Giải SBT Toán 11 trang 29 tập 1 Kết nối tri thức
Giải SBT toán 11 KNTT trang 29 Bài tập cuối chương 1
Giải SBT Toán 11 trang 29 tập 1 Kết nối tri thức giúp học sinh tham khảo cách giải các bài tập trong phần Bài tập cuối Chương 1. Lời giải được trình bày cô đọng, dễ theo dõi, hỗ trợ kiểm tra đáp án, củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài. Đây là nguồn tham khảo hữu ích cho học sinh muốn học tốt môn Toán 11.
Giải bài 1.58 trang 29 SBT Toán 11 tập 1 KNTT
Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) 
\(y = \cos \frac{{2x}}{{x - 1}}\) b) \(y = \frac{1}{{\cos x - \cos 3x}}\)
c) \(y = \frac{1}{{\cos x + \sin 2x}}\) d) \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}\tan x{\rm{ }} + {\rm{ }}\cot x\)
Hướng dẫn giải
a) Biểu thức \(cos\frac{2x}{x-1}\) có nghĩa khi \(x-1\neq 0\) hay \(x \neq 1\)
Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\) \(\neq\) 1
b) Biểu thức \(\frac{1}{cosx-cos3x}\) có nghĩa khi
\(\cos x - \cos 3x \ne 0 \Rightarrow \cos x \ne \cos 3x\)
\(\Leftrightarrow 3x \neq \pm x + k2\pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow x \neq k\frac{\pi}{2} (k \in \mathbb{Z})\)
Vậy tập xác định của hàm số là \(D=\mathbb{R} \ { k\frac{\pi}{2}|k \in \mathbb{Z} }\)
c) Biểu thức \(\frac{1}{cosx+sin2x}\) có nghĩa khi
\(cosx +sin2x \neq 0 \Leftrightarrow cosx \neq cos3x\)
\(\Leftrightarrow 3x \neq \pm x + k2\pi (k \in \mathbb{Z}) (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow x \neq k\frac{\pi}{2} (k \in \mathbb{Z})\)
\(\left\{\begin{matrix}x \neq \frac{\pi}{2}+2x+k2\pi\\x \neq -(\frac{-\pi}{2}+2x)+k2\pi \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x \neq -\frac{\pi}{2}+k2\pi\\x \neq -\frac{\pi}{6} +k\frac{2\pi}{3}\end{matrix}\right. (k \in \mathbb{Z})\)
Vậy tập xác định của hàm số là \(D=\mathbb{R} \ { -\frac{\pi}{2}+k2\pi,-\frac{\pi}{6}+k\frac{2\pi}{3} | k \in \mathbb{Z} }\)
d) Biểu thức tanx + cotx có nghĩa khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sin x \ne 0}\\
{\cos x \ne 0}
\end{array}} \right.\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 2\sin x\cos x \ne 0\\
\Leftrightarrow \sin 2x \ne 0\\
\Leftrightarrow 2x \ne k\pi \Leftrightarrow x \ne k\frac{\pi }{2};(k \in \mathbb{Z})
\end{array}\)
Vậy tập xác định của hàm số là \(D=\mathbb{R} \ { k\frac{\pi}{2} |k\in \mathbb{Z} }\)
Giải bài 1.59 trang 29 SBT Toán 11 tập 1 KNTT
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của p
a) \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}\sin x{\rm{ }}-{\rm{ }}\cos x\) b) \(y=sinx+sin(\frac{\pi}{3}-x)\)
c) \(y=sin^{4}x+cos^{4}x\) d) \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}\cos 2x{\rm{ }} + {\rm{ }}2\cos x-1\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có: \(y = \sin x - \cos x = \sqrt 2 \sin (x - \frac{\pi }{4})\)
Vì \(- 1 \le \sin (x - \frac{\pi }{4}) \le 1\) \(\Rightarrow \sqrt 2 \le \sqrt 2 \sin (x - \frac{\pi }{4}) \le \sqrt 2\), với mọi \(x\in \mathbb{R}\)
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là \(\sqrt{2}\), đạt được khi \(\sin (x - \frac{\pi }{4}) = 1\)
\(\Leftrightarrow x - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi ;(k \in \mathbb{Z})\)
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(-\sqrt{2}\), đạt được khi \(\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = - 1\)
\(\Leftrightarrow x - \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi ;(k \in \mathbb{Z})\)
b) Ta có
\(\begin{array}{l}
y = \sin x + \sin \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right) = 2\sin \frac{{x + \frac{\pi }{3} - x}}{2}\cos \frac{{x - \frac{\pi }{3} + x}}{2}\\
= 2\sin \frac{\pi }{6}\cos (x - \frac{\pi }{6}) = 2.\frac{1}{2}.\cos (x - \frac{\pi }{6}) = \cos (x - \frac{\pi }{6})
\end{array}\)
Ta có:
\(-1 \leq cos(x-\frac{\pi}{6}) \leq 1 \forall x \in \mathbb{Z}\)
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 1, đạt được khi \(cos(x-\frac{\pi}{6})=1 \Leftrightarrow x-\frac{\pi}{6}=k2\pi (k\in \mathbb{Z})\)
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là – 1, đạt được khi \(\cos (x - \frac{\pi }{6}) = - 1\)
\(\Leftrightarrow x - \frac{\pi }{6} = \pi + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi ;(k \in \mathbb{Z})\)
c) Ta có
\(\begin{array}{l}
y = {\sin ^4}x + {\cos ^4} = {({\sin ^2}x + {\cos ^2}x)^2} - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\\
= 1 - 2{(\sin x\cos x)^2} = 1 - 2.{(\frac{{\sin 2x}}{2})^2} = 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x\\
= 1 - \frac{1}{2}.\frac{{1 - \cos 4x}}{2} = 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x
\end{array}\)
Vì \(- 1 \le \cos 4x \le 1 \Rightarrow - \frac{1}{4} \le \frac{1}{4}\cos 4x \le \frac{1}{4}\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \frac{3}{4} - \frac{1}{4} \le \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x \le \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\\
\Rightarrow \frac{1}{2} \le \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x \le 1;\forall x \in \mathbb{R}
\end{array}\)
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 1, đạt được khi cos4x =1
\(\Leftrightarrow 4x =k2\pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow x = k\frac{\pi}{2} (k \in \mathbb{Z})\)
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(\frac{1}{2}\), đạt được khi cos4x = -1
\(\Leftrightarrow 4x =\pi + k2\pi ( k\in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2} (k\in \mathbb{Z})\)
d) Ta có y = cos2x + 2cos x − 1
\(=(2cos^{2}x-1)+2cosx-1\)
\(=2cos^{2}x+2cosx-2\)
\(=2t^{2}+2t-2 với t=cosx \in [-1;1]\)
Xét hàm số \(y=2t^{2}+2t-2\) trên đoạn [– 1; 1]. Hàm số này có đồ thị như trong hình vẽ dưới đây.
Từ đồ thị ở hình trên ta suy ra được giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là 2, đạt được khi \(cosx =1 \Leftrightarrow x =k2\pi (k \in \mathbb{Z})\)
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(-\frac{5}{2}\), đạt được khi \(cosx=-\frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3}+k2\pi (k \in \mathbb{Z})\)
Giải bài 1.60 trang 29 SBT Toán 11 tập 1 KNTT
Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:
a) \(y=sin^{3}x-cotx\) b) \(y=\frac{cosx+tan^{2}x}{cosx}\)
c) \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}\sin 2x{\rm{ }} + {\rm{ }}\cos x\) d) \(y=2cos(\frac{3\pi}{4}+x)sin(\frac{\pi}{4}-x)\)
Hướng dẫn giải
a) Tập xác định của hàm số \(y=sin^{3}x-cotx là D=\mathbb{R} \ { k\pi|k\in \mathbb{Z} }\)
Nếu kí hiệu \(f(x)=sin^{3}+cotx\) thì với mọi \(x\in D\) ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}
- x \in D\\
f( - x) = {\sin ^3}( - x) - \cot ( - x) = - {\sin ^3}x + \cot x = - ({\sin ^3}x - \cot x) = - f(x)
\end{array} \right.\)
Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.
b) Tập xác định của hàm số \(y = \frac{cosx+tan^{2}x}{cosx} là D=\mathbb{R} \ { \frac{\pi}{2}+k\pi|k\in \mathbb{Z} }\)
Nếu kí hiệu \(f(x)=\frac{cosx+tan^{2}x}{cosx}\) thì với mọi \(x\in D\) ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}
- x \in D\\
f( - x) = \frac{{\cos ( - x) + {{\tan }^2}( - x)}}{{\cos ( - x)}} = \frac{{\cos x + {{( - \tan x)}^2}}}{{\cos x}} = \frac{{\cos x + {{\tan }^2}x}}{{\cos x}} = f(x)
\end{array} \right.\)
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
c) Tập xác định của hàm số y = sin2x + cosx là \(D=\mathbb{R}\)
Nếu kí hiệu f(x) = sin2x + cosx thì với mọi \(x\in D\) ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}
- x \in D\\
f(x) = \sin [2(x)] + \cos (x) = \sin 2x + \cos x \ne \pm {\rm{ }}f(x)
\end{array} \right.\)
Vậy hàm số đã cho là hàm số không chẵn cũng không lẻ.
d) Tập xác định của hàm số \(y=2cos(\frac{3\pi}{4}+x)sin(\frac{\pi}{4}-x)\) là \(D=\mathbb{R}\)
Ta có
\(y=2cos(\frac{3\pi}{4}+x)sin(\frac{\pi}{4}-x)\)
\(y= sin[(\frac{\pi}{4}-x)+(\frac{3\pi}{4}+x)]+sin[(\frac{\pi}{4}-x)-(\frac{3\pi}{4}+x)]\)\(y= sin\pi +sin(-\frac{\pi}{2}-2x) =0-sin(\frac{\pi}{2}+2x)\)
\(y =-cos[\frac{\pi}{2}-(\frac{\pi}{2}+2x)]=-cos2x\)
Nếu kí hiệu \(f(x)=2cos(\frac{3\pi}{4}+x)sin(\frac{\pi}{4}-x)\) thì với mọi \(x\in D\) ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}
- x \in D\\
f( - x) = - \cos ( - 2x) = - \cos 2x = f(x)
\end{array} \right.\)
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
Giải bài 1.61 trang 29 SBT Toán 11 tập 1 KNTT
Xét tính tuần hoàn của các hàm số sau:
a) \(y=sin\frac{x}{2}+cos3x\) b) \(y=cos5x+tan\frac{x}{3}\)
Hướng dẫn giải
a) Hàm số \(y=sin\frac{x}{2}\) tuần hoàn với chu kì \(T_{1}=\frac{2\pi}{\frac{1}{2}}=4\pi\), hàm số y = cos3x tuần hoàn với chu kì \(T_{2}=\frac{2\pi}{3}\).
Ta có \(4\pi=6.\frac{2\pi}{3}\)
Ta chỉ ra rằng hàm số \(f(x)=sin\frac{x}{2}+cos3x\) tuần hoàn như sau:
\(f(x+4\pi)=sin\frac{x+4\pi}{2}+cos3(x+4\pi)\)
\(=sin(\frac{x}{2}+2\pi)+cos(3x+12\pi)\)
\(=sin\frac{x}{2}+cos3x=f(x) \forall x \in \mathbb{R}\)
Vậy hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn với chu kì \(T=4\pi\)
b) Hàm số y = cos5x tuần hoàn với chu kì \(T_{1}=\frac{2\pi}{5}\), hàm số \(y=tan\frac{x}{3}\) hoàn với chu kì \(T_{2}=\frac{\pi}{\frac{1}{3}}=3\pi\)
Ta có \(6\pi =2.3\pi = 15.\frac{2\pi}{5}\)
Ta có thể chỉ ra hàm số \(f(x)=cos5x+tan\frac{x}{3}\) tuần hoàn như sau
\(\begin{array}{l}
f(x + 6\pi ) = \cos 5(x + 6\pi ) + \tan \frac{{x + 6\pi }}{3}\\
= \cos (5x + 30\pi ) + \tan (\frac{x}{3} + 2\pi )\\
= \cos 5x + \tan \frac{x}{3} = f(x);\forall x \in \mathbb{R}
\end{array}\)
Vậy hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn với chu kì \(T=6\pi\)
Giải bài 1.62 trang 29 SBT Toán 11 tập 1 KNTT
Giải các phương trình sau:
a) \(sin3x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\) b) \(tan(\frac{x}{3}+10^{o})=-\frac{1}{\sqrt{3}}\)
c) \(\sin {\rm{ }}3x{\rm{ }}-{\rm{ }}\cos {\rm{ }}5x{\rm{ }} = {\rm{ }}0\); d) \(\tan {\rm{ }}3x{\rm{ }}\tan {\rm{ }}x{\rm{ }} = {\rm{ }}1\).
Hướng dẫn giải
a) Ta có
\(\sin 3x = - \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \sin 3x = \sin ( - \frac{\pi }{3})\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
3x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \\
3x = \pi - ( - \frac{\pi }{3}) + k2\pi
\end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - \frac{\pi }{9} + k\frac{{2\pi }}{3}\\
x = \frac{{4\pi }}{9} + k\frac{{2\pi }}{3})
\end{array} \right.;(k \in \mathbb{Z})\)
b) Ta có
\(\begin{array}{l}
\tan (\frac{x}{3} + {10^o}) = - \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow \tan (\frac{x}{3} + {10^o}) = \tan ( - {30^o})\\
\Leftrightarrow \frac{x}{3} + {10^o} = - {30^o} + k{.180^o} \Leftrightarrow x = - {120^o} + k{.540^o};(k \in \mathbb{Z})
\end{array}\)
c) Ta có
\(\begin{array}{l}
\sin 3x{\rm{ }}--{\rm{ }}\cos 5x{\rm{ }} = {\rm{ }}0\\
\Leftrightarrow \sin 3x = \cos 5x\\
\Leftrightarrow \sin 3x = \sin (\frac{\pi }{2} - 5x)
\end{array}\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
3x = \frac{\pi }{2} - 5x + k2\pi \\
3x = \pi - (\frac{\pi }{2} - 5x) + k2\pi
\end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{{16}} + k\frac{\pi }{4}\\
x = - \frac{\pi }{4} - k\pi
\end{array} \right.;(k \in \mathbb{Z})\)
d) Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}
\cos 3x \ne 0\\
\cos x \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \cos 3x \ne 0\)
Ta có
\(\begin{array}{l}
\tan 3x\tan {\rm{ }}x{\rm{ }} = {\rm{ }}1 \Leftrightarrow \tan 3x = \frac{1}{{\tan x}}\\
\Leftrightarrow \tan 3x = \cot x \Leftrightarrow \tan 3x = \cot x\\
\Leftrightarrow \tan 3x = \tan (\frac{\pi }{2} - x) \Leftrightarrow 3x = \frac{\pi }{2} - x + k\pi \\
\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{4};(k \in )
\end{array}\)
Ta thấy \(x=\frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{4} (k \in \mathbb{Z})\) thoả mãn điều kiện.
Vậy nghiệm của phương trình là \(x=\frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{4} (k \in \mathbb{Z})\).
-------------------------------
Qua Giải SBT Toán 11 trang 29 tập 1 Kết nối tri thức, học sinh có thể hệ thống lại kiến thức trọng tâm của Chương 1 và tự đánh giá mức độ hiểu bài thông qua từng dạng bài tập. Chủ động luyện giải trước, sau đó đối chiếu đáp án sẽ giúp nâng cao khả năng vận dụng và chuẩn bị tốt cho các chương tiếp theo.
