Giải SBT Toán 11 trang 78 tập 1 Kết nối tri thức
Giải SBT Toán 11 trang 78 tập 1 Kết nối tri thức Bài 15
Giải SBT Toán 11 trang 78 tập 1 Kết nối tri thức hướng dẫn học sinh thực hiện các bài tập thuộc Bài 15: Giới hạn của dãy số. Nội dung giúp làm rõ cách nhận biết giới hạn, vận dụng quy tắc tính và trình bày lời giải theo từng dạng bài, từ đó củng cố kiến thức và hỗ trợ học tốt môn Toán 11.
Giải bài 5.1 trang 77 SBT Toán 11 KNTT tập 1
Tính các giới hạn sau:
a) 
\(\lim_{n \to + \infty} \frac{n^{2}+1}{2n^{2}+n+2}\)
b) \(\lim_{n \to + \infty}\frac{2^{n}+3}{1+3^{n}}\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
\(\lim_{n \to + \infty} \frac{n^{2}+1}{2n^{2}+n+2}=\lim_{n \to + \infty}\frac{1+\frac{1}{n^{2}}}{2+\frac{1}{n}+\frac{2}{n^{2}}}=\frac{1}{2}\)
b) Ta có:
\(\lim_{n \to + \infty}\frac{2^{n}+3}{1+3^{n}}=\lim_{n \to + \infty}\frac{(\frac{2}{3})^{n}+(\frac{1}{3})^{n-1}}{(\frac{1}{3})^{n}+1}=0\)
Giải bài 5.2 trang 78 SBT Toán 11 KNTT tập 1
Tính các giới hạn sau:
a) \(\lim_{n \to + \infty}(\sqrt{n^{2}+2n}-n-2)\) b) \(\lim_{n \to + \infty}(2+n^{2}-\sqrt{n^{4}+1}\)
c) \(\lim_{n \to + \infty}(\sqrt{n^{2}-n+2}+n)\) d) \(\lim_{n \to +\infty}(3n - \sqrt{4n^{2}+1})\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
\(\lim_{n \to + \infty}(\sqrt{n^{2}+2n}-n-2)\)
= \(\lim_{n \to +\infty}\frac{-2n-4}{\sqrt{n^{2}+2n}+n+2}\)
= \(\lim_{n \to +\infty}\frac{-2-\frac{4}{n}}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}+1+\frac{2}{n}}=-1\)
b) Ta có:
\(\lim_{n \to + \infty}(2+n^{2}-\sqrt{n^{4}+1})\)
= \(\lim_{n \to +\infty}\frac{4n^{2}+3}{2+n^{2}+\sqrt{n^{4}+1}}\)
= \(\lim_{n \to +\infty}\frac{4+\frac{3}{n^{2}}}{\frac{2}{n^{2}}+1+\sqrt{1+\frac{1}{n^{4}}}}\)
= 2
c) Ta có:
\(\lim_{n \to + \infty}(\sqrt{n^{2}-n+2}+n)\)
= \(\lim_{n \to +\infty}n(\sqrt{1-\frac{1}{n}+\frac{2}{n^{2}}}+1)\)
= \(+\infty\)
d) Ta có::
\(\lim_{n \to +\infty}(3n - \sqrt{4n^{2}+1})\)
= \(\lim_{n \to +\infty}n(3-\sqrt{4+\frac{1}{n^{2}}})\)
= \(+\infty\)
Giải bài 5.3 trang 78 SBT Toán 11 KNTT tập 1
Cho \(u_{n}=\frac{1+a+a^{2}+...+a^{n}}{1+b+b^{2}+...+b^{n}}\) với a, b là các số thực thoả mãn |a| < 1, |b| < 1. Tìm \(\lim_{n \to +\infty}u_{n}\)
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(u_{n}=\frac{1+a+a^{2}+...+a^{n}}{1+b+b^{2}+...+b^{n}}=\frac{\frac{1-a^{n+1}}{1-a}}{\frac{1-b^{n+1}}{1-b}}=\frac{1-b}{1-a}.\frac{1-a^{n+1}}{1-b^{n+1}}\)
Do đó \(\lim_{n \to + \infty}u_{n}=\frac{1-b}{1-a}\)
Giải bài 5.4 trang 78 SBT Toán 11 KNTT tập 1
Tìm \(\lim_{n\to +\infty}\frac{1+3+5+...+(2n-1)}{n^{2}+2n}\)
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\lim_{n\to +\infty}\frac{1+3+5+...+(2n-1)}{n^{2}+2n}\)
= \(\lim_{n \to +\infty}\frac{n^{2}}{n^{2}+2n}\)
= \(\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{1+\frac{2}{n}}=1\)
Giải bài 5.5 trang 78 SBT Toán 11 KNTT tập 1
Tính tổng \(S=-1+\frac{1}{5}-\frac{1}{5^{2}}+...+(-1)^{n}\frac{1}{5^{n-1}}+...\)
Hướng dẫn giải
Ta thấy S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn \((u_{n})\) với \(u_{1}=-1\) và \(q=\frac{-1}{5}\)
=> \(S=\frac{-1}{1+\frac{1}{5}}=\frac{-5}{6}\)
Giải bài 5.6 trang 78 SBT Toán 11 KNTT tập 1
Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số:
a) 1,(03) b) 3,(23)
Bài làm
a) Ta có:
\(1,(03)=1+\frac{3}{100}+\frac{3}{100^{2}}+...\frac{3}{100^{n}}+...\)
= \(1+\frac{\frac{3}{100}}{1-\frac{1}{100}}=1\frac{3}{99}=\frac{102}{99}\)
b) Ta có:
\(3,(23)=3+\frac{23}{100}+\frac{23}{100^{2}}+...\frac{23}{100^{n}}+...\)
\(=3+\frac{\frac{23}{100}}{1-\frac{1}{100}}=3\frac{23}{99}=\frac{320}{99}\)
Giải bài 5.7 trang 78 SBT Toán 11 KNTT tập 1
Cho dãy số \((u_{n})\) với \(u_{n}=\frac{cosx}{n^{2}}\). Tìm \(\lim_{n\to +\infty}u_{n}\)
Hướng dẫn giải
Ta có: \(|u_{n}|=|\frac{cosn}{n^{2}}| \leq \frac{1}{n^{2}} .\)
Do \(\lim_{n \to + \infty}\frac{1}{n^{2}}=0 nên \lim_{n\to +\infty}u_{n}=0\)
Giải bài 5.8 trang 78 SBT Toán 11 KNTT tập 1
Cho tam giác A1B1C1 có diện tích là 3 (đơn vị diện tích). Dựng tam giác A2B2C2 bằng cách nối các trung điểm của các cạnh B1C1, C1A1, A1B1. Tiếp tục quá trình này, ta có các tam giác A3B3C3, …, AnBnCn,… Kí hiệu sn là diện tích của tam giác AnBnCn
a) Tính sn
b) Tính tổng s1 + s2 +...+ sn +...
Hướng dẫn giải
a, Theo cách xác định tam giác A2B2C2, ta có: \(s_{2}=\frac{1}{4}s_{1}\)
Tương tự như vậy, ta có: \(s_{3}=\frac{1}{4}s_{2},...,s_{n}=\frac{1}{4}s_{n-1}\)
=> \(s_{n}=(\frac{1}{4})^{n-1}s_{1}=3.(\frac{1}{4})^{n-1}\)
b, Suy ra: \(s_{1}+s_{2}+...+s_{n}+...=\frac{3}{1-\frac{1}{4}}=4\)
Giải bài 5.9 trang 78 SBT Toán 11 KNTT tập 1
Cho dãy số \((u_{n})\) với \(u_{1}=2,u_{n+1}=u_{n}+\frac{2}{3^{n}}, n \geq 1\). Đặt \(v_{n}=u_{n+1}-u_{n}\)
a) Tính \(v_{1}+v_{2}+...+v_{n}\) theo n
b) Tính un theo n
c) Tìm \(\lim_{n \to +\infty}u_{n}\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có: \(v_{n}=\frac{2}{3^{n}}\)
=> \(v_{1}+v_{2}+...+v_{n}=2.\frac{1-\frac{1}{3^{n+1}}}{1-\frac{1}{3}}=3.(1-\frac{1}{3^{n+1}})\)
b) Ta có: \(v_{1}+v_{2}+...+v_{n}=(u_{2}-u_{1})+(u_{3}-u_{2})+...+(u_{n+1}-u_{n})\)
\(=u_{n+1}-u_{1}=u_{n+1}-2\)
Vậy \(u_{n}=3(1-\frac{1}{3^{n}})+2\)
c) Ta có:
\(\lim_{n \to + \infty}u_{n}\)
\(=\lim_{n \to +\infty}[3(1-\frac{1}{3^{n}}+2]\)
\(=\lim_{n \to +\infty}\frac{5.3^{n}-1}{3^{n}}\)
\(=\lim_{n\to +\infty}\frac{5-\frac{1}{3^{n}}}{1}=5\)
Giải bài 5.10 trang 78 SBT Toán 11 KNTT tập 1
Cho dãy số un có tính chất \(|u_{n}-\frac{n}{n+1}| \leq \frac{1}{n^{2}}\). Tính \(\lim_{n \to +\infty}u_{n}\)
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\lim_{n \to +\infty}u_{n}=\lim_{n\to + \infty}(u_{n}-\frac{n}{n+1})=\lim_{n\to + \infty}(u_{n}-1)=0\)
=> \(\lim_{n \to + \infty}u_{n}=1\)
---------------------------
Tham khảo Giải SBT Toán 11 trang 78 tập 1 Kết nối tri thức giúp học sinh ôn lại các kiến thức trọng tâm về giới hạn của dãy số và kiểm tra phương pháp giải từng bài. Chủ động luyện tập, đối chiếu đáp án và ghi nhớ các quy tắc quan trọng sẽ giúp nâng cao khả năng vận dụng khi gặp dạng toán tương tự.
