Giải SBT Toán 11 trang 83 tập 1 Kết nối tri thức
Giải SBT Toán 11 trang 83 tập 1 Kết nối tri thức Bài 16
Giải SBT Toán 11 trang 83 tập 1 Kết nối tri thức cung cấp hướng dẫn giải các bài tập thuộc Bài 16: Giới hạn của dãy số theo nội dung bạn yêu cầu. Lời giải tập trung vào cách nhận dạng dạng toán, vận dụng kiến thức về giới hạn và kiểm tra kết quả, giúp học sinh chủ động ôn luyện và học tốt môn Toán 11.
Giải bài 5.11 trang 83 SBT Toán 11 KNTT tập 1
Cho hàm số 
\(f(x)=\left\{\begin{matrix}x ;(x>1)\\2; (x=1)\\1;( x<1) \end{matrix}\right.\). Hàm số f(x) có giới hạn khi x \(\to\) 1 không?
Hướng dẫn giải
Vì \(\lim_{x \to 1^{+}}f(x)=\lim_{x \to 1^{-}}f(x)=1\) nên hàm số f(x) có giới hạn khi x \(\to\) 1.
Giải bài 5.12 trang 83 SBT Toán 11 KNTT tập 1
Tính các giới hạn sau:
a) \(\lim_{x \to 2}\frac{\sqrt{4x+1}-3}{x-2}\) b) \(\lim_{x \to 1}\frac{x^{3}+x^{2}+x-3}{x^{3}-1}\)
c) \(\lim_{x \to 2^{+}}\frac{x^{2}-5x+6}{(x-2)^{2}}\) d) \(\lim_{x \to 0^{-}}\frac{x^{2}+x-2}{x}\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
\(\lim_{x \to 2}\frac{\sqrt{4x+1}-3}{x-2}\)
\(=\lim_{x \to 2}\frac{4x-8}{(x-2)(\sqrt{4x+1}+3)}\)
\(=\lim_{x\to 2}\frac{4}{\sqrt{4x+1}+3}=\frac{2}{3}\)
b) Ta có:
\(\lim_{x \to 1}\frac{x^{3}+x^{2}+x-3}{x^{3}-1}\)
\(=\lim_{x\to 1}\frac{(x^{3}-1)+(x^{2}-1)+(x-1)}{(x-1)(x^{2}+x+1)}\)
\(=\lim_{x\to 1}\frac{(x^{2}+x+1)+(x+1)+1}{x^{2}+x+1}\)
\(=\lim_{x\to 1}\frac{x^{2}+2x+3}{x^{2}+x+1}\)
\(=\frac{1+2+3}{1+1+1}=2\)
c) Ta có:
\(\lim_{x \to 2^{+}}\frac{x^{2}-5x+6}{(x-2)^{2}}=\lim_{x\to 2^{+}}\frac{(x-2)(x-3)}{(x-2)^{2}}=\lim_{x\to 2^{+}}\frac{x-3}{x-2}\)
Vì \(\lim_{x \to 2^{+}}(x-3)=-1, \lim_{x\to 2^{+}}(x-2)=0\) và \(x-2>0 \forall x>2\)
Suy ra \(\lim_{x\to 2^{+}}\frac{x-3}{x-2}=-\infty\)
d) Ta có: \(\lim_{x \to 0^{-}}\frac{x^{2}+x-2}{x}\)
Vì \(\lim_{x \to 0^{-}}(x^{2}+x-2)=-2, \lim_{x\to 0^{-}}=0\) và x < 0 \(\forall\) x < 0
Suy ra \(\lim_{x \to 0^{-}}\frac{x^{2}+x-2}{x}=+\infty\)
Giải bài 5.13 trang 83 SBT Toán 11 KNTT tập 1
Tìm a để hàm \(f(x)=\left\{\begin{matrix}x^{2}+ax; x>3 \\ 3x^{2}+1, x \leq 3\end{matrix}\right.\) có giới hạn khi x \(\to\) 3
Hướng dẫn giải
Ta có: \(\lim_{x \to 3^{+}}f(x)=\lim_{x\to 3^{+}}(x^{2}+ax)=9+3a\)
\(\lim_{x \to 3^{-}}f(x)=\lim_{x \to 3^{-}}(3x^{2}+1)=28\)
Hàm số f(x) có giới hạn khi x \(\to\) 3 khi \(\lim_{x\to 3^{+}}f(x)=\lim_{x\to 3^{-}}f(x)\)
=> \(9{\rm{ }} + {\rm{ }}3a{\rm{ }} = {\rm{ }}28 \Leftrightarrow a = \frac{{19}}{3}\)
Giải bài 5.14 trang 83 SBT Toán 11 KNTT tập 1
Tìm các số thực a và b sao cho \(\lim_{x\to 1}\frac{2x^{2}-ax+1}{x^{2}-3x+1}=b\)
Hướng dẫn giải
Vì x = 1 là nghiệm của đa thức \(x^{2}-3x+1\) nên đa thức \(2x^{2}-ax+1\) phải có nghiệm x = 1
Do đó, \(2.1^{2}-a+1=0 \Leftrightarrow a=3\)
Ta có: \(\lim_{x\to 1}\frac{2x^{2}-3x+1}{x^{2}-3x+1}=\lim_{x\to 1}\frac{(2x-1)(x-1)}{(x-1)(x-2)}=\lim_{x\to 1}\frac{2x-1}{x-2}=\frac{2.1-1}{1-2}=-1\)
Vậy b = - 1
Giải bài 5.15 trang 83 SBT Toán 11 KNTT tập 1
Cho hàm số \(f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}-x+2}}{x}\). Tính:
a) \(\lim_{x\to +\infty}f(x)\) b) \(\lim_{x\to -\infty}f(x)\)
Bài làm
a) Ta có:
\(\lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}\frac{\sqrt{x^{2}-x+2}}{x}=\lim_{x\to +\infty}\frac{\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{2}{x^{2}}}}{1}=1\)
b) Ta có:
\(\lim_{x\to -\infty}f(x)=\lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{x^{2}-x+2}}{x}=\lim_{x\to -\infty}\frac{-\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{2}{x^{2}}}}{1}=-1\)
Giải bài 5.16 trang 83 SBT Toán 11 KNTT tập 1
Tìm giới hạn \(\lim_{x\to +\infty}(1-x)(1-x^{2})(1-x^{3})\)
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\lim_{x\to +\infty}(1-x)(1-x^{2})(1-x^{3})\)\(=\lim_{x \to +\infty}x^{6}(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{x^{2}}-1)(\frac{1}{x^{3}}-1)=-\infty\)
Giải bài 5.17 trang 83 SBT Toán 11 KNTT tập 1
Cho hàm số \(g(x)=\sqrt{x^{2}+2x}-\sqrt{x^{2}-1}-2m\) với m là tham số. Biết \(\lim_{x\to +\infty}g(x)=0\), tìm giá trị của m
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(g(x)=\sqrt{x^{2}+2x}-\sqrt{x^{2}-1}-2m=\frac{2x+1}{\sqrt{x^{2}+2x}+\sqrt{x^{2}-1}}-2m\)
\(=\frac{2+\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{2}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x^{2}}}}-2m\)
=>\(\lim_{x\to +\infty}g(x)=\lim_{x\to +\infty}\frac{2+\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{2}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x^{2}}}}-2m=1-2m\)
Để \(\lim_{x\to +\infty}g(x)=0 thì 1-2m = 0 \Leftrightarrow m=\frac{1}{2}\)
Giải bài 5.18 trang 83 SBT Toán 11 KNTT tập 1
Cho m là một số thực. Biết \(\lim_{x\to -\infty}[(m-x)(mx+1)]=-\infty\). Xác định dấu của m.
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\lim_{x\to -\infty}[(m-x)(mx+1)]=\lim_{x\to -\infty}x^{2}(\frac{m}{x}-1)(m+\frac{1}{x})=-m\)
Để \(\lim_{x\to -\infty}[(m-x)(mx+1)]=-\infty\) thì m > 0.
Giải bài 5.19 trang 83 SBT Toán 11 KNTT tập 1
Cho hàm số \(f(x)=\frac{sin^{2}x}{x^{2}}\). Chứng minh rằng \(\lim_{x\to +\infty}f(x)=0\)
Hướng dẫn giải
Lấy dãy số \((x_{n})\) bất kì sao cho \(x_{n} \to +\infty\)
Khi đó \(|f(x_{n})|=\frac{sin^{2}x_{n}}{x_{n}^{2}} \leq \frac{1}{x_{n}^{2}} \to 0\) khi \(n \to + \infty\)
Vậy \(\lim_{n \to +\infty}f(x_{n})=0\). Do đó, \(\lim_{x\to +\infty}f(x)=0\)
Giải bài 5.20 trang 83 SBT Toán 11 KNTT tập 1
Một đơn vị sản xuất hàng thủ công ước tính chi phí để sản xuất x đơn vị sản phẩm là C(x) = 2x + 55 (triệu đồng).
a) Tìm hàm số f(x) biểu thị chi phí trung bình để sản xuất mỗi đơn vị sản phẩm.
b) Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right)\). Giới hạn này có ý nghĩa gì?
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
\(f(x)=\frac{C(x)}{x}=\frac{2x+55}{x}\)
b) Ta có:
\(\lim_{x \to +\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}\frac{2x+55}{x}=\lim_{x\to +\infty}\frac{2+\frac{55}{x}}{1}=2\)
Khi số lượng sản phẩm sản xuất được càng lớn thì chi phí trung bình để sản xuất một đơn vị sản phẩm càng gần với 2 (triệu đồng).
-------------------------------
Tham khảo Giải SBT Toán 11 trang 83 tập 1 Kết nối tri thức giúp học sinh hệ thống lại kiến thức về giới hạn của dãy số, đồng thời rèn luyện cách xử lý từng dạng bài. Kết hợp tự làm bài với đối chiếu lời giải sẽ giúp việc ôn tập Toán 11 hiệu quả và chủ động hơn.
