Giải SBT Toán 11 trang 28 tập 1 Kết nối tri thức

Giải SBT Toán 11 trang 28 tập 1 Kết nối tri thức giúp học sinh tham khảo cách giải các bài tập trong phần Bài tập cuối Chương 1. Lời giải được trình bày cô đọng, dễ theo dõi, hỗ trợ kiểm tra đáp án, củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài. Đây là nguồn tham khảo hữu ích cho học sinh muốn học tốt môn Toán 11.

Giải bài 1.49 trang 28 SBT Toán 11 tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

Đáp án: A

Giải bài 1.50 trang 28 SBT Toán 11 tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

Giá trị của hai hàm số \(y = \sin3x\) và \(y = \sin x\) bằng nhau khi và chỉ khi:

\(\sin 3x{\rm{ }} = {\rm{ }}\sin x\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x = x + k2\pi \\ 3x = \pi - x + k2\pi \end{array} \right.;(k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k\pi \\ x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2} \end{array} \right.;(k \in \mathbb{Z})\)

Đáp án: A

Giải bài 1.51 trang 28 SBT Toán 11 tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

a) Ta có \(\frac{23\pi}{4}=6\pi-\frac{\pi}{4}\).

Góc \(\frac{23\pi}{4}\) được biểu diễn bởi điểm \(M(\frac{\sqrt{2}}{2};-\frac{\sqrt{2}}{2})\) trên đường tròn lượng giác (hình dưới).

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l} \sin \frac{{23\pi }}{4} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2};\cos \frac{{23\pi }}{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \tan \frac{{23\pi }}{4} = \cot \frac{{23\pi }}{4} = - 1 \end{array} \right.\)

b) Ta có \(\frac{31\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}+4\pi\).

Góс \(\frac{31\pi}{6}\) được biểu diễn bởi điểm\(M(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})\) trên đường tròn lượng giác (hình dưới).

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l} \sin \frac{{31\pi }}{6} = - \frac{1}{2};\cos \frac{{31\pi }}{6} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2};\\ \tan \frac{{31\pi }}{6} = \frac{1}{{\sqrt 3 }};\cot \frac{{31\pi }}{6} = \sqrt 3 \end{array} \right.\)

c) Ta có \(-1380^{o}=-4.360^{o}+60^{o}\).

Góc -1380⁰ được biểu diễn bởi điểm M\((\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})\) trên đường tròn lượng giác (hình dưới).

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l} \sin ( - {1380^o}) = \frac{{\sqrt 3 }}{2};\cos ( - {1380^o}) = \frac{1}{2};\\ \tan ( - {1380^o}) = \sqrt 3 ;\cot ( - {1380^o}) = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \end{array} \right.\)

Giải bài 1.52 trang 28 SBT Toán 11 tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

+) Trong 15 phút thì mũi kim phút vạch nên một cung tròn có độ dài bằng \(\frac{1}{4}\) độ dài đường tròn, do đó độ dài của cung này bằng

\(\frac{1}{4}.2\pi.R=\frac{1}{4}.2\pi.1,75=\frac{7\pi}{8} \approx 2,75 (m)\)

+) Trong 15 phút thì mũi kim giờ vạch nên một cung tròn có độ dài bằng \(\frac{1}{4}.\frac{1}{12}=\frac{1}{48}\) đường tròn, do đó độ dài của cung này bằng

\(\frac{1}{48}.2\pi.R’=\frac{1}{48}.2\pi.1,26=\frac{21\pi}{400} =\approx 0,16 (m)\)

Giải bài 1.53 trang 28 SBT Toán 11 tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

Góc ở tâm chắn cung kinh tuyến nối huyện Quản Bạ tỉnh Hà Giang và huyện Cái Nước tỉnh Cà Mau có số đo bằng \({23^o} - {\rm{ }}{9^o} = {\rm{ }}{14^o}\)

Vậy độ dài cung kinh tuyến đó bằng \(\frac{6378.14.\pi}{180} \approx 1558 (km)\)

Giải bài 1.54 trang 28 SBT Toán 11 tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

Ta có

\(\cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1 = 2.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} - 1 = \frac{1}{8}\)

\({\sin ^2}\alpha = 1 - {\cos ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} = \frac{7}{{16}}\)

Lại do \(sin\alpha > 0\) nên \(sin\alpha =\frac{\sqrt{7}}{4}\)

\(\Rightarrow \sin 2\alpha = 2\sin \alpha .\cos \alpha = 2.\frac{{\sqrt 7 }}{4}.\frac{3}{4} = \frac{{3\sqrt 7 }}{8}\)

Ta có

\(\cos 2\beta = 1 - 2{\sin ^2}\beta = 1 - 2.{\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{7}{{25}}\)

\({\cos ^2}\beta = 1 - {\sin ^2}\beta = 1 - {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{{16}}{{25}}\)

Lại do \(\beta \in (\frac{9\pi}{2};5\pi)\) nên \(cos\beta < 0\), do đó \(cos\beta =-\frac{4}{5}\)

\(\Rightarrow \sin 2\beta = 2\sin \beta \cos \beta = 2.\frac{3}{5}.\left( { - \frac{4}{5}} \right) = - \frac{{24}}{{25}}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l} \cos (\alpha + \beta ) = \cos \alpha .\cos \beta - \sin \alpha .\sin \beta \\ = \frac{3}{4}.\left( { - \frac{4}{5}} \right) - \frac{{\sqrt 7 }}{4}.\frac{3}{5} = \frac{{ - 12 - 3\sqrt 7 }}{{20}} \end{array}\)

\(\begin{array}{l} \sin (\alpha - \beta ) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \\ = \frac{{\sqrt 7 }}{4}.\left( { - \frac{4}{5}} \right) - \frac{3}{4}.\frac{3}{5} = \frac{{ - 9 - 4\sqrt 7 }}{{20}} \end{array}\)

Giải bài 1.55 trang 28 SBT Toán 11 tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

\(\frac{{\sin ({{45}^o} + \alpha ) - \cos ({{45}^o} + \alpha )}}{{\sin ({{45}^o} + \alpha ) + \cos ({{45}^o} + \alpha )}}\)

\(= \frac{{(\sin {{45}^o}\cos \alpha + \cos {{45}^o}\sin \alpha ) - (\cos {{45}^o}\cos \alpha - \sin {{45}^o}\sin \alpha )}}{{(\sin {{45}^o}\cos \alpha + \cos {{45}^o}\sin \alpha ) + (\cos {{45}^o}\cos \alpha - \sin {{45}^o}\sin \alpha )}}\)

\(= \frac{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos \alpha + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin \alpha } \right) - \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos \alpha - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin \alpha } \right)}}{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos \alpha + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin \alpha } \right) + \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos \alpha - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin \alpha } \right)}}\)

\(= \frac{{\sqrt 2 \sin \alpha }}{{\sqrt 2 \cos \alpha }} = \tan \alpha\)

b) Ta có:

\(\frac{{\sin 2\alpha + \sin \alpha }}{{1 + \cos 2\alpha + \cos \alpha }} = \frac{{2\sin \alpha .\cos \alpha + \sin \alpha }}{{1 + (2{{\cos }^2}\alpha - 1) + \cos \alpha }}\)

\(= \frac{{2\sin \alpha (\cos \alpha + 1)}}{{2\cos \alpha (\cos \alpha + 1)}} = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \tan \alpha\)

c) Ta có:

\(\frac{{1 + \cos \alpha - \sin \alpha }}{{1 - \cos \alpha - \sin \alpha }}\)

\(= \frac{{1 + \left( {2{{\cos }^2}\frac{\alpha }{2} - 1} \right) - 2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}}}{{1 - \left( {1 - 2{{\sin }^2}\frac{\alpha }{2}} \right) - 2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}}}\)

\(= \frac{{2{{\cos }^2}\frac{\alpha }{2} - 2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}}}{{2{{\sin }^2}\frac{\alpha }{2} - 2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}}} = \frac{{2\cos \frac{\alpha }{2}\left( {\cos \frac{\alpha }{2} - \sin \frac{\alpha }{2}} \right)}}{{2\sin \frac{\alpha }{2}\left( {\sin \frac{\alpha }{2} - \cos \frac{\alpha }{2}} \right)}}\)

\(= \frac{{\cos \frac{\alpha }{2}}}{{ - \sin \frac{\alpha }{2}}} = - \cot \frac{\alpha }{2}\)

d) Ta có:

\(\frac{{\sin \alpha + \sin 3\alpha + \sin 5\alpha }}{{\cos \alpha + \cos 3\alpha + \cos 5\alpha }} = \frac{{(\sin 5\alpha + \sin \alpha ) + \sin 3\alpha }}{{(\cos 5\alpha + \cos \alpha ) + \cos 3\alpha }}\)

\(= \frac{{2\sin \frac{{5\alpha + \alpha }}{2}\cos \frac{{5\alpha - \alpha }}{2} + \sin 3\alpha }}{{2\cos \frac{{5\alpha + \alpha }}{2}\cos \frac{{5\alpha - \alpha }}{2} + \cos 3\alpha }} = \frac{{2\sin 3\alpha \cos 2\alpha + \sin 3\alpha }}{{2\cos 3\alpha \cos 2\alpha + \cos 3\alpha }}\)

\(= \frac{{\sin 3\alpha (2\cos 2\alpha + 1)}}{{\cos 3\alpha (2\cos 2\alpha + 1)}} = \frac{{\sin 3\alpha }}{{\cos 3\alpha }} = \tan 3\alpha\)

Giải bài 1.56 trang 28 SBT Toán 11 tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

\(A = \sin \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\)

\(= \sin \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right) - \sin \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)} \right]\)

\(= \sin \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right) - \sin \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right) = 0;\forall x\)

b) Ta có:

\(B = \cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) - \sin \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)\)

\(= \cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) - \cos \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)} \right]\)

\(= \cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = 0;\forall x\)

c) Ta có:

\(C = {\sin ^2}x + \cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right).\cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)\)

\(=sin^{2}+\frac{1}{2}[cos(\frac{\pi}{3}-x+\frac{\pi}{3}+x)+cos(\frac{\pi}{3}-x-\frac{\pi}{3}-x)]\)

\(=sin^{2}+\frac{1}{2}(cos\frac{2\pi}{3}+cos(-2x))=sin^{2}x+\frac{1}{2}(-\frac{1}{2}+cos(-2x))\)

\(= {\sin ^2} + \frac{1}{2}\left[ { - \frac{1}{2} + (1 - 2{{\sin }^2})} \right] = {\sin ^2}x + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2} - 2{{\sin }^2}x} \right)\)

\(= {\sin ^2}x + \frac{1}{4} - {\sin ^2}x = \frac{1}{4};\forall x\)

d) Ta có:

\(D = \frac{{1 - \cos 2x + \sin 2x}}{{1 + \cos 2x + \sin 2x}}.\cot x\)

\(= \frac{{1 - (1 - 2{{\sin }^2}x) + 2\sin x.\cos x}}{{1 + (2{{\cos }^2}x - 1) + 2\sin x.\cos x}}.\cot x\)

\(= \frac{{2{{\sin }^2}x + 2\sin x\cos x}}{{2{{\cos }^2}x + 2\sin x\cos x}}.\cot x\)

\(= \frac{{2\sin x(\sin x + \cos x)}}{{2\cos x(\cos x + \sin x)}}.\cot x\)

\(= \frac{{\sin x}}{{\cos x}}.\cot x = \tan x.\cot x = 1;\forall x\)

Giải bài 1.57 trang 28 SBT Toán 11 tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

a) Ta có

\(f(t) = {f_1}(t) + {f_2}(t) = Csin\omega t + Csin(\omega r + \alpha )\)

\(\begin{array}{l} = C\sin \omega t + C(\sin \omega t\cos \alpha + \cos \omega t\sin \alpha )\\ = C\sin \omega t + C\sin \omega t\cos \alpha + C\cos \omega t\sin \alpha \end{array}\)

\(= C(1+cos\alpha)sin\omega t +C sin\alpha cos\omega t\)

Vậy \(f(t) = C(1 + \cos \alpha )\sin \omega t + C\sin \alpha \cos \omega t\) vì \(A = {C_1} + \cos \alpha ;B = C\sin \alpha\)

b) Khi C = 10 và \(\alpha =\frac{\pi}{3}\) ta có: 

\(f(t) = 10\sin \omega t + 10\sin (\omega t + \frac{\pi }{3}) = 10[\sin \omega t + \sin (\omega t + \frac{\pi }{3})]\)

\(\begin{array}{l} = 10.2\sin \frac{{\omega t + \omega t + \frac{\pi }{3}}}{2}\cos \frac{{\omega t - \omega t - \frac{\pi }{3}}}{2}\\ = 20\sin (\omega t + \frac{\pi }{6})\cos ( - \frac{\pi }{6}) \end{array}\)

\(=10\sqrt{3}sin(\omega t +\frac{\pi}{6})\)

Vậy biên độ và pha ban đầu của sóng âm kết hợp lần lượt là \(k=10\sqrt{3}\) và \(\varphi =\frac{\pi}{6}\)

-------------------------------

Qua Giải SBT Toán 11 trang 28 tập 1 Kết nối tri thức, học sinh có thể hệ thống lại kiến thức trọng tâm của Chương 1 và tự đánh giá mức độ hiểu bài thông qua từng dạng bài tập. Chủ động luyện giải trước, sau đó đối chiếu đáp án sẽ giúp nâng cao khả năng vận dụng và chuẩn bị tốt cho các chương tiếp theo.