Giải SBT Toán 11 trang 40 tập 1 Kết nối tri thức

Giải SBT Toán 11 trang 40 tập 1 Kết nối tri thức cung cấp hướng dẫn giải các bài tập trong Bài 7: Cấp số nhân. Nội dung giúp học sinh xác định phương pháp, vận dụng công thức và kiểm tra kết quả nhanh chóng, qua đó củng cố kiến thức và học tốt môn Toán 11.

Giải bài 2.27 trang 40 SBT Toán 11 tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

Gọi số triệu đồng mà người kĩ sư đó nhận được ở năm thứ n là: \({u_n}\)

Ta có:

Người kĩ sư được công ty thuê với mức lương hằng năm là 180 triệu đồng và nhận được mức tăng lương hằng năm là 5%

=> Dãy số (u_n) là một cấp số nhân có: \(\left\{ \begin{array}{l} {u_1} = {\rm{ }}180{\rm{ }}\\ q{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}5\% {\rm{ }} = {\rm{ }}1,05 \end{array} \right.\)

Khi bắt đầu năm thứ sáu làm việc cho công ty thì mức lương năm của người kĩ sư đó là:

\({u_6} = {\rm{ }}{u_1}{q^5} = {\rm{ }}180.{\left( {1,05} \right)^5} \approx {\rm{ }}229,73\) (triệu đồng).

Vậy mức lương của người kĩ sư khi bắt đầu năm thứ sáu làm việc cho công ty là: \({\rm{ }}229,73\) triệu đồng.

Giải bài 2.28 trang 40 SBT Toán 11 tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

Gọi số tiền (triệu đồng) mà cô Hoa có trong chương trình tích luỹ ở lần gửi thứ n (vào đầu tháng thứ n) là: \({u_n}\)

Kí hiệu a = 0,5 triệu đồng, r = 0,5% .

Số tiền của cô Hoa trong chương trình ở đầu tháng 1 là: \({u_1} = {\rm{ }}a\)

Số tiền của cô Hoa trong chương trình ở đầu tháng 2 là:

\({u_2} = {\rm{ }}{u_1}\left( {1{\rm{ }} + {\rm{ }}r} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}a{\rm{ }} = {\rm{ }}a{\rm{ }}\left( {1{\rm{ }} + {\rm{ }}r} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}a\)

Số tiền của cô Hoa trong chương trình ở đầu tháng 3 là

\(\begin{array}{l} {u_3} = {\rm{ }}{u_2}\left( {1{\rm{ }} + {\rm{ }}r} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}a{\rm{ }}\\ = {\rm{ }}a{\rm{ }}{\left( {1{\rm{ }} + {\rm{ }}r} \right)^2} + {\rm{ }}a{\rm{ }}\left( {1{\rm{ }} + {\rm{ }}r} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}a \end{array}\).

Tương tự cho các tháng tiếp theo:

Số tiền của cô Hoa trong chương trình ở đầu tháng n là

\(\begin{array}{l} {u_n} = {\rm{ }}a{\left( {1{\rm{ }} + {\rm{ }}r} \right)^{n - 1}} + {\rm{ }}a{\left( {1{\rm{ }} + {\rm{ }}r} \right)^{n - 2}} + {\rm{ }}...{\rm{ }} + {\rm{ }}a\left( {1{\rm{ }} + {\rm{ }}r} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}a\\ = {\rm{ }}a{\rm{ }}\left[ {{{\left( {1{\rm{ }} + {\rm{ }}r} \right)}^{n - 1}} + {\rm{ }}{{\left( {1 + r} \right)}^{n - 2}} + {\rm{ }}...{\rm{ }} + {\rm{ }}\left( {1{\rm{ }} + {\rm{ }}r} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right] \end{array}\)

\(= a.\frac{{{{(1 + r)}^n} - 1}}{{(1 + r) - 1}} = a.\frac{{{{(1 + r)}^n} - 1}}{r}\)

Vào thời điểm gửi khoản tiền thứ 180, cô ấy sẽ tích luỹ được

\(u_{180}=0,5.\frac{(1+0,5%)180-1}{0,5%} \approx 145,41\) (triệu đồng).

Vậy tuổi của con gái cô Hoa là \(3{\rm{ }} + {\rm{ }}\frac{{180}}{{12}} = {\rm{ }}18\) (tuổi).

Giải bài 2.29 trang 40 SBT Toán 11 tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

Gọi diện tích hai tam giác được tô màu ở lần thực hiện thứ n là: \({u_n}\)

Độ dài cạnh của hình vuông ban đầu là \(a\)

Hai tam giác được tạo thành là các tam giác vuông cân có độ dài cạnh góc vuông bằng \(\frac{1}{2}\) độ dài của hình vuông trước mỗi lần chia.

Ở lần 1 thì độ dài cạnh tam giác vuông cân là \(\frac{a}{4}\) 

\(\Rightarrow {u_1} = 2.\frac{1}{2}.{\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \frac{{{a^2}}}{{{2^2}}}\)  

Độ dài cạnh hình vuông sau đó là \(\sqrt{(\frac{a}{2})^{2}+(\frac{a}{2})^{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\) (theo định lí Pythagore).

Ở lần 2 thì độ dài cạnh tam giác vuông cân là \(\frac{a}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

\(\Rightarrow {u_2} = 2.\frac{1}{2}.{\left( {\frac{a}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = \frac{{{a^2}}}{{{2^3}}}\)

Ở lần 3 thì độ dài cạnh tam giác vuông cân là \(\frac{a}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\Rightarrow {u_3} = \frac{{{a^2}}}{{{2^4}}}\)

Cứ tiếp tục như vậy, ta được dãy số (u_n) là cấp số nhân với \(\left\{ \begin{array}{l} {u_1} = \frac{{{a^2}}}{{{2^2}}}\\ q = \frac{1}{2} \end{array} \right.\)

Với \(a{\rm{ }} = {\rm{ }}16{\rm{ }}cm \Rightarrow {u_1} = \frac{{{{16}^2}}}{{{2^2}}} = 64\left( {cm} \right)\)

Suy ra tổng diện tích sau năm lần thực hiện là:

\({S_5} = {u_1}\frac{{1 - {q^5}}}{{1 - q}} = 64.\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^5}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 124(c{m^2})\)

Vậy đáp án cần tìm là: \(124(c{m^2})\)

Giải bài 2.30 trang 40 SBT Toán 11 tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} {u_1} = {\rm{ }}3\\ {u_2} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}{u_4} = {\rm{ }}24 \end{array} \right.\)

\(\Rightarrow {u_4} = {\rm{ }}{u_1}{q^3} = {\rm{ }}3{q^3} = {\rm{ }}24\) (Theo tính chất của cấp số nhân)

\(\Rightarrow q{\rm{ }} = {\rm{ }}2\)

Từ đó ta tính được: \(\left\{ \begin{array}{l} {u_2} = {\rm{ }}3.2{\rm{ }} = {\rm{ }}6\\ {u_3} = {\rm{ }}6.12{\rm{ }} = {\rm{ }}12 \end{array} \right.\)

Vậy chèn hai trung bình nhân vào giữa 3 và 24 ta được cấp số nhân là: \(3,{\rm{ }}6,{\rm{ }}12,{\rm{ }}24\)

b) Ta có:

Chèn ba trung bình nhân vào giữa 2,25 và 576 ta được cấp số nhân có \(\left\{ \begin{array}{l} {u_1} = {\rm{ }}2,25\\ {u_{2 + 3}} = {\rm{ }}{u_5} = {\rm{ }}576 \end{array} \right.\)

\(\Rightarrow {u_5} = {\rm{ }}{u_1}{q^4} = {\rm{ }}2,25{q^4} = {\rm{ }}576\) (Theo tính chất của cấp số nhân) 

\(\Rightarrow {\rm{ }}q{\rm{ }} = {\rm{ }} \pm 4\)

Với \(q = 4\), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} {u_2} = {\rm{ }}2,25.4{\rm{ }} = {\rm{ }}9\\ {u_3} = {\rm{ }}9.4{\rm{ }} = {\rm{ }}36\\ {u_4} = {\rm{ }}36.4{\rm{ }} = {\rm{ }}144 \end{array} \right.\)

=> Chèn ba trung bình nhân vào giữa 2,25 và 576 ta được cấp số nhân \(2,25;{\rm{ }}9;{\rm{ }}36;{\rm{ }}144;{\rm{ }}576\).

Với \(q = -4\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} {u_2} = {\rm{ }}2,25{\rm{ }}.{\rm{ }}\left( { - 4} \right){\rm{ }} = {\rm{ }} - 9\\ {u_3} = {\rm{ }}\left( { - 9} \right).\left( { - 4} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}36\\ {u_4} = {\rm{ }}36.\left( { - 4} \right){\rm{ }} = {\rm{ }} - 144 \end{array} \right.\)

Khi đó chèn ba trung bình nhân vào giữa 2,25 và 576 ta được cấp số nhân \(2,25;{\rm{ }} - 9;{\rm{ }}36;{\rm{ }} - 144;{\rm{ }}576.\)

-----------------------------------------

Tham khảo Giải SBT Toán 11 trang 40 tập 1 Kết nối tri thức là cách thuận tiện để rà soát phương pháp giải và củng cố nội dung Cấp số nhân. Học sinh nên kết hợp tự làm bài, đối chiếu đáp án và ghi nhớ các công thức quan trọng để nâng cao kỹ năng giải Toán 11.