Giải SBT Toán 11 trang 37 tập 1 Kết nối tri thức

Giải SBT Toán 11 trang 37 tập 1 Kết nối tri thức hướng dẫn giải các bài tập thuộc Bài 6: Cấp số cộng. Nội dung được trình bày theo từng câu hỏi, chú trọng phương pháp và kết quả, giúp học sinh dễ kiểm tra bài làm, nhận biết đặc điểm của cấp số cộng và vận dụng công thức vào các dạng bài tập. Đây là tài liệu tham khảo hữu ích để học tốt môn Toán 11.

Giải bài 2.14 trang 37 SBT Toán 11 tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

Theo bài ra ta có:

\(2x,{\rm{ }}3x{\rm{ }} + {\rm{ }}2,{\rm{ }}5x{\rm{ }} + {\rm{ 3}}\) là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng nên theo tính chất cấp số cộng ta có phương trình sau:

\(\begin{array}{l} \left( {3x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right){\rm{ }} - {\rm{ }}2x{\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {5x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right){\rm{ }} - {\rm{ }}\left( {3x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right)\\ \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1 \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} = {\rm{ }}1. \end{array}\)

Kiểm tra lại kết quả ta được 2, 5, 8 thoả mãn bài toán.

Vậy giá trị x cần tìm là: \(x=1\).

Giải bài 2.15 trang 37 SBT Toán 11 tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải 

Giả sử \({S_n}\) là tổng của n số hạng đầu của cấp số cộng thỏa mãn yêu cầu.

Khi đó ta có phương trình:

\(\begin{array}{l} {S_n} = 702\\ \Leftrightarrow \frac{n}{2}.\;\left[ {2.78{\rm{ }} + {\rm{ }}\left( {n{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right).\left( { - 1} \right)} \right] = 702\\ \Leftrightarrow {\rm{ }}n\left( {160{\rm{ }} - {\rm{ }}4n} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}1404\\ \Leftrightarrow {\rm{ }}160n{\rm{ }}--{\rm{ }}4{n^2} - {\rm{ }}1404{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {\rm{ }}n = 27\\ n = 13 \end{array} \right.\left( {tm} \right) \end{array}\)

Vậy ta cần lấy 13 hoặc 27 số hạng đầu để được tổng theo yêu cầu bài toán.

Giải bài 2.16 trang 37 SBT Toán 11 tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

Đổi \(2,4{\rm{ }}m{\rm{ }} = {\rm{ }}240{\rm{ }}cm;{\rm{ }}1,2{\rm{ }}m{\rm{ }} = {\rm{ }}120{\rm{ }}cm\)

Số viên gạch ở hàng đầu tiên (ứng với đáy lớn) là \({u_1} = \frac{{240}}{{10}}{\rm{ }} = {\rm{ }}24{\rm{ }}\) (viên).

Số viên gạch ở hàng trên cùng (ứng với đáy nhỏ) là \({u_n} = {\rm{ }}\frac{{120}}{{10}}{\rm{ }} = {\rm{ }}12\) (viên).

Vì mỗi hãng ở phía trên chứa ít hơn một viên so với hàng ở ngay phía dưới nó nên số viên gạch ở mỗi hàng (tính từ dưới lên) lập thành một cấp số cộng có công sai \(d = - 1\) và số hạng đầu \({u_1} = {\rm{ }}24\).

Khi đó:

\({u_n} = {\rm{ }}{u_1} + {\rm{ }}\left( {n{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right)d{\rm{ }} = {\rm{ }}24{\rm{ }} + {\rm{ }}\left( {n{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right).\left( { - 1} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}25{\rm{ }} - {\rm{ }}n\)

\({u_n} = {\rm{ }}12 \Rightarrow 25{\rm{ }}-{\rm{ }}n{\rm{ }} = {\rm{ }}12 \Rightarrow n = 13\)

=> Số viên gạch hình vuông cần thiết để ốp hết bức tường đó là:

\(S_{3} = \frac{(u_{1}+u_{13} ).13 }{2} = \frac{(12+24).13}{2} = 234\) (viên gạch)

Vậy đáp án cần tìm là: 234 viên gạch.

Giải bài 2.17 trang 37 SBT Toán 11 tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

Theo bài ra ta có:

Số viên gạch ở mỗi bậc thang (tính từ dưới lên) lập thành một cấp số cộng gồm 30 số với số hạng đầu u₁ = 100 và công sai d = – 2.

=> Công thức của cấp số cộng biểu thị số viên gạch cho mỗi bậc cầu thang: \(\left\{ \begin{array}{l} {u_1} = {\rm{ }}100\\ {u_{n + 1}} = {\rm{ }}{u_n} + {\rm{ }}\left( { - 2} \right){\rm{ }};\left( {{\rm{ }}n{\rm{ }} \le {\rm{ }}1} \right) \end{array} \right.\)

a) Bậc trên cùng là bậc thứ 30.

=> Số viên gạch cần cho bậc trên cùng là:

\({u_{30}} = {\rm{ }}{u_1} + {\rm{ }}\left( {30{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right){\rm{ }}d{\rm{ }} = {\rm{ }}100{\rm{ }} + {\rm{ }}29.{\rm{ }}\left( { - 2} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}42\) (viên gạch)

b) Ta có:

\(\begin{array}{l} {S_{30}} = {\rm{ }}{u_1} + {\rm{ }}{u_2} + {\rm{ }} \ldots {\rm{ }} + {\rm{ }}{u_{30}}\\ = \frac{{30}}{2}.\left[ {2{\rm{ }}.{\rm{ }}100{\rm{ }} + {\rm{ }}\left( {30{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right){\rm{ }}.{\rm{ }}\left( { - 2} \right)} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}2130 \end{array}\)

Vậy cần 2130 viên gạch để xây cầu thang theo yêu cầu.

Giải bài 2.18 trang 37 SBT Toán 11 tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

Số ghế ở mỗi hàng của góc khán đài lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 10 và công sai d = 4.

Theo bài ra ta có những dữ kiện để tìm n như sau: \({S_n} = {\rm{ }}2040,{\rm{ }}{u_1} = {\rm{ }}10,{\rm{ }}d{\rm{ }} = {\rm{ }}4\).

Khi đó:

\(\begin{array}{l} {S_n} = {\rm{ }}2040\\ \Leftrightarrow \frac{n}{2}.\left[ {2{\rm{ }}.{\rm{ }}10{\rm{ }} + {\rm{ }}\left( {n{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right){\rm{ }}.{\rm{ }}4} \right] = 2040\\ \Leftrightarrow {\rm{ }}n\left( {16{\rm{ }} + {\rm{ }}4n} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}4080\\ \Leftrightarrow {\rm{ }}4{n^2} + {\rm{ }}16n{\rm{ }} - {\rm{ }}4080{\rm{ }} = {\rm{ }}0\\ \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ \begin{array}{l} n = 30\left( {TM} \right)\\ n = - 34\left( L \right) \end{array} \right. \end{array}\)

Vậy góc khán đài đó có 30 hàng ghế.

Giải bài 2.19 trang 37 SBT Toán 11 tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

Lương mỗi năm của anh Nam lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 35000 và công sai d = 1400.

Ta có các dữ kiện tìm n như sau: \({S_n} = {\rm{ }}319200,{\rm{ }}{u_1} = {\rm{ }}35000,{\rm{ }}d{\rm{ }} = {\rm{ }}1400\)

Khi đó: 

\(\begin{array}{l} {S_n} = {\rm{ }}319200\\ \Leftrightarrow \frac{n}{2}.\left[ {2{\rm{ }}.{\rm{ }}35000{\rm{ }} + {\rm{ }}\left( {n{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right){\rm{ }}.{\rm{ }}1400} \right] = {\rm{ }}319200\\ \Leftrightarrow {\rm{ }}n\left( {68600{\rm{ }} + {\rm{ }}1400n} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}638400\\ \Leftrightarrow {\rm{ }}1400{n^2} + {\rm{ }}68600n{\rm{ }} - {\rm{ }}638400{\rm{ }} = {\rm{ }}0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} n = 8\left( {TM} \right)\\ n = - 57\left( L \right) \end{array} \right. \end{array}\)

Vậy sau 8 năm làm việc thì tổng lương mà anh Nam nhận được là \(319{\rm{ }}200\) đô la.

Giải bài 2.20 trang 37 SBT Toán 11 tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

Chèn ba trung bình cộng vào giữa 4 và 12 ta được cấp số cộng thì: \(\left\{ \begin{array}{l} {u_1} = {\rm{ }}4\\ {u_{2 + 3}} = {\rm{ }}{u_5} = {\rm{ }}12 \end{array} \right.\)

\(\Rightarrow {u_5} = {\rm{ }}{u_1} + {\rm{ }}\left( {5{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right){\rm{ }}d{\rm{ }} = {\rm{ }}4{\rm{ }} + {\rm{ }}4d\) (Theo tính chất của cấp số cộng)

\(\Rightarrow d{\rm{ }} = {\rm{ }}2\)

Từ đó ta tính được các giá trị: \(\left\{ \begin{array}{l} {u_2} = {\rm{ }}4{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}6\\ {u_3} = {\rm{ }}6{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}8\\ {u_4} = {\rm{ }}8{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}10 \end{array} \right.\)

Vậy chèn ba trung bình cộng vào giữa 4 và 12 ta được cấp số cộng là: 4, 6, 8, 10, 12.

b) Ta có:

Chèn bốn trung bình cộng vào giữa 16 và 91 ta được cấp số cộng có: \(\left\{ \begin{array}{l} {u_1} = {\rm{ }}16\\ {u_{2 + 4}} = {\rm{ }}{u_6} = {\rm{ }}91 \end{array} \right.\)

\(\Rightarrow {u_6} = {\rm{ }}{u_1} + {\rm{ }}\left( {16{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right){\rm{ }}d{\rm{ }} = {\rm{ }}16{\rm{ }} + {\rm{ }}5\) (Theo tính chất của cấp số cộng)

\({\rm{ }} \Rightarrow d{\rm{ }} = {\rm{ }}15\)

Từ đó ta tính được các giá trị: \(\left\{ \begin{array}{l} {u_2} = {\rm{ }}16{\rm{ }} + {\rm{ }}15{\rm{ }} = {\rm{ }}31\\ {u_3} = {\rm{ }}31{\rm{ }} + {\rm{ }}15{\rm{ }} = {\rm{ }}46\\ {u_4} = {\rm{ }}46{\rm{ }} + {\rm{ }}15{\rm{ }} = {\rm{ }}61\\ {u_5} = {\rm{ }}61{\rm{ }} + {\rm{ }}15{\rm{ }} = {\rm{ }}76 \end{array} \right.\).

-----------------------------------------

Tham khảo Giải SBT Toán 11 trang 37 tập 1 Kết nối tri thức giúp học sinh củng cố kiến thức về cấp số cộng, từ nhận biết quy luật đến áp dụng công thức giải bài. Để đạt hiệu quả cao, nên tự hoàn thành bài tập trước, sau đó đối chiếu lời giải và sửa những bước còn thiếu.