VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 3

Mô tả thêm:

Mời các bạn học cùng thử sức với Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo nha!

Thời gian làm: 90 phút
Số câu hỏi: 45 câu
Số điểm tối đa: 45 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay

Câu 1: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Tính $\lim_{x ightarrow + \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 2x - 1} - x - 1 ight)$
- A.
  $- 2$
- B.
  $0$
- C.
  $+ \infty$
- D.
  $- \infty$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow + \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 2x - 1} - x - 1 ight)$

$= \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{\left( \sqrt{x^{2} + 2x - 1} + x + 1 ight)\left( \sqrt{x^{2} + 2x - 1} - x - 1 ight)}{\sqrt{x^{2} + 2x - 1} + x + 1}$

$= \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{- 2}{\sqrt{x^{2} + 2x - 1} + x + 1} = 0$
Câu 2: Vận dụng
Xác định thiết diện

Cho tứ diện đều S.ABC. Gọi I là trung điểm của AB, M là một điểm lưu động trên đoạn AI. Qua M vẽ mặt phẳng (∝) // (SIC). Khi đó thiết diện của mặt phẳng (∝) và tứ diện S.ABC là:
- A.
  Tam giác cân tại M
- B.
  Tam giác đều
- C.
  Hình bình hành
- D.
  Hình thoi
Qua M kẻ đường thẳng song song với IC cắt AC tại E và kẻ đường thẳng song song với SI cắt SA tại D.
Khi đó thiết diện của mặt phẳng (α)) với tứ diện S.ABC là tam giác MED
Lại có: MD // SI => $\frac{{AM}}{{AI}} = \frac{{MD}}{{SI}}$ (1)
ME // IC => $\frac{{AM}}{{AI}} = \frac{{ME}}{{IC}}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra: $\frac{{ME}}{{IC}} = \frac{{MD}}{{SI}}$
Vì S.ABC là tứ diện đều nên SI = CI (vì hai tam giác SAB và CAB là hai tam giác bằng nhau nên hai đường trung tuyến tương ứng bằng nhau)
Suy ra MD = ME
Vậy tam giác MED cân tại M.
Câu 3: Nhận biết
Tìm số hạng thứ n trong CSN

Cho cấp số nhân (u_n) có ${u_1} = 2$ và công bội q = 3. Số hạng u₂ là:
- A. u₂ = -6
- B. u₂ = 6
- C. u₂ = 1
- D. u₂ = -18
Ta có: u₂ = u₁ . q = -2 . 3 = -6
Câu 4: Nhận biết
Tính giá trị biểu thức

Giá trị của $\sin\left( - \frac{25\pi}{4} ight)$ là:
- A.
  $\frac{\sqrt{2}}{2}$
- B.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$
- C.
  $- \frac{1}{2}$
- D.
  $- \frac{\sqrt{2}}{2}$
Ta có:

$\sin\left( - \frac{25\pi}{4} ight) = \sin\left( - \frac{\pi}{4} - 6\pi ight) = \sin\left( - \frac{\pi}{4} ight) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$
Câu 5: Nhận biết
Tìm lim?

Giá trị của $\lim\frac{2 - n}{\sqrt{n + 1}}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  0
- D.
  1
Với mọi M > 0 lớn tùy ý, ta chọn $n_{M} > \left( \frac{1}{a} + 3 ight)^{2} - 1$

Ta có:

$\frac{n - 2}{\sqrt{1 + n}} = \sqrt{n + 1} - \frac{3}{\sqrt{n + 1}} > \sqrt{1 + n} - 3 > M$ với mọi $n > n_{M}$

Suy ra $\lim\frac{2 - n}{\sqrt{n + 1}} = - \infty$
Câu 6: Thông hiểu
Tính tỉ số giữa hai cạnh SQ, SA

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang có đáy nhỏ là $BC$ , lấy điểm $P \in SD$ , sao cho $PD = 2SP$ . Gọi $Q = SA \cap (PBC)$ . Tính tỉ số giữa hai cạnh $SQ$ và $SA$ .
- A.
  $\frac{SQ}{SA} = \frac{1}{3}$
- B.
  $\frac{SQ}{SA} = \frac{1}{2}$
- C.
  $\frac{SQ}{SA} = \frac{1}{4}$
- D.
  $\frac{SQ}{SA} = 2$
Hình vẽ minh họa

Xét ba mặt phẳng $(PBC);(SAD);(ABCD)$

Ba mặt phẳng này đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là $PQ;AD;BC$ .

Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì $PQ;AD;BC$ đồng quy hoặc đôi một song song.

Mà $AD//BC \Rightarrow PQ//AD$

Do đó $\frac{SQ}{SA} = \frac{SP}{SD} = \frac{1}{3}$
Câu 7: Vận dụng
Số hạng đầu tiên và công sai của CSC

Xác định số hạng đầu u₁ và công sai d của cấp số cộng (u_n) có u₉ = 5u₂ và u₁₃= 2u₆ + 5.
- A. u₁ = 3 và d = 4
- B. u₁ = 3 và d = 5
- C. u₁ = 4 và d = 5
- D. u₁ = 4 và d = 3
Ta có:
$\begin{matrix} {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight)d \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} + 8d = 5\left( {{u_1} + d} ight)} \\ {{u_1} + 12d = 2\left( {{u_1} + 5d} ight) + 5} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {4{u_1} - 3d = 0} \\ {{u_1} - 2d = - 5} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 3} \\ {d = 4} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 8: Vận dụng cao
Tính giới hạn

Giá trị của giới hạn $\lim\frac{1 + a + a^{2} + ... + a^{n}}{1 + b + b^{2} + ... + b^{n}};\left( |a| < 1,|b| < 1 ight)$ bằng:
- A.
  $0$
- B.
  $\frac{1 - b}{1 - a}$
- C.
  $\frac{1 - a}{1 - b}$
- D.
  $\frac{a}{b}$
Ta có:

$1 + a + a^{2} + ... + a^{n}$ là tổng n + 1 số hạng đầu tiên của cấp số nhân với số hạng đầu là 1 và công bội là a

=> $1 + a + a^{2} + ... + a^{n} = \frac{1.\left( 1 - a^{n + 1} ight)}{1 - a} = \frac{1 - a^{n + 1}}{1 - a}$

Tương tự:

$1 + b + b^{2} + ... + b^{n}$ là tổng n + 1 số hạng đầu tiên của cấp số nhân với số hạng đầu là 1 và công bội là b

=> $1 + b + b^{2} + ... + b^{n} = \frac{1.\left( 1 - b^{n + 1} ight)}{1 - b} = \frac{1 - b^{n + 1}}{1 - b}$

$\Rightarrow \lim\frac{1 + a + a^{2} + ... + a^{n}}{1 + b + b^{2} + ... + b^{n}}$

$\begin{matrix} = \lim \dfrac{{\dfrac{{1 - {a^{n + 1}}}}{{1 - a}}}}{{\dfrac{{1 - {b^{n + 1}}}}{{1 - b}}}} \hfill \\ = \lim \dfrac{{1 - b}}{{1 - a}}.\dfrac{{1 - {a^{n + 1}}}}{{1 - {b^{n + 1}}}} = \dfrac{{1 - b}}{{1 - a}} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 9: Vận dụng
Tính giá trị biểu thức S

Biết rằng $\lim\frac{n + \sqrt{n^{2} + 1}}{\sqrt{n^{2} - n - 2}} = a\sin\frac{\pi}{4} + b$ . Tính $S = a^{3} + b^{3}$ ?
- A.
  $S = 1$
- B.
  $S = 8$
- C.
  $S = 0$
- D.
  $S = - 1$
Ta có:

$\lim\frac{n + \sqrt{n^{2} + 1}}{\sqrt{n^{2} - n - 2}}$

$= \lim\dfrac{1 + \sqrt{1 +\dfrac{1}{n^{2}}}}{\sqrt{1 - \dfrac{1}{n} - \dfrac{2}{n}}}$

$= \frac{1 + \sqrt{1}}{1} = 2\sqrt{2}\sin\frac{\pi}{4}$

Khi đó $\left\{ \begin{matrix} a = 2\sqrt{2} \\ b = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow S = 8$
Câu 10: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Cho $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\sin(\alpha - \pi) \geq 0$
- B.
  $\sin(\alpha - \pi) \leq 0$
- C.
  $\sin(\alpha - \pi) > 0$
- D.
  $\sin(\alpha - \pi) < 0$
Ta có: $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$

=> $0 - \pi < \alpha - \pi < \frac{\pi}{2} - \pi$

=> $- \pi < \alpha - \pi < - \frac{\pi}{2}$

Điểm cuối cung $\alpha - \pi$ thuộc góc phần tư thứ ba

=> $\sin(\alpha - \pi) < 0$
Câu 11: Vận dụng
Tìm hàm số lượng giác tương ứng với đồ thị hàm số đã cho

Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị tương ứng với hình vẽ?
- A.
  $y = 1 +\sin|x|$
- B.
  $y = \left| \sin xight|$
- C.
  $y = 1 + \left| \cos xight|$
- D.
  $y = 1 + \left| \sin xight|$
Ta có: $y = 1 + \left| \cos x ight| \geq1;y = 1 + \left| \sin x ight| \geq 1$
=> Loại đáp án $y = 1 + \left| \cos xight|$ và $y = 1 + \left| \sin xight|$
Tại x = 0 => y = 1 ta thấy $y = 1 +\sin|x|$ thỏa mãn
Câu 12: Thông hiểu
Tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng

Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ với $\left\{ \begin{matrix} u_{2} + u_{3} - u_{6} = 7 \\ u_{4} + u_{8} = - 14 \\ \end{matrix} ight.$ . Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng này là:
- A.
  $u_{n} = 5 - 2n$
- B.
  $u_{n} = 2 + n$
- C.
  $u_{n} = 3n + 2$
- D.
  $u_{n} = - 3n + 1$
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} u_{2} + u_{3} - u_{6} = 7 \\ u_{4} + u_{8} = - 14 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left( u_{1} + d ight) + \left( u_{1} + 2d ight) - \left( u_{1} + 5d ight) = 7 \\ \left( u_{1} + 3d ight) + \left( u_{1} + 7d ight) = - 14 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} - 2d = 7 \\ 2u_{1} + 10d = - 14 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 3 \\ d = - 2 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow u_{n} = 3 + (n - 1)( - 2) = 5 - 2n$
Câu 13: Vận dụng cao
Tìm giá trị nguyên của hàm số

Hàm số $y = \sin\left( x + \frac{\pi}{3}ight) - \sin x$ có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?
- A.
  1
- B.
  2
- C.
  3
- D.
  4
Áp dụng công thức $\sin a - \sin b =2cos\frac{a + b}{2}\sin\frac{a - b}{2}$
Ta có
$\sin\left( x + \frac{\pi}{3} ight) -\sin x = 2cos\left( x + \frac{\pi}{6} ight)\sin\frac{\pi}{6} =\cos\left( x + \frac{\pi}{6} ight).$
Ta có $- 1 \leq \cos\left( x +\frac{\pi}{6} ight) \leq 1 ightarrow - 1 \leq y \leq1\overset{y\mathbb{\in Z}}{ightarrow}y \in \left\{ - 1;0;1ight\}.$
Câu 14: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Cho các số thực $a,\ b,\ c$ thỏa mãn $\left\{ \begin{matrix} - 8 + 4a - 2b + c > 0 \\ 8 + 4a + 2b + c < 0 \\ \end{matrix} ight.$ . Số giao điểm của đồ thị hàm số $y = x^{3} + ax^{2} + bx + c$ và trục $Ox$ là

Đáp án: 3

Đáp án là:

Cho các số thực $a,\ b,\ c$ thỏa mãn $\left\{ \begin{matrix} - 8 + 4a - 2b + c > 0 \\ 8 + 4a + 2b + c < 0 \\ \end{matrix} ight.$ . Số giao điểm của đồ thị hàm số $y = x^{3} + ax^{2} + bx + c$ và trục $Ox$ là

Đáp án: 3

Ta có $\left\{ \begin{matrix} y(2) = 8 + 4a + 2b + c < 0 \\ \lim_{x ightarrow + \infty}y = + \infty \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \exists x_{1} \in (2; + \infty)$ sao cho $y\left( x_{1} ight) = 0$ (1).

Ta có $\left\{ \begin{matrix} y(2) = 8 + 4a + 2b + c < 0 \\ y( - 2) = - 2 + 4a - 2b + c > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \exists x_{2} \in ( - 2;2)$ sao cho $y\left( x_{2} ight) = 0$ (2).

Ta có $\left\{ \begin{matrix} y( - 2) = - 8 + 4a - 2b + c > 0 \\ \lim_{x ightarrow - \infty}y = - \infty \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \exists x_{3} \in ( - \infty; - 2)$ sao cho $y\left( x_{3} ight) = 0$ (3).

Từ (1), (2) và (3) ta suy ra số giao điểm của đồ thị hàm số và trục $Ox$ bằng 3.
Câu 15: Nhận biết
Chọn kết luận đúng

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ . Giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SBC)$ là:
- A.
  $SA$ .
- B.
  $SB$ .
- C.
  $SC$ .
- D.
  $AC$ .
Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SBC)$ có hai điểm chung là $S$ và $B$ nên giao tuyến của chúng là đường thẳng $SB$ .
Câu 16: Thông hiểu
Dãy số tăng?

Trong các dãy số (u_n) cho bởi số hạng tổng quát u_n sau, dãy số nào tăng?
- A.
  $u_{n} = \frac{n}{2^{n}}$
- B.
  $u_{n} = \frac{n}{2n^{2} + 1}$
- C.
  $u_{n} = \frac{n^{2} + 1}{3n + 2}$
- D.
  $u_{n} = ( - \sqrt{2})^{n}\sqrt{n^{2} - 1}$
Ta xét đáp án $:u_{n} = \frac{n}{2^{n}} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = \frac{1}{2} \\ u_{2} = \frac{2}{4} \\ \end{matrix} \Rightarrow u_{1} = u_{2} \Rightarrow ight.$ Loại

Ta xét đáp án $:u_{n} = \frac{n}{2n^{2} + 1} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = \frac{1}{3} \\ u_{2} = \frac{2}{9} \\ \end{matrix} \Rightarrow u_{1} > u_{2} \Rightarrow ight.$ Loại

Ta xét đáp án $:u_{n} = \frac{n^{2} + 1}{3n + 2} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = \frac{2}{5} = \frac{16}{40} \\ u_{2} = \frac{5}{8} = \frac{25}{40} \\ \end{matrix} \Rightarrow u_{1} < u_{2} \Rightarrow ight.$ Thỏa mãn!

Ta xét đáp án : $u_{n} = ( - 2)^{n}\sqrt{n^{2} - 1} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 0 \\ u_{2} = 4\sqrt{3} \\ u_{3} = - 8\sqrt{8} \\ \end{matrix} \Rightarrow u_{1} < u_{2} > u_{3} \Rightarrow ight.$ Loại
Câu 17: Thông hiểu
Tìm các cặp cạnh cắt nhau

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là tứ giác ( $AB$ không song song với $CD$ ), $O = AC \cap BD$ . Lấy $M$ là trung điểm của $SD$ , lấy $N \in SB$ sao cho $SN = 2SB$ . Khi đó các cặp cạnh nào dưới đây cắt nhau?
- A.
  $SO;AD$
- B.
  $MN;SC$
- C.
  $SA,BC$
- D.
  $MN,SO$
Hình vẽ minh hoạ

Các cặp đường thẳng SO và AD, MN và SC, SA và BC là các cặp đường thẳng chéo nhau.

Hai đường thẳng MN và SO nằm trên cùng mặt phẳng và là hai đường thẳng cắt nhau.
Câu 18: Thông hiểu
Tìm mặt phẳng song song với MN

Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ . Trên các cạnh $SB$ và $AB$ lần lượt lấy các điểm $M,N$ sao cho $4SM = SB$ và $\frac{NA}{NB} = \frac{1}{3}$ . Khi đó mặt phẳng nào song song với đường thẳng $MN$ ?
- A.
  $(SAB)$
- B.
  $(SBC)$
- C.
  $(SAC)$
- D.
  $(ABC)$
Hình vẽ minh họa

Theo giả thiết ta có: $\left\{\begin{matrix}N \in AB \\\dfrac{NA}{NB} = \dfrac{1}{3} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \frac{NA}{AB} =\frac{1}{4}$

Xét tam giác $SAB$ ta có: $\frac{SM}{AB} = \frac{AN}{AB} = \frac{1}{4}$

$\Rightarrow MN//SA$ mà $\left\{ \begin{matrix} SA \subset (SAC) \\ MN ⊄ (SAC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow MN//(SAC)$

Câu 19: Vận dụng

Tìm trung vị của mẫu số liệu

Chiều cao của 50 học sinh (chính xác đến cm) và nhóm được các kết quả như sau:

Chiều cao (cm)	Số học sinh
[150; 154]	5
[155; 159]	2
[160; 164]	6
[165; 169]	8
[170; 174]	9
[175; 179]	11
[180; 184]	6
[185; 189]	3

Tìm trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên. (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

A.
$177,5$
B.
$169,5$
C.
$171,7$
D.
$170,6$

Ta có:

Chiều cao (cm)	Số học sinh	Tần số tích lũy
(149,5; 154,5]	5	5
(154,5; 159,5]	2	7
(159,5; 164,5]	6	13
(164,5; 169,5]	8	21
(169,5; 174,5]	9	30
(174,5; 179,5]	11	41
(179,5; 184,5]	6	47
(184,5; 189,5]	3	50
Tổng	N = 50

Ta có: $\frac{N}{2} = \frac{50}{2} =25$

=> Nhóm chứa trung vị là $(169,5; 174,5]$

Khi đó: $\left\{ \begin{matrix}l = 169,5,\dfrac{N}{2} = 25 \\m = 21,f = 9,d = 174,5 - 169,5 = 5 \\\end{matrix} ight.$

Trung vị của mẫu số liệu là:

$M_{e} = L + \dfrac{\dfrac{N}{2} -m}{f}.d$

$\Rightarrow M_{e} = 169,5 + \frac{25 -21}{9}.5 \approx 171,7$

Câu 20: Thông hiểu
Tính tỉ lệ độ dài

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có $M$ là trung điểm của $A'D'$ . Gọi mặt phẳng $(\gamma)$ đi qua $M$ và song song với $AC,BB'$ . Giả sử $BC \cap (\gamma) = \left\{ T ight\}$ . Tỉ lệ độ dài của $TB$ và $TC$ là:
- A.
  $\frac{TB}{TC} = \frac{1}{2}$
- B.
  $\frac{TB}{TC} = 3$
- C.
  $\frac{TB}{TC} = \frac{1}{4}$
- D.
  $\frac{TB}{TC} = 2$
Hình vẽ minh họa:

Gọi trung điểm của $AD,DC,D'C'$ lần lượt là $N,P,E$ .

Dễ thấy $(MNPE) \in (\gamma)$

Xét mặt phẳng $(ABCD)$ , gọi $BC \cap NP = T$

Xét tam giác $\Delta NDP$ và tam giác $\Delta PCT$ ta có:

$\widehat{DPN} = \widehat{TPC}$ (đối đỉnh)

$DP = PC$

$\widehat{NDP} = \widehat{PCT}$ (so le trong)

$\Rightarrow \Delta NDP\sim\Delta PCT$

$\Rightarrow DN = TC = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}BC$

Vậy $TB = 3TC$ hay $\frac{TB}{TC} = 3$
Câu 21: Thông hiểu
Tìm đáp án chính xác

Điểm kiểm tra môn Toán của học sinh lớp 11A được ghi trong bảng sau:
Điểm
Số học sinh
[20; 30)
4
[30; 40)
6
[40; 50)
15
[50; 60)
12
[60; 70)
10
[70; 80)
6
[80; 90)
4
[90; 100]
3
Biết rằng nếu học sinh có ít nhất 60 điểm và không vượt quá 80 điểm sẽ đạt điểm B. Hỏi phần trăm số học sinh đạt điểm B trong lớp 11A chiếm bao nhiêu phần trăm?
- A.
  $54,3\%$
- B.
  $26,7\%$
- C.
  $38,5\%$
- D.
  $42,5\%$
Quan sát bảng số liệu ghép nhóm ta thấy:
Số học sinh lớp 11A là 60 học sinh
Nhóm [60; 70) có 10 học sinh
Nhóm [70; 80) có 6 học sinh
=> Số học sinh đạt điểm B là 10 + 6 = 16 (học sinh)
Vậy số học sinh đạt điểm B chiếm $\frac{16}{60}.100\% \approx 26,7\%$
Câu 22: Nhận biết
Tìm nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất

Khảo sát thời gian sử dụng điện thoại di động trong 1 ngày của một số học sinh khối 10 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Thời gian (phút)

[0; 20)

[20; 40)

[40; 60)

[60; 80)

[80; 100)

Số học sinh

3

5

14

15

5

Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên là:
- A.
  $\lbrack 20;\ 40)$ .
- B.
  $\lbrack 40;\ 60)$ .
- C.
  $\lbrack 60;\ 80)$ .
- D.
  $\ \lbrack 80;\ 100)$ .
Mẫu số liệu trên có $3 + 5 + 14 + 15 + 5 = 42$ (học sinh).

Tứ phân vị thứ nhất là $x_{11} \in \lbrack 40;\ 60)$ .

Vậy nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên là: $\lbrack 40;\ 60)$ .
Câu 23: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Cho hai số thực $a,b$ thỏa mãn $\lim_{x ightarrow 1}\frac{ax^{2} + bx - 2}{x - 1} = 3$ . Tính giá trị biểu thức $S = a + \frac{b}{4}$ . (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân).

Đáp án: 1,25

Đáp án là:

Cho hai số thực $a,b$ thỏa mãn $\lim_{x ightarrow 1}\frac{ax^{2} + bx - 2}{x - 1} = 3$ . Tính giá trị biểu thức $S = a + \frac{b}{4}$ . (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân).

Đáp án: 1,25

Vì $\lim_{x ightarrow 1}\frac{ax^{2} + bx - 2}{x - 1} = 3$ là 1 số hữu hạn và $\lim_{x ightarrow 1}(x - 1) = 0$ nên $\lim_{x ightarrow 1}\left( ax^{2} + bx - 2 ight) = 0$ hay $a + b - 2 = 0 \Leftrightarrow b = 2 - a$ .

Khi đó:

$\lim_{x ightarrow 1}\frac{ax^{2} + bx - 2}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1}\frac{ax^{2} + (2 - a)x - 2}{x - 1}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{(x - 1)(ax + 2)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1}(ax + 2)$

$= a + 2 = 3$

$\Rightarrow a = 1$ suy ra $b = 1$ .

Vậy $S = 1 + \frac{1}{4} = 1,25$ .
Câu 24: Thông hiểu
Tìm m để PT vô nghiệm

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $\left( {m - 2} ight)\sin 2x = m + 1$ vô nghiệm.
- A. $m \in \left[ {\frac{1}{2};2} ight]$
- B. $m \in \left( { - \infty ;\frac{1}{2}} ight) \cup \left( {2; + \infty } ight)$
- C. $m \in \left( {\frac{1}{2};2} ight) \cup \left( {2; + \infty } ight)$
- D. $m \in \left( {\frac{1}{2}; + \infty } ight)$
TH1. Với m = 2, phương trình $\left( {m - 2} ight)\sin 2x = m + 1 \Leftrightarrow 0 = 3$ : vô lý.
Suy ra m=2 thì phương trình đã cho vô nghiệm.
TH2. Với $m eq 2$ , phương trình $\left( {m - 2} ight)\sin 2x = m + 1 \Leftrightarrow \sin 2x = \frac{{m + 1}}{{m - 2}}$
Để phương trình vô nghiệm
$\Leftrightarrow \frac{{m + 1}}{{m - 2}} otin \left[ { - \,1;1} ight] \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \frac{{m + 1}}{{m - 2}} > 1 \hfill \\ \frac{{m + 1}}{{m - 2}} < - \,1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m > 2 \hfill \\ \frac{1}{2} < m < 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.$
Kết hợp hai trường hợp, ta được $m \in \left( {\frac{1}{2}; + \infty } ight)$ là giá trị cần tìm.
Câu 25: Vận dụng cao
Tính giá trị P

Nếu $\tan\alpha$ và $\tan\beta$ là hai nghiệm của phương trình $x^{2} - px + q = 0;(q eq 0)$ thì $P = cos^{2}(\alpha + \beta) + p\sin(\alpha + \beta).cos(\alpha + \beta) + qsin^{2}(\alpha + \beta)$ bằng:
- A.
  $p$
- B.
  $q$
- C.
  $1$
- D.
  $\frac{p}{q}$
Ta có: $\tan\alpha$ và $\tan\beta$ là hai nghiệm của phương trình $x^{2} - px + q = 0;(q eq 0)$ nên theo định lí Vi – ét ta có: $\left\{ \begin{matrix} \tan\alpha + \tan\beta = p \\ \tan\alpha.tan\beta = q \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha.tan\beta} = \frac{p}{1 - q}$

Khi đó:

$P = \cos^{2}(\alpha + \beta) +p\sin(\alpha + \beta).\cos(\alpha + \beta) + q\sin^{2}(\alpha +\beta)$

$P = \cos^{2}(\alpha + \beta).\left\lbrack1 + p\tan(\alpha + \beta) + q\tan^{2}(\alpha + \beta)ightbrack$

$P = \frac{1 + p\tan(\alpha + \beta) +q\tan^{2}(\alpha + \beta)}{1 + \tan^{2}(\alpha + \beta)}$

$P = \dfrac{1 + p.\dfrac{p}{1 - q} +q.\left( \dfrac{p}{1 - q} ight)^{2}}{1 + \left( \dfrac{p}{1 - q}ight)^{2}}$

$P = \dfrac{(1 - q)^{2} + p^{2}(1 - q) +q.p^{2}}{(1 - q)^{2} + p^{2}}$

$P = \dfrac{(1 - q)^{2} + p^{2} - p^{2}.q+ q.p^{2}}{(1 - q)^{2} + p^{2}}$

$P = 1$
Câu 26: Nhận biết
Chọn mệnh đề sai

Mệnh đề nào sau đây sai?
- A. $\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi$
- B. $\sin 2x = 0 \Rightarrow x = \frac{{k\pi }}{2}$
- C. $\sin x = 0 \Rightarrow x = k2\pi$
- D. $\sin x = - 1 \Rightarrow x = \frac{{ - \pi }}{2} + k2\pi$
Mệnh đề sai: $\sin x = 0 \Rightarrow x = k2\pi$
Sửa lại:
$\sin x = 0 \Rightarrow x = k\pi ;(k \in \mathbb{Z})$
Câu 27: Nhận biết
Điều kiện xác định của hàm số lượng giác

Điều kiện xác định của hàm số $y = f\left( x ight) = \frac{{2\cos x - 1}}{{\sin x}}$
- A. $x e k\pi$
- B. $x e \frac{\pi }{2} + k2\pi$
- C. $x e - \frac{\pi }{2} + k2\pi$
- D. $x e k2\pi$
Điều kiện xác định của hàm số:
$\begin{matrix} \sin x e 0 \hfill \\ \Leftrightarrow x e k\pi ,k \in \mathbb{Z} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 28: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Xét tính liên tục của hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} 1 - \cos x\ \ \ khi\ x \leq 0 \\ \sqrt{x + 1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x > 0 \\ \end{matrix} ight.$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $f(x)$ liên tục tại $x = 0$
- B.
  $f(x)$ liên tục trên $( - \infty;1)$
- C.
  $f(x)$ không liên tục trên $\mathbb{R}$
- D.
  $f(x)$ gián đoạn tại $x = 1$
Hàm số xác định với mọi $x\mathbb{\in R}$

Ta có: $f(x)$ liên tục trên $( - \infty;0)$ và $(0; + \infty)$

Mặt khác

$f(0) = 1$

$\lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{+}}\sqrt{x + 1} = 1$

$\lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{-}}\left( 1 - \cos x ight) = 0$

Vậy hàm số gián đoạn tại x = 1
Câu 29: Thông hiểu

Điền đáp án vào ô trống

Tuổi (tính theo năm) của 6 nam và 6 nữ được thống kê như sau:
Nữ
6
7
9
8
10
10
Nam
7
9
12
14
13
17
a) Khoảng biến thiên giá trị của nữ là: 4
Khoảng biến thiên giá trị của nam là: 10
b) Nếu tuổi của hai nhóm được kết hợp với nhau thì khoảng biến thiên là: 11

Đáp án là:

Tuổi (tính theo năm) của 6 nam và 6 nữ được thống kê như sau:
Nữ
6
7
9
8
10
10
Nam
7
9
12
14
13
17
a) Khoảng biến thiên giá trị của nữ là: 4
Khoảng biến thiên giá trị của nam là: 10
b) Nếu tuổi của hai nhóm được kết hợp với nhau thì khoảng biến thiên là: 11

a) Khoảng biến thiên giá trị của nữ là: $10 – 6 = 4$
Khoảng biến thiên giá trị của nam là: $17 – 7 = 10$
b) Nếu tuổi của hai nhóm được kết hợp với nhau thì khoảng biến thiên là: $17 -6 = 11$
Câu 30: Nhận biết
Tìm câu sai

Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai?
- A.
  Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì chúng song song với nhau.
- B.
  Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì nó cắt mặt phẳng còn lại.
- C.
  Nếu hai đường thẳng song song thì chúng cùng nằm trên một mặt phẳng.
- D.
  Nếu một đường thẳng song song với một trong hai mặt phẳng song song thì nó song song với mặt phẳng còn lại.
Nếu một đường thẳng song song với một trong hai mặt phẳng song song thì nó song song với mặt phẳng còn lại hoặc nằm trong mặt phẳng còn lại.

Vậy câu sai là: “Nếu một đường thẳng song song với một trong hai mặt phẳng song song thì nó song song với mặt phẳng còn lại”.
Câu 31: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ có $u_{1} = - 5$ và $d = 3.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $u_{15} = 34.$
- B.
  $u_{15} = 45.$
- C.
  $u_{13} = 31.$
- D.
  $u_{10} = 35.$
Ta có

$\left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 5 \\ d = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \overset{CTTQ}{ightarrow}u_{13} = u_{1} + (13 - 1)d = - 5 + 3(13 - 1) = 31$
Câu 32: Thông hiểu
Tìm công sai d của cấp số cộng

Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ có $u_{1} = - 1;S_{23} = 483$ . Tìm công sai $d$ của cấp số cộng?
- A.
  $d = 2$
- B.
  $d = 5$
- C.
  $d = 4$
- D.
  $d = - 5$
Gọi d là công sai của cấp số cộng khi đó ta có:

$S_{23} = 483 \Leftrightarrow \frac{23\left( 2u_{1} + 22d ight)}{2} = 483$

$\Leftrightarrow \frac{23.( - 2 + 22d)}{2} = 483$

$\Leftrightarrow d = 2$
Câu 33: Thông hiểu

Ghi đáp án vào ô trống

Tìm giá trị của tham số $m$ để hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{x^{2} - x - 2}{x - 2} & \ khi\ x eq 2 \\ m & \ khi\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.$ liên tục trên $\mathbb{R}$ .

Đáp án: 3

Đáp án là:

Tìm giá trị của tham số $m$ để hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{x^{2} - x - 2}{x - 2} & \ khi\ x eq 2 \\ m & \ khi\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.$ liên tục trên $\mathbb{R}$ .

Đáp án: 3

Phần giải chi tiết

Tập xác định $\mathcal{D} = \mathbb{R}$ .

Hàm số $f(x)$ liên tục trên các khoảng $( - \infty;2),(2; + \infty)$ .

Ta có $\left\{ \begin{matrix} f(2) = m \\ \lim_{x ightarrow 2}f(x) = \lim_{x ightarrow 2}\frac{x^{2} - x - 2}{x - 2} = \lim_{x ightarrow 2}(x + 1) = 3. \\ \end{matrix} ight.$

Hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $f(2) = \lim_{x ightarrow 2}f(x) \Leftrightarrow m = 3$ .
Câu 34: Vận dụng
Xác định giao tuyến các mặt phẳng

Cho tứ diện $ABCD$ . Lấy các điểm $M \in AD,N \in BC$ sao cho $\frac{MA}{AD} = \frac{CN}{BC} = \frac{1}{3}$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $MN$ và song song với $CD$ . Hình tạo bởi các giao tuyến của $(\alpha)$ và các mặt của tứ diện là:
- A.
  hình thang có đáy lớn gấp 3 đáy nhỏ
- B.
  hình bình hành
- C.
  hình thang có đáy lớn gấp 2 đáy nhỏ
- D.
  hình vuông
Hình vẽ minh họa

Theo bài ra ta có:

$(\alpha)//CD$ nên giao tuyến của $(\alpha)$ với $(ACD);(BCD)$ cũng song song với $CD$ .

Xét mặt phẳng $(ACD)$ kẻ $MK//CD;(K \in AC)$

Xét mặt phẳng $(BCD)$ kẻ $NE//CD;(E \in BD)$

Hình tạo bởi các giao tuyến của $(\alpha)$ và các mặt của tứ diện là hình thang $EMKN$ .

Ta có:

$\frac{BN}{BC} = \frac{NE}{CD} = \frac{2}{3} \Rightarrow NE = \frac{2}{3}CD$

$\frac{MA}{AD} = \frac{MK}{CD} = \frac{1}{3} \Rightarrow MK = \frac{1}{3}CD$

$\Rightarrow NE = 2MK$

Vậy hình thang $EMKN$ có đáy lớn gấp 2 lần đáy nhỏ.
Câu 35: Vận dụng
Xác định 4 điểm không thuộc cùng mặt phẳng

Cho tứ diện $ABCD$ . Các cạnh $AC,BD,AB,CD,AD,BC$ có trung điểm lần lượt là $M,N,P,Q,R,S$ . Bốn điểm nào sau đây không cùng thuộc một mặt phẳng?
- A.
  $M,N,P,Q$
- B.
  $M,R,S,N$
- C.
  $P,Q,R,S$
- D.
  $M,P,R,S$
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$MP // BC // NQ$ , $MP = \frac{1}{2}BC = NQ$

=> MPNQ là hình bình hành

=> $M, N, P, Q$ thuộc một mặt phẳng.

$MR // CD // SN$ , $MR = \frac{1}{2}CD = SN$

=> MRNS là hình bình hành

=> $M, R, S, N$ thuộc một mặt phẳng.

$PS // AC // RQ$ , $PS = \frac{1}{2}AC = RQ$

=> PSQR là hình bình hành nên P, Q, R, S thuộc một mặt phẳng.

Vậy $M,P,R,S$ không thuộc cùng một mặt phẳng.
Câu 36: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y = 3cosx + 4$ là
- A.
  7
- B.
  5
- C.
  8
- D.
  6
Do $- 1 \leq cosx \leq 1\forall x \in \mathbb{R}$ nên $1 \leq 3cosx + 4 \leq 7,\forall x \in \mathbb{R}$ .

Nên $\max_{\mathbb{R}}\mspace{2mu} y = 7$ đạt được khi $cosx = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi\ (k \in \mathbb{Z})$ .

$\min_{\mathbb{R}}\mspace{2mu} y = 1$ đạt được khi $cosx = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi(k \in \mathbb{Z})$ .

Suy ra $\max_{\mathbb{R}}\mspace{2mu} y + \min_{\mathbb{R}}\mspace{2mu} y = 8$ .
Câu 37: Thông hiểu
Tìm công bội q

Một cấp số nhân có 6 số hạng, số hạng đầu bằng 2 và số hạng thứ sáu bằng 486. Tìm công bội q của cấp số nhân đã cho.
- A.
  $q = 3$
- B.
  $q = -3$
- C.
  $q = 2$
- D.
  $q = - 2$
Theo giả thiết ta có:
$\left\{ \begin{matrix}u_{1} = 2 \\u_{6} = 486 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 2 \\u_{1}q^{5} = 486 \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 2 \\q^{5} = 243 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 2 \\q = 3 \\\end{matrix} ight.$
Câu 38: Nhận biết
Số cạnh của hình chóp tam giác là bao nhiêu

Số cạnh của hình chóp tam giác là:
- A.
  5
- B.
  4
- C.
  6
- D.
  3
Số cạnh của hình chóp tam giác là: 6 cạnh.
Câu 39: Vận dụng
Tìm m để PT có nghiệm

Tập các giá trị của tham số m để phương trình $2sin\left( {x + \frac{{2017\pi }}{2}} ight) + 3m = 0$ có nghiệm là?
- A. (-1; 1)
- B. [-1; 1]
- C. $\left[ { - \frac{3}{2};\,\frac{3}{2}} ight]$
- D. $\left[ { - \frac{2}{3};\,\frac{2}{3}} ight]$
Ta có: $2 \sin\left( {x + \frac{{2017\pi }}{2}} ight) + 3m = 0$
$\Leftrightarrow \sin\left( {x + \frac{{2017\pi }}{2}} ight) = - \frac{{3m}}{2}$ (*)
Xét (*) có nghiệm khi và chỉ khi: $- 1 \leqslant - \frac{{3m}}{2} \leqslant 1 \Leftrightarrow - \frac{2}{3} \leqslant m \leqslant \frac{2}{3}$ .
Câu 40: Thông hiểu
Tính giá trị tổng quát của góc

Biết số đo một góc $(Ox;Oy) = \frac{3\pi}{2} + 2001\pi$ . Giá trị tổng quát của góc $(Ox;Oy)$ là
- A.
  $(Ox;Oy) = \frac{3\pi}{2} +k\pi$
- B.
  $(Ox;Oy) = \pi + k2\pi$
- C.
  $(Ox;Oy) = \frac{\pi}{2} +k\pi$
- D.
  $(Ox;Oy) = \frac{\pi}{2} +k2\pi$
Ta có:
$(Ox;Oy) = \frac{3\pi}{2} + 2001\pi =\frac{\pi}{2} + 2002\pi$
$\Rightarrow (Ox;Oy) = \frac{\pi}{2} +k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$
Câu 41: Vận dụng cao
Tính tổng 10 số hạng dầu tiên

Cho tổng $S_{n} = \frac{3}{(1.2)^{2}} + \frac{5}{(2.3)^{2}} + \frac{7}{(3.4)^{2}} + \ldots + \frac{2n + 1}{\lbrack n(n + 1)brack^{2}}$ . Giá trị S₁₀ là
- A.
  1
- B.
  $\frac{121}{120}$
- C.
  $\frac{119}{121}$
- D.
  $\frac{120}{121}$
Cách 1:

Ta có $\frac{3}{(1.2)^{2}} = \frac{1}{1} - \frac{1}{4};\frac{5}{(2.3)^{2}} = \frac{1}{4} - \frac{1}{9};\ldots$

Suy ra $S_{n} = \frac{1}{1} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{9} + \ldots + \frac{1}{n^{2}} - \frac{1}{(n + 1)^{2}} = \frac{n(n + 2)}{(n + 1)^{2}}$

Vậy $S_{10} = \frac{10(10 + 2)}{(10 + 1)^{2}} = \frac{120}{121}$ .

Cách 2:

Ta có $S_{10} = \frac{3}{(1.2)^{2}} + \frac{5}{(2.3)^{2}} + \frac{7}{(3.4)^{2}} + \ldots + \frac{21}{(10.11)^{2}}$

Suy ra $S_{10} = \frac{1}{1} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{9} + \ldots + \frac{1}{10^{2}} - \frac{1}{11^{2}} = \frac{1}{1} - \frac{1}{11^{2}} = \frac{120}{121}$ .
Câu 42: Vận dụng

Điền lời giải bài toán vào ô trống

Vào mùa thu hoạch dưa hấu, bác T bán cho những người vào vườn mua dưa như sau:

Người thứ nhất mua bác bán nửa số dưa thu hoạch được và tặng thêm 1 quả.

Người thứ hai mua bác bán nửa số dưa còn lại và tặng thêm 1 quả.

…

Bác cứ tiếp tục bán như trên, đến người mua thứ 15 thì bác bán hết.

Tính số dưa mà bác T thu hoạch được.

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Vào mùa thu hoạch dưa hấu, bác T bán cho những người vào vườn mua dưa như sau:

Người thứ nhất mua bác bán nửa số dưa thu hoạch được và tặng thêm 1 quả.

Người thứ hai mua bác bán nửa số dưa còn lại và tặng thêm 1 quả.

…

Bác cứ tiếp tục bán như trên, đến người mua thứ 15 thì bác bán hết.

Tính số dưa mà bác T thu hoạch được.

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 43: Vận dụng cao
Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến

Cho tứ diện $ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $a$ . Lấy $I$ là trung điểm của $AC$ , $J \in AD$ sao cho $\frac{AJ}{AD} = 2$ . Giả sử mặt phẳng $(\alpha)$ chứa $IJ$ và song song với $AB$ . Xác định các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện. Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến đó.
- A.
  $S = \frac{3a^{2}\sqrt{51}}{144}$
- B.
  $S = \frac{3a^{2}\sqrt{31}}{144}$
- C.
  $S = \frac{a^{2}\sqrt{31}}{144}$
- D.
  $S = \frac{5a^{2}\sqrt{51}}{144}$
Hình vẽ minh hoạ

Trong mp(ABD) kẻ $JN // AB, (N ∈ BD).$

Trong mp(ABC) kẻ $IM // AB, (M ∈ BC).$

Gọi P là điểm đối xứng của C qua D.

Khi đó $AD = \frac{1}{2}CD = BD$

=> Tam giác ACP và tam giác BCP lần lượt vuông tại A, B, và có J là trọng tâm tam giác ACP, N là trọng tâm tam giác BCP.

$\Rightarrow \frac{PJ}{PI} = \frac{PN}{PM} = \frac{2}{3}$

Ta lại có: $\frac{S_{PJN}}{S_{PIM}} = \frac{PJ}{PI}.\frac{PN}{PM} = \frac{2}{3}.\frac{2}{3} = \frac{4}{9}$

$\Rightarrow \frac{S_{JNMI}}{S_{PIM}} = \frac{5}{9}$

Mặt khác

$JN//AB \Rightarrow \frac{JN}{AB} = \frac{DJ}{DA} = \frac{1}{3} \Rightarrow JN = \frac{1}{3}AB = \frac{a}{3}$

$IM//AB \Rightarrow \frac{IM}{AB} = \frac{CI}{CA} = \frac{1}{2} \Rightarrow IM = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}$

Trong tam giác PAC vuông tại A ta có:

$AP = \sqrt{CP^{2} - AC^{2}} = \sqrt{(2a)^{2} - a^{2}} = a\sqrt{3}$

$PI = \sqrt{AI^{2} + AP^{2}} = \sqrt{\left( \frac{a}{2} ight)^{2} + \left( a\sqrt{3} ight)^{2}} = \frac{a\sqrt{13}}{2} = PM$

Diện tích tam giác PIM

$S_{PIM} = \sqrt{p(p - PI)(p - PM)(p - IM)}$

Với $p = \frac{PI + PM + IM}{2} = \frac{1 + 2\sqrt{13}}{4}.a$

$\Rightarrow S_{PIM} = \frac{a^{2}\sqrt{51}}{16}$

$\Rightarrow S_{JNMI} = \frac{5}{9}S_{PIM} = \frac{5a^{2}\sqrt{51}}{144}$
Câu 44: Thông hiểu
Tìm thu nhập trung bình của các hộ gia đình

Dữ liệu được cho dưới đây biểu hiện thu nhập hàng ngày của các gia đình trong khu vực ở.
Thu nhập (nghìn đồng)
Hộ gia đình
[0; 100)
5
[100; 200)
7
[200; 300)
12
[300; 400)
18
[400; 500)
16
[500; 600)
10
[600; 700)
5
Tìm thu nhập trung bình của các hộ gia đình.
- A.
  375 nghìn đồng
- B.
  364 nghìn đồng
- C.
  370 nghìn đồng
- D.
  350 nghìn đồng
Ta có:
Thu nhập đại diện (nghìn đồng)
Hộ gia đình
Tích các giá trị
50
5
250
150
7
1050
250
12
3000
350
18
6300
450
16
7200
550
10
5500
650
5
3250
Tổng
N = 73
26550
Thu nhập trung bình của các hộ gia đình là:
$\overline{x} = \frac{26550}{73} \approx364$
Câu 45: Nhận biết
Chọn câu đúng?

Giả sử A là tập con của tập hợp các số nguyên dương sao cho

(I) k ∈ A

(II) n ∈ A ⇒ n + 1 ∈ A, ∀n ≥ k

Lúc đó, ta có:
- A. Mọi số nguyên bé hơn k đều thuộc A
- B. Mọi số nguyên dương đều thuộc A
- C. Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc A
- D. Mọi số nguyên đều thuộc A
(I) k ∈ A : số nguyên dương k thuộc tập A.

(II) n ∈ A ⇒ n + 1 ∈ A, ∀n ≥ k : nếu số nguyên dương n(n≥k) thuộc tập A thì số nguyên dương đứng ngay sau nó (n+1) cũng thuộc A. Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc A.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 3 Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Xem đáp án Làm lại

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

21 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 3

Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/45

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 Chân trời sáng tạo
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân
Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số ghép số liệu nhóm
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Đạo hàm
Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 9: Xác suất

Lớp 11
Khóa học Lớp 11
Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 6
Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4 Đề 2
Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 7
Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4
Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 4
Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 5

Xem thêm

Điểm	Số học sinh
[20; 30)	4
[30; 40)	6
[40; 50)	15
[50; 60)	12
[60; 70)	10
[70; 80)	6
[80; 90)	4
[90; 100]	3

Thời gian (phút)	[0; 20)	[20; 40)	[40; 60)	[60; 80)	[80; 100)
Số học sinh	3	5	14	15	5

Thu nhập (nghìn đồng)	Hộ gia đình
[0; 100)	5
[100; 200)	7
[200; 300)	12
[300; 400)	18
[400; 500)	16
[500; 600)	10
[600; 700)	5

Thu nhập đại diện (nghìn đồng)	Hộ gia đình	Tích các giá trị
50	5	250
150	7	1050
250	12	3000
350	18	6300
450	16	7200
550	10	5500
650	5	3250
Tổng	N = 73	26550

Nữ	6	7	9	8	10	10
Nam	7	9	12	14	13	17

Nữ	6	7	9	8	10	10
Nam	7	9	12	14	13	17

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 3

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 6

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4 Đề 2

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 7

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 4

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 5