Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 (cũ)
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút Chương 2: Mặt trụ - Mặt nón - Mặt cầu Toán 12 các em nhé!
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Bắt đầu làm bài
Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay
  • Câu 1: Nhận biết

    Tìm đường kính

    Cho mặt cầu S\left( {O;R} ight) và mặt phẳng (\alpha). Biết khoảng cách từ O đến (\alpha) bằng \frac{R}{2}. Khi đó thiết diện tạo bởi mặt phẳng (\alpha) với S\left( {O;R} ight) là một đường tròn có đường kính bằng:

     Tìm đường kính

    Gọi H là hình chiếu của O xuống (\alpha) .

    Ta có d\left[ {O,\left( \alpha ight)} ight] = OH = \frac{R}{2} < R nên (\alpha) cắt S\left( {O;R} ight) theo đường tròn C\left( {H;r} ight).

    Bán kính đường tròn C\left( {H;r} ight) là r = \sqrt {{R^2} - O{H^2}} = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}.

    Suy ra đường kính bằng R\sqrt 3.

  • Câu 2: Nhận biết

    Diện tích toàn phần

    Cạnh bên của một hình nón bằng 2a. Thiết diện qua trục của nó là một tam giác cân có góc ở đỉnh bằng 120^0. Diện tích toàn phần của hình nón là:

    Diện tích toàn phần

    Gọi S là đỉnh, O là tâm của đáy, thiết diện qua trục là SAB.

    Theo giả thiết, ta có SA = 2a và \widehat {ASO} = 60^\circ.

    Trong tam giác SAO vuông tại O, ta có

    OA = SA.\sin 60^\circ = a\sqrt 3

    Vậy diện tích toàn phần:

    {S_{tp}} = \pi R\ell + \pi {R^2} = \pi .OA.SA + \pi {\left( {OA} ight)^2} = \pi {a^2}\left( {3 + 2\sqrt 3 } ight) (đvdt).

  • Câu 3: Thông hiểu

    Độ dài đường chéo

    Bán kính đáy hình trụ bằng 4 cm, chiều cao bằng 6cm. Độ dài đường chéo của thiết diện qua trục bằng:

     Thiết diện qua trục của một hình trụ là một hình chữ nhật có hai cạnh lần lượt bằng đường kính đáy và chiều cao của hình trụ.

    Vậy hai cạnh của hình chữ nhật là 8 cm và 6 cm.

    Do đó độ đài đường chéo: \sqrt {{8^2} + {6^2}} = 10{m{cm}}{m{.}}

  • Câu 4: Thông hiểu

    Tính bán kính đáy

    Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chiều dài đường sinh bằng 2a thì bán kính đáy bằng:

     Gọi bán kính đáy là R.

    Từ giả thiết suy ra h= 2a và chu vi đáy bằng a .

    Do đó 2\pi R = a \Leftrightarrow R = \frac{a}{{2\pi }}.

  • Câu 5: Vận dụng

    Xét tính đúng sai của các khẳng định

    Một đài kiểm soát không lưu tại sân bay có nhiệm vụ kiểm soát, điều hành hoạt động bay của máy bay trong vòng bán kính 70km. Để theo dõi hành trình của máy bay, ta có thể thiết lập hệ trục toạ độ Oxyz có gốc toạ độ O trùng với vị trí trung tâm của kiểm soát không lưu, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất (được coi là mặt phẳng) với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là 1km. Một máy bay trực thăng đang ở vị trí A( - 65; - 25;30) bay theo hướng Tây Nam với độ cao không đổi, vận tốc không đổi 200km/h, quỹ đạo bay theo đường thẳng.

    a) [NB] Vùng kiểm không lưu của đài kiểm soát trên là vùng ở bên trong và trên bề mặt của mặt cầu (S) có phương trình: x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4900. Đúng||Sai

    b) [TH] Khi máy bay ở vị trí A( - 65; - 25;30) thì đài kiểm soát không lưu của sân bay đã theo dõi được máy bay. Sai||Đúng

    c) [TH] Máy bay di chuyển theo hướng Tây Nam với quỹ đạo bay là đường thẳng d có phương trình: \left\{ \begin{matrix} x = - 65 + t \\ y = - 25 + t \\ z = 30 \\ \end{matrix} \right.. Đúng||Sai

    d) [VD] Thời gian máy bay di chuyển trong phạm vi đài kiểm soát không lưu của sân bay theo dõi được là 35 phút. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Một đài kiểm soát không lưu tại sân bay có nhiệm vụ kiểm soát, điều hành hoạt động bay của máy bay trong vòng bán kính 70km. Để theo dõi hành trình của máy bay, ta có thể thiết lập hệ trục toạ độ Oxyz có gốc toạ độ O trùng với vị trí trung tâm của kiểm soát không lưu, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất (được coi là mặt phẳng) với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là 1km. Một máy bay trực thăng đang ở vị trí A( - 65; - 25;30) bay theo hướng Tây Nam với độ cao không đổi, vận tốc không đổi 200km/h, quỹ đạo bay theo đường thẳng.

    a) [NB] Vùng kiểm không lưu của đài kiểm soát trên là vùng ở bên trong và trên bề mặt của mặt cầu (S) có phương trình: x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4900. Đúng||Sai

    b) [TH] Khi máy bay ở vị trí A( - 65; - 25;30) thì đài kiểm soát không lưu của sân bay đã theo dõi được máy bay. Sai||Đúng

    c) [TH] Máy bay di chuyển theo hướng Tây Nam với quỹ đạo bay là đường thẳng d có phương trình: \left\{ \begin{matrix} x = - 65 + t \\ y = - 25 + t \\ z = 30 \\ \end{matrix} \right.. Đúng||Sai

    d) [VD] Thời gian máy bay di chuyển trong phạm vi đài kiểm soát không lưu của sân bay theo dõi được là 35 phút. Sai||Đúng

    Hình vẽ minh họa

    a) Vùng kiểm không lưu của của đài kiểm soát trên là tập hợp những điểm cách tâm O(0;\ \ 0;\ \ 0) không quá 70km.

    Hay tập hợp các điểm ở bên trong và trên bề mặt của mặt cầu (S) có phương trình: x^{2} + y^{2} + z^{2} = 70^{2} \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4900.

    Suy ra mệnh đề đúng

    b) Ta có OA = \sqrt{( - 65)^{2} + ( - 25)^{2} + 30^{2}} \approx 75,8km

    Khi máy bay ở vị trí A( - 65; - 25;30) thì cách đài kiểm soát không lưu của sân bay một khoảng d \approx 75,8km > 70km

    Vậy đài kiểm soát không lưu của sân bay đã theo dõi được máy bay.

    Suy ra mệnh đề sai

    c) Từ thông tin của hệ trục và máy bay di chuyển theo hướng Tây Nam với độ cao không đổi, quỹ đạo bay theo đường thẳng. Nên đường thẳng d có một vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1;\ 1;\ 0). Đường thẳng d đi qua điểm A( - 65; - 25;30) nên có phương trình tham số: \left\{ \begin{matrix} x = - 65 + t \\ y = - 25 + t \\ z = 30 \\ \end{matrix} ight.

    Suy ra mệnh đề đúng

    d) Thay x,\ y,\ z theo t vào phương trình mặt cầu (S) ta được phương trình:

    ( - 65 + t)^{2} + ( - 25 + t)^{2} + 30^{2} = 4900 \Leftrightarrow 2t^{2} - 180t + 850 = 0 \Leftrightarrow t = 5 hoặc t = 85

    Thay t = 5 vào phương trình của đường thẳng d ta được M( - 60; - 20;30).

    Thay t = 85 vào phương trình của đường thẳng d ta được N(20;60;30).

    Suy ra đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm M( - 60; - 20;30) và N(20;60;30).

    Hay độ dài đoạn MN là khoảng cách giữa vị trí đầu tiên và vị trí cuối cùng mà máy bay di chuyển trong phạm vi theo dõi của đài kiểm soát không lưu.

    MN = \sqrt{(60 + 20)^{2} + (20 + 60)^{2}} = 80\sqrt{2}km

    Thời gian máy bay di chuyển trong phạm vi đài kiểm soát không lưu của sân bay theo dõi được là thời gian máy bay di chuyển được quảng đường 80\sqrt{2}km.

    Thời gian đó bằng \frac{80\sqrt{2}}{200}.60 \approx 33,94 phút.

    Suy ra mệnh đề sai

  • Câu 6: Vận dụng

    Tìm phương trình mặt cầu

    Cho điểm A(1;3;2), đường thẳng d:\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 4}{- 1} = \frac{z}{- 2} và mặt phẳng (P):2x - 2y + z - 6 = 0. Phương trình mặt cầu (S) đi qua A, có tâm thuộc d đồng thời tiếp xúc với (P) là:

    Ta có:

    d có phương trình tham số \left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 2t \\ y = 4 - t \\ z = - 2t \\ \end{matrix} \right.

    Gọi I là tâm mặt cầu (S), do I thuộc d nên I( - 1 + 2t;4 - t; - 2t)

    Theo đề bài, (S) có bán kính R = IA = d\left( I;(P) \right).

    \Rightarrow \sqrt{(2 - 2t)^{2} + (t - 1)^{2} + (2 + 2t)^{2}} = \frac{\left| 2( - 1 + 2t) - 2(4 - t) - 2t - 6 \right|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1^{2}}}

    \Leftrightarrow \sqrt{9t^{2} - 2t + 9} = \frac{|4t - 16|}{3}

    \Leftrightarrow 9\left( 9t^{2} - 2t + 9 \right) = (4t - 16)^{2}

    \Leftrightarrow 65t^{2} + 110t - 175 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 1 \\ t = - \frac{35}{13} \\ \end{matrix} \right.

    Với t = 1 \Rightarrow I\left( {1;3; - 2} \right),R = 4 

    \Rightarrow (S):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 16.

    Với t = - \frac{{35}}{{13}} \Rightarrow I\left( { - \frac{{83}}{{13}};\frac{{87}}{{13}};\frac{{70}}{{13}}} \right);R = \frac{{116}}{{13}}

    \Rightarrow (S):{\left( {x + \frac{{83}}{{13}}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{{87}}{{13}}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{{70}}{{13}}} \right)^2} = \frac{{13456}}{{169}}.

  • Câu 7: Vận dụng

    Tìm tọa độ điểm M

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(0; 1; 2), mặt phẳng (α): x−y +z −4 = 0 và mặt cầu (S):(x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 16. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A, vuông góc với (α) và đồng thời (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tọa độ giao điểm M của (P) và trục x’Ox là

    Gọi (C) là giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) và (C) có tâm H, bán kính r.

    Bán kính r của đường tròn là nhỏ nhất khi và chỉ khi IH lớn nhất khi và chỉ khi d(I,(P)) lớn nhất.

    Vì M ∈ x'Ox nên gọi M(m; 0; 0).

    Suy ra mặt phẳng (P) chứa AM và (P) ⊥ (α).

    Khi đó \overrightarrow{n_{(P)}} = \left\lbrack \overrightarrow{MA};\overrightarrow{n_{(\alpha)}} ightbrack = (3;2 + m;m - 1)

    Mà mặt phẳng (P) đi qua A nên phương trình của mặt phẳng (P) là:

    3(x − 0) + (2 + m)(y − 2) + (m − 1)(z − 2) = 0 hay 3x + (2 + m)y + (m − 1)z −3m=0

    Ta có:

    d\left( I;(P) ight) = \frac{9}{\sqrt{2m^{2} + 2m + 14}} lớn nhất khi và chỉ khi 2m^{2} + 2m + 14 đạt giá trị nhỏ nhất

    Mà 2m^{2} + 2m + 14 = 2\left( m + \frac{1}{2} ight)^{2} + \frac{27}{2} \geq \frac{27}{2}

    Do đó 2m^{2} + 2m + 14 nhỏ nhất khi và chỉ khi m = - \frac{1}{2}

    Vậy M\left( - \frac{1}{2};0;0 ight).

  • Câu 8: Nhận biết

    Diện tích toàn phần

    Hình nón có đường sinh l=2a và hợp với đáy góc \alpha = {60^0}. Diện tích toàn phần của hình nón bằng:

    Diện tích toàn phần

    Theo giả thiết, ta có

    SA = \ell = 2a và \widehat {SAO} = {60^0}.

    Suy ra:

    R = OA = SA.\cos {60^0} = a.

    Vậy diện tích toàn phần của hình nón bằng: S = \pi Rl + \pi {R^2} = 3\pi {a^2} (đvdt). 

  • Câu 9: Thông hiểu

    Tìm bán kính đường tròn

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x + 2y + z - 2 = 0 và mặt cầu (S) tâm I(2;1; - 1) bán kính R = 2. Bán kính đường tròn giao của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) là:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi bán kính đường tròn giao của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) là r

    Ta có:

    h = d\left( I;(P) ight) = \frac{\left| 2.2 + 2.( - 1) - 1 - 2 ight|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1^{2}}} = 1

    Suy ra r = \sqrt{2^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3}

  • Câu 10: Thông hiểu

    Tính thể tích khối trụ

    Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chu vi đáy bằng 2a thì thể tích của nó bằng:

     Gọi bán kính đáy là R.

    Hình trụ có chu vi đáy bằng 2a nên ta có 2\pi R = 2a \Leftrightarrow R = \frac{a}{\pi }.

    Suy ra hình trụ này có đường cao h=a.

    Vậy thể tích khối trụ V = \pi {R^2}h = \pi {\left( {\frac{a}{\pi }} ight)^2}a = \frac{{{a^3}}}{\pi }(đvtt).

  • Câu 11: Nhận biết

    Xác định tọa độ giao điểm

    Cho đường thẳng d:\frac{x + 2}{2} =\frac{y - 2}{3} = \frac{z + 3}{2} và mặt cầu (S) : x^{2} + y^{2} + (z + 2)^{2} = 9. Tọa độ giao điểm của (\Delta) và (S) là:

    Tọa độ giao điểm là nghiệm hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix} x = - 2 + 2t \\ y = 2 + 3t \\ z = - 3 + 2t \\ x^{2} + y^{2} + (z + 2)^{2} = 9 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow t = 0 \Rightarrow A( - 2;2; - 3).

  • Câu 12: Nhận biết

    Chọn đáp án thích hợp

    Trong không gian Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình của mặt cầu có tâm I(7;6; - 5) và bán kính 9?

    Mặt cầu tâm I(7;6; - 5), bán kính R = 9 có phương trình lá:

    (x - 7)^{2} + (y - 6)^{2} + (z - 5)^{2} = 81.

  • Câu 13: Vận dụng

    Tính đường cao nón

    Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O. Dựng hai đường sinh SA và SB, biết tam giác SAB vuông và có diện tích bằng 4a^2. Góc tạo bởi giữa trục SO và mặt phẳng (SAB) bằng 30^0. Đường cao h của hình nón bằng:

     Tính đường cao nón

    Theo giả thiết ta có tam giác SAB vuông cân tại S.

    Gọi E là trung điểm AB, suy ra\left\{ \begin{array}{l}SE \bot AB\\OE \bot AB\end{array} ight.  và SE = \frac{1}{2}AB.

    Ta có {S_{\Delta SAB}} = \frac{1}{2}AB.SE = 4{a^2} \Leftrightarrow \frac{1}{2}AB.\frac{1}{2}AB = 4{a^2}

    \Rightarrow AB = 4a \Rightarrow SE = 2a.

    Gọi H là hình chiếu của O trên SE, suy ra OH \bot SE.

    Ta có \left\{ \begin{array}{l}AB \bot OE\\AB \bot SO\end{array} ight. \Rightarrow AB \bot \left( {SOE} ight) \Rightarrow AB \bot OH.

    Từ đó suy ra OH \bot \left( {SAB} ight) nên

    {30^0} = \widehat {SO,\left( {SAB} ight)} = \widehat {SO,SH} = \widehat {OSH} = \widehat {OSE}

    Trong tam giác vuông SOE, ta có SO = SE.\cos \widehat {OSE} = a\sqrt 3

  • Câu 14: Nhận biết

    Diện tích toàn phần

    Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh có cạnh bằng 2R. Diện tích toàn phần của khối trụ bằng:

    Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có h = 2R.

    Diện tích toàn phần là: {S_{tp}} = 2\pi R\left( {R + h} ight) = 6\pi {R^2} (đvdt).

  • Câu 15: Vận dụng cao

    Thể tích lớn nhất

    Trong các hình trụ có diện tích toàn phần bằng 1000{\mathrm{\ }cm}^2 thì hình trụ có thể tích lớn nhất là bao nhiêu {m cm}^3

    Ta có S_{tp}=2\pi Rh+2\pi R^2\Rightarrow Rh+R^2=\frac{S}{2\pi}

    Vậy thể tích khối trụ V=\pi R^2h=\pi R\left(\frac{S}{2\pi}-R^2ight)=\frac{S}{2}R-\pi R^3=F(R)

    Ta có: F^\prime(R)=\frac{S}{2}-3\pi R^2=0\Leftrightarrow R=\sqrt{\frac{S}{6\pi}}

    Bảng biến thiên

    Thể tích lớn nhất

    Từ bảng biến thiên ta có

    V_{max}=\frac{S}{2}R-\pi R^3=\frac{1000}{2}\sqrt{\frac{1000}{6\pi}}-\pi{\sqrt{\frac{1000}{6\pi}}}^3\approx2428.

  • Câu 16: Vận dụng cao

    Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

    Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C'có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AC = a\sqrt 3, góc \widehat {ACB} bằng 30^0. Góc giữa đường thẳng AB' và mặt phẳng (ABC) bằng 60^0. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A'ABC bằng:

     Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

    Ta có {60^0} = \widehat {AB',\left( {ABC} ight)} = \widehat {AB',AB} = \widehat {B'AB}.

    Trong \Delta ABC, ta có

    AB = AC.\sin \widehat {ACB} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.

    Trong \Delta B'BA, ta có

    BB' = AB.\tan \widehat {B'AB} = \frac{{3a}}{2}

    Gọi N là trung điểm AC , suy ra N là tâm đường tròn ngoại tiếp \Delta ABC.

    Gọi I  là trung điểm A'C, suy ra  IN\parallel AA' \Rightarrow IN \bot \left( {ABC} ight).

    Do đó IN là trục của \Delta ABC , suy ra IA = IB = IC.  (1)

    Hơn nữa, tam giác A'AC vuông tại A có I là trung điểm A'C nên IA'=IC=IA . (2)

    Từ (1) và (2), ta có IA'=IA=IB=IC hay I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A'.ABC với bán kính R = IA' = \frac{{A'C}}{2} = \frac{{\sqrt {AA{'^2} + A{C^2}} }}{2} = \frac{{a\sqrt {21} }}{4}.

  • Câu 17: Thông hiểu

    Chọn đáp án thích hợp

    Cho 4 điểm A(3; - 2; - 2),\ B(3;2;0),\ C(0;2;1) và D( - 1;1;2). Mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCD) có phương trình là:

    Mặt phẳng (BCD)đi qua B(3;2;0)và có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} \right\rbrack = (1;2;3)

    \Rightarrow (BCD):x + 2y + 3z - 7 = 0

    Vì mặt cầu (S)có tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCD)nên bán kính

    R = d\left( A,(BCD) \right) = \frac{\left| 3 + 2.( - 2) + 3.( - 2) - 7 \right|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + 3^{2}}} = \sqrt{14}.

    Vậy phương trình mặt cầu (S):(x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} + (z + 2)^{2} = 14.

  • Câu 18: Vận dụng cao

    Xác định số mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(3;7;1),B(8;3;8) và C(3;3;0). Gọi \left( S_{1} \right) là mặt cầu tâm A bán kính bằng 3 và \left( S_{2} \right) là mặt cầu tâm B bán kính bằng 6. Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng đi qua C và tiếp xúc đồng thời với cả hai mặt cầu \left( S_{1} \right),\left( S_{2} \right)?

    Phương trình mặt phẳng qua C có dạng (P):m(x - 3) + n(y - 3) + pz = 0,m^{2} + n^{2} + p^{2} > 0.

    Mặt phẳng (P) tiếp xúc \left( S_{1} \right) ta có |4n + p| = 3\sqrt{m^{2} + n^{2} + p^{2}} (1)

    Mặt phẳng (P) tiếp xúc \left( S_{2} \right) ta có |5m + 8p| = 6\sqrt{m^{2} + n^{2} + p^{2}} (2)

    Từ đây ta có phương trình |5m + 8p| = 2|4n + p| \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 5m = 8n - 6p\ \ \ (3) \\ 5m = - 8n - 10p\ \ \ (4) \end{matrix} \right.

    Từ (1), (3) ta có:

    (4n + p)^{2} = 9\left\lbrack \left( \frac{8n - 6p}{5} \right)^{2} + n^{2} + p^{2} \right\rbrack

    \Leftrightarrow 401n^{2} - 1064np + 524p^{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = 2p \\ n = \frac{262}{401}p \end{matrix} \right.

    Trường hợp này ta tìm được hai mặt phẳng:

    \left( P_{1} \right):2x + 2y + z - 12 = 0

    \left( P_{2} \right):62x - 262y - 101z + 600 = 0

    Từ (1); (4) ta có:

    (4n + p)^{2} = 9\left\lbrack \left( \frac{8n + 10p}{5} \right)^{2} + n^{2} + p^{2} \right\rbrack

    \Leftrightarrow 401n^{2} + 1240np + 1100p^{2} = 0 \Leftrightarrow n = p = 0

    Trường hợp này không có mặt phẳng nào.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Tính diện tích đường tròn

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (Oxy) cắt mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 3)^{2} = 25 theo thiết diện là đường tròn bán kính r bằng bao nhiêu?

    Mặt cầu (S) có tâm I(1;1; - 3) và bán kính R = 5.

    Khoảng cách từ tâm I đến (Oxy) bằng 3.

    \Rightarrow r = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4

  • Câu 20: Vận dụng

    Tính tỉ số thể tích

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y − 2z + 10 = 0 và mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 25 cắt nhau theo giao tuyến đường tròn (C). Gọi V_{1} là thể tích khối cầu (S), V_{2} là thể tích khối nón (N) có đỉnh là giao điểm của đường thẳng đi qua tâm mặt cầu (S) và vuông góc với mặt phẳng (P), đáy là đường tròn (C). Biết độ dài đường cao khối nón (N) lớn hơn bán kính của khối cầu (S). Tính tỉ số \frac{V_{1}}{V_{2}}?

    Hình vẽ minh họa

    Mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; 3) và bán kính R = 5, khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) là:

    d = d\left( I;(P) ight) = \frac{|4 + 1 - 6 + 10|}{3} = 3

    Bán kính đường tròn (C) là: r = \sqrt{R^{2} - d^{2}} = 4

    Thể tích khối cầu (S) là: V_{1} = \frac{4}{3}\pi R^{3} = \frac{500\pi}{3}

    Chiều cao hình nón là h = R + d = 8.

    Thể tích khối nón làV_{2} = \frac{1}{3}\pi r^{2}h = \frac{128\pi}{3}

    Vậy \frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{125}{32}.

  • Câu 21: Vận dụng

    Thể tích của khối nón

    Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2a, khoảng cách từ tâm O của đường tròn ngoại tiếp của đáy ABC đến một mặt bên là \frac{a}{2}. Thể tích của khối nón ngoại tiếp hình chóp SABC bằng:

     Thể tích khối nón

    Gọi E là trung điểm của BC, dựng OH \bot SE tại H.

    Chứng minh được OH \bot \left( {SBC} ight) nên suy ra OH = d\left[ {O,\left( {SBC} ight)} ight] = \frac{a}{2}.

    Trong tam giác đều ABC, ta có OE = \frac{1}{3}AE = \frac{1}{3}.\frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}

    và  OA = \frac{2}{3}AE = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}

    Trong tam giác vuông SOE, ta có

    \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{E^2}}} + \frac{1}{{S{O^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{S{O^2}}} = \frac{1}{{O{H^2}}} - \frac{1}{{O{E^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} \Rightarrow SO = a.

    Vậy thể tích khối nón V = \frac{1}{3}\pi O{A^2}.SO = \frac{1}{3}\pi {\left( {\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}} ight)^2}.a = \frac{{4\pi {a^3}}}{9}  (đvtt).

  • Câu 22: Thông hiểu

    Tính độ dài cạnh

    Một hình trụ có bán kính đáy R = 70{m{cm}} , chiều cao hình trụ h = 20{m{cm}}. Một hình vuông có các đỉnh nằm trên hai đường tròn đáy sao cho có ít nhất một cạnh không song song và không vuông góc với trục hình trụ. Khi đó cạnh của hình vuông bằng bao nhiêu?

    Tính độ dài cạnh

    Xét hình vuông ABCD có AD không song song và không vuông góc với trục OO’ của hình trụ.

    Dựng đường sinh AA', ta có \left\{ \begin{array}{l}CD \bot AA'\\CD \bot AD\end{array} ight. \Rightarrow CD \bot \left( {AA'D} ight) \Rightarrow CD \bot A'D.

    Suy ra A’C là đường kính đáy nên A'C = 2R = 140{m{cm}}{m{.}}

    Xét tam giác vuông AA’C, ta có AC = \sqrt {AA{'^2} + A'{C^2}} = 100\sqrt 2 {m{cm}}{m{.}}

    Suy ra cạnh hình vuông bằng 100 cm.

  • Câu 23: Nhận biết

    Độ dài đường sinh

    Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, AB =a và AC = a\sqrt 3. Độ dài đường sinh \ell của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB bằng:

    Độ dài đường sinh

    Từ giả thiết suy ra hình nón có đỉnh là B , tâm đường tròn đáy là A , bán kính đáy là AC = a\sqrt 3 và chiều cao hình nón là AB = a.

    Vậy độ dài đường sinh của hình nón là:

    \ell = BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = 2a.

  • Câu 24: Thông hiểu

    Diện tích toàn phần

    Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1 và AD = 2 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN , ta được một hình trụ. Diện tích toàn phần của hình trụ bằng:

    Diện tích toàn phần

    Theo giả thiết ta được hình trụ có chiều cao h=AB=1 , bán kính đáy R = \frac{{AD}}{2} = 1

    Do đó diện tích toàn phần: {S_{tp}} = 2\pi Rh + 2\pi {R^2} = 4\pi

  • Câu 25: Thông hiểu

    Viết phương trình mặt cầu

    Phương trình mặt cầu có tâm I\left( - \sqrt{6}; - \sqrt{3};\sqrt{2} - 1 \right) và tiếp xúc trục Oz là:

    Gọi H là hình chiếu của I\left( - \sqrt{6}; - \sqrt{3};\sqrt{2} - 1 \right) trên Oz

    \Rightarrow H\left( 0;0;\sqrt{2} - 1 \right) \Rightarrow R = IH = 3.

    Vậy phương trình mặt cầu là: \left( x + \sqrt{6} \right)^{2} + \left( y + \sqrt{3} \right)^{2} + \left( z - \sqrt{2} + 1 \right)^{2} = 9.

  • Câu 26: Vận dụng cao

    Tính tỉ số thể tích

    Một khối lập phương có cạnh 1m chứa đầy nước. Đặt vào trong khối đó một khối nón có đỉnh trùng với tâm một mặt của lập phương, đáy khối nón tiếp xúc với các cạnh của mặt đối diện. Tính tỉ số thể tích lượng nước trào ra ngoài và thể tích lượng nước ban đầu của khối lập phương.

     Tính tỉ số thể tích

    Thể tích khối lập phương là V=1^3=1\left({\mathrm{\ }m}^3ight).

    Ta có khối nón có đỉnh trùng với tâm một mặt của lập phương, đáy khối nón tiếp xúc với các cạnh của mặt đối diện có chiều cao h=1 (m) và bán kính đáy r=\frac{1}{2}(\mathrm{\ }m). Suy ra thể tích khối nón (tức là phần thể tích lượng nước tràn ra ngoài) là V_N=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{\pi}{12}\left({\mathrm{\ }m}^3ight).

    Vậy tỉ số thể tích của lượng nước trào ra ngoài và lượng nước ban đầu của khối lập phương là \frac{V_N}{V}=\frac{\frac{\pi}{12}}{1}=\frac{\pi}{12}.

  • Câu 27: Thông hiểu

    Xét tính đúng sai của các khẳng định

    Một tháp kiểm soát không lưu ở sân bay cao 109 m đặt một đài kiểm soát không lưu ở độ cao 105m. Máy bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 450\ km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Chọn hệ trục toạ độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí chân tháp, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất sao cho trục Ox là hướng tây, trục Oy là hướng nam và trục Oz là trục thẳng đứng (như hình vẽ), đơn vị trên mỗi trục là kilômét.

    Một máy bay đang ở vị trí Acách mặt đất 8\ km, cách 268\ km về phía đông, 185\ km về phía nam so với tháp kiểm soát không lưu và đang chuyển động theo đường thẳng dcó vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (82; 76; 0) hướng về đài kiểm soát không lưu. Các khẳng định dưới đây đúng hay sai?

    a) Đài kiểm soát không lưu có toạ độ là (0;0;0).Sai||Đúng

    b) Vị trí Acó toạ độ là ( - 268;185;8). Đúng||Sai

    c) Đài kiểm soát không lưu có phát hiện được máy bay tại vị trí A. Đúng||Sai

    d) Khoảng cách gần nhất giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu là 217,96\ km. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Một tháp kiểm soát không lưu ở sân bay cao 109 m đặt một đài kiểm soát không lưu ở độ cao 105m. Máy bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 450\ km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Chọn hệ trục toạ độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí chân tháp, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất sao cho trục Ox là hướng tây, trục Oy là hướng nam và trục Oz là trục thẳng đứng (như hình vẽ), đơn vị trên mỗi trục là kilômét.

    Một máy bay đang ở vị trí Acách mặt đất 8\ km, cách 268\ km về phía đông, 185\ km về phía nam so với tháp kiểm soát không lưu và đang chuyển động theo đường thẳng dcó vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (82; 76; 0) hướng về đài kiểm soát không lưu. Các khẳng định dưới đây đúng hay sai?

    a) Đài kiểm soát không lưu có toạ độ là (0;0;0).Sai||Đúng

    b) Vị trí Acó toạ độ là ( - 268;185;8). Đúng||Sai

    c) Đài kiểm soát không lưu có phát hiện được máy bay tại vị trí A. Đúng||Sai

    d) Khoảng cách gần nhất giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu là 217,96\ km. Sai||Đúng

    a) Sai.

    Gốc O trùng với vị trí chân tháp và đài kiểm soát không lưu được đặt ở độ cao 105\ mnên có toạ độ là (0;0;0,105)

    b) Đúng.

    Hệ trục toạ độ Oxyzcó trục Oxlà hướng tây, trục Oylà hướng nam và trục Ozlà trục thẳng đứng và vị trí Acách mặt đất 8\ km, cách 268\ kmvề phía đông, 185\ kmvề phía nam nên có toạ độ là ( - 268;185;8).

    c) Đúng.

    Khoảng cách từ máy bay đến đài kiểm soát không lưu là:

    \sqrt{(0 + 268)^{2} + (0 - 185)^{2} + (0,105 - 8)^{2}} \approx 325,75 (km).

    Vì 325,75 < 450 nên đài kiểm soát không lưu có phát hiện được máy bay tại vị trí A.

    d) Sai.

    Gọi I(0;0;0,105) là vị trí đài kiểm soát không lưu.

    Phương trình tham số của đường thẳng dlà:\left\{ \begin{matrix} x = - 268 + 82t \\ y = 185 + 76t \\ z = 8 \end{matrix} \right. (tlà tham số)

    Gọi Mlà vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất khi đó:

    \left\{ \begin{matrix} M \in d \\ IM\bot d \end{matrix} \right. hay M( - 268 + 82t;185 + 76t;8) và

    \overrightarrow{IM}.\overrightarrow{u} = 0

    \Leftrightarrow ( - 268 + 82t).82 + (185 + 76t).76 + (8 - 0,105).0 = 0

    \Leftrightarrow 12500t - 7916 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1979}{3125}

    \Rightarrow M( - 216,07;233,13;8)

    Khoảng cách gần nhất giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu là:

    \sqrt{( - 216,07)^{2} + (233,13) + (8 - 0,105)^{2}} \approx 317,96(km).

  • Câu 28: Nhận biết

    Thể tích khối trụ

    Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh bằng a. Thể tích khối trụ bằng:

     Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có h=a.

    Bán kính đáy R = \frac{a}{2}. Do đó thể tích khối trụ V = {R^2}\pi .h = \frac{{\pi {a^3}}}{4}(đvtt).

  • Câu 29: Thông hiểu

    Tỉ số diện tích

    Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O’), chiều cao R\sqrt 3 và bán kính đáy R. Một hình nón có đỉnh là O’ và đáy là hình tròn (O;R). Tỉ số diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón bằng:

    Tỉ số diện tích

    Diện tích xung quanh của hình trụ:

    {S_{{m{xq}}\left( {m{T}} ight)}} = 2\pi R.h = 2\pi R.R\sqrt 3 = 2\sqrt 3 \pi {R^2} (đvdt).

    Kẻ đường sinh O’M của hình nón, suy ra

    \ell = O'M = \sqrt {OO{'^2} + O{M^2}} = \sqrt {3{R^2} + {R^2}} = 2R.

    Diện tích xung quanh của hình nón: {S_{{m{xq}}\left( {m{N}} ight)}} = \pi R\ell = \pi R.2R = 2\pi {R^2} (đvdt).

    Vậy \frac{{{S_{{m{xq}}\left( {m{T}} ight)}}}}{{{S_{{m{xq}}\left( {m{N}} ight)}}}} = \sqrt 3.

  • Câu 30: Nhận biết

    Chọn đáp án thích hợp

    Phương trình nào sau đây không phải là phương trình mặt cầu?

    Phương trình ở các đáp án (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 6, (2x - 1)^{2} + (2y - 1)^{2} + (2z + 1)^{2} = 6, (x + y)^{2} = 2xy - z^{2} + 3 - 6x đều thỏa mãn điều kiện phương trình mặt cầu. Ví dụ:

    (2x - 1)^{2} + (2y - 1)^{2} + (2z + 1)^{2} = 6

    \Leftrightarrow \left( x - \frac{1}{2} \right)^{2} + \left( y - \frac{1}{2} \right)^{2} + \left( z + \frac{1}{2} \right)^{2} = \frac{3}{2}.

    (x + y)^{2} = 2xy - z^{2} + 3 - 6x\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} + 6x - 3 = 0.

  • Câu 31: Thông hiểu

    Tính tang của góc

    Cho hình nón có đỉnh S, đường cao SO = h, đường sinh SA. Nội tiếp hình nón là một hình chóp đỉnh S, đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Nửa góc ở đỉnh của hình nón có tan bằng:

     Tính tang của góc

    Nửa góc ở đỉnh của hình nón là góc \widehat {ASO} .

    Hình vuông ABCD cạnh a nên suy ra: OA = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}

    Trong tam giác vuông SOA, ta có \tan \widehat {ASO} = \frac{{OA}}{{SO}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{2h}}.

  • Câu 32: Vận dụng

    Tính thể tích khối trụ

    Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O’, bán kính bằng chiều cao và bằng a. Trên đường tròn tâm O lấy điểm A, trên đường tròn tâm O’ lấy điểm B sao cho AB = 2a. Thể tích của khối tứ diện OO’AB bằng:

     Tính thể tích khối trụ

    Kẻ đường sinh AA’, gọi D là điểm đối xứng với A’ qua tâm O’ và H là hình chiếu của B trên A’D.

    Ta có BH \bot \left( {AOO'A'} ight) nên {V_{OO'AB}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta AOO'}}.BH.

    Trong tam giác vuông A'AB có A'B = \sqrt {A{B^2} - AA{'^2}} = \sqrt 3 a.

    Trong tam giác vuông A'BD có BD = \sqrt {A'{D^2} - A'{B^2}} = a.

    Do đó suy ra tam giác BO'D nên BH = \frac{{\sqrt 3 a}}{2}.

    Vậy  {V_{OO'AB}} = \frac{1}{3}.\left( {\frac{1}{2}{a^2}} ight).\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{{12}} (đvtt).

  • Câu 33: Vận dụng

    Tỉ số diện tích xung quanh

    Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O'), bán kính bằng a. Một hình nón có đỉnh là O' và có đáy là hình tròn (O). Biết góc giữa đường sinh của hình nón với mặt đáy bằng 60^0, tỉ số diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón bằng

     Tỉ số diện tích xung quanh

    Gọi A là điểm thuộc đường tròn (O).

    Góc giữa O'A và mặt phẳng đáy là góc \widehat{O^\prime A O}.. Theo giả thiết ta có \widehat{O^\prime A O}={60}^\circ.

    Xét tam giác O^\prime OA vuông tại , ta có:

    \tan\widehat{O^\prime A O}=\frac{O^\prime O}{OA}\Rightarrow O^\prime O=a\cdot\tan{60}^\circ=a\sqrt3

    \cos\widehat{O^\prime A O}=\frac{OA}{O^\prime A}\Rightarrow O^\prime A=\frac{a}{\cos{60}^\circ}=2a

    Diện tích xung quanh của hình trụ là:

    S_{xq(T)}=2\pi\cdot OA\cdot O^\prime O=2\pi\cdot a\cdot a\sqrt3=2\pi a^2\sqrt3.

    Diện tích xung quanh của hình nón là:

    S_{xq(N)}=\pi\cdot OA\cdot O^\prime A=\pi\cdot a\cdot2a=2\pi a^2.

    \Rightarrow\dfrac{S_{xq(T)}}{S_{xq(N)}}=\dfrac{2\pi a^2\sqrt3}{2\pi a^2}=\sqrt3

  • Câu 34: Thông hiểu

    Tìm phương trình mặt cầu

    Cho mặt phẳng (P):2x + 3y + z - 2 = 0 . Mặt cầu (S) có tâm I thuộc trục Oz, bán kính bằng \frac{2}{\sqrt{14}} và tiếp xúc mặt phẳng (P) có phương trình:

    Vì tâmI \in Oz \Rightarrow I(0;0;z)

    Mặt cầu (S)có tâm I tiếp xúc với mặt phẳng

    (P) \Leftrightarrow d\left( I,(\beta) \right) = R \Leftrightarrow \frac{|2.0 + 3.0 + 1.z - 2|}{\sqrt{2^{2} + 3^{2} + 1^{2}}} = \frac{2}{\sqrt{14}}

    \Leftrightarrow |z - 2| = 2 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} z = 0 \Rightarrow I(0;0;0) \\ z = 4 \Rightarrow I(0;0;4) \\ \end{matrix} \right.

    Vậy phương trình mặt cầu .(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} = \frac{2}{7} hoặc (S):x^{2} + y^{2} + (z - 4)^{2} = \frac{2}{7}.

  • Câu 35: Thông hiểu

    Xác định phương trình mặt cầu

    Cho I(1;2;4) và mặt phẳng (P):2x + 2y + z - 1 = 0. Mặt cầu tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P), có phương trình là:

    Bán kính mặt cầu là : R = d\left( I,(\alpha) \right) = \frac{|2.1 + 2.2 + 4 - 1|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1^{2}}} = 3.

    Phương trình mặt cầu là: (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 4)^{2} = 3

  • Câu 36: Thông hiểu

    Thể tích của khối trụ

    Cho hình trụ có chiều cao bằng 8a . Biết hai điểm A và C lần lượt nằm trên hai đáy thỏa mãn AC=10a, khoảng cách giữa AC và trục của hình trụ bằng 4a. Thể tích của khối trụ đã cho là:

      Thể tích của khối trụ

    Gọi (O) và (O') lần lượt là hai đường tròn đáy; A\in (O), C \in (O') .

    Dựng AD, CB lần lượt song song với OO' (D \in (O'), B \in (O). Dễ dàng có ABCD là hình chữ nhật.

    Do AC=10a,AD=8a\Rightarrow DC=6a..

    Gọi H là trung điểm của DC.

    \left\{\begin{matrix}O^\prime H\bot D C\\O^\prime H\bot A D\\\end{matrix}\Rightarrow O^\prime H\bot(ABCD)ight..

    Ta có O^\prime//(ABCD)\Rightarrow d\left(OO^\prime,ACight)=d\left(OO^\prime,(ABCD)ight)=O^\prime H=4a..

    Suy ra O^\prime H=4a,CH=3a\Rightarrow R=O^\prime C=5a..

    Vậy thể tích của khối trụ là V=\pi R^2h=\pi(5a)^28a=200\pi a^3.

  • Câu 37: Thông hiểu

    Tính khoảng cách

    Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng R\sqrt 3. Hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng 30^0. Khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ bằng:

    Tính khoảng cách

    Từ hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có OA = O'B = R.

    Gọi AA’ là đường sinh của hình trụ thì O'A' = R,{m{ }}AA' = R\sqrt 3 và \widehat {BAA'} = {30^0}.

    Vì OO'\parallel \left( {ABA'} ight) nên d\left[ {OO',\left( {AB} ight)} ight] = d\left[ {OO',\left( {ABA'} ight)} ight] = d\left[ {O',\left( {ABA'} ight)} ight].

    Gọi H là trung điểm A’B, suy ra \left. \begin{array}{l}O'H \bot A'B\\O'H \bot AA'\end{array} ight\} \Rightarrow O'H \bot \left( {ABA'} ight)

    nên O'H = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}h.

    Tam giác ABA’ vuông tại A’ nên BA' = AA'\tan {30^0} = R

    Suy ra tam giác A’BO đều có cạnh bằng R nên O'H = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}.h

  • Câu 38: Vận dụng cao

    Tính thể tích khối tứ diện

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c), trong đó a > 0,b > 0,c > 0 và \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 7. Biết mặt phẳng (ABC) tiếp xúc với mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = \frac{72}{7}. Thể tích của khối tứ diện OABC là.

    Cách 1:

    Ta có : (ABC):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 \Leftrightarrow bcx + acy + abz - abc = 0.

    Theo bài ra có: \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 7 \Leftrightarrow bc + 2ca + 3ab = 7abc.

    Mặt phẳng (ABC) tiếp xúc với mặt cầu (S) \Rightarrow d\left( I;(ABC) \right) = R

    \Leftrightarrow \frac{|bc + 2ca + 3ab - abc|}{\sqrt{b^{2}c^{2} + c^{2}a^{2} + a^{2}b^{2}}} = \sqrt{\frac{72}{7}}

    \Leftrightarrow \frac{1}{36}\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} \right) = \frac{7}{72} \Leftrightarrow \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} = \frac{7}{2}.

    Ta có \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 7

    \Leftrightarrow 7 = \left( \frac{1}{a} + 2.\frac{1}{b} + 3.\frac{1}{c} \right)^{2} \leq (1 + 4 + 9)\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} \right).

    Dấu bằng xảy ra \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a = 2b = 3c \\\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 7\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 2 \\b = 1 \\c = \frac{2}{3}\end{matrix} \right..

    VậyV_{OABC} = \frac{1}{6}abc = \frac{1}{6}.2.1.\frac{2}{3} = \frac{2}{9}.

    Cách 2:

    Ta có (ABC):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 và \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 7 suy ra M\left( \frac{1}{7};\frac{2}{7};\frac{3}{7}\right)\in (ABC).

    Lại có M\left( \frac{1}{7};\frac{2}{7};\frac{3}{7} \right) \in (S) nên (ABC) tiếp xúc với (S) tại M.

    Suy ra (ABC):\frac{x}{2} + \frac{y}{1} + \frac{z}{\frac{2}{3}} = 1 nên V_{OABC} = \frac{1}{6}abc = \frac{1}{6}.2.1.\frac{2}{3} = \frac{2}{9}.

  • Câu 39: Nhận biết

    Tìm khoảng cách

    Một hình cầu có bán kính là 2m, một mặt phẳng cắt hình cầu theo một hình tròn có độ dài là 2,4\pi {m{m}} . Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng là:

    Gọi khoảng cách từ tâm cầu đến mặt phẳng là d, ta có {d^2} = {R^2} - {r^2} .

    Theo giả thiết R = 2m và 2\pi r = 2,4\pi m \Rightarrow r = \frac{{2,4\pi }}{{2\pi }} = 1,2{m{m}}.

    Vậy 2\pi r = 2,4\pi m \Rightarrow r = \frac{{2,4\pi }}{{2\pi }} = 1,2{m{m}}.

  • Câu 40: Thông hiểu

    Tính đường cao

    Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O, bán kính R. Dựng hai đường sinh SA và SB, biết AB chắn trên đường tròn đáy một cung có số đo bằng 60^0, khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (SAB) bằng \frac{R}{2}. Đường cao h của hình nón bằng:

    Theo giả thiết ta có tam giác OAB đều cạnh R.

    Gọi E là trung điểm AB, suy ra OE \bot AB và OE = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}.

    Gọi H là hình chiếu của O trên SE, suy ra OH \bot SE.

    Ta có \left\{ \begin{array}{l}AB \bot OE\\AB \bot SO\end{array} ight. \Rightarrow AB \bot \left( {SOE} ight) \Rightarrow AB \bot OH

    Từ đó suy ra OH \bot \left( {SAB} ight) nên d\left[ {O,\left( {SAB} ight)} ight] = OH = \frac{R}{2}.

    Trong tam giác vuông SOE, ta có  \frac{1}{{S{O^2}}} = \frac{1}{{O{H^2}}} - \frac{1}{{O{E^2}}} = \frac{8}{{3{R^2}}} \Rightarrow SO = \frac{{R\sqrt 6 }}{4}

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay
Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
1
17 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Tìm bài trong mục này
🖼️

Toán 12 (cũ)
Xem thêm