Giải SBT Toán 11 trang 24 tập 1 Kết nối tri thức

Giải SBT Toán 11 trang 24 tập 1 Kết nối tri thức cung cấp lời giải các bài tập thuộc Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản. Nội dung được trình bày theo từng dạng, các bước giải rõ ràng và dễ theo dõi, giúp học sinh kiểm tra kết quả, hiểu phương pháp và vận dụng kiến thức lượng giác chính xác. Đây là tài liệu tham khảo hữu ích để học tốt môn Toán 11.

Giải bài 1.25 trang 24 SBT Toán 11 tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

a) Xét phương trình:

\(2sin(\frac{x}{3}+15^{o})+\sqrt{2}=0\)

\(\Leftrightarrow sin (\frac{x}{3}+15^{o})=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\Leftrightarrow sin(\frac{x}{3} + 15^{o})=sin(-45^{o})\)

\(\Leftrightarrow \frac{x}{3}+15^{o}=-45^{o}+k.360^{o}\) hoặc \(\frac{x}{3}+15^{o}=180^{o}-(-45^{o})+k360^{o} (k\in \mathbb{Z})\)

\(\Leftrightarrow x=-180^{o} + k.1080^{o}\) hoặc \(x = 630^{o}+k.1080^{o} (k\in \mathbb{Z})\)

b) Xét phương trình:

\(cos(2x+\frac{\pi}{5})=-1\)

\(\Leftrightarrow 2x +\frac{\pi}{5}=\pi + k2\pi (k \in \mathbb{Z})\)

\(\Leftrightarrow x =\frac{2\pi}{5}+ k \pi (k \in \mathbb{Z})\)

c) Xét phương trình

\(3tan2x +\sqrt{3}=0\)\(\Leftrightarrow tan2x=-\frac{\sqrt{3}}{3}\)\(\Leftrightarrow tan2x=tan(-\frac{\pi}{6})\)

\(\Leftrightarrow 2x =-\frac{\pi}{6}+k\pi (k \in \mathbb{Z})\)\(\Leftrightarrow x = -\frac{\pi}{12}+k\frac{\pi}{2} (k \in \mathbb{Z})\)

d) Xét phương trình

\(cot(2x-3)=cot15^{o}\)

\(\Leftrightarrow 2x-3 = 15^{o} + k.180^{o} (k \in \mathbb{Z})\)

\(\Leftrightarrow x = 1,5 + 7,5^{o} + k.90^{o} (k \in \mathbb{Z})\)

Giải bài 1.26 trang 24 SBT Toán 11 tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

\(sin(2x + 15^{o})+cos(2x-15^{o})-0\)\(\Leftrightarrow sin(2x + 15^{o})=-cos(2x-15^{o})\)

\(\Leftrightarrow sin(2x+15^{o})=-sin[90^{o}-(2x-15^{o})]\)\(\Leftrightarrow sin(2x + 15^{o})=sin[-90^{o}+(2x-15^{o})]\)

\(\Leftrightarrow sin(2x + 15^{o}) = sin(2x-105^{o})\)

\(\Leftrightarrow 2x + 15^{o}=2x-105^{o} +k.360^{o}\) hoặc \(2x+15^{o}=180^{o}-(2x-105^{o}) +k.360^{o} (k\in \mathbb{Z})\)

\(\Leftrightarrow 120^{o} = k.360^{o}\) (không xảy ra) hoặc \(x = 67,5^{o} + k.90^{o} (k \in \mathbb{Z})\)

b) Ta có:

\(cos(2x+\frac{\pi}{5})+cos(3x-\frac{\pi}{6})=0\)

\(\Leftrightarrow cos(2x+\frac{\pi}{5}=cos[\pi – (3x-\frac{\pi}{6})]\)

\(\Leftrightarrow cos(2x+\frac{\pi}{5}=cos(\frac{7\pi}{6}-3x)\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x + \frac{\pi }{5} = \frac{{7\pi }}{6} - 3x + k2\pi \\ 2x + \frac{\pi }{5} = - \left( {\frac{{7\pi }}{6} - 2x} \right) + k2\pi \end{array} \right.;(k \in \mathbb{Z})\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{{29\pi }}{{150}} + k\frac{{2\pi }}{5}\\ x = \frac{{41\pi }}{{30}} - k2\pi \end{array} \right.;(k \in \mathbb{Z})\)

c) Ta có:

tanx + cotx = 0\(\Leftrightarrow tanx = -cotx\)

\(\Leftrightarrow tan x = cot (\pi – x)\)\(\Leftrightarrow tan x = tan[\frac{\pi}{2}-(\pi-x)]\)

\(\Leftrightarrow tanx = tan(x - \frac{\pi}{2})\)\(\Leftrightarrow x = x-\frac{\pi}{2}+k\pi (k \in \mathbb{Z})\)

\(\Leftrightarrow \frac{\pi}{2}- k \pi = 0 (k \in \mathbb{Z})\) (vô lý)

Vậy phương trình vô nghiệm

d) sinx + tanx = 0 (Điều kiện \(cos x \neq 0\) )

\(\Leftrightarrow sinx + \frac{sinx}{cosx}=0\)\(\Leftrightarrow sinx(1+\frac{1}{cosx}) = 0\)

\(\Leftrightarrow sinx = 0\) hoặc \(1+\frac{1}{cosx}=0\)\(\Leftrightarrow sinx = 0\) hoặc cosx = -1

\(\Leftrightarrow \sin x = 0\) (do \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\))

\(\Leftrightarrow x = k\pi (k \in \mathbb{Z})\)

Giải bài 1.27 trang 24 SBT Toán 11 tập 1 KNTT

Giải các phương trình sau:

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

\(\left( {2{\rm{ }} + {\rm{ }}\cos x} \right)\left( {3\cos 2x-1} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2{\rm{ }} + {\rm{ }}\cos x = {\rm{ }}0\\ 3\cos 2x{\rm{ }}-{\rm{ }}1 = 0 \end{array} \right.\)

+ Phương trình 2 + cosx = 0 vô nghiệm vì \(-1 \leq cos x \leq 1\).

+ Gọi \(\alpha\) là góc thoả mãn \(cos\alpha =\frac{1}{3}\). Ta có:

\(3cos2x -1=0\Leftrightarrow cos2x = cos\alpha \Leftrightarrow2x = \pm \alpha +k2\pi\)

\(\Leftrightarrow x = \pm \frac{\alpha}{2} + k\pi (k\in \mathbb{Z})\)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = \pm \frac{\alpha}{2} + k\pi (k \in \mathbb{Z})\) với \(cos\alpha = \frac{1}{3}\)

b) Ta có:

\(2\sin 2x{\rm{ }}-{\rm{ }}\sin 4x{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

\(\Leftrightarrow 2\sin 2x{\rm{ }} - {\rm{ }}2\sin 2x\cos 2x{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

\(\Leftrightarrow \;2\sin 2x\left( {1{\rm{ }} - {\rm{ }}\cos 2x} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin 2x{\rm{ }} = {\rm{ }}0\\ \cos 2x{\rm{ }} = 1 \end{array} \right.\)

Do \(sin^{2}2x+cos^{2}2x=1\) nên cos2x = 1 kéo theo sin2x = 0, do đó phương trình đã cho tương đương với

\(sin2x= 0 \Leftrightarrow 2x = k\pi \Leftrightarrow x = k\frac{\pi}{2} ( k \in \mathbb{Z})\)

c) Ta có

\(cos^{6}x -sin^{6}x=0\)\(\Leftrightarrow cos^{6}x =sin^{6}x\)

\(\Leftrightarrow (cos^{2}x)^{3} = (sin^{2}x)^{3}\)\(\Leftrightarrow cos^{2}x = sin^{2}x\)

\(\Leftrightarrow cos^{2}x -sin^{2}x=0\)\(\Leftrightarrow cos2x=0\)

\(\Leftrightarrow 2x =\frac{\pi}{2} + k\pi (k \in \mathbb{Z})\)\(\Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2} (k \in \mathbb{Z})\)

d) Điều kiện \(sinx \neq 0\) và \(cos2x \neq 0\)

Ta có:

\(\begin{array}{l} \tan 2x\cot x{\rm{ }} = {\rm{ }}1 \Leftrightarrow \tan 2x = \frac{1}{{\cot x}}\\ \Leftrightarrow \tan 2x = \tan x \Leftrightarrow 2x = x + k\pi ;(k \in \mathbb{Z} )\\ \Leftrightarrow x = k\pi ;(k \in \mathbb{Z}) \end{array}\)

Ta thấy \(x = k\pi ( k \in \mathbb{Z})\) không thoả mãn điều kiện \(sinx \neq 0\)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Giải bài 1.28 trang 24 SBT Toán 11 tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

\(cos(2x-\frac{\pi}{3}) = cos(x-\frac{\pi}{4})\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x - \frac{\pi }{3} = x - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\ 2x - \frac{\pi }{3} = - (x - \frac{\pi }{4}) + k2\pi \end{array} \right.;(k \in \mathbb{Z})\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \\ x = \frac{{7\pi }}{{36}} + k\frac{{2\pi }}{3} \end{array} \right.;(k \in \mathbb{Z})\)

b) Ta có:

\(sin(3x-\frac{\pi}{4}=sin(x-\frac{\pi}{6})\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x - \frac{\pi }{4} = x - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\ 3x - \frac{\pi }{4} = \pi - \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) + k2\pi \end{array} \right.;(k \in \mathbb{Z})\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{{24}} + k2\pi \\ x = \frac{{17\pi }}{{48}} + k\frac{\pi }{2} \end{array} \right.;(k \in \mathbb{Z})\)

Giải bài 1.29 trang 24 SBT Toán 11 tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

a) Vì \(-1 \leq sin2\pi (x-\frac{1}{4}) \leq 1\) nên \(-2,5 \leq 2,5 sin2\pi (x-\frac{1}{4}) \leq 2,5\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l} 2 - 2,5 \le 2 + 2,5.\sin 2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right) \le 2 + 2,5\\ \Leftrightarrow - 0,5 \le 2 + 2,5.\sin 2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right) \le 4,5;\forall x \in \mathbb{R} \end{array}\)

=> Gầu ở vị trí cao nhất khi \(sin 2\pi (x-\frac{1}{4})=1\)

\(\Leftrightarrow 2\pi(x-\frac{1}{4})=\frac{\pi}{2} +k2\pi (k \in \mathbb{Z})\)\(\Leftrightarrow x=\frac{1}{2} +k (k \in \mathbb{Z})\)

Do \(x \geq 0\) nên \(x=\frac{1}{2}+k (k \in \mathbb{N})\)

Vậy gầu ở vị trí cao nhất tại các thời điểm 12, 32, 52,...12,  32,  52,... phút.

Tương tự, gầu ở vị trí thấp nhất khi \(sin2\pi(x-\frac{1}{4})=-1\)

\(\Leftrightarrow 2\pi(x-\frac{1}{4})=\frac{\pi}{2}+k2\pi (k \in \mathbb{Z})\)

\(x=\frac{1}{2} + k(k\in \mathbb{Z})\). Do \(x \geq 0\) nên x =k (\(k \in \mathbb{N}\))

Vậy gàu ở vị trí thấp nhất tại các thời điểm 0, 1, 2, 3, ... phút.

b) Gầu cách mặt nước 2 m khi \(2+2,5 sin2\pi (x-\frac{1}{4})=2\)

\(\Leftrightarrow sin2\pi (x-\frac{1}{4})=0\)\(\Leftrightarrow 2\pi (x-\frac{1}{4})=k\pi (k \in \mathbb{Z})\)\(\Leftrightarrow x = \frac{1}{4} +\frac{k}{2} (k \in \mathbb{Z})\)

Do \(x \geq 0\) nên \(x =\frac{1}{4}+\frac{k}{2} (k \in \mathbb{N})\)

Vậy chiếc gầu cách mặt nước 2 m lần đầu tiên tại thời điểm \(x=\frac{1}{4}\) phút.

--------------------------------------

Hy vọng phần Giải SBT Toán 11 trang 24 tập 1 Kết nối tri thức giúp học sinh nắm chắc phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản, từ đó chủ động xử lý các bài tập tương tự. Hãy tự giải trước khi đối chiếu đáp án để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng làm bài Toán 11.