VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 CTST Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài Rủ bạn học

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Thông hiểu
Tính góc nhị diện

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ và $AB = a\sqrt{2}$ . Biết $SA\bot(ABC)$ và $SA = a$ . Góc nhị diện $\lbrack S,\ BC,\ Abrack$ có số đo bằng:
- A.
  $30{^\circ}$ .
- B.
  $60{^\circ}$ .
- C.
  $45{^\circ}$ .
- D.
  $90{^\circ}$ .
Hình vẽ minh họa

Kẻ $AM\bot BC$ tại $M \Rightarrow M$ là trung điểm của $BC$ và $AM = \frac{1}{2}BC = \frac{\left( a\sqrt{2} ight)\sqrt{2}}{2} = a$ .

Ta có $\left\{ \begin{matrix} (SBC) \cap (ABC) = BC \\ (SAM)\bot BC \\ (SAM) \cap (SBC) = SM \\ (SAM) \cap (ABC) = AM \\ \end{matrix} ight.$ $\Rightarrow \left( \widehat{(SBC),(ABC)} ight) = \left( \widehat{SM,AM} ight)$ .

Suy ra góc giữa $(SBC)$ và $(ABC)$ bằng góc $\widehat{SMA}$ .

Ta có: $\tan\widehat{SMA} = \frac{SA}{AM} = \frac{a}{a} = 1 \Rightarrow \widehat{SMA} = 45{^\circ}$

Suy ra góc nhị diện $\lbrack S,\ BC,\ Abrack$ có số đo bằng $45{^\circ}$ .
Câu 2: Vận dụng
Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AB và SO

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc $\widehat{SBD}=60^0$ . Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AB và SO.
- A.
  $d=\frac{a\sqrt{3}}{3}$
- B.
  $d=\frac{a\sqrt{6}}{4}$
- C.
  $d=\frac{a\sqrt{2}}{2}$
- D.
  $d=\frac{a\sqrt{5}}{5}$
Hình vẽ minh họa:
Ta có $ΔSAB = ΔSAD(c−g−c)$ suy ra $SB=SD$
Mà $\widehat {SBD} = {60^0}$ => ΔSBD đều cạnh $SB=SD=BD=a\sqrt2$
Xét tam giác vuông SAB có:
$SA = \sqrt {S{B^2} - A{B^2}} = a$
Gọi E là trung điểm AD, suy ra $OE//AB$ và $AE⊥OE$
Do đó $d(AB;SO)=d(AB;(SOE))=d(A;(SOE))$
Kẻ $AK⊥SE(1)$
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {OE \bot AD} \\ {OE \bot SA} \end{array}} ight.$
$⇒ OE⊥(SAD)⇒OE⊥AK(2)$
Từ (1) và (2) $⇒ AK⊥(SOE)$
=> $d\left( {A;\left( {SOE} ight)} ight) = AK = \frac{{SA.AE}}{{\sqrt {S{A^2} + A{E^2}} }} = \frac{{a\sqrt 5 }}{5}$
Câu 3: Nhận biết
Chọn mệnh đề sai

Cho hai đường thẳng $a,b$ và mặt phẳng $(Q)$ . Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề dưới đây?
- A.
  Nếu $a//(Q),b\bot(Q)$ thì $a\bot b$ .
- B.
  Nếu $a \subset (Q),b\bot(Q)$ thì $a\bot b$ .
- C.
  Nếu $a\bot(Q),b\bot a$ thì $b//(Q)$ hoặc $b \subset (Q)$ .
- D.
  Nếu $a//(Q),b\bot a$ thì $b\bot(Q)$ .
Mệnh đề: “Nếu $a//(Q),b\bot a$ thì $b\bot(Q)$ .” Sai vì đường thẳng b có thể nằm trong mặt phẳng (Q).
Câu 4: Thông hiểu

Ghi đáp án vào ô trống

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại $A$ , các cạnh $AB = AC = a$ , các góc $\widehat{SBA} = \widehat{SCA} = 90^{0}$ . Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ trên $(ABC)$ và $SH = a\sqrt{2}$ . Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAC)$ .

Đáp án: 1/3 (Ghi đáp án dưới dạng phân số tối giản a/b).

Đáp án là:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại $A$ , các cạnh $AB = AC = a$ , các góc $\widehat{SBA} = \widehat{SCA} = 90^{0}$ . Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ trên $(ABC)$ và $SH = a\sqrt{2}$ . Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAC)$ .

Đáp án: 1/3 (Ghi đáp án dưới dạng phân số tối giản a/b).

Hình vẽ minh họa

Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng qua $B$ và vuông góc với $AB \Rightarrow (\alpha) \cap (ABC) = Bt//AC$ .

Gọi $(\beta)$ là mặt phẳng qua $C$ và vuông góc với $AC$

$\Rightarrow (\beta) \cap (ABC) =Ct'//AB$

Khi đó, $(\alpha) \cap (\beta) = SH$ với $H = Bt \cap Ct'$ là đỉnh thứ tư của hình vuông ABHC.

Khi đó: $\Delta SAB,\ \ \Delta SAC$ là hai tam giác vuông bằng nhau có $SB = SC = a\sqrt{3},SA = 2a$ .

Gọi $I$ là chân đường cao hạ từ đỉnh $B$ của tam giác SAB, ta có $BI\bot SA,CI\bot SA$ .

Vậy góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAC)$ là $(IB;IC)$ .

Xét $\Delta IBC$ cân tại $I$ có $IB = IC = \frac{a\sqrt{3}.a}{2a} = \frac{a\sqrt{3}}{2},BC = a\sqrt{2}$ .

Ta có: $\cos\widehat{BIC} = \frac{IB^{2} +IC^{2} - BC^{2}}{2IB.IC}$ $= \dfrac{\dfrac{3a^{2}}{4} + \dfrac{3a^{2}}{4} -2a^{2}}{2.\dfrac{3a^{2}}{4}} = - \dfrac{1}{3}$ .

Vậy cosin góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAC)$ bằng $\frac{1}{3}$ .
Câu 5: Nhận biết
Tính cosin góc giữa hai đường thẳng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$ , biết $\Delta SAD$ đều. Tính $\cos(BC;SA)$ ?
- A.
  $\frac{1}{2}$
- B.
  $\frac{\sqrt{2}}{2}$
- C.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$
- D.
  $1$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $BC//AD \Rightarrow (BC;SA) = (AD;SA) = 60^{0}$

$\Rightarrow \cos(BC;SA) = \frac{1}{2}$ .
Câu 6: Thông hiểu
Xác định mặt phẳng

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Đường thẳng AC’ vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?
- A. (A’BD)
- B. (A’D’C’)
- C. (A’CD’)
- D. (A’B’CD)
Hình vẽ minh họa:
Ta có: AA’D’A là hình vuông => AD’ ⊥ A’D
ABCD.A’B’C’D là hình lập phương => AB ⊥ A’D
=> A’D ⊥ (ABC’D’) => A’D ⊥ AC’
Ta lại có: ABCD là hình vuông => AC ⊥ BD
Mà A’A ⊥ BD => BD ⊥ (AA’C’C) => BD ⊥ AC’
Kết hợp với A’D ⊥ AC’ => A’C ⊥ (A’BD)
Câu 7: Vận dụng

Điền đáp án vào ô trống

Giả sử $V$ là thể tích khối tứ diện đều $ABCD$ . Trung điểm tất cả các cạnh của tứ diện tạo thành một đa diện có thể tích $V'$ . Tỉ số $\frac{V'}{V} =$ 1/2

(Kết quả được ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Đáp án là:

Giả sử $V$ là thể tích khối tứ diện đều $ABCD$ . Trung điểm tất cả các cạnh của tứ diện tạo thành một đa diện có thể tích $V'$ . Tỉ số $\frac{V'}{V} =$ 1/2

(Kết quả được ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Hình vẽ minh họa

Giả sử tứ diện đều cạnh bằng a

Hình đa diện cần tính có được bằng cách cắt 4 góc tứ diện

Mỗi góc cũng là một tứ diện đều có cạnh bằng $\frac{a}{2}$

Do đó thể tích phần cắt bỏ là $V'' = 4.\frac{V}{8} = \frac{V}{2}$

(Vì tứ diện cạnh giảm một nưả thì thể tích giảm $\left( \frac{1}{2} ight)^{3} = \frac{1}{8}$

Vậy $V' = \frac{V}{2} \Rightarrow \frac{V'}{V} = \frac{1}{2}$
Câu 8: Vận dụng cao
Tính cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I)

Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB = AC = BB’ = a, $\widehat{BAC} = 120^{0}$ . Gọi I là trung điểm của CC’. Tính cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I).
- A.
  $\frac{\sqrt{2}}{2}$
- B.
  $\frac{3\sqrt{5}}{12}$
- C.
  $\frac{\sqrt{30}}{10}$
- D.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$
Hình vẽ minh họa:
Gọi E là giao điểm của B’I và BC, H thuộc BC sao cho EA ⊥ AH tại A, K ∈ B’I sao cho KH ⊥ CB tại H.
Ta có: KH ⊥ CB => KH // CC’
=> KH ⊥ (ABC) tại H => KH ⊥ EA mà EA ⊥ AH => EA ⊥ (AKH) => EA ⊥ AK
Góc giữa hai mặt phẳng (AIB’) và (ACB) là $\widehat{KAH}$
Ta có: BC = 2a.cos 30⁰ = $a\sqrt{3}$
Mặt khác AE² = EC² + AC² − 2AC.EC. cos ACE
AE² = 3a² + a² − 2a. $a\sqrt{3}$ .cos 150⁰= 7a²
=> $AE = a\sqrt{7}$
Ta có:
$\cos\widehat{AEC} = \frac{AE^{2} +EC^{2} - AC^{2}}{2.AE.EC} = \frac{9}{2\sqrt{21}}$
$\tan\widehat{AEC} =\sqrt{\frac{1}{cos^{2}\widehat{AEC}} - 1} =\frac{\sqrt{3}}{9}$
Ta có:
$\frac{EH}{EB} =\frac{HK}{BB'}$
$\Rightarrow HK = \frac{BB'.EH}{EB} =\frac{AE.BB'}{2BC.cos\widehat{AEC}} = \frac{7a}{9}$
$\cos\widehat{KAH} = \frac{AH}{AK} =\frac{AH}{\sqrt{AH^{2} + HK^{2}}} = \frac{\sqrt{30}}{10}$
Câu 9: Thông hiểu
Hoàn thành mệnh đề

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Nếu H là hình chiếu vuông góc của điểm O trên mặt phẳng (ABC) thì H là:
- A.
  trọng tâm tam giác ABC.
- B.
  trực tâm tam giác ABC.
- C.
  tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
- D.
  tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Vì $\left\{ \begin{matrix} AB\bot OH \\ AB\bot OC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AB\bot CH$

Tương tự: $BC\bot AH$

Vậy H là trực tâm tam giác ABC.
Câu 10: Vận dụng
Tìm x

Cho hai tam giác ACD và BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AC = AD = BC = BD = a, CD = 2x. Với giá trị nào của x thì hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) vuông góc.
- A.
  $x = \frac{a\sqrt{3}}{3}$
- B.
  $x = \frac{a}{2}$
- C.
  $x = \frac{a\sqrt{2}}{2}$
- D.
  $x = \frac{a}{3}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD.

Ta có AN ⊥ CD mà (ACD) ⊥ (BCD) suy ra AN ⊥ (BCD) => AN ⊥ BN

Tam giác ABC cân tại C, có M là trung điểm của AB suy ra CM ⊥ AB

Giả sử (ABC) ⊥ (BCD) mà CM ⊥ AB suy ra CM ⊥ (ABD) => CM ⊥ DM

Khi đó, tam giác MCD vuông cân tại M

=> $MN = \frac{AB}{2} = \frac{CD}{2} \Rightarrow AB = CD = 2x$

Ta lại có $AN = BN = \sqrt{AC^{2} - AN^{2}} = \sqrt{a^{2} - x^{2}}$

Mà $AB^{2} = AN^{2} + BN^{2}$

=> $2\left( a^{2} - x^{2} ight) = 4x^{2} \Rightarrow x = \frac{a\sqrt{3}}{3}$
Câu 11: Nhận biết
Xác định mặt phẳng theo yêu cầu

Cho hình chóp $ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$ , $SA = SC$ . Mặt phẳng $(SAC)$ vuông góc với mặt phẳng nào dưới đây?
- A.
  $(SAD)$
- B.
  $(ABCD)$
- C.
  $(SBD)$
- D.
  $(SAB)$
Hình vẽ minh họa

Ta có: O là tâm hình thoi ABCD $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} OB = OD \\ OA = OC \\ \end{matrix} ight.$

Mặt khác $SA = SC \Rightarrow SO\bot AC$ (tính chất tam giác cân)

Và $AC\bot BD$ (tính chất hình thoi)

Từ (1) và (2) suy ra $AC\bot(SBD) \Rightarrow (SAC)\bot(SBD)$
Câu 12: Thông hiểu
Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AD và SC

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông với $AC=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ . Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SB hợp với đáy góc 60⁰. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AD và SC.
- A.
  $d=\frac{\sqrt{3}}{4}$
- B.
  $d=\frac{\sqrt{2}}{2}$
- C.
  $d=\frac{a}{2}$
- D.
  $d=\frac{\sqrt{3}}{2}$
Ta có $AD // BC => AD // (SBC)$ => $d(AD;SC)=d(A;(SBC))$
Kẻ $AP⊥SB$ $=>d(A;(SBC))=AP$ $=>d(AD;SC)=AP$
Ta có:
$\begin{matrix} AB = \dfrac{{AC}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{a}{2} \hfill \\ \dfrac{1}{{A{P^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{B^2}}} \hfill \\ \end{matrix}$
Lại có $\left( {SB;\left( {ABCD} ight)} ight) = \widehat {SBA} = {60^0}$
$\begin{matrix} \Rightarrow \tan {60^0} = \dfrac{{SA}}{{AB}} \Rightarrow SA = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \hfill \\ \Rightarrow AP = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 13: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ , $SA\bot(ABCD);SA = a\sqrt{2}$ . Xác định thể tích $S.ABCD$ ?
- A.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{6}$
- B.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{3}$
- C.
  $V = a^{3}\sqrt{2}$
- D.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{2}$
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$S_{ABCD} = a^{2} \Rightarrow V_{S.ABCD} = \frac{1}{3}SA.S_{ABCD} = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{3}$
Câu 14: Thông hiểu
Tính góc giữa mặt phẳng (SAD) và (SCD)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), AB = BC = a, AD = 2a. Biết góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 45⁰. Tính góc giữa mặt phẳng (SAD) và (SCD).
- A. 90⁰
- B. 30⁰
- C. 60⁰
- D. 45⁰
Tam giác ABC vuông cân tại B, suy ra $AC = AB\sqrt 2 = a\sqrt 2$
Vì $SA \bot \left( {ABCD} ight)$ nên AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABCD).
Khi đó
$\begin{matrix} \widehat {\left( {SC;\left( {ABCD} ight)} ight)} = \widehat {\left( {SC;AC} ight)} = \widehat {SCA} = {45^0} \hfill \\ \Rightarrow SA = AC = a\sqrt 2 \hfill \\ \end{matrix}$
Gọi M là trung điểm của AD => CM ⊥ AD.
Mà CM ⊥ SA nên CM ⊥ (SAD) => CM ⊥ SD
Hạ CH ⊥ SD . Khi đó SD ⊥ (CMH) => MH ⊥ SD
Ta có:
$\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {(SAD) \cap (SCD) = SD} \\ {MH \subset (SAD)} \\ {MH \bot SD} \\ {CH \subset (SCD)} \\ {CH \bot SD} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \widehat {((SAD),(SCD))} = \widehat {(MH,CH)} = \widehat {MHC} \hfill \\ \end{matrix}$
Ta lại có: $SD = \sqrt {S{A^2} + A{D^2}} = a\sqrt 6 ;CM = AB = a$
$\begin{matrix} \Delta SAD \sim \Delta MHD \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{{SA}}{{SD}} = \dfrac{{MH}}{{MD}} \hfill \\ \Rightarrow MH = \dfrac{{SA.MD}}{{SD}} = \dfrac{{a\sqrt 2 a}}{{a\sqrt 6 }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3} \hfill \\ \end{matrix}$
Tam giác MHC vuông tại M
$\Rightarrow \tan \widehat {MHC} = \frac{{CM}}{{MH}} = \frac{a}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{3}}} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {MHC} = {60^0}$
Vậy $\left( {\widehat {\left( {SAD} ight);\left( {SCD} ight)}} ight) = {60^0}$
Câu 15: Nhận biết
Mệnh đề nào là mệnh đề sai?

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và A’C’ bằng:
- A.
  $a\sqrt{3}$
- B.
  $a$
- C.
  $\frac{a\sqrt{3}}{2}$
- D.
  $a\sqrt{2}$
Do BD và A’C’ lần lượt nằm trên hai mặt phẳng (ABCD) và (A’B’C’D’) song song với nhau nên d(A’C’, BD) = d((ABCD),(A’B’C’D’)).

Mà ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên ta có d((ABCD), (A’B’C’D’)) = AA’ = a. Vậy d(A’C’, BD) = a.
Câu 16: Thông hiểu
Chọn khẳng định sai

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm AC. Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  $BM \perp AC$
- B.
  $(SBM) \perp (SAC)$
- C.
  $(SAB) \perp (SBC)$
- D.
  $(SAB) \perp (SAC)$
Ta có:
$BC⊥AB,BC⊥SA⇒BC⊥(SAB)⇒(SBC)⊥(SAB)$
=> $(SAB) \perp (SAC)$ đúng.
ΔABC vuông cân tại B, M là trung điểm AC ⇒ $BM⊥AC$ ⇒ $BM \perp AC$ đúng.
$BM⊥AC,BM⊥SA⇒BM⊥(SAC)⇒(SBM)⊥(SAC)$
=> $(SBM) \perp (SAC)$ đúng
Câu 17: Thông hiểu
Tìm đáp án đúng

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ . Gọi $I$ là trung điểm của cạnh $AB$ . Tính $cosin$ của góc giữa hai đường thẳng $A'D$ và $B'I$ ta được kết quả là:
- A.
  $\frac{\sqrt{10}}{5}$
- B.
  $\frac{\sqrt{5}}{5}$
- C.
  $\frac{2\sqrt{3}}{5}$
- D.
  $\frac{1}{\sqrt{2}}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi độ dài cạnh hình lập phương là a, a > 0

Ta có:

$B'C//A'D \Rightarrow (A'D;B'I) = (B'I,B'C)$

Tính được $\left\{ \begin{matrix}B'I = \sqrt{a^{2} + \left( \dfrac{a}{2} ight)^{2}} =\dfrac{a\sqrt{5}}{2} = CI \\B'C = a\sqrt{2} \\\end{matrix} ight.$

Trong tam giác B’CI ta có:

$\cos\widehat{IB'C} = \dfrac{\left(\dfrac{a\sqrt{5}}{2} ight)^{2} + \left( a\sqrt{2} ight)^{2} - \left(\dfrac{a\sqrt{5}}{2}ight)^{2}}{2.\dfrac{a\sqrt{5}}{2}.a\sqrt{2}}$

$= \frac{2a^{2}}{a^{2}\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{5}$
Câu 18: Nhận biết
Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA\bot(ABCD)$ . Kết luận nào sau đây sai về góc giữa $SB$ và $(ABC)$
- A.
  $\widehat{SAB}$
- B.
  $\widehat{SBA}$
- C.
  $\widehat{SBC}$
- D.
  $\widehat{SCD}$
Vì $SA\bot(ABCD)$ nên AB là hình chiếu của SB trên (ABC)

Vậy $\widehat{\left( SB;(ABC) ight)} = \widehat{SBA}$ .
Câu 19: Thông hiểu
Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$ , $SA = 2a;SA\bot(ABCD)$ . Xác định độ lớn khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBD)$ ?
- A.
  $\frac{3a}{2}$
- B.
  $\frac{2a}{3}$
- C.
  $\frac{a}{\sqrt{2}}$
- D.
  $\frac{a\sqrt{10}}{2}$
Hình vẽ minh họa

Gọi $O = AC \cap BD$

Kẻ $AK\bot SO;(K \in SO)(1)$

Ta có:

$SA\bot(ABCD) \Rightarrow SA\bot BD(*)$

Mà $AC\bot DB(**)$

Từ (*) và (**) suy ra $DB\bot(SAC) \Rightarrow BC\bot AK(2)$

Từ (1) và (2) suy ra $AK\bot(SBD) \Rightarrow d\left( A;(SBD) ight) = AK$

Xét tam giác $SAO$ vuông tại $A$ ta có: $\frac{1}{AK^{2}} = \frac{1}{AO^{2}} + \frac{1}{SA^{2}} = \frac{9}{4a^{2}} \Rightarrow AK = \frac{2a}{3}$

$\Rightarrow d\left( A;(SBD) ight) = \frac{2a}{3}$
Câu 20: Vận dụng

Ghi lời giải bài toán vào chỗ trống

Cho tứ diện $ABCD$ có $AC = AD = BC = BD = a;AB = x$ . Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB;CD$ . Biết $(ACD)\bot(BCD)$ và $(ABC)\bot(ABD)$ . Tính giá trị của $x$ .

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho tứ diện $ABCD$ có $AC = AD = BC = BD = a;AB = x$ . Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB;CD$ . Biết $(ACD)\bot(BCD)$ và $(ABC)\bot(ABD)$ . Tính giá trị của $x$ .

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 21: Vận dụng
Chọn khẳng định đúng

Cho tứ diện ABCD có AB, BC, BD đôi một vuông góc. Trong các khẳng định dưới đây khẳng định nào đúng?
- A. $\widehat {\left( {CD;\left( {ABD} ight)} ight)} = \widehat {CBD}$
- B. $\widehat {\left( {AC;\left( {BCD} ight)} ight)} = \widehat {ACB}$
- C. $\widehat {\left( {AD;\left( {ABC} ight)} ight)} = \widehat {ADB}$
- D. $\widehat {\left( {AC;\left( {ABD} ight)} ight)} = \widehat {CBA}$
Hình vẽ minh họa:
$\widehat {\left( {CD;\left( {ABD} ight)} ight)} = \widehat {CBD}$ sai vì
CB ⊥ BD, CB ⊥ BA => CB ⊥ (ABD)
=> B là hình chiếu của C trên mặt phẳng (ABD)
=> $\widehat {\left( {CD;\left( {ABD} ight)} ight)} = \widehat {CDB}$
$\widehat {\left( {AC;\left( {BCD} ight)} ight)} = \widehat {ACB}$ đúng vì
AB ⊥ BC, AB ⊥ BD => AB ⊥ (BCD)
=> B là hình chiếu của A trên mặt phẳng (BCD)
=> $\widehat {\left( {AC;\left( {BCD} ight)} ight)} = \widehat {ACB}$
$\widehat {\left( {AD;\left( {ABC} ight)} ight)} = \widehat {ADB}$ sai vì
BD⊥ BA, BD ⊥ BC => BD ⊥ (ABC)
=> B là hình chiếu của D trên mặt phẳng (ABC)
=> $\widehat {\left( {AD;\left( {ABC} ight)} ight)} = \widehat {DAB}$
$\widehat {\left( {AC;\left( {ABD} ight)} ight)} = \widehat {CBA}$ sai vì
=> B là hình chiếu của C trên mặt phẳng (ABD)
=> $\widehat {\left( {AC;\left( {ABD} ight)} ight)} = \widehat {CAB}$
Câu 22: Nhận biết
Tìm khẳng định đúng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
- A.
  AB vuông góc với mặt phẳng (SAC)
- B.
  AB vuông góc với mặt phẳng (SBC)
- C.
  AB vuông góc với mặt phẳng (SAD)
- D.
  AB vuông góc với mặt phẳng (SCD)
Khẳng định đúng là “AB vuông góc với mặt phẳng (SAD)”
Thật vậy, do SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AB
Mặt khác AB ⊥ AD.
Từ đó suy ra AB ⊥ (SDA)
Câu 23: Thông hiểu
Tính số đo góc giữa hai đường thẳng

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $a$ . Gọi $I;J$ lần lượt là trung điểm của $SC;BC$ . Tính số đo góc giữa hai đường thẳng $JI$ và $CD$ ?
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hình vẽ minh họa
Từ giả thiết ta có: $JI//AB$ (do IJ là đường trung bình tam giác SAB)
$\Rightarrow (IJ;CD) =(SB;AB)$
Mặt khác ta lại có tam giác SAB đều nên $\widehat{SBA} = 60^{0}$
$\Rightarrow (SB;AB) = 60^{0} \Rightarrow(IJ;CD) = 60^{0}$
Câu 24: Vận dụng cao
Tính tanx

Cho hình chop SABC có SA ⊥ (ABC), tam giác ABC đều cạnh 2a, SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 30⁰. Khi đó mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc x. Tính tan x.
- A.
  $\tan x = 2$
- B.
  $\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}$
- C.
  $\tan x = \frac{3}{2}$
- D.
  $\tan x = \frac{2}{3}$
Hình vẽ minh họa:

Ta có SA ⊥ (ABC)

=> AB là hình chiếu của AB lên (ABC).

$\begin{matrix}\Rightarrow \widehat{SBA} = \widehat{\left( SB;(ABC) ight)} = 30^{0} \hfill\\SA = AB.\tan30^{0} = \dfrac{2a\sqrt{3}}{3}\hfill \\\end{matrix}$

Gọi M là trung điểm của BC, ta có ∆ABC đều cạnh 2a

=> $AM = a\sqrt{3}$ và $\left\{ \begin{matrix} (SBC) \cap (ABC) = BC \\ AM\bot BC \\ SM\bot BC \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \widehat{SMA} = \widehat{\left( (SBC);(ABC) ight)} = x$

$\tan x = \frac{SA}{AM} = \frac{2a\sqrt{3}}{3}.a\sqrt{3} = \frac{2}{3}$
Câu 25: Nhận biết
Xác định góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa cặp đường thẳng nào sau đây?
- A.
  (SB, SO)
- B.
  (SB, BD)
- C.
  (SB, SA)
- D.
  (SO, BD)
Hình vẽ minh họa:
Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cắt nhau theo giao tuyến SO và cùng vuông góc với đáy nên SO ⊥ (ABCD).
Vậy góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SB và BD.
Câu 26: Nhận biết
Tính chiều cao của hình chóp

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Chiều cao của hình chóp bằng:
- A.
  $\frac{a\sqrt{2}}{3}$
- B.
  $\frac{a\sqrt{3}}{2}$
- C.
  $\frac{a\sqrt{3}}{4}$
- D.
  $\frac{a\sqrt{2}}{2}$
Hình vẽ minh họa:

Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên đáy ABCD là hình vuông và các cạnh bên bằng nhau.

Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD).

Khi đó các tam giác SOA, SOB, SOC, SOD bằng nhau nên bốn đoạn thẳng OA, OB, OC, OD bằng nhau.

Suy ra O trùng với tâm của hình vuông ABCD, hay O là giao điểm của AC và BD. Vậy chiều cao của hình chóp là:

$\begin{matrix}SO = \sqrt{SB^{2} - OB^{2}} \hfill \\= \sqrt{a^{2} - \dfrac{a^{2}}{2}} = \sqrt{\dfrac{a^{2}}{2}} =\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\hfill \\\end{matrix}$
Câu 27: Nhận biết
Chọn khẳng định sai?

Khẳng định nào sau đây là sai?
- A.
  Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (α) thì d vuông góc với bất kì đường thẳng nào nằm trong (α).
- B.
  Nếu đường thẳng d ⊥ (α) thì d vuông góc với hai đường thẳng trong (α).
- C.
  Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong (α) thì d ⊥ (α).
- D.
  Nếu d ⊥ (α) và đường thẳng a // (α) thì d ⊥ (α).
Mệnh đề sai là: “Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong (α) thì d ⊥ (α).”

Vì thiếu điều kiện “cắt nhau” của hai đường thẳng nằm trong (α).

Ví dụ đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng b và c nằm trong (α) nhưng b và c song song với nhau thì khi đó a chưa chắc vuông góc với (α).
Câu 28: Thông hiểu
Tính tỉ số giữa DN và DA

Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của CD, N là điểm nằm trên AD sao cho BN vuông góc với AM. Tính tỉ số $\frac{{DN}}{{DA}}$
- A. $\frac{2}{3}$
- B. $\frac{1}{3}$
- C. $\frac{1}{2}$
- D. $\frac{1}{4}$
Hình vẽ minh họa:
Đặt $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow b ;\overrightarrow {AC} = \overrightarrow c ;\overrightarrow {AD} = \overrightarrow d$ . Ta có:
$\begin{matrix} \left| {\overrightarrow b } ight| = \left| {\overrightarrow c } ight| = \left| {\overrightarrow d } ight| = AB = a \hfill \\ \widehat {\left( {\overrightarrow b ;\overrightarrow c } ight)} = \widehat {\left( {\overrightarrow c ;\overrightarrow d } ight)} = \widehat {\left( {\overrightarrow d ;\overrightarrow b } ight)} = {60^0} \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow b .\overrightarrow c = \overrightarrow c .\overrightarrow d = \overrightarrow d .\overrightarrow b = \dfrac{{{a^2}}}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
Giả sử AN = k.AD. Khi đó:
$\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AN} = - \overrightarrow b + k.\overrightarrow d$
Vì M là trung điểm của CD nên $2\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow c + \overrightarrow d$
Khi đó: BN ⊥ AM => $\overrightarrow {BN} .\overrightarrow {AM} = 0$
$\begin{matrix} \left( { - \overrightarrow b + k.\overrightarrow d } ight).\left( {\overrightarrow c + \overrightarrow d } ight) = 0 \hfill \\ \Rightarrow - \dfrac{{{a^2}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{2} + k.\dfrac{{{a^2}}}{2} + k.{a^2} = 0 \hfill \\ \Rightarrow k = \dfrac{2}{3} \hfill \\ \Rightarrow AN = \dfrac{2}{3}AD \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{{DN}}{{DA}} = \dfrac{1}{3} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 29: Nhận biết
Tính thể tích khối chóp

Cho một khối chóp có diện tích đáy bằng $8a^{2}$ , chiều cao bằng $a$ . Thể tích khối chóp đã cho là:
- A.
  $V = \frac{4}{3}a^{3}$
- B.
  $V = 4a^{3}$
- C.
  $V = \frac{8}{3}a^{3}$
- D.
  $V = 8a^{3}$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} B = 8a^{2} \\ h = a \\ \end{matrix} ight.$

Thể tích khối chóp là: $V = \frac{1}{3}B.h = \frac{8}{3}a^{3}$
Câu 30: Thông hiểu
Tính thể tích khối lăng trụ đều

Cho khối lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có $AA' = 4a$ . Tính thể tích khối lăng trụ biết góc giữa mặt phẳng $(A'BC)$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $30^{0}$ .
- A.
  $V = 64\sqrt{3}a^{3}$
- B.
  $V = 32\sqrt{3}a^{3}$
- C.
  $V = \frac{64\sqrt{3}}{9}a^{3}$
- D.
  $V = \frac{32\sqrt{3}}{3}a^{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của BC.

Khi đó $\left( (A'BC);(ABC) ight) = \widehat{A'MA} = 30^{0}$

Trong tam giác vuông A’MA có:

$\tan\widehat{A'MA} = \frac{A'A}{AM} \Rightarrow AM = \frac{A'A}{tan30^{0}} = 4\sqrt{3}a$

Tam giác ABC đều nên $AM = \frac{AB\sqrt{3}}{2} \Rightarrow AB = 8a$

Vậy thể tích khối lăng trụ là: $V = S_{ABC}.AA' = \frac{(8a)^{2}\sqrt{3}}{4} = 64\sqrt{3}a^{3}$
Câu 31: Thông hiểu
Chọn khẳng định sai

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại C. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB và SB. Khẳng định nào dưới đây là sai?
- A.
  $CH \perp AK$
- B.
  $CH \perp SB$
- C.
  $CH \perp SA$
- D.
  $AK \perp SB$
Hình vẽ minh họa
Vì H là trung điểm của AB, tam giác ABC cân => $CH⊥AB$
Ta có: $SA⊥(ABC)$ => $SA⊥CH$ mà $CH⊥AB$ => $CH⊥(SAB)$
Mặt khác $AK⊂(SAB)$ => CH vuông góc với các đường thẳng $SA,SB,AK$
Và $AK⊥SB$ chỉ xảy ra khi và chỉ khi tam giác SAB cân tại S.
Câu 32: Vận dụng
Số đo góc hợp bởi đường thẳng SA và mặt phẳng (SDM)

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông, tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm BC. Gọi $\alpha$ là góc hợp bởi đường thẳng SA và mặt phẳng (SDM). Tính $\alpha$
- A. $30^0$
- B. $60^0$
- C. $55^0$
- D. $45^0$
+ Không mất tính tổng quát, đặt AB = 2
+ Gọi N là trung điểm AB suy ra $SN \bot AB \Rightarrow SN \bot \left( {ABCD} ight)$
+ Gọi $h = d\left( {A,\left( {SDM} ight)} ight) \Rightarrow \sin \alpha = \frac{h}{{SA}}$
Gọi $I = DM \cap CN,\,J = AB \cap DM$
+ Ta có $\frac{{d\left( {A,\left( {SDM} ight)} ight)}}{{d\left( {N,\left( {SDM} ight)} ight)}} = \frac{{{\text{AJ}}}}{{NJ}} = \frac{4}{3}$
$\Rightarrow h = d\left( {A,\left( {SDM} ight)} ight) = \frac{4}{3}d\left( {N,\left( {SDM} ight)} ight)$
+ Ta có
$\Delta CNB = \Delta DMC \Rightarrow \widehat {NCB} = \widehat {MDC}$
$\Rightarrow \widehat {NCB} + \widehat {DMC} = \widehat {MDC} + \widehat {DMC} = 180^\circ - \widehat {MCD} = 90^\circ$
$\Rightarrow DM \bot CN \Rightarrow DM \bot \left( {SNC} ight)$
+ Gọi NH là đường cao $\Delta SNI \Rightarrow NH \bot \left( {SDM} ight)$
$\Rightarrow d\left( {N,\left( {SDM} ight)} ight) = NH$
+ Tam giác NJI đồng dạng tam giác MBJ
$\begin{matrix} \Rightarrow \dfrac{{NI}}{{MB}} = \dfrac{{NJ}}{{MJ}} \hfill \\ \Rightarrow NI = \dfrac{{NJ}}{{MJ}}.MB = \dfrac{{NJ}}{{\sqrt {M{B^2} + B{J^2}} }} \hfill \\ MB = \dfrac{3}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }}.1 = \dfrac{3}{{\sqrt 5 }} \hfill \\ \end{matrix}$
+ Tam giác SAB là tam giác đều cạnh bằng 2 $\Rightarrow SN = \sqrt 3$
$\frac{1}{{N{H^2}}} = \frac{1}{{N{S^2}}} + \frac{1}{{N{I^2}}} \Rightarrow NH = \frac{{3\sqrt 2 }}{4}$
$h = d\left( {A,\left( {SDM} ight)} ight) = \frac{4}{3}d\left( {N,\left( {SDM} ight)} ight) = \frac{4}{3}.\frac{{3\sqrt 2 }}{4} = \sqrt 2$
$\Rightarrow \sin \alpha = \frac{h}{{SA}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \alpha = 45^\circ$
Câu 33: Vận dụng cao
Góc giữa hai đường thẳng MN và BD

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD đáy ABCD là hình vuông, E là điểm đối xứng với D qua trung điểm SA. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE và BC. Góc giữa hai đường thẳng MN và BD bằng:
- A.
  90⁰
- B.
  60⁰
- C.
  45⁰
- D.
  75⁰
Hình vẽ minh họa:

Do D đối xứng với E qua trung điểm của SA nên SDAE là hình bình hành

=> AE // SD. Ta có:

$\begin{matrix}\overrightarrow{MN} = \dfrac{\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{EC}}{2} = \dfrac{\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{ED} + \overrightarrow{DC}}{2}\hfill \\= \dfrac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{SD}+ \overrightarrow{DC}}{2} \hfill\\= \dfrac{\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{SC}}{2} \hfill\\\end{matrix}$

Mà $BD\bot AC;BD\bot SC$

=> $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{BD} = \frac{\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{SC}}{2}.\overrightarrow{BD} = 0$

=> $(MN,BD) = 90^{0}$
Câu 34: Thông hiểu
Tính thế tích khối chóp tứ giác đều

Một khối chóp tứ giác đều có các cạnh bằng $2t$ (cm). Khi đó thể tích của khối chóp đã cho bằng bao nhiêu?
- A.
  $V = \frac{2\sqrt{2}}{3}t^{3}$
- B.
  $V = \frac{8}{3}t^{3}$
- C.
  $V = \frac{8\sqrt{2}}{3}t^{3}$
- D.
  $V = \frac{4\sqrt{2}}{3}t^{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng 2t là S.ABCD với I là tâm của đáy ta có:

$SA = BA = BC = DA = DC$

$\Rightarrow \Delta SAC = \Delta BAC = \Delta DBC$

$\Rightarrow \Delta SAC;\Delta BAC;\Delta DBC$ lần lượt vuông tại S; B; D

I là trung điểm của AC suy ra $SA = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}.2t.\sqrt{2} = t\sqrt{2}$

Vậy thể tích hình chóp là: $V_{S.ABCD} = \frac{1}{3}S_{ABCD}.SI = \frac{1}{3}.(2t)^{2}.t\sqrt{2} = \frac{4t^{3}\sqrt{2}}{3}$
Câu 35: Thông hiểu
Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với mặt đáy và $SA = AB = \sqrt{3}$ . Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác SAB. Khoảng cách từ $G$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng:
- A.
  $\frac{\sqrt{6}}{3}$ .
- B.
  $\frac{\sqrt{6}}{6}$ .
- C.
  $\sqrt{3}$ .
- D.
  $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .
Hình vẽ minh họa

Gọi $M$ là trung điểm của $SB \Rightarrow AM\bot SB$ (vì $\Delta SAB$ cân)

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BC\bot AB \\ BC\bot SA \\ \end{matrix} \Rightarrow BC\bot(SAB) \Rightarrow BC\bot AM ight.$

Và $\left\{ \begin{matrix} AM\bot SB \\ AM\bot BC \\ \end{matrix} \Rightarrow AM\bot(SBC) \Rightarrow GM\bot(SBC) ight.$ tại $M$ .

Do đó $d(G;(SBC)) = GM$ .

Ta có: $SM = \sqrt{AB^{2} + SA^{2}} = \sqrt{6} \Rightarrow AM = \frac{SB}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

Vì $G$ là trọng tâm của $\Delta SAB$ nên $GM = \frac{1}{3}AM = \frac{\sqrt{6}}{6}$ .
Câu 36: Thông hiểu
Tính thể tích khối chóp

Cho một khối chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ , $AB = 2a$ và $AB = 2a$ . Tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$ ?
- A.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{4}$
- B.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{3}$
- C.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{12}$
- D.
  $V = \frac{2a^{3}\sqrt{3}}{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của AB

Do tam giác SAB đều suy ra $SH\bot AB$

Mà $\left\{ \begin{matrix} (SAB)\bot(ABC) \\ SH \subset (SAB) \\ AB \subset (ABC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow SH\bot(ABC)$

Vậy SH là đường cao của hình chóp

Khi đó $SH = a\sqrt{3}$

Ta có: $AB = 2a \Rightarrow BC = 2a$

$S_{ABC} = \frac{1}{2}(2a)^{2} = 2a^{2}$

Thể tích khối chóp là: $V = \frac{1}{3}S_{ABC}.SH = \frac{1}{3}.2a^{2}.a\sqrt{3} = \frac{2a^{3}\sqrt{3}}{3}$
Câu 37: Vận dụng cao
Giá trị lớn nhất của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ nội tiếp mặt cầu (S) có bán kính $R = \frac{{\sqrt {17} }}{2}$ . Gọi I; J là trung điểm BC, CD và $\alpha$ là góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng (C’IJ). Giá trị lớn nhất của $\sin \alpha$ là
- A. $\frac{3}{5}$
- B. $\frac{{ - 3}}{5}$
- C. $\frac{4}{5}$
- D. $\frac{{ - 4}}{5}$
Đặt $CD = a\,,\,CB = b\,,CC' = c\,\,\,\left( {a,b,c > 0} ight).$
$AC{'^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} = 17.$
Gọi K là hình chiếu của A lên (C’IJ)
$\left( {\widehat {AC',\left( {C;{\text{IJ}}} ight)}} ight) = \left( {\widehat {AC',AK}} ight) = \alpha$
Ta có $\sin \alpha = \frac{{d\left( {A,\left( {C'{\text{IJ}}} ight)} ight)}}{{AC'}} = \frac{{3d\left( {C,\left( {C'{\text{IJ}}} ight)} ight)}}{{\sqrt {17} }}$
Trong (ABCD) kẻ tại E
$\left\{ \begin{gathered} IJ \bot CE \hfill \\ IJ \bot CC\prime \hfill \\ CE \subset \left( {CEC'} ight) \hfill \\ \,CC' \subset \left( {CEC'} ight) \hfill \\ CE \cap CC' = C \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow IJ \bot \left( {CEC'} ight) \Rightarrow \left( {C'IJ} ight) \bot \left( {CEC'} ight)$
Trong (CEC’) kẻ $CH \bot C'E$ tại H
Suy ra $d\left( {C,\left( {C'{\text{IJ}}} ight)} ight) = CH = h$
Do đó $\sin \alpha = \frac{{3h}}{{\sqrt {17} }}$
Ta có:
$\begin{matrix} \dfrac{1}{{{h^2}}} = \dfrac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{4}{{{a^2}}} + \dfrac{4}{{{b^2}}} = \dfrac{1}{{{c^2}}} + 4\left( {\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}}} ight) \geqslant \dfrac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{{16}}{{{a^2} + {b^2}}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{h^2}}} \geqslant \frac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{{16}}{{17 - {c^2}}} = \dfrac{{17 - {c^2} + {c^2}}}{{17{c^2}}} + \dfrac{{16\left( {17 - {c^2} + {c^2}} ight)}}{{17\left( {17 - {c^2}} ight)}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{h^2}}} \geqslant \dfrac{{17 - {c^2}}}{{17{c^2}}} + \dfrac{{16{c^2}}}{{17\left( {17 - {c^2}} ight)}} + 1 \geqslant 2.\dfrac{4}{{17}} + 1 = \dfrac{{25}}{{17}} \Leftrightarrow h \leqslant \dfrac{{\sqrt {17} }}{5}. \hfill \\ \Rightarrow \sin \alpha \leqslant \dfrac{3}{5}. \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy đạt giá trị lớn nhất là $\frac{3}{5}$
Dấu xảy ra khi: $\left\{ \begin{gathered} {a^2} = {b^2} = \frac{{34}}{5} \hfill \\ {c^2} = \frac{{17}}{5} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = b = \sqrt {\frac{{34}}{5}} \hfill \\ c = \sqrt {\frac{{17}}{5}} \hfill \\ \end{gathered} ight.$
Câu 38: Nhận biết
Tính góc giữa MN và PQ

Cho tứ diện $ABCD$ có đáy $BCD$ là tam giác vuông cân tại $C$ . Gọi trung điểm các cạnh $AB,AC,BC,CD$ lần lượt là $M,N,P,Q$ . Khi đó $(MN,PQ)$ bằng:
- A.
  $45^{0}$
- B.
  $60^{0}$
- C.
  $30^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} MN//BC \\ PQ//BD \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow (MN,PQ) = (BC,BD) = \widehat{DBC} = 45^{0}$
Câu 39: Thông hiểu
Tính (SC;(ABC))

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\bot(ABC);SA = 2a$ , tam giác $ABC$ vuông tại $\widehat{B}$ và $AB = a\sqrt{2}$ . Tính $\left( SC;(ABC) ight)$ ?
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $45^{0}$
- C.
  $30^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} SC \cap (ABC) = \left\{ C ight\} \\ SA\bot(ABC) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left( SC;(ABC) ight) = (SC;AC) = \widehat{SCA}$

Mà $AC = \sqrt{AB^{2} + BC^{2}} = \sqrt{2a^{2} + 2a^{2}} = 2a = SA$

Vì tam giác $SCA$ vuông cân tại $A$ $\Rightarrow \left( SC;(ABC) ight) = 45^{0}$
Câu 40: Thông hiểu
Chọn mệnh đề đúng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a, SO ⊥ (ABCD) và $SO = \frac{a\sqrt{3}}{3}$ . Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD).
- A.
  30◦
- B.
  45◦
- C.
  60◦
- D.
  90◦
Hình vẽ minh họa:

Gọi Q là trung điểm BC => OQ ⊥ BC.

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} BC\bot OQ \\ BC\bot SO \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SOQ) \Rightarrow BC\bot SQ$

Do đó ((SBC), (ABCD)) = (SQ, OQ) = $\widehat{SQO}$

Tam giác vuông SOQ ta có: $\tan\widehat{SQO} = \frac{SO}{OQ} = \sqrt{3}$

Vậy mặt phẳng (SBC) hợp với mặt đáy (ABCD) một góc 60◦

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

49 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 Chân trời sáng tạo
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân
Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số ghép số liệu nhóm
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Đạo hàm
Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 9: Xác suất

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Chân trời sáng tạo

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 11 Chân trời sáng tạo

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân

Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian

Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số ghép số liệu nhóm

Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 7: Đạo hàm

Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian

Chương 9: Xác suất