VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 CTST Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Thông hiểu
Tính khoảng cách d từ D đến mặt phẳng (SBC)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có $AB=a\sqrt{2}$ .Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt đáy (ABCD). Tính khoảng cách d từ D đến mặt phẳng (SBC)
- A.
  $d=\frac{a\sqrt{10}}{2}$
- B.
  $d=a\sqrt{2}$
- C.
  $d=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$
- D.
  $d=\frac{a\sqrt{3}}{3}$
Hình vẽ minh họa
Ta có: AD // BC => $d\left( {D;\left( {SCD} ight)} ight) = d\left( {A;\left( {SBC} ight)} ight)$
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB => $AK \bot SB (*)$
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {BC \bot SA} \\ {BC \bot AB} \end{array}} ight. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} ight) \Rightarrow BC \bot AH\left( {**} ight)$
Từ (*) và (**) => $AH \bot \left( {SBC} ight)$
$\begin{matrix} d\left( {A;\left( {SBC} ight)} ight) = AH \hfill \\ \Rightarrow AH = \dfrac{{SA.AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 2: Vận dụng
Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SB và AC

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a. Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 60⁰. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SB và AC.
- A. $\frac{2}{{\sqrt 7 }}$
- B. $\frac{2}{{\sqrt {35} }}$
- C. $\frac{2}{{\sqrt 5 }}$
- D. $\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 7 }}$
+) Ta có:
$\begin{matrix} \overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AC} = \left( {\overrightarrow {SH} + \overrightarrow {HB} } ight)\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } ight) \hfill \\ = \overrightarrow {SH} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {SH} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {HB} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {HB} .\overrightarrow {BC} \hfill \\ = \overrightarrow {HB} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {HB} .\overrightarrow {BC} \hfill \\ = \dfrac{1}{2}A{B^2} = 2{a^2} \hfill \\ \end{matrix}$
+) Mặt khác
$\begin{matrix} AC = a\sqrt 5 ;CH = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \hfill \\ SH = CH.\tan \widehat {SCH} = a\sqrt 6 \hfill \\ SB = \sqrt {S{H^2} + H{B^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 6 } ight)}^2} + {a^2}} = a\sqrt 7 \hfill \\ \end{matrix}$
=> $\cos \left( {SB,AC} ight) = \frac{{\left| {\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AC} } ight|}}{{SB.AC}} = \frac{{2{a^2}}}{{a\sqrt 7 .a\sqrt 5 }} = \frac{2}{{\sqrt {35} }}$
Câu 3: Thông hiểu
Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a và $I = AC \cap BD$ . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của C'D', AA'. Gọi $\varphi$ là góc tạo bởi đường thẳng IN và mặt phẳng (ACM). Tính $\sin \varphi$ .
- A. $\frac{{\sqrt 3 }}{9}$
- B. $\frac{{\sqrt 2 }}{2}$
- C. $\frac{{5\sqrt 3 }}{9}$
- D. $\frac{{\sqrt 3 }}{{24}}$
Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm N lên mặt phẳng (ACM).
Khi đó: $NH = h = d\left( {N,\left( {ACM} ight)} ight) = IN.\sin \varphi$
Ta có: $h = d\left( {N,\left( {ACM} ight)} ight) = \frac{1}{2}d\left( {A',\left( {ACM} ight)} ight) = \frac{{3{V_{A'ACM}}}}{{2{S_{ACM}}}}$
Xét tam giác ACM có: $CM = \frac{{\sqrt 5 }}{2}a$
$\begin{matrix} A{M^2} = \dfrac{{A{{D'}^2} + A{{C'}^2}}}{2} - \dfrac{{C'{{D'}^2}}}{4} \hfill \\ = \dfrac{{{{\left( {\sqrt 2 a} ight)}^2} + {{\left( {\sqrt 3 a} ight)}^2}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{4} = \dfrac{9}{4}{a^2} \Rightarrow AM = \dfrac{3}{2}a \hfill \\ \Rightarrow {S_{ACM}} = \sqrt {p\left( {p - AC} ight)\left( {p - CM} ight)\left( {p - AM} ight)} = \dfrac{3}{4}{a^2} \hfill \\ \left( {p = \dfrac{{AC + CM + AM}}{2}} ight) \hfill \\ {V_{A'ACM}} = {V_{M.A'AC}} = \dfrac{1}{2}{V_{D'.A'AC}} = \dfrac{1}{6}{V_{ACD.A'C'D'}} = \dfrac{1}{{12}}{V_{{\text{lp}}}} = \dfrac{{{a^2}}}{{12}} \hfill \\ \Rightarrow h = IN = \dfrac{a}{6} \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy $\sin \varphi = \frac{h}{{IN}} = \frac{{\sqrt 3 }}{9}$
Câu 4: Vận dụng
Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và AB’

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và AB’ bằng:
- A.
  $\frac{a\sqrt{21}}{7}$
- B.
  $\frac{a\sqrt{3}}{2}$
- C.
  $\frac{a\sqrt{7}}{4}$
- D.
  $\frac{a\sqrt{2}}{2}$
Hình vẽ minh họa:
Ta có BC // B’C’ => BC // (AB’C’)
=> d(BC, AB’) = d(BC, (AB’C’)) = d(B, (AB’C’)) = d(A’ ,(AB’C’))
Gọi I và H lần lượt là hình chiếu vuông góc của A’ trên B’C’ và AI
Ta có: B’C’⊥ A’I và B’C’⊥ A’A nên B’C’⊥ (A’AI) => B’C’⊥ A’H
Mà AI ⊥ A’H
=> (AB’C’) ⊥ A’H.
Khi đó:
$d\left( A';(AB'C') ight) =A'H = \frac{AA'.A'I}{\sqrt{AA'^{2} +A'I^{2}}}$
$=\dfrac{a.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{a^{2} + \left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2}ight)^{2}}} = \dfrac{a\sqrt{21}}{7}$
Vậy khoảng cách cần tìm là $\frac{a\sqrt{21}}{7}$
Câu 5: Thông hiểu
Hoàn thành mệnh đề

Các đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì:
- A.
  Thuộc một mặt phẳng
- B.
  Vuông góc với nhau
- C.
  Song song với một mặt phẳng
- D.
  Song song với nhau
Đáp án "Thuộc một mặt phẳng" sai vì có thể xảy ra trường hợp nằm trên nhiều mặt phẳng khác nhau.
Đáp án "Vuông góc với nhau" sai vì có thể xảy ra trường hợp chúng song song với nhau.
Đáp án "Song song với nhau" sai vì có thể xảy ra trường hợp chúng cắt nhau.
Đáp án "Song song với một mặt phẳng" đúng vì chúng đồng phẳng.
Câu 6: Thông hiểu
Tính sin góc tạo bởi AC' và (ABCD)

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ (như hình vẽ)

Tính sin của góc tạo bởi $AC'$ và mặt phẳng đáy $(ABCD)$ ?
- A.
  $\frac{\sqrt{3}}{3}$
- B.
  $\frac{\sqrt{6}}{3}$
- C.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$
- D.
  $\frac{\sqrt{2}}{2}$
Ta có: $\left( AC';(ABCD) ight) = (AC';AC) = \widehat{CAC'} = \alpha$

Giả sử hình lập phương có cạnh bằng $a$ .

Trong tam giác $A'AC$ ta có: $\sin\alpha = \frac{CC'}{AC'} = \frac{a}{\sqrt{2a^{2} + a^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
Câu 7: Vận dụng
Chọn khẳng định sai

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. H là hình chiếu vuông góc của O trên mặt phẳng (ABC). Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?
- A. OA ⊥ BC
- B. H là trực tâm tam giác ABC
- C. $\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}$
- D. $3O{H^2} = A{B^2} + A{C^2} + B{C^2}$
Hình vẽ minh họa:
Ta có: OA ⊥ OB, OA ⊥ OC => OA ⊥ (OBC) => OA ⊥ BC (*)
Gọi M là giao điểm của AH và BC
Theo giả thiết ta có: OH ⊥ (ABC) => OH ⊥ BC (**)
Từ (*) và (**) suy ra: BC ⊥ (AOM) => BC ⊥ OM
Xét tam giác BOC vuông ta có:
$\frac{1}{{O{I^2}}} = \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}$
Xét tam giác AOI vuông ta có:
$\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{M^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}$
Từ chứng minh trên ta có: BC ⊥ (AOM) => BC ⊥ AM (1)
Gọi N là giao điểm của BH và AC. Chứng minh tương tự ta có: AC ⊥ BN (2)
Từ (1) và (2) => H là trực tâm tam giác ABC
Vậy $3O{H^2} = A{B^2} + A{C^2} + B{C^2}$ là kết quả sai.
Câu 8: Nhận biết
Tìm khẳng định sai

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA ⊥ (ABCD). Gọi I là trung điểm của SC. Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABCD) bằng độ dài đoạn thẳng nào?
- A.
  IO
- B.
  IA
- C.
  IC
- D.
  IB
Hình vẽ minh họa:

Do I là trung điểm của SC và O là trung điểm AC nên IO ∥ SA. Do SA ⊥ (ABCD) nên IO ⊥ (ABCD), hay khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABCD) bằng độ dài đoạn thẳng IO
Câu 9: Nhận biết
Tổng số mệnh đề đúng

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến ∆. Gọi ϕ là góc giữa (P) và (Q). Có tất cả bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

(1) ϕ bằng góc giữa hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với ∆.

(2) ϕ bằng góc giữa hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với ∆, lần lượt nằm trên (P) và (Q).

(3) ϕ bằng góc giữa hai đường thẳng a và b đồng quy với ∆, cùng vuông góc với ∆, lần lượt nằm trên (P) và (Q).
- A.
  0
- B.
  1
- C.
  2
- D.
  3
Ta có: a và b chỉ cần lần lượt nằm trong (P), (Q) cùng vuông góc với ∆ là đủ, thêm đồng quy với ∆ càng tốt nên có tất cả 2 mệnh đề đúng.
Câu 10: Thông hiểu
Tính góc giữa hai đường thẳng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, $SA\bot(ABCD)$ , $SA = AB = a$ . Gọi $M$ là trung điểm cạnh $SB$ . Tính $(AM,BD)$ ?
- A.
  $45^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $90^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Hình vẽ minh họa

Xét tam giác SAB vuông tại A có: $SB = \sqrt{SA^{2} + AB^{2}} = a\sqrt{2}$

Gọi E là trung điểm cạnh MC, ta có:

$OE//AM \Rightarrow (AM;BD) = (OE,BD)$ và $OE = \frac{1}{2}AM = \frac{1}{4}SB = \frac{a\sqrt{2}}{4}$

Lại có: $CB\bot AB;SA\bot CB \Rightarrow CB\bot SB$

Suy ra tam giác SBC vuông tại B.

Xét tam giá MBC vuông tại B ta có:

$MC = \sqrt{MB^{2} + BC^{2}} = \sqrt{\frac{1}{4}.2a^{2} + a^{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$

$BE = \frac{1}{2}MC = \frac{a\sqrt{6}}{4}$

Xét tam giác $EBO$ có:

$\cos\widehat{EOB} = \frac{EO^{2} + OB^{2} - EB^{2}}{2.EO.OB} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow \widehat{EOB} = 60^{0} \Rightarrow OE//AM \Rightarrow (AM;BD) = 60^{0}$
Câu 11: Vận dụng
Tính độ dài cạnh SA

Cho hình vuông ABCD cạnh a và SA ⊥ (ABCD). Để góc giữa (SCB) và (SCD) bằng 60◦ thì độ dài cạnh SA là:
- A.
  $a\sqrt{3}$
- B.
  $a\sqrt{2}$
- C.
  $a$
- D.
  $2a$
Hình vẽ minh họa:

Đặt SA = a.

Kẻ AM ⊥ SD, m ∈ SD, AN ⊥ SB, N ∈ SB, ta có: $\left\{ \begin{matrix} AM\bot(SCD) \\ AN\bot(SBC) \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra: $\widehat{\left( (SCD);(SBC) ight)} = \widehat{(AM;AN)}$

Do ∆SAD = ∆SAB (c.g.c) => AM = AN

Do đó => ((SCD); (SBC)) = 60◦ => (AM; AN) = 60◦

Xét tam giác SAD, ta có:

$\frac{1}{AM^{2}} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{a^{2}} \Rightarrow AM = MN \Rightarrow x = a$

$\begin{matrix}\dfrac{MN}{BD} = \dfrac{SM}{SD} = \dfrac{SM.SD}{SD^{2}} =\dfrac{SA^{2}}{SD^{2}} = \dfrac{x^{2}}{a^{2} + x^{2}} \hfill\\\Rightarrow MN = \dfrac{ax^{2}\sqrt{2}}{a^{2} + x^{2}} \hfill\\\end{matrix}$

Nếu $\widehat{MAN} = 60^{0}$ thì ∆AMN đều => AM = MN => x = a

Nếu $\widehat{MAN} = 120^{0}$ thì $MN = \sqrt{3}AM \Rightarrow 2x^{2} = 3\left( x^{2} + a^{2} ight)$ (Vô lý)

Vậy SA = a
Câu 12: Thông hiểu
Tính giá trị cos α

Cho hai tam giác đều DAC và BAC lần lượt nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (DAB) và (DBC). Tính giá trị cos α.
- A. $\frac{3}{5}$
- B. $\frac{1}{5}$
- C. $- \frac{1}{5}$
- D. $- \frac{3}{5}$
Giả sử cạnh của tam giác đều bằng 2a. Khi đó AB = AD = CB = CD = 2a
Gọi H là trung điểm của AC. Tam giác DAC đều suy ra DH ⊥ AC.
Tương tự BH ⊥ AC.
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {DAC} ight) \bot \left( {ABC} ight)} \\ {\left( {DAC} ight) \cap \left( {ABC} ight)} \\ {DH \bot AC} \\ {DH \subset \left( {DAC} ight)} \end{array}} ight. \Rightarrow DH \bot \left( {ABC} ight)$
Gọi K là trung điểm của DB.
Ta có: ABD cân tại A nên $AK \bot BD$
Và CBD cân tại C nên $CK \bot DB$
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {DAB} ight) \cap \left( {DBC} ight) = BD} \\ {AK \bot BD;AK \subset \left( {DAB} ight)} \\ {CK \bot BD;CK \subset \left( {DAB} ight)} \end{array}} ight.$
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (DAB) và (DBC) là góc giữa hai đường thẳng AK và CK.
Ta có $DH = a\sqrt 3 ;BH = a\sqrt 3$ nên BDH vuông cân tại H.
Từ đó ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {DB = \sqrt {D{H^2} + H{B^2}} = a\sqrt 6 } \\ {HK = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}} \end{array}} ight.$
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {AC \bot DH} \\ {AC \bot BH} \\ {DH \cap BH = H} \\ {DH;BH \subset \left( {DBH} ight)} \end{array}} ight. \Rightarrow AC \bot \left( {DBH} ight)$ mà $HK \subset \left( {DBH} ight) \Rightarrow AC \bot HK$
Xét tam giác ACK có KH vừa là trung tuyến, vừa là đường cao nên tam giác ACK cân tại K.
Nên ta có: KH là phân giác của góc $\widehat {AKC}$ suy ra $\widehat {AKC} = 2\widehat {CKH}$
Ta có: $t = \tan \widehat {CKH} = \frac{{HC}}{{HK}} = \frac{a}{{a\sqrt 6 :3}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}$
Vậy $\cos \alpha = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} = \frac{{1 - \frac{6}{9}}}{{1 + \frac{6}{9}}} = \frac{1}{5}$
Câu 13: Thông hiểu
Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với mặt đáy và $SA = AB = \sqrt{3}$ . Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác SAB. Khoảng cách từ $G$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng:
- A.
  $\frac{\sqrt{6}}{3}$ .
- B.
  $\frac{\sqrt{6}}{6}$ .
- C.
  $\sqrt{3}$ .
- D.
  $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .
Hình vẽ minh họa

Gọi $M$ là trung điểm của $SB \Rightarrow AM\bot SB$ (vì $\Delta SAB$ cân)

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BC\bot AB \\ BC\bot SA \\ \end{matrix} \Rightarrow BC\bot(SAB) \Rightarrow BC\bot AM ight.$

Và $\left\{ \begin{matrix} AM\bot SB \\ AM\bot BC \\ \end{matrix} \Rightarrow AM\bot(SBC) \Rightarrow GM\bot(SBC) ight.$ tại $M$ .

Do đó $d(G;(SBC)) = GM$ .

Ta có: $SM = \sqrt{AB^{2} + SA^{2}} = \sqrt{6} \Rightarrow AM = \frac{SB}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

Vì $G$ là trọng tâm của $\Delta SAB$ nên $GM = \frac{1}{3}AM = \frac{\sqrt{6}}{6}$ .
Câu 14: Vận dụng
Tìm bước giải sai của bài toán

Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD, $\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = {60^0}$ . Hãy chứng mình $AB ⊥ CD$ .
Một bạn chứng mình qua các bước sau:
Bước 1. $\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD}$
Bước 2. $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} } ight)$
Bước 3. $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = |\overrightarrow {AB} |.|\overrightarrow {AD} |.\cos {60^0} - |\overrightarrow {AB} |.|\overrightarrow {AD} |.\cos {60^0} = 0$
Bước 4. Suy ra $AB ⊥ CD$
Theo em. Lời giải trên sai từ:
- A.
  Bước 1
- B.
  Bước 2
- C.
  Bước 3
- D.
  Bước 4
Bài toán sai từ bước 1 vì
Theo quy tắc trừ hai vectơ ta có:
$\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} {\text{ }}$
Câu 15: Nhận biết
Xác định đường vuông góc chung của AB và CD

Cho tứ diện ABCD có: $AB = AC = AD$ , $\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = {60^0}$ . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Đường vuông góc chung của AB và CD là:
- A.
  BN
- B.
  AN
- C.
  BC
- D.
  MN
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
$\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {AB \bot CM} \\ {AB \bot DM} \end{array}} ight. \Rightarrow AB \bot \left( {CDM} ight) \hfill \\ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {CD \bot MN} \\ {AB \bot \left( {CDM} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$
=> MN là đường vuông góc chung của AB và CD
Câu 16: Thông hiểu
Xác định thể tích khối lập phương

Cho hình lập phương như hình vẽ:

Biết $AC' = a\sqrt{3}$ . Xác định thể tích của khối lập phương đã cho.
- A.
  $V = 6\sqrt{3}a^{3}$
- B.
  $V = a^{3}$
- C.
  $V = 5\sqrt{3}a^{3}$
- D.
  $V = \frac{8\sqrt{3}}{3}a^{3}$
Gọi độ dài cạnh của khối lập phương là a; (x > 0)

Xét tam giác A’B’C’ vuông cân tại B’ ta có:

$A'C'^{2} = A'B'^{2} + B'C'^{2} = x^{2} + x^{2} = 2x^{2}$

$\Rightarrow A'C' = \sqrt{2}x$

Xét tam giác A’AC’ vuông tại A’ ta có:

$AC'^{2} = A'A^{2} + A'C'^{2}$

$\Leftrightarrow 3a^{2} = x^{2} + 2x^{2} \Leftrightarrow x = a$

Vậy thể tích khối lập phương là $V = a^{3}$
Câu 17: Thông hiểu
Tính góc giữa hai đường thẳng

Cho tứ diện ABCD có độ dài các cạnh $AB = AC = AD = BC = BD = a$ và $CD = a\sqrt{2}$ . Tính góc giữa hai đường thẳng AD và BC.
- A.
  $90^{0}$ .
- B.
  $45^{0}$ .
- C.
  $30^{0}$ .
- D.
  $60^{0}$ .
Hình vẽ minh họa

Gọi I, K, H lần lượt là trung điểm các cạnh DC, DB, AB.

Khi đó: $KH//AD,KI//BC \Rightarrow (AD;BC) = (KH;KI)$ .

Xét $\Delta BIC,BI = \sqrt{BC^{2} - AC^{2}} = \sqrt{a^{2} - \frac{a^{2}}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}$ .

Ta có $\left\{ \begin{matrix} AB\bot DH \\ AB\bot HC \\ \end{matrix} \Rightarrow AB\bot(DHC) \Rightarrow AB\bot HI ight.$ .

Xét $\Delta BIH,HI = \sqrt{IB^{2} - HB^{2}} = \sqrt{\frac{a^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{4}} = \frac{a}{2}$ . (1)

Xét $\Delta IHK$ , ta có: $\left\{ \begin{matrix} IK = \frac{BC}{2} = \frac{a}{2} \\ HK = \frac{AD}{2} = \frac{a}{2} \\ \end{matrix} \Rightarrow IK = HK = \frac{a}{2} ight.$ . (2)

Từ $(1),(2) \Rightarrow HI = IK = HK \Rightarrow \Delta IHK$ là tam giác đều

$\Rightarrow \widehat{IKH} = 60^{0} \Rightarrow (KH;KI) = 60^{0}$ .
Câu 18: Thông hiểu
Tính góc giữa hai đường thẳng

Cho hình lăng trụ đứng tam giác $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác cân, $AB = AC = a,\widehat{BAC} = 120^{0}$ và cạnh bên $AA' = a\sqrt{2}$ . Tính góc giữa hai đường thẳng $AB'$ và $BC$ ?
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $90^{0}$
- C.
  $100^{0}$
- D.
  $120^{0}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $BC//B'C' \Rightarrow (AB',BC) = (AB',B'C')$

Xét tam giác $AB'C'$ ta có: $AB' = AC' = \sqrt{AB^{2} + BB'^{2}} = a\sqrt{3}$

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC ta có:

$BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} - 2AB.AC.cos\widehat{BAC}$

$= a^{2} + a^{2} - 2a.a.cos120^{0} = 3a^{2}$

$\Rightarrow BC = B'C' = a\sqrt{3}$

Vậy tam giác $AB'C'$ đều

$\Rightarrow (AB',BC) = (AB',B'C') = \widehat{AB'C'} = 60^{0}$
Câu 19: Thông hiểu
Xác định góc giữa hai mặt phẳng

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\bot(ABC)$ , đáy $ABC$ là tam giác cân tại $A$ . Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ , $J$ là trung điểm của $BM$ . Xác định góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ ?
- A.
  $\widehat{SMA}$
- B.
  $\widehat{SJA}$
- C.
  $\widehat{SBA}$
- D.
  $\widehat{SCA}$
Hình vẽ minh họa

Dễ thấy $(SBC) \cap (ABC) = BC$

Ta có tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC suy ra $AM\bot BC$

Theo giả thiết $SA\bot(ABC)$ . Khi đó $\left\{ \begin{matrix} BC\bot AM \\ BC\bot SA \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAM) \Rightarrow BC\bot SM$

Ta được $\left\{ \begin{matrix} (SBC) \cap (ABC) = BC \\ AM\bot BC \\ SM\bot BC \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left( \widehat{(SBC);(ABC)} ight) = \widehat{SMA}$
Câu 20: Vận dụng cao
Tính giá trị của cosin góc giữa hai đường thẳng AB và CD

Cho tứ diện ABCD có BD vuông góc với AB và CD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các cạnh CD và AB thỏa mãn BD : CD : PQ : AB = 3 : 4 : 5 : 6. Gọi ψ là góc giữa hai đường thẳng AB và CD. Tính giá trị của cosψ
- A.
  $\frac{7}{8}$
- B.
  $\frac{1}{2}$
- C.
  $\frac{11}{16}$
- D.
  $\frac{1}{4}$
Hình vẽ minh họa:
Do AB vuông góc với BD nên AB nằm trong mặt phẳng (α) chứa AB và vuông góc với BD. Dựng hình chữ nhật BDPR thì góc giữa hai đường thẳng AB và CD cũng là góc giữa hai đường thẳng AB và BR. Ta có:
$\cos\psi = \frac{\left| BQ^{2} + BR^{2}- QR^{2} ight|}{2BQ.BR} = \frac{|9 + 4 - 16|}{2.3.2} =\frac{1}{4}$
Câu 21: Thông hiểu
Tính khoảng cách d từ điểm D đến mặt phẳng (SBC)

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SB hợp với mặt đáy một góc 60⁰. Tính khoảng cách d từ điểm D đến mặt phẳng (SBC)
- A.
  $d=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
- B.
  $d=\frac{\sqrt{3}}{2}$
- C.
  $d=a$
- D.
  $d=a\sqrt{3}$
Hình vẽ minh họa
Ta có:
$\begin{matrix} {60^0} = \left( {SB;\left( {ABCD} ight)} ight) = \left( {SB;AB} ight) = \widehat {SBA} \hfill \\ \Rightarrow SA = AB.\tan \widehat {SBA} = a\sqrt 3 \hfill \\ \end{matrix}$
Ta có: $AD // BC => AD // (SBC)$
=> $d(D,(SBC)) = d(A; (SBC))$
Kẻ $AK \bot SB$ (1)
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {BC \bot SA} \\ {BC \bot AB} \end{array}} ight. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} ight) \Rightarrow BC \bot AK\left( 2 ight)$
Từ (1) và (2) => $AK \bot \left( {SBC} ight)$
$\begin{matrix} \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} ight)} ight) = AK \hfill \\ AK = \dfrac{{SA.AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
$d\left( {D;\left( {SBC} ight)} ight) = AK = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$
Câu 22: Vận dụng cao

Ghi lời giải vào ô trống

Cho hình chóp $S.ABC$ có tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ và $SA = SB = SC = a\sqrt{3}$ . Lấy điểm $M$ bất kì trong không gian. Gọi $d$ là tổng khoảng cách từ điểm $M$ đến tất cả các đường thẳng $AB,BC,CA,SA,SB,SC$ . Tính giá trị nhỏ nhất của $d$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABC$ có tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ và $SA = SB = SC = a\sqrt{3}$ . Lấy điểm $M$ bất kì trong không gian. Gọi $d$ là tổng khoảng cách từ điểm $M$ đến tất cả các đường thẳng $AB,BC,CA,SA,SB,SC$ . Tính giá trị nhỏ nhất của $d$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 23: Vận dụng
Tính thể tích tứ diện

Cho tứ diện $ABCD$ có các cạnh $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc với nhau. Gọi trung điểm của các cạnh $BC,CD,DB$ lần lượt là $J;Q;K$ . Tính thể tích tứ diện $AJQK$ , biết $AB = 6cm;AC = 7cm;AD = 4cm$ .
- A.
  $V = 7cm^{3}$
- B.
  $V = 14cm^{3}$
- C.
  $V =\frac{28}{3}cm^{3}$
- D.
  $V =\frac{7}{2}cm^{3}$
Hình vẽ minh họa
Ta có: $V_{ABCD} =\frac{1}{2}AB.\frac{1}{2}AD.AC = \frac{1}{2}.6.7.4 = 28\left( cm^{3}ight)$
Nhận thấy $S_{JQK} = \frac{1}{2}S_{JQKD} =\frac{1}{4}S_{BCD}$
$V_{JQK} = \frac{1}{4}V_{ABCD} = 7\left(cm^{3} ight)$
Câu 24: Nhận biết
Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c. Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A. Nếu a song song với b và c vuông góc với a thì c vuông góc với b
- B. Nếu c vuông góc với a và c vuông góc với b thì a song song với b
- C. Nếu a và b vuông góc với c thì a và b không thể chéo nhau
- D. Cả ba mệnh đề đều sai
Khi cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c thì mệnh đề : “Nếu a song song với b và c vuông góc với a thì c vuông góc với b” là mệnh đề đúng.
Câu 25: Thông hiểu
Xác định đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Cho hình tứ diện ABCD có AB, CD, BC đôi một vuông góc. Khi đó ta có:
- A.
  AB ⊥ (ACD)
- B.
  BC ⊥ (ACD)
- C.
  CD⊥ (ABC)
- D.
  AD ⊥ (BCD)
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
$\begin{matrix}\left\{ \begin{matrix}CD\bot AB \subset (ABC) \hfill \\CD\bot CB \subset (ABC) \\AB \cap CB = B \hfill \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow CD\bot(ABC) \hfill \\\Rightarrow CD\bot(ABC) \hfill \\\end{matrix}$
Ta có:
Nếu $AB\bot(ACD) \Rightarrow AB\botAC$ (Vô lí)
Nếu $BC\bot(ACD) \Rightarrow BC\botAC$ (Vô lí)
Nếu $AD\bot(BCD) \Rightarrow B \equivD$ (Vô lí)
Câu 26: Thông hiểu
Tính thể tích hình chóp

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ cạnh bằng $2a$ , cạnh bên $SB = a\sqrt{5}$ . Tính thể tích hình chóp $S.ABCD$ ?
- A.
  $V = 4\sqrt{5}a^{3}$
- B.
  $V = 4\sqrt{3}a^{3}$
- C.
  $V = \frac{4\sqrt{5}a^{3}}{3}$
- D.
  $V = \frac{4\sqrt{3}a^{3}}{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi O là tâm hai đường chéo AC và BD

Ta có: tam giác SAC cân, O là trung điểm của AC nên $SO\bot CA$

Tương tự tam giác SBD cân, O là trung điểm của BD nên $SO\bot BD$

$\Rightarrow SO\bot(ABCD)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} S_{ABCD} = 4a^{2} \\ SO = \sqrt{SB^{2} - OB^{2}} = \sqrt{5a^{2} - 2a^{2}} = a\sqrt{3} \\ \end{matrix} ight.$

Vậy thể tích hình chóp là: $V = \frac{1}{3}SO.S_{ABCD} = \frac{a\sqrt{3}.4a^{2}}{3} = \frac{4\sqrt{3}a^{3}}{3}$
Câu 27: Nhận biết
Xác định góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa cặp đường thẳng nào sau đây?
- A.
  (SB, SO)
- B.
  (SB, BD)
- C.
  (SB, SA)
- D.
  (SO, BD)
Hình vẽ minh họa:
Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cắt nhau theo giao tuyến SO và cùng vuông góc với đáy nên SO ⊥ (ABCD).
Vậy góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SB và BD.
Câu 28: Thông hiểu
Chọn khẳng định sai

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. cạn bên SA vuông góc với đáy. Gọi H là chân đường cao kẻ từ A của tam giác SAB. Khẳng định nào dưới đây là sai?
- A.
  $SA \perp BC$
- B.
  $AH \perp BC$
- C.
  $AH \perp AC$
- D.
  $AH \perp SC$
Hình vẽ minh họa
Theo bài ra, ta có $SA⊥(ABC)$ mà $BC⊂(ABC)⇒SA⊥BC$
Tam giác ABC vuông tại B, có $AB⊥BC$ => $BC⊥(SAB)⇒BC⊥AH$
Khi đó $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {AH \bot SB} \\ {AH \bot BC} \end{array}} ight.$
$⇒AH⊥(SBC)⇒AH⊥SC$
Nếu $AH⊥AC$ mà $SA⊥AC$ suy ra $AC⊥(SAH)⇒AC⊥AB$ (vô lý).
Câu 29: Thông hiểu
Xác định thể tích V của khối chóp

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ . Biết $\left( (SAB);(ABCD) ight) = 90^{0}$ và tam giác $SAB$ đều. Xác định thể tích hình chóp $S.ABCD$ ?
- A.
  $V = \frac{1}{6}a^{3}$
- B.
  $V = \frac{\sqrt{3}}{6}a^{3}$
- C.
  $V = \frac{\sqrt{3}}{2}a^{3}$
- D.
  $V = \frac{1}{2}a^{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của AB

Tam giác SAB đều nên $SH\bot AB$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} SH\bot AB \\ (SAB)\bot(ABCD) \\ SH \subset (SAB) \\ AB = (SAB) \cap (ABCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow SH\bot(ABCD)$

Vậy SH là đường cao của hình chóp

Xét tam giác AHS vuông tại H ta có:

$SH = \sqrt{SA^{2} - AH^{2}} = \sqrt{a^{2} - \left( \frac{a}{2} ight)^{2}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Thể tích khối chóp là: $V = \frac{1}{3}B.h = \frac{1}{3}.a^{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{6}$
Câu 30: Vận dụng cao

Ghi lời giải bài toán vào ô trống

Cho hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng $2$ . Gọi điểm M là điểm nằm trên cạnh $AA'$ sao cho mặt phẳng $(C'MB)$ tạo với mặt phẳng $(ABC)$ một góc nhỏ nhất. Khi đó diện tích tam giác $C'MB$ có dạng $\frac{a\sqrt{b}}{c};\left( a,b,c\mathbb{\in N}ight)$ . Tính giá trị của biểu thức $T = a + b - c$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng $2$ . Gọi điểm M là điểm nằm trên cạnh $AA'$ sao cho mặt phẳng $(C'MB)$ tạo với mặt phẳng $(ABC)$ một góc nhỏ nhất. Khi đó diện tích tam giác $C'MB$ có dạng $\frac{a\sqrt{b}}{c};\left( a,b,c\mathbb{\in N}ight)$ . Tính giá trị của biểu thức $T = a + b - c$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 31: Thông hiểu
Góc giữa mặt phẳng (BCD) và mặt phẳng (ACD)

Cho tứ diện ABCD với các đường thẳng AB, BC, CD đôi một vuông góc. Góc giữa mặt phẳng (BCD) và mặt phẳng (ACD) bằng góc nào trong các góc sau đây?
- A.
  $\widehat{ACB}$
- B.
  $\widehat{ADB}$
- C.
  $\widehat{BIA}$ (I là trung điểm của CD)
- D.
  $\widehat{GBA}$ , (G là trọng tâm tam giác BCD)
Dễ thấy rằng: $\left\{ \begin{matrix} \begin{matrix} (ACD) \cap (BCD) = CD \\ (ABC)\bot CD \\ (ABC) \cap (ACD) = AC \\ \end{matrix} \\ (ABC) \cap (BCD) = BC \\ \end{matrix} ight.$

Như vậy góc giữa mặt phẳng (BCD) và mặt phẳng (ACD) bằng góc giữa hai đường thẳng AC và BC, tức là bằng góc $\widehat{ACB}$
Câu 32: Nhận biết
Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho hai đường thẳng a, b và mặt phẳng (P). Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  Nếu a ⊥ (P) và a ⊥ b thì b // (P).
- B.
  Nếu a // (P) và b ⊥ (P) thì a ⊥ b.
- C.
  Nếu a // (P) và a ⊥ b thì b // (P).
- D.
  Nếu a // (P) và a ⊥ b thì b ⊥ (P).
Mệnh đề: “Nếu a ⊥ (P) và a ⊥ b thì b // (P).” sai vì b có thể nằm trong (P).

Mệnh đề: “Nếu a // (P) và a ⊥ b thì b // (P).” sai vì b có thể cắt P hoặc b nằm trong P.

Mệnh đề: “Nếu a // (P) và a ⊥ b thì b ⊥ (P).” sai vì b có thể nằm trong (P).
Câu 33: Nhận biết
Xác định góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD)

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, SA ⊥ (ABCD). Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa
- A.
  SC và BC
- B.
  SC và DC
- C.
  SC và SA
- D.
  SC và AC
Hình vẽ minh họa:
Vì SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD).
Do đó góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SC và AC.
Câu 34: Nhận biết
Tính thể tích khối hộp chữ nhật

Thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước là $2;3;5$ bằng:
- A.
  $42$
- B.
  $30$
- C.
  $60$
- D.
  $15$
Thể tích cần tìm là: $V = 2.3.5 = 30$
Câu 35: Thông hiểu
Chọn khẳng định sai

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi tâm O, SA = SC; SB = SD. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?
- A.
  SO ⊥ (ABCD)
- B.
  AC ⊥ BD
- C.
  BD ⊥ (SAC)
- D.
  SC ⊥ AC
Hình vẽ minh họa:

Ta có: Tam giác SAC và tam giác SBD lần lượt là tam giác cân tại S

=> SO ⊥ AC, SO ⊥ BD

=> SO ⊥ (ABCD)

Dễ thấy:

SO ⊥ (ABCD)

AC ⊥ BD

BD ⊥ (SAC)

Là những khẳng định đúng.
Câu 36: Nhận biết
Xác định thể tích khối chóp

Cho một khối chóp có diện tích đáy bằng $5a^{2}$ , chiều cao bằng $a$ . Thể tích khối chóp đã cho là:
- A.
  $V = \frac{5}{6}a^{3}$
- B.
  $V = \frac{5}{2}a^{3}$
- C.
  $V = 5a^{3}$
- D.
  $V = \frac{5}{3}a^{3}$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} B = 5a^{2} \\ h = a \\ \end{matrix} ight.$

Thể tích khối chóp là: $V = \frac{1}{3}B.h = \frac{5}{3}a^{3}$
Câu 37: Nhận biết
Tính diện tích tam giác BCD

Hình tứ diện ABCD có AB = AC = AD = 3 và AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Diện tích của tam giác BCD bằng:
- A.
  $\frac{9\sqrt{3}}{2}$
- B.
  $\frac{9\sqrt{2}}{3}$
- C.
  $27$
- D.
  $\frac{27}{2}$
Do ∆BCD là tam giác đều cạnh $\sqrt{18}$ nên có diện tích là $S_{BCD} = \frac{18\sqrt{3}}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{2}$
Câu 38: Nhận biết
Tìm đáp án sai

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật và $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Tìm mệnh đề sai dưới đây?
- A.
  $BC\bot(SAB)$
- B.
  $CD\bot(SAD)$
- C.
  $BD\bot(SAC)$
- D.
  $SA\bot BD$
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$ABCD$ là hình chữ nhật nên $BD$ không vuông góc với $AC$

Vậy $BD$ không vuông góc với mặt phẳng $(SAC)$
Câu 39: Nhận biết
Xác định tính đúng sai của lời giải bài toán

Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB}$ thì $AB \bot CD;AC \bot BD;AD \bot BC$ . Điều ngược lại đúng không? Sau đây là lời giải
Bước 1: Ta có sự tương đương
Bước 2: Chứng minh tương tự ta có: $AB \bot CD;AD \bot BC$
Bước 3: Ngược lại đúng, vì quá trình chứng minh ở bước 1 và bước 2 là quá trình biến đổi tương đương.
Bước giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở đâu?
- A. Sai ở bước 3
- B. Đúng
- C. Sai ở bước 2
- D. Sai ở bước 1
Lời giải đã cho là lời giải đúng
Câu 40: Vận dụng cao
Giá trị lớn nhất của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ nội tiếp mặt cầu (S) có bán kính $R = \frac{{\sqrt {17} }}{2}$ . Gọi I; J là trung điểm BC, CD và $\alpha$ là góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng (C’IJ). Giá trị lớn nhất của $\sin \alpha$ là
- A. $\frac{3}{5}$
- B. $\frac{{ - 3}}{5}$
- C. $\frac{4}{5}$
- D. $\frac{{ - 4}}{5}$
Đặt $CD = a\,,\,CB = b\,,CC' = c\,\,\,\left( {a,b,c > 0} ight).$
$AC{'^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} = 17.$
Gọi K là hình chiếu của A lên (C’IJ)
$\left( {\widehat {AC',\left( {C;{\text{IJ}}} ight)}} ight) = \left( {\widehat {AC',AK}} ight) = \alpha$
Ta có $\sin \alpha = \frac{{d\left( {A,\left( {C'{\text{IJ}}} ight)} ight)}}{{AC'}} = \frac{{3d\left( {C,\left( {C'{\text{IJ}}} ight)} ight)}}{{\sqrt {17} }}$
Trong (ABCD) kẻ tại E
$\left\{ \begin{gathered} IJ \bot CE \hfill \\ IJ \bot CC\prime \hfill \\ CE \subset \left( {CEC'} ight) \hfill \\ \,CC' \subset \left( {CEC'} ight) \hfill \\ CE \cap CC' = C \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow IJ \bot \left( {CEC'} ight) \Rightarrow \left( {C'IJ} ight) \bot \left( {CEC'} ight)$
Trong (CEC’) kẻ $CH \bot C'E$ tại H
Suy ra $d\left( {C,\left( {C'{\text{IJ}}} ight)} ight) = CH = h$
Do đó $\sin \alpha = \frac{{3h}}{{\sqrt {17} }}$
Ta có:
$\begin{matrix} \dfrac{1}{{{h^2}}} = \dfrac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{4}{{{a^2}}} + \dfrac{4}{{{b^2}}} = \dfrac{1}{{{c^2}}} + 4\left( {\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}}} ight) \geqslant \dfrac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{{16}}{{{a^2} + {b^2}}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{h^2}}} \geqslant \frac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{{16}}{{17 - {c^2}}} = \dfrac{{17 - {c^2} + {c^2}}}{{17{c^2}}} + \dfrac{{16\left( {17 - {c^2} + {c^2}} ight)}}{{17\left( {17 - {c^2}} ight)}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{h^2}}} \geqslant \dfrac{{17 - {c^2}}}{{17{c^2}}} + \dfrac{{16{c^2}}}{{17\left( {17 - {c^2}} ight)}} + 1 \geqslant 2.\dfrac{4}{{17}} + 1 = \dfrac{{25}}{{17}} \Leftrightarrow h \leqslant \dfrac{{\sqrt {17} }}{5}. \hfill \\ \Rightarrow \sin \alpha \leqslant \dfrac{3}{5}. \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy đạt giá trị lớn nhất là $\frac{3}{5}$
Dấu xảy ra khi: $\left\{ \begin{gathered} {a^2} = {b^2} = \frac{{34}}{5} \hfill \\ {c^2} = \frac{{17}}{5} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = b = \sqrt {\frac{{34}}{5}} \hfill \\ c = \sqrt {\frac{{17}}{5}} \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

20 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 Chân trời sáng tạo
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân
Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số ghép số liệu nhóm
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Đạo hàm
Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 9: Xác suất

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 11 Chân trời sáng tạo

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân

Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian

Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số ghép số liệu nhóm

Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 7: Đạo hàm

Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian

Chương 9: Xác suất