Giải SBT Toán 11 trang 39 tập 1 Kết nối tri thức
Giải SBT Toán 11 trang 39 tập 1 Kết nối tri thức Bài 7
Giải SBT Toán 11 trang 39 tập 1 Kết nối tri thức cung cấp hướng dẫn giải các bài tập trong Bài 7: Cấp số nhân. Nội dung giúp học sinh xác định phương pháp, vận dụng công thức và kiểm tra kết quả nhanh chóng, qua đó củng cố kiến thức và học tốt môn Toán 11.
Giải bài 2.21 trang 39 SBT Toán 11 tập 1 KNTT
Chứng minh rằng mỗi dãy số 
\(\left( {{u_n}} \right)\) sau là một cấp số nhân. Hãy tìm số hạng đầu và công bội của nó.
a) \({{u_n} = - 3.{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}\) b) \({u_n} = \frac{{{2^n}}}{{{3^{n - 1}}}}\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
\(\begin{array}{l}
{u_n} = - 3.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}\\
\Rightarrow {u_{n + 1}} = - 3.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n + 1}} = - \frac{3}{2}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}
\end{array}\)
\(\Rightarrow \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{ - \frac{3}{2}.{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}}{{ - 3.{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}} = \frac{1}{2}\) không đổi với mọi n.
Vậy dãy số đã cho là cấp số nhân có số hạng đầu \(u_{1}=-\frac{3}{2}\) và công bội \(q=\frac{1}{2}\).
b) Ta có:
\(\begin{array}{l}
{u_n} = \frac{{{2^n}}}{{{3^{n - 1}}}}\\
\Rightarrow {u_{n + 1}} = \frac{{{2^{n + 1}}}}{{{3^{n + 1 - 1}}}} = \frac{{{{2.2}^n}}}{{{{2.3}^{n - 1}}}} = \frac{2}{3}.\frac{{{2^n}}}{{{3^{n - 1}}}}
\end{array}\)
\(\Rightarrow \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{\frac{2}{3}.\frac{{{2^n}}}{{{3^{n - 1}}}}}}{{\frac{{{2^n}}}{{{3^{n - 1}}}}}} = \frac{2}{3}\) không đổi với mọi n.
Vậy dãy số đã cho là cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 2 và công bội q = \(\frac{2}{3}\)
Giải bài 2.22 trang 39 SBT Toán 11 tập 1 KNTT
Tìm số hạng thứ 10 của cấp số nhân \(64,-32,16,-8,{\rm{ }}...\)
Hướng dẫn giải
Cấp số nhân có: \(\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = {\rm{ }}6\\
q = \frac{{ - 32}}{{64}} = \frac{{ - 1}}{2}
\end{array} \right.\)
=> Số hạng thứ 10 của cấp số nhân là: \({u_{10}} = {\rm{ }}{u_1}.{\rm{ }}{q^{10 - 1}} = 64.{\left( { - \frac{1}{2}} \right)^9} = - \frac{1}{8}\)
Giải bài 2.23 trang 39 SBT Toán 11 tập 1 KNTT
Cho một cấp số nhân với tất cả các các số hạng đều dương. Số hạng thứ 4 của cấp số nhân là 125 và số hạng thứ 10 là \(\frac{125}{64}\). Tìm số hạng thứ 14 của cấp số nhân này.
Hướng dẫn giải
Ta có:
Số hạng thứ 4 của cấp số nhân là 125 \({ \Rightarrow {u_4} = 125}\)
Số hạng thứ 10 là \(\frac{125}{64}\) \({ \Rightarrow {u_{10}} = \frac{{125}}{{64}}}\)
Khi đó ta có hệ phương trình:
\(\left\{\begin{matrix}u_{4}=125\\u_{10}=\frac{125}{64}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u_{1}q^{3}=125\\u_{1}q^{9}=\frac{125}{64}\end{matrix}\right.\)
Chia vế theo vế của hai phương trình trên ta được \(q^{6}=\frac{1}{64} \Leftrightarrow q = \pm \frac{1}{2}\)
Với \(q = \frac{1}{2} \Rightarrow {u_1} = \frac{{125}}{{{q^3}}} = \frac{{125}}{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^3}}} = 1000\)
\(\Rightarrow {u_{14}} = {u_1}{q^{13}} = 1000.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{13}} = \frac{{125}}{{1024}}\)
Với \(q = - \frac{1}{2} \Rightarrow {u_1} = \frac{{125}}{{{q^3}}} = \frac{{125}}{{{{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^3}}} = - 1000 < 0\) (Không thỏa mãn vì các số hạng của cấp số nhân đều là số dương).
Vậy \(u_{14}=\frac{125}{1024}\) là số hạng thứ 14 của cấp số nhân đã cho.
Giải bài 2.24 trang 39 SBT Toán 11 tập 1 KNTT
Tìm \(x\) sao cho \(x,{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}2,{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}3\) là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân.
Hướng dẫn giải
Theo bài ra ta có:
\(x,{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}2,{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}3\) là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân nên theo tính chất của cấp số nhân ta có:
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow x\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right) = {\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right)^2}\\
\Leftrightarrow {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}3x{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}4 \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} = - 4
\end{array}\)
Kiểm tra lại kết quả ta được – 4; – 2; – 1 thoả mãn bài toán.
Vậy giá trị x thỏa mãn yêu cầu đề bài là: \(x = − 4\).
Giải bài 2.25 trang 39 SBT Toán 11 tập 1 KNTT
Tính các tổng sau:
a) \(1{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }} + {\rm{ }}16{\rm{ }} + {\rm{ }}64{\rm{ }} + {\rm{ }}...{\rm{ }} + {\rm{ }}{4^9}\); b) \(\frac{1}{3} + \frac{2}{3} + \frac{{{2^2}}}{3} + ... + \frac{{{2^{12}}}}{3}\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
\(\begin{array}{l}
1{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }} + {\rm{ }}16{\rm{ }} + {\rm{ }}64{\rm{ }} + {\rm{ }}...{\rm{ }} + {\rm{ }}{4^9}\\
= {\rm{ }}{4^0} + {\rm{ }}{4^1} + {\rm{ }}{4^2} + {\rm{ }}{4^3} + {\rm{ }}...{\rm{ }} + {\rm{ }}{4^9}
\end{array}\)
Nhận thấy các số hạng của tổng trên là cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 40 = 1, công bội q = 4 và có 10 số hạng.
Như vậy:
\(1{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }} + {\rm{ }}16{\rm{ }} + {\rm{ }}64{\rm{ }} + {\rm{ }}...{\rm{ }} + {\rm{ }}{4^9} = \frac{{1.\left( {1 - {4^{10}}} \right)}}{{1 - 4}} = {\rm{ }}349525\)
b) Ta có:
\(\frac{1}{3} + \frac{2}{3} + \frac{{{2^2}}}{3} + ... + \frac{{{2^{12}}}}{3}\)
Nhận thấy các số hạng của tổng trên là cấp số nhân có số hạng đầu \(u_1 =\frac{1}{3}\) và công bội q = 2 và có 13 số hạng.
Như vậy:
\(\frac{1}{3} + \frac{2}{3} + \frac{{{2^2}}}{3} + ... + \frac{{{2^{12}}}}{3} = \frac{{\frac{1}{3}\left( {1 - {2^{13}}} \right)}}{{1 - 2}} = \frac{{8191}}{3}\)
Giải bài 2.26 trang 39 SBT Toán 11 tập 1 KNTT
Các bệnh truyền nhiễm có thể lây lan rất nhanh. Giả sử có năm người bị bệnh trong tuần đầu tiên của một đợt dịch, và mỗi người bị bệnh sẽ lây bệnh cho bốn người vào cuối tuần tiếp theo. Tính đến hết tuần thứ 10 của đợt dịch, có bao nhiêu người đã bị lây bởi căn bệnh này?
Hướng dẫn giải
Gọi số người bị bệnh ở cuối tuần thứ n là \({u_n}\).
Ta có:
Năm người bị bệnh trong tuần đầu tiên của một đợt dịch, và mỗi người bị bệnh sẽ lây bệnh cho bốn người vào cuối tuần tiếp theo
=> Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số nhân có: \(\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = {\rm{ }}5{\rm{ }}\\
q{\rm{ }} = {\rm{ }}4
\end{array} \right.\)
=> Số người bị ảnh hưởng bởi dịch bệnh ở cuối tuần 10 được tính như sau:
\({u_{10}} = {\rm{ }}{u_1}{q^9} = {\rm{ }}{5.4^9} = {\rm{ }}1310720\) (người).
-----------------------------------------
Tham khảo Giải SBT Toán 11 trang 39 tập 1 Kết nối tri thức là cách thuận tiện để rà soát phương pháp giải và củng cố nội dung Cấp số nhân. Học sinh nên kết hợp tự làm bài, đối chiếu đáp án và ghi nhớ các công thức quan trọng để nâng cao kỹ năng giải Toán 11.
