Giải SBT Toán 10 kết nối tri thức trang 58 tập 1
Giải SBT Toán 10 KNTT trang 58 Bài 10
Giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức trang 58 tập 1 cung cấp lời giải các bài tập Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ. Nội dung trình bày rõ ràng, bám sát kiến thức Toán 10 KNTT, giúp học sinh nắm chắc cách biểu diễn và thực hiện các bài toán về vectơ trong mặt phẳng tọa độ.
Giải bài 4.22 trang 58 SBT Toán 10 tập 1 KNTT
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm M(4; 0), N(5; 2) và P(2, 3). Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC, biết M, N, P theo thứ tự là trung điểm cạnh BC, CA, AB.
Hướng dẫn giải:
Gọi A(xA; yA); B(xB; yB) và C(xC; yC) là tọa độ ba đỉnh của tam giác ABC.
Ta có:
Mà M(4; 0) là trung điểm của BC nên 
\(\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x_B} + {x_C}}}{2} = 4\\
\frac{{{y_B} + {y_C}}}{2} = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_B} + {x_C} = 8\\
{y_B} + {y_C} = 0
\end{array} \right.\)
N(5,2) là trung điểm của CA nên \(\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x_A} + {x_C}}}{2} = 5\\
\frac{{{y_A} + {y_C}}}{2} = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_A} + {x_C} = 10\\
{y_A} + {y_C} = 4
\end{array} \right.\)
P(2;3) là trung điểm của AB nên \(\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = 2\\
\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_A} + {x_B} = 4\\
{y_A} + {y_B} = 6
\end{array} \right.\)
Thay (2) và (3) vào (1) ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}
4 - {x_A} + 10 - {x_A} = 8\\
6 - {y_A} + 4 - {y_A} = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_A} = 3\\
{y_A} = 5
\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {3;5} \right)\)
Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_A} + {x_B} = 4\\
{y_A} + {y_B} = 6
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_B} = 1\\
{y_B} = 1
\end{array} \right. = > B\left( {1;1} \right)\)
\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_C} = 10 - 3 = 7\\
{y_C} = 4 - 5 = - 1
\end{array} \right. = > C\left( {7; - 1} \right)\)
Vậy A(3; 5), B(1; 1) và C(7; –1).
Giải bài 4.23 trang 58 SBT Toán 10 tập 1 KNTT
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2;–1), B(1; 4) và C(7; 0).
a) Tính độ dài các đoạn thẳng AB, BC và CA. Từ đó suy ra tam giác ABC là một tam giác vuông cân.
b) Tìm toạ độ của điểm D sao cho tứ giác ABDC là một hình vuông.
Hướng dẫn giải:
a) Với A(2;–1), B(1; 4) và C(7; 0) ta có:
\(\overrightarrow {AB} = \left( {1 - 2;4 - \left( { - 1} \right)} \right) = \left( { - 1;5} \right)\)
\(\Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {5^2}} = \sqrt {26}\)
\(\begin{array}{l}
BC = \left( {7 - 1;0 - 4} \right) = \left( {6; - 4} \right)\\
\Rightarrow \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = BC = \sqrt {{6^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = 2\sqrt {13}
\end{array}\)
\(\begin{array}{l}
CA = \left( {2 - 7; - 1 - 0} \right) = \left( { - 5; - 1} \right)\\
\Rightarrow \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = CA = \sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \sqrt {26}
\end{array}\)
=> \(AB = CA = \sqrt {26}\)
=> Tam giác ABC cân tại A (1)
Mặt khác: \(B{C^2} = {\left( {2\sqrt {13} } \right)^2} = 52\)
Và \(A{B^2} + A{C^2} = 2.{\left( {\sqrt {26} } \right)^2} = 2.26 = 52 = B{C^2}\)
Theo định lí Pythagoras đảo thì tam giác ABC vuông tại A (2)
Từ (1) và (2) suy ra tam giác ABC vuông cân tại A với \(AB = CA = \sqrt {26} ;BC = 2\sqrt {13}\)
b) Hình vẽ minh họa:
Vì ABC là tam giác vuông cân
Nên để ABDC là hình vuông thì tứ giác ABDC là hình bình hành
=> \(\overrightarrow {CA} = \overrightarrow {DB}\)
Gọi D(xD; yD) và có A(2;–1), B(1; 4), C(7; 0).
⇒ \(\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {CA} = \left( { - 5; - 1} \right)\\
\overrightarrow {DB} = \left( {1 - {x_D};4 - {y_D}} \right)
\end{array} \right.\)
Vì \(\overrightarrow {CA} = \overrightarrow {DB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 5 = 1 - {x_D}\\
- 1 = 4 - {y_D}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_D} = 6\\
{y_D} = 5
\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {6;5} \right)\)
Vậy tọa độ điểm D cần tìm là D(6; 5).
Giải bài 4.24 trang 58 SBT Toán 10 tập 1 KNTT
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm M(–2; 1) và N(4; 5).
a) Tìm toạ độ của điểm P thuộc Ox sao cho PM = PN.
b) Tìm toạ độ của điểm Q sao cho \(\overrightarrow {MQ} = 2\overrightarrow {PN}\)
c) Tìm toạ độ của điểm R thoả mãn \(\overrightarrow {RM} + 2\overrightarrow {RN} = \overrightarrow 0\).Từ đó suy ra P, Q, R thẳng hàng.
Hướng dẫn giải:
a) Gọi P(a; 0) là điểm thuộc tia Ox.
Với M(–2; 1) và N(4; 5) ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {PM} = \left( { - 2 - a;1} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {PM} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 2 - a} \right)}^2} + {1^2}} \\
\overrightarrow {PN} = \left( {4 - a;5} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {PN} } \right| = \sqrt {{{\left( {4 - a} \right)}^2} + {5^2}}
\end{array} \right.\)
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}
PM = PN \Rightarrow \sqrt {{{\left( { - 2 - a} \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt {{{\left( {4 - a} \right)}^2} + {5^2}} \\
\Rightarrow {\left( { - 2 - a} \right)^2} + {1^2} = {\left( {4 - a} \right)^2} + {5^2}\\
\Rightarrow 12a = 36 \Rightarrow a = 3
\end{array}\)
Vậy P(3; 0).
b) Giả sử điểm Q có tọa độ là Q(x; y).
Với M(–2; 1), N(4; 5) và P(3; 0) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {MQ} = \left( {x + 2;y - 1} \right)\\
\overrightarrow {PN} = \left( {1;5} \right) \Rightarrow 2\overrightarrow {PN} = \left( {2;10} \right)
\end{array} \right.\)
Do đó: \(\overrightarrow {MQ} = 2\overrightarrow {PN} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + 2 = 2\\
y - 1 = 10
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
y = 11
\end{array} \right. \Rightarrow Q\left( {0;11} \right)\)
Vậy Q(0; 11).
c) Giả sử R(x0; y0) là điểm cần tìm.
Với M(–2; 1) và N(4; 5) ta có:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {RM} = \left( { - 2 - {x_0};1 - {y_0}} \right)\\
\overrightarrow {RN} = \left( {4 - {x_0};5 - {y_0}} \right) \Rightarrow 2\overrightarrow {RN} = \left( {8 - 2{x_0};10 - 2{y_0}} \right)
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \overrightarrow {RM} + 2\overrightarrow {RN} = \left( {6 - 3{x_0};11 - 3{y_0}} \right)
\end{array}\)
\(\overrightarrow {RM} + 2\overrightarrow {RN} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
6 - 3{x_0} = 0\\
11 - 3{y_0} = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_0} = 2\\
{y_0} = \frac{{11}}{3}
\end{array} \right.\)\(\Rightarrow R\left( {2;\frac{{11}}{3}} \right)\)
Ta xét ba điểm: P(3; 0), Q(0; 11) và \(R\left( {2;\frac{{11}}{3}} \right)\)
=> \(\overrightarrow {PQ} = \left( { - 3;11} \right);\overrightarrow {QR} = \left( {2; - \frac{{22}}{3}} \right)\)
=> \(\overrightarrow {PQ} ;\overrightarrow {QR}\) hai vectơ cùng phương
Do đó P, Q, R thẳng hàng
Vậy ba điểm P, Q, R thẳng hàng.
----------------------------
Với Giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức trang 58 tập 1, học sinh có thể củng cố kiến thức về tọa độ vectơ và vận dụng vào từng dạng bài tập. Đây là tài liệu hữu ích để rèn kỹ năng giải bài và học tốt Toán 10 KNTT.
