VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Chân trời sáng tạo

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 CTST Chương 7: Đạo hàm nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay

Câu 1: Vận dụng cao
Xác định a và b

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}x^{2} + ax + b\ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 2 \\x^{3} - x^{2} - 8x + 10\ \ \ \ khi\ x < 2 \\\end{matrix} ight.$ . Biết hàm số có đạo hàm tại $x = 2$ . Giá trị của $a^{2} + b^{2}$ bằng:
- A.
  $18$
- B.
  $20$
- C.
  $25$
- D.
  $17$
Ta có:
$\lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{f(x) -f(2)}{x - 2}$
$= \lim_{x ightarrow 2^{-}}\left( x^{3}- x^{2} - 8x + 10 ight) = - 2$
Ta có: $\lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) =f(2) = 4 + 2a + b$
Để hàm số có liên tục tại x = 1 thì:
$4 + 2a + b = - 2$
Xét $\lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{f(x)- f(2)}{x - 2}$
$= \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{\left(x^{3} - x^{2} - 8x + 10 ight) - (4 + 2a + b)}{x - 2}$
$= \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{x^{3}- x^{2} - 8x + 12}{x - 2} = 0$
Và $\lim_{x ightarrow 2^{+}}\frac{f(x) -f(2)}{x - 2}$
$= \lim_{x ightarrow 2^{+}}\frac{\left(x^{2} + ax + b ight) - (4 + 2x + b)}{x - 2}$
$= \lim_{x ightarrow 2^{+}}(x + 2 + a)= 4 + a$
Từ đó suy ra $4 + a = 0$ $\Rightarrow a = - 4;b = 2$
Vậy $a^{2} + b^{2} = 20$
Câu 2: Vận dụng
Tìm đạo hàm của hàm số tại một điểm

Tính đạo hàm của hàm số sau tại điểm chỉ ra $f(x) = \frac{{{x^2} + x + \left| {x + 1} \right|}}{x}$ tại $x_{0} = - 1$ .
- A.
  2.
- B.
  0.
- C.
  3.
- D.
  Không tồn tại đạo hàm
Ta có hàm số liên tục tại $x_{0} = - 1$ và $\frac{f(x) - f( - 1)}{x + 1} = \frac{x^{2} + x + |x + 1|}{x(x + 1)}$

Nên $\lim_{x \rightarrow - 1^{+}}\frac{f(x) - f( - 1)}{x + 1} = \lim_{x \rightarrow - 1^{+}}\frac{x^{2} + 2x + 1}{x(x + 1)} = 0$

$\lim_{x \rightarrow - 1^{-}}\frac{f(x) - f( - 1)}{x + 1} = \lim_{x \rightarrow - 1^{-}}\frac{x^{2} - 1}{x(x + 1)} = 2$

Do đó $\lim_{x \rightarrow - 1^{+}}\frac{f(x) - f( - 1)}{x + 1} \neq \lim_{x \rightarrow - 1^{-}}\frac{f(x) - f( - 1)}{x + 1}$

Vậy hàm số không có đạo hàm tại điểm $x_{0} = - 1$ .

Nhận xét: Hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm tại $x = x_{0}$ thì phải liên tục tại điểm đó.
Câu 3: Thông hiểu
Tính tỉ số

Tính tỉ số $\frac{\Delta y}{\Deltax}$ của hàm số $y = 3x +1$ theo x và $\Delta x$
- A.
  $\frac{\Delta y}{\Delta x} =0$
- B.
  $\frac{\Delta y}{\Delta x} =1$
- C.
  $\frac{\Delta y}{\Delta x} =2$
- D.
  $\frac{\Delta y}{\Delta x} =3$
Ta có:
$\Delta y = f(x + \Delta x) -f(x)$
$\Delta y = \left\lbrack 3(x + \Delta x)+ 1 ightbrack - (3x + 1)$
$\Delta y = 3\Delta x$
$\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} =3$
Câu 4: Thông hiểu
Tính đạo hàm của hàm số

Tính đạo hàm của hàm số $y = \frac{{2x}}{{x - 1}}$ tại $x=-1$
- A. $y'\left( { - 1} ight) = 1$
- B. $y'\left( { - 1} ight) = - \frac{1}{2}$
- C. $y'\left( { - 1} ight) = - 2$
- D. $y'\left( { - 1} ight) = 0$
Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 ight\}$
Ta có:
$\begin{matrix} y' = \left( {\dfrac{{2x}}{{x - 1}}} ight)\prime \hfill \\ = \dfrac{{\left( {2x} ight)'.\left( {x - 1} ight) - 2x.\left( {x - 1} ight)'}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} \hfill \\ = \dfrac{{2\left( {x - 1} ight) - 2x}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} \hfill \\ \end{matrix}$
Suy ra đạo hàm của hàm số $y = \frac{{2x}}{{x - 1}}$ tại $x=-1$ là:
$y'\left( { - 1} ight) = \frac{{ - 2}}{{{{\left( { - 1 - 1} ight)}^2}}} = - \frac{1}{2}$
Câu 5: Vận dụng
Tìm số nghiệm của phương trình

Cho hàm số $y = \sqrt{3}\cos x + \sin x - x^{2} + 2021x + 2022$ . Có bao nhiêu nghiệm thuộc $\lbrack 0;4\pibrack$ thỏa mãn phương trình $y'' = 0$ ?
- A.
  $1$
- B.
  $2$
- C.
  $3$
- D.
  $4$
Ta có:

$y = \sqrt{3}\cos x + \sin x - x^{2} + 2021x + 2022$

$\Rightarrow y' = \sqrt{3}\sin x + \cos x - 2x + 2021$

$\Rightarrow y'' = \sqrt{3}\cos x - \sin x - 2$

Lại có $y'' = 0 \Leftrightarrow \sqrt{3}\cos x - \sin x - 2 = 0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x = - 1$

$\Leftrightarrow \sin\left( x - \frac{\pi}{3} ight) = - 1$

$\Leftrightarrow x - \frac{\pi}{3} = \frac{- \pi}{2} + k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

$\Leftrightarrow x = \frac{- \pi}{6} + k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Do $x \in \lbrack 0;3\pibrack \Leftrightarrow 0 \leq \frac{- \pi}{6} + k2\pi \leq 4\pi$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{12} \leq k \leq \dfrac{25}{12} \\k\mathbb{\in Z} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow k \in \left\{ 1;2ight\}$

Vậy có 2 nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 6: Nhận biết
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=-x^{3}$ tại điểm có hoành độ bằng -1 là:
- A.
  $y=3(x+1)+1$
- B.
  $y=-3(x-1)+1$
- C.
  $y=-3(x+1)+1$
- D.
  $y=-3(x-1)-1$
Ta có:
$\begin{matrix} y = - {x^3} \Rightarrow y\left( { - 1} ight) = 1 \hfill \\ \Rightarrow y' = - 3{x^2} \Rightarrow y'\left( { - 1} ight) = - 3 \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng -1 là:
$y = - 3\left( {x + 1} ight) + 1$
Câu 7: Nhận biết
Khoảng cách viên đạn với mặt đất tại thời điểm t

Một viên đạn được bắn lên cao theo phương trình $s(t) = 196 - 4,9t^{2}$ trong đó t > 0, t tính bằng giây kể từ thời điểm viên đạn được bắn lên cao và s(t) là khoảng cách của viên đạn so với mặt đất được tính bằng mét. Tại thời điểm vận tốc của viên đạn bằng 0 thì viên đạn cách mặt đất bao nhiêu mét?
- A.
  1690m
- B.
  1069m
- C.
  1906m
- D.
  1960m
Vận tốc của viên đạn $v(t) = s_{0}(t) =196 - 9,8t$
Ta có:
$\begin{matrix}v(t) = 0 \hfill \\\Leftrightarrow 196 - 9,8t = 0 \hfill \\\Leftrightarrow t = 20 \hfill\\\end{matrix}$
Khi đó viên đạn cách mặt đất một khoảng là:
$h = s(20) = 196.20 - 4,9.20^{2} =1960m$
Vậy tại thời điểm vận tốc của viên đạn bằng 0 thì viên đạn cách mặt đất 1960m.
Câu 8: Vận dụng
Tìm nghiệm của phương trình

Cho hàm số $f(x)=x^{4}-4x^{2}+3$ và $g(x)=3+10x-7x^{2}$ . Nghiệm của phương trình $f''(x)+g'(x) =0$ là:
- A.
  $x=1;x=\frac{1}{6}$
- B.
  $x=-1;x=\frac{1}{6}$
- C.
  $x=-1;x=\frac{-1}{6}$
- D.
  $x=1;x=\frac{-1}{6}$
Ta có:
$\begin{matrix} f'\left( x ight) = 4{x^3} - 8x \hfill \\ \Rightarrow f''\left( x ight) = 12{x^2} - 8 \hfill \\ g'\left( x ight) = - 14x + 10 \hfill \\ \end{matrix}$
Xét phương trình:
$\begin{matrix} f''(x) + g'(x) = 0 \hfill \\ \Rightarrow 12{x^2} - 8 - 14x + 10 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow 12{x^2} - 14x + 2 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \\ {x = \dfrac{1}{6}} \end{array}\left( {tm} ight)} ight. \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 9: Nhận biết
Tính đạo hàm cấp hai tại một điểm

Cho $f(x) = (x + 10)^{6}$ . Tính $f''(2)$
- A.
  $622080$
- B.
  $512484$
- C.
  $615824$
- D.
  $596418$
Ta có:

$f(x) = (x + 10)^{6}$

$\Rightarrow f'(x) = 6.(x + 10)^{5}$

$\Rightarrow f''(x) = 6.5.(x + 10)^{4} = 30.(x + 10)^{4}$

$\Rightarrow f''(2) = 30.(2 + 10)^{4} = 622080$
Câu 10: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng

Vận tốc của một chất điểm chuyển động được biểu thị bởi công thức $v(t) = 8t + 3t^{2}$ , trong đó t > 0, t tính bằng giây và v(t) tính bằng mét/giây. Tìm gia tốc của chất điểm tại thời điểm mà vận tốc chuyển động là 11 mét/giây.
- A.
  $6m/s^{2}$
- B.
  $11m/s^{2}$
- C.
  $14m/s^{2}$
- D.
  $20m/s^{2}$
Ta có: $a(t) = v'(t) = 8 +6t$
Ta có:
$v(t) = 11$
$\Rightarrow 11 = 8t +3t^{2}$
$\Rightarrow t = 1(tm)$
Gia tốc của chất điểm là:
$a(1) = v'(1) = 8 + 6.1 = 14\left(m/s^{2} ight)$
Vậy gia tốc của chất điểm tại thời điểm mà vận tốc chuyển động là 11 m/s là $14m/s^{2}$
Câu 11: Thông hiểu
Viết phương trình tiếp tuyến

Cho hàm số $y = x^{3} - 3x^{2} + 1$ . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ $x_{0}$ thỏa mãn $f''\left( x_{0} ight) = 0$ là:
- A.
  $3x + y + 2 = 0$
- B.
  $3x + y - 2 = 0$
- C.
  $x + 3y - 2 = 0$
- D.
  $- 3x + y + 2 = 0$
Ta có:

$y = x^{3} - 3x^{2} + 1$

$\Rightarrow f'(x) = 3x^{2} - 6x \Rightarrow f''(x) = 6x - 6$

$\Rightarrow f''(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1$

Khi đó $f'(1) = 3 \Rightarrow M(1; - 1)$

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $M(1; - 1)$ là: $y = f'(1)(x - 1) + f(1)$

$\Rightarrow y = - 3(x - 1) - 1 \Rightarrow 3x + y - 2 = 0$
Câu 12: Vận dụng cao
Tính thời điểm vận tốc đạt giá trị lớn nhất

Một vật chuyển động theo quy luật $S =10t^{2} - \frac{1}{3}t^{3}$ , với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và S (m) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 15 giây, kể từ khi vật bắt đầu chuyển động, vận tốc v (m/s) của vật đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm t (s) bằng:
- A.
  $8(s)$
- B.
  $20(s)$
- C.
  $10(s)$
- D.
  $15(s)$
Ta có vận tốc v của vật tại thời điểm t được tính theo công thức $v(t) = S'(t) = - t^{2} + 20t$ . Bảng biến thiên của hàm v = v(t) trên (0; 15):
Vậy vận tốc của vật đạt GTLN tại thời điểm t = 10 (s)
Câu 13: Thông hiểu
Tính đạo hàm của hàm số tại x = 0

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{3 - \sqrt{4 - x}}{4}\ \ \ \ khi\ x eq 0 \\\dfrac{1}{4}\ \ \ \ khi\ x = 0 \\\end{matrix} ight.$ . Tính $f'(0)$ ?
- A.
  $f'(0) =\frac{1}{4}$
- B.
  $f'(0) =\frac{1}{16}$
- C.
  $f'(0) =\frac{1}{32}$
- D.
  $f'(0) =\frac{1}{3}$
Ta có:
$\lim_{x ightarrow 0}\frac{f(x) -f(0)}{x - 0}$
$= \lim_{x ightarrow 0}\dfrac{\dfrac{3 -\sqrt{4 - x}}{4} - \dfrac{1}{4}}{x}$
$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{2 -\sqrt{4 - x}}{4x}$
$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{\left( 2 -\sqrt{4 - x} ight)\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)}{4x\left( 2 +\sqrt{4 - x} ight)}$
$= \lim_{x ightarrow0}\frac{x}{4x\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)}$
$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{1}{4\left(2 + \sqrt{4 - x} ight)} = \frac{1}{16}$
Câu 14: Thông hiểu
Tính đạo hàm

Tính đạo hàm của hàm số: $y = \sqrt {{x^2} - 4{x^3}}$
- A. $y'=\frac{{x - 6{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} - 4{x^3}} }}$
- B. $y'=\frac{1}{{2\sqrt {{x^2} - 4{x^3}} }}$
- C. $y'=\frac{{x - 12{x^2}}}{{2\sqrt {{x^2} - 4{x^3}} }}$
- D. $\frac{{x - 6{x^2}}}{{2\sqrt {{x^2} - 4{x^3}} }}$
Ta có:
$\begin{matrix} y' = \left( {\sqrt {{x^2} - 4{x^3}} } ight)\prime \hfill \\ = \dfrac{{\left( {{x^2} - 4{x^3}} ight)'}}{{2\sqrt {{x^2} - 4{x^3}} }} \hfill \\ = \dfrac{{2x - 12{x^2}}}{{2\sqrt {{x^2} - 4{x^3}} }} \hfill \\ = \dfrac{{x - 6{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} - 4{x^3}} }} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 15: Nhận biết
Tính đạo hàm cấp hai của hàm số

Tại điểm $x_{0} = 1$ , giá trị đạo hàm cấp hai của hàm số $y = x^{3} + 2x$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $f''(1) = 6$
- B.
  $f''(1) = 8$
- C.
  $f''(1) = 3$
- D.
  $f''(1) = 2$
Ta có: $y = x^{3} + 2x$

$\Rightarrow y'(x) = 3x^{2} + 2$

$\Rightarrow y''(x) = 6x \Rightarrow y''(1) = 6.1 = 6$
Câu 16: Nhận biết
Chọn mệnh đề sai

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm tại x₀ là $f'(x)$ . Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  $f'\left( x_{0} ight) = \lim_{xightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} ight)}{x -x_{0}}$
- B.
  $f'\left( x_{0} ight) =\lim_{\Delta x ightarrow 0}\frac{f\left( x_{0} + \Delta x ight) -f\left( x_{0} ight)}{\Delta x}$
- C.
  $f'\left( x_{0} ight) = \lim_{hightarrow 0}\frac{f\left( x_{0} + h ight) - f\left( x_{0}ight)}{h}$
- D.
  $f'\left( x_{0} ight) = \lim_{xightarrow x_{0}}\frac{f\left( x + x_{0} ight) - f\left( x_{0}ight)}{x - x_{0}}$
Từ định nghĩa ta rút ra kết luận:
Đáp án sai là: $f'\left( x_{0} ight)= \lim_{x ightarrow x_{0}}\frac{f\left( x + x_{0} ight) - f\left(x_{0} ight)}{x - x_{0}}$
Đáp án $f'\left( x_{0} ight) =\lim_{x ightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} ight)}{x -x_{0}}$ đúng theo định nghĩa
Đáp án $f'\left( x_{0} ight) =\lim_{\Delta x ightarrow 0}\frac{f\left( x_{0} + \Delta x ight) -f\left( x_{0} ight)}{\Delta x}$ đúng vì
Đặt $x = x_{0} + h$ => $\left\{ \begin{matrix}x - x_{0} = h \\x ightarrow x_{0} \Rightarrow h ightarrow 0 \\\end{matrix} ight.$
Đáp án $f'\left( x_{0} ight) =\lim_{h ightarrow 0}\frac{f\left( x_{0} + h ight) - f\left( x_{0}ight)}{h}$ đúng vì
Đặt $x = x_{0} + \Delta x$ => $\left\{ \begin{matrix}x - x_{0} = \Delta x \\x ightarrow x_{0} \Rightarrow \Delta x ightarrow 0 \\\end{matrix} ight.$
Câu 17: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Tính đạo hàm cấp hai của hàm số $y = f(x) = x^{3}$ tạo điểm $x = 1$ ?
- A.
  $3$
- B.
  $6$
- C.
  $2$
- D.
  $1$
Ta có: $y = f(x) = x^{3}$

$\Rightarrow f'(x) = 3x^{2}$

$\Rightarrow f''(x) = 3.2x = 6x$

$\Rightarrow f''(1) = 3.2.1 = 6$
Câu 18: Thông hiểu
Chọn hệ thức đúng

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định bởi công thức $f(x) =\sin2x$ . Chọn hệ thức đúng?
- A.
  $y'' + (y')^{2} = 4$
- B.
  $y = y'.\tan2x$
- C.
  $4y - y'' = 0$
- D.
  $4y + y'' = 0$
Ta có:

$y' = 2.\cos2x \Rightarrow y''= - 4.\sin2x$

$\Rightarrow 4y + y'' = 4.\sin2x -4.\sin2x = 0$
Câu 19: Vận dụng
Tính giá trị của b

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \leq 2 \\ - \frac{x^{2}}{2} + bx - 6\ khi\ x > 2 \end{matrix} \right.$ . Để hàm số này có đạo hàm tại $x = 2$ thì giá trị của b là
- A.
  $b = 3$ .
- B.
  $b = 6$ .
- C.
  $b = 1$ .
- D.
  $b = - 6$ .
Ta có: $f(2) = 4$ , $\lim_{x \rightarrow 2^{-}}f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^{-}}x^{2} = 4$ , $\lim_{x \rightarrow 2^{-}}f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^{-}}\left( - \frac{x^{2}}{2} + bx - 6 \right) = 2b - 8$ .

$f(x)$ có đạo hàm tại $x = 2$ khi và chỉ khi $f(x)$ liên tục tại $x = 2$

$\Leftrightarrow \lim_{x \rightarrow 2^{-}}f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^{-}}f(x) = f(2)$

$\Leftrightarrow 2b - 8 = 4 \Leftrightarrow b = 6$ .
Câu 20: Vận dụng
Tính cường độ dòng điện tại thời điểm t

Cho biết điện lượng truyền trong dây dẫn theo thời gian biểu thị bởi hàm số $Q(t)=2t^{2}+t$ , trong đó t tính bằng giây (s) và Q được tính theo culông (C). Tính cường độ dòng điện tại thời điểm t = 4s.
- A.
  13
- B.
  16
- C.
  36
- D.
  17
Ta có:
Cường độ dòng điện tại thời điểm t = 4s là:
$\begin{matrix} I = Q'\left( t ight) = \mathop {\lim }\limits_{t \to 4} \dfrac{{Q\left( t ight) - Q\left( 4 ight)}}{{t - 4}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{t \to 4} \dfrac{{\left( {2{t^2} + t} ight) - \left( {{{2.4}^2} + 4} ight)}}{{t - 4}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{t \to 4} \dfrac{{2{t^2} + t - 36}}{{t - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 4} \dfrac{{\left( {t - 4} ight)\left( {2t + 9} ight)}}{{t - 4}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{t \to 4} \left( {2t + 9} ight) = 2.4 + 9 = 17 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 21: Vận dụng cao
Chọn kết quả chính xác

Cho hàm số $y = \left( \sin x \right)^{\sqrt{\cos x}}$ . Kết quả nào dưới đây đúng?
- A.
  $y'\left( \frac{\pi}{4} \right) = e^{- \frac{1}{2\sqrt[4]{2}}ln2}\left( \frac{1}{\sqrt[4]{2}} + \frac{1}{4\sqrt[4]{2}}ln2 \right)$ .
- B.
  $y'\left( \frac{\pi}{4} \right) = e^{\frac{1}{2\sqrt[4]{2}}ln2}\left( \frac{1}{\sqrt[4]{2}} + \frac{1}{4\sqrt[4]{2}}ln2 \right)$ .
- C.
  $y'\left( \frac{\pi}{4} \right) = e^{- \frac{1}{2\sqrt{2}}ln2}\left( \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2\sqrt{2}}ln2 \right)$ .
- D.
  $y'\left( \frac{\pi}{4} \right) = e^{\frac{1}{2\sqrt{2}}}\left( \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{2\sqrt{2}}ln2 \right)$ .
Logarit Nepe hai vế của hàm số $y = \left( \sin x \right)^{\sqrt{\cos x}},$ ta có:

$\ln y = \ln\left( \left( \sin x \right)^{\sqrt{\cos x}} \right) = \sqrt{\cos x}.ln\left( \sin x \right)$ .

Tiếp tục đạo hàm hai vế, ta được:

$\left( \ln y \right)' = \left( \sqrt{\cos x}.ln\left( \sin x \right) \right)'$

$\Leftrightarrow \frac{y'}{y} = \frac{- \sin x}{2\sqrt{\cos x}}.ln\left( \sin x \right) + \sqrt{\cos x}.\frac{\cos x}{\sin x}$ .

Suy ra $y' = \left( \sin x \right)^{\sqrt{\cos x}}\left( \frac{\cos x\sqrt{\cos x}}{\sin x} - \frac{\sin x.ln\left( \sin x \right)}{2\sqrt{\cos x}} \right)$ .

Khi đó:

$y^{'\left( \frac{\pi}{4} \right)} = \left\lbrack \sin\left( \frac{\pi}{4} \right) \right\rbrack^{\sqrt{\cos\frac{\pi}{4}}}.\left( \frac{\cos\left( \frac{\pi}{4} \right).\sqrt{\cos\left( \frac{\pi}{4} \right)}}{\sin\left( \frac{\pi}{4} \right)} - \frac{\sin\left( \frac{\pi}{4} \right).ln\left( \sin\left( \frac{\pi}{4} \right) \right)}{2\sqrt{\cos\left( \frac{\pi}{4} \right)}} \right)$

$= \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^{\frac{1}{\sqrt[4]{2}}}.\left( \frac{1}{\sqrt[4]{2}} - \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}.ln\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}{2.\frac{1}{\sqrt[4]{2}}} \right)$ $= e^{- \frac{1}{2\sqrt[4]{2}}ln2}\left( \frac{1}{\sqrt[4]{2}} + \frac{ln2}{4\sqrt[4]{2}} \right)$ .
Câu 22: Thông hiểu
Tính f''(x)

Tính đạo hàm cấp hai tại điểm $x_{0} = - 1$ của hàm số $f(x) = \frac{1}{2x - 1}$ ?
- A.
  $- \frac{8}{27}$
- B.
  $\frac{2}{9}$
- C.
  $\frac{- 4}{27}$
- D.
  $\frac{- 2}{9}$
Tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{1}{2} ight\}$

Ta có:

$f(x) = \frac{1}{2x - 1} \Rightarrow f'(x) = \frac{- 2}{(2x - 1)^{2}}$

$\Rightarrow f''(x) = \frac{8}{(2x - 1)^{3}}$

$\Rightarrow f''( - 1) = \frac{8}{\left\lbrack 2.( - 1) - 1 ightbrack^{3}} = - \frac{8}{27}$
Câu 23: Thông hiểu
Giải phương trình

Cho hàm số $y = f(x) = \frac{2x + 1}{1 - x}$ . Giải phương trình $f'(x) + f''(x) = 0$ .
- A.
  $x = - 5$
- B.
  $x = 3$
- C.
  $x = 0$
- D.
  $x = - 2$
Tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 1 ight\}$

Ta có:

$y = f(x) = \frac{2x + 1}{1 - x}$

$\Rightarrow f'(x) = \frac{3}{(x - 1)^{2}} \Rightarrow f''(x) = - \frac{6}{(x - 1)^{3}}$

Lại có:

$f'(x) + f''(x) = 0$

$\Leftrightarrow \frac{3}{(x - 1)^{2}} - \frac{6}{(x - 1)^{3}} = 0$

$\Leftrightarrow \frac{2}{x - 1} = 1 \Leftrightarrow x = 3(tm)$
Câu 24: Vận dụng cao

Tính giá trị biểu thức

Cho hai hàm số $f(x);g(x)$ đều có đạo hàm trên tập số thực và thỏa mãn:

$f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) + x^{2}.g(x) + 36x = 0$

với $\forall x\mathbb{\in R}$ . Giá trị biểu thức $M = 3f(2) + 4f'(2)$ = 10

Đáp án là:

Cho hai hàm số $f(x);g(x)$ đều có đạo hàm trên tập số thực và thỏa mãn:

$f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) + x^{2}.g(x) + 36x = 0$

với $\forall x\mathbb{\in R}$ . Giá trị biểu thức $M = 3f(2) + 4f'(2)$ = 10

Với $\forall x\mathbb{\in R}$ ta có: $f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) + x^{2}.g(x) + 36x = 0\ \ \ (1)$

Đạo hàm hai vế của (1) ta được:

$- 3f^{2}(2 - x).f'(2 - x) - 12f(2 + 3x).f'(2 + 3x)$

$+ 2x.g(x) + x^{2}.g'(x) + 36x = 0\ \ \ (2)$

Từ (1) và (2) thay x = 0 ta có:

$\left\{ \begin{matrix} f^{2}(2) - 2f^{2}(2) = 0\ \ \ (3) \\ - 3f^{2}(2).f'(2) - 12f(2).f'(2) + 36 = 0\ \ \ (4) \\ \end{matrix} ight.$

Từ (3) ta có: $\left\lbrack \begin{matrix} f(2) = 0 \\ f(2) = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Với $f(2) = 0$ thay vào (4) ta được 36 = 0

Với $f(2) = 2$ thay vào (4) ta được $- 36f'(2) + 36 = 0 \Rightarrow f'(2) = 1$

Vậy $M = 3f(2) + 4f'(2) = 3.2 + 4.1 = 10$
Câu 25: Thông hiểu
Tìm x sao cho y" = 20

Cho hàm số $y=\frac{3x-4}{x+2}$ . Tìm x sao cho y" = 20
- A.
  x = 3
- B.
  x = -3
- C.
  x = 1
- D.
  x = -1
Ta có:
$\begin{matrix} y = \dfrac{{3x - 4}}{{x + 2}} \hfill \\ \Rightarrow y' = \dfrac{{3\left( {x + 2} ight) - \left( {3x - 4} ight)}}{{{{\left( {x + 2} ight)}^2}}} = \dfrac{{10}}{{{{\left( {x + 2} ight)}^2}}} \hfill \\ \Rightarrow y'' = \dfrac{{ - 10.2.\left( {x + 2} ight)}}{{{{\left( {x + 2} ight)}^4}}} = \dfrac{{ - 20}}{{{{\left( {x + 2} ight)}^3}}} \hfill \\ \end{matrix}$
Xét phương trình ta có:
$\begin{matrix} y'' = 20,(xe-2) \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 20}}{{{{\left( {x + 2} ight)}^3}}} = 20 \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {x + 2} ight)^3} = - 1 \hfill \\ \Leftrightarrow x = - 3 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 26: Nhận biết
Tính đạo hàm tại một điểm

Cho $f(x) = \sin x + \cos x$ . Khi đó $f'\left( \frac{\pi}{6} ight)$ bằng:
- A.
  $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$
- B.
  $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$
- C.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$
- D.
  $\frac{1}{2}$
Ta có:

$f(x) = \sin x + \cos x$

$\Rightarrow f'(x) = \cos x - \sin x$

$\Rightarrow f'\left( \frac{\pi}{6} ight) = \cos\frac{\pi}{6} - \sin\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$
Câu 27: Nhận biết
Xác định đạo hàm của hàm số

Tính đạo hàm của hàm số $y = \log(2x - 1)$ trên khoảng $\left( \frac{1}{2}; + \infty ight)$ ?
- A.
  $y' = \frac{1}{(2x -1)\ln10}$
- B.
  $y' = \frac{2}{(2x -1)\ln10}$
- C.
  $y' = \frac{2}{2x - 1}$
- D.
  $y' = \frac{1}{2x - 1}$
Trên khoảng $\left( \frac{1}{2}; + \infty ight)$ ta có:

$y = \log(2x - 1) \Rightarrow y' =\frac{(2x - 1)'}{(2x - 1)\ln10}$

$\Rightarrow y' = \frac{2}{(2x -1)\ln10}$
Câu 28: Nhận biết
Xác định công thức đạo hàm

Đạo hàm của hàm số $y = f(x) = \frac{1}{2}x^{4} + \frac{5}{3}x^{3} - \sqrt{2x} + m^{2}$ (với $m = const$ ) là:
- A.
  $2x^{3} + 5x^{2} - \frac{1}{\sqrt{2x}} + 2m$
- B.
  $2x^{3} + 5x^{2} + \frac{1}{2\sqrt{2x}}$
- C.
  $2x^{3} + 5x^{2} - \frac{1}{\sqrt{2x}}$
- D.
  $2x^{3} + 5x^{2} - \sqrt{2}$
Ta có:

$y = f(x) = \frac{1}{2}x^{4} + \frac{5}{3}x^{3} - \sqrt{2x} + m^{2}$

$\Rightarrow f'(x) = \frac{1}{2}.4x^{3} + \frac{5}{3}.3x^{2} - \frac{1}{\sqrt{2x}} + 0$

$\Rightarrow f'(x) = 2x^{3} + 5x^{2} - \frac{1}{\sqrt{2x}}$
Câu 29: Thông hiểu
Tính đạo hàm của hàm số

Tính đạo hàm của hàm số $y = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos x}}}$ với $x \in (0;\pi)$ ?
- A.
  $y' = - \frac{1}{8}\cos\frac{x}{8}$
- B.
  $y' = \frac{1}{8}\sin\frac{x}{8}$
- C.
  $y' = \frac{1}{8}\cos\frac{x}{8}$
- D.
  $y' = - \frac{1}{8}\sin\frac{x}{8}$
Ta có:

$y = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos x}}}$

$= \sqrt{\frac{1}{2} +\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2} +\frac{1}{2}\sqrt{\cos^{2}\frac{x}{2}}}}$

$= \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos\frac{x}{2}}}$

$= \sqrt{\frac{1}{2} +\frac{1}{2}\sqrt{\cos^{2}\frac{x}{4}}}$

$= \sqrt{\frac{1}{2} +\frac{1}{2}\cos\frac{x}{4}} = \sqrt{\cos^{2}\frac{x}{8}} =\cos\frac{x}{8}$

$\Rightarrow y' = \left( \cos\frac{x}{8} ight)' = - \frac{1}{8}\sin\frac{x}{8}$
Câu 30: Thông hiểu

Điền kết quả vào ô trống

Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động là $S(t) = t^{3} - 3t^{2} + 5t + 7;(t > 0)$ ; trong đó $t$ tính bằng giây và $S$ được tính bằng mét. Tại thời điểm vận tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất thì quãng đường vật đi được bằng bao nhiêu?

Kết quả: 10(m)

Đáp án là:

Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động là $S(t) = t^{3} - 3t^{2} + 5t + 7;(t > 0)$ ; trong đó $t$ tính bằng giây và $S$ được tính bằng mét. Tại thời điểm vận tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất thì quãng đường vật đi được bằng bao nhiêu?

Kết quả: 10(m)

Vận tốc của chuyển động là $v(t) = S'(t) = 3t^{2} - 6t + 5$

Dễ thấy $v(t) = 3t^{2} - 6t + 5 = 3(t - 1)^{2} + 2 \geq 2$ với mọi t.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $t = 1$

Khi đó quãng đường vật đi được là: $S(1) = 1^{3} - 3.1^{2} + 5.1 + 7 = 10m$
Câu 31: Nhận biết
Chọn phát biểu đúng

Phát biểu nào trong các phát biểu sau là đúng?
- A.
  Nếu hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trái tại x₀ thì nó liên tục tại điểm đó.
- B.
  Nếu hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm phải tại x₀ thì nó liên tục tại điểm đó.
- C.
  Nếu hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm tại x₀ thì nó liên tục tại điểm −x₀.
- D.
  Nếu hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm tại x₀ thì nó liên tục tại điểm đó.
Dựa theo định lí:
Nếu hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm tại x₀ thì nó liên tục tại điểm đó.
=> Phát biểu đúng là: “Nếu hàm số $y =f(x)$ có đạo hàm tại x₀ thì nó liên tục tại điểm đó.”
Câu 32: Thông hiểu
Tính đạo hàm

Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\dfrac{{3 - \sqrt {4 - x} }}{4}}&{{\text{ khi }}x e 0} \\ {\dfrac{1}{4}}&{{\text{ khi }}x = 0} \end{array}} ight.$ . Tính $f'(0)$
- A.
  $f'(0)=\frac{1}{4}$
- B.
  $f'(0)=\frac{1}{16}$
- C.
  $f'(0)=\frac{1}{32}$
- D.
  Không tồn tại.
Ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x ight) - f\left( 0 ight)}}{{x - 0}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{3 - \sqrt {4 - x} }}{4} - \dfrac{1}{4}}}{x} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2 - \sqrt {4 - x} }}{{4x}} \hfill \\ \end{matrix}$
$\begin{matrix} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left( {2 - \sqrt {4 - x} } ight)\left( {2 + \sqrt {4 - x} } ight)}}{{4x\left( {2 + \sqrt {4 - x} } ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{{4x\left( {2 + \sqrt {4 - x} } ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{4\left( {2 + \sqrt {4 - x} } ight)}} = \dfrac{1}{{16}} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 33: Thông hiểu
Tính đạo hàm của hàm số lượng giác

Tính đạo hàm của hàm số $y = \cos \sqrt {2x + 1}$
- A.
  $y' = - \frac{{\sin \sqrt {2x + 1} }}{{\sqrt {2x + 1} }}$
- B.
  $y' = \frac{{\sin \sqrt {2x + 1} }}{{\sqrt {2x + 1} }}$
- C.
  $y' = - \sin \sqrt {2x + 1}$
- D.
  $y' = - \frac{{\sin \sqrt {2x + 1} }}{{2\sqrt {2x + 1} }}$
Ta có:
$\begin{matrix} y = \cos \sqrt {2x + 1} \hfill \\ \Rightarrow y' = - \left( {\sqrt {2x + 1} } ight)'.\sin \sqrt {2x + 1} \hfill \\ = - \dfrac{2}{{2\sqrt {2x + 1} }}.\sin \sqrt {2x + 1} \hfill \\ = - \dfrac{{\sin \sqrt {2x + 1} }}{{\sqrt {2x + 1} }} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 34: Vận dụng
Tính đạo hàm của hàm số tại x = 0

Cho hàm số $f(x) = \frac{x}{(x - 1)(x -2)....(x - 2019)}$ . Tính giá trị của f’(0)
- A.
  $\frac{1}{2019!}$
- B.
  $- \frac{1}{2019!}$
- C.
  $- 2019!$
- D.
  $2019!$
Ta có:
$f'(0) = \lim_{x ightarrow0}\frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$
$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{1}{(x -1)(x - 2)....(x - 2019)}$
$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{1}{( -1).( - 2)....( - 2019)} = \frac{- 1}{2019!}$
Câu 35: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức M

Biết rằng $\left( \frac{x^{4}}{4} + x^{3} - \frac{x^{2}}{2} + x - 2019 ight)'' = ax^{2} + bx + c$ . Tính giá trị biểu thức $M = a + b + c$ ?
- A.
  $M = 10$
- B.
  $M = - 1$
- C.
  $M = 8$
- D.
  $M = - 6$
Ta có:

$\left( \frac{x^{4}}{4} + x^{3} - \frac{x^{2}}{2} + x - 2019 ight)' = x^{3} + 3x^{2} - x + 1$

$\Rightarrow \left( \frac{x^{4}}{4} + x^{3} - \frac{x^{2}}{2} + x - 2019 ight)'' = \left( x^{3} + 3x^{2} - x + 1 ight)'$

$= 3x^{2} + 6x - 1 \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 3 \\ b = 6 \\ c = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M = 8$
Câu 36: Nhận biết
Chọn đáp án chính xác

Tính đạo hàm hàm số $y = x^{2} - \frac{1}{x}$ ?
- A.
  $y' = 2x - \frac{1}{x^{2}}$
- B.
  $y' = x - \frac{1}{x^{2}}$
- C.
  $y' = x + \frac{1}{x^{2}}$
- D. $y' = 2x + \frac{1}{x^{2}}$
Ta có:

$y = x^{2} - \frac{1}{x} \Rightarrow y' = \left( x^{2} - \frac{1}{x} ight)'$

$\Rightarrow y' = \left( x^{2} ight)' - \left( \frac{1}{x} ight)'$

$\Rightarrow y' = 2x - \left( - \frac{1}{x^{2}} ight) = 2x + \frac{1}{x^{2}}$
Câu 37: Thông hiểu
Tính đạo hàm của hàm số

Xác định đạo hàm của hàm số $y = \left( 2 - \sqrt{3} ight)^{x}$ trên tập số thực.
- A.
  $y' = \left( 2 + \sqrt{3}ight)^{- x}.\ln\left( 2 - \sqrt{3} ight)$
- B.
  $y' = \left( 2 + \sqrt{3}ight)^{- x}.\ln\left( 2 + \sqrt{3} ight)$
- C.
  $y' = \left( 2 + \sqrt{3}ight)^{x}.\ln\left( 2 - \sqrt{3} ight)$
- D.
  $y' = \left( 2 - \sqrt{3}ight)^{x}.\ln\left( 2 + \sqrt{3} ight)$
Ta có: $\left( a^{x} ight)' =a^{x}.\ln a;(a > 0;a eq 1)$

$y = \left( 2 - \sqrt{3} ight)^{x}\Rightarrow y' = \left( 2 - \sqrt{3} ight)^{x}.\ln\left( 2 -\sqrt{3} ight)$

$\Rightarrow y' = \frac{1}{\left( 2 +\sqrt{3} ight)^{x}}.\ln\left( 2 - \sqrt{3} ight)$

$\Rightarrow y' = \left( 2 + \sqrt{3}ight)^{- x}.\ln\left( 2 - \sqrt{3} ight)$
Câu 38: Thông hiểu

Phân tích sự đúng sai của các khẳng định

Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

a) Số gia của hàm số $f(x) = x^{2}$ ứng với $x_{0} = 2;\Delta x = 1$ bằng $5$ . Đúng||Sai

b) Cho hàm số $f(x) = \frac{1}{x^{2} - 2x + 5}$ . Giá trị $f'(1) = 0$ Đúng||Sai

c) Đạo hàm của hàm số $y = \left( x^{3} - 5 ight)\sqrt{x}$ trên khoảng $(0; + \infty)$ bằng biểu thức $\frac{7}{2}\sqrt{x^{5}} + \frac{5}{2\sqrt{x}}$ Sai||Đúng

d) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^{4} + x$ vuông góc với $y = - \frac{1}{5}x + 2$ là $y = 5x + 2$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

a) Số gia của hàm số $f(x) = x^{2}$ ứng với $x_{0} = 2;\Delta x = 1$ bằng $5$ . Đúng||Sai

b) Cho hàm số $f(x) = \frac{1}{x^{2} - 2x + 5}$ . Giá trị $f'(1) = 0$ Đúng||Sai

c) Đạo hàm của hàm số $y = \left( x^{3} - 5 ight)\sqrt{x}$ trên khoảng $(0; + \infty)$ bằng biểu thức $\frac{7}{2}\sqrt{x^{5}} + \frac{5}{2\sqrt{x}}$ Sai||Đúng

d) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^{4} + x$ vuông góc với $y = - \frac{1}{5}x + 2$ là $y = 5x + 2$ . Sai||Đúng

a) Ta có: $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) = (x + \Delta x)^{2} - x^{2}$

$= x^{2} + 2x\Delta x + (\Delta x)^{2} - x^{2} = 2x\Delta x + (\Delta x)^{2}(*)$

Thay $x_{0} = 2;\Delta x = 1$ vào (*) ta được:

$\Delta y = 2.2.1 + 1^{2} = 5$

b) Ta có $f(x) = \frac{1}{x^{2} - 2x + 5}$

$\Rightarrow f'(x) = - \frac{2x - 2}{\left( x^{2} - 2x + 5 ight)^{2}} \Rightarrow f'(1) = 0$

c) Ta có:

$y = \left( x^{3} - 5 ight)\sqrt{x}$

$\Rightarrow y' = \left( x^{3} - 5 ight)'\sqrt{x} + \left( x^{3} - 5 ight).\left( \sqrt{x} ight)'$

$= 3x^{2}\sqrt{x} + \left( x^{3} - 5 ight).\frac{1}{2\sqrt{x}}$

$= \frac{7}{2}\sqrt{x^{5}} - \frac{5}{2\sqrt{x}}$

d) Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k. Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $y = - \frac{1}{5}x + 2$ nên ta có: $k.\left( - \frac{1}{5} ight) = - 1 \Rightarrow k = 5$

Gọi $M\left( x_{0};y_{0} ight)$ là tiếp điểm khi đó ta có: $y'\left( x_{0} ight) = 5$

Mặt khác $y' = 4x^{3} + 1 \Rightarrow y'\left( x_{0} ight) = 5 \Rightarrow x_{0} = 1 \Rightarrow y_{0} = 2$

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: $y = 5(x - 1) + 2 = 5x - 3$
Câu 39: Vận dụng
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Cho hàm số $y = x^{3} - 3x^{2} +2$ . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết cosin góc tạo bởi tiếp tuyến và đường thẳng ∆: 4x − 3y = 0 bằng $\frac{3}{5}$ .
- A.
  $\left\lbrack \begin{matrix}y = 2 \\y = 1 \\\end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\lbrack \begin{matrix}y = - 2 \\y = 1 \\\end{matrix} ight.$
- C.
  $\left\lbrack \begin{matrix}y = - 2 \\y = - 1 \\\end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\lbrack \begin{matrix}y = 2 \\y = - 2 \\\end{matrix} ight.$
Gọi M(x₀; y₀) là tọa độ tiếp điểm
Ta tính được: $k = y'\left( x_{0}ight) = 3{x_{0}}^{2} - 6x_{0}$
Suy ra phương trình tiếp tuyến d có dạng $y + y_{0} = k\left( x - x_{0} ight)$
=> Tiếp tuyến d có một vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{d}} = ( - k;1)$
Đường thẳng $\Delta$ có một vecto pháp tuyến là: $\overrightarrow{n_{\Delta}} =(4; - 3)$
Theo đề bài ta có:
$\cos(d;\Delta) = \frac{| - 4k -3|}{\sqrt{k^{2} + 1}.\sqrt{16 + 9}} = \frac{3}{5}$
$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}k = 0 \\k = - \dfrac{24}{7} \\\end{matrix} ight.$
Với $k = - \frac{24}{7}$ ta có: $3{x_{0}}^{2} - 6x_{0} = -\frac{24}{7}$ (vô nghiệm)
Với $k = 0$ ta có: $3{x_{0}}^{2} - 6x_{0} = 0 \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix}x_{0} = 0 \\x_{0} = 2 \\\end{matrix} ight.$
Nếu $x_{0} = 0 \Rightarrow y_{0} =2$ => Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y – 2 = 0 => y = 2
Nếu $x_{0} = 2 \Rightarrow y_{0} = -2$ => Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y + 2 = 0 => y = -2
Câu 40: Nhận biết
Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số

Với $x\mathbb{\in R}$ , đạo hàm cấp hai của hàm số $y = x^{6} - 4x^{3} + 2x + 2022$ là:
- A.
  $y'' = 30x^{4} - 24x + 2$
- B.
  $y'' = 30x^{4} - 24x$
- C.
  $y'' = 6x^{5} - 12x^{2} + 2$
- D.
  $y'' = 6x^{5} - 12x^{2}$
Ta có: $y = x^{6} - 4x^{3} + 2x + 2022$

$\Rightarrow y' = 6x^{5} - 12x^{2} + 2$

$\Rightarrow y'' = 30x^{4} - 24x$

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Chân trời sáng tạo Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

20 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Chân trời sáng tạo

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 Chân trời sáng tạo
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân
Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số ghép số liệu nhóm
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Đạo hàm
Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 9: Xác suất

Lớp 11
Khóa học Lớp 11
Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4 Đề 2
Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 4
Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4
Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 6
Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 7
Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 5

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Chân trời sáng tạo

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4 Đề 2

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 4

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 6

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 7

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 5