Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 10 Giải Vở BT Toán 10

Giải SBT Toán 10 Bài tập cuối chương 7

Giải Toán 10
Lớp: Lớp 10
Môn: Toán
Dạng tài liệu: Giải bài tập
Loại: Tài liệu Lẻ
Phân loại: Tài liệu Tính phí

Giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức Bài tập cuối chương 7

Giải SBT Toán 10 Bài tập cuối chương 7 được VnDoc.com sưu tầm và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Mời các bạn cùng theo dõi bài viết dưới đây để có thêm tài liệu giải SBT Toán 10 nhé.

Giải SBT Toán 10 trang 47

Giải bài 7.38 trang 47 sách bài tập Toán 10 KNTT Tập 2

Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc của đường hypebol?

A. 16x2 – 5y2 = –80; B. x2 = 4y;

C. \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{1} = 1 D. \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{1} = 1

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Phương trình chính tắc của đường hypebol có dạng \frac{x^{2}}{a} - \frac{y^{2}}{b} = 1 . (trong đó a, b > 0)

Do đó, \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{1} = 1 là một phương trình chính tắc của đường hypebol.

Giải bài 7.39 trang 47 sách bài tập Toán 10 KNTT Tập 2

Cho hai điểm A(–1; 0) và B(–2; 3). Phương trình đường thẳng đi qua B và vuông góc với AB là

A. x – 3y + 11 = 0; B. x – 3y + 1 = 0;

C. –x – 3y + 7 = 0; D. 3x + y + 3 = 0.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng đi qua B và vuông góc với AB nhận vectơ \overrightarrow{AB} = ( - 1;3) là vectơ pháp tuyến.

Phương trình đường thẳng đi qua B và vuông góc với AB là:

–1(x + 2) + 3(y – 3) = 0

⇔ –x + 3y – 2 – 9 = 0

⇔ x – 3y + 11 = 0.

Giải bài 7.40 trang 47 sách bài tập Toán 10 KNTT Tập 2

Cho điểm A(2; 3) và đường thẳng d: x + y + 3 = 0. Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d là

A. \frac{6}{\sqrt{13}} ; B. 4\sqrt{2} ; C. 8; D. 2\sqrt{2} .

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d là:

d(A;d) = \frac{|2 + 3 + 3|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2} .

Giải bài 7.41 trang 47 sách bài tập Toán 10 KNTT Tập 2

Cho hai đường thẳng d: x – 2y – 5 = 0 và k: x + 3y + 3 = 0. Góc giữa hai đường thẳng d và k là

A. 30°; B. 135°; C. 45°; D. 60°.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Xét d: x – 2y – 5 = 0 và k: x + 3y + 3 = 0 có các vectơ pháp tuyến lần lượt là:

\overrightarrow{n_{d}} = (1; - 2);\overrightarrow{n_{k}} = (1;3)

Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng d và k.

Ta có:

\cos\varphi = \left| \cos\left( \overrightarrow{n_{d}};\overrightarrow{n_{k}} \right) \right| = \frac{\left| \overrightarrow{n_{d}}.\overrightarrow{n_{k}} \right|}{\left| \overrightarrow{n_{d}} \right|.\left| \overrightarrow{n_{k}} \right|} = \frac{\left| 1.1 + ( - 2).3 \right|}{\sqrt{1^{2} + ( - 2)^{2}}.\sqrt{1^{2} + 3^{2}}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}

Vậy góc giữa hai đường thẳng là φ = 45°.

Giải SBT Toán 10 trang 48

Giải bài 7.42 trang 48 sách bài tập Toán 10 KNTT Tập 2

Cho đường tròn (C) có phương trình (x – 2)2 + (y + 3)2 = 9. Tâm I và bán kính R của đường tròn (C) là

A. I(2; –3), R = 9; B. I(–2; 3), R = 3;

C. I(–2; 3), R = 9; D. I(2; –3), R = 3.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Xét phương trình đường tròn: (x – 2)2 + (y + 3)2 = 9 ta có:

Tâm I(2; –3)

Bán kính: R = \sqrt{9} = 3 .

Giải bài 7.43 trang 48 sách bài tập Toán 10 KNTT Tập 2

Cho elip (E) có phương trình \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{27} = 1 . Điểm nào sau đây là một tiêu điểm của (E)?

A. (0; 3); B. (4; 0); C. (3; 0); D. (0; 4).

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Xét phương trình elip: \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{7} = 1 ta có:

a2 = 16

b2 = 7

c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = \sqrt{16 - 7} = 3

Do đó, elip có hai tiêu điểm là: F1(3; 0) và F2(–3; 0).

c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = \sqrt{16 - 7} = 3

Giải bài 7.44 trang 48 sách bài tập Toán 10 KNTT Tập 2

Đường thẳng qua A(1; –1) và B(–2; –4) có phương trình là

A. \left\{ \begin{matrix} x = 1 + 3t \\ y = - 1 - 3t \end{matrix} \right. B. \left\{ \begin{matrix} x = - 2 + t \\ y = - 4 - t \end{matrix} \right. C. \left\{ \begin{matrix} x = 1 - 2t \\ y = - 1 - 4t \end{matrix} \right. D. \left\{ \begin{matrix} x = - 2 + t \\ y = - 4 + t \end{matrix} \right.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng qua A(1; –1) và B(–2; –4) có một vectơ chỉ phương là: \overrightarrow{AB} = ( - 3; - 3) hay có một vectơ chỉ phương khác là: →u=(1;1).

Chọn điểm (–2; –4) thuộc đường thẳng AB. Phương trình tham số của đường thẳng AB là:

\left\{ \begin{matrix} x = - 2 + 1.t \\ y = - 4 + 1.t \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 2 + t \\ y = - 4 + t \end{matrix} \right.

Giải bài 7.45 trang 48 sách bài tập Toán 10 KNTT Tập 2

Cho hypebol (H) có phương trình chính tắc \frac{x^{2}}{36} - \frac{y^{2}}{13} = 1 .Tiêu cự của hypebol là

A. 7; B. 14; C. 2\sqrt{23} ; D. \sqrt{23} .

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Xét phương trình chính tắc \frac{x^{2}}{36} - \frac{y^{2}}{13} = 1 có:

a2 = 36

b2 = 13

c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{36 + 13} = \sqrt{49} = 7

Do đó, tiêu cự là: 2c = 2 . 7 = 14.

Giải bài 7.46 trang 48 sách bài tập Toán 10 KNTT Tập 2

Cho hai điểm A(0; – 2), B(2; 4). Phương trình đường tròn tâm A đi qua điểm B là

A. x2 + (y + 2)2 = 40; B. x2 + (y + 2)2 = 10;

C. x2 + (y – 2)2 = 40; D. x2 + (y – 2)2 = 10.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: AB = \ \sqrt{(2 - 0)^{2} + (4 + 2)^{2}} = 2\sqrt{10}

Đường tròn tâm A đi qua điểm B có bán kính R = AB = 2\sqrt{10}

Phương trình đường tròn tâm A đi qua điểm B là:

(x - 0)^{2}\ + (y + 2)^{2}\ = \left( 2\sqrt{10} \right)^{2}

⇔ x2 + (y + 2)2 = 40.

Giải bài 7.47 trang 48 sách bài tập Toán 10 KNTT Tập 2

Phương trình chính tắc của parabol (P) đi qua điểm E(2; 2) là

A. x2 = 2y; B. x2 = 4y; C. x2 = y; D. y = 2x2.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Thay tọa độ điểm E(2; 2) vào phương trình x2 = 2y, ta có:

22 = 2.2

Do đó, phương trình chính tắc của parabol (P) đi qua điểm E(2; 2) là x2 = 2y.

Giải bài 7.48 trang 48 sách bài tập Toán 10 KNTT Tập 2

Cho đường tròn (C) có phương trình (x + 1)2 + (y + 1)2 = 4 và điểm M(1; –1) thuộc đường tròn. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M là

A. y + 1 = 0; B. y = 0; C. x + 1 = 0; D. x – 1 = 0.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Đường tròn (C) có tâm I(–1; –1) và bán kính R = 2.

Tiếp tuyến của đường tròn tại M nhận vectơ \overrightarrow{IM} = (2;0) làm vectơ pháp tuyến

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M là:

2(x – 1) + 0.(y + 1) = 0 ⇔ 2x – 2 = 0 ⇔ x – 1 = 0.

Giải SBT Toán 10 trang 49

Giải bài 7.49 trang 49 sách bài tập Toán 10 KNTT Tập 2

Cho đường thẳng d: 4x + 3y – 2 = 0 và đường thẳng k:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 3t \\ y = 2 - 4t \end{matrix} \right. . Vị trí tương đối của hai đường thẳng d và k là

A. trùng nhau; B. song song;

C. cắt nhau nhưng không vuông góc; D. vuông góc.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng d: 4x + 3y – 2 = 0 và đường thẳng k:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 3t \\ y = 2 - 4t \end{matrix} \right. có vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương lần lượt là: \overrightarrow{n_{d}} = (4;3),\overrightarrow{u_{k}} = (3; - 4)

Do đó, đường thẳng k có vectơ pháp tuyến là: n_{k} = (4;3)

Do đó, \overrightarrow{n_{d}} = \overrightarrow{u_{k}} nên d và k hoặc song song hoặc trùng nhau.

Xét điểm \left( 1; - \frac{2}{3} \right) thuộc đường thẳng d.

Thay x = 1, y = - \frac{2}{3} vào phương trình tham số của đường thẳng k ta có:

\left\{ \begin{matrix} 1 = - 1 + 3t \\ - \frac{2}{3} = 2 - 4t \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t = \frac{2}{3} \\ \left\{ \begin{matrix} 1 = - 1 + 3t \\ - \frac{2}{3} = 2 - 4t \end{matrix} \right.\ \end{matrix} \right.

Do đó, \left( 1; - \frac{2}{3} \right) cũng thuộc vào đường thẳng k

Vậy d và k trùng nhau.

Giải bài 7.50 trang 49 sách bài tập Toán 10 KNTT Tập 2

Phương trình chính tắc của elip (E) đi qua điểm M(8; 0) và có tiêu cự bằng 6 là

A. \frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{100} = 1 ; B. \frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{28} = 1 ;

C. \frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{73} = 1 ; D. \frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{55} = 1 ;

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Gọi phương trình chính tắc của elip (E) là: \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 với a > b > 0

Elip (E) đi qua điểm M(8; 0) nên ta có:

\frac{8^{2}}{a^{2}} + \frac{0^{2}}{b^{2}} = 1 ⇔ a2 = 82 = 64

Mà tiêu cự là 2c = 6 ⇔ c = 3

Ta có:

Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là: \frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{55} = 1 .

Giải bài 7.51 trang 49 sách bài tập Toán 10 KNTT Tập 2

Cho điểm I(1; – 1) và đường thẳng d: x – y + 2 = 0. Phương trình đường tròn tâm I tiếp xúc với đường thẳng d là

A. (x – 1)2 + (y + 1)2 = 4; B. (x + 1)2 + (y – 1)2 = 4;

C. (x – 1)2 + (y + 1)2 = 8; D. (x + 1)2 + (y – 1)2 = 8.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Đường tròn tâm I tiếp xúc với đường thẳng d nên ta có bán kính

R = d(I, d) = \frac{\left| 1 - ( - 1) + 2 \right|}{\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2}}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}

Phương trình đường tròn tâm I tiếp xúc với đường thẳng d là:

(x – 1)2 + (y + 1)2 = (2√2)2 ⇔ (x – 1)2 + (y + 1)2 = 8.

Giải bài 7.52 trang 49 sách bài tập Toán 10 KNTT Tập 2

Cho đường thẳng d: x – y + 3 = 0. Phương trình đường thẳng song song với d và cách d một khoảng là √2 là

A. x + y + 1 = 0 và x + y + 3 = 0; B. x – y – 1 = 0;

C. x – y + 3 = 0; D. x – y + 3 = 0 và x – y – 1 = 0.

Lời giải:

Đáp án đúng là: (không có đáp án phù hợp)

Phương trình đường thẳng song song với d có dạng là: d’: x – y + c = 0 với c ≠ 3

Chọn điểm A(1; 4) thuộc đường thẳng d

Do d’ // d và d’ cách d một khoảng là √2 nên ta có:

d(A, d’) = √2 \Leftrightarrow \frac{|1 - 4 + c|}{\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2}}} = \sqrt{2} ⇔ |c – 3| = 2 (*)

TH1: c – 3 ≥ 0 hay c ≥ 3

(*) ⇔ c – 3 = 2 ⇔ c = 5 (thỏa mãn)

TH2: c – 3 < 0 hay c < 3

(*) ⇔ –c + 3 = 2 ⇔ c = 1 (thỏa mãn)

Với c = 5 ta có, d’: x – y + 5 = 0.

Với c = 1 ta có, d’: x – y + 1 = 0

Giải bài 7.53 trang 49 sách bài tập Toán 10 KNTT Tập 2

Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(–3; 2) và vectơ \overrightarrow{u} = (2; - 5) . Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M và nhận \overrightarrow{u} là một vectơ chỉ phương.

Lời giải:

Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M(–3; 2) và nhận \overrightarrow{u} = (2; - 5) là một vectơ chỉ phương là

\left\{ \begin{matrix} x = - 3 + 2.t \\ y = 2 + ( - 5).t \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 3 + 2t \\ y = 2 - 5t \end{matrix} \right.

Giải bài 7.54 trang 49 sách bài tập Toán 10 KNTT Tập 2

Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm N(2; –1) và vectơ \overrightarrow{n} = (3; - 1) .Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua N và nhận \overrightarrow{n} là một vectơ pháp tuyến.

Lời giải:

Phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua N và nhận \overrightarrow{n} là một vectơ pháp tuyến là:

3(x – 2) – 1(y + 1) = 0 ⇔ 3x – y – 6 – 1 = 0 ⇔ 3x – y – 7 = 0.

Giải bài 7.55 trang 49 sách bài tập Toán 10 KNTT Tập 2

Cho tam giác ABC với A(1; –1), B(3; 5), C(–2; 4).

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng AB.

b) Viết phương trình đường cao AH của tam giác ABC.

c) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC.

d) Tính sin của góc giữa hai đường thẳng AB và AC.

Lời giải:

a) Ta có \overrightarrow{AB} = (2;6) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB nên vectơ \overrightarrow{u} = (1;3) cũng là một vectơ chỉ phương của AB.

Đường thẳng AB đi qua điểm A(1; –1) và nhận \overrightarrow{u} = (1;3) là một vectơ chỉ phương có phương trình tham số là \left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = - 1 + 3t \end{matrix} \right.

b) Do AH vuông góc với BC nên \overrightarrow{BC} = ( - 5; - 1) là một vectơ pháp tuyến của đường cao AH.

Đường cao AH đi qua điểm A(1; –1) nhận \overrightarrow{n} = \overrightarrow{BC} = ( - 5; - 1) là một vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là:

5(x – 1) + 1(y + 1) = 0 ⇔ 5x – 5 + y + 1 = 0 ⇔ 5x + y – 4 = 0.

c) Đường thẳng BC nhận vectơ \overrightarrow{BC} = ( - 5; - 1) là một vectơ chỉ phương nên BC nhận \overrightarrow{n'} = (1; - 5) là một vectơ pháp tuyến.

Do đó phương trình đường thẳng BC là:

1(x – 3) – 5(y – 5) = 0 ⇔ x – 3 – 5y + 25 = 0 ⇔ x – 5y + 22 = 0.

Khoảng cách từ điểm A(1; –1) đến đường thẳng BC là

d(A;BC) = \frac{\left| 1 - 5.( - 1) + 22 \right|}{\sqrt{1^{2} + ( - 5)^{2}}} = \frac{14\sqrt{26}}{13} s

d) Gọi α là góc giữa hai đường thẳng AB và AC có hai vectơ chỉ phương lần lượt là: \overrightarrow{AB} = (2;6);\overrightarrow{AC} = ( - 3;5)

Khi đó

\begin{matrix} \cos\alpha = \left| \cos\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right) \right| = \frac{\left| \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} \right|}{\left| \overrightarrow{AB} \right|.\left| \overrightarrow{AC} \right|} \\ = \frac{\left| 2.( - 3) + 6.5 \right|}{\sqrt{2^{2} + 6^{2}}.\sqrt{( - 3)^{2} + 5^{2}}} = \frac{6}{\sqrt{85}} \end{matrix}

Do α là góc giữa hai đường thẳng nên sinα > 0.

Lại có sin2α + cos2α = 1. \Rightarrow \sin\alpha = \sqrt{1 - cos^{2}\alpha} = 7\sqrt{85}

Giải SBT Toán 10 trang 50

Giải bài 7.56 trang 50 sách bài tập Toán 10 KNTT Tập 2

Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(–1; 0) và B(3; 1).

a) Viết phương trình đường tròn tâm A và đi qua B.

b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB.

c) Viết phương trình đường tròn tâm O và tiếp xúc với đường thẳng AB.

Lời giải:

a) Đường tròn tâm A đi qua B có bán kính R = AB = \sqrt{(3 + 1)^{2} + (1 - 0)^{2}} = \sqrt{17} .

Vậy phương trình đường tròn tâm A đi qua B là:

(x + 1)2 + (y – 0)2 = (√17)2

⇔ (x + 1)2 + y2 = 17.

b) Ta có \overrightarrow{AB} = (4;1) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB. Do đó \overrightarrow{n} = ( - 1;4) là một vectơ pháp tuyến của AB.

Phương trình đường thẳng AB là:

–1(x + 1) + 4(y – 0) = 0 ⇔ –x – 1 + 4y = 0 ⇔ x – 4y + 1 = 0.

c) Đường tròn tâm O và tiếp xúc với đường thẳng AB có bán kính là

R = d(O;AB) = \frac{|0 - 4.0 + 1|}{\sqrt{1^{2} + ( - 4)^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{17}}

Vậy phương trình đường tròn tâm O tiếp xúc với AB là

(x - 0)^{2} + (y - 0)^{2} = \left( \frac{1}{\sqrt{17}} \right)^{2} \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} = \frac{1}{17} .

Giải bài 7.57 trang 50 sách bài tập Toán 10 KNTT Tập 2

Cho đường tròn (C) có phương trình x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0.

a) Tìm toạ độ tâm I và bán kính R của (C).

b) Chứng minh rằng điểm M(5; 1) thuộc (C). Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại M.

Lời giải:

a) Xét phương trình đường tròn (C) , ta có:

I (a; b) với a = – 4 : (–2) = 2, b = 6 : (–2) = –3, do đó, I (2; –3)

R = \sqrt{2^{2} + ( - 3)^{2} - ( - 12)} = 5 .

b) Thay toạ độ điểm M vào phương trình của đường tròn (C) ta có

52 + 12 – 4.5 + 6.1 – 12 = 0 (luôn đúng)

nên điểm M thuộc đường tròn (C).

Tiếp tuyến d của (C) tại điểm M là đường thẳng đi qua M và vuông góc với IM nên có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{IM} = (3;4) .

Vậy phương trình của tiếp tuyến d là:

3(x – 5) + 4(y – 1) = 0 ⇔ 3x + 4y – 19 = 0.

Giải bài 7.58 trang 50 sách bài tập Toán 10 KNTT Tập 2

Các phương trình dưới đây là phương trình chính tắc của đường nào? Khi đó hãy tìm các tiêu điểm, tiêu cự, đường chuẩn (nếu là đường parabol).

a) y2= 10x.

b) x2 – y2 = 1.

c) \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1 .

Lời giải:

a) y2 = 10x là phương trình chính tắc của parabol.

Ta có y2 = 10x = 2px ⇒ \frac{p}{2} = \frac{5}{2} ⇒ p = 5

Parabol trên có tiêu điểm là F\left( \frac{5}{2};0 \right) , phương trình đường chuẩn là x + \frac{5}{2} = 0 .

b) x2 – y2 = 1 là phương trình chính tắc của hypebol với a = b = 1 nên c=a2+b2=2

Tiêu điểm là F_{1}\left( - \sqrt{2};0 \right),F_{2}\left( \sqrt{2};0 \right) tiêu cự là 2c\ = 2\sqrt{2} .

c) \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1 là phương trình chính tắc của elip với a2 = 25, b2 = 16, c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = 3

Tiêu điểm là F1(–3; 0), F2(3; 0), tiêu cự F1F2 = 2c = 2.3 = 6.

Giải bài 7.59 trang 50 sách bài tập Toán 10 KNTT Tập 2

Cho elip (E) có phương trình là \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1 . Tìm toạ độ các điểm M thuộc (E), biết rằng M nhìn hai tiêu điểm của (E) dưới một góc vuông.

Lời giải:

Elip \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1 có a2 = 25, b2 = 9, c\ = \sqrt{\ a^{2} - b^{2}} = \sqrt{25 - 9}\ = \ 4 nên hai tiêu điểm là F1(–4; 0), F2(4; 0).

Do M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông nên M nằm trên đường tròn (C) tâm O đường kính F1F2 = 2.4 = 8 nên bán kính là R = 4.

Phương trình đường tròn (C) là: x2 + y2 = 42 hay x2 + y2 = 16.

Khi đó toạ độ của M là nghiệm của hệ phương trình

\left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} = 16 \\ \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y^{2} = 16 - x^{2} \\ \frac{x^{2}}{25} + \frac{16 - x^{2}}{9} = 1 \end{matrix} \right.

\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y^{2} = 16 - x^{2} \\ 9x^{2} + 400 - 25x^{2} = 225 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y^{2} = 16 - x^{2} \\ 16x^{2} = 175 \end{matrix} \right.

\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y^{2} = 16 - \frac{175}{16} \\ x^{2} = \frac{175}{16} \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = \pm \frac{5\sqrt{7}}{4} \\ y = \pm \frac{9}{4} \end{matrix} \right.

Vậy ta tìm được bốn điểm M thoả mãn là M\left( \pm \frac{5\sqrt{7}}{4}; \pm \frac{9}{4} \right) .

Giải bài 7.60 trang 50 sách bài tập Toán 10 KNTT Tập 2

Lập phương trình chính tắc của parabol (P) biết rằng, (P) đi qua điểm A(2; 4). Khi đó hãy tìm điểm M thuộc (P) và cách tiêu điểm của (P) một khoảng bằng 5.

Lời giải:

Phương trình chính tắc của (P) có dạng y2 = 2px.

Do (P) đi qua điểm A(2; 4) nên ta có: 42 = 2p.2 ⇔ p = 4.

Vậy phương trình chính tắc của (P) là: y2 = 8x với tiêu điểm F(2; 0).

Ta còn t28 - 22 + t2 = 25 viết phương trình (P) dưới dạng: x = \frac{y^{2}}{8} .

Ta có:

\begin{matrix} \Leftrightarrow \left( \frac{t^{2}}{8} - 2 \right)^{2} + t^{2} = 25 \\ \Leftrightarrow \frac{t^{2}}{64} - \frac{t^{2}}{2} + 4 + t^{2} = 25 \\ \Leftrightarrow \frac{t^{2}}{64} - \frac{t^{2}}{2} - 21 = 0 \end{matrix}

Do điểm M thuộc (P) nên toạ độ của điểm M có dạng M\left( \frac{t^{2}}{8};t \right)

Từ giả thiết MF = 5 ta suy ra:

MF2 = 25

Đặt t2 = X (X ≥ 0) ta có:

(*) \Leftrightarrow \frac{X^{2}}{64} + \frac{X}{2} - 21 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} X = 24(TM) \\ X = - 56(L) \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} X = 24(tm) \\ X = - 56(L) \end{matrix} \right.

Với X = 24 ⇔ t = \pm 2\sqrt{6}

Vậy có hai điểm M thoả mãn là M\left( 3; \pm 2\sqrt{6} \right) .

Giải bài 7.61 trang 50 sách bài tập Toán 10 KNTT Tập 2

Hình vẽ bên minh hoạ một phòng thì thầm (whispering gallery) với mặt cắt ngang là một hình bán elip với chiều cao 24 feet và chiều rộng 80 feet. Một âm thanh được phát ra từ một tiêu điểm của phòng thì thầm có thể được nghe thấy tại tiêu điểm còn lại. Hỏi hai người nói thầm qua lại với nhau thì sẽ cách trung tâm của phòng bao nhiêu mét? Theo đơn vị đo lường quốc tế, 1 feet = 0,3048 m.

Lời giải:

Theo đề bài, mặt cắt ngang là một hình bán elip với chiều cao 24 feet và chiều rộng 80 feet nên mặt cắt của phòng thì thầm là một nửa elip có a = 40 feet, b = 24 feet nên c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = \sqrt{40^{2} - 24^{2}} = 32 feet

Vậy nếu hai người nói chuyện với nhau trong phòng thì sẽ cách trung tâm phòng một nửa tiêu cự là c = 32 feet = 32 . 0,3048 m = 9,7536 m.

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!
Đóng
Đang cập nhật / tháng
Mua ngay
Đặc quyền các gói Thành viên
PRO
Phổ biến nhất
PRO+
Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp
30 lượt tải tài liệu
Xem nội dung bài viết
Trải nghiệm Không quảng cáo
Làm bài trắc nghiệm không giới hạn
Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%
1
4 Bài viết đã được lưu
Mục lục

Có thể bạn quan tâm

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này