Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 10 Giải Vở BT Toán 10

Giải SBT Toán 10 kết nối tri thức trang 54 tập 1

Giải Toán 10 KNTT tập 1 Bài 9 Tích của một vectơ với một số
Tải về
Dạng tài liệu: Giải bài tập Toán Lớp 10
Phân loại: Tài liệu Tính phí

Giải SBT Toán 10 KNTT trang 54 Bài 9

Giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức trang 54 tập 1 hướng dẫn chi tiết các bài tập thuộc Bài 9: Tích của một vectơ với một số. Nội dung bám sát chương trình Toán 10 KNTT, giúp học sinh nắm vững cách nhân vectơ với một số và vận dụng hiệu quả vào bài tập.

Giải bài 4.13 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1 KNTT

Cho tam giác ABC. Gọi D, E tương ứng là trung điểm của BC, CA. Hãy biểu thị các vectơ \;\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CA}\(\;\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CA}\) theo hai vectơ \overrightarrow {AD}\(\overrightarrow {AD}\) và \overrightarrow {BE}\(\overrightarrow {BE}\).

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa

Ta có:

D là trung điểm của BC nên \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AD}\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AD}\)

E là trung điểm của AC nên \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AE}\(\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AE}\)

\begin{array}{l} \Rightarrow \;\;\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AE} = 2\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BE} } \right)\\ \Rightarrow \;\overrightarrow {AB} + 2\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BE} } \right) = 2\overrightarrow {AD} \\ \Rightarrow \;\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {BE} = 2\overrightarrow {AD} \\ \Rightarrow 3\;\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {BE} = 2\overrightarrow {AD} \\ \Rightarrow 3\;\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {AD} - 2\overrightarrow {BE} \\ \Rightarrow \;\overrightarrow {AB} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} - \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} \end{array}\(\begin{array}{l} \Rightarrow \;\;\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AE} = 2\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BE} } \right)\\ \Rightarrow \;\overrightarrow {AB} + 2\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BE} } \right) = 2\overrightarrow {AD} \\ \Rightarrow \;\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {BE} = 2\overrightarrow {AD} \\ \Rightarrow 3\;\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {BE} = 2\overrightarrow {AD} \\ \Rightarrow 3\;\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {AD} - 2\overrightarrow {BE} \\ \Rightarrow \;\overrightarrow {AB} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} - \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} \end{array}\)

Ta có: \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AD} \Rightarrow \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB}\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AD} \Rightarrow \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB}\)

Mà \;\overrightarrow {AB} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} - \frac{2}{3}\overrightarrow {BE}\(\;\overrightarrow {AB} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} - \frac{2}{3}\overrightarrow {BE}\)

\begin{array}{l} \Rightarrow \;\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AD} - \left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {AD} - \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} } \right)\\ \Rightarrow \;\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AD} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} \\ \Rightarrow \;\overrightarrow {AC} = \frac{4}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} \\ \Rightarrow \;\overrightarrow {CA} = - \frac{4}{3}\overrightarrow {AD} - \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} \end{array}\(\begin{array}{l} \Rightarrow \;\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AD} - \left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {AD} - \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} } \right)\\ \Rightarrow \;\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AD} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} \\ \Rightarrow \;\overrightarrow {AC} = \frac{4}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} \\ \Rightarrow \;\overrightarrow {CA} = - \frac{4}{3}\overrightarrow {AD} - \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} \end{array}\)

Ta có: \;\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB}\(\;\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB}\) (quy tắc hiệu)

\begin{array}{l}\;\overrightarrow {BC} = \frac{4}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} - \left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {AD} - \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} } \right)\\ \Rightarrow \;\overrightarrow {BC} = \frac{4}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} \\ \Rightarrow \;\overrightarrow {BC} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{4}{3}\overrightarrow {BE} \end{array}\(\begin{array}{l}\;\overrightarrow {BC} = \frac{4}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} - \left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {AD} - \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} } \right)\\ \Rightarrow \;\overrightarrow {BC} = \frac{4}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} \\ \Rightarrow \;\overrightarrow {BC} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{4}{3}\overrightarrow {BE} \end{array}\)

Vậy \overrightarrow {AB} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} - \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} ;\overrightarrow {BC} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{4}{3}\overrightarrow {BE} ;\overrightarrow {CA} = - \frac{4}{3}\overrightarrow {AD} - \frac{2}{3}\overrightarrow {BE}\(\overrightarrow {AB} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} - \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} ;\overrightarrow {BC} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{4}{3}\overrightarrow {BE} ;\overrightarrow {CA} = - \frac{4}{3}\overrightarrow {AD} - \frac{2}{3}\overrightarrow {BE}\)

Giải bài 4.14 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1 KNTT

Cho tam giác OAB vuông cân, với OA = OB = a. Hãy xác định độ dài của các vectơ sau \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} ,{\rm{ }}\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} ,{\rm{ }}\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} ,{\rm{ 2}}\overrightarrow {OA} - 3\overrightarrow {OB}\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} ,{\rm{ }}\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} ,{\rm{ }}\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} ,{\rm{ 2}}\overrightarrow {OA} - 3\overrightarrow {OB}\)

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa

Gọi C là điểm thoả mãn OACB là hình bình hành

Mà ∆OAB vuông cân có OA = OB nên OACB là hình vuông

⇒ OC = AB

Mà AB2 = OA2 + OB2 (định lí Pythagoras)

⇒ AB2 = a2 + a2 = 2a2

⇒OC=AB=a√2

Ta có:\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OC}\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OC}\) (quy tắc hình bình hành)

\Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {OC} } \right| = OC = a\sqrt 2\(\Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {OC} } \right| = OC = a\sqrt 2\)

Ta có: {\rm{ }}\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} = {\rm{ }}\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {BO} = \overrightarrow {BO} + \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {BA}\({\rm{ }}\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} = {\rm{ }}\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {BO} = \overrightarrow {BO} + \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {BA}\)

\Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| = BA = a\sqrt 2\(\Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| = BA = a\sqrt 2\)

 Lấy điểm D sao cho {\rm{ }}\overrightarrow {OD} = 2\overrightarrow {OB}\({\rm{ }}\overrightarrow {OD} = 2\overrightarrow {OB}\) nên hai vectơ {\rm{ }}\overrightarrow {OD} ;\overrightarrow {OB}\({\rm{ }}\overrightarrow {OD} ;\overrightarrow {OB}\) cùng hướng và OD = 2OB.

Lại có: \overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OD}\(\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OD}\)

Vẽ hình chữ nhật OAED, khi đó \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {OE}\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {OE}\)

\Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {OE} } \right| = OE\(\Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {OE} } \right| = OE\)

Mà OE2 = OD2 + DE2 (định lí Pythagoras)

⇒ OE2 = (2OB)2 + OA2

⇒ OE2 = (2a)2 + a2 = 5a2

⇒OE=a√5

\Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} } \right| = a\sqrt 5\(\Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} } \right| = a\sqrt 5\)

Lấy điểm G sao cho \overrightarrow {OG} = 2\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {OH} = 3\overrightarrow {OB}\(\overrightarrow {OG} = 2\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {OH} = 3\overrightarrow {OB}\)

Khi đó: hai vectơ \overrightarrow {OG} ;\overrightarrow {OA}\(\overrightarrow {OG} ;\overrightarrow {OA}\) cùng hướng và OG = 2OA;

Và hai vectơ vOH, vOB cùng hướng và OH = 3OB.

Ta có:

{\rm{2}}\overrightarrow {OA} - 3\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OG} - \overrightarrow {OH}\({\rm{2}}\overrightarrow {OA} - 3\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OG} - \overrightarrow {OH}\)\overrightarrow {OG} + \overrightarrow {OH} = \overrightarrow {HO} + \overrightarrow {OG}\(\overrightarrow {OG} + \overrightarrow {OH} = \overrightarrow {HO} + \overrightarrow {OG}\)= \overrightarrow {HG}\(= \overrightarrow {HG}\)

\Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {HG} } \right| = HG\(\Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {HG} } \right| = HG\)

Mà HG2 = OG2 + OH2 (định lí Pythagoras)

⇒ HG2 = (2OA)2 + (3OB)2

⇒ HG2 = (2a)2 + (3a)2

⇒ HG = a\sqrt {13}\(HG = a\sqrt {13}\)

\Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} } \right| = a\sqrt {13}\(\Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} } \right| = a\sqrt {13}\)

Giải bài 4.15 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1 KNTT

Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O.

a) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng \overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {OM}\(\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {OM}\)

b) Chứng minh rằng \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH}\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH}\)

c) Chứng minh rằng ba điểm G, H, O cùng thuộc một đường thẳng.

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa

a) Kẻ đường kính AD.

Hai điểm B, C thuộc đường tròn đường kính AD nên \widehat {ABD} = \widehat {ACD} = 90^\circ\(\widehat {ABD} = \widehat {ACD} = 90^\circ\)

Hay BD ⊥ AB, CD ⊥ AC

Lại có H là trực tâm ∆ABC nên BH ⊥ AC, CH ⊥ AB

⇒ BH /// CD và CH // BD

⇒ BHCD là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

⇒ Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (tính chất hình bình hành)

Mà M là trung điểm của BC

⇒ M là trung điểm của HD

Mà O là trung điểm của AD

Khi đó OM là đường trung bình của ∆AHD

⇒ OM // AH và (tính chất đường trung bình)

Do đó hai vectơ \overrightarrow {AH}\(\overrightarrow {AH}\) và \overrightarrow {OM}\(\overrightarrow {OM}\) có:

+ Cùng phương, cùng hướng

+ Độ lớn: \left| {\overrightarrow {AH} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {OM} } \right|\(\left| {\overrightarrow {AH} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {OM} } \right|\)=>\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {OM}\(\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {OM}\)

Vậy \overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {OM}\(\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {OM}\)

b) Vì M là trung điểm của BC nên \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow {OM}\(\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow {OM}\)

Mà \overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {OM}\(\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {OM}\) (câu a)

\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {AH} \\ \Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {AH} \\ \Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} \end{array}\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {AH} \\ \Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {AH} \\ \Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} \end{array}\)

Vậy \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH}\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH}\)

c) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {OG}\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {OG}\)

Mà  \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH}\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH}\)(câu b)

=> \overrightarrow {OH} = 3\overrightarrow {OG}\(\overrightarrow {OH} = 3\overrightarrow {OG}\)

Khi đó \overrightarrow {OH} ;\overrightarrow {OG}\(\overrightarrow {OH} ;\overrightarrow {OG}\) cùng phương, cùng hướng

⇒ O, H, G thẳng hàng.

Vậy ba điểm O, H, G thẳng hàng.

Giải bài 4.16 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1 KNTT

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, CD và gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng với điểm O bất kì đều có

\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = 4\overrightarrow {OI}\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = 4\overrightarrow {OI}\)

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa:

Với điểm O bất kì ta có:

\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow {OM}\(\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow {OM}\) do M là trung điểm của AB)

\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = 2\overrightarrow {ON}\(\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = 2\overrightarrow {ON}\) (do N là trung điểm của CD)

\overrightarrow {ON} + \overrightarrow {OM} = 2\overrightarrow {OI}\(\overrightarrow {ON} + \overrightarrow {OM} = 2\overrightarrow {OI}\) (do I là trung điểm của MN)

\Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = 2\overrightarrow {ON} + 2\overrightarrow {OM} = 4\overrightarrow {OI}\(\Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = 2\overrightarrow {ON} + 2\overrightarrow {OM} = 4\overrightarrow {OI}\)

Vậy với điểm O bất kì đều có: \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = 4\overrightarrow {OI}\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = 4\overrightarrow {OI}\)

Giải bài 4.17 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1 KNTT

Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa:

+) Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC

Nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.

⇒ MN // AC và MN = \frac{1}{2}AC\(MN = \frac{1}{2}AC\) (tính chất đường trung bình)

=> \overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}\(\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}\)

tương tự chứng minh: \overrightarrow {PQ} = \frac{1}{2}\overrightarrow {CE}\(\overrightarrow {PQ} = \frac{1}{2}\overrightarrow {CE}\) (2)

\overrightarrow {RS} = \frac{1}{2}\overrightarrow {EA}\(\overrightarrow {RS} = \frac{1}{2}\overrightarrow {EA}\)        (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có:

\begin{array}{l} \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CE} + \frac{1}{2}\overrightarrow {EA} \\ = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CE} + \overrightarrow {EA} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {EA} } \right) = \frac{1}{2}.\overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 \end{array}\(\begin{array}{l} \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CE} + \frac{1}{2}\overrightarrow {EA} \\ = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CE} + \overrightarrow {EA} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {EA} } \right) = \frac{1}{2}.\overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 \end{array}\)

=> \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = \overrightarrow 0\(\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = \overrightarrow 0\)

+) Giả sử G và G' lần lượt là trọng tâm của tam giác MPR và tam giác NQS.

Khi đó ta có: \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {PG} + \overrightarrow {RG} = \vec 0\(\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {PG} + \overrightarrow {RG} = \vec 0\) và \overrightarrow {NG\(\overrightarrow {NG'} + \overrightarrow {QG'} + \overrightarrow {SG'} = \vec 0\) hay \overrightarrow {G\(\overrightarrow {G'N} + \overrightarrow {G'Q} + \overrightarrow {G'S} = \vec 0\)

Mặt khác: theo quy tắc ba điểm ta có:

\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GG\(\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'N} \\ \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'Q} \\ \overrightarrow {RS} = \overrightarrow {RG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'S} \end{array} \right.\)

\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} \\ = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GG\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} \\ = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'N} + \overrightarrow {PG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'Q} + \overrightarrow {RG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'S} \\ = \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {PG} + \overrightarrow {RG} } \right) + 3\overrightarrow {GG'} + \left( {\overrightarrow {G'N} + \overrightarrow {G'Q} + \overrightarrow {G'S} } \right)\\ = 3\overrightarrow {GG'} \end{array}\)

+) Lại có \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = \overrightarrow 0\(\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = \overrightarrow 0\) (chứng minh trên)

\Rightarrow 3\overrightarrow {GG\(\Rightarrow 3\overrightarrow {GG'} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \overrightarrow {GG'} = \overrightarrow 0\)

=> G và G' trùng nhau.

Vậy hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

Giải bài 4.18 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1 KNTT

Cho tam giác ABC đều với trọng tâm O. M là một điểm tuỳ ý nằm trong tam giác. Gọi D, E, F theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên BC, CA, AB.

Chứng minh rằng  \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = \frac{3}{2}\overrightarrow {MO}\(\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = \frac{3}{2}\overrightarrow {MO}\)

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa:

Qua M, kẻ các đường thẳng IJ // BC, HK // AC, PQ // AB.

Tam giác ABC đều nên \widehat {ABC} = \widehat {ACB} = 60^\circ\(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = 60^\circ\)

Mà PQ // AB nên \widehat {MQK} = \widehat {ABC} = 60^\circ\(\widehat {MQK} = \widehat {ABC} = 60^\circ\)

HK // AC nên \widehat {MKQ} = \widehat {ACB} = 60^\circ\(\widehat {MKQ} = \widehat {ACB} = 60^\circ\)

Tam giác MQK có: \widehat {MQK} = \widehat {MKQ} = 60^\circ\(\widehat {MQK} = \widehat {MKQ} = 60^\circ\) nên là tam giác đều.

Lại có MD là đường cao kẻ từ M nên MD đồng thời là đường trung tuyến

Do đó D là trung điểm của QK

\Rightarrow \overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {MK} = 2\overrightarrow {MD}\(\Rightarrow \overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {MK} = 2\overrightarrow {MD}\) (1)

Chứng minh tương tự ta cũng có:

\overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {MK} = 2\overrightarrow {MF}\(\overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {MK} = 2\overrightarrow {MF}\)(2)

\overrightarrow {MP} + \overrightarrow {MJ} = 2\overrightarrow {ME}\(\overrightarrow {MP} + \overrightarrow {MJ} = 2\overrightarrow {ME}\)   (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: 

\begin{array}{l} \overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {MK} + \overrightarrow {MH} + \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {MP} + \overrightarrow {MJ} = 2\left( {\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MF} + \overrightarrow {ME} } \right)\\ \Rightarrow 2\left( {\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MF} + \overrightarrow {ME} } \right) = \left( {\overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {MI} } \right) + \left( {\overrightarrow {MK} + \overrightarrow {MJ} } \right) + \left( {\overrightarrow {MH} + \overrightarrow {MP} } \right) \end{array}\(\begin{array}{l} \overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {MK} + \overrightarrow {MH} + \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {MP} + \overrightarrow {MJ} = 2\left( {\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MF} + \overrightarrow {ME} } \right)\\ \Rightarrow 2\left( {\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MF} + \overrightarrow {ME} } \right) = \left( {\overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {MI} } \right) + \left( {\overrightarrow {MK} + \overrightarrow {MJ} } \right) + \left( {\overrightarrow {MH} + \overrightarrow {MP} } \right) \end{array}\)

Vì MI // BQ, MQ // BI nên tứ giác MIBQ là hình bình hành

⇒ \overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {MI} = \overrightarrow {MB}\(\overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {MI} = \overrightarrow {MB}\)

Tương tự ta có  \overrightarrow {MK} + \overrightarrow {MJ} = \overrightarrow {MC} ;\overrightarrow {MH} + \overrightarrow {MP} = \overrightarrow {MA}\(\overrightarrow {MK} + \overrightarrow {MJ} = \overrightarrow {MC} ;\overrightarrow {MH} + \overrightarrow {MP} = \overrightarrow {MA}\)

Khi đó

\begin{array}{l} \Rightarrow 2\left( {\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MF} + \overrightarrow {ME} } \right) = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MA} \\ \Rightarrow \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MF} + \overrightarrow {ME} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MA} } \right) \end{array}\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2\left( {\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MF} + \overrightarrow {ME} } \right) = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MA} \\ \Rightarrow \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MF} + \overrightarrow {ME} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MA} } \right) \end{array}\)

Lại có O là trọng tâm của tam giác ABC nên

\begin{array}{l} \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MA} = 3\overrightarrow {MO} \\ \Rightarrow \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MF} + \overrightarrow {ME} = \frac{1}{2}.3\overrightarrow {MO} = \frac{3}{2}\overrightarrow {MO} \end{array}\(\begin{array}{l} \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MA} = 3\overrightarrow {MO} \\ \Rightarrow \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MF} + \overrightarrow {ME} = \frac{1}{2}.3\overrightarrow {MO} = \frac{3}{2}\overrightarrow {MO} \end{array}\)

Giải bài 4.19 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1 KNTT

Cho tam giác ABC.

a) Tìm điểm M sao cho \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0\)

b) Xác định điểm N thoả mãn 4\overrightarrow {NA} - 2\overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0\(4\overrightarrow {NA} - 2\overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0\)

Hướng dẫn giải:

a)Hình vẽ minh họa

Gọi I là trung điểm của AB.

Khi đó \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI}\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI}\)

\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {MI} + 2\overrightarrow {MC} = 2\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {MC} } \right)\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {MI} + 2\overrightarrow {MC} = 2\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {MC} } \right)\)

Gọi K là trung điểm của IC, khi đó: 

\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {MK} \\ \Rightarrow 2\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {MC} } \right) = 4\overrightarrow {MK} \end{array}\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {MK} \\ \Rightarrow 2\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {MC} } \right) = 4\overrightarrow {MK} \end{array}\)

Mà \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0\)

\Rightarrow 4\overrightarrow {MK} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \overrightarrow {MK} = \overrightarrow 0\(\Rightarrow 4\overrightarrow {MK} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \overrightarrow {MK} = \overrightarrow 0\)

=> M ≡ K.

Vậy M là trung điểm của IC (với I là trung điểm của AB).

b)Hình vẽ minh họa:

Ta có: 

\begin{array}{l} 4\overrightarrow {NA} - 2\overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = 4\overrightarrow {NA} - 2\left( {\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {AB} } \right) + \overrightarrow {NC} \\ = 4\overrightarrow {NA} - 2\overrightarrow {NA} - 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {NC} \\ = \overrightarrow {NA} - 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow {NA} - 2\overrightarrow {AB} + \left( {\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NC} } \right) \end{array}\(\begin{array}{l} 4\overrightarrow {NA} - 2\overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = 4\overrightarrow {NA} - 2\left( {\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {AB} } \right) + \overrightarrow {NC} \\ = 4\overrightarrow {NA} - 2\overrightarrow {NA} - 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {NC} \\ = \overrightarrow {NA} - 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow {NA} - 2\overrightarrow {AB} + \left( {\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NC} } \right) \end{array}\)

Gọi H là trung điểm của AC, khi đó \overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NC} = 2\overrightarrow {NH}\(\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NC} = 2\overrightarrow {NH}\)

\begin{array}{l} 4\overrightarrow {NA} - 2\overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow {NA} - 2\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {NH} \\ = \left( {\overrightarrow {NA} + 2\overrightarrow {NH} } \right) - 2\overrightarrow {AB} \end{array}\(\begin{array}{l} 4\overrightarrow {NA} - 2\overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow {NA} - 2\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {NH} \\ = \left( {\overrightarrow {NA} + 2\overrightarrow {NH} } \right) - 2\overrightarrow {AB} \end{array}\)

Giả sử P là điểm thỏa mãn \overrightarrow {PA} + \overrightarrow {PH} = \overrightarrow 0\(\overrightarrow {PA} + \overrightarrow {PH} = \overrightarrow 0\)

Khi đó

\begin{array}{l} \overrightarrow {NA} + 2\overrightarrow {NH} = \left( {\overrightarrow {NP} + \overrightarrow {PA} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {NP} + \overrightarrow {PH} } \right)\\ = \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {PA} + 2\overrightarrow {NP} + 2\overrightarrow {PH} \\ = 3\overrightarrow {NP} + \overrightarrow {PA} + 2\overrightarrow {PH} \\ = 3\overrightarrow {NP} + \overrightarrow 0 = 3\overrightarrow {NP} \end{array}\(\begin{array}{l} \overrightarrow {NA} + 2\overrightarrow {NH} = \left( {\overrightarrow {NP} + \overrightarrow {PA} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {NP} + \overrightarrow {PH} } \right)\\ = \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {PA} + 2\overrightarrow {NP} + 2\overrightarrow {PH} \\ = 3\overrightarrow {NP} + \overrightarrow {PA} + 2\overrightarrow {PH} \\ = 3\overrightarrow {NP} + \overrightarrow 0 = 3\overrightarrow {NP} \end{array}\)

=> 4\overrightarrow {NA} - 2\overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = 3\overrightarrow {NP} - 2\overrightarrow {AB}\(=> 4\overrightarrow {NA} - 2\overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = 3\overrightarrow {NP} - 2\overrightarrow {AB}\)

Mà 4\overrightarrow {NA} - 2\overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0\(4\overrightarrow {NA} - 2\overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0\)

=>3\overrightarrow {NP} - 2\overrightarrow {AB} = \overrightarrow 0 \Rightarrow 3\overrightarrow {NP} = 2\overrightarrow {AB} \Rightarrow \overrightarrow {NP} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB}\(=>3\overrightarrow {NP} - 2\overrightarrow {AB} = \overrightarrow 0 \Rightarrow 3\overrightarrow {NP} = 2\overrightarrow {AB} \Rightarrow \overrightarrow {NP} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB}\)

Gọi Q là điểm nằm trên cạnh AB sao cho \overrightarrow {AQ} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB}\(\overrightarrow {AQ} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB}\)

=>\overrightarrow {NP} = \overrightarrow {AQ}\(=>\overrightarrow {NP} = \overrightarrow {AQ}\)

=> Tứ giác AQPN là hình bình hành

Vậy điểm N cần tìm là đỉnh của hình bình hành AQPN (với Q thỏa mãn \overrightarrow {AQ} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB}\(\overrightarrow {AQ} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB}\) và P thỏa mãn \overrightarrow {PA} + \overrightarrow {PH} = \overrightarrow 0\(\overrightarrow {PA} + \overrightarrow {PH} = \overrightarrow 0\), H là trung điểm của AC).

-----------------------------

Qua Giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức trang 54 tập 1, học sinh có thể củng cố kiến thức về tích của một vectơ với một số và các tính chất liên quan. Đây là nội dung quan trọng giúp nâng cao kỹ năng giải bài tập, hỗ trợ học tốt Toán 10 Kết nối tri thức.

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!
Đóng
Đang cập nhật / tháng
Mua ngay
Đặc quyền các gói Thành viên
PRO
Phổ biến nhất
PRO+
Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp
30 lượt tải tài liệu
Xem nội dung bài viết
Trải nghiệm Không quảng cáo
Làm bài trắc nghiệm không giới hạn
Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%
1
1 Bài viết đã được lưu
Mục lục

Có thể bạn quan tâm

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này