Các phép cộng, trừ, nhân số phức
Bài học Lí thuyết toán 12: Cộng, trừ và nhân số phức giúp các em thực hiện các phép tính với số phức. Bên cạnh đó, trong bài học này đã kèm theo những ví dụ bài tập đều có hướng dẫn giải chi tiết, xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 12.
1. Phép cộng và trừ số phức
Phép cộng và phép trừ hai số phức được thực hiện theo quy tắc cộng, trừ đa thức.
Tổng quát:
Cho hai số phức 
\(z=a+bi\) và \(z'=c+di\) thì:
Phép cộng số phức:
\(\left( {a + bi} \right) + \left( {c + di} \right) = \left( {a + c} \right) + \left( {b + d} \right)i\)
Phép trừ số phức:
\(\left( {a + bi} \right) - \left( {c + di} \right) = \left( {a - c} \right) + \left( {b - d} \right)i\)
Nhận xét:
- Biểu diễn số phức: \(\vec u\) biểu diễn \(z\), \(\vec{u'}\) biểu diễn \(z'\) thì \(\vec {u} + \vec{u'}\) biểu diễn \(z + z’\) và \(\vec {u} - \vec{u'}\) biểu diễn \(z – z’\).
- Số đối của \(z = a + bi\) là \(–z = –a – bi\), khi đó: \(z + \left( { - z} \right) = \left( { - z} \right) + z = 0\)
Ví dụ: Thực hiện các phép tính sau:
a) \((3-5i)+(2+4i)=(3+2)+(-5+4)i=5-i\)
b) \(10-2022i+ 3-i=(10+3)+(-2022-1)i =13-2023i\)
2. Phép nhân số phức
Phép nhân hai số phức được thực hiện theo quy tắc nhân đa thức rồi thay \(i^2=-1\) trong kết quả nhận được
Tổng quát:
Cho hai số phức \(z=a+bi\) và \(z'=c+di\) thì:
\({z}.{z'} = \left( {ab - bd} \right) + \left( {ad + bc} \right)i\)
Nhận xét:
- Phép cộng và phép nhân các số phức có tất cả các tính chất của phép cộng và phép nhân các số thực.
- Đối với một số bài toán, ta cần chú ý:
\(\left\{ \begin{array}{l}
{i^{4k}} = 1\\
{i^{4k + 1}} = i\\
{i^{4k + 2}} = - 1\\
{i^{4k + 3}} = - i
\end{array} \right.\)
Ví dụ 1: Thực hiện phép tính
a) \((3-2i)5=15-10i\)
b) \((-2-i)(3+7i)=(-6+7)+(-14-3)i=1-17i\)
Ví dụ 2:
Tìm phần ảo của \(z\) biết: \(z + 3\overline z = {\left( {2 + i} \right)^3}\left( {2 - i} \right)\,\,(1)\)
Giải: Giả sử \(z=a+bi\)
\((1) \Leftrightarrow a + bi + 3a - 3bi = \left( {8 + 12i + 6{i^2} + {i^3}} \right)\left( {2 - i} \right) = \left( {2 + 11i} \right).\left( {2 - i} \right)\)
\(\Leftrightarrow 4a - 2bi = 4 - 2i + 22i - 11{i^2} = 20i + 15\)
\(\Leftrightarrow a = \frac{{15}}{4};b = - 10\)
Vậy phần ảo của \(z\) bằng -10.
