VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 CTST Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Vận dụng
Tính tanα

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\bot(ABC);SA = a\sqrt{5}$ . Biết đáy $ABC$ của hình chóp là tam giác vuông tại $A$ cạnh $AC = 2a$ . Giả sử $\alpha = \left( SA;(SBC) ight)$ . Khi đó:
- A.
  $\tan\alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}$
- B.
  $\tan\alpha = \frac{2}{5}$
- C.
  $\tan\alpha = \frac{2\sqrt{5}}{5}$
- D.
  $\tan\alpha = 2$
Hình vẽ minh họa

Dựng AK vuông góc với BC, AH vuông góc với SK

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BC\bot AK \\ BC\bot SA \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAK) \Rightarrow BC\bot AH$

Mà $SK\bot AH \Rightarrow AH\bot(SBC)$

Khi đó SK là hình chiếu vuông góc của SA trên mặt phẳng (SBC) nên

$\alpha = \left( SA;(SBC) ight) = (SA;SK) = \widehat{ASK}$

Ta có: $AK = \frac{AB.AC}{BC} = \frac{AB.AC}{\sqrt{AB^{2} + AC^{2}}} = \frac{2a\sqrt{5}}{5}$

Khi đó: $\tan\alpha = \dfrac{AK}{SA} =\dfrac{\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}}{a\sqrt{5}} = \dfrac{2}{5}$
Câu 2: Thông hiểu
Tính thể tích của hình chóp

Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a\sqrt{2}$ . Tam giác $SAC$ vuông tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Cạnh $SC$ tạo với đáy một góc bằng $60^{0}$ . Tính thể tích của hình chóp $S.ABCD$ ?
- A.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{12}$
- B.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{3}$
- C.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{6}}{12}$
- D.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{12}$
Hình vẽ minh họa

Kẻ $SH\bot AC;H \in (AC)$ ta có:

$\left\{ \begin{matrix} SH\bot AC \\ SH \subset (SAC) \\ (SAC)\bot(ABCD) \\ AC = (SAC) \cap (ABCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow SH\bot(ABCD)$

Vậy SH là đường cao của hình chóp

Lại có $AC = 2a$ , tam giác SAC vuông tại S và $\widehat{SAC} = 60^{0}$ nên $\left\{ \begin{matrix}SA = a \\SC = a\sqrt{3} \\SH = \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \\\end{matrix} ight.$

Thể tích hình chóp là $V = \frac{1}{3}.\left( a\sqrt{2} ight)^{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{3}$
Câu 3: Nhận biết
Tính thể tích khối chóp

Biết khối chóp có diện tích đáy và chiều cao lần lượt bằng $9;4$ . Thể tích khối chóp bằng:
- A.
  $V = 36$
- B.
  $V = 18$
- C.
  $V = 24$
- D.
  $V = 12$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} B = 9 \\ h = 4 \\ \end{matrix} ight.$

Thể tích khối chóp là: $V = \frac{1}{3}B.h = \frac{1}{3}.9.4 = 12$
Câu 4: Thông hiểu
Xác định góc giữa cặp vecto

Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và $\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = {60^0}$ . Hãy xác định góc giữa cặp vecto $\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD}$ ?
- A. 60⁰
- B. 45⁰
- C. 90⁰
- D. 120⁰
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
$\begin{matrix} \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} .(\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} ) \hfill \\ = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \hfill \\ = |\overrightarrow {AB} |.|\overrightarrow {AD} |.\cos (\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AD} ) \hfill \\ - |\overrightarrow {AB} |.|\overrightarrow {AC} |.\cos (\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} ) \hfill \\ = |\overrightarrow {AB} |.|\overrightarrow {AD} |.\cos {60^0} - |\overrightarrow {AB} |.|\overrightarrow {AC} |.\cos {60^0}{\text{ }} \hfill \\ {\text{Do }}AC = AD \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = 0 \hfill \\ \Rightarrow (\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} ) = {90^0} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 5: Vận dụng cao
Tính tan góc tạo bởi SA và mặt phẳng (ABC)

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) là một điểm nằm trên đoạn thẳng BC. Mặt phẳng (SAB) tạo với (SBC) một góc 60⁰ và mặt phẳng (SAC) tạo với (SBC) một góc ϕ thỏa mãn $\cos\phi = \frac{\sqrt{2}}{4}$ . Gọi ϕ là góc tạo bởi SA và mặt phẳng (ABC), tính tan ϕ.
- A.
  $\frac{\sqrt{3}}{3}$
- B.
  $\frac{\sqrt{2}}{2}$
- C.
  $\frac{1}{2}$
- D.
  $\sqrt{3}$
Hình vẽ minh họa:

Dựng hình chữ nhật HNAM, suy ra tam giác HNC vuông cân tại N và tam giác HMB vuông cân tại M, suy ra AC ⊥ (SHN) và AB ⊥ (SHM).

Kẻ HE ⊥ SB và HF ⊥ SC, HP ⊥ SN và HK ⊥ SM, suy ra HP ⊥ (SAC), HK ⊥ (SAB).

Ta có: $\widehat{HFP} = \phi;cos\phi = \frac{\sqrt{2}}{4} \Rightarrow \sin\phi = \sqrt{\frac{7}{8}}$

=> $\widehat{HEP}$ là góc giữa (SAB) và (SBC) bằng 60⁰

Suy ra:

$\begin{matrix} \sin\phi = \frac{HK}{HF} = \frac{SH.MH}{SN}.\frac{SC}{SH.HC} \\ = \frac{SC}{\sqrt{2}SN} = \sqrt{\frac{7}{8}} \\ \end{matrix}$

$\begin{matrix}\sin\widehat{HEK} = \dfrac{HK}{HE} = \dfrac{SH.MH}{SM}.\dfrac{SB}{SH.HB}\hfill \\= \dfrac{SB}{\sqrt{2}SM} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \hfill\\\end{matrix}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{SC^{2}}{SN^{2}} = \dfrac{7}{4} \\\dfrac{SB^{2}}{SM^{2}} = \dfrac{3}{2} \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{SH^{2} + HC^{2}}{SH^{2} + HN^{2}} = \dfrac{SH^{2} + 2NH^{2}}{SH^{2}+ HN^{2}} = \dfrac{7}{4} \\\dfrac{SH^{2} + HB^{2}}{SH^{2} + HM^{2}} = \dfrac{SH^{2} + 2MH^{2}}{SH^{2}+ HM^{2}} = \dfrac{3}{2} \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 3SH^{2} = NH^{2} \\ SH^{2} = MH^{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow MH^{2} + NH^{2} = 4SH^{2}$

Suy ra $AH^{2} = 4SH^{2} \Rightarrow \tan\left( SA;(ABC) ight) = \frac{AH}{SH} = \frac{1}{2}$
Câu 6: Nhận biết
Tìm kết luận đúng

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ , $SA\bot(ABC)$ . Kết luận nào dưới đây đúng?
- A.
  $(SCB)\bot(SAB)$
- B.
  $(SAC)\bot(SAB)$
- C.
  $(SAC)\bot(SBC)$
- D.
  $(ABC)\bot(SBC)$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} SA\bot(ABC) \\ AC \subset (ABC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AC\bot SA$

Mà $AC\bot AB \Rightarrow AC\bot(SAB)$

Đồng thời $AC \subset (SAC) \Rightarrow (SAC)\bot(SAB)$
Câu 7: Vận dụng
Tính thể tích tứ diện AJQK

Cho tứ diện $ABCD$ có các cạnh $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc với nhau; $AB = 8a;AC = 5a;AD = 6a$ . Gọi trung điểm của các cạnh $BC,CD,DB$ lần lượt là $J;Q;K$ . Tính thể tích tứ diện $AJQK$ ?
- A.
  $V = 15a^{3}$
- B.
  $V = 30a^{3}$
- C.
  $V = 45a^{3}$
- D.
  $V = 60a^{3}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $V_{ABCD} = \frac{1}{2}AB.\frac{1}{2}AD.AC = 60a^{3}$

Nhận thấy $S_{JQK} = \frac{1}{2}S_{JQKD} = \frac{1}{4}S_{BCD}$

$V_{JQK} = \frac{1}{4}.V_{ABCD} = 15a^{3}$
Câu 8: Vận dụng
Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và AB’

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và AB’ bằng:
- A.
  $\frac{a\sqrt{21}}{7}$
- B.
  $\frac{a\sqrt{3}}{2}$
- C.
  $\frac{a\sqrt{7}}{4}$
- D.
  $\frac{a\sqrt{2}}{2}$
Hình vẽ minh họa:
Ta có BC // B’C’ => BC // (AB’C’)
=> d(BC, AB’) = d(BC, (AB’C’)) = d(B, (AB’C’)) = d(A’ ,(AB’C’))
Gọi I và H lần lượt là hình chiếu vuông góc của A’ trên B’C’ và AI
Ta có: B’C’⊥ A’I và B’C’⊥ A’A nên B’C’⊥ (A’AI) => B’C’⊥ A’H
Mà AI ⊥ A’H
=> (AB’C’) ⊥ A’H.
Khi đó:
$d\left( A';(AB'C') ight) =A'H = \frac{AA'.A'I}{\sqrt{AA'^{2} +A'I^{2}}}$
$=\dfrac{a.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{a^{2} + \left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2}ight)^{2}}} = \dfrac{a\sqrt{21}}{7}$
Vậy khoảng cách cần tìm là $\frac{a\sqrt{21}}{7}$
Câu 9: Thông hiểu
Xác định số khẳng định đúng

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ , $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Giả sử $H$ là hình chiếu của $A$ trên cạnh $SB$ . Ta có các khẳng định sau:

a) $AH\bot SC$ b) $BC\bot(SAB)$ c) $SC\bot AB$

Có bao nhiêu khẳng định đúng trong các khẳng định đã cho?
- A.
  $3$
- B.
  $1$
- C.
  $0$
- D.
  $2$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BC\bot AB \\ BC\bot SA \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAB)$

$\Rightarrow BC\bot AH;\left( do\ \ \ AH \subset (SAB) ight)$

Lại có: $\left\{ \begin{matrix} AH\bot SB \\ AH\bot BC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AH\bot(SBC) \Rightarrow AH\bot SC$

Vậy có 2 khẳng định đúng.
Câu 10: Nhận biết
Tính góc giữa SC với mặt phẳng (ABCD)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, cạnh SA ⊥ (ABCD) , $SA = a\sqrt{2}$ . Góc giữa SC với mặt phẳng (ABCD) là:
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $45^{0}$
- C.
  $90^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Hình vẽ minh họa:
Ta có: $\widehat{\left( SC,(ABCD) ight)}= \widehat{(SC,AC)} = \widehat{SCA}$
Lại có: $\tan\widehat{SCA} = \frac{SA}{AC}= \frac{SA}{AB\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}} = 1$
=> $\widehat{SCA} = 45^{0}$
Câu 11: Vận dụng
Tính góc giữa hai đường thẳng

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, A’B’C’D’ là hình chữ nhật tâmH, A’D’ = 2a, $A'B' = 2\sqrt 3 a$ , H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (A’B’C’D’), $AH = 2\sqrt 3 a$ . Gọi $\alpha$ là góc giữa hai đường thẳng AD’ và DB’. Tính $\cos \alpha$ .
- A. $\cos \alpha = \frac{1}{2}$
- B. $\cos \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{4}$
- C. $\cos \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$
- D. $\cos \alpha = \frac{{\sqrt 6 }}{8}$
Bước 1: Xác định góc giữa hai đường thẳng AD’ và DB’
Kẻ đường thẳng d qua D, song song với AD', cắt A’D’ tại E
Suy ra $\alpha = \widehat {\left( {AD',\,DB'} ight)} = \widehat {\left( {DE,\,DB'} ight)}$
Bước 2: Tính $\cos \alpha$
Kẻ đường thẳng qua H, song song với A’D’, cắt A’B’ tại F.
Lấy điểm I sao cho ADIH là hình bình hành.
Suy ra DI // AH , mà $AH \bot \left( {A'B'C'D'} ight)$
=> $DI \bot \left( {A'B'C'D'} ight) \Rightarrow DI \bot IB'$
Ta có
$\begin{matrix} DE = AD' = \sqrt {A{H^2} + H{{D'}^2}} = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 3 a} ight)}^2} + {{\left( {2a} ight)}^2}} = 4a \hfill \\ EB' = \sqrt {A'{E^2} + A'{{B'}^2}} = \sqrt {{4^2} + {{\left( {2\sqrt 3 } ight)}^2}} .a = 2\sqrt 7 a \hfill \\ IB' = \sqrt {I{F^2} + F{{B'}^2}} = \sqrt {{3^2} + {{\left( {\sqrt 3 } ight)}^2}} .a = 2\sqrt 3 a \hfill \\ DB' = \sqrt {D{I^2} + I{{B'}^2}} = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 3 } ight)}^2} + {{\left( {2\sqrt 3 } ight)}^2}} .a = 2\sqrt 6 a \hfill \\ \end{matrix}$
Trong tam giác EDB’, có:
$\begin{matrix} \cos \widehat {EDB'} = \dfrac{{D{E^2} + D{{B'}^2} - E{{B'}^2}}}{{2.DE.DB'}} \hfill \\ = \dfrac{{{{\left( {4a} ight)}^2} + {{\left( {2\sqrt 6 a} ight)}^2} - {{\left( {2\sqrt 7 a} ight)}^2}}}{{2.4a.2\sqrt 6 a}} \hfill \\ = \dfrac{{\sqrt 6 }}{8} > 0 \hfill \\ \end{matrix}$
Suy ra $\cos \alpha = \frac{{\sqrt 6 }}{8}$
Câu 12: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD, SA vuông góc với đáy. Kẻ AH vuông góc với SB (H ∈ SB). Chọn mệnh đề đúng.
- A.
  AH ⊥ SC
- B.
  AH ⊥ (SBD)
- C.
  AH ⊥ (SCD)
- D.
  AH ⊥ SD
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
SA ⊥ BC
AB ⊥ BC
=> BC ⊥ (SAB) => BC ⊥ AH
Mà AH ⊥ SB nên AH ⊥ (SBC) => AH ⊥ SC
Câu 13: Thông hiểu
Tính thể tích khối lăng trụ tam giác đều

Cho khối lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có cạnh bên bằng $4a$ . Tính thể tích khối lăng trụ biết góc giữa mặt phẳng $(A'BC)$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $60^{0}$ .
- A.
  $V = \frac{64\sqrt{3}}{3}a^{3}$
- B.
  $V = \frac{64\sqrt{3}}{27}a^{3}$
- C.
  $V = \frac{64\sqrt{3}}{9}a^{3}$
- D.
  $V = 64\sqrt{3}a^{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của BC.

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BC\bot AM \\ BC\bot A'M \\ (A'BC) \cap (ABC) = BC \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left( (A'BC);(ABC) ight) = \widehat{A'MA} = 60^{0}$

Trong tam giác vuông A’MA có:

$\tan\widehat{A'MA} = \frac{A'A}{AM} \Rightarrow AM = \frac{A'A}{tan60^{0}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}a$

Tam giác ABC đều nên $AM = \frac{AB\sqrt{3}}{2} \Rightarrow AB = \frac{8a}{3}$

Vậy thể tích khối lăng trụ là: $V = S_{ABC}.AA' = \frac{\sqrt{3}}{4}.4a.\left( \frac{8a}{3} ight)^{2} = \frac{64\sqrt{3}a^{3}}{9}$
Câu 14: Thông hiểu
Cặp đường thẳng nào sau đây không vuông góc với nhau

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng a và các góc phẳng đỉnh B đều bằng 60⁰.
Cặp đường thẳng nào sau đây không vuông góc với nhau?
- A.
  B’C và AD’
- B.
  BC’ và A’D
- C.
  B’C và CD’
- D.
  AC và B’D’
Hình ảnh minh họa
Xét tam giác CB'D' có ba cạnh bằng $a\sqrt 3$ nên tam giác không vuông.
=> B’C và CD’ không vuông góc với nhau.
Câu 15: Thông hiểu
Tính của góc giữa mặt phẳng (AMO) và mặt phẳng (SAB)

Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Góc giữa SB và mặt phẳng (SCA) bằng 60⁰. Gọi M là trung điểm của SB. Tính của góc giữa mặt phẳng (AMO) và mặt phẳng (SAB).
- A. $\frac{1}{{\sqrt 5 }}$
- B. $\frac{1}{{2\sqrt 5 }}$
- C. $\frac{2}{{\sqrt 5 }}$
- D. $\frac{3}{{2\sqrt 5 }}$
Hình chóp S.ABCD đều, O là tâm của đáy nên $SO \bot \left( {ABCD} ight);BD \bot \left( {SAC} ight)$
ABCD là hình vuông cạnh a nên $AC = BD = a\sqrt 2 ;OB = \frac{1}{2}BD = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$
Ta có: $\left( {SAB} ight) \cap \left( {AMO} ight) = AM$
Khi đó: $\sin \varphi = \frac{{d\left( {O;\left( {SAB} ight)} ight)}}{{d\left( {O;AM} ight)}}$ với $\varphi$ là góc giữa hai mặt phẳng (AMO) và (SAB).
Do $BD \bot \left( {SAC} ight)$ suy ra góc giữa SB và (SAC) là góc giữa SB và SO và bằng góc $\widehat {BSO} = {60^0}$ .
Tam giác SBO vuông tại O nên ta có:
$\begin{matrix} SO = \dfrac{{OB}}{{\tan {{60}^0}}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{{2\sqrt 3 }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6} \hfill \\ SB = \dfrac{{OB}}{{\sin {{60}^0}}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3} \hfill \\ \Rightarrow MB = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6} \hfill \\ \end{matrix}$
Gọi I là trung điểm của AB. Kẻ OH ⊥ SI (1)
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {AB \bot OI} \\ {AB \bot SO} \end{array}} ight. \Rightarrow AB \bot \left( {SOI} ight) \Rightarrow OH \bot AB$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $OH \bot \left( {SAB} ight) \Rightarrow d\left( {O;\left( {SAB} ight)} ight) = OH$
Vì OI là đường trung bình của tam giác ABD nên $OI = \frac{1}{2}AD = \frac{a}{2}$
Tam giác SOI vuông tại O, đường cao OH, có
$\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{I^2}}} + \frac{1}{{S{O^2}}} = \frac{{10}}{{{a^2}}} \Rightarrow OH = \frac{a}{{\sqrt {10} }}$
Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến trong các tam giác SAB và SBC, ta có:
$\begin{matrix} A{M^2} = \dfrac{{2A{B^2} + 2S{A^2} - S{B^2}}}{4} = \dfrac{{2{a^2}}}{3} \Rightarrow AM = a\sqrt {\dfrac{2}{3}} \hfill \\ C{M^2} = \dfrac{{2C{B^2} - 2C{S^2} - S{B^2}}}{4} = \dfrac{{2{a^2}}}{3} \Rightarrow CM = a\sqrt {\dfrac{2}{3}} \hfill \\ \end{matrix}$
Trong tam giác AMC, có:
$\cos \widehat {CAM} = \frac{{A{M^2} + A{C^2} - M{C^2}}}{{2AMM.AC}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \widehat {CAM} = {30^0}$
$\begin{matrix} d\left( {O;AM} ight) = \dfrac{{d\left( {C;AM} ight)}}{2} \hfill \\ = \frac{1}{2}AC.\sin \widehat {CAM} = \dfrac{1}{2}AC.\sin {30^0} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4} \hfill \\ \Rightarrow \sin \varphi = \dfrac{{d\left( {O;\left( {SAB} ight)} ight)}}{{d\left( {O;AM} ight)}} = \dfrac{a}{{\sqrt {10} }}:\dfrac{{a\sqrt 2 }}{4} = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 16: Vận dụng cao
Tính b theo a.

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh bằng a, chiều cao b. Biết góc giữa hai đường thẳng AC’ và A’B bằng 60⁰. Tính b theo a.
- A.
  $b = 2a$
- B.
  $b = \frac{\sqrt{2}}{2}a$
- C.
  $b = a\sqrt{2}$
- D.
  $b = \frac{1}{2}a$
Hình vẽ minh họa:

Lấy M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AA’, A’C’, A’B’ suy ra MN, NP, PQ và MQ lần lượt là đường trung bình của tam giác ABA’, AA’C’, A’B’C’ và hình chữ nhật ABB’A’. Suy ra:

$\left\{ \begin{matrix}MN// = \dfrac{1}{2}A'B \\NP// = \dfrac{1}{2}AC' \\PQ = \dfrac{1}{2}B'C' = \dfrac{a}{2} \\MQ// = BB' \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}MN = NP \\(AC';A'B) = \widehat{MNP} = 60^{0} \\\end{matrix} ight.$

Từ đó suy ra: tam giác MNP đều

=> MP = MN = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Kết hợp với $BB'\bot(A'B'C) \Rightarrow MQ\bot(A'B'C') \Rightarrow MQ\bot PQ$

=> Tam giác MNP vuông tại Q

=> $MQ^{2} = MP^{2} - PQ^{2} = \frac{a^{2}}{4} \Rightarrow MQ = \frac{a}{2}$

=> $b = \frac{a}{2}$
Câu 17: Nhận biết
Xác định mệnh đề đúng

Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
- A.
  Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc thì vuông góc với đường thẳng còn lại.
- B.
  Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
- C.
  Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại.
- D.
  Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} a\bot b \\ b//c \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a\bot c$

Vậy mệnh đề đúng là: “Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại.”
Câu 18: Thông hiểu
Tính thể tích khối lăng trụ

Cho khối lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có $BB' = 2a$ . Tính thể tích khối lăng trụ biết góc giữa mặt phẳng $(A'BC)$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $60^{0}$ .
- A.
  $V = \frac{8\sqrt{3}}{3}a^{3}$
- B.
  $V = 8\sqrt{3}a^{3}$
- C.
  $V = \frac{8\sqrt{3}}{9}a^{3}$
- D.
  $V = 16\sqrt{3}a^{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của BC.

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BC\bot AM \\ BC\bot A'M \\ (A'BC) \cap (ABC) = BC \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left( (A'BC);(ABC) ight) = \widehat{A'MA} = 60^{0}$

Trong tam giác vuông A’MA có:

$\tan\widehat{A'MA} = \frac{A'A}{AM} \Rightarrow AM = \frac{A'A}{tan60^{0}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}a$

Tam giác ABC đều nên $AM = \frac{AB\sqrt{3}}{2} \Rightarrow AB = \frac{4a}{3}$

Vậy thể tích khối lăng trụ là: $V = S_{ABC}.AA' = 2a.\frac{4a^{2}\sqrt{3}}{9} = \frac{8\sqrt{3}a^{3}}{9}$
Câu 19: Vận dụng cao
Tính giá trị cos α

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; SAB là tam giác cân tại S; AD = 3BC = 3AB = 3a. Gọi M là điểm thuộc đoạn AD sao cho AD = 3MD. Biết rằng SCM là tam giác đều. Gọi α là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD). Khi đó cos α nhận giá trị là
- A. $\frac{{2\sqrt 7 }}{7}$
- B. $\frac{{\sqrt {21} }}{7}$
- C. $\frac{{\sqrt {42} }}{{14}}$
- D. $\frac{{\sqrt {154} }}{{14}}$
Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.
Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a
=> MD = a; AM = 2a
Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.
Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và $HK = \frac{{3a}}{2}$
Ta có: $\left\{ \begin{gathered} AB \bot SK \hfill \\ AB \bot HK \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow AB \bot SH$ (1)
Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)
Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)
Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.
Suy ra $HM = HN = \frac{1}{2}CM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$ và $HM \bot HN$
Tam giác SCM đều cạnh bằng $a\sqrt 2$ nên $SH = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$
Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).
Ta có: $\frac{1}{{{d^2}}} = \frac{1}{{H{M^2}}} + \frac{1}{{H{N^2}}} + \frac{1}{{H{S^2}}}$
$= \frac{4}{{2{a^2}}} + \frac{4}{{2{a^2}}} + \frac{4}{{6{a^2}}} = \frac{{14}}{{3{a^2}}} \Rightarrow d = \frac{{a\sqrt {42} }}{{14}}$
Ta lại có:
$SB = \sqrt {S{H^2} + B{H^2}} = \sqrt {S{H^2} + B{K^2} + K{H^2}}$
$= \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{2} + \frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{9{a^2}}}{4}} = 2a$
Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)
Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc $\widehat {BSI} = \alpha$
Do BC // AD => BC //(SAD)
=> $BI = d\left( {B;\left( {SAD} ight)} ight) = d\left( {C;\left( {SAD} ight)} ight) = 2d\left( {H,\left( {SAD} ight)} ight) = \frac{{a\sqrt {42} }}{7}$
Trong tam giác vuông BIS ta có:
$\sin \alpha = \frac{{BI}}{{SB}} = \frac{{\sqrt {42} }}{{14}} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\sqrt {154} }}{{14}}$
Câu 20: Nhận biết
Hoàn thành mệnh đề

Các đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì:
- A.
  Thuộc một mặt phẳng
- B.
  Vuông góc với nhau
- C.
  Song song với một mặt phẳng
- D.
  Song song với nhau
Đáp án "Thuộc một mặt phẳng" sai vì có thể xảy ra trường hợp chúng nằm trên nhiều mặt phẳng khác nhau.
Đáp án "Vuông góc với nhau" sai vì có thể xảy ra trường hợp chúng song song với nhau.
Đáp án "Song song với nhau" sai vì có thể xảy ra trường hợp chúng cắt nhau.
Đáp án "Song song với một mặt phẳng" đúng vì chúng đồng phẳng.
Câu 21: Thông hiểu
Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, SA ⊥ (ABCD). Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) là:
- A.
  $\widehat{SOA}$
- B.
  $\widehat{SDA}$
- C.
  $\widehat{SBA}$
- D.
  $\widehat{OSB}$
Hình vẽ minh họa:

Ta có:

Hai mặt phẳng (ABCD) và (SBD) cắt nhau theo giao tuyến BD.

Lại có AO nằm trong (ABCD) và vuông góc với BD tại O

Mà SO nằm trong (SBD) và vuông góc với BD tại O.

=> Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng góc giữa hai đường thẳng OA và OS, tức là góc $\widehat{SOA}$
Câu 22: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Trong các mệnh đề sau, mênh đề nào đúng?
- A.
  Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.
- B.
  Hai mặt phẳng phân biệt vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
- C.
  Với mỗi điểm A ∊ (α) và mỗi điểm B ∊ (β) thì ta có đường thẳng AB vuông góc với giao tuyến d của (α) và (β).
- D.
  Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) đều vuông góc với mặt phẳng (γ) thì giao tuyến d của (α) và (β) nếu có sẽ vuông góc với (γ).
Mệnh đề: “Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.” Sai vì nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này vuông góc với giao tuyến sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.

Mệnh đề: “Hai mặt phẳng phân biệt vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.” sai vì còn trường hợp hai mặt phẳng cắt nhau.

Mệnh đề: “Với mỗi điểm A ∊ (α) và mỗi điểm B ∊ (β) thì ta có đường thẳng AB vuông góc với giao tuyến d của (α) và (β).” Sai vì ít nhất nếu cả A và B đều thuộc giao tuyến của (α) và (β) thì AB trùng với (α) ⋂ (β).
Câu 23: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB = BC = a;AA' = a\sqrt{6}$ (như hình vẽ)

Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $A'C$ và mặt phẳng đáy $(ABCD)$ . Khi đó:
- A.
  $\cos\alpha = \frac{1}{2}$
- B.
  $\cos\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$
- C.
  $\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$
- D.
  $\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left( A'C;(ABCD) ight) = (A'C;AC) = \widehat{A'CA} = \alpha$

Lại có: $AC = \sqrt{AB^{2} + BC^{2}} = a\sqrt{2}$

Xét tam giác $A'CA$ ta có:

$\Rightarrow \tan\alpha = \frac{AA}{AC} = \frac{a\sqrt{6}}{a\sqrt{2}} = \sqrt{3}$

$\Rightarrow \cos\alpha = \frac{1}{2}$
Câu 24: Nhận biết
Tính diện tích tam giác BCD

Hình tứ diện ABCD có AB = AC = AD = 3 và AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Diện tích của tam giác BCD bằng:
- A.
  $\frac{9\sqrt{3}}{2}$
- B.
  $\frac{9\sqrt{2}}{3}$
- C.
  $27$
- D.
  $\frac{27}{2}$
Do ∆BCD là tam giác đều cạnh $\sqrt{18}$ nên có diện tích là $S_{BCD} = \frac{18\sqrt{3}}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{2}$
Câu 25: Thông hiểu
Tìm tan α

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC. Biết tam giác SBC là tam giác đều. Gọi α là số đo của góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC). Tính tan α.
- A.
  $1$
- B.
  $\sqrt{3}$
- C.
  $0$
- D.
  $\frac{1}{\sqrt{3}}$
Hình chiếu của SA lên mặt phẳng (ABC) là AH
=> Góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) là $\widehat{SAH}$
Tam giác ABC và SBC là các tam giác đều cùng cạnh a
$AH = SH =\frac{a\sqrt{3}}{2}$
Vậy tan α = 1
Câu 26: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác cân tại $B$ , $SA\bot(ABC)$ . Gọi $I$ là trung điểm của $AC$ , $H$ là hình chiếu của $I$ trên $SC$ . Chọn khẳng định đúng?
- A.
  $(BIH)\bot(SBC)$
- B.
  $(SAC)\bot(SAB)$
- C.
  $(ABC)\bot(SBC)$
- D.
  $(SAC)\bot(SBC)$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BI\bot AC \\ BI\bot SA;\left( SA\bot(ABC) ight) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BI\bot(SAC) \Rightarrow BI\bot SC(1)$

Theo giả thiết ta có: $SC\bot IH(2)$

Từ (1) và (2) suy ra $SC\bot(BHI)$

Mà $SC \subset (SBC)$ nên $(BHI)\bot(SBC)$
Câu 27: Thông hiểu
Sin của góc tạo bởi A’H với (A’ACC’)

Cho hình lăng trụABC.A’B’Ccó đáy ABC là tam giác vuông tại B, $AB = a,\widehat {ACB} = 30^\circ$ , M là trung điểm cạnh AC. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy của lăng trụ bằng 60⁰. Hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của BM. Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi A’H với (A’ACC’). Tính $\sin\alpha$ ?
- A. $\frac{1}{3}$
- B. $\frac{{\sqrt 3 }}{4}$
- C. $\frac{{\sqrt 2 }}{5}$
- D. $\frac{{\sqrt 3 }}{6}$
Ta có $A'H \bot \left( {ABC} ight)$ nên A’H là đường cao của lăng trụ.
Kẻ $HK \bot AC$ (K thuộc đoạn AC)
Kẻ
Suy ra $HI \bot \left( {AA'C'C} ight)$
Khi đó $\alpha = \left( {A'H,A'I} ight) = \widehat {HA'K}$
+) Do tam giác MCB cân tại B nên $\widehat {BMC} = \widehat {BCM} = 30^\circ$
$\begin{matrix} MH = \dfrac{1}{2}BM = \dfrac{1}{4}AC = \dfrac{1}{4}\dfrac{{AB}}{{\sin 30^\circ }} = \dfrac{a}{2} \hfill \\ \Rightarrow HK = MH.\sin 60^\circ = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4} \hfill \\ \end{matrix}$
+) Mặt khác, góc giữa cạnh bên A’A và mặt đáy bằng $\widehat {A'AH} = 60^\circ$ (theo giả thiết)
Và BM = AM = AB = a
=> Tam giác AMB là tam giác đều cạnh a
$\Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow A'H = AH.\tan 60^\circ = \frac{{3a}}{2}$
Vì vậy, $\sin \alpha = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}}}{{\dfrac{{3a}}{2}}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6}$
Câu 28: Thông hiểu
Tính góc giữa SO và mặt đáy

Cho hình chóp tam giác $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Tam giác $ABD$ có tất cả các cạnh bằng $a\sqrt{2}$ , $SA\bot(ABCD);SA = \frac{3a\sqrt{2}}{2}$ . Góc giữa đường thẳng $SO$ với mặt đáy bằng:
- A.
  $45^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $60^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hình vẽ minh họa:

Ta có: $\left( SO;(ABCD) ight) = (SO;OA) = \widehat{SOA}$

Xét tam giác SAO ta có:

$SA = \frac{3a\sqrt{2}}{2}$

$AO = \sqrt{AB^{2} - OB^{2}}$

$= \sqrt{AB^{2} - \left( \frac{BD}{2} ight)^{2}} = \sqrt{2a^{2} - \frac{a^{2}}{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$

$\Rightarrow \tan\widehat{SOA} = \frac{SA}{AO} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow \left( SO;(ABCD) ight) = \widehat{SOA} = 30^{0}$
Câu 29: Vận dụng
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề đã cho

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng 4a. Cạnh bên hình chóp SA = 2a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm M của OA. Gọi α là góc giữa SD và mặt phẳng đáy. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây.
- A.
  $\tan\alpha = \sqrt{5}$
- B.
  $\tan\alpha = 1$
- C.
  $\tan\alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}$
- D.
  $\tan\alpha = \sqrt{3}$
Hình vẽ minh họa:

Ta có: SM ⊥ (ABCD)

=> Hình chiếu vuông góc của SD trên mặt phẳng (ABCD) là cạnh MD.

$\Rightarrow \alpha = \left( SD,(ABCD) ight) = (SD;MD) = \widehat{SDM}$

Ta tính được: $SM = \sqrt{SA^{2} - AM^{2}} = a\sqrt{2}$

Xét tam giác ADM có:

$MD = \sqrt{AM^{2} + AD^{2} - 2AM.AD.cos45^{0}} = a\sqrt{10}$

=> $\tan\alpha = \tan\widehat{SDM} = \frac{SM}{MD} = \frac{\sqrt{5}}{5}$
Câu 30: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng?

Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
- A.
  Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì nằm trong mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.
- B.
  Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
- C.
  Một đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau nếu nó vuông góc với cả hai đường thẳng đó.
- D.
  Các mệnh đề trên đều sai.
Đáp án đúng: “Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.”
Câu 31: Vận dụng
Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SC và HD

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; biết AB = BC = 4a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi H là trung điểm của AB, biết khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SHD) bằng $a\sqrt {10}$ . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SC và HD.
- A. $\frac{1}{{\sqrt 5 }}$
- B. $\frac{2}{{\sqrt 5 }}$
- C. $\frac{{\sqrt 5 }}{4}$
- D. $\frac{{\sqrt 5 }}{3}$
Ta có: $\left\{ \begin{gathered} \left( {SAB} ight) \bot \left( {ABCD} ight) \hfill \\ \left( {SAB} ight) \cap \left( {ABCD} ight) = AB \hfill \\ SH \bot AB \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow SH \bot (ABCD)$
Kẻ $CK \bot HD$ tại K, ta có:
$\begin{matrix} \left\{ \begin{gathered} CK \bot HD \hfill \\ CK \bot SH \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow CK \bot \left( {SHD} ight) \hfill \\ \Rightarrow d(C,(SHD)) = CK = a\sqrt {10} \hfill \\ \end{matrix}$
Ta có:
$\begin{matrix} CH = \sqrt {B{C^2} + B{H^2}} = a\sqrt {20} \hfill \\ \Rightarrow HK = \sqrt {C{H^2} + C{K^2}} = a\sqrt {10} \hfill \\ \Rightarrow CK = HK \hfill \\ \end{matrix}$
Do đó tam giác CHK vuông cân tại K
$\Rightarrow \widehat {KHC} = {45^o} \Rightarrow \widehat {DHC} = {45^o} \Rightarrow \tan \widehat {DHC} = 1$
Tam giác BHC vuông tại B nên $\tan \widehat {BHC} = \frac{{BC}}{{BH}} = 2$
$\tan \widehat {BHD} = \tan \left( {\widehat {BHC} + \widehat {CHD}} ight) = \frac{{\tan \widehat {BHC} + \tan \widehat {CHD}}}{{1 - \tan \widehat {BHC}.\tan \widehat {CHD}}} = - 3$
Mà $\widehat {BHD} + \widehat {AHD} = 180^\circ$
$\Rightarrow \tan \widehat {AHD} = - \tan \widehat {BHD} = 3 \Rightarrow \frac{{AD}}{{AH}} = 3 \Rightarrow AD = 6a$
Gọi M, E lần lượt là giao điểm của HD với AC và BC.
Khi đó AEBD là hình bình hành nên EB = AD = 4a => EC = 10a
Ta có: AD // EC
$\begin{matrix} \dfrac{{AD}}{{EC}} = \dfrac{{AM}}{{MC}} = \dfrac{{6a}}{{10a}} = \dfrac{3}{5} \hfill \\ \Rightarrow AM = \frac{3}{5}MC = \dfrac{3}{8}AC = \dfrac{3}{8}.a\sqrt {32} = \dfrac{{3a\sqrt 2 }}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
Trong mặt phẳng (ABCD), kẻ CN song song HD, với $N \in AB$ . Khi đó góc giữa hai đường thẳng SC và HD bằng góc giữa SC và CN.
Ta có:
$\begin{matrix} AH = \dfrac{3}{5}HN \hfill \\ \Rightarrow HN = \dfrac{{10}}{3}a \Rightarrow BN = \dfrac{4}{3}a \hfill \\ SN = \sqrt {S{H^2} + H{N^2}} = \sqrt {\dfrac{{208}}{3}} a \hfill \\ CN = \sqrt {B{N^2} + B{C^2}} = \dfrac{{4\sqrt {10} }}{3}a. \hfill \\ \end{matrix}$
Áp dụng định lý côsin trong tam giác SCN, ta có:
$\cos \widehat {SCN} = \frac{{S{C^2} + C{N^2} - S{N^2}}}{{2SC.CN}} = \frac{{\sqrt 5 }}{4}$
Vậy $\cos \left( {SC,HD} ight) = \cos \left( {SC,CN} ight) = \left| {\cos \widehat {SCN}} ight| = \frac{{\sqrt 5 }}{4}$
Câu 32: Thông hiểu
Chọn kết luận đúng

Cho hình chóp $S.ABC$ . Biết rằng $SA = SB;AC = BC$ . Kết luận nào sau đây đúng?
- A.
  $BC\bot(SBC)$
- B.
  $AB\bot SB$
- C.
  $SA\bot(ABC)$
- D.
  $AB\bot SC$
Hình vẽ minh họa

Gọi D là trung điểm của AB, vì tam giác SAB cân tại S và tam giác ABC cân tại C nên $\left\{ \begin{matrix} AB\bot SD \\ AB\bot CD \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AB\bot(SDC) \Rightarrow AB\bot SC$ .
Câu 33: Vận dụng cao
Tính cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I)

Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB = AC = BB’ = a, $\widehat{BAC} = 120^{0}$ . Gọi I là trung điểm của CC’. Tính cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I).
- A.
  $\frac{\sqrt{2}}{2}$
- B.
  $\frac{3\sqrt{5}}{12}$
- C.
  $\frac{\sqrt{30}}{10}$
- D.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$
Hình vẽ minh họa:
Gọi E là giao điểm của B’I và BC, H thuộc BC sao cho EA ⊥ AH tại A, K ∈ B’I sao cho KH ⊥ CB tại H.
Ta có: KH ⊥ CB => KH // CC’
=> KH ⊥ (ABC) tại H => KH ⊥ EA mà EA ⊥ AH => EA ⊥ (AKH) => EA ⊥ AK
Góc giữa hai mặt phẳng (AIB’) và (ACB) là $\widehat{KAH}$
Ta có: BC = 2a.cos 30⁰ = $a\sqrt{3}$
Mặt khác AE² = EC² + AC² − 2AC.EC. cos ACE
AE² = 3a² + a² − 2a. $a\sqrt{3}$ .cos 150⁰= 7a²
=> $AE = a\sqrt{7}$
Ta có:
$\cos\widehat{AEC} = \frac{AE^{2} +EC^{2} - AC^{2}}{2.AE.EC} = \frac{9}{2\sqrt{21}}$
$\tan\widehat{AEC} =\sqrt{\frac{1}{cos^{2}\widehat{AEC}} - 1} =\frac{\sqrt{3}}{9}$
Ta có:
$\frac{EH}{EB} =\frac{HK}{BB'}$
$\Rightarrow HK = \frac{BB'.EH}{EB} =\frac{AE.BB'}{2BC.cos\widehat{AEC}} = \frac{7a}{9}$
$\cos\widehat{KAH} = \frac{AH}{AK} =\frac{AH}{\sqrt{AH^{2} + HK^{2}}} = \frac{\sqrt{30}}{10}$
Câu 34: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho hình chóp S.ABC có các mặt bên tạo với đáy một góc bằng nhau. Hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABC) là:
- A.
  Tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
- B.
  Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
- C.
  Trọng tâm của tam giác ABC.
- D.
  Giao điểm của hai đường thẳng AC và DB.
Gọi I là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD)
M, N, P lần lượt là hình chiếu vuông góc của S trên các cạnh AB, AC, BC.
Khi đó ta có: $\left\{ \begin{matrix}SI\bot AB \\SM\bot AB \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow AB\bot(SIM) \Rightarrow AB\botIM$
Tương tự ta có: $AC\bot IN,IP\botBC$
Khi đó $\left( (SAB);(ABC) ight) =(SM,IM) = \widehat{SMI}$
Tương tự suy ra $\widehat{SMI} =\widehat{SNI} = \widehat{SPI}$
=> $\Delta SMI = \Delta SNI = \DeltaSPI \Rightarrow IM = IN = IP$
=> I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Câu 35: Thông hiểu
Tính khoảng cách d từ D đến mặt phẳng (SBC)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có $AB=a\sqrt{2}$ .Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt đáy (ABCD). Tính khoảng cách d từ D đến mặt phẳng (SBC)
- A.
  $d=\frac{a\sqrt{10}}{2}$
- B.
  $d=a\sqrt{2}$
- C.
  $d=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$
- D.
  $d=\frac{a\sqrt{3}}{3}$
Hình vẽ minh họa
Ta có: AD // BC => $d\left( {D;\left( {SCD} ight)} ight) = d\left( {A;\left( {SBC} ight)} ight)$
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB => $AK \bot SB (*)$
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {BC \bot SA} \\ {BC \bot AB} \end{array}} ight. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} ight) \Rightarrow BC \bot AH\left( {**} ight)$
Từ (*) và (**) => $AH \bot \left( {SBC} ight)$
$\begin{matrix} d\left( {A;\left( {SBC} ight)} ight) = AH \hfill \\ \Rightarrow AH = \dfrac{{SA.AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 36: Thông hiểu
Kéo ghép đáp án đúng
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ . Ghép nối các đáp án với nhau.

$(AB,B'C')$ || $90^{0}$

$(AC,B'C')$ || $45^{0}$

$(A'C',B'C)$ || $60^{0}$
Đáp án là:

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ . Ghép nối các đáp án với nhau.

$(AB,B'C')$ || $90^{0}$

$(AC,B'C')$ || $45^{0}$

$(A'C',B'C)$ || $60^{0}$

Hình vẽ minh họa

Ta có: $AB//A'B'$ mà $(A'B',B'C') = 90^{0} \Rightarrow (AB,B'C') = 90^{0}$

Vì tứ giác $ABCD$ là hình vuông nên $(AC;BC) = 45^{0}$

Ta có: $BC//B'C'$ nên $(AC,B'C') = 45^{0}$

Ta có: $A'C'//AC$ và tam giác $AVB'$ là tam giác đều vì có các cạnh đều bằng đường chéo của các hình vuông bằng nhau. Do đó $(A'C',B'C) = (AC,B'C) = 60^{0}$
Câu 37: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $H$ là trực tâm tam giác $BCD$ và $AH$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $CD\bot BD$
- B.
  $AC = BD$
- C.
  $AB = CD$
- D.
  $AB\bot CD$
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$AH\bot(BCD) \Rightarrow AH\bot CD$

H là trực tâm tam giác BCD nên $BH\bot CD$

$\left\{ \begin{matrix} CD\bot AH \\ CD\bot BH \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow CD\bot(ABH) \Rightarrow CD\bot AB$
Câu 38: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Công thức tính thể tích $V$ của khối nón có bán kính $r$ và chiều cao $h$ là:
- A.
  $V = \frac{1}{3}\pi rh$
- B.
  $V = \pi rh$
- C.
  $V = \frac{1}{3}\pi r^{2}h$
- D.
  $V = \pi r^{2}h$
Công thức tính thể tích là: $V = \frac{1}{3}\pi r^{2}h$
Câu 39: Thông hiểu
Tính khoảng cách d từ O đến mặt phẳng (SBC)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Cạnh bên $SA=\frac{a\sqrt{15}}{2}$ và vuông góc với mặt đáy (ABCD). Tính khoảng cách d từ O đến mặt phẳng (SBC)
- A.
  $d=\frac{a\sqrt{285}}{19}$
- B.
  $d=\frac{\sqrt{285}}{38}$
- C.
  $d=\frac{a\sqrt{285}}{38}$
- D.
  $d=\frac{a\sqrt{2}}{2}$
Ta có:
$\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {AO \cap \left( {SBC} ight) = C} \\ {AC = 2OC} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} ight)} ight) = 2d\left( {O;\left( {SBC} ight)} ight) \hfill \\ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {SA \bot \left( {ABCD} ight) \Rightarrow SA \bot BC} \\ {AB \bot BC} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Từ A kẻ $AH \bot SB$ => $AH \bot \left( {SBC} ight)$
$\begin{matrix} \Rightarrow AH = d\left( {A;\left( {SBC} ight)} ight) \hfill \\ \dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{B^2}}} \hfill \\ \Rightarrow AH = \dfrac{{SA.AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt {285} }}{{19}} \hfill \\ \Rightarrow d\left( {O;\left( {SBC} ight)} ight) = \dfrac{1}{2}AH = \dfrac{{a\sqrt {285} }}{{19}} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 40: Thông hiểu
Tính khoảng cách d từ A đến (SCD)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD). Tính khoảng cách d từ A đến (SCD).
- A.
  $d = 1$
- B.
  $d=\sqrt{2}$
- C.
  $d=\frac{2\sqrt{3}}{3}$
- D.
  $d=\frac{\sqrt{21}}{7}$
Hình vẽ minh họa
Gọi H là trung điểm của AB => $SH \bot AB \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} ight)$
Ta có: AH // CD => $d\left( {A;\left( {SCD} ight)} ight) = d\left( {H;\left( {SCD} ight)} ight)$
Gọi M là trung điểm của CD, K là hình chiếu vuông góc của H trên SM
$\begin{matrix} \Rightarrow d\left( {H;\left( {SCD} ight)} ight) = HK \hfill \\ \Rightarrow HK = \dfrac{{SH.HM}}{{\sqrt {S{H^2} + H{M^2}} }} = \dfrac{{\sqrt {21} }}{7} \hfill \\ \end{matrix}$

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

32 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 Chân trời sáng tạo
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân
Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số ghép số liệu nhóm
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Đạo hàm
Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 9: Xác suất

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 11 Chân trời sáng tạo

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân

Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian

Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số ghép số liệu nhóm

Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 7: Đạo hàm

Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian

Chương 9: Xác suất