VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 2

Mô tả thêm:

Mời các bạn học cùng thử sức với Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo nha!

Thời gian làm: 90 phút
Số câu hỏi: 45 câu
Số điểm tối đa: 45 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay

Câu 1: Vận dụng
Tính giá trị biểu thức T = 2x – y

Cho bảng dữ liệu dưới đây:
Khoảng dữ liệu
Tần số
[0; 20)
16
[20; 40)
x
[40; 60)
25
[60; 80)
y
[80; 100)
12
[100; 120)
10
Tổng
N = 90
Biết số trung bình là 56. Tính giá trị biểu thức T = 2x – y.
- A.
  $T = 10$
- B.
  $T = 0$
- C.
  $T = 6$
- D.
  $T = 2$
Ta có:
Dữ liệu đại diện
Tần số
Tích các số liệu
10
16
160
30
x
30x
50
25
1250
70
y
70y
90
12
1080
110
10
1100
Tổng
63 + x + y
3590 + 30x + 70y
Theo bài ra ta có số trung bình bằng 56 nghĩa là:
$\overline{x} = 56$
$\Leftrightarrow \frac{3590 + 30x +70y}{90} = 56$
$\Leftrightarrow \frac{3590 + 30x +70y}{90} = 56(*)$
Mặt khác $63 + x + y = 90 \Rightarrow x +y = 27(**)$
Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:
$\left\{ \begin{matrix}x + y = 27 \\3x + 7y = 145 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 11 \\y = 16 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow T = 2x - y = 6$
Câu 2: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định

Tìm được các giới hạn sau:

a) $\lim_{x ightarrow 2^{+}}(\sqrt{x + 2} - 1) = 1$ . Đúng||Sai

b) $\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{4x - 3}{x - 1} = + \infty$ . Đúng||Sai

c) $\lim_{x ightarrow 2^{-}}\left( \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x^{2} - 4} ight) = - \infty$ . Đúng||Sai

d) $\lim_{x ightarrow - 1^{-}}\frac{|x + 1|}{x^{2} - 1} = - \infty$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Tìm được các giới hạn sau:

a) $\lim_{x ightarrow 2^{+}}(\sqrt{x + 2} - 1) = 1$ . Đúng||Sai

b) $\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{4x - 3}{x - 1} = + \infty$ . Đúng||Sai

c) $\lim_{x ightarrow 2^{-}}\left( \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x^{2} - 4} ight) = - \infty$ . Đúng||Sai

d) $\lim_{x ightarrow - 1^{-}}\frac{|x + 1|}{x^{2} - 1} = - \infty$ . Sai||Đúng

a) Ta có:

$\lim_{x ightarrow 2^{+}}(\sqrt{x + 2} - 1) = \sqrt{2 + 2} - 1 = 1$ .

b) Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{4x - 3}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack (4x - 3) \cdot \frac{1}{x - 1} ightbrack = + \infty$ vì $\lim_{x ightarrow 1^{+}}(4x - 3) = 1,\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{1}{x - 1} = + \infty$ .

c) Ta có:

$\lim_{x ightarrow 2^{-}}\left( \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x^{2} - 4} ight)$

$= \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{x + 2 - 1}{(x - 2)(x + 2)} = \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{x + 1}{(x - 2)(x + 2)}$

$= \lim_{x ightarrow 2^{-}}\left\lbrack \frac{x + 1}{x + 2} \cdot \frac{1}{(x - 2)} ightbrack = - \infty$ , do $\left\{ \begin{matrix}\lim_{x ightarrow 2^{-}}\dfrac{x + 1}{x + 2} = \dfrac{3}{4} \\\lim_{x ightarrow 2^{-}}\dfrac{1}{x - 2} = - \infty \\\end{matrix} ight.$

d) Ta có:

$\lim_{x ightarrow - 1^{-}}\frac{|x + 1|}{x^{2} - 1} = \lim_{x ightarrow - 1^{-}}\frac{- x - 1}{(x - 1)(x + 1)} = \lim_{x ightarrow - 1^{-}}\frac{- 1}{x - 1} = \frac{1}{2}$ .
Câu 3: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Cho lăng trụ $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, $A B = 1 ; A A' = 2$ . Gọi $L$ là trung điểm $B'D$ , mặt phẳng $(P)$ qua $L$ và song song $AC$ lần lượt cắt $A A'; C C'; D D'$ tại $E ; F ; K$ .

Đặt $\frac{DK}{DD'} = x$ . Khi $(EFK)//(MA'C')$ thì $P = \frac{2025x}{1005}$ bằng (Làm tròn đến hàng phần trăm).

Đáp án: 2,01

Đáp án là:

Cho lăng trụ $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, $A B = 1 ; A A' = 2$ . Gọi $L$ là trung điểm $B'D$ , mặt phẳng $(P)$ qua $L$ và song song $AC$ lần lượt cắt $A A'; C C'; D D'$ tại $E ; F ; K$ .

Đặt $\frac{DK}{DD'} = x$ . Khi $(EFK)//(MA'C')$ thì $P = \frac{2025x}{1005}$ bằng (Làm tròn đến hàng phần trăm).

Đáp án: 2,01

Hình vẽ minh họa

Trong mặt phẳng $(A'B'C'D')$ , $O' = A'C' \cap B'D'$ .

Trong mặt phẳng $(B'D'DB)$ , $Q = B'D \cap MO'$ .

$ML$ là đường trung bình của tam giác $B'BD$ nên $ML\ //\ BD\ //\ B'D'$ $(1)$ .

$O'L$ là đường trung bình của tam giác $B'D'D$ nên $LO'\ //\ D'D\ //\ B'B$ $(2)$ .

Từ $(1)$ , $(2)$ suy ra tứ giác $MLO'B'$ là hình bình hành nên $Q$ là trung điểm $B'L \Rightarrow QO'//LD'$ $(3)$ .

Ta có $EF\ //\ A'C'$ nên để $(EFK)//(MA'C')$ thì $\Rightarrow QO'//LK$ $(4)$ .

Từ $(1)$ , $(2)$ suy ra $K \equiv D' \Rightarrow \frac{DK}{DD'} = 1 \Rightarrow x = 1$ .

Vậy $P = \frac{2025x}{1005} = \frac{2025}{1005} \approx 2,01$ .
Câu 4: Vận dụng
Xác định giới hạn hàm số

$\lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{100} - 2x + 1}{x^{50} - 2x + 1}$ bằng:
- A.
  $- \frac{24}{49}$
- B.
  $- \frac{49}{24}$
- C.
  $\frac{24}{49}$
- D.
  $\frac{49}{24}$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{100} - 2x + 1}{x^{50} - 2x + 1}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{\left( x^{100} - 1 ight) - 2(x - 1)}{\left( x^{50} - 1 ight) - 2(x - 1)}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{(x - 1)\left( x^{99} + x^{98} + .... + x + 1 - 2 ight)}{(x - 1)\left( x^{49} + x^{48} + .... + x + 1 - 2 ight)}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{99} + x^{98} + .... + x + 1 - 2}{x^{49} + x^{48} + .... + x + 1 - 2} = \frac{98}{48} = \frac{49}{24}$
Câu 5: Nhận biết
Tìm câu đúng

Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A.
  Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song.
- B.
  Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.
- C.
  Hai mặt phẳng không cắt nhau thì song song.
- D.
  Hai mặt phẳng không song song thì trùng nhau.
Câu đúng là: “Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song”.
Câu 6: Vận dụng cao
Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua tâm của hình lập phương và song song với $(ABC)$ . Xác định các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ và tứ diện $AB'CD'$ . Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?
- A.
  $\frac{a^{2}}{3}$
- B.
  $\frac{2a^{2}}{3}$
- C.
  $\frac{a^{2}}{2}$
- D.
  $\frac{3a^{2}}{4}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi I là tâm của hình lập phương

=> I là trung điểm của AC’.

Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

Khi đó $\left\{ \begin{matrix}MN = QP = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\NP = MQ = \dfrac{1}{2}B'D' = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\\end{matrix} ight.$

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ và tứ diện $AB'CD'$ là hình thoi MNPQ cạnh bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Mặt khác $NQ = MP = BC = a$

Diện tích hình thoi MNPQ là $S = \frac{1}{2}NQ.MP = \frac{a^{2}}{2}$
Câu 7: Thông hiểu
Xác định số nghiệm của phương trình lượng giác

Số nghiệm trong khoảng $( - \pi\ ;\ \pi)$ của phương trình $1 - \cos2x =0$ là
- A.
  $0$ .
- B.
  $1$ .
- C.
  $3$ .
- D.
  $2$ .
Ta có:

$1 - cos2x = 0$

$\Leftrightarrow cos2x = 1$

$\Leftrightarrow 2x = k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

$\Leftrightarrow x = k\pi\left( k\mathbb{\in Z} ight)$ .

Với $- \pi < x < \pi$ thì $- 1 < k < 1$ .

Suy ra $k = 0$ .

Vậy có 1 nghiệm trong khoảng $( - \pi\ ;\ \pi)$ .
Câu 8: Nhận biết
Chọn kết luận đúng

Trong không gian, cho ba đường thẳng $a,\ \ b,\ \ c$ . Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
- A.
  Nếu $a$ và $b$ không cắt nhau thì $a$ và $b$ song song.
- B.
  Nếu $b$ và $c$ chéo nhau thì $b$ và $c$ không cùng thuộc một mặt phẳng.
- C.
  Nếu $a$ và $b$ cùng chéo nhau với $c$ thì $a$ song song với $b$ .
- D.
  Nếu $a$ và $b$ cắt nhau, $b$ và $c$ cắt nhau thì $a$ và $c$ cắt nhau.
Nếu $b$ và $c$ chéo nhau thì $b$ và $c$ không cùng thuộc một mặt phẳng.
Câu 9: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng

Xét tính liên tục của hàm số $f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{x - 1}}{{\sqrt {2 - x} - 1}}{\text{ khi }}x < 1} \\ { - 2x{\text{ khi }}x \geqslant 1} \end{array}} ight.$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?
- A.
  $f(x)$ không liên tục trên $\mathbb{R}$
- B.
  $f(x)$ không liên tục trên $(0;2)$
- C.
  $f(x)$ gián đoạn tại $x = 1$
- D.
  $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$
Hàm số liên tục trên các khoảng $( - \infty;1),(1; + \infty)$

Ta có:

$f(1) = - 2$

$\lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}( - 2x) = - 2$

$\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{x - 1}{\sqrt{2 - x} - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\left\lbrack - \left( \sqrt{2 - x} + 1 ight) ightbrack = - 2$

=> Hàm số liên tục tại $x = 1$

Vậy hàm số liên tục trên tập số thực.
Câu 10: Vận dụng
Tìm giá trị của m

Cho khai triển ${\left( {x - 2y + m} ight)^4}$ . Tìm m để tổng các hệ số của khai triển bằng 0.
- A. $\left[ \begin{gathered} m = - 3 \hfill \\ m = - 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.$
- B. $m=1$
- C. $m=-1$
- D. $m=0$
Tổng các hệ số của khai triển là giá trị của biểu thức tại $x=y=1$
Vậy tổng các hệ số của khai triển là: ${\left( {1 - 2.1 + m} ight)^4} = {\left( {m - 1} ight)^4}$
Để tổng các hệ số khai triển bằng 0 thì ${\left( {m - 1} ight)^4} = 0 \Leftrightarrow m = 1$
Câu 11: Nhận biết
Tìm số hạng tổng quát

Cho dãy số (u_n) với $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + ( - 1)^{2n} \\ \end{matrix} ight.$ . Số hạng tổng quát u_n của dãy số là số hạng nào dưới đây?
- A.
  u_n = 1 + n
- B.
  u_n = 1 − n
- C.
  u_n = 1 + (−1)²ⁿ
- D.
  u_n = n
Ta có u_n + 1 = u_n + (−1)²ⁿ = u_n + 1 ⇒ u₂ = 2; u₃ = 3; u₄ = 4; …

Dễ dàng dự đoán được u_n = n.

Thật vậy, ta chứng minh được u_n = n (*) bằng phương pháp quy nạp như sau:

Với n = 1 ⇒ u₁ = 1. Vậy (*) đúng với n = 1.

Giả sử (*) đúng với n = k (k∈ℕ^*), ta có u_k = k

Ta đi chứng minh (*) cũng đúng với n = k + 1, tức là u_k + 1 = k + 1

Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số (u_n) ta có u_k + 1 = u_k + (−1)^2k = k + 1

Vậy (*) đúng với mọi n ∈ ℕ^*. Số hạng tổng quát của dãy số là u_n = n.
Câu 12: Vận dụng
Tính độ dài cạnh hình thoi

Cho tứ diện $ABCD$ có cạnh $AB = 6;CD = 8$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ song song với $AB,CD$ cắt tứ diện tạo thành một hình thoi. Tính độ dài cạnh hình thoi.
- A.
  $\frac{31}{7}$
- B.
  $\frac{18}{7}$
- C.
  $\frac{24}{7}$
- D.
  $\frac{15}{7}$
Hình vẽ minh họa

Gọi M, N, P, Q lần lượt là giao điểm của mặt phẳng chứa thiết diện với các cạnh AC, BC, BD, AD, khi đó theo giả thiết tứ giác MNPQ là hình thoi.

Cũng từ giả thiết ta suy ra $PQ // MN // AB, MQ // NP // CD$ nên ta có

$\frac{CM}{AC} = \frac{MN}{AB};\frac{AM}{AC} = \frac{MQ}{CD} \Rightarrow \frac{AC - CM}{AC} = \frac{MQ}{CD}$

$\Rightarrow 1 - \frac{CM}{AC} = 1 - \frac{MN}{AB} = \frac{MQ}{CD} = \frac{MN}{CD}$

$\Rightarrow MN = \dfrac{1}{\dfrac{1}{AB} +\dfrac{1}{CD}} = \dfrac{1}{\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{8}} =\dfrac{24}{7}$

Vậy cạnh của hình thoi là $\frac{24}{7}$
Câu 13: Nhận biết
Tính giới hạn

Tính giới hạn $\lim\frac{n^{2} - 4n^{3}}{2n^{3} + 5n - 2}$
- A.
  $- 2$
- B.
  $0$
- C.
  $4$
- D.
  $\frac{1}{2}$
Ta có:

$\lim\dfrac{n^{2} - 4n^{3}}{2n^{3} + 5n -2} = \lim\dfrac{\dfrac{1}{n} - 4}{2 + \dfrac{5}{n^{2}} - \dfrac{2}{n^{3}}} =\dfrac{0 - 4}{2 + 0 - 0} = - 2$
Câu 14: Vận dụng
Tập xác định D của hàm số

Tìm tập xác định D của hàm số $y = \tan\left( \frac{\pi}{2}.cosx ight)$
- A.
  $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ -\frac{\pi}{2} + k\pi,k\in\mathbb{ Z} ight\}$
- B.
  $D=\mathbb{ R}$
- C.
  $D\mathbb{= R}\backslash\left\{\frac{\pi}{2} + k\pi,k\in\mathbb{ Z} ight\}$
- D.
  $D=\mathbb{R}\backslash\left\{k\pi,k\in\mathbb{ Z} ight\}$
Hàm số xác định khi và chỉ khi

$\begin{matrix}\dfrac{\pi}{2}.cosx eq \dfrac{\pi}{2} + k\pi \\\cos x eq 1 + 2k(*) \\\end{matrix}$

Do k là số nguyên => $\cos x eq \pm 1\Rightarrow \sin x eq 0 \Rightarrow x eq k\pi,k \in\mathbb{Z}$

Vậy tập xác định $D\mathbb{=R}\backslash\left\{ k\pi,k\in\mathbb{ Z} ight\}$
Câu 15: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ với $u_{1} = - 2;\ \ u_{4} = - 54$ . Tính $u_{8}$ .
- A.
  $u_{8} = 4374$ .
- B.
  $u_{8} = 13122$ .
- C.
  $u_{8} = - 13122$ .
- D.
  $u_{8} = - 4374$ .
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2 \\ u_{4} = - 54 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2 \\ u_{1}.q^{3} = - 54 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = - 2 \\q^{3} = 27 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = - 2 \\q = 3 \\\end{matrix} ight.$

Vậy $u_{8} = u_{1}.q^{7} = - 2.3^{7} = - 4374$ .
Câu 16: Nhận biết
Tính giới hạn B

Tính giới hạn $B = \lim_{x ightarrow ( - 2)^{-}}\left( \frac{3 + 2x}{x + 2} ight)$ .
- A.
  $- \infty$
- B.
  $2$
- C.
  $+ \infty$
- D.
  $\frac{3}{2}$
Ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} ight)}^ - }} \left( {3 + 2x} ight) = - 1 < 0$

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} ight)}^ - }} \left( {x + 2} ight) = 0} \\ {x \mapsto {{\left( { - 2} ight)}^ - } \Rightarrow x + 2 < 0} \end{array}} ight.$

$\Rightarrow B = \lim_{x ightarrow ( - 2)^{-}}\left( \frac{3 + 2x}{x + 2} ight) = + \infty$
Câu 17: Vận dụng

Điền nội dung lời giải vào chỗ trống

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác ABC thỏa mãn $AB = AC = 4;\widehat {BAC} = {30^0}$ . Mặt phẳng $\left( P ight)$ song song với $\left( {ABC} ight)$ cắt đoạn $SA$ tại $M$ sao cho $\frac{{SM}}{{SA}} = 2$ . Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng $\left( P ight)$ và hình chóp $S.ABC$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác ABC thỏa mãn $AB = AC = 4;\widehat {BAC} = {30^0}$ . Mặt phẳng $\left( P ight)$ song song với $\left( {ABC} ight)$ cắt đoạn $SA$ tại $M$ sao cho $\frac{{SM}}{{SA}} = 2$ . Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng $\left( P ight)$ và hình chóp $S.ABC$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 18: Thông hiểu
Giải phương trình

Phương trình $1 + 2\cos 2x = 0$ có nghiệm là:
- A. $\pm \frac{{2\pi }}{3} + \frac{{k\pi }}{4}$
- B. $\pm \frac{\pi }{3} + k2\pi$
- C. $\pm \frac{{2\pi }}{3} + k\pi$
- D. $\pm \frac{\pi }{3} + k\pi$
Giải phương trình:
$\begin{matrix} 1 + 2\cos 2x = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \cos 2x = - \dfrac{1}{2} \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi } \\ {2x = - \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi } \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi } \\ {x = - \dfrac{\pi }{3} + k\pi } \end{array}} ight.;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 19: Vận dụng
Tính giới hạn dãy số

Xác định giới hạn của dãy số $\lim\left\lbrack \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + ... + \frac{1}{n(n + 1)} ightbrack$ là:
- A.
  $\frac{1}{2}$
- B.
  $1$
- C.
  $0$
- D.
  $- \infty$
Ta có:

$\lim\left\lbrack \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + ... + \frac{1}{n(n + 1)} ightbrack$

$= \lim\left\lbrack 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} ightbrack$

$= \lim\left( 1 - \frac{1}{n + 1} ight) = 1$
Câu 20: Vận dụng cao
Tìm các số nguyên a

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc khoảng (0; 2019) để $\lim\sqrt{\frac{9^{n} + 3^{n + 1}}{5^{n} + 9^{n + a}}} \leq \frac{1}{2187}$ .
- A.
  $2018$
- B.
  $2011$
- C.
  $2012$
- D.
  $2019$
Ta có: $\dfrac{9^{n} + 3^{n + 1}}{5^{n} +9^{n + a}} > 0;\forall n \in \mathbb{N}^{*}$ nên

$\lim\sqrt{\dfrac{9^{n} + 3^{n + 1}}{5^{n}+ 9^{n + a}}} = \sqrt{\lim\dfrac{9^{n} + 3^{n + 1}}{5^{n} + 9^{n +a}}}$

$= \sqrt{\lim\dfrac{1 + 3.\left(\dfrac{1}{3} ight)^{n}}{\left( \dfrac{5}{9} ight)^{n} + 9^{a}}} =\sqrt{\dfrac{1}{9^{a}}} = \dfrac{1}{3^{a}}$

Theo đề bài ta có

$\lim\sqrt{\dfrac{9^{n} + 3^{n + 1}}{5^{n}+ 9^{n + a}}} \leq \dfrac{1}{2187}$

$\begin{matrix} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{3^a}}} \leqslant \dfrac{1}{{2187}} \Leftrightarrow {3^a} \geqslant 2187 \hfill \\ \Leftrightarrow a \geqslant 7 \hfill \\ \end{matrix}$

Mặt khác $\left\{ \begin{matrix} a\mathbb{\in Z} \\ a \in (0;2019) \\ \end{matrix} \Rightarrow a \in \left\{ 7;8;9;...;2018 ight\} ight.$

Vậy có tất cả 2012 giá trị nguyên thỏa mãn.
Câu 21: Thông hiểu
Tìm số hạng đầu tiên và công sai của dãy số

Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ thỏa mãn $u_{4} = - 12;u_{14} = 18$ . Tính số hạng đầu tiên $u_{1}$ và công sai $d$ của cấp số cộng đã cho.
- A.
  $u_{1} = - 21;d = 3$
- B.
  $u_{1} = - 20;d = - 3$
- C.
  $u_{1} = - 22;d = 3$
- D.
  $u_{1} = - 21;d = - 3$
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} u_{4} = - 12 \\ u_{14} = 18 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} + 3d = - 12 \\ u_{1} + 13d = 18 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 21 \\ d = 3 \\ \end{matrix} ight.$
Câu 22: Thông hiểu
Chọn mệnh đề sai

Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?
- A.
  Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau có thể song song với nhau.
- B.
  Một tam giác bất kỳ đề có thể xem là hình biểu diễn của một tam giác vuông.
- C.
  Một đường thẳng có thể cắt với hình chiếu của nó.
- D.
  Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau có thể trùng nhau.
Hai đường thẳng cắt nhau thì cùng nằm trong một mặt phẳng.

Khi mặt phẳng đó song song với phương chiếu thì hình chiếu của chúng trùng nhau hoặc là một điểm nằm trên một đường thẳng.

Khi mặt phẳng đó không song song với phương chiếu thì hình chiếu của chúng là hai đường thẳng cắt nhau.

Câu 23: Thông hiểu

Chọn đáp án đúng

Điểm kết quả kiểm tra môn Tiếng Anh của 4 lớp 11 được ghi trong bảng sau:

Lớp 11A	Điểm	(0; 5]	(5; 6]	(6; 7]	(7; 8]	(8; 10]
Lớp 11A	Số học sinh	4	8	12	10	6
Lớp 11B	Điểm	(0; 5]	(5; 6]	(6; 7]	(7; 8]	(8; 10]
Lớp 11B	Số học sinh	5	12	10	8	4
Lớp 11C	Điểm	(0; 5]	(5; 6]	(6; 7]	(7; 8]	(8; 10]
Lớp 11C	Số học sinh	4	10	15	9	3
Lớp 11D	Điểm	(0; 5]	(5; 6]	(6; 7]	(7; 8]	(8; 10]
Lớp 11D	Số học sinh	4	9	16	11	3

Lớp nào có tỉ lệ học sinh giỏi thấp nhất?

A.
11A
B.
11B
C.
11C
D.
11D

Số học sinh lớp 11A là:

4 + 8 + 12 + 10 + 6 = 40 (học sinh)

Số học sinh giỏi lớp 11A là 6 học sinh

=> Tỉ lệ học sinh giỏi lớp 11A là: $\frac{6}{40}.100\% = 15\%$

Số học sinh lớp 11B là:

5 + 12 + 10 + 8 + 4 = 39 (học sinh)

Số học sinh giỏi lớp 11B là 4 học sinh

=> Tỉ lệ học sinh giỏi lớp 11B là: $\frac{4}{39}.100\% \approx 10,3\%$

Số học sinh lớp 11C là:

4 + 10 + 15 + 9 + 3 = 41 (học sinh)

Số học sinh giỏi lớp 11C là 3 học sinh

=> Tỉ lệ học sinh giỏi lớp 11C là: $\frac{3}{41}.100\% \approx 7,3\%$

Số học sinh lớp 11D là:

4 + 9 + 16 + 11 + 3 = 43 (học sinh)

Số học sinh giỏi lớp 11D là 3 học sinh

=> Tỉ lệ học sinh giỏi lớp 11D là: $\frac{3}{43}.100\% \approx 7\%$

Vậy lớp 11D có tỉ lệ học sinh giỏi thấp nhất.

Câu 24: Vận dụng cao
Tính giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác

Giá trị lớn nhất của hàm số: $y = \frac{{\sin x + 2\cos x + 1}}{{\sin x + \cos x + 2}}$
- A. -3
- B. 1
- C. -2
- D. 3
Ta có:
$\begin{matrix} \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} ight) \hfill \\ \Rightarrow - 1 \leqslant \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} ight) \leqslant 1 \hfill \\ \Rightarrow - \sqrt 2 \leqslant \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} ight) \leqslant \sqrt 2 \hfill \\ \Rightarrow - \sqrt 2 + 2 \leqslant \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} ight) + 2 \leqslant \sqrt 2 + 2 \hfill \\ \Rightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} ight) + 2 > 0,\forall x \in \mathbb{R} \hfill \\ \end{matrix}$
Ta có:
$\begin{matrix} y = \dfrac{{\sin x + 2\cos x + 1}}{{\sin x + \cos x + 2}} \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {1 - y} ight)\sin x + \left( {2 - y} ight)\cos x + 1 - 2y = 0 \hfill \\ \end{matrix}$
Phương trình có nghiệm:
$\begin{matrix} \Leftrightarrow {\left( {1 - y} ight)^2} + {\left( {2 - y} ight)^2} \geqslant {\left( {1 - 2y} ight)^2} \hfill \\ \Leftrightarrow {y^2} + y - 2 \leqslant 0 \Leftrightarrow - 2 \leqslant y \leqslant 1 \hfill \\ \Rightarrow \max y = 1 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 25: Thông hiểu
Tính giá trị tứ phân vị thứ nhất

Theo dõi kích thước của táo trong một khoảng thời gian nhất định ta được kết quả như sau:
Kích thước (gram)
[410; 420)
[420; 430)
[430; 440)
[440; 450)
[450; 460)
[460; 470)
[470; 480)
Số lượng táo
14
20
42
54
45
18
7
Tính giá trị tứ phân vị thứ nhất của mẫu dữ liệu ghép nhóm trên. (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
- A.
  $433,8$
- B.
  $426,3$
- C.
  $424,2$
- D.
  $434,5$
Ta có:
Kích thước (gram)
Số lượng táo
Tần số tích lũy
[410; 420)
14
14
[420; 430)
20
34
[430; 440)
42
76
[440; 450)
54
130
[450; 460)
45
175
[460; 470)
18
193
[470; 480)
7
200
Tổng
N = 200

Ta có: $\frac{N}{4} = \frac{200}{4} =50$
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là: [430; 440)
Khi đó ta có: $\left\{ \begin{matrix}l = 430;\dfrac{N}{4} = 50;m = 34 \\f = 42,d = 440 - 430 = 10 \\\end{matrix} ight.$
Tứ phân vị thứ nhất được tính như sau:
$Q_{1} = l + \dfrac{\dfrac{N}{4} -m}{f}.d$
$\Rightarrow Q_{1} = 430 + \frac{50 -34}{42}.10 \approx 433,8$
Câu 26: Nhận biết
Tìm mệnh đề sai

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
- A.
  Đường thẳng d song song với mặt phẳng (α) khi và chỉ khi d và (α) không có điểm chung.
- B.
  Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (α) khi và chỉ khi d và (α) có từ hai điểm chung trở lên.
- C.
  Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung.
- D.
  Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy song song với nhau.
Ta có:

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy song song với nhau hoặc đồng quy tại một điểm.

=> Phương án “Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy song song với nhau” là khẳng định sai.
Câu 27: Thông hiểu
Xác định biểu thức H

Cho góc $\alpha$ thỏa mãn $\cos\alpha = - \frac{4}{5}$ và $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ . Tính $H =\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha}{2}$
- A.
  $H = - \frac{39}{50}$
- B.
  $H = \frac{49}{50}$
- C.
  $H = - \frac{49}{50}$
- D.
  $H = \frac{39}{50}$
Ta có:

$H = \sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha}{2}$

$H = \frac{1}{2}\left( \sin2\alpha -\sin\alpha ight)$

$H = \frac{1}{2}\sin\alpha.(2\cos\alpha -1)$

Mặt khác $\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha =1$

$\Rightarrow \sin\alpha = \pm \sqrt{1 -\cos^{2}\alpha} = \pm \frac{3}{5}$

Do $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \Rightarrow \sin\alpha = - \frac{3}{5}$

Khi đó giá trị biểu thức H là: $H = \frac{39}{50}$
Câu 28: Thông hiểu
Tính trung vị của mẫu số liệu

Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:
Đối tượng
Tần số
[150; 155)
15
[155; 160)
10
[160; 165)
40
[165; 170)
27
[170; 175)
5
[175; 180)
3
Tổng
N = 100
Tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm?
- A.
  $162,94$
- B.
  $163,87$
- C.
  $162,14$
- D.
  $163,08$
Ta có:
Đối tượng
Tần số
Tần số tích lũy
[150; 155)
15
15
[155; 160)
11
26
[160; 165)
39
65
[165; 170)
27
92
[170; 175)
5
97
[175; 180)
3
100
Cỡ mẫu là: $N = 100$
$\frac{N}{2} = 50$ => trung vị thuộc nhóm [160; 165) (vì 50 nằm giữa hai tần số tích lũy 25 và 65)
Do đó: $\left\{ \begin{matrix}l = 160;\dfrac{N}{2} = 50;m = 26;f = 39 \\c = 165 - 160 = 5 \\\end{matrix} ight.$
Khi đó trung vị là:
$M_{e} = l + \dfrac{\left( \dfrac{N}{2} - might)}{f}.c$ $= 160 + \frac{50 - 26}{39}.5 \approx 163,08$
Câu 29: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của mỗi ý hỏi

Cho hàm số $f(x) = \cos x$ và $g(x) = \sin x$ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai?

a) Hàm số $g(x)$ là hàm số chẵn. Sai||Đúng

b) Trong khoảng $(0 ; 2\pi)$ đồ thị hai hàm số $y = f(x)$ và $y = g(x)$ cắt nhau tại hai điểm. Đúng||Sai

c) Giá trị lớn nhất của hàm số $y = f(x) + g(x)$ bằng $2$ . Sai||Đúng

d) Hàm số $y = f(x) + g(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $x = - \frac{3\pi}{4} + k2\pi\ \ \left( k\mathbb{\in Z} ight)$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hàm số $f(x) = \cos x$ và $g(x) = \sin x$ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai?

a) Hàm số $g(x)$ là hàm số chẵn. Sai||Đúng

b) Trong khoảng $(0 ; 2\pi)$ đồ thị hai hàm số $y = f(x)$ và $y = g(x)$ cắt nhau tại hai điểm. Đúng||Sai

c) Giá trị lớn nhất của hàm số $y = f(x) + g(x)$ bằng $2$ . Sai||Đúng

d) Hàm số $y = f(x) + g(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $x = - \frac{3\pi}{4} + k2\pi\ \ \left( k\mathbb{\in Z} ight)$ . Đúng||Sai

a) Sai

TXĐ: $D\mathbb{= R}$ . Do đó $\forall x \in D \Rightarrow - x \in D.$

Ta có $\forall x \in D:g( - x) = \sin( - x) = - \sin(x) = - g(x) \Rightarrow g(x)$ là hàm số lẻ.

b) Đúng

Phương trình $\sin x = \cos x$ trong khoảng $(0 ; 2\pi)$ có hai nghiệm $x = \frac{\pi}{4}$ và $x = \frac{5\pi}{4}$

c) Sai

Ta có: $y = \sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin\left( x + \frac{\pi}{4} ight)$ , mà $\forall x: - 1 \leq \sin\left( x + \frac{\pi}{4} ight) \leq 1$

$\Leftrightarrow - \sqrt{2} \leq \sqrt{2}\sin\left( x + \frac{\pi}{4} ight) \leq \sqrt{2}$ .

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số $y = \sin x + \cos x$ bằng $\sqrt{2}$ , khi $\sin\left( x + \frac{\pi}{4} ight) = 1$ .

d) Đúng

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \sin x + \cos x$ bằng $- \sqrt{2}$ , khi $\sin\left( x + \frac{\pi}{4} ight) = - 1$

$\Leftrightarrow x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + k2\pi\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

$\Leftrightarrow x = - \frac{3\pi}{4} + k2\pi\ \ \left( k\mathbb{\in Z} ight).$
Câu 30: Nhận biết
Tính số nhóm của mẫu số liệu

Xác định số nhóm trong mẫu số liệu ghép nhóm sau?
Khoảng thời gian học (phút)
[10; 20)
[20; 30)
[30; 40)
[40; 50)
[50; 60)
[60; 70)
[70; 80)
Tần số
2
3
14
8
3
8
2
- A.
  $7$
- B.
  $6$
- C.
  $9$
- D.
  $8$
Mẫu dữ liệu ghép nhóm đã cho có 7 nhóm.
Câu 31: Vận dụng cao
Xác định công thức tổng quát của dãy số

Xác định công thức tổng quát của dãy số $\left\{ \begin{matrix}u_{1} = \dfrac{- 1}{2} \\u_{n + 1} = \sqrt{\dfrac{u_{n} + 1}{2}};n \geq 1 \\\end{matrix} ight.$ .
- A.
  $u_{n} = \frac{6\pi}{3.2^{n}}$
- B.
  $u_{n} = \cos\left( \frac{4\pi}{3.2^{n}} ight)$
- C.
  $u_{n} = \frac{4\pi}{3.2^{n}}$
- D.
  $u_{n} = \cos\left( \frac{6\pi}{3.2^{n}} ight)$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}u_{2} = \sqrt{\dfrac{u_{1} + 1}{2} = \dfrac{1}{2}} \\u_{3} = \sqrt{\dfrac{u_{2} + 1}{2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\\end{matrix} ight.$

Nhận thấy $\left\{ \begin{matrix}u_{1} = - \dfrac{1}{2} = \cos\left( \dfrac{2\pi}{3} ight) \\u_{2} = \dfrac{1}{2} = \cos\left( \dfrac{\pi}{3} ight) \\u_{3} = \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \cos\left( \frac{\pi}{6}ight) \\\end{matrix} ight.$

Dự đoán $u_{n} = \cos\left( \frac{4\pi}{3.2^{n}} ight)(*)$

Ta chứng minh bằng quy nạp

Trước hết $u_{1} = \cos\left( \frac{2\pi}{3} ight) = \cos\left( \frac{4\pi}{3.2^{1}} ight)$ đúng với $n = 1$

Giả sử $(*)$ đúng khi $n = k;k \in \mathbb{N}^{*}$ . Khi đó $u_{k} = \cos\left( \frac{4\pi}{3.2^{k}} ight)$

Ta có:

$u_{k + 1} = \sqrt{\dfrac{u_{k} + 1}{2}} =\sqrt{\dfrac{\cos\left( \dfrac{4\pi}{3.2^{k}} ight) +1}{2}}$

$= \sqrt{\dfrac{\cos\left(2.\dfrac{4\pi}{3.2^{k + 1}} ight) + 1}{2}}$

$= \sqrt{\dfrac{2.\left\lbrack \cos\left(\dfrac{4\pi}{3.2^{k + 1}} ight) ightbrack^{2} - 1 +1}{2}}$

$= \sqrt{\left\lbrack \cos\left(\dfrac{4\pi}{3.2^{k + 1}} ight) ightbrack^{2}}$

$= \left| \cos\left( \dfrac{4\pi}{3.2^{k +1}} ight) ight|$

Mặt khác ta có $k \geq 1$ . Do đó $0 \leq \frac{4\pi}{3.2^{k + 1}} \leq \frac{4\pi}{3.2^{1 + 1}} = \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}$

Vậy $\cos\left( \dfrac{4\pi}{3.2^{k + 1}}ight) \geq 0 \Rightarrow u_{k + 1} = \cos\left( \dfrac{4\pi}{3.2^{k +1}} ight)$

Vậy (*) đúng với $n = k + 1$ . Theo nguyên lí quy nạp, ta có điều phải chứng minh.
Câu 32: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho các mệnh đề:

1) Nếu hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $(a;b)$ và $f(a).f(b) < 0$ thì tồn tại $x_{0} \in (a;b)$ sao cho $f\left( x_{0} ight) = 0$ .

2) Nếu hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\lbrack a;bbrack$ và $f(a).f(b) < 0$ thì phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm.

3) Nếu hàm số $y = f(x)$ đơn điệu trên $\lbrack a;bbrack$ và $f(a).f(b) < 0$ thì phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm duy nhất trên $(a;b)$ .

Trong các mệnh đề trên:
- A.
  Có đúng hai mệnh đề sai
- B.
  Cả ba mệnh đề đúng
- C.
  Cả ba mệnh đề đều sai
- D.
  Có đúng một mệnh đề sai
Theo tính chất hàm số liên tục thì

1) Nếu hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $(a;b)$ và $f(a).f(b) < 0$ thì tồn tại $x_{0} \in (a;b)$ sao cho $f\left( x_{0} ight) = 0$ . Mệnh đề sai.

2) Nếu hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\lbrack a;bbrack$ và $f(a).f(b) < 0$ thì phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm. Mệnh đề đúng.

3) Nếu hàm số $y = f(x)$ đơn điệu trên $\lbrack a;bbrack$ và $f(a).f(b) < 0$ thì phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm duy nhất trên $(a;b)$ . Mệnh đề đúng.
Câu 33: Thông hiểu

Phân tích sự đúng sai của các kết luận

Xét tính đúng, sai của các phát biểu sau?

Tập $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{k\pi}{2};k\mathbb{\in Z} ight\}$ là tập xác định của hàm số $y = \cot2x$ . Đúng||Sai

Số nghiệm của phương trình $\sin x + \cos x = 0$ trên khoảng $(0;\pi)$ là 3 nghiệm.Sai||Đúng

Có 5 giá trị nguyên của tham số m để phương trình $\sqrt{3}\cos x + m = 1$ có nghiệm. Đúng||Sai

Số vị trí biểu diễn của phương trình $\sin\left( x - \frac{2\pi}{3} ight) = \frac{1}{2}$ trên đường tròn lượng giác là 3.Sai||Đúng

Đáp án là:

Xét tính đúng, sai của các phát biểu sau?

Tập $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{k\pi}{2};k\mathbb{\in Z} ight\}$ là tập xác định của hàm số $y = \cot2x$ . Đúng||Sai

Số nghiệm của phương trình $\sin x + \cos x = 0$ trên khoảng $(0;\pi)$ là 3 nghiệm.Sai||Đúng

Có 5 giá trị nguyên của tham số m để phương trình $\sqrt{3}\cos x + m = 1$ có nghiệm. Đúng||Sai

Số vị trí biểu diễn của phương trình $\sin\left( x - \frac{2\pi}{3} ight) = \frac{1}{2}$ trên đường tròn lượng giác là 3.Sai||Đúng

a) Điều kiện xác định của hàm số $y = cot2x$ là:

$2x eq k\pi \Rightarrow x eq \frac{k\pi}{2};\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

b) Ta có:

$\sin x + \cos x = 0 \Leftrightarrow \sqrt{2}\sin\left( x + \frac{\pi}{4} ight) = 0$

$\Leftrightarrow \sin\left( x + \frac{\pi}{4} ight) = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi}{4} + k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Vì $x \in (0;\pi) \Rightarrow 0 < - \frac{\pi}{4} + k\pi < \pi$

$\Rightarrow \frac{1}{4} < k < \frac{5}{4}$ mà $k\mathbb{\in Z}$ suy ra $k = 1$

Vậy phương trình đã cho chỉ có 1 nghiệm thuộc khoảng $(0;\pi)$ .

c) Ta có: $\sqrt{3}\cos x + m = 1 \Leftrightarrow \cos x = \frac{1 - m}{\sqrt{3}}$

Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi

$- 1 \leq \frac{1 - m}{\sqrt{3}} \leq 1 \Leftrightarrow - \sqrt{3} \leq 1 - m \leq \sqrt{3}$

$\Leftrightarrow 1 - \sqrt{3} \leq m \leq 1 + \sqrt{3}$

Mà $m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m = \left\{ - 2; - 1;0;1;2 ight\}$

Vậy có 5 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn điều kiện bài toán.

d) Ta có:

$\sin\left( x - \frac{2\pi}{3} ight) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin\left( x - \frac{2\pi}{3} ight) = \sin\left( \frac{\pi}{6} ight)$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x - \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\pi}{6} + k2\pi \\x - \dfrac{2\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{6} + k2\pi \\\end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x = \dfrac{5\pi}{6} + k2\pi \\x = \dfrac{3\pi}{2} + k2\pi \\\end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Số điểm biểu diễn mỗi họ nghiệm là số vị trí biểu diễn nghiệm của phương trình $\sin\left( x - \frac{2\pi}{3} ight) = \frac{1}{2}$ trên đường tròn lượng giác là 2.
Câu 34: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $\sin(a + b) = \sin a\cos b + \sin b\cos a$
- B.
  $\cos(a + b) = \cos a\cos b + \sina\sin b$
- C.
  $\sin(a - b) = \sin b\cos a - \sina\cos b$
- D.
  $\cos(a - b) = \sin a\sin b - \cosa\cos b$
Đáp án đúng là: $\sin(a + b) = \sin a\cos b + \sin b\cos a$
Câu 35: Nhận biết
Giải phương trình

Giải phương trình $\sin \left( {\frac{{2x}}{3} - \frac{\pi }{3}} ight) = 0$ ?
- A. $x = k\pi {\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
- B. $x = \frac{{2\pi }}{3} + \frac{{k3\pi }}{2}{\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
- C. $x = \frac{\pi }{3} + k\pi {\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
- D. $x = \frac{\pi }{2} + \frac{{k3\pi }}{2}{\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
Phương trình $\sin \left( {\frac{{2x}}{3} - \frac{\pi }{3}} ight) = 0 \Leftrightarrow \frac{{2x}}{3} - \frac{\pi }{3} = k\pi$
$\Leftrightarrow \frac{{2x}}{3} = \frac{\pi }{3} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + \frac{{k3\pi }}{2}{\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$ .
Câu 36: Thông hiểu
Chọn khẳng định sai

Trong không gian, cho ba đường thẳng phân biệt $a, b, c$ trong đó $a//b$ . Khẳng định nào sau đây sai?
- A. Nếu $a//c$ thì $b//c$
- B. Nếu c cắt a thì c cắt b.
- C. Nếu $A \in a$ và $B \in b$ thì ba đường thẳng $a, b, AB$ cùng ở trên một mặt phẳng.
- D. Tồn tại duy nhất một mặt phẳng qua a và b.
Nếu c cắt a thì c cắt b hoặc c chéo b.
Vậy khẳng định sai là: "Nếu c cắt a thì c cắt b."
Câu 37: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:
Đối tượng
Tần số
[150; 155)
15
[155; 160)
10
[160; 165)
40
[165; 170)
27
[170; 175)
5
[175; 180)
3
Tổng
N = 100
Mốt của mẫu số liệu thuộc nhóm số liệu nào?
- A.
  [150; 155)
- B.
  [160; 165)
- C.
  [165; 170)
- D.
  [175; 180)
Mốt của mẫu số liệu thuộc nhóm [160; 165).
Câu 38: Thông hiểu
Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là tứ giác lồi. Gọi $O = AC \cap BD;$ $M = AB \cap CD;$ $N = AD \cap BC$ . Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ ?
- A.
  $SA$
- B.
  $SN$
- C.
  $SM$
- D.
  $SO$
Hình vẽ minh họa

Nhận thấy S và M lần lượt là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là SM.
Câu 39: Vận dụng cao
Tính giá trị P

Nếu $\tan\alpha$ và $\tan\beta$ là hai nghiệm của phương trình $x^{2} - px + q = 0;(q eq 0)$ thì $P = cos^{2}(\alpha + \beta) + p\sin(\alpha + \beta).cos(\alpha + \beta) + qsin^{2}(\alpha + \beta)$ bằng:
- A.
  $p$
- B.
  $q$
- C.
  $1$
- D.
  $\frac{p}{q}$
Ta có: $\tan\alpha$ và $\tan\beta$ là hai nghiệm của phương trình $x^{2} - px + q = 0;(q eq 0)$ nên theo định lí Vi – ét ta có: $\left\{ \begin{matrix} \tan\alpha + \tan\beta = p \\ \tan\alpha.tan\beta = q \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha.tan\beta} = \frac{p}{1 - q}$

Khi đó:

$P = \cos^{2}(\alpha + \beta) +p\sin(\alpha + \beta).\cos(\alpha + \beta) + q\sin^{2}(\alpha +\beta)$

$P = \cos^{2}(\alpha + \beta).\left\lbrack1 + p\tan(\alpha + \beta) + q\tan^{2}(\alpha + \beta)ightbrack$

$P = \frac{1 + p\tan(\alpha + \beta) +q\tan^{2}(\alpha + \beta)}{1 + \tan^{2}(\alpha + \beta)}$

$P = \dfrac{1 + p.\dfrac{p}{1 - q} +q.\left( \dfrac{p}{1 - q} ight)^{2}}{1 + \left( \dfrac{p}{1 - q}ight)^{2}}$

$P = \dfrac{(1 - q)^{2} + p^{2}(1 - q) +q.p^{2}}{(1 - q)^{2} + p^{2}}$

$P = \dfrac{(1 - q)^{2} + p^{2} - p^{2}.q+ q.p^{2}}{(1 - q)^{2} + p^{2}}$

$P = 1$
Câu 40: Nhận biết
Điểm thuộc đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số $y = \cos x - \frac{\pi }{4}$ đi qua điểm nào sau đây?
- A. $\left( {0;\frac{\pi }{4}} ight)$
- B. $\left( { - \frac{\pi }{4};0} ight)$
- C. $\left( {\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}} ight)$
- D. $\left( { - \frac{\pi }{2};-\frac{\pi }{4}} ight)$
Thay giá trị $x = - \frac{\pi }{2};y = \frac{\pi }{4}$ vào hàm số ta có:
$\cos \left( { - \frac{\pi }{2}} ight) - \frac{\pi }{4} =- \frac{\pi }{4}$
Vậy điểm thuộc đồ thị hàm số là: $y = \cos x - \frac{\pi }{4}$
Câu 41: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Cho dãy số $\left( u_{n} \right)$ với $u_{n} = an^{2} + n - 1$ với $a\mathbb{\in R}$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Với $a = 1$ , giới hạn của dãy số đã cho là $1$ . Sai|||Đúng

b) Với $a = 2$ , giới hạn của dãy số đã cho là $+ \infty$ .Đúng||Sai

c) Với $a = - \frac{5}{2}$ , giới hạn của dãy số đã cho là $- \infty$ .Đúng||Sai

d) Với $a \leq 0$ , giới hạn của dãy số đã cho là $- \infty$ . Sai|||Đúng

Đáp án là:

Cho dãy số $\left( u_{n} \right)$ với $u_{n} = an^{2} + n - 1$ với $a\mathbb{\in R}$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Với $a = 1$ , giới hạn của dãy số đã cho là $1$ . Sai|||Đúng

b) Với $a = 2$ , giới hạn của dãy số đã cho là $+ \infty$ .Đúng||Sai

c) Với $a = - \frac{5}{2}$ , giới hạn của dãy số đã cho là $- \infty$ .Đúng||Sai

d) Với $a \leq 0$ , giới hạn của dãy số đã cho là $- \infty$ . Sai|||Đúng

a) Sai: Với $a = 1$ , $u_{n} = n^{2} + n - 1$ .

Ta có: $\lim\left( n^{2} + n - 1 \right) = \lim\ \ n^{2}\left( 1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n^{2}} \right) = + \infty$ .

b) Đúng: Với $a = 2$ , $u_{n} = 2n^{2} + n - 1$ .

Ta có: $\lim\left( 2n^{2} + n - 1 \right) = \lim\ \ n^{2}\left( 2 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n^{2}} \right) = + \infty$ .

c) Đúng: Với $a = - \frac{5}{2}$ , $u_{n} = - \frac{5}{2}n^{2} + n - 1$ .

Ta có: $\lim\left( - \frac{5}{2}n^{2} + n - 1 \right) = \lim\ \ n^{2}\left( - \frac{5}{2} + \frac{1}{n} - \frac{1}{n^{2}} \right) = - \infty$ .

d) Sai: Với $a < 0$ . Ta có: $\lim\left( an^{2} + n - 1 \right) = \lim\ \ n^{2}\left( a + \frac{1}{n} - \frac{1}{n^{2}} \right) = - \infty$ .

Với $a = 0$ , $u_{n} = n - 1$ . Ta có: $\lim(n - 1) = \lim\ \ n\left( 1 - \frac{1}{n} \right) = + \infty$ .
Câu 42: Thông hiểu
Xác định số kết luận đúng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Giả sử $G,G'$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $SAB;SCD$ . Cho các khẳng định sau:

i) $GG'//(SBC)$

ii) $GG'//(SAD)$

iii) $GG'//(SAC)$

iv) $GG'//(ABD)$

Hỏi có bao nhiêu khẳng định đúng?
- A.
  $1$
- B.
  $2$
- C.
  $3$
- D.
  $4$
Hình vẽ minh họa

Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của AB và CD

Do $G,G'$ lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB và tam giác SCD nên $\frac{SG}{SM} = \frac{SG'}{SN} = \frac{2}{3} \Rightarrow GG'//MN$

Mà $MN \subset (ABCD) \Rightarrow GG'//(ABCD)$

Ta có: $MN//AD//BC \Rightarrow GG'//AD//BC$

Mà $\left\{ \begin{matrix} BC \subset (SBC) \\ AD \subset (SAD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} GG'//(SBC) \\ GG'//(SAD) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy có 3 khẳng định đúng.
Câu 43: Nhận biết
Tìm công sai d

Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ thỏa mãn $u_{n} = - 1;u_{n + 1} = 8$ . Tính công sai $d$ của cấp số cộng đó:
- A.
  $d = - 9$
- B.
  $d = 7$
- C.
  $d = - 7$
- D.
  $d = 9$
Ta có:

$d = u_{n + 1} - u_{n} = 8 - ( - 1) = 9$
Câu 44: Vận dụng
Phương trình có bao nhiêu nghiệm?

Phương trình $\sin 2x = \frac{1}{2}$ có bao nhiêu nghiệm trên khoảng $\left( {0;\frac{{15\pi }}{2}} ight)$ ?
- A. 18
- B. 16
- C. 14
- D. 12
Ta có: $\sin 2x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin 2x = \sin \frac{\pi }{6}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 2x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \hfill \\ 2x = \pi - \frac{\pi }{6} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi \hfill \\ x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.$ $\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
* Trường hợp 1: $x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi$ , $\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
Vì $0 < x < \frac{{15\pi }}{2} \Leftrightarrow 0 < \frac{\pi }{{12}} + k\pi < \frac{{15\pi }}{2}$
$\Leftrightarrow - \frac{1}{{12}} < k < \frac{{89}}{{12}}\mathop \Rightarrow \limits^{k \in \mathbb{Z}} k = \left\{ {0;1;2;3;4;5;6;7} ight\}$ .
Vậy có tất cả 8 giá trị k tương ứng với trường hợp 1 có 8 nghiệm là:
$x = \frac{\pi }{{12}}$ ; $x = \frac{13\pi }{{12}}$ ; $x = \frac{25\pi }{{12}}$ ; $x = \frac{37\pi }{{12}}$ ; $x = \frac{49\pi }{{12}}$ ; $x = \frac{61\pi }{{12}}$ ; $x = \frac{73\pi }{{12}}$ ; $x = \frac{85\pi }{{12}}$ .
* Trường hợp 2: $x = \frac{5\pi }{{12}} + k\pi$ , $\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
Vì $0 < x < \frac{{15\pi }}{2} \Leftrightarrow 0 < \frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi < \frac{{15\pi }}{2}$
$\Leftrightarrow - \frac{5}{{12}} < k < \frac{{85}}{{12}}\mathop \Rightarrow \limits^{k \in \mathbb{Z}} k = \left\{ {0;1;2;3;4;5;6;7} ight\}$ .
Vậy có tất cả 8 giá trị k tương ứng với trường hợp 2 có 8 nghiệm là:
$x = \frac{5\pi }{{12}}$ ; $x = \frac{17\pi }{{12}}$ ; $x = \frac{29\pi }{{12}}$ ; $x = \frac{41\pi }{{12}}$ ; $x = \frac{53\pi }{{12}}$ ; $x = \frac{65\pi }{{12}}$ ; $x = \frac{77\pi }{{12}}$ ; $x = \frac{89\pi }{{12}}$ .
Vậy trên khoảng $\left( {0;\frac{{15\pi }}{2}} ight)$ phương trình đã cho có tất cả là 16 nghiệm.
Câu 45: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ với $u_{n} = \frac{3}{2}.5^{n}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\left( u_{n} ight)$ không phải là cấp số nhân.
- B.
  $\left( u_{n} ight)$ là cấp số nhân có $u_{1} = \frac{15}{2};q =5$
- C.
  $\left( u_{n} ight)$ là cấp số nhân có $u_{1} = \frac{3}{2};q =5$
- D.
  $\left( u_{n} ight)$ là cấp số nhân có $u_{1} = 3;q =\frac{5}{2}$
Ta có: $u_{n} = \frac{3}{2}.5^{n}$ là cấp số nhân có $u_{1} = \frac{15}{2};q =5$ .

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 2 Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Xem đáp án Làm lại

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

27 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 2

Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/45

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 Chân trời sáng tạo
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân
Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số ghép số liệu nhóm
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Đạo hàm
Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 9: Xác suất

Lớp 11
Khóa học Lớp 11
Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 7
Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 6
Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4
Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4 Đề 2
Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 4
Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 5

Xem thêm

Khoảng dữ liệu	Tần số
[0; 20)	16
[20; 40)	x
[40; 60)	25
[60; 80)	y
[80; 100)	12
[100; 120)	10
Tổng	N = 90

Dữ liệu đại diện	Tần số	Tích các số liệu
10	16	160
30	x	30x
50	25	1250
70	y	70y
90	12	1080
110	10	1100
Tổng	63 + x + y	3590 + 30x + 70y

Kích thước (gram)	[410; 420)	[420; 430)	[430; 440)	[440; 450)	[450; 460)	[460; 470)	[470; 480)
Số lượng táo	14	20	42	54	45	18	7

Kích thước (gram)	Số lượng táo	Tần số tích lũy
[410; 420)	14	14
[420; 430)	20	34
[430; 440)	42	76
[440; 450)	54	130
[450; 460)	45	175
[460; 470)	18	193
[470; 480)	7	200
Tổng	N = 200

Đối tượng	Tần số
[150; 155)	15
[155; 160)	10
[160; 165)	40
[165; 170)	27
[170; 175)	5
[175; 180)	3
Tổng	N = 100

Khoảng thời gian học (phút)	[10; 20)	[20; 30)	[30; 40)	[40; 50)	[50; 60)	[60; 70)	[70; 80)
Tần số	2	3	14	8	3	8	2

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 2

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 7

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 6

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4 Đề 2

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 4

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 5