Giải SBT Toán 10 kết nối tri thức trang 67 tập 1
Giải SBT Toán 10 KNTT trang 67 Bài tập cuối chương 4
Giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức trang 67 tập 1 hướng dẫn các bài tập thuộc Bài tập cuối chương 4. Lời giải được trình bày rõ ràng, bám sát kiến thức Toán 10 KNTT tập 1, giúp học sinh dễ dàng kiểm tra cách làm và củng cố kiến thức đã học.
Giải bài 4.41 trang 67 SBT Toán 10 tập 1 KNTT
Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi K, L, M, N tương ứng là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Trong các vectơ có đầu mút lấy từ các điểm A, B, C, D, K, L, M, O, có bao nhiêu vectơ bằng vectơ 
\(\overrightarrow {AK}\)?
A. 2; B. 6; C, 4; D. 8.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Hình vẽ minh hoa:
Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD và AB = CD.
Lại có K, L, M, N tương ứng là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA
Nên AK = KB = DM = MC và NL // AB // CD
=> ABLN là hình bình hành (do AB // NL và AN // BL)
=> AB = NL = CD
Mà O là tâm hình bình hành nên O là trung điểm của AC và BD
=> Đường trung bình NL đi qua O và NO = OL = 1/2NL=1/2AB=1/2CD
=> AK = KB = NO = OL = DM = MC.
Khi đó các vectơ bằng vectơ \(\overrightarrow {AK}\) là: \(\overrightarrow {KB} {\rm{ }};\overrightarrow {OL} {\rm{ }};\overrightarrow {DM} {\rm{ }};\overrightarrow {MC}\)
Vậy có 4 vectơ bằng vectơ \(\overrightarrow {AK}\).
Ta chọn phương án C.
Giải bài 4.42 trang 67 SBT Toán 10 tập 1 KNTT
Cho hình thoi ABCD có độ dài các cạnh bằng 1 và \(\widehat {DAB} = {120^0}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD}\) B. \(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AC}\) C. \(\left| {\overrightarrow {BD} } \right| = 1\) D. \(\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = 1\)
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Hình vẽ minh họa:
Xét phương án A:
Vì ABCD là hình thoi nên AB // CD => \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}\)
Do đó phương án A là sai.
Xét phương án B:
Vì ABCD là hình thoi nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.
Khi đó \(\overrightarrow {BD} \bot \overrightarrow {AC} \Rightarrow \overrightarrow {BD} \ne \overrightarrow {AC}\)
Do đó phương án B là sai.
Xét phương án C:
Vì ABCD là hình thoi có cạnh bằng 1 nên AD = AB = 1.
Xét ΔABD có AB = AD = 1 và \(\widehat {DAB} = {120^0}\), áp dụng định lí cosin ta có:
BD2 = AD2 + AB2 – 2.AD.AB.cos\(\widehat {DAB}\)
⇒ BD2 = 12+ 12 – 2.1.1.cos120°
⇒ BD2 = 3
⇒ BD = \(\sqrt 3\) \(\Rightarrow \left| {\overrightarrow {BD} } \right| = BD = \sqrt 3\)
Do đó phương án C là sai.
Xét phương án D:
Vì ABCD là hình thoi có cạnh bằng 1 nên AD = CD = 1 .
Mặt khác \(\widehat {DAB} = {120^0}\) nên \(\widehat {DAC} = {180^0} - \widehat {DAB} = {180^0} - {120^0} = {60^0}\)
Tam giác ADC có AD = DC nên là tam giác cân lại có \(\widehat {ADC} = {60^0}\)
Suy ra tam giác ADC là tam giác đều
⇒ AC = AD = CD = 1.
⇒ \(\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = 1\)
Do đó phương án D là đúng.
Giải bài 4.43 trang 67 SBT Toán 10 tập 1 KNTT
Cho tam giác ABC đều, trọng tâm G, có độ dài các cạnh bằng 3. Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {AG}\) bằng
A. \(\sqrt 3\) B. \(\frac{{3\sqrt 3 }}{2}\) C. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\) D. \(2\sqrt 3\)
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Hình vẽ minh họa:
Tam giác ABC đều có cạnh bằng 3 nên AB = AC = 3 và \(\widehat {BAC} = {60^0}\)
Gọi M là trung điểm của BC.
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} \Rightarrow {\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)^2} = {\left( {2\overrightarrow {AM} } \right)^2}\\
\Rightarrow {\left( {\overrightarrow {AB} } \right)^2} + 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + {\left( {\overrightarrow {AC} } \right)^2} = {\left( {2\overrightarrow {AM} } \right)^2}\\
\Rightarrow A{B^2} + 2AB.AC.\cos {60^0} + A{C^2} = 4A{M^2}\\
\Rightarrow {3^2} + 2.3.3.\cos {60^0} + {3^2} = 4A{M^2}\\
\Rightarrow 27 = 4A{M^2} \Rightarrow A{M^2} = \frac{{27}}{4} \Rightarrow AM = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}
\end{array}\)
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên AG = 2/ AM
⇒ \(AG = \frac{2}{3}.\frac{{3\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3\)
⇒ \(\left| {\overrightarrow {AG} } \right| = AG = \sqrt 3\)
Vậy ta chọn phương án A.
Giải bài 4.44 trang 67 SBT Toán 10 tập 1 KNTT
Cho tam giác ABC vuông tại A và AB = 3, AC = 4. Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {AB}\) bằng
A. \(\sqrt {13}\) B. \(2\sqrt {13}\) C. 4; D. 2.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Hình vẽ minh họa:
Gọi D là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {AB}\)
Khi đó CD // AB và CD = AB (1)
Ta có: \(\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD}\)
Gọi E là điểm thỏa mãn BCDE là hình bình hành.
Khi đó CD // BE và CD = BE (2)
Từ (1) và (2) ta có: AB ≡ BE và AB = BE
Do đó B là trung điểm của AE
⇒ AE = 2AB = 2.3 = 6.
Xét tam giác ACE vuông tại A, theo định lí Pythagore ta có:
CE2 = AC2 + AE2 = 42 + 62 = 52
⇒ \(CE = \sqrt {52} = 2\sqrt {13}\)
Vì ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CE}\) (quy tắc hình bình hành)
\(\Rightarrow \left| {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD} } \right| = \left| {\overrightarrow {CE} } \right| = CE = 2\sqrt {13}\)Vậy ta chọn phương án B.
Giải bài 4.45 trang 67 SBT Toán 10 tập 1 KNTT
Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4 và . Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BA}\) bằng
A. 2;
B. 4;
C. \(\sqrt {19}\)
D. \(\frac{{\sqrt {19} }}{2}\)
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Hình vẽ minh họa
Xét tam giác ABC có AB = 2, BC = 4 và \(\widehat {ABC} = {60^0}\)
Khi đó tam giác ABC là tam giác vuông tại A.
⇒ \(\widehat {BAC} = {90^0}\)
Ta có: \(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB}\)
Gọi D là điểm thỏa mãn ABDC là hình bình hành
Khi đó \(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AD}\)
Hình bình hành ABDC có \(\widehat {BAC} = {90^0}\) nên là hình chữ nhật.
=> AD = BC (hai đường chéo bằng nhau)
\(\Rightarrow \left| {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BA} } \right| = AD = BC = 4\)
Vậy ta chọn phương án C.
Giải bài 4.46 trang 67 SBT Toán 10 tập 1 KNTT
Cho tam giác ABC và điểm I sao cho \(\overrightarrow {IB} + 2\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0\). Khẳng định nào sau đây là một khẳng định đúng ?
A. \(\overrightarrow {AI} = 2\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB}\)
B. \(\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC}\)
C. \(\overrightarrow {AI} = \frac{{2\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} }}{3}\)
D. \(\overrightarrow {AI} = \frac{{\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} }}{3}\)
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\overrightarrow {IB} + 2\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \overrightarrow {IB} = - 2\overrightarrow {IC}\)
Khi đó \(\overrightarrow {IB} ;\overrightarrow {IC}\) là hai vectơ cùng phương, ngược hướng và IB = 2IC.
Khi đó điểm I nằm giữa hai điểm B và C sao cho IB = 2IC.
Hình vẽ minh họa:
Gọi M là trung điểm của BI.
Khi đó M là trung điểm của BI, I là trung điểm của MC.
Vì I là trung điểm của MC nên ta có:
\(2\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AC}\) (1)
Vì M là trung điểm của BI nên ta có:
\(2\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AI} \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AI}\) (2)
Thay (2) vào (1) ta được:
\(\begin{array}{l}
2\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AC} \\
\Leftrightarrow 2\overrightarrow {AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {AC} \\
\Leftrightarrow 2\overrightarrow {AI} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \\
\Leftrightarrow \frac{3}{2}\overrightarrow {AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {AI} = \frac{{\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} }}{3}
\end{array}\)
Vậy ta chọn phương án D.
----------------------------
Qua Giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức trang 67 tập 1, học sinh có thể ôn luyện các dạng bài tổng hợp của chương 4 và chủ động đối chiếu kết quả. Nội dung hỗ trợ rèn phương pháp giải, nâng cao kỹ năng và học tốt Toán 10 KNTT.
