Giải SBT Toán 9 KNTT Bài 20. Định lí Viète và ứng dụng
Lời giải sách bài tập Toán 9 Kết nối tri thức Bài 20 đầy đủ
Giải SBT Toán 9 KNTT Bài 20 Định lí Viète và ứng dụng giúp học sinh hiểu rõ mối liên hệ giữa nghiệm và hệ số của phương trình bậc hai. Bài viết cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cùng các phương pháp vận dụng định lí Viète hiệu quả trong giải toán.
Giải SBT Toán 9 KNTT trang 13 tập 2
Bài 6.17 trang 13: Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a) 
b)
c) biết rằng phương trình có một nghiệm là .
Lời giải:
a)
Ta có
Vì nên phương trình có hai nghiệm là:
x1 = 1 và
Vậy phương trình có hai nghiệm là x1 = 1 và
b)
Ta có
Vì nên phương trình có hai nghiệm là:
x1 = –1 và
Vậy phương trình có hai nghiệm là x1 = –1 và .
c)
Gọi nghiệm thứ nhất của phương trình là:
Theo định lý Viète, ta có:
hay suy ra
Vậy phương trình có hai nghiệm là và .
Bài 6.18 trang 13: Tìm hai số u và b, biết:
a) u + v = 17, uv = 72; b) u2 +v2 = 73, uv = 24.
Lời giải:
a) u + v = 17 nên u = 17 – v.
Cặp số cần tìm là hai nghiệm của phương trình
x2 – (u + v)x + uv = 0 hay x2 – 17x + 72 = 0.
Xét phương trình trên ta có:
A = 1, b = –17, c = 72.
∆ = (–17)2 – 4 . 1 . 72 = 1 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:
Vậy hai số cần tìm là 9 và 8.
b) u2 + v2 = 73, uv = 24
Ta có: u2 + v2 + 2uv = 73 + 2 . 24 hay (u + v)2 = 121
Suy ra u + v = 11 hoặc u + v = –11.
TH1: u + v = 11.
Cặp số cần tìm là hai nghiệm của phương trình
x2 – (u + v)x + uv = 0 hay x2 – 11x + 24 = 0.
Xét phương trình x2 – 11x + 24 = 0 có: a = 1, b = –11, c = 24.
Vì ∆ = (–11)2 – 4 . 1 . 24 = 25 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:
Vậy hai số cần tìm là 8 và 3.
TH2: u + v = –11.
Cặp số cần tìm là hai nghiệm của phương trình
x2 – (u + v)x + uv = 0 hay x2 + 11x + 24 = 0.
Xét phương trình x2 + 11x + 24 = 0 có a = 1, b = 11, c = 24.
Vì ∆ = 112 – 4 . 1 . 24 = 25 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:
Vậy hai số cần tìm là –8 và –3.
Bài 6.19 trang 13: Dùng định lí Viète, tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a) x2 – 8x + 15 = 0; b) x2 + 5x + 6 = 0.
Lời giải:
a) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x2 – 8x + 15 = 0, ta có:
Vậy hai nghiệm của phương trình đã cho là x = 3 và x = 5.
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x2 + 5x + 6 = 0, ta có:
Vậy hai nghiệm của phương trình đã cho là x = –2 và x = –3.
Bài 6.20 trang 13: Cho phương trình bậc hai (ẩn x): x2 – 4x + m – 2 = 0.
a) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm.
b) Với các giá trị m tìm được ở câu a, gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình. Hãy tính giá trị của các biểu thức sau theo m:
A = x12 + x22; B = x13 + x23.
Lời giải:
a) x2 – 4x + m – 2 = 0
Ta có: a = 1, b = –4, c = m – 2.
∆ = b2 – 4ac = (–4)2 – 4 . 1 . (m – 2) = 16 – 4m + 8 = 24 – 4m
Để phương trình có nghiệm thì ∆ ≥ 0 hay 24 – 4m ≥ 0.
Suy ra 24 ≥ 4m nên m ≤ 6.
Vậy phương trình có nghiệm khi m ≤ 6.
b) Theo định lý Viète, ta có:
Do đó: A = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2
= 42 – 2(m – 2) = 16 – 2m + 4 = 20 – 2m
B = x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2)
= 43 – 3 . 4 . (m – 2) = 64 – 12m + 24 = 88 – 12m.
Vậy A = 20 – 2m và B = 88 – 12m.
Bài 6.21 trang 13: Giả sử phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm là x1, x2 đều khác 0. Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là và .
Lời giải:
Áp dụng định lý Viète, ta có:
Do đó:
Vậy và là nghiệm của phương trình .
Giải SBT Toán 9 KNTT trang 14 tập 2
Bài 6.22 trang 14: Chứng tỏ rằng nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm là x1, x2 thì đa thức ax2 + bx + c có thể phân tích được thành nhân tử như sau
ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2).
Áp dụng: Hãy phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
2x2 – 9x + 7;
Lời giải:
Áp dụng định lý Viète, ta có:
Do đó:
Áp dụng:
Xét phương trình 2x2 – 9x + 7 có a = 2, b = –9, c = 7.
Ta thấy a + b + c = 2 + (–9) + 7 = 0 nên phương trình có hai nghiệm là x1 = 1 và
Khi đó ta có
Xét phương trình có
Ta thấy a−b+c=4−(2−√3)+(−7+√2)=0 nên phương trình có hai nghiệm là x1 = –1 và
Khi đó ta có: .
Bài 6.23 trang 14: Tìm m để phương trình x2 + 4x + m = 0 có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x12 + x22 = 10.
Lời giải:
Xét phương trình x2 + 4x + m = 0 có: a = 1, b = 4, c = m
∆ = b2 – 4ac = 42 – 4 . 1 . m = 16 – 4m
Phương trình có hai nghiệm khi ∆ > 0 hay 16 – 4m > 0, suy ra m < 4.
Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2.
Theo định lý Viète ta có:
Ta có: (x1 + x2)2 = (–4)2
x12 + x22 + 2x1x2 = 16
10 + 2m = 16
2m = 6
m = 3 (thỏa mãn)
Vậy với m = 3 thì phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x12 + x22 = 10.
Bài 6.24 trang 14: Bác Long có 48 mét lưới thép. Bác muốn dùng để rào xung quanh một mảnh đất trống (đủ rộng) thành một mảnh vườn hình chữ nhật để trồng rau.
a) Biết diện tích của mảnh vườn là 108 m2, hãy tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn.
b) Hỏi diện tích lớn nhất của mảnh vườn mà bác Long có thể rào được là bao nhiêu mét vuông?
Lời giải:
a) Gọi chiều rộng và chiều dài của mảnh vườn lần lượt là x (m) và y (m) (0 < x < y).
Bác Long có 48 mét lưới thép nên ta có:
2(x + y) = 48 hay x + y = 48 : 2 = 24 (m).
Diện tích mảnh vườn là 108 m2 nên ta có xy = 108 (m2)
Do đó x và y là nghiệm của phương trình x2 – 24x + 108 = 0.
Xét phương trình x2 – 24x + 108 = 0 có a = 1, b = –24, c = 108.
Vì ∆ = b2 – 4ac = (–24)2 – 4 . 1 . 108 = 144 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:
Vậy chiều rộng và chiều dài của mảnh vườn lần lượt là 6 m và 18 m.
-----------------------------
Thông qua lời giải SBT Toán 9 Kết nối tri thức Bài 20, học sinh sẽ nắm chắc kiến thức về định lí Viète và các dạng bài tập thường gặp. Đây là nền tảng quan trọng để giải quyết nhiều bài toán nâng cao liên quan đến phương trình bậc hai.
