính sin của góc tạo bởi hai mặt phẳng

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có tâm O. Gọi I là tâm của hình vuông A’B’C’D’ và điểm M thuộc đoạn OI sao cho MO = 2MI (tham khảo hình vẽ). Khi đó sin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (MC’D’) và (MAB) bằng:
- A.
  $\frac{6\sqrt{13}}{65}$
- B.
  $\frac{7\sqrt{85}}{85}$
- C.
  $\frac{17\sqrt{13}}{65}$
- D.
  $\frac{6\sqrt{85}}{85}$
Hình ảnh minh họa:

Do AB // C’D’ nên giao tuyến của (MAB) và (MC’D’) là đường thẳng ∆ // AB // C’D’.

Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của D’C’ và AB ta có:

$\left\{ \begin{matrix} MP\bot C’D’ \\ MQ\bot AB \\ \end{matrix} ight.$ => MP ⊥ ∆, MQ ⊥ ∆.

Như vậy góc giữa (MAB) và (MC0’’) là góc giữa MP và MQ.

Không mất tính tổng quát, ta cho cạnh hình lập phương là 6.

Khi đó $\left\{ \begin{matrix} MP = \sqrt{IM^{2} + IP^{2}} = \sqrt{10} \\ MQ = \sqrt{34};PQ = 6\sqrt{2} \\ \end{matrix} ight.$

Áp dụng định lí cosin cho tam giác MPQ ta được:

$\cos\widehat{PMQ} = \frac{MP^{2} + MQ^{2} - PQ^{2}}{2MP.MQ} = - \frac{14}{\sqrt{340}}$

Góc α là góc giữa hai mặt phẳng (MC’D’) và (MAB) ta có:

$\cos\alpha = \frac{14}{\sqrt{340}} = \frac{7\sqrt{85}}{85} \Rightarrow \sin\alpha = \frac{6\sqrt{85}}{85}$
Câu 17: Nhận biết
Hoàn thành mệnh đề

Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi
- A.
  có hai đường thẳng vuông góc với nhau và lần lượt nằm trong hai mặt phẳng đó.
- B.
  có một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với mặt phẳng kia.
- C.
  mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này đều vuông góc với mặt phẳng kia.
- D.
  góc lớn nhất giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng đó là góc vuông.
Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi có một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với mặt phẳng kia.
Câu 18: Nhận biết
Chọn mệnh đề sai

Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy (ABC). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB (tham khảo hình vẽ bên). Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  AH ⊥ SC
- B.
  Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) là góc ASC
- C.
  BC ⊥ (SAB)
- D.
  Các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông
Ta có: SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ BC
Mặt khác BC ⊥ AB
Suy ra BC ⊥ (SAB) nên hình chiếu vuông góc của SC trên (SAB) là SB
Vậy $\widehat{\left( SC,(SAB) ight)} =\widehat{(SC,SB)} = \widehat{BSC\ }$ (vì tam giác SBC vuông tại B)
Câu 19: Vận dụng
Tính tổng khoảng cách

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng $a\sqrt{3}$ . Gọi O là tâm của đáy ABC, d₁ là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) và d₂ là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC). Tính d = d₁ + d₂.
- A.
  $d =\frac{2a\sqrt{22}}{11}$
- B.
  $d =\frac{2a\sqrt{22}}{33}$
- C.
  $d =\frac{8a\sqrt{22}}{33}$
- D.
  $a =\frac{8a\sqrt{22}}{11}$
Hình vẽ minh họa:
Gọi M là trung điểm BC.
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}BC\bot SO \\BC\bot AM \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAM)$
$\Rightarrow (SAM)\bot(SBC)$
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của O và A lên SM => $\left\{ \begin{matrix}d_{1} = AK \\d_{2} = OH \\\end{matrix} ight.$
Ta có: $\frac{d_{1}}{d_{2}} =\frac{AK}{OH} = \frac{AM}{OM} = 3$
$\Rightarrow d_{1} = 3d_{2} \Rightarrow d= 4d_{2} = 4OH$
Ta có: $SO^{2} = SA^{2} - AO^{2} = 3a^{2}- \frac{a^{2}}{3} = \frac{8a^{2}}{3}$
Xét tam giác SOM có:
$\frac{1}{OH^{2}} = \frac{1}{SO^{2}} +\frac{1}{OM^{2}}$
$\Rightarrow \frac{1}{OH^{2}} =\frac{3}{8a^{2}} + \frac{12}{a^{2}} = \frac{99}{8a^{2}}$
Vậy $OH = \frac{2a\sqrt{22}}{33}\Rightarrow d = 4OH = \frac{8a\sqrt{22}}{33}$
Câu 20: Vận dụng
Thiết diện tạo bởi (α) là hình gì

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, đáy lớn AB; cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi Q là điểm trên cạnh SA và Q ≠ A, Q ≠ S; M là điểm trên đoạn AD và M ≠ A. Mặt phẳng (α) qua QM và vuông góc với mặt phẳng (SAD). Thiết diện tạo bởi (α) với hình chóp đã cho là
- A.
  tam giác
- B.
  hình thang cân
- C.
  hình thang vuông
- D.
  hình bình hành
Hình vẽ minh họa:

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AB\bot AD \\ AB\bot SA \\ \end{matrix} ight.$ => AB ⊥ (SAD)

Mà (α) ⊥ (SAD) suy ra AB// (α).

Qua M kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại N.

Qua E kẻ đường thẳng song song với AB cắt SB tại P.

Khi đó thiết diện là hình thang MNPQ (do MN // P Q).

Vì AB ⊥ (SAD) suy ra MN ⊥ (SAD) nên MN ⊥ QM.

Do đó thiết diện MNPQ là hình thang vuông tại Q và M
Câu 21: Thông hiểu
Xác định góc giữa hai mặt phẳng

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\bot(ABC)$ , đáy $ABC$ là tam giác cân tại $A$ . Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ , $J$ là trung điểm của $BM$ . Xác định góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ ?
- A.
  $\widehat{SMA}$
- B.
  $\widehat{SJA}$
- C.
  $\widehat{SBA}$
- D.
  $\widehat{SCA}$
Hình vẽ minh họa

Dễ thấy $(SBC) \cap (ABC) = BC$

Ta có tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC suy ra $AM\bot BC$

Theo giả thiết $SA\bot(ABC)$ . Khi đó $\left\{ \begin{matrix} BC\bot AM \\ BC\bot SA \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAM) \Rightarrow BC\bot SM$

Ta được $\left\{ \begin{matrix} (SBC) \cap (ABC) = BC \\ AM\bot BC \\ SM\bot BC \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left( \widehat{(SBC);(ABC)} ight) = \widehat{SMA}$
Câu 22: Thông hiểu
Tính khoảng cách

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có các cạnh bằng $1$ . Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(ABB')$ và $(CC'D')$ .
- A.
  $1$ .
- B.
  $2$ .
- C.
  $\sqrt{2}$ .
- D.
  $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .
Hình vẽ minh họa

Vì $ABCD.A'B'C'D'$ là hình lập phương nên $(ABB')//(CC'D')$ và $BC\bot(ABB'A')$ .

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(ABB')$ và $(CC'D')$

$d\left( (ABB'),(CC'D') ight) = d\left( C,(ABB'A') ight) = CB = 1$
Câu 23: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh bằng $a$ , $M$ là trung điểm của cạnh $BC$ . Xác định góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $DM$ ?
- A.
  $\arccos\frac{3\sqrt{3}}{8}$
- B.
  $\arccos\frac{\sqrt{3}}{6}$
- C.
  $\arccos\frac{2\sqrt{3}}{5}$
- D.
  $\arccos\frac{\sqrt{5}}{8}$
Hình vẽ minh họa

Gọi N là trung điểm của AC thì MN // AB

Suy ra $(AB,DM) = (MN,DM)$

Ta có: $\cos\widehat{DMN} = \frac{MN^{2} + DM^{2} - DN^{2}}{2MN.DM}$

$= \dfrac{\left( \dfrac{a}{2} ight)^{2} +\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} ight)^{2} - \left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2}ight)^{2}}{2\left( \dfrac{a}{2} ight).\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2}ight)} = \dfrac{\sqrt{3}}{6}$

$\cos\widehat{DMN} = \frac{\sqrt{3}}{6} \Rightarrow (AB;DM) = \arccos\frac{\sqrt{3}}{6}$
Câu 24: Thông hiểu
Xác định góc giữa mặt phẳng (BCD) và mặt phẳng (ACD)

Cho tứ diện ABCD với các đường thẳng AB, AC, AD đôi một vuông góc, H là trực tâm tam giác BCD. Góc giữa mặt phẳng (BCD) và mặt phẳng (ACD) bằng góc nào trong các góc sau đây?
- A.
  $\widehat{ACB}$
- B.
  $\widehat{ADB}$
- C.
  $\widehat{ABH}$
- D.
  $\widehat{BAH}$
Dễ thấy rằng BA⊥(ACD), AH⊥(BCD), suy ra góc giữa mặt phẳng (BCD) và mặt phẳng (ACD) bằng góc giữa hai đường thẳng BA và AH, tức là bằng góc $\widehat{BAH}$
Câu 25: Nhận biết
Tìm khẳng định đúng

Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
- A.
  Trong không gian hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
- B.
  Trong không gian hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
- C.
  Trong không gian hai mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
- D.
  Trong không gian hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau.
Ta có:

“Trong không gian hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau” sai do hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

“Trong không gian hai mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau” sai do hai mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng có thể trùng nhau.

“Trong không gian hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau” sai do trong không gian hai đường thẳng không có điểm chung có thể chéo nhau.

Vậy khẳng định đúng là: “Trong không gian hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.”
Câu 26: Vận dụng cao
Tính giá trị cos α

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; SAB là tam giác cân tại S; AD = 3BC = 3AB = 3a. Gọi M là điểm thuộc đoạn AD sao cho AD = 3MD. Biết rằng SCM là tam giác đều. Gọi α là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD). Khi đó cos α nhận giá trị là
- A. $\frac{{2\sqrt 7 }}{7}$
- B. $\frac{{\sqrt {21} }}{7}$
- C. $\frac{{\sqrt {42} }}{{14}}$
- D. $\frac{{\sqrt {154} }}{{14}}$
Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.
Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a
=> MD = a; AM = 2a
Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.
Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và $HK = \frac{{3a}}{2}$
Ta có: $\left\{ \begin{gathered} AB \bot SK \hfill \\ AB \bot HK \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow AB \bot SH$ (1)
Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)
Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)
Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.
Suy ra $HM = HN = \frac{1}{2}CM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$ và $HM \bot HN$
Tam giác SCM đều cạnh bằng $a\sqrt 2$ nên $SH = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$
Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).
Ta có: $\frac{1}{{{d^2}}} = \frac{1}{{H{M^2}}} + \frac{1}{{H{N^2}}} + \frac{1}{{H{S^2}}}$
$= \frac{4}{{2{a^2}}} + \frac{4}{{2{a^2}}} + \frac{4}{{6{a^2}}} = \frac{{14}}{{3{a^2}}} \Rightarrow d = \frac{{a\sqrt {42} }}{{14}}$
Ta lại có:
$SB = \sqrt {S{H^2} + B{H^2}} = \sqrt {S{H^2} + B{K^2} + K{H^2}}$
$= \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{2} + \frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{9{a^2}}}{4}} = 2a$
Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)
Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc $\widehat {BSI} = \alpha$
Do BC // AD => BC //(SAD)
=> $BI = d\left( {B;\left( {SAD} ight)} ight) = d\left( {C;\left( {SAD} ight)} ight) = 2d\left( {H,\left( {SAD} ight)} ight) = \frac{{a\sqrt {42} }}{7}$
Trong tam giác vuông BIS ta có:
$\sin \alpha = \frac{{BI}}{{SB}} = \frac{{\sqrt {42} }}{{14}} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\sqrt {154} }}{{14}}$
Câu 27: Nhận biết
Tính khoảng cách

Cho hình chóp $S.ABC$ có đường thẳng $SA$ vuông góc với đáy $(ABC)$ , $SA = 2a$ . Khoảng cách từ điểm $S$ đến đường thẳng $AB$ bằng:
- A.
  $a.$
- B.
  $3a.$
- C.
  $2a.$
- D.
  $\frac{a}{2}.$
Vì $SA$ vuông góc với đáy $(ABC)$ nên $SA\bot AB \Rightarrow d(S,AB) = SA = 2a$
Câu 28: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ , $SA\bot(ABCD);SA = a\sqrt{2}$ . Xác định thể tích $S.ABCD$ ?
- A.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{6}$
- B.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{3}$
- C.
  $V = a^{3}\sqrt{2}$
- D.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{2}$
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$S_{ABCD} = a^{2} \Rightarrow V_{S.ABCD} = \frac{1}{3}SA.S_{ABCD} = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{3}$
Câu 29: Thông hiểu
Tính thể tích khối lăng trụ

Cho một khối lăng trụ đứng như hình vẽ:

Biết đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh bằng a, $CC' = 4a;BD = a\sqrt{3}$ . Tính thể tích $V$ của lăng trụ đứng đã cho?
- A.
  $V = 2a^{3}\sqrt{3}$
- B.
  $V = 4a^{3}\sqrt{3}$
- C.
  $V = \frac{2a^{3}\sqrt{3}}{3}$
- D.
  $V = \frac{4a^{3}\sqrt{3}}{3}$
Kí hiệu hình vẽ như sau:

Gọi giao điểm của AC và BD là I

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}AC\bot BD \\BI = \dfrac{BD}{2} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \\\end{matrix} ight.$

Xét tam giác vuông BAI vuông tại I ta có:

$AI^{2} = BA^{2} - BI^{2} = a^{2} - \left( \frac{a\sqrt{3}}{2} ight)^{2} = \frac{a^{2}}{4}$

$\Rightarrow AI = \frac{a}{2} \Rightarrow AC = a$

Diện tích hình bình hành ABCD là:

$S_{ABCD} = 2S_{ABC} = 2.\frac{1}{2}.BI.AC$

$= 2.\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.a = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}$

Vậy $V_{ABCD.A'B'C'D'} = S_{ABCD}.CC' = 2a^{3}\sqrt{3}$
Câu 30: Vận dụng cao

Ghi lời giải bài toán vào ô trống

Cho hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng $2$ . Gọi điểm M là điểm nằm trên cạnh $AA'$ sao cho mặt phẳng $(C'MB)$ tạo với mặt phẳng $(ABC)$ một góc nhỏ nhất. Khi đó diện tích tam giác $C'MB$ có dạng $\frac{a\sqrt{b}}{c};\left( a,b,c\mathbb{\in N}ight)$ . Tính giá trị của biểu thức $T = a + b - c$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng $2$ . Gọi điểm M là điểm nằm trên cạnh $AA'$ sao cho mặt phẳng $(C'MB)$ tạo với mặt phẳng $(ABC)$ một góc nhỏ nhất. Khi đó diện tích tam giác $C'MB$ có dạng $\frac{a\sqrt{b}}{c};\left( a,b,c\mathbb{\in N}ight)$ . Tính giá trị của biểu thức $T = a + b - c$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 31: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm O cạnh bằng $a$ ; $\widehat{ABC} = 60^{0}$ . Biết $SO\bot(ABCD);SO = a\sqrt{3}$ . Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(SAC)$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\alpha \in \left( 53^{0};61^{0} ight)$
- B.
  $\alpha \in \left( 62^{0};66^{0} ight)$
- C.
  $\alpha \in \left( 27^{0};33^{0} ight)$
- D.
  $\alpha \in \left( 25^{0};27^{0} ight)$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BD\bot AC \\ BD\bot SO \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BD\bot(SAC)$

$\Rightarrow (SBD)\bot(SAC)$

Mà $(SBD) \cap (SAC) = SO$

$\Rightarrow \left( SB;(SAC) ight) = (SB;SO) = \widehat{BSO}$

Ta có: $\tan\widehat{BSO} = \frac{SB}{SO} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow \widehat{BSO} = \arctan\frac{1}{2} = \alpha$

Vậy $\alpha \in \left( 25^{0};27^{0} ight)$
Câu 32: Vận dụng
Tính thể tích tứ diện

Cho tứ diện $ABCD$ có các cạnh $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc với nhau. Gọi trung điểm của các cạnh $BC,CD,DB$ lần lượt là $J;Q;K$ . Tính thể tích tứ diện $AJQK$ , biết $AB = 6cm;AC = 7cm;AD = 4cm$ .
- A.
  $V = 7cm^{3}$
- B.
  $V = 14cm^{3}$
- C.
  $V =\frac{28}{3}cm^{3}$
- D.
  $V =\frac{7}{2}cm^{3}$
Hình vẽ minh họa
Ta có: $V_{ABCD} =\frac{1}{2}AB.\frac{1}{2}AD.AC = \frac{1}{2}.6.7.4 = 28\left( cm^{3}ight)$
Nhận thấy $S_{JQK} = \frac{1}{2}S_{JQKD} =\frac{1}{4}S_{BCD}$
$V_{JQK} = \frac{1}{4}V_{ABCD} = 7\left(cm^{3} ight)$
Câu 33: Vận dụng
Góc giữa đường thẳng SB với mặt phẳng (SAC)

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng $a\sqrt 2$ và cạnh bên bằng 2a. Góc giữa đường thẳng SB với mặt phẳng (SAC) bằng
- A. ${60^0}$
- B. ${30^0}$
- C. ${90^0}$
- D. ${45^0}$
Gọi $O = AC \cap BD$ . Ta có S.ABCD là hình chóp tứ giác đều suy ra $SO \bot \left( {ABCD} ight)$ .
Vì $\left\{ \begin{gathered} SO \bot \left( {ABCD} ight) \hfill \\ BD \subset \left( {ABCD} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow SO \bot BD$
Có $\left\{ \begin{gathered} BD \bot SO \hfill \\ BD \bot AC \hfill \\ SO,AC \subset \left( {SAC} ight) \hfill \\ SO \cap AC = \left\{ O ight\} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} ight)$
Suy ra hình chiếu vuông góc của đường thẳng SB lên mặt phẳng (SAC) là đường thẳng SO.
Do đó góc giữa SB và mặt phẳng (SAC) bằng góc giữa hai đường thẳng SB và SO và bằng góc $\widehat {BSO}$ .
Có $BO = \frac{{BD}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 .\sqrt 2 }}{2} = a$
Vì $\left\{ \begin{gathered} SO \bot \left( {ABCD} ight) \hfill \\ OB \subset \left( {ABCD} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow SO \bot OB$
Xét tam giác SOB có
Ta có $\sin \widehat {BSO} = \frac{{BO}}{{SB}} = \frac{a}{{2a}} = \frac{1}{2} \Rightarrow BSO = {30^0}$
Câu 34: Vận dụng cao
Góc giữa hai đường thẳng BI và SD

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Đường thẳng SD tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 45⁰. Gọi I là trung điểm của cạnh CD. Góc giữa hai đường thẳng BI và SD bằng (số đo góc được làm tròn đến hàng đơn vị).
- A.
  39⁰
- B.
  42⁰
- C.
  51⁰
- D.
  48⁰
Hình vẽ minh họa:

Gọi a là số đo cạnh của hình vuông ABCD

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} DA\bot AB \\ DA\bot SA \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow DA\bot(SAB)$

$\Rightarrow \widehat{DSA} = \left( SD;(SAB) ight) = 45^{0}$

Ta lại có: $\left\{ \begin{matrix} CD\bot AD \\ CD\bot SA \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow CD\bot(SAD)$

I là trung điểm của CH nên $IC = \frac{CD}{2} = \frac{a}{2}$

Xét tam giác BCI vuông tại C ta có:

$BI^{2} = BC^{2} + CI^{2} \Rightarrow BI = \frac{a\sqrt{5}}{2}$

$\begin{matrix}\cos\left( \overrightarrow{BI};\overrightarrow{SD} ight) =\dfrac{\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{SD}}{\left|\overrightarrow{BI} ight|.\left| \overrightarrow{SD} ight|} \hfill \\= \dfrac{\left( \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CI}ight).\overrightarrow{SD}}{\left| \overrightarrow{BI} ight|.\left|\overrightarrow{SD} ight|} = \dfrac{\left( \overrightarrow{AD} +\overrightarrow{CI} ight).\overrightarrow{SD}}{\left|\overrightarrow{BI} ight|.\left| \overrightarrow{SD} ight|}\hfill \\= \dfrac{\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{SD} +\overrightarrow{CI}.\overrightarrow{SD}}{\left| \overrightarrow{BI}ight|.\left| \overrightarrow{SD} ight|} =\dfrac{\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{SD}}{\left|\overrightarrow{BI} ight|.\left| \overrightarrow{SD} ight|} \hfill\\= \dfrac{AD.SD.cos\left( \overrightarrow{AD};\overrightarrow{SD}ight)}{\left| \overrightarrow{BI} ight|.\left| \overrightarrow{SD}ight|} = \dfrac{AD.cos45^{0}}{BI} \hfill\\= \dfrac{a.\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{\dfrac{a\sqrt{5}}{2}} = \dfrac{\sqrt{10}}{5}\hfill\\\end{matrix}$

$\left( \overrightarrow{BI};\overrightarrow{SD} ight) \approx 51^{0}$
Câu 35: Thông hiểu
Tính tỉ số giữa DN và DA

Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của CD, N là điểm nằm trên AD sao cho BN vuông góc với AM. Tính tỉ số $\frac{{DN}}{{DA}}$
- A. $\frac{2}{3}$
- B. $\frac{1}{3}$
- C. $\frac{1}{2}$
- D. $\frac{1}{4}$
Hình vẽ minh họa:
Đặt $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow b ;\overrightarrow {AC} = \overrightarrow c ;\overrightarrow {AD} = \overrightarrow d$ . Ta có:
$\begin{matrix} \left| {\overrightarrow b } ight| = \left| {\overrightarrow c } ight| = \left| {\overrightarrow d } ight| = AB = a \hfill \\ \widehat {\left( {\overrightarrow b ;\overrightarrow c } ight)} = \widehat {\left( {\overrightarrow c ;\overrightarrow d } ight)} = \widehat {\left( {\overrightarrow d ;\overrightarrow b } ight)} = {60^0} \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow b .\overrightarrow c = \overrightarrow c .\overrightarrow d = \overrightarrow d .\overrightarrow b = \dfrac{{{a^2}}}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
Giả sử AN = k.AD. Khi đó:
$\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AN} = - \overrightarrow b + k.\overrightarrow d$
Vì M là trung điểm của CD nên $2\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow c + \overrightarrow d$
Khi đó: BN ⊥ AM => $\overrightarrow {BN} .\overrightarrow {AM} = 0$
$\begin{matrix} \left( { - \overrightarrow b + k.\overrightarrow d } ight).\left( {\overrightarrow c + \overrightarrow d } ight) = 0 \hfill \\ \Rightarrow - \dfrac{{{a^2}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{2} + k.\dfrac{{{a^2}}}{2} + k.{a^2} = 0 \hfill \\ \Rightarrow k = \dfrac{2}{3} \hfill \\ \Rightarrow AN = \dfrac{2}{3}AD \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{{DN}}{{DA}} = \dfrac{1}{3} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 36: Vận dụng
Tính tan góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a và SA ⊥ (ABCD). Góc giữa SC và mặt phẳng đáy bằng 45⁰. Tính tan α. Biết α là góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB).
- A.
  $\tan\alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}$
- B.
  $\tan\alpha = \frac{1}{\sqrt{6}}$
- C.
  $\tan\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$
- D.
  $\tan\alpha = \sqrt{3}$
Hình vẽ minh họa:

Ta có: Góc giữa SC và mặt phẳng đáy bằng 45⁰ khi đó:

$\begin{matrix} \left( SC;(ABCD) ight) = (SC;AC) = \widehat{SCA} \\ \Rightarrow SA = AC = 2a\sqrt{2} \\ \end{matrix}$

Gọi O là giao điểm của AC và BD ta có:

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} DO\bot AC \\ DO\bot SA \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow DO\bot(SAC)$ => Hình chiếu của SD trên mặt phẳng (SAC) là SO.

=> $\left( SD;(SAC) ight) = (SD;SO) = \widehat{DSO}$

$\left\{ \begin{matrix}DO = \dfrac{1}{2}BD = a\sqrt{2} \hfill \\SO = \sqrt{SA^{2} + AO^{2}} = a\sqrt{10} \hfill \\\end{matrix} ight.$

=> $\tan\widehat{DSO} = \frac{DO}{SO} = \frac{\sqrt{5}}{5}$
Câu 37: Thông hiểu
Góc (IE; JF) = ?

Cho tứ diện ABCD có AB = CD. Gọi I, J E, F lần lượt là trung điểm của AC, BC, BD, AD. Góc (IE; JF) bằng:
- A.
  30⁰
- B.
  45⁰
- C.
  60⁰
- D.
  90⁰
Hình vẽ minh họa

Ta có: IF là đường trung bình của tam giác ACD => $\left\{ \begin{matrix}IF//CD \\IF = \dfrac{1}{2}CD \\\end{matrix} ight.$

JE là đường trung bình của tam giác BCD => $\left\{ \begin{matrix}JE//CD \\JE = \dfrac{1}{2}CD \\\end{matrix} ight.$

=> $\left\{ \begin{matrix} IF = JE \\ IF//JE \\ \end{matrix} ight.$ => Tứ giác IJEF là hình bình hành

Mặt khác $\left\{ \begin{matrix}IJ = \dfrac{1}{2}AB \\JE = \dfrac{1}{2}CD \\\end{matrix} ight.$ . MÀ AB = CD => IJ = JE

Do đó IJEF là hình thoi => (IE; JF) = 90⁰
Câu 38: Thông hiểu
Chọn mệnh đề đúng

Trong không gian cho tam giác đều SAB và hình vuông ABCD cạnh a nằm trên hai mặt phẳng vuông góc. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, CD. Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $\tan\phi = \frac{\sqrt{2}}{3}$
- B.
  $\tan\phi = \frac{2\sqrt{3}}{3}$
- C.
  $\tan\phi = \frac{\sqrt{3}}{3}$
- D.
  $\tan\phi = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Hình ảnh minh họa:

Dễ dàng xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đường thẳng d đi qua S và song song với AB.

Trong mặt phẳng (SAB) có SH ⊥ AB => SH ⊥ d.

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} CD\bot HK \\ CD\bot SH \\ \end{matrix} \Rightarrow CD\bot(SHK) \Rightarrow CD\bot SK ight.$

=> d ⊥ SK. Từ đó suy ra ((SAB), (SCD)) = (SH, SK) = $\widehat{HSK}$

Trong tam giác vuông SHK ta có: $\tan\widehat{HSK} = \frac{HK}{SH} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$
Câu 39: Nhận biết
Tính góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (A’B’C’)

Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (A’B’C’) bằng:
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $45^{0}$
- C.
  $30^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hình vẽ minh họa:
Vì BB’ ⊥ (A’B’C’) nên A’B’ là hình chiếu vuông góc của A’B lên (A’B’C’)
=> Góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (A’B’C’) là $\widehat{BA'B'}$
Ta có: A’B’ = BB’ = a nên tam giác B’A’B vuông cân tại B’
=> $\widehat{BA'B'} =45^{0}$
Câu 40: Nhận biết
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
- A.
  Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
- B.
  Qua một đường thẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
- C.
  Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau cho trước.
- D.
  Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.
Mệnh đề “Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau” là sai. Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song hoặc trùng nhau.

Mệnh đề “Qua một đường thẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước” là sai. Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước thì có vô số mặt phẳng qua đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng đó. Nếu đường thẳng không vuông góc với mặt phẳng cho trước thì không có mặt phẳng nào vuông góc với mặt phẳng đó.

Mệnh đề “Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì vuông góc với nhau” là sai. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc cắt nhau (giao truyến vuông góc với mặt phẳng kia).

Vậy mệnh đề đúng là: “Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau cho trước.”

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

19 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 Chân trời sáng tạo
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân
Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số ghép số liệu nhóm
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Đạo hàm
Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 9: Xác suất

Lớp 11
Khóa học Lớp 11
Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 4
Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 5
Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4 Đề 2
Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4
Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 6
Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 7

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 4

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 5

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4 Đề 2

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 6

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 7