Giải SBT Toán 11 trang 18 tập 1 Kết nối tri thức

Giải SBT Toán 11 trang 18 tập 1 Kết nối tri thức tổng hợp lời giải các bài tập thuộc Bài 3: Hàm số lượng giác. Với cách trình bày ngắn gọn, rõ từng bước, nội dung giúp học sinh dễ kiểm tra đáp án, hiểu cách làm và vận dụng kiến thức về hàm số lượng giác vào bài tập. Đây là tài liệu tham khảo hữu ích để học sinh học tốt môn Toán 11.

Giải bài 1.18 trang 18 SBT Toán 11 tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

a) Tập xác định của hàm số là D = \(\mathbb{R}\)\{0}.

Nếu kí hiệu \(f(x) = \frac{{\cos 2x}}{{{x^3}}}\) thì với mọi \(x \in D\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} - x \in D\\ f( - x) = \frac{{\cos 2( - x)}}{{{{( - x)}^3}}} = \frac{{\cos 2x}}{{ - {x^3}}} = - \frac{{\cos 2x}}{{{x^3}}} = - f(x) \end{array} \right.\)

Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.

b) Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\)

Nếu kí hiệu \(f\left( x \right){\rm{ }} = {\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}\sin 3x\) thì với mọi \(x \in D\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} - x \in D\\ f\left( {-{\rm{ }}x} \right) = \left( {-{\rm{ }}x} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}\sin 3\left( {-{\rm{ }}x} \right) = -{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}\sin 3x{\rm{ }} = {\rm{ }}-{\rm{ }}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}\sin 3x} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}-{\rm{ }}f\left( x \right). \end{array} \right.\)

Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.

c) Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\).

Nếu kí hiệu \(f(x)=\sqrt{1+cosx}\) thì với mọi \(x \in D\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} x \in D\\ f( - x) = \sqrt {1 + \cos ( - x)} = \sqrt {1 + \cos x} = f(x) \end{array} \right.\)

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

d) Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\)

Ta có 

\(\begin{array}{l} y = 1 + \cos x.\sin \left( {\frac{{3\pi }}{2} - 2x} \right)\\ = 1 + \cos x.\left( {\sin \frac{{3x}}{2}.\cos 2x - \cos \frac{{3\pi }}{2}.\sin 2x} \right)\\ = 1 - \cos x.\cos 2x \end{array}\)

Nếu kí hiệu \(f\left( x \right){\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }}-{\rm{ }}\cos x.\cos 2x\) thì với mọi \(x\in D\)

Ta có: \(\begin{array}{l} - x \in D\\ f\left( {-x} \right) = 1-\cos \left( {-x} \right).\cos \left( {-2x} \right) = 1-\cos x.\cos 2x = f\left( x \right) \end{array}\)

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

Giải bài 1.19 trang 18 SBT Toán 11 tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

a) Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\)

Nếu kí hiệu \(f(x)=Asin(\omega x + \varphi)\) thì với mọi \(x \in D\), ta có:

\(x + \frac{{2\pi }}{\omega } \in D,x - \frac{{2\pi }}{\omega } \in D\)

Và 

\(f\left( {x + \frac{{2\pi }}{\omega }} \right) = A\sin \left[ {\omega \left( {x + \frac{{2\pi }}{\omega }} \right) + \varphi } \right]\)\(= A\sin (\omega x + 2\pi + \varphi ) = A\sin (\omega x + \varphi ) = f(x)\)

Vậy hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn, chu kì của hàm số này là \(\frac{2\pi}{\omega}\).

b) Nếu kí hiệu D là tập xác định của hàm số \(f(x)=Atan(\omega x + \varphi)\) thì với mọi \(x \in D\), ta có:

\(x+\frac{\pi}{\omega} \in D, x - \frac{\pi}{\omega} \in D\)

Và

\(\begin{array}{l} f\left( {x + \frac{\pi }{\omega }} \right) = A\tan \left[ {\omega \left( {x + \frac{\pi }{\omega }} \right) + \varphi } \right]\\ = A\tan (\omega x + \pi + \varphi ) = A\tan (\omega x + \varphi ) = f(x) \end{array}\)

Vậy hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn, chu kì của hàm số này là \(\frac{\pi}{\omega}\)

c) Ta có:

\(3\sin 2x + 3\cos 2x = 3\left( {\sin 2x + \cos 2x} \right) = 3\sqrt 2 \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)\)

Theo câu a, ta suy ra hàm số \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}3\sin 2x{\rm{ }} + {\rm{ }}3\cos 2x\) là hàm số tuần hoàn chu kì \(\frac{2\pi}{2}=\pi\)

d) Ta có 

\(\begin{array}{l} y = 3\sin \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) + 3\sin \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\\ = 3.2\sin \frac{{\left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) + \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)}}{2}\cos \frac{{\left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) - \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)}}{2}\\ = 3\sqrt 2 \sin \left( {2x - \frac{\pi }{{12}}} \right) \end{array}\)

Vậy theo câu a, hàm số \(y = 3\sin \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) + 3\sin \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\) là hàm số tuần hoàn chu kì \(\frac{2\pi}{2}=\pi\)

Giải bài 1.20 trang 18 SBT Toán 11 tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

a) Đẳng thức tanxcotx = 1 đúng với mọi x khi tanx và cotx có nghĩa, tức là:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin x \ne 0}\\ {\cos x \ne 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow 2\sin x.\cos x \ne 0\)

\(\Leftrightarrow sin2x \neq 0 \Leftrightarrow 2x \neq k\pi (k\in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow x \neq k\frac{\pi}{2} ( k\in \mathbb{Z})\)

b) Đẳng thức \(1 + {\tan ^2}x = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\) đúng với mọi x khi \(cosx \neq 0\), tức là \(x \neq \frac{\pi}{2}+k\pi (k \in \mathbb{Z})\)

c) Đẳng thức \(1 + {\cot ^2}x = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) đúng với mọi x khi \(sinx \neq 0\), tức là \(x \neq k\pi (k \in \mathbb{Z})\)

d) Đẳng thức \(\tan x + \cot x = \frac{2}{{\sin 2x}}\) đúng với mọi x khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin x \ne 0}\\ {\cos x \ne 0}\\ {\sin 2x \ne 0} \end{array}} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\sin x.\cos x \ne 0 \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0\\ \Leftrightarrow 2x \ne k\pi \Leftrightarrow x \ne k\frac{\pi }{2};(k \in \mathbb{Z}) \end{array}\)

Giải bài 1.21 trang 18 SBT Toán 11 tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

a) Lấy đối xứng đồ thị hàm số \(y = \cos x\) qua trục hoành ta được đồ thị hàm số \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}-{\rm{ }}\cos x\).

Trong hình trên, đồ thị hàm số \(y = \cos x\) là đường nét đứt còn đồ thị hàm số \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}-{\rm{ }}\cos x\) là đường nét liền.

b) Ta có: \(y = |\cos x| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos x;{\rm{ }}(\cos x \ge 0)}\\ { - \cos x;{\rm{ }}(\cos x < 0)} \end{array}} \right.\)

Từ đó, để vẽ đồ thị hàm số y = |cosx| đầu tiên ta vẽ đồ thị hàm số \(y = \cos x\), sau đó giữ nguyên phần đồ thị hàm số \(y = \cos x\) ở phía trên trục Ox và lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị hàm số \(y = \cos x\) ở phía dưới trục Ox.

Trong hình dưới đây, đồ thị hàm số y = |cosx| là đường nét liền.

c) Để vẽ đồ thị hàm số y = cosx + 1, đầu tiên ta vẽ đồ thị hàm số \(y = \cos x\), sau đó dịch chuyển đồ thị này dọc theo trục Oy lên phía trên 1 đơn vị, ta được đồ thị hàm số \(y = \cos x + 1\). Trong hình dưới đây, đồ thị hàm số \(y = \cos x + 1\) là đường nét liền.

d) Để vẽ đồ thị hàm số \(y=cos(x+\frac{\pi}{2})\) đầu tiên ta vẽ đồ thị hàm số \(y = \cos x\), sau đó dịch chuyển đồ thị này dọc theo trục Ox sang bên trái \(\frac{\pi}{2}\) đơn vị ta sẽ được đồ thị hàm số \(y = \cos \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)\). Trong hình vẽ dưới đây đồ thị hàm số \(y = \cos \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)\) là đường nét liền.

Chú ý rằng \(\cos \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) = - \sin x\) nên đồ thị hàm số \(y = \cos \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)\) cũng có thể có được bằng cách lấy đối xứng đồ thị hàm số \(y = \sin x\) qua trục Ox.

Giải bài 1.22 trang 18 SBT Toán 11 tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

a) Trên đoạn \(\left [ -\frac{3\pi}{2};\frac{5\pi}{2} \right ]\), đồ thị hàm số \(y = \sin x\) cắt trục Ox tại bốn điểm x = \(-\pi\), x = 0, x = \(\pi\) và x = \(2\pi\).

=> Có bốn giá trị của x để \(\sin x = 0\) trên đoạn \(3\sqrt{2}sin(2x+\frac{\pi}{4})\)

b) Giải bất phương trình \(\sin x > 0\) là tìm những khoảng giá trị của x mà đồ thị hàm số \(y = \sin x\) nằm phía trên trục Ox.

=> Tập nghiệm của bất phương trình \(\sin x > 0\) trên đoạn \(\left [ -\frac{3\pi}{2};\frac{5\pi}{2} \right ]\), là: 

Giải bài 1.23 trang 18 SBT Toán 11 tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

a) Hàm số \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}25\sin 4\pi t\) tuần hoàn với chu kì \(T=\frac{2\pi}{4\pi}=\frac{1}{2}\)

=> Chu kì dao động của con lắc lò xo (tức là khoảng thời gian để con lắc thực hiện được một dao động toàn phần) là \(T=\frac{1}{2}\) giây.

b) Ta có:

Chu kì dao động của con lắc là \(T=\frac{1}{2}\) giây

=> Trong 1 giây con lắc thực hiện được 2 dao động, tức là tần số dao động của con lắc là \(f=\frac{1}{T}=2 Hz\).

c) Ta có:

Phương trình dao động của con lắc là \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}25\sin 4\pi t\)

=> Biên độ dao động của nó là \(A = 25 cm\)

=> Khoảng cách giữa điểm cao nhất và điểm thấp nhất của con lắc l\(2A{\rm{ }} = {\rm{ }}50{\rm{ }}cm\) 

Giải bài 1.24 trang 18 SBT Toán 11 tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

a) Tại thời điểm 8 giờ sáng có:  \(t = 8 – 6 = 2\). 

=> Độ dài bóng của tòa nhà tại thời điểm 8 giờ sáng là 

- Tại thời điểm 12 giờ trưa có: \(t{\rm{ }} = {\rm{ }}12{\rm{ }}-{\rm{ }}6{\rm{ }} = {\rm{ }}6\).

=> Độ dài bóng của toà nhà tại thời điểm 12 giờ trưa là \(S(6)=40\left | cot(\frac{\pi}{12}.6) \right |=0 (m)\)

Tại thời điểm 12 giờ trưa, Mặt Trời chiếu thẳng đứng từ trên đầu xuống nên toàn bộ toà nhà được chiếu xuống móng của toà nhà.

- Tại thời điểm 2 giờ chiều có: \(t = 14 – 6 = 8\).

=> Độ dài bóng của toà nhà tại thời điểm 2 giờ chiều là \(S(8) = 40\left| {\cot \left( {\frac{\pi }{{12}}.8} \right)} \right| = \frac{{40\sqrt 3 }}{3}(m)\)

- Tại thời điểm 5 giờ 45 chiều tối, có:  \(t=(17+\frac{3}{4})-6=\frac{39}{4}\)

=> Độ dài bóng của toà nhà tại thời điểm 5 giờ 45 chiều tối là:

\(S\left( {\frac{{39}}{4}} \right) = 40\left| {\cot \left( {\frac{\pi }{{12}}.\frac{{39}}{4}} \right)} \right| \approx 59,86(m)\)

b) Độ dài bóng của toà nhà bằng chiều cao tòa nhà khi

\(S(t)=40 \Leftrightarrow 40\left | cot\frac{\pi}{12}t \right |\Leftrightarrow cot\frac{\pi}{12}t = \pm 1\)

\(\Leftrightarrow \frac{\pi}{12}t = \pm \frac{\pi}{4} + k\pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow t = \pm 3 + 12k (k \in \mathbb{Z})\)

Vì \(0 \leq t \leq 12\) nên t = 3 hoặc t = 9, tức là tại thời điểm 9 giờ sáng hoặc 3 giờ chiều thì bóng của toà nhà dài bằng chiều cao của toà nhà.

c) Khi thời gian tiến dần đến 6 giờ tối thì \(t \rightarrow 12\) vì vậy \(\frac{\pi}{12} \rightarrow \pi\), do đó \(cos\frac{\pi}{12}t \rightarrow - \infty\)

=> Bóng của toà nhà sẽ tiến ra vô cùng.

----------------------------------

Qua phần Giải SBT Toán 11 trang 18 tập 1 Kết nối tri thức, học sinh có thể củng cố kiến thức về hàm số lượng giác, đồng thời rèn luyện kỹ năng nhận dạng và giải các dạng bài thường gặp. Hãy kết hợp việc tự làm bài với đối chiếu lời giải để ghi nhớ kiến thức lâu hơn và nâng cao hiệu quả học tập Toán 11.