VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 CTST Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài Rủ bạn học

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Thông hiểu
Khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABCD)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và SA = SB = SC = a. Giả sử góc BAD bằng 60⁰. Khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABCD) bằng:
- A.
  $\frac{a}{2}$
- B.
  $\frac{a\sqrt{3}}{2}$
- C.
  $a$
- D.
  $a\sqrt{3}$
Hình vẽ minh họa
Từ S vẽ SO ⊥ (ABCD) ⇒ OA = OB = OC (là hình chiếu của các đường xiên bằng nhau) ⇒ O là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy
$\begin{matrix} S{O^2} = S{A^2} - A{O^2} \hfill \\ = {a^2} - {\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} ight)^2} = \dfrac{{{a^2}}}{4} \hfill \\ \Rightarrow SO = \dfrac{a}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 2: Thông hiểu
Tính tan góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh bằng $2a$ . Biết góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $90^{0}$ , $SA = SB$ . Tính tan góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ , biết thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng $\frac{4a^{3}}{3}$ ?
- A.
  $\frac{\sqrt{3}}{3}$
- B.
  $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
- C.
  $\frac{\sqrt{7}}{7}$
- D.
  $\frac{\sqrt{5}}{5}$
Hình vẽ minh họa

Kẻ $SH\bot AB$ , gọi $\alpha = \left( SC;(ABCD) ight)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} (SAB)\bot(ABCD) \\ (SAB) \cap (ABCD) = AB \\ SH \subset (SAB) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow SH\bot(ABCD)$

$\Rightarrow \alpha = \widehat{SCH}$

Lại có: $V_{S.ABCD} = \frac{1}{3}SH.S_{ABCD} = \frac{4a^{3}}{3} \Rightarrow SH = a$

Do tam giác SAB cân tại S nên H là trung điểm của AB

$\Rightarrow HC = \sqrt{BH^{2} + BC^{2}} = a\sqrt{5}$

$\Rightarrow \tan\alpha = \tan\widehat{SCH} = \frac{SH}{HC} = \frac{a}{a\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$
Câu 3: Thông hiểu
Tính giá trị cos α

Cho hai tam giác đều DAC và BAC lần lượt nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (DAB) và (DBC). Tính giá trị cos α.
- A. $\frac{3}{5}$
- B. $\frac{1}{5}$
- C. $- \frac{1}{5}$
- D. $- \frac{3}{5}$
Giả sử cạnh của tam giác đều bằng 2a. Khi đó AB = AD = CB = CD = 2a
Gọi H là trung điểm của AC. Tam giác DAC đều suy ra DH ⊥ AC.
Tương tự BH ⊥ AC.
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {DAC} ight) \bot \left( {ABC} ight)} \\ {\left( {DAC} ight) \cap \left( {ABC} ight)} \\ {DH \bot AC} \\ {DH \subset \left( {DAC} ight)} \end{array}} ight. \Rightarrow DH \bot \left( {ABC} ight)$
Gọi K là trung điểm của DB.
Ta có: ABD cân tại A nên $AK \bot BD$
Và CBD cân tại C nên $CK \bot DB$
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {DAB} ight) \cap \left( {DBC} ight) = BD} \\ {AK \bot BD;AK \subset \left( {DAB} ight)} \\ {CK \bot BD;CK \subset \left( {DAB} ight)} \end{array}} ight.$
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (DAB) và (DBC) là góc giữa hai đường thẳng AK và CK.
Ta có $DH = a\sqrt 3 ;BH = a\sqrt 3$ nên BDH vuông cân tại H.
Từ đó ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {DB = \sqrt {D{H^2} + H{B^2}} = a\sqrt 6 } \\ {HK = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}} \end{array}} ight.$
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {AC \bot DH} \\ {AC \bot BH} \\ {DH \cap BH = H} \\ {DH;BH \subset \left( {DBH} ight)} \end{array}} ight. \Rightarrow AC \bot \left( {DBH} ight)$ mà $HK \subset \left( {DBH} ight) \Rightarrow AC \bot HK$
Xét tam giác ACK có KH vừa là trung tuyến, vừa là đường cao nên tam giác ACK cân tại K.
Nên ta có: KH là phân giác của góc $\widehat {AKC}$ suy ra $\widehat {AKC} = 2\widehat {CKH}$
Ta có: $t = \tan \widehat {CKH} = \frac{{HC}}{{HK}} = \frac{a}{{a\sqrt 6 :3}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}$
Vậy $\cos \alpha = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} = \frac{{1 - \frac{6}{9}}}{{1 + \frac{6}{9}}} = \frac{1}{5}$
Câu 4: Nhận biết
Tính góc giữa hai vecto

Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Góc giữa cặp vecto $\overrightarrow {AF} ;\overrightarrow {EG}$ là:
- A. 60⁰
- B. 30⁰
- C. 45⁰
- D. 90⁰
Hình vẽ minh họa:
Ta có tam giác ACF là tam giác đều
$\overrightarrow {EG} = \overrightarrow {AC}$
=> Góc giữa cặp vecto $\overrightarrow {AF} ;\overrightarrow {EG}$ là:
$\left( {\overrightarrow {AF} ;\overrightarrow {EG} } ight) = \left( {\overrightarrow {AF} ;\overrightarrow {AC} } ight) = \widehat {CAF} = {60^0}$
Câu 5: Thông hiểu
Hoàn thành mệnh đề

Các đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì:
- A.
  Thuộc một mặt phẳng
- B.
  Vuông góc với nhau
- C.
  Song song với một mặt phẳng
- D.
  Song song với nhau
Đáp án "Thuộc một mặt phẳng" sai vì có thể xảy ra trường hợp nằm trên nhiều mặt phẳng khác nhau.
Đáp án "Vuông góc với nhau" sai vì có thể xảy ra trường hợp chúng song song với nhau.
Đáp án "Song song với nhau" sai vì có thể xảy ra trường hợp chúng cắt nhau.
Đáp án "Song song với một mặt phẳng" đúng vì chúng đồng phẳng.
Câu 6: Nhận biết
Tang của góc giữa mặt bên và mặt đáy

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc giữa cạnh bên với mặt phẳng đáy bằng α. Tang của góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng:
- A.
  $\tan \alpha$
- B.
  $\cot \alpha$
- C.
  $\sqrt{2} \tan \alpha$
- D.
  $\frac{\sqrt{2}}{2\tan \alpha}$
Chân đường cao hình chóp đều S.ABCD trùng với tâm O của đáy ABCD. AO là hình chiếu của SA lên (ABCD)
=> $\widehat {SAO} = \alpha$
Gọi M là trung điểm của BC => OM là hình chiếu của SM lên (ABCD) và MO ⊥ BC.
$\begin{matrix} \widehat {SMO} = \left( {\left( {SBC} ight);\left( {ABCD} ight)} ight) \hfill \\ \tan \widehat {SMO} = \dfrac{{SO}}{{OM}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\tan \alpha .\dfrac{2}{a} = \sqrt 2 \tan \alpha \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 7: Thông hiểu
Tìm mệnh đề sai

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$ , tam giác $SBA$ đều và cạnh $SC = a\sqrt{2}$ . Gọi trung điểm các cạnh $AB,CD$ lần lượt là $H,K$ . Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  $BC\bot(SAB)$
- B.
  $SH\bot(ABCD)$
- C.
  $AB\bot(SAD)$
- D.
  $CD\bot(SHK)$
Hình vẽ minh họa

Ta có tam giác SAB đều cạnh bằng a nên $AB = SB = a$

Mặt khác tam giác SBC có $SB^{2} + BC^{2} = SC^{2} = 2a^{2}$

Suy ra tam giác SBC vuông cân tại B hay $BC\bot SB$

Từ $BC\bot(SAB) \Rightarrow BC\bot SH$

Tam giác ABS đều mà H là trung điểm của AB nên $SH\bot AB$

$\Rightarrow SH\bot(ABCD)$

Tam giác ABS đều nên AB không vuông góc với mặt phẳng $(SAD)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AB\bot HK \\ AB\bot SH \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AB\bot(SHK) \Rightarrow CD\bot(SHK)$
Câu 8: Vận dụng cao
Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và AB’

Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A với $AC = a\sqrt{3}$ . Biết BC’ hợp với mặt phẳng (AA’C’C) với một góc 30⁰ và hợp với mặt phẳng đáy góc α sao cho $\sin\alpha =\frac{\sqrt{6}}{4}$ . Gọi M, N lần lượt là trung điểm cạnh BB’ và A’C’. Khoảng cách MN và AC’ là:
- A.
  $\frac{a\sqrt{6}}{4}$
- B.
  $\frac{a\sqrt{3}}{6}$
- C.
  $\frac{a\sqrt{5}}{4}$
- D.
  $\frac{a}{3}$
Hình vẽ minh họa:
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\widehat{\left( BC’,(AA’C’C) ight)} = \widehat{BC’A} = 30^{0} \\\widehat{\left( BC’,(ABC) ight)} = \widehat{C'BC} = \alpha \\\end{matrix} ight.$
Đặt AB = x => $BC = \sqrt{3a^{2} +x^{2}}$
$BC = \sqrt{3a^{2} + x^{2}}$
$CC' = BC.tan\alpha =\sqrt{\frac{3\left( x^{2} + 3a^{2} ight)}{5}}$
$AC' = AB.cot30^{0} =\sqrt{\frac{3\left( x^{2} + 3a^{2} ight)}{5}}$
Ta có: $AC^{2} + CC'^{2} =AC^{2}$
$\Rightarrow x = a\sqrt{2}$
$\Rightarrow CC' = a\sqrt{3};AC =a\sqrt{6}$
Gọi P là trung điểm của B’C’ => (MNP) // (ABC’)
d(MN, AC’) = d(N, (ABC’)) = $\frac{1}{2}$ d(A’, (ABC’)
Kẻ A’H ⊥ AC’ tại H => A’H ⊥ (ABC’)
$d\left( A';(ABC') ight) =A'H = \frac{AA'.A'C'}{AC'} =\frac{a\sqrt{6}}{2}$
=> d(MN, AC’) = $\frac{a\sqrt{6}}{4}$
Câu 9: Thông hiểu
Xác định đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Cho hình tứ diện ABCD có AB, CD, BC đôi một vuông góc. Khi đó ta có:
- A.
  AB ⊥ (ACD)
- B.
  BC ⊥ (ACD)
- C.
  CD⊥ (ABC)
- D.
  AD ⊥ (BCD)
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
$\begin{matrix}\left\{ \begin{matrix}CD\bot AB \subset (ABC) \hfill \\CD\bot CB \subset (ABC) \\AB \cap CB = B \hfill \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow CD\bot(ABC) \hfill \\\Rightarrow CD\bot(ABC) \hfill \\\end{matrix}$
Ta có:
Nếu $AB\bot(ACD) \Rightarrow AB\botAC$ (Vô lí)
Nếu $BC\bot(ACD) \Rightarrow BC\botAC$ (Vô lí)
Nếu $AD\bot(BCD) \Rightarrow B \equivD$ (Vô lí)
Câu 10: Thông hiểu
Tính thể tích hình hộp chữ nhật

Cho khối hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy là hình vuông, đường chéo $BD = 4a$ . Biết góc giữa hai mặt phẳng $(A'BD)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $30^{0}$ . Khi đó thể tích hình hộp chữ nhật bằng bao nhiêu?
- A.
  $V = \frac{32\sqrt{3}a^{3}}{3}$
- B.
  $V = 48\sqrt{3}a^{3}$
- C.
  $V = 16\sqrt{3}a^{3}$
- D.
  $V = \frac{16\sqrt{3}a^{3}}{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi góc giữa mặt phẳng $(A'BD)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là $\alpha$ và $O = AC \cap BD$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AO\bot BD \\ AA'\bot BD \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A'O\bot BD$

$\Rightarrow \alpha = (AO;A'O) = \widehat{AOA'} = 30^{0}$

Ta có ABCD là hình vuông, BD = 4a nên $AB = AD = 2a\sqrt{2}$

Ta có: $AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD = 2a$

Xét tam giác AOA’ có $AA' = AO.tan30^{0} = \frac{2a\sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow V_{ABCD.A'B'C'D'} = AA'.S_{ABCD} = \frac{2a\sqrt{3}}{3}.8a^{2} = \frac{16a^{3}\sqrt{3}}{3}$
Câu 11: Nhận biết
Chọn mệnh đề sai

Mệnh đề nào sau đây là sai?
- A.
  Nếu a // (P) và b ⊥ (P) thì b ⊥ a
- B.
  Nếu a // (P) và b ⊥ a thì b ⊥ (P)
- C.
  Nếu a ⊂ (P) và b ⊥ (P) thì b ⊥ a
- D.
  Nếu a ⊂ (P), a ⊆ (P) và b ⊥ a thì b ⊥ (P)
Mệnh đề sai là: "Nếu a // (P) và b ⊥ a thì b ⊥ (P)"
Câu 12: Thông hiểu
Tìm góc giữa hai đường thẳng AB và SD

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có đáy là hình vuông $ABCD$ cạnh $a$ . Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo $AC;BD$ . Biết rằng $SO = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ . Tính góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $SD$ ?
- A.
  $120^{0}$
- B.
  $60^{0}$
- C.
  $30^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hình vẽ minh họa
Ta có: $AB//CD \Rightarrow (AB;SD) =(CD;SD)$
$OD = \frac{1}{2}BD =\frac{a\sqrt{2}}{2}$
$SD = \sqrt{SO^{2} + OD^{2}} =\sqrt{\frac{a^{2}}{2} + \frac{a^{2}}{2}} = a$
$\Rightarrow SC = SC = CD =a$
Suy ra tam giác SCD đều.
$\Rightarrow \widehat{SCD} =60^{0}$
$\Rightarrow (AB;SD) = (CD;SD) =\widehat{SCD} = 60^{0}$
Câu 13: Nhận biết
Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA\bot(ABCD)$ . Kết luận nào sau đây sai về góc giữa $SB$ và $(ABC)$
- A.
  $\widehat{SAB}$
- B.
  $\widehat{SBA}$
- C.
  $\widehat{SBC}$
- D.
  $\widehat{SCD}$
Vì $SA\bot(ABCD)$ nên AB là hình chiếu của SB trên (ABC)

Vậy $\widehat{\left( SB;(ABC) ight)} = \widehat{SBA}$ .
Câu 14: Nhận biết
Chọn mệnh đề sai

Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
- A.
  Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng cách từ một điểm A bất kì trên a đến (P).
- B.
  Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm M bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
- C.
  Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M thuộc mặt phẳng (P) chứa a và song song với b đến một điểm N bất kì trên b.
- D.
  Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau và vuông góc với nhau thì đường vuông góc chung của chúng nằm trong mặt phẳng (P) chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.
Mệnh đề sai: “Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M thuộc mặt phẳng (P) chứa a và song song với b đến một điểm N bất kì trên b.”
Câu 15: Thông hiểu
Số đo góc giữa đường thẳng A’C với mặt phẳng (AA’BB’)

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng $2\sqrt 2$ , AA’ = 4. Tính góc giữa đường thẳng A’C với mặt phẳng (AA’BB’).
- A. $30^0$
- B. $90^0$
- C. $60^0$
- D. $45^0$
Ta có $CB \bot \left( {AA'B'B} ight)$ tại B. Khi đó A’B là hình chiếu của A’C lên mặt phẳng (AA’B’B)
Vậy góc tạo bởi đường thẳng A’C và mặt phẳng (AA’BB’) là góc $\widehat {CA'B}$
Khi đó $\tan \widehat {CA'B} = \frac{{BC}}{{A'B}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( {2\sqrt 2 } ight)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \widehat {CA'B} = 30^\circ$
Câu 16: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD. Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  SO ⊥ (ABCD)
- B.
  AC ⊥ (SBD)
- C.
  BD ⊥ (SAC)
- D.
  BC ⊥ (SAB)
Hình vẽ minh họa:
Do ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD nên $\left\{ \begin{matrix}SO\bot AC \\SO\bot BD \\\end{matrix} ight.$ => SO ⊥ (ABCD)
Từ $\left\{ \begin{matrix}SO\bot AC \\AC\bot BD \\\end{matrix} ight.$ => AC ⊥ (SBD)
Từ $\left\{ \begin{matrix}SO\bot BD \\AC\bot BD \\\end{matrix} ight.$ => BD ⊥ (SAC)
Như vậy, các khẳng định “SO ⊥ (ABCD)”, “AC ⊥ (SBD)”, “BD ⊥ (SAC)” là các khẳng định đúng.
Khẳng định “BC ⊥ (SAB)” là khẳng định sai. Vì nếu BC ⊥ (SAB) suy ra BC ⊥ SB, cùng với BC ⊥ SO ta có BC ⊥ (SBD), nên qua điểm B có hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng BC (vô lí).
Câu 17: Vận dụng
Hoàn thành mệnh đề

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có mặt đáy ABCD là hình thoi tâm O, góc $\widehat{BAD} = 60^{0}$ và A’A = A’B = A’D. Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABCD) là:
- A.
  trung điểm của OA.
- B.
  trọng tâm tam giác ABD.
- C.
  tâm O của hình thoi ABCD.
- D.
  trọng tâm tam giác BCD.
Hình vẽ minh họa:

Ta có: ABCD là hình thoi =>AB = AD mà $\widehat{BAD} = 60^{0}$ nên tam giác ABD là tam giác đều (*)

Ta có: A’A = A’B = A’D nên hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABCD) trùng với tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD. (**)

Từ (*) và (**) => I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.
Câu 18: Nhận biết
Tính góc giữa SC với mặt phẳng (ABCD)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, cạnh SA ⊥ (ABCD) , $SA = a\sqrt{2}$ . Góc giữa SC với mặt phẳng (ABCD) là:
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $45^{0}$
- C.
  $90^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Hình vẽ minh họa:
Ta có: $\widehat{\left( SC,(ABCD) ight)}= \widehat{(SC,AC)} = \widehat{SCA}$
Lại có: $\tan\widehat{SCA} = \frac{SA}{AC}= \frac{SA}{AB\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}} = 1$
=> $\widehat{SCA} = 45^{0}$
Câu 19: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng?

Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
- A.
  Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì nằm trong mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.
- B.
  Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
- C.
  Một đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau nếu nó vuông góc với cả hai đường thẳng đó.
- D.
  Các mệnh đề trên đều sai.
Đáp án đúng: “Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.”
Câu 20: Vận dụng
Tính góc giữa hai mặt phẳng

Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có diện tích tam giác ABC bằng $2\sqrt{3}$ . Gọi M, N, P lần lượt thuộc các cạnh AA’, BB’, CC’, diện tích tam giác MNP bằng 4. Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (MNP).
- A.
  120⁰
- B.
  45⁰
- C.
  30⁰
- D.
  90⁰
Hình vẽ minh họa:
Gọi α là góc giữa 2 mặt phẳng (ABC) và (MNP).
Dễ thấy tam giác ABC là hình chiếu của tam giác MNP trên mặt phẳng (ABC).
=> $S_{ABC} =S_{MNP}.cos\alpha$
Từ đó suy ra:
$\begin{matrix}\cos\alpha = \dfrac{S_{ABC}}{S_{MNP}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{4} =\dfrac{\sqrt{3}}{2} \hfill\\\Rightarrow \alpha = 30^{0}\hfill \\\end{matrix}$
Vậy góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (MNP) bằng 30◦
Câu 21: Thông hiểu
Tính thế tích khối chóp tứ giác đều

Một khối chóp tứ giác đều có các cạnh bằng $2t$ (cm). Khi đó thể tích của khối chóp đã cho bằng bao nhiêu?
- A.
  $V = \frac{2\sqrt{2}}{3}t^{3}$
- B.
  $V = \frac{8}{3}t^{3}$
- C.
  $V = \frac{8\sqrt{2}}{3}t^{3}$
- D.
  $V = \frac{4\sqrt{2}}{3}t^{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng 2t là S.ABCD với I là tâm của đáy ta có:

$SA = BA = BC = DA = DC$

$\Rightarrow \Delta SAC = \Delta BAC = \Delta DBC$

$\Rightarrow \Delta SAC;\Delta BAC;\Delta DBC$ lần lượt vuông tại S; B; D

I là trung điểm của AC suy ra $SA = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}.2t.\sqrt{2} = t\sqrt{2}$

Vậy thể tích hình chóp là: $V_{S.ABCD} = \frac{1}{3}S_{ABCD}.SI = \frac{1}{3}.(2t)^{2}.t\sqrt{2} = \frac{4t^{3}\sqrt{2}}{3}$
Câu 22: Thông hiểu
Chọn kết luận đúng

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là hình tam giác vuông tại A, $SA\bot(ABC)$ . Kết luận nào sau đây đúng?
- A.
  $(SBC)\bot(SAB)$
- B.
  $(ABC)\bot(SBC)$
- C.
  $(SAC)\bot(SBC)$
- D.
  $(SAC)\bot(SAB)$
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} AC\bot AB \\ AC\bot SA \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AC\bot(SAB)$

$\left\{ \begin{matrix} AC\bot(SAB) \\ AC \subset (SAC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (SAC)\bot(SAB)$
Câu 23: Thông hiểu
Tính góc giữa AB và CD

Cho tứ diện $ABCD$ có hai mặt $ABC$ và $ABD$ là tam giác đều. Khi đó $(AB;CD)$ bằng:
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $120^{0}$
- C.
  $30^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: I là trung điểm của AB.

Vì $ABC$ và $ABD$ là tam giác đều nên $\left\{ \begin{matrix} CI\bot AB \\ DI\bot AB \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AB\bot(CID) \Rightarrow AB\bot CD$
Câu 24: Thông hiểu
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng $a\sqrt{2}$ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CC’ và BD.
- A.
  $\frac{a\sqrt{2}}{2}$
- B.
  $\frac{a\sqrt{2}}{3}$
- C.
  $a$
- D.
  $a\sqrt{2}$
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
OC ⊥ BD
OC ⊥ CC’
=> OC là đoạn vuông góc chung của CC’ và BD.
Vậy d(CC’, BD) = OC = AC/2 = 2a/2 = a
Câu 25: Vận dụng cao
Tính diện tích (α) của thiết diện

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có độ dài đường chéo bằng a √ 2 và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi α là góc giữa mặt phẳng (SBD) và (ABCD). Nếu $\tan\alpha = \sqrt{2}$ thì góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng
- A.
  30⁰
- B.
  90⁰
- C.
  60⁰
- D.
  45⁰
Hình vẽ minh họa:

Gọi O là tâm hình vuông ABCD, H, K lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SC.

Ta dễ dàng chứng minh được AH ⊥ (SBC) => AH ⊥ SC.

Mà AK ⊥ SC nên SC ⊥ (AHK) => SC ⊥ HK.

Ta có:

(SAC) ∩ (SBC) = SC

AK ⊥ SC

HK ⊥ SC

=> ((SAC), (SBC)) = (AK; HK) = $\widehat{AKH}$ .

Ta cũng có: ((SBD); (ABCD)) = (SO; AO) = $\widehat{SOA}$ = α

=> tan α = SA/AO => SA = a

Do đó: tam giác SAB vuông cân tại A => $AH = \frac{SB}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Xét tam giác SAC có: $\frac{1}{AK^{2}} = \frac{1}{AS^{2}} + \frac{1}{AC^{2}} \Rightarrow AK = \frac{a\sqrt{6}}{3}$

Xét tam giác AHK vuông tại H, ta có:

$\sin\widehat{AKH} = \frac{AH}{AK} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \sin\widehat{AKH} = 30^{0}$

Vậy ((SAC); (SBC)) = 30⁰.
Câu 26: Vận dụng

Điền đáp án vào ô trống

Giả sử $V$ là thể tích khối tứ diện đều $ABCD$ . Trung điểm tất cả các cạnh của tứ diện tạo thành một đa diện có thể tích $V'$ . Tỉ số $\frac{V'}{V} =$ 1/2

(Kết quả được ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Đáp án là:

Giả sử $V$ là thể tích khối tứ diện đều $ABCD$ . Trung điểm tất cả các cạnh của tứ diện tạo thành một đa diện có thể tích $V'$ . Tỉ số $\frac{V'}{V} =$ 1/2

(Kết quả được ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Hình vẽ minh họa

Giả sử tứ diện đều cạnh bằng a

Hình đa diện cần tính có được bằng cách cắt 4 góc tứ diện

Mỗi góc cũng là một tứ diện đều có cạnh bằng $\frac{a}{2}$

Do đó thể tích phần cắt bỏ là $V'' = 4.\frac{V}{8} = \frac{V}{2}$

(Vì tứ diện cạnh giảm một nưả thì thể tích giảm $\left( \frac{1}{2} ight)^{3} = \frac{1}{8}$

Vậy $V' = \frac{V}{2} \Rightarrow \frac{V'}{V} = \frac{1}{2}$
Câu 27: Thông hiểu
Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng (SAC)

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, $AC=a\sqrt{3}$ . Tam giác SBC đều và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy. Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng (SAC).
- A.
  $d=\frac{a\sqrt{39}}{13}$
- B.
  $d = a$
- C.
  $d=\frac{2a\sqrt{39}}{13}$
- D.
  $d=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
Hình vẽ minh họa:
Gọi M là trung điểm của BC
=> $SH \bot BC \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} ight)$
Gọi N là trung điểm của AC
=> $MN \bot AC$
Kẻ $ME \bot SN,\left( {E \in SN} ight)$
$\begin{matrix} d\left( {B,\left( {SAC} ight)} ight) = 2d\left( {M;\left( {SAC} ight)} ight) \hfill \\ = 2ME = 2.\dfrac{{SM.MN}}{{\sqrt {S{M^2} + M{N^2}} }} = \dfrac{{2a\sqrt {39} }}{{13}} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 28: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A;D$ ; $AB = a;AD = DC = a$ . Gọi $I$ là trung điểm của $AD$ , biết hai mặt phẳng $(SBI)$ và $(SCI)$ cùng vuông góc với đáy và mặt phẳng $(SBC)$ tạo với đáy một góc $60^{0}$ . Tính khoảng cách từ trung điểm của cạnh $SD$ đến mặt phẳng $(SBC)$ ?
- A.
  $\frac{a\sqrt{17}}{5}$
- B.
  $\frac{a\sqrt{3}}{15}$
- C.
  $\frac{a\sqrt{15}}{20}$
- D.
  $\frac{a\sqrt{6}}{19}$
Từ I kẻ $IP\bot BC \Rightarrow BC\bot SP$

$\Rightarrow \left( (SBC);(ABCD) ight) = \widehat{SPI} = 60^{0}$

Gọi K là trung điểm của SD.

Gọi $Q = BC \cap AD$ , kẻ $IH\bot SP$

Ta có:

$d\left( K;(SBC) ight) = \frac{1}{2}d\left( D;(SBC) ight)$

$= \frac{1}{4}d\left( I;(SBC) ight) = \frac{1}{4}IH$

Xét tam giác ICQ có $IP = \frac{CD.IQ}{QC} = \frac{2a}{\sqrt{5}}$

Xét tam giác SIP vuông tại I có $SI = IP.tan60^{0} = \frac{2a\sqrt{3}}{5}$

$\frac{1}{IH^{2}} = \frac{1}{IS^{2}} + \frac{1}{IP^{2}} \Rightarrow IH = \frac{3a^{2}}{5}$

$\Rightarrow IH = \frac{a\sqrt{15}}{5}$

$\Rightarrow d\left( K;(SBC) ight) = \frac{a\sqrt{15}}{20}$
Câu 29: Thông hiểu
Tìm mệnh đề đúng

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ , cạnh đáy bằng $2a$ , đường cao bằng $a\sqrt{2}$ . Giả sử $\left( (SCD);(ABCD) ight) = \alpha$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $\tan\alpha = \sqrt{3}$
- B.
  $\tan\alpha = 2$
- C.
  $\tan\alpha = \frac{\sqrt{2}}{12}$
- D.
  $\tan\alpha = \sqrt{2}$
Hình vẽ minh họa

Gọi $O = AC \cap BC$ , M là trung điểm của CD.

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} (SCD) \cap (ABCD) = CD \\ OM\bot CD \\ SM\bot CD \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \alpha = (OM;SM) = \widehat{SMO}$

Trong tam giác SMO có $\tan\widehat{SMO} = \frac{SO}{OM} = \frac{a\sqrt{2}}{a} = \sqrt{2}$

$\Rightarrow \tan\alpha = \sqrt{2}$
Câu 30: Vận dụng cao
Xác định vị trí của điểm M

Trong không gian cho tam giác ABC. Xác định vị trí của điểm M sao cho giá trị của biểu thức P = MA² + MB² + MC² đạt giá trị nhỏ nhất
- A.
  M là trọng tâm tam giác ABC
- B.
  M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
- C.
  M là trực tâm tam giác ABC
- D.
  M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Gọi G là trọng tâm giác ABC => $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$

Ta có:

$\begin{matrix}P = \left( \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA} ight)^{2} +\left( \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GB} ight)^{2} + \left(\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GC} ight)^{2}\hfill \\= 3MG^{2} + 2\overrightarrow{MG}.\left( \overrightarrow{GA} +\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} ight) + GA^{2} + GB^{2} +GC^{2}\hfill \\= 3MG^{2} + GA^{2} + GB^{2} + GC^{2} \hfill \\\geq GA^{2} + GB^{2} + GC^{2}\hfill \\\end{matrix}$

Dấu bằng xảy ra khi M trùng với G

Vậy $P_{\min} = GA^{2} + GB^{2} + GC^{2}$ với M trùng G là trọng tâm tam giác ABC
Câu 31: Thông hiểu
Hoàn thành mệnh đề

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Nếu H là hình chiếu vuông góc của điểm O trên mặt phẳng (ABC) thì H là:
- A.
  trọng tâm tam giác ABC.
- B.
  trực tâm tam giác ABC.
- C.
  tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
- D.
  tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Vì $\left\{ \begin{matrix} AB\bot OH \\ AB\bot OC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AB\bot CH$

Tương tự: $BC\bot AH$

Vậy H là trực tâm tam giác ABC.
Câu 32: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng?

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
- A.
  Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho.
- B.
  Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng và đường thẳng b với b vuông góc với (P).
- C.
  Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (Q) thì mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q).
- D.
  Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng (P) thì a song song với b.
Mệnh đề: “Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng và đường thẳng b với b vuông góc với (P).” sai vì hai góc này phụ nhau.

Mệnh đề: “Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (Q) thì mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q).” sai vì (P) có thể trùng với (Q).

Mệnh đề: “Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng (P) thì a song song với b.” sai vì a có thể trùng với b.
Câu 33: Thông hiểu
Chọn mệnh đề sai

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, mặt bên SAC là tam giác đều và mằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi I là trung điểm của SC. Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  AI ⊥ SC
- B.
  (SBC) ⊥ (SAC)
- C.
  AI ⊥ BC
- D.
  (ABI) ⊥ (SBC)
Hình vẽ minh họa:

Tam giác SAC đều có I là trung điểm của SC => AI ⊥ SC.

Gọi H là trung điểm AC => SH ⊥ AC.

Mà (SAC) ⊥ (ABC) theo giao tuyến AC => SH ⊥ (ABC) => SH ⊥ BC.

Hơn nữa theo giả thiết tam giác ABC vuông tại C nên BC ⊥ AC.

Từ đó suy ra BC ⊥ (SAC) => BC ⊥ AI.

Từ đó suy ra (ABI) ⊥ (SBC).

Dùng phương pháp loại trừ thì khẳng định “(SBC) ⊥ (SAC)” là sai
Câu 34: Vận dụng cao
Tính giá trị cos α

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; SAB là tam giác cân tại S; AD = 3BC = 3AB = 3a. Gọi M là điểm thuộc đoạn AD sao cho AD = 3MD. Biết rằng SCM là tam giác đều. Gọi α là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD). Khi đó cos α nhận giá trị là
- A. $\frac{{2\sqrt 7 }}{7}$
- B. $\frac{{\sqrt {21} }}{7}$
- C. $\frac{{\sqrt {42} }}{{14}}$
- D. $\frac{{\sqrt {154} }}{{14}}$
Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.
Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a
=> MD = a; AM = 2a
Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.
Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và $HK = \frac{{3a}}{2}$
Ta có: $\left\{ \begin{gathered} AB \bot SK \hfill \\ AB \bot HK \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow AB \bot SH$ (1)
Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)
Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)
Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.
Suy ra $HM = HN = \frac{1}{2}CM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$ và $HM \bot HN$
Tam giác SCM đều cạnh bằng $a\sqrt 2$ nên $SH = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$
Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).
Ta có: $\frac{1}{{{d^2}}} = \frac{1}{{H{M^2}}} + \frac{1}{{H{N^2}}} + \frac{1}{{H{S^2}}}$
$= \frac{4}{{2{a^2}}} + \frac{4}{{2{a^2}}} + \frac{4}{{6{a^2}}} = \frac{{14}}{{3{a^2}}} \Rightarrow d = \frac{{a\sqrt {42} }}{{14}}$
Ta lại có:
$SB = \sqrt {S{H^2} + B{H^2}} = \sqrt {S{H^2} + B{K^2} + K{H^2}}$
$= \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{2} + \frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{9{a^2}}}{4}} = 2a$
Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)
Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc $\widehat {BSI} = \alpha$
Do BC // AD => BC //(SAD)
=> $BI = d\left( {B;\left( {SAD} ight)} ight) = d\left( {C;\left( {SAD} ight)} ight) = 2d\left( {H,\left( {SAD} ight)} ight) = \frac{{a\sqrt {42} }}{7}$
Trong tam giác vuông BIS ta có:
$\sin \alpha = \frac{{BI}}{{SB}} = \frac{{\sqrt {42} }}{{14}} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\sqrt {154} }}{{14}}$
Câu 35: Nhận biết
Xác định thể tích khối chóp

Cho một khối chóp có diện tích đáy bằng $5a^{2}$ , chiều cao bằng $a$ . Thể tích khối chóp đã cho là:
- A.
  $V = \frac{5}{6}a^{3}$
- B.
  $V = \frac{5}{2}a^{3}$
- C.
  $V = 5a^{3}$
- D.
  $V = \frac{5}{3}a^{3}$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} B = 5a^{2} \\ h = a \\ \end{matrix} ight.$

Thể tích khối chóp là: $V = \frac{1}{3}B.h = \frac{5}{3}a^{3}$
Câu 36: Nhận biết
Tính thể tích khối chóp

Cho một khối chóp có diện tích đáy bằng $8a^{2}$ , chiều cao bằng $a$ . Thể tích khối chóp đã cho là:
- A.
  $V = \frac{4}{3}a^{3}$
- B.
  $V = 4a^{3}$
- C.
  $V = \frac{8}{3}a^{3}$
- D.
  $V = 8a^{3}$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} B = 8a^{2} \\ h = a \\ \end{matrix} ight.$

Thể tích khối chóp là: $V = \frac{1}{3}B.h = \frac{8}{3}a^{3}$
Câu 37: Nhận biết
Chọn khẳng định có thể sai?

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau. Mệnh đề nào có thể sai?
- A. A’C’ ⊥ BD
- B. A’B ⊥ DC’
- C. BB’ ⊥ BD
- D. BC’ ⊥ A’D
Dễ thấy các đáp án A’C’ ⊥ BD, A’B ⊥ DC’, BC’ ⊥ A’D đúng
Đáp án BB’ ⊥ BD sẽ bị sai trong trường hợp hình hộp có cạnh bên không vuông góc với mặt đáy
Câu 38: Vận dụng
Hoàn thành mệnh đề

Cho tứ diện ABCD. Nếu $AB ⊥CD, AC ⊥ BD$ và $BC ⊥ AD$ thì:
- A.
  $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} e \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} = \;\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}$
- B.
  $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \;\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} e \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}$
- C.
  $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \;\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} = \;\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}$
- D.
  $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} e \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} e \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}$
Ta có:
$\begin{matrix} \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {CB} = 0 \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} } ight) = \overrightarrow {AC} \left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } ight) \hfill \\ = \overrightarrow {AD} .\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } ight) = 0 \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 39: Thông hiểu
Tính khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD;AB = SA = a$ . Tính khoảng cách từ đường thẳng $AB$ và mặt phẳng $(SCD)$ bằng:
- A.
  $\frac{a\sqrt{6}}{2}$
- B.
  $\frac{a\sqrt{6}}{3}$
- C.
  $\frac{a\sqrt{6}}{6}$
- D.
  $a$
Hình vẽ minh họa

Gọi O là tâm của đáy $\Rightarrow SO\bot(ABCD)$

Lấy M, N lần lượt là trung điểm AB, CD.

Kẻ $OH\bot SN$

Có $\left\{ \begin{matrix} ON\bot CD \\ CD\bot SO \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow CD\bot(SON)$

$\Rightarrow CD\bot OH \Rightarrow OH\bot(SCD)$

Ta có: $AB//CD \subset (SCD) \Rightarrow AB//(SCD)$

Khi đó $d\left( AB;(SCD) ight) = d\left( M;(SCD) ight) = 2d\left( O;(SCD) ight) = 2OH$

Trong tam giác SON vuông tại O, $OH\bot SN$ có:

$\frac{1}{OH^{2}} = \frac{1}{SO^{2}} + \frac{1}{ON^{2}} \Rightarrow OH = \frac{a\sqrt{6}}{6}$

$\Rightarrow d\left( AB;(SCD) ight) = \frac{a\sqrt{6}}{3}$
Câu 40: Vận dụng
Tính góc giữa hai đường thẳng

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, A’B’C’D’ là hình chữ nhật tâmH, A’D’ = 2a, $A'B' = 2\sqrt 3 a$ , H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (A’B’C’D’), $AH = 2\sqrt 3 a$ . Gọi $\alpha$ là góc giữa hai đường thẳng AD’ và DB’. Tính $\cos \alpha$ .
- A. $\cos \alpha = \frac{1}{2}$
- B. $\cos \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{4}$
- C. $\cos \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$
- D. $\cos \alpha = \frac{{\sqrt 6 }}{8}$
Bước 1: Xác định góc giữa hai đường thẳng AD’ và DB’
Kẻ đường thẳng d qua D, song song với AD', cắt A’D’ tại E
Suy ra $\alpha = \widehat {\left( {AD',\,DB'} ight)} = \widehat {\left( {DE,\,DB'} ight)}$
Bước 2: Tính $\cos \alpha$
Kẻ đường thẳng qua H, song song với A’D’, cắt A’B’ tại F.
Lấy điểm I sao cho ADIH là hình bình hành.
Suy ra DI // AH , mà $AH \bot \left( {A'B'C'D'} ight)$
=> $DI \bot \left( {A'B'C'D'} ight) \Rightarrow DI \bot IB'$
Ta có
$\begin{matrix} DE = AD' = \sqrt {A{H^2} + H{{D'}^2}} = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 3 a} ight)}^2} + {{\left( {2a} ight)}^2}} = 4a \hfill \\ EB' = \sqrt {A'{E^2} + A'{{B'}^2}} = \sqrt {{4^2} + {{\left( {2\sqrt 3 } ight)}^2}} .a = 2\sqrt 7 a \hfill \\ IB' = \sqrt {I{F^2} + F{{B'}^2}} = \sqrt {{3^2} + {{\left( {\sqrt 3 } ight)}^2}} .a = 2\sqrt 3 a \hfill \\ DB' = \sqrt {D{I^2} + I{{B'}^2}} = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 3 } ight)}^2} + {{\left( {2\sqrt 3 } ight)}^2}} .a = 2\sqrt 6 a \hfill \\ \end{matrix}$
Trong tam giác EDB’, có:
$\begin{matrix} \cos \widehat {EDB'} = \dfrac{{D{E^2} + D{{B'}^2} - E{{B'}^2}}}{{2.DE.DB'}} \hfill \\ = \dfrac{{{{\left( {4a} ight)}^2} + {{\left( {2\sqrt 6 a} ight)}^2} - {{\left( {2\sqrt 7 a} ight)}^2}}}{{2.4a.2\sqrt 6 a}} \hfill \\ = \dfrac{{\sqrt 6 }}{8} > 0 \hfill \\ \end{matrix}$
Suy ra $\cos \alpha = \frac{{\sqrt 6 }}{8}$

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

42 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 Chân trời sáng tạo
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân
Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số ghép số liệu nhóm
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Đạo hàm
Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 9: Xác suất

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 11 Chân trời sáng tạo

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân

Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian

Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số ghép số liệu nhóm

Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 7: Đạo hàm

Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian

Chương 9: Xác suất