Giải SBT Toán 10 bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác
Giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác
- Giải SBT Toán 10 trang 38
- Giải SBT Toán 10 trang 39
- Giải bài 3.9 trang 39 sách bài tập Toán 10 Tập 1 KNTT
- Giải bài 3.10 trang 39 sách bài tập Toán 10 Tập 1 KNTT
- Giải bài 3.11 trang 39 sách bài tập Toán 10 Tập 1 KNTT
- Giải bài 3.12 trang 39 sách bài tập Toán 10 Tập 1 KNTT
- Giải bài 3.15 trang 39 sách bài tập Toán 10 Tập 1 KNTT
- Bài 3.16 trang 39 sách bài tập Toán 10 Tập 1 KNTT
Giải SBT Toán 10 bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác là tài liệu hữu ích giúp bạn đọc có thể trau dồi nội dung kiến thức và có thêm tài liệu học tập. Mời các bạn cùng theo dõi bài viết dưới đây để có thêm tài liệu giải SBT Toán 10 nhé.
Giải SBT Toán 10 trang 38
Giải bài 3.7 trang 38 sách bài tập Toán 10 Tập KNTT
Cho tam giác ABC có 
\(\widehat A = {45^0};\widehat B = {30^0}\) và c = 12.
a) Tính độ dài các cạnh còn lại của tam giác.
b) Tính độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác.
c) Tính diện tích của tam giác.
d) Tính độ dài các đường cao của tam giác.
Hướng dẫn giải:
Hình vẽ minh họa:
Xét tam giác ABC có:
\(\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0} \Rightarrow \widehat C = {180^0} - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = {105^0}\)
Áp dụng định lí sin ta có: \(\frac{a}{{\sin \widehat A}} = \frac{b}{{\sin \widehat B}} = \frac{c}{{\sin \widehat C}}\)
Suy ra:
\(a = \frac{{c.\sin \widehat A}}{{\sin \widehat C}} = \frac{{12.\sin {{45}^0}}}{{\sin {{30}^0}}} = \frac{{12}}{{\frac{1}{2}}}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = 12\sqrt 2\)
\(b = \frac{{c.\sin \widehat B}}{{\sin \widehat C}} = \frac{{12.\sin {{105}^0}}}{{\sin {{30}^0}}} = \frac{{12}}{{\frac{1}{2}}}.\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4} = 6\sqrt 6 + 6\sqrt 2\)
Vậy \(a = 12\sqrt 2 ;b = 6\sqrt 6 + 6\sqrt 2\)
b) Theo định lí sin ta có;
\(\frac{c}{{\sin \widehat C}} = 2R \Rightarrow R = \frac{c}{{2\sin \widehat C}} = \frac{{12}}{{2\sin {{30}^0}}} = \frac{{12}}{{2.\frac{1}{2}}} = 12\)
Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng 12.
c) Áp dụng công thức diện tích tam giác ta có:
\(S = \frac{1}{2}.bc\sin A = \frac{1}{2}.\left( {6\sqrt 6 + 6\sqrt 2 } \right).12.\sin {45^0}\)
\(= 6.\left( {6\sqrt 6 + 6\sqrt 2 } \right).\frac{{\sqrt 2 }}{2} = 36\sqrt 3 + 36\)
Vậy diện tích tam giác ABC bằng \(36\sqrt 3 + 36\)
d) Áp dụng công thức diện tích tam giác ta có: \(S = \frac{1}{2}.a.{h_a} = \frac{1}{2}b.{h_b} = \frac{1}{2}c.{h_c}\)
Do đó:
\(\;{h_a} = \frac{{2S}}{a} = \frac{{2.\left( {36\sqrt 3 + 36} \right)}}{{12\sqrt 2 }} = 3\sqrt 6 + 3\sqrt 2\)
\({h_b} = \frac{{2S}}{b} = \frac{{2.\left( {36\sqrt 3 + 36} \right)}}{{6\sqrt 6 + 6\sqrt 2 }} = 6\sqrt 2\)
\({h_c} = \frac{{2S}}{c} = \frac{{2.\left( {36\sqrt 3 + 36} \right)}}{{12}} = 6\sqrt 3 + 6\)
Vậy độ dài các đường cao ha, hb, hc của tam giác ABC lần lượt là \(\;{h_a} = 3\sqrt 6 + 3\sqrt 2 ;{h_b} = 6\sqrt 2 ;{h_c} = 6\sqrt 3 + 6\)
Giải bài 3.8 trang 38 sách bài tập Toán 10 Tập 1 KNTT
Tam giác ABC có a = 19, b = 6 và c = 15.
a) Tính cosA.
b) Tính diện tích tam giác.
c) Tính độ dài đường cao hc.
d) Tính độ dài bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác.
Hướng dẫn giải:
a) Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:
\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos \widehat A\)
\(\Rightarrow \cos \widehat A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\)\(= \frac{{{6^2} + {{15}^2} - {{19}^2}}}{{2.6.15}} = - \frac{5}{9}\)
Vậy \(\cos \widehat A = - \frac{5}{9}\)
b) Tam giác ABC có a = 19, b = 6 và c = 15
Khi đó:
\(p = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{19 + 6 + 15}}{2} = 20\)
p – a = 1;
p – b = 14;
p – c = 5.
Áp dụng công thức Heron ta có:
\(S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} = \sqrt {20.1.14.5} = 10\sqrt {14}\)
Vậy diện tích tam giác ABC bằng \(10\sqrt {14}\).
c) Áp dụng công thức diện tích tam giác ta có:
\(S = \frac{1}{2}c.{h_c} \Rightarrow {h_c} = \frac{{2S}}{c} = \frac{{2.10\sqrt {14} }}{{15}} = \frac{{4\sqrt {14} }}{3}\)
Vậy độ dài đường cao \({h_c} = \frac{{4\sqrt {14} }}{3}\)
d) Áp dụng công thức diện tích tam giác ta có:
\(S = pr\; \Rightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{{10\sqrt {14} }}{{20}} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}\)
Vậy bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng \(\frac{{\sqrt {14} }}{2}\)
Giải SBT Toán 10 trang 39
Giải bài 3.9 trang 39 sách bài tập Toán 10 Tập 1 KNTT
Cho tam giác ABC có a = 4, \(\widehat C = {60^0}\), b = 5.
a) Tính các góc và cạnh còn lại của tam giác.
b) Tính diện tích của tam giác.
c) Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A của tam giác.
Hướng dẫn giải:
Áp dụng định lý côsin cho tam giác ABC ta có:
c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC
=> c2 = 42 + 52 – 2.4.5.cos60°
= 16 + 25 – 40. \(\frac{1}{2}\)= 21 \(\Rightarrow c = \sqrt {21}\)
Áp dụng định lý sin ta có: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\)
Do đó:
\(\sin B = \frac{{\sin C}}{c}.b = \frac{{\sin {{60}^0}.5}}{{\sqrt {21} }} = \frac{{5\sqrt 7 }}{{14}} \Rightarrow \widehat B \approx {70^0}53'36''\)
\(\sin A = \frac{{\sin C}}{c}.a = \frac{{\sin {{60}^0}.4}}{{\sqrt {21} }} = \frac{{2\sqrt 7 }}{7} \Rightarrow \widehat A \approx {49^0}6'24''\)
b) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ta có:
\(S = \frac{1}{2}.ab.\sin C = \frac{1}{2}.4.5.\sin {60^0} = 5\sqrt 3\)
Vậy diện tích tam giác ABC bằng \(5\sqrt{3}\)
c) Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến ta có:
\(\begin{array}{l}
m_a^2 = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{{5^2} + {{\left( {\sqrt {21} } \right)}^2}}}{2} - \frac{{{4^2}}}{4} = 19\\
\Rightarrow {m_a} = \sqrt {19}
\end{array}\)
Vậy độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC là: \(\sqrt {19}\).
Giải bài 3.10 trang 39 sách bài tập Toán 10 Tập 1 KNTT
Một tàu cá xuất phát từ đảo A, chạy 50 km theo hướng N24°E đến đảo B để lấy thêm ngư cụ, rồi chuyển hướng N36°W chạy tiếp 130 km đến ngư trường C.
a) Tính khoảng cách từ vị trí xuất phát A đến C (làm tròn đến hàng đơn theo đơn vị đo kilômét).
b) Tìm hướng từ A đến C (làm tròn đến hàng đơn vị, theo đơn vị độ).
Hướng dẫn giải:
Ba vị trí đảo A, đảo B và ngư trường C được mô tả như hình vẽ dưới đây:
a) Ta có: \(\widehat {ABC} = \left( {90^\circ - 24^\circ } \right) + \left( {90^\circ - 36^\circ } \right) = 120^\circ\)
Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:
AC2 = AB2 + BC2 – 2.AB.BC.\(\cos \widehat {ABC}\)
= 502 + 1302 – 2.50.130.(\(- \frac{1}{2}\)) = 25 900
\(\Rightarrow AC = 10\sqrt {259} \approx 161\left( {km} \right)\)
Vậy khoảng cách từ đảo A đến ngư trường C khoảng 161 km.
b) Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:
\(\begin{array}{l}
\frac{{BC}}{{\sin \widehat {BAC}}} = \frac{{AC}}{{\sin \widehat {ABC}}}\\
\Rightarrow \sin \widehat {BAC} = \frac{{BC.\sin \widehat {ABC}}}{{AC}} \approx 0,699\\
\Rightarrow \widehat {BAC} \approx {44^0}
\end{array}\)
Do đó AC có hướng chếch về hướng W một góc 44° – 24° = 22° so với hướng N.
Vậy từ A đến C có hướng N20°W.
Giải bài 3.11 trang 39 sách bài tập Toán 10 Tập 1 KNTT
Một tàu du lịch xuất phát từ bãi biển Đồ Sơn (Hải Phòng), chạy theo hướng N80°E với vận tốc 20 km/h. Sau khi đi được 30 phút, tàu chuyển sang hướng E20°S giữ nguyên vận tốc và chạy tiếp 36 phút nữa đến đảo Cát Bà. Hỏi khi đó tàu du lịch cách vị trí xuất phát bao nhiêu kilômet?
Một tàu du lịch xuất phát từ bãi biển Đồ Sơn (Hải Phòng), chạy theo hướng N80°E với vận tốc 20 km/h. Sau khi đi được 30 phút, tàu chuyển sang hướng E20°S giữ nguyên vận tốc và chạy tiếp 36 phút nữa đến đảo Cát Bà. Hỏi khi đó tàu du lịch cách vị trí xuất phát bao nhiêu kilômet?
Hướng dẫn giải:
Giả sử tàu du lịch xuất phát từ điểm A, chuyển động theo hướng N80°E tới B sau đó chuyển hướng E20°S tới điểm C như hình vẽ dưới đây.
Ta có: \(\widehat {ABC} = 180^\circ - 10^\circ - 20^\circ = 150^\circ\)
Tàu chạy từ A đến B với vận tốc 20 km/h trong 30 phút (= 0,5 giờ) nên:
AB = 20.0,5 = 10 (km).
Tàu chạy từ B đến C với vận tốc 20 km/h trong 36 phút (= 0,6 giờ) nên:
BC = 20.0,6 = 12 (km)
Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta được:
\(A{C^2}\; = {\rm{ }}A{B^2}\; + {\rm{ }}B{C^2}\;-{\rm{ }}2.AB.BC.\cos \widehat {ABC}\)
= 102 + 122 – 2.10.12.cos150°
= 100 + 144 – 240.(\(\frac{{ - \sqrt 3 }}{2}\)) = 452 (km)
Suy ra
Vậy khi tới đảo Cát Bà thì tàu du lịch cách vị trí xuất phát (bãi biển Đồ Sơn) khoảng 21,26 km.
Giải bài 3.12 trang 39 sách bài tập Toán 10 Tập 1 KNTT
Một cây cổ thụ mọc thẳng đứng bên lề một con dốc có độ dốc 10 độ so với phương nằm ngang. Từ một điểm dưới chân dốc, cách gốc cây 31 m người ta nhìn đỉnh ngọn cây dưới một góc 40° so với phương nằm ngang. Hãy tính chiều cao của cây.
Hướng dẫn giải:
Cây cổ thụ và con dốc được mô tả như hình vẽ dưới đây:
Vì con dốc có độ dốc 10° so với phương nằm ngang, người nhìn nhìn đỉnh ngọn cây dưới một góc 40° so với phương nằm ngang nên ta có \(\widehat {BAC} = 40^\circ - 10^\circ = 30^\circ\).
Và \(\;\widehat {ACB} = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ\)
Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:
\(\frac{{AB}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{BC}}{{\sin \widehat {BAC}}}\)
\(BC = \frac{{\sin \widehat {BAC}.AB}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{\sin {{30}^0}.31}}{{\sin {{50}^0}}} \approx 20,23\)
Vậy chiều cao của cây khoảng 20,23 m.
Giải bài 3.13 trang 39 sách bài tập Toán 10 Tập 1 KNTT
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
a) \(\cot A + \cot B + \cot C = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{4S}}.\)
b) \(m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{3}{4}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)
Hướng dẫn giải:
a) Áp dụng định lí côsin ta có:
\(\cos A = \;\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\) (1)
Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ta có:
\(S = \frac{1}{2}bc.\sin A \Rightarrow \sin A = \frac{{2S}}{{bc}}\;\) (2)
Từ (1) và (2) ta có:
\(\cot A = \frac{{\cos A}}{{\sin A}} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}:\frac{{2S}}{{bc}}\)
\(\cot A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{4S}}\)
Chứng minh tương tự ta cũng có:
\(\cot B = \;\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{4S}}\) và \(\cot C = \;\frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{4S}}\)
Do đó:
\(\begin{array}{l}
\cot A{\rm{ }} + {\rm{ }}\cot B{\rm{ }} + {\rm{ }}\cot C\\
= \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} + \dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{4S}} + \dfrac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{4S}}\\
= \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{4S}}
\end{array}\)
Vậy \(\cot A + \cot B + \cot C = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{4S}}\)
b) Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến ta có:
\(\begin{array}{l}
m_a^2 = \dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}\\
m_b^2 = \dfrac{{{a^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{b^2}}}{4}\\
m_c^2 = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - \dfrac{{{c^2}}}{4}
\end{array}\)
Do đó:
\(m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{b^2}}}{4} + \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - \frac{{{c^2}}}{4}\)
\(= \frac{{2.\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{3} - \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{4}\)
\(= {a^2} + {b^2} + {c^2} - \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{4} = \frac{{3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{4}\)
Vậy: \(m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{3}{4}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\) (điều phải chứng minh).
Giải bài 3.15 trang 39 sách bài tập Toán 10 Tập 1 KNTT
Cho tam giác ABC có các góc thoả mãn \(\frac{{\sin A}}{1} = \frac{{\sin B}}{2} = \frac{{\sin C}}{{\sqrt 3 }}\). Tính số đo các góc của tam giác.
Hướng dẫn giải:
Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:
\(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sin A = \frac{a}{{2R}}\\
\sin B = \frac{b}{{2R}}\\
\sin C = \frac{c}{{2R}}
\end{array} \right.\)
Theo bài ra ta có:
\(\frac{{\sin A}}{1} = \frac{{\sin B}}{2} = \frac{{\sin C}}{{\sqrt 3 }}\)\(\Rightarrow \frac{{\frac{a}{{2R}}}}{1} = \frac{{\frac{b}{{2R}}}}{2} = \frac{{\frac{c}{{2R}}}}{{\sqrt 3 }}\)
\(\Rightarrow \frac{a}{1} = \frac{b}{2} = \frac{c}{{\sqrt 3 }}\)
Đặt \(\frac{a}{1} = \frac{b}{2} = \frac{c}{{\sqrt 3 }} = t\)
Suy ra a = t; b = 2t; c =\(\sqrt 3\) t.
Suy ra a2 = t2; b2 = 4t2; c2 = 3t2.
Ta thấy: a2 + c2 = b2 = 4t2
Theo định lý Pythagore đảo ta có tam giác ABC vuông tại B.
⇒ sinB = 1.
\(\Rightarrow \frac{{\sin A}}{1} = \frac{1}{2} = \frac{{\sin C}}{{\sqrt 3 }}\)
\(\Rightarrow \sin A = \frac{1}{2};\sin C = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
\(\Rightarrow \widehat A = {30^0};\widehat C = {60^0}\)
Vậy \(\widehat A = {30^0};\widehat C = {60^0};\widehat B = {90^0}\)
Bài 3.16 trang 39 sách bài tập Toán 10 Tập 1 KNTT
Cho tam giác ABC có S = 2R2.sin A.sinB. Chứng minh rằng tam giác ABC là một tam giác vuông.
Hướng dẫn giải:
Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:
\(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 2R.\sin A\\
b = 2R.\sin B\\
c = 2R.\sin C
\end{array} \right.\)
Theo công thức tính diện tích tam giác ta có:
\(S = \frac{{abc}}{{4R}} = \frac{{\left( {2R\sin A} \right).\left( {2R\sin B} \right).\left( {2R\sin C} \right)}}{{4R}}\)
\(\Rightarrow S = \frac{{8{R^3}\sin A.\sin B.\sin C}}{{4R}}\)\(\Rightarrow S = 2{R^2}\sin A.\sin B.\sin C\)
Mà theo bài S = 2R2.sin A.sinB.
Do đó sinC = 1 \(\Rightarrow \widehat C = {90^0}\)
Vậy tam giác ABC vuông tại C.
