Hàm số liên tục CTST
Cho hàm số 
\(y = f(x)\) xác định trên khoảng \(K\) và \(x_{0} \in K\) . Hàm số \(y = f(x)\) được gọi là liên tục tại \(x_{0}\) nếu \(\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x) = f\left( x_{0}
\right)\) .
Nhận xét: Để hàm số \(y =
f(x)\) liên tục tại điểm \(x_{0}\) phải có ba điều sau:
i) Hàm số xác định tại \(x_{0}\).
ii) Tồn tại \(\lim_{x \rightarrow
x_{0}}f(x)\).
iii) \(\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x) =
f\left( x_{0} \right)\).
Chú ý: Khi hàm số \(y =
f(x)\) không liên tục tại \(x_{0}\) thì ta nói \(f(x)\) gián đoạn tại điểm \(x_{0}\) và \(x_{0}\) được gọi là điểm gián đoạn của hàm số \(y = f(x)\) .
Ví dụ: Cho hàm số \(f(x) =
\left\{ \begin{matrix}
3x - 5\ \ \ khi\ x \leq - 2 \\
ax - 1\ \ \ khi\ x > - 2 \\
\end{matrix} \right.\) . Với giá trị nào của tham số a thì hàm số \(f(x)\) liên tục tại \(x_{0} = - 2\) .
Hướng dẫn giải
Tập xác định \(D=\mathbb{R}\) và \(x = - 2 \in D\)
Ta có: \(f( - 2) = - 11\)
\(\lim_{x \rightarrow ( - 2)^{-}}f(x) =
\lim_{x \rightarrow ( - 2)^{-}}(3x - 5) = - 11\)
\(\lim_{x \rightarrow ( - 2)^{+}}f(x) =
\lim_{x \rightarrow ( - 2)^{-}}(ax - 1) = - 2a - 1\)
Để hàm số liên tục tại điểm \(x_{0} = -
2\) thì
\(\lim_{x \rightarrow ( - 2)^{-}}f(x) =
\lim_{x \rightarrow ( - 2)^{+}}f(x) = f( - 2)\)
\(\Leftrightarrow - 2a - 1 = - 11
\Leftrightarrow a = 5\)
Vậy hàm số đã cho liên tục tại \(x_{0} = -
2\) khi \(a = 5\) .
2. Hàm số liên tục trên một khoảng hoặc một đoạn
Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((a;b)\) .
Hàm số \(y = f(x)\) được gọi là liên tục trên khoảng \((a;b)\) nếu hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên đoạn \(\lbrack a;b\rbrack\) .
Hàm số \(y = f(x)\) được gọi là liên tục trên đoạn \(\lbrack a;b\rbrack\) nếu hàm số đó liên tục trên khoảng \((a;b)\) và \(\left\{ \begin{gathered}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = f\left( a \right) \hfill \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x \right) = f\left( b \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\).
Chú ý: Nếu hàm số \(y =
f(x)\) liên tục trên đoạn \(\lbrack
a;b\rbrack\) và \(f(a).f(b) <
0\) thì tồn tại ít nhất một điểm \(c
\in (a;b)\) sao cho \(f(c) =
0\) .
Ví dụ: Chứng minh rằng phương trình \(\left( m^{2} + m + 1 \right)x^{4} + 2x - 2 =
0\) luôn có nghiệm.
Hướng dẫn giải
Đặt \(f(x) = \left( m^{2} + m + 1
\right)x^{4} + 2x - 2\)
Hàm số \(f(x) = \left( m^{2} + m + 1
\right)x^{4} + 2x - 2\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên hàm số liên tục trên \(\lbrack 0;1\rbrack\) .
Ta có:
\(f(0) = - 2\)
\(f(1) = m^{2} + m + 1 = \left( m +
\frac{1}{2} \right)^{2} + \frac{3}{4} > 0\forall m\)
Nên \(f(0).f(1) < 0\)
Vậy phương trình \(\left( m^{2} + m + 1
\right)x^{4} + 2x - 2 = 0\) luôn có nghiệm.
3. Tính liên tục của hàm số sơ cấp
- Các hàm đa thức \(y = P(x)\) và hai hàm số lượng giác \(y = \sin x,y = \cos
x\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) .
- Các hàm phân thức hữu tỉ \(y =
\frac{P(x)}{Q(x)}\) , hàm số căn thức \(y = \sqrt{P(x)}\) và hai hàm số lượng giác \(y = \tan x,y = \cot x\) liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.
Trong đó \(P(x),Q(x)\) là các đa thức.
Nhận xét: Hàm số thuộc những loại trên được gọi chung là hàm số sơ cấp.
Ví dụ: Xét sự liên tục của hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
- x.\cos x{\text{ khi }}x < 0 \hfill \\
\frac{{{x^2}}}{{x + 1}}{\text{ khi }}0 < x < 1 \hfill \\
{x^3}{\text{ khi }}x \geqslant 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.\).
Hướng dẫn giải
Ta có \(f(x)\) liên tục tại \(x \neq 0,x \neq 1\)
Tại \(x = 0\) ta có:
\(f(0) = 0\)
\(\lim_{x \rightarrow 0^{-}}f(x) = \lim_{x
\rightarrow 0^{-}}\left( - x\cos x \right) = 0\)
\(\lim_{x \rightarrow 0^{+}}f(x) = \lim_{x
\rightarrow 0^{+}}\left( \frac{x^{2}}{x + 1} \right) = 0\)
Suy ra \(\lim_{x \rightarrow 0^{-}}f(x) =
\lim_{x \rightarrow 0^{+}}f(x) = f(0)\)
Vậy hàm số liên tục tại \(x_{0} =
0\) .
Tại \(x = 1\) ta có:
\(\lim_{x \rightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x
\rightarrow 1^{-}}\left( \frac{x^{2}}{x + 1} \right) =
\frac{1}{2}\)
\(\lim_{x \rightarrow 1 +}f(x) = \lim_{x
\rightarrow 1^{+}}\left( x^{3} \right) = 1\)
Suy ra \(\lim_{x \rightarrow 0^{-}}f(x)
\neq \lim_{x \rightarrow 0^{+}}f(x)\)
Vậy hàm số gián đoạn tại điểm \(x_{0} =
1\) .
4. Tổng, hiệu, tích, thương của hàm số liên tục
Cho hai hàm số \(y = f(x)\) và \(y = g(x)\) liên tục tại điểm \(x_{0}\) . Khi đó:
a) Các hàm số \(y = f(x) + g(x)\) , \(y = f(x) - g(x)\) và \(y = f(x).g(x)\) liên tục tại điểm \(x_{0}\) .
b) Hàm số \(y = \frac{f(x)}{g(x)}\) liên tục tại điểm \(x_{0}\) nếu \(g\left( x_{0} \right) \neq 0\) .
