Giải SBT Toán 10 kết nối tri thức trang 66 tập 1
Giải SBT Toán 10 KNTT trang 66 Bài 11
Giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức trang 66 tập 1 tổng hợp lời giải các bài tập Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ. Phần hướng dẫn bám sát nội dung sách bài tập, giúp học sinh hiểu cách xác định tích vô hướng và vận dụng kiến thức vào các bài toán hình học.
Giải bài 4.36 trang 66 SBT Toán 10 tập 1 KNTT
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 2), B(1; 5) và C(3; −1).
a) Tìm toạ độ của điểm C thuộc trục hoành sao cho C cách đều A và B.
b) Tìm toạ độ của điểm D thuộc trục tung sao cho vectơ 
\(\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB}\) có độ dài ngắn nhất.
Hướng dẫn giải:
a) Vì C cách đều A và B nên CA = CB
⇔ AC2 = BC2
Giả sử C(x; 0) là điểm thuộc trục hoành
Với A(1; 1); B(7; 5) và C(x; 0) ta có:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AC} = \left( {x - 1; - 1} \right)\\
\Rightarrow A{C^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( { - 1} \right)^2} = {x^2} - 2x + 2\\
\overrightarrow {BC} = \left( {x - 7; - 5} \right)\\
\Rightarrow B{C^2} = {\left( {x - 7} \right)^2} + {\left( { - 5} \right)^2} = {x^2} - 14x + 74
\end{array}\)
Do đó AC2 = BC2
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {x^2} - 2x + 2 = {x^2} - 14x + 74\\
\Leftrightarrow 12x = 72 \Leftrightarrow x = 6
\end{array}\)
Vậy C(6; 0).
b) Gọi M là trung điểm của AB.
Khi đó \(\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} = 2\overrightarrow {DM}\)
Do đó để vectơ \(\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB}\) có độ dài ngắn nhất thì vectơ \(2\overrightarrow {DM}\) có độ dài ngắn nhất
⇔ DM có độ dài ngắn nhất
Hay DM2 nhỏ nhất.
Giả sử D(0; y) là điểm thuộc trục tung
Với A(1; 1); B(7; 5) và D(0; y) ta có:
M là trung điểm của AB nên \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_M} = \frac{{1 + 7}}{2} = 4\\
{y_M} = \frac{{1 + 5}}{2} = 3
\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {4;3} \right)\)
⇒ M(4; 3)
\(\Rightarrow \overrightarrow {DM} = \left( {4;3 - y} \right) \Rightarrow D{M^2} = {4^2} + {\left( {3 - y} \right)^2} = {\left( {y - 3} \right)^2} + 16\)
Vì (y – 3)2 ≥ 0 với mọi y nên (y – 3)2 + 16 ≥ 16 với mọi y
Hay DM2 ≥ 16 với mọi y
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi y – 3 = 0 => y = 3.
=> DM đạt giá trị nhỏ nhất khi D(0; 3)
Vậy D(0; 3) thì vectơ \(\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB}\) có độ dài ngắn nhất.
Giải bài 4.37 trang 66 SBT Toán 10 tập 1 KNTT
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 2), B(1; 5) và C(3; −1).
a) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ấy.
b) Tìm toạ độ trực tâm H của tam giác ABCtâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm toạ độ của I.
Hướng dẫn giải:
Hình vẽ minh họa:
a) Với A(–3; 2), B(1; 5) và C(3; −1) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AB} = \left( {4;3} \right)\\
\overrightarrow {AC} = \left( {6; - 3} \right)
\end{array} \right.\)
Vì nên hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC}\) không cùng phương
Do đó ba điểm A, B, C không thẳng hàng
Vậy A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_G} = \frac{{ - 3 + 1 + 3}}{3} = \frac{1}{3}\\
{y_G} = \frac{{2 + 5 + \left( { - 1} \right)}}{3} = 2
\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {\frac{1}{3};2} \right)\)
Vậy tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là: \(G\left( {\frac{1}{3};2} \right)\)
b) Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AH ⊥ BC và BH ⊥ AC
Hay \(\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\\
\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0
\end{array} \right.\)
Giả sử H(x; y) là tọa độ trực tâm tam giác ABC
Với A(–3; 2), B(1; 5), C(3; −1) và H(x; y) ta có:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AH} = \left( {x + 3;y - 2} \right)\\
\overrightarrow {BC} = \left( {2; - 6} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x + 3} \right).2 - 6\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 3y = - 9{\rm{ }}\left( 1 \right)
\end{array}\)
Lại có:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {BH} = \left( {x - 1;y - 5} \right)\\
\overrightarrow {AC} = \left( {6; - 3} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0\\
\Leftrightarrow 6.\left( {x - 1} \right) - 3\left( {y - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow 6x - 3y = - 9{\rm{ }}\left( 2 \right)
\end{array}\)
Trừ vế theo vế (2) cho (1) ta có:
5x = 0 ⇒ x = 0
⇒ y = 3
⇒ H(0; 3)
Vậy tọa độ trực tâm của tam giác ABC là H(0; 3)
c) Theo kết quả phần a) của Bài 4.15, trang 54, Sách Bài tập, Toán 10, tập một ta có:
\(\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {IM}\) với M là trung điểm của BC.
Giả sử I(a; b) là tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Với A(–3; 2), B(1; 5), C(3; −1), H(0; 3) và I(a; b) ta có: \(\overrightarrow {AH} = \left( {3;1} \right)\)
M là trung điểm của BC nên \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_M} = \frac{{1 + 3}}{2} = 2\\
{y_M} = \frac{{5 + \left( { - 1} \right)}}{2} = 2
\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {2;2} \right)\)
\(\Rightarrow \overrightarrow {IM} = \left( {2 - a;2 - b} \right) \Rightarrow 2\overrightarrow {IM} = \left( {4 - 2a;4 - 2b} \right)\)
Ta có: \(\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {IM} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3 = 4 - 2a\\
1 = 4 - 2b
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \frac{1}{2}\\
b = \frac{3}{2}
\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)\)
Vậy tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là \(I\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)\)
Giải bài 4.38 trang 66 SBT Toán 10 tập 1 KNTT
Cho ba điểm M, N, P. Nếu một lực \(\overrightarrow F\) không đổi tác động lên một chất điểm trong suốt quá trình chuyển động của chất điểm, thì các công sinh bởi lực \(\overrightarrow F\) trong hai trường hợp sau có mối quan hệ gì với nhau?
a) Chất điểm chuyển động theo đường gấp khúc từ M đến N rồi tiếp tục từ N đến P.
b) Chất điểm chuyển động thẳng từ M đến P.
Hướng dẫn giải:
a) Do lực \(\overrightarrow F\) không đổi tác động lên một chất điểm trong suốt quá trình chuyển động của chất điểm nên công sinh bởi lực \(\overrightarrow F\) khi chất điểm chuyển động theo đường gấp khúc từ M đến N rồi tiếp tục từ N đến P là:
\({A_1} = \overrightarrow F .\overrightarrow {MN} + \overrightarrow F .\overrightarrow {NP} = \overrightarrow F .\left( {\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NP} } \right) = \overrightarrow F .\overrightarrow {MP} {\rm{ }}\left( 1 \right)\)
b) Do lực không đổi tác động lên một chất điểm trong suốt quá trình chuyển động của chất điểm nên công sinh bởi lực \(\overrightarrow F\) khi chất điểm chuyển động thẳng từ M đến P là:
\({A_2} = \overrightarrow F .\overrightarrow {MP} {\rm{ }}\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \({A_1} = {A_2} = \overrightarrow F .\overrightarrow {MP} {\rm{ }}\)
Vậy \({A_1} = {A_2}\)
------------------------------------------------
Thông qua Giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức trang 66 tập 1, học sinh có thể hệ thống lại kiến thức về tích vô hướng của hai vectơ và rèn luyện phương pháp giải từng dạng bài. Nội dung hỗ trợ hiệu quả quá trình học tốt Toán 10 KNTT.
