VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 CTST Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Thông hiểu
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ ; $SA = a;SA\bot(ABCD)$ . Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SC;BD$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $\frac{a\sqrt{6}}{6}$
- B.
  $a\sqrt{6}$
- C.
  $a\sqrt{3}$
- D.
  $a$
Hình vẽ minh họa

Dựng $Cx//BD;(\alpha) = (SC;Cx)$

$\Rightarrow d(BD;SC) = d\left( BD;(\alpha) ight)$

$d\left( BD;(\alpha) ight) = d\left( O;(\alpha) ight) = \frac{1}{2}d\left( A;(\alpha) ight)$

Dựng $AK\bot SC$ . Dễ thấy $AK\bot(\alpha) \Rightarrow d\left( A;(\alpha) ight) = AK$

$\frac{1}{AK^{2}} = \frac{1}{SA^{2}} + \frac{1}{AC^{2}} \Rightarrow AK = \frac{a\sqrt{6}}{3}$

$\Rightarrow d\left( O;(\alpha) ight) = \frac{a\sqrt{6}}{3}$
Câu 2: Vận dụng

Điền đáp án vào ô trống

Giả sử $V$ là thể tích khối tứ diện đều $ABCD$ . Trung điểm tất cả các cạnh của tứ diện tạo thành một đa diện có thể tích $V'$ . Tỉ số $\frac{V'}{V} =$ 1/2

(Kết quả được ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Đáp án là:

Giả sử $V$ là thể tích khối tứ diện đều $ABCD$ . Trung điểm tất cả các cạnh của tứ diện tạo thành một đa diện có thể tích $V'$ . Tỉ số $\frac{V'}{V} =$ 1/2

(Kết quả được ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Hình vẽ minh họa

Giả sử tứ diện đều cạnh bằng a

Hình đa diện cần tính có được bằng cách cắt 4 góc tứ diện

Mỗi góc cũng là một tứ diện đều có cạnh bằng $\frac{a}{2}$

Do đó thể tích phần cắt bỏ là $V'' = 4.\frac{V}{8} = \frac{V}{2}$

(Vì tứ diện cạnh giảm một nưả thì thể tích giảm $\left( \frac{1}{2} ight)^{3} = \frac{1}{8}$

Vậy $V' = \frac{V}{2} \Rightarrow \frac{V'}{V} = \frac{1}{2}$
Câu 3: Vận dụng cao
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và SA = SB = SC = 11, $\widehat{SAB} = 30^{0}$ , $\widehat{SBC} = 60^{0};\widehat{SCA} =45^{0}$ . Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AB và SD?
- A.
  $d = 4\sqrt{11}$
- B.
  $d = 2\sqrt{22}$
- C.
  $d =\frac{\sqrt{22}}{2}$
- D.
  $d = \sqrt{22}$
Hình vẽ minh họa:
Dựa vào định lý cosin ta dễ dàng tính được BC = 11, $AB = 11\sqrt{3};AC = 11\sqrt{2}$
=> ∆ABC vuông tại C
Do SA = SB = SC, nên hình chiếu của S xuống mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của AB
=> SH ⊥ (ABCD) và $SH =SA.sin\widehat{SAB} = \frac{11}{2}$
Kẻ HK ⊥ CD, AP ⊥ CD, tứ giác APKH là hình chữ nhật, $HK = AP = \frac{11\sqrt{6}}{3}$ (Do $\frac{1}{AP^{2}} = \frac{1}{AD^{2}} +\frac{1}{AC^{2}}$ )
Trong tam giác vuông SHK, kẻ HI ⊥ SK
Do AB // CD => d(AB, SD) = d(H, SD) = HI
Ta có: $\frac{1}{HI^{2}} =\frac{1}{SH^{2}} + \frac{1}{SK^{2}} \Rightarrow HI =\sqrt{22}$
Câu 4: Thông hiểu
Tính số đo góc giữa hai đường thẳng

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $a$ . Gọi $I;J$ lần lượt là trung điểm của $SC;BC$ . Tính số đo góc giữa hai đường thẳng $JI$ và $CD$ ?
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hình vẽ minh họa
Từ giả thiết ta có: $JI//AB$ (do IJ là đường trung bình tam giác SAB)
$\Rightarrow (IJ;CD) =(SB;AB)$
Mặt khác ta lại có tam giác SAB đều nên $\widehat{SBA} = 60^{0}$
$\Rightarrow (SB;AB) = 60^{0} \Rightarrow(IJ;CD) = 60^{0}$
Câu 5: Vận dụng
Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và AB’

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và AB’ bằng:
- A.
  $\frac{a\sqrt{21}}{7}$
- B.
  $\frac{a\sqrt{3}}{2}$
- C.
  $\frac{a\sqrt{7}}{4}$
- D.
  $\frac{a\sqrt{2}}{2}$
Hình vẽ minh họa:
Ta có BC // B’C’ => BC // (AB’C’)
=> d(BC, AB’) = d(BC, (AB’C’)) = d(B, (AB’C’)) = d(A’ ,(AB’C’))
Gọi I và H lần lượt là hình chiếu vuông góc của A’ trên B’C’ và AI
Ta có: B’C’⊥ A’I và B’C’⊥ A’A nên B’C’⊥ (A’AI) => B’C’⊥ A’H
Mà AI ⊥ A’H
=> (AB’C’) ⊥ A’H.
Khi đó:
$d\left( A';(AB'C') ight) =A'H = \frac{AA'.A'I}{\sqrt{AA'^{2} +A'I^{2}}}$
$=\dfrac{a.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{a^{2} + \left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2}ight)^{2}}} = \dfrac{a\sqrt{21}}{7}$
Vậy khoảng cách cần tìm là $\frac{a\sqrt{21}}{7}$
Câu 6: Thông hiểu
Tìm khẳng định sai?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, SA ⊥ (ABCD). I là trung điểm của SC. Khẳng định nào dưới đây sai?
- A.
  OI ⊥ (ABCD)
- B.
  BC ⊥ SB
- C.
  Tam giác SCD vuông tại D.
- D.
  Mặt phẳng (SAC) là mặt phẳng trung trực của BD.
Hình vẽ minh họa:

Ta có: O và I lần lượt là trung điểm của AC và SC

=> OI là đường trung bình của tam giác SAC

=> OI // SA

Mà SA ⊥ (ABCD) => OI ⊥ (ABCD)

Ta có: ABCD là hình chữ nhật => BC ⊥ AB

Mà SA ⊥ BC => BC ⊥ SB

Tương tự ta có: CD ⊥ AD, CD ⊥ SA => CD ⊥ SD

Nếu (SAC) là mặt phẳng trung trực của BD => BD ⊥ AC điều này không thể xảy ra vì ABCD là hình chữ nhật.

Vậy khẳng định sai là: “Mặt phẳng (SAC) là mặt phẳng trung trực của BD.”
Câu 7: Nhận biết
Tính tích vô hướng của hai vecto

Cho hình lập phương ABCD.A₁B₁C₁D₁ có cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của AD. Tính tích vô hướng của $\overrightarrow {{B_1}M} .\overrightarrow {B{D_1}}$
- A. $\frac{{{a^2}}}{2}$
- B. ${a^2}$
- C. $\frac{{3{a^2}}}{4}$
- D. $\frac{{3{a^2}}}{2}$
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
$\begin{matrix} \overrightarrow {B{D_1}} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {A{D_1}} \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {B{D_1}} = - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A{A_1}} + \overrightarrow {AD} \hfill \\ \overrightarrow {{B_1}M} = \overrightarrow {{B_1}A} + \overrightarrow {AM} \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {{B_1}M} = - \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {A{A_1}} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AD} \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {B{D_1}} .\overrightarrow {{B_1}M} = A{B^2} - A{A_1}^2 + \dfrac{1}{2}A{D^2} \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {B{D_1}} .\overrightarrow {{B_1}M} = \dfrac{{{a^2}}}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 8: Nhận biết
Tìm khẳng định đúng

Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều, $M$ là trung điểm của $BC$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $AM\bot A'B'$
- B.
  $AM\bot BB'$
- C.
  $AM\bot B'C'$
- D.
  $AM\bot A'C'$
Hình vẽ minh họa

Ta có tam giác ABC đều và M là trung điểm của BC nên $AM\bot BC$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AM\bot BC \\ BC//B'C' \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AM\bot B'C'$
Câu 9: Vận dụng
Tính cosin góc giữa hai đường thẳng

Cho tứ diện đều ABCD có M là trung điểm của cạnh CD, gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng AM và BC. Giá trị $\cos \varphi$ bằng:
- A. $\frac{{\sqrt 3 }}{6}$
- B. $\frac{{\sqrt 3 }}{4}$
- C. $\frac{{\sqrt 2 }}{3}$
- D. $\frac{{\sqrt 2 }}{6}$
Giả sử cạnh của tứ diện đều bằng a
Vì M là trung điểm của CD. Nên AM là đường cao trong tam giác ACD đều.
=> $AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$
Ta có:
$\begin{matrix} \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {CB} .\left( {\overrightarrow {CM} - \overrightarrow {CA} } ight) = \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CM} - \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CA} \hfill \\ = CB.CM.\cos \widehat {BCM} - CB.CA.\cos \widehat {ACB} \hfill \\ = a.\dfrac{a}{2}.\cos {60^o} - a.a.\cos {60^o} = - \dfrac{{{a^2}}}{4} \hfill \\ \end{matrix}$
=> $\cos \left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AM} } ight) = \dfrac{{\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AM} }}{{\left| {\overrightarrow {BC} } ight|.\left| {\overrightarrow {AM} } ight|}} = \dfrac{{\dfrac{{ - {a^2}}}{4}}}{{a.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{{ - \sqrt 3 }}{6}$

=> $\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AM} } ight)} ight| = \frac{{\sqrt 3 }}{6}$
Câu 10: Nhận biết
Tìm khẳng định đúng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
- A.
  AB vuông góc với mặt phẳng (SAC)
- B.
  AB vuông góc với mặt phẳng (SBC)
- C.
  AB vuông góc với mặt phẳng (SAD)
- D.
  AB vuông góc với mặt phẳng (SCD)
Khẳng định đúng là “AB vuông góc với mặt phẳng (SAD)”
Thật vậy, do SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AB
Mặt khác AB ⊥ AD.
Từ đó suy ra AB ⊥ (SDA)
Câu 11: Thông hiểu
Chọn kết luận đúng

Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ , $AC = a\sqrt{3}$ và $AA' = 3a$ . Chọn kết luận đúng về số đo góc giữa $A'C$ và $(ABC)$ ?
- A.
  $45^{0}$
- B.
  $90^{0}$
- C.
  $60^{0}$
- D.
  $30^{0}$
Hình vẽ minh họa

Ta có hình chiếu của A”C lên mặt phẳng (ABC) là AC

Suy ra $\left( A'C;(ABC) ight) = (A'C;AC) = \widehat{A'CA}$

Ta có: $\tan\widehat{A'CA} = \frac{AA'}{AC} = \frac{3a}{a\sqrt{3}} = \sqrt{3}$

$\Rightarrow \widehat{A'CA} = 60^{0} \Rightarrow \left( A'C;(ABC) ight) = 60^{0}$
Câu 12: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD, SA vuông góc với đáy. Kẻ AH vuông góc với SB (H ∈ SB). Chọn mệnh đề đúng.
- A.
  AH ⊥ SC
- B.
  AH ⊥ (SBD)
- C.
  AH ⊥ (SCD)
- D.
  AH ⊥ SD
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
SA ⊥ BC
AB ⊥ BC
=> BC ⊥ (SAB) => BC ⊥ AH
Mà AH ⊥ SB nên AH ⊥ (SBC) => AH ⊥ SC
Câu 13: Thông hiểu
Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng SA và BD

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng 2. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và $SO=\sqrt{3}$ . Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng SA và BD.
- A.
  $d = 2$
- B.
  $d=\frac{\sqrt{30}}{5}$
- C.
  $d=2\sqrt{2}$
- D.
  $d=\sqrt{2}$
Hình vẽ minh họa:
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {BD \bot AC} \\ {BD \bot SO} \end{array} \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} ight)} ight.$
Trong (SAC) kẻ OK⊥SA(1) ta có:
$OK⊂(SAC)⇒OK⊥BD(2)$
Từ (1) và (2) ta có OK là đường vuông góc chung của SA và BD
Khi đó $d(SA;BD)=OK$
$\begin{matrix} OK = \dfrac{{SO.OA}}{{\sqrt {S{O^2} + O{A^2}} }} \hfill \\ = \dfrac{{\sqrt 3 .\dfrac{{2\sqrt 2 }}{2}}}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } ight)}^2} + {{\left( {\dfrac{{2\sqrt 2 }}{2}} ight)}^2}} }} = \dfrac{{\sqrt {30} }}{5} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 14: Nhận biết
Tính thể tích V của hình chóp tam giác

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ , $SA\bot(ABC);V_{S.ABC} = \frac{a^{3}}{4}$ . Tính chiều cao hình chóp $S.ABC$ ?
- A.
  $\frac{a\sqrt{3}}{2}$
- B.
  $\frac{a\sqrt{3}}{3}$
- C.
  $a\sqrt{3}$
- D.
  $2a\sqrt{3}$
Ta có:

$SA\bot(ABC)$ nên SA là chiều cao của hình chóp.

Do tam giác ABC đều cạnh a nên $S_{ABC} = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$

Ta lại có:

$V_{S.ABC} = \dfrac{1}{3}SA.S_{ABC}\Rightarrow SA = \dfrac{3V_{S.ABC}}{S_{ABC}} =\dfrac{3.\dfrac{a^{3}}{4}}{\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{4}} =a\sqrt{3}$
Câu 15: Nhận biết
Chọn khẳng định sai trong các mệnh đề đã cho

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
- A.
  Cho đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và b nằm trong mặt phẳng (P). Mọi mặt phẳng (Q) chứa a và vuông góc với b thì (P) vuông góc với (Q).
- B.
  Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và mặt phẳng (P) chứa a, mặt phẳng (Q) chứa b thì (P) vuông góc với (Q).
- C.
  Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P), mọi mặt phẳng (Q) chứa a thì (P) vuông góc với (Q).
- D.
  Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.
Trong trường hợp a và b vuông góc nhau và chéo nhau, nếu (P) ⊃ a, (P) // b và (Q) ⊃ b, (Q) // a thì (P) // (Q).
Câu 16: Thông hiểu
Xác định cosin góc giữa hai đường thẳng SB và AC

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, biết: $AB = a,AD = SA = a\sqrt 3$ . Hai bên mặt SAB và SAD vuông tại a. Gọi μ là góc giữa hai đường thẳng SB và AC. Tính cosμ?
- A. $\cos \mu = \frac{1}{3}$
- B. $\cos \mu = \frac{1}{4}$
- C. $\cos \mu = \frac{{\sqrt 3 }}{4}$
- D. $\cos \mu = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
$\begin{matrix} \cos \left( {\overrightarrow {SB} ;\overrightarrow {AC} } ight) = \dfrac{{\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AC} }}{{SB.AC}} = \dfrac{{\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AC} }}{{4{a^2}}} \hfill \\ \overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AC} = \left( {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AB} } ight).\overrightarrow {AC} \hfill \\ = \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \hfill \\ \end{matrix}$
Ta lại có:
$\begin{matrix} \overrightarrow {AS} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AS} .\left( {m\overrightarrow {AB} + n\overrightarrow {AC} } ight) = 0 \hfill \\ \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 2.2a.\cos {60^0} = {a^2} \hfill \\ \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {AC} } ight) = \frac{1}{4} \hfill \\ \Rightarrow \cos \mu = \frac{1}{4} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 17: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng?

Cho tam giác ABC vuông tại A và có hai đỉnh B và C nằm trên mặt phẳng (P). Gọi A’ là hình chiếu vuông góc của đỉnh A lên mặt phẳng (P). Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
- A.
  Tam giác A’BC là tam giác vuông.
- B.
  Tam giác ABC’ là tam giác nhọn.
- C.
  Tam giác A’BC là tam giác tù.
- D.
  Tam giác A’BC là tam giác có góc A’ không bé hơn một góc vuông.
$\begin{matrix} \overrightarrow{A'B}.\overrightarrow{A'C} = \overrightarrow{A'A}.\overrightarrow{A'C} + \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A'C} \\ = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A'C} = \overrightarrow{AB}.\left( \overrightarrow{A'A} + \overrightarrow{AC} ight) \\ = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A'A} = - \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AA'} < 0 \\ \end{matrix}$

=> Góc BA’C là góc tù.
Câu 18: Thông hiểu
Xác định thể tích khối chóp S.ABCD

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $x$ ; $SA\bot(ABCD)$ . Góc tạo bởi cạnh $SC$ và mặt phẳng $(SAB)$ bằng $30^{0}$ . Xác định thể tích khối chóp $S.ABCD$ .
- A.
  $V = \sqrt{2}x^{3}$
- B.
  $V = \frac{\sqrt{2}x^{3}}{3}$
- C.
  $V = \frac{\sqrt{6}x^{3}}{3}$
- D.
  $V = \frac{2x^{3}}{3}$
Hình vẽ minh họa

Do ABCD là hình vuông cạnh bằng x nên $S_{ABCD} = x^{2}$

Dễ dàng chứng minh được $BC\bot(SAB)$

$\Rightarrow \left( SC;(SAB) ight) = \widehat{CSB} = 30^{0}$

Đặt $SA = m \Rightarrow SB = \sqrt{m^{2} + x^{2}}$

Tam giác SBC vuông tại B nên $\tan\widehat{CSA} = \tan30^{0} = \frac{1}{\sqrt{3}}= \frac{BC}{SB}$

Ta được:

$BC = SB\sqrt{3} \Leftrightarrow \sqrt{m^{2} + x^{2}} = x\sqrt{3} \Rightarrow m = x\sqrt{2}$

Vậy diện tích hình chóp là:

$V = \frac{1}{3}SA.S_{ABCD} = \frac{1}{3}.x\sqrt{2}.x^{2} = \frac{x^{3}\sqrt{2}}{3}$
Câu 19: Nhận biết
Tính chiều cao của hình chóp

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Chiều cao của hình chóp bằng:
- A.
  $\frac{a\sqrt{2}}{3}$
- B.
  $\frac{a\sqrt{3}}{2}$
- C.
  $\frac{a\sqrt{3}}{4}$
- D.
  $\frac{a\sqrt{2}}{2}$
Hình vẽ minh họa:

Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên đáy ABCD là hình vuông và các cạnh bên bằng nhau.

Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD).

Khi đó các tam giác SOA, SOB, SOC, SOD bằng nhau nên bốn đoạn thẳng OA, OB, OC, OD bằng nhau.

Suy ra O trùng với tâm của hình vuông ABCD, hay O là giao điểm của AC và BD. Vậy chiều cao của hình chóp là:

$\begin{matrix}SO = \sqrt{SB^{2} - OB^{2}} \hfill \\= \sqrt{a^{2} - \dfrac{a^{2}}{2}} = \sqrt{\dfrac{a^{2}}{2}} =\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\hfill \\\end{matrix}$
Câu 20: Nhận biết

Điền đáp án vào ô trống

Cho khối chóp và lăng trụ có diện tích đáy, chiều cao tương ứng với nhau và thể tích lần lượt là $V$ và $V'$ . Khi đó tỉ số $\frac{V}{V'} =$ 1/3

(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Đáp án là:

Cho khối chóp và lăng trụ có diện tích đáy, chiều cao tương ứng với nhau và thể tích lần lượt là $V$ và $V'$ . Khi đó tỉ số $\frac{V}{V'} =$ 1/3

(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Ta có:

Thể tích khối chóp là: $V = \frac{1}{3}B.h$

Thể tích hình lăng trụ là: $V' = B.h$

Khi đó: $\dfrac{V}{V'} =\dfrac{\dfrac{1}{3}B.h}{B.h} = \dfrac{1}{3}$
Câu 21: Thông hiểu

Ghi đáp án vào ô trống

Một tấm ván hình chữ nhật $ABCD$ được dùng làm mặt phẳng nghiêng để kéo một vật lên khỏi hố sâu $2\ m$ . Cho biết $AB = 1\ m$ , $AD = 3,5\ m$ . Tính góc giữa đường thẳng $BD$ và đáy hố. (Kết quả làm tròn đến độ).

Đáp án : 33 $\ ^{0}$

Đáp án là:

Một tấm ván hình chữ nhật $ABCD$ được dùng làm mặt phẳng nghiêng để kéo một vật lên khỏi hố sâu $2\ m$ . Cho biết $AB = 1\ m$ , $AD = 3,5\ m$ . Tính góc giữa đường thẳng $BD$ và đáy hố. (Kết quả làm tròn đến độ).

Đáp án : 33 $\ ^{0}$

Gọi $H$ , $K$ lần lượt là hình chiếu của $C$ , $D$ lên đáy hố là mặt phẳng $(AKHB)$ .

Khi đó $BD$ có hình chiếu lên đáy là $KB$ , suy ra

$\left( BD,(AKHB) ight) = (BD,BK) = \widehat{DBK}$ .

Với độ sâu hố là $DK = CH = 2$ (m), ta có

$AK = \sqrt{AD^{2} - DK^{2}} = \frac{\sqrt{33}}{2}$ .

$KB = \sqrt{AK^{2} + AB^{2}} = \frac{\sqrt{37}}{2}$ .

$\tan DBK = \frac{DK}{KB} = \frac{4\sqrt{37}}{37}$

$\Rightarrow \widehat{DBK} \approx 33{^\circ}$ .
Câu 22: Nhận biết
Xác định các mặt phẳng vuông góc

Cho tứ diện OABC với các đường thẳng OA, OB, OC đôi một vuông góc. Bộ ba mặt phẳng vuông góc với nhau từng đôi một là
- A.
  (OAB), (ABC), (OCA).
- B.
  (OAB), (OBC), (OCA).
- C.
  (ABC), (OBC), (OAB).
- D.
  (ACB), (OBC), (OCA).
Dễ thấy rằng OA ⊥ (OBC), OB ⊥ (OCA), OC ⊥ (OAB)

Vậy bộ ba mặt phẳng vuông góc với nhau từng đôi một là (OAB), (OBC), (OCA).
Câu 23: Thông hiểu
Xác định góc giữa hai mặt phẳng

Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) và đáy ABC là tam giác vuông tại B. Xác định góc α giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC).
- A.
  $\alpha = \widehat{SBA}$
- B.
  $\alpha = \widehat{BCA}$
- C.
  $\alpha = \widehat{SCA}$
- D.
  $\alpha = \widehat{SBC}$
Hình vẽ minh họa:

Ta có:

Giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là BC. (1)

Ta có: SA ⊥ (ABC), mà đường thẳng BC nằm trong (ABC) => SA ⊥ BC.

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BC\bot BA \subset (SAB) \\ BC\bot SA \subset (SAB) \\ BA\ \cap \ SA\ = \ A \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAB)\ \ \ (2)$

Lại có: $\left\{ \begin{matrix} (SBA)\ \cap \ (ABC)\ = \ BA \\ (SBA)\ \cap \ (SBC)\ = \ BS \\ \end{matrix} ight.\ (3)$

Từ (1), (2), (3) => $\alpha = \widehat{SBA}$
Câu 24: Thông hiểu
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, đường chéo AC = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) (tham khảo hình vẽ). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD.
- A.
  $a\sqrt{2}$
- B.
  $\frac{a}{\sqrt{3}}$
- C.
  $\frac{a}{\sqrt{2}}$
- D.
  $a\sqrt{3}$
Hình vẽ minh họa:

Vì AB // CD ⇒ CD // (SAB)

=> d(CD, (SAB)) = d(D, (SAB))

Mà AD ⊥ (SAB) => d(D, (SAB)) = AD.

Xét tam giác ABD vuông tại A ta có:

AB² + AD² = BD² = 4a² => AD = $a\sqrt{2}$
Câu 25: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Trong không gian cho đường thẳng $\Delta$ và điểm $A$ . Qua điểm $A$ có bao nhiêu đường thẳng vuông góc với $\Delta$ ?
- A.
  $3$
- B.
  Vô số
- C.
  $1$
- D.
  $2$
Trong không gian có vô số đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
Câu 26: Nhận biết
Tỉ lệ khoảng cách

Giả sử đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (P) tại M. Trên ∆ lấy hai điểm A và B. Khi đó $\frac{d\left( A;(P) ight)}{d\left( B;(P) ight)}$ bằng:
- A.
  $\frac{2AM}{BM}$
- B.
  $\frac{AM}{2BM}$
- C.
  $\frac{AM}{BM}$
- D.
  $\frac{2AM}{3BM}$
$\frac{d\left( A;(P) ight)}{d\left( B;(P) ight)} = \frac{AM}{BM}$
Câu 27: Vận dụng cao
Tính giá trị cos α

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; SAB là tam giác cân tại S; AD = 3BC = 3AB = 3a. Gọi M là điểm thuộc đoạn AD sao cho AD = 3MD. Biết rằng SCM là tam giác đều. Gọi α là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD). Khi đó cos α nhận giá trị là
- A. $\frac{{2\sqrt 7 }}{7}$
- B. $\frac{{\sqrt {21} }}{7}$
- C. $\frac{{\sqrt {42} }}{{14}}$
- D. $\frac{{\sqrt {154} }}{{14}}$
Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.
Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a
=> MD = a; AM = 2a
Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.
Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và $HK = \frac{{3a}}{2}$
Ta có: $\left\{ \begin{gathered} AB \bot SK \hfill \\ AB \bot HK \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow AB \bot SH$ (1)
Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)
Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)
Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.
Suy ra $HM = HN = \frac{1}{2}CM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$ và $HM \bot HN$
Tam giác SCM đều cạnh bằng $a\sqrt 2$ nên $SH = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$
Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).
Ta có: $\frac{1}{{{d^2}}} = \frac{1}{{H{M^2}}} + \frac{1}{{H{N^2}}} + \frac{1}{{H{S^2}}}$
$= \frac{4}{{2{a^2}}} + \frac{4}{{2{a^2}}} + \frac{4}{{6{a^2}}} = \frac{{14}}{{3{a^2}}} \Rightarrow d = \frac{{a\sqrt {42} }}{{14}}$
Ta lại có:
$SB = \sqrt {S{H^2} + B{H^2}} = \sqrt {S{H^2} + B{K^2} + K{H^2}}$
$= \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{2} + \frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{9{a^2}}}{4}} = 2a$
Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)
Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc $\widehat {BSI} = \alpha$
Do BC // AD => BC //(SAD)
=> $BI = d\left( {B;\left( {SAD} ight)} ight) = d\left( {C;\left( {SAD} ight)} ight) = 2d\left( {H,\left( {SAD} ight)} ight) = \frac{{a\sqrt {42} }}{7}$
Trong tam giác vuông BIS ta có:
$\sin \alpha = \frac{{BI}}{{SB}} = \frac{{\sqrt {42} }}{{14}} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\sqrt {154} }}{{14}}$
Câu 28: Thông hiểu
Tính thể tích hình hộp chữ nhật

Cho khối hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy là hình vuông, đường chéo $BD = 4a$ . Biết góc giữa hai mặt phẳng $(A'BD)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $30^{0}$ . Khi đó thể tích hình hộp chữ nhật bằng bao nhiêu?
- A.
  $V = \frac{32\sqrt{3}a^{3}}{3}$
- B.
  $V = 48\sqrt{3}a^{3}$
- C.
  $V = 16\sqrt{3}a^{3}$
- D.
  $V = \frac{16\sqrt{3}a^{3}}{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi góc giữa mặt phẳng $(A'BD)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là $\alpha$ và $O = AC \cap BD$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AO\bot BD \\ AA'\bot BD \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A'O\bot BD$

$\Rightarrow \alpha = (AO;A'O) = \widehat{AOA'} = 30^{0}$

Ta có ABCD là hình vuông, BD = 4a nên $AB = AD = 2a\sqrt{2}$

Ta có: $AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD = 2a$

Xét tam giác AOA’ có $AA' = AO.tan30^{0} = \frac{2a\sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow V_{ABCD.A'B'C'D'} = AA'.S_{ABCD} = \frac{2a\sqrt{3}}{3}.8a^{2} = \frac{16a^{3}\sqrt{3}}{3}$
Câu 29: Vận dụng cao
Diện tích MNPQ bằng:

Cho tứ diện ABCD trong đó AB = 6; CD = 3, góc giữa AB và CD là 60⁰ và điểm M trên BC sao cho BM = 2MC. Mặt phẳng (P) qua M song song với AB và CD cắt BD, AD, AC lần lượt tại M, N, Q. Diện tích MNPQ bằng:
- A.
  $2\sqrt{2}$
- B.
  $\sqrt{3}$
- C.
  $2\sqrt{3}$
- D.
  $\frac{3}{2}$
Hình vẽ minh họa:

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} (MNPQ)//AB \\ (MNPQ) \cap (ABC) = MQ \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow MQ//AB$

Tương tự ta có: MN // CD, NP // AB, QP // CD

Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành

Ta có: (AB, CD) = (QM, MP) = 60⁰

Suy ra: $S_{MNPQ} = QM.QN.sin60^{0}$

Ta có:

$\begin{matrix}\Delta CMQ\sim\Delta CBA \hfill\\\Rightarrow \dfrac{CM}{CB} = \dfrac{MQ}{AB} = \dfrac{1}{3} \hfill\\\Rightarrow MQ = 2 \hfill\\\Delta AQN\sim\Delta ACD \hfill \\\Rightarrow \dfrac{AQ}{AC} = \dfrac{QN}{CD} = \dfrac{2}{3} \hfill\\\Rightarrow MQ = 2 \hfill \\\end{matrix}$

=> $S_{MNPQ} = QM.QN.sin60^{0} = 2.2.\frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$
Câu 30: Vận dụng
Tính diện tích thiết diện

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$ cạnh bằng $a$ , $SA\bot(ABCD);SA = a\sqrt{3}$ . Giả sử $(\alpha)$ là mặt phẳng đi qua điểm $B$ và vuông góc với $SC$ . Tính diện tích thiết diện tạo bởi hình chóp và mặt phẳng $(\alpha)$ ?
- A.
  $\frac{a^{2}\sqrt{15}}{10}$
- B.
  $\frac{a^{2}\sqrt{15}}{5}$
- C.
  $\frac{a^{2}\sqrt{15}}{20}$
- D.
  $\frac{a^{2}\sqrt{5}}{10}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BD\bot AC \\ BD\bot SA \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BD\bot(SAC)$

Từ O dựng OH vuông góc với SC

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} SC\bot BD \\ SC\bot OE \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow SC\bot(BDH)$

Lại có $\left\{ \begin{matrix} (\alpha) \cap (SBC) = BH \\ (\alpha) \cap (SCD) = HD \\ (\alpha) \cap (ABCD) = DB \\ \end{matrix} ight.$

Vậy thiết diện cần tìm là tam giác BHD

$S_{BHD} = \frac{1}{2}OH.BD = \frac{1}{2}\frac{SA.CO}{CA}.BD = \frac{a^{2}\sqrt{15}}{10}$
Câu 31: Thông hiểu
Tính góc ϕ giữa hai mặt phẳng

Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm SC. Tính góc ϕ giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD).
- A.
  ϕ = 90◦
- B.
  ϕ = 60◦
- C.
  ϕ = 45◦
- D.
  ϕ = 30◦
Hình vẽ minh họa:

Gọi M’ là trung điểm OC.

Khi đó MM’ // SO => MM’ ⊥ (ABCD).

Theo công thức diện tích hình chiếu, ta có:

$\begin{matrix}\cos\phi = \dfrac{S_{M'BD}}{S_{MBD}} = \dfrac{BD.MO}{BD.M'O} =\dfrac{MO}{M'O} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \hfill \\\Rightarrow \phi = 45^{0} \hfill \\\end{matrix}$
Câu 32: Thông hiểu
Xác định kết luận sai

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ , $SA\bot(ABC)$ . Gọi $H$ là chân đường cao kẻ từ đỉnh $A$ của tam giác $SAB$ . Xác định kết luận sai?
- A.
  $SA\bot BC$
- B.
  $AH\bot BC$
- C.
  $AH\bot AC$
- D.
  $AH\bot SC$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $SA\bot(ABC) ightarrow SA\bot BC$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BC\bot AB(gt) \\ BC\bot SA;\left( do\ \ SA\bot(ABC) ight) \\ AB \cap SA = A \\ AB;SA \subset (SAB) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow BC\bot(SAB)$

Lại có: $\left\{ \begin{matrix} AH\bot SB \\ AH\bot BC;\left( do\ \ BC\bot(SAB) ight) \\ SB \cap BC = B \\ AB;BC \subset (SBC) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow AH\bot(SBC) \Rightarrow AH\bot BC \Rightarrow AH\bot BC$
Câu 33: Thông hiểu
Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AB và DM

Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh bằng $1$ , $M$ là trung điểm của $BC$ . Khi đó $\cos(AB;DM)$ là:
- A.
  $\frac{\sqrt{3}}{6}$
- B.
  $\frac{1}{2}$
- C.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$
- D.
  $\frac{\sqrt{2}}{2}$
Hình vẽ minh họa

Gọi E là trung điểm cạnh AC. Khi đó ta có: EM // AB.

$\Rightarrow \cos(AB,DM) = \cos(EM;DM) = \widehat{DME}$

Ta có: $ABCD$ là tứ diện đều cạnh bằng 1 và $EA = EC;BM = MC$

$\Rightarrow DM = \frac{\sqrt{3}}{2};DE = \frac{\sqrt{3}}{2};EM = \frac{AB}{2} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow \cos\widehat{DME} = \frac{DM^{2} + ME^{2} - DE^{2}}{2.DM.EM} = \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$

$\Rightarrow \cos(AB,DM) = \frac{\sqrt{3}}{6}$
Câu 34: Thông hiểu
Chọn khẳng định sai?

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA ⊥(ABC). Kẻ AH ⊥ SB. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định dưới đây?
- A.
  SA ⊥ BC
- B.
  AB ⊥ BC
- C.
  AH ⊥ AC
- D.
  AH ⊥ SC
Hình vẽ minh họa:

AB ⊥ BC (hiển nhiên đúng)

Ta có: SA ⊥(ABC) mà BC nằm trong (ABC) => SA ⊥ BC

Ta lại có:

$\begin{matrix}\left\{ \begin{matrix}BC\bot BA \subset (SAB) \\BC\bot SA \subset (SAB) \\BA \cap SA = A \hfill \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAB) \hfill\\\Rightarrow BC\bot AH \hfill\\\left\{ \begin{matrix}BC\bot AH \\SB\bot AH \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow AH\bot(SBC) \Rightarrow SC\bot AH \hfill \\\end{matrix}$

Dễ thấy AH ⊥ AC là khẳng định sai.
Câu 35: Vận dụng
Xác định góc giữa hai vectơ

Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặp vecto $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {DH}$ ?
- A.
  45
- B.
  90
- C.
  120
- D.
  60
Hình vẽ minh họa
Ta có:
$\begin{matrix} \left\{ \begin{gathered} AB \bot AE \hfill \\ AE//DH \hfill \\ \end{gathered} ight. = > AB \bot DH \hfill \\ \Rightarrow \widehat {\left( {AB,DH} ight)} = {90^0} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 36: Vận dụng
Tính cosin góc giữa mặt phẳng (ABD) và (BCD)

Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC vuông tại A, AB = 6, AC = 8. Tam giác BCD có độ dài đường cao kẻ từ đỉnh C bằng 8. Mặt phẳng (BCD) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Cosin góc giữa mặt phẳng (ABD) và (BCD) bằng:
- A.
  $\frac{4}{\sqrt{17}}$
- B.
  $\frac{3}{\sqrt{17}}$
- C.
  $\frac{3}{\sqrt{34}}$
- D.
  $\frac{4}{\sqrt{34}}$
Hình vẽ minh họa:

Kẻ AH ⊥ BC tại H, CK ⊥ BD tại K, HI ⊥ BD tại I.

Theo giả thiết suy ra CK = 8.

Vì (ABC) ⊥ (BCD) AH ⊥ BC nên AH ⊥ (BCD).

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BD\bot HI \\ BD\bot AH \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BD\bot(AHI)$

=> Góc AIH là góc giữa hai mặt phẳng (ABD) và (BCD).

Xét tam giác ABC vuông tại A

$\begin{matrix}\Rightarrow \dfrac{1}{AH^{2}} = \dfrac{1}{AB^{2}} + \dfrac{1}{AC^{2}} \hfill \hfill\\\Rightarrow \dfrac{1}{AH^{2}} = \dfrac{1}{6^{2}} + \dfrac{1}{8^{2}} =\dfrac{25}{576} \\\Rightarrow AH = \dfrac{24}{5} \\BH \cdot BC = AB^{2} \hfill\\\Rightarrow \dfrac{BH}{BC} = \dfrac{AB^{2}}{BC^{2}} = \dfrac{6^{2}}{6^{2} +8^{2}} = \dfrac{9}{25} \hfill\\\end{matrix}$

Xét tam giác AHI vuông tại H

=> $\tan\widehat{AIH} = \frac{AH}{HI} =\dfrac{\dfrac{24}{9}}{\dfrac{72}{25}} = \dfrac{9}{25}.8 =\frac{72}{25}$

$\begin{matrix}cos^{2}\widehat{AIH} = \dfrac{1}{1 + tan^{2}\widehat{AIH}} = \dfrac{9}{34}\hfill\\\Rightarrow \cos\widehat{AIH} = \dfrac{3}{\sqrt{34}} \hfill\\\end{matrix}$
Câu 37: Vận dụng cao
Tính giá trị sin α

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, cạnh a, góc BAD bằng 60⁰, SA = SB = SD = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ . Gọi α là góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SBC). Giá trị sin α bằng:
- A.
  $\frac{1}{3}$
- B.
  $\frac{2}{3}$
- C.
  $\frac{\sqrt{5}}{3}$
- D.
  $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
Hình vẽ minh họa:

Theo giả thiết, ABD là tam giác đều.

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.

Do SA = SB = SD nên S nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD suy ra SH ⊥ (ABD) hay SH ⊥ (ABCD).

Do (SBC) ⊥ (SBH) nên từ H kẻ HK ⊥ SB tại K thì HK = d(H, (SBC)) và $\frac{1}{HK^{2}} = \frac{1}{HB^{2}} + \frac{1}{HS^{2}}$

=> $HK = \frac{a\sqrt{15}}{9}$

Mặt khác d(H, (SBC)) = 2/3d(A, (SBC)) = 2/3d(D, (SBC)) => d(D, (SBC)) = $\frac{a\sqrt{15}}{6}$

Gọi O là hình chiếu vuông góc của điểm D trên (SBC).

Khi đó:

$\begin{matrix}\alpha = (SD,SO) = \widehat{DSO} \hfill\\DO = d\left( D;(SBC) ight) = \dfrac{a\sqrt{15}}{6} \hfill\\\end{matrix}$

Xét tam giác SDO vuông tại O có:

$\sin\alpha = \dfrac{DO}{SD} =\dfrac{\dfrac{a\sqrt{15}}{6}}{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}} =\dfrac{\sqrt{5}}{3}$
Câu 38: Thông hiểu
Tìm tan α

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC. Biết tam giác SBC là tam giác đều. Gọi α là số đo của góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC). Tính tan α.
- A.
  $1$
- B.
  $\sqrt{3}$
- C.
  $0$
- D.
  $\frac{1}{\sqrt{3}}$
Hình chiếu của SA lên mặt phẳng (ABC) là AH
=> Góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) là $\widehat{SAH}$
Tam giác ABC và SBC là các tam giác đều cùng cạnh a
$AH = SH =\frac{a\sqrt{3}}{2}$
Vậy tan α = 1
Câu 39: Thông hiểu
Tính thể tích V của khối chóp đều

Tính thể tích hình chóp đều $S.ABCD$ biết chiều cao bằng $a\sqrt{2}$ và độ dài cạnh bên bằng $a\sqrt{6}$ ?
- A.
  $V = \frac{10\sqrt{3}a^{3}}{3}$
- B.
  $V = \frac{10\sqrt{2}a^{3}}{3}$
- C.
  $V = \frac{8\sqrt{3}a^{3}}{3}$
- D.
  $V = \frac{8\sqrt{2}a^{3}}{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi O là tâm hai đường chéo AC và BD

Ta có: tam giác SAC cân, O là trung điểm của AC nên $SO\bot CA$

Tương tự tam giác SBD cân, O là trung điểm của BD nên $SO\bot BD$

$\Rightarrow SO\bot(ABCD)$

Tam giác SOA vuông tại O nên $OA = \sqrt{SA^{2} - SO^{2}} = 2a \Rightarrow AC = BD = 4a$

Vậy thể tích hình chóp là: $V = \frac{1}{3}SO.S_{ABCD} = \frac{1}{3}.a\sqrt{2}.\frac{4a.4a}{2} = V = \frac{8\sqrt{2}a^{3}}{3}$
Câu 40: Thông hiểu
Tính góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD)

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh bên bằng cạnh đáy và bằng a. Gọi M là trung điểm của SC. Tính góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD).
- A. $90^0$
- B. $30^0$
- C. $60^0$
- D. $45^0$
Gọi O là tâm hình vuông ABCD, suy ra SO ⊥ (ABCD).
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {BD \bot SO} \\ {BD \bot AO} \end{array}} ight. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} ight) \Rightarrow BD \bot OM$
Do $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {(MBD) \cap (ABCD) = BD} \\ {OM \subset (MBD)} \\ {OM \bot BD} \\ {OC \subset (ABCD)} \\ {OC \bot BD} \end{array}} ight.$
$\Rightarrow \widehat {\left( {MBD),(ABCD)} ight)} = (\widehat {OM,OC}) = \widehat {MOC}$
Tam giác SOC vuông tại O, trung tuyến OM, suy ra $OM = MC = \frac{{CS}}{2} = \frac{a}{2}$
=> Tam giác MOC cân tại M.
=> $OC = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$
Khi đó $\cos \widehat {MOC} = \frac{{OC}}{{SC}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{a} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \widehat {MOC} = {45^{^0}}$
Vậy $\widehat {\left( {\left( {MDB} ight);\left( {ABCD} ight)} ight)} = {45^0}$

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

24 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 Chân trời sáng tạo
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân
Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số ghép số liệu nhóm
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Đạo hàm
Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 9: Xác suất

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 11 Chân trời sáng tạo

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân

Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian

Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số ghép số liệu nhóm

Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 7: Đạo hàm

Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian

Chương 9: Xác suất