VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 2

Mô tả thêm:

Mời các bạn học cùng thử sức với Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo nha!

Thời gian làm: 90 phút
Số câu hỏi: 45 câu
Số điểm tối đa: 45 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài Rủ bạn học

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Thông hiểu
Xác định kết luận đúng nhất

Kết quả đo chiều cao một nhóm các học sinh nam lớp 11 được thống kê như sau:
160
161
161
162
162
162
163
163
163
164
164
164
164
165
165
165
165
165
166
166
166
166
167
167
168
168
168
168
169
169
170
171
171
172
172
174
Khi chuyển mẫu dữ liệu trên sang mẫu dữ liệu ghép nhóm gồm 5 nhóm số liệu theo các nửa khoảng có độ dài bằng nhau ta được các nhóm là:
- A.
  $\lbrack 160;163),\lbrack163;165),\lbrack 165;170),$ $\lbrack 170;172),\lbrack172;175)$
- B.
  $\lbrack 160;165),\lbrack165;168),\lbrack 168;170),$ $\lbrack 170;172),\lbrack172;175)$
- C.
  $\lbrack 160;163),\lbrack163;166),\lbrack 166;169),$ $\lbrack 169;172),\lbrack172;175)$
- D.
  $\lbrack 160;165),\lbrack163;166),\lbrack 165;170),$ $\lbrack 170;172),\lbrack172;175)$
Ta có:
Khoảng biến thiên là $174 - 160 =14$
Để chia số liệu thành 5 nhóm theo các nửa khoảng có độ dài bằng nhau, ta chia các nhóm có độ dài bằng 3
Ta sẽ chọn đầu mút phải của nhóm cuối cùng là 175.
Khi đó ta có các nhóm là: $\lbrack160;163),\lbrack 163;166),\lbrack 166;169),$ $\lbrack 169;172),\lbrack172;175)$
Câu 2: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Xét tính liên tục của hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} 1 - \cos x\ \ \ khi\ x \leq 0 \\ \sqrt{x + 1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x > 0 \\ \end{matrix} ight.$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $f(x)$ liên tục tại $x = 0$
- B.
  $f(x)$ liên tục trên $( - \infty;1)$
- C.
  $f(x)$ không liên tục trên $\mathbb{R}$
- D.
  $f(x)$ gián đoạn tại $x = 1$
Hàm số xác định với mọi $x\mathbb{\in R}$

Ta có: $f(x)$ liên tục trên $( - \infty;0)$ và $(0; + \infty)$

Mặt khác

$f(0) = 1$

$\lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{+}}\sqrt{x + 1} = 1$

$\lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{-}}\left( 1 - \cos x ight) = 0$

Vậy hàm số gián đoạn tại x = 1
Câu 3: Vận dụng cao
Tìm giá trị nguyên của hàm số

Hàm số $y = \sin\left( x + \frac{\pi}{3}ight) - \sin x$ có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?
- A.
  1
- B.
  2
- C.
  3
- D.
  4
Áp dụng công thức $\sin a - \sin b =2cos\frac{a + b}{2}\sin\frac{a - b}{2}$
Ta có
$\sin\left( x + \frac{\pi}{3} ight) -\sin x = 2cos\left( x + \frac{\pi}{6} ight)\sin\frac{\pi}{6} =\cos\left( x + \frac{\pi}{6} ight).$
Ta có $- 1 \leq \cos\left( x +\frac{\pi}{6} ight) \leq 1 ightarrow - 1 \leq y \leq1\overset{y\mathbb{\in Z}}{ightarrow}y \in \left\{ - 1;0;1ight\}.$
Câu 4: Nhận biết
Tìm hình chiếu của đường thẳng d

Giả sử đường thẳng $d$ cắt mặt phẳng chiếu $(\alpha)$ tại điểm $H$ thì hình chiếu song song của $d$ trên mặt phẳng $(\alpha)$ là:
- A.
  Điểm $H$ .
- B.
  Trùng với phương chiếu.
- C.
  Đường thẳng đi qua điểm $H$ .
- D.
  Đường thẳng đi qua $H$ hoặc chính $H$ .
Nếu phương chiếu song song hoặc trùng với đường thẳng $d$ thì hình chiếu là điểm $H$ .

Nếu phương chiếu không song song hoặc không trùng với đường thẳng $d$ thì hình chiếu là đường thẳng đi qua điểm $H$ .
Câu 5: Vận dụng
Tìm hình xác định bởi các giao tuyến

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ và điểm $M$ nằm giữa $A$ và $B$ . Giả sử $(P)$ là mặt phẳng đi qua $M$ và song song với mặt phẳng $(AB'D')$ . Xác định các giao tuyến của mặt phẳng $(P)$ tạo với các mặt của hình hộp. Hình xác định bởi các giao tuyến đó là hình gì?
- A.
  Hình ngũ giác
- B.
  Hình lục giác
- C.
  Hình tam giác
- D.
  Hình tứ giác
Hình vẽ minh họa

Nhận thấy $(BC’D) // (AB’D’)$

$=> (BC’D) // (AB’D’) // (P). (1)$

Do (1), ta giả sử (P) cắt BB’ tại N, suy ra $(P) ∩ (ABB’A’) ≡ MN$ , kết hợp với $(AB’D’) ∩ (ABB’A’) ≡ AB’$ suy ra $MN // AB’$ , suy ra N thuộc cạnh BB’.

Tương tự, giả sử $(P) ∩ (B’C’) ≡ P$ suy ra $(P) ∩ (BCC’B’) ≡ NP$ .

Kết hợp với (1) suy ra $NP // BC’$

Tương tự, $(P) ∩ (C’D’) ≡ Q$ sao cho $PQ // B’D’$ ; $(P) ∩ DD’≡ G$ sao cho $QG // C’D$ ; $(P) ∩ AD ≡ H$ sao cho $GH // AD’$ .

Từ đó suy ra thiết diện là lục giác $MNPQGH$ .
Câu 6: Nhận biết
Tính giá trị biểu thức

Biết bốn số $5;x;15;y$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị của biểu thức $3x + 2y$ bằng
- A.
  $50$
- B.
  $70$
- C.
  $30$
- D.
  $62$
Ta có:
$x = \frac{5 + 15}{2} = 10 \Rightarrow y= 20$
$\Rightarrow 3x + 2y = 70$
Câu 7: Thông hiểu
Chọn mệnh đề sai

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ , $M \in SC,SM = MC$ . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
- A.
  $OM//(SAB)$
- B.
  $OM//(SBD)$
- C.
  $OM//(SAD)$
- D.
  $(BDM) \cap (SAC) = OM$
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$OM//SA \Rightarrow OM//(SAB)$

$OM//SA \Rightarrow OM//(SAD)$

$(BDM) \cap (SAC) = OM$

$OM//(SBD)$ là đáp án sai.
Câu 8: Thông hiểu
Tìm chu kì T của hàm số y = f(x)

Tìm chu kì T của hàm số $y = \cos 2x + \sin \frac{x}{2}$
- A. $T = 4\pi$
- B. $T = \pi$
- C. $T = 2\pi$
- D. $T = \frac{\pi }{2}$
Hàm số $y = \cos 2x$ tuần hoàn với chu kì ${T_1} = \frac{{2\pi }}{2} = \pi$
Hàm số $y = \sin \frac{x}{2}$ tuần hoàn với chu kì ${T_2} = \frac{{2\pi }}{{\dfrac{1}{2}}} = 4\pi$
Suy ra hàm số $y = \cos 2x + \sin \frac{x}{2}$ tuần hoàn với chu kì $T = 4\pi$
Câu 9: Nhận biết
Tính giới hạn

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{{x^3} + 1}}{{{x^2} + x}}$ bằng:
- A.
  -3
- B.
  -1
- C.
  0
- D.
  1
Ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{{x^3} + 1}}{{{x^2} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{\left( {x + 1} ight)\left( {{x^2} - x + 1} ight)}}{{x\left( {x + 1} ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{{x^2} - x + 1}}{x} = - 3 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 10: Vận dụng
Tìm khẳng định đúng

Cho tam giác $ABC$ có các góc $\widehat{A};\widehat{B};\widehat{C}$ thỏa mãn biểu thức $\sin\frac{\widehat{A}}{2}.cos^{3}\frac{\widehat{B}}{2} - \sin\frac{\widehat{B}}{2}.cos^{3}\frac{\widehat{A}}{2} = 0$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  Tam giác $ABC$ đều
- B.
  Tam giác $ABC$ cân
- C.
  Tam giác $ABC$ vuông
- D.
  Tam giác $ABC$ vuông cân
Ta có:

$\sin\frac{\widehat{A}}{2}.\cos^{3}\frac{\widehat{B}}{2}- \sin\frac{\widehat{B}}{2}.\cos^{3}\frac{\widehat{A}}{2} =0$

$\Leftrightarrow\dfrac{\sin\dfrac{\widehat{A}}{2}}{\cos^{3}\dfrac{\widehat{A}}{2}} =\dfrac{\sin\dfrac{\widehat{B}}{2}}{\cos^{3}\dfrac{\widehat{B}}{2}}$

$\Leftrightarrow\tan\frac{\widehat{A}}{2}\left( 1 + \tan^{2}\frac{\widehat{A}}{2} ight)= \tan\frac{\widehat{B}}{2}.\left( 1 + \tan^{2}\frac{\widehat{B}}{2}ight)$

$\Leftrightarrow \tan\frac{\widehat{A}}{2} = \tan\frac{\widehat{B}}{2} \Leftrightarrow \frac{\widehat{A}}{2} = \frac{\widehat{B}}{2} \Leftrightarrow \widehat{A} = \widehat{B}$

Vậy tam giác $ABC$ cân.
Câu 11: Nhận biết
Tính giới hạn dãy số

Giới hạn $L = \lim\frac{3n - 1}{n + 2}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  0
- C.
  1
- D.
  3
Sử dụng máy tính cầm tay ta được:

$L = \lim\frac{3n - 1}{n + 2} = 3$
Câu 12: Thông hiểu
Tính số tuổi trung bình

Tính số tuổi trung bình của những người trong khu vực thể hiện dưới bảng số liệu sau đây:
Nhóm tuổi
Số lượng người
[0; 10)
6
[10; 20)
12
[20; 30)
10
[30; 40)
32
[40; 50)
22
[50; 60)
18
[60; 70)
15
[70; 80)
5
[80; 90)
4
[90; 100)
3
- A.
  $31$
- B.
  $28$
- C.
  $35$
- D.
  $44$
Trong mỗi nhóm tuổi, giá trị đại diện là trung bình cộng của giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau:
Nhóm tuổi
Số lượng người
5
6
15
12
25
10
35
32
45
22
55
18
65
15
75
5
85
4
95
3

N = 127
Tuổi trung bình là:
$\overline{x} = \frac{5.6 + 15.12 + 25.10+ 35.32 + 45.22 + 55.18 + 65.15 + 75.5 + 85.4 + 95.3}{127}$
$\overline{x} = \frac{5535}{127} \approx44$
Câu 13: Nhận biết
Chọn phát biểu đúng

Trong phát biểu sau đây, phát biểu nào đúng?
- A.
  Hình chóp có tất cả các mặt là hình tam giác
- B.
  Tất cả các mặt bên của hình chóp là hình tam giác
- C.
  Tồn tại một mặt bên của hình chóp không phải là hình tam giác
- D.
  Số cạnh bên của hình chóp bằng số mặt của nó
Phương án "Hình chóp có tất cả các mặt là hình tam giác" sai vì mặt đáy có thể không là tam giác.
Phương án "Tất cả các mặt bên của hình chóp là hình tam giác" đúng vì theo định nghĩa
Phương án "Tồn tại một mặt bên của hình chóp không phải là hình tam giác" sai vì theo định nghĩa mặt bên của hình chóp luôn là tam giác
Phương án "Số cạnh bên của hình chóp bằng số mặt của nó" sai vì số cạnh bên bằng số mặt bên trong khi các mặt hình chóp gồm các mặt bên và mặt đáy.
Có thể giải thích "Số cạnh bên của hình chóp bằng số mặt của nó" sai vì xét với hình chóp tam giác số cạnh bên bằng 3 nhưng số mặt bằng 4.
Câu 14: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Một cái hồ chứa 600 lít nước ngọt. Người ta bơm nước biển có nồng độ muối 30 gam/lít vào hồ với tốc độ 15 lít/phút. Nồng độ muối trong hồ dần về bao nhiêu gam/lít khi $t$ dần về dương vô cùng?

Đáp án: 30

Đáp án là:

Một cái hồ chứa 600 lít nước ngọt. Người ta bơm nước biển có nồng độ muối 30 gam/lít vào hồ với tốc độ 15 lít/phút. Nồng độ muối trong hồ dần về bao nhiêu gam/lít khi $t$ dần về dương vô cùng?

Đáp án: 30

Sau $t$ phút bơm nước vào hồ thì lượng nước là $600 + 15t$ (lít) và lượng muối có được là $30.15t$ (gam).

Nồng độ muối của nước là

$C(t) = \frac{30.15t}{600 + 15t} = \frac{30t}{40 + t}$ (gam/lít).

Khi $t$ dần về dương vô cùng, ta có

$\lim_{t ightarrow + \infty}C(t) = \lim_{t ightarrow + \infty}\frac{30t}{40 + t} = \lim_{t ightarrow + \infty}\frac{30t}{t\left( \frac{40}{t} + 1 ight)}$

$= \lim_{t ightarrow + \infty}\frac{30}{\frac{40}{t} + 1} = 30\ (gam/lít).$
Câu 15: Nhận biết
Tìm câu sai

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
- A.
  $\cos(a + b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b$ .
- B.
  $\sin a\cos b = \frac{1}{2}\left\lbrack \sin(a + b) + \sin(a - b) ightbrack$ .
- C.
  $\sin a + \sin b = 2sin\frac{a + b}{2}\cos\frac{a - b}{2}$ .
- D.
  $cos2a = 2cos^{2}a - 1$ .
Ta có $\cos(a + b) = \cos a.cosb - \sin a.sinb$ .
Câu 16: Thông hiểu
Tìm giá trị thực của tham số m

Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{3} - x^{2} + 2x - 2}{x - 1}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x eq 1 \\3x + m\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight.$ liên tục tại $x = 1$ .
- A.
  $m = 0$
- B.
  $m = 6$
- C.
  $m = 4$
- D.
  $m = 2$
Ta có:

$f(1) = m + 3$

$\lim_{x ightarrow 1}f(x) = \lim_{xightarrow 1}\frac{x^{3} - x^{2} + 2x - 2}{x - 1}$

$= \lim_{x ightarrow1}\frac{(x - 1)\left( x^{2} + 2 ight)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow1}\left( x^{2} + 2 ight) = 3$

Hàm số $f(x)$ liên tục tại $x = 1$

$= > m + 3 = 3 = > m = 0$
Câu 17: Vận dụng
Thời gian bác Hoa trả hết tiền

Bác Hoa mua nhà trị giá 900 triệu đồng theo phương thức trả góp. Nếu cuối mỗi tháng bắt đầu từ tháng thứ nhất bác Hoa trả 8 000 000 và chịu lãi số tiền chưa trả là 0,6% mỗi tháng thì sau bao lâu bác Hoa trả hết số tiền trên?
- A.
  $190$ tháng
- B.
  $192$ tháng
- C.
  $187$ tháng
- D.
  $188$ tháng
Ta có:

$8000000 = \frac{900.10^{6}.0,006.1,006^{n}}{1,006^{n} - 1}$

$\Leftrightarrow 1,006^{n} = 3,077$

$\Leftrightarrow n \approx 187,887$

Vậy sau khoảng 188 tháng thì bác Hoa sẽ trả hết số tiền đó.
Câu 18: Thông hiểu
Chọn đáp án thích hợp

Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:
Đối tượng
Tần số
[150; 155)
15
[155; 160)
10
[160; 165)
40
[165; 170)
27
[170; 175)
5
[175; 180)
3
Tổng
N = 100
Mốt của mẫu số liệu gần với giá trị nào nhất trong các giá trị dưới đây?
- A.
  165
- B.
  164
- C.
  166
- D.
  167
Mốt của mẫu số liệu thuộc nhóm [160; 165).
Đối tượng
Tần số

[150; 155)
15

[155; 160)
10
$f_{0}$
[160; 165)
40
$f_{1}$
[165; 170)
27
$f_{2}$
[170; 175)
5

[175; 180)
3

Tổng
N = 100

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}l = 160;f_{0} = 10;f_{1} = 40;f_{2} = 27 \\c = 165 - 160 = 5 \\\end{matrix} ight.$
Khi đó ta tính mốt như sau:
$M_{0} = l + \frac{f_{1} - f_{0}}{2f_{1}- f_{0} - f_{2}}.c$
$\Rightarrow M_{0} = 160 + \frac{40 -10}{2.40 - 10 - 27}.5 \approx 163,5$
Vậy mốt của mẫu số liệu gần với giá trị 164 nhất.
Câu 19: Thông hiểu
Dãy số nào dưới đây có giới hạn bằng 0

Dãy số nào dưới đây có giới hạn bằng 0?
- A.
  $(0,999)^{n}$
- B.
  $(-1,01)^{n}$
- C.
  $(1,01)^{n}$
- D.
  $(-2,001)^{n}$
Ta có: $\lim {(0,999)^n} = 0$
Do $(0,999)^{n}$ là dãy cấp số nhân có $\left| q ight| < 1$
Câu 20: Nhận biết
Tìm nhóm chứa tứ phân vị thứ ba

Thực hiện khảo sát chi phí thanh toán cước điện thoại trong 1 tháng của cư dân trong một chung cư thu được kết quả ghi trong bảng sau:
Số tiền (nghìn đồng)
Số người
[0; 50)
5
[50; 100)
12
[100; 150)
23
[150; 200)
17
[200; 250)
3
Giá trị tứ phân vị thứ ba thuộc nhóm số liệu nào?
- A.
  [200; 250)
- B.
  [150; 200)
- C.
  [100; 150)
- D.
  [50; 100)
Ta có:
Số tiền (nghìn đồng)
Số người
Tần số tích lũy
[0; 50)
5
5
[50; 100)
12
17
[100; 150)
23
40
[150; 200)
17
57
[200; 250)
3
60

N = 60

Cỡ mẫu là: $N = 60 \Rightarrow\frac{3N}{4} = 45$
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [150; 200) (vì 45 nằm giữa hai tần số tích lũy 40 va 57)
Câu 21: Thông hiểu
Tính tỉ lệ độ dài

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có $M$ là trung điểm của $A'D'$ . Gọi mặt phẳng $(\gamma)$ đi qua $M$ và song song với $AC,BB'$ . Giả sử $BC \cap (\gamma) = \left\{ T ight\}$ . Tỉ lệ độ dài của $TB$ và $TC$ là:
- A.
  $\frac{TB}{TC} = \frac{1}{2}$
- B.
  $\frac{TB}{TC} = 3$
- C.
  $\frac{TB}{TC} = \frac{1}{4}$
- D.
  $\frac{TB}{TC} = 2$
Hình vẽ minh họa:

Gọi trung điểm của $AD,DC,D'C'$ lần lượt là $N,P,E$ .

Dễ thấy $(MNPE) \in (\gamma)$

Xét mặt phẳng $(ABCD)$ , gọi $BC \cap NP = T$

Xét tam giác $\Delta NDP$ và tam giác $\Delta PCT$ ta có:

$\widehat{DPN} = \widehat{TPC}$ (đối đỉnh)

$DP = PC$

$\widehat{NDP} = \widehat{PCT}$ (so le trong)

$\Rightarrow \Delta NDP\sim\Delta PCT$

$\Rightarrow DN = TC = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}BC$

Vậy $TB = 3TC$ hay $\frac{TB}{TC} = 3$
Câu 22: Nhận biết
Điểm thuộc đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số $y = \cos x - \frac{\pi }{4}$ đi qua điểm nào sau đây?
- A. $\left( {0;\frac{\pi }{4}} ight)$
- B. $\left( { - \frac{\pi }{4};0} ight)$
- C. $\left( {\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}} ight)$
- D. $\left( { - \frac{\pi }{2};-\frac{\pi }{4}} ight)$
Thay giá trị $x = - \frac{\pi }{2};y = \frac{\pi }{4}$ vào hàm số ta có:
$\cos \left( { - \frac{\pi }{2}} ight) - \frac{\pi }{4} =- \frac{\pi }{4}$
Vậy điểm thuộc đồ thị hàm số là: $y = \cos x - \frac{\pi }{4}$
Câu 23: Nhận biết
Tìm mệnh đề sai

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
- A.
  Đường thẳng d song song với mặt phẳng (α) khi và chỉ khi d và (α) không có điểm chung.
- B.
  Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (α) khi và chỉ khi d và (α) có từ hai điểm chung trở lên.
- C.
  Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung.
- D.
  Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy song song với nhau.
Ta có:

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy song song với nhau hoặc đồng quy tại một điểm.

=> Phương án “Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy song song với nhau” là khẳng định sai.
Câu 24: Thông hiểu
Giải phương trình lượng giác

Tìm tập nghiệm của phương trình $\frac{2cosx + \sqrt{2}}{\sqrt{2}\sin x + 1} = 0$ ?
- A.
  $S = \left\{ \frac{\pi}{4} + k\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}$
- B.
  $S = \left\{ - \frac{3\pi}{4} + k2\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}$
- C.
  $S = \left\{ \frac{3\pi}{4} + k2\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}$
- D.
  $S = \left\{ \pm \frac{\pi}{4} + k2\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}$
Điều kiện: $\sqrt{2}\sin x + 1 eq 0 \Leftrightarrow \sin x eq - \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x eq - \dfrac{\pi}{4} + k2\pi \\x eq \dfrac{5\pi}{4} + k2\pi \\\end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Ta có:

$\frac{2\cos x + \sqrt{2}}{\sqrt{2}\sin x +1} = 0$

$\Leftrightarrow 2cosx + \sqrt{2} = 0 \Leftrightarrow \cos x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow \cos x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x = \dfrac{3\pi}{4} + k2\pi \\x = - \dfrac{3\pi}{4} + k2\pi \\\end{matrix} ight.\ \left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Kết hợp với điều kiện suy ra phương trình có nghiệm $x = \frac{3\pi}{4} + k2\pi;k\mathbb{\in Z}$

Vậy phương trình có tập nghiệm là: $S = \left\{ \frac{3\pi}{4} + k2\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}$
Câu 25: Nhận biết
Xác định độ dài nhóm

Nếu [0; 5), [5; 10); [10; 15), … là các nhóm số liệu của mẫu dữ liệu ghép nhóm thì độ dài của nhóm là:
- A.
  $4$
- B.
  $5$
- C.
  $3$
- D.
  $3,5$
Độ dài của nhóm là 4
Câu 26: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Trên các cạnh $AA'$ , $BB'$ , $CC'$ lần lượt lấy ba điểm $M$ , $N$ , $P$ sao cho $\frac{A'M}{AA'} = \frac{1}{3}$ , $\frac{B'N}{BB'} = \frac{2}{3}$ , $\frac{C'P}{CC'} = \frac{1}{2}$ . Biết mặt phẳng $(MNP)$ cắt cạnh $DD'$ tại $Q$ . Tính tỉ số $\frac{D'Q}{DD'}$ .

Đáp án: 1/6 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b).

Đáp án là:

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Trên các cạnh $AA'$ , $BB'$ , $CC'$ lần lượt lấy ba điểm $M$ , $N$ , $P$ sao cho $\frac{A'M}{AA'} = \frac{1}{3}$ , $\frac{B'N}{BB'} = \frac{2}{3}$ , $\frac{C'P}{CC'} = \frac{1}{2}$ . Biết mặt phẳng $(MNP)$ cắt cạnh $DD'$ tại $Q$ . Tính tỉ số $\frac{D'Q}{DD'}$ .

Đáp án: 1/6 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b).

Hình vẽ minh họa

Ta có $\left\{ \begin{matrix} (BB'C'C)\ //\ (AA'D'D) \\ (MNP) \cap (BB'C'C) = NP \\ (MNP) \cap (AA'D'D) = MQ \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow NP\ //\ MQ$ .

Tương tự: $\left\{ \begin{matrix} (AA'B'B)\ //\ (CC'D'D) \\ (MNP) \cap (AA'B'B) = MN \\ (MNP) \cap (CC'D'D) = PQ \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow MN\ //\ PQ$

Suy ra mặt phẳng $(MNP)$ cắt hình hộp theo thiết diện là hình bình hành $MNPQ$ .

Mặt khác $\left\{ \begin{matrix} BN = \frac{1}{3}BB' = \frac{1}{3}AA' \\ AM = \frac{2}{3}AA' \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \frac{BN}{AM} = \frac{1}{2}$ .

Trong mặt phẳng $(ABB'A')$ , gọi $E$ là giao điểm của hai đường thẳng $MN$ và $AB$ thì $BN$ là đường trung bình của tam giác $AME \Rightarrow N$ là trung điểm của đoạn thẳng $ME$ .

Trong mặt phẳng $(MNPQ)$ , gọi $F$ là giao điểm của $EP$ và $MQ$ thì $NP$ là đường trung bình của tam giác $MEF$ (vì $NP\ //\ MQ$ và $N$ là trung điểm $EM$ ) $\Rightarrow NP = \frac{1}{2}MF$

Mà tứ giác $MNPQ$ là hình bình hành nên $NP = MQ \Rightarrow Q$ là trung điểm $MF$ hay $\frac{FQ}{FM} = \frac{1}{2}$

Lại có $D'Q\ //\ A'M \Rightarrow \frac{D'Q}{A'M} = \frac{FQ}{FM} = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow\dfrac{D'Q}{\dfrac{1}{3}AA'} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow\dfrac{D'Q}{DD'} = \frac{1}{2}.\dfrac{1}{3} =\dfrac{1}{6}$
Câu 27: Vận dụng cao
Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua tâm của hình lập phương và song song với $(ABC)$ . Xác định các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ và tứ diện $AB'CD'$ . Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?
- A.
  $\frac{a^{2}}{3}$
- B.
  $\frac{2a^{2}}{3}$
- C.
  $\frac{a^{2}}{2}$
- D.
  $\frac{3a^{2}}{4}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi I là tâm của hình lập phương

=> I là trung điểm của AC’.

Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

Khi đó $\left\{ \begin{matrix}MN = QP = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\NP = MQ = \dfrac{1}{2}B'D' = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\\end{matrix} ight.$

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ và tứ diện $AB'CD'$ là hình thoi MNPQ cạnh bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Mặt khác $NQ = MP = BC = a$

Diện tích hình thoi MNPQ là $S = \frac{1}{2}NQ.MP = \frac{a^{2}}{2}$
Câu 28: Vận dụng cao
Tính giá trị biểu thức P

Nếu $\tan\alpha$ và $\tan\beta$ là hai nghiệm của phương trình $x^{2} - px + q = 0;(p.q eq 0)$ và $\cot\alpha$ và $\cot\beta$ là hai nghiệm của phương trình $x^{2} - rx + s = 0$ thì tích $P = r.s$ bằng:
- A.
  $pq$
- B.
  $\frac{p}{q^{2}}$
- C.
  $\frac{1}{pq}$
- D.
  $\frac{q}{p^{2}}$
Ta có: $\tan\alpha$ và $\tan\beta$ là hai nghiệm của phương trình $x^{2} - px + q = 0;(p.q eq 0)$ nên theo định lí Vi – ét ta có: $\left\{\begin{matrix}\tan\alpha + \tan\beta = p \\\tan\alpha.\tan\beta = q \\\end{matrix} ight.$

$\cot\alpha$ và $\cot\beta$ là hai nghiệm của phương trình $x^{2} - rx + s = 0$ nên theo định lí Vi – ét ta có: $\left\{ \begin{matrix}\cot\alpha + \cot\beta = r \\\cot\alpha\cot\beta = s \\\end{matrix} ight.$

Khi đó:

$P = r.s$

$P = \left( \cot\alpha + \cot\betaight).\cot\alpha.\cot\beta$

$P = \left( \frac{1}{\tan\alpha} + \frac{1}{\tan\beta} ight).\frac{1}{\tan\alpha}.\frac{1}{\tan\beta}$

$P = \frac{\tan\alpha +\tan\beta}{\tan\alpha.\tan\beta} = \frac{p}{q^{2}}$
Câu 29: Vận dụng cao
Mệnh đề đúng?

Cho dãy số (u_n) biết $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = \frac{1}{2}u_{n} - 1 \\ \end{matrix} ight.$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  Dãy số (u_n) bị chặn
- B.
  Dãy số (u_n) bị chặn trên
- C.
  Dãy số (u_n) bị chặn dưới
- D.
  Dãy số (u_n) không bị chặn
Ta xét dãy số này bị chặn bằng phương pháp quy nạp toán học.

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp − 2 ≤ u_n ≤ 1, ∀n ∈ ℕ^*

Với n = 1 ta có − 2 ≤ u₁ ≤ 1 (đúng).

Giả sử mệnh đề trên đúng với n = k ≥ 1. Tức là − 2 ≤ u_k ≤ 1

$\Rightarrow - 1 \leq \frac{1}{2}u_{k} \leq \frac{1}{2} \Rightarrow - 2 \leq \frac{1}{2}u_{k} - 1 \leq - \frac{1}{2} \Rightarrow - 2 \leq u_{k + 1} \leq 1$

Theo nguyên lí quy nạp ta đã chứng minh được − 2 ≤ u_n ≤ 1, ∀n ∈ ℕ^*

Vậy (u_n) là dãy số bị chặn.
Câu 30: Vận dụng
Chọn kết quả đúng?

Chọn kết quả đúng của giới hạn $\lim\sqrt{3 + \frac{n^{2} - 1}{3 + n^{2}} - \frac{1}{2^{n}}}$ ?
- A.
  4
- B.
  3
- C.
  2
- D.
  $\frac{1}{2}$
$\lim\sqrt{3 + \frac{n^{2} - 1}{3 + n^{2}} - \frac{1}{2^{n}}}$

$= \lim\sqrt{3 + \frac{1 - \frac{1}{n^{2}}}{\frac{3}{n^{2}} + 1} - \frac{1}{2^{n}}}$

$= \sqrt{3 + \frac{1}{1} - 0} = 2$
Câu 31: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $M$ , $N$ lần lượt là các điểm thuộc cạnh $SB$ và đoạn $AC$ sao cho $\frac{BM}{MS} = x$ và $\frac{NC}{NA} = y$ , $(0 < x,\ \ y eq 1)$ . Tìm tỷ số $\frac{x}{y}$ để $MN//(SAD)$ .

Đáp án: 1

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $M$ , $N$ lần lượt là các điểm thuộc cạnh $SB$ và đoạn $AC$ sao cho $\frac{BM}{MS} = x$ và $\frac{NC}{NA} = y$ , $(0 < x,\ \ y eq 1)$ . Tìm tỷ số $\frac{x}{y}$ để $MN//(SAD)$ .

Đáp án: 1

Hình vẽ minh họa

Trong mặt phẳng $(ABCD)$ giả sử $BN$ và $AD$ cắt nhau tại điểm $K$ .

Dễ thấy $SK = (BMN) \cap (SAD)$ .

Do đó : $MN//(SAD)$ $\Leftrightarrow MN//SK$ $\Leftrightarrow \frac{BM}{MS} = \frac{BN}{NK}$ (1)

Mặt khác tam giác $NCB$ đồng dạng với tam giác $NAK$ $\Rightarrow \frac{BN}{NK} = \frac{CN}{NA}$ (2).

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \frac{BM}{MS} = \frac{NC}{NA}$ $\Leftrightarrow x = y$ .

Vậy $MN//(SAD)$ $\Leftrightarrow x = y$ . Khi đó $\frac{x}{y} = 1$
Câu 32: Thông hiểu
Xác định giới hạn

Xác định $\lim_{x ightarrow + \infty}\left( \sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 3} ight)$
- A.
  $0$
- B.
  $2$
- C.
  $- \infty$
- D.
  $+ \infty$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow + \infty}\left( \sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 3} ight)$

$= \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{\left( \sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 3} ight)\left( \sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 3} ight)}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 3}}$

$= \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{x + 1 - (x - 3)}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 3}}$

$= \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{4}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 3}}$

$= \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{4}{\sqrt{x}\left( \sqrt{1 + \dfrac{1}{x}} + \sqrt{1 -\dfrac{3}{x}} ight)} = 0$
Câu 33: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng

Cho tứ diện $ABCD$ , lấy $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $CD$ . Giả sử $d = (MNA) \cap (ABD)$ . Khẳng định nào đúng về đặc điểm của đường thẳng $d$ ?
- A.
  $d$ đi qua $A$ và song song với $BD$
- B.
  $d$ đi qua $A$ và song song với $DM$
- C.
  $d$ đi qua $A$ và song song với $BN$
- D.
  $d$ đi qua $A$ và song song với $BC$
Hình vẽ minh họa

Xét ba mặt phẳng $(AMN),(ABD),(BCD)$

Ba mặt phẳng này đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là $d,BD,MN$ .

Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì $d,BD,MN$ đồng quy hoặc đôi một song song.

Mà $BD//MN$ nên $d//BD$ .

Vậy đường thẳng $d$ đi qua $A$ và song song với $BD$ .

Câu 34: Vận dụng

Khảo sát tính đúng sai của các phát biểu

Kết quả khảo sát cân nặng tất cả học sinh trong lớp 11H được ghi trong bảng sau:

Cân nặng (kg)	Số học sinh
[45; 50)	5
[50; 55)	12
[55; 60)	10
[60; 65)	6
[65; 70)	5
[70; 75)	8

a) Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11H bằng $59,46kg$ . Đúng||Sai

b) $60 \leq M_{e} < 65$ Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất và nhóm chưa tứ phân vị thứ ba lần lượt là: $\lbrack 50;55),\lbrack 65;70)$ Đúng||Sai

d) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gần nhất với 53 kg. Đúng||Sai

Đáp án là:

Kết quả khảo sát cân nặng tất cả học sinh trong lớp 11H được ghi trong bảng sau:

Cân nặng (kg)	Số học sinh
[45; 50)	5
[50; 55)	12
[55; 60)	10
[60; 65)	6
[65; 70)	5
[70; 75)	8

a) Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11H bằng $59,46kg$ . Đúng||Sai

b) $60 \leq M_{e} < 65$ Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất và nhóm chưa tứ phân vị thứ ba lần lượt là: $\lbrack 50;55),\lbrack 65;70)$ Đúng||Sai

d) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gần nhất với 53 kg. Đúng||Sai

Ta có: $N = 46$

Cân nặng (kg)	Giá trị đại diện	Số học sinh
[45; 50)	47,5	5
[50; 55)	52,5	12
[55; 60)	57,5	10
[60; 65)	62,5	6
[65; 70)	67,5	5
[70; 75)	72,5	8

Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11H là:

$\overline{x} = \frac{47,5.5 + 52,5.12 + 57,5.10 + 62,5.6 + 67,5.5 + 72,5.8}{46} \approx 59,46(kg)$

Nhóm chứa mốt là: [50; 55) suy ra $50 \leq M_{e} < 55$ .

Ta có:

$\frac{N}{4} = 11,5$ => Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là: [50; 55)

$\frac{3N}{4} = 34,5$ => Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là: [65; 70)

Cân nặng (kg)	Số học sinh	Tần số tích lũy
[45; 50)	5	5
[50; 55)	12	17
[55; 60)	10	27
[60; 65)	6	33
[65; 70)	5	38
[70; 75)	8	46

$\frac{N}{4} = 11,5$ => Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là: [50; 55)

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}l = 50,\dfrac{N}{4} = 11,5,m = 5,f = 12 \\c = 55 - 50 = 5 \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow Q_{1} = l +\dfrac{\dfrac{N}{4} - m}{f}.c$

$\Rightarrow Q_{1} = 50 + \frac{11,5 - 5}{12}.5 \approx 53$

Câu 35: Vận dụng cao
Tính tổng T

Từ độ cao 55,8m của tháp nghiêng Pisa nước Italia người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng $\frac{1}{10}$ độ cao mà quả bóng đạt trước đó. Tổng độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?
- A.
  $(67m;69m)$
- B.
  $(60m;63m)$
- C.
  $(64m;66m)$
- D.
  $(69m;72m)$
Ta có:

Độ cao của quả bóng sau mỗi lần nảy lên là một cấp số nhân lùi vô hạn (u_n) với u₁ = 55,8m, $q = \frac{1}{10}$

Sau khi nảy lên, qua bóng rơi xuống một quãng đường đúng bằng chiều cao.

Từ đó tổng quãng đường mà quả bóng đã di chuyển là

$\begin{matrix} {u_1} + 2{u_2} + 2{u_3} + .... \hfill \\ = {u_1} + 2{u_1}q + 2{u_1}{q^2} + ... \hfill \\ = {u_1} + \dfrac{{2{u_1}q}}{{1 - q}} = \dfrac{{11}}{9}{u_1} = 68,2m \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy tổng quãng đường quả bóng di chuyển nằm trong khoảng $(67m;69m)$ .
Câu 36: Nhận biết
Khẳng định đúng?

Gọi S là tập nghiệm của phương trình $2\cos x - \sqrt 3 = 0$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A. $\frac{{5\pi }}{6} \in S$
- B. $\frac{{11\pi }}{6} \in S$
- C. $\frac{{13\pi }}{6} \in S$
- D. $-\frac{{13\pi }}{6} \in S$
Ta có $2\cos x - \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \cos x = \cos \frac{\pi }{6}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \hfill \\ x = - \,\frac{\pi }{6} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.{\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
Nhận thấy với nghiệm $x = - \,\frac{\pi }{6} + k2\pi \xrightarrow{{k = 1}}x = \frac{{11\pi }}{6} \in S$ .
Câu 37: Thông hiểu
Tìm các cung có điểm cuối trùng nhau

Cho bốn cung (trên một đường tròn định hướng) $\alpha = - \frac{5\pi}{6};\beta =\frac{\pi}{3};\gamma = \frac{25\pi}{3};\delta =\frac{19\pi}{6}$ các cung nào có điểm cuối trùng nhau?
- A.
  $\beta$ và $\gamma$ ; $\delta$ và $\alpha$
- B.
  $\alpha;\beta;\gamma$
- C.
  $\beta;\gamma;\delta$
- D.
  $\alpha$ và $\beta$ ; $\delta$ và $\gamma$
Ta có:
$\delta - \alpha = \frac{19\pi}{6} +\frac{5\pi}{6} = 4\pi$
=> $\delta$ và $\alpha$ có điểm cuối trùng nhau
$\gamma - \beta = \frac{25\pi}{3} -\frac{\pi}{3} = 8\pi$
=> $\beta$ và $\gamma$ có điểm cuối trùng nhau.
Câu 38: Thông hiểu
Giải phương trình

Phương trình $\cos\frac{\pi}{3} = \cos x$ có nghiệm là:
- A.
  $x = \frac{2\pi}{3} +k2\pi$
- B.
  $x = \pm \frac{\pi}{3} + k\pi$
- C.
  $x = \pm \frac{\pi}{3} +k2\pi$
- D.
  $x = \frac{\pi}{3} +k2\pi$
Ta có:
$\cos\frac{\pi}{3} = \cos x$
$\Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} +k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$
Câu 39: Thông hiểu
Giải phương trình

Xác định nghiệm của phương trình $- \cos2x = \cos\left( x - 30^{0}ight)$ ?
- A.
  $\left\lbrack \begin{matrix} x = 70^{0} + k360^{0} \\ x = 50^{0} + k120^{0} \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$
- B.
  $\left\lbrack \begin{matrix} x = 70^{0} + k120^{0} \\ x = 50^{0} + k120^{0} \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$
- C.
  $\left\lbrack \begin{matrix} x = 70^{0} + k120^{0} \\ x = 150^{0} + k360^{0} \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$
- D.
  $\left\lbrack \begin{matrix} x = 70^{0} + k360^{0} \\ x = 150^{0} + k360^{0} \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$
Ta có:

$- \cos2x = \cos\left( x - 30^{0}ight)$

$\Leftrightarrow \cos\left( 180^{0} - 2x ight) = \cos\left( x - 30^{0} ight)$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x - 30^{0} = 180^{0} - 2x + k360^{0} \\ x - 30^{0} = - 180^{0} + 2x + k360^{0} \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 70^{0} + k120^{0} \\ x = 150^{0} - k360^{0} \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $\left\lbrack \begin{matrix} x = 70^{0} + k120^{0} \\ x = 150^{0} + k360^{0} \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$ .
Câu 40: Thông hiểu
Tính tổng 4 số của cấp số cộng

Xen vào giữa hai số 4 và 40 bốn số để được một cấp số cộng có công sai lớn hơn 3. Tìm tổng 4 số đó.
- A.
  88
- B.
  92
- C.
  128
- D.
  132
Sau khi chèn 4 số vào giữa hai số 4 và 40 thì cấp số cộng đó có 6 số hạng
Nghĩa là coi 4 là số hạng đầu tiên thì 40 là số hạng thứ 6
Theo bài ra ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 4} \\ {{u_6} = 40} \end{array}} ight.$
${u_1} + 5.d = 40$
$\begin{matrix} \Rightarrow 4 + 5.d = 40 \hfill \\ \Rightarrow 5.d = 36 \hfill \\ \Rightarrow d = \dfrac{{36}}{5} \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy công sai của cấp số cộng là $d = \frac{{36}}{5}$
Khi đó 4 số hạng được thêm lần lượt là: $\frac{{56}}{5};\frac{{92}}{5};\frac{{128}}{5};\frac{{164}}{5}$
Tổng bốn số hạng ở trên là: $\frac{{56}}{5} + \frac{{92}}{5} + \frac{{128}}{5} + \frac{{164}}{5} = 88$
Câu 41: Thông hiểu
Tìm các cặp cạnh cắt nhau

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là tứ giác ( $AB$ không song song với $CD$ ), $O = AC \cap BD$ . Lấy $M$ là trung điểm của $SD$ , lấy $N \in SB$ sao cho $SN = 2SB$ . Khi đó các cặp cạnh nào dưới đây cắt nhau?
- A.
  $SO;AD$
- B.
  $MN;SC$
- C.
  $SA,BC$
- D.
  $MN,SO$
Hình vẽ minh hoạ

Các cặp đường thẳng SO và AD, MN và SC, SA và BC là các cặp đường thẳng chéo nhau.

Hai đường thẳng MN và SO nằm trên cùng mặt phẳng và là hai đường thẳng cắt nhau.
Câu 42: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Tập giá trị của hàm số $y = \frac{\sin3x -2\cos3x + 10}{6\cos x\cos2x - 4\cos^{3}x + 3}$ có bao nhiêu số nguyên?
- A.
  12.
- B.
  10.
- C.
  11.
- D.
  13.
Ta có:

$y = \frac{sin3x - 2cos3x + 10}{6cosxcos2x - 4cos^{3}x + 3}$

$= \frac{sin3x - 2cos3x + 10}{3(cos3x + \cos x) - (cos3x + 3cosx) + 3}$

$= \frac{sin3x - 2cos3x + 10}{2cos3x + 3}$

$\Leftrightarrow (2\cos3x + 3)y = \sin3x -2\cos3x + 10$

$\Leftrightarrow (2y + 2)cos3x - sin3x = 10 - 3y$

Điều kiện có nghiệm của phương trình là:

$(2y + 2)^{2} + ( - 1)^{2} \geq (10 - 3y)^{2}$

$\Leftrightarrow 4y^{2} + 8y + 4 + 1 \geq 100 - 60y + 9y^{2}$

$\Leftrightarrow 5y^{2} - 68y + 95 \leq 0$

$\Leftrightarrow \frac{34 - \sqrt{681}}{5} \leq y \leq \frac{34 + \sqrt{681}}{5}.$

Mà $y\mathbb{\in Z}$ nên $y = \{ 2;3;4;\ldots;12\}$ .

Vậy tập giá trị của $y$ có 11 số nguyên.
Câu 43: Nhận biết
Viết bốn số hạng đầu tiên của cấp số nhân

Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ với $u_{1} = - 2;q = - 5$ . Viết bốn số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
- A.
  $- 2;10;50; - 250$
- B.
  $- 2;10; - 50;250$
- C.
  $- 2; - 10; - 50; - 250$
- D.
  $- 2;10;50;250$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2 \\ q = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2 \\ u_{2} = u_{1}q = 10 \\ u_{3} = u_{1}q^{2} = - 50 \\ u_{4} = u_{1}q^{3} = 250 \\ \end{matrix} ight.$
Câu 44: Thông hiểu
Tìm vị trí số hạng đã cho

Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ có $u_{1} = 3;q = - 2$ . Số $192$ là số hạng thứ mấy của cấp số nhân đã cho?
- A.
  Số hạng thứ 5
- B.
  Số hạng thứ 6
- C.
  Số hạng thứ 7
- D.
  Số hạng thứ 8
Ta có:

$u_{n} = 192$

$\Rightarrow u_{1}.q^{n - 1} = 192$

$\Rightarrow 3.2^{n - 1} = 192$

$\Rightarrow ( - 1)^{n - 1}.2^{n - 1} = 64$

$\Rightarrow n = 7$
Câu 45: Nhận biết
Tìm số hạng

Cho dãy số $(u_{n})$ , biết ${u_n} = \frac{{2{n^2} - 1}}{{{n^2} + 3}}$ . Tìm số hạng $u_{5}$
- A.
  $u_{5}=\frac{1}{4}$
- B.
  $u_{5}=\frac{17}{12}$
- C.
  $u_{5}=\frac{7}{4}$
- D.
  $u_{5}=\frac{71}{39}$
Ta có:
${u_5} = \frac{{{{2.5}^2} - 1}}{{{5^2} + 3}} = \frac{{49}}{{28}} = \frac{7}{4}$

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 2 Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Xem đáp án Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

48 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 2

Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/45

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 Chân trời sáng tạo
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân
Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số ghép số liệu nhóm
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Đạo hàm
Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 9: Xác suất

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 2

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 11 Chân trời sáng tạo

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân

Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian

Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số ghép số liệu nhóm

Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 7: Đạo hàm

Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian

Chương 9: Xác suất

160	161	161	162	162	162
163	163	163	164	164	164
164	165	165	165	165	165
166	166	166	166	167	167
168	168	168	168	169	169
170	171	171	172	172	174

Nhóm tuổi	Số lượng người
[0; 10)	6
[10; 20)	12
[20; 30)	10
[30; 40)	32
[40; 50)	22
[50; 60)	18
[60; 70)	15
[70; 80)	5
[80; 90)	4
[90; 100)	3

Nhóm tuổi	Số lượng người
5	6
15	12
25	10
35	32
45	22
55	18
65	15
75	5
85	4
95	3
	N = 127

Đối tượng	Tần số
[150; 155)	15
[155; 160)	10
[160; 165)	40
[165; 170)	27
[170; 175)	5
[175; 180)	3
Tổng	N = 100

Số tiền (nghìn đồng)	Số người
[0; 50)	5
[50; 100)	12
[100; 150)	23
[150; 200)	17
[200; 250)	3

160	161	161	162	162	162
163	163	163	164	164	164
164	165	165	165	165	165
166	166	166	166	167	167
168	168	168	168	169	169
170	171	171	172	172	174

160	161	161	162	162	162
163	163	163	164	164	164
164	165	165	165	165	165
166	166	166	166	167	167
168	168	168	168	169	169
170	171	171	172	172	174