Giải SBT Toán 11 trang 36 tập 1 Kết nối tri thức

Giải SBT Toán 11 trang 36 tập 1 Kết nối tri thức hướng dẫn giải các bài tập thuộc Bài 6: Cấp số cộng. Nội dung được trình bày theo từng câu hỏi, chú trọng phương pháp và kết quả, giúp học sinh dễ kiểm tra bài làm, nhận biết đặc điểm của cấp số cộng và vận dụng công thức vào các dạng bài tập. Đây là tài liệu tham khảo hữu ích để học tốt môn Toán 11.

Giải bài 2.11 trang 36 SBT Toán 11 tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

\(\begin{array}{l} {u_n} = 4 - 3n\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} = {\rm{ }}4{\rm{ }} - {\rm{ }}3\left( {n{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}4{\rm{ }} - {\rm{ }}3n{\rm{ }} - {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }} - {\rm{ }}3n \end{array}\)

=>\({u_{n + 1}} - {\rm{ }}{u_n} = {\rm{ }}\left( {1{\rm{ }} - {\rm{ }}3n} \right){\rm{ }} - {\rm{ }}\left( {4{\rm{ }} - {\rm{ }}3n} \right){\rm{ }} = {\rm{ }} - 3\)  không đổi với mọi n.

Vậy dãy số đã cho là cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 4 − 3 = 1 và công sai d = – 3.

b) Ta có:

\(\begin{array}{l} {u_n} = {n^2} + 1\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} = {\rm{ }}{\left( {n{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}{n^2} + {\rm{ }}2n{\rm{ }} + {\rm{ }}2 \end{array}\)

=> \({u_{n + 1}} - {\rm{ }}{u_n} = {\rm{ }}\left( {{n^2} + {\rm{ }}2n{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right){\rm{ }} - {\rm{ }}\left( {{n^2} + {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}2n{\rm{ }} + {\rm{ 1}}\), phụ thuộc vào n.

Vậy dãy số đã cho không là cấp số cộng.

c) Ta có:

\(\begin{array}{l} {u_n} = 2n + 5\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} = {\rm{ }}2\left( {n{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}2n{\rm{ }} + {\rm{ }}7 \end{array}\)

=> \({u_{n + 1}} - {\rm{ }}{u_n} = {\rm{ }}\left( {2n{\rm{ }} + {\rm{ }}7} \right){\rm{ }} - {\rm{ }}\left( {2n{\rm{ }} + {\rm{ }}5} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}2\) không đổi với mọi n.

Vậy dãy số đã cho là cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 2 + 5 = 7 và công sai d = 2.

d) Từ hệ thức truy hồi ta có u_n+1 = u_n + n, suy ra u_n+1 − u_n = n, phụ thuộc vào n.

Vậy dãy số đã cho không là cấp số cộng.

Giải bài 2.12 trang 36 SBT Toán 11 tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

a) Theo bài ra ta có:

Số hạng thứ tám của một cấp số cộng là 75 \(\Rightarrow {u_8} = 75\)

Số hạng thứ hai mươi là 39 \({ \Rightarrow {u_{20}} = 39}\)

Khi đó ta có hệ phương trình: 

\(\left\{\begin{matrix}u_{8}=75\\u_{20}=39\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u_{1}+7d=75\\u_{1}+19d=39\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u_{1}=96\\d=-3\end{matrix}\right.\)

Kết luận: Cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1} = 96\) và công sai \(d = - 3\).

b) Theo chứng minh câu a ta có: \({u_{n + 1}} = {\rm{ }}{u_n} + {\rm{ }}d{\rm{ }} = {\rm{ }}{u_n} - {\rm{ }}3\)

Vậy hệ thức truy hồi của cấp số cộng này là \(\left\{\begin{matrix}u_{1}=96\\u_{n+1}=u_{n}-3\end{matrix}\right.\)

c) Công thức tổng quát của cấp số cộng này là:

\({u_n} = {\rm{ }}{u_1} + {\rm{ }}\left( {n{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right){\rm{ }}d{\rm{ }} = {\rm{ }}96{\rm{ }} - {\rm{ }}\left( {n{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right){\rm{ }}.{\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}99{\rm{ }} - {\rm{ }}3n\)

Giải bài 2.13 trang 36 SBT Toán 11 tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng với \(n{\rm{ }} = {\rm{ }}20\) và \(d = 3\) ta có

\(\begin{array}{l} {S_{20}} = 650\\ \Leftrightarrow \frac{{20}}{2}\;.\left[ {2{u_1} + {\rm{ }}\left( {20{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right).3} \right] = 650\\ \Leftrightarrow {\rm{ }}2{u_1} + {\rm{ }}57{\rm{ }} = {\rm{ }}65 \Leftrightarrow {\rm{ }}{u_1} = {\rm{ }}4 \end{array}\)

Vậy cấp số cộng đã cho có số hạng đầu là: \({u_1} = {\rm{ }}4\)

-----------------------------------------

Tham khảo Giải SBT Toán 11 trang 36 tập 1 Kết nối tri thức giúp học sinh củng cố kiến thức về cấp số cộng, từ nhận biết quy luật đến áp dụng công thức giải bài. Để đạt hiệu quả cao, nên tự hoàn thành bài tập trước, sau đó đối chiếu lời giải và sửa những bước còn thiếu.