VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 CTST Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Thông hiểu
Tính thể tích hình chóp

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ cạnh bằng $2a$ , cạnh bên $SB = a\sqrt{5}$ . Tính thể tích hình chóp $S.ABCD$ ?
- A.
  $V = 4\sqrt{5}a^{3}$
- B.
  $V = 4\sqrt{3}a^{3}$
- C.
  $V = \frac{4\sqrt{5}a^{3}}{3}$
- D.
  $V = \frac{4\sqrt{3}a^{3}}{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi O là tâm hai đường chéo AC và BD

Ta có: tam giác SAC cân, O là trung điểm của AC nên $SO\bot CA$

Tương tự tam giác SBD cân, O là trung điểm của BD nên $SO\bot BD$

$\Rightarrow SO\bot(ABCD)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} S_{ABCD} = 4a^{2} \\ SO = \sqrt{SB^{2} - OB^{2}} = \sqrt{5a^{2} - 2a^{2}} = a\sqrt{3} \\ \end{matrix} ight.$

Vậy thể tích hình chóp là: $V = \frac{1}{3}SO.S_{ABCD} = \frac{a\sqrt{3}.4a^{2}}{3} = \frac{4\sqrt{3}a^{3}}{3}$
Câu 2: Vận dụng cao
Diện tích lớn nhất của tứ giác bằng bao nhiêu?

Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD, AB = CD = 6. Gọi M là điểm thuộc cạnh BC sau đó MC = x.BC (0 < x < 1). Mặt phẳng (P) song song với AB và CD lần lượt cắt BC, DB, AD, AC tại M, N, P, Q. Diện tích lớn nhất của tứ giác bằng bao nhiêu?
- A.
  9
- B.
  11
- C.
  10
- D.
  8
Xét tứ giác MNPQ có: $\left\{ \begin{matrix} PQ//NP//AB \\ MN//PQ//CD \\ \end{matrix} ight.$

=> MNPQ là hình bình hành

Mặt khác $AB\bot CD \Rightarrow MQ\bot MN$

=> MNPQ là hình chữ nhật

Vì MQ // AB nên $\frac{MQ}{AB} = \frac{CM}{CB} = x \Rightarrow MQ = x.AB = 6x$

Theo giả thiết MC = x.BC => MB = (1 – x).BC

Vì MN // CD nên $\frac{MN}{CD} = \frac{BM}{BC} = 1 - x$

=> $MN = (1 - x).DC = 6(1 - x)$

Diện tích hình chữ nhật MNPQ là:

$\begin{matrix}S_{MNPQ} = MN.MQ \hfill\\= 6(1 - x).6x \hfill\\= 36x.(1 - x) \hfill\\\leq 36.\left( \dfrac{x + 1 - x}{2} ight)^{2} = 9 \hfill \\\Rightarrow S_{MNPQ} = 9 \hfill\\\end{matrix}$

Khi x = 1 – x => x = 1/2

Vậy diện tích tứ giác MNPQ lớn nhất bằng 9 khi M là trung điểm của BC.
Câu 3: Thông hiểu

Xác định tính đúng sai của các kết luận

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB, SC. Giả sử HK cắt BC tại D. Khi đó:

a) $\widehat{(AC;AD)} = 90^{0}$ Đúng||Sai

b) $AH\bot(SBC)$ Đúng||Sai

c) $\widehat{(SC;HK)} = 90^{0}$ Đúng||Sai

d) Tam giác SBC cân tại B. Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB, SC. Giả sử HK cắt BC tại D. Khi đó:

a) $\widehat{(AC;AD)} = 90^{0}$ Đúng||Sai

b) $AH\bot(SBC)$ Đúng||Sai

c) $\widehat{(SC;HK)} = 90^{0}$ Đúng||Sai

d) Tam giác SBC cân tại B. Sai||Đúng

$\widehat{(AC;AD)} = 90^{0}$ đúng

$AH\bot(SBC)$ đúng

$\widehat{(SC;HK)} = 90^{0}$ đúng

Tam giác SBC cân tại B. sai
Câu 4: Nhận biết
Tìm góc giữa hai đường thẳng

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có tất cả các cạnh đều bằng nhau và bằng $a$ . Số đo góc giữa hai đường thẳng $SA$ và $CD$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $90^{0}$
- C.
  $60^{0}$
- D.
  $45^{0}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $AB//CD \Rightarrow (SA;CD) = (SA;AB) = \widehat{SAB}$

Tam giác $SAB$ đều nên $\widehat{SAB} = 60^{0}$

$\Rightarrow (SA;CD) = \widehat{SAB} = 60^{0}$
Câu 5: Vận dụng

Điền đáp án vào ô trống

Giả sử $V$ là thể tích khối tứ diện đều $ABCD$ . Trung điểm tất cả các cạnh của tứ diện tạo thành một đa diện có thể tích $V'$ . Tỉ số $\frac{V'}{V} =$ 1/2

(Kết quả được ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Đáp án là:

Giả sử $V$ là thể tích khối tứ diện đều $ABCD$ . Trung điểm tất cả các cạnh của tứ diện tạo thành một đa diện có thể tích $V'$ . Tỉ số $\frac{V'}{V} =$ 1/2

(Kết quả được ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Hình vẽ minh họa

Giả sử tứ diện đều cạnh bằng a

Hình đa diện cần tính có được bằng cách cắt 4 góc tứ diện

Mỗi góc cũng là một tứ diện đều có cạnh bằng $\frac{a}{2}$

Do đó thể tích phần cắt bỏ là $V'' = 4.\frac{V}{8} = \frac{V}{2}$

(Vì tứ diện cạnh giảm một nưả thì thể tích giảm $\left( \frac{1}{2} ight)^{3} = \frac{1}{8}$

Vậy $V' = \frac{V}{2} \Rightarrow \frac{V'}{V} = \frac{1}{2}$
Câu 6: Vận dụng
Tính khoảng cách d giữa BD và MN

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 10. Cạnh bện SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và $SC =10\sqrt{5}$ . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và CD. Tính khoảng cách d giữa BD và MN.
- A.
  $d = 3\sqrt{5}$
- B.
  $d = \sqrt{5}$
- C.
  $d = 5$
- D.
  $d = 10$
Hình vẽ minh họa:
Gọi P là trung điểm BC và E = NP ∩ AC
=> PN // BD => BD // (MNP)
=> d(BD, MN) = d(BD, (MNP)) = d(O, (MNP)) = $\frac{1}{3}$ d(A, (MNP))
Kẻ AK ⊥ ME
Khi đó d(A, (MNP)) = AK.
Ta tính được:
$\begin{matrix}SA = \sqrt{SC^{2} - AC^{2}} = 10\sqrt{3} \\\Rightarrow MA = 5\sqrt{3};AE = \dfrac{3}{4}AC = \dfrac{15\sqrt{2}}{2} \\\end{matrix}$
Xét tam giác vuông MAE ta có:
$AK = \frac{MA.AE}{\sqrt{MA^{2} +AE^{2}}} = 3\sqrt{5}$
$\Rightarrow d(BD;MN) = \frac{1}{3}AK =\sqrt{5}$
Câu 7: Nhận biết
Chọn khẳng định sai

Trong các khẳng định sai về lăng trụ đều, khẳng định nào là sai?
- A.
  Đáy là đa giác đều
- B.
  Các mặt bên là những hình chữ nhật nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy
- C.
  Các cạnh bên là những đường cao
- D.
  Các mặt bên là những hình vuông.
Vì lăng trụ đều nên các cạnh bằng nhau. Do đó đáy là đa giác đều.
Vì lăng trụ đều là lăng trụ đứng nên các mặt bên vuông góc với đáy.
Vì lăng trụ đều là lăng trụ đứng nên các cạnh bên vuông góc với đáy.
Vì lăng trụ đều là lăng trụ đứng nên các cạnh bên bằng nhau và cùng vuông góc với đáy. Do đó các mặt bên là những hình vuông.
Câu 8: Thông hiểu
Tính góc giữa hai đường thẳng

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là các tam giác đều cạnh bằng $\sqrt{3}$ và cạnh bên bằng $1$ . Tính góc giữa hai đường thẳng $BB'$ và $AC'$ ?
- A.
  $90^{0}$
- B.
  $45^{0}$
- C.
  $60^{0}$
- D.
  $30^{0}$
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$BB'//CC' \Rightarrow (BB';AC') = (CC';AC') = \widehat{AC'C}$

Khi đó tam giác $ACC'$ vuông cân tại C nên $\tan\widehat{AC'C} = \frac{AC}{CC'} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$

$\Rightarrow \widehat{AC'C} = 60^{0}$

$\Rightarrow (BB';AC') = \widehat{AC'C} = 60^{0}$
Câu 9: Vận dụng
Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M là trung điểm của BB’. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AM và A’C’.
- A. $\frac{{4\sqrt {15} }}{5}$
- B. $\frac{{\sqrt 3 }}{5}$
- C. $\frac{{3\sqrt 5 }}{5}$
- D. $\frac{{\sqrt {10} }}{5}$
+ Ta có AC // A’C’ nên góc giữa AM và A’C’ là góc giữa AC và AM.
+ Xét tam giác AMC có:
$MA = MC = \sqrt {M{B^2} + A{B^2}}$
$= \sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} ight)}^2} + {a^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}$
$AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = a\sqrt 2$
Áp dụng định lí cosin trong tam giác AMC, ta có:
$\begin{gathered} cos\left( {AM\,,\,AC} ight) = \left| {\dfrac{{A{M^2} + A{C^2} - M{C^2}}}{{2MA.AC}}} ight| \hfill \\ = \dfrac{{AC}}{{2MA}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{{2.\dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}}} = \dfrac{{\sqrt {10} }}{5} \hfill \\ \end{gathered}$
Câu 10: Nhận biết
Tính thể tích khối chóp S.ABC

Cho khối chóp $S.ABC$ có $SA\bot(ABC)$ biết độ dài các cạnh $SA = 4cm,AB = 6cm,$ $BC = 10cm;CA = 8cm$ . Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:
- A.
  $V = 102cm^{3}$
- B.
  $V = 32cm^{3}$
- C.
  $V = 64cm^{3}$
- D.
  $V = 48cm^{3}$
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$AB^{2} + AC^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 10^{2} = BC^{2}$

Nên tam giác ABC vuông tại A

Suy ra $S_{ABC} = \frac{1}{2}AB.AC = 24$

Vậy $V_{S.ABC} = \frac{1}{3}.S_{ABC}.SA = 32cm^{3}$
Câu 11: Thông hiểu
Khẳng định đúng trong các khẳng định đã cho

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA ⊥ (ABCD). Gọi AM, AN lần lượt là đường cao của tam giác SAB và tam giác SAD. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
- A. SC ⊥ (ANB)
- B. SC ⊥ (ANC)
- C. SC ⊥ (AMD)
- D. SC ⊥ (AMN)
Hình vẽ minh họa:
Ta có: SA ⊥ (ABCD) => SA ⊥ BC
Mà AB ⊥ BC => BC ⊥ (SAB)
=> BC ⊥ AE
Mà AM nằm trong mặt phẳng (SAB)
Xét tam giác SAB có:
AM ⊥ SB
Mà BC ⊥ AM => AM ⊥ (SBC) => AM ⊥ SC
Chứng minh tương tự ta được: AN ⊥ SC
=> SC ⊥ (AMN)
Câu 12: Vận dụng
Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng:
- A.
  60⁰
- B.
  30⁰
- C.
  45⁰
- D.
  90⁰
Hình ảnh minh họa:

Vẽ DE ⊥ SC tại E.

Vì các tam giác SBC và SDC là các tam giác vuông có các cạnh tương ứng bằng nhau nên BE ⊥ SC và BE = DE.

Tam giác SBC vuông tại B và BE là đường cao nên

$\begin{matrix}\dfrac{1}{BE^{2}} = \dfrac{1}{SB^{2}} + \dfrac{1}{BC^{2}}\hfill \\= \dfrac{1}{2a^{2}} + \dfrac{1}{a^{2}} = \dfrac{3}{2a^{2}} \Rightarrow BE^{2} = \dfrac{3}{2a^{2}} \hfill\\\end{matrix}$

Khi đó $\left\{ \begin{matrix} SC\ = \ (SCD)\ \cap \ (SBC) \\ DE\bot SC,\ DE \subset (SCD) \\ BE\bot SC,\ BE \subset (SBC) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy ((SCD), (SBC)) = (DE, BE).

Ta có:

$\begin{matrix}\cos\widehat{DEB} = \dfrac{BE^{2} + DE^{2} - DB^{2}}{2.BE.DE} = -\dfrac{1}{2} \hfill\\\Rightarrow \widehat{DEB} = 120^{0}\hfill \\\end{matrix}$

Khi đó (DE, BE) = 60◦. Vậy ((SCD), (SBC)) = 60◦
Câu 13: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA ⊥ (ABC). Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC, H là hình chiếu của I trên mặt phẳng đáy. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây?
- A. H là trung điểm của cạnh AB.
- B. H là trung điểm của cạnh BC.
- C. H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
- D. H là trọng tâm tam giác ABC.
Hình vẽ minh họa:
Ta có: SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ BC
Mà AB ⊥ BC => BC ⊥ (SAB) => BC ⊥ SB
=> Tam giác SBC vuông tại B => I là trung điểm của SC
Theo bài ra ta có: IH ⊥ (ABC) => IH // SA
=> H là trung điểm của cạnh AC,
Mà tam giác ABC vuông tại B => H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Câu 14: Vận dụng cao
Giá trị lớn nhất của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ nội tiếp mặt cầu (S) có bán kính $R = \frac{{\sqrt {17} }}{2}$ . Gọi I; J là trung điểm BC, CD và $\alpha$ là góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng (C’IJ). Giá trị lớn nhất của $\sin \alpha$ là
- A. $\frac{3}{5}$
- B. $\frac{{ - 3}}{5}$
- C. $\frac{4}{5}$
- D. $\frac{{ - 4}}{5}$
Đặt $CD = a\,,\,CB = b\,,CC' = c\,\,\,\left( {a,b,c > 0} ight).$
$AC{'^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} = 17.$
Gọi K là hình chiếu của A lên (C’IJ)
$\left( {\widehat {AC',\left( {C;{\text{IJ}}} ight)}} ight) = \left( {\widehat {AC',AK}} ight) = \alpha$
Ta có $\sin \alpha = \frac{{d\left( {A,\left( {C'{\text{IJ}}} ight)} ight)}}{{AC'}} = \frac{{3d\left( {C,\left( {C'{\text{IJ}}} ight)} ight)}}{{\sqrt {17} }}$
Trong (ABCD) kẻ tại E
$\left\{ \begin{gathered} IJ \bot CE \hfill \\ IJ \bot CC\prime \hfill \\ CE \subset \left( {CEC'} ight) \hfill \\ \,CC' \subset \left( {CEC'} ight) \hfill \\ CE \cap CC' = C \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow IJ \bot \left( {CEC'} ight) \Rightarrow \left( {C'IJ} ight) \bot \left( {CEC'} ight)$
Trong (CEC’) kẻ $CH \bot C'E$ tại H
Suy ra $d\left( {C,\left( {C'{\text{IJ}}} ight)} ight) = CH = h$
Do đó $\sin \alpha = \frac{{3h}}{{\sqrt {17} }}$
Ta có:
$\begin{matrix} \dfrac{1}{{{h^2}}} = \dfrac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{4}{{{a^2}}} + \dfrac{4}{{{b^2}}} = \dfrac{1}{{{c^2}}} + 4\left( {\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}}} ight) \geqslant \dfrac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{{16}}{{{a^2} + {b^2}}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{h^2}}} \geqslant \frac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{{16}}{{17 - {c^2}}} = \dfrac{{17 - {c^2} + {c^2}}}{{17{c^2}}} + \dfrac{{16\left( {17 - {c^2} + {c^2}} ight)}}{{17\left( {17 - {c^2}} ight)}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{h^2}}} \geqslant \dfrac{{17 - {c^2}}}{{17{c^2}}} + \dfrac{{16{c^2}}}{{17\left( {17 - {c^2}} ight)}} + 1 \geqslant 2.\dfrac{4}{{17}} + 1 = \dfrac{{25}}{{17}} \Leftrightarrow h \leqslant \dfrac{{\sqrt {17} }}{5}. \hfill \\ \Rightarrow \sin \alpha \leqslant \dfrac{3}{5}. \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy đạt giá trị lớn nhất là $\frac{3}{5}$
Dấu xảy ra khi: $\left\{ \begin{gathered} {a^2} = {b^2} = \frac{{34}}{5} \hfill \\ {c^2} = \frac{{17}}{5} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = b = \sqrt {\frac{{34}}{5}} \hfill \\ c = \sqrt {\frac{{17}}{5}} \hfill \\ \end{gathered} ight.$
Câu 15: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Công thức tính thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy $B$ và chiều cao $h$ là:
- A.
  $V = \frac{1}{3}B.h$
- B.
  $V = \frac{4}{3}B.h$
- C.
  $V = B.h$
- D.
  $V = 3B.h$
Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy $B$ và chiều cao $h$ là:

$V = B.h$
Câu 16: Thông hiểu
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA = $a\sqrt{3}$ . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD là:
- A.
  $\frac{a\sqrt{3}}{2}$
- B.
  $\frac{a}{2}$
- C.
  $a\sqrt{3}$
- D.
  $a$
Hình vẽ minh họa:

Ta có:

BC ⊥ AB

BC ⊥ SA

=> BC ⊥ (SAB).

Vì SB ⊂ (SAB) và CD // (SAB) => d(SB, CD) = d(CD, (SAB)) = d(C, (SAB)) = BC = a
Câu 17: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông $ABCD$ cạnh bằng $a$ và cạnh bên đều bằng $a$ . Gọi $M;N$ lần lượt là trung điểm của $AD;SD$ . Khi đó $(MN,SC)$ bằng:
- A. 90⁰
- B. 60⁰
- C. 80⁰
- D. 45⁰
Ta có: $MN//SA \Rightarrow (MN,SC) = (SA,SC)$

Lại có $AC = a\sqrt{2}$

Xét tam giác $SAC$ có $AC^{2} = SA^{2} + SC^{2}$

Theo định lí Pythagore đảo suy ra tam giác $SAC$ vuông tại $S$

Suy ra $\widehat{ASC} = 90^{0}$ hay $(MN,SC) = (SA,SC) = 90^{0}$
Câu 18: Thông hiểu
Góc tạo bởi đường thẳng AB’ và mặt phẳng (BDD’B’)

Cho hình lập phương ABCD.A’B’CD’D. Tính góc tạo bởi đường thẳng AB’ và mặt phẳng (BDD’B’)
- A. $60^0$
- B. $90^0$
- C. $45^0$
- D. $30^0$
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Khi đó ta có $AO \bot BD$ (1).
Mặt khác ta lại có ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên $BB' \bot \left( {ABCD} ight)$
$\Rightarrow BB' \bot AO$ (2)
Từ (1) và (2) ta có $AO \bot \left( {BDD'B'} ight)$ tại O
Khi đó B’O là hình chiếu của AB’ lên mặt phẳng (BDD’B’).
Suy ra góc tạo bởi đường thẳng AB’ và mặt phẳng (BDD’B’) là $\widehat {AB'O}$
Xét tam giác vuông AB’O có $\sin \widehat {AB'O} = \frac{{AO}}{{AB'}} = \frac{1}{2}$
Vậy $\widehat {\left( {AB',\left( {BDD'B'} ight)} ight)} = 30^\circ$
Câu 19: Nhận biết
Tìm tất cả các mặt phẳng thỏa mãn điều kiện

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Dựng mặt phẳng (P) cách đều năm điểm A, B, C, D và S. Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng (P) như vậy?
- A.
  4 mặt phẳng
- B.
  5 mặt phẳng
- C.
  1 mặt phẳng
- D.
  2 mặt phẳng
Gọi O là tâm hình bình hành ABCD.
Các mặt phẳng cách đều A, B, C, D và S là
1) Mặt phẳng qua trung điểm của SA, SB, SC, SD
2) Mặt phẳng qua O và song song (SAB)
3) Mặt phẳng qua O và song song (SAD)
4) Mặt phẳng qua O và song song (SCD)
5) Mặt phẳng qua O và song song (SBC)
Câu 20: Nhận biết
Chọn khẳng định có thể sai?

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau. Mệnh đề nào có thể sai?
- A. A’C’ ⊥ BD
- B. A’B ⊥ DC’
- C. BB’ ⊥ BD
- D. BC’ ⊥ A’D
Dễ thấy các đáp án A’C’ ⊥ BD, A’B ⊥ DC’, BC’ ⊥ A’D đúng
Đáp án BB’ ⊥ BD sẽ bị sai trong trường hợp hình hộp có cạnh bên không vuông góc với mặt đáy
Câu 21: Nhận biết
Chọn khẳng đính sai

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA\bot(ABCD)$ , tứ giác $ABCD$ là hình vuông. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?
- A.
  $(SAB)\bot(ABCD)$
- B.
  $(SAC)\bot(ABCD)$
- C.
  $(SAC)\bot(SBD)$
- D.
  $(SAB)\bot(SAC)$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} SA\bot(ABCD) \\ SA \subset (SAB) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (SAB)\bot(ABCD)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} SA\bot(ABCD) \\ SA \subset (SAC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (SAC)\bot(ABCD)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BD\bot AC \\ BD\bot SA \\ AC \cap SA = \left\{ A ight\} \\ AC;SA \subset (SAC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} BD\bot(SAC) \\ BD \subset (SBD) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow (SBD)\bot(SAC)$

$\left( (SAB);(SAC) ight) = (AD;BD) = 45^{0}$
Câu 22: Thông hiểu
Tính thể tích khối chóp tam giác

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$ . Góc tạo bởi cạnh bên $SA$ và mặt phẳng đáy bằng $60^{0}$ . Thể tích khối chóp $S.BCD$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $\frac{a^{3}\sqrt{6}}{3}$
- B.
  $\frac{a^{3}\sqrt{6}}{4}$
- C.
  $\frac{a^{3}\sqrt{6}}{12}$
- D.
  $\frac{3a^{3}\sqrt{6}}{4}$
Hình vẽ minh họa

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD

Ta có: tam giác SAC cân, O là trung điểm của AC nên $SO\bot CA$

Tương tự tam giác SBD cân, O là trung điểm của BD nên $SO\bot BD$

$\Rightarrow SO\bot(ABCD)$

Suy ra OA là hình chiếu vuông góc của SA lên mặt phẳng đáy

$\Rightarrow \left( SA;(ABCD) ight) = \widehat{SAO} = 60^{0}$

ABCD là hình vuông nên $OA = \frac{1}{2}AC = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Xét tam giác vuông SOA ta có:

$SO = AO.\tan\widehat{SDO} =\frac{a\sqrt{2}}{2}.\tan60^{0} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$

$\Rightarrow S_{BCD} = \frac{a^{2}}{2}$

$\Rightarrow V_{S.BCD} = \frac{1}{3}.SO.S_{BCD} = \frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{6}}{2}.\frac{a^{2}}{2} = \frac{a^{3}\sqrt{6}}{12}$
Câu 23: Nhận biết
Tính góc giữa SC với mặt phẳng (ABCD)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, cạnh SA ⊥ (ABCD) , $SA = a\sqrt{2}$ . Góc giữa SC với mặt phẳng (ABCD) là:
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $45^{0}$
- C.
  $90^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Hình vẽ minh họa:
Ta có: $\widehat{\left( SC,(ABCD) ight)}= \widehat{(SC,AC)} = \widehat{SCA}$
Lại có: $\tan\widehat{SCA} = \frac{SA}{AC}= \frac{SA}{AB\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}} = 1$
=> $\widehat{SCA} = 45^{0}$
Câu 24: Vận dụng cao
Chọn khẳng định đúng

Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M là trung điểm của AD, φ là góc giữa hai mặt phẳng (BMC’) và (ABB’A’). Khẳng định nào dưới đây đúng?
- A.
  $\cos\phi = \frac{3}{4}$
- B.
  $\cos\phi = \frac{4}{5}$
- C.
  $\cos\phi = \frac{1}{3}$
- D.
  $\cos\phi = \frac{2}{3}$
Hình vẽ minh họa:

Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương

=> MA, CB, C’B’ cùng vuông góc với (ABB’A’)

=> Tam giác MBC’ có hình chiếu vuông góc lên mặt phẳng (ABB’A’) là tam giác ABB’.

Ta có $S_{ABB'} = S_{MBC'}.cos\phi \Rightarrow \cos\phi = \frac{S_{ABB'}}{S_{MBC'}}$

Xét tam giác MBC’, ta có:

$\begin{matrix}MB = \sqrt{MA^{2} + AB^{2}} = \sqrt{\dfrac{a^{2}}{4} + a^{2}} =\dfrac{\sqrt{5}a}{2} \hfill\\C'B = \sqrt{2}a\hfill \\MC' = \sqrt{DM^{2} + DC'} = \sqrt{\dfrac{a^{2}}{4} + 2a^{2}} =\dfrac{3a}{2} \hfill\\\end{matrix}$

Đặt p = (MB + MC’ + BC’)/2

Áp dụng công thức Hê-rông ta có:

$S_{MBC'} = \sqrt{p(p - MC')(p - MB)(p - BC')} = \frac{3a^{2}}{4}$

Mặt khác $S_{ABB'} = \dfrac{a^{2}}{2}\Rightarrow \cos\phi = \dfrac{S_{ABB'}}{S_{MBC'}} =\dfrac{\dfrac{a^{2}}{2}}{\dfrac{3a^{2}}{4}} = \dfrac{2}{3}$
Câu 25: Thông hiểu
Chọn khẳng định sai

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm AC. Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  $BM \perp AC$
- B.
  $(SBM) \perp (SAC)$
- C.
  $(SAB) \perp (SBC)$
- D.
  $(SAB) \perp (SAC)$
Ta có:
$BC⊥AB,BC⊥SA⇒BC⊥(SAB)⇒(SBC)⊥(SAB)$
=> $(SAB) \perp (SAC)$ đúng.
ΔABC vuông cân tại B, M là trung điểm AC ⇒ $BM⊥AC$ ⇒ $BM \perp AC$ đúng.
$BM⊥AC,BM⊥SA⇒BM⊥(SAC)⇒(SBM)⊥(SAC)$
=> $(SBM) \perp (SAC)$ đúng
Câu 26: Thông hiểu
Số đo góc giữa đường thẳng A’C với mặt phẳng (AA’BB’)

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng $2\sqrt 2$ , AA’ = 4. Tính góc giữa đường thẳng A’C với mặt phẳng (AA’BB’).
- A. $30^0$
- B. $90^0$
- C. $60^0$
- D. $45^0$
Ta có $CB \bot \left( {AA'B'B} ight)$ tại B. Khi đó A’B là hình chiếu của A’C lên mặt phẳng (AA’B’B)
Vậy góc tạo bởi đường thẳng A’C và mặt phẳng (AA’BB’) là góc $\widehat {CA'B}$
Khi đó $\tan \widehat {CA'B} = \frac{{BC}}{{A'B}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( {2\sqrt 2 } ight)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \widehat {CA'B} = 30^\circ$
Câu 27: Nhận biết
Mệnh đề nào là mệnh đề đúng

Mệnh đề nào là mệnh đề đúng?
- A.
  Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng (P) bằng độ dài đoạn AH với H là một điểm bất kì trên mặt phẳng (P).
- B.
  Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng (P) bằng độ dài đoạn AH với AH vuông góc với (P).
- C.
  Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng (P) là độ dài nhỏ nhất của đoạn AH.
- D.
  Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng (P) bằng độ dài đoạn AH với H là hình chiếu vuông góc của A trên (P).
Khẳng định đúng: “Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng (P) bằng độ dài đoạn AH với H là hình chiếu vuông góc của A trên (P).”
Câu 28: Nhận biết
Chọn mệnh đề sai?

Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Mệnh đề nào sai?
- A.
  SA ⊥ BD
- B.
  SC ⊥ BD
- C.
  SO ⊥ BD
- D.
  AD ⊥ SC
Hình vẽ minh họa:

Ta có: SA ⊥ (ABCD) => SA vuông góc với BD.

Do tứ giác ABCD là hình thoi nên BD vuông góc với AC mà SA⊥BD => BD ⊥ (SAC)

=> BD ⊥ SC, BD ⊥ SO

Dễ thấy AD không vuông góc với SC vì nếu AD vuông góc với SC thì AD ⊥ AC vô lí
Câu 29: Thông hiểu
Chọn đáp án thích hợp

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ , cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt đáy và $SA = 2a$ . Gọi $M$ là trung điểm của $SC$ . Tính côsin của góc $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $BM$ và mặt phẳng $(ABC)$ ?
- A.
  $\cos\alpha = \frac{\sqrt{7}}{14}$ .
- B.
  $\cos\alpha = \frac{2\sqrt{7}}{7}$ .
- C.
  $\cos\alpha = \frac{\sqrt{5}}{7}$ .
- D.
  $\cos\alpha = \frac{\sqrt{21}}{7}$ .
Hình vẽ minh họa

Gọi $H$ là trung điểm cạnh $AC$ .

Khi đó $HM//SA$ nên $HM$ vuông góc $(ABC)$ tại $H$ .

Do đó $\left( \widehat{BM,(ABC)} ight) = \left( \widehat{BM,BH} ight) = \widehat{MBH}$ do $\Delta MBH$ vuông tại $H$ .

Ta có:

$\cos\widehat{MBH} = \frac{BH}{BM} = \frac{BH}{\sqrt{HM^{2} + BH^{2}}}$ $= \dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{a^{2} + \left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2} ight)^{2}}} = \dfrac{\sqrt{21}}{7}$ .
Câu 30: Thông hiểu
Tính tích vô hướng của hai vecto

Cho hình chóp OABC có OA = OB = OC = 1, các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi M là trung điểm của AB. Tính tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow {OC} ;\overrightarrow {MA}$ .
- A. 0
- B. 1
- C. -1
- D. $\frac{1}{2}$
Ta có:
$\begin{matrix} \overrightarrow {OC} .\overrightarrow {MA} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {OC} .\overrightarrow {BA} \hfill \\ = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {OC} .\left( {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} } ight) \hfill \\ = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {OC} .\overrightarrow {OA} - \dfrac{1}{2}\overrightarrow {OC} .\overrightarrow {OB} \hfill \\ = 0 - 0 = 0 \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {OC} .\overrightarrow {MA} = 0 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 31: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Tính thể tích khối lăng trụ đứng tam giác, đáy là tam giác đều cạnh $2a$ , cạnh bên bằng $3a$ .
- A.
  $6\sqrt{3}a^{3}$
- B.
  $3\sqrt{3}a^{3}$
- C.
  $2\sqrt{3}a^{3}$
- D.
  $\sqrt{2}a^{3}$
Hình vẽ minh họa

Khối lăng trụ đã cho có đáy là tam giác đều cạnh bằng 2a nên diện tích là $\frac{(2a)^{2}\sqrt{3}}{4}$ và chiều cao $AA' = 3a$ (vì lăng trụ là lăng trụ đứng)

Vậy thể tích hình lăng trụ là: $V = \frac{(2a)^{2}\sqrt{3}}{4}.3a = 3\sqrt{3}a^{3}$
Câu 32: Vận dụng
Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của SC. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng BM và AC.
- A. $\frac{{\sqrt 6 }}{6}$
- B. $\frac{{\sqrt 6 }}{4}$
- C. $\frac{{\sqrt 6 }}{{12}}$
- D. $\frac{{\sqrt 6 }}{3}$
Hình vẽ minh họa:
Gọi H là tâm của hình vuông ABCD khi đó $SH \bot \left( {ABCD} ight)$
Ta có:
$\begin{matrix} \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {HM} - \overrightarrow {HB} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {HS} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {HC} - \overrightarrow {HB} \hfill \\ \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {HC} \hfill \\ HC \bot HB,HC \bot SH \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BM} = H{C^2} = \dfrac{{A{C^2}}}{4} = \dfrac{{{a^2}}}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
Vì tam giác SBC đều cạnh a và BM là trung tuyến nên $BM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$
Khi đó: $\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BM} } ight) = \frac{{\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BM} }}{{AC.BM}} = \frac{1}{{\sqrt 6 }} > 0$
Câu 33: Nhận biết
Tính góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (A’B’C’)

Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (A’B’C’) bằng:
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $45^{0}$
- C.
  $30^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hình vẽ minh họa:
Vì BB’ ⊥ (A’B’C’) nên A’B’ là hình chiếu vuông góc của A’B lên (A’B’C’)
=> Góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (A’B’C’) là $\widehat{BA'B'}$
Ta có: A’B’ = BB’ = a nên tam giác B’A’B vuông cân tại B’
=> $\widehat{BA'B'} =45^{0}$
Câu 34: Vận dụng
Tìm khẳng định đúng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, $AD = a\sqrt{3}$ chiếu vuông góc H của S trên mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm tam giác ABC và $SH = \frac{a}{2}$ . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và SC. Gọi α là góc giữa đường thẳng MN với mặt phẳng (ABCD). Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $\tan\alpha = \frac{4}{3}$
- B.
  $\tan\alpha = \frac{3}{4}$
- C.
  $\tan\alpha = \frac{2}{3}$
- D.
  $\tan\alpha = 1$
Hình vẽ minh họa:

Ta có: MN // SB

=> $\left( MN,(ABCD) ight) = \left( SB;(ABCD) ight)$

Do SH ⊥ (ABCD)

$\begin{matrix} \Rightarrow \left( MN,(ABCD) ight) = \left( SB;(ABCD) ight) \\ = (SB;HB) = \widehat{SBH} \\ \end{matrix}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}BD = \sqrt{AB^{2} + AD^{2}} = 2a \\BH = \dfrac{BD}{3} = \dfrac{2a}{3} \\\end{matrix} ight.$

=> $\tan\widehat{SBH} = \frac{SH}{BH} = \frac{3}{4}$
Câu 35: Thông hiểu
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ ; $SA\bot(ABCD);SA = a\sqrt{2}$ . Tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau $AC$ và $SB$ bằng:
- A.
  $\frac{a\sqrt{10}}{5}$
- B.
  $\frac{3a}{2}$
- C.
  $\frac{2a}{3}$
- D.
  $a$
Hình vẽ minh họa

Kẻ đường thẳng d qua B và song song AC

Gọi M là hình chiếu vuông góc của A lên d

Gọi H là hình chiếu của A lên SM.

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} SA\bot BM \\ BM\bot AM \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BM\bot(SAM) \Rightarrow AH\bot(SBM)$

$\Rightarrow d(AC;SB) = d\left( A;(SBM) ight) = AH$

Xét tam giác SAM có đường cao AH nên

$\frac{1}{AH^{2}} = \frac{1}{AS^{2}} + \frac{1}{AM^{2}} = \frac{5}{2a^{2}}$

$\Rightarrow AH = \frac{a\sqrt{10}}{5}$
Câu 36: Vận dụng cao
Tính cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I)

Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB = AC = BB’ = a, $\widehat{BAC} = 120^{0}$ . Gọi I là trung điểm của CC’. Tính cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I).
- A.
  $\frac{\sqrt{2}}{2}$
- B.
  $\frac{3\sqrt{5}}{12}$
- C.
  $\frac{\sqrt{30}}{10}$
- D.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$
Hình vẽ minh họa:
Gọi E là giao điểm của B’I và BC, H thuộc BC sao cho EA ⊥ AH tại A, K ∈ B’I sao cho KH ⊥ CB tại H.
Ta có: KH ⊥ CB => KH // CC’
=> KH ⊥ (ABC) tại H => KH ⊥ EA mà EA ⊥ AH => EA ⊥ (AKH) => EA ⊥ AK
Góc giữa hai mặt phẳng (AIB’) và (ACB) là $\widehat{KAH}$
Ta có: BC = 2a.cos 30⁰ = $a\sqrt{3}$
Mặt khác AE² = EC² + AC² − 2AC.EC. cos ACE
AE² = 3a² + a² − 2a. $a\sqrt{3}$ .cos 150⁰= 7a²
=> $AE = a\sqrt{7}$
Ta có:
$\cos\widehat{AEC} = \frac{AE^{2} +EC^{2} - AC^{2}}{2.AE.EC} = \frac{9}{2\sqrt{21}}$
$\tan\widehat{AEC} =\sqrt{\frac{1}{cos^{2}\widehat{AEC}} - 1} =\frac{\sqrt{3}}{9}$
Ta có:
$\frac{EH}{EB} =\frac{HK}{BB'}$
$\Rightarrow HK = \frac{BB'.EH}{EB} =\frac{AE.BB'}{2BC.cos\widehat{AEC}} = \frac{7a}{9}$
$\cos\widehat{KAH} = \frac{AH}{AK} =\frac{AH}{\sqrt{AH^{2} + HK^{2}}} = \frac{\sqrt{30}}{10}$
Câu 37: Thông hiểu
Chọn khẳng định sai?

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA ⊥(ABC). Kẻ AH ⊥ SB. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định dưới đây?
- A.
  SA ⊥ BC
- B.
  AB ⊥ BC
- C.
  AH ⊥ AC
- D.
  AH ⊥ SC
Hình vẽ minh họa:

AB ⊥ BC (hiển nhiên đúng)

Ta có: SA ⊥(ABC) mà BC nằm trong (ABC) => SA ⊥ BC

Ta lại có:

$\begin{matrix}\left\{ \begin{matrix}BC\bot BA \subset (SAB) \\BC\bot SA \subset (SAB) \\BA \cap SA = A \hfill \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAB) \hfill\\\Rightarrow BC\bot AH \hfill\\\left\{ \begin{matrix}BC\bot AH \\SB\bot AH \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow AH\bot(SBC) \Rightarrow SC\bot AH \hfill \\\end{matrix}$

Dễ thấy AH ⊥ AC là khẳng định sai.
Câu 38: Nhận biết
Xác định mệnh đề đúng

Chọn mệnh đề đúng?
- A.
  Cho đường thẳng $a\bot(\alpha)$ , mọi mặt phẳng $(\beta)//(\alpha)$ thì $(\beta)\bot a$ .
- B.
  Cho hai đường thẳng $a;b$ vuông góc với nhau, nếu mặt phẳng $(\alpha)$ chứa $a$ thì $b\bot(\alpha)$ .
- C.
  Cho hai đường thẳng vuông góc với nhau, nếu mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì song song với đường thẳng kia.
- D.
  Cho hai đường thẳng chéo nhau, luôn luôn có mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.
Mệnh đề đúng: “Cho đường thẳng $a\bot(\alpha)$ , mọi mặt phẳng $(\beta)//(\alpha)$ thì $(\beta)\bot a$ ”.

Minh họa bằng hình vẽ:
Câu 39: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB = BC = a;AA' = a\sqrt{6}$ (như hình vẽ)

Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $A'C$ và mặt phẳng đáy $(ABCD)$ . Khi đó:
- A.
  $\cos\alpha = \frac{1}{2}$
- B.
  $\cos\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$
- C.
  $\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$
- D.
  $\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left( A'C;(ABCD) ight) = (A'C;AC) = \widehat{A'CA} = \alpha$

Lại có: $AC = \sqrt{AB^{2} + BC^{2}} = a\sqrt{2}$

Xét tam giác $A'CA$ ta có:

$\Rightarrow \tan\alpha = \frac{AA}{AC} = \frac{a\sqrt{6}}{a\sqrt{2}} = \sqrt{3}$

$\Rightarrow \cos\alpha = \frac{1}{2}$
Câu 40: Thông hiểu
Tính khoảng cách d từ O đến mặt phẳng (SBC)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Cạnh bên $SA=\frac{a\sqrt{15}}{2}$ và vuông góc với mặt đáy (ABCD). Tính khoảng cách d từ O đến mặt phẳng (SBC)
- A.
  $d=\frac{a\sqrt{285}}{19}$
- B.
  $d=\frac{\sqrt{285}}{38}$
- C.
  $d=\frac{a\sqrt{285}}{38}$
- D.
  $d=\frac{a\sqrt{2}}{2}$
Ta có:
$\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {AO \cap \left( {SBC} ight) = C} \\ {AC = 2OC} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} ight)} ight) = 2d\left( {O;\left( {SBC} ight)} ight) \hfill \\ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {SA \bot \left( {ABCD} ight) \Rightarrow SA \bot BC} \\ {AB \bot BC} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Từ A kẻ $AH \bot SB$ => $AH \bot \left( {SBC} ight)$
$\begin{matrix} \Rightarrow AH = d\left( {A;\left( {SBC} ight)} ight) \hfill \\ \dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{B^2}}} \hfill \\ \Rightarrow AH = \dfrac{{SA.AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt {285} }}{{19}} \hfill \\ \Rightarrow d\left( {O;\left( {SBC} ight)} ight) = \dfrac{1}{2}AH = \dfrac{{a\sqrt {285} }}{{19}} \hfill \\ \end{matrix}$

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

24 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 Chân trời sáng tạo
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân
Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số ghép số liệu nhóm
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Đạo hàm
Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 9: Xác suất

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 11 Chân trời sáng tạo

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân

Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian

Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số ghép số liệu nhóm

Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 7: Đạo hàm

Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian

Chương 9: Xác suất