Hai mặt phẳng song song CTST
Cho hai mặt phẳng 
\((α)\) và \((β)\), có các trường hợp sau:
|
|
Trùng nhau |
Cắt nhau |
Song song |
|
Định nghĩa |
Hai mặt phẳng có ba điểm chung không thẳng hàng |
Hai mặt phẳng phân biệt và có mộ điểm chung |
Hai mặt phẳng không có bất kì điểm chung nào |
|
Kí hiệu |
|
|
|
|
Minh họa |
 |
 |
 |
Hai mặt phẳng được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.
2. Điều kiện để hai mặt phẳng song song
Định lí 1
Nếu mặt phẳng \((α)\) chứa hai đường thẳng a và b cắt nhau và hai đường thẳng đó cùng song song với mặt phẳng \((β)\) thì \((α)\) song song với \((β)\).
| \(\left\{ \begin{gathered}
a;b \subset \left( \alpha \right) \hfill \\
a \cap b = \left\{ M \right\} \hfill \\
a//\left( \beta \right) \hfill \\
b//\left( \beta \right) \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right)//\left( \beta \right)\) |
Minh họa
|
Chú ý: Nếu \(A, B, C\) không thẳng hàng và \(AB // MN, AC // MP\) thì \((ABC) // (MNP)\)
.Ví dụ: Cho hai hình bình hành\(ABCD\) và \(ABEF\) có chung cạnh \(AB\) và nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Gọi \(M, N\) thứ tự là trung điểm của \(AB, BC\) và \(I, J, K\) theo thứ tự là trọng tâm các tam giác \(ADF, ADC, BCE\). Chứng minh \((IJK) // (CDFE)\).
Hướng dẫn giải
Gọi \(P, Q, H\) lần lượt là trung điểm của \(FD, DC, EC\).
Vì I là trọng tâm của \(∆AFD\) \(\Rightarrow \frac{{AI}}{{AP}} = \frac{2}{3}\)
Vì J là trọng tâm của \(∆ADC\) \(\Rightarrow \frac{{AJ}}{{AQ}} = \frac{2}{3}\)
Từ (1), (2) \(\Rightarrow \frac{{AI}}{{AP}} = \frac{{AJ}}{{AQ}} = \frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow IJ//PQ \Rightarrow IJ//\left( {CDEF} \right)\)
Bằng cách chứng minh tương tự, ta có:
\(=> JK // DH => JK // (CDEF)\)
Mà \(JH, IJ\) cùng thuộc \((IJK)\) \(=> (IJK) // (CDFE)\)
3. Tính chất của hai mặt phẳng song song
Định lí 2
Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.
Định lí 3
Cho hai mặt phẳng \((α)\) và \((β)\) song song với nhau. Nếu \((γ)\) cắt \((α)\) thì cắt \((β)\) và hai giao tuyến của chúng song song với nhau.
|
Minh họa
|
\(\left\{ \begin{gathered}
\left( \alpha \right)//\left( \beta \right) \hfill \\
\left( \alpha \right) \cap \left( \gamma \right) = a \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
\left( \beta \right) \cap \left( \gamma \right) = b \hfill \\
a//b \hfill \\
\end{gathered} \right.\) |
Ví dụ: Cho hình chóp \(S ABCD\). có đáy \(ABCD\) là hình bình hành và \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(AB, CD\). Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng đi qua và song song với mặt phẳng và cho biết thiết diện đó là hình gì?
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
Ta có: \(\left\{ \begin{gathered}
M \in \left( {SAB} \right) \cap \left( \alpha \right) \hfill \\
\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SA \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
\(\Rightarrow \left( {SAB} \right) \cap \left( \alpha \right) = MK//SA,\left( {K \in SB} \right)\)
Lại có: \(\left\{ \begin{gathered}
N \in \left( {SCD} \right) \cap \left( \alpha \right) \hfill \\
\left( \alpha \right)//\left( {SAD} \right) \hfill \\
\left( {SCD} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SD \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
\(\Rightarrow \left( {SCD} \right) \cap \left( \alpha \right) = NH//SD,\left( {H \in SC} \right)\)
Dễ thấy \(HK = \left( {SBC} \right) \cap \left( \alpha \right)\)
Vậy thiết diện cần tìm là \(MNHK\).
Ba mặt phẳng \((ABCD), (SBC)\), \((α)\) đôi một cắt nhau theo các giao tuyến là \(MN, HK, BC\).
Mà \(MN // BC => MN // HK\).
Vậy thiết diện là một hình thang.
4. Định lí Thalès trong không gian
Định lí Thalès
Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
Ví dụ: Cho tứ diện \(ABCD\) và \(M, N\) là các điểm lần lượt di động trên sao cho: \(\frac{{BM}}{{MC}} = \frac{{AN}}{{ND}}\). Chứng minh rằng MN luôn song song với một mặt phẳng cố định.
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
Áp dụng định lý Thalès đảo cho \(B, M, C ∈ BC\) và \(A, N, D ∈ AD\) từ tỉ lệ: \(\frac{{BM}}{{MC}} = \frac{{AN}}{{ND}}\)
Suy ra \(AB, MN, CD\) cùng song song với một mặt phẳng \((β)\) nào đó.
Ta chọn mặt phẳng \((α)\) chứa AB và song song với CD.
Mặt phẳng \((α)\) chính là mặt phẳng (ABE) với E ∈ (BCD) sao cho (BCDE) là hình bình hành.
Khi đó \(MN//(α)//(β)\), mặt phẳng \((α)\) cố định vì AB, CD cố định.
Vậy \((α)\) là mặt phẳng cần tìm.
5. Hình lăng trụ và hình hộp
a) Hình lăng trụ
Định nghĩa
Cho hai mặt phẳng \((α)\) và \((β)\) song song với nhau. Trên \((α)\) cho đa giác lồi \({A_1}{A_2}...{A_n}\). Qua các đỉnh của đa giác này ta vẽ các đường thẳng song song với nhau và cắt \((β)\) lần lượt tại các điểm \({A_1}',{A_2}',...;{A_n}'\). Hình tạo bởi các hình bình hành \({A_1}{A_2}{A_2}'{A_1}';{A_2}{A_3}{A_3}'{A_2}';...;{A_n}{A_1}{A_1}'{A_n}'\) và hai đa giác \({A_1}{A_2}...{A_n}\) ; \({A_1}'{A_2}'...{A_n}'\) gọi là hình lăng trụ. Kí hiệu \({A_1}{A_2}...{A_n}.{A_1}'{A_2}'...{A_n}'\).
Hình vẽ minh họa
Đặc điểm của hình lăng trụ
- Hai đa giác \({A_1}{A_2}...{A_n}\); \({A_1}'{A_2}'...{A_n}'\) là hai mặt đáy nằm trên hai mặt phẳng song song.
- Các điểm \({A_1};{A_2};...;{A_n}\); \({A_1}',{A_2}',...;{A_n}'\) là các đỉnh.
- Các hình bình hành \({A_1}{A_2}{A_2}'{A_1}';{A_2}{A_3}{A_3}'{A_2}';...;{A_n}{A_1}{A_1}'{A_n}'\) là các mặt bên.
- Các đoạn thẳng \({A_1}{A_1}';{A_2}{A_2}';{A_3}{A_3}';...;{A_n}{A_n}'\) là các cạnh bên.
- Các cạnh của hai đa giác đáy là các cạnh đáy. Các cạnh đáy tương ứng song song bằng nhau.
Chú ý: Hình lăng trụ có đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác, … tương ứng được gọi là hình lăng trụ tam giác, hình lăng trụ tứ giác, hình lăng trụ ngũ giác, …
Hình vẽ minh họa
Ví dụ: Cho hình lăng trụ \(ABC.A’B’C’\). Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh AC, AA’, AC’, BC. Chứng minh rằng (MNQ) // (A’B’C’).
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
Ta có:
\(QM // AB // A’B’\) (vì QM là đường trung bình trong tam giác ABC)
\(=> QM // (A’B’C’) (*)\)
Mặt khác:
\(MN // A‘C\) (vì MN là đường trung bình của tam giác ACA’)
\(=>MN // (A’B’C’) (**)\)
Từ (*) và (**) \(=> (MNQ) // (A’B’C’).\)
b) Hình hộp
Định nghĩa
Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành.
Minh họa
Đặc điểm của hình hộp
- Sáu mặt là sáu hình bình hành. Mỗi mặt đều có một mặt song song với nó. Hai mặt như thế gọi là hai mặt đối diện.
- Hai đỉnh không cùng nằm trên một mặt gọi là hai đỉnh đối diện.
- Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo.
- Bốn đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
