VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 3

Mô tả thêm:

Mời các bạn học cùng thử sức với Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo nha!

Thời gian làm: 90 phút
Số câu hỏi: 45 câu
Số điểm tối đa: 45 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài Rủ bạn học

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Nhận biết
Chọn kết luận đúng

Trong không gian, cho ba đường thẳng $a,\ \ b,\ \ c$ . Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
- A.
  Nếu $a$ và $b$ không cắt nhau thì $a$ và $b$ song song.
- B.
  Nếu $b$ và $c$ chéo nhau thì $b$ và $c$ không cùng thuộc một mặt phẳng.
- C.
  Nếu $a$ và $b$ cùng chéo nhau với $c$ thì $a$ song song với $b$ .
- D.
  Nếu $a$ và $b$ cắt nhau, $b$ và $c$ cắt nhau thì $a$ và $c$ cắt nhau.
Nếu $b$ và $c$ chéo nhau thì $b$ và $c$ không cùng thuộc một mặt phẳng.
Câu 2: Nhận biết
Tính giá trị của M.n

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack - 1;2brack$ và có đồ thị như hình vẽ. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\lbrack - 1;2brack$ . Giá trị của M.n là:
- A.
  $3$
- B.
  $- 3$
- C.
  $1$
- D.
  $- 2$
Hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\lbrack - 1;2brack$ .

Từ đồ thị hàm số đã cho ta thấy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là M = 3; m = -1

Vậy M.n = -3

Câu 3: Thông hiểu

Chọn đáp án chính xác

Biết rằng kết quả kiểm tra môn Tiếng Anh của 4 lớp 11 được ghi trong bảng sau:

Lớp 11A	Điểm	(0; 5]	(5; 6]	(6; 7]	(7; 8]	(8; 10]
Lớp 11A	Số học sinh	4	8	12	10	6
Lớp 11B	Điểm	(0; 5]	(5; 6]	(6; 7]	(7; 8]	(8; 10]
Lớp 11B	Số học sinh	5	12	10	8	4
Lớp 11C	Điểm	(0; 5]	(5; 6]	(6; 7]	(7; 8]	(8; 10]
Lớp 11C	Số học sinh	4	10	15	9	3
Lớp 11D	Điểm	(0; 5]	(5; 6]	(6; 7]	(7; 8]	(8; 10]
Lớp 11D	Số học sinh	4	9	16	11	3

Lớp nào có số học sinh đạt điểm (6; 8] nhiều nhất?

A.
11A
B.
11B
C.
11C
D.
11D

Số học sinh lớp 11A đạt điểm từ (6; 8] là:

12 + 10 = 22 (học sinh)

Số học sinh lớp 11B đạt điểm từ (6; 8] là:

10 + 8 = 18 (học sinh)

Số học sinh lớp 11C đạt điểm từ (6; 8] là:

15 + 9 = 24 (học sinh)

Số học sinh lớp 11D đạt điểm từ (6; 8] là:

16 + 11 = 27 (học sinh)

Vậy lớp 11D có nhiều học sinh đạt điểm từ (6; 8] nhất.

Câu 4: Nhận biết
Dãy số nào không phải là cấp số cộng

Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào không phải là cấp số cộng?
- A.
  $u_{n}=-4n+9$
- B.
  $u_{n}=-2n+19$
- C.
  $u_{n}=-2n-21$
- D.
  $u_{n}=-2^{n}+15$
Xét dãy số $u_{n}=-2^{n}+15$ ta có:
$\begin{matrix} {u_{n + 1}} = - {2^{n + 1}} + 15 \hfill \\ \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = - {2^{n + 1}} + 15 + {2^n} - 15 \hfill \\ = - {2^{n + 1}} + {2^n}=d \hfill \\ \end{matrix}$
d không cố định => Dãy số $u_{n}=-2^{n}+15$ không phải là một cấp số cộng.
Câu 5: Vận dụng cao
Tính giá trị của biểu thức S

Biết $\lim\left( \frac{\left( \sqrt{5} ight)^{n} - 2^{n + 1} + 1}{5.2^{n} + \left( \sqrt{5} ight)^{n + 1} - 3} + \frac{2n^{2} + 3}{n^{2} - 1} ight) = \frac{a\sqrt{5}}{b} + c$ với $a,b,c \mathbb{\in Z}$ . Tính giá trị của biểu thức $S = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ .
- A.
  $S = 26$
- B.
  $S = 30$
- C.
  $S = 21$
- D.
  $S = 31$
Ta có:

$\lim\left( \dfrac{\left( \sqrt{5}ight)^{n} - 2^{n + 1} + 1}{5.2^{n} + \left( \sqrt{5} ight)^{n + 1} -3} + \dfrac{2n^{2} + 3}{n^{2} - 1} ight)$

$= \lim\left( \dfrac{1 - 2.\left(\dfrac{2}{\sqrt{5}} ight)^{n} + \left( \dfrac{1}{\sqrt{5}}ight)^{n}}{5.\left( d\frac{2}{\sqrt{5}} ight)^{2} + \sqrt{5} -3.\left( \dfrac{1}{\sqrt{5}} ight)^{n}} + \dfrac{2 + \dfrac{3}{n^{2}}}{1- \dfrac{1}{n^{2}}} ight)$

$= \frac{1}{\sqrt{5} + 2} = \frac{\sqrt{5}}{5} + 2$

Vậy $S = a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1^{2} + 5^{2} + 2^{2} = 30$
Câu 6: Vận dụng cao
Tìm số nguyên dương n bé nhất

Cho phương trình $x^{12} + 1 = 4x^{4}.\sqrt{x^{n} + 1}$ . Tìm số nguyên dương n bé nhất để phương trình có nghiệm.
- A.
  $n = 1$
- B.
  $n = 3$
- C.
  $n = 5$
- D.
  $n = 6$
Điều kiện xác định $x^{n} \geq1$
Nếu n là số lẻ thì $x^{n} \geq 1\Rightarrow x \geq 1$
Nếu n là số chẵn và x là nghiệm thì -x cũng là nghiệm của phương trình
Vì $x = 1$ không là nghiệm nên ta xét phương trình với $x > 1$
$\left\{ \begin{matrix}x^{12} + 1 \geq 2x^{2} \\x^{4}\left( x^{4} - 1 ight) + 1 \geq 2\sqrt{x^{4}\left( x^{4} - 1ight)} = 2x^{2}\sqrt{x^{4} - 1} \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow x^{12} + 1 \geq2x^{2}.2x^{2}\sqrt{x^{4} - 1} = 4x^{4}\sqrt{x^{4} - 1}$ (do $x^{12} + 1 \geq 2x^{2}$ nên dấu bằng không xảy ra)
Hơn nữa $4x^{4}\sqrt{x^{4} - 1} >4x^{4}\sqrt{x^{3} - 1} > 4x^{4}\sqrt{x^{2} - 1};(\forall x >1)$
Do đó phương trình không có nghiệm $x >1$ với $n = 1,2,3,4$
Khi $n = 5$ ta có phương trình $x^{12} + 1 = 4x^{4}.\sqrt{x^{5} +1}$
Giả sử $f(x) = x^{12} + 1 -4x^{4}.\sqrt{x^{5} + 1}$ khi đó $f(x)$ liên tục trên $\lbrack 1; + \infty)$ .
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}f(1) = 2 \\f\left( \frac{6}{5} ight) < 0 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow f(1).f\left( \frac{6}{5} ight) <0$
=> $f(x) = 0$ có nghiệm
Vậy $n = 5$ .
Câu 7: Vận dụng
Xác định hình tạo bởi các giao tuyến

Cho hình chóp S.ABCD với đáy là hình thang ABCD, đáy lớn BC gấp đôi đáy nhỏ AD. Gọi E là trung điểm AD và O là giao điểm của AC và BE, I là một điểm thuộc đoạn OC (I khác O và C). Mặt phẳng (α) qua I song song với (SBE). Xác định hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng (α) với hình chóp S.ABCD.
- A.
  Hình tam giác.
- B.
  Hình thang.
- C.
  Hình vuông
- D.
  Hình bình hành.
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} (\alpha)//(SBE) \\ (SBE) \cap (ABCD) = BE \\ (\alpha) \cap (ABCD) = Ix \\ \end{matrix} ight.$

=> $Ix//BE$ => Ix cắt BC tại M, AD tại Q.

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} (\alpha)//(SBE) \\ (\alpha) \cap (SBC) = Mx \\ (SBE) \cap (SBC) = SB \\ \end{matrix} ight.$

=> $Mx//SB$

=> Mx cắt SC tại N.

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} (\alpha)//(SBE) \\ (\alpha) \cap (SAD) = Qx \\ (SBE) \cap (SAD) = SE \\ \end{matrix} ight.$

=> $Qx//SE$

=> Qx cắt SD tại P

Tứ giác BCDE là hình bình hành

=> CD // BE // MQ

=> CD // (α).

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} CD//\ (\alpha) \\ CD \subset (SCD) \\ (SCD) \cap (\alpha) = PN \\ \end{matrix} ight.$

=> $CD//P\ N \Rightarrow MQ//P\ N$

Vậy hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng (α) với hình chóp S.ABCD là hình thang MNPQ.
Câu 8: Thông hiểu
Chọn công thức đúng

Chọn đẳng thức đúng.
- A.
  $\cos^{2}\left( \frac{\pi}{2} +\frac{a}{2} ight) = \frac{1 - \sin a}{2}$
- B.
  $\cos^{2}\left( \frac{\pi}{2} +\frac{a}{2} ight) = \frac{1 + \sin a}{2}$
- C.
  $\cos^{2}\left( \frac{\pi}{2} +\frac{a}{2} ight) = \frac{1 - \cos a}{2}$
- D.
  $\cos^{2}\left( \frac{\pi}{2} +\frac{a}{2} ight) = \frac{1 + \cos a}{2}$
Ta có:

$\cos^{2}\left( \frac{\pi}{2} +\frac{a}{2} ight) = \frac{1 + \cos\left( \dfrac{\pi}{2} + aight)}{2}$

$= \frac{1 + \sin( - a)}{2} = \frac{1 - \sin a}{2}$
Câu 9: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang; $AB = 2CD,\ \ AB \parallel CD$ . $M$ là trung điểm của cạnh $AD$ ; mặt phẳng $(\alpha)$ qua $M$ và song song với mp $(SAB)$ cắt hình chóp $S.ABCD$ theo một thiết diện là hình $(H)$ . Biết $S_{(H)} = xS_{\Delta SAB}$ . Giá trị của $x$ là:

Đáp án: 0,5 (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang; $AB = 2CD,\ \ AB \parallel CD$ . $M$ là trung điểm của cạnh $AD$ ; mặt phẳng $(\alpha)$ qua $M$ và song song với mp $(SAB)$ cắt hình chóp $S.ABCD$ theo một thiết diện là hình $(H)$ . Biết $S_{(H)} = xS_{\Delta SAB}$ . Giá trị của $x$ là:

Đáp án: 0,5 (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)

Hình vẽ minh họa

Gọi $N,P,Q$ lần lượt là trung điểm các cạnh $SD,SC,BC$ .

Gọi $E = AD \cap BC,I = MN \cap PQ$ ta có $S,I,E$ thẳng hàng vì cùng thuộc giao tuyến của $(SAD)$ và $(SBC)$ .

Thiết diện là hình thang $MNPQ$ (vì $NP \parallel AB \parallel MQ$ ).

Ta có $S_{MNPQ} = S_{\Delta IMQ} - S_{\Delta INP}$ , mà $\frac{NP}{DC} = \frac{1}{2},\frac{DC}{MQ} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{NP}{MQ} = \frac{1}{3}$

$\Rightarrow S_{\Delta INP} = \frac{1}{9}S_{\Delta IMQ}$

$\Rightarrow S_{MNPQ} = S_{\Delta IMQ} - \frac{1}{9}S_{\Delta IMQ} = \frac{8}{9}S_{\Delta IMQ}$ .

Ta có $M$ là trung điểm $AD$ , $D$ là trung điểm của $AE$ nên $\frac{MI}{SA} = \frac{3}{4}$

$\Rightarrow S_{\Delta IMQ} = \frac{9}{16}S_{\Delta SAB}$

$\Rightarrow S_{MNPQ} = \frac{8}{9}.\frac{9}{16}S_{\Delta SAB} = \frac{1}{2}S_{\Delta SAB}$ .
Câu 10: Vận dụng

Ghi lời giải bài toán vào ô trống

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang cân với cạnh bên $BC = 2$ , đáy $AB = 6;DC = 4$ . Mặt phẳng $(P)$ song song với $\left( {ABCD} ight)$ và cắt các cạnh $SA$ tại M sao cho $\frac{{SA}}{{SM}} = 3$ . Tính diện tích thiết diện tạo bởi $(P)$ và hình chóp $S.ABCD$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang cân với cạnh bên $BC = 2$ , đáy $AB = 6;DC = 4$ . Mặt phẳng $(P)$ song song với $\left( {ABCD} ight)$ và cắt các cạnh $SA$ tại M sao cho $\frac{{SA}}{{SM}} = 3$ . Tính diện tích thiết diện tạo bởi $(P)$ và hình chóp $S.ABCD$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 11: Thông hiểu
PT nào có nghiệm đã cho?

Cho $x= \frac{\pi}{2} +k\pi (k \in \mathbb{Z})$ là nghiệm của phương trình nào sau đây?
- A. cos 2x = 0
- B. cos 2x = -1
- C. sin x = 1
- D. sin x = 0
Ta có:
$\cos 2x = - 1 \Leftrightarrow 2x = \pi + k2\pi \Rightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
Câu 12: Vận dụng cao
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác

Tìm giá trị nhỏ nhất $m$ của hàm số $y = 2sin^{2}x +\sqrt{3}sin2x$ .
- A.
  $m = 2 - \sqrt{3}.$
- B.
  $m = -1.$
- C.
  $m = 1.$
- D.
  $m = - \sqrt{3}.$
Ta có $y = 2sin^{2}x + \sqrt{3}sin2x = 1 -cos2x + \sqrt{3}sin2x$
$\begin{matrix}= \sqrt{3}sin2x - cos2x + 1 = 2\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2}sin2x -\dfrac{1}{2}cos2x ight) + 1 \\= 2\left( sin2x\cos\dfrac{\pi}{6} - \sin\dfrac{\pi}{6}cos2x ight) + 1 =2sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{6} ight) + 1. \\\end{matrix}$
Mà $- 1 \leq \sin\left( 2x - \frac{\pi}{6}ight) \leq 1$
$\begin{matrix}\Leftrightarrow - 1 \leq 1 + 2sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{6} ight) \leq3 \hfill\\\Leftrightarrow - 1 \leq y \leq 3 \hfill\\\end{matrix}$
Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là $-1.$
Câu 13: Thông hiểu
Tìm mặt phẳng song song với MN

Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ . Trên các cạnh $SB$ và $AB$ lần lượt lấy các điểm $M,N$ sao cho $4SM = SB$ và $\frac{NA}{NB} = \frac{1}{3}$ . Khi đó mặt phẳng nào song song với đường thẳng $MN$ ?
- A.
  $(SAB)$
- B.
  $(SBC)$
- C.
  $(SAC)$
- D.
  $(ABC)$
Hình vẽ minh họa

Theo giả thiết ta có: $\left\{\begin{matrix}N \in AB \\\dfrac{NA}{NB} = \dfrac{1}{3} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \frac{NA}{AB} =\frac{1}{4}$

Xét tam giác $SAB$ ta có: $\frac{SM}{AB} = \frac{AN}{AB} = \frac{1}{4}$

$\Rightarrow MN//SA$ mà $\left\{ \begin{matrix} SA \subset (SAC) \\ MN ⊄ (SAC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow MN//(SAC)$
Câu 14: Thông hiểu
Tính giới hạn hàm số

Tính giới hạn $\lim_{x ightarrow 1}\frac{2x^{2} - 3x + 1}{1 - x^{2}}$
- A.
  $\frac{1}{2}$
- B.
  $\frac{1}{4}$
- C.
  $- \frac{1}{4}$
- D.
  $- \frac{1}{2}$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1}\frac{2x^{2} - 3x + 1}{1 - x^{2}} = \lim_{x ightarrow 1}\frac{1 - 2x}{x - 1} = - \frac{1}{2}$
Câu 15: Vận dụng cao
Tìm khẳng định đúng

Cho bất đẳng thức $\cos2A + \frac{1}{64\cos^{4}A} - (2\cos2B + 4\sin B) +\frac{13}{4} \leq 0$ , với $A;B;C$ là ba góc của tam giác ABC. Khẳng định đúng là
- A.
  $\widehat{B} + \widehat{C} =120^{0}$
- B.
  $\widehat{B} + \widehat{C} =130^{0}$
- C.
  $\widehat{A} + \widehat{B} =120^{0}$
- D.
  $\widehat{A} + \widehat{B} =140^{0}$
Ta có:
$\begin{matrix} \cos 2A + \dfrac{1}{{64{{\cos }^4}A}} - (2\cos 2B + 4\sin B) + \dfrac{{13}}{4} \leqslant 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {\cos ^2}A + {\cos ^2}A + \dfrac{1}{{64{{\cos }^4}A}} + 4{\sin ^2}B - 4\sin B + 1 \leqslant \dfrac{3}{4}\left( * ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
${\cos ^2}A + {\cos ^2}A + \frac{1}{{64{{\cos }^4}A}} \geqslant \frac{3}{4}\left( 1 ight)$
Mà $4{\sin ^2}B - 4\sin B + 1 \geqslant 0 \text{ }(2)$
Từ (*), (1) và (2) suy ra bất đẳng thức thỏa mãn khi và chỉ khi (1) và (2) xảy ra:
$\left\{ \begin{gathered} {\cos ^2}A = \frac{1}{{64{{\cos }^4}A}} \hfill \\ \sin B = \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \cos A = \frac{1}{2} \hfill \\ \sin B = \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} A = {60^0} \hfill \\ B = {30^0} \hfill \\ C = {90^0} \hfill \\ \end{gathered} ight.$
Vậy $\widehat{B} + \widehat{C} =120^{0}$
Câu 16: Vận dụng
Tìm tập xác định D của hàm số

Tìm tập xác định D của hàm số $y = \sqrt{1- sin2x} - \sqrt{1 + sin2x}$
- A.
  $D = \varnothing$
- B.
  $D=\mathbb{ R}$
- C.
  $D = \left\lbrack \frac{\pi}{6} +k2\pi;\frac{5\pi}{6} + k2\pi ightbrack,k\in\mathbb{Z}$
- D.
  $D = \left\lbrack \frac{5\pi}{6} +k2\pi;\frac{13\pi}{6} + k2\pi ightbrack,k\in\mathbb{Z}$
Hàm số xác định khi và chỉ khi $-1\leq \sin2x \leq 1$
Vậy tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}$
Câu 17: Thông hiểu
Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là tứ giác lồi. Gọi $O = AC \cap BD;$ $M = AB \cap CD;$ $N = AD \cap BC$ . Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ ?
- A.
  $SA$
- B.
  $SN$
- C.
  $SM$
- D.
  $SO$
Hình vẽ minh họa

Nhận thấy S và M lần lượt là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là SM.

Câu 18: Thông hiểu

Chọn đáp án đúng

Điểm kết quả kiểm tra môn Tiếng Anh của 4 lớp 11 được ghi trong bảng sau:

Lớp 11A	Điểm	(0; 5]	(5; 6]	(6; 7]	(7; 8]	(8; 10]
Lớp 11A	Số học sinh	4	8	12	10	6
Lớp 11B	Điểm	(0; 5]	(5; 6]	(6; 7]	(7; 8]	(8; 10]
Lớp 11B	Số học sinh	5	12	10	8	4
Lớp 11C	Điểm	(0; 5]	(5; 6]	(6; 7]	(7; 8]	(8; 10]
Lớp 11C	Số học sinh	4	10	15	9	3
Lớp 11D	Điểm	(0; 5]	(5; 6]	(6; 7]	(7; 8]	(8; 10]
Lớp 11D	Số học sinh	4	9	16	11	3

Lớp nào có tỉ lệ học sinh giỏi thấp nhất?

A.
11A
B.
11B
C.
11C
D.
11D

Số học sinh lớp 11A là:

4 + 8 + 12 + 10 + 6 = 40 (học sinh)

Số học sinh giỏi lớp 11A là 6 học sinh

=> Tỉ lệ học sinh giỏi lớp 11A là: $\frac{6}{40}.100\% = 15\%$

Số học sinh lớp 11B là:

5 + 12 + 10 + 8 + 4 = 39 (học sinh)

Số học sinh giỏi lớp 11B là 4 học sinh

=> Tỉ lệ học sinh giỏi lớp 11B là: $\frac{4}{39}.100\% \approx 10,3\%$

Số học sinh lớp 11C là:

4 + 10 + 15 + 9 + 3 = 41 (học sinh)

Số học sinh giỏi lớp 11C là 3 học sinh

=> Tỉ lệ học sinh giỏi lớp 11C là: $\frac{3}{41}.100\% \approx 7,3\%$

Số học sinh lớp 11D là:

4 + 9 + 16 + 11 + 3 = 43 (học sinh)

Số học sinh giỏi lớp 11D là 3 học sinh

=> Tỉ lệ học sinh giỏi lớp 11D là: $\frac{3}{43}.100\% \approx 7\%$

Vậy lớp 11D có tỉ lệ học sinh giỏi thấp nhất.

Câu 19: Thông hiểu
Chọn kết quả đúng

Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ có tổng $n$ số hạng đầu tiên là $S_{n} = 5^{n} - 1$ với $n = 1,2,...$ . Tìm số hạng đầu $u_{1}$ và công bội $q$ của cấp số nhân đó?
- A.
  $u_{1} = 5$ , $q = 4$ .
- B.
  $u_{1} = 5$ , $q = 6$ .
- C.
  $u_{1} = 4$ , $q = 5$ .
- D.
  $u_{1} = 6$ , $q = 5$ .
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} u_{1} = S_{1} = 5 - 1 = 4 \\ u_{1} + u_{2} = S_{2} = 5^{2} - 1 = 24 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 4 \\ u_{2} = 24 - u_{1} = 20 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow u_{1} = 4$ , $q = \frac{u_{2}}{u_{1}} = 5$ .
Câu 20: Thông hiểu
Tính diện tích tứ giác

Cho hình chóp $S.ABCD$ có các cạnh bên bằng nhau, đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng 10cm. Lấy $M \in SA$ sao cho $3SM = 2SA$ . Giả sử mặt phẳng $(\gamma)$ là mặt phẳng đi qua điểm $M$ và song song với $AB,AC$ . Các giao tuyến của $(\gamma)$ với các mặt của hình chóp tạo thành một tứ giác. Diện tích tứ giác đó là:
- A.
  $S = \frac{100}{3}cm^{2}$
- B.
  $S = \frac{153}{4}cm^{2}$
- C.
  $S = \frac{400}{9}cm^{2}$
- D.
  $S = \frac{214}{9}cm^{2}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} M \in (\gamma) \\ (\gamma)//(ABCD) \\ \end{matrix} ight.$ . Gọi $N,P,Q$ lần lượt là các giao điểm của $(\gamma)$ với $SB,SC,SD$ thì $\left\{ \begin{matrix} MN//AB \\ NP//BC \\ NP//BC \\ \end{matrix} ight.$ .

Do đó $MNPQ$ là hình vuông và $\frac{MN}{AB} = \frac{SM}{SA} = \frac{2}{3}$

Vậy diện tích tứ giác là $S = \frac{400}{9}cm^{2}$ .
Câu 21: Vận dụng cao
Công thức tính tổng?

Cho tổng $S(n) = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + \ldots + \frac{1}{n(n + 1)}$ .

Khi đó công thức tính tổng S(n) là?
- A.
  $S(n) = \frac{n}{n + 2}$
- B.
  $S(n) = \frac{n}{n + 1}$
- C.
  $S(n) = \frac{2n}{n + 1}$
- D.
  $S(n) = \frac{n}{2^{n}}$ .
$S(n) = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + \ldots + \frac{1}{n(n + 1)}$

$= \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n} + \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$

$= 1 - \frac{1}{n + 1} = \frac{n}{n + 1}$
Câu 22: Nhận biết
Công thức nào đúng

Chọn công thức đúng trong các công thức cho sau đây? (Biết các biểu thức đều xác định).
- A.
  $1 + \cot^{2}x =\frac{1}{\cos^{2}x}$
- B.
  $1 + \tan^{2}x = -\frac{1}{\sin^{2}x}$
- C.
  $\tan x + \cot x = 1$
- D.
  $\sin^{2}x + \cos^{2}x = 1$
Công thức đúng là:

$\sin^{2}x + \cos^{2}x = 1$
Câu 23: Thông hiểu
Tìm giao tuyến giữa mặt phẳng và các mặt hình chóp

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Lấy $M \in SB$ ; ( $M eq B;M eq S$ ). Khi đó, giao tuyến của mặt phẳng $(MAD)$ với các mặt của hình chóp là:
- A.
  Hình bình hành
- B.
  Hình vuông
- C.
  Hình chữ nhật
- D.
  Hình thang
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} M \in (MAD) \cap (SBC) \\ AD//BC \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow (MAD) \cap (SBC) = Mx//AD//BC$

Trong mặt phẳng $(SBC)$ giả sử $SC \cap Mx = N$

Do đó $ADMN$ là giao tuyến của mặt phẳng $(MAD)$ với các mặt của hình chóp.

Vì $\left\{ \begin{matrix} AD//MN \\ MN < AD \\ \end{matrix} ight.$ nên $ADMN$ là hình thang.
Câu 24: Nhận biết
Giải phương trình

Nghiệm của phương trình $\sin x. \cos x = \frac{1}{2}$ là?
- A. $x = k2\pi ; k \in \mathbb{Z}$
- B. $x = \frac{{k\pi }}{4} , \, k \in \mathbb{Z}$
- C. $x = \frac{\pi }{4} + k\pi$ , $k \in \mathbb{Z}$
- D. $x=k \pi$ , $k \in \mathbb{Z}$
Ta có: $\sin x.cosx = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin 2x = 1$
$\Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi$ .
Câu 25: Nhận biết
Xác định tập xác định của hàm số

Tìm tập các định D của hàm số $y = \frac{1 - \sin x}{\cos x - 1}$
- A.
  $D=\mathbb{ R}$
- B.
  $D=\mathbb{ R}\backslash\left\{\frac{\pi}{2} + k\pi,k\mathbb{\in Z} ight\}$
- C.
  $D=\mathbb{ R}\backslash\left\{k\pi,k\mathbb{\in Z} ight\}$
- D.
  $D=\mathbb{ R}\backslash\left\{k2\pi,k\mathbb{\in Z} ight\}$
Hàm số xác định khi và chỉ khi

$\begin{matrix}\cos x - 1 eq 0 \hfill \\\Rightarrow \cos x eq 1 \hfill \\\Rightarrow x eq k2\pi,k\mathbb{\in Z} \hfill \\\end{matrix}$

Vậy tập xác định của hàm số là $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ k2\pi,k\mathbb{\in Z} ight\}$
Câu 26: Vận dụng
Tính tổng dãy số

Tính tổng $S = 9 + 3 + 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + ... + \frac{1}{3^{n - 3}} + ...$ .
- A.
  $S = \frac{27}{2}$
- B.
  $S = 14$
- C.
  $S = 16$
- D.
  $S = 15$
Ta có:

$S = 9 + 3 + 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + ... + \frac{1}{3^{n - 3}} + ...$

$= 9\left( {\underbrace {1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{3^{n - 1}}}} + ...}_{CSN:{u_1} = 1;q = \frac{1}{3}}} ight)$

$= 9.\left( \dfrac{1}{1 - \dfrac{1}{3}}ight) = \dfrac{27}{2}$
Câu 27: Nhận biết
Xác định khẳng định đúng

Trong không gian cho các đường thẳng a, b và các mặt phẳng (α), (β). Trong các khẳng định sau đây, đâu là khẳng định đúng?
- A.
  Nếu a // (β) và (β) // b thì a // b.
- B.
  Nếu a // b và b ⊂ (α) thì a // (α).
- C.
  Nếu a // b và b // (α) thì a // (α).
- D.
  Nếu a ∩ (α) = ∅ thì a // (α).
Mệnh đề “a // (β) và (β) // b thì a // b” là sai vì a và b có thể cắt nhau.

Mệnh đề “a // b và b ⊂ (α) thì a // (α)” là sai vì có thể a ⊂ (α).

Mệnh đề “a // b và b // (α) thì a // (α)” là sai vì có thể a ⊂ (α).
Câu 28: Vận dụng
Tính giới hạn hàm số

Tính $\lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{1 + 2x} - \sqrt[3]{1 + 3x}}{x^{2}}$
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  $0$
- D.
  $\frac{1}{2}$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{1 + 2x} - \sqrt[3]{1 + 3x}}{x^{2}}$

$\underset{x ightarrow 0}{= \lim}\frac{\sqrt{1 + 2x} - (x + 1) + (x + 1) - \sqrt[3]{1 + 3x}}{x^{2}}$

Ta có:

$\lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{1 + 2x} - (x + 1)}{x^{2}}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{- x^{2}}{x^{2}\left( \sqrt{1 + 2x} + x + 1 ight)} = - \frac{1}{2}$

Ta cũng có:

$\lim_{x ightarrow 0}\frac{(x + 1) - \sqrt[3]{1 + 3x}}{x^{2}}$

$\underset{x ightarrow 0}{= \lim}\frac{x^{3} + 3x^{2}}{x^{2}\left\lbrack (x + 1)^{2} + (x + 1)\sqrt[3]{1 + 3x} + \left( \sqrt[3]{1 + 3x} ight)^{2} ightbrack} = 1$

Vậy $\lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{1 + 2x} - \sqrt[3]{1 + 3x}}{x^{2}} = \frac{1}{2}$
Câu 29: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n}=\frac{3}{2}.5^{n}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A.
  $(u_{n})$ không phải là cấp số nhân
- B.
  $(u_{n})$ là cấp số nhân có công bội q = 5 và số hạng đầu $u_{1}=\frac{3}{2}$ .
- C.
  $(u_{n})$ là cấp số nhân có công bội q = 5 và số hạng đầu $u_{1}=\frac{15}{2}$ .
- D.
  $(u_{n})$ là cấp số nhân có công bội $q=\frac{5}{2}$ và số hạng đầu $u_{1}=3$ .
Ta có: $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{\dfrac{3}{2}{{.5}^{n + 1}}}}{{\dfrac{3}{2}{{.5}^n}}} = 5 > 1$
=> $(u_{n})$ là một cấp số nhân với công bội là q = 5
Số hạng đầu tiên của dãy là: ${u_1} = \frac{3}{2}{.5^1} = \frac{{15}}{2}$
Câu 30: Nhận biết
Tìm đường thẳng song song với giao tuyến hai mặt phẳng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Đường thẳng nào dưới đây song song với giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$ ?
- A.
  $AC$
- B.
  $DC$
- C.
  $AD$
- D.
  $BD$
Hình vẽ minh họa:

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} S \in (SAD) \cap (SBC) \\ AD//BC \\ AD \subset (SAD);BC \subset (SBC) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow (SAD) \cap (SBC) = d$ , $d$ đi qua $S$ và $d//AD//BC$ .

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$ song song với đường thẳng $AD$ .
Câu 31: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Cho $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\sin(\alpha - \pi) \geq 0$
- B.
  $\sin(\alpha - \pi) \leq 0$
- C.
  $\sin(\alpha - \pi) > 0$
- D.
  $\sin(\alpha - \pi) < 0$
Ta có: $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$

=> $0 - \pi < \alpha - \pi < \frac{\pi}{2} - \pi$

=> $- \pi < \alpha - \pi < - \frac{\pi}{2}$

Điểm cuối cung $\alpha - \pi$ thuộc góc phần tư thứ ba

=> $\sin(\alpha - \pi) < 0$
Câu 32: Vận dụng
Tính tổng m số hạng đầu tiên của CSC

Cho cấp số cộng (u_n) có u₁ = 1 và công sai d = 2. Tổng ${S_{10}} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_{10}}$ bằng:
- A. S₁₀ = 110
- B. S₁₀ = 100
- C. S₁₀ = 21
- D. S₁₀ = 19
Ta có:
$\begin{matrix} {S_n} = \dfrac{{n\left( {{u_n} + {u_1}} ight)}}{2} = \dfrac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} ight)d} ight]}}{2} \hfill \\ \Rightarrow {S_{10}} = \dfrac{{10\left[ {2 + \left( {10 - 1} ight).2} ight]}}{2} = 100 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 33: Nhận biết
Tìm nhóm chứa tứ phân vị thứ ba

Điểm kiểm tra khảo sát môn Tiếng Anh của lớp 11A được ghi trong bảng số liệu ghép nhóm như sau:
Điểm
[0; 20)
[20; 40)
[40; 60)
[60; 80)
[80; 100)
Số học sinh
5
9
12
10
6
Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu trên là:
- A.
  $\lbrack 40;60)$
- B.
  $\lbrack 20;40)$
- C.
  $\lbrack60;80)$
- D.
  $\lbrack 80;100)$
Ta có:
Điểm
[0; 20)
[20; 40)
[40; 60)
[60; 80)
[80; 100)

Số học sinh
5
9
12
10
6
N = 42
Tần số tích lũy
5
14
26
36
42

Cỡ mẫu $N = 42 \Rightarrow \frac{3N}{4} =31,5$
=> Nhóm chứa $Q_{3}$ là [60; 80)
(Vì 31,5 nằm giữa hai tần số tích lũy 26 và 36)
Câu 34: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $I,\ \ J$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BC$ . Trên cạnh $BD$ lấy điểm $K$ sao cho $BK = 2KD$ . Gọi $F$ là giao điểm của $AD$ với mặt phẳng $(IJK)$ . Tính tỉ số $\frac{FA}{FD}$

Đáp án: 2

Đáp án là:

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $I,\ \ J$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BC$ . Trên cạnh $BD$ lấy điểm $K$ sao cho $BK = 2KD$ . Gọi $F$ là giao điểm của $AD$ với mặt phẳng $(IJK)$ . Tính tỉ số $\frac{FA}{FD}$

Đáp án: 2

Hình vẽ minh họa

+ Cho $AD \subset (ACD)$

Trong mặt phẳng $(BCD)$ hai đường thẳng $IK,\ \ CD$ không song song nên gọi $E$ là giao điểm của hai đường thẳng $IK$ và $CD$ . Khi đó $E \in (ACD)$ .

+ Ta thấy $(ACD) \cap (IJK) = EJ$

+ Trong $(ACD):\ \ EJ \cap AD = F$ . Khi đó $(IJK) \cap AD = F$ .

Xét tam giác $BCD$ , áp dụng định lí Menelaus có:

$\frac{IB}{IC}.\frac{EC}{ED}.\frac{KD}{KB} = 1 \Rightarrow 1.\frac{EC}{ED}.\frac{1}{2} = 1 \Rightarrow \frac{EC}{ED} = 2$

Xét tam giác $ACD$ , áp dụng định lí Menelaus có:

$\frac{EC}{ED}.\frac{FD}{FA}.\frac{JA}{JC} = 1 \Rightarrow 2.\frac{FD}{FA}.1 = 1 \Rightarrow \frac{FD}{FA} = \frac{1}{2}$

Vậy $\frac{FA}{FD} = 2$ .
Câu 35: Thông hiểu
Tìm mệnh đề sai

Cho hàm số $f(x) = - 4x^{3} + 4x - 1$ . Mệnh đề nào sai?
- A.
  Hàm số đã cho liên tục trên $\mathbb{R}$
- B.
  Phương trình $f(x) = 0$ không có nghiệm trên khoảng $( - \infty;1)$
- C.
  Phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm trên khoảng $( - 2;0)$
- D.
  Phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất hai nghiệm trên khoảng $\left( - 3;\frac{1}{2} ight)$
Ta có:

$f(x) = - 4x^{3} + 4x - 1$ là hàm đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} f( - 1) = - 1 < 0 \\ f( - 2) = 23 > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow f(x) = 0$ có nghiệm trên $( - 2; - 1)$

Mà $( - 2; - 1) \subset ( - \infty;1)$

Vậy phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm trên khoảng $( - \infty;1)$

Ta có: $\left\{ \begin{gathered} f\left( 0 ight) = - 1 < 0 \hfill \\ f\left( {\dfrac{1}{2}} ight) = \dfrac{1}{2} > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$ có nghiệm trên $\left( 0;\frac{1}{2} ight) \subset \left( - 3;\frac{1}{2} ight)$

Vậy mệnh đề sai là “Phương trình $f(x) = 0$ không có nghiệm trên khoảng $( - \infty;1)$ ”
Câu 36: Thông hiểu
Tính giá trị tứ phân vị thứ nhất

Dưới đây là sự phân bố một nhóm người theo mức thu nhập khác nhau:
Thu nhập (triệu đồng)
[0; 8)
[8; 16)
[16; 24)
[24; 32)
[32; 40)
[40; 48)
Số người
8
7
16
24
15
7
Tính giá trị tứ phân vị thứ nhất. (Làm tròn giá trị đến chữ số thập phân thứ nhất).
- A.
  $19,5$
- B.
  $18,1$
- C.
  $16,2$
- D.
  $17,7$
Ta có:
Thu nhập (triệu đồng)
[0; 8)
[8; 16)
[16; 24)
[24; 32)
[32; 40)
[40; 48)
Số người
8
7
16
24
15
7
Tần số tích lũy
8
15
31
55
70
77
Ta có: $\frac{N}{4} = \frac{77}{4} =19,25$
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là: [16; 24)
Khi đó: $\left\{ \begin{matrix}l = 16,\dfrac{N}{4} = 19,25,m = 15 \\f = 16,d = 24 - 16 = 8 \\\end{matrix} ight.$
Tứ phân vị thứ nhất là:
$Q_{1} = l + \dfrac{\dfrac{N}{4} -m}{f}.d$
$\Rightarrow Q_{1} = 16 + \frac{19,25 -15}{16}.8 = 18,125$
Câu 37: Vận dụng
Xác định giá trị x và y

Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian đi làm muộn tháng 10/2023 của 100 nhân viên trong công ty X như sau:
Thời gian (phút)
Số nhân viên
[0; 5)
25
[5; 10)
14
[10; 15)
x
[15; 20)
13
[20; 25)
12
[25; 30)
y
Biết trung vị của mẫu dữ liệu bằng 12,5. Xác định giá trị x và y?
- A.
  $x=26;y=10$
- B.
  $x=22;y=14$
- C.
  $x=14;y=22$
- D. $x=10;y=26$
Ta có: $N = 100 \Rightarrow x + y =36$
Lại có:
Thời gian (phút)
Số nhân viên
Tần số tích lũy
[0; 5)
25
25
[5; 10)
14
39
[10; 15)
x
39 + x
[15; 20)
13
52 + x
[20; 25)
12
64 + x
[25; 30)
y
64 + x + y
Ta có: trung vị của mẫu dữ liệu bằng 12,5 nên nhóm chứa trung vị là [10; 15)
Khi đó:
$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}l = 10;\dfrac{N}{2} = 50,m = 39,f = x \\c = 15 - 10 = 5 \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow M_{e} = l +\frac{\frac{N}{2} - m}{f}.c$
$\Leftrightarrow 12,5 = 10 + \frac{50 -39}{x}.5 \Leftrightarrow x = 22$
$\Rightarrow y = 36 - 22 =14$
Câu 38: Nhận biết
Tính giới hạn

Giá trị của $A = \lim\frac{2n + 1}{n - 2}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  2
- D.
  1
Với số thực a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn $n_{a} > \frac{5}{a} + 2 > 2$

Ta có:

$\left| \frac{2n + 1}{n - 2} - 2 ight| = \frac{5}{|n - 2|} < \frac{5}{n_{a} - 2} < a\ với\ mọi\ n > n_{a}$

Vậy A=2.
Câu 39: Vận dụng
Số nghiệm của phương trình?

Số nghiệm của phương trình $\sin 5x + \sqrt 3 \cos 5x = 2\sin 7x$ trên khoảng $\left( {0;\frac{\pi }{2}} ight)$ là?
- A. 2
- B. 1
- C. 3
- D. 4
Phương trình $\Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin 5x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 5x = \sin 7x$
$\Leftrightarrow \sin \left( {5x + \frac{\pi }{3}} ight) = \sin 7x$
$\Leftrightarrow \sin 7x = \sin \left( {5x + \frac{\pi }{3}} ight)$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 7x = 5x + \frac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\ 7x = \pi - \left( {5x + \frac{\pi }{3}} ight) + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{6} + k\pi \hfill \\ x = \frac{\pi }{{18}} + \frac{{k\pi }}{6} \hfill \\ \end{gathered} ight.{\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight).$
Với $0 < \frac{\pi }{6} + k\pi < \frac{\pi }{2}$
$\Leftrightarrow - \frac{1}{6} < k < \frac{1}{3}\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}k = 0 \to x = \frac{\pi }{6}$
Với $0 < \frac{\pi }{{18}} + k\frac{\pi }{6} < \frac{\pi }{2}$
$\Leftrightarrow - \frac{1}{3} < k < \frac{8}{3}\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}\left[ \begin{gathered} k = 0 \to x = \frac{\pi }{{18}} \hfill \\ k = 1 \to x = \frac{{2\pi }}{9} \hfill \\ k = 2 \to x = \frac{{7\pi }}{{18}} \hfill \\ \end{gathered} ight.$
Vậy có 4 nghiệm thỏa mãn.
Câu 40: Nhận biết
Mệnh đề đúng?

Cho $S_{n} = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + \ldots + \frac{1}{n(n + 1)}$ với n ∈ ℕ^*. Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $S_{n} = \frac{n - 1}{n}$
- B.
  $S_{n} = \frac{n}{n + 1}$
- C.
  $S_{n} = \frac{n + 1}{n + 2}$
- D.
  $S_{n} = \frac{n + 2}{n + 3}$
Ta có $S_{1} = \frac{1}{2},S_{2} = \frac{2}{3},S_{3} = \frac{3}{4} \Rightarrow$ dự đoán $S_{n} = \frac{n}{n + 1}$

Với n = 1, ta được $S_{1} = \frac{1}{1.2} = \frac{1}{1 + 1}$ (đúng)

Giả sử mệnh đề đúng khi n = k (k≥1), tức là $\frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \ldots + \frac{1}{k(k + 1)} = \frac{k}{k + 1}$

Ta có $\frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \ldots + \frac{1}{k(k + 1)} = \frac{k}{k + 1}$

$\begin{matrix} & \Leftrightarrow \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \ldots + \frac{1}{k(k + 1)} + \frac{1}{(k + 1)(k + 2)} = \frac{k}{k + 1} + \frac{1}{(k + 1)(k + 2)} \\ & \\ & \\ \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \ldots + \frac{1}{k(k + 1)} + \frac{1}{(k + 1)(k + 2)} = \frac{k^{2} + 2k + 1}{(k + 1)(k + 2)}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \ldots + \frac{1}{k(k + 1)} + \frac{1}{(k + 1)(k + 2)} = \frac{k + 1}{k + 2}$

Suy ra mệnh đề đúng với n = k + 1.
Câu 41: Thông hiểu
Tìm số hạng thứ 10 của cấp số cộng

Cho cấp số cộng (U_n) có u₁ = -2 và công sai d = 3. Tìm số hạng u₁₀
- A. ${u_{10}} = - {2.3^9}$
- B. ${u_{10}} = 25$
- C. ${u_{10}} = 28$
- D. ${u_{10}} = - 29$
Ta có: ${u_{10}} = {u_1} + \left( {10 - 1} ight)d = {u_{10}} = - 2 + 9.3 = 25$
Câu 42: Thông hiểu
Xác định cấp số cộng

Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng?
- A. $\left( {{U_n}} ight):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 1} \\ {{u_{n + 1}} = {u_n} + 2,\forall n \geqslant 1} \end{array}} ight.$
- B. $\left( {{U_n}} ight):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 3} \\ {{u_{n + 1}} = 2{u_n} + 1,\forall n \geqslant 1} \end{array}} ight.$
- C. $\left( {{U_n}} ight):1;3;6;10;15;...$
- D. $\left( {{U_n}} ight): - 1;1; - 1;1; - 1;....$
Dãy số ở đáp án A thỏa mãn điều kiện ${u_{n + 1}} - {u_1} = 2$ với $n \geqslant 1$ là cấp số cộng.
Câu 43: Thông hiểu
Tìm khoảng đồng biến của hàm số

Hàm số $y = \sin 2x$ đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
- A. $\left( {0;\frac{\pi }{4}} ight)$
- B. $\left( {\frac{\pi }{2};\pi } ight)$
- C. $\left( {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} ight)$
- D. $\left( {\frac{{3\pi }}{2};2\pi } ight)$
Ta có $x \in \left( {0;\frac{\pi }{4}} ight) \to 2x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} ight)$ thuộc gốc phần tư thứ I
=> Hàm số $y = \sin 2x$ đồng biến trên khoảng $\left( {0;\frac{\pi }{4}} ight)$
Câu 44: Vận dụng
Tính tổng 5 số hạng đầu của CSN

Cho cấp số nhân (u_n) có ${S_2} = 4;{S_3} = 13$ . Biết ${u_2} < 0$ . Tính ${S_5}$ ?
- A. ${S_5}= \frac{{35}}{{16}}$
- B. ${S_5} = \frac{{181}}{{16}}$
- C. ${S_5} = 2$
- D. ${S_5} = - 181$
Ta có:
$\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{S_2} = 4} \\ {{S_3} = 13} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^2}} ight)}}{{1 - q}} = 4} \\ {\dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^3}} ight)}}{{1 - q}} = 13} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1}\left( {1 + q} ight) = 4} \\ {{u_1}\left( {1 + q + {q^2}} ight) = 13} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{1 + q}}{{1 + q + {q^2}}} = \dfrac{4}{{13}}\left( * ight)} \\ {{u_1} = \dfrac{4}{{1 + q}}\left( {**} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$
Xét (*)
$\begin{matrix} \dfrac{{1 + q}}{{1 + q + {q^2}}} = \dfrac{4}{{13}}a \hfill \\ \Leftrightarrow 4{q^2} - 9q - 9 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {q = 3 \Rightarrow {u_1} = 1 \Rightarrow {u_2} = {u_1}.q = 3 > 0\left( L ight)} \\ {q = - \dfrac{3}{4} \Rightarrow {u_1} = 16 \Rightarrow {u_2} = {u_1}.q = - 12 < 0\left( {tm} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow {S_5} = \dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^5}} ight)}}{{1 - q}} = \dfrac{{16.\left[ {1 - {{\left( {\dfrac{{ - 3}}{4}} ight)}^5}} ight]}}{{1 + \dfrac{3}{4}}} = \dfrac{{181}}{{16}} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 45: Thông hiểu
Tìm dãy số tăng

Cho các dãy số sau. Dãy số nào là dãy số tăng?
- A.
  $1;1;1;1;1;1...$
- B.
  $1;\frac{-1}{2};\frac{1}{4};\frac{-1}{8};\frac{1}{16};...$
- C.
  $1;3;5;7;9;....$
- D.
  $1;\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};\frac{1}{16};...$
Xét đáp án $1;1;1;1;1;1...$ dãy là dãy hằng nên không tăng không giảm.
Xét đáp án $1;\frac{-1}{2};\frac{1}{4};\frac{-1}{8};\frac{1}{16};...$ $\Rightarrow {u_1} > {u_2} < {u_3}$ (Loại)
Xét đáp án $1;3;5;7;9;....$ $\Rightarrow {u_n} < {u_{n + 1}};n \in {\mathbb{N}^*}$ (Chọn)
Xét đáp án $1;\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};\frac{1}{16};...$ $Rightarrow {u_1} > {u_2} > {u_3}.... > {u_n} > ...$ (Loại)

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 3 Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Xem đáp án Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

31 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 3

Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/45

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 Chân trời sáng tạo
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân
Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số ghép số liệu nhóm
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Đạo hàm
Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 9: Xác suất

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 3

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 11 Chân trời sáng tạo

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân

Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian

Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số ghép số liệu nhóm

Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 7: Đạo hàm

Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian

Chương 9: Xác suất

Điểm	[0; 20)	[20; 40)	[40; 60)	[60; 80)	[80; 100)
Số học sinh	5	9	12	10	6

Thu nhập (triệu đồng)	[0; 8)	[8; 16)	[16; 24)	[24; 32)	[32; 40)	[40; 48)
Số người	8	7	16	24	15	7

Thời gian (phút)	Số nhân viên
[0; 5)	25
[5; 10)	14
[10; 15)	x
[15; 20)	13
[20; 25)	12
[25; 30)	y

Thời gian (phút)	Số nhân viên	Tần số tích lũy
[0; 5)	25	25
[5; 10)	14	39
[10; 15)	x	39 + x
[15; 20)	13	52 + x
[20; 25)	12	64 + x
[25; 30)	y	64 + x + y