Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 (cũ)
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút Chương 2: Mặt trụ - Mặt nón - Mặt cầu Toán 12 các em nhé!
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Bắt đầu làm bài
Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay
  • Câu 1: Thông hiểu

    Tính diện tích đường tròn

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm H(1; 2; −2). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua H và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC. Viết phương trình mặt cầu tâm O và tiếp xúc với (P).

    Hình vẽ minh họa

    Vì H là trực tâm tam giác ABC nên AH ⊥ BC, CH ⊥ AB

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} AB\bot(OHC) \\ BC\bot(AHO) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} (ABC)\bot(OHC) \\ (ABC)\bot(AHO) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow OH\bot(ABC)

    Do vậy mặt cầu tâm O tiếp xúc với (P) nhận OH làm bán kính

    ⇒ Phương trình mặt cầu là x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9.

  • Câu 2: Thông hiểu

    Độ dài đường chéo

    Bán kính đáy hình trụ bằng 4 cm, chiều cao bằng 6cm. Độ dài đường chéo của thiết diện qua trục bằng:

     Thiết diện qua trục của một hình trụ là một hình chữ nhật có hai cạnh lần lượt bằng đường kính đáy và chiều cao của hình trụ.

    Vậy hai cạnh của hình chữ nhật là 8 cm và 6 cm.

    Do đó độ đài đường chéo: \sqrt {{8^2} + {6^2}} = 10{m{cm}}{m{.}}

  • Câu 3: Nhận biết

    Tính diện tích

    Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng R\sqrt 3. Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình lần lượt có giá trị là:

    Diện tích xung quanh của hình trụ: {S_{xq}} = 2\pi R.R\sqrt 3 = 2\sqrt 3 \pi {R^2}(đvdt).

    Diện tích toàn phần của hình trụ:

    {S_{tp}} = {S_{xq}} + 2.{S_{{m{day}}}} = 2\sqrt 3 \pi {R^2} + 2\left( {\pi {R^2}} ight) = 2\left( {\sqrt 3 + 1} ight)\pi {R^2}(đvdt).

  • Câu 4: Nhận biết

    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian Oxyz, cho các mặt cầu dưới đây. Hỏi mặt cầu nào có bán kính R = 2?

    Phương trình mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 có bán kính R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d}

    Xét phương trình mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2y + 2z + 2 = 0 ta có:

    \left\{ \begin{matrix} a = 2;b = - 1 \\ c = - 1;d = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = \sqrt{4} = 2

  • Câu 5: Vận dụng

    Chọn phương án đúng

    Tìm tập các tâm I của mặt cầu (S) tiếp xúc với hai mặt phẳng (P): x - 2y + 2z + 4 = 0;(Q):x - 2y + 2z - 6 = 0.

    Gọi A( - 4,0,0) và B(6, 0 , 0) lần lượt là giao điểm của trục x’Ox với (P) và (Q). Trung điểm E(1,0,0) của AB cách đều (P) và (Q).

    Tâm I cách đều (P) và (Q)

    \Rightarrow EI nằm trong mặt (R) qua E song song và cách đều (P) và (Q) ((P)//(Q)).

    \Rightarrow (R):x - 2y + 2z + D = 0,E \in (R) \Rightarrow D = - 1

    Vậy I \in (R):x - 2y + 2z - 1 = 0

  • Câu 6: Vận dụng

    Độ dài đường sinh

    Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO. Gọi A, B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng a và \widehat {SAO} = {30^0},\widehat {SAB} = {60^0}. Độ dài đường sinh \ell của hình nón bằng:

     Độ dài đường sinh

    Gọi I là trung điểm AB, suy ra OI \bot AB,{m{ }}SI \bot AB và OI = a.

    Trong tam giác vuông SOA, ta có OA = SA.\cos \widehat {SAO} = \frac{{SA\sqrt 3 }}{2}

    Trong tam giác vuông SIA, ta có IA = SA.\cos \widehat {SAB} = \frac{{SA}}{2}

    Trong tam giác vuông OIA, ta có:

    O{A^2} = O{I^2} + I{A^2} \Leftrightarrow \frac{3}{4}S{A^2} = {a^2} + \frac{1}{4}S{A^2} \Rightarrow SA = a\sqrt 2 .

  • Câu 7: Vận dụng cao

    Bán kính mặt cầu

    Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Mặt phẳng (AB'C') tạo với mặt đáy góc 60^0 và điểm G là trọng tâm tam giác ABC. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp G.A'B'C' bằng:

      Bán kính mặt cầu

    Gọi M là trung điểm B’C’, ta có

    {60^0} = \widehat {\left( {AB'C'} ight),\left( {A'B'C'} ight)} = \widehat {AM,A'M} = \widehat {AMA'}.

    Trong \Delta AA'M, có A'M = \frac{{a\sqrt 3 }}{2};

    AA' = A'M.\tan \widehat {AMA'} = \frac{{3a}}{2}.

    Gọi G’ là trọng tâm tam giác đều A’B’C’, suy ra G’ cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp \Delta A'B'C'.

    Vì lặng trụ đứng nên GG' \bot \left( {A'B'C'} ight).

    Do đó GG' là trục của tam giác A'B'C'.

    Trong mặt phẳng \left( {GC'G'} ight), kẻ trung trực d của đoạn thẳng GC' cắt GG' tại I. Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp G.A'B'C' , bán kính R = GI

    Ta có \Delta GPI\,\backsim\,\,\,\Delta GG'C' \Rightarrow \frac{{GP}}{{GI}} = \frac{{GG'}}{{GC'}}

    \Rightarrow R = GI = \frac{{GP.GC'}}{{GG'}} = \frac{{GC{'^2}}}{{2GG'}} = \frac{{GG{'^2} + G'C{'^2}}}{{2GG'}} = \frac{{31a}}{{36}}.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Tính tang của góc

    Cho hình nón có đỉnh S, đường cao SO = h, đường sinh SA. Nội tiếp hình nón là một hình chóp đỉnh S, đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Nửa góc ở đỉnh của hình nón có tan bằng:

     Tính tang của góc

    Nửa góc ở đỉnh của hình nón là góc \widehat {ASO} .

    Hình vuông ABCD cạnh a nên suy ra: OA = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}

    Trong tam giác vuông SOA, ta có \tan \widehat {ASO} = \frac{{OA}}{{SO}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{2h}}.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Tính độ dài cạnh

    Một hình trụ có bán kính đáy R = 70{m{cm}} , chiều cao hình trụ h = 20{m{cm}}. Một hình vuông có các đỉnh nằm trên hai đường tròn đáy sao cho có ít nhất một cạnh không song song và không vuông góc với trục hình trụ. Khi đó cạnh của hình vuông bằng bao nhiêu?

    Tính độ dài cạnh

    Xét hình vuông ABCD có AD không song song và không vuông góc với trục OO’ của hình trụ.

    Dựng đường sinh AA', ta có \left\{ \begin{array}{l}CD \bot AA'\\CD \bot AD\end{array} ight. \Rightarrow CD \bot \left( {AA'D} ight) \Rightarrow CD \bot A'D.

    Suy ra A’C là đường kính đáy nên A'C = 2R = 140{m{cm}}{m{.}}

    Xét tam giác vuông AA’C, ta có AC = \sqrt {AA{'^2} + A'{C^2}} = 100\sqrt 2 {m{cm}}{m{.}}

    Suy ra cạnh hình vuông bằng 100 cm.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Chọn phương án đúng

    Cho mặt cầu (S): (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 9. Phương trình mặt cầu nào sau đây là phương trình của mặt cầu đối xứng với mặt cầu (S) qua mặt phẳng (Oxy):

    Mặt cầu (S) tâm I(1;2;3), bán kính R = 3.

    Do mặt cầu (S') đối xứng với (S) qua mặt phẳng (Oxy) nên tâm I' của (S') đối xứng với I qua (Oxy), bán kính R' =R=3.

    Ta có: I'(1;2; - 3).

    Vậy (S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 3)^{2} = 9.

    Lưu ý: Để ý thấy rằng trung điểm II' thuộc mặt phẳng (Oxy) và \overrightarrow{II'}\bot(Oxy). Cả 4 đáp án trên đều có thể dễ dàng tìm được tọa độ I' nên nếu tinh ý ta sẽ tiết kiệm được thời gian hơn trong việc tìm đáp án.

  • Câu 11: Nhận biết

    Diện tích toàn phần

    Cạnh bên của một hình nón bằng 2a. Thiết diện qua trục của nó là một tam giác cân có góc ở đỉnh bằng 120^0. Diện tích toàn phần của hình nón là:

    Diện tích toàn phần

    Gọi S là đỉnh, O là tâm của đáy, thiết diện qua trục là SAB.

    Theo giả thiết, ta có SA = 2a và \widehat {ASO} = 60^\circ.

    Trong tam giác SAO vuông tại O, ta có

    OA = SA.\sin 60^\circ = a\sqrt 3

    Vậy diện tích toàn phần:

    {S_{tp}} = \pi R\ell + \pi {R^2} = \pi .OA.SA + \pi {\left( {OA} ight)^2} = \pi {a^2}\left( {3 + 2\sqrt 3 } ight) (đvdt).

  • Câu 12: Vận dụng cao

    Thể tích lớn nhất

    Trong các hình trụ có diện tích toàn phần bằng 1000{\mathrm{\ }cm}^2 thì hình trụ có thể tích lớn nhất là bao nhiêu {m cm}^3

    Ta có S_{tp}=2\pi Rh+2\pi R^2\Rightarrow Rh+R^2=\frac{S}{2\pi}

    Vậy thể tích khối trụ V=\pi R^2h=\pi R\left(\frac{S}{2\pi}-R^2ight)=\frac{S}{2}R-\pi R^3=F(R)

    Ta có: F^\prime(R)=\frac{S}{2}-3\pi R^2=0\Leftrightarrow R=\sqrt{\frac{S}{6\pi}}

    Bảng biến thiên

    Thể tích lớn nhất

    Từ bảng biến thiên ta có

    V_{max}=\frac{S}{2}R-\pi R^3=\frac{1000}{2}\sqrt{\frac{1000}{6\pi}}-\pi{\sqrt{\frac{1000}{6\pi}}}^3\approx2428.

  • Câu 13: Nhận biết

    Xác định tọa độ điểm thuộc mặt cầu

    Mặt cầu (S):\ x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 10y + 3z + 1 = 0 đi qua điểm có tọa độ nào sau đây?

    Lần lượt thay tọa độ các điểm vào phương trình mặt cầu. Tọa độ điểm nào thỏa mãn phương trình thì điểm đó thuộc mặt cầu.

    Kiểm tra đáp án thu được kết quả là: điểm (4; - 1;0). thuộc mặt cầu đã cho.

  • Câu 14: Thông hiểu

    Tính khoảng cách

    Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng R\sqrt 3. Hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng 30^0. Khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ bằng:

    Tính khoảng cách

    Từ hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có OA = O'B = R.

    Gọi AA’ là đường sinh của hình trụ thì O'A' = R,{m{ }}AA' = R\sqrt 3 và \widehat {BAA'} = {30^0}.

    Vì OO'\parallel \left( {ABA'} ight) nên d\left[ {OO',\left( {AB} ight)} ight] = d\left[ {OO',\left( {ABA'} ight)} ight] = d\left[ {O',\left( {ABA'} ight)} ight].

    Gọi H là trung điểm A’B, suy ra \left. \begin{array}{l}O'H \bot A'B\\O'H \bot AA'\end{array} ight\} \Rightarrow O'H \bot \left( {ABA'} ight)

    nên O'H = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}h.

    Tam giác ABA’ vuông tại A’ nên BA' = AA'\tan {30^0} = R

    Suy ra tam giác A’BO đều có cạnh bằng R nên O'H = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}.h

  • Câu 15: Nhận biết

    Diện tích xung quanh

    Cho hình nón đỉnh S có bán kính đáy R = a\sqrt 2, góc ở đỉnh bằng {60^0}. Diện tích xung quanh của hình nón bằng:

    Diện tích xung quanh

     Theo giả thiết, ta có OA = a\sqrt 2 và \widehat {OSA} = {30^0}.

    Suy ra độ dài đường sinh:  \ell = SA = \frac{{OA}}{{\sin {{30}^0}}} = 2a\sqrt 2

    Vậy diện tích xung quanh bằng: {S_{xq}} = \pi R\ell = 4\pi {a^2} (đvdt). 

  • Câu 16: Thông hiểu

    Thể tích của khối trụ

    Cho hình trụ có chiều cao bằng 8a . Biết hai điểm A và C lần lượt nằm trên hai đáy thỏa mãn AC=10a, khoảng cách giữa AC và trục của hình trụ bằng 4a. Thể tích của khối trụ đã cho là:

      Thể tích của khối trụ

    Gọi (O) và (O') lần lượt là hai đường tròn đáy; A\in (O), C \in (O') .

    Dựng AD, CB lần lượt song song với OO' (D \in (O'), B \in (O). Dễ dàng có ABCD là hình chữ nhật.

    Do AC=10a,AD=8a\Rightarrow DC=6a..

    Gọi H là trung điểm của DC.

    \left\{\begin{matrix}O^\prime H\bot D C\\O^\prime H\bot A D\\\end{matrix}\Rightarrow O^\prime H\bot(ABCD)ight..

    Ta có O^\prime//(ABCD)\Rightarrow d\left(OO^\prime,ACight)=d\left(OO^\prime,(ABCD)ight)=O^\prime H=4a..

    Suy ra O^\prime H=4a,CH=3a\Rightarrow R=O^\prime C=5a..

    Vậy thể tích của khối trụ là V=\pi R^2h=\pi(5a)^28a=200\pi a^3.

  • Câu 17: Thông hiểu

    Tính bán kính đáy

    Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chiều dài đường sinh bằng 2a thì bán kính đáy bằng:

     Gọi bán kính đáy là R.

    Từ giả thiết suy ra h= 2a và chu vi đáy bằng a .

    Do đó 2\pi R = a \Leftrightarrow R = \frac{a}{{2\pi }}.

  • Câu 18: Vận dụng cao

    Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức S

    Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2y - 2z - 3 = 0 và điểm A(5;3; - 2). Một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A và luôn cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt M,N. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = AM + 4AN.

    Tâm I(2; - 1;1) và bán kính mặt cầu R = 3

    AI = \sqrt{(2 - 5)^{2} + ( - 1 - 3)^{2} + (1 + 2)^{2}} = \sqrt{34}

    Gía trị nhỏ nhất xảy ra trong trường hợp AM > AN

    Đặt AN = x \Rightarrow \sqrt{34} - 3 \leq x < 5

    AM.AN = 25 \Rightarrow AM = \frac{25}{x}

    S = 4AM + AN = 4x + \frac{25}{x} = f(x)

    Xét f(x) = 4x + \frac{25}{x} trên \left\lbrack \sqrt{34} - 3;5 \right)

    f'(x) = 4 + \frac{25}{x^{2}} = \frac{4x^{2} - 25}{x^{2}} > 0;\forall x \in \left\lbrack \sqrt{34} - 3;5 \right)

    \Rightarrow S_{\min} khi x = \sqrt{34} - 3

    S_{\min} = 4\left( \sqrt{34} - 3 \right) + \frac{25}{\sqrt{34} - 3} = 5\sqrt{34} - 9

    Vậy GTNN S_{\min} = 5\sqrt{34} - 9 khi x = \sqrt{34} - 3.

  • Câu 19: Nhận biết

    Chọn đáp án thích hợp

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây không phải là phương trình của một mặt cầu?

    Phương trình (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 là phương trình của một mặt cầu nếu a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0.

    Vậy phương trình không phải phương trình mặt cầu là:

    x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y - 4z + 10 = 0

  • Câu 20: Nhận biết

    Diện tích toàn phần

    Hình nón có đường sinh l=2a và hợp với đáy góc \alpha = {60^0}. Diện tích toàn phần của hình nón bằng:

    Diện tích toàn phần

    Theo giả thiết, ta có

    SA = \ell = 2a và \widehat {SAO} = {60^0}.

    Suy ra:

    R = OA = SA.\cos {60^0} = a.

    Vậy diện tích toàn phần của hình nón bằng: S = \pi Rl + \pi {R^2} = 3\pi {a^2} (đvdt). 

  • Câu 21: Vận dụng

    Tính đường cao nón

    Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O. Dựng hai đường sinh SA và SB, biết tam giác SAB vuông và có diện tích bằng 4a^2. Góc tạo bởi giữa trục SO và mặt phẳng (SAB) bằng 30^0. Đường cao h của hình nón bằng:

     Tính đường cao nón

    Theo giả thiết ta có tam giác SAB vuông cân tại S.

    Gọi E là trung điểm AB, suy ra\left\{ \begin{array}{l}SE \bot AB\\OE \bot AB\end{array} ight.  và SE = \frac{1}{2}AB.

    Ta có {S_{\Delta SAB}} = \frac{1}{2}AB.SE = 4{a^2} \Leftrightarrow \frac{1}{2}AB.\frac{1}{2}AB = 4{a^2}

    \Rightarrow AB = 4a \Rightarrow SE = 2a.

    Gọi H là hình chiếu của O trên SE, suy ra OH \bot SE.

    Ta có \left\{ \begin{array}{l}AB \bot OE\\AB \bot SO\end{array} ight. \Rightarrow AB \bot \left( {SOE} ight) \Rightarrow AB \bot OH.

    Từ đó suy ra OH \bot \left( {SAB} ight) nên

    {30^0} = \widehat {SO,\left( {SAB} ight)} = \widehat {SO,SH} = \widehat {OSH} = \widehat {OSE}

    Trong tam giác vuông SOE, ta có SO = SE.\cos \widehat {OSE} = a\sqrt 3

  • Câu 22: Thông hiểu

    Tỉ số diện tích

    Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O’), chiều cao R\sqrt 3 và bán kính đáy R. Một hình nón có đỉnh là O’ và đáy là hình tròn (O;R). Tỉ số diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón bằng:

    Tỉ số diện tích

    Diện tích xung quanh của hình trụ:

    {S_{{m{xq}}\left( {m{T}} ight)}} = 2\pi R.h = 2\pi R.R\sqrt 3 = 2\sqrt 3 \pi {R^2} (đvdt).

    Kẻ đường sinh O’M của hình nón, suy ra

    \ell = O'M = \sqrt {OO{'^2} + O{M^2}} = \sqrt {3{R^2} + {R^2}} = 2R.

    Diện tích xung quanh của hình nón: {S_{{m{xq}}\left( {m{N}} ight)}} = \pi R\ell = \pi R.2R = 2\pi {R^2} (đvdt).

    Vậy \frac{{{S_{{m{xq}}\left( {m{T}} ight)}}}}{{{S_{{m{xq}}\left( {m{N}} ight)}}}} = \sqrt 3.

  • Câu 23: Vận dụng

    Tính tỉ số thể tích

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y − 2z + 10 = 0 và mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 25 cắt nhau theo giao tuyến đường tròn (C). Gọi V_{1} là thể tích khối cầu (S), V_{2} là thể tích khối nón (N) có đỉnh là giao điểm của đường thẳng đi qua tâm mặt cầu (S) và vuông góc với mặt phẳng (P), đáy là đường tròn (C). Biết độ dài đường cao khối nón (N) lớn hơn bán kính của khối cầu (S). Tính tỉ số \frac{V_{1}}{V_{2}}?

    Hình vẽ minh họa

    Mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; 3) và bán kính R = 5, khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) là:

    d = d\left( I;(P) ight) = \frac{|4 + 1 - 6 + 10|}{3} = 3

    Bán kính đường tròn (C) là: r = \sqrt{R^{2} - d^{2}} = 4

    Thể tích khối cầu (S) là: V_{1} = \frac{4}{3}\pi R^{3} = \frac{500\pi}{3}

    Chiều cao hình nón là h = R + d = 8.

    Thể tích khối nón làV_{2} = \frac{1}{3}\pi r^{2}h = \frac{128\pi}{3}

    Vậy \frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{125}{32}.

  • Câu 24: Thông hiểu

    Tính đường cao

    Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O, bán kính R. Dựng hai đường sinh SA và SB, biết AB chắn trên đường tròn đáy một cung có số đo bằng 60^0, khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (SAB) bằng \frac{R}{2}. Đường cao h của hình nón bằng:

    Theo giả thiết ta có tam giác OAB đều cạnh R.

    Gọi E là trung điểm AB, suy ra OE \bot AB và OE = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}.

    Gọi H là hình chiếu của O trên SE, suy ra OH \bot SE.

    Ta có \left\{ \begin{array}{l}AB \bot OE\\AB \bot SO\end{array} ight. \Rightarrow AB \bot \left( {SOE} ight) \Rightarrow AB \bot OH

    Từ đó suy ra OH \bot \left( {SAB} ight) nên d\left[ {O,\left( {SAB} ight)} ight] = OH = \frac{R}{2}.

    Trong tam giác vuông SOE, ta có  \frac{1}{{S{O^2}}} = \frac{1}{{O{H^2}}} - \frac{1}{{O{E^2}}} = \frac{8}{{3{R^2}}} \Rightarrow SO = \frac{{R\sqrt 6 }}{4}

  • Câu 25: Thông hiểu

    Viết phương trình mặt cầu

    Mặt cầu tâm I(2;4;6) và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) có phương trình:

    Mặt cầu tâm I(2;4;6), bán kính R và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy): z = 0 \Leftrightarrow R = d\left( I;(Oxy) \right)

    \Leftrightarrow R = \frac{|6|}{1} = 6.

    Vậy (S):(x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 6)^{2} = 36.

  • Câu 26: Vận dụng

    Diện tích của thiết diện

    Một hình nón có bán kính đáy R, góc ở đỉnh là 60^0. Một thiết diện qua đỉnh nón chắn trên đáy một cung có số đo 90^0 . Diện tích của thiết diện là:

     Diện tích của thiết diện

    Vì góc ở đỉnh là 60^0nên thiết diện qua trục SAC là tam giác đều cạnh 2R.

    Suy ra đường cao của hình nón là SI = R\sqrt 3.

    Tam giác SAB là thiết diện qua đỉnh, chắn trên đáy cung AB có số đo bằng 90^0 nên IAB là tam giác vuông cân tại I, suy ra AB = R\sqrt 2.

    Gọi M là trung điểm của AB thì \left\{ \begin{array}{l}IM \bot AB\\SM \bot AB\end{array} ight. và IM = \frac{{R\sqrt 2 }}{2}.

    Trong tam giác vuông SIM, ta có SM = \sqrt {S{I^2} + I{M^2}} = \frac{{R\sqrt {14} }}{2}

    Vậy {S_{\Delta SAB}} = \frac{1}{2}AB.SM = \frac{{{R^2}\sqrt 7 }}{2} (đvdt).

  • Câu 27: Nhận biết

    Chọn đáp án đúng

    Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu (S) tâm A(2;1;0) và đi qua điểm B(0;1;2)?

    Vì mặt cầu (S) tâm A(2;1;0) và đi qua điểm B(0;1;2) nên mặt cầu (S) nhận độ dài đoạn thẳng AB làm bán kính.

    Ta có: \overrightarrow{AB} = ( - 2;0;2) \Rightarrow AB = 2\sqrt{2}

    \Rightarrow R = 2\sqrt{2}

    Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: (x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + z^{2} = 8.

  • Câu 28: Thông hiểu

    Xét tính đúng sai của các khẳng định dưới đây

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên trục là kilomet), một trạm thu phát sóng điện thoại di động (hình vẽ dưới đây) được đặt ở vị trí I( - 4;\ 2;\ 5). Biết rằng trạm phát sóng được thiết kế với bán kính phủ sóng là 4 km.

    a) Phương trình mặt cầu mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng là:

    (x + 4)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 5)^{2} = 16. Đúng||Sai

    b) Điểm A(3;\ 5;\ - 6) nằm phía trong mặt cầu đó.Sai||Đúng

    c) Nếu người dùng đứng ở vị trí điểm B( -2; 3; 0) thì không thể sử dụng dịch vụ của trạm phát sóng này. Đúng||Sai

    d) Nếu người dùng đứng ở vị trí điểm M( - 4;\ 6;\ 2) thì quãng đường ngắn nhất người đó phải di chuyển để đến được vị trí có thể sử dụng dịch vụ của trạm phát sóng là 1 km. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên trục là kilomet), một trạm thu phát sóng điện thoại di động (hình vẽ dưới đây) được đặt ở vị trí I( - 4;\ 2;\ 5). Biết rằng trạm phát sóng được thiết kế với bán kính phủ sóng là 4 km.

    a) Phương trình mặt cầu mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng là:

    (x + 4)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 5)^{2} = 16. Đúng||Sai

    b) Điểm A(3;\ 5;\ - 6) nằm phía trong mặt cầu đó.Sai||Đúng

    c) Nếu người dùng đứng ở vị trí điểm B( -2; 3; 0) thì không thể sử dụng dịch vụ của trạm phát sóng này. Đúng||Sai

    d) Nếu người dùng đứng ở vị trí điểm M( - 4;\ 6;\ 2) thì quãng đường ngắn nhất người đó phải di chuyển để đến được vị trí có thể sử dụng dịch vụ của trạm phát sóng là 1 km. Đúng||Sai

    a) Đúng

    Mặt cầu tâm I( - 4;\ 2;\ 5) , bán kính R = 4 có phương trình là:

    (x + 4)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 5)^{2} = 16

    b) Sai

    Ta có: IA = \sqrt{7^{2} + 3^{2} + ( - 11)^{2}} = \sqrt{179} > R .

    Vậy điểm A nằm phía ngoài mặt cầu đó.

    c) Đúng

    Ta có: IB = \sqrt{2^{2} + 1^{2} + ( - 5)^{2}} = \sqrt{30} > R , từ đó suy ra nếu người dùng đứng ở vị trí điểm B( - 2;\ 3;\ 0) thì không thể sử dụng dịch vụ của trạm phát sóng này.

    d) Đúng

    Với điểm M( - 4;\ 6;\ 2) ta có: IM = \sqrt{0^{2} + 4^{2} + ( - 3)^{2}} = 5 > R

    Quãng đường ngắn nhất mà người đứng ở điểm M( - 4;\ 6;\ 2) phải di chuyển để đến được vùng phủ sóng là đoạn thẳng MH , với H là giao điểm của đoạn thẳng MI với mặt cầu.

    Khi đó, MH = MI - R = 5 - 4 = 1 km.

  • Câu 29: Vận dụng cao

    Tính giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, xét mặt cầu (S) đi qua hai điểm A\left( {1;6;2} \right),B\left( {3;0;0} \right) và có tâm thuộc mặt phẳng (P):x - y + 2 = 0 bán kính của mặt cầu (S) có giá trị nhỏ nhất là

    Hình vẽ minh họa

    Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB nên H(2; 3; 1). Vecto \overrightarrow{HB} = (1; - 3; - 1).

    Mặt cầu đi qua A, B có tâm M thuộc mặt phẳng (Q)

    là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB

    qua H và có vecto pháp tuyến \overrightarrow{HB} = (1; - 3; - 1) có phương trình (Q):x - 3y + z + 6 = 0.

    Do tâm M của mặt cầu cũng thuộc (P) nên M thuộc đường thẳng (d) là giao của (P) và (Q) có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1;1;2) và qua M_{0}( - 2;0;4).

    Gọi d là khoảng cách từ H đến (d), d = d\left( H;(d) \right) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{M_{0}H};\overrightarrow{u} \right\rbrack \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|} = \frac{\sqrt{66}}{6},HB = \sqrt{11}.

    Ta có R = MB = \sqrt {H{B^2} + M{H^2}}. Nhận thấy HB không đổi, R nhỏ nhất khi MH nhỏ nhất, MH nhỏ nhất khi M trùng I, lúc đó MH = HI = d = \frac{{\sqrt {66} }}{6}. (I là hình chiếu vuông góc của H lên (d))

    Vậy R = MB = \sqrt{HB^{2} + IH^{2}} = \sqrt{\frac{66}{36} + 11} = \frac{\sqrt{462}}{6}.

  • Câu 30: Vận dụng

    Viết phương trình mặt cầu

    Cho hai mặt phẳng (P), (Q) có phương trình (P):x - 2y + z - 1 = 0 và (Q):2x + y - z + 3 = 0. Mặt cầu có tâm nằm trên mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt phẳng (Q) tại điểm M, biết rằng M thuộc mặt phẳng (Oxy) và có hoành độ x_{M} = 1, có phương trình là:

    Vì M \in (Oxy) và có hoành độ bằng 1 nên M(1;y;0).

    Lại có, mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (Q) nên M \in (Q) \Rightarrow M(1; - 5;0).

    Gọi I(a;b;c) là tâm của mặt cầu (S) cần tìm.

    Ta có (S) tiếp xúc với mp (Q) tại M nên IM\bot(Q).

    Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = (2;1; - 1).

    Ta có: IM\bot(Q)\Leftrightarrow \overrightarrow{MI} = t\overrightarrow{n},\ \left( t\mathbb{\in R} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 + 2t \\ b = -5 + t \\ c = - t \\ \end{matrix} \right.

    I \in (P) \Leftrightarrow 1 + 2t - 2( - 5 + t) - t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = 10 \Rightarrow I(21;5; - 10).

    Bán kính mặt cầu R = d\left( I;(Q) \right) = 10\sqrt{6}.

    Vậy phương trình mặt cầu (S):(x - 21)^{2}+ (y - 5)^{2} + (z + 10)^{2} = 600.

  • Câu 31: Thông hiểu

    Tính thể tích khối trụ

    Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chu vi đáy bằng 2a thì thể tích của nó bằng:

     Gọi bán kính đáy là R.

    Hình trụ có chu vi đáy bằng 2a nên ta có 2\pi R = 2a \Leftrightarrow R = \frac{a}{\pi }.

    Suy ra hình trụ này có đường cao h=a.

    Vậy thể tích khối trụ V = \pi {R^2}h = \pi {\left( {\frac{a}{\pi }} ight)^2}a = \frac{{{a^3}}}{\pi }(đvtt).

  • Câu 32: Vận dụng cao

    Tính độ dài dây cung

    Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O’), chiều cao 2R và bán kính đáy R. Một mặt phẳng (\alpha) đi qua trung điểm của OO’ và tọa với OO’ một góc 30^0. Hỏi (\alpha) cắt đường tròn đáy theo một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu?

     Tính độ dài dây cung

    Theo đề bài, ta có: OA = OB = R , OO' = 2R  và \widehat {IMO} = {30^0}.

    Trong tam giác vuông MIO, ta có OI = MO.\tan {30^0} = \frac{R}{{\sqrt 3 }}.

    Trong tam giác vuông AIO, ta có IA = \sqrt {O{A^2} - O{I^2}} = \sqrt {{R^2} - {{\left( {\frac{R}{{\sqrt 3 }}} ight)}^2}} = \frac{{R\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}

    Suy ra AB = 2IA = \frac{{2R\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}

  • Câu 33: Thông hiểu

    Tìm tâm mặt cầu

    Cho các điểm A(1;3;0) và B(2;1;1) và đường thẳng d:\frac{x}{2} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z}{1}. Mặt cầu (S)đi qua hai điểm A, B và tâm thuộc đường thẳng d thì tọa độ tâm của (S) là:

    Gọi I(2t;3 + t;t) trên d vì IA = IB \Rightarrow t = 4 \Rightarrow I(8;7;4).

  • Câu 34: Thông hiểu

    Diện tích toàn phần

    Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1 và AD = 2 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN , ta được một hình trụ. Diện tích toàn phần của hình trụ bằng:

    Diện tích toàn phần

    Theo giả thiết ta được hình trụ có chiều cao h=AB=1 , bán kính đáy R = \frac{{AD}}{2} = 1

    Do đó diện tích toàn phần: {S_{tp}} = 2\pi Rh + 2\pi {R^2} = 4\pi

  • Câu 35: Nhận biết

    Viết phương trình mặt cầu (S)

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm I(1;1;1) và A(1;2;3). Phương trình mặt cầu có tâm I và đi qua A là:

    Ta có: R = IA = \sqrt{(1 - 1)^{2} + (2 - 1)^{2} + (3 - 1)^{2}} = \sqrt{5}

    Vậy phương trình mặt cầu tâm I và đi qua điểm A có phương trình là:

    (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 5.

  • Câu 36: Thông hiểu

    Xác định phương trình mặt cầu

    Phương trình mặt cầu có tâm I\left( \sqrt{5};3;9 \right) và tiếp xúc trục hoành là:

    Gọi H là hình chiếu của I\left( \sqrt{5};3;9 \right) trên Ox

    \Rightarrow H\left( \sqrt{5};0;0 \right) \Rightarrow R = IH = \sqrt{90}

    Vậy phương trình mặt cầu là: \left( x - \sqrt{5} \right)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 9)^{2} = 90.

  • Câu 37: Vận dụng

    Tỉ số giữa thể tích

    Một hình nón có đường cao bằng 9 cm nội tiếp trong một hình cầu bán kính bằng 5 cm. Tỉ số giữa thể tích khối nón và khối cầu là:

    Tỉ số giữa thể tích

    Hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có SH = 9cm, OS=OA=5cm

    Suy ra OH = 4{m{cm}} và AH = \sqrt {O{A^2} - O{H^2}} = 3{m{cm}}{m{.}}

    Thể tích khối nón {V_n} = \frac{1}{3}\pi A{H^2}.SH = 27\pi(đvtt).

    Thể tích khối cầu {V_c} = \frac{4}{3}\pi .S{O^3} = \frac{{500\pi }}{3}  (đvtt).

    Suy ra \frac{{{V_n}}}{{{V_c}}} = \frac{{81}}{{500}}

  • Câu 38: Thông hiểu

    Tìm điều kiện phương trình mặt cầu

    Cho biết (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 là phương trình của mặt cầu khi và chỉ khi:

    Ta có:

    x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz +d = 0 là phương trình của một mặt cầu khi và chỉ khi a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0 (1)

    Mà a^{2} + b^{2} + c^{2} > 0, nên (1) đòi hỏi d < 0

  • Câu 39: Vận dụng

    Chọn đáp án đúng

    Cho mặt cầu (S): x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 6y + 2z - 2 = 0 và điểm A( - 6, - 1,3) . Gọi M là tiếp điểm của (S) và tiếp tuyến di động (d) qua. Tìm tập hợp các điểm M. (Chọn các đáp án đúng)

    (S) có tâm I(2, - 3,1).\ \overrightarrow{IM} = (x - 2,y + 3,z + 1);\overrightarrow{AM} = (x + 6,y + 1,z - 3)

    \begin{matrix} \overrightarrow{IM}.\overrightarrow{AM} = (x - 2)(x + 6) + (y + 3)(y + 1) + (z + 1)(z - 3) = 0 \\ \Rightarrow M \in (S'):x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4x + 4y - 3z - 12 = 0;\ \ M \in (S) \\ \end{matrix}

    \Rightarrow M \in đường tròn \left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 6y + 2z - 2 = 0 \\ 4x - y - 2z - 5 = 0 \\ \end{matrix} \right.

    Hay \left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4x + 4y - 2z - 12 = 0 \\ 4x - y - 2z - 5 = 0 \\ \end{matrix} \right.

  • Câu 40: Nhận biết

    Diện tích toàn phần

    Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh có cạnh bằng 2R. Diện tích toàn phần của khối trụ bằng:

    Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có h = 2R.

    Diện tích toàn phần là: {S_{tp}} = 2\pi R\left( {R + h} ight) = 6\pi {R^2} (đvdt).

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay
Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
1
18 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Tìm bài trong mục này
🖼️

Toán 12 (cũ)
Xem thêm