Trung vị, tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm CTST
Cho mẫu số liệu ghép nhóm
|
Nhóm |
 \(\left[ {{a_1};{a_2}} \right)\) |
… |
\(\left[ {{a_i};{a_{i + 1}}} \right)\) |
… |
\(\left[ {{a_k};{a_{k + 1}}} \right)\) |
|
Tần số |
\({m_1}\) |
… |
\({m_i}\) |
… |
\({m_k}\) |
Ta có:
Cỡ mẫu: \(m = {m_1} + {m_2} + ... + {m_k}\)
Giả sử nhóm chứa trung vị là \(\left[ {{a_i};{a_{i + 1}}} \right)\)
=> Tần số của nhóm chứa trung vị là \({m_i}\)
\(C = {m_1} + {m_2} + ... + {m_{i - 1}}\)
Công thức xác định trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm:
\({M_e} = {a_i} + \dfrac{{\dfrac{m}{2} - C}}{{{m_i}}}.\left( {{a_{i + 1}} - {a_i}} \right)\)
Ví dụ: Dưới đây là điểm đánh giá tổng kết của các học sinh:
|
Khoảng điểm |
[0; 10) |
[10; 20) |
[20; 30) |
[30; 40) |
[40; 50) |
[50; 60) |
|
Số học sinh |
2 |
7 |
15 |
10 |
11 |
5 |
Tính trung vị.
Hướng dẫn giải
Ta có:
|
Khoảng điểm |
[0; 10) |
[10; 20) |
[20; 30) |
[30; 40) |
[40; 50) |
[50; 60) |
|
|
Số học sinh |
2 |
7 |
15 |
10 |
11 |
5 |
N = 50 |
|
Tần số tích lũy |
2 |
9 |
24 |
34 |
45 |
50 |
|
Cỡ mẫu: 50
Ta có: \(\frac{N}{2} = \frac{{50}}{2} = 25\)
=> Nhóm chứa trung vị là [30; 40) (vì 25 nằm giữa hai tần số tích lũy là 24 và 34)
Do đó: \(l = 30;\frac{N}{2} = 25;m = 24;f = 10,c = 40 - 30 = 10\)
Khi đó trung vị là:
\({M_e} = l + \dfrac{{\left( {\dfrac{N}{2} - m} \right)}}{f}.c\)\(= 30 + \frac{{25 - 24}}{{10}}.10 = 31\)
Ý nghĩa của trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm
Từ dữ liệu ghép nhóm nói chung không thể xác định chính xác trung vị của mẫu số liệu gốc.
Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ của mẫu số liệu gốc và có thể lấy làm giá trị đại diện cho mẫu số liệu.
2. Tứ phân vị
Cho mẫu số liệu ghép nhóm
|
Nhóm |
\(\left[ {{a_1};{a_2}} \right)\) |
… |
\(\left[ {{a_i};{a_{i + 1}}} \right)\) |
… |
\(\left[ {{a_k};{a_{k + 1}}} \right)\) |
|
Tần số |
\({m_1}\) |
… |
\({m_i}\) |
… |
\({m_k}\) |
Ta có:
Cỡ mẫu: \(m = {m_1} + {m_2} + ... + {m_k}\)
a) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm
Giả sử nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là \(\left[ {{a_p};{a_{p + 1}}} \right)\)
=> Tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là \({m_p}\)
\(C = {m_1} + {m_2} + ... + {m_{p - 1}}\)
Công thức xác định trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm:
\({Q_1} = {a_p} + \dfrac{{\dfrac{m}{4} - C}}{{{m_p}}}.\left( {{a_{p + 1}} - {a_p}} \right)\)
Chú ý: Tứ phân vị thứ hai của nhóm số liệu ghép nhóm cũng chính là trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm. Kí hiệu là \({Q_2} = {M_e}\).
Ví dụ: Dưới đây là điểm đánh giá tổng kết của các học sinh:
|
Khoảng điểm |
[0; 10) |
[10; 20) |
[20; 30) |
[30; 40) |
[40; 50) |
[50; 60) |
|
Số học sinh |
2 |
7 |
15 |
10 |
11 |
5 |
Tính tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm.
Hướng dẫn giải
Ta có:
|
Khoảng điểm |
[0; 10) |
[10; 20) |
[20; 30) |
[30; 40) |
[40; 50) |
[50; 60) |
|
|
Số học sinh |
2 |
7 |
15 |
10 |
11 |
5 |
N = 50 |
|
Tần số tích lũy |
2 |
9 |
24 |
34 |
45 |
50 |
|
Cỡ mẫu: 50
Ta có: \(\frac{N}{4} = \frac{{50}}{4} = 12,5\)
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [20; 30) (vì 12,5 nằm giữa hai tần số tích lũy là 9 và 24)
Do đó: \(\left\{ \begin{gathered}
l = 20;\frac{N}{4} = 12,5;m = 9 \hfill \\
f = 15,c = 30 - 20 = 10 \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
Khi đó tứ phân vị thứ nhất là:
\({Q_1} = l + \dfrac{{\left( {\dfrac{N}{4} - m} \right)}}{f}.c\)\(= 20 + \frac{{\left( {12,5 - 9} \right)}}{{15}}.10 = \frac{{67}}{3}\)
b) Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm
Giả sử nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là \(\left[ {{a_n};{a_{n + 1}}} \right)\)
=> Tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là \({m_n}\)
\(C = {m_1} + {m_2} + ... + {m_{n - 1}}\)
Công thức xác định trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm:
\({Q_3} = {a_n} + \dfrac{{\dfrac{{3m}}{4} - C}}{{{m_n}}}.\left( {{a_{n + 1}} - {a_n}} \right)\)
c) Mở rộng tứ phân vị thứ t của mẫu số liệu ghép nhóm
Giả sử nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là \(\left[ {{a_x};{a_{x + 1}}} \right)\)
=> Tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là \({m_x}\)
\(C = {m_1} + {m_2} + ... + {m_{x - 1}}\)
Công thức xác định trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm:
\({Q_t} = {a_x} + \frac{{\dfrac{{t.m}}{4} - C}}{{{m_x}}}.\left( {{a_{x + 1}} - {a_x}} \right)\)
Ví dụ: Dưới đây là điểm đánh giá tổng kết của các học sinh:
|
Khoảng điểm |
[0; 10) |
[10; 20) |
[20; 30) |
[30; 40) |
[40; 50) |
[50; 60) |
|
Số học sinh |
2 |
7 |
15 |
10 |
11 |
5 |
Tính tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm.
Hướng dẫn giải
Ta có:
|
Khoảng điểm |
[0; 10) |
[10; 20) |
[20; 30) |
[30; 40) |
[40; 50) |
[50; 60) |
|
|
Số học sinh |
2 |
7 |
15 |
10 |
11 |
5 |
N = 50 |
|
Tần số tích lũy |
2 |
9 |
24 |
34 |
45 |
50 |
|
Cỡ mẫu: 50
Ta có: \(\frac{{3N}}{4} = \frac{{3.50}}{4} = 37,5\)
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [40; 50) (vì 37,5 nằm giữa hai tần số tích lũy là 34 và 45)
Do đó: \(\left\{ \begin{gathered}
l = 40;\frac{{3N}}{4} = 37,5;m = 34 \hfill \\
f = 11,c = 50 - 40 = 10 \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
Khi đó tứ phân vị thứ ba là:
\({Q_3} = l + \dfrac{{\left( {\dfrac{{3N}}{4} - m} \right)}}{f}.c\)\(= 40 + \frac{{\left( {37,5 - 34} \right)}}{{11}}.10 = \frac{{475}}{{11}}\)
