Giải SBT Toán 11 trang 33 tập 1 Kết nối tri thức
Giải SBT Toán 11 trang 33 tập 1 Kết nối tri thức Bài 5
Giải SBT Toán 11 trang 33 tập 1 Kết nối tri thức cung cấp hướng dẫn giải các bài tập thuộc Bài 5: Dãy số. Nội dung được trình bày rõ ràng, cô đọng, giúp học sinh dễ đối chiếu kết quả, hiểu phương pháp giải và vận dụng kiến thức về dãy số vào từng bài tập. Qua đó, học sinh có thể củng cố kiến thức và học tốt môn Toán 11 hiệu quả hơn.
Giải bài 2.1 trang 33 SBT Toán 11 tập 1 KNTT
Viết năm số hạng đầu tiên của mỗi dãy số 
\(\left( {{u_n}} \right)\) sau:
a) \({u_n} = {( - 1)^{n - 1}}.\frac{n}{{2x - 1}}\) b) \({u_1} = 1,{u_n} = n - {u_{n - 1}};(n \ge 2)\)
Hướng dẫn giải
a) Năm số hạng đầu tiên của mỗi dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là:
\(u_{1}=(-1)^{0}.\frac{1}{2.1-1}=1\)
\(u_{2}=(-1)^{2-1}.\frac{2}{2.2-1}=-\frac{2}{3}\)
\(u_{3}=(-1)^{3-1}.\frac{3}{2.3-1}=\frac{3}{5}\)
\(u_{4}=(-1)^{4-1}.\frac{4}{2.4-1}=-\frac{4}{7}\)
\(u_{5}=(-1)^{5-1}.\frac{5}{2.5-1}=\frac{5}{9}\)
b) Năm số hạng đầu tiên của mỗi dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là:
\(u_{1}=1;u_{2}=2-u_{1}=2-1=1\)
\(u_{3}=3-u_{2}=3-1=2\)
\(u_{4}=4-u_{3}=4-2=2\)
\(u_{5}=5-u_{4}=5-2=3\)
Giải bài 2.2 trang 33 SBT Toán 11 tập 1 KNTT
Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số sau:
a) \(u_{n}=n^{2}+n+1\) b) \(u_{n}=\frac{2n+5}{n+2}\) c) \(u_{n}=\frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}+1}\)
Hướng dẫn giải
a) Xét hiệu:
\(\begin{array}{l}
{u_{n + 1}} - {u_n}\\
= \left[ {{{(n + 1)}^2} + (n + 1) + 1} \right] - ({n^2} + n + 1)\\
= {n^2} + 2n + 1 + n + 1 + 1 - {n^2} - n - 1\\
= 2n + 2 > 0;\forall n \ge 1
\end{array}\)
\(\Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n};\forall n \ge 1\)
Vậy dãy \((u_{n})\) đã cho là dãy số tăng.
b) Xét hiệu:
\(\begin{array}{l}
{u_{n + 1}} - {u_n}\\
= \frac{{2(n + 1) + 5}}{{n + 1 + 2}} - \frac{{2n + 5}}{{n + 2}}\\
= \frac{{2n + 7}}{{n + 3}} - \frac{{2n + 5}}{{n + 2}}\\
= \frac{{(2n + 7)(n + 2) - (2n + 5)(n + 3)}}{{(n + 3)(n + 2)}}\\
= \frac{{ - 1}}{{(n + 3)(n + 2)}} < 0,\forall n \ge 1
\end{array}\)
\(\Rightarrow {u_{n + 1}} < {u_n},\forall n \ge 1\)
Vậy \((u_{n})\) là dãy số giảm.
c) Xét hiệu:
\(\begin{array}{l}
{u_{n + 1}} - {u_n}\\
= \frac{{{{( - 1)}^{n + 1 - 1}}}}{{{{(n + 1)}^2} + 1}} - \frac{{{{( - 1)}^{n - 1}}}}{{{n^2} + 1}}\\
= \frac{{{{( - 1)}^n}}}{{{{(n + 1)}^2} + 1}} + \frac{{{{( - 1)}^n}}}{{{n^2} + 1}}\\
= {( - 1)^n}.\left[ {\frac{1}{{{{(n + 1)}^2} + 1}} + \frac{1}{{{n^2} + 1}}} \right]
\end{array}\)
Vì \(\frac{1}{(n+1)^{2}+1}+\frac{1}{n^{2}+1} > 0, \forall n \geq 1\) nên hiệu \(u_{n+1}-u_{n}\) dương hay âm phụ thuộc vào n, cụ thể là dương khi n chẵn và âm khi n lẻ.
=> Dãy số \((u_{n})\) không tăng cũng không giảm.
Giải bài 2.3 trang 33 SBT Toán 11 tập 1 KNTT
Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
a) \(u_{n}=\frac{n}{2n+1}\) b) \(u_{n}=n^{2}+n-1\) c) \(u_{n}=-n^{2}+1\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có
\(u_{n}=\frac{n}{2n+1} \geq \frac{1}{3} , \forall n \geq 1\)
\(u_{n}=\frac{n}{2n+1}=\frac{\frac{1}{2}(2n+1)-\frac{1}{2}}{2n+1}\)\(=\frac{1}{2}-\frac{\frac{1}{2}}{2n+1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2(2n+1)}\)
\(\Rightarrow {u_n} \le \frac{1}{2},\forall n \ge 1\)
Do đó \(\frac{1}{3} \leq u_{n} \leq \frac{1}{2} \forall n \geq 1\).
Vậy \((u_{n})\) là dãy số bị chặn.
b) Ta có:
\(n-1 \geq 0\) với mọi \(n \geq 1\) và \(n^{2} \geq 0\) với mọi n.
=> \(u_{n}=n^{2}+n-1 \geq 1\)
Vậy dãy số \((u_{n})\) bị chặn dưới bởi 1 với mọi \(n \geq 1\)
c) Ta có:
\(u_{n}=-n^{2}+1<1\) với mọi \(n \geq 1\)
Vậy dãy số \((u_{n})\) bị chặn trên bởi 1 với mọi \(n \geq 1\)
------------------------------------------
Giải SBT Toán 11 trang 33 tập 1 Kết nối tri thức cung cấp hướng dẫn giải các bài tập thuộc Bài 5: Dãy số. Nội dung được trình bày rõ ràng, cô đọng, giúp học sinh dễ đối chiếu kết quả, hiểu phương pháp giải và vận dụng kiến thức về dãy số vào từng bài tập. Qua đó, học sinh có thể củng cố kiến thức và học tốt môn Toán 11 hiệu quả hơn.
