VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 CTST Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài Rủ bạn học

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Thông hiểu
Tính cosin góc giữa hai đường thẳng

Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ có $SA = SB = SC = AB = a$ và $BC = a\sqrt{2}$ . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$ .
- A.
  $\frac{\sqrt{2}}{2}$
- B.
  $\frac{1}{2}$
- C.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$
- D.
  $1$
Hình vẽ minh họa

Giả sử M, N, Q lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB, AC

Mặt khác ta có: $\left\{ \begin{matrix} MN//AB \\ MQ//SC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (AB;SC) = (MN;MQ)$

Ta có: $AN = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

$NC = \sqrt{\frac{SC^{2} + BC^{2}}{2} -\frac{SB^{2}}{4}}$ $= \sqrt{\dfrac{a^{2} + 2a^{2}}{2} - \dfrac{a^{2}}{4}} =\dfrac{a\sqrt{5}}{2}$

Xét tam giác NAC có:

$NQ = \sqrt{\frac{NA^{2} + CN^{2}}{2} -\frac{AC^{2}}{4}}$ $= \sqrt{\dfrac{\dfrac{3a^{2}}{4} + \dfrac{5a^{2}}{4}}{2}- \dfrac{a^{2}}{4}} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

Xét tam giác MNQ ta có:

$\cos\widehat{NMQ} = \frac{MN^{2} +MQ^{2} - NQ^{2}}{2MN.MQ}$ $= \dfrac{\dfrac{a^{2}}{4} + \dfrac{a^{2}}{4} -\dfrac{3a^{2}}{4}}{2.\dfrac{a}{2}.\dfrac{a}{2}} = -\dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow \widehat{NMQ} = 120^{0} \Rightarrow (MN,MQ) = 180^{0} - 120^{0} = 60^{0}$

$\Rightarrow \cos(AB,SC) = \frac{1}{2}$
Câu 2: Nhận biết
Xác định góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa cặp đường thẳng nào sau đây?
- A.
  (SB, SO)
- B.
  (SB, BD)
- C.
  (SB, SA)
- D.
  (SO, BD)
Hình vẽ minh họa:
Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cắt nhau theo giao tuyến SO và cùng vuông góc với đáy nên SO ⊥ (ABCD).
Vậy góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SB và BD.
Câu 3: Nhận biết
Mệnh đề nào là mệnh đề sai?

Cho a, b, c là các đường thẳng trong không gian. Mệnh đề nào dưới đây sai?
- A.
  Nếu a ⊥ b và b ⊥ c thì a // c.
- B.
  Nếu a vuông góc với mặt phẳng (α) và b // (α) thì a ⊥ b.
- C.
  Nếu a // b và b ⊥ c thì c ⊥ a.
- D.
  Nếu a ⊥ b, b ⊥ c và a cắt c thì b vuông góc với mặt phẳng (a; c).
Nếu a ⊥ b, b ⊥ c thì a // c hoặc a cắt c hoặc a trùng với c hoặc a chéo c.
Câu 4: Vận dụng
Chọn mệnh đề đúng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = 2a, AD = CD = a, SA = $a\sqrt{2}$ và vuông góc với (ABCD). Tính cosin của góc giữa (SBC) và (SCD).
- A.
  $\frac{\sqrt{6}}{6}$
- B.
  $\frac{\sqrt{6}}{3}$
- C.
  $\frac{\sqrt{2}}{3}$
- D.
  $\frac{\sqrt{3}}{3}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi H, N lần lượt là trung điểm của SC, AB.

Ta có CN = 1/2 AB suy ra tam giác ABC vuông cân tại C.

Suy ra: $\left\{ \begin{matrix} SA\bot BC \\ AC\bot BC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAC)$

Do tam giác SAC vuông cân tại A nên AH = a.

Kẻ AK ⊥ SD. Khi đó: $\left\{ \begin{matrix} AH\bot(SBC) \\ AK\bot(SCD) \\ \end{matrix} ight.$

=> ((SBC), (SCD)) = (AH, AK) = $\widehat{KAH}$ = ϕ

Xét tam giác vuông SAD có:

$\begin{matrix}\dfrac{1}{AK^{2}} = \dfrac{1}{SA^{2}} + \dfrac{1}{AD^{2}}\hfill \\\Rightarrow AK = \dfrac{a\sqrt{6}}{3}\hfill \\\end{matrix}$

Xét tam giác vuông AKH ta có:

$\cos\widehat{KAH} = \frac{AK}{AH} = \frac{\sqrt{6}}{3}$
Câu 5: Nhận biết
Tính cosin góc giữa hai vecto

Cho hình lập phương ABCD.A₁B₁C₁D₁. Tính $\cos \left( {\overrightarrow {A{C_1}} ;\overrightarrow {BD} } ight)$
- A. 1
- B. 0
- C. -1
- D. $\frac{1}{2}$
Ta có:
$\begin{matrix} \overrightarrow {A{C_1}} .\overrightarrow {BD} = \left( {\overrightarrow {A{A_1}} + \overrightarrow {AC} } ight).\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } ight) \hfill \\ = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \hfill \\ = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} \hfill \\ = 0 \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {A{C_1}} .\overrightarrow {BD} = 0 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 6: Vận dụng cao
Tính khoảng cách từ C’ đến mặt phẳng (A’BM)

Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC, AA’ = 2a. M là trung điểm của B’C’. Khi đó khoảng cách từ C’ đến mặt phẳng (A’BM) là.
- A.
  $\frac{a\sqrt{11}}{\sqrt{17}}$
- B.
  $\frac{a\sqrt{3}}{3}$
- C.
  $\frac{a\sqrt{26}}{\sqrt{107}}$
- D.
  $\frac{a}{2}$
Hình vẽ minh họa:
Gọi N là trung điểm của BC, G là trọng tâm tam giác ABC.
Dựng hình chữ nhật AND
Kẻ GI // BC (I ∈ BD), GH ⊥ A’I (H ∈ A’I)
Ta có: C’N // (A’MB) (do C’N // MB)
=> d(C’, (A’BM)) = d(N, (A’BM))
Mà GN // (A’BM) (do GN // A’M)
=> d(N, (A’BM)) = d(G, (A’BM))
=> d(C’, (A’BM)) = d(G,(A’BM))
Ta có: BD // AN, AN // A’M => BD // A’M => A’, M, B, D đồng phẳng.
BD ⊥ GI (do ANBD là hình chữ nhật)
BD ⊥ A’G (do A’G ⊥ (ABC))
=> BD ⊥ (A’GI) => BD ⊥ GH
Mà A’I ⊥ GH => GH ⊥ (A’MB) => d(G, (A’BM)) = GH
Tính GH: ∆ABC đều, cạnh a
=> $AN = \frac{a\sqrt{3}}{2};AG =\frac{2}{3}AN = \frac{a\sqrt{3}}{3}$
Xét tam giác AA’G vuông tại G
=> $A'G = \sqrt{AA'^{2} -AG^{2}}$
$\Rightarrow A'G = \sqrt{4a^{2} -\frac{a^{2}}{3}} = \frac{a\sqrt{33}}{3}$
Ta lại có: GNBI là hình chữ nhật => $GI= NB = \frac{a}{2}$
Xét tam giác A’GI vuông tại G có GH ⊥ A’I
=> $\frac{1}{GH^{2}} = \frac{1}{GI^{2}}+ \frac{1}{A'G^{2}}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{GH^{2}} =\dfrac{1}{\dfrac{a^{2}}{4}} + \dfrac{1}{\dfrac{11a^{2}}{3}} =\dfrac{47}{11a^{2}}$
Suy ra $GH =\sqrt{\frac{11}{47}}a$
$\Rightarrow d\left( C'(A'BM)ight) = \frac{a\sqrt{11}}{\sqrt{47}}$
Câu 7: Nhận biết
Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a.$ Khoảng cách từ $A'$ đến mp $(ABCD)$ bằng:
- A.
  $\frac{a}{2}.$
- B.
  $a.$
- C.
  $2a.$
- D.
  $3a.$
Hình vẽ minh họa

Ta có $A'A\bot(ABCD)$ nên $d\left( A',(ABCD) ight) = A'A = a$ .
Câu 8: Vận dụng cao
Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA ⊥ (ABC), SA = $a\sqrt{3}$ . Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là:
- A.
  $\frac{2}{\sqrt{5}}$
- B.
  $- \frac{2}{\sqrt{5}}$
- C.
  $- \frac{1}{\sqrt{5}}$
- D.
  $\frac{1}{\sqrt{5}}$ (NETA)
Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm BC. Kẻ AK ⊥ SM tại K.

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BC\bot AM \\ BC\bot SA \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAM) \Rightarrow (SBC)\bot(SAM)$

Lại có AK ⊥ SM = (SBC) ∩ (SAM)

=> AK ⊥ (SBC) ⇒ AK ⊥ SB

Kẻ AH ⊥ SB tại H. Suy ra SB ⊥ (AHK) ⇒ SB ⊥ HK

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} (SAB)\ \cap \ (SBC)\ = \ SB \\ AH\bot SB \\ HK\bot SB \\ \end{matrix} ight.$ => ((SAB), (SBC)) = (AH, HK) = $\widehat{AHK}$

Xét tam giác SAB có:

$\begin{matrix}AH = \dfrac{SA.AB}{AB} = \dfrac{SA.AB}{\sqrt{SA^{2} + AB^{2}}} =\dfrac{a\sqrt{3}}{2} \hfill\\AM = \dfrac{AB\sqrt{3}}{2} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \hfill\\\end{matrix}$

Xét tam giác SAM có:

$\frac{1}{AK^{2}} = \frac{1}{AS^{2}} + \frac{1}{AM^{2}} \Rightarrow AK = \frac{a\sqrt{15}}{5}$

Xét tam giác AHK vuông tại K có:

$\begin{matrix}\sin\widehat{AHK} = \dfrac{AK}{AH} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5} \hfill\\\Rightarrow \cos\widehat{AHK} = \sqrt{1 - \sin^{2}\widehat{AHK}} =\dfrac{\sqrt{5}}{5}\hfill \\\end{matrix}$
Câu 9: Nhận biết
Tính góc giữa SC với mặt phẳng (ABCD)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, cạnh SA ⊥ (ABCD) , $SA = a\sqrt{2}$ . Góc giữa SC với mặt phẳng (ABCD) là:
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $45^{0}$
- C.
  $90^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Hình vẽ minh họa:
Ta có: $\widehat{\left( SC,(ABCD) ight)}= \widehat{(SC,AC)} = \widehat{SCA}$
Lại có: $\tan\widehat{SCA} = \frac{SA}{AC}= \frac{SA}{AB\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}} = 1$
=> $\widehat{SCA} = 45^{0}$
Câu 10: Thông hiểu
Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng

Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy ABC là tam giác đều cạnh $a$ . Gọi $D$ là trung điểm cạnh BC. Biết $AA' = 2a$ , khoảng cách giữa hai đường thẳng $A'B$ và $C'D$ là:
- A.
  $a\sqrt{17}$ .
- B.
  $\frac{ a }{ \sqrt{ 1 7 } }$ .
- C.
  $2a\sqrt{17}$ .
- D.
  $\frac{2a}{\sqrt{17}}$ .
Hình vẽ minh họa

Gọi $D'$ là trung điểm của $B'C'$ , ta có $BDC'D'$ là hình bình hành

$\Rightarrow C'D//BD' \Rightarrow C'D//(A'BD')$ .

Kẻ $B'H \bot BD'$ .

Ta có: $\left. \ \begin{matrix}A'D'\bot B'C' \\A'D'\bot BB' \\\end{matrix} ight\} \Rightarrow A'D'\bot(BCC'B')\Rightarrow A'D'\bot B'H$ .

$\left. \ \begin{matrix} B'H\bot BD' \\ B'H\bot A'D' \\ \end{matrix} ight\} \Rightarrow B'H\bot(A'BD')$

Suy ra,

$d(A'B,C'D) = d\left( C'D;(A'BD') ight) = d\left( C';(A'BD') ight) = d\left( B';(A'BD') ight) = B'H$

Ta có: $B'D' = \frac{a}{2}; BB'= 2a$ .

Xét $\Delta BB'D'$ vuông tại $B'$ ta có:

$\frac{1}{B'H^{2}} = \frac{1}{BB'^{2}} + \frac{1}{B'D'^{2}} = \frac{1}{4a^{2}} + \frac{4}{a^{2}} \Rightarrow BH = \frac{2a}{\sqrt{17}}$
Câu 11: Vận dụng

Điền đáp án vào ô trống

Giả sử $V$ là thể tích khối tứ diện đều $ABCD$ . Trung điểm tất cả các cạnh của tứ diện tạo thành một đa diện có thể tích $V'$ . Tỉ số $\frac{V'}{V} =$ 1/2

(Kết quả được ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Đáp án là:

Giả sử $V$ là thể tích khối tứ diện đều $ABCD$ . Trung điểm tất cả các cạnh của tứ diện tạo thành một đa diện có thể tích $V'$ . Tỉ số $\frac{V'}{V} =$ 1/2

(Kết quả được ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Hình vẽ minh họa

Giả sử tứ diện đều cạnh bằng a

Hình đa diện cần tính có được bằng cách cắt 4 góc tứ diện

Mỗi góc cũng là một tứ diện đều có cạnh bằng $\frac{a}{2}$

Do đó thể tích phần cắt bỏ là $V'' = 4.\frac{V}{8} = \frac{V}{2}$

(Vì tứ diện cạnh giảm một nưả thì thể tích giảm $\left( \frac{1}{2} ight)^{3} = \frac{1}{8}$

Vậy $V' = \frac{V}{2} \Rightarrow \frac{V'}{V} = \frac{1}{2}$
Câu 12: Vận dụng
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AB = 2a, AD = DC = a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa SC và mặt đáy bằng 60⁰. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AC và SB.
- A.
  $d =\frac{a\sqrt{6}}{2}$
- B.
  $d = 2a$
- C.
  $d = a\sqrt{2}$
- D.
  $d =\frac{2a\sqrt{15}}{5}$
Hình vẽ minh họa:
Xác định góc 60⁰
$\widehat{\left( SC;(ABCD) ight)} =\widehat{(SC;AC)} = 60^{0} = \widehat{SCA}$
$SA = AC.tan\widehat{SCA} =a\sqrt{6}$
Gọi M là trung điểm AB => ADCM là hình vuông => CM = AD = a
Xét tam giác ACB ta có:
$CM = a = \frac{1}{2}AB$
=> Tam giác ACB vuông tại C
Lấy điểm E sao cho ACBE là hình chữ nhật
=> AC // BE
=> d(AC, SB) = d(AC, (SBE)) = d(A,(SBE))
Kẻ AK ⊥ SE. Khi đó:
$d\left( A;(SBE) ight) = AK =\frac{SA.AE}{\sqrt{SA^{2} + AE^{2}}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$
Câu 13: Nhận biết
Chọn mệnh đề sai

Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
- A.
  Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng cách từ một điểm A bất kì trên a đến (P).
- B.
  Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm M bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
- C.
  Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M thuộc mặt phẳng (P) chứa a và song song với b đến một điểm N bất kì trên b.
- D.
  Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau và vuông góc với nhau thì đường vuông góc chung của chúng nằm trong mặt phẳng (P) chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.
Mệnh đề sai: “Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M thuộc mặt phẳng (P) chứa a và song song với b đến một điểm N bất kì trên b.”
Câu 14: Thông hiểu
Hãy xác định góc giữa cặp vecto

Cho hình lâp phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặp vecto $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {EG}$ ?
- A.
  90⁰
- B.
  60⁰
- C.
  145⁰
- D.
  120⁰
Hình vẽ minh họa
Ta có: AEGC là hình chữ nhật nên EG // AC
Vì ABCD là hình vuông nên
=> $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {EG} } ight) = \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } ight) = \widehat {BAC} = {45^0}$
Câu 15: Nhận biết
Hoàn thành mệnh đề

Trong không gian cho đường thẳng Δ không nằm trong mặt phẳng (P), đường thẳng Δ gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu
- A.
  Vuông góc với hai đường thẳng phân biệt nằm trong mặt phẳng (P).
- B.
  Vuông góc với đường thẳng a mà a song song với mặt phẳng (P).
- C.
  Vuông góc với đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P).
- D.
  Vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P).
Đường thẳng Δ được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu Δ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (P).
Câu 16: Vận dụng
Góc giữa đường thẳng SB với mặt phẳng (SAC)

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng $a\sqrt 2$ và cạnh bên bằng 2a. Góc giữa đường thẳng SB với mặt phẳng (SAC) bằng
- A. ${60^0}$
- B. ${30^0}$
- C. ${90^0}$
- D. ${45^0}$
Gọi $O = AC \cap BD$ . Ta có S.ABCD là hình chóp tứ giác đều suy ra $SO \bot \left( {ABCD} ight)$ .
Vì $\left\{ \begin{gathered} SO \bot \left( {ABCD} ight) \hfill \\ BD \subset \left( {ABCD} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow SO \bot BD$
Có $\left\{ \begin{gathered} BD \bot SO \hfill \\ BD \bot AC \hfill \\ SO,AC \subset \left( {SAC} ight) \hfill \\ SO \cap AC = \left\{ O ight\} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} ight)$
Suy ra hình chiếu vuông góc của đường thẳng SB lên mặt phẳng (SAC) là đường thẳng SO.
Do đó góc giữa SB và mặt phẳng (SAC) bằng góc giữa hai đường thẳng SB và SO và bằng góc $\widehat {BSO}$ .
Có $BO = \frac{{BD}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 .\sqrt 2 }}{2} = a$
Vì $\left\{ \begin{gathered} SO \bot \left( {ABCD} ight) \hfill \\ OB \subset \left( {ABCD} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow SO \bot OB$
Xét tam giác SOB có
Ta có $\sin \widehat {BSO} = \frac{{BO}}{{SB}} = \frac{a}{{2a}} = \frac{1}{2} \Rightarrow BSO = {30^0}$
Câu 17: Vận dụng
Tìm khẳng định đúng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, $AD = a\sqrt{3}$ chiếu vuông góc H của S trên mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm tam giác ABC và $SH = \frac{a}{2}$ . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và SC. Gọi α là góc giữa đường thẳng MN với mặt phẳng (ABCD). Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $\tan\alpha = \frac{4}{3}$
- B.
  $\tan\alpha = \frac{3}{4}$
- C.
  $\tan\alpha = \frac{2}{3}$
- D.
  $\tan\alpha = 1$
Hình vẽ minh họa:

Ta có: MN // SB

=> $\left( MN,(ABCD) ight) = \left( SB;(ABCD) ight)$

Do SH ⊥ (ABCD)

$\begin{matrix} \Rightarrow \left( MN,(ABCD) ight) = \left( SB;(ABCD) ight) \\ = (SB;HB) = \widehat{SBH} \\ \end{matrix}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}BD = \sqrt{AB^{2} + AD^{2}} = 2a \\BH = \dfrac{BD}{3} = \dfrac{2a}{3} \\\end{matrix} ight.$

=> $\tan\widehat{SBH} = \frac{SH}{BH} = \frac{3}{4}$
Câu 18: Thông hiểu
Tính của góc giữa mặt phẳng (AMO) và mặt phẳng (SAB)

Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Góc giữa SB và mặt phẳng (SCA) bằng 60⁰. Gọi M là trung điểm của SB. Tính của góc giữa mặt phẳng (AMO) và mặt phẳng (SAB).
- A. $\frac{1}{{\sqrt 5 }}$
- B. $\frac{1}{{2\sqrt 5 }}$
- C. $\frac{2}{{\sqrt 5 }}$
- D. $\frac{3}{{2\sqrt 5 }}$
Hình chóp S.ABCD đều, O là tâm của đáy nên $SO \bot \left( {ABCD} ight);BD \bot \left( {SAC} ight)$
ABCD là hình vuông cạnh a nên $AC = BD = a\sqrt 2 ;OB = \frac{1}{2}BD = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$
Ta có: $\left( {SAB} ight) \cap \left( {AMO} ight) = AM$
Khi đó: $\sin \varphi = \frac{{d\left( {O;\left( {SAB} ight)} ight)}}{{d\left( {O;AM} ight)}}$ với $\varphi$ là góc giữa hai mặt phẳng (AMO) và (SAB).
Do $BD \bot \left( {SAC} ight)$ suy ra góc giữa SB và (SAC) là góc giữa SB và SO và bằng góc $\widehat {BSO} = {60^0}$ .
Tam giác SBO vuông tại O nên ta có:
$\begin{matrix} SO = \dfrac{{OB}}{{\tan {{60}^0}}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{{2\sqrt 3 }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6} \hfill \\ SB = \dfrac{{OB}}{{\sin {{60}^0}}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3} \hfill \\ \Rightarrow MB = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6} \hfill \\ \end{matrix}$
Gọi I là trung điểm của AB. Kẻ OH ⊥ SI (1)
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {AB \bot OI} \\ {AB \bot SO} \end{array}} ight. \Rightarrow AB \bot \left( {SOI} ight) \Rightarrow OH \bot AB$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $OH \bot \left( {SAB} ight) \Rightarrow d\left( {O;\left( {SAB} ight)} ight) = OH$
Vì OI là đường trung bình của tam giác ABD nên $OI = \frac{1}{2}AD = \frac{a}{2}$
Tam giác SOI vuông tại O, đường cao OH, có
$\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{I^2}}} + \frac{1}{{S{O^2}}} = \frac{{10}}{{{a^2}}} \Rightarrow OH = \frac{a}{{\sqrt {10} }}$
Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến trong các tam giác SAB và SBC, ta có:
$\begin{matrix} A{M^2} = \dfrac{{2A{B^2} + 2S{A^2} - S{B^2}}}{4} = \dfrac{{2{a^2}}}{3} \Rightarrow AM = a\sqrt {\dfrac{2}{3}} \hfill \\ C{M^2} = \dfrac{{2C{B^2} - 2C{S^2} - S{B^2}}}{4} = \dfrac{{2{a^2}}}{3} \Rightarrow CM = a\sqrt {\dfrac{2}{3}} \hfill \\ \end{matrix}$
Trong tam giác AMC, có:
$\cos \widehat {CAM} = \frac{{A{M^2} + A{C^2} - M{C^2}}}{{2AMM.AC}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \widehat {CAM} = {30^0}$
$\begin{matrix} d\left( {O;AM} ight) = \dfrac{{d\left( {C;AM} ight)}}{2} \hfill \\ = \frac{1}{2}AC.\sin \widehat {CAM} = \dfrac{1}{2}AC.\sin {30^0} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4} \hfill \\ \Rightarrow \sin \varphi = \dfrac{{d\left( {O;\left( {SAB} ight)} ight)}}{{d\left( {O;AM} ight)}} = \dfrac{a}{{\sqrt {10} }}:\dfrac{{a\sqrt 2 }}{4} = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 19: Thông hiểu
Tính thể tích khối chóp

Cho khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ , đáy là tứ giác $ABCD$ cạnh bằng a. Biết cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ .
- A.
  $V = \frac{\sqrt{14}}{2}a^{3}$
- B.
  $V = \frac{\sqrt{14}}{6}a^{3}$
- C.
  $V = \frac{\sqrt{2}}{6}a^{3}$
- D.
  $V = \frac{\sqrt{2}}{2}a^{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi I là tâm đáy.

Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SI là đường cao của hình chóp.

Ta có: $BD = \sqrt{AB^{2} + AD^{2}} = a\sqrt{2}$

Vì AI là trung tuyến của tam giác ABD vuông tại A

$\Rightarrow AI = \frac{1}{2}BD = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Chiều cao của khối chóp là $SI = \sqrt{SA^{2} - AI^{2}} = \sqrt{4a^{2} - \left( \frac{a\sqrt{2}}{2} ight)} = \frac{a\sqrt{14}}{2}$

Thể tích khối chóp là: $V = \frac{1}{3}.SI.S_{ABCD} = \frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{14}}{2}a^{2} = \frac{a^{3}\sqrt{14}}{6}$
Câu 20: Vận dụng cao
Giá trị lớn nhất của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ nội tiếp mặt cầu (S) có bán kính $R = \frac{{\sqrt {17} }}{2}$ . Gọi I; J là trung điểm BC, CD và $\alpha$ là góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng (C’IJ). Giá trị lớn nhất của $\sin \alpha$ là
- A. $\frac{3}{5}$
- B. $\frac{{ - 3}}{5}$
- C. $\frac{4}{5}$
- D. $\frac{{ - 4}}{5}$
Đặt $CD = a\,,\,CB = b\,,CC' = c\,\,\,\left( {a,b,c > 0} ight).$
$AC{'^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} = 17.$
Gọi K là hình chiếu của A lên (C’IJ)
$\left( {\widehat {AC',\left( {C;{\text{IJ}}} ight)}} ight) = \left( {\widehat {AC',AK}} ight) = \alpha$
Ta có $\sin \alpha = \frac{{d\left( {A,\left( {C'{\text{IJ}}} ight)} ight)}}{{AC'}} = \frac{{3d\left( {C,\left( {C'{\text{IJ}}} ight)} ight)}}{{\sqrt {17} }}$
Trong (ABCD) kẻ tại E
$\left\{ \begin{gathered} IJ \bot CE \hfill \\ IJ \bot CC\prime \hfill \\ CE \subset \left( {CEC'} ight) \hfill \\ \,CC' \subset \left( {CEC'} ight) \hfill \\ CE \cap CC' = C \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow IJ \bot \left( {CEC'} ight) \Rightarrow \left( {C'IJ} ight) \bot \left( {CEC'} ight)$
Trong (CEC’) kẻ $CH \bot C'E$ tại H
Suy ra $d\left( {C,\left( {C'{\text{IJ}}} ight)} ight) = CH = h$
Do đó $\sin \alpha = \frac{{3h}}{{\sqrt {17} }}$
Ta có:
$\begin{matrix} \dfrac{1}{{{h^2}}} = \dfrac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{4}{{{a^2}}} + \dfrac{4}{{{b^2}}} = \dfrac{1}{{{c^2}}} + 4\left( {\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}}} ight) \geqslant \dfrac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{{16}}{{{a^2} + {b^2}}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{h^2}}} \geqslant \frac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{{16}}{{17 - {c^2}}} = \dfrac{{17 - {c^2} + {c^2}}}{{17{c^2}}} + \dfrac{{16\left( {17 - {c^2} + {c^2}} ight)}}{{17\left( {17 - {c^2}} ight)}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{h^2}}} \geqslant \dfrac{{17 - {c^2}}}{{17{c^2}}} + \dfrac{{16{c^2}}}{{17\left( {17 - {c^2}} ight)}} + 1 \geqslant 2.\dfrac{4}{{17}} + 1 = \dfrac{{25}}{{17}} \Leftrightarrow h \leqslant \dfrac{{\sqrt {17} }}{5}. \hfill \\ \Rightarrow \sin \alpha \leqslant \dfrac{3}{5}. \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy đạt giá trị lớn nhất là $\frac{3}{5}$
Dấu xảy ra khi: $\left\{ \begin{gathered} {a^2} = {b^2} = \frac{{34}}{5} \hfill \\ {c^2} = \frac{{17}}{5} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = b = \sqrt {\frac{{34}}{5}} \hfill \\ c = \sqrt {\frac{{17}}{5}} \hfill \\ \end{gathered} ight.$
Câu 21: Nhận biết
Tính (SB; (ABCD))

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ , $SA\bot(ABCD);SB = 2a$ . Góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng:
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $90^{0}$
- C.
  $30^{0}$
- D.
  $45^{0}$
Hình vẽ minh họa

Do $SA\bot(ABCD)$ nên góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng đáy bằng góc $\widehat{SBA}$ .

Ta có: $\cos\widehat{SBA} = \frac{AB}{SB} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat{SBA} = 60^{0}$

Vậy góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $60^{0}$ .
Câu 22: Nhận biết
Chọn khẳng định có thể sai?

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau. Mệnh đề nào có thể sai?
- A. A’C’ ⊥ BD
- B. A’B ⊥ DC’
- C. BB’ ⊥ BD
- D. BC’ ⊥ A’D
Dễ thấy các đáp án A’C’ ⊥ BD, A’B ⊥ DC’, BC’ ⊥ A’D đúng
Đáp án BB’ ⊥ BD sẽ bị sai trong trường hợp hình hộp có cạnh bên không vuông góc với mặt đáy
Câu 23: Thông hiểu
Xác định góc giữa hai mặt phẳng

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\bot(ABC)$ , đáy $ABC$ là tam giác cân tại $A$ . Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ , $J$ là trung điểm của $BM$ . Xác định góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ ?
- A.
  $\widehat{SMA}$
- B.
  $\widehat{SJA}$
- C.
  $\widehat{SBA}$
- D.
  $\widehat{SCA}$
Hình vẽ minh họa

Dễ thấy $(SBC) \cap (ABC) = BC$

Ta có tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC suy ra $AM\bot BC$

Theo giả thiết $SA\bot(ABC)$ . Khi đó $\left\{ \begin{matrix} BC\bot AM \\ BC\bot SA \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAM) \Rightarrow BC\bot SM$

Ta được $\left\{ \begin{matrix} (SBC) \cap (ABC) = BC \\ AM\bot BC \\ SM\bot BC \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left( \widehat{(SBC);(ABC)} ight) = \widehat{SMA}$
Câu 24: Thông hiểu
Tính khoảng cách d từ D đến mặt phẳng (SBC)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có $AB=a\sqrt{2}$ .Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt đáy (ABCD). Tính khoảng cách d từ D đến mặt phẳng (SBC)
- A.
  $d=\frac{a\sqrt{10}}{2}$
- B.
  $d=a\sqrt{2}$
- C.
  $d=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$
- D.
  $d=\frac{a\sqrt{3}}{3}$
Hình vẽ minh họa
Ta có: AD // BC => $d\left( {D;\left( {SCD} ight)} ight) = d\left( {A;\left( {SBC} ight)} ight)$
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB => $AK \bot SB (*)$
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {BC \bot SA} \\ {BC \bot AB} \end{array}} ight. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} ight) \Rightarrow BC \bot AH\left( {**} ight)$
Từ (*) và (**) => $AH \bot \left( {SBC} ight)$
$\begin{matrix} d\left( {A;\left( {SBC} ight)} ight) = AH \hfill \\ \Rightarrow AH = \dfrac{{SA.AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 25: Vận dụng cao
Tìm t để MN ngắn nhất.

Cho tứ diện ABCD có SC = AC = AB = $\sqrt{2}$ , SC ⊥ (ABC), tam giác ABC vuông tạo A, các điểm M thuộc SA, N thuộc BCc sao cho AM = CN = t (0 < t < 2a). Tìm t để MN ngắn nhất.
- A.
  $t = \frac{3a}{2}$
- B.
  $t = \frac{2a}{3}$
- C.
  $t = \frac{\sqrt{3}a}{3}$
- D.
  $t = a$
Hình vẽ minh họa:

Theo giả thiết, ta có: SA = 2a, BC = 2a

Vì 0 < t < 2a

$\begin{matrix} \Rightarrow \frac{MA}{SA} = \frac{t}{2a} \Rightarrow \overrightarrow{MA} = \frac{1}{2}\overrightarrow{SA} \\ \Rightarrow \frac{CN}{CB} = \frac{t}{2a} \Rightarrow \overrightarrow{CN} = \frac{t}{2a}\overrightarrow{CB} \\ \end{matrix}$

Đặt $\overrightarrow{x} = \overrightarrow{CA};\overrightarrow{y} = \overrightarrow{CB};\overrightarrow{z} = \overrightarrow{CS}$ . Ta có:

$\overrightarrow{x}.\overrightarrow{z} = \overrightarrow{y}.\overrightarrow{z} = 0;\overrightarrow{x}.\overrightarrow{y} = 2a^{2}$

$\begin{matrix} \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CN} \\ \Rightarrow \overrightarrow{MN} = \frac{t}{2a}\overrightarrow{SA} - \overrightarrow{AC} + \frac{t}{2a}\overrightarrow{CB} \\ \Rightarrow \overrightarrow{MN} = \left( \frac{t}{2a} - 1 ight).\overrightarrow{x} + \frac{t}{2a}.\overrightarrow{y} - \frac{t}{2a}.\overrightarrow{z} \\ \end{matrix}$

Vậy $MN^{2} = {\overrightarrow{MN}}^{2}$

$\begin{matrix} = \left( \frac{t}{2a} - 1 ight)^{2}.2a^{2} + \frac{t^{2}}{4a}.4a^{2} + \frac{t^{2}}{4a}.2a^{2} + 2\left( \frac{t}{2a} - 1 ight).\frac{t}{2a}.2a^{2} \\ = 3t^{2} - 4at + 2a^{2} \\ \end{matrix}$

Từ đó suy ra MN nhỏ nhất khi và chỉ khi $t = \frac{2a}{3}$
Câu 26: Vận dụng
Đường thẳng B’C vuông góc với đường thẳng nào

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng a và các góc tại đỉnh B đều bằng 60⁰.
Đường thẳng B’C vuông góc với đường thẳng:
- A.
  AC
- B.
  CD
- C.
  BD
- D.
  A’A
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
$\begin{matrix} \overrightarrow {CB'} .\overrightarrow {CD} = \left( {\overrightarrow {CC'} + \overrightarrow {C'B'} } ight).\overrightarrow {CD} \hfill \\ = \overrightarrow {CC'} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {C'B'} .\overrightarrow {CD} \hfill \\ = CC'.CD.\cos \widehat {C'CD} + C'B'.CD.\cos \widehat {B'C'D'} \hfill \\ = a.a.\cos {60^0} + a.a.\cos \left( {{{180}^0} - \widehat {ABC}} ight) \hfill \\ = \dfrac{{{a^2}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{2} = 0 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 27: Thông hiểu
Tìm kết quả đúng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bằng nhau và đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$ . Kết quả nào sau đây đúng?
- A.
  $SA\bot(ABCD)$
- B.
  $SO\bot(ABCD)$
- C.
  $AB\bot(SBC)$
- D.
  $AC\bot(SBC)$
Hình chóp $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bên và cạnh đáy bằng nhau

Do đó: $SA = SC$ suy ra tam giác SAC cân tại A

Lại có ABCD là hình vuông

=> O là trung điểm cạnh AC

=> SO vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao của tam giác SAC

=> $SO\bot AC$

Tương tự SO vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao của tam giác SBD

=> $SO\bot BD$

Từ đó ta có: $\left\{ \begin{matrix} SO\bot AC \subset (ABCD) \\ SO\bot BD \subset (ABCD) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow SO\bot(ABCD)$
Câu 28: Thông hiểu
Xác định thể tích khối lập phương

Cho hình lập phương như hình vẽ:

Biết $AC' = a\sqrt{3}$ . Xác định thể tích của khối lập phương đã cho.
- A.
  $V = 6\sqrt{3}a^{3}$
- B.
  $V = a^{3}$
- C.
  $V = 5\sqrt{3}a^{3}$
- D.
  $V = \frac{8\sqrt{3}}{3}a^{3}$
Gọi độ dài cạnh của khối lập phương là a; (x > 0)

Xét tam giác A’B’C’ vuông cân tại B’ ta có:

$A'C'^{2} = A'B'^{2} + B'C'^{2} = x^{2} + x^{2} = 2x^{2}$

$\Rightarrow A'C' = \sqrt{2}x$

Xét tam giác A’AC’ vuông tại A’ ta có:

$AC'^{2} = A'A^{2} + A'C'^{2}$

$\Leftrightarrow 3a^{2} = x^{2} + 2x^{2} \Leftrightarrow x = a$

Vậy thể tích khối lập phương là $V = a^{3}$
Câu 29: Thông hiểu
Tính sin góc tạo bởi AC' và (ABCD)

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ (như hình vẽ)

Tính sin của góc tạo bởi $AC'$ và mặt phẳng đáy $(ABCD)$ ?
- A.
  $\frac{\sqrt{3}}{3}$
- B.
  $\frac{\sqrt{6}}{3}$
- C.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$
- D.
  $\frac{\sqrt{2}}{2}$
Ta có: $\left( AC';(ABCD) ight) = (AC';AC) = \widehat{CAC'} = \alpha$

Giả sử hình lập phương có cạnh bằng $a$ .

Trong tam giác $A'AC$ ta có: $\sin\alpha = \frac{CC'}{AC'} = \frac{a}{\sqrt{2a^{2} + a^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
Câu 30: Thông hiểu
Xác định cosin góc giữa hai đường thẳng SB và AC

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, biết: $AB = a,AD = SA = a\sqrt 3$ . Hai bên mặt SAB và SAD vuông tại a. Gọi μ là góc giữa hai đường thẳng SB và AC. Tính cosμ?
- A. $\cos \mu = \frac{1}{3}$
- B. $\cos \mu = \frac{1}{4}$
- C. $\cos \mu = \frac{{\sqrt 3 }}{4}$
- D. $\cos \mu = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
$\begin{matrix} \cos \left( {\overrightarrow {SB} ;\overrightarrow {AC} } ight) = \dfrac{{\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AC} }}{{SB.AC}} = \dfrac{{\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AC} }}{{4{a^2}}} \hfill \\ \overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AC} = \left( {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AB} } ight).\overrightarrow {AC} \hfill \\ = \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \hfill \\ \end{matrix}$
Ta lại có:
$\begin{matrix} \overrightarrow {AS} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AS} .\left( {m\overrightarrow {AB} + n\overrightarrow {AC} } ight) = 0 \hfill \\ \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 2.2a.\cos {60^0} = {a^2} \hfill \\ \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {AC} } ight) = \frac{1}{4} \hfill \\ \Rightarrow \cos \mu = \frac{1}{4} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 31: Thông hiểu
Xác định góc giữa hai mặt phẳng

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A và SA ⊥ (ABC). M là trung điểm của BC. Hãy xác định góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC).
- A.
  $\alpha = \widehat{SBA}$
- B.
  $\alpha = \widehat{MSA}$
- C.
  $\alpha = \widehat{SMA}$
- D.
  $\alpha = \widehat{SCA}$
Hình vẽ minh họa:

Ta có: Giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là BC. (1)

Ta có: SA ⊥ (ABC), mà đường thẳng BC nằm trong (ABC) => SA ⊥ BC.

Do tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm BC => BC ⊥ AM tại M.

Như vậy: $\left\{ \begin{matrix} BC\bot MA \subset (SAM) \\ BC\bot SA \subset (SAM) \\ MA\ \cap \ SA = A \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (SAM)\bot BC.\ (2)$

Lại có: $\left\{ \begin{matrix} (SMA) \cap (ABC) = MA \\ (SMA) \cap (SBC) = MS \\ \end{matrix} ight.$

Từ (1), (2), (3) => $\alpha = \widehat{SMA}$
Câu 32: Thông hiểu
Tính khoảng cách

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có các cạnh bằng $1$ . Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(ABB')$ và $(CC'D')$ .
- A.
  $1$ .
- B.
  $2$ .
- C.
  $\sqrt{2}$ .
- D.
  $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .
Hình vẽ minh họa

Vì $ABCD.A'B'C'D'$ là hình lập phương nên $(ABB')//(CC'D')$ và $BC\bot(ABB'A')$ .

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(ABB')$ và $(CC'D')$

$d\left( (ABB'),(CC'D') ight) = d\left( C,(ABB'A') ight) = CB = 1$
Câu 33: Thông hiểu
Khẳng định nào là khẳng định sai

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA ⊥ (ABCD). Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
- A.
  SA ⊥ BD
- B.
  SC ⊥ BD
- C.
  SO ⊥ BD
- D.
  AD ⊥ SC
Hình vẽ minh họa:

Vì SA ⊥ (ABCD) => SA ⊥ BD

Mà ABCD là hình thoi nên AC ⊥ BD

=> BD ⊥ (SAC)

Mặt khác SO và SC thuộc mặt phẳng (SAC)

=> BD ⊥ SO, BD ⊥ SC

Và AD, SC là hai đường thẳng chéo nhau

=> AD ⊥ SC là khẳng định sai.
Câu 34: Thông hiểu
Tìm khẳng định sai?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, SA ⊥ (ABCD). I là trung điểm của SC. Khẳng định nào dưới đây sai?
- A.
  OI ⊥ (ABCD)
- B.
  BC ⊥ SB
- C.
  Tam giác SCD vuông tại D.
- D.
  Mặt phẳng (SAC) là mặt phẳng trung trực của BD.
Hình vẽ minh họa:

Ta có: O và I lần lượt là trung điểm của AC và SC

=> OI là đường trung bình của tam giác SAC

=> OI // SA

Mà SA ⊥ (ABCD) => OI ⊥ (ABCD)

Ta có: ABCD là hình chữ nhật => BC ⊥ AB

Mà SA ⊥ BC => BC ⊥ SB

Tương tự ta có: CD ⊥ AD, CD ⊥ SA => CD ⊥ SD

Nếu (SAC) là mặt phẳng trung trực của BD => BD ⊥ AC điều này không thể xảy ra vì ABCD là hình chữ nhật.

Vậy khẳng định sai là: “Mặt phẳng (SAC) là mặt phẳng trung trực của BD.”
Câu 35: Nhận biết
Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA\bot(ABCD)$ . Kết luận nào sau đây sai về góc giữa $SB$ và $(ABC)$
- A.
  $\widehat{SAB}$
- B.
  $\widehat{SBA}$
- C.
  $\widehat{SBC}$
- D.
  $\widehat{SCD}$
Vì $SA\bot(ABCD)$ nên AB là hình chiếu của SB trên (ABC)

Vậy $\widehat{\left( SB;(ABC) ight)} = \widehat{SBA}$ .
Câu 36: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho một khối chóp có diện tích đáy bằng $7a^{2}$ , chiều cao bằng $a$ . Thể tích khối chóp đã cho là:
- A.
  $V = \frac{7}{6}a^{3}$
- B.
  $V = \frac{7}{2}a^{3}$
- C.
  $V = \frac{7}{3}a^{3}$
- D.
  $V = a^{3}$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} B = 7a^{2} \\ h = a \\ \end{matrix} ight.$

Thể tích khối chóp là: $V = \frac{1}{3}B.h = \frac{7}{3}a^{3}$
Câu 37: Thông hiểu
Tính thể tích của hình chóp S.ABCD

Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $2a$ . Tam giác $SAB$ đều và $\left( (SAB);(ABCD) ight) = 90^{0}$ . Tính thể tích của hình chóp $S.ABCD$ ?
- A.
  $V = 4a^{3}\sqrt{3}$
- B.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{2}$
- C.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{4}$
- D.
  $V = \frac{4a^{3}\sqrt{3}}{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của AB

Do tam giác SAB đều nên $SH\bot AB$

Lại có: $\left\{ \begin{matrix} SH\bot AB \\ (SAB)\bot(ABCD) \\ SH \subset (SAB) \\ AB = (SAB) \cap (ABCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow SH\bot(ABCD)$

Vậy SH là đường cao của hình chóp

Tính được $SH = a\sqrt{3}$

Thể tích khối chóp là: $V = \frac{1}{3}B.h = \frac{1}{3}.(2a)^{2}.a\sqrt{3} = \frac{4a^{3}\sqrt{3}}{3}$
Câu 38: Thông hiểu
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, cạnh a, $\widehat{BAD} = 60^{0};SA = SB = SD = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ . Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $\tan\varphi = \sqrt{5}$
- B.
  $\tan\varphi = \frac{\sqrt{5}}{5}$
- C.
  $\tan\varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}$
- D.
  $\varphi = 45^{0}$
Hình vẽ minh họa:

Từ giả thiết suy ra tam giác ABD đều cạnh a.

Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD).

Do SA = SB = SD nên suy ra H cách đều các đỉnh của tam giác ABD hay H là tâm của tam giác đều ABD.

Suy ra:

$\begin{matrix}HI = \dfrac{AI}{3} = \dfrac{a\sqrt{3}}{6} \hfill\\SH = \sqrt{SA^{2} - AH^{2}} = \dfrac{a\sqrt{15}}{6}\hfill \\\end{matrix}$

Vì ABCD là hình thoi nên HI ⊥ BD.

Tam giác SBD cân tại S nên SI ⊥ BD

=> ((SBD), (ABCD)) = (SI, AI) = $\widehat{SIH}$

Trong tam vuông SHI ta có: $\tan\widehat{SIH} = \frac{SH}{HI} = \sqrt{5}$
Câu 39: Nhận biết
Xác định thể tích hình chóp

Cho khối chóp tam giác có chiều cao bằng $5$ , diện tích đáy bằng $6$ . Thể tích của hình chóp bằng:
- A.
  $V = 15$
- B.
  $V = 10$
- C.
  $V = 12$
- D.
  $V = 32$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} B = 6 \\ h = 5 \\ \end{matrix} ight.$

Thể tích khối chóp tam giác là $V = \frac{1}{3}B.h = \frac{1}{3}.6.5 = 10$
Câu 40: Thông hiểu
Tìm góc giữa hai mặt phẳng

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\bot(ABC)$ . Gọi hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên cạnh $BC$ là điểm $H$ . Xác định góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ ?
- A.
  $\widehat{SAH}$
- B.
  $\widehat{SBA}$
- C.
  $\widehat{SHA}$
- D.
  $\widehat{ASH}$
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$BC = (SBC) \cap (ABC)$

Vì $\left\{ \begin{matrix} BC\bot AS \\ BC\bot AH \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAH) \Rightarrow BC\bot SH$

Vậy $\left( (SBC);(ABC) ight) = \widehat{SHA}$

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

40 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 Chân trời sáng tạo
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân
Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số ghép số liệu nhóm
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Đạo hàm
Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 9: Xác suất

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 11 Chân trời sáng tạo

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân

Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian

Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số ghép số liệu nhóm

Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 7: Đạo hàm

Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian

Chương 9: Xác suất