VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 3

Mô tả thêm:

Mời các bạn học cùng thử sức với Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo nha!

Thời gian làm: 90 phút
Số câu hỏi: 45 câu
Số điểm tối đa: 45 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Nhận biết
Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $(a;b)$ . Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên $\lbrack a;bbrack$ là:
- A.
  $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x ight) = f\left( a ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ + }} f\left( x ight) = f\left( b ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.$
- B.
  $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x ight) = f\left( a ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x ight) = f\left( b ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.$
- C.
  $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x ight) = f\left( a ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ + }} f\left( x ight) = f\left( b ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.$
- D.
  $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x ight) = f\left( a ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x ight) = f\left( b ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.$
Ta có:

Hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $(a;b)$

Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên $\lbrack a;bbrack$ là: $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x ight) = f\left( a ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x ight) = f\left( b ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.$
Câu 2: Nhận biết
Tìm nhóm chứa mốt của mẫu dữ liệu

Tìm nhóm chứa mốt của mẫu dữ liệu dưới đây:
Nhóm dữ liệu
Tần số
(0; 15]
4
(15; 30]
12
(30; 45]
17
(45; 60]
7
- A.
  (15; 30]
- B.
  (0; 15]
- C.
  (45; 60]
- D.
  (30; 45]
Nhóm chứa mốt là: (30; 45] vì có tần số cao nhất.
Câu 3: Thông hiểu
Tính tỉ lệ độ dài

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có $M$ là trung điểm của $A'D'$ . Gọi mặt phẳng $(\gamma)$ đi qua $M$ và song song với $AC,BB'$ . Giả sử $BC \cap (\gamma) = \left\{ T ight\}$ . Tỉ lệ độ dài của $TB$ và $TC$ là:
- A.
  $\frac{TB}{TC} = \frac{1}{2}$
- B.
  $\frac{TB}{TC} = 3$
- C.
  $\frac{TB}{TC} = \frac{1}{4}$
- D.
  $\frac{TB}{TC} = 2$
Hình vẽ minh họa:

Gọi trung điểm của $AD,DC,D'C'$ lần lượt là $N,P,E$ .

Dễ thấy $(MNPE) \in (\gamma)$

Xét mặt phẳng $(ABCD)$ , gọi $BC \cap NP = T$

Xét tam giác $\Delta NDP$ và tam giác $\Delta PCT$ ta có:

$\widehat{DPN} = \widehat{TPC}$ (đối đỉnh)

$DP = PC$

$\widehat{NDP} = \widehat{PCT}$ (so le trong)

$\Rightarrow \Delta NDP\sim\Delta PCT$

$\Rightarrow DN = TC = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}BC$

Vậy $TB = 3TC$ hay $\frac{TB}{TC} = 3$
Câu 4: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Tính giá trị của biểu thức $B = \cos^{4}15^{0} - \sin^{4}15^{0} + \cos^{2}15^{0}- \sin^{2}15^{0}$
- A.
  $B = \sqrt{3}$
- B.
  $B = \frac{1}{2}$
- C.
  $B = \frac{1}{4}$
- D.
  $B = 0$
Ta có:
$B = \cos^{4}15^{0} - \sin^{4}15^{0} +\cos^{2}15^{0} - \sin^{2}15^{0}$
$B = \left( \cos^{2}15^{0} - \sin^{2}15^{0}ight)\left( \cos^{2}15^{0} + \sin^{2}15^{0} ight) + \left(\cos^{2}15^{0} - \sin^{2}15^{0} ight)$
$B = \left( \cos^{2}15^{0} - \sin^{2}15^{0}ight) + \left( \cos^{2}15^{0} - \sin^{2}15^{0} ight)$
$B = 2\left( \cos^{2}15^{0} -\sin^{2}15^{0} ight)$
$B =2 \cos30^{0} =\sqrt{3}$
Câu 5: Thông hiểu
Có bao nhiêu mệnh đề đúng

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M,N$ lần lượt là trọng tâm tam giác $ABD$ và $ACD$ . Xét các mệnh đề sau:

$\ (i):MN//(ABC)$

$(ii):MN//(BCD)$

$(iii):MN//(ACD)$

Các mệnh đề đúng là:
- A.
  $(i);(iii)$
- B.
  $(i);(ii)$
- C.
  $(i);(ii);(iiii)$
- D.
  $(ii);(iii)$
Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm $CD,BD$ .

Ta có $\frac{AN}{AE} = \frac{AM}{AF} = \frac{2}{3} \Rightarrow MN//EF$

$\Rightarrow MN//(BCD)$ nên mệnh đề $(ii):MN//(BCD)$ đúng.

Ta lại có:

$EF//BC \Rightarrow MN//BC$

$\Rightarrow MN//(ABC)$

=> Mệnh đề $\ (i):MN//(ABC)$ đúng

Mặt khác $MN \cap (ACD) = \left\{ N ight\}$ nên mệnh đề $(iii):MN//(ACD)$ sai.
Câu 6: Vận dụng cao
Tính lim

Cho dãy số (u_n) xác định bởi $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2;u_{2} = 4 \\ u_{n + 2} = 2u_{n + 1} - u_{n} + 5;(n \geq 1) \\ \end{matrix} ight.$ . Tính $\lim_{n ightarrow\infty}\dfrac{u_{n}}{n^{2}}$ .
- A.
  $\frac{2}{5}$
- B.
  $\frac{5}{2}$
- C.
  $\frac{2}{3}$
- D.
  $\frac{3}{2}$
Ta có:

$\begin{matrix} {u_{n + 2}} = 2{u_{n + 1}} - {u_n} + 5 \hfill \\ \Rightarrow {u_{n + 2}} - {u_{n + 1}} = {u_{n + 1}} - {u_n} + 5 \hfill \\ \end{matrix}$

Đặt $\Rightarrow v_{n} = u_{n + 1} - u_{n} \Rightarrow v_{n + 1} = v_{n} + 5;(n \geq 1)$

Từ đó:

$\begin{matrix} {u_2} - {u_1} = 2 \hfill \\ {u_3} - {u_2} = 7 \hfill \\ {u_4} - {u_3} = 12 \hfill \\ ... \hfill \\ {u_{n + 1}} - {u_n} = 5n - 3 \hfill \\ \end{matrix}$

Khi đó:

$\begin{matrix} {u_{n + 1}} - {u_1} = 2 + 7 + 12 + ... + \left( {5n - 3} ight) \hfill \\ = \dfrac{{n\left[ {2 + \left( {5n - 3} ight)} ight]}}{2} = \dfrac{{n\left( {5n - 1} ight)}}{2} \hfill \\ \end{matrix}$

Từ đó ta có:

$\begin{matrix} {u_{n + 1}} = \dfrac{{n\left( {5n - 1} ight)}}{2} + {u_1} \hfill \\ = \dfrac{{n\left( {5n - 1} ight)}}{2} + 2 = \dfrac{{5{n^2} - n + 4}}{2} \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy $u_{n} = \frac{5n^{2} - 11n + 10}{2}$

=> $\lim_{n ightarrow \infty}\frac{u_{n}}{n^{2}} = \lim_{n ightarrow \infty}\left( \frac{5n^{2} - 11n + 10}{2} ight) = \frac{5}{2}$
Câu 7: Vận dụng cao
Tính diện tích hình chữ nhật ABCD

Hình chữ nhật ABCD có hai đỉnh A, B thuộc trục Ox, hai đỉnh C, D thuộc đồ thị hàm số y = cos x (như hình vẽ). Biết rằng $AB = \frac{2\pi}{3}$ . Diện tích hình chữ nhật ABCD bằng bao nhiêu?
- A.
  $\frac{\pi^{2}}{3}$
- B.
  $\frac{2\pi}{3}$
- C.
  $\frac{\pi}{3}$
- D.
  $\frac{2\pi^{2}}{3}$
Gọi $C(a;cosa) \Rightarrow D\left( a +\frac{2\pi}{3};cos\left( a + \frac{2\pi}{3} ight) ight)$
Do ABCD là hình chữ nhật nên AB // CD
=> $y_{C} = y_{D} \Rightarrow \cos a =\cos\left( a + \frac{2\pi}{3} ight)$
=> $a = - a - \frac{2\pi}{3}\Rightarrow a = - \frac{\pi}{3} \Rightarrow AD = \left| \cos\left( -\frac{\pi}{3} ight) ight| = \frac{1}{2}$
Diện tích hình chữ nhật ABCD bằng $AB.BC =\frac{\pi}{3}$
Câu 8: Thông hiểu
Tính tổng 4 số của cấp số cộng

Xen vào giữa hai số 4 và 40 bốn số để được một cấp số cộng có công sai lớn hơn 3. Tìm tổng 4 số đó.
- A.
  88
- B.
  92
- C.
  128
- D.
  132
Sau khi chèn 4 số vào giữa hai số 4 và 40 thì cấp số cộng đó có 6 số hạng
Nghĩa là coi 4 là số hạng đầu tiên thì 40 là số hạng thứ 6
Theo bài ra ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 4} \\ {{u_6} = 40} \end{array}} ight.$
${u_1} + 5.d = 40$
$\begin{matrix} \Rightarrow 4 + 5.d = 40 \hfill \\ \Rightarrow 5.d = 36 \hfill \\ \Rightarrow d = \dfrac{{36}}{5} \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy công sai của cấp số cộng là $d = \frac{{36}}{5}$
Khi đó 4 số hạng được thêm lần lượt là: $\frac{{56}}{5};\frac{{92}}{5};\frac{{128}}{5};\frac{{164}}{5}$
Tổng bốn số hạng ở trên là: $\frac{{56}}{5} + \frac{{92}}{5} + \frac{{128}}{5} + \frac{{164}}{5} = 88$
Câu 9: Thông hiểu
Giao tuyến của hai mặt phẳng (SMN) và (SAC)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD và BC (xem hình vẽ bên). Giao tuyến của hai mặt phẳng (SMN) và (SAC) là
- A. SF (F là trung điểm CD)
- B. SO
- C. SD
- D. SG (G là trung điểm AB)
Ta có: S là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng (SMN) và (SAC).
Ta có $O = AC ∩ BD$ là tâm của hình hình hành
=> $O = AC ∩ MN$ (do M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC).
Trong mặt phẳng (ABCD), ta có:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{O \in AC \subset \left( {SAC} ight) \Rightarrow O \in \left( {SAC} ight)} \\{O \in MN \subset \left( {SMN} ight) \Rightarrow O \in \left( {SMN} ight)}\end{array}} ight.$
=> O là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng (SMN) và (SAC).
Vậy $(SMN) ∩ (SAC) = SO$
Câu 10: Thông hiểu

Xác định sự đúng sai của các kết luận

Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

a) Phương trình $\cos^{2}x - \sqrt{x} =0$ vô nghiệm. Sai||Đúng

b) Hàm số $y = \frac{1}{x^{4} - 3x^{2} + 2}$ có 4 điểm gián đoạn. Đúng||Sai

c) $\lim_{x ightarrow 0}\dfrac{1 -\cos2x}{2\sin\dfrac{3x}{2}} = 0$ Đúng||Sai

d) Để hàm số $f(x) = \left\{\begin{matrix}\dfrac{x^{2} + 4x}{2x}\ \ \ khi\ x eq 0 \\f(0)\ \ \ \ \ \ \ khi\ x = \ 0 \\\end{matrix} ight.$ liên tục trên khoảng $( - \infty; + \infty)$ thì $f(0)$ nhận giá trị bằng 2. Đúng||Sai

Đáp án là:

Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

a) Phương trình $\cos^{2}x - \sqrt{x} =0$ vô nghiệm. Sai||Đúng

b) Hàm số $y = \frac{1}{x^{4} - 3x^{2} + 2}$ có 4 điểm gián đoạn. Đúng||Sai

c) $\lim_{x ightarrow 0}\dfrac{1 -\cos2x}{2\sin\dfrac{3x}{2}} = 0$ Đúng||Sai

d) Để hàm số $f(x) = \left\{\begin{matrix}\dfrac{x^{2} + 4x}{2x}\ \ \ khi\ x eq 0 \\f(0)\ \ \ \ \ \ \ khi\ x = \ 0 \\\end{matrix} ight.$ liên tục trên khoảng $( - \infty; + \infty)$ thì $f(0)$ nhận giá trị bằng 2. Đúng||Sai

a) Xét hàm số $\cos^{2}x - \sqrt{x} =f(x)$ có tập xác định $D = \lbrack 0; + \infty)$

Hàm số liên tục trên $\left\lbrack 0;\frac{\pi}{2} ightbrack$ ta có: $f(0) = 1;f\left( \frac{\pi}{2} ight) = - \sqrt{\frac{\pi}{2}}$

Vì $f(0).f\left( \frac{\pi}{2} ight) < 0$ nên phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất một nghiệm trên $\left( 0;\frac{\pi}{2} ight)$ .

b) Ta có:

$x^{4} - 3x^{2} + 2 = 0 \Leftrightarrow \left( x^{2} - 1 ight)\left( x^{2} - 2 ight) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} - 1 = 0 \\ x^{2} - 2 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} = 1 \\ x^{2} = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \pm 1 \\ x = \pm 2 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy hàm số đã cho có 4 điểm gián đoạn.

c) Ta có:

$\lim_{x ightarrow 0}\dfrac{1 -\cos2x}{2\sin\dfrac{3x}{2}} = \lim_{x ightarrow 0}\left\lbrack x.\left(\dfrac{\sin x}{x} ight)^{2}.\dfrac{3}{2}.\left(\dfrac{\sin\dfrac{3x}{2}}{\dfrac{3x}{2}} ight) ightbrack =0$

d) Ta có: $D = \mathbb{R}$

với $x eq 0$ thì $f(x) = \frac{x^{2} + 4x}{2x}$ là hàm phân thức hữu tỉ xác định với mọi $x eq 0$ . Do đó hàm số liên tục trên các khoảng $( - \infty;0),(0; + \infty)$

Tại $x = 0$ ta có: $\lim_{x ightarrow 0}f(x) = \lim_{x ightarrow 0}\left( \frac{x^{2} + 4x}{2x} ight) = \lim_{x ightarrow 0}\left( \frac{x + 4}{2} ight) = 2$

Để hàm số liên tục trên khoảng $( - \infty; + \infty)$ thì hàm số phải liên tục tại x = 0 khi đó:

$\lim_{x ightarrow 0}f(x) = f(0) = 2$ .

Vậy để hàm số $f(x) = \left\{\begin{matrix}\dfrac{x^{2} + 4x}{2x}\ \ \ khi\ x eq 0 \\f(0)\ \ \ \ \ \ \ khi\ x = \ 0 \\\end{matrix} ight.$ liên tục trên khoảng $( - \infty; + \infty)$ thì $f(0)$ nhận giá trị là $2$ .
Câu 11: Nhận biết
Tìm công sai của cấp số cộng

Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ biết $u_{n} = 3 - 5n$ . Tìm công sai của cấp số cộng?
- A.
  $d = 3$
- B.
  $d = - 5$
- C.
  $d = - 3$
- D.
  $d = 5$
Theo giả thiết ta có:

$u_{n + 1} = - 2 - 5n$

$\Rightarrow u_{n + 1} - u_{n} = - 5;\forall n \geq 1$

Vậy $d = - 5$
Câu 12: Thông hiểu
Xác định giới hạn dưới

Trong một mẫu dữ liệu ghép nhóm có nhóm (0; 10]; (10; 20]; … độ dài một nhóm là 10. Khi đó giới hạn dưới của mẫu thuộc vào nhóm thứ tư là:
- A.
  $40$
- B.
  $50$
- C.
  $20$
- D.
  $30$
Theo cách chia nhóm như đề bài đã cho ta có được các nhóm như sau:
(0; 10]; (10; 20]; (20; 30]; (30; 40]; …
Mẫu nhóm thứ tư là (30; 40]
=> Giới hạn dưới của nhóm thứ tư là 30.
Câu 13: Thông hiểu
Giải phương trình

Cho phương trình $\sin x.\cos x = 1$ có nghiệm là:
- A. $x = \frac{{k\pi }}{4}$
- B. $x = k\pi$
- C. $x = \frac{{k2\pi }}{3}$
- D. Vô nghiệm
Giải phương trình như sau:
$\begin{matrix} \sin x.\cos x = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow 2\sin x.\cos x = 2 \hfill \\ \Leftrightarrow \sin 2x = 2\left( L ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Vì $\sin 2x \in \left[ { - 1;1} ight]$
vậy phương trình lượng giác đã cho vô nghiệm.
Câu 14: Vận dụng cao
Thu gọn tổng S

Tổng S = sin(x) + sin(2x) + … + sin(nx) (với x ≠ kπ ) có công thức thu gọn là?
- A.
  $S = \frac{cos\frac{x}{2} - cos\frac{2n+ 1}{2}x}{2sin\frac{x}{2}}$
- B.
  $S = \frac{cos\frac{x}{2} - cos\frac{2n- 1}{2}x}{2sin\frac{x}{2}}$
- C.
  $S = \frac{cos\frac{x}{2} - cos\frac{2n+ 1}{2}x}{2cos\frac{x}{2}}$
- D.
  $S = \frac{cos\frac{x}{2} - cos\frac{2n- 1}{2}x}{2cos\frac{x}{2}}$
Ta có $2sin\frac{x}{2} \cdot S = 2sinx\cdot sin\frac{x}{2} + 2sin2x \cdot sin\frac{x}{2} + .. + 2sinnx \cdotsin\frac{x}{2}$
$= \cos\frac{x}{2} - \cos\frac{3x}{2} +\cos\frac{3x}{2} - \cos{x\frac{5x}{2}} + \ldots + \cos{x\frac{2n -1}{2}x} - \cos{\frac{2n + 1}{2}x}$
$= cos\frac{x}{2} - cos\frac{2n +1}{2}x$
Vậy $S = \frac{cos\frac{x}{2} - cos\frac{2n+ 1}{2}x}{2sin\frac{x}{2}}$
Câu 15: Thông hiểu
Tính u50?

Cho dãy (u_n) xác định bởi $u_{1} = \frac{1}{2}$ và u_n = u_n − 1 + 2n với mọi n ≥ 2. Số hạng u₅₀ bằng?
- A.
  1274,5
- B.
  2548,5
- C.
  5096,5
- D.
  2550,5
Ta có

$\left\{ \begin{matrix} u_{1} = \frac{1}{2} \\ u_{2} = u_{1} + 2 \\ u_{3} = u_{2} + 4 \\ \ldots \\ u_{49} = u_{48} + 2.49 \\ u_{50} = u_{49} + 2.50 \\ \end{matrix} ight.$

Cộng vế với vế các đẳng thức trên, ta được:

$u_{50} = \frac{1}{2} + 2(2 + 3 + \ldots + 50) = \frac{1}{2} + 2(25.51 - 1) = 2548,5$ .
Câu 16: Vận dụng cao
Tìm giá trị k để hàm số liên tục tại điểm

Cho hàm số $y =f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2016} + x - 2}{\sqrt{2018x + 1} - \sqrt{x + 2018}}\ \ khi\ xeq 1 \\m\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight.$ . Tìm giá trị k để hàm số $y = f(x)$ liên tục tại $x = 1$
- A.
  $m = 2\sqrt{2019}$
- B.
  $m = \frac{2017\sqrt{2018}}{2}$
- C.
  $m = 2$
- D.
  $m = \frac{2018\sqrt{2019}}{2017}$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2016} + x - 2}{\sqrt{2018x + 1} - \sqrt{x + 2018}}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{\left( x^{2016} - 1 + x - 1 ight)\left( \sqrt{2018x + 1} + \sqrt{x + 2018} ight)}{2018x + 1 - (x + 2018)}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{(x - 1)\left\lbrack \left( x^{2015} + x^{2014} + ... + 1 ight) + 1 ightbrack\left( \sqrt{2018x + 1} + \sqrt{x + 2018} ight)}{2018(x - 1) - (x - 1)}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{\left\lbrack \left( x^{2015} + x^{2014} + ... + 1 ight) + 1 ightbrack\left( \sqrt{2018x + 1} + \sqrt{x + 2018} ight)}{2017}$

$= \frac{2017.2\sqrt{2019}}{2017} = 2\sqrt{2019}$
Câu 17: Thông hiểu
Xác định khoảng đồng biến của hàm số

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - \frac{\pi }{3};\frac{\pi }{6}} ight)$ là:
- A. $y = \tan \left( {2x + \frac{\pi }{6}} ight)$
- B. $y = \cot \left( {2x + \frac{\pi }{6}} ight)$
- C. $y = \sin \left( {2x + \frac{\pi }{6}} ight)$
- D. $y = \cos \left( {2x + \frac{\pi }{6}} ight)$
Với $x \in \left( { - \frac{\pi }{3};\frac{\pi }{6}} ight) \to 2x \in \left( { - \frac{{2\pi }}{3};\frac{\pi }{3}} ight) \to 2x + \frac{\pi }{6} \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} ight)$ thuộc góc phần tư thứ IV và thứ nhất nên hàm số $y = \sin \left( {2x + \frac{\pi }{6}} ight)$ đồng biến trên khoảng $\left( { - \frac{\pi }{3};\frac{\pi }{6}} ight)$
Câu 18: Vận dụng
Tính độ dài cạnh hình thoi

Cho tứ diện $ABCD$ có cạnh $AB = 6;CD = 8$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ song song với $AB,CD$ cắt tứ diện tạo thành một hình thoi. Tính độ dài cạnh hình thoi.
- A.
  $\frac{31}{7}$
- B.
  $\frac{18}{7}$
- C.
  $\frac{24}{7}$
- D.
  $\frac{15}{7}$
Hình vẽ minh họa

Gọi M, N, P, Q lần lượt là giao điểm của mặt phẳng chứa thiết diện với các cạnh AC, BC, BD, AD, khi đó theo giả thiết tứ giác MNPQ là hình thoi.

Cũng từ giả thiết ta suy ra $PQ // MN // AB, MQ // NP // CD$ nên ta có

$\frac{CM}{AC} = \frac{MN}{AB};\frac{AM}{AC} = \frac{MQ}{CD} \Rightarrow \frac{AC - CM}{AC} = \frac{MQ}{CD}$

$\Rightarrow 1 - \frac{CM}{AC} = 1 - \frac{MN}{AB} = \frac{MQ}{CD} = \frac{MN}{CD}$

$\Rightarrow MN = \dfrac{1}{\dfrac{1}{AB} +\dfrac{1}{CD}} = \dfrac{1}{\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{8}} =\dfrac{24}{7}$

Vậy cạnh của hình thoi là $\frac{24}{7}$
Câu 19: Vận dụng
Tính tổng S

Tính tổng $S = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 + ... + (2n - 1) - 2n$ với $n \geq 1;n\mathbb{\in N}$ .
- A.
  $S = 0$
- B.
  $S = - 1$
- C.
  $S = n$
- D.
  $S = - n$
Với $\forall n \in \mathbb{N}^{*}$ thì $(2n - 1) - 2n = - 1$

Ta có:

$S = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 + ... + (2n - 1) - 2n$

$S = (1 - 2) + (3 - 4) + (5 - 6) + ... + \left\lbrack (2n - 1) - 2n ightbrack$

Do đó ta xem S là tổng của n số hạng, mà mỗi số hạng đều bằng -1..

=> $S = - 1$

Ta có: $1;3;5;...;2n - 1$ và $2;4;6;...;2n$ là cấp số cộng có n số hạng nên.

$S = (1 + 3 + 5 + ... + 2n - 1) - (2 + 4 + 6 + ... + 2n)$

$S = \frac{n}{2}.(1 + 2n - 1) - \frac{n}{2}.(2 + 2n)$

$S = n^{2} - \left( n^{2} + n ight) = - n$
Câu 20: Thông hiểu
Số hạng đầu tiên của cấp số cộng

Cho một cấp số cộng có ${u_4} = 2;{u_2} = 4$ . Hỏi ${u_1}$ bằng bao nhiêu?
- A. ${u_1} = 6$
- B. ${u_1} = 1$
- C. ${u_1} = 5$
- D. ${u_1} = - 1$
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_4} = 2} \\ {{u_2} = 4} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} + 3d = 2} \\ {{u_1} + d = 4} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 5} \\ {d = - 1} \end{array}} ight.$
Câu 21: Vận dụng
Xác định công bội và số hạng đầu tiên

Biết tổng ba số hạng đầu của một cấp số nhân là $16$ , đồng thời theo thứ tự chúng là số hạng thứ nhất, số hạng thứ tư và số hạng thứ tám của một cấp số cộng. Công bội và số hạng đầu tiên của cấp số nhân là:
- A.
  $q = \frac{10}{3};u_{1} = \frac{144}{139}$
- B.
  $q = 1;u_{1} = \frac{16}{3}$
- C.
  $q = \frac{4}{3};u_{1} = \frac{144}{37}$
- D.
  $q = \frac{1}{3};u_{1} = \frac{144}{13}$
Gọi $u_{1};u_{2};u_{3};u_{4}$ là bốn số hạng đầu của cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ với công bội $q$ .

Gọi $\left( v_{n} ight)$ là cấp số cộng tương ứng với công sai $d$ .

Theo bài ra ta có:

$\left\{ \begin{matrix} u_{1} + u_{2} + u_{3} = 16 \\ u_{1} = v_{1} \\ u_{2} = v_{4} = v_{1} + 3d \\ u_{3} = v_{8} = v_{1} + 7d \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} + u_{1}.q + u_{1}.q^{2} = 16 \\ u_{1}.q = v_{1} + 3d \\ u_{1}.q^{2} = v_{1} + 7d \\ \end{matrix} ight.$

$\left( u_{1} eq 0 ight) \Rightarrow\left\lbrack \begin{matrix}q = 1(ktm) \\q = \dfrac{10}{3}(tm) \\\end{matrix} ight.$

$q = \frac{10}{3} \Rightarrow u_{1} = \frac{144}{139}$
Câu 22: Vận dụng
Tìm chu kì T của hàm số?

Xác định chu kì T của hàm số $y = \tan3x +\cot x$
- A.
  $T = 4\pi$
- B.
  $T = \pi$
- C.
  $T = 3\pi$
- D.
  $T = 6\pi$
Hàm số $y = \tan3x$ tuần hoàn với chu kì $T_{1} = \frac{\pi}{3}$

Hàm số $y = \cot x$ tuần hoàn với chu kì $T_{2} = \pi$

T là chu kì của hàm số $y = \tan3x + \cot{x}$ là bội chung nhỏ nhất của T₁ và T₂

Suy ra hàm số $y = \tan3x + \cot x$ tuần hoàn với chu kì $T = \pi$
Câu 23: Nhận biết
Tính giới hạn

Tính giới hạn $\lim\sqrt{\frac{2n + 9}{n + 2}},\left( n \in \mathbb{N}^{*} ight)$
- A.
  $2$
- B.
  $\sqrt{2}$
- C.
  $1$
- D.
  $\frac{3}{\sqrt{2}}$
Ta có: $\lim\sqrt{\frac{2n + 9}{n + 2}} =\lim\sqrt{\dfrac{2 + \dfrac{9}{n}}{1 + \dfrac{2}{n}}} = \sqrt{\frac{2 +0}{1 + 0}} = \sqrt{2}$
Câu 24: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $10.$ $N$ là điểm trên cạnh $SB$ sao cho $3SN = 2SB.$ Một mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $N$ , song song với $AB$ và $AD,$ cắt hình chóp theo một tứ giác. Gọi $S$ là diện tích tứ giác thiết diện và $S = \frac{4a}{b}$ , với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản, $a;b\mathbb{\in N}$ . Tính giá trị của biểu thức $P = a + b + 1$ ?

Đáp án: 110

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $10.$ $N$ là điểm trên cạnh $SB$ sao cho $3SN = 2SB.$ Một mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $N$ , song song với $AB$ và $AD,$ cắt hình chóp theo một tứ giác. Gọi $S$ là diện tích tứ giác thiết diện và $S = \frac{4a}{b}$ , với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản, $a;b\mathbb{\in N}$ . Tính giá trị của biểu thức $P = a + b + 1$ ?

Đáp án: 110

Hình vẽ minh họa

Ta kẻ $MN\ //\ AB\ \ (M \in SA)$ , $NP\ //BC\ \ (P \in SC)$ , $MQ\ //\ BC\ //\ AD\ \ (Q \in SD)$ .

Vì mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $N$ , song song với $AB$ và $AD$ nên $M,\ \ P,\ \ Q$ đều thuộc $(\alpha)$ và thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng $(\alpha)$ là tứ giác $MNPQ$ .

Khi đó $MN$ // $AB \Rightarrow \frac{SM}{SA} = \frac{MN}{AB} =\frac{2}{3}.$

Tương tự, ta có được $\frac{NP}{BC} = \frac{PQ}{CD} = \frac{QM}{DA} = \frac{2}{3}$ .

Suy ra $MN = NP = PQ = QM = \frac{2}{3}AB = \frac{20}{3}$ và $MNPQ$ là hình vuông.

Suy ra $S_{MNPQ} = \left( \frac{20}{3} ight)^{2} = \frac{400}{9}.$

Khi đó $a = 100,b = 9$

Vậy $P = a + b + 1 = 110.$
Câu 25: Nhận biết
Đếm số nghiệm trên đoạn

Hỏi trên đoạn $[0; 2023 \pi]$ , phương trình $\sqrt 3 \cot x - 3 = 0$ có bao nhiêu nghiệm?
- A. 6339
- B. 6340
- C. 2022
- D. 2023
Ta có $\cot x = \sqrt 3 \Leftrightarrow \cot x = \cot \frac{\pi }{6}$
$\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\pi {\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
Theo giả thiết, ta có
$0 \leqslant \frac{\pi }{6} + k\pi \leqslant 2023\pi \xrightarrow{{{\text{xap xi}}}} - \frac{1}{6} \leqslant k \leqslant 2022,833$
$\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}k \in \left\{ {0;1;...;2022} ight\}$ .
Vậy có tất cả 2023 giá trị nguyên của k tương ứng với có 2023 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 26: Vận dụng
Có bao nhiêu số tự nhiên k chẵn thỏa mãn đẳng thức

Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn k để $\lim \frac{{n - 2\sqrt {{n^k}} \cos \frac{1}{n}}}{{2n}} = \frac{1}{2}$
- A.
  0
- B.
  1
- C.
  4
- D.
  Vô số
Ta có:
$\frac{{n - 2\sqrt {{n^k}} \cos \frac{1}{n}}}{{2n}} = \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt n \sin 2n}}{{2n}}$
Bài toán trở thành $\lim \frac{{\sqrt n \sin 2n}}{{2n}} = 0$
Ta có: $\lim \cos \frac{1}{n} = \cos 0 = 1$ nên bài toán trở thành tìm k sao cho
$\begin{matrix} \lim \dfrac{{\sqrt {{n^k}} }}{n} = \lim \left( {{n^{\dfrac{k}{2} - 1}}} ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{k}{2} - 1 < 0 \Leftrightarrow k < 2 \hfill \\ \end{matrix}$
Mà $k \in {\mathbb{N}^*};k = 3l$
=> Không tồn tại giá trị của k (do k nguyên dương và k chẵn).
Câu 27: Nhận biết
Tìm tập xác định của hàm số

Tìm tập xác định của hàm số $y = \frac{2x-1}{{\sin x - \cos x}}$
- A. ${\text{D}} = \mathbb{R}$
- B. ${\text{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} ight\}$
- C. ${\text{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} ight\}$
- D. ${\text{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} ight\}$
Hàm số xác định khi
$\begin{matrix} \Leftrightarrow \sin x - \cos x e 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \tan x e 1 \hfill \\ \Leftrightarrow x e \dfrac{\pi }{4} + k\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy tập xác định ${\text{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} ight\}$
Câu 28: Nhận biết
Đổi số đo sang đơn vị radian

Đổi số đo $365^{0}$ sang số đo theo đơn vị là radian.
- A.
  $\frac{73\pi}{18}$
- B.
  $\frac{73\pi}{36}$
- C.
  $\frac{73\pi}{72}$
- D.
  $2\pi$
Ta có: $365^{0} = \frac{365\pi}{180}rad = \frac{73\pi}{36}rad$
Câu 29: Thông hiểu
Tìm đường thẳng song song với IJ

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $I;J$ lần lượt là trọng tâm tam giác $ABC;ABD$ . Khi đó đường thẳng $IJ$ song song với đường thẳng:
- A.
  $AC$
- B.
  $CD$
- C.
  $AD$
- D.
  $DB$
Hình vẽ minh họa

Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh BD và BC nên ta có MN // CD (1)

Vì I; J lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và ABD nên ta có:

$\frac{AI}{AN} = \frac{AJ}{AM} = \frac{2}{3} \Rightarrow IJ//MN\ (2)$

Từ (1) và (2) suy ra $IJ//CD$ .
Câu 30: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng $0$ ?
- A.
  $\left( \frac{3}{2} ight)^{n}$ .
- B.
  $\left( - \frac{5}{4} ight)^{n}$ .
- C.
  $\left( \frac{2}{3} ight)^{n}$ .
- D.
  $\left( - \frac{4}{3} ight)^{n}$ .
Vì $\left| q ight| < 1$ nên $\lim {q^n} = 0$ .
Câu 31: Vận dụng
Mặt phẳng nào song song với (IJK)

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi I. J. K lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACC’, A’B’C’. Mặt phẳng nào sau đây song song với (IJK)
- A.
  (AA’B’)
- B.
  (AA’C’)
- C.
  (A’B’C’)
- D.
  (BB’C’)
Hình vẽ minh họa
Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của BC, CC' và B'C'.
=> $\frac{{AI}}{{IM}} = \frac{{AJ}}{{JN}} = 2$ (tính chất trọng tâm tam giác)
=> $IJ//MN(1)$
Xét mặt phẳng $(AA'EM)$ ta có: $\frac{{AI}}{{IM}} = \frac{{A'K}}{{KE}} = 2$
=> $IK//ME$
Mà $ME //BB'$
=> $IK//BB'(2)$
Từ (1) và (2) => $(IJK)$ và $(BB'C)$ là hai mặt phẳng phân biệt. Khi đó ta có:
$\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {IJK} ight) e \left( {BB'C'} ight)} \\ {IJ,IK \subset \left( {IJK} ight)} \\ {MN,BB' \subset \left( {BB'C'} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \left( {IJK} ight)//\left( {BB'C'} ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 32: Vận dụng cao
Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến

Cho tứ diện $ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $a$ . Lấy $I$ là trung điểm của $AC$ , $J \in AD$ sao cho $\frac{AJ}{AD} = 2$ . Giả sử mặt phẳng $(\alpha)$ chứa $IJ$ và song song với $AB$ . Xác định các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện. Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến đó.
- A.
  $S = \frac{3a^{2}\sqrt{51}}{144}$
- B.
  $S = \frac{3a^{2}\sqrt{31}}{144}$
- C.
  $S = \frac{a^{2}\sqrt{31}}{144}$
- D.
  $S = \frac{5a^{2}\sqrt{51}}{144}$
Hình vẽ minh hoạ

Trong mp(ABD) kẻ $JN // AB, (N ∈ BD).$

Trong mp(ABC) kẻ $IM // AB, (M ∈ BC).$

Gọi P là điểm đối xứng của C qua D.

Khi đó $AD = \frac{1}{2}CD = BD$

=> Tam giác ACP và tam giác BCP lần lượt vuông tại A, B, và có J là trọng tâm tam giác ACP, N là trọng tâm tam giác BCP.

$\Rightarrow \frac{PJ}{PI} = \frac{PN}{PM} = \frac{2}{3}$

Ta lại có: $\frac{S_{PJN}}{S_{PIM}} = \frac{PJ}{PI}.\frac{PN}{PM} = \frac{2}{3}.\frac{2}{3} = \frac{4}{9}$

$\Rightarrow \frac{S_{JNMI}}{S_{PIM}} = \frac{5}{9}$

Mặt khác

$JN//AB \Rightarrow \frac{JN}{AB} = \frac{DJ}{DA} = \frac{1}{3} \Rightarrow JN = \frac{1}{3}AB = \frac{a}{3}$

$IM//AB \Rightarrow \frac{IM}{AB} = \frac{CI}{CA} = \frac{1}{2} \Rightarrow IM = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}$

Trong tam giác PAC vuông tại A ta có:

$AP = \sqrt{CP^{2} - AC^{2}} = \sqrt{(2a)^{2} - a^{2}} = a\sqrt{3}$

$PI = \sqrt{AI^{2} + AP^{2}} = \sqrt{\left( \frac{a}{2} ight)^{2} + \left( a\sqrt{3} ight)^{2}} = \frac{a\sqrt{13}}{2} = PM$

Diện tích tam giác PIM

$S_{PIM} = \sqrt{p(p - PI)(p - PM)(p - IM)}$

Với $p = \frac{PI + PM + IM}{2} = \frac{1 + 2\sqrt{13}}{4}.a$

$\Rightarrow S_{PIM} = \frac{a^{2}\sqrt{51}}{16}$

$\Rightarrow S_{JNMI} = \frac{5}{9}S_{PIM} = \frac{5a^{2}\sqrt{51}}{144}$
Câu 33: Nhận biết
Dãy nào là cấp số nhân

Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số nhân?
- A.
  $128; - 64;32; - 16;8;...$
- B.
  $\sqrt{2};2;4;4\sqrt{2};...$
- C.
  $5;6;7;8;...$
- D.
  $15;5;1;\frac{1}{5};...$
Ta có:

Dãy số $\left( u_{n} ight)$ là cấp số nhân

$\Leftrightarrow u_{n} = q.u_{n - 1};\left( n \in \mathbb{N}^{*} ight)$

$\Leftrightarrow \frac{u_{2}}{u_{1}} = \frac{u_{3}}{u_{2}} = \frac{u_{4}}{u_{3}} = ... = q;\left( u_{n} eq 0 ight)$

Gọi $q$ là công bội.

Xét đáp án $128; - 64;32; - 16;8;...$

$\Leftrightarrow \frac{u_{2}}{u_{1}} = - \frac{1}{2} = \frac{u_{3}}{u_{2}} = \frac{u_{4}}{u_{3}}$

Xét đáp án $\sqrt{2};2;4;4\sqrt{2};...$

$\Leftrightarrow \frac{u_{2}}{u_{1}} = \frac{1}{\sqrt{2}} eq 2 = \frac{u_{3}}{u_{2}}$

Xét đáp án $5;6;7;8;...$

$\Leftrightarrow \frac{u_{2}}{u_{1}} = \frac{6}{5} eq \frac{7}{6} = \frac{u_{3}}{u_{2}}$

Xét đáp án $15;5;1;\frac{1}{5};...$

$\Leftrightarrow \frac{u_{2}}{u_{1}} = \frac{1}{3} eq \frac{1}{5} = \frac{u_{3}}{u_{2}}$
Câu 34: Thông hiểu
Tìm nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất

Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thống kê điểm số (thang điểm $10$ ) của $50$ học sinh tham dự kỳ thi giữa kỳ $1$ của lớp $11A$ , ta có bảng số liệu sau:

Điểm

[0; 2)

[2; 4)

[4; 6)

[6; 8)

[8; 10)

Số học sinh

5

7

13

18

7

Tìm tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm trên. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
- A.
  $4,06$ .
- B.
  $4,07$ .
- C.
  $4,08$ .
- D.
  $4,09$ .
Ta có bảng số liệu:

Điểm

[0; 2)

[2; 4)

[4; 6)

[6; 8)

[8; 10)

Số học sinh

5

7

13

18

7

Tần số tích lũy

5

12

25

43

50

Vì $\frac{n}{4} = \frac{50}{4} = 12,5$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là $\lbrack 4\ ;\ 6)$ .

Khi đó tứ phân vị thứ nhất là

$Q_{1} = 4 + \frac{\frac{50}{4} - 12}{13}.(6 - 4) = \frac{53}{13} \approx 4,08$ .
Câu 35: Vận dụng cao
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của A

Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của biểu thức $A = \sin^{6}x +\cos^{6}x$ .
- A.
  $M = 2;m = 0$
- B.
  $M = 1;m =\frac{1}{2}$
- C.
  $M = 1;m = \frac{1}{4}$
- D.
  $M = \frac{1}{4};m =0$
Ta có:
$A = \sin^{6}x + \cos^{6}x$
$A = \left( \sin^{2}x ight)^{3} + \left(\cos^{2}x ight)^{3}$
$A = \left( \sin^{2}x + \cos^{2}x ight)\left( \sin^{4}x - \sin^{2}x.\cos^{2}x + \cos^{4}x ight)$
$A = \sin^{4}x - \dfrac{1}{4}\sin^{2}2x +\cos^{4}x$
$A = 1 - \dfrac{1}{4}\sin^{2}2x -\dfrac{1}{2}\sin^{2}2x$
$A = 1 -\frac{3}{4}\sin^{2}2x$
$\Rightarrow \sin^{2}2x = \frac{4 -4A}{3}$
Ta lại có: $\sin^{2}2x \in \lbrack0;1brack$
$\Rightarrow 0 \leq \frac{4 - 4A}{3} \leq1$
$\Rightarrow \frac{1}{4} \leq A \leq1$
$\Rightarrow M = 1;m =\frac{1}{4}$

Câu 36: Vận dụng

Kiểm tra tính đúng sai của các phát biểu

Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:

Đối tượng	Tần số
[150; 155)	15
[155; 160)	10
[160; 165)	40
[165; 170)	27
[170; 175)	5
[175; 180)	3

Xác định tính đúng sai của các phát biểu sau:

a) Nhóm chứa trung vị là [160; 165) Đúng||Sai

b) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [165; 170) Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [155; 160) Sai||Đúng

d) $\Delta Q = Q_{3} - Q_{1} \approx 7$ Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:

Đối tượng	Tần số
[150; 155)	15
[155; 160)	10
[160; 165)	40
[165; 170)	27
[170; 175)	5
[175; 180)	3

Xác định tính đúng sai của các phát biểu sau:

a) Nhóm chứa trung vị là [160; 165) Đúng||Sai

b) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [165; 170) Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [155; 160) Sai||Đúng

d) $\Delta Q = Q_{3} - Q_{1} \approx 7$ Đúng||Sai

Ta có:

Đối tượng	Tần số	Tần số tích lũy
[150; 155)	15	15
[155; 160)	11	26
[160; 165)	39	65
[165; 170)	27	92
[170; 175)	5	97
[175; 180)	3	100

Cỡ mẫu là: $N = 100$

$\frac{N}{2} = 50$ => trung vị thuộc nhóm [160; 165) (vì 50 nằm giữa hai tần số tích lũy 25 và 65)

$\frac{N}{4} = 25$ => tứ phân vị thứ nhất thuộc nhóm [155; 160) (vì 25 nằm giữa hai tần số tích lũy 15 và 26)

Do đó: $\left\{ \begin{matrix}l = 155;\dfrac{N}{4} = 25;m = 15;f = 11 \\c = 160 - 155 = 5 \\\end{matrix} ight.$

Khi đó tứ phân vị thứ nhất là:

$Q_{1} = l + \dfrac{\left( \dfrac{N}{4} - might)}{f}.c = 155 + \frac{25 - 15}{11}.5 \approx 159,55$

$\frac{3N}{4} = 75$ => tứ phân vị thứ ba nhóm [165; 170) (vì 75 nằm giữa hai tần số tích lũy 65 và 92)

Do đó: $\left\{ \begin{matrix}l = 165;\dfrac{3N}{4} = 75;m = 65;f = 27 \\c = 170 - 165 = 5 \\\end{matrix} ight.$

Khi đó tứ phân vị thứ ba là:

$Q_{3} = l + \dfrac{\left( \dfrac{3N}{4} -m ight)}{f}.c = 165 + \dfrac{75 - 65}{27}.5 \approx 166,85$

$\Rightarrow \Delta Q = Q_{3} - Q_{1} \approx 7$

Câu 37: Nhận biết
Chọn phát biểu sai

Trong các phát biểu sau đây, phát biểu nào sai?
- A.
  Hai đường thẳng song song thì đồng phẳng
- B.
  Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau
- C.
  Hai đường thẳng chéo nhau thì không đồng phẳng
- D.
  Hai đường thẳng chéo nhau thì không đồng phẳng.
Phát biểu sai: "Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau."
Câu 38: Nhận biết
Tìm mệnh đề sai

Trong không gian, cho tam giác $ABC$ , lấy điểm $I$ trên cạnh $AC$ kéo dài (trong hình vẽ). Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  $I,A,B,C$ cùng nằm trên một mặt phẳng.
- B.
  $A \in (ABC)$
- C.
  $I \in (ABC)$
- D.
  $BI$ không nằm trên mặt phẳng $(ABC)$
Ta có: $I \in (ABC);B \in (ABC)$

=> $BI \subset (ABC)$

Do đó mệnh đề sai là: “ $BI$ không nằm trên mặt phẳng $(ABC)$ ”.
Câu 39: Nhận biết
Tính quãng đường chuyển động

Một chất điểm chuyển động trên một đường tròn đường kính 80cm. Biết chất điểm chạy được 5 vòng. Tính quãng đường chuyển động của chất điểm?
- A.
  $400\pi(cm)$
- B.
  $800\pi(cm)$
- C.
  $80\pi(cm)$
- D.
  $200\pi(cm)$
Ta có: $r = 40cm \Rightarrow l = 40.2\pi.5 = 400\pi(cm)$
Câu 40: Thông hiểu
Tính độ dài nhóm số liệu

Bảng số liệu sau đây thể hiện tuổi thọ của các bóng đèn (đơn vị: giờ):
1144
1134
1162
1130
1120
1160
1116
1179
1165
1150
1155
1177
1109
1142
1121
1103
1145
1131
1133
1170
1127
1164
1147
1157
1136
1166
1111
1168
1115
1150
1101
1125
1152
1132
1140
Từ mẫu số liệu trên, nếu ghép các số liệu thành 4 nhóm theo các nửa khoảng có độ dài bằng nhau thì độ dài của mỗi nhóm số liệu bằng bao nhiêu?
- A.
  $23$
- B.
  $20$
- C.
  $30$
- D.
  $25$
Khoảng biến thiên là 1179 – 1101 = 78
Để số liệu thành 4 nhóm theo các nửa khoảng có độ dài bằng nhau, ta chia thành các nhóm có độ dài là 20.
Ta chia thành các nhóm sau: [1100; 1120), [1120; 1140), [1140; 1160), [1160; 1180).
Câu 41: Vận dụng
Mệnh đề nào đúng?

Gọi $x_0$ là nghiệm âm lớn nhất của $\sin 9x + \sqrt 3 \cos 7x = \sin 7x + \sqrt 3 \cos 9x$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
- A. ${x_0} \in \left( { - \frac{\pi }{{12}};0} ight)$
- B. ${x_0} \in \left[ { - \frac{\pi }{6}; - \frac{\pi }{{12}}} ight]$
- C. ${x_0} \in \left[ { - \frac{\pi }{3}; - \frac{\pi }{6}} ight)$
- D. ${x_0} \in \left[ { - \frac{\pi }{2}; - \frac{\pi }{3}} ight)$
Phương trình $\Leftrightarrow \sin 9x - \sqrt 3 \cos 9x = \sin 7x - \sqrt 3 \cos 7x$
$\Leftrightarrow \sin \left( {9x - \frac{\pi }{3}} ight) = \sin \left( {7x - \frac{\pi }{3}} ight)$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 9x - \frac{\pi }{3} = 7x - \frac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\ 9x - \frac{\pi }{3} = \pi - \left( {7x - \frac{\pi }{3}} ight) + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = k\pi \hfill \\ x = \frac{{5\pi }}{{48}} + \frac{{k\pi }}{8} \hfill \\ \end{gathered} ight.$
$\xrightarrow{{{\text{Cho}} < 0}}\left[ \begin{gathered} k\pi < 0 \Leftrightarrow k < 0\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}{k_{\max }} = - 1 \to x = - \pi \hfill \\ \frac{{5\pi }}{{48}} + \frac{{k\pi }}{8} < 0 \Leftrightarrow k < - \frac{5}{6}\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}{k_{\max }} = - 1 \to x = - \frac{\pi }{{48}} \hfill \\ \end{gathered} ight.$
So sánh hai nghiệm ta được nghiệm âm lớn nhất của phương trình là $x = - \frac{\pi }{{48}} \in \left( { - \frac{\pi }{{12}};0} ight)$
Câu 42: Nhận biết
Xác định mặt phẳng song song với JK

Cho hình chóp $S.ABC$ . Gọi $J;K$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $SB,SC$ . Đường thẳng $JK$ song song với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng dưới đây?
- A.
  $(SAC)$
- B.
  $(SKA)$
- C.
  $(ABC)$
- D.
  $(SAB)$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} JK//CB \\ JK ⊄ (ABC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow JK//(ABC)$
Câu 43: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}- \dfrac{x}{2}\ \ khi\ \ x \leq 1 \\\dfrac{x^{2} - 3x + 2}{x^{2} - 1}\ \ khi\ \ x > 1 \\\end{matrix} ight.$ . Các kết luận dưới đây đúng hay sai?

a) $\ \lim_{x ightarrow 0}f(x) = - \ 2$ . Sai||Đúng

b) $\ \lim_{x ightarrow 3}f(x) = + \ \infty$ . Sai||Đúng

c) $\lim_{x ightarrow + \ \infty}f(x) = 1$ . Đúng||Sai

d) Hàm số $f(x)$ liên tục tại $x_{0} = 1$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}- \dfrac{x}{2}\ \ khi\ \ x \leq 1 \\\dfrac{x^{2} - 3x + 2}{x^{2} - 1}\ \ khi\ \ x > 1 \\\end{matrix} ight.$ . Các kết luận dưới đây đúng hay sai?

a) $\ \lim_{x ightarrow 0}f(x) = - \ 2$ . Sai||Đúng

b) $\ \lim_{x ightarrow 3}f(x) = + \ \infty$ . Sai||Đúng

c) $\lim_{x ightarrow + \ \infty}f(x) = 1$ . Đúng||Sai

d) Hàm số $f(x)$ liên tục tại $x_{0} = 1$ . Đúng||Sai

a) Sai

$\lim_{x ightarrow 0}f(x) = \lim_{x ightarrow 0}\left( - \frac{x}{2} ight) = 0$ .

b) Sai

$\lim_{x ightarrow 3}f(x) = \lim_{xightarrow 3}\left( \frac{x^{2} - 3x + 2}{x^{2} - 1} ight) =\frac{1}{4}$ .

c) Đúng

$\lim_{x ightarrow + \ \infty}f(x) = \lim_{x ightarrow + \ \infty}\left( \frac{x^{2} - 3x + 2}{x^{2} - 1} ight)$

$= \lim_{x ightarrow + \ \infty}\left( \frac{x - 2}{x + 1} ight) = \lim_{x ightarrow + \ \infty}\left( 1 - \frac{3}{x + 1} ight) = 1$ .

d) Đúng

Ta có:

$f(1) = - \frac{1}{2}$ và $\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\left( - \frac{x}{2} ight) = - \frac{1}{2}$ .

$\lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left( \frac{x^{2} - 3x + 2}{x^{2} - 1} ight) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left( \frac{x - 2}{x + 1} ight) = - \frac{1}{2}$ .

Vậy $f(1) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x)$ nên hàm số $f(x)$ liên tục tại $x_{0} = 1$ .
Câu 44: Thông hiểu
Tìm số hạng cuối của cấp số nhân

Một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội bằng 2 và tổng số các số hạng bằng 189. Tìm số hạng cuối $u_{6}$ của cấp số nhân đã cho.
- A.
  $u_{6} = 32$
- B.
  $u_{6} = 104$
- C.
  $u_{6} = 48$
- D.
  $u_{6} = 96$
Theo giả thiết ta có:

$\left\{ \begin{matrix}q = 2 \\S_{6} = 189 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}q = 2 \\u_{1}.\dfrac{1 - q^{6}}{1 - q} = 189 \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}q = 2 \\u_{1}.\dfrac{1 - 2^{6}}{1 - 2} = 189 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}q = 2 \\u_{1} = 3 \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow u_{6} = u_{1}.q^{5} = 3.2^{6} = 96$
Câu 45: Vận dụng
Tìm giới hạn

Tính giới hạn $\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x^{2} - 3x + 2}{6\sqrt{x + 8} - x - 17}$
- A.
  $- \infty$
- B.
  $0$
- C.
  $+ \infty$
- D.
  $\frac{1}{2}$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x^{2} - 3x + 2}{6\sqrt{x + 8} - x - 17}$

$= \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{\left( x^{2} - 3x + 2 ight)\left( 6\sqrt{x + 8} + x + 17 ight)}{\left( 6\sqrt{x + 8} - x - 17 ight)\left( 6\sqrt{x + 8} + x + 17 ight)}$

$= \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{\left( x^{2} - 3x + 2 ight)\left( 6\sqrt{x + 8} + x + 17 ight)}{- x^{2} + 2x - 1}$

$= \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{(x - 2)(x - 1)\left( 6\sqrt{x + 8} + x + 17 ight)}{- (x - 1)^{2}}$

$= \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{(x - 2)\left( 6\sqrt{x + 8} + x + 17 ight)}{- x + 1}$

Ta có:

$\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x - 2} ight)\left( {6\sqrt {x + 8} + x + 17} ight) = - 36 < 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( { - x + 1} ight) = 0 \hfill \\ - x + 1 < 0,\forall x > 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

=> $\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x^{2} - 3x + 2}{6\sqrt{x + 8} - x - 17} = + \infty$

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 3 Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Xem đáp án Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

24 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 3

Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/45

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 Chân trời sáng tạo
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân
Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số ghép số liệu nhóm
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Đạo hàm
Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 9: Xác suất

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 3

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 11 Chân trời sáng tạo

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân

Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian

Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số ghép số liệu nhóm

Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 7: Đạo hàm

Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian

Chương 9: Xác suất

Nhóm dữ liệu	Tần số
(0; 15]	4
(15; 30]	12
(30; 45]	17
(45; 60]	7

Điểm	[0; 2)	[2; 4)	[4; 6)	[6; 8)	[8; 10)
Số học sinh	5	7	13	18	7

1144	1134	1162	1130	1120	1160	1116
1179	1165	1150	1155	1177	1109	1142
1121	1103	1145	1131	1133	1170	1127
1164	1147	1157	1136	1166	1111	1168
1115	1150	1101	1125	1152	1132	1140