Bài tập toán lớp 6: Tìm chữ số tận cùng

a) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi.

b) Các số có chữ số tận cùng là 4, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi.

c) Các số có chữ số tận cùng là 3, 7, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thì chữ số tận cùng là 1.

d) Các số có chữ số tận cùng là 2, 4, 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thì chữ số tận cùng là 6.

Việc chứng minh tính chất trên không khó, xin dành cho bạn đọc. Như vậy, muốn tìm chữ số tận cùng của số tự nhiên x = a^m, trước hết ta xác định chữ số tận cùng của a.

• Nếu chữ số tận cùng của a là 0, 1, 5, 6 thì x cũng có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6.
• Nếu chữ số tận cùng của a là 3, 7, 9, vì a^m = a^{4n + r} = a⁴ⁿ.a^r với r = 0, 1, 2, 3 nên từ tính chất 1c => chữ số tận cùng của x chính là chữ số tận cùng của a^r.
• Nếu chữ số tận cùng của a là 2, 4, 8, cũng như trường hợp trên, từ tính chất 1d => chữ số tận cùng của x chính là chữ số tận cùng của 6.a^r.

Một số tự nhiên bất kì, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 1 (n thuộc N) thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi.

Chữ số tận cùng của một tổng các lũy thừa được xác định bằng cách tính tổng các chữ số tận cùng của từng lũy thừa trong tổng.

a) Số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 7; số có chữ số tận cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 3.

b) Số có chữ số tận cùng là 2 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 8; số có chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 2.

c) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ không thay đổi chữ số tận cùng.

Nhận xét: Nếu x ∈ N và x = 100k + y, trong đó k; y ∈ N thì hai chữ số tận cùng của x cũng chính là hai chữ số tận cùng của y.

Hiển nhiên là y ≤ x. Như vậy, để đơn giản việc tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên x thì thay vào đó ta đi tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên y (nhỏ hơn).

Rõ ràng số y càng nhỏ thì việc tìm các chữ số tận cùng của y càng đơn giản hơn.

Từ nhận xét trên, ta đề xuất phương pháp tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên x = a^m như sau:

Trường hợp 1: Nếu a chẵn thì x = a^m ∶ 2^m. Gọi n là số tự nhiên sao cho a^{n - 1} ∶ 25.

Viết m = pⁿ + q (p; q ∈ N), trong đó q là số nhỏ nhất để a^q ∶ 4 ta có:

x = a^m = a^q(a^pn - 1) + a^q.

Vì a^{n - 1} ∶ 25 => a^pn - 1 ∶ 25. Mặt khác, do (4, 25) = 1 nên a^q(a^pn - 1) ∶ 100.

Vậy hai chữ số tận cùng của am cũng chính là hai chữ số tận cùng của aq. Tiếp theo, ta tìm hai chữ số tận cùng của aq.

Trường hợp 2: Nếu a lẻ, gọi n là số tự nhiên sao cho a^{n - 1} ∶ 100.

Viết m = uⁿ + v (u ; v ∈ N, 0 ≤ v < n) ta có :

x = a^m = a^v(a^un - 1) + a^v.

Vì aⁿ - 1 ∶ 100 => a^un - 1 ∶ 100.

Vậy hai chữ số tận cùng của a^m cũng chính là hai chữ số tận cùng của a^v. Tiếp theo, ta tìm hai chữ số tận cùng của a^v.

Trong cả hai trường hợp trên, chìa khóa để giải được bài toán là chúng ta phải tìm được số tự nhiên n. Nếu n càng nhỏ thì q và v càng nhỏ nên sẽ dễ dàng tìm hai chữ số tận cùng của a^q và a^v.

Nếu a ∈ N và (a, 5) = 1 thì a²⁰ - 1 ∶ 25.

Số tự nhiên A không phải là số chính phương nếu :

+ A có chữ số tận cùng là 2, 3, 7, 8;

+ A có chữ số tận cùng là 6 mà chữ số hàng chục là chữ số chẵn;

+ A có chữ số hàng đơn vị khác 6 mà chữ số hàng chục là lẻ;

+ A có chữ số hàng đơn vị là 5 mà chữ số hàng chục khác 2;

+ A có hai chữ số tận cùng là lẻ.

Nhận xét: Tương tự như trường hợp tìm hai chữ số tận cùng, việc tìm ba chữ số tận cùng của số tự nhiên x chính là việc tìm số dư của phép chia x cho 1000.

Nếu x = 1000k + y, trong đó k; y ∈ N thì ba chữ số tận cùng của x cũng chính là ba chữ số tận cùng của y (y ≤ x).

Do 1000 = 8 x 125 mà (8, 125) = 1 nên ta đề xuất phương pháp tìm ba chữ số tận cùng của số tự nhiên x = a^m như sau :

Trường hợp 1: Nếu a chẵn thì x = a^m chia hết cho 2^m. Gọi n là số tự nhiên sao cho aⁿ - 1 chia hết cho 125.

Viết m = pⁿ + q (p ; q ∈ N), trong đó q là số nhỏ nhất để a^q chia hết cho 8 ta có :

x = a^m = a^q(a^pn - 1) + a^q.

Vì aⁿ - 1 chia hết cho 125 => a^pn - 1 chia hết cho 125. Mặt khác, do (8, 125) = 1 nên a^q(a^pn - 1) chia hết cho 1000.

Vậy ba chữ số tận cùng của a^m cũng chính là ba chữ số tận cùng của a^q. Tiếp theo, ta tìm ba chữ số tận cùng của a^q.

Trường hợp 2: Nếu a lẻ , gọi n là số tự nhiên sao cho aⁿ - 1 chia hết cho 1000.

Viết m = uⁿ + v (u ; v ∈ N, 0 ≤ v < n) ta có :

x = a^m = a^v(a^un - 1) + a^v.

Vì aⁿ - 1 chia hết cho 1000 => a^un - 1 chia hết cho 1000.

Vậy ba chữ số tận cùng của a^m cũng chính là ba chữ số tận cùng của a^v. Tiếp theo, ta tìm ba chữ số tận cùng của a^v.

Tính chất sau được suy ra từ tính chất 4.

Nếu a ∈ N và (a, 5) = 1 thì a¹⁰⁰ - 1 chia hết cho 125.