VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 CTST Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài Rủ bạn học

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Nhận biết
Tìm đáp án sai

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật và $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Tìm mệnh đề sai dưới đây?
- A.
  $BC\bot(SAB)$
- B.
  $CD\bot(SAD)$
- C.
  $BD\bot(SAC)$
- D.
  $SA\bot BD$
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$ABCD$ là hình chữ nhật nên $BD$ không vuông góc với $AC$

Vậy $BD$ không vuông góc với mặt phẳng $(SAC)$
Câu 2: Thông hiểu
Tan góc giữa đường thẳng BD’ và mặt phẳng (ADD’A’)

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tan góc giữa đường thẳng BD’ và mặt phẳng (ADD’A’) bằng bao nhiêu?
- A.
  $\frac{\sqrt{3}}{3}$
- B.
  $\frac{\sqrt{6}}{3}$
- C.
  $\frac{\sqrt{2}}{2}$
- D.
  $\frac{\sqrt{2}}{6}$
Hình vẽ minh họa:
Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên BA ⊥ (ADD’A’)
Do đó góc giữa đường thẳng BD’ và mặt phẳng (ADD’A’) là góc $\widehat{BD'A}$
Gọi độ dài cạnh của hình lập phương là a
Khi đó $AB = a;AD' =a\sqrt{2}$
=> $\tan\widehat{BD'A} =\frac{AB}{AD'} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
Vậy tan góc giữa đường thẳng BD’ và mặt phẳng (ADD’A’) là $\frac{\sqrt{2}}{2}$
Câu 3: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng?
- A.
  Nếu hình hộp có hai mặt là hình vuông thì nó là hình lập phương
- B.
  Nếu hình hộp có ba mặt chung một đỉnh là hình vuông thì nó là hình lập phương
- C.
  Nếu hình hộp có bốn đường chéo bằng nhau thì nó là hình lập phương
- D.
  Nếu hình hộp có sáu mặt bằng nhau thì nó là hình lập phương
Mệnh đề đúng: "Nếu hình hộp có ba mặt chung một đỉnh là hình vuông thì nó là hình lập phương"
Câu 4: Thông hiểu
Tính thể tích khối chóp tam giác

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$ . Góc tạo bởi cạnh bên $SA$ và mặt phẳng đáy bằng $60^{0}$ . Thể tích khối chóp $S.BCD$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $\frac{a^{3}\sqrt{6}}{3}$
- B.
  $\frac{a^{3}\sqrt{6}}{4}$
- C.
  $\frac{a^{3}\sqrt{6}}{12}$
- D.
  $\frac{3a^{3}\sqrt{6}}{4}$
Hình vẽ minh họa

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD

Ta có: tam giác SAC cân, O là trung điểm của AC nên $SO\bot CA$

Tương tự tam giác SBD cân, O là trung điểm của BD nên $SO\bot BD$

$\Rightarrow SO\bot(ABCD)$

Suy ra OA là hình chiếu vuông góc của SA lên mặt phẳng đáy

$\Rightarrow \left( SA;(ABCD) ight) = \widehat{SAO} = 60^{0}$

ABCD là hình vuông nên $OA = \frac{1}{2}AC = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Xét tam giác vuông SOA ta có:

$SO = AO.\tan\widehat{SDO} =\frac{a\sqrt{2}}{2}.\tan60^{0} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$

$\Rightarrow S_{BCD} = \frac{a^{2}}{2}$

$\Rightarrow V_{S.BCD} = \frac{1}{3}.SO.S_{BCD} = \frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{6}}{2}.\frac{a^{2}}{2} = \frac{a^{3}\sqrt{6}}{12}$
Câu 5: Thông hiểu
Chọn khẳng định sai?

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA ⊥(ABC). Kẻ AH ⊥ SB. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định dưới đây?
- A.
  SA ⊥ BC
- B.
  AB ⊥ BC
- C.
  AH ⊥ AC
- D.
  AH ⊥ SC
Hình vẽ minh họa:

AB ⊥ BC (hiển nhiên đúng)

Ta có: SA ⊥(ABC) mà BC nằm trong (ABC) => SA ⊥ BC

Ta lại có:

$\begin{matrix}\left\{ \begin{matrix}BC\bot BA \subset (SAB) \\BC\bot SA \subset (SAB) \\BA \cap SA = A \hfill \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAB) \hfill\\\Rightarrow BC\bot AH \hfill\\\left\{ \begin{matrix}BC\bot AH \\SB\bot AH \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow AH\bot(SBC) \Rightarrow SC\bot AH \hfill \\\end{matrix}$

Dễ thấy AH ⊥ AC là khẳng định sai.
Câu 6: Vận dụng
Số đo góc hợp bởi đường thẳng SA và mặt phẳng (SDM)

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông, tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm BC. Gọi $\alpha$ là góc hợp bởi đường thẳng SA và mặt phẳng (SDM). Tính $\alpha$
- A. $30^0$
- B. $60^0$
- C. $55^0$
- D. $45^0$
+ Không mất tính tổng quát, đặt AB = 2
+ Gọi N là trung điểm AB suy ra $SN \bot AB \Rightarrow SN \bot \left( {ABCD} ight)$
+ Gọi $h = d\left( {A,\left( {SDM} ight)} ight) \Rightarrow \sin \alpha = \frac{h}{{SA}}$
Gọi $I = DM \cap CN,\,J = AB \cap DM$
+ Ta có $\frac{{d\left( {A,\left( {SDM} ight)} ight)}}{{d\left( {N,\left( {SDM} ight)} ight)}} = \frac{{{\text{AJ}}}}{{NJ}} = \frac{4}{3}$
$\Rightarrow h = d\left( {A,\left( {SDM} ight)} ight) = \frac{4}{3}d\left( {N,\left( {SDM} ight)} ight)$
+ Ta có
$\Delta CNB = \Delta DMC \Rightarrow \widehat {NCB} = \widehat {MDC}$
$\Rightarrow \widehat {NCB} + \widehat {DMC} = \widehat {MDC} + \widehat {DMC} = 180^\circ - \widehat {MCD} = 90^\circ$
$\Rightarrow DM \bot CN \Rightarrow DM \bot \left( {SNC} ight)$
+ Gọi NH là đường cao $\Delta SNI \Rightarrow NH \bot \left( {SDM} ight)$
$\Rightarrow d\left( {N,\left( {SDM} ight)} ight) = NH$
+ Tam giác NJI đồng dạng tam giác MBJ
$\begin{matrix} \Rightarrow \dfrac{{NI}}{{MB}} = \dfrac{{NJ}}{{MJ}} \hfill \\ \Rightarrow NI = \dfrac{{NJ}}{{MJ}}.MB = \dfrac{{NJ}}{{\sqrt {M{B^2} + B{J^2}} }} \hfill \\ MB = \dfrac{3}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }}.1 = \dfrac{3}{{\sqrt 5 }} \hfill \\ \end{matrix}$
+ Tam giác SAB là tam giác đều cạnh bằng 2 $\Rightarrow SN = \sqrt 3$
$\frac{1}{{N{H^2}}} = \frac{1}{{N{S^2}}} + \frac{1}{{N{I^2}}} \Rightarrow NH = \frac{{3\sqrt 2 }}{4}$
$h = d\left( {A,\left( {SDM} ight)} ight) = \frac{4}{3}d\left( {N,\left( {SDM} ight)} ight) = \frac{4}{3}.\frac{{3\sqrt 2 }}{4} = \sqrt 2$
$\Rightarrow \sin \alpha = \frac{h}{{SA}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \alpha = 45^\circ$
Câu 7: Thông hiểu
Kéo ghép đáp án đúng
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ . Ghép nối các đáp án với nhau.

$(AB,B'C')$ || $90^{0}$

$(AC,B'C')$ || $45^{0}$

$(A'C',B'C)$ || $60^{0}$
Đáp án là:

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ . Ghép nối các đáp án với nhau.

$(AB,B'C')$ || $90^{0}$

$(AC,B'C')$ || $45^{0}$

$(A'C',B'C)$ || $60^{0}$

Hình vẽ minh họa

Ta có: $AB//A'B'$ mà $(A'B',B'C') = 90^{0} \Rightarrow (AB,B'C') = 90^{0}$

Vì tứ giác $ABCD$ là hình vuông nên $(AC;BC) = 45^{0}$

Ta có: $BC//B'C'$ nên $(AC,B'C') = 45^{0}$

Ta có: $A'C'//AC$ và tam giác $AVB'$ là tam giác đều vì có các cạnh đều bằng đường chéo của các hình vuông bằng nhau. Do đó $(A'C',B'C) = (AC,B'C) = 60^{0}$
Câu 8: Thông hiểu
Tìm tan α

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC. Biết tam giác SBC là tam giác đều. Gọi α là số đo của góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC). Tính tan α.
- A.
  $1$
- B.
  $\sqrt{3}$
- C.
  $0$
- D.
  $\frac{1}{\sqrt{3}}$
Hình chiếu của SA lên mặt phẳng (ABC) là AH
=> Góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) là $\widehat{SAH}$
Tam giác ABC và SBC là các tam giác đều cùng cạnh a
$AH = SH =\frac{a\sqrt{3}}{2}$
Vậy tan α = 1
Câu 9: Vận dụng
Tính thể tích tứ diện AJQK

Cho tứ diện $ABCD$ có các cạnh $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc với nhau; $AB = 8a;AC = 5a;AD = 6a$ . Gọi trung điểm của các cạnh $BC,CD,DB$ lần lượt là $J;Q;K$ . Tính thể tích tứ diện $AJQK$ ?
- A.
  $V = 15a^{3}$
- B.
  $V = 30a^{3}$
- C.
  $V = 45a^{3}$
- D.
  $V = 60a^{3}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $V_{ABCD} = \frac{1}{2}AB.\frac{1}{2}AD.AC = 60a^{3}$

Nhận thấy $S_{JQK} = \frac{1}{2}S_{JQKD} = \frac{1}{4}S_{BCD}$

$V_{JQK} = \frac{1}{4}.V_{ABCD} = 15a^{3}$
Câu 10: Thông hiểu
Tính khoảng cách d từ D đến mặt phẳng (SBC)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có $AB=a\sqrt{2}$ .Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt đáy (ABCD). Tính khoảng cách d từ D đến mặt phẳng (SBC)
- A.
  $d=\frac{a\sqrt{10}}{2}$
- B.
  $d=a\sqrt{2}$
- C.
  $d=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$
- D.
  $d=\frac{a\sqrt{3}}{3}$
Hình vẽ minh họa
Ta có: AD // BC => $d\left( {D;\left( {SCD} ight)} ight) = d\left( {A;\left( {SBC} ight)} ight)$
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB => $AK \bot SB (*)$
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {BC \bot SA} \\ {BC \bot AB} \end{array}} ight. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} ight) \Rightarrow BC \bot AH\left( {**} ight)$
Từ (*) và (**) => $AH \bot \left( {SBC} ight)$
$\begin{matrix} d\left( {A;\left( {SBC} ight)} ight) = AH \hfill \\ \Rightarrow AH = \dfrac{{SA.AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 11: Thông hiểu
Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SBC)

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên $SA=a\sqrt{3}$ và vuông góc với mặt đáy (ABC). Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SBC).
- A.
  $d=\frac{a\sqrt{15}}{5}$
- B.
  $d=a$
- C.
  $d=\frac{a\sqrt{5}}{5}$
- D.
  $d=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
Hình vẽ minh họa:
Gọi M là trung điểm BC
=>AM ⊥ BC và $AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$
Gọi K là hình chiếu của A trên SM => AK ⊥ SM (1)
Ta có: $\left\{ \begin{gathered} AM \bot BC \hfill \\ BC \bot SA \hfill \\ \end{gathered} ight.$
$\Rightarrow BC \bot (SAM) \Rightarrow BC \bot AK{\text{ }}\left( 2 ight)$
Từ (1) và (2) $=> AK⊥(SBC) => d(A;(SBC)) = AK$
Xét tam giác SAM ta có:
$AK = \frac{{SA.AM}}{{\sqrt {S{A^2} + A{M^2}} }} = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}$
Vậy $d(A;(SBC)) = AK = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}$
Câu 12: Thông hiểu
Xác định góc giữa cặp vecto

Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và $\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = {60^0}$ . Hãy xác định góc giữa cặp vecto $\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD}$ ?
- A. 60⁰
- B. 45⁰
- C. 90⁰
- D. 120⁰
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
$\begin{matrix} \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} .(\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} ) \hfill \\ = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \hfill \\ = |\overrightarrow {AB} |.|\overrightarrow {AD} |.\cos (\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AD} ) \hfill \\ - |\overrightarrow {AB} |.|\overrightarrow {AC} |.\cos (\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} ) \hfill \\ = |\overrightarrow {AB} |.|\overrightarrow {AD} |.\cos {60^0} - |\overrightarrow {AB} |.|\overrightarrow {AC} |.\cos {60^0}{\text{ }} \hfill \\ {\text{Do }}AC = AD \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = 0 \hfill \\ \Rightarrow (\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} ) = {90^0} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 13: Thông hiểu

Xác định tính đúng sai của các kết luận

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB, SC. Giả sử HK cắt BC tại D. Khi đó:

a) $\widehat{(AC;AD)} = 90^{0}$ Đúng||Sai

b) $AH\bot(SBC)$ Đúng||Sai

c) $\widehat{(SC;HK)} = 90^{0}$ Đúng||Sai

d) Tam giác SBC cân tại B. Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB, SC. Giả sử HK cắt BC tại D. Khi đó:

a) $\widehat{(AC;AD)} = 90^{0}$ Đúng||Sai

b) $AH\bot(SBC)$ Đúng||Sai

c) $\widehat{(SC;HK)} = 90^{0}$ Đúng||Sai

d) Tam giác SBC cân tại B. Sai||Đúng

$\widehat{(AC;AD)} = 90^{0}$ đúng

$AH\bot(SBC)$ đúng

$\widehat{(SC;HK)} = 90^{0}$ đúng

Tam giác SBC cân tại B. sai
Câu 14: Nhận biết
Tính thể tích khối chóp

Cho một khối chóp có diện tích đáy bằng $8a^{2}$ , chiều cao bằng $a$ . Thể tích khối chóp đã cho là:
- A.
  $V = \frac{4}{3}a^{3}$
- B.
  $V = 4a^{3}$
- C.
  $V = \frac{8}{3}a^{3}$
- D.
  $V = 8a^{3}$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} B = 8a^{2} \\ h = a \\ \end{matrix} ight.$

Thể tích khối chóp là: $V = \frac{1}{3}B.h = \frac{8}{3}a^{3}$
Câu 15: Nhận biết
Tìm khẳng định đúng

Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
- A.
  Trong không gian hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
- B.
  Trong không gian hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
- C.
  Trong không gian hai mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
- D.
  Trong không gian hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau.
Ta có:

“Trong không gian hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau” sai do hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

“Trong không gian hai mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau” sai do hai mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng có thể trùng nhau.

“Trong không gian hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau” sai do trong không gian hai đường thẳng không có điểm chung có thể chéo nhau.

Vậy khẳng định đúng là: “Trong không gian hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.”
Câu 16: Thông hiểu
Tính góc giữa đường thẳng và mặt đáy

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ , $AB = a;BC = a\sqrt{2}$ ; $SA\bot(ABC)$ và $SA = a$ . Góc giữa đường thằng $SC$ và mặt phẳng đáy bằng:
- A.
  $90^{0}$
- B.
  $45^{0}$
- C.
  $60^{0}$
- D.
  $30^{0}$
Hình vẽ minh họa

Ta có góc giữa SC và mặt phẳng đáy là góc $\widehat{SCA}$

Xét tam giác SCA vuông tại A có:

$AC = \sqrt{AB^{2} + BC^{2}} = a\sqrt{3}$

$\Rightarrow \tan\widehat{SCA} = \frac{SA}{AC} = \frac{a}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow \widehat{SCA} = 30^{0}$
Câu 17: Thông hiểu
Tìm giá trị x thỏa mãn điều kiện

Cho tam giác $ACD$ và tam giác $BCD$ nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và $AC = AD = BC = BD = a;CD = 2a$ . Với giá trị nào của $x$ thì hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(ABD)$ ?
- A.
  $a\sqrt{2}$
- B.
  $\frac{a\sqrt{2}}{2}$
- C.
  $\frac{a\sqrt{3}}{3}$
- D.
  $a\sqrt{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD

Suy ra $CI\bot AB;DI\bot AB$ mà $(ABC) \cap (ABD) = AB$

Do đó $(ABC)\bot(ABD) \Rightarrow \widehat{CID} = 90^{0} \Rightarrow IJ = \frac{1}{2}CD$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} (ACD)\bot(BCD) \\ AJ\bot CD \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AJ\bot(BCD) \Rightarrow AJ\bot JB$

Mặt khác $JA = JB;(\Delta ACD = \Delta BCD)$ nên tam giác $JAB$ vuông cân tại J

Do đó $IJ = \frac{\sqrt{2}}{2}JA = \frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{AC^{2} - JC^{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{a^{2} - x^{2}}$

Vậy $\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{a^{2} - x^{2}} = x \Leftrightarrow a^{2} = 3x^{2} \Leftrightarrow x = \frac{a\sqrt{3}}{3}$
Câu 18: Nhận biết
Xác định cosin góc giữa hai đường thẳng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi trung điểm các cạnh $SC$ và $BC$ lần lượt là $I;J$ . Xác định cosin góc giữa hai đường thẳng $IJ$ và $CD$ ?
- A.
  $1$
- B.
  $\frac{\sqrt{2}}{2}$
- C.
  $\frac{1}{2}$
- D.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$
Hình vẽ minh họa

Theo giả thiết ta có:

$IJ$ là đường trung bình của tam giác $SBC$ nên $JI//SB$

Vì $\left\{ \begin{matrix} JI//SB \\ CD//AB \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (IJ;CD) = (SB;AB) = \widehat{SBA} = 60^{0}$

$\Rightarrow \cos(IJ;CD) = \frac{1}{2}$
Câu 19: Thông hiểu
Tính thể tích hình hộp chữ nhật

Cho khối hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy là hình vuông, đường chéo $BD = 2a$ . Biết góc giữa hai mặt phẳng $(A'BD)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $30^{0}$ . Khi đó thể tích hình hộp chữ nhật bằng bao nhiêu?
- A.
  $V = 6\sqrt{3}a^{3}$
- B.
  $V = \frac{2\sqrt{3}}{9}a^{3}$
- C.
  $V = 2\sqrt{3}a^{3}$
- D.
  $V = \frac{2\sqrt{3}}{3}a^{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi góc giữa mặt phẳng $(A'BD)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là $\alpha$ và $O = AC \cap BD$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AO\bot BD \\ AA'\bot BD \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A'O\bot BD$

$\Rightarrow \alpha = (AO;A'O) = \widehat{AOA'} = 30^{0}$

Ta có ABCD là hình vuông, BD = 2a nên $AB = AD = a\sqrt{2}$

Ta có: $AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD = a$

Xét tam giác AOA’ có $AA' = AO.tan30^{0} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow V_{ABCD.A'B'C'D'} = AA'.S_{ABCD} = \frac{a\sqrt{3}}{3}.2a^{2} = \frac{2a^{3}\sqrt{3}}{3}$
Câu 20: Vận dụng
Hoàn thành mệnh đề

Cho hình chóp S.ABC có $\widehat{BSC} = 120^{0};\widehat{CSA} = 60^{0};\widehat{ASB} = 90^{0}$ và SA = SB = SC. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC), khi đó:
- A.
  H là trung điểm của AB.
- B.
  H là trọng tâm tam giác ABC.
- C.
  H là trung điểm của AC.
- D.
  H là trung điểm của BC.
Hình vẽ minh họa:

Đặt SA = a

Xét tam giác SAB vuông cân tại S ta có:

$AB = \sqrt{SA^{2} + SB^{2}} = a\sqrt{2}$

Xét tam giác SAC cân tại S ta có:

$\widehat{CSA} = 60^{0}$ => SA = SC = AC = a

Áp dụng định lí cosin cho tam giác SBC ra có:

$\begin{matrix}BC^{2} = SB^{2} + SC^{2} - 2SB.SC.cos\widehat{BSC} \hfill \\BC^{2} = a^{2} + a^{2} - 2a.a.cos120^{0} = 3a^{2} \hfill \\BC = a\sqrt{3} = \sqrt{AB^{2} + AC^{2}} \hfill \\\end{matrix}$

Vậy tam giác ABC vuông tại A mà H là hình chiếu của S trên (ABC) nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Hay H là trung điểm của BC.
Câu 21: Vận dụng cao
Tính tanx

Cho hình chop SABC có SA ⊥ (ABC), tam giác ABC đều cạnh 2a, SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 30⁰. Khi đó mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc x. Tính tan x.
- A.
  $\tan x = 2$
- B.
  $\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}$
- C.
  $\tan x = \frac{3}{2}$
- D.
  $\tan x = \frac{2}{3}$
Hình vẽ minh họa:

Ta có SA ⊥ (ABC)

=> AB là hình chiếu của AB lên (ABC).

$\begin{matrix}\Rightarrow \widehat{SBA} = \widehat{\left( SB;(ABC) ight)} = 30^{0} \hfill\\SA = AB.\tan30^{0} = \dfrac{2a\sqrt{3}}{3}\hfill \\\end{matrix}$

Gọi M là trung điểm của BC, ta có ∆ABC đều cạnh 2a

=> $AM = a\sqrt{3}$ và $\left\{ \begin{matrix} (SBC) \cap (ABC) = BC \\ AM\bot BC \\ SM\bot BC \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \widehat{SMA} = \widehat{\left( (SBC);(ABC) ight)} = x$

$\tan x = \frac{SA}{AM} = \frac{2a\sqrt{3}}{3}.a\sqrt{3} = \frac{2}{3}$
Câu 22: Thông hiểu
Xác định thể tích khối chóp S.ABCD

Khối chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$ , $SA = SB = 2a$ . Mặt phẳng $(SAB)$ tạo với mặt phẳng đáy một góc $90^{0}$ . Xác định thể tích khối chóp $S.ABCD$ ?
- A.
  $V = 2a^{3}$
- B.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{15}}{12}$
- C.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{15}}{6}$
- D.
  $V = \frac{2a^{3}}{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của AB

Tam giác SAB cân tại S nên $SH\bot AB$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} SH\bot AB \\ (SAB)\bot(ABCD) \\ SH \subset (SAB) \\ AB = (SAB) \cap (ABCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow SH\bot(ABCD)$

Vậy SH là đường cao của hình chóp

Xét tam giác AHS vuông tại H ta có:

$SH = \sqrt{SA^{2} - AH^{2}} = \sqrt{(2a)^{2} - \left( \frac{a}{2} ight)^{2}} = \frac{a\sqrt{15}}{2}$

Vậy thể tích hình chóp là:

$V = \frac{1}{3}.SH.S_{ABCD} = \frac{1}{3}.\frac{a^{2}\sqrt{15}}{2}.a^{2} = \frac{a^{3}\sqrt{15}}{6}$
Câu 23: Vận dụng
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AB = 2a, AD = DC = a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa SC và mặt đáy bằng 60⁰. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AC và SB.
- A.
  $d =\frac{a\sqrt{6}}{2}$
- B.
  $d = 2a$
- C.
  $d = a\sqrt{2}$
- D.
  $d =\frac{2a\sqrt{15}}{5}$
Hình vẽ minh họa:
Xác định góc 60⁰
$\widehat{\left( SC;(ABCD) ight)} =\widehat{(SC;AC)} = 60^{0} = \widehat{SCA}$
$SA = AC.tan\widehat{SCA} =a\sqrt{6}$
Gọi M là trung điểm AB => ADCM là hình vuông => CM = AD = a
Xét tam giác ACB ta có:
$CM = a = \frac{1}{2}AB$
=> Tam giác ACB vuông tại C
Lấy điểm E sao cho ACBE là hình chữ nhật
=> AC // BE
=> d(AC, SB) = d(AC, (SBE)) = d(A,(SBE))
Kẻ AK ⊥ SE. Khi đó:
$d\left( A;(SBE) ight) = AK =\frac{SA.AE}{\sqrt{SA^{2} + AE^{2}}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$
Câu 24: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SB vuông góc với mặt phẳng (ABCD) (tham khảo hình vẽ). Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  AC ⊥ (SCD)
- B.
  AC ⊥ (SBD)
- C.
  AC ⊥ (SBC)
- D.
  AC ⊥ (SAB)
Hình vẽ minh họa:
Từ giả thiết ABCD là hình vuông và SB vuông góc với đáy
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}AC\bot BD \\AC\bot SB \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow AC\bot(SBD)$
Câu 25: Vận dụng cao
Diện tích lớn nhất của tứ giác bằng bao nhiêu?

Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD, AB = CD = 6. Gọi M là điểm thuộc cạnh BC sau đó MC = x.BC (0 < x < 1). Mặt phẳng (P) song song với AB và CD lần lượt cắt BC, DB, AD, AC tại M, N, P, Q. Diện tích lớn nhất của tứ giác bằng bao nhiêu?
- A.
  9
- B.
  11
- C.
  10
- D.
  8
Xét tứ giác MNPQ có: $\left\{ \begin{matrix} PQ//NP//AB \\ MN//PQ//CD \\ \end{matrix} ight.$

=> MNPQ là hình bình hành

Mặt khác $AB\bot CD \Rightarrow MQ\bot MN$

=> MNPQ là hình chữ nhật

Vì MQ // AB nên $\frac{MQ}{AB} = \frac{CM}{CB} = x \Rightarrow MQ = x.AB = 6x$

Theo giả thiết MC = x.BC => MB = (1 – x).BC

Vì MN // CD nên $\frac{MN}{CD} = \frac{BM}{BC} = 1 - x$

=> $MN = (1 - x).DC = 6(1 - x)$

Diện tích hình chữ nhật MNPQ là:

$\begin{matrix}S_{MNPQ} = MN.MQ \hfill\\= 6(1 - x).6x \hfill\\= 36x.(1 - x) \hfill\\\leq 36.\left( \dfrac{x + 1 - x}{2} ight)^{2} = 9 \hfill \\\Rightarrow S_{MNPQ} = 9 \hfill\\\end{matrix}$

Khi x = 1 – x => x = 1/2

Vậy diện tích tứ giác MNPQ lớn nhất bằng 9 khi M là trung điểm của BC.
Câu 26: Vận dụng cao

Ghi lời giải bài toán vào ô trống

Cho hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng $2$ . Gọi điểm M là điểm nằm trên cạnh $AA'$ sao cho mặt phẳng $(C'MB)$ tạo với mặt phẳng $(ABC)$ một góc nhỏ nhất. Khi đó diện tích tam giác $C'MB$ có dạng $\frac{a\sqrt{b}}{c};\left( a,b,c\mathbb{\in N}ight)$ . Tính giá trị của biểu thức $T = a + b - c$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng $2$ . Gọi điểm M là điểm nằm trên cạnh $AA'$ sao cho mặt phẳng $(C'MB)$ tạo với mặt phẳng $(ABC)$ một góc nhỏ nhất. Khi đó diện tích tam giác $C'MB$ có dạng $\frac{a\sqrt{b}}{c};\left( a,b,c\mathbb{\in N}ight)$ . Tính giá trị của biểu thức $T = a + b - c$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 27: Nhận biết
Xác định góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD)

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, SA ⊥ (ABCD). Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa
- A.
  SC và BC
- B.
  SC và DC
- C.
  SC và SA
- D.
  SC và AC
Hình vẽ minh họa:
Vì SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD).
Do đó góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SC và AC.
Câu 28: Nhận biết
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
- A.
  Cho hai đường thẳng song song a và b và đường thẳng c sao cho c ⊥ a, c ⊥ b. Mọi mặt phẳng (α) chứa c thì đều vuông góc với mặt phẳng (a, b).
- B.
  Cho a ⊥ (α), mọi mặt phẳng (β) chứa a thì (β) ⊥ (α).
- C.
  Cho a ⊥ b, mọi mặt phẳng chứa b đều vuông góc với a.
- D.
  Cho a ⊥ b, nếu a ⊂ (α) và b ⊂ (β) thì (α) ⊥ (β).
Mệnh đề “Cho hai đường thẳng song song a và b và đường thẳng c sao cho c ⊥ a, c ⊥ b. Mọi mặt phẳng (α) chứa c thì đều vuông góc với mặt phẳng (a, b)” là sai. Trong trường hợp a và b trùng nhau, sẽ tồn tại mặt phẳng chứa a và b không vuông góc với mặt phẳng (α) chứa c.

Mệnh đề “Cho a ⊥ b, mọi mặt phẳng chứa b đều vuông góc với a” là sai. Trong trường hợp a và b cắt nhau, mặt phẳng (a, b) chứa b nhưng không vuông góc với a.

Mệnh đề “Cho a ⊥ b, nếu a ⊂ (α) và b ⊂ (β) thì (α) ⊥ (β)” là sai. Trong trường hợp a và b vuông góc nhau và chéo nhau, nếu (α) ⊃ a, (α) // b và (β) ⊃ b, (β) // a thì (α) // (β).

Vậy mệnh đề đúng là mệnh đề: “Cho a ⊥ (α), mọi mặt phẳng (β) chứa a thì (β) ⊥ (α).”
Câu 29: Thông hiểu
Tính góc giữa hai đường thẳng

Cho tứ diện ABCD có độ dài các cạnh $AB = AC = AD = BC = BD = a$ và $CD = a\sqrt{2}$ . Tính góc giữa hai đường thẳng AD và BC.
- A.
  $90^{0}$ .
- B.
  $45^{0}$ .
- C.
  $30^{0}$ .
- D.
  $60^{0}$ .
Hình vẽ minh họa

Gọi I, K, H lần lượt là trung điểm các cạnh DC, DB, AB.

Khi đó: $KH//AD,KI//BC \Rightarrow (AD;BC) = (KH;KI)$ .

Xét $\Delta BIC,BI = \sqrt{BC^{2} - AC^{2}} = \sqrt{a^{2} - \frac{a^{2}}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}$ .

Ta có $\left\{ \begin{matrix} AB\bot DH \\ AB\bot HC \\ \end{matrix} \Rightarrow AB\bot(DHC) \Rightarrow AB\bot HI ight.$ .

Xét $\Delta BIH,HI = \sqrt{IB^{2} - HB^{2}} = \sqrt{\frac{a^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{4}} = \frac{a}{2}$ . (1)

Xét $\Delta IHK$ , ta có: $\left\{ \begin{matrix} IK = \frac{BC}{2} = \frac{a}{2} \\ HK = \frac{AD}{2} = \frac{a}{2} \\ \end{matrix} \Rightarrow IK = HK = \frac{a}{2} ight.$ . (2)

Từ $(1),(2) \Rightarrow HI = IK = HK \Rightarrow \Delta IHK$ là tam giác đều

$\Rightarrow \widehat{IKH} = 60^{0} \Rightarrow (KH;KI) = 60^{0}$ .
Câu 30: Thông hiểu
Góc tạo bởi đường thẳng AB’ và mặt phẳng (BDD’B’)

Cho hình lập phương ABCD.A’B’CD’D. Tính góc tạo bởi đường thẳng AB’ và mặt phẳng (BDD’B’)
- A. $60^0$
- B. $90^0$
- C. $45^0$
- D. $30^0$
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Khi đó ta có $AO \bot BD$ (1).
Mặt khác ta lại có ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên $BB' \bot \left( {ABCD} ight)$
$\Rightarrow BB' \bot AO$ (2)
Từ (1) và (2) ta có $AO \bot \left( {BDD'B'} ight)$ tại O
Khi đó B’O là hình chiếu của AB’ lên mặt phẳng (BDD’B’).
Suy ra góc tạo bởi đường thẳng AB’ và mặt phẳng (BDD’B’) là $\widehat {AB'O}$
Xét tam giác vuông AB’O có $\sin \widehat {AB'O} = \frac{{AO}}{{AB'}} = \frac{1}{2}$
Vậy $\widehat {\left( {AB',\left( {BDD'B'} ight)} ight)} = 30^\circ$
Câu 31: Thông hiểu
Tính khoảng cách d từ điểm D đến mặt phẳng (SBC)

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SB hợp với mặt đáy một góc 60⁰. Tính khoảng cách d từ điểm D đến mặt phẳng (SBC)
- A.
  $d=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
- B.
  $d=\frac{\sqrt{3}}{2}$
- C.
  $d=a$
- D.
  $d=a\sqrt{3}$
Hình vẽ minh họa
Ta có:
$\begin{matrix} {60^0} = \left( {SB;\left( {ABCD} ight)} ight) = \left( {SB;AB} ight) = \widehat {SBA} \hfill \\ \Rightarrow SA = AB.\tan \widehat {SBA} = a\sqrt 3 \hfill \\ \end{matrix}$
Ta có: $AD // BC => AD // (SBC)$
=> $d(D,(SBC)) = d(A; (SBC))$
Kẻ $AK \bot SB$ (1)
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {BC \bot SA} \\ {BC \bot AB} \end{array}} ight. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} ight) \Rightarrow BC \bot AK\left( 2 ight)$
Từ (1) và (2) => $AK \bot \left( {SBC} ight)$
$\begin{matrix} \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} ight)} ight) = AK \hfill \\ AK = \dfrac{{SA.AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
$d\left( {D;\left( {SBC} ight)} ight) = AK = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$
Câu 32: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Hình chóp tam giác đều $S.ABC$ . Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $SA\bot(ABC)$
- B.
  $SG\bot(ABC)$
- C.
  $AB\bot(ASC)$
- D.
  $SG\bot(ABS)$
Ta có khối chóp tam giác đều $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều, trọng tâm G cũng là tâm của đáy nên $SG\bot(ABC)$ .
Câu 33: Thông hiểu
Chọn kết luận đúng

Cho tứ diện đều $ABCD$ . Gọi trung điểm của các cạnh $AB;BC$ lần lượt là $M;N$ . Kết luận nào sau đây đúng?
- A.
  $(MN;CD) = 30^{0}$
- B.
  $(MN;CD) = 60^{0}$
- C.
  $(MN;CD) = 45^{0}$
- D.
  $(MN;CD) = 90^{0}$
Hình vẽ minh họa

Gọi P là trung điểm của BD.

Ta có: $MN;NP;MP$ lần lượt là đường trung bình của tam giác $ABC;BCD;ABD$ .

Do đó:

$MN//AC;MN = \frac{1}{2}AC$

$NP//CD;NP = \frac{1}{2}CD$

Vì $ABCD$ là tứ diện đều $\Rightarrow AC = CD = AD$

$\Rightarrow MN = NP = MP$ nên tam giác $MNP$ là tam giác đều.

$\Rightarrow (MN;CD) = (MN;NP) = \widehat{MNP} = 60^{0}$
Câu 34: Vận dụng
Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng:
- A.
  60⁰
- B.
  30⁰
- C.
  45⁰
- D.
  90⁰
Hình ảnh minh họa:

Vẽ DE ⊥ SC tại E.

Vì các tam giác SBC và SDC là các tam giác vuông có các cạnh tương ứng bằng nhau nên BE ⊥ SC và BE = DE.

Tam giác SBC vuông tại B và BE là đường cao nên

$\begin{matrix}\dfrac{1}{BE^{2}} = \dfrac{1}{SB^{2}} + \dfrac{1}{BC^{2}}\hfill \\= \dfrac{1}{2a^{2}} + \dfrac{1}{a^{2}} = \dfrac{3}{2a^{2}} \Rightarrow BE^{2} = \dfrac{3}{2a^{2}} \hfill\\\end{matrix}$

Khi đó $\left\{ \begin{matrix} SC\ = \ (SCD)\ \cap \ (SBC) \\ DE\bot SC,\ DE \subset (SCD) \\ BE\bot SC,\ BE \subset (SBC) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy ((SCD), (SBC)) = (DE, BE).

Ta có:

$\begin{matrix}\cos\widehat{DEB} = \dfrac{BE^{2} + DE^{2} - DB^{2}}{2.BE.DE} = -\dfrac{1}{2} \hfill\\\Rightarrow \widehat{DEB} = 120^{0}\hfill \\\end{matrix}$

Khi đó (DE, BE) = 60◦. Vậy ((SCD), (SBC)) = 60◦
Câu 35: Nhận biết
Tìm khẳng định sai

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA ⊥ (ABCD). Gọi I là trung điểm của SC. Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABCD) bằng độ dài đoạn thẳng nào?
- A.
  IO
- B.
  IA
- C.
  IC
- D.
  IB
Hình vẽ minh họa:

Do I là trung điểm của SC và O là trung điểm AC nên IO ∥ SA. Do SA ⊥ (ABCD) nên IO ⊥ (ABCD), hay khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABCD) bằng độ dài đoạn thẳng IO
Câu 36: Thông hiểu
Chọn mệnh đề đúng?

Cho tứ diện ABCD có AB = AC, BD = CD. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây?
- A.
  BD ⊥ (ABC)
- B.
  AC ⊥ BD
- C.
  CD ⊥ (ABD)
- D.
  BC ⊥ AD
Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm của BC.

Do tam giác ABC và tam giác BCD lần lượt là tam giác cân tại A và tại D

=> BC ⊥ MA, BC ⊥ MD

=> BC ⊥ (ADM)

=> BC ⊥ AD
Câu 37: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ , $SA\bot(ABCD);SA = a\sqrt{2}$ . Xác định thể tích $S.ABCD$ ?
- A.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{6}$
- B.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{3}$
- C.
  $V = a^{3}\sqrt{2}$
- D.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{2}$
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$S_{ABCD} = a^{2} \Rightarrow V_{S.ABCD} = \frac{1}{3}SA.S_{ABCD} = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{3}$
Câu 38: Vận dụng
Tính cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng NC và BI

Cho hình lăng trụ ABC. MNP có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi I là trung điểm của cạnh AC. Cosin của góc tạo bởi NC và BI bằng bao nhiêu?
- A. $\frac{{\sqrt 6 }}{2}$
- B. $\frac{{\sqrt {10} }}{4}$
- C. $\frac{{\sqrt 6 }}{4}$
- D. $\frac{{\sqrt {15} }}{5}$
Gọi E là trung điểm MP => NE // BI
=> Góc giữa hai đường thẳng NC và BI bằng góc giữa hai đường thẳng NC và NE
=> Góc cần tính là $\widehat {CNE}$
Đặt a là chiều dài cạnh của hình lăng trụ ta có:
$\begin{matrix} NC = a\sqrt 2 \hfill \\ NE = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \hfill \\ CE = \sqrt {C{P^2} + E{P^2}} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
=> $\cos \widehat {CNE} = \frac{{N{C^2} + N{E^2} - C{E^2}}}{{2NC.NE}} = \frac{{\sqrt 6 }}{4}$
Câu 39: Nhận biết
Tính chiều cao của hình chóp

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Chiều cao của hình chóp bằng:
- A.
  $\frac{a\sqrt{2}}{3}$
- B.
  $\frac{a\sqrt{3}}{2}$
- C.
  $\frac{a\sqrt{3}}{4}$
- D.
  $\frac{a\sqrt{2}}{2}$
Hình vẽ minh họa:

Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên đáy ABCD là hình vuông và các cạnh bên bằng nhau.

Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD).

Khi đó các tam giác SOA, SOB, SOC, SOD bằng nhau nên bốn đoạn thẳng OA, OB, OC, OD bằng nhau.

Suy ra O trùng với tâm của hình vuông ABCD, hay O là giao điểm của AC và BD. Vậy chiều cao của hình chóp là:

$\begin{matrix}SO = \sqrt{SB^{2} - OB^{2}} \hfill \\= \sqrt{a^{2} - \dfrac{a^{2}}{2}} = \sqrt{\dfrac{a^{2}}{2}} =\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\hfill \\\end{matrix}$
Câu 40: Vận dụng cao
Giá trị lớn nhất của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ nội tiếp mặt cầu (S) có bán kính $R = \frac{{\sqrt {17} }}{2}$ . Gọi I; J là trung điểm BC, CD và $\alpha$ là góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng (C’IJ). Giá trị lớn nhất của $\sin \alpha$ là
- A. $\frac{3}{5}$
- B. $\frac{{ - 3}}{5}$
- C. $\frac{4}{5}$
- D. $\frac{{ - 4}}{5}$
Đặt $CD = a\,,\,CB = b\,,CC' = c\,\,\,\left( {a,b,c > 0} ight).$
$AC{'^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} = 17.$
Gọi K là hình chiếu của A lên (C’IJ)
$\left( {\widehat {AC',\left( {C;{\text{IJ}}} ight)}} ight) = \left( {\widehat {AC',AK}} ight) = \alpha$
Ta có $\sin \alpha = \frac{{d\left( {A,\left( {C'{\text{IJ}}} ight)} ight)}}{{AC'}} = \frac{{3d\left( {C,\left( {C'{\text{IJ}}} ight)} ight)}}{{\sqrt {17} }}$
Trong (ABCD) kẻ tại E
$\left\{ \begin{gathered} IJ \bot CE \hfill \\ IJ \bot CC\prime \hfill \\ CE \subset \left( {CEC'} ight) \hfill \\ \,CC' \subset \left( {CEC'} ight) \hfill \\ CE \cap CC' = C \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow IJ \bot \left( {CEC'} ight) \Rightarrow \left( {C'IJ} ight) \bot \left( {CEC'} ight)$
Trong (CEC’) kẻ $CH \bot C'E$ tại H
Suy ra $d\left( {C,\left( {C'{\text{IJ}}} ight)} ight) = CH = h$
Do đó $\sin \alpha = \frac{{3h}}{{\sqrt {17} }}$
Ta có:
$\begin{matrix} \dfrac{1}{{{h^2}}} = \dfrac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{4}{{{a^2}}} + \dfrac{4}{{{b^2}}} = \dfrac{1}{{{c^2}}} + 4\left( {\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}}} ight) \geqslant \dfrac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{{16}}{{{a^2} + {b^2}}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{h^2}}} \geqslant \frac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{{16}}{{17 - {c^2}}} = \dfrac{{17 - {c^2} + {c^2}}}{{17{c^2}}} + \dfrac{{16\left( {17 - {c^2} + {c^2}} ight)}}{{17\left( {17 - {c^2}} ight)}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{h^2}}} \geqslant \dfrac{{17 - {c^2}}}{{17{c^2}}} + \dfrac{{16{c^2}}}{{17\left( {17 - {c^2}} ight)}} + 1 \geqslant 2.\dfrac{4}{{17}} + 1 = \dfrac{{25}}{{17}} \Leftrightarrow h \leqslant \dfrac{{\sqrt {17} }}{5}. \hfill \\ \Rightarrow \sin \alpha \leqslant \dfrac{3}{5}. \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy đạt giá trị lớn nhất là $\frac{3}{5}$
Dấu xảy ra khi: $\left\{ \begin{gathered} {a^2} = {b^2} = \frac{{34}}{5} \hfill \\ {c^2} = \frac{{17}}{5} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = b = \sqrt {\frac{{34}}{5}} \hfill \\ c = \sqrt {\frac{{17}}{5}} \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

37 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 Chân trời sáng tạo
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân
Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số ghép số liệu nhóm
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Đạo hàm
Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 9: Xác suất

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 11 Chân trời sáng tạo

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân

Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian

Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số ghép số liệu nhóm

Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 7: Đạo hàm

Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian

Chương 9: Xác suất