VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 CTST Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài Rủ bạn học

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Thông hiểu
Sin của góc tạo bởi A’H với (A’ACC’)

Cho hình lăng trụABC.A’B’Ccó đáy ABC là tam giác vuông tại B, $AB = a,\widehat {ACB} = 30^\circ$ , M là trung điểm cạnh AC. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy của lăng trụ bằng 60⁰. Hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của BM. Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi A’H với (A’ACC’). Tính $\sin\alpha$ ?
- A. $\frac{1}{3}$
- B. $\frac{{\sqrt 3 }}{4}$
- C. $\frac{{\sqrt 2 }}{5}$
- D. $\frac{{\sqrt 3 }}{6}$
Ta có $A'H \bot \left( {ABC} ight)$ nên A’H là đường cao của lăng trụ.
Kẻ $HK \bot AC$ (K thuộc đoạn AC)
Kẻ
Suy ra $HI \bot \left( {AA'C'C} ight)$
Khi đó $\alpha = \left( {A'H,A'I} ight) = \widehat {HA'K}$
+) Do tam giác MCB cân tại B nên $\widehat {BMC} = \widehat {BCM} = 30^\circ$
$\begin{matrix} MH = \dfrac{1}{2}BM = \dfrac{1}{4}AC = \dfrac{1}{4}\dfrac{{AB}}{{\sin 30^\circ }} = \dfrac{a}{2} \hfill \\ \Rightarrow HK = MH.\sin 60^\circ = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4} \hfill \\ \end{matrix}$
+) Mặt khác, góc giữa cạnh bên A’A và mặt đáy bằng $\widehat {A'AH} = 60^\circ$ (theo giả thiết)
Và BM = AM = AB = a
=> Tam giác AMB là tam giác đều cạnh a
$\Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow A'H = AH.\tan 60^\circ = \frac{{3a}}{2}$
Vì vậy, $\sin \alpha = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}}}{{\dfrac{{3a}}{2}}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6}$
Câu 2: Thông hiểu
Tính góc giữa đường thẳng và mặt đáy

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ , $AB = a;BC = a\sqrt{2}$ ; $SA\bot(ABC)$ và $SA = a$ . Góc giữa đường thằng $SC$ và mặt phẳng đáy bằng:
- A.
  $90^{0}$
- B.
  $45^{0}$
- C.
  $60^{0}$
- D.
  $30^{0}$
Hình vẽ minh họa

Ta có góc giữa SC và mặt phẳng đáy là góc $\widehat{SCA}$

Xét tam giác SCA vuông tại A có:

$AC = \sqrt{AB^{2} + BC^{2}} = a\sqrt{3}$

$\Rightarrow \tan\widehat{SCA} = \frac{SA}{AC} = \frac{a}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow \widehat{SCA} = 30^{0}$
Câu 3: Nhận biết
Chọn mệnh đề sai

Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy (ABC). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB (tham khảo hình vẽ bên). Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  AH ⊥ SC
- B.
  Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) là góc ASC
- C.
  BC ⊥ (SAB)
- D.
  Các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông
Ta có: SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ BC
Mặt khác BC ⊥ AB
Suy ra BC ⊥ (SAB) nên hình chiếu vuông góc của SC trên (SAB) là SB
Vậy $\widehat{\left( SC,(SAB) ight)} =\widehat{(SC,SB)} = \widehat{BSC\ }$ (vì tam giác SBC vuông tại B)
Câu 4: Nhận biết
Tính số đo góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho hình chóp $S.ABC$ , $SA$ vuông góc với mặt $(ABC)$ . Khi đó, góc hợp giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(ABC)$ là:
- A.
  $\widehat{SBA}$
- B.
  $\widehat{SBC}$
- C.
  $\widehat{SAB}$
- D.
  $\widehat{BSA}$
Ta có:
$SA\bot(ABC)$ nên hình chiếu của SB lên mặt phẳng (ABC) là AB.
Do đó $\left( SB;(ABC) ight) = (SB;AB) =\widehat{SBA}$
Câu 5: Vận dụng
Hoàn thành mệnh đề

Cho vecto $\vec{n}$ ≠ $\vec{0}$ và hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ không cùng phương. Nếu vecto $\vec{n}$ vuông góc với cả hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ thì $\vec{n}$ , $\vec{a}$ và $\vec{b}$ :
- A.
  Đồng phẳng
- B.
  Không đồng phẳng
- C.
  Có thể đồng phẳng
- D.
  Có thể không đồng phẳng
Trường hợp "Đồng phẳng" và " Có thể đồng phẳng" sai vì có thể xảy ra trường hợp như hình vẽ sau:
Giả sử trường hợp "Không đồng phẳng" sai tức là ba vecto $\vec{n}$ , $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đồng phẳng.
Khi đó vì $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\overrightarrow n \bot \overrightarrow a } \\ {\overrightarrow n \bot \overrightarrow b } \end{array}} ight. \Rightarrow \overrightarrow a //\overrightarrow b$ điều này mẫu thuẫn với giả thiết hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ không cùng phương.
Vậy đáp án đúng là "Không đồng phẳng"
Câu 6: Thông hiểu
Tính khoảng cách d từ điểm B đến mặt phẳng (SCD)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a. Cạnh bên $SA=a\sqrt{2}$ và vuông góc với đáy (ABCD). Tính khoảng cách d từ điểm B đến mặt phẳng (SCD)
- A.
  $d = a$
- B.
  $d=\frac{a\sqrt{6}}{3}$
- C.
  $d=a\sqrt{3}$
- D.
  $d=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
Hình vẽ minh họa:
Do AB // CD => $d(B;(SCD))=d(A;(SCD))$
Kẻ $AE ⊥ SD$ tại E (1)
Ta có: $\left\{ \begin{gathered}CD \bot AD \hfill \\CD \bot SA \hfill \\\end{gathered} ight. \Rightarrow CD \bot (SAD) \Rightarrow CD \bot AE(**)$
Từ (1) và (2) => $AE ⊥ (SCD)$
=> $d(A;(SCD)) = AE$
Xét tam giác vuông SAD ta có:
$AE = \frac{{SA.AD}}{{\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}$
Vậy $d(B;(SCD))=AE=\frac{{a\sqrt 6 }}{3}$
Câu 7: Thông hiểu
Xác định thể tích V

Tính thể tích khối lăng trụ đứng tam giác trong hình vẽ sau:
- A.
  $V = \frac{a^{3}}{3}$
- B.
  $V = \frac{a^{3}}{2}$
- C.
  $V = a^{3}$
- D.
  $V = \frac{\sqrt{3}}{3}a^{3}$
Quan sát hình vẽ ta thấy:

Tam giác ABC vuông cân tại B

$\Rightarrow AB = BC = \frac{AC}{\sqrt{2}} = a$

$\Rightarrow S_{ABC} = \frac{1}{2}a^{2}$

Khi đó $V_{ABC.A'B'C'} = S_{ABC}.BB' = \frac{1}{2}a^{2}.a = \frac{a^{3}}{2}$
Câu 8: Thông hiểu
Tính độ dài đoạn thẳng MN

Cho tứ diện ABCD có AC = a, BD = 3a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Biết AC vuông góc với BD. Tính MN.
- A.
  $MN =\frac{a\sqrt{6}}{3}$
- B.
  $MN =\frac{a\sqrt{10}}{2}$
- C.
  $MN =\frac{2a\sqrt{3}}{3}$
- D.
  $MN =\frac{3a\sqrt{2}}{2}$
Hình vẽ minh họa:
Gọi P là trung điểm của AB => PN, PM lần lượt là đường trung bình của tam giác ABC và tam giác ABD.
=> $\left\{ \begin{matrix}PN = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a}{2} \\PM = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{3a}{2} \\\end{matrix} ight.$
Ta có: $AC\bot BD \Rightarrow PN\botPM$
=> $MN = \sqrt{PN^{2} + PM^{2}} =\sqrt{\frac{a^{2}}{4} + \frac{9a^{2}}{4}} =\frac{a\sqrt{10}}{2}$
Câu 9: Vận dụng
Xác định khoảng cách từ B đến (SCD)

Cho hình chóp $S.ABCD$ có thể tích bằng $\frac{4}{3}a^{3}$ , đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a\sqrt{2}$ ; $SA = SD$ . Biết mặt bên $(SAD)$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ . Xác định khoảng cách $d\left( B;(SCD) ight)$ ?
- A.
  $\frac{3a}{4}$
- B.
  $\frac{2a}{3}$
- C.
  $\frac{4a}{3}$
- D.
  $\frac{8a}{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi I là trung điểm của AD

Tam giác SAD cân tại S suy ra $SI\bot AD$

Ta có $\left\{ \begin{matrix} SI\bot AD \\ (SAD)\bot(ABCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow SI\bot(ABCD)$

Suy ra SI là đường cao của hình chóp

Theo giả thiết

$V_{S.ABCD} = \frac{1}{3}SI.S_{ABCD}$

$\Leftrightarrow \frac{4a^{3}}{3} = \frac{1}{2}SI.2a^{2}$

$\Leftrightarrow SI = 2a$

Vì $AB//(SCD) \Rightarrow d\left( B;(SCD) ight) = d\left( A;(SCD) ight) = 2d\left( I;(SCD) ight)$

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên SD

Mặt khác $\left\{ \begin{matrix} SI\bot DC \\ ID\bot DC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow IH\bot DC$ . Ta có: $\left\{ \begin{matrix} IH\bot SD \\ IH\bot DC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow IH\bot(SCD)$

$\Rightarrow d\left( I;(SCD) ight) = IH$

Xét tam giác SID vuông tại I có:

$\frac{1}{IH^{2}} = \frac{1}{SI^{2}} + \frac{1}{ID^{2}} = \frac{1}{4a^{2}} + \frac{4}{2a^{2}} \Rightarrow IH = \frac{2a}{3}$

$\Rightarrow d\left( B;(SCD) ight) = d\left( A;(SCD) ight) = 2d\left( I;(SCD) ight) = \frac{4a}{3}$
Câu 10: Thông hiểu
Tính cosin góc giữa hai đường thẳng

Cho hình lăng trụ đứng tam giác $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ , $AB = 2AC = AA' = 2a$ . Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng $AM$ và $B'C$ .
- A.
  $- \frac{\sqrt{5}}{5}$
- B.
  $\frac{\sqrt{5}}{5}$
- C.
  $\frac{- 1}{2}$
- D.
  $\frac{1}{2}$
Hình vẽ minh họa

Gọi N là trung điểm của BB’, ta có: MN//B’C nên $(AM;B'C) = (AM;MN) = \widehat{AMN}$

Ta có:

$BC = \sqrt{AB^{2} + AC^{2}} = \sqrt{4a^{2} + a^{2}} = a\sqrt{5}$

$AM = \frac{BC}{2} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$

$AN = \sqrt{AB^{2} + BN^{2}} = \sqrt{4a^{2} + a^{2}} = a\sqrt{5}$

$MN = \frac{B'C}{2} = \frac{\sqrt{BC^{2} + BB'^{2}}}{2} = \frac{\sqrt{5a^{2} + 4a^{2}}}{2} = \frac{3a}{2}$

Áp dụng định lí cosin trong tam giác MNA ta có:

$\cos\widehat{NMA} = \frac{MN^{2} + MA^{2} - AN^{2}}{2MN.MA}$

$= \dfrac{\dfrac{9a^{2}}{4} +\dfrac{5a^{2}}{4} - 5a^{2}}{2.\dfrac{3a}{2}.\dfrac{a\sqrt{5}}{2}} = -\dfrac{\sqrt{5}}{5}$

$\Rightarrow \cos(AM;B'C) = \frac{\sqrt{5}}{5}$
Câu 11: Nhận biết
Tính chiều cao của hình chóp

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Chiều cao của hình chóp bằng:
- A.
  $\frac{a\sqrt{2}}{3}$
- B.
  $\frac{a\sqrt{3}}{2}$
- C.
  $\frac{a\sqrt{3}}{4}$
- D.
  $\frac{a\sqrt{2}}{2}$
Hình vẽ minh họa:

Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên đáy ABCD là hình vuông và các cạnh bên bằng nhau.

Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD).

Khi đó các tam giác SOA, SOB, SOC, SOD bằng nhau nên bốn đoạn thẳng OA, OB, OC, OD bằng nhau.

Suy ra O trùng với tâm của hình vuông ABCD, hay O là giao điểm của AC và BD. Vậy chiều cao của hình chóp là:

$\begin{matrix}SO = \sqrt{SB^{2} - OB^{2}} \hfill \\= \sqrt{a^{2} - \dfrac{a^{2}}{2}} = \sqrt{\dfrac{a^{2}}{2}} =\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\hfill \\\end{matrix}$
Câu 12: Thông hiểu
Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AD và SC

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông với $AC=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ . Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SB hợp với đáy góc 60⁰. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AD và SC.
- A.
  $d=\frac{\sqrt{3}}{4}$
- B.
  $d=\frac{\sqrt{2}}{2}$
- C.
  $d=\frac{a}{2}$
- D.
  $d=\frac{\sqrt{3}}{2}$
Ta có $AD // BC => AD // (SBC)$ => $d(AD;SC)=d(A;(SBC))$
Kẻ $AP⊥SB$ $=>d(A;(SBC))=AP$ $=>d(AD;SC)=AP$
Ta có:
$\begin{matrix} AB = \dfrac{{AC}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{a}{2} \hfill \\ \dfrac{1}{{A{P^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{B^2}}} \hfill \\ \end{matrix}$
Lại có $\left( {SB;\left( {ABCD} ight)} ight) = \widehat {SBA} = {60^0}$
$\begin{matrix} \Rightarrow \tan {60^0} = \dfrac{{SA}}{{AB}} \Rightarrow SA = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \hfill \\ \Rightarrow AP = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 13: Nhận biết
Tính sin góc giữa hai đường thẳng SA và BC

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng 1, tam giác $SAD$ là tam giác đều. Tìm sin của góc tạo bởi hai đường thẳng $SA$ và $BC$ .
- A.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$
- B.
  $\frac{1}{2}$
- C.
  $\frac{\sqrt{2}}{2}$
- D.
  $\frac{1}{\sqrt{3}}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $BC//AD \Rightarrow (BC;SA) = (BD;SA) = \widehat{SAD} = 60^{0}$

$\Rightarrow \sin(BC;SA) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Câu 14: Nhận biết
Chọn mệnh đề sai?

Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Mệnh đề nào sai?
- A.
  SA ⊥ BD
- B.
  SC ⊥ BD
- C.
  SO ⊥ BD
- D.
  AD ⊥ SC
Hình vẽ minh họa:

Ta có: SA ⊥ (ABCD) => SA vuông góc với BD.

Do tứ giác ABCD là hình thoi nên BD vuông góc với AC mà SA⊥BD => BD ⊥ (SAC)

=> BD ⊥ SC, BD ⊥ SO

Dễ thấy AD không vuông góc với SC vì nếu AD vuông góc với SC thì AD ⊥ AC vô lí
Câu 15: Thông hiểu
Tính thể tích khối lăng trụ đứng

Khối lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại A. Biết $AB = 2a$ và góc giữa đường thẳng $BC'$ và mặt phẳng $(ACC'A')$ bằng $30^{0}$ . Tính thể tích khối lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ .
- A.
  $4\sqrt{2}a^{3}$
- B.
  $2\sqrt{2}a^{3}$
- C.
  $2a^{3}$
- D.
  $4a^{3}$
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} AB\bot AC \\ AB\bot AA' \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AB\bot(ACC'A')$

Suy ra $\left( BC';(ACC'A') ight) = (BC';AC') = \widehat{AC'B} = 30^{0}$

Ta có: $AC' = \frac{AB}{tan30^{0}} = 2\sqrt{3}a$

$\Rightarrow AA' = \sqrt{12a^{2} - 4a^{2}} = 2\sqrt{2}a$

Vậy $V_{ABC.A'B'C'} = AA'.S_{ABC} = 2\sqrt{2}a.\frac{1}{2}.2a.2a = 4\sqrt{2}a^{3}$
Câu 16: Thông hiểu
Tìm góc giữa hai mặt phẳng

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\bot(ABC)$ . Gọi hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên cạnh $BC$ là điểm $H$ . Xác định góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ ?
- A.
  $\widehat{SAH}$
- B.
  $\widehat{SBA}$
- C.
  $\widehat{SHA}$
- D.
  $\widehat{ASH}$
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$BC = (SBC) \cap (ABC)$

Vì $\left\{ \begin{matrix} BC\bot AS \\ BC\bot AH \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAH) \Rightarrow BC\bot SH$

Vậy $\left( (SBC);(ABC) ight) = \widehat{SHA}$
Câu 17: Nhận biết
Tính thể tích khối hộp chữ nhật

Thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước là $2;3;5$ bằng:
- A.
  $42$
- B.
  $30$
- C.
  $60$
- D.
  $15$
Thể tích cần tìm là: $V = 2.3.5 = 30$
Câu 18: Thông hiểu
Tính góc giữa hai đường thẳng

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là các tam giác đều cạnh bằng $\sqrt{3}$ và cạnh bên bằng $1$ . Tính góc giữa hai đường thẳng $BB'$ và $AC'$ ?
- A.
  $90^{0}$
- B.
  $45^{0}$
- C.
  $60^{0}$
- D.
  $30^{0}$
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$BB'//CC' \Rightarrow (BB';AC') = (CC';AC') = \widehat{AC'C}$

Khi đó tam giác $ACC'$ vuông cân tại C nên $\tan\widehat{AC'C} = \frac{AC}{CC'} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$

$\Rightarrow \widehat{AC'C} = 60^{0}$

$\Rightarrow (BB';AC') = \widehat{AC'C} = 60^{0}$
Câu 19: Thông hiểu
Xác định khẳng định đúng

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?
- A.
  $AC'\bot(A'BD)$
- B.
  $AC'\bot(A'DC')$
- C.
  $AC'\bot(A'CD')$
- D.
  $AC'\bot(A'B'CD)$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $B'C'\bot(ABB'A') \Rightarrow B'C'\bot A'B$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} A'B\bot AB' \\ A'B\bot B'C' \\ AB' \cap B'C' = B' \\ AB';B'C' = B' \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A'B\bot(AB'C') \Rightarrow A'B\bot AC'$

Mặt khác $BD\bot(ACC'A') \Rightarrow BD\bot AC'$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} A'B\bot AC' \\ BD\bot AC' \\ A'B \cap BD = B \\ A'B \cap BD \subset (A'BD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AC'\bot(A'BD)$
Câu 20: Thông hiểu

Ghi đáp án vào ô trống

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại $A$ , các cạnh $AB = AC = a$ , các góc $\widehat{SBA} = \widehat{SCA} = 90^{0}$ . Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ trên $(ABC)$ và $SH = a\sqrt{2}$ . Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAC)$ .

Đáp án: 1/3 (Ghi đáp án dưới dạng phân số tối giản a/b).

Đáp án là:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại $A$ , các cạnh $AB = AC = a$ , các góc $\widehat{SBA} = \widehat{SCA} = 90^{0}$ . Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ trên $(ABC)$ và $SH = a\sqrt{2}$ . Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAC)$ .

Đáp án: 1/3 (Ghi đáp án dưới dạng phân số tối giản a/b).

Hình vẽ minh họa

Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng qua $B$ và vuông góc với $AB \Rightarrow (\alpha) \cap (ABC) = Bt//AC$ .

Gọi $(\beta)$ là mặt phẳng qua $C$ và vuông góc với $AC$

$\Rightarrow (\beta) \cap (ABC) =Ct'//AB$

Khi đó, $(\alpha) \cap (\beta) = SH$ với $H = Bt \cap Ct'$ là đỉnh thứ tư của hình vuông ABHC.

Khi đó: $\Delta SAB,\ \ \Delta SAC$ là hai tam giác vuông bằng nhau có $SB = SC = a\sqrt{3},SA = 2a$ .

Gọi $I$ là chân đường cao hạ từ đỉnh $B$ của tam giác SAB, ta có $BI\bot SA,CI\bot SA$ .

Vậy góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAC)$ là $(IB;IC)$ .

Xét $\Delta IBC$ cân tại $I$ có $IB = IC = \frac{a\sqrt{3}.a}{2a} = \frac{a\sqrt{3}}{2},BC = a\sqrt{2}$ .

Ta có: $\cos\widehat{BIC} = \frac{IB^{2} +IC^{2} - BC^{2}}{2IB.IC}$ $= \dfrac{\dfrac{3a^{2}}{4} + \dfrac{3a^{2}}{4} -2a^{2}}{2.\dfrac{3a^{2}}{4}} = - \dfrac{1}{3}$ .

Vậy cosin góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAC)$ bằng $\frac{1}{3}$ .
Câu 21: Nhận biết
Tìm tất cả các mặt phẳng thỏa mãn điều kiện

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Dựng mặt phẳng (P) cách đều năm điểm A, B, C, D và S. Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng (P) như vậy?
- A.
  4 mặt phẳng
- B.
  5 mặt phẳng
- C.
  1 mặt phẳng
- D.
  2 mặt phẳng
Gọi O là tâm hình bình hành ABCD.
Các mặt phẳng cách đều A, B, C, D và S là
1) Mặt phẳng qua trung điểm của SA, SB, SC, SD
2) Mặt phẳng qua O và song song (SAB)
3) Mặt phẳng qua O và song song (SAD)
4) Mặt phẳng qua O và song song (SCD)
5) Mặt phẳng qua O và song song (SBC)
Câu 22: Vận dụng cao
Tính giá trị gần đúng của α

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh AB = 2, AD = 3, AA’ = 4. Góc giữa hai mặt phẳng (AB’D’) và (A’C’D) là α. Tính giá trị gần đúng của α.
- A.
  61,6⁰
- B.
  38,1⁰
- C.
  45,2⁰
- D.
  53,4⁰
Hình vẽ minh họa:

Phần 1: Xác định góc

Bước 1: Tìm giao tuyến giữa hai mặt phẳng:

Trong mặt phẳng (ADD’A’) gọi E là giao điểm của AD’ và A’D.

Trong mặt phẳng (A’B’C’D’) gọi F là giao điểm của B’D’ và A’C’.

Khi đó EF là giao tuyến của hai mặt phẳng (AB’D’) và (A’C’D).

Bước 2: Trong mỗi mặt phẳng, ta cần tìm đường thẳng vuông góc với giao tuyến:

Trong mặt phẳng (DA’C’) kẻ A’H ⊥ EF tại H, A’H cắt DC’ tại K.

Ta chứng minh D’H ⊥ EF.

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} DC’\bot A’K \\ DC’\bot A’D’ \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow DC’\bot(A’D’K) \Rightarrow DC’\bot D’H$

Mặt khác: $\left\{ \begin{matrix} DC’\bot D’H \\ D’C//EF \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow DH’\bot EF$

Bước 3: Xác định góc giữa hai mặt phẳng:

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} D’H \subset (AB’D’) \\ D’H\bot EF \\ A’H \subset (DA’C’) \\ A’H\bot EF \\ (AB’D’) \cap (DA’C’) = EF \\ \end{matrix} ight.$

=> α = ((AB’D’), (DA’C’)) = (D’H, A’H)

Phần 2: Tính góc α:

Ta sẽ sử dụng định lý cosin trong tam giác A’HD’

Bước 1: Chứng minh tam giác A’HD’ cân:

Trong tam giác A’DC’ ta có EF là đường trung bình, nên suy ra H là trung điểm A’K.

Vì A’D’ ⊥ (DD’C’C) nên A’D’ ⊥ D’K.

Do đó tam giác A’D’K vuông tại D’.

Xét tam giác A’D’K vuông tại D’ có D’K là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên D’H = A’H = A’K/2

Bước 2: Tính độ dài cạnh A’K:

Ta tính đường cao A’K của tam giác ADC’ thông qua diện tích.

Áp dụng định lý Pi – ta - go ta tính được độ dài các cạnh tam giác A’DC’ là: $A'D = 5;A'C' = \sqrt{13};D'C = 2\sqrt{5}$

Sử dụng công thức Hê-rông ta tính được $S_{A'DC'} = \sqrt{61}$

Mặt khác

$S_{A'DC'} = \frac{1}{2}A'K.DC' = \frac{1}{2}A'K.2\sqrt{5}$

$\Rightarrow A'K = \frac{\sqrt{305}}{5}$

Từ đó suy ra D’H = A’H = A’K/2 = $\frac{\sqrt{305}}{10}$

Bước 3: Tính góc α bằng định lý cosin:

Trong tam giác A’HD’ ta có:

$\cos\widehat{A'HD'} = \frac{HA^{2} + HD^{2} - A'D'^{2}}{2HA.HD}$

$= \dfrac{2\left( \dfrac{\sqrt{305}}{10}ight)^{2} - 3^{2}}{2\left( \dfrac{\sqrt{305}}{10} ight)^{2}} = -\dfrac{29}{61}$

$\Rightarrow \widehat{A'HD'} = 118,4^{0}$

Do đó góc giữa hai đường thẳng A’H và D’H bằng 61,6⁰

Vậy α = 61,6⁰
Câu 23: Thông hiểu
Tính thể tích hình hộp chữ nhật

Cho khối hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy là hình vuông, đường chéo $BD = 2a$ . Biết góc giữa hai mặt phẳng $(A'BD)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $30^{0}$ . Khi đó thể tích hình hộp chữ nhật bằng bao nhiêu?
- A.
  $V = 6\sqrt{3}a^{3}$
- B.
  $V = \frac{2\sqrt{3}}{9}a^{3}$
- C.
  $V = 2\sqrt{3}a^{3}$
- D.
  $V = \frac{2\sqrt{3}}{3}a^{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi góc giữa mặt phẳng $(A'BD)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là $\alpha$ và $O = AC \cap BD$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AO\bot BD \\ AA'\bot BD \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A'O\bot BD$

$\Rightarrow \alpha = (AO;A'O) = \widehat{AOA'} = 30^{0}$

Ta có ABCD là hình vuông, BD = 2a nên $AB = AD = a\sqrt{2}$

Ta có: $AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD = a$

Xét tam giác AOA’ có $AA' = AO.tan30^{0} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow V_{ABCD.A'B'C'D'} = AA'.S_{ABCD} = \frac{a\sqrt{3}}{3}.2a^{2} = \frac{2a^{3}\sqrt{3}}{3}$
Câu 24: Vận dụng cao
Tính giá trị cos α

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; SAB là tam giác cân tại S; AD = 3BC = 3AB = 3a. Gọi M là điểm thuộc đoạn AD sao cho AD = 3MD. Biết rằng SCM là tam giác đều. Gọi α là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD). Khi đó cos α nhận giá trị là
- A. $\frac{{2\sqrt 7 }}{7}$
- B. $\frac{{\sqrt {21} }}{7}$
- C. $\frac{{\sqrt {42} }}{{14}}$
- D. $\frac{{\sqrt {154} }}{{14}}$
Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.
Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a
=> MD = a; AM = 2a
Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.
Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và $HK = \frac{{3a}}{2}$
Ta có: $\left\{ \begin{gathered} AB \bot SK \hfill \\ AB \bot HK \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow AB \bot SH$ (1)
Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)
Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)
Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.
Suy ra $HM = HN = \frac{1}{2}CM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$ và $HM \bot HN$
Tam giác SCM đều cạnh bằng $a\sqrt 2$ nên $SH = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$
Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).
Ta có: $\frac{1}{{{d^2}}} = \frac{1}{{H{M^2}}} + \frac{1}{{H{N^2}}} + \frac{1}{{H{S^2}}}$
$= \frac{4}{{2{a^2}}} + \frac{4}{{2{a^2}}} + \frac{4}{{6{a^2}}} = \frac{{14}}{{3{a^2}}} \Rightarrow d = \frac{{a\sqrt {42} }}{{14}}$
Ta lại có:
$SB = \sqrt {S{H^2} + B{H^2}} = \sqrt {S{H^2} + B{K^2} + K{H^2}}$
$= \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{2} + \frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{9{a^2}}}{4}} = 2a$
Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)
Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc $\widehat {BSI} = \alpha$
Do BC // AD => BC //(SAD)
=> $BI = d\left( {B;\left( {SAD} ight)} ight) = d\left( {C;\left( {SAD} ight)} ight) = 2d\left( {H,\left( {SAD} ight)} ight) = \frac{{a\sqrt {42} }}{7}$
Trong tam giác vuông BIS ta có:
$\sin \alpha = \frac{{BI}}{{SB}} = \frac{{\sqrt {42} }}{{14}} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\sqrt {154} }}{{14}}$
Câu 25: Vận dụng cao
Tính giá trị của cosin góc giữa hai đường thẳng AB và CD

Cho tứ diện ABCD có BD vuông góc với AB và CD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các cạnh CD và AB thỏa mãn BD : CD : PQ : AB = 3 : 4 : 5 : 6. Gọi ψ là góc giữa hai đường thẳng AB và CD. Tính giá trị của cosψ
- A.
  $\frac{7}{8}$
- B.
  $\frac{1}{2}$
- C.
  $\frac{11}{16}$
- D.
  $\frac{1}{4}$
Hình vẽ minh họa:
Do AB vuông góc với BD nên AB nằm trong mặt phẳng (α) chứa AB và vuông góc với BD. Dựng hình chữ nhật BDPR thì góc giữa hai đường thẳng AB và CD cũng là góc giữa hai đường thẳng AB và BR. Ta có:
$\cos\psi = \frac{\left| BQ^{2} + BR^{2}- QR^{2} ight|}{2BQ.BR} = \frac{|9 + 4 - 16|}{2.3.2} =\frac{1}{4}$
Câu 26: Thông hiểu
Khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABCD)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và SA = SB = SC = a. Giả sử góc BAD bằng 60⁰. Khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABCD) bằng:
- A.
  $\frac{a}{2}$
- B.
  $\frac{a\sqrt{3}}{2}$
- C.
  $a$
- D.
  $a\sqrt{3}$
Hình vẽ minh họa
Từ S vẽ SO ⊥ (ABCD) ⇒ OA = OB = OC (là hình chiếu của các đường xiên bằng nhau) ⇒ O là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy
$\begin{matrix} S{O^2} = S{A^2} - A{O^2} \hfill \\ = {a^2} - {\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} ight)^2} = \dfrac{{{a^2}}}{4} \hfill \\ \Rightarrow SO = \dfrac{a}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 27: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Mệnh đề nào sau đây là đúng?
- A.
  Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.
- B.
  Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
- C.
  Một đường thẳng và một mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
- D.
  Các đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì cùng thuộc một mặt phẳng.
Mệnh đề đúng: "Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau."
Câu 28: Nhận biết
Xác định số mệnh đề đúng

Cho (P) và (Q) là hai mặt phẳng vuông góc với nhau và giao tuyến của chúng là đường thẳng m. Gọi a, b, c, d là các đường thẳng. Xét các mệnh đề sau:

(1) Nếu a ⊂ (P) và a ⊥ m thì a ⊥ (Q).

(2) Nếu b ⊥ m thì b ⊂ (P) hoặc b ⊂ (Q).

(3) Nếu c // m thì c // (P) hoặc c // (Q).

(4) Nếu d ⊥ m thì d ⊥ (P).

Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề đã cho?
- A.
  1
- B.
  2
- C.
  3
- D.
  4
(1) Nếu a ⊂ (P) và a ⊥ m thì a ⊥ (Q). ---> đúng

(2) Nếu b ⊥ m thì b ⊂ (P) hoặc b ⊂ (Q). ---> sai

(3) Nếu c // m thì c // (P) hoặc c // (Q). ---> đúng

(4) Nếu d ⊥ m thì d ⊥ (P). ---> sai
Câu 29: Thông hiểu
Chọn khẳng định sai?

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA ⊥(ABC). Kẻ AH ⊥ SB. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định dưới đây?
- A.
  SA ⊥ BC
- B.
  AB ⊥ BC
- C.
  AH ⊥ AC
- D.
  AH ⊥ SC
Hình vẽ minh họa:

AB ⊥ BC (hiển nhiên đúng)

Ta có: SA ⊥(ABC) mà BC nằm trong (ABC) => SA ⊥ BC

Ta lại có:

$\begin{matrix}\left\{ \begin{matrix}BC\bot BA \subset (SAB) \\BC\bot SA \subset (SAB) \\BA \cap SA = A \hfill \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAB) \hfill\\\Rightarrow BC\bot AH \hfill\\\left\{ \begin{matrix}BC\bot AH \\SB\bot AH \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow AH\bot(SBC) \Rightarrow SC\bot AH \hfill \\\end{matrix}$

Dễ thấy AH ⊥ AC là khẳng định sai.
Câu 30: Nhận biết
Tìm khẳng định đúng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
- A.
  AB vuông góc với mặt phẳng (SAC)
- B.
  AB vuông góc với mặt phẳng (SBC)
- C.
  AB vuông góc với mặt phẳng (SAD)
- D.
  AB vuông góc với mặt phẳng (SCD)
Khẳng định đúng là “AB vuông góc với mặt phẳng (SAD)”
Thật vậy, do SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AB
Mặt khác AB ⊥ AD.
Từ đó suy ra AB ⊥ (SDA)
Câu 31: Thông hiểu
Tính tan α

Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của AB và α là góc tạo bởi đường MC’ và mặt phẳng (ABC). Khi đó tan α bằng bao nhiêu?
- A.
  $\frac{2\sqrt{7}}{7}$
- B.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$
- C.
  $\sqrt{\frac{3}{7}}$
- D.
  $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
Hình vẽ minh họa:
Ta có: CM là hình chiếu của C’M lên (ABC)
=> Góc giữa MC’ và (ABC) là góc giữa MC’ và MC.
Xét tam giác MCC’ vuông tại C ta có:
$\tan\alpha = \dfrac{CC'}{MC} =\dfrac{a}{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
Câu 32: Vận dụng
Tính sin của góc giữa OM và (SCD)

Cho hình chóp S.ABCD có $SA \bot \left( {ABCD} ight);SA = a\sqrt 2$ , ABCD là hình thang vuông tại A, B và $2AB = 2BC = AD = 2a$ . Gọi $O = AC \cap BD$ , M là trung điểm SB. Tính sin của góc giữa OM và (SCD).
- A. $\frac{{2\sqrt {35} }}{{35}}$
- B. $\frac{{\sqrt {35} }}{{35}}$
- C. $\frac{{3\sqrt {35} }}{{70}}$
- D. $\frac{{\sqrt {35} }}{{70}}$
Trong (SBD), gọi $I = OM \cap SD \Rightarrow OM \cap \left( {SCD} ight) = I$
Ta có BC // AD, áp dụng định lý Ta – let ta được:
$\frac{{OB}}{{OD}} = \frac{{OC}}{{OA}} = \frac{{BC}}{{AD}} = \frac{1}{2}$
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác SBD có cát tuyến OMI ta có:
$\frac{{BO}}{{OD}}.\frac{{DI}}{{IS}}.\frac{{SM}}{{MB}} = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2}.\frac{{DI}}{{IS}}.1 = 1 \Leftrightarrow \frac{{DI}}{{IS}} = 2$
Tam giác SAD vuông tại A có
$SA = a\sqrt 2 ,AD = 2a \Rightarrow SD = a\sqrt 6$
=> $DI = \frac{3}{2}SD = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$
Mặt khác: $\frac{{CO}}{{CA}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{d\left( {O,\left( {SCD} ight)} ight)}}{{d\left( {A,\left( {SCD} ight)} ight)}} = \frac{1}{3}$
$\Rightarrow d\left( {O,\left( {SCD} ight)} ight) = \frac{1}{3}d\left( {A,\left( {SCD} ight)} ight)$
Lại có ABCD là hình thang vuông tại A, B và $2AB = 2BC = AD$ nên $AC = CD = a\sqrt 2$
=> $AC \bot CD$ mà $CD \bot SA$ $\Rightarrow CD \bot \left( {SAC} ight)$
Kẻ $AH \bot SC$ , có $CD \bot AH$ (do $CD \bot \left( {SBC} ight)$ )
$\Rightarrow AH \bot \left( {SCD} ight) \Rightarrow d\left( {A,\left( {SCD} ight)} ight) = AH$
Xét tam giác SAC vuông tại A có $SA = a\sqrt 2 ,\,AC = a\sqrt 2$ , AH là đường cao:
$\begin{matrix} \Rightarrow \dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{S^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}} = \dfrac{1}{{2{a^2}}} + \dfrac{1}{{2{a^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}} \hfill \\ \Rightarrow AH = a \hfill \\ \Rightarrow d\left( {O,\left( {SCD} ight)} ight) = \dfrac{1}{3}AH = \dfrac{a}{3} \hfill \\ \end{matrix}$
Xét tam giác SBD có:
$\begin{matrix} SD = \sqrt {S{A^2} + A{D^2}} = \sqrt {2{a^2} + 4{a^2}} = a\sqrt 6 \hfill \\ SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = \sqrt {2{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 3 \hfill \\ BD = \sqrt {A{D^2} + A{B^2}} = \sqrt {4{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 5 \hfill \\ \end{matrix}$
Xét tam giác DIO có:
$DI = 2SD = 2a\sqrt 6 ,DO = \frac{2}{3}DB = \frac{2}{3}a\sqrt 5 .$
Do đó:
$\begin{matrix} \cos SDB = \cos IDO \Leftrightarrow \dfrac{{S{D^2} + B{D^2} - S{B^2}}}{{2.SD.BD}} = \dfrac{{I{D^2} + O{D^2} - O{I^2}}}{{2.ID.OD}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{6{a^2} + 5{a^2} - 3{a^2}}}{{2.a\sqrt 6 .a\sqrt 5 }} = \dfrac{{24{a^2} + \dfrac{{20{a^2}}}{9} - O{I^2}}}{{2.2a\sqrt 6 .\dfrac{2}{3}a\sqrt 5 }}. \hfill \\ \Leftrightarrow 8 = \dfrac{{\dfrac{{236}}{9}{a^2} - O{I^2}}}{{\dfrac{4}{3}{a^2}}} \Leftrightarrow O{I^2} = \dfrac{{140{a^2}}}{9} \Leftrightarrow OI = \dfrac{{2a\sqrt {35} }}{3} \hfill \\ \end{matrix}$
Mặt khác:
$\begin{matrix} \sin \left( {OM,\left( {SCD} ight)} ight) = \sin \left( {OI,\left( {SCD} ight)} ight) \hfill \\ = \dfrac{{d\left( {O,\left( {SCD} ight)} ight)}}{{OI}} = \dfrac{{\dfrac{a}{3}}}{{\dfrac{{2a\sqrt {35} }}{3}}} = \dfrac{{\sqrt {35} }}{{70}} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 33: Vận dụng
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có cạnh bên $AA' = a\sqrt{2}$ . Biết đáy ABC là tam giác vuông có BA = BC = a, gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C.
- A.
  $\frac{a\sqrt{5}}{5}$
- B.
  $\frac{a\sqrt{3}}{5}$
- C.
  $\frac{a\sqrt{2}}{2}$
- D.
  $\frac{a\sqrt{7}}{7}$
Hình vẽ minh họa:
Gọi N là trung điểm của BB’ => MN // B’C
=> B’C // (AMN)
=> d(AM, B’C) = d(B’C, (AMN)) = d(B’, (AMN)) = d(B, (AMN))
Kẻ BH ⊥ AM, BK ⊥ HN
=> BK ⊥ (AMN)
=> d(AM, B’C) = d(B, (AMN)) = BK
Ta có:
$\frac{1}{BH^{2}} = \frac{1}{AB^{2}} +\frac{1}{BM^{2}}$
$\Rightarrow \frac{1}{BH^{2}} =\frac{1}{a^{2}} + \frac{4}{a^{2}} = \frac{5}{a^{2}}$
$\Rightarrow BH =\frac{a}{\sqrt{5}}$
Ta có: $BN =\frac{a\sqrt{2}}{2}$
Do tam giác ABM vuông tại B
$\frac{1}{BK^{2}} = \frac{1}{BH^{2}} +\frac{1}{BN^{2}}$
$\Rightarrow \frac{1}{BK^{2}} =\frac{5}{a^{2}} + \frac{2}{a^{2}} = \frac{7}{a^{2}}$
$\Rightarrow BK =\frac{a\sqrt{7}}{7}$
$\Rightarrow d(AM;B'C) =\frac{a\sqrt{7}}{7}$
Câu 34: Thông hiểu
Tìm khẳng định sai.

Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
- A.
  (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB nếu nó đi qua ba điểm phân biệt cách đều A và B.
- B.
  (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB nếu nó vuông góc với AB tại trung điểm của AB.
- C.
  (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB nếu nó đi qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng cách đều A và B.
- D.
  (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB nếu nó chứa hai đường trung trực khác nhau của đoạn thẳng AB.
Mệnh đề sai là: “(P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB nếu nó đi qua ba điểm phân biệt cách đều A và B.”
Câu 35: Thông hiểu
Tính khoảng cách d từ A đến (SCD)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD). Tính khoảng cách d từ A đến (SCD).
- A.
  $d = 1$
- B.
  $d=\sqrt{2}$
- C.
  $d=\frac{2\sqrt{3}}{3}$
- D.
  $d=\frac{\sqrt{21}}{7}$
Hình vẽ minh họa
Gọi H là trung điểm của AB => $SH \bot AB \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} ight)$
Ta có: AH // CD => $d\left( {A;\left( {SCD} ight)} ight) = d\left( {H;\left( {SCD} ight)} ight)$
Gọi M là trung điểm của CD, K là hình chiếu vuông góc của H trên SM
$\begin{matrix} \Rightarrow d\left( {H;\left( {SCD} ight)} ight) = HK \hfill \\ \Rightarrow HK = \dfrac{{SH.HM}}{{\sqrt {S{H^2} + H{M^2}} }} = \dfrac{{\sqrt {21} }}{7} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 36: Vận dụng
Chọn mệnh đề đúng

Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (SCD). Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $\tan\alpha = \sqrt{6}$
- B.
  $\tan\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$
- C.
  $\tan\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$
- D.
  $\tan\alpha = \sqrt{2}$ (meta)
Hình vẽ minh họa:

Gọi O = AC ∩BD. Do hình chóp S.ABCD đều => SO ⊥ (ABCD).

Gọi M là trung điểm của SD.

Tam giác SCD đều nên CM ⊥ SD.

Tam giác SBD có SB = SD = a, $BD = a\sqrt{2}$ nên vuông tại S

=> SB ⊥ SD => OM ⊥ SD

=> ((SBD),(SCD)) = (OM, CM) = $\widehat{OMC}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} OC\bot BD \\ OC\bot SO \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow OC\bot(SBD) \Rightarrow OC\bot OM$

Tam giác vuông MOC ta có:

$\tan\widehat{OMC} = \frac{OC}{OM} = \sqrt{2}$
Câu 37: Nhận biết
Khẳng định nào sau đây sai?

Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c. Khẳng định nào sau đây sai?
- A. Nếu a và b cùng vuông góc với c thì a // b
- B. Nếu a // b và c ⊥ a thì c ⊥ b
- C. Nếu góc giữa a và c bằng góc giữa b và c thì a // b
- D. Nếu a và b cùng nằm trong mp (α), (α) // c thì góc giữa a và c bằng góc giữa b và c
Mệnh đề đúng: Nếu a và b cùng vuông góc với c thì a // b
Câu 38: Nhận biết
Xác định thể tích khối chóp

Cho một khối chóp có diện tích đáy bằng $5a^{2}$ , chiều cao bằng $a$ . Thể tích khối chóp đã cho là:
- A.
  $V = \frac{5}{6}a^{3}$
- B.
  $V = \frac{5}{2}a^{3}$
- C.
  $V = 5a^{3}$
- D.
  $V = \frac{5}{3}a^{3}$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} B = 5a^{2} \\ h = a \\ \end{matrix} ight.$

Thể tích khối chóp là: $V = \frac{1}{3}B.h = \frac{5}{3}a^{3}$
Câu 39: Vận dụng cao
Tính khoảng cách d giữa SA và BD

Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn BD sao cho HD = 3HB. Biết góc giữa mặt (SCD) và mặt phẳng đáy bằng 45⁰. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD là:
- A.
  $\frac{2a\sqrt{38}}{17}$
- B.
  $\frac{2a\sqrt{13}}{3}$
- C.
  $\frac{2a\sqrt{51}}{13}$
- D.
  $\frac{3a\sqrt{34}}{17}$
Hình vẽ minh họa:
Kẻ HI // BC (I ∈ CD) ta có: $\left\{\begin{matrix}CD\bot HI \\CD\bot SI \\\end{matrix} ight.$
=> Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng đáy là góc $\widehat{SIH} = 45^{0}$
Dựng hình bình hành ADBE
Ta có: BD // (SAE) => d(SA, BD) = d(BD, (SAE)) = d(B, (SAE)) = d(H, (SAE))
Kẻ HJ ⊥ AE (J ∈ AE) ta có: AE ⊥ (SHJ) => (SAE) ⊥ (SHJ) theo giao tuyến SJ
Kẻ HK ⊥ SJ (K ∈ SJ) ta có: HK ⊥ (SAE) => HK = d(H, (SAE))
Ta có: $HK = \frac{HJ.HS}{\sqrt{HJ^{2} +HS^{2}}}$
Với $\left\{ \begin{matrix}HJ = AO = a\sqrt{2} \\HS = HI = \dfrac{3}{4}BC = \dfrac{3}{2} \\\end{matrix} ight.$
Vậy $HK =\dfrac{a\sqrt{2}.\dfrac{3}{2}a}{\sqrt{\left( a\sqrt{2} ight)^{2} +\left( \dfrac{3}{2}a ight)^{2}}} = \dfrac{3a\sqrt{31}}{17}$
Câu 40: Vận dụng
Chọn khẳng định đúng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên $SA = a\sqrt{6}$ và SA ⊥ (ABCD). Gọi α là góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
- A.
  $\tan\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$
- B.
  $\tan\alpha = \frac{1}{\sqrt{7}}$
- C.
  $\tan\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$
- D.
  $\tan\alpha = \sqrt{3}$
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} BC\bot AB \\ BC\bot SA \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAB)$

=> Hình chiếu vuông góc của BC trên mặt phẳng (SAB) là SB

=> $\left( SC;(SAB) ight) = (SC;SB) = \widehat{CSB}$

Xét tam giác SAB vuông ta có:

$SB = \sqrt{SA^{2} + AB^{2}} = a\sqrt{7}$

Xét tam giác SBC vuông ta có:

$\tan\widehat{CSB} = \frac{BC}{SB} = \frac{1}{\sqrt{7}}$

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

35 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 Chân trời sáng tạo
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân
Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số ghép số liệu nhóm
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Đạo hàm
Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 9: Xác suất

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 11 Chân trời sáng tạo

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân

Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian

Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số ghép số liệu nhóm

Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 7: Đạo hàm

Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian

Chương 9: Xác suất