VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 CTST Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay

Câu 1: Thông hiểu
Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$ , $SA = 2a;SA\bot(ABCD)$ . Xác định độ lớn khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBD)$ ?
- A.
  $\frac{3a}{2}$
- B.
  $\frac{2a}{3}$
- C.
  $\frac{a}{\sqrt{2}}$
- D.
  $\frac{a\sqrt{10}}{2}$
Hình vẽ minh họa

Gọi $O = AC \cap BD$

Kẻ $AK\bot SO;(K \in SO)(1)$

Ta có:

$SA\bot(ABCD) \Rightarrow SA\bot BD(*)$

Mà $AC\bot DB(**)$

Từ (*) và (**) suy ra $DB\bot(SAC) \Rightarrow BC\bot AK(2)$

Từ (1) và (2) suy ra $AK\bot(SBD) \Rightarrow d\left( A;(SBD) ight) = AK$

Xét tam giác $SAO$ vuông tại $A$ ta có: $\frac{1}{AK^{2}} = \frac{1}{AO^{2}} + \frac{1}{SA^{2}} = \frac{9}{4a^{2}} \Rightarrow AK = \frac{2a}{3}$

$\Rightarrow d\left( A;(SBD) ight) = \frac{2a}{3}$
Câu 2: Thông hiểu
Tính giá trị cos α

Cho hai tam giác đều DAC và BAC lần lượt nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (DAB) và (DBC). Tính giá trị cos α.
- A. $\frac{3}{5}$
- B. $\frac{1}{5}$
- C. $- \frac{1}{5}$
- D. $- \frac{3}{5}$
Giả sử cạnh của tam giác đều bằng 2a. Khi đó AB = AD = CB = CD = 2a
Gọi H là trung điểm của AC. Tam giác DAC đều suy ra DH ⊥ AC.
Tương tự BH ⊥ AC.
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {DAC} ight) \bot \left( {ABC} ight)} \\ {\left( {DAC} ight) \cap \left( {ABC} ight)} \\ {DH \bot AC} \\ {DH \subset \left( {DAC} ight)} \end{array}} ight. \Rightarrow DH \bot \left( {ABC} ight)$
Gọi K là trung điểm của DB.
Ta có: ABD cân tại A nên $AK \bot BD$
Và CBD cân tại C nên $CK \bot DB$
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {DAB} ight) \cap \left( {DBC} ight) = BD} \\ {AK \bot BD;AK \subset \left( {DAB} ight)} \\ {CK \bot BD;CK \subset \left( {DAB} ight)} \end{array}} ight.$
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (DAB) và (DBC) là góc giữa hai đường thẳng AK và CK.
Ta có $DH = a\sqrt 3 ;BH = a\sqrt 3$ nên BDH vuông cân tại H.
Từ đó ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {DB = \sqrt {D{H^2} + H{B^2}} = a\sqrt 6 } \\ {HK = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}} \end{array}} ight.$
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {AC \bot DH} \\ {AC \bot BH} \\ {DH \cap BH = H} \\ {DH;BH \subset \left( {DBH} ight)} \end{array}} ight. \Rightarrow AC \bot \left( {DBH} ight)$ mà $HK \subset \left( {DBH} ight) \Rightarrow AC \bot HK$
Xét tam giác ACK có KH vừa là trung tuyến, vừa là đường cao nên tam giác ACK cân tại K.
Nên ta có: KH là phân giác của góc $\widehat {AKC}$ suy ra $\widehat {AKC} = 2\widehat {CKH}$
Ta có: $t = \tan \widehat {CKH} = \frac{{HC}}{{HK}} = \frac{a}{{a\sqrt 6 :3}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}$
Vậy $\cos \alpha = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} = \frac{{1 - \frac{6}{9}}}{{1 + \frac{6}{9}}} = \frac{1}{5}$
Câu 3: Thông hiểu
Tính cosin góc giữa hai đường thẳng

Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ có $SA = SB = SC = AB = a$ và $BC = a\sqrt{2}$ . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$ .
- A.
  $\frac{\sqrt{2}}{2}$
- B.
  $\frac{1}{2}$
- C.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$
- D.
  $1$
Hình vẽ minh họa

Giả sử M, N, Q lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB, AC

Mặt khác ta có: $\left\{ \begin{matrix} MN//AB \\ MQ//SC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (AB;SC) = (MN;MQ)$

Ta có: $AN = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

$NC = \sqrt{\frac{SC^{2} + BC^{2}}{2} -\frac{SB^{2}}{4}}$ $= \sqrt{\dfrac{a^{2} + 2a^{2}}{2} - \dfrac{a^{2}}{4}} =\dfrac{a\sqrt{5}}{2}$

Xét tam giác NAC có:

$NQ = \sqrt{\frac{NA^{2} + CN^{2}}{2} -\frac{AC^{2}}{4}}$ $= \sqrt{\dfrac{\dfrac{3a^{2}}{4} + \dfrac{5a^{2}}{4}}{2}- \dfrac{a^{2}}{4}} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

Xét tam giác MNQ ta có:

$\cos\widehat{NMQ} = \frac{MN^{2} +MQ^{2} - NQ^{2}}{2MN.MQ}$ $= \dfrac{\dfrac{a^{2}}{4} + \dfrac{a^{2}}{4} -\dfrac{3a^{2}}{4}}{2.\dfrac{a}{2}.\dfrac{a}{2}} = -\dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow \widehat{NMQ} = 120^{0} \Rightarrow (MN,MQ) = 180^{0} - 120^{0} = 60^{0}$

$\Rightarrow \cos(AB,SC) = \frac{1}{2}$
Câu 4: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng?

Cho tứ diện ABCD có $AC = \frac{3}{2}AD;\widehat {CAB} = \widehat {DAB} = {60^0};CD = AD$ . Gọi α là góc giữa AB và CD. Chọn khẳng định đúng?
- A. $\cos \alpha = \frac{3}{4}$
- B. $\alpha = {60^0}$
- C. $\alpha = {30^0}$
- D. $\cos \alpha = \frac{1}{4}$
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
$\cos (AB,CD) = \frac{{|\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} |}}{{|\overrightarrow {AB} |.|\overrightarrow {CD} |}} = \frac{{|\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} |}}{{AB.CD}}$
Mặt khác:
$\begin{matrix} \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} .(\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} ) \hfill \\ = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \hfill \\ = |\overrightarrow {AB} |.|\overrightarrow {AD} |.\cos (\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} ) - |\overrightarrow {AB} |.|\overrightarrow {AC} |.\cos (\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} ) \hfill \\ = AB.AD.\cos {60^0} - AB.AC.\cos {60^0} \hfill \\ = AB.AD.\dfrac{1}{2} - AB.\dfrac{3}{2}AD.\dfrac{1}{2} \hfill \\ = - \dfrac{1}{4}AB.AD = - \dfrac{1}{4}AB.CD \hfill \\ \Rightarrow \cos (AB,CD) = \dfrac{{\left| { - \dfrac{1}{4}AB.CD} ight|}}{{AB.CD}} = \dfrac{1}{4} \hfill \\ \Rightarrow \cos \varphi = \dfrac{1}{4} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 5: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Mệnh đề nào sau đây là đúng?
- A.
  Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.
- B.
  Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
- C.
  Một đường thẳng và một mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
- D.
  Các đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì cùng thuộc một mặt phẳng.
Mệnh đề đúng: "Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau."
Câu 6: Vận dụng
Tính tan của góc giữa SA và mặt phẳng (SBM)

Cho hình chóp S.ABCD có $SA \bot \left( {ABCD} ight)$ và $SA = a\sqrt 3$ . Đáy ABCD là hình chữ nhật có $AB = a,\,AD = a\sqrt 3$ . Gọi M là trung điểm của CD, góc giữa SA và mặt phẳng (SBM) bằng \alpha . Giá trị $\tan \alpha$ bằng:
- A. $\frac{2}{{\sqrt {15} }}$
- B. $\frac{4}{{\sqrt {15} }}$
- C. $\frac{2}{{\sqrt {13} }}$
- D. $\frac{4}{{\sqrt {13} }}$
Gọi K, I lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên BM và SK.
Ta có $\left\{ \begin{gathered} BM \bot AK \hfill \\ BM \bot SA\left( {V\`i \,SA \bot \left( {ABCD} ight)} ight) \hfill \\ AK,SA \subset \left( {SAK} ight) \hfill \\ AK \cap SA = \left\{ A ight\} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow BM \bot \left( {SAK} ight)$
Mà $AI \subset \left( {SAK} ight) \Rightarrow BM \bot AI$
Ta có $\left\{ \begin{gathered} AI \bot BM \hfill \\ AI \bot SK \hfill \\ BM,SK \subset \left( {SBM} ight) \hfill \\ BM \cap SK = \left\{ K ight\} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow AI \bot \left( {SBM} ight)$
Suy ra hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (SBM) là điểm I. Do đó bằng góc giữa hai đường thẳng SA và SI và bằng góc $\widehat {ASK}$ .
Ta có $\left\{ \begin{gathered} SA \bot \left( {ABCD} ight) \hfill \\ AK \subset \left( {ABCD} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow SA \bot AK$
Có
$\begin{matrix} {S_{\Delta ABM}} = {S_{ABCD}} - {S_{\Delta AMD}} - {S_{\Delta BMC}} \hfill \\ = {a^2}\sqrt 3 - {a^2}\dfrac{{\sqrt 3 }}{4} - {a^2}\dfrac{{\sqrt 3 }}{4} = {a^2}\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \hfill \\ BM = \sqrt {B{C^2} + M{C^2}} = \sqrt {3{a^2} + \frac{{{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt {13} }}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
Ta có
$\begin{matrix} {S_{\Delta ABM}} = \dfrac{1}{2}AK.BM \hfill \\ \Rightarrow AK = \dfrac{{2{S_{\Delta ABM}}}}{{BM}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{a\dfrac{{\sqrt {13} }}{2}}} = a\dfrac{{2\sqrt 3 }}{{\sqrt {13} }} \hfill \\ \end{matrix}$
Xét tam giác vuông SAK có $\tan \widehat {ASK} = \frac{{AK}}{{SA}} = \frac{{a\frac{{2\sqrt 3 }}{{\sqrt {13} }}}}{{a\sqrt 3 }} = \frac{2}{{\sqrt {13} }}$
Câu 7: Thông hiểu
Tính khoảng cách giữa SB và DC

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, $AB = a\sqrt{3};BC = a\sqrt{2}$ . Cạnh bên SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách giữa SB và DC bằng:
- A.
  $a\sqrt{2}$
- B.
  $\frac{2a}{3}$
- C.
  $a\sqrt{3}$
- D.
  $\frac{a\sqrt{3}}{2}$
Hình vẽ minh họa:

Vì DC // AB nên khoảng cách giữa SB và DC bằng khoảng cách giữa mặt phẳng (SAB) và DC.

Do đó: d(DC, SB) = d(DC, (SAB)) = d(D, (SAB)) = AD = $a\sqrt{2}$
Câu 8: Vận dụng cao
Tính giá trị cos α

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; SAB là tam giác cân tại S; AD = 3BC = 3AB = 3a. Gọi M là điểm thuộc đoạn AD sao cho AD = 3MD. Biết rằng SCM là tam giác đều. Gọi α là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD). Khi đó cos α nhận giá trị là
- A. $\frac{{2\sqrt 7 }}{7}$
- B. $\frac{{\sqrt {21} }}{7}$
- C. $\frac{{\sqrt {42} }}{{14}}$
- D. $\frac{{\sqrt {154} }}{{14}}$
Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.
Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a
=> MD = a; AM = 2a
Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.
Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và $HK = \frac{{3a}}{2}$
Ta có: $\left\{ \begin{gathered} AB \bot SK \hfill \\ AB \bot HK \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow AB \bot SH$ (1)
Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)
Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)
Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.
Suy ra $HM = HN = \frac{1}{2}CM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$ và $HM \bot HN$
Tam giác SCM đều cạnh bằng $a\sqrt 2$ nên $SH = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$
Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).
Ta có: $\frac{1}{{{d^2}}} = \frac{1}{{H{M^2}}} + \frac{1}{{H{N^2}}} + \frac{1}{{H{S^2}}}$
$= \frac{4}{{2{a^2}}} + \frac{4}{{2{a^2}}} + \frac{4}{{6{a^2}}} = \frac{{14}}{{3{a^2}}} \Rightarrow d = \frac{{a\sqrt {42} }}{{14}}$
Ta lại có:
$SB = \sqrt {S{H^2} + B{H^2}} = \sqrt {S{H^2} + B{K^2} + K{H^2}}$
$= \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{2} + \frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{9{a^2}}}{4}} = 2a$
Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)
Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc $\widehat {BSI} = \alpha$
Do BC // AD => BC //(SAD)
=> $BI = d\left( {B;\left( {SAD} ight)} ight) = d\left( {C;\left( {SAD} ight)} ight) = 2d\left( {H,\left( {SAD} ight)} ight) = \frac{{a\sqrt {42} }}{7}$
Trong tam giác vuông BIS ta có:
$\sin \alpha = \frac{{BI}}{{SB}} = \frac{{\sqrt {42} }}{{14}} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\sqrt {154} }}{{14}}$
Câu 9: Thông hiểu
Tính độ dài đoạn thẳng AD

Cho hình tứ diện ABCD, có AB, BC, CD đôi một vuông góc với nhau và AB = a, BC = b, CD = c.
Độ dài AD bằng:
- A.
  $\sqrt{a^{2}+b^{2}-c^{2}}$
- B.
  $\sqrt{a^{2}+c^{2}-b^{2}}$
- C.
  $\sqrt{b^{2}+c^{2}-a^{2}}$
- D.
  $\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
Hình vẽ minh họa
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {AB \bot BC} \\ {AB \bot CD} \end{array}} ight.$ $⇒AB⊥(BCD)$
=> Tam giác ABD vuông tại B.
Lại có $BC⊥CD$ nên tam giác BCD vuông tại C.
Khi đó:
$\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {A{D^2} = A{B^2} + B{D^2}} \\ {B{D^2} = B{C^2} + C{D^2}} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow A{D^2} = A{B^2} + B{C^2} + C{D^2} \hfill \\ \Rightarrow AD = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 10: Vận dụng
Tính thể tích tứ diện AJQK

Cho tứ diện $ABCD$ có các cạnh $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc với nhau; $AB = 8a;AC = 5a;AD = 6a$ . Gọi trung điểm của các cạnh $BC,CD,DB$ lần lượt là $J;Q;K$ . Tính thể tích tứ diện $AJQK$ ?
- A.
  $V = 15a^{3}$
- B.
  $V = 30a^{3}$
- C.
  $V = 45a^{3}$
- D.
  $V = 60a^{3}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $V_{ABCD} = \frac{1}{2}AB.\frac{1}{2}AD.AC = 60a^{3}$

Nhận thấy $S_{JQK} = \frac{1}{2}S_{JQKD} = \frac{1}{4}S_{BCD}$

$V_{JQK} = \frac{1}{4}.V_{ABCD} = 15a^{3}$
Câu 11: Vận dụng cao
Tính tan góc tạo bởi SA và mặt phẳng (ABC)

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) là một điểm nằm trên đoạn thẳng BC. Mặt phẳng (SAB) tạo với (SBC) một góc 60⁰ và mặt phẳng (SAC) tạo với (SBC) một góc ϕ thỏa mãn $\cos\phi = \frac{\sqrt{2}}{4}$ . Gọi ϕ là góc tạo bởi SA và mặt phẳng (ABC), tính tan ϕ.
- A.
  $\frac{\sqrt{3}}{3}$
- B.
  $\frac{\sqrt{2}}{2}$
- C.
  $\frac{1}{2}$
- D.
  $\sqrt{3}$
Hình vẽ minh họa:

Dựng hình chữ nhật HNAM, suy ra tam giác HNC vuông cân tại N và tam giác HMB vuông cân tại M, suy ra AC ⊥ (SHN) và AB ⊥ (SHM).

Kẻ HE ⊥ SB và HF ⊥ SC, HP ⊥ SN và HK ⊥ SM, suy ra HP ⊥ (SAC), HK ⊥ (SAB).

Ta có: $\widehat{HFP} = \phi;cos\phi = \frac{\sqrt{2}}{4} \Rightarrow \sin\phi = \sqrt{\frac{7}{8}}$

=> $\widehat{HEP}$ là góc giữa (SAB) và (SBC) bằng 60⁰

Suy ra:

$\begin{matrix} \sin\phi = \frac{HK}{HF} = \frac{SH.MH}{SN}.\frac{SC}{SH.HC} \\ = \frac{SC}{\sqrt{2}SN} = \sqrt{\frac{7}{8}} \\ \end{matrix}$

$\begin{matrix}\sin\widehat{HEK} = \dfrac{HK}{HE} = \dfrac{SH.MH}{SM}.\dfrac{SB}{SH.HB}\hfill \\= \dfrac{SB}{\sqrt{2}SM} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \hfill\\\end{matrix}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{SC^{2}}{SN^{2}} = \dfrac{7}{4} \\\dfrac{SB^{2}}{SM^{2}} = \dfrac{3}{2} \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{SH^{2} + HC^{2}}{SH^{2} + HN^{2}} = \dfrac{SH^{2} + 2NH^{2}}{SH^{2}+ HN^{2}} = \dfrac{7}{4} \\\dfrac{SH^{2} + HB^{2}}{SH^{2} + HM^{2}} = \dfrac{SH^{2} + 2MH^{2}}{SH^{2}+ HM^{2}} = \dfrac{3}{2} \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 3SH^{2} = NH^{2} \\ SH^{2} = MH^{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow MH^{2} + NH^{2} = 4SH^{2}$

Suy ra $AH^{2} = 4SH^{2} \Rightarrow \tan\left( SA;(ABC) ight) = \frac{AH}{SH} = \frac{1}{2}$
Câu 12: Thông hiểu
Tính thể tích khối lăng trụ đều

Cho khối lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có $AA' = 4a$ . Tính thể tích khối lăng trụ biết góc giữa mặt phẳng $(A'BC)$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $30^{0}$ .
- A.
  $V = 64\sqrt{3}a^{3}$
- B.
  $V = 32\sqrt{3}a^{3}$
- C.
  $V = \frac{64\sqrt{3}}{9}a^{3}$
- D.
  $V = \frac{32\sqrt{3}}{3}a^{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của BC.

Khi đó $\left( (A'BC);(ABC) ight) = \widehat{A'MA} = 30^{0}$

Trong tam giác vuông A’MA có:

$\tan\widehat{A'MA} = \frac{A'A}{AM} \Rightarrow AM = \frac{A'A}{tan30^{0}} = 4\sqrt{3}a$

Tam giác ABC đều nên $AM = \frac{AB\sqrt{3}}{2} \Rightarrow AB = 8a$

Vậy thể tích khối lăng trụ là: $V = S_{ABC}.AA' = \frac{(8a)^{2}\sqrt{3}}{4} = 64\sqrt{3}a^{3}$
Câu 13: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho một khối chóp có diện tích đáy bằng $7a^{2}$ , chiều cao bằng $a$ . Thể tích khối chóp đã cho là:
- A.
  $V = \frac{7}{6}a^{3}$
- B.
  $V = \frac{7}{2}a^{3}$
- C.
  $V = \frac{7}{3}a^{3}$
- D.
  $V = a^{3}$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} B = 7a^{2} \\ h = a \\ \end{matrix} ight.$

Thể tích khối chóp là: $V = \frac{1}{3}B.h = \frac{7}{3}a^{3}$
Câu 14: Nhận biết
Tính thể tích khối hộp chữ nhật

Thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước là $2;3;5$ bằng:
- A.
  $42$
- B.
  $30$
- C.
  $60$
- D.
  $15$
Thể tích cần tìm là: $V = 2.3.5 = 30$
Câu 15: Nhận biết
Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a.$ Khoảng cách từ $A'$ đến mp $(ABCD)$ bằng:
- A.
  $\frac{a}{2}.$
- B.
  $a.$
- C.
  $2a.$
- D.
  $3a.$
Hình vẽ minh họa

Ta có $A'A\bot(ABCD)$ nên $d\left( A',(ABCD) ight) = A'A = a$ .
Câu 16: Thông hiểu
Tính góc giữa hai đường thẳng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, $SA\bot(ABCD)$ , $SA = AB = a$ . Gọi $M$ là trung điểm cạnh $SB$ . Tính $(AM,BD)$ ?
- A.
  $45^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $90^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Hình vẽ minh họa

Xét tam giác SAB vuông tại A có: $SB = \sqrt{SA^{2} + AB^{2}} = a\sqrt{2}$

Gọi E là trung điểm cạnh MC, ta có:

$OE//AM \Rightarrow (AM;BD) = (OE,BD)$ và $OE = \frac{1}{2}AM = \frac{1}{4}SB = \frac{a\sqrt{2}}{4}$

Lại có: $CB\bot AB;SA\bot CB \Rightarrow CB\bot SB$

Suy ra tam giác SBC vuông tại B.

Xét tam giá MBC vuông tại B ta có:

$MC = \sqrt{MB^{2} + BC^{2}} = \sqrt{\frac{1}{4}.2a^{2} + a^{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$

$BE = \frac{1}{2}MC = \frac{a\sqrt{6}}{4}$

Xét tam giác $EBO$ có:

$\cos\widehat{EOB} = \frac{EO^{2} + OB^{2} - EB^{2}}{2.EO.OB} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow \widehat{EOB} = 60^{0} \Rightarrow OE//AM \Rightarrow (AM;BD) = 60^{0}$
Câu 17: Thông hiểu
Tính giá trị tan α

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA =a\sqrt{6}$ . Gọi α là góc giữa SC và (SAB). Giá trị tan α bằng:
- A.
  $\frac{\sqrt{5}}{5}$
- B.
  $\frac{\sqrt{7}}{7}$
- C.
  $\frac{1}{7}$
- D.
  $\frac{1}{5}$
Hình vẽ minh họa:
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}BC\bot SA \\BC\bot AB \\\end{matrix} ight.$ => BC ⊥ (SAB)
=> SB là hình chiếu của SC lên mặt phẳng (SAB)
=> $\alpha = \widehat{BSC}$
Mà $SB = \sqrt{SA^{2} + AB^{2}} =a\sqrt{7}$
Vậy $\tan\alpha = \frac{BC}{SB} =\frac{\sqrt{7}}{7}$
Câu 18: Vận dụng cao
Tìm x theo a

Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi I là điểm thuộc AB sao cho AI = x, (0 < x < a). Tìm x theo a để góc giữa hai đường thẳng DI và AC’ bằng 60⁰.
- A.
  x = 2a
- B.
  $x = \left( 4 - \sqrt{13} ight)a$
- C.
  $x = a\sqrt{3}$
- D.
  $x = \left( 4 - \sqrt{15} ight)a$
Hình vẽ minh họa:

Ta có:

$\begin{matrix}DI = \sqrt{AD^{2} + AI^{2}} = \sqrt{a^{2} + x^{2}};AC' = a\sqrt{3} \hfill\\\overrightarrow{AC'}.\overrightarrow{DI} = \left(\overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}ight)\left( \overrightarrow{AI} - \overrightarrow{AD} ight) \hfill\\= \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AI} - {\overrightarrow{AD}}^{2} =ax - a^{2} \hfill \\\cos(AC';DI) = \dfrac{\left|\overrightarrow{AC'}.\overrightarrow{DI} ight|}{AC'.DI} \hfill \\\Leftrightarrow cos60^{0} = \dfrac{\left| ax - a^{2} ight|}{\sqrt{a^{2}+ x^{2}}.a\sqrt{3}} \hfill \\\Leftrightarrow \sqrt{3\left( a^{2} + x^{2} ight)} = 2|x - a| \hfill\\\Leftrightarrow 3a^{2} + 3x^{2} = 4\left( x^{2} - 2ax + a^{2} ight)\hfill \\\Leftrightarrow x^{2} - 8ax + a^{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x = \left( 4 - \sqrt{15} ight)a \\x = \left( 4 + \sqrt{15} ight)a \hfill \\\end{matrix} ight.\ \hfill \\\end{matrix}$

Vì $0 < x < a \Rightarrow x = \left( 4 - \sqrt{15} ight)a$
Câu 19: Nhận biết
Tìm khẳng định đúng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
- A.
  AB vuông góc với mặt phẳng (SAC)
- B.
  AB vuông góc với mặt phẳng (SBC)
- C.
  AB vuông góc với mặt phẳng (SAD)
- D.
  AB vuông góc với mặt phẳng (SCD)
Khẳng định đúng là “AB vuông góc với mặt phẳng (SAD)”
Thật vậy, do SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AB
Mặt khác AB ⊥ AD.
Từ đó suy ra AB ⊥ (SDA)
Câu 20: Thông hiểu
Xác định thể tích khối hộp chữ nhật

Cho khối hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy là hình vuông, đường chéo $BD = 4a$ . Biết góc giữa hai mặt phẳng $(A'BD)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $60^{0}$ . Khi đó thể tích hình hộp chữ nhật bằng bao nhiêu?
- A.
  $V = 48\sqrt{3}a^{3}$
- B.
  $V = \frac{16\sqrt{3}}{9}a^{3}$
- C.
  $V = \frac{16\sqrt{3}}{3}a^{3}$
- D.
  $V = 16\sqrt{3}a^{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi góc giữa mặt phẳng $(A'BD)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là $\alpha$ và $O = AC \cap BD$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AO\bot BD \\ AA'\bot BD \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A'O\bot BD$

$\Rightarrow \alpha = (AO;A'O) = \widehat{AOA'} = 60^{0}$

Ta có ABCD là hình vuông, BD = 4a nên $AB = AD = 2a\sqrt{2}$

Ta có: $AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD = 2a$

Xét tam giác AOA’ có $AA' = AO.tan60^{0} = 2a\sqrt{3}$

$\Rightarrow V_{ABCD.A'B'C'D'} = AA'.S_{ABCD} = 2a\sqrt{3}.8a^{2} = 16a^{3}\sqrt{3}$
Câu 21: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Cho $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp. Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  Các măt bên là hình vuông
- B.
  Các mặt bên là hình chữ nhật
- C.
  Các mặt bên là hình thoi
- D.
  Các mặt bên là hình bình hành
Nếu $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp thì tất cả các mặt là bình bình hành nên mặt bên cũng là hình bình hành.
Câu 22: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB = m;(m > 0)$ , các cạnh còn lại bằng nhau và bằng $4$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ chứa cạnh $AB$ và vuông góc với cạnh $CD$ tại $I$ . Diện tích tam giác $ABI$ lớn nhất bằng bao nhiêu?
- A.
  $12$
- B.
  $6$
- C.
  $8\sqrt{3}$
- D.
  $4\sqrt{3}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $(\alpha)\bot CD \equiv I \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} AI\bot CD \\ BI\bot CD \\ \end{matrix} ight.$

Theo giả thiết $AC = AD = BC = BD = CD = 4cm$ ta có các tam giác ACD và BCD là các tam giác đều cạnh bằng 4

$\Rightarrow IA = IB = 4.\frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$

Gọi H là trung điểm của AB ta có: $IH\bot AB$ và $IH = \sqrt{IA^{2} - \frac{m^{2}}{4}} = \sqrt{12 - \frac{m^{2}}{4}}$

$S_{ABI} = \frac{1}{2}IH.AB$

$= \frac{1}{2}m.\sqrt{12 - \frac{m^{2}}{4}}$

$= \sqrt{\frac{m^{2}}{4}.\left( 12 - \frac{m^{2}}{4} ight)} \leq 6$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x = 2\sqrt{6}$

Vậy $\max S_{ABI} = 6$
Câu 23: Thông hiểu
Chọn mệnh đề đúng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a, SO ⊥ (ABCD) và $SO = \frac{a\sqrt{3}}{3}$ . Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD).
- A.
  30◦
- B.
  45◦
- C.
  60◦
- D.
  90◦
Hình vẽ minh họa:

Gọi Q là trung điểm BC => OQ ⊥ BC.

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} BC\bot OQ \\ BC\bot SO \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SOQ) \Rightarrow BC\bot SQ$

Do đó ((SBC), (ABCD)) = (SQ, OQ) = $\widehat{SQO}$

Tam giác vuông SOQ ta có: $\tan\widehat{SQO} = \frac{SO}{OQ} = \sqrt{3}$

Vậy mặt phẳng (SBC) hợp với mặt đáy (ABCD) một góc 60◦
Câu 24: Nhận biết
Tìm góc α

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật và $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $\alpha = \left( SD;(ABCD) ight)$ . Xác định $\alpha$ ?
- A.
  $\alpha = \widehat{ASD}$
- B.
  $\alpha = \widehat{DAS}$
- C.
  $\alpha = \widehat{SDA}$
- D.
  $\alpha = \widehat{SDC}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: Hình chiếu của SD lên mặt phẳng (ABCD) là AD nên góc giữa SD và mặt phẳng đáy là góc $\widehat{SDA}$

$\Rightarrow \alpha = \widehat{SDA}$
Câu 25: Vận dụng
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CK, A’D

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi K là trung điểm của DD’. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CK, A’D.
- A.
  $a$
- B.
  $\frac{3a}{5}$
- C.
  $\frac{2a}{5}$
- D.
  $\frac{a}{3}$
Hình vẽ minh họa:
Trong mặt phẳng (CDD’C), gọi P là giao điểm của CK và C’D’
=> KD’ là đường trung bình của ∆PCC’
=> D’ là trung điểm của PC’
Trong mặt phẳng (A’B’C’D’), gọi M là giao điểm của PB’ và A’D’
Ta có: A’D // B’C => A’D // (AKB’)
=> d(CK, A’D) = d (A’,(CKB’)) = $\frac{1}{2}$ d(C’,(CPB’))
Xét tứ diện PCC’B’ ta có:
C’P, C’B và C’B đôi một vuông góc với nhau
Đặt d(C’, (CPB’)) = x, thì:
$\frac{1}{x^{2}} = \frac{1}{CC'^{2}}+ \frac{1}{C'B'^{2}} + \frac{1}{C'P^{2}}$
$\Rightarrow \frac{1}{x^{2}} =\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{4a^{2}} =\frac{9}{4a^{2}}$
$\Rightarrow d\left( C';(CPB')ight) = x = \frac{2a}{3}$
$\Rightarrow d(CK;A'D) =\frac{1}{2}d\left( C';(CPB') ight) = \frac{1}{2}.\frac{2a}{3}= \frac{a}{3}$
Câu 26: Thông hiểu
Tính khoảng cách d từ A đến (SCD)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD). Tính khoảng cách d từ A đến (SCD).
- A.
  $d = 1$
- B.
  $d=\sqrt{2}$
- C.
  $d=\frac{2\sqrt{3}}{3}$
- D.
  $d=\frac{\sqrt{21}}{7}$
Hình vẽ minh họa
Gọi H là trung điểm của AB => $SH \bot AB \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} ight)$
Ta có: AH // CD => $d\left( {A;\left( {SCD} ight)} ight) = d\left( {H;\left( {SCD} ight)} ight)$
Gọi M là trung điểm của CD, K là hình chiếu vuông góc của H trên SM
$\begin{matrix} \Rightarrow d\left( {H;\left( {SCD} ight)} ight) = HK \hfill \\ \Rightarrow HK = \dfrac{{SH.HM}}{{\sqrt {S{H^2} + H{M^2}} }} = \dfrac{{\sqrt {21} }}{7} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 27: Vận dụng
Xác định góc giữa MN và AP

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạng AB, BC, C’D’. Xác định góc giữa hai đường thẳng MN và AP.
- A. $60^0$
- B. $90^0$
- C. $30^0$
- D. $45^0$
Do AC song song với MN nên góc giữa hai đường thẳng MN và AP là góc giữa hai đường thẳng AC và AP.
Ta tính được: $PC = \frac{{a\sqrt 5 }}{2};AP = \frac{{3a}}{2};AC = a\sqrt 2$
$\begin{matrix} \cos \left( {\widehat {CAP}} ight) = \dfrac{{A{P^2} + A{C^2} - P{C^2}}}{{2AP.AC}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \hfill \\ \to \widehat {CAP} = {45^0} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 28: Nhận biết
Tỉ lệ khoảng cách

Giả sử đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (P) tại M. Trên ∆ lấy hai điểm A và B. Khi đó $\frac{d\left( A;(P) ight)}{d\left( B;(P) ight)}$ bằng:
- A.
  $\frac{2AM}{BM}$
- B.
  $\frac{AM}{2BM}$
- C.
  $\frac{AM}{BM}$
- D.
  $\frac{2AM}{3BM}$
$\frac{d\left( A;(P) ight)}{d\left( B;(P) ight)} = \frac{AM}{BM}$
Câu 29: Thông hiểu
Sin của góc tạo bởi A’H với (A’ACC’)

Cho hình lăng trụABC.A’B’Ccó đáy ABC là tam giác vuông tại B, $AB = a,\widehat {ACB} = 30^\circ$ , M là trung điểm cạnh AC. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy của lăng trụ bằng 60⁰. Hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của BM. Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi A’H với (A’ACC’). Tính $\sin\alpha$ ?
- A. $\frac{1}{3}$
- B. $\frac{{\sqrt 3 }}{4}$
- C. $\frac{{\sqrt 2 }}{5}$
- D. $\frac{{\sqrt 3 }}{6}$
Ta có $A'H \bot \left( {ABC} ight)$ nên A’H là đường cao của lăng trụ.
Kẻ $HK \bot AC$ (K thuộc đoạn AC)
Kẻ
Suy ra $HI \bot \left( {AA'C'C} ight)$
Khi đó $\alpha = \left( {A'H,A'I} ight) = \widehat {HA'K}$
+) Do tam giác MCB cân tại B nên $\widehat {BMC} = \widehat {BCM} = 30^\circ$
$\begin{matrix} MH = \dfrac{1}{2}BM = \dfrac{1}{4}AC = \dfrac{1}{4}\dfrac{{AB}}{{\sin 30^\circ }} = \dfrac{a}{2} \hfill \\ \Rightarrow HK = MH.\sin 60^\circ = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4} \hfill \\ \end{matrix}$
+) Mặt khác, góc giữa cạnh bên A’A và mặt đáy bằng $\widehat {A'AH} = 60^\circ$ (theo giả thiết)
Và BM = AM = AB = a
=> Tam giác AMB là tam giác đều cạnh a
$\Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow A'H = AH.\tan 60^\circ = \frac{{3a}}{2}$
Vì vậy, $\sin \alpha = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}}}{{\dfrac{{3a}}{2}}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6}$
Câu 30: Vận dụng cao
Tính khoảng cách khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, tam giác SAB đều, góc giữa (SCD) và (ABCD) bằng 60◦. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Biết hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) nằm trong hình vuông ABCD. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC.
- A.
  $\frac{5a\sqrt{3}}{3}$
- B.
  $\frac{a\sqrt{5}}{5}$
- C.
  $\frac{2a\sqrt{5}}{5}$
- D.
  $\frac{2a\sqrt{15}}{3}$
Hình vẽ minh họa:
Gọi H là hình chiếu của S lên (ABCD).
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}SM\bot AB \\AB\bot SH \\\end{matrix} ight.$
=> AB ⊥ MH
=> MH là đường trung bình của hình vuông ABCD
Giả sử MH cắt CD tại N, ta có N là trung điểm CD
Ta cũng có SN ⊥ CD nên $\widehat{\left((SCD),(ABCD) ight)} = \widehat{(SN,MN)} = \widehat{SNM}$
Gọi P là trung điểm BC, ta có MP // AC nên AC // (SMP)
Do đó, d(SM, AC) = d(AC,(SMP)) = d(O,(SMP))
Gọi K là hình chiếu của H lên MP (nhận thấy HK // OB), I là hình chiếu của H lên SK
Khi đó d(H, (SMP)) = HI
Áp dụng định lý cosin cho tam giác SMN, ta có:
$\begin{matrix}SM^{2} = MN^{2} + SN^{2} - 2MN.SN.cos60^{0} \hfill\\\Leftrightarrow 3a^{2} = 4a^{2} + SN^{2} - 2.2a.SN.\dfrac{1}{2} \hfill \\\Leftrightarrow a = SN \hfill \\\end{matrix}$
Xét tam giác vuông SHN ta có:
$SH = SN.sin60^{0} =\frac{a\sqrt{3}}{2}$
$HN = SN.cos60^{0} =\frac{a}{2}$
$\Rightarrow MH = \frac{3}{4}.MN\Rightarrow KH = \frac{3}{4}NP = \frac{3a\sqrt{2}}{4}$
Xét tam giác SHK vuông tại H, ta có:
$HI = \sqrt{\frac{HK^{2}.SH^{2}}{HK^{2} +SH^{2}}} = \frac{3a\sqrt{5}}{10}$
Mặt khác: $d\left( O;(SMP) ight) =\frac{2}{3}d\left( H;(SMP) ight) = \frac{a\sqrt{5}}{5}$
Câu 31: Thông hiểu
Xác định góc giữa hai mặt phẳng

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A và SA ⊥ (ABC). M là trung điểm của BC. Hãy xác định góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC).
- A.
  $\alpha = \widehat{SBA}$
- B.
  $\alpha = \widehat{MSA}$
- C.
  $\alpha = \widehat{SMA}$
- D.
  $\alpha = \widehat{SCA}$
Hình vẽ minh họa:

Ta có: Giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là BC. (1)

Ta có: SA ⊥ (ABC), mà đường thẳng BC nằm trong (ABC) => SA ⊥ BC.

Do tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm BC => BC ⊥ AM tại M.

Như vậy: $\left\{ \begin{matrix} BC\bot MA \subset (SAM) \\ BC\bot SA \subset (SAM) \\ MA\ \cap \ SA = A \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (SAM)\bot BC.\ (2)$

Lại có: $\left\{ \begin{matrix} (SMA) \cap (ABC) = MA \\ (SMA) \cap (SBC) = MS \\ \end{matrix} ight.$

Từ (1), (2), (3) => $\alpha = \widehat{SMA}$
Câu 32: Thông hiểu
Tìm khẳng định đúng

Cho hình chóp $S.ABCD$ , có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $SA\bot(ABCD)$ . Gọi $AE;AF$ lần lượt là đường cao của tam giác $SAB$ và $SAD$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $SC\bot(AFB)$
- B.
  $SC\bot(AEF)$
- C.
  $SC\bot(AEC)$
- D.
  $SC\bot(AED)$
Hình vẽ minh họa

Vì $SA\bot(ABCD) \Rightarrow SA\bot BC$

Mà $AB\bot BC \Rightarrow BC\bot(SAB)$

$\Rightarrow BC\bot AE \subset (SAB)$

Tam giác SAB có đường cao $AE \Rightarrow AE\bot SB$

Mà $AE\bot CB \Rightarrow AE\bot(SBC) \Rightarrow AE\bot SC$

Tương tự chứng minh ta được: $AF\bot SC \Rightarrow SC\bot(AEF)$
Câu 33: Nhận biết
Xác định góc giữa hai đường thẳng AC, A’D

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Giả sử tam giác AB’C và A’DC’ đều có ba góc nhọn. Góc giữa hai đường thẳng AC, A’D là góc nào sau đây?
- A. $\widehat {AB'C}$
- B. $\widehat {DA'C'}$
- C. $\widehat {BB'D}$
- D. $\widehat {BDB'}$
Do ACC’A’ là hình bình hành nên AC song song với A’C’. Do đó:
$\left( {\widehat {AC;A'D}} ight) = \left( {\widehat {A'C';A'D}} ight)$
Như vậy $\left( {\widehat {AC;A'D}} ight) = \widehat {DA'C'}$
Câu 34: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Tính thể tích khối lăng trụ đứng tam giác, đáy là tam giác đều cạnh $2a$ , cạnh bên bằng $3a$ .
- A.
  $6\sqrt{3}a^{3}$
- B.
  $3\sqrt{3}a^{3}$
- C.
  $2\sqrt{3}a^{3}$
- D.
  $\sqrt{2}a^{3}$
Hình vẽ minh họa

Khối lăng trụ đã cho có đáy là tam giác đều cạnh bằng 2a nên diện tích là $\frac{(2a)^{2}\sqrt{3}}{4}$ và chiều cao $AA' = 3a$ (vì lăng trụ là lăng trụ đứng)

Vậy thể tích hình lăng trụ là: $V = \frac{(2a)^{2}\sqrt{3}}{4}.3a = 3\sqrt{3}a^{3}$
Câu 35: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua một điểm A cho trước và vuông góc với hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q)?
- A.
  Không có.
- B.
  Có một.
- C.
  Có vô số.
- D.
  Có một hoặc có vô số.
Có một khi (P) và (Q) cắt nhau, có vô số khi (P) // (Q).
Câu 36: Vận dụng
Chọn mệnh đề đúng

Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (SCD). Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $\tan\alpha = \sqrt{6}$
- B.
  $\tan\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$
- C.
  $\tan\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$
- D.
  $\tan\alpha = \sqrt{2}$ (meta)
Hình vẽ minh họa:

Gọi O = AC ∩BD. Do hình chóp S.ABCD đều => SO ⊥ (ABCD).

Gọi M là trung điểm của SD.

Tam giác SCD đều nên CM ⊥ SD.

Tam giác SBD có SB = SD = a, $BD = a\sqrt{2}$ nên vuông tại S

=> SB ⊥ SD => OM ⊥ SD

=> ((SBD),(SCD)) = (OM, CM) = $\widehat{OMC}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} OC\bot BD \\ OC\bot SO \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow OC\bot(SBD) \Rightarrow OC\bot OM$

Tam giác vuông MOC ta có:

$\tan\widehat{OMC} = \frac{OC}{OM} = \sqrt{2}$
Câu 37: Thông hiểu
Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh 2a, $\widehat{ABC} = 60^{0}$ , $SA = a\sqrt{3}$ và SA ⊥ (ABCD). Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD).
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $90^{0}$
- C.
  $30^{0}$
- D.
  $45^{0}$
Hình vẽ minh họa:
Vì tam giác ABC cân và có góc 60⁰ nên nó là tam giác đều
Gọi O là trung điểm của AC.
Ta có: Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) vuông góc nhau theo giao tuyến SO
=> Hình chiếu vuông góc của SA lên mặt phẳng (SBD) là SO
=> $\widehat{\left( SA,(SBD) ight)} =\widehat{(SA,\ SO)} = \widehat{ASO}$
Xét tam giác vuông SOA ta có: $\left\{\begin{matrix}OA = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{2a}{2} = a \\SA = a\sqrt{3} \\\end{matrix} ight.$
=> $\tan\widehat{OSA} = \frac{AO}{SA} =\frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \widehat{OSA} = 30^{0}$
Vậy góc giữa SA và mặt phẳng (SBD) bằng 30⁰.
Câu 38: Thông hiểu

Phân tích sự đúng sai của các kết luận

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật $AB = a;AD = 3a;$ $SA\bot(ABCD);SA = 2a$ . Kẻ đường cao $AI$ của tam giác $SAB$ . Khi đó:

a) $BC\bot(SAB)$ Đúng||Sai

b) $\widehat{\left( SC;(ABCD) ight)} \approx 30^{0}$ Sai||Đúng

c) $AI\bot CS$ Đúng||Sai

d) Diện tích tam giác $AIC$ bằng $\frac{7a^{2}}{5}$ Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật $AB = a;AD = 3a;$ $SA\bot(ABCD);SA = 2a$ . Kẻ đường cao $AI$ của tam giác $SAB$ . Khi đó:

a) $BC\bot(SAB)$ Đúng||Sai

b) $\widehat{\left( SC;(ABCD) ight)} \approx 30^{0}$ Sai||Đúng

c) $AI\bot CS$ Đúng||Sai

d) Diện tích tam giác $AIC$ bằng $\frac{7a^{2}}{5}$ Sai||Đúng

$BC\bot(SAB)$ đúng

$\widehat{\left( SC;(ABCD) ight)} \approx 32,3^{0}$ đúng

$AI\bot CS$ đúng

Diện tích tam giác $AIC$ bằng $\frac{a^{2}\sqrt{46}}{5}$
Câu 39: Nhận biết
Chọn mệnh đề sai

Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy (ABC). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB (tham khảo hình vẽ bên). Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  AH ⊥ SC
- B.
  Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) là góc ASC
- C.
  BC ⊥ (SAB)
- D.
  Các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông
Ta có: SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ BC
Mặt khác BC ⊥ AB
Suy ra BC ⊥ (SAB) nên hình chiếu vuông góc của SC trên (SAB) là SB
Vậy $\widehat{\left( SC,(SAB) ight)} =\widehat{(SC,SB)} = \widehat{BSC\ }$ (vì tam giác SBC vuông tại B)
Câu 40: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy $ABCD$ là hình thoi tâm I, cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy. Gọi $H;K$ lần lượt là hình chiếu của $A$ lên $SC;SD$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $AH\bot(SCD)$
- B.
  $BD\bot(SAC)$
- C.
  $BC\bot(SAC)$
- D.
  $AK\bot(SCD)$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BD\bot AC \\ BD\bot SA;do\ SA\bot(ABCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BD\bot(SAC)$

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

19 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 Chân trời sáng tạo
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân
Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số ghép số liệu nhóm
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Đạo hàm
Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 9: Xác suất

Lớp 11
Khóa học Lớp 11
Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 5
Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4 Đề 2
Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4
Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 6
Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 4
Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 7

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 5

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4 Đề 2

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 6

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 4

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 7