Giải SBT Toán 11 Kết nối tri thức trang 43 tập 1
Giải SBT Toán 11 Kết nối tri thức trang 43 Bài tập cuối chương 2
Giải SBT Toán 11 Kết nối tri thức trang 43 tập 1 cung cấp lời giải Bài tập cuối chương 2 rõ ràng, dễ hiểu. Nội dung giúp học sinh đối chiếu đáp án, củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải bài Toán 11.
Giải bài 2.47 trang 43 SBT Toán 11 tập 1 KNTT
Dãy các số chính phương sau đây không phải là cấp số cộng
\(1,{\rm{ }}4,{\rm{ }}9,{\rm{ }}16,{\rm{ }}25,{\rm{ }}36,{\rm{ }}49,{\rm{ }}64,{\rm{ }}81,{\rm{ }}...\)
Tuy nhiên, chúng ta có thể lập một cấp số cộng liên quan bằng cách tìm hiệu của các số hạng liên tiếp của dãy số này.
a) Viết tám số hạng đầu của cấp số cộng liên quan được mô tả ở trên. Tìm công thức của số hạng thứ n của cấp số cộng này.
b) Mô tả bằng cách nào để chúng ta có thể lập được một cấp số cộng từ dãy các số lập phương sau đây:
\(1,{\rm{ }}8,{\rm{ }}27,{\rm{ }}64,{\rm{ }}125,{\rm{ }}216,{\rm{ }}343,{\rm{ }}512,{\rm{ }}729,{\rm{ }}...\)
c) Viết bảy số hạng đầu của cấp số cộng ở trong phần b) và tìm số hạng thứ n của nó.
Hướng dẫn giải
a) Công thức số hạng thứ n của dãy các số chính phương đã cho là n2 với mọi n ≥ 1.
Viết 8 số hạng đầu của cấp số cộng (un) như sau:
\(\begin{array}{l}
{u_1} = {\rm{ }}4{\rm{ }} - {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}3;{\rm{ }}{u_2} = {\rm{ }}9{\rm{ }} - {\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}5;{\rm{ }}\\
{u_3} = {\rm{ }}16{\rm{ }} - {\rm{ }}9{\rm{ }} = {\rm{ }}7;{\rm{ }}{u_4} = {\rm{ }}25{\rm{ }} - {\rm{ }}16{\rm{ }} = {\rm{ }}9;\\
{u_5} = {\rm{ }}36{\rm{ }} - {\rm{ }}25{\rm{ }} = {\rm{ }}11;{\rm{ }}{u_6} = {\rm{ }}49{\rm{ }} - {\rm{ }}36{\rm{ }} = {\rm{ }}13;\\
{\rm{ }}{u_7} = {\rm{ }}64{\rm{ }} - {\rm{ }}49{\rm{ }} = {\rm{ }}15;{\rm{ }}{u_8} = {\rm{ }}81{\rm{ }} - {\rm{ }}64{\rm{ }} = {\rm{ }}17
\end{array}\)
Xét hiệu của hai số hạng liên tiếp, khi đó số hạng thứ n của cấp số cộng này là hiệu của số hạng thứ n + 1 và số hạng thứ n của dãy các số chính phương
Suy ra \({u_n} = {\rm{ }}{\left( {n{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2} - {\rm{ }}{n^2} = {\rm{ }}2n{\rm{ }} + {\rm{ }}1,{\rm{ }}\forall {\rm{ }}n{\rm{ }} \ge {\rm{ }}1\)
Ta chứng minh được dãy số (un) là cấp số cộng với công sai d = 2.
b) Xét dãy các số lập phương, với ba số hạng liên tiếp ta lấy số đầu cộng với số thứ ba trừ đi 2 lần số thứ hai ta thu được một cấp số cộng.
c) Viết 7 số hạng đầu của cấp số cộng ở trong câu b là \(12;{\rm{ }}18;{\rm{ }}24;{\rm{ }}30;{\rm{ }}36,{\rm{ }}42,{\rm{ }}48,\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = {\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}27{\rm{ }} - {\rm{ }}2.8{\rm{ }} = {\rm{ }}12;}\\
{{u_2} = {\rm{ }}8{\rm{ }} + {\rm{ }}64{\rm{ }} - {\rm{ }}2.27{\rm{ }} = {\rm{ }}18;}\\
{{u_3} = {\rm{ }}27{\rm{ }} + {\rm{ }}125{\rm{ }} - {\rm{ }}2.64{\rm{ }} = {\rm{ }}24;}\\
{{u_4} = {\rm{ }}64{\rm{ }} + {\rm{ }}216{\rm{ }} - {\rm{ }}2.125{\rm{ }} = {\rm{ }}30;}\\
{{u_5} = {\rm{ }}125{\rm{ }} + {\rm{ }}343{\rm{ }} - {\rm{ }}2.216{\rm{ }} = {\rm{ }}36;}\\
{{u_6} = {\rm{ }}216{\rm{ }} + {\rm{ }}512{\rm{ }} - {\rm{ }}2.343{\rm{ }} = {\rm{ }}42;}\\
{{u_7} = {\rm{ }}343{\rm{ }} + {\rm{ }}729{\rm{ }} - {\rm{ }}2.512{\rm{ }} = {\rm{ }}48.}
\end{array}\)
=> Công thức số hạng thứ n của cấp số cộng này là
\(\begin{array}{l}
{u_n} = {\rm{ }}{n^3} + {\rm{ }}{\left( {n{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right)^3}{\rm{ - }}2{\left( {n{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^3}\\
= {\rm{ }}6n{\rm{ }} + {\rm{ }}6,{\rm{ }}\forall {\rm{ }}n{\rm{ }} \ge {\rm{ }}1
\end{array}\)
Giải bài 2.48 trang 43 SBT Toán 11 tập 1 KNTT
Chứng minh rằng nếu ba số theo thứ tự vừa lập thành một cấp số cộng vừa lập thành một cấp số nhân thì ba số ấy bằng nhau.
Hướng dẫn giải
Gọi số thứ nhất và số thứ ba trong ba số đó lần lượt là x, y
Vì ba số theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng nên số thứ hai là \(\frac{x+y}{2}\)
=> Ba số cần tìm có dạng \({\rm{ }}x,\frac{{x + y}}{2},{\rm{ }}y.\)
Vì ba số này lập thành một cấp số nhân nên ta có phương trình:
\(\begin{array}{l}
xy = {\left( {\frac{{x + y}}{2}} \right)^2} \Leftrightarrow 4xy = {x^2} + 2xy + {y^2}\\
\Leftrightarrow {x^2} - 2xy + {y^2} = 0 \Leftrightarrow {(x - y)^2} = 0\\
\Leftrightarrow x = y\\
\Rightarrow \frac{{x + y}}{2} = \frac{{x + x}}{2} = \frac{{2x}}{2} = x
\end{array}\)
Vậy ba số đó bằng nhau.
Giải bài 2.49 trang 43 SBT Toán 11 tập 1 KNTT
Anh Nam là một cầu thủ bóng đá chuyên nghiệp. Anh vừa kí hợp đồng 5 năm với một câu lạc bộ với mức lương năm khởi điểm là 300 triệu đồng. Chủ tịch câu lạc bộ đưa ra cho anh Nam ba phương án về lương như sau:
- Phương án 1: Mỗi năm ngoài mức lương cố định như trên, sẽ được thưởng thêm 50 triệu đồng.
- Phương án 2: Mỗi năm lương sẽ tăng thêm 10% so với lương năm trước đó, bắt đầu kể từ năm thứ hai.
- Phương án 3: Mỗi năm lương sẽ tăng thêm 30 triệu so với lương năm trước đó, bắt đầu kể từ năm thứ hai.
Em hãy tính giúp anh Nam xem với phương án lương nào thì tổng lương sau 5 năm của anh Nam là lớn nhất?
Hướng dẫn giải
Ta tính tổng tiền lương của anh Nam theo từng phương án:
Phương án 1: Mỗi năm ngoài mức lương cố định như trên, sẽ được thưởng thêm 50 triệu đồng thì sau 5 năm tổng số tiền lương của anh Nam là
\(5.300 + 5.50 = 1750\) (triệu đồng).
Phương án 2: Mỗi năm lương sẽ tăng thêm 10% so với lương năm trước đó, bắt đầu kể từ năm thứ hai thì sau 5 năm tổng số tiền lương của anh Nam là
\(300 + 300 . 1 + 10\) (triệu đồng).
Phương án 3: Mỗi năm lương sẽ tăng thêm 30 triệu so với lương năm trước đó, bắt đầu kể từ năm thứ hai thì sau 5 năm tổng số tiền lương của anh Nam là
\(300 + 330 + 360 + 390 + 420 = 1800\) (triệu đồng).
Vậy anh Nam nên sử dụng phương án 2 để nhận được tổng lương sau 5 năm là cao nhất.
Giải bài 2.50 trang 43 SBT Toán 11 tập 1 KNTT
Một dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là một cấp số nhân cộng nếu nó cho bởi hệ thức truy hồi
\({u_1} = {\rm{ }}a,{\rm{ }}{u_{n + 1}} = {\rm{ }}q{u_n} + {\rm{ }}d\)
Nếu q = 1 ta có cấp số cộng với công sai d, còn nếu d = 0 ta có cấp số nhân với công bội q.
a) Giả sử q ≠ 1. Dự đoán công thức số hạng tổng quát un.
b) Thiết lập công thức tính tổng Sn của n số hạng đầu của cấp số nhân cộng \(\left( {{u_n}} \right)\).
Hướng dẫn giải
a) Ta viết lần lượt các số hạng của dãy:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = {\rm{ }}a;}\\
{{u_2} = {\rm{ }}q{u_1} + {\rm{ }}d;}\\
\begin{array}{l}
{u_3} = {\rm{ }}q{u_2} + {\rm{ }}d{\rm{ }} = {\rm{ }}q\left( {q{u_1} + {\rm{ }}d} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}d{\rm{ }}\\
= {\rm{ }}{q^2}{u_1} + {\rm{ }}qd{\rm{ }} + {\rm{ }}d{\rm{ }} = {\rm{ }}{q^2}{u_1} + {\rm{ }}d\left( {q{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right);
\end{array}\\
\begin{array}{l}
{u_4} = {\rm{ }}q{u_3} + {\rm{ }}d{\rm{ }}\\
= {\rm{ }}q\left( {{q^2}{u_1} + {\rm{ }}qd{\rm{ }} + {\rm{ }}d} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}d{\rm{ }}\\
= {\rm{ }}{q^3}{u_1} + {\rm{ }}{q^2}d{\rm{ }} + {\rm{ }}qd{\rm{ }} + {\rm{ }}d
\end{array}\\
\begin{array}{l}
= {q^3}{u_1} + d({q^2} + q + 1)\\
= {q^3}{u_1} + d.\frac{{1 - {q^3}}}{{1 - q}};\left( {q \ne 1} \right)
\end{array}
\end{array}\)
Làm tương tự ta được công thức số hạng tổng quát un:
\({u_n} = {q^{n - 1}}{u_1} + d\left( {{q^{n - 2}} + {q^{n - 3}}{\rm{\;}} + ... + 1} \right)\)
\(= {q^{n - 1}}{u_1} + d.\left( {\frac{{1 - {q^{n - 1}}}}{{1 - q}}} \right)\)
b) Tổng n số hạng đầu là:
\(\begin{array}{l}
{S_n} = {\rm{ }}{u_1} + {\rm{ }}{u_2} + {\rm{ }}...{\rm{ }} + {\rm{ }}{u_n}\\
\begin{array}{*{20}{l}}
{ = {\rm{ }}{u_1} + {\rm{ }}\left( {q{u_1} + {\rm{ }}d} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}\left( {q{u_2} + {\rm{ }}d} \right){\rm{ }} + ... + {\rm{ }}\left( {q{u_{n - 1}} + {\rm{ }}d} \right)}\\
{ = {\rm{ }}{u_1}{\rm{ }} + {\rm{ }}q\left( {{u_1} + {\rm{ }}{u_2} + ... + {\rm{ }}{u_{n - 1}}} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}\left( {n{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right)d}\\
{ = {\rm{ }}{u_1} + {\rm{ }}q{S_{n - 1}} + {\rm{ }}\left( {n{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right)d}\\
{ = {\rm{ }}q.{S_{n - 1}} + {\rm{ }}a{\rm{ }} + {\rm{ }}\left( {n{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right)d;\left( {{u_1} = {\rm{ }}a} \right)}
\end{array}
\end{array}\)
=> (Sn) cũng là một cấp số nhân cộng với S1 = u1 = a.
Tính Sn như sau:
\(\begin{array}{l}
{S_n} = {q^{n - 1}}{S_1} + \left[ {a + (n - 1)d} \right].\frac{{1 - {q^{n - 1}}}}{{1 - q}}\\
= {q^{n - 1}}a + \left[ {a + (n - 1)d} \right].\frac{{1 - {q^{n - 1}}}}{{1 - q}}
\end{array}\)
-------------------------------------------
Hy vọng lời giải SBT Toán 11 Kết nối tri thức trang 43 tập 1 giúp học sinh nắm chắc kiến thức Bài tập cuối chương 2 , chủ động luyện tập và học tốt môn Toán 11.
