VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Chân trời sáng tạo

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 CTST Chương 7: Đạo hàm nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Thông hiểu
Tìm công thức chính xác

Cho hàm số $y = f(x) = sin^{3}x$ . Công thức nào sau đây đúng?
- A.
  $y'' + 9y = \sin x$
- B.
  $y'' + 9y - 6\sin x =0$
- C.
  $y'' + 9y = 6cosx$
- D.
  $y'' + 9y + 6cosx = 0$
Ta có: $y = f(x) = \sin^{3}x$

$\Rightarrow f'(x) =3\sin^{2}x.\cos x$

$\Rightarrow f''(x) =6\sin x.\cos^{2}x - 3\sin^{3}x$

Khi đó

$y'' + 9y = 6\sin x.\cos^{2}x -3\sin^{3}x + 9\sin^{3}x$

$= 6\sin x\left( \sin^{2}x + \cos^{2}xight) = 6\sin x$

$\Rightarrow y'' + 9y - 6\sin x =0$
Câu 2: Nhận biết
Chọn mệnh đề sai

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm tại x₀ là $f'(x)$ . Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  $f'\left( x_{0} ight) = \lim_{xightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} ight)}{x -x_{0}}$
- B.
  $f'\left( x_{0} ight) =\lim_{\Delta x ightarrow 0}\frac{f\left( x_{0} + \Delta x ight) -f\left( x_{0} ight)}{\Delta x}$
- C.
  $f'\left( x_{0} ight) = \lim_{hightarrow 0}\frac{f\left( x_{0} + h ight) - f\left( x_{0}ight)}{h}$
- D.
  $f'\left( x_{0} ight) = \lim_{xightarrow x_{0}}\frac{f\left( x + x_{0} ight) - f\left( x_{0}ight)}{x - x_{0}}$
Từ định nghĩa ta rút ra kết luận:
Đáp án sai là: $f'\left( x_{0} ight)= \lim_{x ightarrow x_{0}}\frac{f\left( x + x_{0} ight) - f\left(x_{0} ight)}{x - x_{0}}$
Đáp án $f'\left( x_{0} ight) =\lim_{x ightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} ight)}{x -x_{0}}$ đúng theo định nghĩa
Đáp án $f'\left( x_{0} ight) =\lim_{\Delta x ightarrow 0}\frac{f\left( x_{0} + \Delta x ight) -f\left( x_{0} ight)}{\Delta x}$ đúng vì
Đặt $x = x_{0} + h$ => $\left\{ \begin{matrix}x - x_{0} = h \\x ightarrow x_{0} \Rightarrow h ightarrow 0 \\\end{matrix} ight.$
Đáp án $f'\left( x_{0} ight) =\lim_{h ightarrow 0}\frac{f\left( x_{0} + h ight) - f\left( x_{0}ight)}{h}$ đúng vì
Đặt $x = x_{0} + \Delta x$ => $\left\{ \begin{matrix}x - x_{0} = \Delta x \\x ightarrow x_{0} \Rightarrow \Delta x ightarrow 0 \\\end{matrix} ight.$
Câu 3: Vận dụng cao
Tính giá trị biểu thức T

Cho hàm số $y = f(x) = 2018\ln\left(e^{\frac{x}{2018}} + \sqrt{e} \right)$ . Tính giá trị biểu thức

$T = f'(1) + f'(2) + ... + f'(2017)$ .
- A.
  $T = \frac{2019}{2}$ .
- B.
  $T = 1009$ .
- C.
  $T = \frac{2017}{2}$ .
- D.
  $T = 1008$ .
Xét hàm số $g(t) = \frac{e^{t}}{e^{t} + \sqrt{e}}$ ta có:

$g(1 - t) = \frac{e^{1 - t}}{e^{1 - t} + \sqrt{e}} = \frac{\frac{e}{e^{t}}}{\frac{e}{e^{t}} + \sqrt{e}} = \frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e} + e^{t}}$ .

Khi đó: $g(t) + g(1 - t) = \frac{e^{t}}{e^{t} + \sqrt{e}} + \frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e} + e^{t}} = 1$ .

Xét hàm số $y = f(x) = 2018\ln\left(e^{\frac{x}{2018}} + \sqrt{e} \right)$ ta có: $y' = f'(x) =\dfrac{e^{\frac{x}{2018}}}{e^{\frac{x}{2018}} + \sqrt{e}}$ .

Do $\frac{1}{2018} + \frac{2017}{2018} = 1$ nên theo ta có:

$f'(1) + f'(2017) = f'\left( \frac{1}{2018} \right) + f'\left( \frac{2017}{2018} \right) = 1$ .

Khi đó ta có :

$T = f'(1) + f'(2) + ... + f'(2017)$ $= \left\lbrack f^{'(1)} + f^{'(2017)} \right\rbrack + \left\lbrack f^{'(2)} + f^{'(2016)} \right\rbrack$

$+ ... + \left\lbrack f'(1008) + f'(1010) \right\rbrack + f'(1009)$

$= 1 + 1 + ... + 1 + \frac{e^{\frac{1009}{2018}}}{e^{\frac{1009}{2018}} + \sqrt{e}} = 1008 + \frac{1}{2} = \frac{2017}{2}$
Câu 4: Thông hiểu
Giải bất phương trình y'' < 0

Cho hàm số $y=3x^{5}-5x^{4}+3x-2$ . Giải bất phương trình y'' < 0.
- A.
  $x\in (1;+\infty)$
- B.
  $x\in (-\infty;1)\setminus \left \{ 0 ight \}$
- C.
  $x\in (-1;1)$
- D.
  $x\in (-2;2)$
Ta có:
$\begin{matrix} y = 3{x^5} - 5{x^4} + 3x - 2 \hfill \\ \Rightarrow y' = 15{x^4} - 20{x^3} + 3 \hfill \\ \Rightarrow y'' = 60{x^3} - 60{x^2} \hfill \\ y'' < 0 \hfill \\ \Leftrightarrow 60{x^3} - 60{x^2} < 0 \hfill \\ \Leftrightarrow 60{x^2}\left( {x - 1} ight) < 0,\left( {{x^2} > 0,\forall x e 0} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow x < 1 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 5: Thông hiểu
Tính đạo hàm của hàm số tại x = 0

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{3 - \sqrt{4 - x}}{4}\ \ \ \ khi\ x eq 0 \\\dfrac{1}{4}\ \ \ \ khi\ x = 0 \\\end{matrix} ight.$ . Tính $f'(0)$ ?
- A.
  $f'(0) =\frac{1}{4}$
- B.
  $f'(0) =\frac{1}{16}$
- C.
  $f'(0) =\frac{1}{32}$
- D.
  $f'(0) =\frac{1}{3}$
Ta có:
$\lim_{x ightarrow 0}\frac{f(x) -f(0)}{x - 0}$
$= \lim_{x ightarrow 0}\dfrac{\dfrac{3 -\sqrt{4 - x}}{4} - \dfrac{1}{4}}{x}$
$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{2 -\sqrt{4 - x}}{4x}$
$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{\left( 2 -\sqrt{4 - x} ight)\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)}{4x\left( 2 +\sqrt{4 - x} ight)}$
$= \lim_{x ightarrow0}\frac{x}{4x\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)}$
$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{1}{4\left(2 + \sqrt{4 - x} ight)} = \frac{1}{16}$
Câu 6: Vận dụng

Tính và điền đáp án vào chỗ trống

Cho hàm số $y = f(x)$ được xác định bởi công thức

$f(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2} + ax + b\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 2 \\ x^{3} - x^{2} - 8x + 10\ \ \ \ khi\ x < 2 \\ \end{matrix} ight.$

Biết hàm số có đạo hàm tại điểm $x_{0} = 2$ . Khi đó:

Giá trị của a là: -4|| - 4

Giá trị của b là: 2

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x)$ được xác định bởi công thức

$f(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2} + ax + b\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 2 \\ x^{3} - x^{2} - 8x + 10\ \ \ \ khi\ x < 2 \\ \end{matrix} ight.$

Biết hàm số có đạo hàm tại điểm $x_{0} = 2$ . Khi đó:

Giá trị của a là: -4|| - 4

Giá trị của b là: 2

Ta có:

$f(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2} + ax + b\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 2 \\ x^{3} - x^{2} - 8x + 10\ \ \ \ khi\ x < 2 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow f'(x) = \left\{ \begin{matrix} 2x + a\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 2 \\ 3x^{2} - 2x - 8\ \ \ \ \ \ khi\ x < 2 \\ \end{matrix} ight.$

Hàm số có đạo hàm tại điểm $x = 2$

Suy ra $4 + a = 0 \Rightarrow a = - 4$

Mặt khác hàm số có đạo hàm tại điểm $x = 2$

Suy ra $\lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = f(2)$

$\Rightarrow 4 + 2a + b = - 2 \Rightarrow b = 2$
Câu 7: Nhận biết
Tìm hệ số góc k

Xác định hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3x^{2} + 2$ tại điểm $N(1;0)$ ?
- A.
  $k = 1$
- B.
  $k = - 1$
- C.
  $k = - 3$
- D.
  $k = 2$
Ta có: $y'(x) = 3x^{2} - 6x$

Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $N(1;0)$ là:

$y'(1) = - 3$
Câu 8: Vận dụng
Chọn mệnh đề đúng

Cho hàm số $y = 5^{- x^{2} + 6x - 8}$ . Gọi m là giá trị thực để $y'(2) = 6m\ln5$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
- A.
  $m < \frac{1}{3}$
- B.
  $0 < m < \frac{1}{3}$
- C.
  $m \geq \frac{1}{2}$
- D.
  $m \leq 0$
Ta có:

$y' = ( - 2x + 6).5^{- x^{2} +6x - 8}.\ln5 \Rightarrow y'(2) = 2\ln5$

$y'(2) = 6m\ln5 \Leftrightarrow m =\frac{1}{3} \Rightarrow 0 < m \leq \frac{1}{3}$
Câu 9: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định bởi công thức $f(x) =\left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x - 1}\ \ \ khi\ x eq 1 \\- \dfrac{1}{4}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight.$ . Tính đạo hàm của hàm số tại $x_{0} = 1$ ?
- A.
  $f'(1) = 0$
- B.
  $f(1) = \frac{- 7}{40}$
- C.
  $f(1) = \frac{- 9}{64}$
- D.
  $∄f(1)$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1}f(x) = \lim_{x ightarrow 1}\frac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x - 1}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{3x + 1 - 4x^{2}}{(x - 1)\left( \sqrt{3x + 1} + 2x ight)}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{- 4x - 1}{\sqrt{3x + 1} + 2x} = - \frac{5}{4} eq f(1)$

Suy ra hàm số không liên tục tại x = 1 nên không tồn tại đạo hàm của hàm số tại x = 1
Câu 10: Thông hiểu

Tính và điền kết quả vào ô trống

Biết $\left\{ \begin{gathered} f\left( x ight) = \sqrt {{x^2} - 2x + 3} \hfill \\ f'\left( x ight) = \frac{{ax + b}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 3} }} \hfill \\ \end{gathered} ight.$ . Khi đó giá trị biểu thức $M = a.b =$ -1|| - 1

Đáp án là:

Biết $\left\{ \begin{gathered} f\left( x ight) = \sqrt {{x^2} - 2x + 3} \hfill \\ f'\left( x ight) = \frac{{ax + b}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 3} }} \hfill \\ \end{gathered} ight.$ . Khi đó giá trị biểu thức $M = a.b =$ -1|| - 1

Ta có:

$f(x) = \sqrt{x^{2} - 2x + 3}$

$\Rightarrow f'(x) = \frac{\left( x^{2} - 2x + 3 ight)'}{2\sqrt{x^{2} - 2x + 3}} = \frac{2x - 2}{2\sqrt{x^{2} - 2x + 3}}$

$= \frac{x - 1}{\sqrt{x^{2} - 2x + 3}} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M = a.b = - 1$
Câu 11: Thông hiểu
Tính vận tốc của chất điểm

Một chất điểm chuyển động thẳng có phương trình $S=\frac{1}{2}t^{2}$ ( t là thời gian tính bằng giây (s), S là đường thẳng đi tính bằng mét). Tính vận tốc (m/s) của chất điểm tại thời điểm $t_{0}=5(s)$
- A.
  $\frac{5}{2}$
- B.
  5
- C.
  25
- D.
  $\frac{25}{2}$
Ta có:
$\begin{matrix} v\left( t ight) = s'\left( t ight) = t \hfill \\ \Rightarrow v\left( {{t_0}} ight) = v\left( 5 ight) = 5\left( {m/s} ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 12: Nhận biết
Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm

Tính đạo hàm của hàm số $f(x)=-x^{4}+4x^{3}-3x^{2}+2x+1$ tại điểm $x = -1$
- A.
  $f'(-1)=4$
- B.
  $f'(-1) = 14$
- C.
  $f'(-1) = 15$
- D.
  $f'(-1) = 24$
Ta có:
$\begin{matrix} f(x) = - {x^4} + 4{x^3} - 3{x^2} + 2x + 1 \hfill \\ \Rightarrow f'\left( x ight) = - 4{x^3} + 12{x^2} - 6x + 2 \hfill \\ \Rightarrow f'\left( { - 1} ight) = - 4.{\left( { - 1} ight)^3} + 12.{\left( { - 1} ight)^2} - 6.\left( { - 1} ight) + 2 \hfill \\ f'\left( { - 1} ight) = 4 + 12 + 6 + 2 = 24 \hfill \\ \Rightarrow f'\left( { - 1} ight) = 24 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 13: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số $y = \frac{2}{x + 1}$ ?
- A.
  $y'' = \frac{4}{(x + 1)^{3}}$
- B.
  $y'' = - \frac{4}{(x + 1)^{3}}$
- C. $y'' = \frac{- 2}{(x + 1)^{3}}$
- D.
  $y'' = \frac{2}{(x + 1)^{3}}$
Ta có:

$y = \frac{2}{x + 1} \Rightarrow y' = \frac{- 2}{(x + 1)^{2}}$

$\Rightarrow y'' = \frac{2.2(x + 1)}{(x + 1)^{4}} = \frac{4}{(x + 1)^{3}}$
Câu 14: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Công thức nào tương ứng với đạo hàm cấp hai của hàm số $y = - \frac{1}{x}$ ?
- A.
  $\frac{2}{x^{3}}$
- B.
  $- \frac{2}{x^{3}}$
- C.
  $- \frac{2}{x^{2}}$
- D.
  $\frac{2}{x^{2}}$
Ta có: $y = - \frac{1}{x} \Rightarrow y' = \frac{1}{x^{2}}$

$\Rightarrow y'' = - \frac{\left( x^{2} ight)'}{x^{4}} = - \frac{2x}{x^{4}} = - \frac{2}{x^{3}}$
Câu 15: Vận dụng
Giải phương trình f'(x) = f"(x)

Cho hàm số $f(x)=\frac{2x-1}{x+1}$ . Giải phương trình f'(x) = f"(x)
- A.
  x = 3; x = 2
- B.
  x = 4
- C.
  x = 5; x = 6
- D.
  x = -3
Ta có:
$\begin{matrix} f(x) = \dfrac{{2x - 1}}{{x + 1}} \hfill \\ \Rightarrow f'\left( x ight) = \dfrac{{2\left( {x + 1} ight) - \left( {2x + 1} ight)}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}} \hfill \\ \Rightarrow f''\left( x ight) = \dfrac{{ - 2\left( {x + 1} ight)}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^4}}} = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^3}}} \hfill \\ \end{matrix}$
Xét phương trình ta có:
$\begin{matrix} f'\left( x ight) = f''\left( x ight),\left( {x e - 1} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}} = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^3}}} \hfill \\ \Leftrightarrow x = - 3 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 16: Thông hiểu
Tính gia tốc chuyển động

Một chuyển động được xác định bởi phương trình $S(t) = t^{3} - 3t^{2} - 9t + 2$ , trong đó $t$ tính bằng giây và $S$ tính bằng mét. Tính gia tốc của chuyển động tại thời điểm $t = 5(s)$ ?
- A.
  $24m/s^{2}$
- B.
  $12m/s^{2}$
- C.
  $18m/s^{2}$
- D.
  $36m/s^{2}$
Vận tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp một của quãng đường: $v = S' = 3t^{2} - 6t - 9$

Gia tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp hai của quãng đường:

$a = S'' = 6t + 6$

Tại thời điểm $t = 5s$ thì gia tốc có giá trị là:

$a(5) = 6.5 - 6 = 24\left( m/s^{2} ight)$
Câu 17: Thông hiểu
Tìm số đường tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Gọi $(C)$ là đồ thị hàm số $y = - x^{3} + 3x^{2} - 3$ . Có bao nhiêu phương trình tiếp tuyến của $(C)$ vuông góc với đường thẳng $y = \frac{x}{9} + 2000$ ?
- A.
  $0$
- B.
  $3$
- C.
  $1$
- D.
  $2$
Gọi $A\left( x_{0};y_{0} ight)$ là tiếp điểm của tiếp tuyến

Ta có:

$y' = - 3x^{2} + 6x$

Vì tiếp tuyến của $(C)$ vuông góc với đường thẳng $y = \frac{x}{9} + 2000$ nên $y'\left( x_{0} ight).\frac{1}{9} = - 1 \Rightarrow y'\left( x_{0} ight) = - 9$

$\Leftrightarrow - 3{x_{0}}^{2} + 6x_{0} + 9 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{0} = - 1 \\ x_{0} = 3 \\ \end{matrix} ight.$

Với $x_{0} = - 1 \Rightarrow y_{0} = 1$ nên phương trình tiếp tuyến tương ứng là

$y = - 9(x + 1) + 1 \Rightarrow y = - 9x - 8$

Với $x_{0} = 3 \Rightarrow y_{0} = - 3$ nên phương trình tiếp tuyến tương ứng là

$y = - 9(x - 3) - 3 \Rightarrow y = - 9x + 24$

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện đề bài.
Câu 18: Thông hiểu
Tìm hệ số góc của tiếp tuyến

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{- x + 1}{3x - 2}$ tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là:
- A.
  $- 2$
- B.
  $\frac{1}{3}$
- C.
  $- 1$
- D.
  $- \frac{1}{4}$
Ta có: $y' = \frac{- 1}{(3x - 2)^{2}}$

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là $M\left( 0;\frac{- 1}{2} ight)$

Vậy hệ số góc cần tìm là $k = y'(0) = - \frac{1}{4}$
Câu 19: Nhận biết
Hàm số f(x) liên tục trên khoảng

Hàm số $f(x)=\sqrt{3-x}+\frac{1}{\sqrt{x+4}}$ liên tục trên:
- A.
  $[-4;3]$
- B.
  $[-4;3)$
- C.
  $(-4;3]$
- D.
  $[-\infty ;-4]\cup [3;+\infty ]$
Điều kiện xác định: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3 - x \geqslant 0} \\ {x + 4 > 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \leqslant 3} \\ {x > - 4} \end{array}} ight. \Rightarrow x \in \left( { - 4;3} ight]$
Vậy hàm số liên tục trên $\left( { - 4;3} ight]$
Câu 20: Vận dụng
Tính giá trị biểu thức

Cho hàm số $f(x) = \frac{\ln\left( x^{2} + 1 \right)}{x}$ thỏa mãn $f'(1) = aln2 + b$ với $a,b\mathbb{\in Z}$ . Giá trị của $a + b$ bằng
- A.
  $1$ .
- B.
  $0$ .
- C.
  $2$ .
- D.
  $- 1$ .
Hàm số $f(x) = \frac{\ln\left( x^{2} + 1 \right)}{x}$ có tập xác định: $\mathbb{R}\backslash\left\{ 0 \right\}$ .

Khi đó:

$f'(x) = \frac{\frac{2x}{x^{2} + 1}.x - \ln\left( x^{2} + 1 \right)}{x^{2}} = \frac{2x^{2} - \left( x^{2} + 1 \right).ln\left( x^{2} + 1 \right)}{x^{2}\left( x^{2} + 1 \right)}$ .

$\Rightarrow f'(1) = \frac{2 - 2ln2}{2} = - ln2 + 1 \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 1 \\ b = 1 \end{matrix} \right.$ .

Vậy $a + b = 0$ .
Câu 21: Thông hiểu
Tính đạo hàm cấp hai của hàm số

Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số sau: $y = {\left( {{x^2} + 1} ight)^3}$
- A. $y'' = 30{x^4} + 36{x^2} + 6$
- B. $y'' = 6{x^5} + 12{x^3} + 6x$
- C. $y'' = 6{x^5} + 12{x^3} + 5$
- D. $y'' = 36{x^3} + 36{x^2}$
Ta có: $y = {\left( {{x^2} + 1} ight)^3} = {x^6} + 3{x^4} + 3{x^2} + 1$
$\begin{matrix} \Rightarrow y' = 6{x^5} + 12{x^3} + 6x \hfill \\ = > y'' = \left( {y'} ight)' = \left( {6{x^5} + 12{x^3} + 6x} ight)' = 30{x^4} + 36{x^2} + 6 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 22: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $\lim_{x ightarrow 2}\frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = 3$ . Kết quả đúng là:
- A.
  $f'(2) = 3$ .
- B.
  $f'(x) = 2$ .
- C.
  $f'(x) = 3$ .
- D.
  $f'(3) = 2$ .
Ta có $f'(2) = \lim_{x ightarrow 2}\frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = 3$
Câu 23: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Tìm đạo hàm của hàm số $y = \left( 2x^{2} + x - 1 ight)(2 - 3x)$ ?
- A.
  $y' = 18x^{2}$
- B.
  $y' = - 18x^{2} + 2x$
- C.
  $y' = - 18x^{2} + 2x + 5$
- D.
  $y' = 18x^{2} - 2x - 5$
Ta có: $y = \left( 2x^{2} + x - 1 ight)(2 - 3x)$

$\Rightarrow y' = \left( 2x^{2} + x - 1 ight)'(2 - 3x) + \left( 2x^{2} + x - 1 ight)(2 - 3x)'$

$= (4x + 1)(2 - 3x) + \left( 2x^{2} + x - 1 ight).( - 3)$

$= - 12x^{2} + 8x - 3x + 2 - 6x^{2} - 3x + 3$

$= - 18x^{2} + 2x + 5$
Câu 24: Nhận biết
Tính số gia của hàm số

Tính số gia của hàm số $y = x^{2} +2$ tại điểm x₀ = 2 ứng với số gia $\Delta x = 1$
- A.
  $\Delta y = 13$
- B.
  $\Delta y = 9$
- C.
  $\Delta y = 5$
- D.
  $\Delta y = 2$
Ta có:
$\Delta y = f\left( x_{0} + \Delta xight) - f\left( x_{0} ight)$
$\Rightarrow \Delta y = f(2 + 1) -f(2)$
$\Rightarrow \Delta y = f(3) -f(2)$
$\Rightarrow \Delta y = \left( 3^{2} + 2ight) - \left( 2^{2} + 2 ight) = 5$
Câu 25: Nhận biết
Xác định tính đúng sai của mệnh đề

Cho hai mệnh đề sau:

i) $f(x)$ có đạo hàm tại $x_{0}$ thì $f(x)$ liên tục tại $x_{0}$ .

ii) $f(x)$ liên tục tại $x_{0}$ thì $f(x)$ có đạo hàm tại $x_{0}$ .

Khẳng định nào dưới đây đúng?
- A.
  $(i)$ đúng, $(ii)$ sai
- B.
  $(i)$ sai, $(ii)$ sai
- C.
  $(i)$ đúng, $(ii)$ đúng
- D.
  $(i)$ sai, $(ii)$ đúng
Khẳng định đúng là: $(i)$ đúng, $(ii)$ sai.
Câu 26: Vận dụng cao
Xác định a và b

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}x^{2} + ax + b\ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 2 \\x^{3} - x^{2} - 8x + 10\ \ \ \ khi\ x < 2 \\\end{matrix} ight.$ . Biết hàm số có đạo hàm tại $x = 2$ . Giá trị của $a^{2} + b^{2}$ bằng:
- A.
  $18$
- B.
  $20$
- C.
  $25$
- D.
  $17$
Ta có:
$\lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{f(x) -f(2)}{x - 2}$
$= \lim_{x ightarrow 2^{-}}\left( x^{3}- x^{2} - 8x + 10 ight) = - 2$
Ta có: $\lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) =f(2) = 4 + 2a + b$
Để hàm số có liên tục tại x = 1 thì:
$4 + 2a + b = - 2$
Xét $\lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{f(x)- f(2)}{x - 2}$
$= \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{\left(x^{3} - x^{2} - 8x + 10 ight) - (4 + 2a + b)}{x - 2}$
$= \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{x^{3}- x^{2} - 8x + 12}{x - 2} = 0$
Và $\lim_{x ightarrow 2^{+}}\frac{f(x) -f(2)}{x - 2}$
$= \lim_{x ightarrow 2^{+}}\frac{\left(x^{2} + ax + b ight) - (4 + 2x + b)}{x - 2}$
$= \lim_{x ightarrow 2^{+}}(x + 2 + a)= 4 + a$
Từ đó suy ra $4 + a = 0$ $\Rightarrow a = - 4;b = 2$
Vậy $a^{2} + b^{2} = 20$
Câu 27: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Tính đạo hàm của hàm số $y = \log_{2}x$ trên khoảng $(0; + \infty)$ ?
- A.
  $y' =\frac{1}{x\ln2}$
- B.
  $y' =\frac{\ln2}{x}$
- C.
  $y' = \frac{1}{x}$
- D.
  $y' = \frac{1}{2x}$
Áp dụng công thức $\left( \log_{a}xight)' = \frac{1}{x\ln a}$

Ta có: $y' =\frac{1}{x\ln2}$
Câu 28: Nhận biết
Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số

Với $x\mathbb{\in R}$ , đạo hàm cấp hai của hàm số $y = x^{6} - 4x^{3} + 2x + 2022$ là:
- A.
  $y'' = 30x^{4} - 24x + 2$
- B.
  $y'' = 30x^{4} - 24x$
- C.
  $y'' = 6x^{5} - 12x^{2} + 2$
- D.
  $y'' = 6x^{5} - 12x^{2}$
Ta có: $y = x^{6} - 4x^{3} + 2x + 2022$

$\Rightarrow y' = 6x^{5} - 12x^{2} + 2$

$\Rightarrow y'' = 30x^{4} - 24x$
Câu 29: Thông hiểu
Tìm x sao cho y" = 20

Cho hàm số $y=\frac{3x-4}{x+2}$ . Tìm x sao cho y" = 20
- A.
  x = 3
- B.
  x = -3
- C.
  x = 1
- D.
  x = -1
Ta có:
$\begin{matrix} y = \dfrac{{3x - 4}}{{x + 2}} \hfill \\ \Rightarrow y' = \dfrac{{3\left( {x + 2} ight) - \left( {3x - 4} ight)}}{{{{\left( {x + 2} ight)}^2}}} = \dfrac{{10}}{{{{\left( {x + 2} ight)}^2}}} \hfill \\ \Rightarrow y'' = \dfrac{{ - 10.2.\left( {x + 2} ight)}}{{{{\left( {x + 2} ight)}^4}}} = \dfrac{{ - 20}}{{{{\left( {x + 2} ight)}^3}}} \hfill \\ \end{matrix}$
Xét phương trình ta có:
$\begin{matrix} y'' = 20,(xe-2) \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 20}}{{{{\left( {x + 2} ight)}^3}}} = 20 \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {x + 2} ight)^3} = - 1 \hfill \\ \Leftrightarrow x = - 3 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 30: Thông hiểu
Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm

Cho hàm số $f(x)=\cos^{2}x$ . Giá trị của $f'(\frac{\pi}{6})$ bằng:
- A.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$
- B.
  $\frac{1}{2}$
- C.
  $\frac{-1}{2}$
- D.
  $\frac{-\sqrt{3}}{2}$
Ta có:
$\begin{matrix} f(x) = {\cos ^2}x \hfill \\ \Rightarrow f'\left( x ight) = \left( {{{\cos }^2}x} ight)\prime \hfill \\ \Leftrightarrow f'\left( x ight) = 2\cos x.\left( { - \sin x} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow f'\left( x ight) = - \sin 2x \hfill \\ \Rightarrow f'\left( {\dfrac{\pi }{6}} ight) = - \sin \left( {2.\dfrac{\pi }{6}} ight) = \dfrac{{ - \sqrt 3 }}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 31: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Cho hàm số $y = f(x)$ được xác định bởi công thức $f(x) = \left\{ \begin{matrix} ax^{2} + bx\ \ \ khi\ x \geq 1 \\ 2x - 1\ \ \ \ \ \ \ khi\ x < 1 \\ \end{matrix} ight.$ . Để hàm số đã cho có đạo hàm tại $x = 1$ thì giá trị biểu thức $2a + b$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $2$
- B.
  $5$
- C.
  $- 2$
- D.
  $- 5$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{2x - 1 - 1}{x - 1} = 2$

$\lim_{x ightarrow 1 +}\frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{ax^{2} + bx - a - b}{x - 1}$

$= \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{a\left( x^{2} - 1 ight) + b(x - 1)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{(x - 1)\left\lbrack a(x - 1) + b ightbrack}{x - 1}$

$= \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack a(x - 1) + b ightbrack = 2a + b$

Theo yêu cầu bài toán

$\lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{f(x) - f(1)}{x - 1}$

$\Leftrightarrow 2a + b = 2$
Câu 32: Vận dụng cao

Tính giá trị biểu thức

Cho hai hàm số $f(x);g(x)$ đều có đạo hàm trên tập số thực và thỏa mãn:

$f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) + x^{2}.g(x) + 36x = 0$

với $\forall x\mathbb{\in R}$ . Giá trị biểu thức $M = 3f(2) + 4f'(2)$ = 10

Đáp án là:

Cho hai hàm số $f(x);g(x)$ đều có đạo hàm trên tập số thực và thỏa mãn:

$f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) + x^{2}.g(x) + 36x = 0$

với $\forall x\mathbb{\in R}$ . Giá trị biểu thức $M = 3f(2) + 4f'(2)$ = 10

Với $\forall x\mathbb{\in R}$ ta có: $f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) + x^{2}.g(x) + 36x = 0\ \ \ (1)$

Đạo hàm hai vế của (1) ta được:

$- 3f^{2}(2 - x).f'(2 - x) - 12f(2 + 3x).f'(2 + 3x)$

$+ 2x.g(x) + x^{2}.g'(x) + 36x = 0\ \ \ (2)$

Từ (1) và (2) thay x = 0 ta có:

$\left\{ \begin{matrix} f^{2}(2) - 2f^{2}(2) = 0\ \ \ (3) \\ - 3f^{2}(2).f'(2) - 12f(2).f'(2) + 36 = 0\ \ \ (4) \\ \end{matrix} ight.$

Từ (3) ta có: $\left\lbrack \begin{matrix} f(2) = 0 \\ f(2) = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Với $f(2) = 0$ thay vào (4) ta được 36 = 0

Với $f(2) = 2$ thay vào (4) ta được $- 36f'(2) + 36 = 0 \Rightarrow f'(2) = 1$

Vậy $M = 3f(2) + 4f'(2) = 3.2 + 4.1 = 10$
Câu 33: Nhận biết

Điền kết quả vào ô trống

Cho $f(x) = (x - 3)^{6}$ . Khi đó $f''(2) =$ 30

Đáp án là:

Cho $f(x) = (x - 3)^{6}$ . Khi đó $f''(2) =$ 30

Ta có:

$f(x) = (x - 3)^{6}$

$\Rightarrow f'(x) = 6(x - 3)^{5}$

$\Rightarrow f''(x) = 6.5.(x - 3)^{4} = 30(x - 3)^{4}$

$\Rightarrow f''(2) = 30.(2 - 3)^{4} = 30$
Câu 34: Vận dụng
Tính tích hai giá trị tham số

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định bởi công thức $f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{2 - \sqrt {4 - x} }}{x}{\text{ }};0 < x < 4} \\ {m{\text{ }};x = 0} \\ {\dfrac{n}{x}{\text{ }};x \geqslant 4} \end{array}} ight.$ . Biết hàm số liên tục trên nửa khoảng $\lbrack 0; + \infty)$ . Tích của $m$ và $n$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $2$
- B.
  $\frac{1}{4}$
- C.
  $\frac{1}{2}$
- D.
  $- 1$
Tập xác định $D = \lbrack 0; + \infty)$

Hàm số liên tục trên $\lbrack 0; + \infty)$ nên ta có:

$\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = f\left( 0 ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x ight) = f\left( 4 ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.$

$\lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{2 - \sqrt{4 - x}}{x}$

$= \lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{x}{x\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)} = \frac{1}{4}$

$f(0) = m$

$\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \dfrac{n}{x} = \dfrac{n}{4} \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \dfrac{{2 - \sqrt {4 - x} }}{x} = \dfrac{1}{2} \hfill \\ f\left( 4 ight) = \dfrac{n}{4} \hfill \\ \end{gathered} ight.$

$\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = f\left( 0 ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x ight) = f\left( 4 ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m = \dfrac{1}{4} \\\dfrac{n}{4} = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m = \dfrac{1}{4} \ = 2 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow m.n = \dfrac{1}{2}$
Câu 35: Vận dụng

Điền đáp án vào ô trống

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} ax^{2} + bx + 1\ \ \ ;\ x \geq 0 \\ ax - b - 1\ \ \ \ \ \ ;\ x < 0 \\ \end{matrix} ight.$ . Khi hàm số $f(x)$ có đạo hàm tại $x_{0} = 0$ . Tính giá trị biểu thức $T = a - b$ ?

Kết quả: 0

Đáp án là:

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} ax^{2} + bx + 1\ \ \ ;\ x \geq 0 \\ ax - b - 1\ \ \ \ \ \ ;\ x < 0 \\ \end{matrix} ight.$ . Khi hàm số $f(x)$ có đạo hàm tại $x_{0} = 0$ . Tính giá trị biểu thức $T = a - b$ ?

Kết quả: 0

Ta có: $f(0) = 1$

$\lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{+}}\left( ax^{2} + bx + 1 ight) = 1$

$\lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{-}}(ax - b - 1) = - b - 1$

Để hàm số có đạo hàm tại $x_{0} = 0$ thì hàm số phải liên tục tại $x_{0} = 0$ nên

$f(0) = \lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x)$

Suy ra $- b - 1 = 1 \Rightarrow b = - 2$

Khi đó $f(x) = \left\{ \begin{matrix} ax^{2} - 2x + 1\ \ \ ;\ x \geq 0 \\ ax + 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ;\ x < 0 \\ \end{matrix} ight.$

Xét

$\lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{ax^{2} - 2x + 1 - 1}{x}$

$= \lim_{x ightarrow 0^{+}}(ax - 2) = - 2$

$\lim_{x ightarrow 0^{-}}\frac{f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x ightarrow 0^{-}}\frac{ax + 1 - 1}{x}$

$= \lim_{x ightarrow 0^{-}}(a) = a$

Hàm số có đạo hàm tại $x_{0} = 0$ khi đó $a = - 2$

Vậy giá trị của biểu thức $T = a - b = 0$
Câu 36: Thông hiểu
Tính đạo hàm tại x = 0

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định bởi $f(x) = \left\{\begin{matrix}\dfrac{\sqrt{4x^{2} + 1} - 1}{x}\ \ \ khi\ x eq 0 \\0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 0 \\\end{matrix} ight.$ . Giá trị của $f'(0)$ là:
- A.
  $2$
- B.
  $0$
- C.
  $\frac{1}{2}$
- D.
  $\frac{1}{4}$
Tập xác định $D\mathbb{= R}$

Ta có:

$\lim_{x ightarrow 0}\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{4x^{2} + 1} - 1}{x^{2}}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{4x^{2}}{x^{2}\left( \sqrt{4x^{2} + 1} + 1 ight)} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{4}{\sqrt{4x^{2} + 1} + 1} = 2$

Vậy $f'(0) = 2$
Câu 37: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng

Vận tốc của một chất điểm chuyển động được biểu thị bởi công thức $v(t) = 8t + 3t^{2}$ , trong đó t > 0, t tính bằng giây và v(t) tính bằng mét/giây. Tìm gia tốc của chất điểm tại thời điểm mà vận tốc chuyển động là 11 mét/giây.
- A.
  $6m/s^{2}$
- B.
  $11m/s^{2}$
- C.
  $14m/s^{2}$
- D.
  $20m/s^{2}$
Ta có: $a(t) = v'(t) = 8 +6t$
Ta có:
$v(t) = 11$
$\Rightarrow 11 = 8t +3t^{2}$
$\Rightarrow t = 1(tm)$
Gia tốc của chất điểm là:
$a(1) = v'(1) = 8 + 6.1 = 14\left(m/s^{2} ight)$
Vậy gia tốc của chất điểm tại thời điểm mà vận tốc chuyển động là 11 m/s là $14m/s^{2}$
Câu 38: Vận dụng cao
Tính vận tốc trung bình của chuyển động

Một vật rơi tự do theo phương trình $s =\frac{1}{3}gt^{2}$ , trong đó $g =9,8m/s^{2}$ là gia tốc trọng trường. Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ t (t = 5s) đến t + ∆t với ∆t = 0,001s.
- A.
  $v_{tb} = 49,114m/s$
- B.
  $v_{tb} = 49,0425m/s$
- C.
  $v_{tb} = 49,0049m/s$
- D.
  $v_{tb} = 49,125m/s$
Ta có:
$v_{tb} = \frac{s(t + \Delta t) -s(t)}{\Delta t}$
$\Rightarrow v_{tb} =\dfrac{\dfrac{1}{2}g(t + \Delta t)^{2} - \dfrac{1}{2}gt^{2}}{\Delta t}$
$\Rightarrow v_{tb} = gt +\frac{1}{2}g\Delta t = 49,0049m/s$
Vậy vận tốc trung bình của chuyển động là 49,0049m/s.
Câu 39: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho hàm số $y = x - \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt[3]{x}} + 1$ . Biểu thức nào dưới đây đúng?
- A.
  $y' = 1 - \frac{1}{2\sqrt[3]{x}} - \frac{1}{3\sqrt[4]{x^{4}}}$
- B.
  $y' = 1 - \frac{1}{3\sqrt[3]{x}} - \frac{1}{4\sqrt[4]{x^{4}}}$
- C.
  $y' = 1 + \frac{1}{2\sqrt[3]{x}} + \frac{1}{3\sqrt[4]{x^{4}}}$
- D.
  $y' = 1 + \frac{1}{3\sqrt[3]{x}} + \frac{1}{4\sqrt[4]{x^{4}}}$
Ta có:

$y = x - \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt[3]{x}} + 1$

$\Rightarrow y' = 1 + \frac{1}{2\sqrt[3]{x}} + \frac{1}{3\sqrt[4]{x^{4}}}$
Câu 40: Vận dụng
Xác định số nghiệm của phương trình

Cho hàm số $y = \sin x + \cos x$ . Có bao nhiêu nghiệm thuộc $\lbrack 0;3\pibrack$ thỏa mãn phương trình $y'' = 0$ ?
- A.
  $1$
- B.
  $2$
- C.
  $3$
- D.
  $4$
Ta có:

$y = \sin x + \cos x$

$\Rightarrow y' = \cos x - \sin x$

$\Rightarrow y'' = - \sin x - \cos x$

Lại có $y'' = 0 \Leftrightarrow - \sin x - \cos x = 0$

$\Leftrightarrow - \sqrt{2}\sin\left( x + \frac{\pi}{4} ight) = 0$

$\Leftrightarrow x + \frac{\pi}{4} = k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

$\Leftrightarrow x = - \frac{\pi}{4} + k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Do $x \in \lbrack 0;3\pibrack \Leftrightarrow 0 \leq \frac{- \pi}{4} + k\pi \leq 3\pi$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{4} \leq k \leq \dfrac{13}{4} \\k\mathbb{\in Z} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow k \in \left\{ 1;2;3ight\}$

Vậy có 3 nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Chân trời sáng tạo Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

29 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Chân trời sáng tạo

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 Chân trời sáng tạo
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân
Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số ghép số liệu nhóm
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Đạo hàm
Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 9: Xác suất

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Chân trời sáng tạo

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 11 Chân trời sáng tạo

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân

Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian

Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số ghép số liệu nhóm

Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 7: Đạo hàm

Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian

Chương 9: Xác suất