VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 3

Mô tả thêm:

Mời các bạn học cùng thử sức với Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo nha!

Thời gian làm: 90 phút
Số câu hỏi: 45 câu
Số điểm tối đa: 45 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Nhận biết
Tìm số hạng tổng quát?

Cho dãy số có các số hạng đầu là 8, 15, 22, 29, 36, … Số hạng tổng quát của dãy số này là
- A.
  u_n = 7n + 7
- B.
  u_n = 7.n
- C.
  u_n = 7.n + 1
- D.
  u_n = n + 7
Ta có 8 = 7.1 + 1; 15 = 7.2 + 1; 22 = 7.3 + 1; 29 = 7.4 + 1; 36 = 7.5 + 1

Suy ra số hạng tổng quát u_n = 7n + 1
Câu 2: Thông hiểu
Chọn hệ thức đúng

Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ . Hãy chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau:
- A.
  $\frac{u_{10} + u_{20}}{2} = u_{5} + u_{10}$
- B.
  $u_{90} + u_{210} = 2u_{150}$
- C.
  $u_{10}.u_{30} = u_{20}$
- D.
  $\frac{u_{10}.u_{30}}{2} = u_{20}$
Xét đáp án $\dfrac{u_{10} + u_{20}}{2} =u_{5} + u_{10}$

$\left\{ \begin{matrix}\dfrac{u_{10} + u_{20}}{2} = \dfrac{u_{1} + 9d + u_{1} + 29d}{2} \\u_{5} + u_{10} = u_{1} + 4d + u_{1} + 9d \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{u_{10} + u_{20}}{2} = u_{1} + 19d \\u_{5} + u_{10} = 2u_{1} + 13d \\\end{matrix} ight.$

Xét đáp án $u_{90} + u_{210} = 2u_{150}$

$\left\{ \begin{matrix}u_{90} + u_{210} = 2u_{1} + 298d \\2u_{150} = 2\left( u_{1} + 149d ight) \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{90} + u_{210} = 2\left( u_{1} + 149d ight) \\2u_{150} = 2\left( u_{1} + 149d ight) \\\end{matrix} ight.$

Vậy hệ thức đúng là $u_{90} + u_{210} = 2u_{150}$
Câu 3: Nhận biết
Tìm phát biểu mới

Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?
- A.
  Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
- B.
  Hai mặt phẳng có thể có đúng hai điểm chung.
- C.
  Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có chung một đường thẳng duy nhất hoặc mọi điểm thuộc mặt phẳng này đều thuộc mặt phẳng kia.
- D.
  Hai mặt phẳng luôn có điểm chung.
Phương án "Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất." sai vì nếu hai mặt phẳng trùng nhau thì chúng có vô số đường thẳng chung.
Phương án "Hai mặt phẳng có thể có đúng hai điểm chung." sai vì nếu hai mặt phẳng có hai điểm chung thì chúng có chung một đường thẳng.
Phương án "Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có chung một đường thẳng duy nhất hoặc mọi điểm thuộc mặt phẳng này đều thuộc mặt phẳng kia." đúng vì hai mặt phẳng có điểm chung thì chúng có thể cắt nhau hoặc trùng nhau.
Phương án "Hai mặt phẳng luôn có điểm chung." sai vì hai mặt phẳng đáy của hình hộp thì không có điểm chung.
Câu 4: Thông hiểu
Tìm số hạng thứ n của cấp số cộng

Cho dãy số $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 4} \\ {{u_{n + 1}} = {u_n} + n} \end{array}} ight.$ . Tìm số hạng thứ 5 của dãy số:
- A. 16
- B. 12
- C. 15
- D. 14
Ta có:
$\begin{matrix} {u_2} = {u_1} + 1 = 5 \hfill \\ {u_3} = {u_2} + 2 = 7 \hfill \\ {u_4} = {u_3} + 3 = 10 \hfill \\ \end{matrix}$
Do đó số hạng thứ 5 của dãy số là Sử dụng công thức: ${u_5} = {u_4} + 4 = 14$
Câu 5: Vận dụng
Hàm số chẵn, hàm số lẻ

Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung?
- A.
  $y = \sin x.\cos2x$
- B.
  $y = \sin^{3}x.\cos\left( x -\frac{\pi}{2} ight)$
- C.
  $y = \frac{\tan x}{\tan^{2}x +1}$
- D.
  $y = \cos x.\sin^{3}x$
Ta dễ dàng kiểm tra được các hàm số

$y = \sin x.\cos2x$

$y = \frac{\tan x}{\tan^{2}x +1}$

$y = \cos x.\sin^{3}x$

là các hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O

Xét hàm số $y = \sin^{3}x.\cos\left( x -\frac{\pi}{2} ight)$ ta có:

$f(x) = y = \sin^{3}x.\cos\left( x -\frac{\pi}{2} ight) = \sin^{3}x.\sin{x} = \sin^{4}x$

Kiểm tra được đây là hàm số chẵn nên có đồ thị đối xứng qua trục tung.
Câu 6: Nhận biết
Hàm số không liên tục

Hàm số nào sau đây không liên tục tại $x = 2$ ?
- A.
  $y = \sqrt{x + 2}$
- B.
  $y = \sin x$
- C.
  $y = \frac{x^{2}}{x - 2}$
- D.
  $y = x^{2} - 3x + 2$
Hàm số $y = \frac{x^{2}}{x - 2}$ có tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 2 ight\}$ nên không liên tục tại $x = 2$ .
Câu 7: Nhận biết
Tính giới hạn dãy số

Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ với $u_{n} = \frac{4^{n - 1}}{5^{n - 2}}$ . Tính $\lim_{n ightarrow + \infty}u_{n}$ .
- A.
  $0$ .
- B.
  $\frac{4}{5}$ .
- C.
  $\frac{4}{25}$ .
- D.
  $\frac{25}{4}$ .
Ta có:

$\lim_{n ightarrow + \infty}u_{n} = \lim_{n ightarrow + \infty}\frac{4^{n - 1}}{5^{n - 2}} = \lim_{n ightarrow + \infty}\left( \left( \frac{4}{5} ight)^{n}.\frac{4^{- 1}}{5^{- 2}} ight) = 0$
Câu 8: Thông hiểu
Tính cân nặng trung bình

Ước tính cân nặng trung bình của 20 người được cho trong bảng dữ liệu dưới đây:
Cân nặng (x, kg)
Số người
0 < x ≤ 20
2
20 < x ≤ 40
6
40 < x ≤ 60
7
60 < x ≤ 80
4
80 < x ≤ 100
1
- A.
  $45$
- B.
  $46$
- C.
  $43$
- D.
  $47$
Ta có:
Cân nặng đại diện (x, kg)
Số người
Tích các giá trị
10
2
20
30
6
180
50
7
350
70
4
280
90
1
90
Tổng
N = 20
920
Cân nặng trung bình của 20 người đó là:
$\overline{x} =\frac{920}{20} = 46(kg)$
Câu 9: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ . Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $SC$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $MN//(ABCD)$
- B.
  $MN//(SAB)$
- C.
  $MN//(SBC)$
- D.
  $MN//(SCD)$
Hình vẽ minh họa

Xét $\Delta SAC$ có $M,N$ lần lượt là trung điểm $SA,SC$

=> $MN$ là đường trung bình của $\Delta SAC$

=> $MN//AC$ mà $AC \subset (ABCD)$

$\Rightarrow MN//(ABCD)$

Câu 10: Thông hiểu

Chọn đáp án chính xác

Biết rằng kết quả kiểm tra môn Tiếng Anh của 4 lớp 11 được ghi trong bảng sau:

Lớp 11A	Điểm	(0; 5]	(5; 6]	(6; 7]	(7; 8]	(8; 10]
Lớp 11A	Số học sinh	4	8	12	10	6
Lớp 11B	Điểm	(0; 5]	(5; 6]	(6; 7]	(7; 8]	(8; 10]
Lớp 11B	Số học sinh	5	12	10	8	4
Lớp 11C	Điểm	(0; 5]	(5; 6]	(6; 7]	(7; 8]	(8; 10]
Lớp 11C	Số học sinh	4	10	15	9	3
Lớp 11D	Điểm	(0; 5]	(5; 6]	(6; 7]	(7; 8]	(8; 10]
Lớp 11D	Số học sinh	4	9	16	11	3

Lớp nào có số học sinh đạt điểm (6; 8] nhiều nhất?

A.
11A
B.
11B
C.
11C
D.
11D

Số học sinh lớp 11A đạt điểm từ (6; 8] là:

12 + 10 = 22 (học sinh)

Số học sinh lớp 11B đạt điểm từ (6; 8] là:

10 + 8 = 18 (học sinh)

Số học sinh lớp 11C đạt điểm từ (6; 8] là:

15 + 9 = 24 (học sinh)

Số học sinh lớp 11D đạt điểm từ (6; 8] là:

16 + 11 = 27 (học sinh)

Vậy lớp 11D có nhiều học sinh đạt điểm từ (6; 8] nhất.

Câu 11: Thông hiểu
Tính giới hạn

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 2x} + 3x}}{{\sqrt {4{x^2} + 1} - x + 2}}$ bằng
- A.
  $\frac{2}{3}$
- B.
  $-\frac{2}{3}$
- C.
  $\frac{1}{2}$
- D.
  $-\frac{1}{2}$
Ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 2x} + 3x}}{{\sqrt {4{x^2} + 1} - x + 2}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\left| x ight|\sqrt {1 + \dfrac{2}{x}} + 3x}}{{\left| x ight|\sqrt {1 + \dfrac{1}{x}} - x + 2}} \hfill \\ \end{matrix}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\sqrt {1 + \dfrac{2}{x}} + 3}}{{\sqrt {1 + \dfrac{1}{x}} - 1 + \dfrac{2}{x}}} = \frac{{ - 2}}{3}$
Câu 12: Thông hiểu
Tìm các giá trị của tham số m

Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{3} - x^{2} + 2x - 2}{x - 1}\ khi\ x eq 1 \\3x + m\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 2 \\\end{matrix} ight.$ liên tục tại $x = 1$ .
- A.
  $m = 0$
- B.
  $m = 2$
- C.
  $m = 4$
- D.
  $m = 1$
Tập xác định $D\mathbb{= R}$

Theo giả thiết ta có:

$3 + m = f(1) = \lim_{x ightarrow 1}f(x)$

$\Rightarrow 3 + m = \lim_{x ightarrow 1}\left( \frac{x^{3} - x^{2} + 2x - 2}{x - 1} ight)$

$\Leftrightarrow 3 + m = \lim_{x ightarrow 1}\frac{(x - 1)\left( x^{2} + 2 ight)}{x - 1}$

$\Leftrightarrow 3 + m = \lim_{x ightarrow 1}\left( x^{2} + 2 ight)$

$\Leftrightarrow 3 + m = 3$

$\Leftrightarrow m = 0$
Câu 13: Thông hiểu
Tìm đường thẳng song song với MG

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABD$ và $M$ là điểm trên cạnh $BC$ sao cho $BM = 2MC$ . Đường thẳng $MG$ song song với
- A.
  $(ACD)$
- B.
  $(ABD)$
- C.
  $(ABC)$
- D.
  $(BCD)$
Hình vẽ minh họa

Gọi E là trung điểm của AD. Do G là trọng tâm của tam giác ABD và M là điểm trên cạnh BC sao cho $BM = 2MC$ nên trong mặt phẳng (BCE) ta có:

$\frac{BG}{BE} = \frac{BM}{BC} = \frac{2}{3}$

$\Rightarrow MG//CE \subset (ACD)$

$\Rightarrow MG//(ACD)$
Câu 14: Nhận biết
Giải phương trình lượng giác

Tập nghiệm của phương trình $\cot x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ là
- A.
  $S = \left\{ \frac{k\pi}{3},k\mathbb{\in Z} ight\}$ .
- B.
  $S = \left\{ - \frac{\pi}{3} + k\pi,k\mathbb{\in Z} ight\}$ .
- C.
  $S = \left\{ - \frac{\pi}{6} + k\pi,k\mathbb{\in Z} ight\}$ .
- D.
  $S = \left\{ \frac{k\pi}{6},k\mathbb{\in Z} ight\}$ .
Ta có

$\cot x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\Leftrightarrow \cot x = \cot\left( - \frac{\pi}{3} ight)$

$\Leftrightarrow x = - \frac{\pi}{3} + k\pi,\left( k\mathbb{\in Z} ight)$ .
Câu 15: Vận dụng cao
Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến

Cho tứ diện $ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $a$ . Lấy $I$ là trung điểm của $AC$ , $J \in AD$ sao cho $\frac{AJ}{AD} = 2$ . Giả sử mặt phẳng $(\alpha)$ chứa $IJ$ và song song với $AB$ . Xác định các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện. Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến đó.
- A.
  $S = \frac{3a^{2}\sqrt{51}}{144}$
- B.
  $S = \frac{3a^{2}\sqrt{31}}{144}$
- C.
  $S = \frac{a^{2}\sqrt{31}}{144}$
- D.
  $S = \frac{5a^{2}\sqrt{51}}{144}$
Hình vẽ minh hoạ

Trong mp(ABD) kẻ $JN // AB, (N ∈ BD).$

Trong mp(ABC) kẻ $IM // AB, (M ∈ BC).$

Gọi P là điểm đối xứng của C qua D.

Khi đó $AD = \frac{1}{2}CD = BD$

=> Tam giác ACP và tam giác BCP lần lượt vuông tại A, B, và có J là trọng tâm tam giác ACP, N là trọng tâm tam giác BCP.

$\Rightarrow \frac{PJ}{PI} = \frac{PN}{PM} = \frac{2}{3}$

Ta lại có: $\frac{S_{PJN}}{S_{PIM}} = \frac{PJ}{PI}.\frac{PN}{PM} = \frac{2}{3}.\frac{2}{3} = \frac{4}{9}$

$\Rightarrow \frac{S_{JNMI}}{S_{PIM}} = \frac{5}{9}$

Mặt khác

$JN//AB \Rightarrow \frac{JN}{AB} = \frac{DJ}{DA} = \frac{1}{3} \Rightarrow JN = \frac{1}{3}AB = \frac{a}{3}$

$IM//AB \Rightarrow \frac{IM}{AB} = \frac{CI}{CA} = \frac{1}{2} \Rightarrow IM = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}$

Trong tam giác PAC vuông tại A ta có:

$AP = \sqrt{CP^{2} - AC^{2}} = \sqrt{(2a)^{2} - a^{2}} = a\sqrt{3}$

$PI = \sqrt{AI^{2} + AP^{2}} = \sqrt{\left( \frac{a}{2} ight)^{2} + \left( a\sqrt{3} ight)^{2}} = \frac{a\sqrt{13}}{2} = PM$

Diện tích tam giác PIM

$S_{PIM} = \sqrt{p(p - PI)(p - PM)(p - IM)}$

Với $p = \frac{PI + PM + IM}{2} = \frac{1 + 2\sqrt{13}}{4}.a$

$\Rightarrow S_{PIM} = \frac{a^{2}\sqrt{51}}{16}$

$\Rightarrow S_{JNMI} = \frac{5}{9}S_{PIM} = \frac{5a^{2}\sqrt{51}}{144}$
Câu 16: Thông hiểu
Tính tỉ lệ trăm học sinh dưới 168cm

Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm kết quả đo chiều cao (đơn vị: cm) của một nhóm học sinh lớp 11 như sau:
Số học sinh có chiều cao không vượt quá 168 cm so với tất cả các học sinh chiếm bao nhiêu phần trăm?
- A.
  $75\%$
- B.
  $33,3\%$
- C.
  $66,7\%$
- D.
  $68\%$
Số học sinh tham gia đo chiều cao là 36 học sinh
Số học sinh cao không quá 168cm là: 9 + 15 = 24 học sinh chiếm $\frac{24.100\%}{36} \approx 66,7\%$
Câu 17: Nhận biết
Hàm số nào là hàm số chẵn?

Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
- A. $y= - \sin x$
- B. $y = \cos x - \sin x$
- C. $y = \cos x + {\sin ^2}x$
- D. $y = \cos x\sin x$
Tất các các hàm số đều có TXĐ: ${\text{D}} = \mathbb{R}$ .
Do đó $\forall x \in {\text{D}} \Rightarrow - x \in {\text{D}}{\text{.}}$
Bây giờ ta kiểm tra $f\left( { - x} ight) = f\left( x ight)$ hoặc $f\left( { - x} ight) = - f\left( x ight).$
Với $y = f\left( x ight) = - \,\,\sin x$ . Ta có
$f\left( { - x} ight) = - \,\,\sin \left( { - x} ight) = \sin x = - \left( { - \sin x} ight)$
$\Rightarrow f\left( { - x} ight) = - f\left( x ight)$
Suy ra hàm số là hàm số lẻ.
Với $y = f\left( x ight) = \cos x - \sin x.$ . Ta có
$f\left( { - x} ight) = \cos \left( { - x} ight) - \sin \left( { - x} ight) = \cos x + \sin x$
$\Rightarrow f\left( { - x} ight) e \left\{ { - f\left( x ight),f\left( x ight)} ight\}$
Suy ra hàm số không chẵn không lẻ.
Với $y = f\left( x ight) = \cos x + {\sin ^2}x$ . Ta có
$f\left( { - \,x} ight) = \cos \left( { - \,x} ight) + {\sin ^2}\left( { - \,x} ight)$
$= \cos \left( { - \,x} ight) + {\left[ {\sin \left( { - \,x} ight)} ight]^2}$
$= \cos x + {\left[ { - \sin x} ight]^2} = \cos x + {\sin ^2}x$
$\Rightarrow f\left( { - x} ight) = f\left( x ight)$
Suy ra hàm số là hàm số chẵn.
Với $y = f\left( x ight) = \cos x\sin x.$ Ta có
$f\left( { - \,x} ight) = \cos \left( { - \,x} ight).\sin \left( { - \,x} ight) = - \cos x\sin x$
$\Rightarrow f\left( { - x} ight) = - f\left( x ight)$
Suy ra hàm số là hàm số lẻ.
Câu 18: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $I,K$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $CD$ . Gọi $M$ là trung điểm của $SB$ . Gọi $F$ là giao điểm của $DM$ và $(SIK)$ . Tính tỉ số $\frac{MF}{MD}$ .

Đáp án: 1

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $I,K$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $CD$ . Gọi $M$ là trung điểm của $SB$ . Gọi $F$ là giao điểm của $DM$ và $(SIK)$ . Tính tỉ số $\frac{MF}{MD}$ .

Đáp án: 1

Hình vẽ minh họa

-Ta có $S \in (SIK) \cap (SAC)$ .

Trong mặt phẳng $(ABCD)$ , gọi $E = IK \cap AC$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} E \in IK \subset (SIK) \\ E \in AC \subset (SAC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow E \in (SIK) \cap (SAC)$

Suy ra $SE = (SIK) \cap (SAC)$ .

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} S \in (SIK) \cap (SBD) \\ BD \subset (SBD),IK \subset (SIK) \\ BD//IK \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow (SIK) \cap (SBD) = Sx,(\ Sx//BD//IK)$

-Trong mp $(SBD)$ , gọi $F = Sx \cap DM$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} S \in DM \\ S \in Sx \subset (SIK) \\ \end{matrix} \Rightarrow F = DM \cap (SIK) ight.$ .

Ta có $SF//BD \Rightarrow \frac{MF}{MD} = \frac{MS}{MB} = 1$ .
Câu 19: Thông hiểu
Tìm điều kiện xác định của hàm số

Với điều kiện xác định của các giá trị lượng giác, cho $P = \dfrac{\sin2a + \sin5a - \sin3a}{1+ \cos a - 2\sin^{2}2a}$ . Đơn giản biểu thức P ta được:
- A.
  $P = 2\tan a$
- B.
  $P = 2\sin a$
- C.
  $P = 2\cot a$
- D.
  $P = 2\cos a$
Ta có:

$P = \dfrac{\sin2a + \sin5a - \sin3a}{1 +\cos a - 2\sin^{2}2a}$

$P = \frac{\sin2a + 2\cos4a.\sin a}{\cos4a +\cos a}$

$P = \frac{2\sin a\cos a +2\cos4a.\sin a}{\cos4a + \cos a}$

$P = \frac{2\sin a\left( \cos a + \cos4aight)}{\cos a + \cos4a}$

$P = 2\sin a$
Câu 20: Vận dụng cao
Tính giá trị số hạng đã cho

Cho dãy số $=\left( x_{n} ight)$ thỏa mãn điều kiện $x_{1} = 1$ ; $x_{n + 1} - x_{n} = \frac{1}{n(n + 1)}$ với $n = 1;2;3;...$ số hạng $x_{2018}$ bằng:
- A.
  $x_{2018} =\frac{4036}{2018}$
- B.
  $x_{2018} =\frac{4035}{2018}$
- C.
  $x_{2018} =\frac{4037}{2018}$
- D.
  $x_{2018} =\frac{4034}{2018}$
Ta có:
$x_{n + 1} - x_{n} = \frac{1}{n(n + 1)} =\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$
$\Leftrightarrow \sum_{k = 1}^{n -1}\left( x_{k + 1} - x_{k} ight) = \sum_{k = 1}^{n - 1}\left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1} ight)$
$\Leftrightarrow x_{n} - x_{1} = 1 -\frac{1}{n}$
$\Leftrightarrow x_{n} = \frac{2n -1}{n}$
Vậy $x_{2018} =\frac{4035}{2018}$
Câu 21: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Trong không gian cho bốn điểm không đồng phẳng. Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng phân biệt từ các điểm đã cho?
- A.
  $6$ .
- B.
  $4$ .
- C.
  $3$ .
- D.
  $2$ .
Vì $4$ điểm không đồng phẳng tạo thành một tứ diện mà tứ diện có $4$ mặt.
Câu 22: Nhận biết
Tính giá trị biểu thức

Giá trị của $\sin\left( - \frac{25\pi}{4} ight)$ là:
- A.
  $\frac{\sqrt{2}}{2}$
- B.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$
- C.
  $- \frac{1}{2}$
- D.
  $- \frac{\sqrt{2}}{2}$
Ta có:

$\sin\left( - \frac{25\pi}{4} ight) = \sin\left( - \frac{\pi}{4} - 6\pi ight) = \sin\left( - \frac{\pi}{4} ight) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$
Câu 23: Thông hiểu
Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là tứ giác lồi. Gọi $O = AC \cap BD;$ $M = AB \cap CD;$ $N = AD \cap BC$ . Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ ?
- A.
  $SA$
- B.
  $SN$
- C.
  $SM$
- D.
  $SO$
Hình vẽ minh họa

Nhận thấy S và M lần lượt là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là SM.
Câu 24: Thông hiểu
Tìm số hạng thứ tư của cấp số nhân

Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ có tổng n số hạng đầu tiên là $S_{n} = 5^{n} - 1$ . Tìm số hạng thứ 4 của cấp số nhân đã cho.
- A.
  $u_{4} = 100$
- B.
  $u_{4} = 124$
- C.
  $u_{4} = 500$
- D.
  $u_{4} = 624$
Ta có:
$S_{n} = 5^{n - 1}$
$\Rightarrow u_{1}.\frac{1 - q^{n}}{1 -q} = 5^{n - 1}$
$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = q - 1 \\q = 5 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 4 \\q = 5 \\\end{matrix} ight.$
Khi đó $u_{4} = u_{1}.q^{3} = 4.5^{3} =500$
Câu 25: Vận dụng
Tính giá trị biểu thức P

Biết rằng $\lim\frac{\sqrt[3]{an^{3} + 5n^{2} - 7}}{\sqrt{3n^{2} - n + 2}} = b\sqrt{3} + c$ với $a,b,c$ là các tham số. Tính giá trị của biểu thức $P = \frac{a + c}{b^{3}}$ .
- A.
  $P = 3$
- B.
  $P = \frac{1}{3}$
- C.
  $P = 2$
- D.
  $P = \frac{1}{2}$
Ta có:

$\lim\frac{\sqrt[3]{an^{3} + 5n^{2} - 7}}{\sqrt{3n^{2} - n + 2}}$

$= \lim\dfrac{\sqrt[3]{a + \dfrac{5}{n} -\dfrac{7}{n^{3}}}}{\sqrt{3 - \dfrac{1}{n} + \dfrac{2}{n^{2}}}} =\dfrac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt{3}} =\dfrac{\sqrt{3}.\sqrt[3]{a}}{3}$

$\begin{matrix} \Rightarrow \dfrac{{\sqrt 3 .\sqrt[3]{a}}}{3} = b\sqrt 3 + c \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt[3]{a} = \dfrac{b}{3}} \\ {c = 0} \end{array}} ight. \Rightarrow P = \dfrac{1}{3} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 26: Nhận biết
Tìm câu sai

Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai?
- A.
  Nếu một đường thẳng song song với một trong hai mặt phẳng song song thì nó song song với mặt phẳng còn lại.
- B.
  Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì nó cắt mặt phẳng còn lại.
- C.
  Nếu hai đường thẳng song song thì chúng cùng nằm trên một mặt phẳng.
- D.
  Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì chúng song song với nhau.
Giả sử $(\alpha)$ song song với $(\beta)$ . Một đường thẳng $a$ song song với $(\beta)$ có thể nằm trên $(\alpha)$ .
Câu 27: Vận dụng
Tính tổng S

Tính tổng $S = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 + ... + (2n - 1) - 2n$ với $n \geq 1;n\mathbb{\in N}$ .
- A.
  $S = 0$
- B.
  $S = - 1$
- C.
  $S = n$
- D.
  $S = - n$
Với $\forall n \in \mathbb{N}^{*}$ thì $(2n - 1) - 2n = - 1$

Ta có:

$S = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 + ... + (2n - 1) - 2n$

$S = (1 - 2) + (3 - 4) + (5 - 6) + ... + \left\lbrack (2n - 1) - 2n ightbrack$

Do đó ta xem S là tổng của n số hạng, mà mỗi số hạng đều bằng -1..

=> $S = - 1$

Ta có: $1;3;5;...;2n - 1$ và $2;4;6;...;2n$ là cấp số cộng có n số hạng nên.

$S = (1 + 3 + 5 + ... + 2n - 1) - (2 + 4 + 6 + ... + 2n)$

$S = \frac{n}{2}.(1 + 2n - 1) - \frac{n}{2}.(2 + 2n)$

$S = n^{2} - \left( n^{2} + n ight) = - n$
Câu 28: Nhận biết
Tìm cấp số nhân

Dãy số nào là cấp số nhân?
- A.
  $u_{n} = 7 - 3^{n}$
- B.
  $u_{n} = \frac{7}{3n}$
- C.
  $u_{n} = 7.2^{n + 1}$
- D.
  $u_{n} = 7 - 3n$
Theo bài ra ta có:

$\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{7 - 3^{n + 1}}{7 - 3^{n}} = \frac{3\left( 7 - 3^{n} ight) - 14}{7 - 3^{n}} = 3 - \frac{14}{7 - 3^{n}}$ (loại)

$\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} =\dfrac{\dfrac{7}{3n + 3}}{\dfrac{7}{3n}} = 1 - \frac{1}{n +1}$ (loại)

$\dfrac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \dfrac{7.2^{n +2}}{7.2^{n + 1}} = 2$ (thỏa mãn)

$\dfrac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \dfrac{7 - 3(n +1)}{7 - 3n} = 1 - \frac{3}{7 - 3n}$ (loại)
Câu 29: Vận dụng
Giải PT lượng giác với sin x và cos x

Giải phương trình ${\sin ^2}x - \left( {\sqrt 3 + 1} ight)\sin x\cos x + \sqrt 3 {\cos ^2}x = 0$
- A. $x = \frac{\pi }{3} + k2\pi {\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
- B. $x = \frac{\pi }{4} + k\pi {\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
- C. $\left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\ x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.{\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
- D. $\left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{3} + k\pi \hfill \\ x = \frac{\pi }{4} + k\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.{\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
Ta có: ${\sin ^2}x - \left( {\sqrt 3 + 1} ight)\sin x\cos x + \sqrt 3 {\cos ^2}x = 0$
$\Leftrightarrow \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{{\left( {\sqrt 3 + 1} ight)\sin x\cos x}}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{{\sqrt 3 {{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = 0$
$\Leftrightarrow {\tan ^2}x - \left( {\sqrt 3 + 1} ight)\tan x + \sqrt 3 \; = 0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \tan x = 1 \hfill \\ \tan x = \sqrt 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{4} + k\pi \hfill \\ x = \frac{\pi }{3} + k\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.\left( {k \in \mathbb{Z}} ight).$
Câu 30: Nhận biết
Tính giá trị của biểu thức B

Tính giá trị của biểu thức $B = \cos\frac{\pi}{30}.\cos\frac{\pi}{5} +\sin\frac{\pi}{30}.\sin\frac{\pi}{5}$ là:
- A.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$
- B.
  $- \frac{\sqrt{3}}{2}$
- C.
  $\frac{\sqrt{3}}{4}$
- D.
  $\frac{1}{2}$
Ta có:

$B = \cos\frac{\pi}{30}.\cos\frac{\pi}{5}+ \sin\frac{\pi}{30}.\sin\frac{\pi}{5}$

$B = \cos\left( \frac{\pi}{30} - \frac{\pi}{5} ight) = \cos\left( - \frac{\pi}{6} ight) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Câu 31: Vận dụng cao
Chọn đáp án đúng

Hãy nêu tất cả các hàm số trong các hàm số $y = sin;y = \cos x;y = \tan x;y = \cot x$ thỏa mãn điều kiện đồng biến và nhận giá trị âm trong khoảng $\left( - \frac{\pi}{2};0 ight)$ ?
- A.
  $y = \tan x$
- B.
  $y = \cos x;y = \cotx$
- C.
  $y = sin;y = \tan x$
- D.
  $y = \cos x;y = \tanx$
Ta có:
Hàm số y = tan x đồng biến và nhận giá trị âm trên khoảng $\left( - \frac{\pi}{2};0 ight)$
=> $y = \cos x;y = \cot x$ sai
Trên khoảng $\left( - \frac{\pi}{2};0ight)$ hàm số y = sin x đồng biến và nhận giá trị âm.
Câu 32: Nhận biết
Tìm đáp án chưa thích hợp

Dãy số nào sau đây không phải là cấp số cộng?
- A.
  $2;5;8;11;14...$
- B.
  $2;4;8;10;14...$
- C.
  $1;2;3;4;5;6...$
- D.
  $15;10;5;0; - 5;...$
Chỉ cần tồn tại hai cặp số hạng liên tiếp của dãy số có hiệu khác nhau: $u_{m + 1} - u_{m}=u_{k + 1} -u_{k}$ thì kết luận ngay dãy số đó không phải là cấp số cộng.

Xét đáp án: $2;5;8;11;14...\overset{ightarrow}{}3 = u_{2} - u_{1} = u_{3} - u_{2} = u_{4} - u_{3} = \cdots\overset{ightarrow}{}$ loại

Xét đáp án: $2;4;8;10;14...\overset{ightarrow}{}2 = u_{2} -u_{1}=u_{3} - u_{2} = 4\overset{ightarrow}{}$ Chọn

Xét đáp án: $1;2;3;4;5;6...\overset{ightarrow}{}1 = u_{2} - u_{1} = u_{3} - u_{2} = u_{4} - u_{3} = \cdots\overset{ightarrow}{}$ Loại

Xét đáp án: $15;10;5;0; - 5;...\overset{ightarrow}{} - 5 = u_{2} - u_{1} = u_{3} - u_{2} = u_{4} - u_{3} = \cdots\overset{ightarrow}{}$ loại
Câu 33: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:
Đối tượng
Tần số
[150; 155)
15
[155; 160)
10
[160; 165)
40
[165; 170)
27
[170; 175)
5
[175; 180)
3
Tổng
N = 100
Mốt của mẫu số liệu thuộc nhóm số liệu nào?
- A.
  [150; 155)
- B.
  [160; 165)
- C.
  [165; 170)
- D.
  [175; 180)
Mốt của mẫu số liệu thuộc nhóm [160; 165).
Câu 34: Thông hiểu

Xét tính đúng sai cho mỗi nhận định

Cho hai đồ thị hàm số $y = \sin\left( x + \frac{\pi}{4} ight)$ và $y = \sin x$ , khi đó:

a) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số: $\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} ight) = \sin x$ Đúng||Sai

b) Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là $x = \frac{3\pi}{8} + k\pi(k\mathbb{\in Z})$ Đúng||Sai

c) Khi $x \in \lbrack 0;2\pibrack$ thì hai đồ thị hàm số cắt nhau tại ba điểm Sai||Đúng

d) Khi $x \in \lbrack 0;2\pibrack$ thì toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là: $\left( \frac{5\pi}{8};sin\frac{5\pi}{8} ight),\left( \frac{7\pi}{8};sin\frac{7\pi}{8} ight)$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hai đồ thị hàm số $y = \sin\left( x + \frac{\pi}{4} ight)$ và $y = \sin x$ , khi đó:

a) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số: $\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} ight) = \sin x$ Đúng||Sai

b) Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là $x = \frac{3\pi}{8} + k\pi(k\mathbb{\in Z})$ Đúng||Sai

c) Khi $x \in \lbrack 0;2\pibrack$ thì hai đồ thị hàm số cắt nhau tại ba điểm Sai||Đúng

d) Khi $x \in \lbrack 0;2\pibrack$ thì toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là: $\left( \frac{5\pi}{8};sin\frac{5\pi}{8} ight),\left( \frac{7\pi}{8};sin\frac{7\pi}{8} ight)$ . Sai||Đúng

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số:

$\sin\left( x + \frac{\pi}{4} ight) =\sin x$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x + \dfrac{\pi}{4} = x + k2\pi \\x + \dfrac{\pi}{4} = \pi - x + k2\pi \\\end{matrix}(k\mathbb{\in Z}) ight.$

$\Leftrightarrow x = \frac{3\pi}{8} + k\pi(k\mathbb{\in Z})$

Vì $x \in \lbrack 0;2\pibrack \Rightarrow x \in \left\{ \frac{3\pi}{8};\frac{11\pi}{8} ight\}$ .

Với $x = \frac{3\pi}{8} \Rightarrow y = \sin\frac{3\pi}{8} \approx 0,92$ với $x = \frac{11\pi}{8} \Rightarrow y = \sin\frac{11\pi}{8} \approx - 0,92$ .

Vậy toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là: $\left( \frac{3\pi}{8};sin\frac{3\pi}{8} ight),\left( \frac{11\pi}{8};sin\frac{11\pi}{8} ight)$ .

Kết luận:

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai
Câu 35: Vận dụng
Xác định giá trị biểu thức

Dưới đây là tốc độ của 20 phương tiện giao thông di chuyển trên đường.
Tốc độ
Tần số
40 ≤ x < 50
4
50 ≤ x < 60
5
60 ≤ x < 70
7
70 ≤ x < 80
4
Xác định giá trị của $\Delta = \left|Q_{1} - Q_{3} ight|$ ?
- A.
  $\Delta \approx 18,2$
- B.
  $\Delta \approx 15,7$
- C.
  $\Delta \approx16,6$
- D.
  $\Delta \approx 14,8$
Ta có:
Tốc độ
Tần số
Tần số tích lũy
40 ≤ x < 50
4
4
50 ≤ x < 60
5
9
60 ≤ x < 70
7
16
70 ≤ x < 80
4
20
Tổng
N = 20

Ta có: $\frac{N}{4} = \frac{20}{4} =5$
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là: $[50; 60)$
Khi đó: $\left\{ \begin{matrix}l = 50;\dfrac{N}{4} = 5 \\m = 4,f = 5,d = 10 \\\end{matrix} ight.$
Tứ phân vị thứ nhất là:
$Q_{1} = l + \dfrac{\dfrac{N}{4} -m}{f}.d$
$\Rightarrow Q_{1} = 50 + \frac{5 -4}{5}.10 = 52$
Ta có: $\frac{3N}{4} = \frac{3.20}{4} =15$
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là: $[60; 70]$
Khi đó: $\left\{ \begin{matrix}l = 60;\dfrac{3N}{4} = 15 \\m = 9,f = 7,d = 10 \\\end{matrix} ight.$
Tứ phân vị thứ nhất là:
$Q_{3} = l + \dfrac{\dfrac{3N}{4} -m}{f}.d$
$\Rightarrow Q_{3} = 60 + \frac{15 -9}{7}.10 = \frac{480}{7}$
$\Rightarrow \Delta = \left| Q_{1} -Q_{3} ight| = \left| 52 - \frac{480}{7} ight| \approx16,6$
Câu 36: Vận dụng cao
Tìm giá trị k để hàm số liên tục tại điểm

Cho hàm số $y =f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2016} + x - 2}{\sqrt{2018x + 1} - \sqrt{x + 2018}}\ \ khi\ xeq 1 \\m\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight.$ . Tìm giá trị k để hàm số $y = f(x)$ liên tục tại $x = 1$
- A.
  $m = 2\sqrt{2019}$
- B.
  $m = \frac{2017\sqrt{2018}}{2}$
- C.
  $m = 2$
- D.
  $m = \frac{2018\sqrt{2019}}{2017}$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2016} + x - 2}{\sqrt{2018x + 1} - \sqrt{x + 2018}}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{\left( x^{2016} - 1 + x - 1 ight)\left( \sqrt{2018x + 1} + \sqrt{x + 2018} ight)}{2018x + 1 - (x + 2018)}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{(x - 1)\left\lbrack \left( x^{2015} + x^{2014} + ... + 1 ight) + 1 ightbrack\left( \sqrt{2018x + 1} + \sqrt{x + 2018} ight)}{2018(x - 1) - (x - 1)}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{\left\lbrack \left( x^{2015} + x^{2014} + ... + 1 ight) + 1 ightbrack\left( \sqrt{2018x + 1} + \sqrt{x + 2018} ight)}{2017}$

$= \frac{2017.2\sqrt{2019}}{2017} = 2\sqrt{2019}$
Câu 37: Vận dụng cao
Tính giá trị biểu thức

Nếu $\alpha +\beta + \gamma = \frac{\pi}{2}$ và $\cot\alpha + \cot\gamma = 2\cot\beta$ thì $\cot\alpha.\cot\gamma$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $\sqrt{3}$
- B.
  $- \sqrt{3}$
- C.
  $3$
- D.
  $- 3$
Từ giả thiết ta có:
$\alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi}{2}\Rightarrow \beta = \frac{\pi}{2} - (\alpha + \gamma)$
Ta có:
$\cot\alpha + \cot\gamma =2\cot\beta$
$= 2\cot\left\lbrack \frac{\pi}{2} -(\alpha + \gamma) ightbrack = 2\tan(\alpha + \gamma)$
$= 2.\frac{\tan\alpha + \tan\gamma}{1 -\tan\alpha.\tan\gamma}$
Mặt khác
$\dfrac{\tan\alpha + \tan\gamma}{1 -\tan\alpha.\tan\gamma} = \dfrac{\dfrac{1}{\cot\alpha} +\dfrac{1}{\cot\gamma}}{1 - \dfrac{1}{\cot\alpha}.\dfrac{1}{\cot\gamma}} =\dfrac{\cot\alpha + \cot\gamma}{\cot\alpha.\cot\gamma - 1}$
$\Rightarrow \cot\alpha + \cot\gamma =2.\frac{\cot\alpha + \cot\gamma}{\cot\alpha.\cot\gamma - 1}$
$\Leftrightarrow \cot\alpha.\cot\gamma - 1= 2$
$\Leftrightarrow \cot\alpha.\cot\gamma =3$
Câu 38: Vận dụng cao
Rút gọn biểu thức B

Rút gọn biểu thức $B = 1 - {\sin ^2}x + {\sin ^4}x - {\sin ^6}x + ... + {\left( { - 1} ight)^n}.{\sin ^{2n}}x + ...$ với $\sin x eq \pm 1$ ?
- A.
  $B = \sin^{2}x$
- B.
  $B = \cos^{2}x$
- C.
  $B = \frac{1}{1 +\sin^{2}x}$
- D.
  $B = \tan^{2}x$
Ta có:

$\begin{matrix} B = \underbrace {1 - {{\sin }^2}x + {{\sin }^4}x - {{\sin }^6}x + ... + {{\left( { - 1} ight)}^n}.{{\sin }^{2n}}x + ...}_{CSN:{u_1};q = - {{\sin }^2}x} \hfill \\ = \dfrac{1}{{1 + {{\sin }^2}x}} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 39: Vận dụng
Tính tổng n số hạng đầu tiên của dãy

Cho dãy số (u_n) xác định bởi ${u_1} = 2;{u_{n + 1}} = - 2{u_n};\left( {n \geqslant 1,n \in \mathbb{N}} ight)$ . Tính tổng của 10 số hạng đầu tiên của dãy số?
- A. ${S_{10}} = \frac{{2050}}{3}$
- B. ${S_{10}} = 2046$
- C. ${S_{10}} = - 682$
- D. ${S_{10}} = - \frac{{2050}}{3}$
Ta có:
$\begin{matrix} \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = - 2 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 2} \\ {q = - 2} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow {S_{10}} = \dfrac{{{u_1}.\left( {1 - {q^{10}}} ight)}}{{1 - q}} = - 682 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 40: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Cho hình chóp $S.ABCD$ . Điểm $A'$ nằm trên cạnh $SC$ $(A' eq S)$ .Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng $(ABA')$ là một đa giác có bao nhiêu cạnh?

Đáp án: 4 cạnh.

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ . Điểm $A'$ nằm trên cạnh $SC$ $(A' eq S)$ .Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng $(ABA')$ là một đa giác có bao nhiêu cạnh?

Đáp án: 4 cạnh.

Hình vẽ minh họa

Xét $(ABA')$ và $(SCD)$ ta có:

$\left\{ \begin{matrix} A' \in SC,SC \subset (SCD) \\ A' \in (ABA') \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A'$ là điểm chung thứ nhất.

Gọi $I = AB \cap CD$

Có $\left\{ \begin{matrix} I \in AB,AB \subset (ABA') \\ I \in CD,CD \subset (SCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I$ là điểm chung thứ hai.

$\Rightarrow (ABA') \cap (SCD) = IA'$

Gọi $M = IA' \cap SD$ . Ta có:

$(ABA') \cap (SCD) = A'M$

$(ABA')\cap (SAD)=AM$

$(ABA') \cap (ABCD) = AB$

$(ABA') \cap (SBC) = BA'$

Thiết diện là tứ giác $ABA'M$ .

Vậy thiết diện là đa giác có 4 cạnh.
Câu 41: Vận dụng
Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Giả sử mặt phẳng (P) đi qua G và song song với mặt phẳng (BCD). Xác định các giao tuyến của (P) với các mặt của tứ diện đều. Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến đó.
- A.
  $\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$
- B.
  $\frac{a^{2}\sqrt{3}}{18}$
- C.
  $\frac{a^{2}\sqrt{3}}{16}$
- D.
  $\frac{a^{2}\sqrt{3}}{9}$
Hình vẽ minh họa:

Trong mặt phẳng (ABC) kẻ đường thẳng qua G và song song với BC cắt AC, AB lần lượt tại H, K.

Trong mặt phẳng (ACD) kẻ đường thẳng qua H và song song với CD cắt AD tại I.

Hình tạo bởi các giao tuyến cần tìm là KHI.

$\Rightarrow \Delta KHI\ \sim\Delta BCD$ theo tỉ số đồng dạng bằng $\frac{2}{3}$

$\Rightarrow S_{KHI}\ = \frac{4}{9}S_{BCD} = \frac{4}{9}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{9}$
Câu 42: Vận dụng
Tính giới hạn hàm số

Cho hàm số $f(x) = \frac{2\sqrt{1 + x} - \sqrt[3]{8 - x}}{x}$ . Tính $\lim_{x ightarrow 0}f(x)$ .
- A.
  $\frac{1}{12}$
- B.
  $\frac{13}{12}$
- C.
  $+ \infty$
- D.
  $\frac{10}{11}$
Ta có:

$f(x) = \frac{2\sqrt{1 + x} - \sqrt[3]{8- x}}{x}$ $= 2.\frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x} + \frac{2 - \sqrt[3]{8 - x}}{x}= 2A + B$

Khi đó:

$\lim_{x ightarrow 0}A = \lim_{xightarrow 0}\frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x}$ $= \lim_{x ightarrow0}\frac{\left( \sqrt{1 + x} - 1 ight)\left( \sqrt{1 + x} + 1ight)}{x\left( \sqrt{1 + x} + 1 ight)}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{x}{x\left( \sqrt{1 + x} + 1 ight)} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{1 + x} + 1} = \frac{1}{2}$

Đồng thời

$\lim_{x ightarrow 0}B = \lim_{xightarrow 0}\frac{2 - \sqrt[3]{8 - x}}{x}$ $= \lim_{x ightarrow0}\frac{x}{x\left\lbrack \left( 4 + 2\sqrt[3]{8 - x} ight) + \left(\sqrt[3]{8 - x} ight)^{2} ightbrack}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{1}{\left( 4 + 2\sqrt[3]{8 - x} ight) + \left( \sqrt[3]{8 - x} ight)^{2}} = \frac{1}{12}$

Vậy $\lim_{x ightarrow 0}f(x) = 2\lim_{x ightarrow 0}A + \lim_{x ightarrow 0}B = 2.\frac{1}{2} + \frac{1}{12} = \frac{13}{12}$
Câu 43: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức C

Giá trị của biểu thức $C =\sin\frac{\pi}{24}.\sin\frac{5\pi}{24}.\sin\frac{7\pi}{24}.\sin\frac{11\pi}{24}$ là:
- A.
  $C = \frac{1}{2}$
- B.
  $C = \frac{1}{4}$
- C.
  $C = \frac{1}{8}$
- D.
  $C = \frac{1}{16}$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\sin\dfrac{7\pi}{24} = \cos\dfrac{5\pi}{24} \\\sin\dfrac{11\pi}{24} = \cos\dfrac{\pi}{24} \\\end{matrix} ight.$

Khi đó:

$C =\sin\frac{\pi}{24}.\sin\frac{5\pi}{24}.\sin\frac{7\pi}{24}.\sin\frac{11\pi}{24}$

$C =\sin\frac{\pi}{24}.\sin\frac{5\pi}{24}.\cos\frac{5\pi}{24}.\cos\frac{\pi}{24}$

$C = \dfrac{1}{4}.\left(2\sin\frac{\pi}{24}.\cos\frac{\pi}{24} ight).\left(2.\sin\frac{5\pi}{24}.\cos\frac{5\pi}{24} ight)$

$C =\frac{1}{4}.\sin\frac{\pi}{12}.\sin\frac{5\pi}{12}$

$C = \frac{1}{4}.\frac{1}{2}.\left(\cos\frac{6\pi}{12} + \cos\frac{\pi}{3} ight)$

$C = \frac{1}{4}.\frac{1}{2}.\left( 0 + \frac{1}{2} ight) = \frac{1}{16}$
Câu 44: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng

Cho hình chóp $S.ABCD$ . Trung điểm của các cạnh $SA,SB,SC,SD$ lần lượt là $M,N,P,Q$ . Chọn khẳng định đúng.
- A.
  $MP//BD$
- B.
  $MP//(SBD)$
- C.
  $(MNP)//(ABD)$
- D.
  $MN//(SAD)$
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$(MNP)//(ABCD) \Rightarrow (MNP)//(ABD)$

$MP//AC$ mà $AC$ cắt $BD$ nên khẳng định $MP//BD$ sai.

$MN$ cắt $(SAD)$ tại $M$ nên khẳng định $MN//(SAD)$ sai.

$MP$ cắt $(SBD)$ tại trung điểm của $MP$ nên khẳng định $MP//(SBD)$ sai.
Câu 45: Thông hiểu
Tìm số hạng thứ k

Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ có số hạng tổng quát $u_{n} = \frac{n + 3}{2n^{2} - 1}$ . Biết rằng $u_{k} = \frac{7}{31}$ . Khi đó $u_{k}$ là số hạng thứ mấy trong dãy số?
- A.
  Thứ bảy
- B.
  Thứ sáu
- C.
  Thứ tư
- D.
  Thứ năm
Ta có:

$u_{k} = \frac{7}{31} \Rightarrow \frac{k + 3}{2k^{2} - 1} = \frac{7}{31}$

$\Leftrightarrow 14k^{2} - 7 = 31k + 93$

$\Leftrightarrow 14k^{2} - 31k - 100 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}k = 4(tm) \\k = - \dfrac{25}{14}(ktm) \\\end{matrix} ight.$

Vậy $u_{k}$ là số hạng thứ tư trong dãy số.

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 3 Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Xem đáp án Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

28 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 3

Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/45

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 Chân trời sáng tạo
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân
Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số ghép số liệu nhóm
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Đạo hàm
Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 9: Xác suất

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 3

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 11 Chân trời sáng tạo

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân

Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian

Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số ghép số liệu nhóm

Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 7: Đạo hàm

Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian

Chương 9: Xác suất

Cân nặng (x, kg)	Số người
0 < x ≤ 20	2
20 < x ≤ 40	6
40 < x ≤ 60	7
60 < x ≤ 80	4
80 < x ≤ 100	1

Cân nặng đại diện (x, kg)	Số người	Tích các giá trị
10	2	20
30	6	180
50	7	350
70	4	280
90	1	90
Tổng	N = 20	920

Đối tượng	Tần số
[150; 155)	15
[155; 160)	10
[160; 165)	40
[165; 170)	27
[170; 175)	5
[175; 180)	3
Tổng	N = 100

Tốc độ	Tần số
40 ≤ x < 50	4
50 ≤ x < 60	5
60 ≤ x < 70	7
70 ≤ x < 80	4

Tốc độ	Tần số	Tần số tích lũy
40 ≤ x < 50	4	4
50 ≤ x < 60	5	9
60 ≤ x < 70	7	16
70 ≤ x < 80	4	20
Tổng	N = 20