VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 3

Mô tả thêm:

Mời các bạn học cùng thử sức với Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo nha!

Thời gian làm: 90 phút
Số câu hỏi: 45 câu
Số điểm tối đa: 45 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài Rủ bạn học

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Nhận biết
Tính giá trị biểu thức A

Tính giá trị biểu thức $A =\cos10^{0}.\cos20^{0}.\cos40^{0}.\cos80^{0}$
- A.
  $A =\frac{1}{16}\cos10^{0}$
- B.
  $A =\frac{1}{2}\cos10^{0}$
- C.
  $A =\frac{1}{4}\cos10^{0}$
- D.
  $A =\frac{1}{8}\cos10^{0}$
Vì $\sin10^{0} eq 0$ nên ta có:

$A =\frac{16\sin10^{0}.\cos10^{0}.\cos20^{0}.\cos40^{0}.\cos80^{0}}{16\sin10^{0}}$

$A =\frac{8\sin20^{0}.\cos20^{0}.\cos40^{0}.\cos80^{0}}{16\sin10^{0}}$

$A =\frac{4\sin40^{0}.\cos40^{0}.\cos80^{0}}{16\sin10^{0}}$

$A =\frac{2\sin80^{0}.\cos80^{0}}{16\sin10^{0}}$

$A =\frac{\sin160^{0}}{16\sin10^{0}}$

$A = \frac{\sin20^{0}}{16\sin10^{0}} =\frac{2.\sin10^{0}.\cos10^{0}}{16\sin10^{0}} =\frac{1}{8}.\cos10^{0}$
Câu 2: Vận dụng cao
Tìm giá trị k để hàm số liên tục tại điểm

Cho hàm số $y =f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2016} + x - 2}{\sqrt{2018x + 1} - \sqrt{x + 2018}}\ \ khi\ xeq 1 \\m\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight.$ . Tìm giá trị k để hàm số $y = f(x)$ liên tục tại $x = 1$
- A.
  $m = 2\sqrt{2019}$
- B.
  $m = \frac{2017\sqrt{2018}}{2}$
- C.
  $m = 2$
- D.
  $m = \frac{2018\sqrt{2019}}{2017}$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2016} + x - 2}{\sqrt{2018x + 1} - \sqrt{x + 2018}}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{\left( x^{2016} - 1 + x - 1 ight)\left( \sqrt{2018x + 1} + \sqrt{x + 2018} ight)}{2018x + 1 - (x + 2018)}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{(x - 1)\left\lbrack \left( x^{2015} + x^{2014} + ... + 1 ight) + 1 ightbrack\left( \sqrt{2018x + 1} + \sqrt{x + 2018} ight)}{2018(x - 1) - (x - 1)}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{\left\lbrack \left( x^{2015} + x^{2014} + ... + 1 ight) + 1 ightbrack\left( \sqrt{2018x + 1} + \sqrt{x + 2018} ight)}{2017}$

$= \frac{2017.2\sqrt{2019}}{2017} = 2\sqrt{2019}$
Câu 3: Vận dụng cao
Tính số phần tử S

Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để bất phương trình

$\frac{\left( 2m^{2} - 7m + 3 ight)x^{3} + x^{2} - (m - 1)x + 2}{(2 - m)x^{2} + 2x - 3} \leq 0$

Đúng với mọi x thuộc tập xác định của bất phương trình đó. Số phần tử $S$ bằng:
- A.
  $13$
- B.
  $19$
- C.
  $1$
- D.
  $5$
Giả sử m là số thực thỏa mãn yêu cầu bài toán:

Với $m = 2$ bất phương trình trở thành $\frac{- 3x^{3} + x^{2} - x + 2}{2x - 3} \leq 0$ , bất phương trình không đúng với $\frac{\left( 2m^{2} - 7m + 3 ight)x^{3} + x^{2} - (m - 1)x + 2}{(2 - m)x^{2} + 2x - 3} \leq 0$

=> Không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Với $m = 3$ bất phương trình trở thành $\frac{x^{2} - 2x + 2}{- x^{2} + 2x - 3} \leq 0$ , tập nghiệm của bất phương trình là $\mathbb{R}$

=> Thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Với $m = \frac{1}{2}$ bất phương trình trở thành $\dfrac{x^{2} + \dfrac{1}{2}x +2}{\dfrac{3}{2}x^{2} + 2x - 3} \leq 0$ , bất phương trình không đúng với $x = 1$

=> Không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Với $m eq 2;m eq 3;m eq \frac{1}{2}$ đặt $\left\{\begin{matrix}f(x) = \dfrac{\left( 2m^{2} - 7m + 3 ight)x^{3} + x^{2} - (m - 1)x +2}{(2 - m)x^{2} + 2x - 3} \\A = 2m^{2} - 7m + 3 \\\end{matrix} ight.$ thì $A eq 0$

Theo giả thiết ta có:

$f(x) \leq 0$ với mọi giá trị x thuộc tập xác định (*)

Nếu $A < 0$ thì $\lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = + \infty$ mâu thuẫn với (*)

Nếu $A > 0$ thì $\lim_{x ightarrow + \infty}f(x) = + \infty$ mâu thuẫn với (*)

Vậy $S = \left\{ 3 ight\}$ nên số phần tử của S là 1.
Câu 4: Vận dụng cao
Khẳng định đúng với n nguyên dương?

Cho S_n = 1 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 3² + … + n ⋅ 3^n − 1.

Khẳng định nào sau đây đúng với mọi n nguyên dương?
- A.
  $S_{n} = - \frac{3^{n} - 1}{4} + \frac{1}{2}3^{n}$
- B.
  $S_{n} = - \frac{3^{n} - 1}{4} + \frac{n}{2}3^{n}$
- C.
  $S_{n} = \frac{3^{n} - 1}{4} + \frac{n}{2}3^{n}$
- D.
  $S_{n} = - \frac{3^{n} + 1}{4} + \frac{n}{2}3^{n}$ .
Ta có 3S_n = 3 + 2.3² + 3.3³ + … + n.3ⁿ

Từ đó 2S_n = − 1 − 3 − 3² − … − 3^n − 1 + n.3ⁿ

$\Leftrightarrow 2S_{n} = - \frac{3^{n} - 1}{2} + n{.3}^{n}$

$\Leftrightarrow S_{n} = - \frac{3^{n} - 1}{4} + \frac{n}{2} \cdot 3^{n}$
Câu 5: Thông hiểu
Tính tổng 50 số nguyên dương đầu tiên

Xét các số nguyên dương chia hết cho 3. Tổng 50 số nguyên dương đầu tiên đó bằng:
- A.
  $S_{50} = 7650$
- B.
  $S_{50} = 7500$
- C.
  $S_{50} = 3900$
- D.
  $S_{50} = 3825$
Ta có:

Số nguyên dương chia hết cho 3 có dạng $3n;\left( n \in \mathbb{N}^{*} ight)$ nên chúng lập thành cấp số cộng $u_{n} = n$

$ightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 3 \\ u_{50} = 150 \\ \end{matrix} ight.$

$S_{n} = \frac{n}{2}.\left( u_{1} + u_{n} ight) = n.u_{1} + \frac{n(n - 1)d}{2}$

$\Rightarrow S_{50} = \frac{50}{2}.\left( u_{1} + u_{50} ight) = 3825$
Câu 6: Nhận biết
Tìm số hạng thứ tư của cấp số cộng

Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ có số hạng đầu là $u_{1} = 3;d = 5$ . Hỏi số hạng thứ tư là số nào dưới đây?
- A.
  $u_{4} = 18$
- B.
  $u_{4} = 8$
- C.
  $u_{4} = 23$
- D.
  $u_{4} = 14$
Ta có: $u_{4} = u_{1} + 3d = 3 + 3.5 = 18$

Vậy $u_{4} = 18$
Câu 7: Thông hiểu
Tìm các đồng nhất thức

Có bao nhiêu đẳng thức dưới đây là đồng nhất thức?

$\cos x - \sin x = \sqrt{2}\sin\left( x + \frac{\pi}{4} ight)$

$\cos x - \sin x = \sqrt{2}\cos\left( x + \frac{\pi}{4} ight)$

$\cos x - \sin x = \sqrt{2}\sin\left( x - \frac{\pi}{4} ight)$

$\cos x - \sin x = \sqrt{2}\sin\left( \frac{\pi}{4} - x ight)$
- A.
  $1$
- B.
  $2$
- C.
  $3$
- D.
  $4$
Ta có:

$\cos x - \sin x = \sqrt{2}\cos\left( x + \frac{\pi}{4} ight)$

$= \sqrt{2}\cos\left\lbrack \frac{\pi}{2} - \left( \frac{\pi}{4} - x ight) ightbrack$

$= \sqrt{2}\sin\left( \frac{\pi}{4} - x ight)$

Vậy có hai đồng nhất thức.
Câu 8: Vận dụng
Xác định số hạng thứ n của cấp số cộng

Cho dãy số ${u_n} = \frac{{{2^{n - 1}} + 1}}{n}$ . Số hạng thứ 10 của dãy số đó là:
- A. 51,2
- B. 51,3
- C. 51,1
- D. 102,3
Ta có: ${u_{10}} = \frac{{{2^{10 - 1}} + 1}}{{10}} = 51,3$
Câu 9: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M$ là trung điểm cạnh $AB$ , lấy điểm $N$ trên cạnh $AC$ sao cho $AN = 2NC$ . Giao tuyến của hai mặt phẳng $(DMN)$ và $(BCD)$ đi qua giao điểm của hai đường nào trong các cặp đường thẳng sau?
- A.
  $MN$ và $BD$ .
- B.
  $MN$ và $BC$ .
- C.
  $MN$ và $CD$ .
- D.
  $MN$ và $AD$ .
Hình vẽ minh họa

Gọi I là giao điểm của MN và BC.

Giao tuyến cần tìm là DI.

Do đó giao tuyến ấy đi qua giao điểm của MN và BC.
Câu 10: Thông hiểu
Tính giá trị đại diện một nhóm

Kết quả kiểm tra chiều cao của 500 cây trong một khu vườn cây giống ghi lại trong bảng sau:
Chiều cao
Số cây
[145; 150)
25
[150; 155)
50
[155; 160)
200
[160; 165)
175
[165; 170)
50
Giá trị đại diện cho nhóm [155; 160) bằng:
- A.
  $155$
- B.
  $157,5$
- C.
  $160$
- D.
  $167,5$
Giá trị đại diện của nhóm [155; 160) là $\frac{155 + 160}{2} = 157,5$
Câu 11: Vận dụng
Tính số hạng đầu tiên của dãy

Cho cấp số nhân (u_n) có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_{20}} = 8{u_{17}}} \\ {{u_1} + {u_5} = 272} \end{array}} ight.$ . Tìm số hạng đầu tiên của dãy biết số đó không lớn hơn 100.
- A. ${u_1} = 16$
- B. ${u_1} = 2$
- C. ${u_1} = - 12$
- D. ${u_1} = 10$
Ta có:
$\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_{20}} = 8{u_{17}}} \\ {{u_1} + {u_5} = 272} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1}{q^{19}} = 8{u_1}.{q^{16}}} \\ {{u_1} + {u_1}.{q^4} = 272} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1}{q^{16}}\left( {{q^3} - 8} ight) = 0} \\ {{u_1}.\left( {1 + {q^4}} ight) = 272} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {q = 0 \Rightarrow {u_1} = 272 > 100\left( L ight)} \\ {q = 2 \Rightarrow {u_1} = 16 < 100\left( {tm} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 12: Thông hiểu
Xác định hình tạo bởi các giao tuyến

Cho tứ diện $ABCD$ . Trên các cạnh $AD,BC$ theo thứ tự lấy các điểm $M,N$ sao cho $AD = 3AM,CB = 3CN$ . Giả sử mặt phẳng $(\alpha)$ chứa $MN$ và song song với $CD$ . Tìm các giao tuyến của tứ diện và mặt phẳng $(\alpha)$ . Xác định hình tạo bởi các giao tuyến này.
- A.
  Là hình bình hành.
- B.
  Là hình thang với đáy lớn gấp ba lần đáy nhỏ.
- C.
  Là hình thang với đáy lớn gấp đôi đáy nhỏ.
- D.
  Là một tam giác.
Hình vẽ minh họa:
Qua M, kẻ đường thẳng song song với CD cắt AC tại E.
Qua N, kẻ đường thẳng song song với CD cắt BD tại F.
Khi đó ME // NF // CD và $(\alpha) \equiv(MENF)$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\dfrac{NF}{CD} = \dfrac{BN}{BC} = \dfrac{2}{3} \\\dfrac{ME}{CD} = \dfrac{AM}{AD} = \dfrac{1}{3} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow NF = 2ME$
Vậy hình tạo bởi các giao tuyến của tứ diện và mặt phẳng $(\alpha)$ là hình thang $MENF$ với đáy lớn gấp đôi đáy nhỏ.
Câu 13: Thông hiểu

Hãy xác định tính đúng sai của mỗi ý a), b), c), d)

Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

a) Dãy số $\left( u_{n} ight)$ xác định bởi công thức $u_{n} = \frac{( - 1)^{n}}{n + 1}$ là một dãy số giảm. Sai||Đúng

b) $T(n):"1.2 + 2.3 + ... + n(n + 1) = \frac{(n + 1)(n - 2)(n + 3)}{4};\forall n \in \mathbb{N}^{*}"$ . Đúng||Sai

c) Cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ thỏa mãn $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2020 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 5 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( \forall n\mathbb{\in N};n \geq 1 ight)$ có số hạng tổng quát là $u_{n} = 5 - 2020n$ . Sai||Đúng

d) Biết rằng khi viết thêm bốn số vào giữa hai số 160 và 5 để được một cấp số nhân. Khi đó tổng các số hạng của cấp số nhân đó bằng 215. Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

a) Dãy số $\left( u_{n} ight)$ xác định bởi công thức $u_{n} = \frac{( - 1)^{n}}{n + 1}$ là một dãy số giảm. Sai||Đúng

b) $T(n):"1.2 + 2.3 + ... + n(n + 1) = \frac{(n + 1)(n - 2)(n + 3)}{4};\forall n \in \mathbb{N}^{*}"$ . Đúng||Sai

c) Cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ thỏa mãn $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2020 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 5 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( \forall n\mathbb{\in N};n \geq 1 ight)$ có số hạng tổng quát là $u_{n} = 5 - 2020n$ . Sai||Đúng

d) Biết rằng khi viết thêm bốn số vào giữa hai số 160 và 5 để được một cấp số nhân. Khi đó tổng các số hạng của cấp số nhân đó bằng 215. Sai||Đúng

a) Xét dãy số đã cho ta có:

$u_{1} = - \frac{1}{2};u_{2} = \frac{1}{3};u_{3} = - \frac{1}{4} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} < u_{2} \\ u_{2} > u_{3} \\ \end{matrix} ight.$ nên dãy số $\left( u_{n} ight)$ không tăng không giảm.

b) $T(n):"1.2 + 2.3 + ... + n(n + 1) = \frac{(n + 1)(n - 2)(n + 3)}{4};\forall n \in \mathbb{N}^{*}"$ đúng bằng chứng minh quy nạp.

c) Công sai d = 5 và số hạng đầu tiên bằng $u_{1} = - 2020$

Khi đó số hạng tổng quát của cấp số cộng là

$u_{n} = u_{1} + 5(n - 1)$

$\Rightarrow u_{n} = - 2025 + 5n$

d) Từ giả thiết ta có:

$\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 160 \\ u_{6} = 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow q = \sqrt[5]{\frac{u_{6}}{u_{1}}} = \frac{1}{2}$

Suy ra tổng các số hạng của cấp số nhân đó là: $S = \dfrac{u_{1}\left( 1 - q^{6} ight)}{1 - q} =\dfrac{160.\left\lbrack 1 - \left( \dfrac{1}{2} ight)^{6}ightbrack}{\dfrac{1}{2}} = 315$ .
Câu 14: Vận dụng
Tìm tỉ số độ dài

Cho tứ diện $ABCD$ . Trên các cạnh $AB,BC$ lần lượt lấy các điểm $K,L$ là trung điểm, trên cạnh $CD$ lấy điểm $N$ sao cho $\frac{CN}{DN} = 2$ . Gọi $P = AD \cap (NKL)$ , khi đó tỉ số độ dài giữa $AP$ và $DP$ là:
- A.
  $\frac{AP}{DP} = \frac{1}{2}$
- B.
  $\frac{AP}{DP} = \frac{2}{3}$
- C.
  $\frac{AP}{DP} = \frac{3}{2}$
- D.
  $\frac{AP}{DP} = 2$
Hình vẽ minh họa

Từ giả thiết bài ra suy ra LK // AC mà (KLN) ∩ (DAC) = d

=> d // AC

Xét mặt phẳng (DAB) qua N dựng d song song AC

=> {P} = AD ∩ d

Xét tam giác DAC vì PN // AC theo định lý Ta-lét ta có:

$\frac{DP}{DA} = \frac{DN}{DC} = \frac{PN}{AC}$

Ta lại có: $\frac{CN}{DN} = 2 \Rightarrow \frac{DN}{DC} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{DP}{DA} = \frac{1}{3}$

$\Rightarrow \frac{AP}{DP} = 2$
Câu 15: Thông hiểu
Xác định nghiệm phương trình lượng giác

Giải phương trình $\sin\left( \frac{2x}{3} - \frac{\pi}{3} ight) = 0$ .
- A.
  $x = k\pi\ \left( k\mathbb{\in Z} ight).$
- B.
  $x = \frac{2\pi}{3} + \frac{k3\pi}{2}\ \left( k\mathbb{\in Z} ight).$
- C.
  $x = \frac{\pi}{3} + k\pi\ \left( k\mathbb{\in Z} ight).$
- D.
  $x = \frac{\pi}{2} + \frac{k3\pi}{2}\ \left( k\mathbb{\in Z} ight).$
Phương trình

$\sin\left( \frac{2x}{3} - \frac{\pi}{3} ight) = 0 \Leftrightarrow \frac{2x}{3} - \frac{\pi}{3} = k\pi$

$\Leftrightarrow \frac{2x}{3} = \frac{\pi}{3} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + \frac{k3\pi}{2}\ \left( k\mathbb{\in Z} ight).$

Vậy đáp án cần tìm là: $x = \frac{\pi}{2} + \frac{k3\pi}{2}\ \left( k\mathbb{\in Z} ight).$
Câu 16: Vận dụng cao
Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến

Cho tứ diện $ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $a$ . Lấy $I$ là trung điểm của $AC$ , $J \in AD$ sao cho $\frac{AJ}{AD} = 2$ . Giả sử mặt phẳng $(\alpha)$ chứa $IJ$ và song song với $AB$ . Xác định các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện. Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến đó.
- A.
  $S = \frac{3a^{2}\sqrt{51}}{144}$
- B.
  $S = \frac{3a^{2}\sqrt{31}}{144}$
- C.
  $S = \frac{a^{2}\sqrt{31}}{144}$
- D.
  $S = \frac{5a^{2}\sqrt{51}}{144}$
Hình vẽ minh hoạ

Trong mp(ABD) kẻ $JN // AB, (N ∈ BD).$

Trong mp(ABC) kẻ $IM // AB, (M ∈ BC).$

Gọi P là điểm đối xứng của C qua D.

Khi đó $AD = \frac{1}{2}CD = BD$

=> Tam giác ACP và tam giác BCP lần lượt vuông tại A, B, và có J là trọng tâm tam giác ACP, N là trọng tâm tam giác BCP.

$\Rightarrow \frac{PJ}{PI} = \frac{PN}{PM} = \frac{2}{3}$

Ta lại có: $\frac{S_{PJN}}{S_{PIM}} = \frac{PJ}{PI}.\frac{PN}{PM} = \frac{2}{3}.\frac{2}{3} = \frac{4}{9}$

$\Rightarrow \frac{S_{JNMI}}{S_{PIM}} = \frac{5}{9}$

Mặt khác

$JN//AB \Rightarrow \frac{JN}{AB} = \frac{DJ}{DA} = \frac{1}{3} \Rightarrow JN = \frac{1}{3}AB = \frac{a}{3}$

$IM//AB \Rightarrow \frac{IM}{AB} = \frac{CI}{CA} = \frac{1}{2} \Rightarrow IM = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}$

Trong tam giác PAC vuông tại A ta có:

$AP = \sqrt{CP^{2} - AC^{2}} = \sqrt{(2a)^{2} - a^{2}} = a\sqrt{3}$

$PI = \sqrt{AI^{2} + AP^{2}} = \sqrt{\left( \frac{a}{2} ight)^{2} + \left( a\sqrt{3} ight)^{2}} = \frac{a\sqrt{13}}{2} = PM$

Diện tích tam giác PIM

$S_{PIM} = \sqrt{p(p - PI)(p - PM)(p - IM)}$

Với $p = \frac{PI + PM + IM}{2} = \frac{1 + 2\sqrt{13}}{4}.a$

$\Rightarrow S_{PIM} = \frac{a^{2}\sqrt{51}}{16}$

$\Rightarrow S_{JNMI} = \frac{5}{9}S_{PIM} = \frac{5a^{2}\sqrt{51}}{144}$

Câu 17: Vận dụng

Tìm trung vị của mẫu số liệu

Chiều cao của 50 học sinh (chính xác đến cm) và nhóm được các kết quả như sau:

Chiều cao (cm)	Số học sinh
[150; 154]	5
[155; 159]	2
[160; 164]	6
[165; 169]	8
[170; 174]	9
[175; 179]	11
[180; 184]	6
[185; 189]	3

Tìm trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên. (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

A.
$177,5$
B.
$169,5$
C.
$171,7$
D.
$170,6$

Ta có:

Chiều cao (cm)	Số học sinh	Tần số tích lũy
(149,5; 154,5]	5	5
(154,5; 159,5]	2	7
(159,5; 164,5]	6	13
(164,5; 169,5]	8	21
(169,5; 174,5]	9	30
(174,5; 179,5]	11	41
(179,5; 184,5]	6	47
(184,5; 189,5]	3	50
Tổng	N = 50

Ta có: $\frac{N}{2} = \frac{50}{2} =25$

=> Nhóm chứa trung vị là $(169,5; 174,5]$

Khi đó: $\left\{ \begin{matrix}l = 169,5,\dfrac{N}{2} = 25 \\m = 21,f = 9,d = 174,5 - 169,5 = 5 \\\end{matrix} ight.$

Trung vị của mẫu số liệu là:

$M_{e} = L + \dfrac{\dfrac{N}{2} -m}{f}.d$

$\Rightarrow M_{e} = 169,5 + \frac{25 -21}{9}.5 \approx 171,7$

Câu 18: Nhận biết
Tìm vị trí tương đối hai đường thẳng

Cho ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau từng đôi theo ba giao tuyến a, b, c, trong đó a song song với b. Khi đó vị trí tương đối của b và c là
- A.
  chéo nhau.
- B.
  cắt nhau.
- C.
  song song.
- D.
  trùng nhau.
Theo nội dung hệ quả của định lý về ba giao tuyến ta suy ra vị trí tương đối của b và c là song song.
Câu 19: Vận dụng cao
Xác định thời gian thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất.

Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A trong ngày thứ $t$ của năm 2022 được cho bởi một hàm số $y = 4sin\left\lbrack \frac{\pi}{178}(t - 60)ightbrack + 10$ với $t\mathbb{\inZ}$ và $0 < t \leq 365$ . Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất?
- A.
  28 tháng 5
- B.
  29 tháng 5
- C.
  30 tháng 5
- D.
  31 tháng 5
Vì $\sin\left\lbrack \frac{\pi}{178}(t -60) ightbrack \leq 1$
$\Leftrightarrow y = 4sin\left\lbrack\frac{\pi}{178}(t - 60) ightbrack + 10 \leq 14.$
Ngày có ánh sáng mặt trời nhiều nhất $\Leftrightarrow y = 14 \Leftrightarrow\sin\left\lbrack \frac{\pi}{178}(t - 60) ightbrack = 1$
$\Leftrightarrow \frac{\pi}{178}(t - 60)= \frac{\pi}{2} + k2\pi \Leftrightarrow t = 149 + 356k.$
Do $0 < t \leq 365$
$\begin{matrix} \Leftrightarrow 0 < 149 + 356k \leqslant 365 \hfill \\ \Leftrightarrow - \dfrac{{149}}{{356}} < k \leqslant \dfrac{{54}}{{89}}\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}k = 0 \hfill \\ \end{matrix}$
Với $k = 0 ightarrow t = 149$ rơi vào ngày 29 tháng 5 (vì ta đã biết tháng 1 và 3 có 31 ngày, tháng 4 có 30 ngày, riêng đối với năm 2022 thì không phải năm nhuận nên tháng 2 có 28 ngày hoặc dựa vào dữ kiện $0 < t\leq 365$ thì ta biết năm này tháng 2 chỉ có 28 ngày).
Câu 20: Thông hiểu
Tìm mốt của mẫu số liệu

Quan sát bảng sau và tìm mốt.
Khoảng dữ liệu
[10; 20)
[20; 30)
[30; 40)
[40; 50)
Tần số
8
12
22
17
- A.
  $31,4$
- B.
  $30,7$
- C.
  $32,5$
- D.
  $30,4$
Quan sát bảng dữ liệu ta thấy mốt của mẫu dữ liệu nằm trong khoảng [30; 40)
Khi đó: $\left\{ \begin{matrix}l = 30;f_{0} = 12;f_{1} = 22;f_{2} = 17 \\c = 40 - 30 = 10 \\\end{matrix} ight.$
Vậy mốt của dữ liệu là: $M_{0} = 30 +\frac{22 - 12}{2.22 - 12 - 17}.10 \approx 30,7$
Câu 21: Thông hiểu
Tìm tất cả các giá trị của tham số m

Cho hàm số $f(x)= \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{2x + 1} - 1}{x}\ khi\ x eq 0 \\m^{2} - 2m + 2\ khi\ x eq 0 \\\end{matrix} ight.$ . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số liên tục tại $x = 0$ ?
- A.
  $m = 2$
- B.
  $m = 3$
- C.
  $m = 0$
- D.
  $m = 1$
Ta có: $f(0) = m^{2} - 2m + 2$

$\lim_{x ightarrow 0}f(x) = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{2x + 1} - 1}{x}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{2x}{x\left( \sqrt{2x + 1} + 1 ight)} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{2}{\sqrt{2x + 1} + 1} = 1$

Hàm số liên tục tại $x = 0$

$\Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 0}f(x) = f(0)$

$\Leftrightarrow m^{2} - 2m + 1 = 0 \Rightarrow m = 1$
Câu 22: Thông hiểu

Điền chữ thích hợp vào ô trống

Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC cân tại A, tam giác SBC cân tại S. Gọi H, K lần lượt là trực tâm tam giác ABC và tam giác SBC, G và F lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác SBC. Điền Đ vào mệnh đề đúng, điền S vào mệnh đề sai.
(I) AH, SK và BC đồng quy. Đ || Đ || D || đ
(II) AG, SF cắt nhau tại một điểm trên BC. Đ || Đ || D || đ
(III) HF và GK chéo nhau. S
(IV) SH và AK cắt nhau. Đ || Đ || D || đ

Đáp án là:

Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC cân tại A, tam giác SBC cân tại S. Gọi H, K lần lượt là trực tâm tam giác ABC và tam giác SBC, G và F lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác SBC. Điền Đ vào mệnh đề đúng, điền S vào mệnh đề sai.
(I) AH, SK và BC đồng quy. Đ || Đ || D || đ
(II) AG, SF cắt nhau tại một điểm trên BC. Đ || Đ || D || đ
(III) HF và GK chéo nhau. S
(IV) SH và AK cắt nhau. Đ || Đ || D || đ

Hình vẽ minh họa
Gọi M là trung điểm của BC.
Ta có SM ⊥ BC và AM ⊥ BC.
AH, SK và BC đồng qui tại M. Do đó (I) đúng.
AG, SF cắt nhau tại M trên BC. Do đó (II) đúng.
HF và GK cùng nằm trong mặt phẳng (SAM) nên có thể song song hoặc cắt nhau hoặc trùng nhau. Do đó (III) sai.
SH và AK cắt nhau. Do đó (IV) đúng.
Câu 23: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng?

Với $x \in \left( \frac{31\pi}{4};\frac{33\pi}{4} ight)$ , mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  Hàm số y = cotx nghịch biến
- B.
  Hàm số y = tanx nghịch biến
- C.
  Hàm số y = sinx đồng biến
- D.
  Hàm số y = cosx nghịch biến
Ta có: $x \in \left( \frac{31\pi}{4};\frac{33\pi}{4} ight) = \left( - \frac{\pi}{4} + 8\pi;\frac{\pi}{4} + 8\pi ight)$ thuộc góc phần tư thứ I và thứ II.
Câu 24: Vận dụng
Tính giới hạn hàm số

Tính $\lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{1 + 2x} - \sqrt[3]{1 + 3x}}{x^{2}}$
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  $0$
- D.
  $\frac{1}{2}$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{1 + 2x} - \sqrt[3]{1 + 3x}}{x^{2}}$

$\underset{x ightarrow 0}{= \lim}\frac{\sqrt{1 + 2x} - (x + 1) + (x + 1) - \sqrt[3]{1 + 3x}}{x^{2}}$

Ta có:

$\lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{1 + 2x} - (x + 1)}{x^{2}}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{- x^{2}}{x^{2}\left( \sqrt{1 + 2x} + x + 1 ight)} = - \frac{1}{2}$

Ta cũng có:

$\lim_{x ightarrow 0}\frac{(x + 1) - \sqrt[3]{1 + 3x}}{x^{2}}$

$\underset{x ightarrow 0}{= \lim}\frac{x^{3} + 3x^{2}}{x^{2}\left\lbrack (x + 1)^{2} + (x + 1)\sqrt[3]{1 + 3x} + \left( \sqrt[3]{1 + 3x} ight)^{2} ightbrack} = 1$

Vậy $\lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{1 + 2x} - \sqrt[3]{1 + 3x}}{x^{2}} = \frac{1}{2}$
Câu 25: Nhận biết
Điều kiện PT có nghiệm

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn $\left[ { - 2023;\,\,\,2023} ight]$ để phương trình $m\cos x + 1 = 0$ có nghiệm?
- A. 2023
- B. 2022
- C. 4046
- D. 4044
Ta có $m\cos x + 1 = 0 \Leftrightarrow \cos x = - \frac{1}{m}$
Phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow - 1 \leqslant - \frac{1}{m} \leqslant 1$
$\Leftrightarrow m \geqslant 1\xrightarrow[{m \in \left[ { - 2023;\,2023} ight]}]{{m \in \mathbb{Z}}}m \in \left\{ {1;2;3;...;2023} ight\}$ .
Vậy có tất cả 2023 giá trị nguyên của tham số m.
Câu 26: Nhận biết
Tìm số hạng đầu tiên của cấp số nhân

Cho cấp số nhân có số hạng thứ bảy là $\frac{1}{2}$ và công bội $\frac{1}{4}$ . Hỏi số hạng đầu tiên của cấp số nhân bằng bao nhiêu?
- A.
  $4096$
- B.
  $2048$
- C.
  $1024$
- D.
  $512$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}u_{7} = \dfrac{1}{2} = u_{1}.q^{6} \\q = \dfrac{1}{4} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 2048 \\q = \dfrac{1}{4} \\\end{matrix} ight.$
Câu 27: Vận dụng
Giải phương trình lượng giác

Tổng các nghiệm của phương trình $\cos\left( \sin x ight) = 1$ trên đoạn $(0;2\pibrack$ bằng:
- A.
  $0$
- B.
  $\pi$
- C.
  $2\pi$
- D.
  $3\pi$
Phương trình tương đương với $\sin x = k2\pi;k\mathbb{\in Z}$

Vì $- 1 \leq \sin x \leq 1$ nên k = 0

Khi đó phương trình trở thành $\sin x = 0 \Rightarrow x = l\pi;\left( l\mathbb{\in Z} ight)$

Vì $x \in (0;2\pibrack$ nên $x \in \left\{ 0;\pi ight\}$

=> Tổng các nghiệm của phương trình là: $0 + \pi = \pi$
Câu 28: Nhận biết
Xác định giao tuyến hai mặt phẳng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của SA,SB,SC và SD. Khi đó $(MNP) \cap (SAC)$ là đường thẳng nào?
- A.
  MN
- B.
  QM
- C.
  SO
- D.
  MP
Hình vẽ minh họa:

M ∈ (MNPQ); M ∈ SA; M ∈ (SAC)

Vậy M là điểm chung thứ nhất. P ∈ (MNPQ); P ∈ SC; P ∈ (SAC).

Vậy P là điểm chung thứ hai.

Vậy giao tuyến của (MNPQ) và (SAC) là: MP
Câu 29: Thông hiểu
Số hạng thứ 99 của CSC là bao nhiêu

Cho cấp số cộng (U_n) có $u_1=11$ và công sai d = 4. Tính ${u_{99}}$ ?
- A. 401
- B. 403
- C. 402
- D. 404
Ta có: ${u_{99}} = {u_1} + 99d = 11 + 98.4 = 403$
Câu 30: Nhận biết
Tìm nhóm chứa trung vị

Bảng dữ liệu dưới đây ghi lại chiều cao (h) của 40 học sinh.
Chiều cao (h)
Số học sinh
130 < h ≤ 140
2
140 < h ≤ 150
4
150 < h ≤ 160
9
160 < h ≤ 170
13
170 < h ≤ 180
8
180 < h ≤ 190
3
190 < h ≤ 200
1
Tìm khoảng chứa trung vị?
- A.
  $(150;160brack$
- B.
  $(160;170brack$
- C.
  $(170;180brack$
- D.
  $(140;150brack$
Ta có:
Chiều cao (h)
Số học sinh
Tần số tích lũy
130 < h ≤ 140
2
2
140 < h ≤ 150
4
6
150 < h ≤ 160
9
15
160 < h ≤ 170
13
28
170 < h ≤ 180
8
36
180 < h ≤ 190
3
39
190 < h ≤ 200
1
40
Ta lại có: $N = 40 \Rightarrow \frac{N}{2}= 20$
=> Nhóm chứa trung vị là: $(160; 170]$
Câu 31: Thông hiểu
Đồ thị hàm số của hàm lượng giác

Đồ thị hàm số y = sinx được suy ra từ đồ thị C của hàm số y = cosx bằng cách.
- A.
  Tịnh tiến C qua trái một đoạn có độ dài là $\frac{\pi}{2}$
- B.
  Tịnh tiến C qua phải một đoạn có độ dài là $\frac{\pi}{2}$
- C.
  Tịnh tiến C lên trên một đoạn có độ dài là $\frac{\pi}{2}$
- D.
  Tịnh tiến C xuống dưới một đoạn có độ dài là $\frac{\pi}{2}$
Ta có: $y = \sin x = \cos\left( \frac{\pi}{2} - x ight) = \cos\left( x - \frac{\pi}{2} ight)$

=> Đồ thị hàm số y = sinx được suy ra từ đồ thị C của hàm số y = cosx bằng cách tịnh tiến C qua phải một đoạn có độ dài là $\frac{\pi}{2}$
Câu 32: Thông hiểu
Tổng dãy số chia hết cho bao nhiêu

Với mọi số nguyên dương $n$ thì $S_{n}=n^{3}+2n$ chia hết cho
- A.
  3
- B.
  2
- C.
  4
- D.
  7
Với $n = 1$ $\Rightarrow {S_1} = {1^3} + 2.1 = 3$ chia hết cho 3, ta sẽ chứng minh $S_n$ chia hết cho 3 với mọi $n$ .
Giả sử khẳng định đúng với $n=k$ tức là ${S_k} = {k^3} + 2k$ chia hết cho 3, ta chứng minh ${S_{k + 1}} = {\left( {k + 1} ight)^3} + 2\left( {k + 1} ight)$ cũng chia hết cho 3.
Ta có:
$\begin{matrix} {S_{k + 1}} = {\left( {k + 1} ight)^3} + 2\left( {k + 1} ight) \hfill \\ = {k^3} + 3{k^2} + 3k + 1 + 2k + 2 \hfill \\ = \left( {{k^3} + 2k} ight) + 3\left( {{k^2} + k + 1} ight) \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} \left( {{k^3} + 2k} ight) \vdots 3 \hfill \\ 3\left( {{k^2} + k + 1} ight) \vdots 3 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow {S_{k + 1}} \vdots 3 \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy với mọi số nguyên dương thì $S_{n}=n^{3}+2n$ chia hết cho 3.
Câu 33: Vận dụng cao
Tính giá trị P

Nếu $\tan\alpha$ và $\tan\beta$ là hai nghiệm của phương trình $x^{2} - px + q = 0;(q eq 0)$ thì $P = cos^{2}(\alpha + \beta) + p\sin(\alpha + \beta).cos(\alpha + \beta) + qsin^{2}(\alpha + \beta)$ bằng:
- A.
  $p$
- B.
  $q$
- C.
  $1$
- D.
  $\frac{p}{q}$
Ta có: $\tan\alpha$ và $\tan\beta$ là hai nghiệm của phương trình $x^{2} - px + q = 0;(q eq 0)$ nên theo định lí Vi – ét ta có: $\left\{ \begin{matrix} \tan\alpha + \tan\beta = p \\ \tan\alpha.tan\beta = q \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha.tan\beta} = \frac{p}{1 - q}$

Khi đó:

$P = \cos^{2}(\alpha + \beta) +p\sin(\alpha + \beta).\cos(\alpha + \beta) + q\sin^{2}(\alpha +\beta)$

$P = \cos^{2}(\alpha + \beta).\left\lbrack1 + p\tan(\alpha + \beta) + q\tan^{2}(\alpha + \beta)ightbrack$

$P = \frac{1 + p\tan(\alpha + \beta) +q\tan^{2}(\alpha + \beta)}{1 + \tan^{2}(\alpha + \beta)}$

$P = \dfrac{1 + p.\dfrac{p}{1 - q} +q.\left( \dfrac{p}{1 - q} ight)^{2}}{1 + \left( \dfrac{p}{1 - q}ight)^{2}}$

$P = \dfrac{(1 - q)^{2} + p^{2}(1 - q) +q.p^{2}}{(1 - q)^{2} + p^{2}}$

$P = \dfrac{(1 - q)^{2} + p^{2} - p^{2}.q+ q.p^{2}}{(1 - q)^{2} + p^{2}}$

$P = 1$
Câu 34: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Dãy số nào dưới đây là dãy số nguyên tố nhỏ hơn $10$ theo thứ tự tăng dần?
- A.
  $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $5$ , $7$ .
- B.
  $1$ , $2$ , $3$ , $5$ , $7$ .
- C.
  $2$ , $3$ , $5$ , $7$ .
- D.
  $1$ , $3$ , $5$ , $7$ .
Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn $1$ và chỉ có hai ước số là $1$ và chính nó.

Vậy dãy số nguyên tố nhỏ hơn $10$ là $2$ , $3$ , $5$ , $7$ .
Câu 35: Thông hiểu
Tìm số khẳng định sai

Giả sử có ba đường thẳng a, b, c trong đó b // a và c //a. những phát biểu nào sau đây là sai?
(1) Nếu mặt phẳng (a, b) không trùng với mặt phẳng (a, c) thì b và c chéo nhau.
(2) Nếu mặt phẳng (a, b) trùng với mặt phẳng (a, c) thì ba đường thẳng a, b, c song song với nhau từng đôi một.
(3) Dù cho hai mặt phẳng (a, b) và (a, c) có trùng nhau hay không, ta vẫn có b // c.
- A.
  Chỉ có (1) sai.
- B.
  Chỉ có (2) sai
- C.
  Chỉ có (3) sai
- D.
  (1), (2) và (3) đều sai
Phát biểu (1) sai vì nếu mặt phẳng (a, b) không trùng với mặt phẳng (a, c) thì b và c song song
Phát biểu (2) Sai vì nếu mặt phẳng (a, b) trùng với mặt phẳng (a, c) thì b trùng c
Phát biểu (3) Sai vì có thể xảy ra b trùng c.
Câu 36: Vận dụng
Tính tổng dãy số

Tính tổng $S = 9 + 3 + 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + ... + \frac{1}{3^{n - 3}} + ...$ .
- A.
  $S = \frac{27}{2}$
- B.
  $S = 14$
- C.
  $S = 16$
- D.
  $S = 15$
Ta có:

$S = 9 + 3 + 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + ... + \frac{1}{3^{n - 3}} + ...$

$= 9\left( {\underbrace {1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{3^{n - 1}}}} + ...}_{CSN:{u_1} = 1;q = \frac{1}{3}}} ight)$

$= 9.\left( \dfrac{1}{1 - \dfrac{1}{3}}ight) = \dfrac{27}{2}$
Câu 37: Vận dụng
Xác định phát biểu đúng

Cho hình chóp S.ABCD, các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các cạnh SA, SB, SC. Phát biểu nào sau đây là đúng?
- A.
  Thiết diện của (A’B’C’) với hình chóp S.ABCD là tam giác A’B’C’.
- B.
  Thiết diện của (A’B’C’) với hình chóp S.ABCD là tứ giác A’B’C’D’ với D’ là giao điểm của B’I với SD, trong đó I là giao điểm của A’C’ với SO, O là giao điểm của AC và BD.
- C.
  Thiết diện của (A’B’C’) với hình chóp S.ABCD là tứ giác SA’B’C’.
- D.
  Thiết diện của (A’B’C’) với hình chóp S.ABCD là tứ giác A’B’C’D.
Hình vẽ minh họa
Ta có: (SAB) ∩ (A’B’C’) = A’B’
(SBC) ∩ (A’B’C’) = B’C’
Gọi O là giao điểm của AC và BD
Trong mặt phẳng (SAC) gọi I là giao điểm của A’C’ và SO
Trong mặt phẳng (SBD) gọi D’ là giao điểm của B’I và SD
Khi đó ta có: (SCD) ∩ (A’B’C’) = C’D’
(SAD) ∩ (A’B’C’) = A’D’
=> Thiết diện của mặt phẳng (A’B’C’) với hình chóp S.ABCD là tứ giác A’B’C’D’.
Câu 38: Vận dụng
Xác định hàm số lẻ

Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?
- A.
  $y = 1 - sin^{2}x$
- B.
  $y = \left| \cot x ight|.sin^{2}x$
- C.
  $y = x^{2}tan2x - \cot x$
- D.
  $y = 1 + \left| \cot x + \tan x ight|$
Kiểm tra được $y = 1 - sin^{2}x$ ; $y = \left| \cot x ight|.sin^{2}x$ ; $y = 1 + \left| \cot x + \tan x ight|$ là các hàm số chẵn.

$y = x^{2}tan2x - \cot x$ là hàm số lẻ.
Câu 39: Nhận biết
Hàm số đã cho liên tục trên khoảng nào

Cho hàm số $f(x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 5x + 6}$ . Khi đó hàm số đã cho liên tục trên khoảng nào?
- A.
  $( - 3;2)$
- B.
  $( - 2; + \infty)$
- C.
  $( - \infty;3)$
- D.
  $(2;3)$
Hàm số có nghĩa khi $x^{2} + 5x + 6 eq 0 \Rightarrow x eq - 3;x eq - 2$

Vậy hàm số $f(x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 5x + 6}$ liên tục trên các khoảng $( - \infty; - 3),( - 3; - 2);( - 2; + \infty)$
Câu 40: Vận dụng
Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Giả sử mặt phẳng (P) đi qua G và song song với mặt phẳng (BCD). Xác định các giao tuyến của (P) với các mặt của tứ diện đều. Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến đó.
- A.
  $\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$
- B.
  $\frac{a^{2}\sqrt{3}}{18}$
- C.
  $\frac{a^{2}\sqrt{3}}{16}$
- D.
  $\frac{a^{2}\sqrt{3}}{9}$
Hình vẽ minh họa:

Trong mặt phẳng (ABC) kẻ đường thẳng qua G và song song với BC cắt AC, AB lần lượt tại H, K.

Trong mặt phẳng (ACD) kẻ đường thẳng qua H và song song với CD cắt AD tại I.

Hình tạo bởi các giao tuyến cần tìm là KHI.

$\Rightarrow \Delta KHI\ \sim\Delta BCD$ theo tỉ số đồng dạng bằng $\frac{2}{3}$

$\Rightarrow S_{KHI}\ = \frac{4}{9}S_{BCD} = \frac{4}{9}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{9}$
Câu 41: Nhận biết
Đổi số đo của góc

Đổi số đo của góc $70^{0}$ sang đơn vị radian
- A.
  $\frac{70}{\pi}$
- B.
  $\frac{7}{18}$
- C.
  $\frac{7\pi}{18}$
- D.
  $\frac{7}{18\pi}$
Cách 1: Áp dụng công thức $\mu = \frac{m.\pi}{180}$ với $\mu$ tính bằng rad và $m$ tính bằng độ.

Khi đó: $\mu = \frac{70.\pi}{180} = \frac{7.\pi}{18}$

Cách 2: Bấm máy tính:

Bước 1. Bấm shift mode 4 để chuyển về chế độ rad.

Bước 2. Bấm 70 shift DRG 1 =
Câu 42: Thông hiểu
Tính giá trị của x

Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:
Đối tượng
[160; 164)
[164; 168)
[168; 172)
[172; 174)
Tần số
8
$x$
12
6
Biết rằng nhóm dữ liệu có giá trị đại diện là 166 chiếm 60% tổng tần số của mẫu dữ liệu. Tìm giá trị của $x$ ?
- A.
  39
- B.
  45
- C.
  40
- D. 32
Nhóm số liệu có độ dài 166 là: [164; 168)
Theo bài ra ta có:
$\frac{x.100\%}{8 + 12 + x + 6} = 60\%\Rightarrow x = 39$
Câu 43: Nhận biết
Chọn kí hiệu đúng

Cho điểm $A$ , đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ . Kí hiệu nào sau đây đúng?
- A.
  $A \in d$
- B.
  $A ⊄ d$
- C.
  $d \subset (P)$
- D.
  $d otin (P)$
Kí hiệu đúng là: $d \subset (P)$
Câu 44: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng?

Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
- A.
  Nếu $\lim\left| u_{n} ight| = + \infty$ , thì $\lim u_{n} = +\infty$
- B.
  Nếu $\lim\left| u_{n} ight| = + \infty$ , thì $\lim u_{n} = -\infty$
- C.
  Nếu $\lim u_{n} = 0$ , thì $\lim{|u_{n}|} = 0$
- D.
  Nếu $\lim u_{n} = - a$ , thì $\lim{|u_{n}|} = a$
Theo nội dung định lý tìm giới hạn, ta có:

Nếu $\lim u_{n} = 0$ , thì $\lim{|u_{n}|} = 0$
Câu 45: Thông hiểu

Xét sự đúng sai của các phát biểu

Nhận định sự đúng sai của các kết luận sau?

a) Hàm số $f(x) = \frac{2x + 3}{x - 2}$ liên tục tại $x = 2$ . Sai||Đúng

b) Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack 1;5brack$ và $f(1) = 2;f(5) = 10$ . Khi đó phương trình $f(x) = 7$ có ít nhất một nghiệm trên khoảng $(1;5)$ . Đúng||Sai

c) Biết $\lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) + 1}{x - 1} = - 1$ khi đó $I = \lim_{x ightarrow 1}\frac{xf(x) + 1}{x - 1} = 0$ Sai||Đúng

d) Trong các hàm số $y = x^{2};y = \tan x;y = \sin x;y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + x + 1}$ , có 3 hàm số liên tục trên tập số thực. Đúng||Sai

Đáp án là:

Nhận định sự đúng sai của các kết luận sau?

a) Hàm số $f(x) = \frac{2x + 3}{x - 2}$ liên tục tại $x = 2$ . Sai||Đúng

b) Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack 1;5brack$ và $f(1) = 2;f(5) = 10$ . Khi đó phương trình $f(x) = 7$ có ít nhất một nghiệm trên khoảng $(1;5)$ . Đúng||Sai

c) Biết $\lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) + 1}{x - 1} = - 1$ khi đó $I = \lim_{x ightarrow 1}\frac{xf(x) + 1}{x - 1} = 0$ Sai||Đúng

d) Trong các hàm số $y = x^{2};y = \tan x;y = \sin x;y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + x + 1}$ , có 3 hàm số liên tục trên tập số thực. Đúng||Sai

a) Vì không tồn tại f(2) nên hàm số đã cho gián đoạn tại x = 2.

b) Xét phương trình $f(x) = 7 \Rightarrow f(x) - 7 = 0$

Đặt $g(x) = f(x) - 7$ ta có:

$\left\{ \begin{matrix} g(1) = f(1) - 7 = - 5 \\ g(5) = f(5) - 7 = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow g(1).g(5) < 0$

Vậy phương trình đã cho cót ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $(1;5)$ .

c) Ta có:

$I = \lim_{x ightarrow 1}\frac{xf(x) + 1}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1}\frac{xf(x) + x - x + 1}{x - 1}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{x\left\lbrack f(x) + 1 ightbrack - (x - 1)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1}\left\{ \frac{x\left\lbrack f(x) + 1 ightbrack}{x - 1} ight\} - 1$

$= 1.( - 1) - 1 = - 2$

d) Các hàm số liên tục trên tập số thực là $y = x^{2};y = \sin x;y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + x + 1}$ .

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 3 Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Xem đáp án Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

31 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 3

Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/45

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 Chân trời sáng tạo
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân
Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số ghép số liệu nhóm
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Đạo hàm
Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 9: Xác suất

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 3

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 11 Chân trời sáng tạo

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân

Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian

Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số ghép số liệu nhóm

Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 7: Đạo hàm

Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian

Chương 9: Xác suất

Chiều cao	Số cây
[145; 150)	25
[150; 155)	50
[155; 160)	200
[160; 165)	175
[165; 170)	50

Khoảng dữ liệu	[10; 20)	[20; 30)	[30; 40)	[40; 50)
Tần số	8	12	22	17

Chiều cao (h)	Số học sinh
130 < h ≤ 140	2
140 < h ≤ 150	4
150 < h ≤ 160	9
160 < h ≤ 170	13
170 < h ≤ 180	8
180 < h ≤ 190	3
190 < h ≤ 200	1

Đối tượng	[160; 164)	[164; 168)	[168; 172)	[172; 174)
Tần số	8	$x$	12	6