VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 CTST Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Thông hiểu
Xác định thể tích khối chóp tứ giác

Cho khối chóp $S.ABCD$ có $SA\bot(ABCD)$ ; đáy $ABCD$ là hình chữ nhật $AB = a;AD = a\sqrt{3}$ . Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ , biết mặt phẳng $(SBC)$ tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng $60^{0}$ .
- A.
  $V = \sqrt{3}a^{3}$
- B.
  $V = \frac{\sqrt{3}}{3}a^{3}$
- C.
  $V = a^{3}$
- D.
  $V = 2\sqrt{3}a^{3}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $S_{ABCD} = a^{2}\sqrt{3}$

Vì $\left\{ \begin{matrix} (SBC) \cap (ABCD) = BC \\ BC\bot SB \subset (SBC) \\ BC\bot AB \subset (ABCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left( (SBC);(ABCD) ight) = (SB;AB) = \widehat{SBA}$

Vậy $\widehat{SBA} = 60^{0}$

Xét tam giác vuông SAB có

$\tan60^{0} = \frac{SA}{AB} \Rightarrow SA= AB.\tan60^{0} = a\sqrt{3}$

Vậy $V_{S.ABCD} = \frac{1}{3}S_{ABCD}.SA = \frac{1}{3}.a^{2}\sqrt{3}.a\sqrt{3} = a^{3}$
Câu 2: Vận dụng
Tìm khẳng định đúng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, $AD = a\sqrt{3}$ chiếu vuông góc H của S trên mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm tam giác ABC và $SH = \frac{a}{2}$ . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và SC. Gọi α là góc giữa đường thẳng MN với mặt phẳng (ABCD). Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $\tan\alpha = \frac{4}{3}$
- B.
  $\tan\alpha = \frac{3}{4}$
- C.
  $\tan\alpha = \frac{2}{3}$
- D.
  $\tan\alpha = 1$
Hình vẽ minh họa:

Ta có: MN // SB

=> $\left( MN,(ABCD) ight) = \left( SB;(ABCD) ight)$

Do SH ⊥ (ABCD)

$\begin{matrix} \Rightarrow \left( MN,(ABCD) ight) = \left( SB;(ABCD) ight) \\ = (SB;HB) = \widehat{SBH} \\ \end{matrix}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}BD = \sqrt{AB^{2} + AD^{2}} = 2a \\BH = \dfrac{BD}{3} = \dfrac{2a}{3} \\\end{matrix} ight.$

=> $\tan\widehat{SBH} = \frac{SH}{BH} = \frac{3}{4}$
Câu 3: Nhận biết
Xác định mệnh đề đúng

Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
- A.
  Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc thì vuông góc với đường thẳng còn lại.
- B.
  Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
- C.
  Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại.
- D.
  Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} a\bot b \\ b//c \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a\bot c$

Vậy mệnh đề đúng là: “Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại.”
Câu 4: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P). Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua a và vuông góc với mặt phẳng (P)?
- A.
  Không có.
- B.
  Có một.
- C.
  Có vô số.
- D.
  Có một hoặc có vô số.
Có một khi a không vuông góc với (P), có vô số khi a vuông góc với (P).
Câu 5: Thông hiểu
Tính góc giữa SB và (ABC)

Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ có $SA\bot(ABC);SA = a\sqrt{2}$ . Biết rằng tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ và $AC = 2a$ . Tính góc giữa $SB$ và $(ABC)$ ?
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $45^{0}$
- C.
  $60^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $SB \cap (ABC);SA\bot(ABC)$

=> Hình chiếu vuông góc của SB trên mặt phẳng (ABC) là AB.

=> Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) là $\widehat{SBA}$

Do tam giác ABC vuông cân tại B và $AC = 2a$ nên $AB = \frac{AC}{\sqrt{2}} = a\sqrt{2} = SA$

Suy ra tam giác SAB vuông cân tại A.

Do đó $\widehat{SBA} = 45^{0}$

Vậy góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng 45⁰.
Câu 6: Vận dụng
Tính cos ϕ

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh bằng 2a. Hình chiếu của đỉnh A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của cạnh AB. Biết góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 60◦. Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (BCC’B’) và (ABC). Tính cos ϕ.
- A.
  $\cos\phi = \frac{\sqrt{5}}{5}$
- B.
  $\cos\phi = \frac{\sqrt{3}}{3}$
- C.
  $\cos\phi = \frac{\sqrt{17}}{17}$
- D.
  $\cos\phi = \sqrt{\frac{16}{17}}$
Hình ảnh minh họa:

Gọi M là trung điểm của BC, suy ra $AM = a\sqrt 3$

Gọi K là điểm đối xứng của H qua B, suy ra B’K // A’H, suy ra B’K ⊥ (ABC).

Trong (ABC), dựng BI ⊥ BC (với I ∈ BC).

Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng (BCC’B’) và (ABC) là góc KIB’.

Do tứ giác AHKB’ là hình bình hành nên B’K = A’H = AH . tan 60◦ = $a\sqrt{3}$

Ta có: KI = d(H, BC) = d(A,BC)/2 = AM/2 = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Xét ∆B’IK vuông tại K ta có:

$\begin{matrix}B'I = \sqrt{B'K^{2} + KI^{2}} = \dfrac{a\sqrt{15}}{2} \hfill\\\cos\phi = \cos\widehat{KIB'} =\dfrac{a\sqrt{3}}{2}:\dfrac{a\sqrt{15}}{2} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}\hfill \\\end{matrix}$
Câu 7: Thông hiểu
Tính cosin góc giữa hai đường thẳng

Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của AB. Gọi α là góc giữa hai đường thẳng CM và DM. Tính giá trị của cos α?
- A. $\frac{2}{3}$
- B. $\frac{{\sqrt 3 }}{3}$
- C. $\frac{1}{3}$
- D. $\frac{1}{6}$
Gọi a là độ dài cạnh của tứ diện đều. Khi đó:
$CD = a;MC = MD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$
Ta có hình vẽ minh họa:
Áp dụng định lí cosin vào tam giác CMD ta được:
$\begin{matrix} \cos \widehat {CMD} = \dfrac{{M{C^2} + M{D^2} - C{D^2}}}{{2MC.MD}} \hfill \\ = \dfrac{{\dfrac{{3{a^2}}}{2} - {a^2}}}{{\dfrac{{3{a^2}}}{2}}} = \dfrac{{\dfrac{{{a^2}}}{2}}}{{\dfrac{{3{a^2}}}{2}}} = \dfrac{1}{3} \hfill \\ \Rightarrow \cos \alpha = \dfrac{1}{3} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 8: Thông hiểu
Chọn kết luận đúng

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy là hình thoi. Gọi mặt phẳng $(\alpha)$ chứa cạnh $A'C'$ và cắt $AB;BC$ lần lượt tại $I;J$ . Chọn kết luận đúng?
- A.
  $BD\bot A'I$
- B.
  $BD\bot IJ$
- C.
  $BD\bot C'J$
- D.
  $BD\bot A'J$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} (\alpha) \cap (ABCD) = IJ \\ (\alpha) \cap (A'B'C'D') = A'C' \\ (A'B'C'D')//(ABCD) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow A'C'//IJ$ mà $A'C'//AC$

$\Rightarrow AC//IJ$

Mặt khác $BD\bot AC$

$\Rightarrow BD\bot IJ$ .
Câu 9: Thông hiểu
Tính độ dài SA

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, $SA\bot(ABCD)$ . Biết diện tích tam giác SBD bằng $a^{2}$ . Khi đó SA bằng:
- A.
  $SA = \frac{a\sqrt{3}}{2}$
- B.
  $SA = \frac{a\sqrt{2}}{2}$
- C.
  $SA =\frac{a\sqrt{6}}{2}$
- D.
  $SA = \frac{a}{2}$
Hình vẽ minh họa

Gọi O là tâm của đáy.

Khi đó $BD\bot(SAC) \Rightarrow BD\bot SO \Rightarrow S_{SBD} = \frac{1}{2}.SO.BD = a^{2}$

$\Rightarrow SO = \frac{2a^{2}}{a\sqrt{2}} = a\sqrt{2}$

$\Rightarrow SA = \sqrt{SO^{2} - AO^{2}} = \sqrt{2a^{2} - \frac{a^{2}}{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$
Câu 10: Nhận biết
Tính thể tích khối chóp

Biết khối chóp có diện tích đáy và chiều cao lần lượt bằng $9;4$ . Thể tích khối chóp bằng:
- A.
  $V = 36$
- B.
  $V = 18$
- C.
  $V = 24$
- D.
  $V = 12$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} B = 9 \\ h = 4 \\ \end{matrix} ight.$

Thể tích khối chóp là: $V = \frac{1}{3}B.h = \frac{1}{3}.9.4 = 12$
Câu 11: Nhận biết
Tìm khẳng định không chính xác

Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  Nếu đường thẳng $d\bot(\alpha)$ thì $d$ vuông góc với hai đường thẳng trong $(\alpha)$ .
- B.
  Nếu đường thẳng $d$ vuông góc với hai đường thẳng trong $(\alpha)$ thì $d\bot(\alpha)$ .
- C.
  Nếu đường thẳng $d$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong $(\alpha)$ thì $d$ vuông góc với đường thẳng bất kì trong $(\alpha)$ .
- D.
  Nếu $d\bot(\alpha)$ và $a//(\alpha)$ thì $d\bot a$ .
Đường thẳng $d$ vuông góc với hai đường thẳng nằm trong $(\alpha)$ thì $d\bot(\alpha)$ chỉ đúng khi hai đường thẳng đó cắt nhau.
Câu 12: Thông hiểu
Tìm đường thẳng vuông góc với BC'

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ . Xác định đường thẳng vuông góc với đường thẳng $C'B$ ?
- A.
  $DA'$
- B.
  $AC$
- C.
  $BB'$
- D.
  $AD'$
Hình vẽ minh họa:

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} A'D//B'C \\ B'C\bot BC' \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A'D\bot BC'$
Câu 13: Nhận biết
Tìm khẳng định sai

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA ⊥ (ABCD). Gọi I là trung điểm của SC. Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABCD) bằng độ dài đoạn thẳng nào?
- A.
  IO
- B.
  IA
- C.
  IC
- D.
  IB
Hình vẽ minh họa:

Do I là trung điểm của SC và O là trung điểm AC nên IO ∥ SA. Do SA ⊥ (ABCD) nên IO ⊥ (ABCD), hay khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABCD) bằng độ dài đoạn thẳng IO
Câu 14: Nhận biết
Mệnh đề nào là mệnh đề đúng

Mệnh đề nào là mệnh đề đúng?
- A.
  Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng (P) bằng độ dài đoạn AH với H là một điểm bất kì trên mặt phẳng (P).
- B.
  Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng (P) bằng độ dài đoạn AH với AH vuông góc với (P).
- C.
  Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng (P) là độ dài nhỏ nhất của đoạn AH.
- D.
  Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng (P) bằng độ dài đoạn AH với H là hình chiếu vuông góc của A trên (P).
Khẳng định đúng: “Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng (P) bằng độ dài đoạn AH với H là hình chiếu vuông góc của A trên (P).”
Câu 15: Thông hiểu
Tìm khẳng định sai.

Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
- A.
  (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB nếu nó đi qua ba điểm phân biệt cách đều A và B.
- B.
  (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB nếu nó vuông góc với AB tại trung điểm của AB.
- C.
  (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB nếu nó đi qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng cách đều A và B.
- D.
  (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB nếu nó chứa hai đường trung trực khác nhau của đoạn thẳng AB.
Mệnh đề sai là: “(P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB nếu nó đi qua ba điểm phân biệt cách đều A và B.”
Câu 16: Vận dụng cao
Tính tỉ số NB và NC’

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A0’B’C’ có cạnh bên bằng cạnh đáy. Đường thẳng MN (M ∈ A’C, N ∈ BC’) là đường vuông góc chung của A’C và BC’. Tỉ số $\frac{NB}{NC'}$ bằng:
- A.
  $\frac{3}{2}$
- B.
  $\frac{2}{23}$
- C.
  $1$
- D.
  $\frac{\sqrt{5}}{2}$
Hình vẽ minh họa:
Gọi H, I lần lượt là trung điểm của AB, AC’
Suy ra HI // BC’
Trong mặt phẳng (ABB’A’), tia A’H cắt tia B’B tại S, gọi K là hình chiếu của B trên SH
Dễ thấy BK ⊥ (SCH)
Gọi M là hình chiếu của K trên A’C, chú ý rằng CH = HA’ nên HI ⊥ A’C, do đó KM // HI // BC’
Trong mặt phẳng (BC’MK) lấy điểm N trên BC’ sao cho BKMN là hình bình hành
Khi đó MN là đoạn vuông góc chung cần tìm
Ta có:
$\frac{NB}{BC'} = \frac{MK}{2HI} =\frac{1}{2}\left( 1 + \frac{HK}{A'H} ight)$
$= \frac{1}{2}\left( 1 + \frac{HK}{HS}ight) = \frac{1}{2}\left( 1 + \frac{HB^{2}}{HS^{2}}ight)$
Do 2HB = SB nên:
$\frac{NB}{BC'} = \frac{1}{2}\left( 1+ \frac{HB^{2}}{HB^{2} + SB^{2}} ight)$
$= \frac{1}{2}\left( 1 +\frac{HB^{2}}{HB^{2} + 4HB^{2}} ight) = \frac{3}{5}$
=> $\frac{NB}{NC'} =\frac{3}{2}$
Câu 17: Nhận biết
Tính góc giữa hai đường thẳng BA' và CD

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ . Góc giữa hai đường thẳng $BA'$ và $CD$ là:
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $45^{0}$
- C.
  $60^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $AB//CD \Rightarrow (BA',CD) = (BA',AB)$

Vì $ABB'A'$ là hình vuông nên $(BA',AB) = \widehat{ABA'} = 45^{0}$
Câu 18: Nhận biết
Tính góc giữa SC với mặt phẳng (ABCD)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, cạnh SA ⊥ (ABCD) , $SA = a\sqrt{2}$ . Góc giữa SC với mặt phẳng (ABCD) là:
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $45^{0}$
- C.
  $90^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Hình vẽ minh họa:
Ta có: $\widehat{\left( SC,(ABCD) ight)}= \widehat{(SC,AC)} = \widehat{SCA}$
Lại có: $\tan\widehat{SCA} = \frac{SA}{AC}= \frac{SA}{AB\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}} = 1$
=> $\widehat{SCA} = 45^{0}$
Câu 19: Nhận biết
Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng 1, cạnh $SA$ vuông góc với đáy và $SA = \sqrt{2}$ . Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ đã cho.
- A.
  $V = \frac{\sqrt{2}}{6}$
- B.
  $V = \frac{\sqrt{2}}{4}$
- C.
  $V = \sqrt{2}$
- D.
  $V = \frac{\sqrt{2}}{3}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $SA\bot(ABCD)$ nên SA là đường cao của hình chóp

Thể tích khối chóp là $V = \frac{1}{3}.SA.S_{ABCD} = \frac{1}{3}.\sqrt{2}.1^{2} = \frac{\sqrt{2}}{3}$
Câu 20: Thông hiểu
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng IJ và SD

Cho hình chóp SABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B có độ dài cạnh AB = a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng IJ và SD.
- A.
  $\frac{a}{2}$
- B.
  $\frac{a\sqrt{3}}{2}$
- C.
  $\frac{a}{3}$
- D.
  $\frac{a\sqrt{2}}{2}$
Hình vẽ minh họa:

Ta có AD // (IJ) ⇒ IJ // (SAD) ⇒ d(IJ, SD) = d(IJ, (SAD)) = d(I, (SAD)) = IA = a/2
Câu 21: Thông hiểu
Chọn kết luận đúng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA\bot(ABCD)$ . Biết $ABCD$ là hình chữ nhật có $AB = a;AD = a\sqrt{2}$ . Giả sử $\alpha = \left( SC;(ABCD) ight)$ . Kết luận nào sau đây đúng?
- A.
  $\alpha = 90^{0}$
- B.
  $\alpha = 60^{0}$
- C.
  $\alpha = 45^{0}$
- D.
  $\alpha = 30^{0}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $SA\bot(ABCD)$ nên AC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng đáy.

=> $\alpha = \left( SC;(ABCD) ight) = (SC;AC) = \widehat{SCA}$

Mặt khác $AC = \sqrt{BC^{2} + AB^{2}} = a\sqrt{3}$

Xét tam giác vuông SAC có:

$\tan\widehat{SCA} = \frac{SA}{AC} = \frac{a}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow \alpha = \widehat{SCA} = 30^{0}$
Câu 22: Vận dụng cao
Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng A’B’ vàC’M

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’ = 2a; AD = 4a. Gọi M là trung điểm của cạnh AD. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng A’B’ và C’M.
- A.
  $d = 2a\sqrt{2}$
- B.
  $d = a\sqrt{2}$
- C.
  $d = 2a$
- D.
  $d = 3a$
Ta có: AA’ = AM = MD = 2a nên tam giác AMA’ và tam giác MDD’ lần lượt là tam giác vuông tại A và D

=> $\widehat{AMA'} = \widehat{D'MD} = 45^{0} \Rightarrow A'M\bot MD'$ (1)

Ta lại có: $C'D'\bot(A'D'DA) \Rightarrow C'D'\bot A'M$ (2)

Từ (1) và (2) => $A'M\bot(MC'Ð)$

Ta lại có A’B’ // C’D’ => A’B’ // (MC’D’)

=> Khoảng cách d = d(A’B’, (MC’D’)) = d(A’; (MC’D’))

=> $A'M = \sqrt{AA'^{2} + AM^{2}} = 2a\sqrt{2}$
Câu 23: Thông hiểu
Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AD và SC

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông với $AC=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ . Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SB hợp với đáy góc 60⁰. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AD và SC.
- A.
  $d=\frac{\sqrt{3}}{4}$
- B.
  $d=\frac{\sqrt{2}}{2}$
- C.
  $d=\frac{a}{2}$
- D.
  $d=\frac{\sqrt{3}}{2}$
Ta có $AD // BC => AD // (SBC)$ => $d(AD;SC)=d(A;(SBC))$
Kẻ $AP⊥SB$ $=>d(A;(SBC))=AP$ $=>d(AD;SC)=AP$
Ta có:
$\begin{matrix} AB = \dfrac{{AC}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{a}{2} \hfill \\ \dfrac{1}{{A{P^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{B^2}}} \hfill \\ \end{matrix}$
Lại có $\left( {SB;\left( {ABCD} ight)} ight) = \widehat {SBA} = {60^0}$
$\begin{matrix} \Rightarrow \tan {60^0} = \dfrac{{SA}}{{AB}} \Rightarrow SA = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \hfill \\ \Rightarrow AP = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 24: Thông hiểu
Góc giữa đường thẳng SA và (ABC) là

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A. BC = a. $SA = SB = SC = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$ . Góc giữa đường thẳng SA và (ABC) bằng
- A. $30^0$
- B. $45^0$
- C. $60^0$
- D. $90^0$
+) Gọi H là trung điểm BC.
Vì ABC vuông tại A nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Ta có: $SA = SB = SC\,\left( {gt} ight) \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} ight)$
=> Hình chiếu của SA lên (ABC) là HA
$\Rightarrow \,\widehat {\left( {SA,\left( {ABC} ight)} ight)} = \widehat {\left( {SA,HA} ight)} = \widehat {SAH}$ (vì tam giác SAH vuông tại H)
+) Ta có: $AH = \frac{{BC}}{2} = \frac{a}{2}$
Xét tam giác SHA vuông tại H:
$\cos \widehat {SAH} = \dfrac{{AH}}{{SA}} = \dfrac{{\dfrac{a}{2}}}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \widehat {SAH} = 30^\circ$
Vậy $\,\widehat {\left( {SA,\left( {ABC} ight)} ight)} = \widehat {SAH} = 30^\circ$
Câu 25: Nhận biết
Xác định mệnh đề đúng

Chọn mệnh đề đúng?
- A.
  Cho đường thẳng $a\bot(\alpha)$ , mọi mặt phẳng $(\beta)//(\alpha)$ thì $(\beta)\bot a$ .
- B.
  Cho hai đường thẳng $a;b$ vuông góc với nhau, nếu mặt phẳng $(\alpha)$ chứa $a$ thì $b\bot(\alpha)$ .
- C.
  Cho hai đường thẳng vuông góc với nhau, nếu mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì song song với đường thẳng kia.
- D.
  Cho hai đường thẳng chéo nhau, luôn luôn có mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.
Mệnh đề đúng: “Cho đường thẳng $a\bot(\alpha)$ , mọi mặt phẳng $(\beta)//(\alpha)$ thì $(\beta)\bot a$ ”.

Minh họa bằng hình vẽ:
Câu 26: Vận dụng cao
Tính sin α

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có thể tích bằng 27. Một mặt phẳng (α) tạo với mặt phẳng (ABCD) góc 60⁰ và cắt các cạnh AA’, BB’, CC’, DD’ lần lượt tại M, N, P, Q. Tính diện tích của tứ giác MNPQ.
- A.
  $\frac{9\sqrt{3}}{2}$
- B.
  $6\sqrt{3}$
- C.
  $18$
- D.
  $\frac{9}{2}$
Hình vẽ minh họa:

Đặt AB = a

$V_{ABCD.A'B'C'D'} = a^{3} = 27 \Rightarrow a = 3$

Ta có:

$\begin{matrix}S_{ABCD} = S_{MNPQ}.cos60^{0} \hfill\\\Rightarrow S_{MNPQ} = \dfrac{S_{ABCD}}{cos60^{0}} =\dfrac{a^{2}}{\dfrac{1}{2}} = 2a^{2} = 18 \hfill\\\end{matrix}$
Câu 27: Thông hiểu
Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Mệnh đề nào sau đây là đúng?
- A.
  Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại.
- B.
  Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
- C.
  Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc với nhau thì song song với đường thẳng còn lại.
- D.
  Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau.
Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau sai vì chúng có thể chéo nhau hoặc cắt nhau.

Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc với nhau thì song song với đường thẳng còn lại sai vì nó và đường thẳng còn lại có thể chéo nhau hoặc cắt nhau.

Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau sai vì chúng có thể song song với nhau
Câu 28: Thông hiểu
Tính góc giữa hai đường thẳng

Cho tứ diện ABCD có độ dài các cạnh $AB = AC = AD = BC = BD = a$ và $CD = a\sqrt{2}$ . Tính góc giữa hai đường thẳng AD và BC.
- A.
  $90^{0}$ .
- B.
  $45^{0}$ .
- C.
  $30^{0}$ .
- D.
  $60^{0}$ .
Hình vẽ minh họa

Gọi I, K, H lần lượt là trung điểm các cạnh DC, DB, AB.

Khi đó: $KH//AD,KI//BC \Rightarrow (AD;BC) = (KH;KI)$ .

Xét $\Delta BIC,BI = \sqrt{BC^{2} - AC^{2}} = \sqrt{a^{2} - \frac{a^{2}}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}$ .

Ta có $\left\{ \begin{matrix} AB\bot DH \\ AB\bot HC \\ \end{matrix} \Rightarrow AB\bot(DHC) \Rightarrow AB\bot HI ight.$ .

Xét $\Delta BIH,HI = \sqrt{IB^{2} - HB^{2}} = \sqrt{\frac{a^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{4}} = \frac{a}{2}$ . (1)

Xét $\Delta IHK$ , ta có: $\left\{ \begin{matrix} IK = \frac{BC}{2} = \frac{a}{2} \\ HK = \frac{AD}{2} = \frac{a}{2} \\ \end{matrix} \Rightarrow IK = HK = \frac{a}{2} ight.$ . (2)

Từ $(1),(2) \Rightarrow HI = IK = HK \Rightarrow \Delta IHK$ là tam giác đều

$\Rightarrow \widehat{IKH} = 60^{0} \Rightarrow (KH;KI) = 60^{0}$ .
Câu 29: Vận dụng
Tính thể tích tứ diện

Cho tứ diện $ABCD$ có các cạnh $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc với nhau. Gọi trung điểm của các cạnh $BC,CD,DB$ lần lượt là $J;Q;K$ . Tính thể tích tứ diện $AJQK$ , biết $AB = 6cm;AC = 7cm;AD = 4cm$ .
- A.
  $V = 7cm^{3}$
- B.
  $V = 14cm^{3}$
- C.
  $V =\frac{28}{3}cm^{3}$
- D.
  $V =\frac{7}{2}cm^{3}$
Hình vẽ minh họa
Ta có: $V_{ABCD} =\frac{1}{2}AB.\frac{1}{2}AD.AC = \frac{1}{2}.6.7.4 = 28\left( cm^{3}ight)$
Nhận thấy $S_{JQK} = \frac{1}{2}S_{JQKD} =\frac{1}{4}S_{BCD}$
$V_{JQK} = \frac{1}{4}V_{ABCD} = 7\left(cm^{3} ight)$
Câu 30: Thông hiểu
Góc tạo bởi đường thẳng AB’ và mặt phẳng (BDD’B’)

Cho hình lập phương ABCD.A’B’CD’D. Tính góc tạo bởi đường thẳng AB’ và mặt phẳng (BDD’B’)
- A. $60^0$
- B. $90^0$
- C. $45^0$
- D. $30^0$
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Khi đó ta có $AO \bot BD$ (1).
Mặt khác ta lại có ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên $BB' \bot \left( {ABCD} ight)$
$\Rightarrow BB' \bot AO$ (2)
Từ (1) và (2) ta có $AO \bot \left( {BDD'B'} ight)$ tại O
Khi đó B’O là hình chiếu của AB’ lên mặt phẳng (BDD’B’).
Suy ra góc tạo bởi đường thẳng AB’ và mặt phẳng (BDD’B’) là $\widehat {AB'O}$
Xét tam giác vuông AB’O có $\sin \widehat {AB'O} = \frac{{AO}}{{AB'}} = \frac{1}{2}$
Vậy $\widehat {\left( {AB',\left( {BDD'B'} ight)} ight)} = 30^\circ$
Câu 31: Thông hiểu
Tính thể tích khối chóp tam giác

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ . Hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng đáy là trung điểm $H$ của $BC$ . Tính thể tích khối chóp $S.ABC$ biết $AB = a;AC = a\sqrt{3};SB = a\sqrt{2}$ .
- A.
  $V = \frac{\sqrt{3}a^{3}}{2}$
- B.
  $V = \frac{\sqrt{6}a^{3}}{2}$
- C.
  $V = \frac{\sqrt{3}a^{3}}{6}$
- D.
  $V = \frac{\sqrt{6}a^{3}}{6}$
Hình vẽ minh họa

Xét tam giác ABC vuông tại C ta có: $BC = \sqrt{AB^{2} + AC^{2}} = \sqrt{a^{2} + \left( a\sqrt{3} ight)^{2}} = 2a$

H là trung điểm của BC nên $BH = a$

Xét tam giác SBH vuông tại H có $SH = \sqrt{SB^{2} - HB^{2}} = \sqrt{\left( a\sqrt{2} ight)^{2} - a^{2}} = a$

Diện tích đáy ABC là $S_{ABC} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}a^{2}\sqrt{3}$

Thể tích khối chóp là $V = \frac{1}{3}SH.S_{ABC} = \frac{1}{3}.a.\frac{1}{2}a^{2}\sqrt{3} = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{6}$
Câu 32: Thông hiểu

Xác định tính đúng sai của các kết luận

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB, SC. Giả sử HK cắt BC tại D. Khi đó:

a) $\widehat{(AC;AD)} = 90^{0}$ Đúng||Sai

b) $AH\bot(SBC)$ Đúng||Sai

c) $\widehat{(SC;HK)} = 90^{0}$ Đúng||Sai

d) Tam giác SBC cân tại B. Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB, SC. Giả sử HK cắt BC tại D. Khi đó:

a) $\widehat{(AC;AD)} = 90^{0}$ Đúng||Sai

b) $AH\bot(SBC)$ Đúng||Sai

c) $\widehat{(SC;HK)} = 90^{0}$ Đúng||Sai

d) Tam giác SBC cân tại B. Sai||Đúng

$\widehat{(AC;AD)} = 90^{0}$ đúng

$AH\bot(SBC)$ đúng

$\widehat{(SC;HK)} = 90^{0}$ đúng

Tam giác SBC cân tại B. sai
Câu 33: Nhận biết
Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và AB = a, SA ⊥ (ABC), SA = a. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy là:
- A.
  45⁰
- B.
  30⁰
- C.
  60⁰
- D.
  135⁰
Hình vẽ minh họa:
Theo bài ta có AB là hình chiếu của SB trên (ABC)
Vậy $\widehat{\left( SB,(ABC) ight)} =\widehat{(SB,\ AB)} = \widehat{SBA}$
Mà ∆SBA vuông cân tại A nên $\widehat{SBA}= 45^{0}$
Câu 34: Thông hiểu
Tính thể tích V của khối chóp

Cho một khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng $x(cm)$ , biết độ dài cạnh bên và cạnh đáy tỉ lệ $2:1$ . Tính thể tích V của khối chóp?
- A.
  $V = \frac{\sqrt{14}}{6}x^{3}$
- B.
  $V = \frac{\sqrt{14}}{2}x^{3}$
- C.
  $V = \frac{\sqrt{2}}{2}x^{3}$
- D.
  $V = \frac{\sqrt{2}}{6}x^{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$

$OC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\sqrt{AB^{2} + BC^{2}} = \frac{1}{2}\sqrt{x^{2} + x^{2}} = \frac{x\sqrt{2}}{2}$

Ta có: tam giác SAC cân, O là trung điểm của AC nên $SO\bot CA$

Tương tự tam giác SBD cân, O là trung điểm của BD nên $SO\bot BD$

$\Rightarrow SO\bot(ABCD)$

Trong tam giác SOC vuông tại O ta có:

$SO = \sqrt{SC^{2} - OC^{2}} = \sqrt{(2x)^{2} - \left( \frac{x\sqrt{2}}{2} ight)^{2}} = \frac{x\sqrt{14}}{2}$

Vậy thể tích hình chóp là: $V_{S.ABCD} = \frac{1}{3}S_{ABCD}.SO = \frac{1}{3}.\frac{x\sqrt{14}}{2}.x^{2} = \frac{x^{3}\sqrt{14}}{6}$
Câu 35: Thông hiểu
Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SAB)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a ; AD = 2a, $SA \bot \left( {ABCD} ight);SA = a\sqrt 2$ . Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SAB).
- A. 30⁰
- B. 45⁰
- C. 90⁰
- D. 60⁰
Gọi M là trung điểm của AD.
Xét tứ giác ABCM có: AM // BC, AM = AB = BC = a, $\widehat {MAB} = {90^0}$
Suy ra ABCM là hình vuông => MC = AB = a
Xét tam giác ACD có AM là trung tuyến và $CM = \frac{1}{2}AD = a$
Suy ra ACD vuông tại C => AC ⊥ CD
Trong (SAC), dựng AH ⊥ SC
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {CD \bot AC} \\ {CD \bot SA} \\ {SA \cap AC = A} \\ {SA;AC \subset \left( {SAC} ight)} \end{array}} ight. \Rightarrow CD \bot \left( {SAC} ight)$ mà AH ⊂ (SAC) suy ra CD ⊥ AH.
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {AH \bot CD} \\ {AH \bot SC} \\ {CD \cap SC = C} \\ {CD;SC \subset \left( {SCD} ight)} \end{array}} ight. \Rightarrow AH \bot \left( {SCD} ight)\left( 1 ight)$
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {AD \bot SA} \\ {AD \bot AB} \\ {SA \cap AB = A} \\ {SA;AB \subset \left( {SAB} ight)} \end{array}} ight. \Rightarrow AD \bot \left( {SAB} ight)\left( 2 ight)$
Từ (1) và (2) suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là góc giữa hai đường thẳng AH và AD.
Xét tam giác ABC vuông tại B có: $AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = a\sqrt 2$
Xét tam giác SAC vuông tại A có: $SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = 2a$
Xét tam giác SAC vuông tại A và $SA = AC = a\sqrt 2$ nên SAC vuông cân tại A.
Suy ra H là trung điểm SC và $AH = \frac{1}{2}SC = a$
Xét tam giác AHD vuông tại H (vì AH ⊥ (SCD)).
Ta có: $\cos \widehat {HAD} = \frac{{AH}}{{AD}} = \frac{a}{{2a}} = \frac{1}{2}$ suy ra $\widehat {DAH} = {60^0}$
Vậy $\left( {\widehat {\left( {SCD} ight);\left( {SAB} ight)}} ight) = {60^0}$
Câu 36: Vận dụng cao
Giá trị lớn nhất của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ nội tiếp mặt cầu (S) có bán kính $R = \frac{{\sqrt {17} }}{2}$ . Gọi I; J là trung điểm BC, CD và $\alpha$ là góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng (C’IJ). Giá trị lớn nhất của $\sin \alpha$ là
- A. $\frac{3}{5}$
- B. $\frac{{ - 3}}{5}$
- C. $\frac{4}{5}$
- D. $\frac{{ - 4}}{5}$
Đặt $CD = a\,,\,CB = b\,,CC' = c\,\,\,\left( {a,b,c > 0} ight).$
$AC{'^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} = 17.$
Gọi K là hình chiếu của A lên (C’IJ)
$\left( {\widehat {AC',\left( {C;{\text{IJ}}} ight)}} ight) = \left( {\widehat {AC',AK}} ight) = \alpha$
Ta có $\sin \alpha = \frac{{d\left( {A,\left( {C'{\text{IJ}}} ight)} ight)}}{{AC'}} = \frac{{3d\left( {C,\left( {C'{\text{IJ}}} ight)} ight)}}{{\sqrt {17} }}$
Trong (ABCD) kẻ tại E
$\left\{ \begin{gathered} IJ \bot CE \hfill \\ IJ \bot CC\prime \hfill \\ CE \subset \left( {CEC'} ight) \hfill \\ \,CC' \subset \left( {CEC'} ight) \hfill \\ CE \cap CC' = C \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow IJ \bot \left( {CEC'} ight) \Rightarrow \left( {C'IJ} ight) \bot \left( {CEC'} ight)$
Trong (CEC’) kẻ $CH \bot C'E$ tại H
Suy ra $d\left( {C,\left( {C'{\text{IJ}}} ight)} ight) = CH = h$
Do đó $\sin \alpha = \frac{{3h}}{{\sqrt {17} }}$
Ta có:
$\begin{matrix} \dfrac{1}{{{h^2}}} = \dfrac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{4}{{{a^2}}} + \dfrac{4}{{{b^2}}} = \dfrac{1}{{{c^2}}} + 4\left( {\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}}} ight) \geqslant \dfrac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{{16}}{{{a^2} + {b^2}}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{h^2}}} \geqslant \frac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{{16}}{{17 - {c^2}}} = \dfrac{{17 - {c^2} + {c^2}}}{{17{c^2}}} + \dfrac{{16\left( {17 - {c^2} + {c^2}} ight)}}{{17\left( {17 - {c^2}} ight)}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{h^2}}} \geqslant \dfrac{{17 - {c^2}}}{{17{c^2}}} + \dfrac{{16{c^2}}}{{17\left( {17 - {c^2}} ight)}} + 1 \geqslant 2.\dfrac{4}{{17}} + 1 = \dfrac{{25}}{{17}} \Leftrightarrow h \leqslant \dfrac{{\sqrt {17} }}{5}. \hfill \\ \Rightarrow \sin \alpha \leqslant \dfrac{3}{5}. \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy đạt giá trị lớn nhất là $\frac{3}{5}$
Dấu xảy ra khi: $\left\{ \begin{gathered} {a^2} = {b^2} = \frac{{34}}{5} \hfill \\ {c^2} = \frac{{17}}{5} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = b = \sqrt {\frac{{34}}{5}} \hfill \\ c = \sqrt {\frac{{17}}{5}} \hfill \\ \end{gathered} ight.$
Câu 37: Vận dụng
Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng

Cho hình vuông ABCD cạnh 4a , lấy H, K lần lượt trên các cạnh AB, AD sao cho BH = 3HA, AK = 3KD. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại H lấy điểm S sao cho $\widehat {SBH} = 30^\circ$ . Gọi E là giao điểm của CH và BK . Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SE và BC .
- A. $\frac{{28}}{{5\sqrt {39} }}$
- B. $\frac{{18}}{{5\sqrt {39} }}$
- C. $\frac{{36}}{{5\sqrt {39} }}$
- D. $\frac{9}{{5\sqrt {39} }}$
Gọi I là hình chiếu vuông góc của E lên AB ta có
$\begin{matrix} \Delta ABK = \Delta BCH \hfill \\ \Rightarrow \widehat {ABK} = \widehat {BCH} \Rightarrow \widehat {HEB} = 90^\circ \hfill \\ \end{matrix}$
Ta có:
$\begin{matrix} {\text{cos}}\left( {SE\,;\,BC} ight) = {\text{cos}}\left( {SE\,;\,EI} ight) = \left| {\cos \widehat {SEI}} ight| \hfill \\ SH = BH.\tan 30^\circ = 3a.\dfrac{{\sqrt 3 }}{3} = a\sqrt 3 \hfill \\ \dfrac{{HB}}{{HC}} = \dfrac{{HE}}{{HB}} \Rightarrow HE = \dfrac{{H{B^2}}}{{HC}} = \dfrac{{9a}}{5} \hfill \\ SE = \sqrt {S{H^2} + H{E^2}} = \sqrt {3{a^2} + \dfrac{{81{a^2}}}{{25}}} = \dfrac{{2a\sqrt {39} }}{5} \hfill \\ \dfrac{{HE}}{{HB}} = \dfrac{{HI}}{{HE}} \Rightarrow HI = \dfrac{{H{E^2}}}{{HB}} = \dfrac{{27a}}{{25}} \hfill \\ SI = \sqrt {S{H^2} + H{I^2}} = \sqrt {3{a^2} + {{\left( {\dfrac{{27a}}{{25}}} ight)}^2}} = \dfrac{{2a\sqrt {651} }}{{25}} \hfill \\ \end{matrix}$
Trong tam giác vuông SEI có:
$EI = \sqrt {S{E^2} - S{I^2}} = \frac{{36a}}{{25}}$
=> $\cos \widehat {SEI} = \frac{{EI}}{{SE}} = \frac{{18}}{{5\sqrt {39} }}$
Câu 38: Vận dụng
Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AB và SO

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc $\widehat{SBD}=60^0$ . Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AB và SO.
- A.
  $d=\frac{a\sqrt{3}}{3}$
- B.
  $d=\frac{a\sqrt{6}}{4}$
- C.
  $d=\frac{a\sqrt{2}}{2}$
- D.
  $d=\frac{a\sqrt{5}}{5}$
Hình vẽ minh họa:
Ta có $ΔSAB = ΔSAD(c−g−c)$ suy ra $SB=SD$
Mà $\widehat {SBD} = {60^0}$ => ΔSBD đều cạnh $SB=SD=BD=a\sqrt2$
Xét tam giác vuông SAB có:
$SA = \sqrt {S{B^2} - A{B^2}} = a$
Gọi E là trung điểm AD, suy ra $OE//AB$ và $AE⊥OE$
Do đó $d(AB;SO)=d(AB;(SOE))=d(A;(SOE))$
Kẻ $AK⊥SE(1)$
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {OE \bot AD} \\ {OE \bot SA} \end{array}} ight.$
$⇒ OE⊥(SAD)⇒OE⊥AK(2)$
Từ (1) và (2) $⇒ AK⊥(SOE)$
=> $d\left( {A;\left( {SOE} ight)} ight) = AK = \frac{{SA.AE}}{{\sqrt {S{A^2} + A{E^2}} }} = \frac{{a\sqrt 5 }}{5}$
Câu 39: Vận dụng
Tính cos(CG; BD)

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $x$ , $SA\bot(ABCD);SA = 2x$ . Gọi $F$ trung điểm các cạnh $AB$ , $G$ là trung điểm của $SF$ . Tính $\cos(CG;BD)$ ?
- A.
  $\frac{\sqrt{82}}{41}$
- B.
  $\frac{\sqrt{41}}{41}$
- C.
  $\frac{2\sqrt{41}}{41}$
- D.
  $\frac{\sqrt{82}}{82}$
Hình vẽ minh họa

Gọi I là trung điểm của AD, H là trung điểm của SI.

Ta có: GH // FI; BD // FI nên GH // BD => $(CG;BD) = (CG;GH) = \widehat{CGH}$

Ta có: $CI = \sqrt{CD^{2} + DI^{2}} = \sqrt{x^{2} + \frac{x^{2}}{4}} = \frac{x\sqrt{5}}{2}$

$\Rightarrow CI = \frac{x\sqrt{5}}{2}$

$SF = SI = \sqrt{SA^{2} + AF^{2}} = \sqrt{(2x)^{2} + \left( \frac{x}{2} ight)^{2}} = \frac{x\sqrt{17}}{2}$

$SC = \sqrt{SA^{2} + AC^{2}} = \sqrt{(2x)^{2} + \left( x\sqrt{2} ight)^{2}} = x\sqrt{6}$

Khi đó:

$CG = \sqrt{\frac{CF^{2} + SC^{2}}{2} -\frac{SF^{2}}{4}}$ $= \sqrt{\dfrac{\dfrac{5x^{2}}{4} + 6x^{2}}{2} -\dfrac{9x^{2}}{4}} = \dfrac{x\sqrt{41}}{4}$

$GH = \frac{1}{2}FI = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}BD = \frac{x\sqrt{2}}{4}$

Ta có: $\cos\widehat{CGH} = \frac{GC^{2} + GH^{2} - HC^{2}}{2.GC.GH}$

$= \dfrac{\left( \dfrac{x\sqrt{41}}{4}ight)^{2} + \left( \dfrac{x\sqrt{2}}{4} ight)^{2} - \left(\dfrac{x\sqrt{41}}{4} ight)^{2}}{2.\left( \dfrac{x\sqrt{41}}{4}ight).\left( \dfrac{x\sqrt{2}}{4} ight)} =\dfrac{\sqrt{82}}{82}$

$\Rightarrow \cos(CG;BD) = \frac{\sqrt{82}}{82}$
Câu 40: Nhận biết
Mệnh đề nào là mệnh đề sai

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
- A.
  Nếu đường thẳng a vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) thì a vuông góc với mặt phẳng (P) và vuông góc với mặt phẳng (Q).
- B.
  Một đường thẳng đi qua một điểm của mặt phẳng (P) và vuông góc với mặt phẳng (Q) thì nằm trọn trong mặt phẳng (P).
- C.
  Một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này mà vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.
- D.
  Trong mặt phẳng này có một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
Mệnh đề sai là: “Nếu đường thẳng a vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) thì a vuông góc với mặt phẳng (P) và vuông góc với mặt phẳng (Q).”

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

27 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 Chân trời sáng tạo
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân
Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số ghép số liệu nhóm
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Đạo hàm
Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 9: Xác suất

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 11 Chân trời sáng tạo

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân

Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian

Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số ghép số liệu nhóm

Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 7: Đạo hàm

Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian

Chương 9: Xác suất