Giải SBT Toán 10 bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°
Giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°
Giải SBT Toán 10 bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180° được VnDoc.com sưu tầm và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Mời các bạn cùng theo dõi bài viết dưới đây để có thêm tài liệu giải SBT Toán 10 nhé.
Giải SBT Toán 10 trang 32
Giải bài 3.1 trang 32 sách bài tập Toán 10 Tập 1 KNTT
Tính giá trị của biểu thức:
a) A = sin45° + 2sin60° + tan120° + cos135°;
b) B = tan45° . cot135° - sin30° . cos120° - sin60° . cos150°;
c) C = cos25° + cos225° + cos245° + cos265° + cos285°;
d) D = 
\(\frac{{12}}{{1 + {{\tan }^2}73^\circ }}\) - 4tan75° . cot105° + 12sin2107° - 2tan40° . cos60° . tan50°;
e) E = 4tan32° . cos60° . cot148° + \(\frac{{5{{\cot }^2}108^\circ }}{{1 + {{\tan }^2}18^\circ }}\) + 5sin272°.
Hướng dẫn giải:
a) A = sin45° + 2sin60° + tan120° + cos135°
Ta có
\(\sin {\rm{ }}45^\circ = \frac{1}{{\sqrt 2 }};\sin 60^\circ = \;\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
\(\tan 120^\circ = \; - \sqrt 3 ;\cos {\rm{ }}135^\circ = \; - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)
Khi đó \(A{\rm{ }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} + 2.\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \left( { - \sqrt 3 } \right) + \left( { - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)\)
\(= \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \sqrt 3 - \sqrt 3 - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)= 0.
Vậy A = 0.
b) B = tan45° . cot135° - sin30° . cos120° - sin60° . cos150°
Ta có tan45° = 1; cot135° = -1;
\(\sin 30^\circ = \;\frac{1}{2};{\rm{ }}\cos 120^\circ = \; - \frac{1}{2}\)
\(\sin 60^\circ = \;\frac{{\sqrt 3 }}{2};{\rm{ }}\cos 150^\circ = \; - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
Khi đó:
\(B = 1.\left( { - 1} \right) - \frac{1}{2}.\left( { - \frac{1}{2}} \right) - \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\)\(= - 1 + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 0\)
Vậy B = 0.
c) C = cos25° + cos225° + cos245° + cos265° + cos285°
Ta có: \(\cos 45^\circ = \;\frac{1}{{\sqrt 2 }}\)
cos5° = cos(90° - 85°) = sin85°;
cos25° = cos(90° - 65°) = sin65°.
Do đó: cos25° = sin285°; cos225° = sin265°.
Khi đó C = sin285° + sin265° +\(\frac{1}{2}\) + cos265° + cos285°
C = (sin285° + cos285°) + (sin265° + cos265°) + \(\frac{1}{2}\)
Vậy \(C= 1 + 1 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\)\(C = \frac{5}{2}\)
d) D = \(\frac{{12}}{{1 + {{\tan }^2}73^\circ }}\) - 4tan75° . cot105° + 12sin2107° - 2tan40° . cos60° . tan50°;
Ta có 1 + tan273° = \(1 + \frac{{{{\sin }^2}{{73}^0}}}{{{{\cos }^2}73}}\)
\(= \frac{{{{\cos }^2}{{73}^0}}}{{{{\cos }^2}{{73}^0}}} + \frac{{{{\sin }^2}{{73}^0}}}{{{{\cos }^2}{{73}^0}}} = \frac{{{{\cos }^2}{{73}^0} + {{\sin }^2}{{73}^0}}}{{{{\cos }^2}{{73}^0}}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}{{73}^0}}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{{1 + {{\tan }^2}73^\circ }} = {\cos ^2}{73^0}\)\(\Rightarrow \frac{{12}}{{1 + {{\tan }^2}73^\circ }} = 12{\cos ^2}{73^0}\)
Khi đó:
D = 12cos273° - 4 . tan(180° - 105°) . cot105° + 12sin2107° - 2tan(90° - 50°) . cos60° . tan50°
= 12cos273° – 4(–tan105°) . cot105° + 12sin2 107° - 2cot50° . cos60° . tan50°
= 12cos2 73° + 12sin2 73° + 4tan105° . cot105° - 2cot 50° . tan 50° . cos 60°
= 12(cos2 73° + sin2 73°) + 4.1 – 2.1.cos60°
= 12 + 4 - 2.\(\frac{1}{2}\) = 15.
Vậy D = 15.
e) E = 4tan32° . cos60° . cot148° + \(\frac{{5{{\cot }^2}108^\circ }}{{1 + {{\tan }^2}18^\circ }}\) + 5sin272°.
Ta có 1 + tan2 18° = 1 + \(\frac{{{{\sin }^2}108^\circ }}{{{{\cos }^2}108^\circ }}\)
\(= \frac{{{{\cos }^2}108^\circ }}{{{{\cos }^2}108^\circ }} + \frac{{{{\sin }^2}108^\circ }}{{{{\cos }^2}108^\circ }}\)\(= \frac{{{{\cos }^2}108^\circ + {{\sin }^2}108^\circ }}{{{{\cos }^2}108^\circ }} = \frac{1}{{{{\cos }^2}108^\circ }}\)
\(\Rightarrow \frac{{5{{\cot }^2}{{108}^0}}}{{1 + {{\tan }^2}108^\circ }}\)= 5cot2108° . cos218°
= 5[cot(180° - 72°)]2 . cos218°
= 5.(-cot72°)2 . cos218°
= 5.cot272° . cos218°
Khi đó:
E = 4tan32° . cos60° . cot(180° - 32°) + 5cot2 72° . cos218° + 5[sin(90° - 18°)]2
= 4tan32° . cos60° . (-cot32°) + 5 cot272° . cos218° + 5cos218°
= -4cos60° + 5cos218° . (cot272° + 1)
\(= \; - 4{\rm{ }}.\;\frac{1}{2} + 5{\cos ^2}18^\circ .\frac{1}{{{{\sin }^2}72^\circ }}\)
\(= \; - 2 + 5{{\cos }^2}18^\circ {\rm{ }}.\;\frac{1}{{{{\left( {\sin \left( {90^\circ - 18^\circ } \right)} \right)}^2}}}\)
\(= \; - 2 + 5{{\cos }^2}\;18^\circ {\rm{ }}.\frac{1}{{\;{{\cos }^2}18^\circ }}\)
= -2 + 5 = 3.
Vậy E = 3.
Giải bài 3.2 trang 32 sách bài tập Toán 10 Tập 1 KNTT
Cho góc α, 90° < α < 180° thỏa mãn \(\sin \alpha = \frac{3}{4}\). Tính giá trị của biểu thức: \(F = \frac{{\tan \alpha + 2\cot \alpha }}{{tan\alpha + cot\alpha }}\).
Hướng dẫn giải:
Do 90° < α < 180° nên sinα > 0, cosα < 0.
Ta có: \({\sin ^2}\;\alpha + {\cos ^{2\;}}\alpha = 1\) \(\Leftrightarrow {\cos ^{2\;}}\alpha = 1\; - \;{\sin ^2}\;\alpha\)
\(\Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha = 1\; - \;{\left( {\frac{3}{4}} \right)^2}\; = 1\; - \;\frac{9}{{16}}\; = \;\frac{7}{{16}}\)
Mà cos α < 0 nên \(\cos \alpha = \; - \sqrt {\frac{7}{{16}}} = \; - \frac{{\sqrt 7 }}{4}\)
Khi đó:
\(\tan \alpha = \frac{{\;\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{3}{4}:\left( { - \frac{{\sqrt 7 }}{4}} \right) = \frac{3}{4}.\frac{4}{{ - \sqrt 7 }} = - \frac{3}{{\sqrt 7 }}\)
Khi đó \(\cot \alpha = 1:\tan \alpha = \frac{{ - \sqrt 7 }}{3}\)
\(\begin{array}{l}
F{\rm{ }} = \frac{{\frac{{ - 3}}{{\sqrt 7 }} + 2.\frac{{ - \sqrt 7 }}{3}}}{{\frac{{ - 3}}{{\sqrt 7 }} + \frac{{ - \sqrt 7 }}{3}}} = \frac{{\frac{{ - 3}}{{\sqrt 7 }} - \frac{{2\sqrt 7 }}{3}}}{{\frac{{ - 3}}{{\sqrt 7 }} - \frac{{\sqrt 7 }}{3}}}\\
= \frac{{\frac{{ - 9 - 14}}{{3\sqrt 7 }}}}{{\frac{{ - 9 - 7}}{{3\sqrt 7 }}}} = \frac{{ - 23}}{{3\sqrt 7 }}:\frac{{ - 16}}{{3\sqrt 7 }} = \frac{{23}}{{16}}
\end{array}\)
Vậy \(F = \frac{{23}}{{16}}\)
Giải SBT Toán 10 trang 33
Giải bài 3.3 trang 33 sách bài tập Toán 10 Tập 1 KNTT
Cho góc α thỏa mãn 0° < α < 180°, tanα = 2. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) G = 2sin α + cos α;
b) \(H = \frac{{\;2\sin \alpha + \cos \alpha }}{{\sin \alpha - \cos \alpha }}\)
Hướng dẫn giải:
Do 0° < α < 180° nên sinα > 0.
Mà \(\tan \alpha = \frac{{\;\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = 2 > 0\) nên sin α và cos α cùng dấu, do đó cosα > 0.
Do \(\tan \alpha = \frac{{\;\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = 2\) nên sinα = 2cosα
⇒ sin2α = 4cos2α
Ta có sin2α + cos2α = 1
⇒ 4cos α + cos2α = 1
⇒ 5cos2α = 1
⇒ \({\cos ^2}\alpha = \frac{1}{5}\)
Do cosα > 0 nên \(\cos \alpha = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\)
Do đó \(\sin \alpha = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\).
a) G = 2sinα + cosα \(= 2.\frac{2}{{\sqrt 5 }} + \frac{1}{{\sqrt 5 }} = \frac{4}{{\sqrt 5 }} + \frac{1}{{\sqrt 5 }} = \frac{5}{{\sqrt 5 }} = \sqrt 5\)
Vậy \(G = \sqrt 5\).
b) \(H = \frac{{\;2\sin \alpha + \cos \alpha }}{{\sin \alpha - \cos \alpha }}\)
\(= \frac{{2.\frac{2}{{\sqrt 5 }} + \frac{1}{{\sqrt 5 }}}}{{\frac{2}{{\sqrt 5 }} - \frac{1}{{\sqrt 5 }}}} = \frac{{\frac{4}{{\sqrt 5 }} + \frac{1}{{\sqrt 5 }}}}{{\frac{1}{{\sqrt 5 }}}}\)\(= \frac{5}{{\sqrt 5 }}.\sqrt 5 = 5\)
Vậy H = 5.
Giải bài 3.4 trang 33 sách bài tập Toán 10 Tập 1 KNTT
Cho góc α thỏa mãn 0° < α < 180°, tanα = 2. Tính giá trị của biểu thức:
\(K{\rm{ }} = \frac{{\;{{\sin }^3}\alpha + \sin \alpha .{{\cos }^2}\alpha + 2{{\sin }^2}\alpha .\cos \alpha - 4{{\cos }^3}\alpha }}{{\sin \alpha - \cos \alpha }}\)
Hướng dẫn giải:
Do 0° < α < 180° nên sinα > 0.
Mà \(\tan \alpha = \frac{{\;\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = 2 > 0\) nên sinα và cosα cùng dấu, do đó cosα > 0.
\(K{\rm{ }} = \frac{{\;{{\sin }^3}\alpha + \sin \alpha .{{\cos }^2}\alpha + 2{{\sin }^2}\alpha .\cos \alpha - 4{{\cos }^3}\alpha }}{{\sin \alpha - \cos \alpha }}\)
Chia cả tử và mẫu của K cho cos3α ta được:
\(K{\rm{ }} = \frac{{\;\frac{{{{\sin }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} + \frac{{\sin \alpha .{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} + \frac{{2{{\sin }^2}\alpha .\cos \alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} - \frac{{4{{\cos }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }}}}{{\frac{{\sin \alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} - \frac{{\cos \alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }}}}\)
\(K{\rm{ }} = \frac{{\;{{\tan }^3}\alpha + \tan \alpha + 2{{\tan }^2}\alpha - 4}}{{\tan \alpha .\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} - \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}}}\)
\(K{\rm{ }} = \frac{{\;{{\tan }^3}\alpha + \tan \alpha + 2{{\tan }^2}\alpha - 4}}{{{{\tan }^2}\alpha + \tan \alpha - {{\tan }^2}\alpha - 1}}\)
\(K{\rm{ }} = \frac{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^3} + \sqrt 2 + 2{{\sqrt 2 }^2} - 4}}{{{{\sqrt 2 }^3} + \sqrt 2 - {{\sqrt 2 }^2} - 1}}\)
\(K{\rm{ }} = \frac{{2\sqrt 2 + \sqrt 2 + 4 - 4}}{{2\sqrt 2 + \sqrt 2 - 2 - 1}}\)
\(K = \frac{{3\sqrt 2 }}{{3\sqrt 2 - 3}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 - 1}} = \frac{{\sqrt 2 .\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}}\)\(= \frac{{2 + \sqrt 2 }}{1} = 2 + \sqrt 2\)
Vậy \(K= 2 + \sqrt 2\).
Giải bài 3.5 trang 33 sách bài tập Toán 10 Tập 1 KNTT
Chứng minh rằng:
a) sin4α + cos4α = 1 - 2sin2α . cos2α;
b) sin6α + cos6α = 1 - 3sin2α . cos2α;
c*) .\(\sqrt {{{\sin }^4}\alpha + 6{{\cos }^2}\alpha + 3} + \sqrt {{{\cos }^2}\alpha + 4{{\sin }^2}\alpha } = 4\)
Hướng dẫn giải:
a) Ta có (sin2α + cos2α)2= sin4α + 2sin2α . cos2α + cos4α
⇒ 12 = sin4α + cos4α + 2sin2α . cos2α
⇒ sin4α + cos4α = 1 - 2sin2α . cos2α
Vậy sin4α + cos4α = 1 - 2sin2α . cos2α.
b) Ta có (sin2α + cos2α)3= sin+6α + cos6α + 3sin2α . cos2α(sin2α + cos2α)
⇒ 13 = sin6α + cos6α + 3sin2α . cos2α . 1
⇒ sin6α + cos6α = 1 - 3sin2α . cos2α
Vậy sin6α + cos6α = 1 - 3sin2α . cos2α.
c) Xét sin4α + 6cos2α + 3
= sin4α + 6(1 - sin2α) + 3
= sin4α - 6sin2α + 9
= (sin2α - 3)2
\(\Rightarrow \sqrt {{{\sin }^4}\alpha + 6{{\cos }^2}\alpha + 3} = \sqrt {{{\left( {{{\sin }^2}\alpha - 3} \right)}^2}}\)= |sin2α – 3| = 3 - sin2α
(do 0 ≤ sin2α < 1 nên sin2α – 3 < 0).
Xét cos4α + 4sin2α
= cos4α + 4(1 - cos2α)
= cos4α - 4 cos2α + 4
= (cos2α - 2)2
\(\Rightarrow \sqrt {{{\cos }^2}\alpha + 4{{\sin }^2}\alpha } = \sqrt {{{\left( {{{\cos }^2}\alpha - 2} \right)}^2}}\)= |cos2α – 2| = 2 - cos2α
(do 0 ≤ cos2α < 1 nên cos2α – 2 < 0).
\(\sqrt {{{\sin }^4}\alpha + 6{{\cos }^2}\alpha + 3} + \sqrt {{{\cos }^2}\alpha + 4{{\sin }^2}\alpha }\)= 3 - sin2 α + 2 - cos2α
= 5 - (sin2α + cos2 α) = 5 - 1 = 4.
Vậy \(\sqrt {{{\sin }^4}\alpha + 6{{\cos }^2}\alpha + 3} + \sqrt {{{\cos }^2}\alpha + 4{{\sin }^2}\alpha } = 4\).
Giải bài 3.6 trang 33 sách bài tập Toán 10 Tập 1 KNTT
Góc nghiêng của Mặt Trời tại một vị trí trên Trái Đất là góc nghiêng giữa tia nắng lúc giữa trưa với mặt đất. Trong thực tế, để đo trực tiếp góc này, vào giữa trưa (khoảng 12 giờ), em có thể dựng một thước thẳng vuông góc với mặt đất, đo độ dài của bóng thước trên mặt đất. Khi đó, tang của góc nghiêng Mặt Trời tại vị trí đặt thước bằng tỉ số giữa độ dài của thước và độ dài của bóng thước. Góc nghiêng của Mặt Trời phụ thuộc vào vĩ độ của vị trí đo và phụ thuộc vào thời gian đo trong năm (ngày thứ mấy trong năm). Tại vị trí có vĩ độ ϕ và ngày thứ N trong năm, góc nghiêng của Mặt Trời α còn được tính theo công thức sau:
\(\alpha = {90^0} - \Phi - \left| {\cos \left( {\left( {\frac{{2\left( {N + 10} \right)}}{{365}} - m} \right){{.180}^0}} \right)} \right|.23,{5^0}\)
trong đó m = 0 nếu 1 ≤ N ≤ 172, m = 1 nếu 173 ≤ N ≤ 355, m = 2 nếu 356 ≤ N ≤ 365.
a) Hãy áp dụng công thức trên để tính góc nghiêng của Mặt Trời vào ngày 10/10 trong năm không nhuận (năm mà tháng 2 có 28 ngày) tại vị trí có vĩ độ ϕ= 20°.
Hướng dẫn giải:
Tháng 10 và tháng 12 có 31 ngày; tháng 11 có 30 ngày.
Nên từ 10/10 đến hết tháng 10 còn 21 ngày.
Do đó ngày 10/10 trong năm không nhuận là ngày thứ: 365 - 21 - 30 - 31 = 283 trong năm đó.
Vì 173 ≤ N = 283 ≤ 355 nên m = 1.
Góc nghiêng của Mặt Trời vào ngày 10/10 tại vị trí có vĩ độ ϕ = 20° là:
\(\alpha = {90^0} - {20^0} - \left| {\cos \left( {\left( {\frac{{2\left( {N + 10} \right)}}{{365}} - 1} \right){{.180}^0}} \right)} \right|.23,{5^0}\)
b) Hãy xác định vĩ độ tại nơi em sinh sống và tính góc nghiêng của Mặt Trời tại đó theo hai cách đã được đề cập trong bài toán (đo trực tiếp và tính theo công thức) và so sánh hai kết quả thu được:
\(\alpha = {90^0} - {20^0} - \left| {\cos \left( {\left( {\frac{{2\left( {N + 10} \right)}}{{365}} - m} \right){{.180}^0}} \right)} \right|.23,{5^0}\)
\(\approx {70^0} - \left| {\cos {{109}^0}} \right|.23,{5^0} \approx {70^0} - 7,{65^0} \approx 62,{35^0}\)
Vậy góc nghiêng của Mặt Trời vào ngày 10/10 tại vị trí có vĩ độ ϕ = 20° khoảng 62,35°.
b) Học sinh tự thực hiện việc đo và tính theo công thức để so sánh.
Lưu ý tại vị trí có vĩ độ f và ngày thứ N trong năm, góc nghiêng của Mặt Trời α còn được tính theo công thức sau:
\(\alpha = {90^0} - \Phi - \left| {\cos \left( {\left( {\frac{{2\left( {N + 10} \right)}}{{365}} - m} \right){{.180}^0}} \right)} \right|.23,{5^0}\)
trong đó m = 0 nếu 1 ≤ N ≤ 172, m = 1 nếu 173 ≤ N ≤ 355, m = 2 nếu 356 ≤ N ≤ 365.
