VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Chân trời sáng tạo

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 CTST Chương 7: Đạo hàm nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Nhận biết
Tìm khẳng định đúng

Cho hàm số $y = \log x$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $y' = \frac{ln10}{x}$
- B.
  $y' =\frac{1}{x\ln10}$
- C.
  $y' =\frac{1}{10\ln x}$
- D.
  $y' = \frac{1}{x}$
Ta có: $\left( \log_{a}x ight)' =\frac{1}{x\ln a}$

$\Rightarrow y' =\frac{1}{x\ln10}$
Câu 2: Vận dụng cao
Tìm điểm cố định đường thẳng luôn đi qua

Gọi $M$ , $N$ là hai điểm di động trên đồ thị $(C)$ của hàm số $y = - x^{3} + 3x^{2} - x + 4$ sao cho tiếp tuyến của $(C)$ tại $M$ và $N$ luôn song song với nhau. Khi đó đường thẳng $MN$ luôn đi qua điểm cố định nào dưới đây?
- A.
  $( - 1;5)$ .
- B.
  $(1; - 5)$ .
- C.
  $( - 1; - 5)$ .
- D.
  $(1;5)$ .
Gọi tọa độ điểm $M$ , $N$ lần lượt là $M\left( x_{1};y_{1} \right),\ N\left( x_{2};y_{2} \right)$ .

Hệ số góc tiếp tuyến của $(C)$ tại $M$ và $N$ lần lượt là:

$k_{1} = y'\left( x_{1} \right) = - 3{x_{1}}^{2} + 6x_{1} - 1$

$k_{2} = y'\left( x_{2} \right) = - 3{x_{2}}^{2} + 6x_{2} - 1$

Để tiếp tuyến của $(C)$ tại $M$ và $N$ luôn song song với nhau điều kiện là:

$\left\{ \begin{matrix} k_{1} = k_{2} \\ x_{1} \neq x_{2} \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left( x_{1} - x_{2} \right)\left\lbrack - 3\left( x_{1} + x_{2} \right) + 6 \right\rbrack = 0 \\ x_{1} \neq x_{2} \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow x_{1} + x_{2} = 2$ .

Ta có:

$y_{1} + y_{2} = - \left( x_{1} +x_{2} \right)\left\lbrack \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 3x_{1}x_{2}\right\rbrack$ $+ 3\left\lbrack \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} -2x_{1}x_{2} \right\rbrack - \left( x_{1} + x_{2} \right) +8$

Do $x_{1} + x_{2} = 2$ nên $y_{1} + y_{2} = - 2\left( 4 - 3x_{1}x_{2} \right) + 3\left( 4 - 2x_{1}x_{2} \right) + 8 = 10$ .

Trung điểm của đoạn $MN$ là $I(1;5)$ .

Vậy đường thẳng $MN$ luôn đi qua điểm cố định $I(1;5)$ .
Câu 3: Thông hiểu

Điền đáp án vào ô trống

Một chất điểm chuyển động được biểu diễn bởi phương trình $S(t) = \frac{1}{4}t^{4} - \frac{7}{2}t^{2} - 6t + 10,(t > 0)$ , $t$ tính bằng giây, $S(t)$ tính bằng mét. Tại thời điểm vận tốc triệt tiêu thì gia tốc của chất điểm bằng bao nhiêu?

Kết quả: 20 (m/s²)

Đáp án là:

Một chất điểm chuyển động được biểu diễn bởi phương trình $S(t) = \frac{1}{4}t^{4} - \frac{7}{2}t^{2} - 6t + 10,(t > 0)$ , $t$ tính bằng giây, $S(t)$ tính bằng mét. Tại thời điểm vận tốc triệt tiêu thì gia tốc của chất điểm bằng bao nhiêu?

Kết quả: 20 (m/s²)

Vận tốc tức thời là

$v(t) = s'(t) = t^{3} - 7t - 6$

Gia tốc tức thời của chất điểm là:

$a(t) = v'(t) = 3t^{2} - 7$

Khi vận tốc bị triệt tiêu nghĩa là $v(t) = 0 \Leftrightarrow t^{3} - 7t - 6 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 3(tm) \\ t = - 1(ktm) \\ t = - 2(ltm) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy tại thời điểm vận tốc triệt tiêu t = 3 thì gia tốc của chất điểm bằng:

$a(3) = 3.(3)^{2} - 7 = 20\left( m/s^{2} ight)$
Câu 4: Thông hiểu

Ghi đáp án đúng vào ô trống

Một vật chuyển động theo quy luật $s = s(t) = \frac{1}{3}t^{3} - \frac{3}{2}t^{2} + 10t + 2$ (với $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và $s$ (mét) là quãng đường vật đi được trong thời gian đó). Tính quãng đường mà vật đi được khi vận tốc đạt $20\ m/s$ (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Đáp án: 54,2 m

Đáp án là:

Một vật chuyển động theo quy luật $s = s(t) = \frac{1}{3}t^{3} - \frac{3}{2}t^{2} + 10t + 2$ (với $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và $s$ (mét) là quãng đường vật đi được trong thời gian đó). Tính quãng đường mà vật đi được khi vận tốc đạt $20\ m/s$ (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Đáp án: 54,2 m

Ta có: $v(t) = s'(t) = t^{2} - 3t + 10$ .

Khi vận tốc của vật đạt $20\ m/s$ ta có:

$t^{2} - 3t + 10 = 20 \Leftrightarrow t^{2} - 3t - 10 = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 5 \\ t = - 2 \\ \end{matrix} ight.$ .

Vì $t > 0$ nên nhận $t = 5(s)$ .

Lúc đó quảng đường vật đi được là: $s(5) - s(0) = \frac{337}{6} - 2 \approx 54,2m$
Câu 5: Thông hiểu
Xác định đạo hàm cấp hai của hàm số

Tìm công thức đạo hàm cấp hai của hàm số $y = \frac{3x + 1}{x + 2}$ ?
- A.
  $y'' = \frac{10}{(x + 2)^{2}}$
- B.
  $y'' = - \frac{10}{(x + 2)^{3}}$
- C.
  $y'' = - \frac{5}{(x + 2)^{3}}$
- D.
  $y'' = - \frac{5}{(x + 2)^{4}}$
Ta có: $y = \frac{3x + 1}{x + 2} = 3 - \frac{5}{x + 2}$

$\Rightarrow y' = \frac{5}{(x + 2)^{2}} \Rightarrow y'' = \frac{- 10}{(x + 2)^{3}}$
Câu 6: Vận dụng
Tính đạo hàm của hàm số tại x = 1

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x - 1}\ \ \ \ khi\ x eq 1 \\- \dfrac{5}{4}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight.$ . Tính đạo hàm của hàm số tại x = 1.
- A.
  $f'(1) = 0$
- B.
  $f'(1) = -\frac{7}{50}$
- C.
  $f'(1) = -\frac{9}{64}$
- D.
  $f'(1) =\frac{1}{15}$
Ta có:
$\lim_{x ightarrow 1}\dfrac{f(x) -f(1)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1}\dfrac{\dfrac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x -1} + \dfrac{5}{4}}{x - 1}$
$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{4\sqrt{3x+ 1} - 3x - 5}{4(x - 1)^{2}}$
$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{\left(4\sqrt{3x + 1} - 3x - 5 ight)\left( 4\sqrt{3x + 1} + 3x + 5ight)}{4(x - 1)^{2}\left( 4\sqrt{3x + 1} + 3x + 5ight)}$
$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{16(3x + 1)- \left( 9x^{2} + 30x + 25 ight)}{4(x - 1)^{2}\left( 4\sqrt{3x + 1} +3x + 5 ight)}$
$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{- 9x^{2} +18x - 9}{4(x - 1)^{2}\left( 4\sqrt{3x + 1} + 3x + 5ight)}$
$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{- 9(x -1)^{2}}{4(x - 1)^{2}\left( 4\sqrt{3x + 1} + 3x + 5 ight)}$
$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{-9}{4\left( 4\sqrt{3x + 1} + 3x + 5 ight)} = \frac{-9}{64}$
Câu 7: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng

Cho hàm số $y = \left\{ \begin{matrix} x\ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 0 \\ - x\ \ \ \ khi\ x < 0 \\ \end{matrix} ight.$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?
- A.
  Hàm số không có đạo hàm tại $x = 0$
- B.
  $y'_{(0)} = 1$
- C.
  $y'_{(0)} = 0$
- D.
  $y'_{(0)} = - 1$
Ta có: $y' = \left\{ \begin{matrix} 1\ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 0 \\ - 1\ \ \ \ khi\ x < 0 \\ \end{matrix} ight.$

Do $\left\{ \begin{matrix} y'_{\left( 0^{+} ight)} = 1 \\ y'_{\left( 0^{-} ight)} = - 1 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow$ Hàm số không có đạo hàm tại $x = 0$ .
Câu 8: Vận dụng cao
Tính tổng S

Tính tổng

$S = 2.1.C_{2021}^{2} + 4.3.C_{2021}^{4} + ... + 2k.(2k - 1).C_{2021}^{2k} + ... + 2020.2019.C_{2021}^{2020}$
- A.
  $2021.2020.2^{2018}$
- B.
  $2021.2020.2^{2019}$
- C.
  $2021.2020.2^{2020}$
- D.
  $2021.2020.2^{2021}$
Xét

$f(x) = (x + 1)^{2021} = C_{2021}^{0} + C_{2021}^{1}x + C_{2021}^{2}x^{2} + ... + C_{2021}^{2020}x^{2020} + C_{2021}^{2021}x^{2021}$

$\Rightarrow f'(x) = 2021(x + 1)^{2020} = C_{2021}^{1}x + 2C_{2021}^{2}x + ... + 2020C_{2021}^{2020}x^{2019} + 2021C_{2021}^{2021}x^{2020}$

$\Rightarrow f''(x) = 2021.2020.(x + 1)^{2019} = 2C_{2021}^{2} + 3.2C_{2021}^{2}x + ...$

$+ 2020.2019.C_{2021}^{2020}x^{2018} + 2021.2020.C_{2021}^{2021}x^{2019}$

$\Rightarrow f''(1) = 2021.2020.2^{2019} = 2C_{2021}^{2} + 3.2C_{2021}^{2} + ...$

$+ 2020.2019.C_{2021}^{2020} + 2021.2020.C_{2021}^{2021}$

$\Rightarrow f''( - 1) = 0 = 2C_{2021}^{2} - 3.2C_{2021}^{2} + ...$

$+ 2020.2019.C_{2021}^{2020} - 2021.2020.C_{2021}^{2021}$

$\Rightarrow f''(1) + f''( - 1) = 2021.2020.2^{2019}$

$= 2.\left\lbrack 2.C_{2021}^{2} + 4.3C_{2021}^{4} + ... + 2020.2019.C_{2021}^{2020} ightbrack$

$\Leftrightarrow 2021.2020.2^{2018} = 2.C_{2021}^{2} + 4.3C_{2021}^{4} + ... + 2020.2019.C_{2021}^{2020}$

$\Leftrightarrow 2021.2020.2^{2018} = S$
Câu 9: Vận dụng
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Cho hàm số $y = x^{3} - 3x^{2} +2$ . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $y = -\frac{1}{45}x$ .
- A.
  $\left\lbrack \begin{matrix}y = 45x - 173 \\y = 45x + 83 \\\end{matrix} ight.$
- B.
  $y = 45x - 173$
- C.
  $\left\lbrack \begin{matrix}y = 45x + 173 \\y = 45x - 83 \\\end{matrix} ight.$
- D.
  $y = 45x - 83$
Gọi M(x₀; y₀) là tọa độ tiếp điểm
Ta tính được: $k = y'\left( x_{0}ight) = 3{x_{0}}^{2} - 6x_{0}$
Do tiếp tuyến song song với đường thẳng $y= - \frac{1}{45}x$ nên ta có:
=> $k\left( - \frac{1}{45} ight) = -1 \Leftrightarrow k = 45$
$\Leftrightarrow 3{x_{0}}^{2} - 6x_{0} =45 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x_{0} = 5 \\x_{0} = - 3 \\\end{matrix} ight.$
Với x₀ = 5, ta có: $\left\{\begin{matrix}y_{0} = 52 \\k = 45 \\\end{matrix} ight.$
=> Phương trình tiếp tuyến cần tìm là $y = 45x - 173$
với x₀ = -2 thì $\left\{\begin{matrix}y_{0} = - 52 \\k = 45 \\\end{matrix} ight.$
=> Phương trình tiếp tuyến cần tìm là $y = 45x + 83$
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là: $\left\lbrack \begin{matrix}y = 45x - 173 \\y = 45x + 83 \\\end{matrix} ight.$
Câu 10: Nhận biết
Xác định f''(x)

Tính đạo hàm cấp hai của hàm số $y = \cos^{2}x$ ?
- A.
  $y' = -2\cos2x$
- B.
  $y' = - 2\sin2x$
- C.
  $y'' =2\cos2x$
- D.
  $y'' =2\sin2x$
Ta có: $y = \cos^{2}x$

$\Rightarrow y' = 2\cos x.\left( - \sin x ight) = - 2\sin2x$

$\Rightarrow y'' = -2\cos2x$
Câu 11: Nhận biết
Định nghĩa đạo hàm

Cho $f$ là hàm số liên tục tại x₀. Đạo hàm của $f$ tại x₀ là:
- A.
  $f(x)$
- B.
  $\frac{f\left( x_{0} + h ight) -f(x)}{h}$
- C.
  $\lim_{h ightarrow 0}\frac{f\left(x_{0} + h ight) - f(x)}{h}$ (nếu tồn tại giới hạn)
- D.
  $\lim_{h ightarrow 0}\frac{f\left(x_{0} + h ight) - f\left( x_{0} - h ight)}{h}$ (nếu tồn tại giới hạn)
Đạo hàm của $f$ tại x₀ là: $\lim_{h ightarrow 0}\frac{f\left(x_{0} + h ight) - f(x)}{h}$ (nếu tồn tại giới hạn).
Câu 12: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng

Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $s\left( t ight) = {t^3} - 3{t^2}$ , trong đó t > 0, t tính bằng giây và s(t) tính bằng mét. Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A. Vận tốc của chuyển động khi t = 3 s là v = 12 m/s
- B. Vận tốc của chuyển động khi t = 3 s là v = 24 m/s
- C. Gia tốc của chuyển động khi t = 4 s là a = 18 m/s²
- D. Gia tốc của chuyển động khi t = 4 s là a = 9 m/s²
Ta có:
v(t) = s’(t) = 3t² − 6t => a(t) = v(t) = 6t – 6
Tại t = 3, ta có: v(3) = 9 m/s
Tại t = 4, ta có: a(4) = 18 m/s²
Câu 13: Thông hiểu
Tính đạo hàm của hàm số tại x = 0

Cho hàm số $f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} - 1}}{x}}&{{\text{ khi }}x e 0} \\ 0&{{\text{ khi }}x = 0} \end{array}} ight.$ . Tính $f'(0)$
- A.
  $f'(0)=0$
- B.
  $f'(0)=1$
- C.
  $f'(0)=\frac{1}{2}$
- D.
  Không tồn tại.
Ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x ight) - f\left( 0 ight)}}{{x - 0}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} - 0}}{x} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} - 1}}{{{x^2}}} \hfill \\ \end{matrix}$
$\begin{matrix} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - 1} ight)\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + 1} ight)}}{{{x^2}\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + 1} ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{x^2}}}{{{x^2}\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + 1} ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} + 1}} = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 14: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Cho hàm số $f(x) = cos2x$ . Xét hàm số $u,v:\left\{ \begin{matrix} f'(x) = u(x) \\ v'(x) = f(x) \end{matrix} \right.$ . Chọn câu đúng.
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} u(x) = 2cos2x \\ v(x) = - \frac{1}{2}cos2x \end{matrix} \right.$ .
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} u(x) = - 2cos2x \\ v(x) = \frac{1}{2}cos2x \end{matrix} \right.$ .
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} u(x) = - 2sin2x \\ v(x) = \frac{1}{2}sin2x \end{matrix} \right.$ .
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} u(x) = 2sin2x \\ v(x) = - \frac{1}{2}sin2x \end{matrix} \right.$ .
Vì $f(x) = cos2x$ nên $v(x)$ phải là hàm chứa $sin2x$ , do đó, loại các phương án $\left\{ \begin{matrix} u(x) = 2cos2x \\ v(x) = - \frac{1}{2}cos2x \end{matrix} \right.$ , $\left\{ \begin{matrix} u(x) = - 2cos2x \\ v(x) = \frac{1}{2}cos2x \end{matrix} \right.$

Kiểm tra hai Chọn còn lại bằng cách đạo hàm $v(v)$ , ta có $\left( \frac{1}{2}sin2x \right)' = \frac{1}{2}(2x)'cos2x = cos2x$ .

Do đó, chọn đáp án $\left\{ \begin{matrix} u(x) = - 2sin2x \\ v(x) = \frac{1}{2}sin2x \end{matrix} \right.$

Hơn nữa, chúng ta có thể áp dụng công thức đạo hàm $\left( \cos u \right)' = - u'\sin u$ để kiểm tra ý còn lại, tức là $f'(x) = - (2x)'sin2x = - 2sin2x$ .
Câu 15: Nhận biết
Chọn phát biểu đúng

Phát biểu nào trong các phát biểu sau là đúng?
- A.
  Nếu hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trái tại x₀ thì nó liên tục tại điểm đó.
- B.
  Nếu hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm phải tại x₀ thì nó liên tục tại điểm đó.
- C.
  Nếu hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm tại x₀ thì nó liên tục tại điểm −x₀.
- D.
  Nếu hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm tại x₀ thì nó liên tục tại điểm đó.
Dựa theo định lí:
Nếu hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm tại x₀ thì nó liên tục tại điểm đó.
=> Phát biểu đúng là: “Nếu hàm số $y =f(x)$ có đạo hàm tại x₀ thì nó liên tục tại điểm đó.”
Câu 16: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Tìm công thức đạo hàm của hàm số $y = 3^{x^{2} - x}$ ?
- A.
  $y' = \frac{(2x - 1).3^{x^{2} -x}}{\ln3}$
- B.
  $y' = (2x - 1).3^{x^{2} -x}.\ln3$
- C.
  $y' = \left( x^{2} - xight).3^{x^{2} - x + 1}.\ln3$
- D.
  $y' = 3^{x^{2} - x -1}.\ln3$
Ta có:

$y = 3^{x^{2} - x}$

$\Rightarrow y' = \left( x^{2} - xight)'.3^{x^{2} - x}.\ln3$

$\Rightarrow y' = (2x - 1).3^{x^{2} -x}.\ln3$
Câu 17: Thông hiểu
Tính đạo hàm cấp hai tại một điểm

Cho hàm số $f(x) = (x + 10)^{6}$ . Tính $f''(2)$ ?
- A.
  $622080$
- B.
  $1492992$
- C.
  $124416$
- D.
  $103680$
Ta có:

$f(x) = (x + 10)^{6}$

$\Rightarrow f'(x) = 6.(x + 10)^{5}$

$\Rightarrow f''(x) = 30.(x + 10)^{4}$

$\Rightarrow f''(2) = 30.(2 + 10)^{4} = 622080$
Câu 18: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Xác định công thức đạo hàm của hàm số $y = \sin\left( x^{2} - 3x + 2 ight)$ ?
- A.
  $y' = (2x - 3)\sin\left( x^{2} - 3x + 2 ight)$
- B.
  $y' = - (2x - 3)\cos\left( x^{2} - 3x + 2 ight)$
- C.
  $y' = \cos\left( x^{2} - 3x + 2 ight)$
- D.
  $y' = (2x - 3)\cos\left( x^{2} - 3x + 2 ight)$
Ta có:

$y = \sin\left( x^{2} - 3x + 2 ight)$

$\Rightarrow y' = \left\lbrack \sin\left( x^{2} - 3x + 2 ight) ightbrack'$

$= \left( x^{2} - 3x + 2ight)'.\cos\left( x^{2} - 3x + 2 ight)$

$= (2x - 3)\cos\left( x^{2} - 3x + 2 ight)$
Câu 19: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng

Vận tốc của một chất điểm chuyển động được biểu thị bởi công thức $v(t) = 8t + 3t^{2}$ , trong đó t > 0, t tính bằng giây và v(t) tính bằng mét/giây. Tìm gia tốc của chất điểm tại thời điểm mà vận tốc chuyển động là 11 mét/giây.
- A.
  $6m/s^{2}$
- B.
  $11m/s^{2}$
- C.
  $14m/s^{2}$
- D.
  $20m/s^{2}$
Ta có: $a(t) = v'(t) = 8 +6t$
Ta có:
$v(t) = 11$
$\Rightarrow 11 = 8t +3t^{2}$
$\Rightarrow t = 1(tm)$
Gia tốc của chất điểm là:
$a(1) = v'(1) = 8 + 6.1 = 14\left(m/s^{2} ight)$
Vậy gia tốc của chất điểm tại thời điểm mà vận tốc chuyển động là 11 m/s là $14m/s^{2}$
Câu 20: Nhận biết
Tính đạo hàm của hàm số

Đạo hàm của hàm số $y = 5^{x}$ là
- A.
  $y' = -5^{x}.\ln5$
- B.
  $y' =\frac{5^{x}}{\ln5}$
- C.
  $y' =5^{x}.\ln5$
- D.
  $y' = -\frac{5^{x}}{\ln5}$
Ta có: $\left( a^{x} ight)' =a^{x}.\ln a$

$y = 5^{x} \Rightarrow y' =5^{x}.\ln5$
Câu 21: Thông hiểu
Tìm mệnh đề sai

Cho hàm số $y = f(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2} + 1\ \ \ ;\ x \geq 1 \\ 2x\ \ \ \ \ \ \ \ ;\ x < 1 \\ \end{matrix} ight.$ . Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề sai?
- A.
  $f'(1) = 2$
- B.
  $f'(0) = 2$
- C.
  $f'(2) = 4$
- D.
  $∄f'(1)$
Ta có:

$\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f\left( x ight) - f\left( 1 ight)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2x - 2}}{{x - 1}} = 2 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to 1 + } \frac{{f\left( x ight) - f\left( 1 ight)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + 1 - 2}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x + 1} ight) = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Vậy $f'\left( 1^{-} ight) = f'\left( 1^{+} ight) = f'(1) = 2$

Suy ra hàm số có đạo hàm tại $x_{0} = 1$

Vậy mệnh đề sai là: $∄f'(1)$
Câu 22: Thông hiểu
Tính đạo hàm lượng giác

Tính đạo hàm của hàm số $y = \sin \sqrt {{x^2} + 2}$
- A. $y' = \frac{{2x + 2}}{{\sqrt {2 + {x^2}} }}\cos \sqrt {2 + {x^2}}$
- B. $y' = - \frac{x}{{\sqrt {2 + {x^2}} }}\cos \sqrt {2 + {x^2}}$
- C. $y' = \frac{x}{{\sqrt {2 + {x^2}} }}\cos \sqrt {2 + {x^2}}$
- D. $y' = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {2 + {x^2}} }}\cos \sqrt {2 + {x^2}}$
Ta có:
$\begin{matrix} y' = \left[ {\sin \sqrt {{x^2} + 2} } ight] \prime \hfill \\ \Rightarrow y' = \left( {\sqrt {{x^2} + 2} } ight)'.\cos \sqrt {{x^2} + 2} \hfill \\ \Rightarrow y' = \dfrac{x}{{\sqrt {2 + {x^2}} }}.\cos \sqrt {{x^2} + 2} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 23: Thông hiểu
Tính đạo hàm

Tính đạo hàm của hàm số $y = {x^2}\tan x + \sqrt x$
- A.
  $y' = 2x\tan x + \frac{1}{{2\sqrt x }}$
- B.
  $y' = 2x\tan x + \frac{1}{{\sqrt x }}$
- C.
  $y' = 2x.\tan x + \frac{{{x^2}}}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{1}{{2\sqrt x }}$
- D.
  $y' = 2x\tan x + \frac{{{x^2}}}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{1}{{\sqrt x }}$
Ta có:
$\begin{matrix} y = {x^2}\tan x + \sqrt x \hfill \\ \Rightarrow y\prime = \left( {{x^2}} ight)\prime \tan x + {x^2}\left( {\tan x} ight)\prime + \left( {\sqrt x } ight)\prime \hfill \\ = 2x.\tan x + \dfrac{{{x^2}}}{{{{\cos }^2}x}} + \dfrac{1}{{2\sqrt x }} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 24: Vận dụng cao
Tính thời điểm vận tốc đạt giá trị lớn nhất

Một vật chuyển động theo quy luật $S =10t^{2} - \frac{1}{3}t^{3}$ , với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và S (m) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 15 giây, kể từ khi vật bắt đầu chuyển động, vận tốc v (m/s) của vật đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm t (s) bằng:
- A.
  $8(s)$
- B.
  $20(s)$
- C.
  $10(s)$
- D.
  $15(s)$
Ta có vận tốc v của vật tại thời điểm t được tính theo công thức $v(t) = S'(t) = - t^{2} + 20t$ . Bảng biến thiên của hàm v = v(t) trên (0; 15):
Vậy vận tốc của vật đạt GTLN tại thời điểm t = 10 (s)
Câu 25: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Cho hàm số $y = f(x)$ được xác định bởi công thức $f(x) = \left\{ \begin{matrix} ax^{2} + bx\ \ \ khi\ x \geq 1 \\ 2x - 1\ \ \ \ \ \ \ khi\ x < 1 \\ \end{matrix} ight.$ . Để hàm số đã cho có đạo hàm tại $x = 1$ thì giá trị biểu thức $2a + b$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $2$
- B.
  $5$
- C.
  $- 2$
- D.
  $- 5$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{2x - 1 - 1}{x - 1} = 2$

$\lim_{x ightarrow 1 +}\frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{ax^{2} + bx - a - b}{x - 1}$

$= \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{a\left( x^{2} - 1 ight) + b(x - 1)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{(x - 1)\left\lbrack a(x - 1) + b ightbrack}{x - 1}$

$= \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack a(x - 1) + b ightbrack = 2a + b$

Theo yêu cầu bài toán

$\lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{f(x) - f(1)}{x - 1}$

$\Leftrightarrow 2a + b = 2$
Câu 26: Nhận biết
Hàm số f(x) liên tục trên khoảng

Hàm số $f(x)=\sqrt{3-x}+\frac{1}{\sqrt{x+4}}$ liên tục trên:
- A.
  $[-4;3]$
- B.
  $[-4;3)$
- C.
  $(-4;3]$
- D.
  $[-\infty ;-4]\cup [3;+\infty ]$
Điều kiện xác định: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3 - x \geqslant 0} \\ {x + 4 > 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \leqslant 3} \\ {x > - 4} \end{array}} ight. \Rightarrow x \in \left( { - 4;3} ight]$
Vậy hàm số liên tục trên $\left( { - 4;3} ight]$
Câu 27: Nhận biết
Viết phương trình tiếp tuyến

Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong $y = x^{3}$ tại điểm (-1; -1)
- A.
  $y = - 3x - 4$
- B.
  $y = - 1$
- C.
  $y = 3x - 2$
- D.
  $y = 3x + 2$
Ta tính được $k = y'( - 1) =3$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}x_{0} = - 1 \\y_{0} = - 1 \\k = 3 \\\end{matrix} ight.$
Suy ra phương trình tiếp tuyến
$y + 1 = 3(x + 1)$
$\Rightarrow y = 3x + 2$
Câu 28: Nhận biết

Điền kết quả vào ô trống

Đạo hàm cấp hai của hàm số $f(x) = x^{3} - x^{2} + 1$ tại điểm $x = 2$ bằng 10

Đáp án là:

Đạo hàm cấp hai của hàm số $f(x) = x^{3} - x^{2} + 1$ tại điểm $x = 2$ bằng 10

Ta có: $f(x) = x^{3} - x^{2} + 1$

$\Rightarrow f'(x) = 3x^{2} - 2x$

$\Rightarrow f''(x) = 6x - 2$

$\Rightarrow f''(2) = 6.2 - 2 = 10$
Câu 29: Nhận biết
Tính số gia

Số gia của hàm số $f(x)=2x^{2}-1$ tại $x_{0}=1$ ứng với số gia $\Delta x=0,1$ bằng:
- A.
  1
- B.
  1,42
- C.
  2,02
- D.
  0,42
Ta có:
$∆f = f(1 + 0,1) - f(1)$
$= 2(1,1)^2 - 1 - (2 - 1) = 0,42$
Câu 30: Vận dụng
Tìm số nghiệm của phương trình

Cho hàm số $y = \sqrt{3}\cos x + \sin x - x^{2} + 2021x + 2022$ . Có bao nhiêu nghiệm thuộc $\lbrack 0;4\pibrack$ thỏa mãn phương trình $y'' = 0$ ?
- A.
  $1$
- B.
  $2$
- C.
  $3$
- D.
  $4$
Ta có:

$y = \sqrt{3}\cos x + \sin x - x^{2} + 2021x + 2022$

$\Rightarrow y' = \sqrt{3}\sin x + \cos x - 2x + 2021$

$\Rightarrow y'' = \sqrt{3}\cos x - \sin x - 2$

Lại có $y'' = 0 \Leftrightarrow \sqrt{3}\cos x - \sin x - 2 = 0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x = - 1$

$\Leftrightarrow \sin\left( x - \frac{\pi}{3} ight) = - 1$

$\Leftrightarrow x - \frac{\pi}{3} = \frac{- \pi}{2} + k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

$\Leftrightarrow x = \frac{- \pi}{6} + k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Do $x \in \lbrack 0;3\pibrack \Leftrightarrow 0 \leq \frac{- \pi}{6} + k2\pi \leq 4\pi$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{12} \leq k \leq \dfrac{25}{12} \\k\mathbb{\in Z} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow k \in \left\{ 1;2ight\}$

Vậy có 2 nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 31: Vận dụng
Giải phương trình f'(x) = f"(x)

Cho hàm số $f(x)=\frac{2x-1}{x+1}$ . Giải phương trình f'(x) = f"(x)
- A.
  x = 3; x = 2
- B.
  x = 4
- C.
  x = 5; x = 6
- D.
  x = -3
Ta có:
$\begin{matrix} f(x) = \dfrac{{2x - 1}}{{x + 1}} \hfill \\ \Rightarrow f'\left( x ight) = \dfrac{{2\left( {x + 1} ight) - \left( {2x + 1} ight)}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}} \hfill \\ \Rightarrow f''\left( x ight) = \dfrac{{ - 2\left( {x + 1} ight)}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^4}}} = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^3}}} \hfill \\ \end{matrix}$
Xét phương trình ta có:
$\begin{matrix} f'\left( x ight) = f''\left( x ight),\left( {x e - 1} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}} = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^3}}} \hfill \\ \Leftrightarrow x = - 3 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 32: Vận dụng
Tính tích hai giá trị tham số

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định bởi công thức $f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{2 - \sqrt {4 - x} }}{x}{\text{ }};0 < x < 4} \\ {m{\text{ }};x = 0} \\ {\dfrac{n}{x}{\text{ }};x \geqslant 4} \end{array}} ight.$ . Biết hàm số liên tục trên nửa khoảng $\lbrack 0; + \infty)$ . Tích của $m$ và $n$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $2$
- B.
  $\frac{1}{4}$
- C.
  $\frac{1}{2}$
- D.
  $- 1$
Tập xác định $D = \lbrack 0; + \infty)$

Hàm số liên tục trên $\lbrack 0; + \infty)$ nên ta có:

$\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = f\left( 0 ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x ight) = f\left( 4 ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.$

$\lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{2 - \sqrt{4 - x}}{x}$

$= \lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{x}{x\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)} = \frac{1}{4}$

$f(0) = m$

$\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \dfrac{n}{x} = \dfrac{n}{4} \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \dfrac{{2 - \sqrt {4 - x} }}{x} = \dfrac{1}{2} \hfill \\ f\left( 4 ight) = \dfrac{n}{4} \hfill \\ \end{gathered} ight.$

$\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = f\left( 0 ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x ight) = f\left( 4 ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m = \dfrac{1}{4} \\\dfrac{n}{4} = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m = \dfrac{1}{4} \ = 2 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow m.n = \dfrac{1}{2}$
Câu 33: Thông hiểu
Giải phương trình

Cho hàm số $y = f(x) = \frac{2x + 1}{1 - x}$ . Giải phương trình $f'(x) + f''(x) = 0$ .
- A.
  $x = - 5$
- B.
  $x = 3$
- C.
  $x = 0$
- D.
  $x = - 2$
Tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 1 ight\}$

Ta có:

$y = f(x) = \frac{2x + 1}{1 - x}$

$\Rightarrow f'(x) = \frac{3}{(x - 1)^{2}} \Rightarrow f''(x) = - \frac{6}{(x - 1)^{3}}$

Lại có:

$f'(x) + f''(x) = 0$

$\Leftrightarrow \frac{3}{(x - 1)^{2}} - \frac{6}{(x - 1)^{3}} = 0$

$\Leftrightarrow \frac{2}{x - 1} = 1 \Leftrightarrow x = 3(tm)$
Câu 34: Nhận biết
Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm

Tính đạo hàm của hàm số $f(x)=-x^{4}+4x^{3}-3x^{2}+2x+1$ tại điểm $x = -1$
- A.
  $f'(-1)=4$
- B.
  $f'(-1) = 14$
- C.
  $f'(-1) = 15$
- D.
  $f'(-1) = 24$
Ta có:
$\begin{matrix} f(x) = - {x^4} + 4{x^3} - 3{x^2} + 2x + 1 \hfill \\ \Rightarrow f'\left( x ight) = - 4{x^3} + 12{x^2} - 6x + 2 \hfill \\ \Rightarrow f'\left( { - 1} ight) = - 4.{\left( { - 1} ight)^3} + 12.{\left( { - 1} ight)^2} - 6.\left( { - 1} ight) + 2 \hfill \\ f'\left( { - 1} ight) = 4 + 12 + 6 + 2 = 24 \hfill \\ \Rightarrow f'\left( { - 1} ight) = 24 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 35: Nhận biết
Tính đạo hàm cấp 3 của hàm số tại x = 1

Cho hàm số $y = \frac{2}{{1 + x}}$ . Tính giá trị của ${y^{\left( 3 ight)}}\left( 1 ight)$
- A. ${y^{\left( 3 ight)}}\left( 1 ight) = - \frac{3}{4}$
- B. ${y^{\left( 3 ight)}}\left( 1 ight) = \frac{3}{4}$
- C. ${y^{\left( 3 ight)}}\left( 1 ight) = - \frac{4}{3}$
- D. ${y^{\left( 3 ight)}}\left( 1 ight) = \frac{4}{3}$
Ta có:
$\begin{matrix}y = \dfrac{2}{{1 + x}} \Rightarrow y' = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {1 + x} ight)}^2}}} \hfill \\\Rightarrow y''\left( x ight) = \dfrac{{4\left( {x + 1} ight)}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^4}}} = \dfrac{4}{{{{\left( {x + 1} ight)}^3}}} \hfill \\\Rightarrow {y^{\left( 3 ight)}} = \dfrac{{ - 12{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^6}}} = \dfrac{{ - 12}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^4}}} \hfill \\\Rightarrow {y^{\left( 3 ight)}}\left( 1 ight) = \dfrac{{ - 12}}{{{{\left( {1 + 1} ight)}^4}}} = - \dfrac{3}{4} \hfill \\\end{matrix}$
Câu 36: Thông hiểu
Đạo hàm của hàm số tại x = 0

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x}\ \ \ \ khi\ x eq 0 \\0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 0 \\\end{matrix} ight.$ . Tính $f'(0)$ ?
- A.
  $f'(0) = 0$
- B.
  $f'(0) = 1$
- C.
  $f'(0) =\frac{1}{2}$
- D.
  $f'(0) =\frac{1}{3}$
Ta có:
$\lim_{x ightarrow 0}\frac{f(x) -f(0)}{x - 0}$
$= \lim_{x ightarrow0}\dfrac{\dfrac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x} - 0}{x}$
$= \lim_{x ightarrow0}\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x^{2}}$
$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{\left(\sqrt{x^{2} + 1} - 1 ight)\left( \sqrt{x^{2} + 1} + 1ight)}{x^{2}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + 1 ight)}$
$= \lim_{x ightarrow0}\frac{x^{2}}{x^{2}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + 1 ight)}$
$= \lim_{x ightarrow0}\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1} + 1} = \frac{1}{2}$
Câu 37: Vận dụng cao
Tìm tham số thực b

Tìm tham số thực b để hàm số $f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2}}&{{\text{ khi }}x \leqslant 2} \\ { - \dfrac{{{x^2}}}{2} + bx - 6}&{{\text{ khi }}x > 2} \end{array}} ight.$ có đạo hàm tại x = 2.
- A.
  b = 3
- B.
  b = 6
- C.
  b = 1
- D.
  b = -6
Để hàm số có đạo hàm tại x = 2 trước tiên hàm số phải liên tục tại x = 2, tức là
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) \hfill \\ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( { - \dfrac{{{x^2}}}{2} + bx - 6} ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {x^2} \hfill \\ \Leftrightarrow - 2 + 2b - 6 = 4 \Leftrightarrow b = 6 \hfill \\ \end{matrix}$
Thử b = 6 ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{ - \dfrac{{{x^2}}}{2} + bx - 10}}{{x - 2}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{ - \dfrac{{{x^2}}}{2} + 6x - 10}}{{x - 2}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{(x - 2)(10 - x)}}{{2(x - 2)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{10 - x}}{2} = 4{\text{ }} \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} \hfill \\ = 4\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}} \hfill \\ \end{matrix}$
Nên hàm số có đạo hàm tại x = 2
Câu 38: Thông hiểu
Chọn hệ thức đúng

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định bởi công thức $f(x) =\sin2x$ . Chọn hệ thức đúng?
- A.
  $y'' + (y')^{2} = 4$
- B.
  $y = y'.\tan2x$
- C.
  $4y - y'' = 0$
- D.
  $4y + y'' = 0$
Ta có:

$y' = 2.\cos2x \Rightarrow y''= - 4.\sin2x$

$\Rightarrow 4y + y'' = 4.\sin2x -4.\sin2x = 0$
Câu 39: Vận dụng
Tìm đạo hàm của hàm số tại một điểm

Tính đạo hàm của hàm số sau tại điểm chỉ ra $f(x) = \frac{{{x^2} + x + \left| {x + 1} \right|}}{x}$ tại $x_{0} = - 1$ .
- A.
  2.
- B.
  0.
- C.
  3.
- D.
  Không tồn tại đạo hàm
Ta có hàm số liên tục tại $x_{0} = - 1$ và $\frac{f(x) - f( - 1)}{x + 1} = \frac{x^{2} + x + |x + 1|}{x(x + 1)}$

Nên $\lim_{x \rightarrow - 1^{+}}\frac{f(x) - f( - 1)}{x + 1} = \lim_{x \rightarrow - 1^{+}}\frac{x^{2} + 2x + 1}{x(x + 1)} = 0$

$\lim_{x \rightarrow - 1^{-}}\frac{f(x) - f( - 1)}{x + 1} = \lim_{x \rightarrow - 1^{-}}\frac{x^{2} - 1}{x(x + 1)} = 2$

Do đó $\lim_{x \rightarrow - 1^{+}}\frac{f(x) - f( - 1)}{x + 1} \neq \lim_{x \rightarrow - 1^{-}}\frac{f(x) - f( - 1)}{x + 1}$

Vậy hàm số không có đạo hàm tại điểm $x_{0} = - 1$ .

Nhận xét: Hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm tại $x = x_{0}$ thì phải liên tục tại điểm đó.
Câu 40: Thông hiểu

Tính vận tốc của chất điểm

Một chất điểm chuyển động biến đổi đều trong 20 giây đầu tiên có phương trình $S(t) = \frac{t^{4}}{12} - t^{3} + 6t^{2} + 10t,(t > 0)$ với $t$ tính bằng giây và $S(t)$ tính bằng mét. Hỏi vận tốc của chất điểm tại thời điểm gia tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

Kết quả: 28m/s

Đáp án là:

Một chất điểm chuyển động biến đổi đều trong 20 giây đầu tiên có phương trình $S(t) = \frac{t^{4}}{12} - t^{3} + 6t^{2} + 10t,(t > 0)$ với $t$ tính bằng giây và $S(t)$ tính bằng mét. Hỏi vận tốc của chất điểm tại thời điểm gia tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

Kết quả: 28m/s

Vận tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp một của quãng đường: $v(t) = S'(t) = \frac{1}{3}t^{3} - 3t^{2} + 12t + 10$

Gia tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp hai của quãng đường:

$a(t) = v'(t) = t^{2} - 6t + 12 = (t - 3)^{2} + 3$

Vậy gia tốc đạt giá trị nhỏ nhất khi $t = 3(s)$ . Khi đó vận tốc là

$v(3) = 28(m/s)$

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Chân trời sáng tạo Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

21 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Chân trời sáng tạo

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 Chân trời sáng tạo
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân
Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số ghép số liệu nhóm
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Đạo hàm
Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 9: Xác suất

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Chân trời sáng tạo

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 11 Chân trời sáng tạo

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân

Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian

Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số ghép số liệu nhóm

Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 7: Đạo hàm

Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian

Chương 9: Xác suất