VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 CTST Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Vận dụng
Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có tất cả các cạnh bằng $a$ . (như hình vẽ).

Tính $d\left( A;(A'BC) ight)$ ?
- A.
  $\frac{a\sqrt{21}}{7}$
- B.
  $\frac{a}{2}$
- C.
  $\frac{a\sqrt{21}}{2}$
- D.
  $\frac{a\sqrt{3}}{7}$
Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm cạnh BC.

Ta có tam giác ABC đều cạnh a nên $AM\bot BC$ ; $AM = \sqrt{AB^{2} - BH^{2}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

$ABC.A'B'C'$ là hình lăng trụ tam giác đều nên $AA'\bot(ABC) \Rightarrow AA'\bot BC$

Do đó $BC\bot(A'AM)$ và $BC \subset (A'BC) \Rightarrow (A'AM)\bot(A'BC)$ theo giao tuyến $A'M$

Kẻ $AH\bot AM \Rightarrow AH\bot(A'BC)$

$D\left( A;(A'BC) ight) = AH$

Lại có $\frac{1}{AH^{2}} = \frac{1}{A'A^{2}} + \frac{1}{AM^{2}} \Leftrightarrow \frac{1}{AH^{2}} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{4}{3a^{2}}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{AH^{2}} = \frac{7}{3a^{2}} \Rightarrow AH = \frac{a\sqrt{21}}{7}$
Câu 2: Thông hiểu
Tính thể tích khối lăng trụ

Cho một khối lăng trụ đứng như hình vẽ:

Biết đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh bằng a, $CC' = 4a;BD = a\sqrt{3}$ . Tính thể tích $V$ của lăng trụ đứng đã cho?
- A.
  $V = 2a^{3}\sqrt{3}$
- B.
  $V = 4a^{3}\sqrt{3}$
- C.
  $V = \frac{2a^{3}\sqrt{3}}{3}$
- D.
  $V = \frac{4a^{3}\sqrt{3}}{3}$
Kí hiệu hình vẽ như sau:

Gọi giao điểm của AC và BD là I

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}AC\bot BD \\BI = \dfrac{BD}{2} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \\\end{matrix} ight.$

Xét tam giác vuông BAI vuông tại I ta có:

$AI^{2} = BA^{2} - BI^{2} = a^{2} - \left( \frac{a\sqrt{3}}{2} ight)^{2} = \frac{a^{2}}{4}$

$\Rightarrow AI = \frac{a}{2} \Rightarrow AC = a$

Diện tích hình bình hành ABCD là:

$S_{ABCD} = 2S_{ABC} = 2.\frac{1}{2}.BI.AC$

$= 2.\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.a = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}$

Vậy $V_{ABCD.A'B'C'D'} = S_{ABCD}.CC' = 2a^{3}\sqrt{3}$
Câu 3: Thông hiểu
Tính góc giữa mặt phẳng (SAD) và (SCD)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), AB = BC = a, AD = 2a. Biết góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 45⁰. Tính góc giữa mặt phẳng (SAD) và (SCD).
- A. 90⁰
- B. 30⁰
- C. 60⁰
- D. 45⁰
Tam giác ABC vuông cân tại B, suy ra $AC = AB\sqrt 2 = a\sqrt 2$
Vì $SA \bot \left( {ABCD} ight)$ nên AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABCD).
Khi đó
$\begin{matrix} \widehat {\left( {SC;\left( {ABCD} ight)} ight)} = \widehat {\left( {SC;AC} ight)} = \widehat {SCA} = {45^0} \hfill \\ \Rightarrow SA = AC = a\sqrt 2 \hfill \\ \end{matrix}$
Gọi M là trung điểm của AD => CM ⊥ AD.
Mà CM ⊥ SA nên CM ⊥ (SAD) => CM ⊥ SD
Hạ CH ⊥ SD . Khi đó SD ⊥ (CMH) => MH ⊥ SD
Ta có:
$\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {(SAD) \cap (SCD) = SD} \\ {MH \subset (SAD)} \\ {MH \bot SD} \\ {CH \subset (SCD)} \\ {CH \bot SD} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \widehat {((SAD),(SCD))} = \widehat {(MH,CH)} = \widehat {MHC} \hfill \\ \end{matrix}$
Ta lại có: $SD = \sqrt {S{A^2} + A{D^2}} = a\sqrt 6 ;CM = AB = a$
$\begin{matrix} \Delta SAD \sim \Delta MHD \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{{SA}}{{SD}} = \dfrac{{MH}}{{MD}} \hfill \\ \Rightarrow MH = \dfrac{{SA.MD}}{{SD}} = \dfrac{{a\sqrt 2 a}}{{a\sqrt 6 }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3} \hfill \\ \end{matrix}$
Tam giác MHC vuông tại M
$\Rightarrow \tan \widehat {MHC} = \frac{{CM}}{{MH}} = \frac{a}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{3}}} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {MHC} = {60^0}$
Vậy $\left( {\widehat {\left( {SAD} ight);\left( {SCD} ight)}} ight) = {60^0}$
Câu 4: Thông hiểu
Tính góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD)

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh bên bằng cạnh đáy và bằng a. Gọi M là trung điểm của SC. Tính góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD).
- A. $90^0$
- B. $30^0$
- C. $60^0$
- D. $45^0$
Gọi O là tâm hình vuông ABCD, suy ra SO ⊥ (ABCD).
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {BD \bot SO} \\ {BD \bot AO} \end{array}} ight. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} ight) \Rightarrow BD \bot OM$
Do $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {(MBD) \cap (ABCD) = BD} \\ {OM \subset (MBD)} \\ {OM \bot BD} \\ {OC \subset (ABCD)} \\ {OC \bot BD} \end{array}} ight.$
$\Rightarrow \widehat {\left( {MBD),(ABCD)} ight)} = (\widehat {OM,OC}) = \widehat {MOC}$
Tam giác SOC vuông tại O, trung tuyến OM, suy ra $OM = MC = \frac{{CS}}{2} = \frac{a}{2}$
=> Tam giác MOC cân tại M.
=> $OC = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$
Khi đó $\cos \widehat {MOC} = \frac{{OC}}{{SC}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{a} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \widehat {MOC} = {45^{^0}}$
Vậy $\widehat {\left( {\left( {MDB} ight);\left( {ABCD} ight)} ight)} = {45^0}$
Câu 5: Thông hiểu

Xác định tính đúng sai của các kết luận

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB, SC. Giả sử HK cắt BC tại D. Khi đó:

a) $\widehat{(AC;AD)} = 90^{0}$ Đúng||Sai

b) $AH\bot(SBC)$ Đúng||Sai

c) $\widehat{(SC;HK)} = 90^{0}$ Đúng||Sai

d) Tam giác SBC cân tại B. Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB, SC. Giả sử HK cắt BC tại D. Khi đó:

a) $\widehat{(AC;AD)} = 90^{0}$ Đúng||Sai

b) $AH\bot(SBC)$ Đúng||Sai

c) $\widehat{(SC;HK)} = 90^{0}$ Đúng||Sai

d) Tam giác SBC cân tại B. Sai||Đúng

$\widehat{(AC;AD)} = 90^{0}$ đúng

$AH\bot(SBC)$ đúng

$\widehat{(SC;HK)} = 90^{0}$ đúng

Tam giác SBC cân tại B. sai
Câu 6: Thông hiểu
Tìm mệnh đề đúng

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ , cạnh đáy bằng $2a$ , đường cao bằng $a\sqrt{2}$ . Giả sử $\left( (SCD);(ABCD) ight) = \alpha$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $\tan\alpha = \sqrt{3}$
- B.
  $\tan\alpha = 2$
- C.
  $\tan\alpha = \frac{\sqrt{2}}{12}$
- D.
  $\tan\alpha = \sqrt{2}$
Hình vẽ minh họa

Gọi $O = AC \cap BC$ , M là trung điểm của CD.

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} (SCD) \cap (ABCD) = CD \\ OM\bot CD \\ SM\bot CD \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \alpha = (OM;SM) = \widehat{SMO}$

Trong tam giác SMO có $\tan\widehat{SMO} = \frac{SO}{OM} = \frac{a\sqrt{2}}{a} = \sqrt{2}$

$\Rightarrow \tan\alpha = \sqrt{2}$
Câu 7: Thông hiểu
Hãy xác định góc giữa cặp vecto

Cho hình lâp phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặp vecto $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {EG}$ ?
- A.
  90⁰
- B.
  60⁰
- C.
  145⁰
- D.
  120⁰
Hình vẽ minh họa
Ta có: AEGC là hình chữ nhật nên EG // AC
Vì ABCD là hình vuông nên
=> $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {EG} } ight) = \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } ight) = \widehat {BAC} = {45^0}$
Câu 8: Thông hiểu
Tính khoảng các d giữa hai đường thẳng BB' và A'H

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh có độ dài bằng 2a. Hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của BC. Tính khoảng các d giữa hai đường thẳng BB' và A'H
- A.
  $d = 2a$
- B.
  $d = a$
- C.
  $d=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
- D.
  $d=\frac{a\sqrt{3}}{3}$
Do $BB’ // AA’$ nên $d(BB′;A′H)=d(BB′;(AA′H))=d(B;(AA′H))$
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {BH \bot AH} \\ {BH \bot A\prime H} \end{array} \Rightarrow BH \bot \left( {AA\prime H} ight)} ight.$
Nên $d(B;(AA′H))=BH=BC/2=a$
Vậy khoảng cách $d(BB′;A′H)=a$
Câu 9: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Tính thể tích khối lăng trụ đứng tam giác, đáy là tam giác đều cạnh $2a$ , cạnh bên bằng $3a$ .
- A.
  $6\sqrt{3}a^{3}$
- B.
  $3\sqrt{3}a^{3}$
- C.
  $2\sqrt{3}a^{3}$
- D.
  $\sqrt{2}a^{3}$
Hình vẽ minh họa

Khối lăng trụ đã cho có đáy là tam giác đều cạnh bằng 2a nên diện tích là $\frac{(2a)^{2}\sqrt{3}}{4}$ và chiều cao $AA' = 3a$ (vì lăng trụ là lăng trụ đứng)

Vậy thể tích hình lăng trụ là: $V = \frac{(2a)^{2}\sqrt{3}}{4}.3a = 3\sqrt{3}a^{3}$
Câu 10: Vận dụng cao
Diện tích MNPQ bằng:

Cho tứ diện ABCD trong đó AB = 6; CD = 3, góc giữa AB và CD là 60⁰ và điểm M trên BC sao cho BM = 2MC. Mặt phẳng (P) qua M song song với AB và CD cắt BD, AD, AC lần lượt tại M, N, Q. Diện tích MNPQ bằng:
- A.
  $2\sqrt{2}$
- B.
  $\sqrt{3}$
- C.
  $2\sqrt{3}$
- D.
  $\frac{3}{2}$
Hình vẽ minh họa:

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} (MNPQ)//AB \\ (MNPQ) \cap (ABC) = MQ \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow MQ//AB$

Tương tự ta có: MN // CD, NP // AB, QP // CD

Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành

Ta có: (AB, CD) = (QM, MP) = 60⁰

Suy ra: $S_{MNPQ} = QM.QN.sin60^{0}$

Ta có:

$\begin{matrix}\Delta CMQ\sim\Delta CBA \hfill\\\Rightarrow \dfrac{CM}{CB} = \dfrac{MQ}{AB} = \dfrac{1}{3} \hfill\\\Rightarrow MQ = 2 \hfill\\\Delta AQN\sim\Delta ACD \hfill \\\Rightarrow \dfrac{AQ}{AC} = \dfrac{QN}{CD} = \dfrac{2}{3} \hfill\\\Rightarrow MQ = 2 \hfill \\\end{matrix}$

=> $S_{MNPQ} = QM.QN.sin60^{0} = 2.2.\frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$
Câu 11: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Trong không gian cho đường thẳng $\Delta$ và điểm $A$ . Qua điểm $A$ có bao nhiêu đường thẳng vuông góc với $\Delta$ ?
- A.
  $3$
- B.
  Vô số
- C.
  $1$
- D.
  $2$
Trong không gian có vô số đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
Câu 12: Vận dụng cao
Tính giá trị cos α

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; SAB là tam giác cân tại S; AD = 3BC = 3AB = 3a. Gọi M là điểm thuộc đoạn AD sao cho AD = 3MD. Biết rằng SCM là tam giác đều. Gọi α là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD). Khi đó cos α nhận giá trị là
- A. $\frac{{2\sqrt 7 }}{7}$
- B. $\frac{{\sqrt {21} }}{7}$
- C. $\frac{{\sqrt {42} }}{{14}}$
- D. $\frac{{\sqrt {154} }}{{14}}$
Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.
Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a
=> MD = a; AM = 2a
Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.
Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và $HK = \frac{{3a}}{2}$
Ta có: $\left\{ \begin{gathered} AB \bot SK \hfill \\ AB \bot HK \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow AB \bot SH$ (1)
Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)
Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)
Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.
Suy ra $HM = HN = \frac{1}{2}CM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$ và $HM \bot HN$
Tam giác SCM đều cạnh bằng $a\sqrt 2$ nên $SH = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$
Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).
Ta có: $\frac{1}{{{d^2}}} = \frac{1}{{H{M^2}}} + \frac{1}{{H{N^2}}} + \frac{1}{{H{S^2}}}$
$= \frac{4}{{2{a^2}}} + \frac{4}{{2{a^2}}} + \frac{4}{{6{a^2}}} = \frac{{14}}{{3{a^2}}} \Rightarrow d = \frac{{a\sqrt {42} }}{{14}}$
Ta lại có:
$SB = \sqrt {S{H^2} + B{H^2}} = \sqrt {S{H^2} + B{K^2} + K{H^2}}$
$= \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{2} + \frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{9{a^2}}}{4}} = 2a$
Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)
Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc $\widehat {BSI} = \alpha$
Do BC // AD => BC //(SAD)
=> $BI = d\left( {B;\left( {SAD} ight)} ight) = d\left( {C;\left( {SAD} ight)} ight) = 2d\left( {H,\left( {SAD} ight)} ight) = \frac{{a\sqrt {42} }}{7}$
Trong tam giác vuông BIS ta có:
$\sin \alpha = \frac{{BI}}{{SB}} = \frac{{\sqrt {42} }}{{14}} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\sqrt {154} }}{{14}}$
Câu 13: Thông hiểu
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, cạnh a, $\widehat{BAD} = 60^{0};SA = SB = SD = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ . Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $\tan\varphi = \sqrt{5}$
- B.
  $\tan\varphi = \frac{\sqrt{5}}{5}$
- C.
  $\tan\varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}$
- D.
  $\varphi = 45^{0}$
Hình vẽ minh họa:

Từ giả thiết suy ra tam giác ABD đều cạnh a.

Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD).

Do SA = SB = SD nên suy ra H cách đều các đỉnh của tam giác ABD hay H là tâm của tam giác đều ABD.

Suy ra:

$\begin{matrix}HI = \dfrac{AI}{3} = \dfrac{a\sqrt{3}}{6} \hfill\\SH = \sqrt{SA^{2} - AH^{2}} = \dfrac{a\sqrt{15}}{6}\hfill \\\end{matrix}$

Vì ABCD là hình thoi nên HI ⊥ BD.

Tam giác SBD cân tại S nên SI ⊥ BD

=> ((SBD), (ABCD)) = (SI, AI) = $\widehat{SIH}$

Trong tam vuông SHI ta có: $\tan\widehat{SIH} = \frac{SH}{HI} = \sqrt{5}$
Câu 14: Thông hiểu
Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SBC)

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên $SA=a\sqrt{3}$ và vuông góc với mặt đáy (ABC). Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SBC).
- A.
  $d=\frac{a\sqrt{15}}{5}$
- B.
  $d=a$
- C.
  $d=\frac{a\sqrt{5}}{5}$
- D.
  $d=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
Hình vẽ minh họa:
Gọi M là trung điểm BC
=>AM ⊥ BC và $AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$
Gọi K là hình chiếu của A trên SM => AK ⊥ SM (1)
Ta có: $\left\{ \begin{gathered} AM \bot BC \hfill \\ BC \bot SA \hfill \\ \end{gathered} ight.$
$\Rightarrow BC \bot (SAM) \Rightarrow BC \bot AK{\text{ }}\left( 2 ight)$
Từ (1) và (2) $=> AK⊥(SBC) => d(A;(SBC)) = AK$
Xét tam giác SAM ta có:
$AK = \frac{{SA.AM}}{{\sqrt {S{A^2} + A{M^2}} }} = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}$
Vậy $d(A;(SBC)) = AK = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}$
Câu 15: Thông hiểu
Tính góc giữa hai đường thẳng

Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có $AB = a;AA' = a\sqrt{3}$ . Tính góc giữa hai đường thẳng $AB'$ và $CC'$ ?
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $60^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $AA'//CC'$ nên góc giữa hai đường thẳng $AB'$ và $CC'$ là góc giữa $AA'$ và $AB'$ và bằng góc $\widehat{A'AB}$

Với $AB = a;AA' = a\sqrt{3}$ ta có: $\tan\widehat{A'AB} = \frac{A'B'}{AA'} = \frac{a}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow \widehat{A'AB} = 60^{0} \Rightarrow (AB';CC') = 60^{0}$
Câu 16: Nhận biết
Mệnh đề nào là mệnh đề đúng

Mệnh đề nào là mệnh đề đúng?
- A.
  Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng (P) bằng độ dài đoạn AH với H là một điểm bất kì trên mặt phẳng (P).
- B.
  Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng (P) bằng độ dài đoạn AH với AH vuông góc với (P).
- C.
  Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng (P) là độ dài nhỏ nhất của đoạn AH.
- D.
  Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng (P) bằng độ dài đoạn AH với H là hình chiếu vuông góc của A trên (P).
Khẳng định đúng: “Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng (P) bằng độ dài đoạn AH với H là hình chiếu vuông góc của A trên (P).”
Câu 17: Thông hiểu
Xác định số khẳng định đúng

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ , $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Giả sử $H$ là hình chiếu của $A$ trên cạnh $SB$ . Ta có các khẳng định sau:

a) $AH\bot SC$ b) $BC\bot(SAB)$ c) $SC\bot AB$

Có bao nhiêu khẳng định đúng trong các khẳng định đã cho?
- A.
  $3$
- B.
  $1$
- C.
  $0$
- D.
  $2$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BC\bot AB \\ BC\bot SA \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAB)$

$\Rightarrow BC\bot AH;\left( do\ \ \ AH \subset (SAB) ight)$

Lại có: $\left\{ \begin{matrix} AH\bot SB \\ AH\bot BC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AH\bot(SBC) \Rightarrow AH\bot SC$

Vậy có 2 khẳng định đúng.
Câu 18: Nhận biết
Tính chiều cao hình chóp

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $x$ , SA vuông góc với đáy và $SA = x\sqrt{3}$ . Tính chiều cao hình chóp $S.ABC$ ?
- A.
  $V = \frac{x^{3}}{4}$
- B.
  $V = \frac{x^{3}}{2}$
- C.
  $V = \frac{3x^{3}}{4}$
- D.
  $V = 4x^{3}$
Ta có $SA\bot(ABC)$ nên SA là đường cao của hình chóp

Tam giác ABC đều cạnh x nên $S_{ABC} = \frac{x^{2}\sqrt{3}}{4}$

Vậy thể tích hình chóp là: $V_{S.ABC} = \frac{1}{3}SA.S_{ABC} = \frac{1}{3}.\frac{x^{2}\sqrt{3}}{4}.x\sqrt{3} = \frac{x^{3}}{4}$
Câu 19: Vận dụng
Tính diện tích thiết diện

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$ cạnh bằng $a$ , $SA\bot(ABCD);SA = a\sqrt{3}$ . Giả sử $(\alpha)$ là mặt phẳng đi qua điểm $B$ và vuông góc với $SC$ . Tính diện tích thiết diện tạo bởi hình chóp và mặt phẳng $(\alpha)$ ?
- A.
  $\frac{a^{2}\sqrt{15}}{10}$
- B.
  $\frac{a^{2}\sqrt{15}}{5}$
- C.
  $\frac{a^{2}\sqrt{15}}{20}$
- D.
  $\frac{a^{2}\sqrt{5}}{10}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BD\bot AC \\ BD\bot SA \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BD\bot(SAC)$

Từ O dựng OH vuông góc với SC

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} SC\bot BD \\ SC\bot OE \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow SC\bot(BDH)$

Lại có $\left\{ \begin{matrix} (\alpha) \cap (SBC) = BH \\ (\alpha) \cap (SCD) = HD \\ (\alpha) \cap (ABCD) = DB \\ \end{matrix} ight.$

Vậy thiết diện cần tìm là tam giác BHD

$S_{BHD} = \frac{1}{2}OH.BD = \frac{1}{2}\frac{SA.CO}{CA}.BD = \frac{a^{2}\sqrt{15}}{10}$
Câu 20: Nhận biết
Tìm khẳng định đúng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
- A.
  AB vuông góc với mặt phẳng (SAC)
- B.
  AB vuông góc với mặt phẳng (SBC)
- C.
  AB vuông góc với mặt phẳng (SAD)
- D.
  AB vuông góc với mặt phẳng (SCD)
Khẳng định đúng là “AB vuông góc với mặt phẳng (SAD)”
Thật vậy, do SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AB
Mặt khác AB ⊥ AD.
Từ đó suy ra AB ⊥ (SDA)
Câu 21: Thông hiểu
Tính số đo góc giữa hai đường thẳng

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $a$ . Gọi $I;J$ lần lượt là trung điểm của $SC;BC$ . Tính số đo góc giữa hai đường thẳng $JI$ và $CD$ ?
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hình vẽ minh họa
Từ giả thiết ta có: $JI//AB$ (do IJ là đường trung bình tam giác SAB)
$\Rightarrow (IJ;CD) =(SB;AB)$
Mặt khác ta lại có tam giác SAB đều nên $\widehat{SBA} = 60^{0}$
$\Rightarrow (SB;AB) = 60^{0} \Rightarrow(IJ;CD) = 60^{0}$
Câu 22: Vận dụng
Tính góc giữa hai đường thẳng SM và CN

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông ABC cân với cạnh huyền $AB = 4\sqrt 2$ , cạnh bên $SC \bot \left( {ABC} ight)$ và $SC = 2$ . Gọi M là trung điểm AC, N là trung điểm AB. Tính góc giữa hai đường thẳng SM và CN.
- A. ${30^o}$
- B. ${45^o}$
- C. ${90^o}$
- D. ${60^o}$
Đặt $\overrightarrow {CA} = \overrightarrow x ;\overrightarrow {CB} = \overrightarrow y ;\overrightarrow {CS} = \overrightarrow z$
Do tam giác vuông cân ABC tại C có $AB = 4\sqrt 2$ suy ra:
$CA = CB = 4;CN = 2\sqrt 2 ;SM = 2\sqrt 2$
Ta có:
$\begin{matrix} \overrightarrow {CN} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } ight) = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow x + \overrightarrow y } ight) \hfill \\ \overrightarrow {SM} = \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {CM} = - \overrightarrow z + \dfrac{1}{2}\overrightarrow x \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy $\overrightarrow {CN} .\overrightarrow {SM} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow x + \overrightarrow y } ight)\left( {\overrightarrow x - 2\overrightarrow z } ight)$
Mặt khác: $\left\{ \begin{gathered} {\overrightarrow x ^2} = {\overrightarrow y ^2} = 16 \hfill \\ {\overrightarrow z ^2} = 4 \hfill \\ \overrightarrow x .\overrightarrow y = \overrightarrow y .\overrightarrow z = \overrightarrow z .\overrightarrow x = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$
$\Rightarrow \overrightarrow {CN} .\overrightarrow {SM} = \frac{1}{4}\left( {{{\overrightarrow x }^2} - 2\overrightarrow x .\overrightarrow z + \overrightarrow y .\overrightarrow x - 2\overrightarrow y .\overrightarrow z } ight) = 4$
Gọi $\alpha$ góc giữa hai véctơ $\overrightarrow {SM}$ và $\overrightarrow {CN}$
Theo công thức tích vô hướng của hai véctơ ta có:
$\begin{matrix} \overrightarrow {CN} .\overrightarrow {SM} = \left| {\overrightarrow {CN} } ight|.\left| {\overrightarrow {SM} } ight|.{\text{cos}}\alpha \hfill \\ \Rightarrow {\text{cos}}\alpha = \dfrac{{\overrightarrow {CN} .\overrightarrow {SM} }}{{\left| {\overrightarrow {CN} } ight|.\left| {\overrightarrow {SM} } ight|}} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \Rightarrow \alpha = {60^o} \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy góc giữa hai đường thẳng SM và CN bằng ${60^o}$
Câu 23: Vận dụng
Tính sin của góc tạo bởi đường thẳng MD và mặt phẳng (SCD)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AD = 2BC = 2AB = 2a, SA = 2a và SA vuông góc với ABCD. Gọi M là trung điểm SB và $\varphi$ là góc tạo bởi đường thẳng MD và mặt phẳng (SCD). Khi đó $\sin\varphi$ bằng:
- A. $\frac{{\sqrt {10} }}{{24}}$
- B. $\frac{{\sqrt {10} }}{{12}}$
- C. $\frac{{\sqrt {15} }}{{24}}$
- D. $\frac{{\sqrt {15} }}{{12}}$
Ta có tam giác SAB vuông tại A nên $AM = \frac{{2a}}{{\sqrt 5 }}$
Ta có: $\left\{ \begin{gathered} AD \bot AB \hfill \\ A{\text{D}} \bot SA \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow A{\text{D}} \bot \left( {SAB} ight) \Rightarrow A{\text{D}} \bot MA$
Xét tam giác MDA vuông tại A theo định lí Pytago ta có:
$MD = \sqrt {A{D^2} + A{M^2}} = \sqrt {4\,{a^2} + \frac{{4\,{a^2}}}{5}} = \frac{{2\sqrt {30} a}}{5}$
Ta có $\frac{{{d_{\left( {M,\,\left( {SC{\text{D}}} ight)} ight)}}}}{{{d_{\left( {B,\,\left( {SC{\text{D}}} ight)} ight)}}}} = \frac{{SM}}{{SB}} = \frac{1}{2}$
Gọi N là giao của AB và CD. Gọi P là trung điểm AD nên ABCP là hình vuông
=> $CP = a \Rightarrow CP = \frac{1}{2}AD$
Ta có (hai đường chéo hình vuông)
Mặt khác BP // CD.
Do đó tam giác ACD vuông tại nên tam giác ACN vuông tại C, mặt khác $BC \bot AN$ nên B là trung điểm AN.
Ta có AB giao (SCB) tại N nên
$\frac{{{d_{\left( {B,\,\left( {C{\text{SD}}} ight)} ight)}}}}{{{d_{\left( {A,\left( {SCA} ight)} ight)}}}} = \frac{{NB}}{{NA}} = \frac{1}{2} \Rightarrow {d_{\left( {M,\left( {SC{\text{D}}} ight)} ight)}} = \frac{1}{4}{d_{\left( {A,\left( {SCA} ight)} ight)}}$
Ta có $\left\{ \begin{gathered} CD \bot AC \hfill \\ CD \bot SA \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow CD \bot \left( {SAC} ight)$
Trong (SAC) kẻ $AH \bot SC$
$\Rightarrow AH \bot \left( {SC{\text{D}}} ight) \Rightarrow {d_{\left( {A,\left( {SC{\text{D}}} ight)} ight)}} = AH \Rightarrow {d_{\left( {M,\left( {SC{\text{D}}} ight)} ight)}} = \frac{1}{4}AH$
Xét tam giác SAC vuông tại A nên $AH = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}$
Do đó $\sin \varphi = \frac{{{d_{\left( {M,\left( {SC{\text{D}}} ight)} ight)}}}}{{MD}} = \frac{{1AH}}{{4MD}}=\frac{{\sqrt {10} }}{{24}}$
Câu 24: Thông hiểu
Tính (SC; (ABC))

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ , $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết rằng $AB = a;BC = 3a;SA = a\sqrt{30}$ . Tính $\left( SC;(ABC) ight)$ ?
- A.
  $45^{0}$
- B.
  $90^{0}$
- C.
  $60^{0}$
- D.
  $30^{0}$
Hình vẽ minh họa

Do AC là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (ABC) nên $\left( SC;(ABC) ight) = \widehat{SCA}$

Ta có: $AC = \sqrt{AB^{2} + BC^{2}} = a\sqrt{10}$

Khi đó $\tan\widehat{SCA} = \frac{SA}{AC} = \frac{a\sqrt{30}}{a\sqrt{10}} = \sqrt{3}$

$\Rightarrow \widehat{SCA} = 60^{0}$

$\Rightarrow \left( SC;(ABC) ight) = 60^{0}$
Câu 25: Nhận biết
Tính góc giữa hai đường thẳng

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ . Góc giữa hai đường thẳng $A'B$ và $AD'$ bằng:
- A.
  $90^{0}$
- B.
  $45^{0}$
- C.
  $60^{0}$
- D.
  $30^{0}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $A'B//D'C$ nên góc giữa hai đường thẳng $A'B$ và $AD'$ bằng góc giữa hai đường thẳng $D'C$ và $AD'$ và bằng góc $\widehat{AD'C}$

Mà tam giác ACD’ là tam giác đều nên $\widehat{AD'C} = 60^{0}$

$\Rightarrow (A'B;AD') = 60^{0}$
Câu 26: Nhận biết
Tổng số mệnh đề đúng

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến ∆. Gọi ϕ là góc giữa (P) và (Q). Có tất cả bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

(1) ϕ bằng góc giữa hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với ∆.

(2) ϕ bằng góc giữa hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với ∆, lần lượt nằm trên (P) và (Q).

(3) ϕ bằng góc giữa hai đường thẳng a và b đồng quy với ∆, cùng vuông góc với ∆, lần lượt nằm trên (P) và (Q).
- A.
  0
- B.
  1
- C.
  2
- D.
  3
Ta có: a và b chỉ cần lần lượt nằm trong (P), (Q) cùng vuông góc với ∆ là đủ, thêm đồng quy với ∆ càng tốt nên có tất cả 2 mệnh đề đúng.
Câu 27: Nhận biết
Mặt phẳng (BCD) vuông góc với mặt phẳng nào

Cho tứ diện ABCD có: $AB = AC = AD$ , $\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = {60^0}$ . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Mặt phẳng (BCD) vuông góc với mặt phẳng:
- A.
  (CDM)
- B.
  (ACD)
- C.
  (ABN)
- D.
  (ABC)
Hình vẽ minh họa:
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {BN \bot CD} \\ {AN \bot CD} \end{array} \Rightarrow } ight.CD \bot \left( {ABN} ight)$
Mà $CD \subset \left( {BCD} ight) \Rightarrow \left( {BCD} ight) \bot \left( {ABN} ight)$
Câu 28: Nhận biết
Tính thể tích khối chóp

Cho một khối chóp có diện tích đáy bằng $3a^{2}$ , chiều cao bằng $a$ . Thể tích khối chóp đã cho là:
- A.
  $V = \frac{3}{2}a^{3}$
- B.
  $V = 3a^{3}$
- C.
  $V = \frac{1}{3}a^{3}$
- D.
  $V = a^{3}$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} B = 3a^{2} \\ h = a \\ \end{matrix} ight.$

Thể tích khối chóp là: $V = \frac{1}{3}B.h = a^{3}$
Câu 29: Vận dụng
Chọn mệnh đề đúng

Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (SCD). Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $\tan\alpha = \sqrt{6}$
- B.
  $\tan\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$
- C.
  $\tan\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$
- D.
  $\tan\alpha = \sqrt{2}$ (meta)
Hình vẽ minh họa:

Gọi O = AC ∩BD. Do hình chóp S.ABCD đều => SO ⊥ (ABCD).

Gọi M là trung điểm của SD.

Tam giác SCD đều nên CM ⊥ SD.

Tam giác SBD có SB = SD = a, $BD = a\sqrt{2}$ nên vuông tại S

=> SB ⊥ SD => OM ⊥ SD

=> ((SBD),(SCD)) = (OM, CM) = $\widehat{OMC}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} OC\bot BD \\ OC\bot SO \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow OC\bot(SBD) \Rightarrow OC\bot OM$

Tam giác vuông MOC ta có:

$\tan\widehat{OMC} = \frac{OC}{OM} = \sqrt{2}$
Câu 30: Vận dụng cao
Tính tanx

Cho hình chop SABC có SA ⊥ (ABC), tam giác ABC đều cạnh 2a, SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 30⁰. Khi đó mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc x. Tính tan x.
- A.
  $\tan x = 2$
- B.
  $\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}$
- C.
  $\tan x = \frac{3}{2}$
- D.
  $\tan x = \frac{2}{3}$
Hình vẽ minh họa:

Ta có SA ⊥ (ABC)

=> AB là hình chiếu của AB lên (ABC).

$\begin{matrix}\Rightarrow \widehat{SBA} = \widehat{\left( SB;(ABC) ight)} = 30^{0} \hfill\\SA = AB.\tan30^{0} = \dfrac{2a\sqrt{3}}{3}\hfill \\\end{matrix}$

Gọi M là trung điểm của BC, ta có ∆ABC đều cạnh 2a

=> $AM = a\sqrt{3}$ và $\left\{ \begin{matrix} (SBC) \cap (ABC) = BC \\ AM\bot BC \\ SM\bot BC \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \widehat{SMA} = \widehat{\left( (SBC);(ABC) ight)} = x$

$\tan x = \frac{SA}{AM} = \frac{2a\sqrt{3}}{3}.a\sqrt{3} = \frac{2}{3}$
Câu 31: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng?

Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
- A.
  Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì nằm trong mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.
- B.
  Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
- C.
  Một đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau nếu nó vuông góc với cả hai đường thẳng đó.
- D.
  Các mệnh đề trên đều sai.
Đáp án đúng: “Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.”
Câu 32: Thông hiểu
Xác định thể tích khối chóp tứ giác

Cho khối chóp $S.ABCD$ có $SA\bot(ABCD)$ ; đáy $ABCD$ là hình chữ nhật $AB = a;AD = a\sqrt{3}$ . Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ , biết mặt phẳng $(SBC)$ tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng $60^{0}$ .
- A.
  $V = \sqrt{3}a^{3}$
- B.
  $V = \frac{\sqrt{3}}{3}a^{3}$
- C.
  $V = a^{3}$
- D.
  $V = 2\sqrt{3}a^{3}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $S_{ABCD} = a^{2}\sqrt{3}$

Vì $\left\{ \begin{matrix} (SBC) \cap (ABCD) = BC \\ BC\bot SB \subset (SBC) \\ BC\bot AB \subset (ABCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left( (SBC);(ABCD) ight) = (SB;AB) = \widehat{SBA}$

Vậy $\widehat{SBA} = 60^{0}$

Xét tam giác vuông SAB có

$\tan60^{0} = \frac{SA}{AB} \Rightarrow SA= AB.\tan60^{0} = a\sqrt{3}$

Vậy $V_{S.ABCD} = \frac{1}{3}S_{ABCD}.SA = \frac{1}{3}.a^{2}\sqrt{3}.a\sqrt{3} = a^{3}$
Câu 33: Vận dụng
Chọn đáp án chính xác

Tính thể tích khối chóp tam giác đều cạnh đáy bằng $a$ . Biết độ dài chiều cao của tam giác đáy và cạnh bên của hình chóp tỉ lệ $1 : 2$ ?
- A.
  $V = \frac{\sqrt{3}a^{3}}{2}$
- B.
  $V = \frac{\sqrt{6}a^{3}}{18}$
- C.
  $V = \frac{\sqrt{2}a^{3}}{6}$
- D.
  $V = \frac{\sqrt{2}a^{3}}{4}$
Hình vẽ minh họa

Gọi H là trọng tâm tam giác ABC suy ra $SH\bot(ABC)$

Gọi M là trung điểm của BC

$\Rightarrow AM\bot BC;AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Vì độ dài chiều cao của tam giác đáy và cạnh bên của hình chóp tỉ lệ 1 : 2

Hay $AM = \frac{1}{2}SA$

$\Rightarrow SA = a\sqrt{3}$

Xét tam giác SAH vuông tại H ta có:

$\Rightarrow SH = \sqrt{SA^{2} - AH^{2}}$

$= \sqrt{\left( a\sqrt{3} ight)^{2} - \left( \frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2} ight)^{2}} = \frac{2a\sqrt{6}}{2}$

Vậy $V_{S.ABC} = \frac{1}{3}.S_{ABC}.SH = \frac{1}{3}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}.\frac{2a\sqrt{6}}{3} = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{6}$
Câu 34: Thông hiểu
Chọn mệnh đề đúng

Trong không gian cho tam giác đều SAB và hình vuông ABCD cạnh a nằm trên hai mặt phẳng vuông góc. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, CD. Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $\tan\phi = \frac{\sqrt{2}}{3}$
- B.
  $\tan\phi = \frac{2\sqrt{3}}{3}$
- C.
  $\tan\phi = \frac{\sqrt{3}}{3}$
- D.
  $\tan\phi = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Hình ảnh minh họa:

Dễ dàng xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đường thẳng d đi qua S và song song với AB.

Trong mặt phẳng (SAB) có SH ⊥ AB => SH ⊥ d.

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} CD\bot HK \\ CD\bot SH \\ \end{matrix} \Rightarrow CD\bot(SHK) \Rightarrow CD\bot SK ight.$

=> d ⊥ SK. Từ đó suy ra ((SAB), (SCD)) = (SH, SK) = $\widehat{HSK}$

Trong tam giác vuông SHK ta có: $\tan\widehat{HSK} = \frac{HK}{SH} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$
Câu 35: Nhận biết
Hoàn thành mệnh đề

Các đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì:
- A.
  Thuộc một mặt phẳng
- B.
  Vuông góc với nhau
- C.
  Song song với một mặt phẳng
- D.
  Song song với nhau
Đáp án "Thuộc một mặt phẳng" sai vì có thể xảy ra trường hợp chúng nằm trên nhiều mặt phẳng khác nhau.
Đáp án "Vuông góc với nhau" sai vì có thể xảy ra trường hợp chúng song song với nhau.
Đáp án "Song song với nhau" sai vì có thể xảy ra trường hợp chúng cắt nhau.
Đáp án "Song song với một mặt phẳng" đúng vì chúng đồng phẳng.
Câu 36: Nhận biết
Xác định góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa cặp đường thẳng nào sau đây?
- A.
  (SB, SO)
- B.
  (SB, BD)
- C.
  (SB, SA)
- D.
  (SO, BD)
Hình vẽ minh họa:
Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cắt nhau theo giao tuyến SO và cùng vuông góc với đáy nên SO ⊥ (ABCD).
Vậy góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SB và BD.
Câu 37: Thông hiểu
Xác định khẳng định đúng

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?
- A.
  $AC'\bot(A'BD)$
- B.
  $AC'\bot(A'DC')$
- C.
  $AC'\bot(A'CD')$
- D.
  $AC'\bot(A'B'CD)$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $B'C'\bot(ABB'A') \Rightarrow B'C'\bot A'B$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} A'B\bot AB' \\ A'B\bot B'C' \\ AB' \cap B'C' = B' \\ AB';B'C' = B' \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A'B\bot(AB'C') \Rightarrow A'B\bot AC'$

Mặt khác $BD\bot(ACC'A') \Rightarrow BD\bot AC'$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} A'B\bot AC' \\ BD\bot AC' \\ A'B \cap BD = B \\ A'B \cap BD \subset (A'BD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AC'\bot(A'BD)$
Câu 38: Vận dụng cao
Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAM)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có diện tích bằng 2a², $AB = a\sqrt{2}$ , BC = 2a. Gọi M là trung điểm của DC. Hai mặt phẳng (SBD) và (SAM) cùng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAM) bằng:
- A.
  $\frac{4a\sqrt{10}}{15}$
- B.
  $\frac{3a\sqrt{10}}{5}$
- C.
  $\frac{2a\sqrt{10}}{5}$
- D.
  $\frac{3a\sqrt{10}}{15}$
Hình vẽ minh họa:
Gọi H = AM ∩ BD
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}(SBD)\bot(ABC) \\(SAM)\bot(ABC) \\(SBD)\ \cap \ (SAM) = SH \\\end{matrix} ight.$
=> SH ⊥ (ABC)
Vì AB song song CD nên theo định lý Ta-lét ta có:
$\frac{HB}{HD} = \frac{AB}{DM} =2$
$\Rightarrow \frac{d\left( B;(SAM)ight)}{d\left( D;(SAM) ight)} = 2$
=> d(B; (SAM)) = 2d(D; (SAM))
Kẻ DK ⊥ AM tại K.
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}DK\bot AM \\DK\bot SH \\\end{matrix} ight.$ => DK ⊥ (SAM) tại K => d(D; (SAM)) = DK
=> d(B; (SAM)) = 2DK
Vì M là trung điểm của DC và ABCD là hình bình hành có diện tích 2a² nên ta có:
$S_{ADM} = \frac{1}{2}S_{ADC} =\frac{1}{4}S_{ABDC} = \frac{2a^{2}}{4} = \frac{a^{2}}{2}$
Lại có $CD = AB = a\sqrt{2}$
$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}DM = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\AD = BC = 2a \\\end{matrix} ight.$
Khi đó
$S_{ADM} =\frac{1}{2}AM.DM.sin\widehat{D}$
$\Leftrightarrow \frac{a^{2}}{2} =\frac{1}{2}.2a.sin\widehat{D}$
$\Rightarrow \sin\widehat{D} =\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \widehat{D} = 45^{0}$
Do vậy xét trong tam giác ADM ta có:
$\begin{matrix}AM^{2} = AD^{2} + DM^{2} - 2AD.DM.cos45^{0} \hfill\\AM^{2} = 4a^{2} + \dfrac{a}{2}^{2} -2.2a.\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.\dfrac{\sqrt{2}}{2} \hfill\\AM^{2} = \dfrac{5a^{2}}{2} \hfill\\\end{matrix}$
$AM = \frac{a\sqrt{10}}{2}$
Lại có $S_{ADM} =\frac{1}{2}DK.AM$
$\Rightarrow DK = \frac{2S_{ADM}}{AM} =\frac{2a}{\sqrt{10}} = \frac{a\sqrt{10}}{5}$
Từ đó $d\left( B;(SAM) ight) = 2.DK =\frac{2a\sqrt{10}}{5}$
Câu 39: Nhận biết
Tìm khẳng định đúng

Cho hình chóp $S.ABC$ có cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ . Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên cạnh $BC$ . Tìm khẳng định đúng dưới đây?
- A.
  $BC\bot AB$
- B.
  $BC\bot AC$
- C.
  $BC\bot SC$
- D.
  $BC\bot AH$
Hình vẽ minh họa
Ta có: $SA\bot(ABC) \Rightarrow SA\botBC$
Mà $SH\bot BC$
$\Rightarrow BC\bot(SAH) \RightarrowBC\bot AH$
Câu 40: Thông hiểu
Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$ , $SA = 2a;SA\bot(ABCD)$ . Xác định độ lớn khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBD)$ ?
- A.
  $\frac{3a}{2}$
- B.
  $\frac{2a}{3}$
- C.
  $\frac{a}{\sqrt{2}}$
- D.
  $\frac{a\sqrt{10}}{2}$
Hình vẽ minh họa

Gọi $O = AC \cap BD$

Kẻ $AK\bot SO;(K \in SO)(1)$

Ta có:

$SA\bot(ABCD) \Rightarrow SA\bot BD(*)$

Mà $AC\bot DB(**)$

Từ (*) và (**) suy ra $DB\bot(SAC) \Rightarrow BC\bot AK(2)$

Từ (1) và (2) suy ra $AK\bot(SBD) \Rightarrow d\left( A;(SBD) ight) = AK$

Xét tam giác $SAO$ vuông tại $A$ ta có: $\frac{1}{AK^{2}} = \frac{1}{AO^{2}} + \frac{1}{SA^{2}} = \frac{9}{4a^{2}} \Rightarrow AK = \frac{2a}{3}$

$\Rightarrow d\left( A;(SBD) ight) = \frac{2a}{3}$

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

32 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 Chân trời sáng tạo
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân
Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số ghép số liệu nhóm
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Đạo hàm
Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 9: Xác suất

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 11 Chân trời sáng tạo

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân

Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian

Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số ghép số liệu nhóm

Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 7: Đạo hàm

Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian

Chương 9: Xác suất