VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Chân trời sáng tạo

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 CTST Chương 7: Đạo hàm nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài Rủ bạn học

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Nhận biết
Tính đạo hàm cấp hai của hàm số

Tại điểm $x_{0} = 1$ , giá trị đạo hàm cấp hai của hàm số $y = x^{3} + 2x$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $f''(1) = 6$
- B.
  $f''(1) = 8$
- C.
  $f''(1) = 3$
- D.
  $f''(1) = 2$
Ta có: $y = x^{3} + 2x$

$\Rightarrow y'(x) = 3x^{2} + 2$

$\Rightarrow y''(x) = 6x \Rightarrow y''(1) = 6.1 = 6$
Câu 2: Vận dụng cao
Tìm tọa độ điểm thỏa mãn điều kiện

Trên đồ thị hàm số $y = \frac{x + 3}{x +2}$ tại các điểm nào mà tiếp tuyến với đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân?
- A.
  $\left( 1;\frac{4}{3}ight)$
- B.
  $\left( 1;\frac{4}{3} ight),( -1;2)$
- C.
  $(1; - 1)$
- D.
  $( - 3;0),( - 1;2)$
Ta có:
Tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ tam giác vuông cân khi và chỉ khi hệ số góc của tiếp tuyến $k = \pm1$ .
Ta có: $f'(x) = - \frac{1}{(x +2)^{2}}$
=> Hoành độ điểm thuộc đồ thị thỏa mãn yêu cầu bài toán là nghiệm của phương trình:
$- \frac{1}{(x + 2)^{2}} = - 1\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = - 1 \\x = - 3 \\\end{matrix} ight.$
Hai điểm thỏa mãn $( - 3;0),( -1;2)$
Câu 3: Thông hiểu
Chọn hệ thức đúng

Cho hàm số $y = e^{2x} + 2e^{- x}$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?
- A.
  $y''' + y'' = y'$
- B.
  $y''' = y'' + y'$
- C.
  $y''' - y'' = 2y'$
- D.
  $y''' = 2y' - y''$
Ta có:

$y = e^{2x} + 2e^{- x}$

$\Rightarrow y' = 2e^{2x} - 2e^{- x}$

$\Rightarrow y'' = \left( 2e^{2x} - 2e^{- x} ight)' = 4e^{2x} + 2e^{- x}$

$\Rightarrow y''' = (y'')' = 8e^{2x} - 2e^{- x}$

$\Rightarrow y''' - y'' = 2y'$
Câu 4: Nhận biết
Khoảng cách viên đạn với mặt đất tại thời điểm t

Một viên đạn được bắn lên cao theo phương trình $s(t) = 196 - 4,9t^{2}$ trong đó t > 0, t tính bằng giây kể từ thời điểm viên đạn được bắn lên cao và s(t) là khoảng cách của viên đạn so với mặt đất được tính bằng mét. Tại thời điểm vận tốc của viên đạn bằng 0 thì viên đạn cách mặt đất bao nhiêu mét?
- A.
  1690m
- B.
  1069m
- C.
  1906m
- D.
  1960m
Vận tốc của viên đạn $v(t) = s_{0}(t) =196 - 9,8t$
Ta có:
$\begin{matrix}v(t) = 0 \hfill \\\Leftrightarrow 196 - 9,8t = 0 \hfill \\\Leftrightarrow t = 20 \hfill\\\end{matrix}$
Khi đó viên đạn cách mặt đất một khoảng là:
$h = s(20) = 196.20 - 4,9.20^{2} =1960m$
Vậy tại thời điểm vận tốc của viên đạn bằng 0 thì viên đạn cách mặt đất 1960m.
Câu 5: Thông hiểu

Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận

Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

a) Số gia của hàm số $f(x) = x^{2} - 4x + 1$ tương ứng với $x$ và $\Delta x$ là $\Delta x(\Delta x + 2x - 4)$ Đúng||Sai

b) Qua điểm $A(0;2)$ có thể kẻ được 2 tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = x^{4} - 2x^{2} + 2$ . Sai||Đúng

c) Cho hàm số $f(x) = \left\{\begin{matrix}\dfrac{3 - \sqrt{4 - x}}{4}\ \ khi\ x eq 0 \\\dfrac{1}{4}\ \ \ \ \ khi\ x = 0 \\\end{matrix} ight.$ . Khi đó $f'(0) = \frac{1}{16}$ Đúng||Sai

d) Cho hàm số $y = \sqrt{x^{2} + 1}$ khi đó ta có $y.y' = 2x$ Sai||Đúng

Đáp án là:

Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

a) Số gia của hàm số $f(x) = x^{2} - 4x + 1$ tương ứng với $x$ và $\Delta x$ là $\Delta x(\Delta x + 2x - 4)$ Đúng||Sai

b) Qua điểm $A(0;2)$ có thể kẻ được 2 tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = x^{4} - 2x^{2} + 2$ . Sai||Đúng

c) Cho hàm số $f(x) = \left\{\begin{matrix}\dfrac{3 - \sqrt{4 - x}}{4}\ \ khi\ x eq 0 \\\dfrac{1}{4}\ \ \ \ \ khi\ x = 0 \\\end{matrix} ight.$ . Khi đó $f'(0) = \frac{1}{16}$ Đúng||Sai

d) Cho hàm số $y = \sqrt{x^{2} + 1}$ khi đó ta có $y.y' = 2x$ Sai||Đúng

a) Ta có:

$\Delta y = f(\Delta x + x) - f(x)$

$= (\Delta x + x)^{2} - 4(\Delta x + x) + 1 - \left( x^{2} - 4x + 1 ight)$

$= \Delta x^{2} + 2\Delta x.x - 4\Delta x = \Delta x(\Delta x + 2x - 4)$

b) Ta có

Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho

Vì A(0; 2) thuộc đường thẳng d nên phương trình của d có dạng $y = kx + 2$

Vì d tiếp xúc với đồ thị (C) nên hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} x^{4} - 2x^{2} + 2 = kx + 2(*) \\ 4x^{3} - 4x = k(**) \\ \end{matrix} ight.$ có nghiệm

Thay (**) vào (*) ta suy ra $\left\lbrack\begin{matrix}x = 0 \\x = \pm \sqrt{\dfrac{2}{3}} \\\end{matrix} ight.$

Chứng tỏ từ A ta có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C).

c) Ta có:

$\lim_{x ightarrow 0}\dfrac{f(x) -f(0)}{x - 0} = \lim_{x ightarrow 0}\dfrac{\dfrac{3 - \sqrt{4 - x}}{4} -\dfrac{1}{4}}{x} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{2 - \sqrt{4 -x}}{4x}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{\left( 2 - \sqrt{4 - x} ight)\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)}{4x\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{x}{4x\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{1}{4\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)} = \frac{1}{16}$

d) Ta có:

$y' = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} \Rightarrow y.y' = \sqrt{x^{2} + 1}.\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} = x$
Câu 6: Vận dụng
Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số

Cho hàm số $y = x^{3} - 3x^{2} +2$ . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x + 7
- A.
  y = 9x + 7; y = 9x – 25
- B.
  y = 9x – 25
- C.
  y = 9x − 7; y = 9x + 25
- D.
  y = 9x + 25
Gọi M(x₀; y₀) là tọa độ tiếp điểm
Ta tính được: $k = y'\left( x_{0}ight) = 3{x_{0}}^{2} - 6x_{0}$
Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x + 7 nên có k = 9
=> $3{x_{0}}^{2} - 6x_{0} = 9\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x_{0} = - 1 \\x_{0} = 3 \\\end{matrix} ight.$
Với x₀ = −1, ta có: $\left\{\begin{matrix}y_{0} = - 2 \\k = 9 \\\end{matrix} ight.$
=> Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 9x + 7 (loại)
với x₀ = 3 thì $\left\{\begin{matrix}y_{0} = 2 \\k = 9 \\\end{matrix} ight.$
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 9x – 25 (thỏa mãn)
Câu 7: Thông hiểu
Đạo hàm của hàm số lượng giác

Tính đạo hàm của hàm số $y = \cot \sqrt {{x^2} + 1}$
- A.
  $y' = - \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} .{{\sin }^2}\sqrt {{x^2} + 1} }}$
- B.
  $y' = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{\sin ^2}\sqrt {{x^2} + 1}$
- C.
  $y' = - \frac{1}{{{{\sin }^2}\sqrt {{x^2} + 1} }}$
- D.
  $y' = \frac{1}{{{{\sin }^2}\sqrt {{x^2} + 1} }}$
Ta có:
$\begin{matrix} y = \cot \sqrt {{x^2} + 1} \hfill \\ \Rightarrow y' = \left( {\sqrt {{x^2} + 1} } ight)'.\dfrac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}\sqrt {{x^2} + 1} }} \hfill \\ = \dfrac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}.\dfrac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}\sqrt {{x^2} + 1} }} \hfill \\ = \dfrac{{ - x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} .{{\sin }^2}\sqrt {{x^2} + 1} }} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 8: Nhận biết

Điền kết quả vào ô trống

Đạo hàm cấp hai của hàm số $f(x) = x^{3} - x^{2} + 1$ tại điểm $x = 2$ bằng 10

Đáp án là:

Đạo hàm cấp hai của hàm số $f(x) = x^{3} - x^{2} + 1$ tại điểm $x = 2$ bằng 10

Ta có: $f(x) = x^{3} - x^{2} + 1$

$\Rightarrow f'(x) = 3x^{2} - 2x$

$\Rightarrow f''(x) = 6x - 2$

$\Rightarrow f''(2) = 6.2 - 2 = 10$
Câu 9: Vận dụng
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Cho hàm số $y = x^{3} - 3x^{2} +2$ . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết cosin góc tạo bởi tiếp tuyến và đường thẳng ∆: 4x − 3y = 0 bằng $\frac{3}{5}$ .
- A.
  $\left\lbrack \begin{matrix}y = 2 \\y = 1 \\\end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\lbrack \begin{matrix}y = - 2 \\y = 1 \\\end{matrix} ight.$
- C.
  $\left\lbrack \begin{matrix}y = - 2 \\y = - 1 \\\end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\lbrack \begin{matrix}y = 2 \\y = - 2 \\\end{matrix} ight.$
Gọi M(x₀; y₀) là tọa độ tiếp điểm
Ta tính được: $k = y'\left( x_{0}ight) = 3{x_{0}}^{2} - 6x_{0}$
Suy ra phương trình tiếp tuyến d có dạng $y + y_{0} = k\left( x - x_{0} ight)$
=> Tiếp tuyến d có một vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{d}} = ( - k;1)$
Đường thẳng $\Delta$ có một vecto pháp tuyến là: $\overrightarrow{n_{\Delta}} =(4; - 3)$
Theo đề bài ta có:
$\cos(d;\Delta) = \frac{| - 4k -3|}{\sqrt{k^{2} + 1}.\sqrt{16 + 9}} = \frac{3}{5}$
$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}k = 0 \\k = - \dfrac{24}{7} \\\end{matrix} ight.$
Với $k = - \frac{24}{7}$ ta có: $3{x_{0}}^{2} - 6x_{0} = -\frac{24}{7}$ (vô nghiệm)
Với $k = 0$ ta có: $3{x_{0}}^{2} - 6x_{0} = 0 \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix}x_{0} = 0 \\x_{0} = 2 \\\end{matrix} ight.$
Nếu $x_{0} = 0 \Rightarrow y_{0} =2$ => Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y – 2 = 0 => y = 2
Nếu $x_{0} = 2 \Rightarrow y_{0} = -2$ => Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y + 2 = 0 => y = -2
Câu 10: Thông hiểu
Tính đạo hàm cấp hai của hàm số

Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số sau: $y = {\left( {{x^2} + 1} ight)^3}$
- A. $y'' = 30{x^4} + 36{x^2} + 6$
- B. $y'' = 6{x^5} + 12{x^3} + 6x$
- C. $y'' = 6{x^5} + 12{x^3} + 5$
- D. $y'' = 36{x^3} + 36{x^2}$
Ta có: $y = {\left( {{x^2} + 1} ight)^3} = {x^6} + 3{x^4} + 3{x^2} + 1$
$\begin{matrix} \Rightarrow y' = 6{x^5} + 12{x^3} + 6x \hfill \\ = > y'' = \left( {y'} ight)' = \left( {6{x^5} + 12{x^3} + 6x} ight)' = 30{x^4} + 36{x^2} + 6 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 11: Thông hiểu

Điền đáp án vào ô trống

Một chất điểm chuyển động được biểu diễn bởi phương trình $S(t) = \frac{1}{4}t^{4} - \frac{7}{2}t^{2} - 6t + 10,(t > 0)$ , $t$ tính bằng giây, $S(t)$ tính bằng mét. Tại thời điểm vận tốc triệt tiêu thì gia tốc của chất điểm bằng bao nhiêu?

Kết quả: 20 (m/s²)

Đáp án là:

Một chất điểm chuyển động được biểu diễn bởi phương trình $S(t) = \frac{1}{4}t^{4} - \frac{7}{2}t^{2} - 6t + 10,(t > 0)$ , $t$ tính bằng giây, $S(t)$ tính bằng mét. Tại thời điểm vận tốc triệt tiêu thì gia tốc của chất điểm bằng bao nhiêu?

Kết quả: 20 (m/s²)

Vận tốc tức thời là

$v(t) = s'(t) = t^{3} - 7t - 6$

Gia tốc tức thời của chất điểm là:

$a(t) = v'(t) = 3t^{2} - 7$

Khi vận tốc bị triệt tiêu nghĩa là $v(t) = 0 \Leftrightarrow t^{3} - 7t - 6 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 3(tm) \\ t = - 1(ktm) \\ t = - 2(ltm) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy tại thời điểm vận tốc triệt tiêu t = 3 thì gia tốc của chất điểm bằng:

$a(3) = 3.(3)^{2} - 7 = 20\left( m/s^{2} ight)$
Câu 12: Nhận biết
Tính đạo hàm của hàm số

Hàm số $y = f(x)= \log_{2}\left( x^{2} - 2x ight)$ có đạo hàm là:
- A.
  $f'(x) = \frac{\ln2}{x^{2} -2x}$
- B.
  $f'(x) = \frac{1}{\left( x^{2} -2x ight)\ln2}$
- C.
  $f'(x) = \frac{(2x - 2)\ln2}{x^{2}- 2x}$
- D.
  $f'(x) = \frac{2x - 2}{\left(x^{2} - 2x ight)\ln2}$
Ta có:

$y = f(x) = \log_{2}\left( x^{2} - 2xight)$

$\Rightarrow y' = \frac{\left( x^{2}- 2x ight)'}{\left( x^{2} - 2x ight)\ln2} = \frac{2x - 2}{\left(x^{2} - 2x ight)\ln2}$
Câu 13: Vận dụng cao
Chọn mệnh đề đúng

Cho hàm số $f(x) = 2017e^{x^{2} - 1}$ và biểu thức $T = f'(x) - 2xf(x) + \frac{1}{2017}f(1) - f'(1)$ . Chọn mệnh đề đúng?
- A.
  $T = - 4033$ .
- B.
  $T = - 4035$ .
- C.
  $T = 4033$ .
- D.
  $T = - 1$ .
Tập xác định $D\mathbb{= R}$ .

Đạo hàm $f'(x) = 2017.\left( e^{x^{2} - 1} \right)' = 2017.\left( x^{2} - 1 \right)'.e^{x^{2} - 1} = 2017.2x.e^{x^{2} - 1}$ .

Ta có $f'(1) = 4034$ và $f(1) = 2017$ .

Do đó:

$T = 2017.2x.e^{x^{2} - 1} - 2x.2017e^{x^{2} - 1} + \frac{1}{2017}.2017 - 4034 = - 4033$ .
Câu 14: Thông hiểu
Giải bất phương trình

Cho hàm số $y=3x^{3}+x^{2}+1$ , có đạo hàm $y'$ . Để $y'\leq 0$ thì x nhận các giá trị thuộc tập nào sau đây?
- A.
  $\left[ { - \frac{2}{9};0} ight]$
- B.
  $\left[ { - \frac{9}{2};0} ight]$
- C.
  $\left( { - \infty ; - \frac{9}{2}} ight] \cup \left[ {0; + \infty } ight)$
- D.
  $\left( { - \infty ; - \frac{2}{9}} ight] \cup \left[ {0; + \infty } ight)$
Ta có:
$\begin{matrix} y = 3{x^3} + {x^2} + 1 \hfill \\ \Rightarrow y' = 9{x^2} + 2x \hfill \\ y' \leqslant 0 \hfill \\ \Leftrightarrow 9{x^2} + 2x \leqslant 0 \hfill \\ \Leftrightarrow x \in \left[ { - \dfrac{2}{9};0} ight] \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy x nhận các giá trị thuộc tập $\left[ { - \frac{2}{9};0} ight]$
Câu 15: Nhận biết
Xác định đạo hàm của hàm số

Tính đạo hàm của hàm số $y = \frac{\ln x}{x}$ ?
- A.
  $y' = - x$
- B.
  $y' = \frac{1 + \ln x}{x^{2}}$
- C.
  $y' = - \frac{1}{x^{3}}$
- D.
  $y' = \frac{1 - \ln x}{x^{2}}$
Ta có:

$y' = \left( \frac{\ln x}{x}ight)' = \frac{\left( \ln x ight)'.x - x'\ln x}{x^{2}} =\frac{1 - \ln x}{x^{2}}$
Câu 16: Thông hiểu
Tính đạo hàm của hàm số

Đạo hàm của hàm số $y = 2^{x^{2} + 2}$ là:
- A.
  $y' =2x.\log_{2}x$
- B.
  $y' = 2x.\ln\left( x^{2} + 2ight)$
- C.
  $y' = x.2^{x^{2} +2}\ln2$
- D.
  $y' = x.2^{x^{2} + 3}\ln2$
Ta có:

$y = 2^{x^{2} + 2}$

$\Rightarrow y' = \left( x^{2} + 2ight)'.2^{x^{2} + 2}.\ln2$

$= 2x.2^{x^{2} + 2}.ln2 = x.2^{x^{2} +3}.\ln2$
Câu 17: Nhận biết
Tính giá trị của f''(2)

Cho hàm số $f(x)=(x+10)^{6}$ . Tính giá trị của f''(2).
- A.
  $f''(2) = 622080$
- B.
  $f''(2) = 1492992$
- C.
  $f''(2) = 124416$
- D.
  $f''(2) = 103680$
Ta có:
$\begin{matrix} f(x) = {(x + 10)^6} \hfill \\ \Rightarrow f'\left( x ight) = 6.{\left( {x + 10} ight)^5} \hfill \\ \Rightarrow f''\left( x ight) = 6.5.{\left( {x + 10} ight)^4} = 30{\left( {x + 10} ight)^4} \hfill \\ \Rightarrow f''\left( 2 ight) = 622080 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 18: Nhận biết
Chọn đáp án chính xác

Cho hàm số $y = f\left( x ight) = \left\{ \begin{gathered} \dfrac{{a{x^2} - \left( {a - 2} ight)x - 2}}{{\sqrt {x + 3} - 2}}{\text{ khi }}x > 1 \hfill \\ 8 + {a^2}{\text{ khi }}x \leqslant 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.$ . Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số $a$ để hàm số liên tục tại điểm $x = 1$ ?
- A.
  $1$
- B.
  $2$
- C.
  $3$
- D.
  $4$
Ta có: $\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = f(1) = 8 + a^{2}$

$\lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{ax^{2} - (a - 2)x - 2}{\sqrt{x + 3} - 2}$

$= \lim_{x ightarrow 1^{+}}\dfrac{(x -1)(ax + 2)}{\dfrac{x - 1}{\sqrt{x + 3} + 2}}$

$= \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack (ax + 2)\left( \sqrt{x + 3} + 2 ight) ightbrack$

$= 4a + 8$

Hàm số liên tục tạo x = 1

$\Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = f(1)$

$\Leftrightarrow 4a + 8 = 8 + a^{2} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 0 \\ a = 4 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy có 2 giá trị của a thỏa mãn.
Câu 19: Vận dụng cao
Tính đạo hàm của hàm số tại x = 0

Cho hàm số $f(x) = x(x + 1)(x + 2)(x +3)...(x + n)$ với $n \in\mathbb{N}^{*}$ . Tính $f'(0)$ .
- A.
  $f'(0) = 0$
- B.
  $f'(0) = n$
- C.
  $f'(0) = n!$
- D.
  $f'(0) = \frac{n(n +1)}{2}$
Ta có:
$f'(0) = \lim_{x ightarrow0}\frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$
$= \lim_{x ightarrow 0}(x + 1)(x +2)...(x + n) = n!$
Câu 20: Nhận biết
Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số

Với $x\mathbb{\in R}$ , đạo hàm cấp hai của hàm số $y = x^{6} - 4x^{3} + 2x + 2022$ là:
- A.
  $y'' = 30x^{4} - 24x + 2$
- B.
  $y'' = 30x^{4} - 24x$
- C.
  $y'' = 6x^{5} - 12x^{2} + 2$
- D.
  $y'' = 6x^{5} - 12x^{2}$
Ta có: $y = x^{6} - 4x^{3} + 2x + 2022$

$\Rightarrow y' = 6x^{5} - 12x^{2} + 2$

$\Rightarrow y'' = 30x^{4} - 24x$
Câu 21: Vận dụng
Định m thỏa mãn yêu cầu

Tìm $m$ để các hàm số $y = (m - 1)x^{3} - 3(m + 2)x^{2} - 6(m + 2)x + 1$ có $y' \geq 0,\forall x\mathbb{\in R}$ ?
- A.
  $m \geq 3$ .
- B.
  $m \geq 1$ .
- C.
  $m \geq 4$ .
- D.
  $m \geq 4\sqrt{2}$ .
Ta có:

$y' = 3\left\lbrack (m - 1)x^{2} - 2(m + 2)x - 2(m + 2) \right\rbrack$

Do đó: $y' \geq 0 \Leftrightarrow (m - 1)x^{2} - 2(m + 2)x - 2(m + 2) \geq 0$

$m = 1$ thì $\Leftrightarrow - 6x - 6 \geq 0 \Leftrightarrow x \leq - 1$ nên $m = 1$

$m \neq 1$ thì đúng với $\forall x\mathbb{\in R \Leftrightarrow}\left\{ \begin{matrix} a = m - 1 > 0 \\ \Delta' \leq 0 \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 1 \\ (m + 1)(4 - m) \leq 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m \geq 4$

Vậy $m \geq 4$ là những giá trị cần tìm.
Câu 22: Nhận biết
Tính đạo hàm của hàm số

Đạo hàm của hàm số $y = 2^{x}$ là
- A.
  $y' = x.2^{x - 1}$
- B.
  $y' = 2^{x}$
- C.
  $y' =2^{x}.\ln2$
- D.
  $y' = 2^{x}.\ln x$
Ta có: $\left( a^{x} ight)' =a^{x}.\ln a$

$y = 2^{x} \Rightarrow y' =2^{x}.\ln2$
Câu 23: Vận dụng
Tính đạo hàm cấp 3 của hàm số tại x = 2

Cho hàm số $y=\frac{1}{x^{2}-1}$ . Tính giá trị của $y^{(3)}(2)$
- A.
  $A. y^{(3)}(2)=\frac{80}{27}$
- B.
  $B. y^{(3)}(2)=\frac{-80}{27}$
- C.
  $C. y^{(3)}(2)=\frac{40}{27}$
- D.
  $D. y^{(3)}(2)=\frac{-40}{27}$
$\begin{matrix} y = \dfrac{1}{{{x^2} - 1}} = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{1}{{x + 1}}} ight) \hfill \\ \Rightarrow y' = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}} ight) \hfill \\ \Rightarrow y'' = \dfrac{1}{2}\left[ {\dfrac{{2\left( {x - 1} ight)}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^4}}} - \dfrac{{2\left( {x + 1} ight)}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^4}}}} ight] \hfill \\ = \dfrac{1}{{{{\left( {x - 1} ight)}^3}}} - \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} ight)}^3}}} \hfill \\ \end{matrix}$
$\begin{matrix} \Rightarrow {y^{\left( 3 ight)}} = \dfrac{{ - 3{{\left( {x - 1} ight)}^2}}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^6}}} + \dfrac{{3{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^6}}} \hfill \\ = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^4}}} + \dfrac{3}{{{{\left( {x + 1} ight)}^4}}} \hfill \\ \Rightarrow {y^{\left( 3 ight)}}\left( 2 ight) = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {2 - 1} ight)}^4}}} + \dfrac{3}{{{{\left( {2 + 1} ight)}^4}}} = - \dfrac{{80}}{{27}} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 24: Thông hiểu

Phân tích sự đúng sai của các khẳng định đã cho

Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

a) Đạo hàm của hàm số $f(x) = x^{4} + 2\sqrt{x}$ là: $f'(x) = 4x^{3} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ .Đúng||Sai

b) Công thức đạo hàm của hàm số $y = \sin\left( x^{2018} + 1 ight)$ là $y' = - 2018x^{2017}\cos\left( x^{1018} + 1 ight)$ Sai||Đúng

c) Tập nghiệm của bất phương trình $y' \leq 0$ với $y = \frac{2x^{2} - 3x}{x - 2}$ có chứa 2 phần tử là số nguyên. Đúng||Sai

d) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $f(x) = x^{3} - 2x^{2} - 2$ tại điểm $x_{0} = - 2$ có phương trình là: $y = 20x + 10$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

a) Đạo hàm của hàm số $f(x) = x^{4} + 2\sqrt{x}$ là: $f'(x) = 4x^{3} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ .Đúng||Sai

b) Công thức đạo hàm của hàm số $y = \sin\left( x^{2018} + 1 ight)$ là $y' = - 2018x^{2017}\cos\left( x^{1018} + 1 ight)$ Sai||Đúng

c) Tập nghiệm của bất phương trình $y' \leq 0$ với $y = \frac{2x^{2} - 3x}{x - 2}$ có chứa 2 phần tử là số nguyên. Đúng||Sai

d) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $f(x) = x^{3} - 2x^{2} - 2$ tại điểm $x_{0} = - 2$ có phương trình là: $y = 20x + 10$ . Sai||Đúng

a) Ta có: $f'(x) = \left( x^{4} + 2\sqrt{x} ight)' = \left( x^{4} ight)' + \left( 2\sqrt{x} ight)'$

$= 4x^{3} + 2.\frac{1}{2\sqrt{x}} = 4x^{3} + \frac{1}{\sqrt{x}}$

b) Ta có

$y = \sin\left( x^{2018} + 1 ight)$

$\Rightarrow y' = \left( x^{2018} + 1 ight)'.cos\left( x^{2018} + 1 ight)$

$\Rightarrow y' = 2018x^{2017}.cos\left( x^{2018} + 1 ight)$

c) Ta có: $y = \frac{2x^{2} - 3x}{x - 2}$

$\Rightarrow y' = \left( \frac{2x^{2} - 3x}{x - 2} ight)' = \frac{(4x - 3)(x - 2) - \left( 2x^{2} - 3x ight)}{(x - 2)^{2}}$

$= \frac{4x^{2} - 11x + 6 - 2x^{2} + 3x}{(x - 2)^{2}} = \frac{2x^{2} - 8x + 6}{(x - 2)^{2}}$

Khi đó $y' \leq 0 \Leftrightarrow \frac{2x^{2} - 8x + 6}{(x - 2)^{2}} \leq 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 \leq x \leq 3 \\ x eq 2 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình có chứa 2 giá trị nguyên.

d) Ta có:

$f(x) = x^{3} - 2x^{2} - 2 \Rightarrow f'(x) = 3x^{2} - 4x$

Với $x_{0} = - 2$ $\Rightarrow y_{0} = - 18;f'\left( x_{0} ight) = 20$ nên ta có phương trình tiếp tuyến là:

$y = f'\left( x_{0} ight)\left( x - x_{0} ight) + y_{0}$

$\Leftrightarrow y = 20(x + 2) - 18$

$\Leftrightarrow y = 20x + 22$ .
Câu 25: Nhận biết
Tính đạo hàm của hàm số

Cho hàm số $y = 1000^{2 - x}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $y' = \frac{1000^{2 -x}}{\ln1000}$
- B.
  $y' = - 1000^{2 -x}.\ln1000$
- C.
  $y' = 1000^{2 -x}.\ln1000$
- D.
  $y' = x.1000^{2 - x}$
Ta có: $y = 1000^{2 - x}$

$\Rightarrow y' = (2 - x)'.1000^{2 - x}.ln1000$

$\Rightarrow y' = - 1000^{2 -x}.\ln1000$
Câu 26: Thông hiểu

Điền đáp án vào ô trống

Cho hàm số $y = f(x) = \frac{3x}{|x| + 1}$ . Giá trị $f'(0) =$ 3

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x) = \frac{3x}{|x| + 1}$ . Giá trị $f'(0) =$ 3

Ta có: $f'(0) = \lim_{x ightarrow 0}\frac{f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{3}{|x| + 1}$

Mà $\left\{ \begin{matrix}\lim_{x ightarrow 0^{+}}\dfrac{3}{|x| + 1} = \lim_{x ightarrow0^{+}}\dfrac{3}{x + 1} = 3 \\\lim_{x ightarrow 0^{-}}\dfrac{3}{|x| + 1} = \lim_{x ightarrow0^{-}}\dfrac{3}{1 - x} = 3 \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{3}{|x| + 1} = \lim_{x ightarrow 0^{-}}\frac{3}{|x| + 1} = 3$

$\Rightarrow \lim_{x ightarrow 0}\frac{3}{|x| + 1} = 3$

$\Rightarrow f'(0) = \lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{3}{|x| + 1} = 3$
Câu 27: Nhận biết
Chọn phát biểu đúng

Chọn phát biểu đúng trong các phát biểu dưới đây?
- A.
  Nếu hàm số y = f(x) không liên tục tại điểm m thì nó có đạo hàm tại điểm đó.
- B.
  Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm m thì nó không liên tục tại điểm đó.
- C.
  Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm m thì nó liên tục tại điểm đó.
- D.
  Nếu hàm số y = f(x) liên tục tại điểm m thì nó có đạo hàm tại điểm đó.
Phát biểu đúng là: “Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại m thì nó liên tục tại điểm đó.”
Câu 28: Thông hiểu
Tính thời điểm khi vận tốc đạt min

Một chất điểm chuyển động có phương trình $s(t) = t^{3} - 3t^{2} + 9t + 2$ , trong đó t > 0, t tính bằng giây và s(t) tính bằng mét. Hỏi tại thời điểm nào thì vận tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất?
- A.
  t = 1 s
- B.
  t = 2 s
- C.
  t = 3 s
- D.
  t = 6 s
Ta có $s'(t) = 3t^{2} - 6t +9$
Vận tốc của chất điểm
$v(t) = s'(t) = 3t^{2} - 6t +9$
$\Rightarrow v(t) = 3(t - 1)^{2} + 6 \geq6$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t = 1
Câu 29: Thông hiểu
Tính đạo hàm cấp 3 của hàm số

Tính đạo hàm cấp 3 của hàm số $f(x)=(2x+5)^{5}$
- A.
  $y^{(3)}(x)=80(2x+5)^{3}$
- B.
  $y^{(3)}(x)=480(2x+5)^{3}$
- C.
  $y^{(3)}(x)=-480(2x+5)^{3}$
- D.
  $y^{(3)}(x)=-80(2x+5)^{3}$
Ta có:
$\begin{matrix} f(x) = {(2x + 5)^5} \hfill \\ \Rightarrow f'\left( x ight) = 5.2.{\left( {2x + 5} ight)^4} = 10.{\left( {2x + 5} ight)^4} \hfill \\ \Rightarrow f''\left( x ight) = 80.{\left( {2x + 5} ight)^3} \hfill \\ \Rightarrow {f^{\left( 3 ight)}}\left( x ight) = 480.{\left( {2x + 5} ight)^2} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 30: Vận dụng cao
Xác định công thức đạo hàm bậc n

Biết $f(x) = \cos(x + a)$ . Xác định công thức của $f^{(21)}(x)$ ?
- A.
  $- \cos\left( x + a + \frac{\pi}{2} ight)$
- B.
  $- \sin\left( x + a + \frac{\pi}{2} ight)$
- C.
  $\cos\left( x + a + \frac{\pi}{2} ight)$
- D.
  $\sin\left( x + a + \frac{\pi}{2} ight)$
Ta có:

$f(x) = \cos(x + a)$

$f'(x) = - \sin(x + a) = \cos\left( x + a + \frac{\pi}{2} ight)$

$f''(x) = - \sin\left( x + a + \frac{\pi}{2} ight) = \cos\left( x + a + \frac{2\pi}{2} ight)$

…

$f^{(21)}(x) = \cos\left( x + a + \frac{21\pi}{2} ight) = \cos\left( x + a + \frac{\pi}{2} ight)$
Câu 31: Thông hiểu
Xác định đạo hàm cấp hai của hàm số

Tìm công thức đạo hàm cấp hai của hàm số $y = \frac{3x + 1}{x + 2}$ ?
- A.
  $y'' = \frac{10}{(x + 2)^{2}}$
- B.
  $y'' = - \frac{10}{(x + 2)^{3}}$
- C.
  $y'' = - \frac{5}{(x + 2)^{3}}$
- D.
  $y'' = - \frac{5}{(x + 2)^{4}}$
Ta có: $y = \frac{3x + 1}{x + 2} = 3 - \frac{5}{x + 2}$

$\Rightarrow y' = \frac{5}{(x + 2)^{2}} \Rightarrow y'' = \frac{- 10}{(x + 2)^{3}}$
Câu 32: Thông hiểu
Tìm các giá trị tham số m

Cho hàm số $y = 2^{x^{2} - mx + 1}$ . Với giá trị nào của tham số m thì $y'(0) = \ln2$ ?
- A.
  $m = - \frac{1}{2}$
- B.
  $m = \frac{1}{2}$
- C.
  $m = 2$
- D.
  $m = - 2$
Tập xác định $D\mathbb{= R}$

Ta có: $y = 2^{x^{2} - mx + 1}$

$\Rightarrow y' = \left( x^{2} - mx +1 ight)'.2^{x^{2} - mx + 1}.\ln2$

$\Rightarrow y' = (2x - m).2^{x^{2} - mx + 1}.ln2$

Theo bài ra ta có:

$y'(0) = \ln2$

$\Leftrightarrow (2.0 - m).2^{1}.\ln2 =\ln2$

$\Leftrightarrow m = - \frac{1}{2}$
Câu 33: Thông hiểu
Tính tỉ số

Tính tỉ số $\frac{\Delta y}{\Deltax}$ của hàm số $y = 3x +1$ theo x và $\Delta x$
- A.
  $\frac{\Delta y}{\Delta x} =0$
- B.
  $\frac{\Delta y}{\Delta x} =1$
- C.
  $\frac{\Delta y}{\Delta x} =2$
- D.
  $\frac{\Delta y}{\Delta x} =3$
Ta có:
$\Delta y = f(x + \Delta x) -f(x)$
$\Delta y = \left\lbrack 3(x + \Delta x)+ 1 ightbrack - (3x + 1)$
$\Delta y = 3\Delta x$
$\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} =3$
Câu 34: Nhận biết
Tính hệ số góc k

Tìm hệ số góc k của tiếp tuyến của parabol $y = x^{2}$ tại điểm có hoành độ $\frac{1}{2}$ .
- A.
  $k = 0$
- B.
  $k = 1$
- C.
  $k = \frac{1}{4}$
- D.
  $k = - \frac{1}{2}$
Ta có:
$y'\left( \dfrac{1}{2} ight) =\lim_{\Delta x ightarrow 0}\dfrac{f\left( \dfrac{1}{2} + \Delta xight) - f\left( \dfrac{1}{2} ight)}{\Delta x}$
$= \lim_{\Delta x ightarrow0}\dfrac{\left( \dfrac{1}{2} + \Delta x ight)^{2} - \left( \dfrac{1}{2}ight)^{2}}{\Delta x}$
$= \lim_{\Delta x ightarrow 0}(1 +\Delta x) = 1$
Câu 35: Vận dụng

Điền đáp án vào chỗ trống

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên tập số thực thỏa mãn $\lim_{x ightarrow 2}\frac{f(x) - 16}{x - 2} = 12$ . Tính giới hạn $\lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt[3]{5f(x) - 16} - 4}{x^{2} + 2x - 8}$ ?

Kết quả: 5/24

(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên tập số thực thỏa mãn $\lim_{x ightarrow 2}\frac{f(x) - 16}{x - 2} = 12$ . Tính giới hạn $\lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt[3]{5f(x) - 16} - 4}{x^{2} + 2x - 8}$ ?

Kết quả: 5/24

(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Do $\lim_{x ightarrow 2}\frac{f(x) - 16}{x - 2} = 12$ mà $\lim_{x ightarrow 2}(x - 2) = 0 \Rightarrow \lim_{x ightarrow 2}\left\lbrack f(x) - 16 ightbrack = 0$

$\Rightarrow \lim_{x ightarrow 2}f(x) = 16$

Ta có:

$\lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt[3]{5f(x) - 16} - 4}{x^{2} + 2x - 8}$

$= \lim_{x ightarrow 2}\frac{5f(x) - 16 - 4^{3}}{(x - 2)(x + 4)\left\lbrack \left( \sqrt[3]{5f(x) - 16} ight)^{2} + 4\sqrt[3]{5f(x) - 16} + 4x^{2} ightbrack}$

$= \lim_{x ightarrow 2}\frac{5\left\lbrack f(x) - 16 ightbrack}{(x - 2)(x + 4)\left\lbrack \left( \sqrt[3]{5f(x) - 16} ight)^{2} + 4\sqrt[3]{5f(x) - 16} + 4x^{2} ightbrack}$

$= \lim_{x ightarrow 2}\left\{ \frac{f(x) - 16}{(x - 2)}.\frac{5}{(x + 4)\left\lbrack \left( \sqrt[3]{5f(x) - 16} ight)^{2} + 4\sqrt[3]{5f(x) - 16} + 4x^{2} ightbrack} ight\} = T$

Mà $\lim_{x ightarrow 2}\frac{f(x) - 16}{(x - 2)} = 12$ và $\lim_{x ightarrow 2}\frac{5}{(x + 4)\left\lbrack \left( \sqrt[3]{5f(x) - 16} ight)^{2} + 4\sqrt[3]{5f(x) - 16} + 4x^{2} ightbrack} = \frac{5}{288}$

Nên $T = 12.\frac{5}{288} = \frac{5}{24}$
Câu 36: Vận dụng
Tìm số nghiệm của phương trình

Cho hàm số $y = \sqrt{3}\cos x + \sin x - x^{2} + 2021x + 2022$ . Có bao nhiêu nghiệm thuộc $\lbrack 0;4\pibrack$ thỏa mãn phương trình $y'' = 0$ ?
- A.
  $1$
- B.
  $2$
- C.
  $3$
- D.
  $4$
Ta có:

$y = \sqrt{3}\cos x + \sin x - x^{2} + 2021x + 2022$

$\Rightarrow y' = \sqrt{3}\sin x + \cos x - 2x + 2021$

$\Rightarrow y'' = \sqrt{3}\cos x - \sin x - 2$

Lại có $y'' = 0 \Leftrightarrow \sqrt{3}\cos x - \sin x - 2 = 0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x = - 1$

$\Leftrightarrow \sin\left( x - \frac{\pi}{3} ight) = - 1$

$\Leftrightarrow x - \frac{\pi}{3} = \frac{- \pi}{2} + k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

$\Leftrightarrow x = \frac{- \pi}{6} + k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Do $x \in \lbrack 0;3\pibrack \Leftrightarrow 0 \leq \frac{- \pi}{6} + k2\pi \leq 4\pi$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{12} \leq k \leq \dfrac{25}{12} \\k\mathbb{\in Z} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow k \in \left\{ 1;2ight\}$

Vậy có 2 nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 37: Thông hiểu
Tính đạo hàm của hàm số

Tính đạo hàm của hàm số $y = \frac{{2x}}{{x - 1}}$ tại $x=-1$
- A. $y'\left( { - 1} ight) = 1$
- B. $y'\left( { - 1} ight) = - \frac{1}{2}$
- C. $y'\left( { - 1} ight) = - 2$
- D. $y'\left( { - 1} ight) = 0$
Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 ight\}$
Ta có:
$\begin{matrix} y' = \left( {\dfrac{{2x}}{{x - 1}}} ight)\prime \hfill \\ = \dfrac{{\left( {2x} ight)'.\left( {x - 1} ight) - 2x.\left( {x - 1} ight)'}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} \hfill \\ = \dfrac{{2\left( {x - 1} ight) - 2x}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} \hfill \\ \end{matrix}$
Suy ra đạo hàm của hàm số $y = \frac{{2x}}{{x - 1}}$ tại $x=-1$ là:
$y'\left( { - 1} ight) = \frac{{ - 2}}{{{{\left( { - 1 - 1} ight)}^2}}} = - \frac{1}{2}$
Câu 38: Thông hiểu

Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận

Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

a) Số gia của hàm số $f(x) = x^{2} - 4x + 1$ tương ứng với $x$ và $\Delta x$ là $\Delta x(\Delta x + 2x - 4)$ Đúng||Sai

b) Qua điểm $A(0;2)$ có thể kẻ được 2 tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = x^{4} - 2x^{2} + 2$ . Sai||Đúng

c) Cho hàm số $f(x) = \left\{\begin{matrix}\dfrac{3 - \sqrt{4 - x}}{4}\ \ khi\ x eq 0 \\\dfrac{1}{4}\ \ \ \ \ khi\ x = 0 \\\end{matrix} ight.$ . Khi đó $f'(0) = \frac{1}{16}$ Đúng||Sai

d) Cho hàm số $y = \sqrt{x^{2} + 1}$ khi đó ta có $y.y' = 2x$ Sai||Đúng

Đáp án là:

Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

a) Số gia của hàm số $f(x) = x^{2} - 4x + 1$ tương ứng với $x$ và $\Delta x$ là $\Delta x(\Delta x + 2x - 4)$ Đúng||Sai

b) Qua điểm $A(0;2)$ có thể kẻ được 2 tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = x^{4} - 2x^{2} + 2$ . Sai||Đúng

c) Cho hàm số $f(x) = \left\{\begin{matrix}\dfrac{3 - \sqrt{4 - x}}{4}\ \ khi\ x eq 0 \\\dfrac{1}{4}\ \ \ \ \ khi\ x = 0 \\\end{matrix} ight.$ . Khi đó $f'(0) = \frac{1}{16}$ Đúng||Sai

d) Cho hàm số $y = \sqrt{x^{2} + 1}$ khi đó ta có $y.y' = 2x$ Sai||Đúng

a) Ta có:

$\Delta y = f(\Delta x + x) - f(x)$

$= (\Delta x + x)^{2} - 4(\Delta x + x) + 1 - \left( x^{2} - 4x + 1 ight)$

$= \Delta x^{2} + 2\Delta x.x - 4\Delta x = \Delta x(\Delta x + 2x - 4)$

b) Ta có

Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho

Vì A(0; 2) thuộc đường thẳng d nên phương trình của d có dạng $y = kx + 2$

Vì d tiếp xúc với đồ thị (C) nên hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} x^{4} - 2x^{2} + 2 = kx + 2(*) \\ 4x^{3} - 4x = k(**) \\ \end{matrix} ight.$ có nghiệm

Thay (**) vào (*) ta suy ra $\left\lbrack\begin{matrix}x = 0 \\x = \pm \sqrt{\dfrac{2}{3}} \\\end{matrix} ight.$

Chứng tỏ từ A ta có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C).

c) Ta có:

$\lim_{x ightarrow 0}\dfrac{f(x) -f(0)}{x - 0} = \lim_{x ightarrow 0}\dfrac{\dfrac{3 - \sqrt{4 - x}}{4} -\dfrac{1}{4}}{x} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{2 - \sqrt{4 -x}}{4x}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{\left( 2 - \sqrt{4 - x} ight)\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)}{4x\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{x}{4x\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{1}{4\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)} = \frac{1}{16}$

d) Ta có:

$y' = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} \Rightarrow y.y' = \sqrt{x^{2} + 1}.\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} = x$
Câu 39: Vận dụng
Tìm tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Định $m$ để đồ thị hàm số $y = x^{3} - mx^{2} + 1$ tiếp xúc với đường thẳng $d:y = 5$ ?
- A.
  $m = - 3$ .
- B.
  $m = 3$ .
- C.
  $m = - 1$ .
- D.
  $m = 2$ .
Đường thẳng $y = x^{3} - mx^{2} + 1$ và đồ thị hàm số $y = 5$ tiếp xúc nhau

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x^{3} - mx^{2} + 1 = 5\ \ \ (1) \\ 3x^{2} - 2mx = 0\ \ \ \ \ \ (2) \end{matrix} \right.$ có nghiệm.

. $(2) \Leftrightarrow x(3x - 2m) = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = 0 \\x = \dfrac{2m}{3}\end{matrix} \right.$ .

+ Với $x = 0$ thay vào $(1)$ không thỏa mãn.

+ Với $x = \frac{2m}{3}$ thay vào $(1)$ ta có: $m^{3} = - 27 \Leftrightarrow m = - 3$ .
Câu 40: Thông hiểu
Tìm công thức chính xác

Cho hàm số $y = f(x) = sin^{3}x$ . Công thức nào sau đây đúng?
- A.
  $y'' + 9y = \sin x$
- B.
  $y'' + 9y - 6\sin x =0$
- C.
  $y'' + 9y = 6cosx$
- D.
  $y'' + 9y + 6cosx = 0$
Ta có: $y = f(x) = \sin^{3}x$

$\Rightarrow f'(x) =3\sin^{2}x.\cos x$

$\Rightarrow f''(x) =6\sin x.\cos^{2}x - 3\sin^{3}x$

Khi đó

$y'' + 9y = 6\sin x.\cos^{2}x -3\sin^{3}x + 9\sin^{3}x$

$= 6\sin x\left( \sin^{2}x + \cos^{2}xight) = 6\sin x$

$\Rightarrow y'' + 9y - 6\sin x =0$

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Chân trời sáng tạo Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

39 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Chân trời sáng tạo

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 Chân trời sáng tạo
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân
Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số ghép số liệu nhóm
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Đạo hàm
Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 9: Xác suất

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Chân trời sáng tạo

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 11 Chân trời sáng tạo

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân

Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian

Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số ghép số liệu nhóm

Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 7: Đạo hàm

Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian

Chương 9: Xác suất