Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng CTST

Định nghĩa

Hình vẽ minh họa

Hình vẽ minh họa

Ví dụ: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi tâm O và \(SA = SC,SB = SD\). Chứng minh rằng:

a) \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\)

b) \(AC \bot \left( {SBD} \right);BD \bot \left( {SAC} \right)\)

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

a) Vì O là giao điểm của AC và BD nên O là trung điểm của AC và BD

Theo bài ra ta có:

\(SA = SC\) nên tam giác SAC cân tại S

SO là đường trung tuyến tam giác SAC suy ra SO cũng là đường cao hay \(SO \bot AC\)

Tương tự ta có: \(SB = SD\) nên tam giác SBD cân tại S

SO là đường trung tuyến tam giác SBD suy ra SO cũng là đường cao hay \(SO \bot BD\)

Suy ra \(\left\{ \begin{gathered} SO \bot AC \hfill \\ SO \bot BD \hfill \\ AC \cap BD \equiv \left\{ O \right\} \hfill \\ AC,BD \subset \left( {ABCD} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.\)\(\Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\)\(\Rightarrow AC \bot \left( {SBD} \right)\)

b) Ta có: \(\left\{ \begin{gathered} AC \bot BD \hfill \\ AC \bot SO \hfill \\ BD \cap SO \equiv \left\{ O \right\} \hfill \\ BD,SO \subset \left( {SBD} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.\)\(\Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)\)

Lại có: \(\left\{ \begin{gathered} BD \bot AC \hfill \\ BD \bot SO \hfill \\ AC \cap SO \equiv \left\{ O \right\} \hfill \\ AC,SO \subset \left( {SAC} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.\)

Hình vẽ minh họa

Hình vẽ minh họa

2. Liên hệ giữa tính chất song song và vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng

Hình vẽ minh họa

Hình vẽ minh họa

Ví dụ: Cho tứ diện \(SABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại A, \(SB = AB;SB \bot \left( {ABC} \right)\). Gọi \(H, I, K\) lần lượt là trung điểm của \(SA, BC, AB\). Chứng minh rằng:

a) \(AC \bot \left( {SAB} \right)\)

b) \(BH \bot \left( {SAC} \right)\)

c) \(KI \bot SA\)

d) \(AB \bot IH\)

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

a) Ta có \(AC ⊥ AB\) (vì ∆ABC vuông tại A) và \(AC ⊥ SB\) (vì \(SB ⊥ (ABC)\)) suy ra \(AC ⊥ (SAB)\)

b) Vì SB ⊥ AB nên ∆SAB cân tại B

Mà H là trung điểm của SA suy ra \(BH ⊥ SA\) (1)

Ta cũng có \(AC ⊥ (SAB)\) và \(BH ⊥ (SAB)\) suy ra \(AC ⊥ BH\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(BH ⊥ (SAC)\)

c) Xét ∆ABC có K, I lần lượt là trung điểm của AB, BC nên KI là đường trung bình của ∆ABC

Suy ra 

Ta lại có \(AC ⊥ (SAB)\) suy ra \(KI ⊥ (SAB)\) suy ra \(KI ⊥ SA\).

d) Xét \(∆SAB\) có \(H, K\) lần lượt là trung điểm của SA, AB nên HK là đường trung bình của \(∆SAB\)

Suy ra \(HK // SB\)

Mặt khác \(SB ⊥ AB\) suy ra \(HK ⊥ AB\) (3)

Ta có \(KI ⊥ (SAB)\) suy ra \(KI ⊥ AB\) (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(AB ⊥ (HIK)\) suy ra \(AB ⊥ IH\).

3. Phép chiếu vuông góc

Chú ý:

a) Phép chiếu vuông góc lên một mặt phẳng là một trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song nên có đầy đủ các tính chất của phép chiếu song song.

b) Người ta còn dùng “phép chiếu \((P)\)” thay cho “phép chiếu vuông góc lên \((P)\)” và dùng (H’) là hình chiếu của (H) trên \((P)\) thay cho (H’) là hình chiếu vuông góc của (H) trên \((P)\).

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có \(\widehat{BSC} = 120^{0};\widehat{CSA} = 60^{0};\widehat{ASB} = 90^{0}\) và \(SA = SB = SC\). Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC). Xác định vị trí điểm H?

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa:

Đặt SA = a

Xét tam giác SAB vuông cân tại S ta có:

\(AB = \sqrt{SA^{2} + SB^{2}} = a\sqrt{2}\)

Xét tam giác SAC cân tại S ta có:

\(\widehat{CSA} = 60^{0}\) => SA = SC = AC = a

Áp dụng định lí cosin cho tam giác SBC ra có:

\(\begin{matrix}BC^{2} = SB^{2} + SC^{2} - 2SB.SC.cos\widehat{BSC} \hfill \\BC^{2} = a^{2} + a^{2} - 2a.a.cos120^{0} = 3a^{2} \hfill \\BC = a\sqrt{3} = \sqrt{AB^{2} + AC^{2}} \hfill \\\end{matrix}\)

Vậy tam giác ABC vuông tại A mà H là hình chiếu của S trên (ABC) nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Hay H là trung điểm của BC.