Giải SBT Toán 11 Kết nối tri thức trang 42 tập 1
Giải SBT Toán 11 Kết nối tri thức trang 42 Bài tập cuối chương 2
Giải SBT Toán 11 Kết nối tri thức trang 42 tập 1 cung cấp lời giải Bài tập cuối chương 2 rõ ràng, dễ hiểu. Nội dung giúp học sinh đối chiếu đáp án, củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải bài Toán 11.
Giải bài 2.42 trang 42 SBT Toán 11 tập 1 KNTT
Ba số phân biệt có tổng là 217 có thể coi là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, cũng có thể coi là số hạng thứ 2, thứ 9, thứ 44 của một cấp số cộng. Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng này để tổng của chúng bằng 210?
A. 40. B. 30. C. 20. D. 10.
Hướng dẫn giải
Đáp án D
Gọi số hạng thứ 2, thứ 9 và thứ 44 của cấp số cộng này là u2, u9, u44. Giả sử cấp số cộng có số hạng đầu là u1 và công sai là d. Khi đó ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_2} = {\rm{ }}{u_1} + {\rm{ }}d;}\\
{{u_9} = {\rm{ }}{u_1} + {\rm{ }}8d{\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {{u_1} + {\rm{ }}d} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}7d{\rm{ }} = {\rm{ }}{u_2} + {\rm{ }}7d;}\\
{{u_{44}} = {\rm{ }}{u_1} + {\rm{ }}43d{\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {{u_1} + {\rm{ }}d} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}42d{\rm{ }} = {\rm{ }}{u_2} + {\rm{ }}42d}
\end{array}\)
Vì 3 số này là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân nên ta có: u2(u2 + 42d) = (u2 + 7d)2.
Và tổng của 3 số đó là 217 nên:
\({u_2} + {\rm{ }}{u_9} + {\rm{ }}{u_{44}} = {\rm{ }}{u_2} + {\rm{ }}{u_2} + {\rm{ }}7d{\rm{ }} + {\rm{ }}{u_2} + {\rm{ }}42d{\rm{ }} = {\rm{ }}3{u_2} + {\rm{ }}49d{\rm{ }} = {\rm{ }}217\)
Vậy ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}
{u_2}.\left( {{u_2} + 42d} \right) = {\left( {{u_2} + 7d} \right)^2}\\
3{u_2} + 49d = 217
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_2} = 7\\
d = 4
\end{array} \right.\)
\(\Rightarrow {u_1} = {\rm{ }}{u_2} - {\rm{ }}d{\rm{ }} = {\rm{ }}7{\rm{ }} - {\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}3\)
Gọi n số hạng đầu của cấp số cộng có tổng là 210.
Khi đó:
\(\begin{array}{l}
{S_n} = \frac{n}{2}.\left[ {2.{u_1} + \left( {n - 1} \right).d} \right]\\
\Leftrightarrow 210 = \frac{n}{2}.\left[ {2.3 + \left( {n - 1} \right).4} \right]\\
\Leftrightarrow {\rm{ }}210{\rm{ }} = {\rm{ }}n\left( {2n{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)
\end{array}\)
\(\Leftrightarrow {\rm{ }}2{n^2} + {\rm{ }}n{\rm{ - }}210{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
n = 10\\
n = - \frac{{21}}{2}
\end{array} \right.\)
Vì n nguyên dương nên n = 10. Vậy phải lấy 10 số hạng đầu của cấp số cộng này để tổng của chúng bằng 210.
Giải bài 2.43 trang 42 SBT Toán 11 tập 1 KNTT
Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng, dãy số nào là cấp số nhân? Nếu dãy số là cấp số cộng hoặc cấp số nhân, hãy xác định công sai hoặc công bội của nó.
a) \({u_1} = {\rm{ }}2,{\rm{ }}{u_{n + 1}} = {\rm{ }}{u_n} + {\rm{ }}n;\) b) \({u_n} = {\rm{ }}6n{\rm{ }} + {\rm{ }}3;\)
c) \({u_1} = {\rm{ }}1,{\rm{ }}{u_{n + 1}} = {\rm{ }}n.{u_n}\); d) \({u_n} = {\rm{ }}{3.5^n}\).
Hướng dẫn giải
a) Từ hệ thức truy hồi ta tính được các giá trị sau: \(\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = {\rm{ }}2\\
{u_2} = {\rm{ }}{u_1} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}2{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}3\\
{u_3} = {\rm{ }}{u_2} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}3{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}5
\end{array} \right.\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
3{\rm{ }} - {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}1\\
5{\rm{ }} - {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}2
\end{array} \right. \Rightarrow {u_2}{\rm{ - }}{u_1} \ne {\rm{ }}{u_3}{\rm{ - }}{u_2}\)
Lại có: \(3.2{\rm{ }} \ne {\rm{ }}5.3{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}{u_2}{u_1} \ne {\rm{ }}{u_3}{u_2}\)
Vậy dãy số đã cho không là cấp số cộng và cũng không là cấp số nhân.
b) Ta có: \({u_n} = {\rm{ }}6n{\rm{ }} + {\rm{ }}3 \Rightarrow {\rm{ }}{u_{n + 1}} = 6\left( {n{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}6n{\rm{ }} + {\rm{ }}9\)
Ta có: \({u_{n + 1}} = {\rm{ }}\left( {6n{\rm{ }} + {\rm{ }}9} \right){\rm{ - }}\left( {6n{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}6\) không đổi với mọi n ≥ 1.
Vậy dãy số đã cho là cấp số cộng với công sai d = 6.
c) Từ hệ thức truy hồi ta tính được các giá trị sau: \(\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = {\rm{ }}1\\
{u_2} = {\rm{ }}1\\
{u_3} = {\rm{ }}2{\rm{ }}.{\rm{ }}{u_2} = {\rm{ }}2
\end{array} \right.\)
\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_2} - {\rm{ }}{u_1} \ne {\rm{ }}{u_3} - {\rm{ }}{u_2}\\
\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} \ne \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}}
\end{array} \right.\)
Vậy dãy số đã cho không là cấp số cộng và cũng không là cấp số nhân.
d) Ta có: \({u_n} = {\rm{ }}{3.5^n} \Rightarrow {\rm{ }}{u_{n + 1}} = {\rm{ }}{3.5^{n + 1}} = {\rm{ }}{3.5.5^n}\)
Khi đó ta có: \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{3.5.5}^n}}}{{{{3.5}^n}}} = 5 = const;\left( {\forall n \ge 1} \right)\)
=> Dãy số đã cho là cấp số nhân với công bội q = 5.
Giải bài 2.44 trang 42 SBT Toán 11 tập 1 KNTT
Chứng minh rằng:
a) Nếu a1, a2, a3,... và b1, b2, b3,... là hai cấp số cộng thì a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3, ... cũng là cấp số cộng.
b) Nếu a1, a2, a3,... và b1, b2, b3, ... là hai cấp số nhân thì a1b1, a2b2, a3b3, ... cũng là cấp số nhân.
Hướng dẫn giải
a) Giả sử dãy số (an) là cấp số cộng với công sai d1
Dãy số (bn) là cấp số cộng với công sai d2
Do đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
{a_{n + 1}} = {\rm{ }}{a_n} + {\rm{ }}{d_1}\\
{b_{n + 1}} = {\rm{ }}{b_n} + {\rm{ }}{d_2}
\end{array} \right.;\left( {\forall n{\rm{ }} \ge {\rm{ }}1} \right)\)
Khi đó
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow {a_{n + 1}} + {\rm{ }}{b_{n + 1}} = \left( {{a_n} + {\rm{ }}{d_1}} \right) + \left( {{b_n} + {\rm{ }}{d_2}} \right){\rm{ }}\\
= {\rm{ }}\left( {{a_n} + {\rm{ }}{b_n}} \right) + {d_1} + {d_2};\left( {\forall n{\rm{ }} \ge {\rm{ }}1} \right)
\end{array}\)
Vậy dãy số (an+bn) là cấp số cộng với công sai d1 + d2.
b) Giả sử dãy số (an) là cấp số nhân với công bội q1
Dãy số (bn) là cấp số nhân với công bội q2
Do đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
{q_{n + 1}} = {\rm{ }}{a_n}{q_1}\\
{b_{n + 1}} = {\rm{ }}{b_n}{q_2}
\end{array} \right.;\left( {\forall n{\rm{ }} \ge {\rm{ }}1} \right)\)
Khi đó:
\(\Rightarrow {a_{n + 1}}{b_{n + 1}} = \left( {{a_n}{q_1}} \right).\left( {{b_n}{q_2}} \right) = \left( {{a_n}{b_n}} \right){q_1}{q_2};\left( {\forall n{\rm{ }} \ge {\rm{ }}1} \right)\)
Vậy dãy số (anbn) là cấp số nhân với công bội q1q2.
Giải bài 2.45 trang 42 SBT Toán 11 tập 1 KNTT
Một con chó con nặng 0,4 kg khi mới sinh và sau mỗi tuần tuổi khối lượng của nó tăng thêm 24%. Giả sử un (kg) là khối lượng của con chó vào cuối tuần tuổi thứ n.
a) Viết lần lượt các công thức tính u2, u3. Từ đó dự đoán công thức của un.
b) Con chó nặng bao nhiêu kilôgam khi được sáu tuần tuổi?
Hướng dẫn giải
a) Giả sử khối lượng của con chó vào cuối tuần tuổi thứ n là un (kg)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = {\rm{ }}0,4\\
{u_2} = {\rm{ }}{u_1} + {\rm{ }}{u_1}24\\
{u_3} = {\rm{ }}{u_2} + {\rm{ }}{u_2}24
\end{array} \right.\)
Tiếp tục quá trình tương tự, ta dự đoán được công thức: \({u_n} = {\rm{ }}{u_1}{\left( {1{\rm{ }} + {\rm{ }}0,24} \right)^{n - 1}};\left( {\forall n{\rm{ }} \ge {\rm{ }}1} \right)\)
b) Sau sáu tuần tuổi thì con chó nặng là: \({u_6} = {\rm{ }}{u_1}{\left( {1{\rm{ }} + {\rm{ }}0,24} \right)^{6 - 1}} = {\rm{ }}0,4.{\left( {1,24} \right)^5} \approx {\rm{ }}1,173(kg)\).
Vậy con chó nặng khoảng 1,173 kilôgam khi được sáu tuần tuổi.
Giải bài 2.46 trang 42 SBT Toán 11 tập 1 KNTT
Bác Hưng quyết định tham gia một chương trình bơi lội để duy trì sức khoẻ. Bác bắt đầu bằng cách bơi 10 phút vào ngày đầu tiên, sau đó thêm 2 phút mỗi ngày sau đó.
a) Tìm công thức truy hồi cho số phút Tn mà bác ấy bơi vào ngày thứ n của chương trình.
b) Tìm sáu số hạng đầu của dãy số Tn.
c) Tìm công thức tổng quát của dãy số (Tn).
d) Bác Hưng đạt được mục tiêu bơi ít nhất 60 phút mỗi ngày vào ngày thứ bao nhiêu của chương trình?
e) Tính tổng thời gian bác Hưng bơi sau 30 ngày đầu của chương trình.
Hướng dẫn giải
Gọi số phút mà bác Hưng bơi vào ngày thứ n của chương trình là: Tn
a) Vì bác bắt đầu bằng cách bơi 10 phút vào ngày đầu tiên, sau đó thêm 2 phút mỗi ngày sau đó
Suy ra ta có hệ thức truy hồi: \(\left\{ \begin{array}{l}
{T_1} = {\rm{ }}10\\
{T_{n + 1}} = {\rm{ }}{T_n} + {\rm{ }}2
\end{array} \right.;\left( {\forall {\rm{ }}n{\rm{ }} \ge {\rm{ }}1} \right)\)
b) Viết sáu số hạng đầu của dãy số như sau:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{{T_4}\; = {\rm{ }}10;}\\
{{T_4} = {\rm{ }}{T_4} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}10{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}12;}\\
{{T_4} = {\rm{ }}{T_4} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}12{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}14:}\\
{{T_4} = {\rm{ }}{T_4} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}14{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}16;}\\
{{T_5} = {\rm{ }}{T_4} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}16{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}18;}\\
{{T_6} = {\rm{ }}{T_5} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}18{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}20.}
\end{array}\)
c) Ta có: \({T_{n + 1}} = {\rm{ }}{T_n} + {\rm{ }}2 \Rightarrow {T_{n + 1}} - {\rm{ }}{T_n} = {\rm{ }}2;\left( {\forall {\rm{ }}n{\rm{ }} \ge {\rm{ }}1} \right)\)
=> Dãy số (Tn) là cấp số cộng có số hạng đầu T1 = 10 và công sai d = 2.
=> Công thức tổng quát của dãy số là:
\(\begin{array}{l}
{T_n} = {\rm{ }}{T_1} + {\rm{ }}\left( {n{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right){\rm{ }}d{\rm{ }}\\
= {\rm{ }}10{\rm{ }} + {\rm{ }}\left( {n{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right){\rm{ }}.{\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}8{\rm{ }} + {\rm{ }}2n,{\rm{ }}\forall n \ge 1
\end{array}\)
d) Ta có: \({T_n} \ge {\rm{ }}60{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}8{\rm{ }} + {\rm{ }}2n{\rm{ }} \ge {\rm{ }}60{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}n{\rm{ }} \ge {\rm{ }}26\)
Vậy bác Hưng đạt được mục tiêu bơi ít nhất 60 phút mỗi ngày vào ngày thứ 26 của chương trình.
e) Tổng thời gian bác Hưng bơi trong 30 ngày đầu của chương trình là
S30 = \(\frac{30}{2}\) [2 . 10 + (30 − 1) . 2] = 1170 (phút)
------------------------------------------
Hy vọng lời giải SBT Toán 11 Kết nối tri thức trang 42 tập 1 giúp học sinh nắm chắc kiến thức Bài tập cuối chương 2 , chủ động luyện tập và học tốt môn Toán 11.
