VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 CTST Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay

Câu 1: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SB vuông góc với mặt phẳng (ABCD) (tham khảo hình vẽ). Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  AC ⊥ (SCD)
- B.
  AC ⊥ (SBD)
- C.
  AC ⊥ (SBC)
- D.
  AC ⊥ (SAB)
Hình vẽ minh họa:
Từ giả thiết ABCD là hình vuông và SB vuông góc với đáy
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}AC\bot BD \\AC\bot SB \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow AC\bot(SBD)$
Câu 2: Vận dụng
Xác định thiết diện

Cho hình chóp đều SABC. Mặt phẳng (α) qua A, song song với BC và vuông góc với mặt phẳng (SBC). Thiết diện tạo bởi (α) với hình chóp đã cho là:
- A.
  tam giác đều
- B.
  tam giác cân
- C.
  tam giác vuông
- D.
  tứ giác
Hình vẽ minh họa:

Gọi I là trung điểm BC.

Trong tam giác SAI kẻ AH ⊥ SI (H ∈ SI).

Trong tam giác SBC, qua H kẻ đường song song với BC, cắt SC ở M, cắt SB ở N.

Qua cách dựng ta có BC // (AMN). (1)

Ta có: SI ⊥ AH, SI ⊥ MN (do SI ⊥ BC) => SI ⊥ (AMN) => (SBC) ⊥ (AMN). (2)

Từ (1) và (2), suy ra thiết diện cần tìm là tam giác AMN.

Dễ thấy H là trung điểm của MN mà AH ⊥ (SBC) suy ra AH ⊥ MN.

Tam giác AMN có đường cao AH vừa là trung tuyến nên nó là tam giác cân đỉnh A.
Câu 3: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA ⊥ (ABC). Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC, H là hình chiếu của I trên mặt phẳng đáy. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây?
- A. H là trung điểm của cạnh AB.
- B. H là trung điểm của cạnh BC.
- C. H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
- D. H là trọng tâm tam giác ABC.
Hình vẽ minh họa:
Ta có: SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ BC
Mà AB ⊥ BC => BC ⊥ (SAB) => BC ⊥ SB
=> Tam giác SBC vuông tại B => I là trung điểm của SC
Theo bài ra ta có: IH ⊥ (ABC) => IH // SA
=> H là trung điểm của cạnh AC,
Mà tam giác ABC vuông tại B => H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Câu 4: Thông hiểu
Tìm cosin góc nhị diện

Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác vuông tại đỉnh $B$ , cạnh $CD = a,BD = \frac{a\sqrt{6}}{3}$ , $AB = AC = AD = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ . Tính cosin của góc nhị diện [A, BC, D].
- A.
  $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .
- B.
  $\frac{1}{2}$ .
- C.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .
- D.
  $- \frac{1}{2}$ .
Hình vẽ minh họa

Gọi M, H lần lượt là trung điểm của BC, CD.

Do $\Delta BCD$ vuông tại $B$ nên $BH = CH = DH$ hay $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta BCD$ .

Mà $AB = AC = AD$ nên AH là đường cao kẻ từ $A$ xuống $(BCD)$ hay $AH\bot(BCD)$ .

$\Rightarrow AH\bot BC.$ (1)

M, H là trung điểm của BC, CD nên MH là đường trung bình của $\Delta BCD$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}MH = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{a\sqrt{6}}{6}. \\MH//BD \\\end{matrix} ight.$

Mà $MD\bot BC$ nên $MH\bot BC$ . (2)

Từ (1), (2) suy ra: $BC\bot(AMH)$ .

Suy ra: $\left\{ \begin{matrix} BC\bot AM \\ BC\bot MH \\ \end{matrix} \Rightarrow \lbrack A,BC,Dbrack = \widehat{AMH} ight.$ .

Lại có: $AH = \sqrt{AC^{2} - CH^{2}} = \sqrt{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} ight)^{2} - \left( \frac{a}{2} ight)^{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ .

$\Rightarrow \tan\widehat{AMH} = \frac{AH}{MH} = \sqrt{3} \Rightarrow \widehat{AMH} = \frac{\pi}{3} \Rightarrow \cos\widehat{AMH} = \frac{1}{2}.$
Câu 5: Thông hiểu
Tính cosin góc giữa hai đường thẳng

Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ có $SA = SB = SC = AB = a$ và $BC = a\sqrt{2}$ . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$ .
- A.
  $\frac{\sqrt{2}}{2}$
- B.
  $\frac{1}{2}$
- C.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$
- D.
  $1$
Hình vẽ minh họa

Giả sử M, N, Q lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB, AC

Mặt khác ta có: $\left\{ \begin{matrix} MN//AB \\ MQ//SC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (AB;SC) = (MN;MQ)$

Ta có: $AN = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

$NC = \sqrt{\frac{SC^{2} + BC^{2}}{2} -\frac{SB^{2}}{4}}$ $= \sqrt{\dfrac{a^{2} + 2a^{2}}{2} - \dfrac{a^{2}}{4}} =\dfrac{a\sqrt{5}}{2}$

Xét tam giác NAC có:

$NQ = \sqrt{\frac{NA^{2} + CN^{2}}{2} -\frac{AC^{2}}{4}}$ $= \sqrt{\dfrac{\dfrac{3a^{2}}{4} + \dfrac{5a^{2}}{4}}{2}- \dfrac{a^{2}}{4}} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

Xét tam giác MNQ ta có:

$\cos\widehat{NMQ} = \frac{MN^{2} +MQ^{2} - NQ^{2}}{2MN.MQ}$ $= \dfrac{\dfrac{a^{2}}{4} + \dfrac{a^{2}}{4} -\dfrac{3a^{2}}{4}}{2.\dfrac{a}{2}.\dfrac{a}{2}} = -\dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow \widehat{NMQ} = 120^{0} \Rightarrow (MN,MQ) = 180^{0} - 120^{0} = 60^{0}$

$\Rightarrow \cos(AB,SC) = \frac{1}{2}$
Câu 6: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng

Cho tứ diện ABCD. Gọi H là trực tâm của tam giác BCD và AH vuông góc với mặt phẳng đáy. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
- A.
  $CD \perp BD$
- B.
  $AC = BD$
- C.
  $AB = CD$
- D.
  $AB \perp CD$
Hình vẽ minh họa
Vì AH vuông góc với (BCD) suy ra $AH⊥CD$ (1)
Mà H là trực tâm của tam giác BCD $⇒BH⊥CD$ (2)
Từ (1), (2) suy ra: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {CD \bot AH} \\ {CD \bot BH} \end{array}} ight.$
$⇒CD⊥(ABH)⇒CD⊥AB$
Câu 7: Thông hiểu
Tính thể tích khối lăng trụ đứng

Cho khối lăng trụ $ABC.A'B'C$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại A. Biết $AB = a$ và góc giữa đường thẳng $BC'$ và mặt phẳng $(ACC'A')$ bằng $30^{0}$ . Tính thể tích khối lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ .
- A.
  $\frac{\sqrt{2}}{2}a^{3}$
- B.
  $\frac{1}{4}a^{3}$
- C.
  $\frac{3}{8}a^{3}$
- D.
  $\frac{2\sqrt{2}}{3}a^{3}$
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} AB\bot AC \\ AB\bot AA' \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AB\bot(ACC'A')$

Suy ra $\left( BC';(ACC'A') ight) = (BC';AC') = \widehat{AC'B} = 30^{0}$

Ta có: $AC' = \frac{AB}{tan30^{0}} = \sqrt{3}a$

$\Rightarrow AA' = \sqrt{\left( a\sqrt{3} ight)^{2} - a^{2}} = a\sqrt{2}$

Vậy $V_{ABC.A'B'C'} = AA'.S_{ABC} = \sqrt{2}a.\frac{1}{2}.a.a = \frac{\sqrt{2}}{2}a^{3}$
Câu 8: Nhận biết
Tính chiều cao của hình chóp

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Chiều cao của hình chóp bằng:
- A.
  $\frac{a\sqrt{2}}{3}$
- B.
  $\frac{a\sqrt{3}}{2}$
- C.
  $\frac{a\sqrt{3}}{4}$
- D.
  $\frac{a\sqrt{2}}{2}$
Hình vẽ minh họa:

Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên đáy ABCD là hình vuông và các cạnh bên bằng nhau.

Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD).

Khi đó các tam giác SOA, SOB, SOC, SOD bằng nhau nên bốn đoạn thẳng OA, OB, OC, OD bằng nhau.

Suy ra O trùng với tâm của hình vuông ABCD, hay O là giao điểm của AC và BD. Vậy chiều cao của hình chóp là:

$\begin{matrix}SO = \sqrt{SB^{2} - OB^{2}} \hfill \\= \sqrt{a^{2} - \dfrac{a^{2}}{2}} = \sqrt{\dfrac{a^{2}}{2}} =\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\hfill \\\end{matrix}$
Câu 9: Thông hiểu
Tính khoảng cách

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có các cạnh bằng $1$ . Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(ABB')$ và $(CC'D')$ .
- A.
  $1$ .
- B.
  $2$ .
- C.
  $\sqrt{2}$ .
- D.
  $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .
Hình vẽ minh họa

Vì $ABCD.A'B'C'D'$ là hình lập phương nên $(ABB')//(CC'D')$ và $BC\bot(ABB'A')$ .

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(ABB')$ và $(CC'D')$

$d\left( (ABB'),(CC'D') ight) = d\left( C,(ABB'A') ight) = CB = 1$
Câu 10: Vận dụng
Tính thể tích tứ diện

Cho tứ diện $ABCD$ có các cạnh $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc với nhau. Gọi trung điểm của các cạnh $BC,CD,DB$ lần lượt là $J;Q;K$ . Tính thể tích tứ diện $AJQK$ , biết $AB = 6cm;AC = 7cm;AD = 4cm$ .
- A.
  $V = 7cm^{3}$
- B.
  $V = 14cm^{3}$
- C.
  $V =\frac{28}{3}cm^{3}$
- D.
  $V =\frac{7}{2}cm^{3}$
Hình vẽ minh họa
Ta có: $V_{ABCD} =\frac{1}{2}AB.\frac{1}{2}AD.AC = \frac{1}{2}.6.7.4 = 28\left( cm^{3}ight)$
Nhận thấy $S_{JQK} = \frac{1}{2}S_{JQKD} =\frac{1}{4}S_{BCD}$
$V_{JQK} = \frac{1}{4}V_{ABCD} = 7\left(cm^{3} ight)$
Câu 11: Thông hiểu
Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Mệnh đề nào sau đây là đúng?
- A.
  Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại.
- B.
  Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
- C.
  Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc với nhau thì song song với đường thẳng còn lại.
- D.
  Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau.
Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau sai vì chúng có thể chéo nhau hoặc cắt nhau.

Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc với nhau thì song song với đường thẳng còn lại sai vì nó và đường thẳng còn lại có thể chéo nhau hoặc cắt nhau.

Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau sai vì chúng có thể song song với nhau
Câu 12: Thông hiểu
Xác định vị trí điểm I

Cho hình tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi I là hình chiếu của điểm O trên mặt phẳng (ABC). Điểm I là:
- A.
  Trọng tâm của tam giác ABC
- B.
  Trực tâm của tam giác ABC
- C.
  Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
- D.
  Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {AB \bot OI} \\ {AB \bot OC} \end{array}} ight. \Rightarrow AB \bot CI$
Chứng minh tương tự ta được: $BC \bot AI$
Vậy I là trực tâm của tam giác ABC.
Câu 13: Vận dụng
Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a, SO ⊥ (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và BC. Tính góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng đáy. Biết $MN = \frac{a\sqrt{10}}{2}$ .
- A.
  30⁰
- B.
  45⁰
- C.
  60⁰
- D.
  90⁰
Hình vẽ minh họa:

Kẻ Mk // SO

Theo bài ra ta có: SO ⊥ (ABCD) => MK ⊥ (ABCD)

=> $\left( MN;(ABCD) ight) = (MN,NK) = \widehat{MNK}$

Ta có: $CK = \frac{3}{4}CA = \frac{3a\sqrt{2}}{4}$

Xét tam giác CNK có:

$\begin{matrix}cos45^{0} = \dfrac{CN^{2} + CK^{2} - NK^{2}}{2.CN.CK} \hfill \\\Rightarrow KN = \dfrac{a\sqrt{10}}{4} \hfill \\\end{matrix}$

Xét tam giác MNK vuông ta có:

$\cos\widehat{MNK} = \frac{NK}{MN} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat{MNK} = 60^{0}$
Câu 14: Thông hiểu
Xác định thiết diện tạo bởi (α) và hình chóp

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều và $H$ là trung điểm cạnh $BC$ . Gọi $O$ là trung điểm $AH$ của tam giác $ABC$ , $SO\bot(ABCD)$ . Gọi $I$ là trung điểm cạnh $OH$ . Gọi mặt phẳng $(\alpha)$ qua $I$ và vuông góc với $OH$ . Thiết diện của $(\alpha)$ với hình chóp $S.ABC$ là:
- A.
  Hình thang cân
- B.
  Tam giác vuông
- C.
  Hình thang vuông
- D.
  Hình bình hành
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} (\alpha)\bot OH \\ BC\bot OH \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (\alpha)//BC$

=> Qua I kẻ đường thẳng $d_{1}//BC$ . Gọi $\left\{ \begin{matrix} d_{1} \cap AB = M \\ d_{1} \cap AC = N \\ \end{matrix} ight.$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} SO\bot OH \\ (\alpha)\bot OH \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (\alpha)//SO$ => Qua I kẻ đường thẳng $IK//SO;(K \in SH)$

$(\alpha)//BC$ => Qua K kẻ đường thẳng $d_{2}//BC$ . Gọi $\left\{ \begin{matrix} d_{2} \cap SB = Q \\ d_{2} \cap SC = P \\ \end{matrix} ight.$

=> thiết diện $(\alpha)$ và hình chóp là tứ giác $MNPQ$ có IK là đường trung trực của MN và PQ.

=> $MNPQ$ là hình thang cân.
Câu 15: Vận dụng cao
Tính tỉ số độ dài hai cạnh MS và MC

Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B và $\widehat{ACB} = 30^{0}$ . Tam giác SAC là tam giác đều và thuộc mặt phẳng vuông góc với (ABC). Xét điểm M thuộc cạnh SC sao cho mặt phẳng (MAB) tạo với hai mặt phẳng (SAB); (ABC) góc bằng nhau. Tỉ số $\frac{MS}{MC}$ có giá trị bằng:
- A.
  $\frac{MS}{MC} = \frac{\sqrt{5}}{2}$
- B.
  $\frac{MS}{MC} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
- C.
  $\frac{MS}{MC} = 1$
- D.
  $\frac{MS}{MC} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Gọi H là trung điểm của AC, suy ra SH ⊥ (ABC).

Gọi N là trung điểm của AB, suy ra AB ⊥ (SHN).

Lấy K là giao điểm của AM, SH. Do đó $\left\{ \begin{matrix} \left( (ABM),(ABC) ight) = \widehat{HNK} \\ \ \left( (ABM),(SAB) ight) = \widehat{KNS} \\ \end{matrix} ight.$

Theo giả thiết, NK là phân giác của góc $\widehat{SNH}$

Giả sử: $AB = 1 \Rightarrow BC = \sqrt{3} \Rightarrow AC = 2 \Rightarrow SH = \sqrt{3}$

Mặt khác: $SN = \sqrt{HN^{2} + SH^{2}} = \frac{\sqrt{15}}{2}$

$\Rightarrow \frac{KH}{KS} = \frac{HN}{SN} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ (tính chất phân giác).

Gọi E là trung điểm của CM, theo định lí Ta-lét thì:

$\frac{KH}{KS} = \frac{ME}{MS} = \frac{1}{\sqrt{5}}$

$\Rightarrow \frac{MC}{MS} = \frac{2ME}{MS} = \frac{2}{\sqrt{5}}$

$\Rightarrow \frac{MC}{MS} = \frac{2}{\sqrt{5}}$

Vậy $\frac{MS}{MC} = \frac{\sqrt{5}}{2}$
Câu 16: Thông hiểu
Xác định thể tích khối hộp chữ nhật

Cho khối hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy là hình vuông, đường chéo $BD = 4a$ . Biết góc giữa hai mặt phẳng $(A'BD)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $60^{0}$ . Khi đó thể tích hình hộp chữ nhật bằng bao nhiêu?
- A.
  $V = 48\sqrt{3}a^{3}$
- B.
  $V = \frac{16\sqrt{3}}{9}a^{3}$
- C.
  $V = \frac{16\sqrt{3}}{3}a^{3}$
- D.
  $V = 16\sqrt{3}a^{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi góc giữa mặt phẳng $(A'BD)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là $\alpha$ và $O = AC \cap BD$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AO\bot BD \\ AA'\bot BD \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A'O\bot BD$

$\Rightarrow \alpha = (AO;A'O) = \widehat{AOA'} = 60^{0}$

Ta có ABCD là hình vuông, BD = 4a nên $AB = AD = 2a\sqrt{2}$

Ta có: $AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD = 2a$

Xét tam giác AOA’ có $AA' = AO.tan60^{0} = 2a\sqrt{3}$

$\Rightarrow V_{ABCD.A'B'C'D'} = AA'.S_{ABCD} = 2a\sqrt{3}.8a^{2} = 16a^{3}\sqrt{3}$
Câu 17: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có các kích thước $AB = 4,AD = 3,AA' = 5$ . Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AC'$ và $B'C$ bằng:

Đáp án: 30/19 (Ghi kết quả dưới dạng phân số tối giản a/b).

Đáp án là:

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có các kích thước $AB = 4,AD = 3,AA' = 5$ . Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AC'$ và $B'C$ bằng:

Đáp án: 30/19 (Ghi kết quả dưới dạng phân số tối giản a/b).

Hình vẽ minh họa

Trong $(BB'C'C)$ kẻ $C'M//B'C;(M \in BC)$ .

$\Rightarrow B^{'}C//\left( AC^{'}M ight) \Rightarrow d\left( A^{'}C;B^{'}C ight) = d\left( B^{'}C;\left( AC^{'}M ight) ight) = d\left( C;\left( AC^{'}M ight) ight)$

Kẻ $CH\bot AM;CK\bot C^{'}H$ .

Do $\left\{ \begin{matrix} CH\bot AM \\ CC^{'}\bot AM \\ \end{matrix} \Rightarrow AM\bot\left( CC^{'}H ight) \Rightarrow AM\bot CK ight.$

Mà $CK\bot C^{'}H \Rightarrow CK\bot\left( AC^{'}M ight) \Rightarrow d\left( C;\left( AC^{'}M ight) ight) = CK$ .

Ta có: $B^{'}C^{'}MC$ là hình bình hành nên $CM = B'C' =3$ .

$\frac{1}{d^{2}(B;AM)} = \frac{1}{AB^{2}} + \frac{1}{BM^{2}} \Rightarrow d(B;AM) = \frac{12}{\sqrt{13}}$

$\Rightarrow CH = \frac{1}{2}d(B;AM) = \frac{6}{\sqrt{13}}.$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $C^{'}CH$ ta có:

$\frac{1}{CK^{2}} = \frac{1}{CH^{2}} + \frac{1}{CC^{'2}} \Rightarrow CK = \frac{30}{19}.$
Câu 18: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức lượng giác

Cho lăng trụ đứng ABC.A’C’B’ có đáy ABC cân đỉnh A, $\widehat {ABC} = \alpha$ , BC’ tạo đáy góc $\beta$ . Gọi I là trung điểm của AA’, biết $\widehat {BIC} = {90^0}$ . Tính ${\tan ^2}\alpha + {\tan ^2}\beta$
- A. $\frac{1}{2}$
- B. 2
- C. $\sqrt 3$
- D. 1
Ta có: $\tan \beta = \frac{{B{B^\prime }}}{{{B^\prime }{C^\prime }}} \cdot \Delta AHB$ vuông tại H (H là trung điểm của BC)
$\begin{matrix} \Rightarrow \tan \alpha = \dfrac{{AH}}{{BH}} = \dfrac{{2AH}}{{BC}} \hfill \\ \Rightarrow {\tan ^2}\alpha + {\tan ^2}\beta = \dfrac{{4\left( {A{I^2} + A{H^2}} ight)}}{{B{C^2}}}(*) \hfill \\ \end{matrix}$
Mà tam giác AIH vuông tại A nên $A{I^2} + A{H^2} = I{H^2}$
Tam giác BIC vuông tại I
$\Rightarrow IH = \frac{{BC}}{2} \Rightarrow B{C^2} = 4I{H^2}$
Thay vào (*) ta được: ${\tan ^2}\alpha + {\tan ^2}\beta = 1$
Câu 19: Vận dụng
Tìm bước giải sai của bài toán

Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD, $\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = {60^0}$ . Hãy chứng mình $AB ⊥ CD$ .
Một bạn chứng mình qua các bước sau:
Bước 1. $\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD}$
Bước 2. $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} } ight)$
Bước 3. $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = |\overrightarrow {AB} |.|\overrightarrow {AD} |.\cos {60^0} - |\overrightarrow {AB} |.|\overrightarrow {AD} |.\cos {60^0} = 0$
Bước 4. Suy ra $AB ⊥ CD$
Theo em. Lời giải trên sai từ:
- A.
  Bước 1
- B.
  Bước 2
- C.
  Bước 3
- D.
  Bước 4
Bài toán sai từ bước 1 vì
Theo quy tắc trừ hai vectơ ta có:
$\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} {\text{ }}$
Câu 20: Nhận biết
Số mặt phẳng vuông góc với (P) và (Q)

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau và một điểm M không thuộc (P) và (Q). Qua M có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với (P) và (Q)?
- A.
  2
- B.
  3
- C.
  1
- D.
  Vô số
Gọi d là đường thẳng qua M và vuông góc với (P). Do $(P)//(Q)⇒d⊥(Q)$
Giả sử (R) là mặt phẳng chứa d. Mà $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {d \bot \left( P ight)} \\ {d \bot \left( Q ight)} \end{array}} ight.$
$\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left( R ight) \bot \left( P ight)} \\ {\left( R ight) \bot \left( Q ight)} \end{array}} ight.$
Có vô số mặt phẳng (R) chứa d. Do đó có vô số mặt phẳng qua M, vuông góc với (P) và (Q).
Câu 21: Nhận biết

Điền đáp án vào ô trống

Cho khối chóp và lăng trụ có diện tích đáy, chiều cao tương ứng với nhau và thể tích lần lượt là $V$ và $V'$ . Khi đó tỉ số $\frac{V}{V'} =$ 1/3

(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Đáp án là:

Cho khối chóp và lăng trụ có diện tích đáy, chiều cao tương ứng với nhau và thể tích lần lượt là $V$ và $V'$ . Khi đó tỉ số $\frac{V}{V'} =$ 1/3

(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Ta có:

Thể tích khối chóp là: $V = \frac{1}{3}B.h$

Thể tích hình lăng trụ là: $V' = B.h$

Khi đó: $\dfrac{V}{V'} =\dfrac{\dfrac{1}{3}B.h}{B.h} = \dfrac{1}{3}$
Câu 22: Nhận biết
Tìm giao tuyến hai mặt phẳng

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi trung điểm các cạnh $AC$ và $AD$ lần lượt là các điểm $M,N$ . Giao tuyến của hai mặt phẳng $(BMN)$ và mặt phẳng $(BCD)$ là
- A.
  Đường thẳng đi qua điểm B và song song với BC
- B.
  Đường thẳng đi qua điểm B và song song với MN
- C.
  Đường thẳng đi qua điểm B và I, với $I = MD \cap CN$
- D.
  Đường thẳng đi qua điểm B và song song với MC
Hình vẽ minh họa

Hai mặt phẳng $(BMN)$ và mặt phẳng $(BCD)$ có điểm B chung và MN // CD nên theo tính chất giao tuyến của hai mặt phẳng thì giao tuyến là đường thẳng d đi qua B và song song với MN (hoặc song song với CD).
Câu 23: Thông hiểu
Tìm mệnh đề đúng

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ , cạnh đáy bằng $2a$ , đường cao bằng $a\sqrt{2}$ . Giả sử $\left( (SCD);(ABCD) ight) = \alpha$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $\tan\alpha = \sqrt{3}$
- B.
  $\tan\alpha = 2$
- C.
  $\tan\alpha = \frac{\sqrt{2}}{12}$
- D.
  $\tan\alpha = \sqrt{2}$
Hình vẽ minh họa

Gọi $O = AC \cap BC$ , M là trung điểm của CD.

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} (SCD) \cap (ABCD) = CD \\ OM\bot CD \\ SM\bot CD \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \alpha = (OM;SM) = \widehat{SMO}$

Trong tam giác SMO có $\tan\widehat{SMO} = \frac{SO}{OM} = \frac{a\sqrt{2}}{a} = \sqrt{2}$

$\Rightarrow \tan\alpha = \sqrt{2}$
Câu 24: Nhận biết
Chọn kết luận đúng

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$ và $SO$ vuông góc với mặt đáy. Chọn kết luận đúng?
- A.
  $AC\bot(SAB)$
- B.
  $AC\bot(SAD)$
- C.
  $AC\bot(SCD)$
- D.
  $AC\bot(SBD)$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $SO\bot(ABCD) \Rightarrow SO\bot AC;SO \subset (SBD)$

$ABCD$ là hình thoi $\Rightarrow AC\bot BD;BD \subset (SBD)$

$SO \cap BD = \left\{ O ight\}$

$\Rightarrow AC\bot(SBD)$
Câu 25: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng?

Cho tam giác ABC vuông tại A và có hai đỉnh B và C nằm trên mặt phẳng (P). Gọi A’ là hình chiếu vuông góc của đỉnh A lên mặt phẳng (P). Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
- A.
  Tam giác A’BC là tam giác vuông.
- B.
  Tam giác ABC’ là tam giác nhọn.
- C.
  Tam giác A’BC là tam giác tù.
- D.
  Tam giác A’BC là tam giác có góc A’ không bé hơn một góc vuông.
$\begin{matrix} \overrightarrow{A'B}.\overrightarrow{A'C} = \overrightarrow{A'A}.\overrightarrow{A'C} + \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A'C} \\ = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A'C} = \overrightarrow{AB}.\left( \overrightarrow{A'A} + \overrightarrow{AC} ight) \\ = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A'A} = - \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AA'} < 0 \\ \end{matrix}$

=> Góc BA’C là góc tù.
Câu 26: Nhận biết
Tỉ lệ khoảng cách

Giả sử đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (P) tại M. Trên ∆ lấy hai điểm A và B. Khi đó $\frac{d\left( A;(P) ight)}{d\left( B;(P) ight)}$ bằng:
- A.
  $\frac{2AM}{BM}$
- B.
  $\frac{AM}{2BM}$
- C.
  $\frac{AM}{BM}$
- D.
  $\frac{2AM}{3BM}$
$\frac{d\left( A;(P) ight)}{d\left( B;(P) ight)} = \frac{AM}{BM}$
Câu 27: Thông hiểu
Tìm khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 3a. Cạnh bên SA vuông góc với (ABCD), góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD) bằng 30◦ . Tìm khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
- A.
  $\frac{3a\sqrt{5}}{5}$
- B.
  $a\sqrt{3}$
- C.
  $\frac{3a\sqrt{3}}{2}$
- D.
  $\frac{3a}{2}$
Ta có:

Gọi H là chân đường cao lên cạnh SB. Khi đó, ta có

d(A, (SBC)) = AH. sin 30◦ => AH = AB . sin 30◦ = $\frac{3a}{2}$
Câu 28: Vận dụng
Góc giữa hai đường thẳng AM bằng BD

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy SA = a. Gọi M là trung điểm của SB. Góc giữa AM bằng BD bằng?
- A. ${45^o}$
- B. ${30^o}$
- C. ${90^o}$
- D. ${60^o}$
Xét $\Delta ABD$ vuông cân tại A, ta có:
$BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2$
Góc giữa 2 đường thẳng BA và BD bằng $45^0$ , suy ra $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BD} } ight) = {135^o}$
Xét $\Delta SAB$ vuông cân tại A, ta có:
$\begin{matrix} SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \hfill \\ AM = \dfrac{{SA.AB}}{{SB}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
Vì là trung điểm của SB nên: $2\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AS} + \overrightarrow {AB}$
Ta có:
$\begin{matrix} 2\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD} = \left( {\overrightarrow {AS} + \overrightarrow {AB} } ight).\overrightarrow {BD} \hfill \\ = \overrightarrow {AS} .\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BD} \hfill \\ \end{matrix}$
(Do $\overrightarrow {AS} \bot \overrightarrow {BD}$ , nên $\overrightarrow {AS} .\overrightarrow {BD} = 0$ )
$\begin{matrix} \overrightarrow {AS} .\overrightarrow {BD} = \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BD} }}{2} \hfill \\ = \dfrac{{AB.BD.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BD} } ight)}}{2} \hfill \\ = \dfrac{{a.a\sqrt 2 .\cos \left( {{{135}^o}} ight)}}{2} = \dfrac{{ - {a^2}}}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
Do đó:
$\begin{matrix} \cos \left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {BD} } ight) = \dfrac{{\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD} }}{{AM.BD}} \hfill \\ = \dfrac{{\dfrac{{ - {a^2}}}{2}}}{{\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.a\sqrt 2 }} = - \dfrac{1}{2} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {BD} } ight) = {120^o} \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy góc giữa AM bằng BD bằng ${60^o}$
Câu 29: Vận dụng cao
Tính giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn MN

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Một đường thẳng d đi qua đỉnh D’ và tâm I của mặt bên BCC’B’. Hai điểm M, N thay đổi lần lượt thuộc các mặt phẳng (BCC’B’) và (ABCD) sao cho trung điểm K của MN thuộc đường thẳng d (tham khảo hình vẽ). Giá trị bé nhất của độ dài đoạn thẳng MN là:
- A.
  $\frac{a\sqrt{3}}{2}$
- B.
  $\frac{3a\sqrt{5}}{10}$
- C.
  $\frac{2a\sqrt{5}}{5}$
- D.
  $\frac{2a\sqrt{3}}{5}$
Hình vẽ minh họa:
Kẻ ME vuông góc với CB, tam giác MEN vuông tại E nên MN = 2EK.
Vậy MN bé nhất khi và chỉ khi EK bé nhất.
Lúc này EK là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng d và đường thẳng CB.
Qua I kẻ P Q song song với BC (như hình vẽ).
Vậy d(BC, d) = d(BC,(D’PQ)) = d(C, (D’PQ)) = d(C’, (D’P Q)) = C’H (trong đó C’H vuông góc với D’P).
Ta có:
$\frac{1}{C'H^{2}} = \frac{1}{a^{2}}+ \frac{4}{a^{2}} = \frac{5}{a^{2}}$
$\Rightarrow C'H =\frac{a\sqrt{5}}{2} \Rightarrow d(BC;d) =\frac{2a\sqrt{5}}{5}$
Câu 30: Thông hiểu
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ ; $SA\bot(ABCD);SA = a\sqrt{2}$ . Tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau $AC$ và $SB$ bằng:
- A.
  $\frac{a\sqrt{10}}{5}$
- B.
  $\frac{3a}{2}$
- C.
  $\frac{2a}{3}$
- D.
  $a$
Hình vẽ minh họa

Kẻ đường thẳng d qua B và song song AC

Gọi M là hình chiếu vuông góc của A lên d

Gọi H là hình chiếu của A lên SM.

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} SA\bot BM \\ BM\bot AM \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BM\bot(SAM) \Rightarrow AH\bot(SBM)$

$\Rightarrow d(AC;SB) = d\left( A;(SBM) ight) = AH$

Xét tam giác SAM có đường cao AH nên

$\frac{1}{AH^{2}} = \frac{1}{AS^{2}} + \frac{1}{AM^{2}} = \frac{5}{2a^{2}}$

$\Rightarrow AH = \frac{a\sqrt{10}}{5}$
Câu 31: Thông hiểu
Tính góc giữa hai đường thẳng

Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có $AB = a;AA' = a\sqrt{3}$ . Tính góc giữa hai đường thẳng $AB'$ và $CC'$ ?
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $60^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $AA'//CC'$ nên góc giữa hai đường thẳng $AB'$ và $CC'$ là góc giữa $AA'$ và $AB'$ và bằng góc $\widehat{A'AB}$

Với $AB = a;AA' = a\sqrt{3}$ ta có: $\tan\widehat{A'AB} = \frac{A'B'}{AA'} = \frac{a}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow \widehat{A'AB} = 60^{0} \Rightarrow (AB';CC') = 60^{0}$
Câu 32: Nhận biết
Tính thể tích khối lập phương

Tính thể tích khối lập phương có cạnh bằng $3a$ ?
- A.
  $V = 27a^{3}$
- B.
  $V = 3a^{3}$
- C.
  $V = 9a^{3}$
- D.
  $V = a^{3}$
Ta có: $V = (3a)^{3} = 27a^{3}$
Câu 33: Thông hiểu
Tính thể tích hình hộp chữ nhật

Cho khối hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy là hình vuông, đường chéo $BD = 2a$ . Biết góc giữa hai mặt phẳng $(A'BD)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $30^{0}$ . Khi đó thể tích hình hộp chữ nhật bằng bao nhiêu?
- A.
  $V = 6\sqrt{3}a^{3}$
- B.
  $V = \frac{2\sqrt{3}}{9}a^{3}$
- C.
  $V = 2\sqrt{3}a^{3}$
- D.
  $V = \frac{2\sqrt{3}}{3}a^{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi góc giữa mặt phẳng $(A'BD)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là $\alpha$ và $O = AC \cap BD$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AO\bot BD \\ AA'\bot BD \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A'O\bot BD$

$\Rightarrow \alpha = (AO;A'O) = \widehat{AOA'} = 30^{0}$

Ta có ABCD là hình vuông, BD = 2a nên $AB = AD = a\sqrt{2}$

Ta có: $AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD = a$

Xét tam giác AOA’ có $AA' = AO.tan30^{0} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow V_{ABCD.A'B'C'D'} = AA'.S_{ABCD} = \frac{a\sqrt{3}}{3}.2a^{2} = \frac{2a^{3}\sqrt{3}}{3}$
Câu 34: Vận dụng cao
Giá trị lớn nhất của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ nội tiếp mặt cầu (S) có bán kính $R = \frac{{\sqrt {17} }}{2}$ . Gọi I; J là trung điểm BC, CD và $\alpha$ là góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng (C’IJ). Giá trị lớn nhất của $\sin \alpha$ là
- A. $\frac{3}{5}$
- B. $\frac{{ - 3}}{5}$
- C. $\frac{4}{5}$
- D. $\frac{{ - 4}}{5}$
Đặt $CD = a\,,\,CB = b\,,CC' = c\,\,\,\left( {a,b,c > 0} ight).$
$AC{'^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} = 17.$
Gọi K là hình chiếu của A lên (C’IJ)
$\left( {\widehat {AC',\left( {C;{\text{IJ}}} ight)}} ight) = \left( {\widehat {AC',AK}} ight) = \alpha$
Ta có $\sin \alpha = \frac{{d\left( {A,\left( {C'{\text{IJ}}} ight)} ight)}}{{AC'}} = \frac{{3d\left( {C,\left( {C'{\text{IJ}}} ight)} ight)}}{{\sqrt {17} }}$
Trong (ABCD) kẻ tại E
$\left\{ \begin{gathered} IJ \bot CE \hfill \\ IJ \bot CC\prime \hfill \\ CE \subset \left( {CEC'} ight) \hfill \\ \,CC' \subset \left( {CEC'} ight) \hfill \\ CE \cap CC' = C \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow IJ \bot \left( {CEC'} ight) \Rightarrow \left( {C'IJ} ight) \bot \left( {CEC'} ight)$
Trong (CEC’) kẻ $CH \bot C'E$ tại H
Suy ra $d\left( {C,\left( {C'{\text{IJ}}} ight)} ight) = CH = h$
Do đó $\sin \alpha = \frac{{3h}}{{\sqrt {17} }}$
Ta có:
$\begin{matrix} \dfrac{1}{{{h^2}}} = \dfrac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{4}{{{a^2}}} + \dfrac{4}{{{b^2}}} = \dfrac{1}{{{c^2}}} + 4\left( {\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}}} ight) \geqslant \dfrac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{{16}}{{{a^2} + {b^2}}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{h^2}}} \geqslant \frac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{{16}}{{17 - {c^2}}} = \dfrac{{17 - {c^2} + {c^2}}}{{17{c^2}}} + \dfrac{{16\left( {17 - {c^2} + {c^2}} ight)}}{{17\left( {17 - {c^2}} ight)}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{h^2}}} \geqslant \dfrac{{17 - {c^2}}}{{17{c^2}}} + \dfrac{{16{c^2}}}{{17\left( {17 - {c^2}} ight)}} + 1 \geqslant 2.\dfrac{4}{{17}} + 1 = \dfrac{{25}}{{17}} \Leftrightarrow h \leqslant \dfrac{{\sqrt {17} }}{5}. \hfill \\ \Rightarrow \sin \alpha \leqslant \dfrac{3}{5}. \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy đạt giá trị lớn nhất là $\frac{3}{5}$
Dấu xảy ra khi: $\left\{ \begin{gathered} {a^2} = {b^2} = \frac{{34}}{5} \hfill \\ {c^2} = \frac{{17}}{5} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = b = \sqrt {\frac{{34}}{5}} \hfill \\ c = \sqrt {\frac{{17}}{5}} \hfill \\ \end{gathered} ight.$
Câu 35: Thông hiểu
Tìm tan α

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC. Biết tam giác SBC là tam giác đều. Gọi α là số đo của góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC). Tính tan α.
- A.
  $1$
- B.
  $\sqrt{3}$
- C.
  $0$
- D.
  $\frac{1}{\sqrt{3}}$
Hình chiếu của SA lên mặt phẳng (ABC) là AH
=> Góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) là $\widehat{SAH}$
Tam giác ABC và SBC là các tam giác đều cùng cạnh a
$AH = SH =\frac{a\sqrt{3}}{2}$
Vậy tan α = 1
Câu 36: Nhận biết
Tìm góc giữa hai đường thẳng SA và CD

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành và mặt bên $SAB$ là tam giác vuông tại $S$ . Tính số đo góc giữa hai đường thẳng $SA$ và $CD$ .
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $90^{0}$
- C.
  $30^{0}$
- D.
  $45^{0}$
Hình vẽ minh họa

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $CD//AB$

$\Rightarrow (SA;CD) = (SA;AB) = \widehat{SAB} = 45^{0}$
Câu 37: Nhận biết
Xác định đường vuông góc chung của AB và CD

Cho tứ diện ABCD có: $AB = AC = AD$ , $\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = {60^0}$ . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Đường vuông góc chung của AB và CD là:
- A.
  BN
- B.
  AN
- C.
  BC
- D.
  MN
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
$\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {AB \bot CM} \\ {AB \bot DM} \end{array}} ight. \Rightarrow AB \bot \left( {CDM} ight) \hfill \\ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {CD \bot MN} \\ {AB \bot \left( {CDM} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$
=> MN là đường vuông góc chung của AB và CD
Câu 38: Vận dụng cao
Tìm t để MN ngắn nhất.

Cho tứ diện ABCD có SC = AC = AB = $\sqrt{2}$ , SC ⊥ (ABC), tam giác ABC vuông tạo A, các điểm M thuộc SA, N thuộc BCc sao cho AM = CN = t (0 < t < 2a). Tìm t để MN ngắn nhất.
- A.
  $t = \frac{3a}{2}$
- B.
  $t = \frac{2a}{3}$
- C.
  $t = \frac{\sqrt{3}a}{3}$
- D.
  $t = a$
Hình vẽ minh họa:

Theo giả thiết, ta có: SA = 2a, BC = 2a

Vì 0 < t < 2a

$\begin{matrix} \Rightarrow \frac{MA}{SA} = \frac{t}{2a} \Rightarrow \overrightarrow{MA} = \frac{1}{2}\overrightarrow{SA} \\ \Rightarrow \frac{CN}{CB} = \frac{t}{2a} \Rightarrow \overrightarrow{CN} = \frac{t}{2a}\overrightarrow{CB} \\ \end{matrix}$

Đặt $\overrightarrow{x} = \overrightarrow{CA};\overrightarrow{y} = \overrightarrow{CB};\overrightarrow{z} = \overrightarrow{CS}$ . Ta có:

$\overrightarrow{x}.\overrightarrow{z} = \overrightarrow{y}.\overrightarrow{z} = 0;\overrightarrow{x}.\overrightarrow{y} = 2a^{2}$

$\begin{matrix} \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CN} \\ \Rightarrow \overrightarrow{MN} = \frac{t}{2a}\overrightarrow{SA} - \overrightarrow{AC} + \frac{t}{2a}\overrightarrow{CB} \\ \Rightarrow \overrightarrow{MN} = \left( \frac{t}{2a} - 1 ight).\overrightarrow{x} + \frac{t}{2a}.\overrightarrow{y} - \frac{t}{2a}.\overrightarrow{z} \\ \end{matrix}$

Vậy $MN^{2} = {\overrightarrow{MN}}^{2}$

$\begin{matrix} = \left( \frac{t}{2a} - 1 ight)^{2}.2a^{2} + \frac{t^{2}}{4a}.4a^{2} + \frac{t^{2}}{4a}.2a^{2} + 2\left( \frac{t}{2a} - 1 ight).\frac{t}{2a}.2a^{2} \\ = 3t^{2} - 4at + 2a^{2} \\ \end{matrix}$

Từ đó suy ra MN nhỏ nhất khi và chỉ khi $t = \frac{2a}{3}$
Câu 39: Nhận biết
Xác định góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa cặp đường thẳng nào sau đây?
- A.
  (SB, SO)
- B.
  (SB, BD)
- C.
  (SB, SA)
- D.
  (SO, BD)
Hình vẽ minh họa:
Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cắt nhau theo giao tuyến SO và cùng vuông góc với đáy nên SO ⊥ (ABCD).
Vậy góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SB và BD.
Câu 40: Thông hiểu

Phân tích sự đúng sai của các kết luận

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật $AB = a;AD = 3a;$ $SA\bot(ABCD);SA = 2a$ . Kẻ đường cao $AI$ của tam giác $SAB$ . Khi đó:

a) $BC\bot(SAB)$ Đúng||Sai

b) $\widehat{\left( SC;(ABCD) ight)} \approx 30^{0}$ Sai||Đúng

c) $AI\bot CS$ Đúng||Sai

d) Diện tích tam giác $AIC$ bằng $\frac{7a^{2}}{5}$ Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật $AB = a;AD = 3a;$ $SA\bot(ABCD);SA = 2a$ . Kẻ đường cao $AI$ của tam giác $SAB$ . Khi đó:

a) $BC\bot(SAB)$ Đúng||Sai

b) $\widehat{\left( SC;(ABCD) ight)} \approx 30^{0}$ Sai||Đúng

c) $AI\bot CS$ Đúng||Sai

d) Diện tích tam giác $AIC$ bằng $\frac{7a^{2}}{5}$ Sai||Đúng

$BC\bot(SAB)$ đúng

$\widehat{\left( SC;(ABCD) ight)} \approx 32,3^{0}$ đúng

$AI\bot CS$ đúng

Diện tích tam giác $AIC$ bằng $\frac{a^{2}\sqrt{46}}{5}$

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

17 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 Chân trời sáng tạo
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân
Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số ghép số liệu nhóm
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Đạo hàm
Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 9: Xác suất

Lớp 11
Khóa học Lớp 11
Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4
Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 4
Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 6
Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4 Đề 2
Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 5
Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 7

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 4

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 6

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4 Đề 2

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 5

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 7