VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Chân trời sáng tạo

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 CTST Chương 7: Đạo hàm nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay

Câu 1: Vận dụng
Tính giá trị của hàm số tại một điểm

Cho hàm số $f(x)= \sin2x$ và $g(x) = \frac{4f(x)}{f''(x)}$ . Tính giá trị $g\left( \frac{\pi}{6} ight)$ ?
- A.
  $- \frac{\sqrt{3}}{2}$
- B.
  $- 1$
- C.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$
- D.
  $1$
Ta có:

$f(x) = \sin2x \Rightarrow f'(x) =2\cos2x$

$\Rightarrow f''(x) = -4\sin2x$

$g(x) = \frac{4f(x)}{f''(x)} =\frac{4\sin2x}{- 4\sin2x} = - 1;\forall x eq \frac{k\pi}{2};k\in \mathbb{Z}$

$\Rightarrow g\left( \frac{\pi}{6} ight) = - 1$
Câu 2: Vận dụng
Tìm giá trị m, n thỏa mãn điều kiện

Cho hàm số $f(x)=\begin{cases}\ mx^{2}+2x+2 & \text{ khi } x>0 \\ nx+1 & \text{ khi } x\leq 0 \end{cases}$ . Tìm tất cả các giá trị của các tham số m, n sao cho f(x) có đạo hàm tại điểm x = 0
- A.
  Không tồn tại m, n
- B.
  $m=2,\forall n$
- C.
  $n=2,\forall m$
- D.
  $m=n=2$
Ta có:
$\begin{matrix} \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = 2 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x ight) = 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) e \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x ight) \hfill \\ \end{matrix}$
=> Hàm số không liên tục tại x = 0. Do đó f(x) không có đạo hàm tại x = 0
=> Không tồn tại các tham số m, n sao cho f(x) có đạo hàm tại điểm x = 0.
Câu 3: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{x - 2}{x + 1}$ tại điểm $x_{0} = 0$ ?
- A.
  $y = 3x - 2$
- B.
  $y = - 3x - 2$
- C.
  $y = - 3x - 3$
- D.
  $y = 3x + 2$
TXĐ: $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 1 ight\}$

Ta có: $y(0) = \frac{0 - 2}{0 + 1} = - 2$

$y' = \frac{3}{(x + 1)^{2}} \Rightarrow y'(0) = 3$

Suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $x_{0} = 0$ là:

$y = 3(x - 0) - 2 \Rightarrow y = 3x - 2$
Câu 4: Nhận biết
Viết phương trình tiếp tuyến

Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong $y = x^{3}$ tại điểm (-1; -1)
- A.
  $y = - 3x - 4$
- B.
  $y = - 1$
- C.
  $y = 3x - 2$
- D.
  $y = 3x + 2$
Ta tính được $k = y'( - 1) =3$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}x_{0} = - 1 \\y_{0} = - 1 \\k = 3 \\\end{matrix} ight.$
Suy ra phương trình tiếp tuyến
$y + 1 = 3(x + 1)$
$\Rightarrow y = 3x + 2$
Câu 5: Thông hiểu
Tính tỉ số

Tính tỉ số $\frac{\Delta y}{\Deltax}$ của hàm số $y = 3x +1$ theo x và $\Delta x$
- A.
  $\frac{\Delta y}{\Delta x} =0$
- B.
  $\frac{\Delta y}{\Delta x} =1$
- C.
  $\frac{\Delta y}{\Delta x} =2$
- D.
  $\frac{\Delta y}{\Delta x} =3$
Ta có:
$\Delta y = f(x + \Delta x) -f(x)$
$\Delta y = \left\lbrack 3(x + \Delta x)+ 1 ightbrack - (3x + 1)$
$\Delta y = 3\Delta x$
$\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} =3$
Câu 6: Nhận biết
Định nghĩa đạo hàm

Cho $f$ là hàm số liên tục tại x₀. Đạo hàm của $f$ tại x₀ là:
- A.
  $f(x)$
- B.
  $\frac{f\left( x_{0} + h ight) -f(x)}{h}$
- C.
  $\lim_{h ightarrow 0}\frac{f\left(x_{0} + h ight) - f(x)}{h}$ (nếu tồn tại giới hạn)
- D.
  $\lim_{h ightarrow 0}\frac{f\left(x_{0} + h ight) - f\left( x_{0} - h ight)}{h}$ (nếu tồn tại giới hạn)
Đạo hàm của $f$ tại x₀ là: $\lim_{h ightarrow 0}\frac{f\left(x_{0} + h ight) - f(x)}{h}$ (nếu tồn tại giới hạn).
Câu 7: Thông hiểu
Viết phương trình tiếp tuyến

Cho hàm số $y = f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 1$ . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ $x_{0}$ thỏa mãn phương trình $f''(x) = 0$ ?
- A.
  $3x + y + 2 = 0$
- B.
  $x + 3y - 2 = 0$
- C.
  $3x + y - 2 = 0$
- D.
  $- 3x + y + 2 = 0$
Ta có:

$f'(x) = 3x^{2} - 6x \Rightarrow f''(x) = 6x - 6$

Ta có:

$f''(x) = 0$

$\Leftrightarrow 6x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 1(tm)$

Khi đó $f'(1) = - 3 \Rightarrow M(1; - 1)$

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M là

$y = f'(1)(x - 1) + f(1)$

$\Leftrightarrow 3x + y - 2 = 0$
Câu 8: Vận dụng
Chọn đáp án thích hợp

Cho hàm số $f(x) = \frac{1 - 3x + x^{2}}{x - 1}$ . Tập nghiệm của bất phương trình $f'(x) > 0$ là:
- A.
  $\mathbb{R}\backslash\left\{ 1 \right\}$ .
- B.
  $\varnothing$ .
- C.
  $(1; + \infty)$ .
- D.
  $\mathbb{R}$ .
Ta có:

$f'(x) = \left( \frac{1 - 3x + x^{2}}{x - 1} \right)'$

$= \frac{\left( 1 - 3x + x^{2} \right)'(x - 1) - \left( 1 - 3x + x^{2} \right)(x - 1)'}{(x - 1)^{2}}$

$= \frac{( - 3 + 2x)(x - 1) - \left( 1 - 3x + x^{2} \right)}{(x - 1)^{2}} = \frac{x^{2} - 2x + 2}{(x - 1)^{2}}$

$= \frac{(x - 1)^{2} + 1}{(x - 1)^{2}} > 0,\forall x \neq 1$
Câu 9: Nhận biết

Điền đáp án vào ô trống

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm thỏa mãn $f'(6) = 2$ . Giá trị của biểu thức $\lim_{x ightarrow 6}\frac{f(x) - f(6)}{x - 6} =$ 2

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm thỏa mãn $f'(6) = 2$ . Giá trị của biểu thức $\lim_{x ightarrow 6}\frac{f(x) - f(6)}{x - 6} =$ 2

Hàm số $y = f(x)$ có tập xác định là $D;x_{0} \in D$ . Nếu tồn tại giới hạn $\lim_{x ightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} ight)}{x - x_{0}}$ thì giới hạn gọi là đạo hàm của hàm số tại điểm $x_{0}$

Vậy kết quả của biểu thức $\lim_{x ightarrow 6}\frac{f(x) - f(6)}{x - 6} = f'(6) = 2$
Câu 10: Vận dụng

Tính vận tốc lớn nhất của chuyển động

Quãng đường chuyển động của một ô tô được biểu diễn bằng phương trình $S(t) = - t^{3} + 9t^{2} + t + 10$ , trong đó $S$ tính bằng mét và $t$ tính bằng giây. Trong thời gian $5s$ kể từ khi bắt đầu chuyển động, ô tô đạt vận tốc lớn nhất bằng bao nhiêu?

Kết quả: 28(m/s)

Đáp án là:

Quãng đường chuyển động của một ô tô được biểu diễn bằng phương trình $S(t) = - t^{3} + 9t^{2} + t + 10$ , trong đó $S$ tính bằng mét và $t$ tính bằng giây. Trong thời gian $5s$ kể từ khi bắt đầu chuyển động, ô tô đạt vận tốc lớn nhất bằng bao nhiêu?

Kết quả: 28(m/s)

Ta có:

$S(t) = - t^{3} + 9t^{2} + t + 10$

Suy ra vận tốc của chuyển động là $v(t) = S'(t) = - 3t^{2} + 18t + 1$

Dễ thấy hàm số $v(t)$ là hàm số bậc hai có đồ thị dạng Parabol với hệ số $a = - 3 < 0$

Ta có hoành độ đỉnh của Parabol là $t = 3 \in \lbrack 0;5brack$

Do đó $v_{\max} = v(3) = 28$

Vậy giá trị lớn nhất của vận tốc ô tô chuyển động trong 5 giây đầu là $28m/s$
Câu 11: Nhận biết
Tìm hệ số góc k

Xác định hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3x^{2} + 2$ tại điểm $N(1;0)$ ?
- A.
  $k = 1$
- B.
  $k = - 1$
- C.
  $k = - 3$
- D.
  $k = 2$
Ta có: $y'(x) = 3x^{2} - 6x$

Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $N(1;0)$ là:

$y'(1) = - 3$
Câu 12: Thông hiểu
Tính f''(x)

Tính đạo hàm cấp hai tại điểm $x_{0} = - 1$ của hàm số $f(x) = \frac{1}{2x - 1}$ ?
- A.
  $- \frac{8}{27}$
- B.
  $\frac{2}{9}$
- C.
  $\frac{- 4}{27}$
- D.
  $\frac{- 2}{9}$
Tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{1}{2} ight\}$

Ta có:

$f(x) = \frac{1}{2x - 1} \Rightarrow f'(x) = \frac{- 2}{(2x - 1)^{2}}$

$\Rightarrow f''(x) = \frac{8}{(2x - 1)^{3}}$

$\Rightarrow f''( - 1) = \frac{8}{\left\lbrack 2.( - 1) - 1 ightbrack^{3}} = - \frac{8}{27}$
Câu 13: Nhận biết
Chọn công thức đúng

Tìm khẳng định đúng dưới đây?
- A.
  $\left( \sqrt{x} ight)' = \frac{1}{\sqrt{x}}$
- B.
  $(x)' = 0$
- C.
  $\left( \frac{1}{x} ight)' = \frac{1}{x^{2}}$
- D.
  $(m.x)' = m;(m = const)$
Ta có

$\left( \sqrt{x} ight)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$(x)' = 1$

$\left( \frac{1}{x} ight)' = - \frac{1}{x^{2}}$
Câu 14: Thông hiểu

Phân tích sự đúng sai của các khẳng định

Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

a) Số gia của hàm số $f(x) = x^{2}$ ứng với $x_{0} = 2;\Delta x = 1$ bằng $5$ . Đúng||Sai

b) Cho hàm số $f(x) = \frac{1}{x^{2} - 2x + 5}$ . Giá trị $f'(1) = 0$ Đúng||Sai

c) Đạo hàm của hàm số $y = \left( x^{3} - 5 ight)\sqrt{x}$ trên khoảng $(0; + \infty)$ bằng biểu thức $\frac{7}{2}\sqrt{x^{5}} + \frac{5}{2\sqrt{x}}$ Sai||Đúng

d) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^{4} + x$ vuông góc với $y = - \frac{1}{5}x + 2$ là $y = 5x + 2$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

a) Số gia của hàm số $f(x) = x^{2}$ ứng với $x_{0} = 2;\Delta x = 1$ bằng $5$ . Đúng||Sai

b) Cho hàm số $f(x) = \frac{1}{x^{2} - 2x + 5}$ . Giá trị $f'(1) = 0$ Đúng||Sai

c) Đạo hàm của hàm số $y = \left( x^{3} - 5 ight)\sqrt{x}$ trên khoảng $(0; + \infty)$ bằng biểu thức $\frac{7}{2}\sqrt{x^{5}} + \frac{5}{2\sqrt{x}}$ Sai||Đúng

d) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^{4} + x$ vuông góc với $y = - \frac{1}{5}x + 2$ là $y = 5x + 2$ . Sai||Đúng

a) Ta có: $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) = (x + \Delta x)^{2} - x^{2}$

$= x^{2} + 2x\Delta x + (\Delta x)^{2} - x^{2} = 2x\Delta x + (\Delta x)^{2}(*)$

Thay $x_{0} = 2;\Delta x = 1$ vào (*) ta được:

$\Delta y = 2.2.1 + 1^{2} = 5$

b) Ta có $f(x) = \frac{1}{x^{2} - 2x + 5}$

$\Rightarrow f'(x) = - \frac{2x - 2}{\left( x^{2} - 2x + 5 ight)^{2}} \Rightarrow f'(1) = 0$

c) Ta có:

$y = \left( x^{3} - 5 ight)\sqrt{x}$

$\Rightarrow y' = \left( x^{3} - 5 ight)'\sqrt{x} + \left( x^{3} - 5 ight).\left( \sqrt{x} ight)'$

$= 3x^{2}\sqrt{x} + \left( x^{3} - 5 ight).\frac{1}{2\sqrt{x}}$

$= \frac{7}{2}\sqrt{x^{5}} - \frac{5}{2\sqrt{x}}$

d) Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k. Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $y = - \frac{1}{5}x + 2$ nên ta có: $k.\left( - \frac{1}{5} ight) = - 1 \Rightarrow k = 5$

Gọi $M\left( x_{0};y_{0} ight)$ là tiếp điểm khi đó ta có: $y'\left( x_{0} ight) = 5$

Mặt khác $y' = 4x^{3} + 1 \Rightarrow y'\left( x_{0} ight) = 5 \Rightarrow x_{0} = 1 \Rightarrow y_{0} = 2$

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: $y = 5(x - 1) + 2 = 5x - 3$
Câu 15: Vận dụng cao
Tính tổng S

Tính tổng

$S = 2.1.C_{2021}^{2} + 4.3.C_{2021}^{4} + ... + 2k.(2k - 1).C_{2021}^{2k} + ... + 2020.2019.C_{2021}^{2020}$
- A.
  $2021.2020.2^{2018}$
- B.
  $2021.2020.2^{2019}$
- C.
  $2021.2020.2^{2020}$
- D.
  $2021.2020.2^{2021}$
Xét

$f(x) = (x + 1)^{2021} = C_{2021}^{0} + C_{2021}^{1}x + C_{2021}^{2}x^{2} + ... + C_{2021}^{2020}x^{2020} + C_{2021}^{2021}x^{2021}$

$\Rightarrow f'(x) = 2021(x + 1)^{2020} = C_{2021}^{1}x + 2C_{2021}^{2}x + ... + 2020C_{2021}^{2020}x^{2019} + 2021C_{2021}^{2021}x^{2020}$

$\Rightarrow f''(x) = 2021.2020.(x + 1)^{2019} = 2C_{2021}^{2} + 3.2C_{2021}^{2}x + ...$

$+ 2020.2019.C_{2021}^{2020}x^{2018} + 2021.2020.C_{2021}^{2021}x^{2019}$

$\Rightarrow f''(1) = 2021.2020.2^{2019} = 2C_{2021}^{2} + 3.2C_{2021}^{2} + ...$

$+ 2020.2019.C_{2021}^{2020} + 2021.2020.C_{2021}^{2021}$

$\Rightarrow f''( - 1) = 0 = 2C_{2021}^{2} - 3.2C_{2021}^{2} + ...$

$+ 2020.2019.C_{2021}^{2020} - 2021.2020.C_{2021}^{2021}$

$\Rightarrow f''(1) + f''( - 1) = 2021.2020.2^{2019}$

$= 2.\left\lbrack 2.C_{2021}^{2} + 4.3C_{2021}^{4} + ... + 2020.2019.C_{2021}^{2020} ightbrack$

$\Leftrightarrow 2021.2020.2^{2018} = 2.C_{2021}^{2} + 4.3C_{2021}^{4} + ... + 2020.2019.C_{2021}^{2020}$

$\Leftrightarrow 2021.2020.2^{2018} = S$
Câu 16: Nhận biết
Tính đạo hàm tại một điểm

Cho $f(x) = \sin x + \cos x$ . Khi đó $f'\left( \frac{\pi}{6} ight)$ bằng:
- A.
  $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$
- B.
  $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$
- C.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$
- D.
  $\frac{1}{2}$
Ta có:

$f(x) = \sin x + \cos x$

$\Rightarrow f'(x) = \cos x - \sin x$

$\Rightarrow f'\left( \frac{\pi}{6} ight) = \cos\frac{\pi}{6} - \sin\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$
Câu 17: Thông hiểu
Tính đạo hàm cấp hai

Đạo hàm cấp hai của hàm số $y=\frac{1}{2x-3}$ bằng biểu thức nào dưới đây?
- A.
  $\frac{8}{(2x-3)^{3}}$
- B.
  $\frac{-8}{(2x-3)^{3}}$
- C.
  $\frac{4}{(2x-3)^{3}}$
- D.
  $\frac{-4}{(2x-3)^{3}}$
Ta có:
$\begin{matrix} y = \dfrac{1}{{2x - 3}} \hfill \\ \Rightarrow y' = \dfrac{{ - \left( {2x - 3} ight)\prime }}{{{{\left( {2x - 3} ight)}^2}}} = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {2x - 3} ight)}^2}}} \hfill \\ \Rightarrow y'' = - 2.\frac{{ - \left[ {{{\left( {2x - 3} ight)}^2}} ight]'}}{{{{\left( {2x - 3} ight)}^4}}} \hfill \\ = \dfrac{{2.2.2.\left( {2x - 3} ight)}}{{{{\left( {2x - 3} ight)}^4}}} = \dfrac{8}{{{{\left( {2x - 3} ight)}^3}}} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 18: Thông hiểu
Tìm đạo hàm của hàm số

Tính đạo hàm của hàm số $y = \frac{x + 3}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ ?
- A.
  $\frac{1 - 3x}{\left( x^{2} + 1 ight)\sqrt{x^{2} + 1}}$
- B.
  $\frac{1 + 3x}{\left( x^{2} + 1 ight)\sqrt{x^{2} + 1}}$
- C.
  $\frac{1 - 3x}{x^{2} + 1}$
- D.
  $\frac{2x^{2} - x - 1}{\left( x^{2} + 1 ight)\sqrt{x^{2} + 1}}$
Ta có:

$y = \frac{x + 3}{\sqrt{x^{2} + 1}} \Rightarrow y' = \left( \frac{x + 3}{\sqrt{x^{2} + 1}} ight)'$

$\Rightarrow y' = \dfrac{\sqrt{x^{2} +1} - \dfrac{(x + 3)x}{\sqrt{x^{2} + 1}}}{x^{2} + 1} = \dfrac{1 -3x}{\left( x^{2} + 1 ight)\sqrt{x^{2} + 1}}$
Câu 19: Vận dụng
Tính đạo hàm cấp bốn của hàm số

Cho hàm số $y =\sin2x.\cos x$ . Xác định giá trị $y^{(4)}\left( \frac{\pi}{6} ight)$ ?
- A.
  $\frac{1}{2}.\left( 3^{4} - \frac{1}{2} ight)$
- B.
  $\frac{1}{2}.\left( 3^{4} + \frac{1}{2} ight)$
- C.
  $\frac{1}{2}.\left( - 3^{4} + \frac{1}{2} ight)$
- D.
  $- \frac{1}{2}.\left( 3^{4} + \frac{1}{2} ight)$
Ta có:

$y =\sin2x.\cos x = \frac{1}{2}\left( \sin3x+ \sin x ight)$

$\Rightarrow y' = \frac{1}{2}\left(3\cos3x + \cos x ight)$

$\Rightarrow y'' =\frac{1}{2}\left( - 9\sin3x - \sin x ight)$

$\Rightarrow y''' =\frac{1}{2}\left( - 27\cos3x - \cos x ight)$

$\Rightarrow y^{(4)} = \frac{1}{2}\left(81\sin3x + \sin x ight)$

$\Rightarrow y^{(4)}\left( \frac{\pi}{6} ight) = \frac{1}{2}\left\lbrack 81sin\left( \frac{3.\pi}{6} ight) + \sin\left( \frac{\pi}{6} ight) ightbrack = \frac{1}{2}.\left( 3^{4} - \frac{1}{2} ight)$
Câu 20: Nhận biết
Tìm kết luận đúng

Đạo hàm cấp hai của hàm số $y = \sin^{2}x$ là:
- A.
  $y'' =\frac{1}{2}.\cos2x$
- B.
  $y'' =2.\sin2x$
- C.
  $y'' = 2.\cos2x$
- D.
  $y'' =2.\cos x$
Ta có: $y = \sin^{2}x$

$\Rightarrow y' = 2\sin x.\cos x =\sin2x$

$\Rightarrow y'' =2\cos2x$
Câu 21: Nhận biết
Hàm số f(x) liên tục trên khoảng

Hàm số $f(x)=\sqrt{3-x}+\frac{1}{\sqrt{x+4}}$ liên tục trên:
- A.
  $[-4;3]$
- B.
  $[-4;3)$
- C.
  $(-4;3]$
- D.
  $[-\infty ;-4]\cup [3;+\infty ]$
Điều kiện xác định: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3 - x \geqslant 0} \\ {x + 4 > 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \leqslant 3} \\ {x > - 4} \end{array}} ight. \Rightarrow x \in \left( { - 4;3} ight]$
Vậy hàm số liên tục trên $\left( { - 4;3} ight]$
Câu 22: Nhận biết
Tính đạo hàm của hàm số

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định bởi công thức $f(x) = \frac{2x}{x - 1}$ . Tính đạo hàm của hàm số đã cho?
- A.
  $f'(x) = \frac{2}{(x - 1)^{2}}$
- B.
  $f(x) = \frac{2}{x - 1}$
- C.
  $f(x) = \frac{- 2}{(x - 1)^{2}}$
- D.
  $f(x) = \frac{- 2}{x - 1}$
Ta có: $f(x) = \frac{2x}{x - 1}$

$\Rightarrow f'(x) = \frac{(2x)'(x - 1) - (x - 1)'(2x)}{(x - 1)^{2}}$

$\Rightarrow f'(x) = \frac{2(x - 1) - 2x}{(x - 1)^{2}} = \frac{- 2}{(x - 1)^{2}}$
Câu 23: Thông hiểu
Giải bất phương trình y'' < 0

Cho hàm số $y=3x^{5}-5x^{4}+3x-2$ . Giải bất phương trình y'' < 0.
- A.
  $x\in (1;+\infty)$
- B.
  $x\in (-\infty;1)\setminus \left \{ 0 ight \}$
- C.
  $x\in (-1;1)$
- D.
  $x\in (-2;2)$
Ta có:
$\begin{matrix} y = 3{x^5} - 5{x^4} + 3x - 2 \hfill \\ \Rightarrow y' = 15{x^4} - 20{x^3} + 3 \hfill \\ \Rightarrow y'' = 60{x^3} - 60{x^2} \hfill \\ y'' < 0 \hfill \\ \Leftrightarrow 60{x^3} - 60{x^2} < 0 \hfill \\ \Leftrightarrow 60{x^2}\left( {x - 1} ight) < 0,\left( {{x^2} > 0,\forall x e 0} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow x < 1 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 24: Thông hiểu
Tìm biểu thức đúng

Cho hàm số $y =\sin2x$ . Khi đó mệnh đề nào dưới đây đúng?
- A.
  $y^{2} + (y')^{2} = 4$
- B.
  $2(y')^{2} + (y'')^{2} = 1$
- C.
  $4y + y'' = 0$
- D.
  $y = y'.\tan2x$
Ta có:

$y = \sin2x$

$\Rightarrow y' =2.\cos2x$

$\Rightarrow y'' = -4.\sin2x$

Khi đó khẳng định đúng là: $4y + y'' = 0$
Câu 25: Nhận biết
Xác định tính đúng sai của mệnh đề

Cho hai mệnh đề sau:

i) $f(x)$ có đạo hàm tại $x_{0}$ thì $f(x)$ liên tục tại $x_{0}$ .

ii) $f(x)$ liên tục tại $x_{0}$ thì $f(x)$ có đạo hàm tại $x_{0}$ .

Khẳng định nào dưới đây đúng?
- A.
  $(i)$ đúng, $(ii)$ sai
- B.
  $(i)$ sai, $(ii)$ sai
- C.
  $(i)$ đúng, $(ii)$ đúng
- D.
  $(i)$ sai, $(ii)$ đúng
Khẳng định đúng là: $(i)$ đúng, $(ii)$ sai.
Câu 26: Nhận biết

Điền kết quả vào ô trống

Đạo hàm cấp hai của hàm số $f(x) = x^{3} - x^{2} + 1$ tại điểm $x = 2$ bằng 10

Đáp án là:

Đạo hàm cấp hai của hàm số $f(x) = x^{3} - x^{2} + 1$ tại điểm $x = 2$ bằng 10

Ta có: $f(x) = x^{3} - x^{2} + 1$

$\Rightarrow f'(x) = 3x^{2} - 2x$

$\Rightarrow f''(x) = 6x - 2$

$\Rightarrow f''(2) = 6.2 - 2 = 10$
Câu 27: Vận dụng cao

Ghi lời giải bài toán vào ô trống

Có bao nhiêu số nguyên $x$ sao cho ứng với mỗi $x$ có không quá 242 số nguyên $y$ thỏa mãn $\log_{4}\left( x^{2} + y ight) \geq \log_{3}(x + y)$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Có bao nhiêu số nguyên $x$ sao cho ứng với mỗi $x$ có không quá 242 số nguyên $y$ thỏa mãn $\log_{4}\left( x^{2} + y ight) \geq \log_{3}(x + y)$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 28: Nhận biết
Tính đạo hàm cấp hai của hàm số

Cho hàm số $y =f(x) = - 3\cos x$ . Đạo hàm cấp hai của hàm số $y = f(x)$ tại điểm $x_{0} = \frac{\pi}{2}$ là:
- A.
  $- 3$
- B.
  $5$
- C.
  $0$
- D.
  $3$
Ta có:

$y = f(x) = - 3\cos x$

$\Rightarrow f'(x) = - 3\sin x\Rightarrow f''(x) = 3\cos x$

$\Rightarrow f''\left(\frac{\pi}{2} ight) = 3\cos\left( \frac{\pi}{2} ight) =0$
Câu 29: Thông hiểu
Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} (x - 1)^{2}\ \ khi\ x \geq 0 \\ - x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x < 0 \\ \end{matrix} ight.$ . Tính đạo hàm của hàm số tại điểm $x_{0} = 0$ ?
- A.
  $f'(0) = 0$
- B.
  $∄f'(0)$
- C.
  $f'(0) = 1$
- D.
  $f'(0) = - 2$
Ta có:

$f(0) = 1$

$\lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{+}}(x - 1)^{2} = 1$

$\lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{-}}\left( - x^{2} ight) = 0$

Suy ra $f(0) = \lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) eq \lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x)$

Nên hàm số không liên tục tại $x_{0} = 0$

Vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số $y = f(x)$ tại điểm $x_{0} = 0$ .
Câu 30: Thông hiểu
Tính đạo hàm của hàm số

Cho hàm số $f(x)= \left\{ \begin{matrix}\dfrac{3 - \sqrt{4 - x}}{4}\ \ \ khi\ x eq 0 \\\dfrac{1}{4}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 0 \\\end{matrix} ight.$ . Khi đó $f'(0) = ?$
- A.
  $\frac{1}{4}$
- B.
  $\frac{1}{16}$
- C.
  $\frac{1}{32}$
- D.
  $\frac{1}{8}$
Với $x eq 0$ xét:

$\lim_{x ightarrow 0}\frac{f(x) -f(0)}{x - 0} = \lim_{x ightarrow 0}\dfrac{\dfrac{3 - \sqrt{4 - x}}{4} -\frac{1}{4}}{x}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{2 - \sqrt{4 - x}}{4x} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{4 - (4 - x)}{4x\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{1}{4\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)} = \frac{1}{16}$

$\Rightarrow f'(0) = \frac{1}{16}$
Câu 31: Vận dụng cao
Tính đạo hàm của hàm số tại x = 0

Cho hàm số $f(x) = x(x + 1)(x + 2)(x +3)...(x + n)$ với $n \in\mathbb{N}^{*}$ . Tính $f'(0)$ .
- A.
  $f'(0) = 0$
- B.
  $f'(0) = n$
- C.
  $f'(0) = n!$
- D.
  $f'(0) = \frac{n(n +1)}{2}$
Ta có:
$f'(0) = \lim_{x ightarrow0}\frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$
$= \lim_{x ightarrow 0}(x + 1)(x +2)...(x + n) = n!$
Câu 32: Thông hiểu
Xác định đạo hàm của hàm số

Đạo hàm của hàm số $y = \frac{x + 1}{\sqrt{x}}$ bằng biểu thức nào sau đây?
- A.
  $\frac{x - 1}{2x\sqrt{x}}$
- B.
  $2\sqrt{x}$
- C.
  $\frac{x - 1}{2}$
- D.
  $\frac{3x + 1}{2x\sqrt{x}}$
Ta có: $y = \frac{x + 1}{\sqrt{x}}$

$\Rightarrow y' = \frac{(x + 1)'.\sqrt{x} - \left( \sqrt{x} ight)'(x + 1)}{\left( \sqrt{x} ight)^{2}}$

$= \dfrac{\sqrt{x} - \dfrac{1}{2\sqrt{x}}(x+ 1)}{x} = \dfrac{\dfrac{2x - x - 1}{2\sqrt{x}}}{x} = \dfrac{x -1}{2x\sqrt{x}}$
Câu 33: Thông hiểu
Tính đạo hàm tại x = 0

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định bởi $f(x) = \left\{\begin{matrix}\dfrac{\sqrt{4x^{2} + 1} - 1}{x}\ \ \ khi\ x eq 0 \\0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 0 \\\end{matrix} ight.$ . Giá trị của $f'(0)$ là:
- A.
  $2$
- B.
  $0$
- C.
  $\frac{1}{2}$
- D.
  $\frac{1}{4}$
Tập xác định $D\mathbb{= R}$

Ta có:

$\lim_{x ightarrow 0}\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{4x^{2} + 1} - 1}{x^{2}}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{4x^{2}}{x^{2}\left( \sqrt{4x^{2} + 1} + 1 ight)} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{4}{\sqrt{4x^{2} + 1} + 1} = 2$

Vậy $f'(0) = 2$
Câu 34: Vận dụng
Tính gần đúng giá trị vận tốc của chuyểnđộng

Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t(h) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh I (2; 9) và trục đối xứng song song với trục tung như hình vẽ. Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm 2 giờ 30 phút sau khi vật bắt đầu chuyển động gần bằng giá trị nào nhất trong các giá trị sau?
- A.
  8,7 (km/h)
- B.
  8,8 (km/h)
- C.
  8,6 (km/h)
- D.
  8,5 (km/h)
Giả sử vận tốc của vật chuyển động có phương trình $v(t) = at^{2} + bt + c$
Ta có:
$v(2) = 9 \Leftrightarrow 4a + 2b + c =9$
$v(0) = 6 \Rightarrow c = 6$
Ta lại có:
$\begin{matrix}\left\{ \begin{matrix}\dfrac{- b}{2a} = 2 \\4a + 2b + 6 = 9 \\\end{matrix} ight.\ \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}4a + b = 0 \\4a + 2b = 3 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = - \dfrac{3}{4} \\b = 3 \\\end{matrix} ight.\ \\\end{matrix}$
Do đó: $v(t) = - \frac{3}{4}t^{2} + 3t +6$
Vậy $v(2,5) = 8,8125(km/h)$
Câu 35: Thông hiểu
Tìm các giá trị tham số m

Cho hàm số $y = f(x) = \ln\left( \cos x + m^{2} + 1 ight)$ . Biết $f'\left( \frac{\pi}{2} ight) = - \frac{1}{5}$ . Xác định giá trị của tham số $m$ ?
- A.
  $m = \pm 2$
- B.
  $m = \pm 1$
- C.
  $m = \frac{1}{2}$
- D.
  $m = 0$
Ta có:

$f'(x) = \frac{- \sin x}{\cos x + 1 + m^{2}}$

Lại có: $f'\left( \frac{\pi}{2} ight) = - \frac{1}{5}$

$\Leftrightarrow - \frac{1}{1 + m^{2}} = - \frac{1}{5} \Leftrightarrow m = \pm 2$
Câu 36: Vận dụng cao
Tính góc giữa hai tiếp tuyến

Cho hai hàm số $f(x) =\frac{1}{x\sqrt{2}};g(x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{2}}$ . Gọi $d_{1};d_{2}$ lần lượt là tiếp tuyến của mỗi đồ thị hàm số $f(x);g(x)$ đã cho tại giao điểm của chúng. Hỏi góc giữa hai tiếp tuyến trên bằng bao nhiêu?
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $90^{0}$
- C.
  $60^{0}$
- D.
  $45^{0}$
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
$\frac{1}{x\sqrt{2}} =\frac{x^{2}}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow x = 1$
Ta có: $d_{1}$ có hệ số góc $k_{1} = f'(1) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
$d_{2}$ có hệ số góc $k_{2} = g'(1) = \sqrt{2}$
=> $k_{1}.k_{2} = - 1 \Rightarrowd_{1}\bot d_{2}$
Câu 37: Thông hiểu
Điền biểu thức còn thiếu vào chỗ trống

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định bởi công thức $\frac{\sqrt{x}}{x + 1}$ . Thực hiện tính đạo hàm của hàm số ta được $y' = \frac{...}{(x + 1)^{2}}$ . Biểu thức cần điền vào chỗ trống.
- A.
  $\frac{- x}{\sqrt{x}}$
- B.
  $\frac{x - 1}{4\sqrt{x}}$
- C.
  $\frac{x + 1}{2\sqrt{x}}$
- D.
  $\frac{1 - x}{2\sqrt{x}}$
Ta có:

$y = \frac{\sqrt{x}}{x + 1}$

$\Rightarrow y' =\dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}(x + 1) - \sqrt{x}}{(x + 1)^{2}} = \dfrac{1 -x}{2\sqrt{x}(x + 1)^{2}}$
Câu 38: Vận dụng
Tính gia tốc tức thời của chuyển động

Một chất điểm chuyển động thẳng quãng đường được xác định bởi phương trình $s(t) = t^{3} - 3t^{2} - 5$ trong đó quãng đường s tính bằng mét (m), thời gian t tính bằng giây (s). Khi đó gia tốc tức thời của chuyển động tại giây thứ 10 là bao nhiêu?
- A.
  $54m/s^{2}$
- B.
  $240m/s^{2}$
- C.
  $60m/s^{2}$
- D.
  $6m/s^{2}$
Ta có: $a(t) = \left\lbrack v(t)ightbrack' = \left\lbrack s(t) ightbrack'' = 6t -6$
Vậy gia tốc tức thời của chuyển động tại giây thứ 10 là $a(10) = 54m/s^{2}$
Câu 39: Thông hiểu
Tính đạo hàm cấp ba của hàm số tại x = 1

Cho hàm số $y=\frac{2}{1+x}$ . Tính giá trị của $y^{(3)}(1)$
- A.
  $y^{(3)}(1)=-\frac{3}{4}$
- B.
  $y^{(3)}(1)=\frac{3}{4}$
- C.
  $y^{(3)}(1)=-\frac{4}{3}$
- D.
  $y^{(3)}(1)=\frac{4}{3}$
Ta có:
$\begin{matrix} y = \dfrac{2}{{1 + x}} \Rightarrow y' = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {1 + x} ight)}^2}}} \hfill \\ \Rightarrow y'' = \dfrac{{4\left( {1 + x} ight)}}{{{{\left( {1 + x} ight)}^4}}} = \dfrac{4}{{{{\left( {1 + x} ight)}^3}}} \hfill \\ \Rightarrow {y^{\left( 3 ight)}} = \dfrac{{ - 12{{\left( {1 + x} ight)}^2}}}{{{{\left( {1 + x} ight)}^6}}} = \dfrac{{ - 12}}{{{{\left( {1 + x} ight)}^4}}} \hfill \\ \Rightarrow {y^{\left( 3 ight)}}\left( 1 ight) = \dfrac{{ - 12}}{{{{\left( {1 + 1} ight)}^4}}} = - \dfrac{3}{4} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 40: Thông hiểu

Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận

Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

a) Số gia của hàm số $f(x) = x^{2} - 4x + 1$ tương ứng với $x$ và $\Delta x$ là $\Delta x(\Delta x + 2x - 4)$ Đúng||Sai

b) Qua điểm $A(0;2)$ có thể kẻ được 2 tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = x^{4} - 2x^{2} + 2$ . Sai||Đúng

c) Cho hàm số $f(x) = \left\{\begin{matrix}\dfrac{3 - \sqrt{4 - x}}{4}\ \ khi\ x eq 0 \\\dfrac{1}{4}\ \ \ \ \ khi\ x = 0 \\\end{matrix} ight.$ . Khi đó $f'(0) = \frac{1}{16}$ Đúng||Sai

d) Cho hàm số $y = \sqrt{x^{2} + 1}$ khi đó ta có $y.y' = 2x$ Sai||Đúng

Đáp án là:

Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

a) Số gia của hàm số $f(x) = x^{2} - 4x + 1$ tương ứng với $x$ và $\Delta x$ là $\Delta x(\Delta x + 2x - 4)$ Đúng||Sai

b) Qua điểm $A(0;2)$ có thể kẻ được 2 tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = x^{4} - 2x^{2} + 2$ . Sai||Đúng

c) Cho hàm số $f(x) = \left\{\begin{matrix}\dfrac{3 - \sqrt{4 - x}}{4}\ \ khi\ x eq 0 \\\dfrac{1}{4}\ \ \ \ \ khi\ x = 0 \\\end{matrix} ight.$ . Khi đó $f'(0) = \frac{1}{16}$ Đúng||Sai

d) Cho hàm số $y = \sqrt{x^{2} + 1}$ khi đó ta có $y.y' = 2x$ Sai||Đúng

a) Ta có:

$\Delta y = f(\Delta x + x) - f(x)$

$= (\Delta x + x)^{2} - 4(\Delta x + x) + 1 - \left( x^{2} - 4x + 1 ight)$

$= \Delta x^{2} + 2\Delta x.x - 4\Delta x = \Delta x(\Delta x + 2x - 4)$

b) Ta có

Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho

Vì A(0; 2) thuộc đường thẳng d nên phương trình của d có dạng $y = kx + 2$

Vì d tiếp xúc với đồ thị (C) nên hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} x^{4} - 2x^{2} + 2 = kx + 2(*) \\ 4x^{3} - 4x = k(**) \\ \end{matrix} ight.$ có nghiệm

Thay (**) vào (*) ta suy ra $\left\lbrack\begin{matrix}x = 0 \\x = \pm \sqrt{\dfrac{2}{3}} \\\end{matrix} ight.$

Chứng tỏ từ A ta có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C).

c) Ta có:

$\lim_{x ightarrow 0}\dfrac{f(x) -f(0)}{x - 0} = \lim_{x ightarrow 0}\dfrac{\dfrac{3 - \sqrt{4 - x}}{4} -\dfrac{1}{4}}{x} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{2 - \sqrt{4 -x}}{4x}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{\left( 2 - \sqrt{4 - x} ight)\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)}{4x\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{x}{4x\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{1}{4\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)} = \frac{1}{16}$

d) Ta có:

$y' = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} \Rightarrow y.y' = \sqrt{x^{2} + 1}.\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} = x$

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Chân trời sáng tạo Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

20 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Chân trời sáng tạo

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 Chân trời sáng tạo
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân
Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số ghép số liệu nhóm
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Đạo hàm
Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 9: Xác suất

Lớp 11
Khóa học Lớp 11
Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4 Đề 2
Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 4
Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 6
Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 5
Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 7
Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Chân trời sáng tạo

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4 Đề 2

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 4

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 6

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 5

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 7

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4