VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 CTST Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay

Câu 1: Thông hiểu
Tính khoảng các d giữa hai đường thẳng BB' và A'H

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh có độ dài bằng 2a. Hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của BC. Tính khoảng các d giữa hai đường thẳng BB' và A'H
- A.
  $d = 2a$
- B.
  $d = a$
- C.
  $d=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
- D.
  $d=\frac{a\sqrt{3}}{3}$
Do $BB’ // AA’$ nên $d(BB′;A′H)=d(BB′;(AA′H))=d(B;(AA′H))$
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {BH \bot AH} \\ {BH \bot A\prime H} \end{array} \Rightarrow BH \bot \left( {AA\prime H} ight)} ight.$
Nên $d(B;(AA′H))=BH=BC/2=a$
Vậy khoảng cách $d(BB′;A′H)=a$
Câu 2: Thông hiểu
Tính thể tích khối lăng trụ đứng

Khối lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại A. Biết $AB = 2a$ và góc giữa đường thẳng $BC'$ và mặt phẳng $(ACC'A')$ bằng $30^{0}$ . Tính thể tích khối lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ .
- A.
  $4\sqrt{2}a^{3}$
- B.
  $2\sqrt{2}a^{3}$
- C.
  $2a^{3}$
- D.
  $4a^{3}$
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} AB\bot AC \\ AB\bot AA' \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AB\bot(ACC'A')$

Suy ra $\left( BC';(ACC'A') ight) = (BC';AC') = \widehat{AC'B} = 30^{0}$

Ta có: $AC' = \frac{AB}{tan30^{0}} = 2\sqrt{3}a$

$\Rightarrow AA' = \sqrt{12a^{2} - 4a^{2}} = 2\sqrt{2}a$

Vậy $V_{ABC.A'B'C'} = AA'.S_{ABC} = 2\sqrt{2}a.\frac{1}{2}.2a.2a = 4\sqrt{2}a^{3}$
Câu 3: Vận dụng cao
Tính giá trị cos α

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; SAB là tam giác cân tại S; AD = 3BC = 3AB = 3a. Gọi M là điểm thuộc đoạn AD sao cho AD = 3MD. Biết rằng SCM là tam giác đều. Gọi α là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD). Khi đó cos α nhận giá trị là
- A. $\frac{{2\sqrt 7 }}{7}$
- B. $\frac{{\sqrt {21} }}{7}$
- C. $\frac{{\sqrt {42} }}{{14}}$
- D. $\frac{{\sqrt {154} }}{{14}}$
Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.
Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a
=> MD = a; AM = 2a
Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.
Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và $HK = \frac{{3a}}{2}$
Ta có: $\left\{ \begin{gathered} AB \bot SK \hfill \\ AB \bot HK \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow AB \bot SH$ (1)
Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)
Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)
Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.
Suy ra $HM = HN = \frac{1}{2}CM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$ và $HM \bot HN$
Tam giác SCM đều cạnh bằng $a\sqrt 2$ nên $SH = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$
Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).
Ta có: $\frac{1}{{{d^2}}} = \frac{1}{{H{M^2}}} + \frac{1}{{H{N^2}}} + \frac{1}{{H{S^2}}}$
$= \frac{4}{{2{a^2}}} + \frac{4}{{2{a^2}}} + \frac{4}{{6{a^2}}} = \frac{{14}}{{3{a^2}}} \Rightarrow d = \frac{{a\sqrt {42} }}{{14}}$
Ta lại có:
$SB = \sqrt {S{H^2} + B{H^2}} = \sqrt {S{H^2} + B{K^2} + K{H^2}}$
$= \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{2} + \frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{9{a^2}}}{4}} = 2a$
Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)
Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc $\widehat {BSI} = \alpha$
Do BC // AD => BC //(SAD)
=> $BI = d\left( {B;\left( {SAD} ight)} ight) = d\left( {C;\left( {SAD} ight)} ight) = 2d\left( {H,\left( {SAD} ight)} ight) = \frac{{a\sqrt {42} }}{7}$
Trong tam giác vuông BIS ta có:
$\sin \alpha = \frac{{BI}}{{SB}} = \frac{{\sqrt {42} }}{{14}} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\sqrt {154} }}{{14}}$
Câu 4: Thông hiểu
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

Cho hình chóp $S,ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $A$ . Tam giác $SBC$ là tam giác đều cạnh $a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính $d(SA;BC)$ ?
- A.
  $\frac{a\sqrt{2}}{2}$
- B.
  $\frac{a\sqrt{3}}{2}$
- C.
  $\frac{a\sqrt{5}}{2}$
- D.
  $\frac{a\sqrt{3}}{4}$
Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của $BC$ . Suy ra $SH\bot(ABC)$

Kẻ $HK\bot SA;(K \in SA)(1)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BC\bot SH \\ BC\bot AH \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SHA) \Rightarrow BC\bot KH(2)$

Từ (1) và (2) suy ra HK là đoạn vuông góc chung của SA và BC

Do đó $d(SA;BC) = HK = \frac{SH.HA}{\sqrt{SH^{2} + HA^{2}}} = \frac{a\sqrt{3}}{4}$
Câu 5: Nhận biết
Xác định góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD)

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, SA ⊥ (ABCD). Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa
- A.
  SC và BC
- B.
  SC và DC
- C.
  SC và SA
- D.
  SC và AC
Hình vẽ minh họa:
Vì SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD).
Do đó góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SC và AC.
Câu 6: Vận dụng
Tính tan góc giữa đường thẳng AP và mặt phẳng (MNP)

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, cạnh bên AA’ = a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BB’, B’C’. Lấy điểm P thuộc A’B’ sao cho $PB' = \frac{a}{4}$ . Tính tan góc giữa đường thẳng AP và mặt phẳng (MNP).
- A. 2
- B. $\frac{1}{2}$
- C. $\frac{1}{3}$
- D. 3
Gọi H, K lần lượt là trung điểm của A’B’, BC.
Khi đó ta có HB // PM, $HB \bot AM$ . Suy ra $AM \bot MP$ (1)
Mặt khác ta có $BC' \bot MK;BC' \bot AK$ (vì $AK \bot \left( {BCB'} ight)$ )
$\Rightarrow BC' \bot \left( {AMK} ight) \Rightarrow MN \bot AM$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $AM \bot \left( {MNP} ight)$ . Vậy góc giữa đường thẳng AP và mặt phẳng (MNP) là góc $\widehat {APM}$
Ta có $AM = \sqrt {A{B^2} + M{B^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} ight)}^2}} = \frac{{\sqrt 5 }}{2}a$
$MP = \sqrt {B'{M^2} + B'{P^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} ight)}^2} + {{\left( {\frac{a}{4}} ight)}^2}} = \frac{{\sqrt 5 }}{4}a$
Suy ra $\tan \widehat {APM} = \frac{{AM}}{{PM}} = 2$
Câu 7: Thông hiểu
Tìm đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ . Đường thẳng nào dưới đây vuông góc với mặt phẳng $(A'BD)$ ?
- A.
  $AC$
- B.
  $B'D'$
- C.
  $A'C'$
- D.
  $AC'$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $AB = AD = AA' = a$ nên $A$ cách đều các điểm $B,D,A'$

$BC' = DC' = C'A' = a\sqrt{2}$ nên $C'$ cách đều các điểm $B,D,A'$

Do đó A; C’ cùng nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $A'BD$

$\Rightarrow AC'\bot(A'BD)$
Câu 8: Vận dụng
Góc giữa hai đường thẳng SB và AC trong mặt phẳng

Cho hình chóp S.ABCD có mặt phẳng đáy là hình vuông cạnh a, $SA = a\sqrt 3$ , SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính góc giữa SB và AC?
- A. $\alpha = {69^0}17'$
- B. $\alpha = {72^0}84'$
- C. $\alpha = {84^0}62'$
- D. $\alpha = {27^0}38'$
Hình vẽ minh họa
Lấy M là trung điểm của SD
Góc cần tìm là góc giữa OM và SC
Ta có MC là trung tuyến của tam giác SCD
$\begin{matrix} M{C^2} = \dfrac{{S{C^2} + D{C^2}}}{2} - \dfrac{{S{D^2}}}{4} = 2{a^2} \hfill \\ \Rightarrow MC = a\sqrt 2 \hfill \\ \end{matrix}$
Xét tam giác MOC ta có:
$\begin{matrix} \cos \widehat {MOC} = \dfrac{{M{O^2} + O{C^2} - M{C^2}}}{{2.MO.OC}} = - \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }} \hfill \\ \Rightarrow \alpha \approx {69^0}17\prime \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 9: Thông hiểu
Hoàn thành mệnh đề

Các đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì:
- A.
  Thuộc một mặt phẳng
- B.
  Vuông góc với nhau
- C.
  Song song với một mặt phẳng
- D.
  Song song với nhau
Đáp án "Thuộc một mặt phẳng" sai vì có thể xảy ra trường hợp nằm trên nhiều mặt phẳng khác nhau.
Đáp án "Vuông góc với nhau" sai vì có thể xảy ra trường hợp chúng song song với nhau.
Đáp án "Song song với nhau" sai vì có thể xảy ra trường hợp chúng cắt nhau.
Đáp án "Song song với một mặt phẳng" đúng vì chúng đồng phẳng.
Câu 10: Nhận biết
Tỉ lệ khoảng cách

Giả sử đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (P) tại M. Trên ∆ lấy hai điểm A và B. Khi đó $\frac{d\left( A;(P) ight)}{d\left( B;(P) ight)}$ bằng:
- A.
  $\frac{2AM}{BM}$
- B.
  $\frac{AM}{2BM}$
- C.
  $\frac{AM}{BM}$
- D.
  $\frac{2AM}{3BM}$
$\frac{d\left( A;(P) ight)}{d\left( B;(P) ight)} = \frac{AM}{BM}$
Câu 11: Thông hiểu
Tính của góc giữa mặt phẳng (AMO) và mặt phẳng (SAB)

Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Góc giữa SB và mặt phẳng (SCA) bằng 60⁰. Gọi M là trung điểm của SB. Tính của góc giữa mặt phẳng (AMO) và mặt phẳng (SAB).
- A. $\frac{1}{{\sqrt 5 }}$
- B. $\frac{1}{{2\sqrt 5 }}$
- C. $\frac{2}{{\sqrt 5 }}$
- D. $\frac{3}{{2\sqrt 5 }}$
Hình chóp S.ABCD đều, O là tâm của đáy nên $SO \bot \left( {ABCD} ight);BD \bot \left( {SAC} ight)$
ABCD là hình vuông cạnh a nên $AC = BD = a\sqrt 2 ;OB = \frac{1}{2}BD = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$
Ta có: $\left( {SAB} ight) \cap \left( {AMO} ight) = AM$
Khi đó: $\sin \varphi = \frac{{d\left( {O;\left( {SAB} ight)} ight)}}{{d\left( {O;AM} ight)}}$ với $\varphi$ là góc giữa hai mặt phẳng (AMO) và (SAB).
Do $BD \bot \left( {SAC} ight)$ suy ra góc giữa SB và (SAC) là góc giữa SB và SO và bằng góc $\widehat {BSO} = {60^0}$ .
Tam giác SBO vuông tại O nên ta có:
$\begin{matrix} SO = \dfrac{{OB}}{{\tan {{60}^0}}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{{2\sqrt 3 }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6} \hfill \\ SB = \dfrac{{OB}}{{\sin {{60}^0}}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3} \hfill \\ \Rightarrow MB = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6} \hfill \\ \end{matrix}$
Gọi I là trung điểm của AB. Kẻ OH ⊥ SI (1)
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {AB \bot OI} \\ {AB \bot SO} \end{array}} ight. \Rightarrow AB \bot \left( {SOI} ight) \Rightarrow OH \bot AB$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $OH \bot \left( {SAB} ight) \Rightarrow d\left( {O;\left( {SAB} ight)} ight) = OH$
Vì OI là đường trung bình của tam giác ABD nên $OI = \frac{1}{2}AD = \frac{a}{2}$
Tam giác SOI vuông tại O, đường cao OH, có
$\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{I^2}}} + \frac{1}{{S{O^2}}} = \frac{{10}}{{{a^2}}} \Rightarrow OH = \frac{a}{{\sqrt {10} }}$
Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến trong các tam giác SAB và SBC, ta có:
$\begin{matrix} A{M^2} = \dfrac{{2A{B^2} + 2S{A^2} - S{B^2}}}{4} = \dfrac{{2{a^2}}}{3} \Rightarrow AM = a\sqrt {\dfrac{2}{3}} \hfill \\ C{M^2} = \dfrac{{2C{B^2} - 2C{S^2} - S{B^2}}}{4} = \dfrac{{2{a^2}}}{3} \Rightarrow CM = a\sqrt {\dfrac{2}{3}} \hfill \\ \end{matrix}$
Trong tam giác AMC, có:
$\cos \widehat {CAM} = \frac{{A{M^2} + A{C^2} - M{C^2}}}{{2AMM.AC}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \widehat {CAM} = {30^0}$
$\begin{matrix} d\left( {O;AM} ight) = \dfrac{{d\left( {C;AM} ight)}}{2} \hfill \\ = \frac{1}{2}AC.\sin \widehat {CAM} = \dfrac{1}{2}AC.\sin {30^0} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4} \hfill \\ \Rightarrow \sin \varphi = \dfrac{{d\left( {O;\left( {SAB} ight)} ight)}}{{d\left( {O;AM} ight)}} = \dfrac{a}{{\sqrt {10} }}:\dfrac{{a\sqrt 2 }}{4} = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 12: Thông hiểu
Tìm mệnh đề đúng

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy là hình thoi. Gọi $O;O'$ lần lượt là tâm các hình bình hành $ADD'A'$ và $ABB'A'$ (như hình vẽ).

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
- A.
  $OO'\bot AC$
- B.
  $OO'\bot AA'$
- C.
  $OO'\bot AD$
- D.
  $OO'\bot AB$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $O;O'$ lần lượt là tâm các hình bình hành $ADD'A'$ và $ABB'A'$

=> $O;O'$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $A'D;A'B$

$\Rightarrow OO'$ là đường trung bình tam giác $A'BD$ $\Rightarrow OO'//BD$

Vì đáy ABCD là hình thoi $\Rightarrow AC\bot BD$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} OO'//BD \\ AC\bot BD \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AC\bot OO'$
Câu 13: Thông hiểu
Xác định khẳng định sai?

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại C. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB và SB. Xác định khẳng định sai trong các khẳng định dưới đây?
- A.
  CH ⊥ KA
- B.
  SB ⊥ CH
- C.
  SA ⊥ CH
- D.
  SB ⊥ KA
Hình vẽ minh họa:

Vì HA = HB, tam giác ABC cân => CH ⊥ AB

Ta có: SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ CH

Mà CH ⊥ AB => CH ⊥ (SAB)

Mặt khác AK thuộc mặt phẳng (SAB

=> CH ⊥ SA, CH ⊥ SB, CH ⊥ AK

Và AK ⊥ SB chỉ xảy ra khi và chỉ khi tam giác SAB cân tại S.
Câu 14: Thông hiểu
Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a và $I = AC \cap BD$ . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của C'D', AA'. Gọi $\varphi$ là góc tạo bởi đường thẳng IN và mặt phẳng (ACM). Tính $\sin \varphi$ .
- A. $\frac{{\sqrt 3 }}{9}$
- B. $\frac{{\sqrt 2 }}{2}$
- C. $\frac{{5\sqrt 3 }}{9}$
- D. $\frac{{\sqrt 3 }}{{24}}$
Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm N lên mặt phẳng (ACM).
Khi đó: $NH = h = d\left( {N,\left( {ACM} ight)} ight) = IN.\sin \varphi$
Ta có: $h = d\left( {N,\left( {ACM} ight)} ight) = \frac{1}{2}d\left( {A',\left( {ACM} ight)} ight) = \frac{{3{V_{A'ACM}}}}{{2{S_{ACM}}}}$
Xét tam giác ACM có: $CM = \frac{{\sqrt 5 }}{2}a$
$\begin{matrix} A{M^2} = \dfrac{{A{{D'}^2} + A{{C'}^2}}}{2} - \dfrac{{C'{{D'}^2}}}{4} \hfill \\ = \dfrac{{{{\left( {\sqrt 2 a} ight)}^2} + {{\left( {\sqrt 3 a} ight)}^2}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{4} = \dfrac{9}{4}{a^2} \Rightarrow AM = \dfrac{3}{2}a \hfill \\ \Rightarrow {S_{ACM}} = \sqrt {p\left( {p - AC} ight)\left( {p - CM} ight)\left( {p - AM} ight)} = \dfrac{3}{4}{a^2} \hfill \\ \left( {p = \dfrac{{AC + CM + AM}}{2}} ight) \hfill \\ {V_{A'ACM}} = {V_{M.A'AC}} = \dfrac{1}{2}{V_{D'.A'AC}} = \dfrac{1}{6}{V_{ACD.A'C'D'}} = \dfrac{1}{{12}}{V_{{\text{lp}}}} = \dfrac{{{a^2}}}{{12}} \hfill \\ \Rightarrow h = IN = \dfrac{a}{6} \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy $\sin \varphi = \frac{h}{{IN}} = \frac{{\sqrt 3 }}{9}$
Câu 15: Thông hiểu
Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a\sqrt{3}$ , $SA\bot(ABCD);SA = a\sqrt{2}$ . Tính góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ ?
- A.
  $45^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $60^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $SA\bot(ABCD)$ nên AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABCD)

Do đó góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là góc $\widehat{SCA}$

Đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a\sqrt{3} \Rightarrow AC = a\sqrt{6}$

$\Rightarrow \tan\widehat{SCA} = \frac{SA}{AC} = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow \widehat{SCA} = 30^{0}$
Câu 16: Thông hiểu

Điền đáp án vào ô trống

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $\sqrt{6}cm$ . Góc tạo bởi cạnh bên $SB$ và mặt phẳng đáy bằng $60^{0}$ . Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng bao nhiêu?

Kết quả: 6 cm³

Đáp án là:

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $\sqrt{6}cm$ . Góc tạo bởi cạnh bên $SB$ và mặt phẳng đáy bằng $60^{0}$ . Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng bao nhiêu?

Kết quả: 6 cm³

Hình vẽ minh họa

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD

Ta có: tam giác SAC cân, O là trung điểm của AC nên $SO\bot CA$

Tương tự tam giác SBD cân, O là trung điểm của BD nên $SO\bot BD$

$\Rightarrow SO\bot(ABCD)$

Diện tích đáy $S_{ABCD} = AB^{2} = 6\left( cm^{2} ight)$

Góc giữa SB và mặt phẳng đáy là $\left( SB;(ABCD) ight) = \widehat{SBO} = 60^{0}$

ABCD là hình vuông nên $OB = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}AB\sqrt{2} = \frac{1}{2}.\sqrt{6}.\sqrt{2} = \sqrt{3}(cm)$

Xét tam giác vuông SOB ta có:

$SO = BO.tan\widehat{SDO} = \sqrt{3}.tan60^{0} = 3(cm)$

Khi đó thể tích khối chóp là: $V = \frac{1}{3}.SO.S_{ABC} = \frac{1}{3}.3.6 = 6cm^{3}$
Câu 17: Thông hiểu
Xác định cosin góc giữa hai đường thẳng SB và AC

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, biết: $AB = a,AD = SA = a\sqrt 3$ . Hai bên mặt SAB và SAD vuông tại a. Gọi μ là góc giữa hai đường thẳng SB và AC. Tính cosμ?
- A. $\cos \mu = \frac{1}{3}$
- B. $\cos \mu = \frac{1}{4}$
- C. $\cos \mu = \frac{{\sqrt 3 }}{4}$
- D. $\cos \mu = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
$\begin{matrix} \cos \left( {\overrightarrow {SB} ;\overrightarrow {AC} } ight) = \dfrac{{\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AC} }}{{SB.AC}} = \dfrac{{\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AC} }}{{4{a^2}}} \hfill \\ \overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AC} = \left( {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AB} } ight).\overrightarrow {AC} \hfill \\ = \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \hfill \\ \end{matrix}$
Ta lại có:
$\begin{matrix} \overrightarrow {AS} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AS} .\left( {m\overrightarrow {AB} + n\overrightarrow {AC} } ight) = 0 \hfill \\ \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 2.2a.\cos {60^0} = {a^2} \hfill \\ \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {AC} } ight) = \frac{1}{4} \hfill \\ \Rightarrow \cos \mu = \frac{1}{4} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 18: Nhận biết
Tìm góc α

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật và $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $\alpha = \left( SD;(ABCD) ight)$ . Xác định $\alpha$ ?
- A.
  $\alpha = \widehat{ASD}$
- B.
  $\alpha = \widehat{DAS}$
- C.
  $\alpha = \widehat{SDA}$
- D.
  $\alpha = \widehat{SDC}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: Hình chiếu của SD lên mặt phẳng (ABCD) là AD nên góc giữa SD và mặt phẳng đáy là góc $\widehat{SDA}$

$\Rightarrow \alpha = \widehat{SDA}$
Câu 19: Vận dụng
Tính thể tích tứ diện

Cho tứ diện $ABCD$ có các cạnh $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc với nhau. Gọi trung điểm của các cạnh $BC,CD,DB$ lần lượt là $J;Q;K$ . Tính thể tích tứ diện $AJQK$ , biết $AB = 6cm;AC = 7cm;AD = 4cm$ .
- A.
  $V = 7cm^{3}$
- B.
  $V = 14cm^{3}$
- C.
  $V =\frac{28}{3}cm^{3}$
- D.
  $V =\frac{7}{2}cm^{3}$
Hình vẽ minh họa
Ta có: $V_{ABCD} =\frac{1}{2}AB.\frac{1}{2}AD.AC = \frac{1}{2}.6.7.4 = 28\left( cm^{3}ight)$
Nhận thấy $S_{JQK} = \frac{1}{2}S_{JQKD} =\frac{1}{4}S_{BCD}$
$V_{JQK} = \frac{1}{4}V_{ABCD} = 7\left(cm^{3} ight)$
Câu 20: Nhận biết
Tính thể tích V của hình chóp tam giác

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ , $SA\bot(ABC);V_{S.ABC} = \frac{a^{3}}{4}$ . Tính chiều cao hình chóp $S.ABC$ ?
- A.
  $\frac{a\sqrt{3}}{2}$
- B.
  $\frac{a\sqrt{3}}{3}$
- C.
  $a\sqrt{3}$
- D.
  $2a\sqrt{3}$
Ta có:

$SA\bot(ABC)$ nên SA là chiều cao của hình chóp.

Do tam giác ABC đều cạnh a nên $S_{ABC} = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$

Ta lại có:

$V_{S.ABC} = \dfrac{1}{3}SA.S_{ABC}\Rightarrow SA = \dfrac{3V_{S.ABC}}{S_{ABC}} =\dfrac{3.\dfrac{a^{3}}{4}}{\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{4}} =a\sqrt{3}$
Câu 21: Vận dụng cao
Góc giữa hai đường thẳng MN và BD

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD đáy ABCD là hình vuông, E là điểm đối xứng với D qua trung điểm SA. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE và BC. Góc giữa hai đường thẳng MN và BD bằng:
- A.
  90⁰
- B.
  60⁰
- C.
  45⁰
- D.
  75⁰
Hình vẽ minh họa:

Do D đối xứng với E qua trung điểm của SA nên SDAE là hình bình hành

=> AE // SD. Ta có:

$\begin{matrix}\overrightarrow{MN} = \dfrac{\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{EC}}{2} = \dfrac{\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{ED} + \overrightarrow{DC}}{2}\hfill \\= \dfrac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{SD}+ \overrightarrow{DC}}{2} \hfill\\= \dfrac{\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{SC}}{2} \hfill\\\end{matrix}$

Mà $BD\bot AC;BD\bot SC$

=> $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{BD} = \frac{\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{SC}}{2}.\overrightarrow{BD} = 0$

=> $(MN,BD) = 90^{0}$
Câu 22: Thông hiểu
Tính khoảng cách

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có các cạnh bằng $1$ . Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(ABB')$ và $(CC'D')$ .
- A.
  $1$ .
- B.
  $2$ .
- C.
  $\sqrt{2}$ .
- D.
  $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .
Hình vẽ minh họa

Vì $ABCD.A'B'C'D'$ là hình lập phương nên $(ABB')//(CC'D')$ và $BC\bot(ABB'A')$ .

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(ABB')$ và $(CC'D')$

$d\left( (ABB'),(CC'D') ight) = d\left( C,(ABB'A') ight) = CB = 1$
Câu 23: Vận dụng
Tính góc giữa hai đường thẳng

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, A’B’C’D’ là hình chữ nhật tâmH, A’D’ = 2a, $A'B' = 2\sqrt 3 a$ , H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (A’B’C’D’), $AH = 2\sqrt 3 a$ . Gọi $\alpha$ là góc giữa hai đường thẳng AD’ và DB’. Tính $\cos \alpha$ .
- A. $\cos \alpha = \frac{1}{2}$
- B. $\cos \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{4}$
- C. $\cos \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$
- D. $\cos \alpha = \frac{{\sqrt 6 }}{8}$
Bước 1: Xác định góc giữa hai đường thẳng AD’ và DB’
Kẻ đường thẳng d qua D, song song với AD', cắt A’D’ tại E
Suy ra $\alpha = \widehat {\left( {AD',\,DB'} ight)} = \widehat {\left( {DE,\,DB'} ight)}$
Bước 2: Tính $\cos \alpha$
Kẻ đường thẳng qua H, song song với A’D’, cắt A’B’ tại F.
Lấy điểm I sao cho ADIH là hình bình hành.
Suy ra DI // AH , mà $AH \bot \left( {A'B'C'D'} ight)$
=> $DI \bot \left( {A'B'C'D'} ight) \Rightarrow DI \bot IB'$
Ta có
$\begin{matrix} DE = AD' = \sqrt {A{H^2} + H{{D'}^2}} = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 3 a} ight)}^2} + {{\left( {2a} ight)}^2}} = 4a \hfill \\ EB' = \sqrt {A'{E^2} + A'{{B'}^2}} = \sqrt {{4^2} + {{\left( {2\sqrt 3 } ight)}^2}} .a = 2\sqrt 7 a \hfill \\ IB' = \sqrt {I{F^2} + F{{B'}^2}} = \sqrt {{3^2} + {{\left( {\sqrt 3 } ight)}^2}} .a = 2\sqrt 3 a \hfill \\ DB' = \sqrt {D{I^2} + I{{B'}^2}} = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 3 } ight)}^2} + {{\left( {2\sqrt 3 } ight)}^2}} .a = 2\sqrt 6 a \hfill \\ \end{matrix}$
Trong tam giác EDB’, có:
$\begin{matrix} \cos \widehat {EDB'} = \dfrac{{D{E^2} + D{{B'}^2} - E{{B'}^2}}}{{2.DE.DB'}} \hfill \\ = \dfrac{{{{\left( {4a} ight)}^2} + {{\left( {2\sqrt 6 a} ight)}^2} - {{\left( {2\sqrt 7 a} ight)}^2}}}{{2.4a.2\sqrt 6 a}} \hfill \\ = \dfrac{{\sqrt 6 }}{8} > 0 \hfill \\ \end{matrix}$
Suy ra $\cos \alpha = \frac{{\sqrt 6 }}{8}$
Câu 24: Thông hiểu
Tính góc nhị diện

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ và $AB = a\sqrt{2}$ . Biết $SA\bot(ABC)$ và $SA = a$ . Góc nhị diện $\lbrack S,\ BC,\ Abrack$ có số đo bằng:
- A.
  $30{^\circ}$ .
- B.
  $60{^\circ}$ .
- C.
  $45{^\circ}$ .
- D.
  $90{^\circ}$ .
Hình vẽ minh họa

Kẻ $AM\bot BC$ tại $M \Rightarrow M$ là trung điểm của $BC$ và $AM = \frac{1}{2}BC = \frac{\left( a\sqrt{2} ight)\sqrt{2}}{2} = a$ .

Ta có $\left\{ \begin{matrix} (SBC) \cap (ABC) = BC \\ (SAM)\bot BC \\ (SAM) \cap (SBC) = SM \\ (SAM) \cap (ABC) = AM \\ \end{matrix} ight.$ $\Rightarrow \left( \widehat{(SBC),(ABC)} ight) = \left( \widehat{SM,AM} ight)$ .

Suy ra góc giữa $(SBC)$ và $(ABC)$ bằng góc $\widehat{SMA}$ .

Ta có: $\tan\widehat{SMA} = \frac{SA}{AM} = \frac{a}{a} = 1 \Rightarrow \widehat{SMA} = 45{^\circ}$

Suy ra góc nhị diện $\lbrack S,\ BC,\ Abrack$ có số đo bằng $45{^\circ}$ .
Câu 25: Nhận biết
Hoàn thiện mệnh đề

Đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng phân biệt trong mặt phẳng (P) thì:
- A.
  a vuông góc với mặt phẳng (P)
- B.
  a không vuông góc với mặt phẳng (P)
- C.
  a không thể vuông góc với mặt phẳng (P)
- D.
  a có thể vuông góc với mặt phẳng (P)
"a vuông góc với mặt phẳng (P)" sai vì có thể có trường hợp
$a ⊥ b ⊂ (P); a⊥c ⊂ (P); b // c$
"a không vuông góc với mặt phẳng (P)" sai vì có thể xảy ra trường hợp
$a ⊥ b ⊂ (P); a⊥ c ⊂ (P); b ∩ c ≠ ∅$
$=>a⊥(P)$
=> "a không thể vuông góc với mặt phẳng (P)" là sai.
Câu 26: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Trong không gian cho đường thẳng a và điểm M. Có bao nhiêu đường thẳng đi qua M, cắt a và vuông góc với a?
- A. Không có
- B. Có vô số
- C. Có một và chỉ một
- D. Có một hoặc vô số
Có 1 nếu M không thuộc a, có vô số nếu M thuộc a
Câu 27: Thông hiểu
Góc giữa 2 vecto

Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và $\widehat {ASB} = \widehat {BSC} = \widehat {CSA}$ . Góc giữa cặp vecto $\overrightarrow {SA} ;\overrightarrow {BC}$ là:
- A. 120⁰
- B. 90⁰
- C. 45⁰
- D. 60⁰
$\begin{matrix} \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {SA} .\left( {\overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SB} } ight) \hfill \\ = \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SB} \hfill \\ = \left| {\overrightarrow {SA} } ight|.\left| {\overrightarrow {SC} } ight|\cos \widehat {ASC} - \left| {\overrightarrow {SA} } ight|.\left| {\overrightarrow {SB} } ight|\cos \widehat {ASB} \hfill \\ = 0 \hfill \\ \Rightarrow SA \bot BC \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 28: Thông hiểu
Chọn đáp án thích hợp

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ , cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt đáy và $SA = 2a$ . Gọi $M$ là trung điểm của $SC$ . Tính côsin của góc $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $BM$ và mặt phẳng $(ABC)$ ?
- A.
  $\cos\alpha = \frac{\sqrt{7}}{14}$ .
- B.
  $\cos\alpha = \frac{2\sqrt{7}}{7}$ .
- C.
  $\cos\alpha = \frac{\sqrt{5}}{7}$ .
- D.
  $\cos\alpha = \frac{\sqrt{21}}{7}$ .
Hình vẽ minh họa

Gọi $H$ là trung điểm cạnh $AC$ .

Khi đó $HM//SA$ nên $HM$ vuông góc $(ABC)$ tại $H$ .

Do đó $\left( \widehat{BM,(ABC)} ight) = \left( \widehat{BM,BH} ight) = \widehat{MBH}$ do $\Delta MBH$ vuông tại $H$ .

Ta có:

$\cos\widehat{MBH} = \frac{BH}{BM} = \frac{BH}{\sqrt{HM^{2} + BH^{2}}}$ $= \dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{a^{2} + \left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2} ight)^{2}}} = \dfrac{\sqrt{21}}{7}$ .
Câu 29: Vận dụng
Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SCD)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng 2a. Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SCD)
- A.
  $d=\frac{a\sqrt{7}}{30}$
- B.
  $d=\frac{2a\sqrt{7}}{30}$
- C.
  $d=\frac{a}{2}$
- D.
  $d=\frac{a\sqrt{2}}{2}$
Hình vẽ minh họa
Gọi O là tâm hình vuông ABCD => $SO \bot \left( {ABCD} ight)$
Vì $OA \cap \left( {SCD} ight) = C$ nên
$\begin{matrix} \dfrac{{d\left( {A;\left( {SCD} ight)} ight)}}{{d\left( {O;\left( {SCD} ight)} ight)}} = \dfrac{{AC}}{{OC}} = 2 \hfill \\ \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} ight)} ight) = 2d\left( {O;\left( {SCD} ight)} ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Gọi H là trung điểm của CD => $OH \bot CD$
Gọi K là hình chiếu của O trên SH => $OK \bot SH (*)$
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {CD \bot OH} \\ {CD \bot SO} \end{array}} ight. \Rightarrow CD \bot \left( {SOH} ight) \Rightarrow CD \bot OK\left( ** ight)$
Từ (*) và (**)
$\begin{matrix} OK \bot \left( {SCD} ight) \Rightarrow d\left( {O;\left( {SCD} ight)} ight) = OK \hfill \\ OK = \dfrac{{SO.OH}}{{\sqrt {S{O^2} + O{H^2}} }} \hfill \\ \end{matrix}$
Ta lại có:
$\begin{matrix} SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}} \hfill \\ = \sqrt {4{a^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} ight)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt {14} }}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
$\Rightarrow OK = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt {14} }}{2}.\dfrac{a}{2}}}{{\sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt {14} }}{2}} ight)}^2} + {{\left( {\dfrac{a}{2}} ight)}^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{{\sqrt {30} }}$
$d\left( {A;\left( {SCD} ight)} ight) = 2.OK = \frac{{2a\sqrt 7 }}{{\sqrt {30} }}$
Câu 30: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy $ABCD$ là hình thoi tâm I, cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy. Gọi $H;K$ lần lượt là hình chiếu của $A$ lên $SC;SD$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $AH\bot(SCD)$
- B.
  $BD\bot(SAC)$
- C.
  $BC\bot(SAC)$
- D.
  $AK\bot(SCD)$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BD\bot AC \\ BD\bot SA;do\ SA\bot(ABCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BD\bot(SAC)$
Câu 31: Thông hiểu
Tính (SA; (SBD))

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ , $SD = a;SD\bot(ABC)$ . Góc giữa đường thẳng $SA$ và $(SBD)$ bằng:
- A.
  $45^{0}$
- B.
  $90^{0}$
- C.
  $30^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Hình vẽ minh họa

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Vì $\left\{ \begin{matrix} SD\bot(ABCD) \\ AO \subset (ABCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow SD\bot AO$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} SD\bot AO \\ BD\bot AO \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AO\bot(SBD)$ nên SO là hình chiếu vuông góc của cạnh SA trên mặt phẳng (SBD)

$\Rightarrow \left( SA;(SBD) ight) = \widehat{ASO}$

Tam giác AOS vuông tại O ta có:

$\left\{ \begin{matrix}AO = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\SA = \sqrt{SD^{2} + DA^{2}} = a\sqrt{2} \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \sin\widehat{ASO} =\dfrac{OA}{SA} = \dfrac{\dfrac{a\sqrt{2}}{2}}{a\sqrt{2}} =\dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow \widehat{ASO} = 30^{0} \Rightarrow \left( SA;(SBD) ight) = 30^{0}$
Câu 32: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ , $SA\bot(ABCD);SA = a\sqrt{2}$ . Xác định thể tích $S.ABCD$ ?
- A.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{6}$
- B.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{3}$
- C.
  $V = a^{3}\sqrt{2}$
- D.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{2}$
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$S_{ABCD} = a^{2} \Rightarrow V_{S.ABCD} = \frac{1}{3}SA.S_{ABCD} = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{3}$
Câu 33: Nhận biết
Chọn mệnh đề sai

Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy (ABC). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB (tham khảo hình vẽ bên). Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  AH ⊥ SC
- B.
  Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) là góc ASC
- C.
  BC ⊥ (SAB)
- D.
  Các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông
Ta có: SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ BC
Mặt khác BC ⊥ AB
Suy ra BC ⊥ (SAB) nên hình chiếu vuông góc của SC trên (SAB) là SB
Vậy $\widehat{\left( SC,(SAB) ight)} =\widehat{(SC,SB)} = \widehat{BSC\ }$ (vì tam giác SBC vuông tại B)
Câu 34: Vận dụng cao
Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và AB’

Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A với $AC = a\sqrt{3}$ . Biết BC’ hợp với mặt phẳng (AA’C’C) với một góc 30⁰ và hợp với mặt phẳng đáy góc α sao cho $\sin\alpha =\frac{\sqrt{6}}{4}$ . Gọi M, N lần lượt là trung điểm cạnh BB’ và A’C’. Khoảng cách MN và AC’ là:
- A.
  $\frac{a\sqrt{6}}{4}$
- B.
  $\frac{a\sqrt{3}}{6}$
- C.
  $\frac{a\sqrt{5}}{4}$
- D.
  $\frac{a}{3}$
Hình vẽ minh họa:
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\widehat{\left( BC’,(AA’C’C) ight)} = \widehat{BC’A} = 30^{0} \\\widehat{\left( BC’,(ABC) ight)} = \widehat{C'BC} = \alpha \\\end{matrix} ight.$
Đặt AB = x => $BC = \sqrt{3a^{2} +x^{2}}$
$BC = \sqrt{3a^{2} + x^{2}}$
$CC' = BC.tan\alpha =\sqrt{\frac{3\left( x^{2} + 3a^{2} ight)}{5}}$
$AC' = AB.cot30^{0} =\sqrt{\frac{3\left( x^{2} + 3a^{2} ight)}{5}}$
Ta có: $AC^{2} + CC'^{2} =AC^{2}$
$\Rightarrow x = a\sqrt{2}$
$\Rightarrow CC' = a\sqrt{3};AC =a\sqrt{6}$
Gọi P là trung điểm của B’C’ => (MNP) // (ABC’)
d(MN, AC’) = d(N, (ABC’)) = $\frac{1}{2}$ d(A’, (ABC’)
Kẻ A’H ⊥ AC’ tại H => A’H ⊥ (ABC’)
$d\left( A';(ABC') ight) =A'H = \frac{AA'.A'C'}{AC'} =\frac{a\sqrt{6}}{2}$
=> d(MN, AC’) = $\frac{a\sqrt{6}}{4}$
Câu 35: Nhận biết
Mệnh đề nào là mệnh đề sai?

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và A’C’ bằng:
- A.
  $a\sqrt{3}$
- B.
  $a$
- C.
  $\frac{a\sqrt{3}}{2}$
- D.
  $a\sqrt{2}$
Do BD và A’C’ lần lượt nằm trên hai mặt phẳng (ABCD) và (A’B’C’D’) song song với nhau nên d(A’C’, BD) = d((ABCD),(A’B’C’D’)).

Mà ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên ta có d((ABCD), (A’B’C’D’)) = AA’ = a. Vậy d(A’C’, BD) = a.
Câu 36: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB = m;(m > 0)$ , các cạnh còn lại bằng nhau và bằng $4$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ chứa cạnh $AB$ và vuông góc với cạnh $CD$ tại $I$ . Diện tích tam giác $ABI$ lớn nhất bằng bao nhiêu?
- A.
  $12$
- B.
  $6$
- C.
  $8\sqrt{3}$
- D.
  $4\sqrt{3}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $(\alpha)\bot CD \equiv I \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} AI\bot CD \\ BI\bot CD \\ \end{matrix} ight.$

Theo giả thiết $AC = AD = BC = BD = CD = 4cm$ ta có các tam giác ACD và BCD là các tam giác đều cạnh bằng 4

$\Rightarrow IA = IB = 4.\frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$

Gọi H là trung điểm của AB ta có: $IH\bot AB$ và $IH = \sqrt{IA^{2} - \frac{m^{2}}{4}} = \sqrt{12 - \frac{m^{2}}{4}}$

$S_{ABI} = \frac{1}{2}IH.AB$

$= \frac{1}{2}m.\sqrt{12 - \frac{m^{2}}{4}}$

$= \sqrt{\frac{m^{2}}{4}.\left( 12 - \frac{m^{2}}{4} ight)} \leq 6$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x = 2\sqrt{6}$

Vậy $\max S_{ABI} = 6$
Câu 37: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ , đáy là tam giác $ABC$ vuông cân tại C và $AB = a\sqrt{3};AC = a$ . Biết tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ . Thể tích hình chóp tam giác $S.ABC$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $V = \frac{a^{3}}{2}$
- B.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{4}$
- C.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{2}$
- D.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{2}$
Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của AB

Tam giác SAB đều nên $SH\bot AB$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} SH\bot AB \\ (SAB)\bot(ABC) \\ SH \subset (SAB) \\ AB = (SAB) \cap (ABC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow SH\bot(ABC)$

Vậy SH là đường cao của hình chóp tam giác S.ABC

Tam giác SAB đều nên $SH = \frac{3a}{2}$

Tam giác ABC vuông cân tại C nên

$AB^{2} = AC^{2} + BC^{2} \Rightarrow BC = \sqrt{3a^{2} - a^{2}} = a\sqrt{2}$

Vậy thể tích hình chóp $S.ABC$ là: $V_{S.ABC} = \frac{1}{3}.\frac{3a}{2}.\frac{1}{2}.a\sqrt{2}.a = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{4}$
Câu 38: Nhận biết
Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho hình chóp $ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm O, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa SB và mặt phẳng (SAC) là góc nào dưới đây?
- A.
  $\widehat{BSO}$
- B.
  $\widehat{SBA}$
- C.
  $\widehat{BSC}$
- D.
  $\widehat{BSD}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BO\bot SA \\ BO\bot AC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BO\bot(SAC)$

Hình chiếu của SB lên mặt phẳng (SAC) là SO.

Vậy $\widehat{\left( SC;(SAC) ight)} = \widehat{BSO}$
Câu 39: Nhận biết
Tính góc giữa hai đường thẳng BA' và CD

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ . Góc giữa hai đường thẳng $BA'$ và $CD$ là:
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $45^{0}$
- C.
  $60^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $AB//CD \Rightarrow (BA',CD) = (BA',AB)$

Vì $ABB'A'$ là hình vuông nên $(BA',AB) = \widehat{ABA'} = 45^{0}$
Câu 40: Vận dụng cao
Chọn khẳng định đúng

Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, AB = 3, AD = 4, $\widehat{BAD} = 120^{0}$ . Cạnh bên $SA = 2\sqrt{3}$ vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh SA, AD và BC, α là góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (MNP). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây.
- A.
  α ∈ (60⁰; 90⁰)
- B.
  α ∈ (0⁰; 30⁰)
- C.
  α ∈ (30⁰; 45⁰)
- D.
  α ∈ (45⁰; 60⁰)
Hình vẽ minh họa:

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} MN//SD \\ NP//CD \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (MNP)//(SCD)$

=> $\widehat{\left( (SAC);(MNP) ight)} = \widehat{\left( (SAC);(SCD) ight)} = \alpha$

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A xuống (SCD), K là hình chiếu của H xuống SC

=> $\alpha = \widehat{AKH}$

Ta có:

$\begin{matrix}V_{S.ACD} = \dfrac{1}{2}V_{S.ABCD}\hfill \\= \dfrac{1}{3}SA \cdot S_{ABCD} = \dfrac{1}{3}SA.2S_{ABD} \hfill\\= \dfrac{1}{3}SA.AB.AD.sin\widehat{BAD} \hfill\\= \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \cdot \sqrt{3} \cdot2\sqrt{3} = 6\ AC^{2} = 13 \hfill\\\end{matrix}$

$\begin{matrix}\Rightarrow SC^{2} = SA^{2} + AC^{2} = 25 \hfill\\SD = \sqrt{SA^{2} + AD^{2}} = \sqrt{28}\hfill \\\Rightarrow S_{SCD} = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} = \sqrt{54} =3\sqrt{6} \hfill\\\end{matrix}$

$\begin{matrix}\Rightarrow AH = d(A;(CSD)) = \dfrac{3.V_{S.ACD}}{S_{SCD}} =\dfrac{3.6}{2\sqrt{6}} = \sqrt{6}\hfill \\AK = \dfrac{SA.AC}{\sqrt{SA^{2} + AC^{2}}} = \dfrac{2\sqrt{39}}{5}\hfill \\\sin\alpha = \dfrac{AH}{AK} = \sqrt{6}.\dfrac{5}{2\sqrt{39}} =\dfrac{5\sqrt{26}}{26} \Rightarrow \alpha \in \left( 60^{0};90^{0}ight) \hfill\\\end{matrix}$

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

20 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 Chân trời sáng tạo
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân
Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số ghép số liệu nhóm
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Đạo hàm
Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 9: Xác suất

Lớp 11
Khóa học Lớp 11
Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 6
Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 7
Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 4
Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 5
Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4 Đề 2
Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 6

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 7

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 4

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 5

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4 Đề 2

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4