Điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian CTST
- Điểm, đường thẳng và mặt phẳng là ba đối tượng cơ bản của hình học không gian.
+ Mặt kính điện thoại, mặt gương, mặt hồ nước tĩnh lặng, … cho ta hình ảnh một phần của mặt phẳng:
+ Mặt phẳng không có bề dày và không có giới hạn
+ Ta thường dùng hình bình hành hay một miền góc để biểu diễn mặt phẳng và dùng chữ cái in hoa hoặc chữ cái Hy Lạp trong dấu ngoặc để kí hiệu mặt phẳng.
Hình vẽ minh họa
Chú ý: Mặt phẳng 
\((P)\) còn được viết tắt là \(mp(P)\) hoặc \((P)\).
a) Điểm thuộc mặt phẳng
Cho hai điểm M, N và mặt phẳng \((α)\) như hình vẽ:
+ Nếu điểm \(M\) thuộc mặt phẳng (α) thì ta nói \(M\) nằm trên \((α)\) hay \((α)\) chứa \(M\), hay \((α)\) đi qua \(M\). Kí hiệu là \(M ∈ (α)\).
+ Nếu điểm \(N\) không thuộc mặt phẳng (α) thì ta nói \(N\) nằm ngoài \((α)\) hay \((α)\) không chứa \(N\). Kí hiệu \(N ∉ (α)\).
b) Biểu diễn các hình trong không gian lên một mặt phẳng
Để biểu diễn một hình không gian lên một mặt phẳng ta thường dựa vào các quy tắc sau:
+ Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng.
+ Giữ nguyên tính liên thuộc (thuộc hay không thuộc) giữa điểm với đường thẳng hoặc với đoạn thẳng.
+ Giữ nguyên tính song song, tính cắt nhau giữa các đường thẳng.
+ Biểu diễn đường nhìn thấy bằng nét liền và biểu diễn đường bị che khuất bằng nét vẽ đứt đoạn.
Hình vẽ minh họa
2. Các tính chất được thừa nhận của hình học không gian
Tính chất 1
|
Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước.
|
Hình vẽ minh họa
|
Tính chất 2
|
Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước.
|
Hình vẽ minh họa
|
Chú ý: Mặt phẳng đi qua ba điểm \(M, N, P\) không thẳng hàng được kí hiệu là mặt phẳng \((MNP)\).
Tính chất 3
|
Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.
|
Hình vẽ minh họa
|
Chú ý: Nếu đường thẳng \(d\) nằm trong mặt phẳng \((α)\) thường được kí hiệu là \(d \subset \left( \alpha \right)\) hoặc \(\left( \alpha \right) \supset d\).
Tính chất 4
|
Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng. |
Hình vẽ minh họa
|
Chú ý: Nếu có nhiều điểm cùng thuộc một mặt phẳng thì ta nói những điểm đó đồng phẳng, còn nếu không có mặt phẳng nào chứa các điểm đó thì ta nói chúng không đồng phẳng.
Tính chất 5
|
Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó.
|
Hình vẽ minh họa
|
Chú ý: Đường thẳng d chung của hai mặt phẳng \((α)\) và \((β)\) được gọi là giao tuyến của \((α)\) và \((β)\). Kí hiệu: \(\left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right) = d\).
Tính chất 6
Trong mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết của hình học phẳng đều đúng.
3. Cách xác định mặt phẳng
- Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó chứa ba điểm không thẳng hàng.
- Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó chứa một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng đó.
- Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó chứa hai đường thẳng cắt nhau.
4. Hình chóp và hình tứ diện
a) Hình chóp
Cho đa giác lồi \({A_1}{A_2}...{A_n}\) nằm trong mặt phẳng \((α)\) và điểm S không thuộc \((α)\). Nối S với các đỉnh \({A_1};{A_2};...;{A_n}\) ta được n tam giác \(S{A_1}{A_2};S{A_2}{A_3};...;{S_n}{A_1}\). Hình tạo bởi n tam giác đó và đa giác \({A_1}{A_2}...{A_n}\) được gọi là hình chóp. Kí hiệu: \(S.{A_1}{A_2}...{A_n}\).
Hình vẽ minh họa:
- Đặc điểm của hình chóp:
+ Điểm S là đỉnh
+ Các tam giác \(S{A_1}{A_2};S{A_2}{A_3};...;{S_n}{A_1}\) là các mặt bên.
+ Đa giác \({A_1}{A_2}...{A_n}\) là mặt đáy.
+ Các cạnh của đa giác \({A_1}{A_2}...{A_n}\) là cạnh đáy.
- Hình chóp có đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác, ... lần lượt là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác, …
b) Hình tứ diện
Cho bốn điểm \(A, B, C, D\) không đồng phẳng. Hình tạo bởi bốn tam giác \(ABC, ACD, ADB\) và \(BCD\) được gọi là hình tứ diện (hay tứ diện). Kí hiệu: \(ABCD\).
Hình vẽ minh họa
Đặc điểm của tứ diện:
- Các điểm \(A, B, C, D\) là các đỉnh.
- Các đoạn \(AB, AC, AD, BC, CD, BD\) là các cạnh của tứ diện.
- Hai cạnh không đi qua một đỉnh được gọi là hai cạnh đối diện.
- Các tam giác \(ABC, ACD, ADB\) và \(BCD\) là các mặt của tứ diện.
- Đỉnh không thuộc một mặt của tứ diện là đỉnh đối diện với mặt đó.
Chú ý:
- Hình tứ diện có bốn mặt là các tam giác đều được gọi là tứ diện đều.
- Một tứ diện có thể xem như một hình chóp tam giác với đỉnh là một đỉnh tùy ý của tứ diện và đáy là mặt của tứ diện không chứa đỉnh đó.
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD có AB cắt CD tại E , AC cắt BD tại F.
a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng (SAB) và (SCD), (SAC) và (SBD).
b) Tìm giao tuyến của (SEF) với các mặt phẳng (SAD), (SBC).
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
a) Ta có: \(\left\{ \begin{gathered}
E \in AB \Rightarrow SE \subset \left( {SAB} \right) \hfill \\
E \in AC \Rightarrow SE \subset \left( {SCD} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
\(\Rightarrow \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = SE\)
Lại có: \(\left\{ \begin{gathered}
E \in BD \Rightarrow SF \subset \left( {SBD} \right) \hfill \\
F \in AC \Rightarrow SF \subset \left( {SAC} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
\(\Rightarrow \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SF\)
b) Gọi \(\left\{ \begin{gathered}
EF \cap AD = G \hfill \\
EF \cap BC = H \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
Ta có: \(\left\{ \begin{gathered}
G \in EF \Rightarrow SG \subset \left( {SEF} \right) \hfill \\
G \in AD \Rightarrow SG \subset \left( {SAD} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
\(\Rightarrow \left( {SAD} \right) \cap \left( {SEF} \right) = SG\)
Lại có: \(\left\{ \begin{gathered}
H \in EF \Rightarrow SH \subset \left( {SEF} \right) \hfill \\
H \in BC \Rightarrow SH \subset \left( {SBC} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
\(\Rightarrow \left( {SBC} \right) \cap \left( {SEF} \right) = SH\)
