Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 (cũ)
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút Chương 2: Mặt trụ - Mặt nón - Mặt cầu Toán 12 các em nhé!
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Bắt đầu làm bài
Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay
  • Câu 1: Nhận biết

    Diện tích toàn phần

    Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh có cạnh bằng 2R. Diện tích toàn phần của khối trụ bằng:

    Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có h = 2R.

    Diện tích toàn phần là: {S_{tp}} = 2\pi R\left( {R + h} ight) = 6\pi {R^2} (đvdt).

  • Câu 2: Nhận biết

    Chọn đáp án thích hợp

    Phương trình mặt câu tâm I(a,b,c) có bán kính R là:

    Đáp án cần tìm là:

    x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0,a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0.

  • Câu 3: Thông hiểu

    Diện tích toàn phần

    Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1 và AD = 2 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN , ta được một hình trụ. Diện tích toàn phần của hình trụ bằng:

    Diện tích toàn phần

    Theo giả thiết ta được hình trụ có chiều cao h=AB=1 , bán kính đáy R = \frac{{AD}}{2} = 1

    Do đó diện tích toàn phần: {S_{tp}} = 2\pi Rh + 2\pi {R^2} = 4\pi

  • Câu 4: Thông hiểu

    Chọn đáp án thích hợp

    Cho 4 điểm A(3; - 2; - 2),\ B(3;2;0),\ C(0;2;1) và D( - 1;1;2). Mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCD) có phương trình là:

    Mặt phẳng (BCD)đi qua B(3;2;0)và có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} \right\rbrack = (1;2;3)

    \Rightarrow (BCD):x + 2y + 3z - 7 = 0

    Vì mặt cầu (S)có tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCD)nên bán kính

    R = d\left( A,(BCD) \right) = \frac{\left| 3 + 2.( - 2) + 3.( - 2) - 7 \right|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + 3^{2}}} = \sqrt{14}.

    Vậy phương trình mặt cầu (S):(x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} + (z + 2)^{2} = 14.

  • Câu 5: Vận dụng cao

    Chọn phương án thích hợp

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = - 1 - t \\ x = - 2 + t \end{matrix} \right., điểm M(1;2; - 1)và mặt cầu (S): x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 10y + 14z + 64 = 0. Gọi (\Delta') là đường thẳng đi qua M và cắt \Delta tại A, cắt (S) tại B sao cho \frac{AM}{AB} = \frac{1}{3} và điểm B có hoành độ là số nguyên. Mặt phẳng trung trực của đoạn AB có phương trình là

    Từ giả thiết: (S) có tâm I(2; - 5; - 7) và bán kính R = \sqrt{14}.

    A \in \Delta \Rightarrow A(3 + t; - 1 - t; - 2 + t) \Rightarrow \overrightarrow{AM} = ( - 2 - t;t + 3;1 - t).

    Vì \frac{AM}{AB} = \frac{1}{3} \Rightarrow \overrightarrow{AB} = \pm 3\overrightarrow{AM}.

    +) Nếu \overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AM} = ( - 3t - 6;3t + 9;2 - 3t) \Rightarrow B( - 2t - 3;2t + 8; - 2t + 1).

    Do B \in (S) \Rightarrow BI = R

    \begin{matrix} \Rightarrow {\left( {2t + 5} \right)^2} + {\left( { - 2t - 13} \right)^2} + {\left( {2t - 8} \right)^2} = 14 \hfill \\ \Rightarrow 12{t^2} + 40t + 244 = 0\left( {VN} \right) \hfill \\ \end{matrix}

    +) Nếu \overrightarrow {AB} = 3\overrightarrow {AM} = \left( { - 3t - 6;3t + 9;2 - 3t} \right)\Rightarrow B\left( { - 2t - 3;2t + 8; - 2t + 1} \right).

    Do  B \in (S) \Rightarrow BI = R 

    \Rightarrow (2t + 5)^{2} + ( - 2t - 13)^{2} + (2t - 8)^{2} = 14

    \Leftrightarrow 48t^{2} + 112t + 64 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = - \frac{4}{3} \\ t = - 1 \end{matrix} \right..

    Do B có hoành độ là số nguyên nên t = - 1 \rightarrow \overrightarrow{AB} = (3; - 6; - 6).

    Trung điểm AB là E\left( \frac{7}{2}; - 3; - 6 \right) nên phương trình mặt phẳng trung trực AB:

    3x - 6y - 6z - \frac{129}{2} = 0.

  • Câu 6: Vận dụng cao

    Tính tỉ số thể tích

    Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50{m{cm}} \times 240{m{cm}} , người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50 cm , theo hai cách sau (xem hình minh họa sau đây):

    Tính tỉ số thể tích

    ● Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.

    ● Cách 2. Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm tôn bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng.

    Kí hiệu V_1là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và V_2 là thể tích của thùng gò được theo cách 2. Khi đó tỉ số \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} bằng:

    2 || Hai || hai

    Đáp án là:

    Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50{m{cm}} \times 240{m{cm}} , người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50 cm , theo hai cách sau (xem hình minh họa sau đây):

    Tính tỉ số thể tích

    ● Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.

    ● Cách 2. Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm tôn bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng.

    Kí hiệu V_1là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và V_2 là thể tích của thùng gò được theo cách 2. Khi đó tỉ số \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} bằng:

    2 || Hai || hai

     Công thức thể tích khối trụ V = \pi {R^2}h.

    ● Ở cách 1, suy ra h= 50 cm và 2\pi {R_1} = 240 \Leftrightarrow {R_1} = \frac{{120}}{\pi }. Do đó {V_1} = \pi .{\left( {\frac{{120}}{\pi }} ight)^2}.50 (đvtt).

    ● Ở cách 2, suy ra mỗi thùng có h= 50 cm và 2\pi {R_2} = 120 \Leftrightarrow {R_2} = \frac{{60}}{\pi }

    Do đó {V_2} = 2 \times \left[ {\pi .{{\left( {\frac{{60}}{\pi }} ight)}^2}.50} ight] (đvtt).

    Suy ra \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = 2

  • Câu 7: Thông hiểu

    Tính bán kính đáy

    Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chiều dài đường sinh bằng 2a thì bán kính đáy bằng:

     Gọi bán kính đáy là R.

    Từ giả thiết suy ra h= 2a và chu vi đáy bằng a .

    Do đó 2\pi R = a \Leftrightarrow R = \frac{a}{{2\pi }}.

  • Câu 8: Vận dụng

    Chọn phương án đúng

    Tìm tập hợp các tâm I của mặt cầu

    (S):\ x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2(m - 2)x+ 4y - 2z + 2m + 4 = 0; m\mathbb{\in R}

    Ta có:

    a = 2 - m;b = - 2;c = 1;d = 2m + 4

    Tâm I;(x = 2 - m;y = - 2;z = 1)

    \Rightarrow I \in đường thẳng: y + 2 = 0;z - 1 = 0

    (S) là mặt cầu

    \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0 \Leftrightarrow m^{2} - 6m + 5 > 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m < 1 \\ m > 5 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 2 - x < 1 \\ 2 - x > 5 \\ \end{matrix} \right. \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x < - 3 \\ x > 1 \\ \end{matrix} \right.

    Vậy tập hợp các tâm O là phần đường thẳng :y + 2 = 0;z - 1 = 0 tương ứng với \left\lbrack \begin{matrix} x < - 3 \\ x > 1 \\ \end{matrix} \right.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Tính diện tích đường tròn

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P):x + \sqrt{2}y - z + 3 = 0 cắt mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} = 5 theo giao tuyến là đường tròn có diện tích là:

    Mặt cầu (S) có tâm O(0;0;0) và bán kính R = \sqrt{5}

    Khoảng cách từ O đến (P): d\left( O;(P) ight) = \frac{3}{2}

    Bán kính đường tròn giao tuyến

    r = \sqrt{R^{2} - \left\lbrack d\left( O;(P) ight) ightbrack^{2}} = \sqrt{5 - \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{11}{4}}

    Diện tích đường tròn giao tuyến S = 2\pi r^{2} = \frac{11\pi}{4}.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Tính khoảng cách

    Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng R\sqrt 3. Hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng 30^0. Khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ bằng:

    Tính khoảng cách

    Từ hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có OA = O'B = R.

    Gọi AA’ là đường sinh của hình trụ thì O'A' = R,{m{ }}AA' = R\sqrt 3 và \widehat {BAA'} = {30^0}.

    Vì OO'\parallel \left( {ABA'} ight) nên d\left[ {OO',\left( {AB} ight)} ight] = d\left[ {OO',\left( {ABA'} ight)} ight] = d\left[ {O',\left( {ABA'} ight)} ight].

    Gọi H là trung điểm A’B, suy ra \left. \begin{array}{l}O'H \bot A'B\\O'H \bot AA'\end{array} ight\} \Rightarrow O'H \bot \left( {ABA'} ight)

    nên O'H = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}h.

    Tam giác ABA’ vuông tại A’ nên BA' = AA'\tan {30^0} = R

    Suy ra tam giác A’BO đều có cạnh bằng R nên O'H = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}.h

  • Câu 11: Thông hiểu

    Tính tang của góc

    Cho hình nón có đỉnh S, đường cao SO = h, đường sinh SA. Nội tiếp hình nón là một hình chóp đỉnh S, đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Nửa góc ở đỉnh của hình nón có tan bằng:

     Tính tang của góc

    Nửa góc ở đỉnh của hình nón là góc \widehat {ASO} .

    Hình vuông ABCD cạnh a nên suy ra: OA = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}

    Trong tam giác vuông SOA, ta có \tan \widehat {ASO} = \frac{{OA}}{{SO}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{2h}}.

  • Câu 12: Vận dụng cao

    Tỉ số bán kính

    Cho một chiếc cốc có dạng hình nón cụt và một viên bi có đường kính bằng chiều cao của cốc. Đổ đầy nước rồi thả viên bi vào, ta thấy lượng nước tràn ra bằng một phần ba lượng nước đổ vào cốc lúc ban đầu. Biết viên bi tiếp xúc với đáy cốc và thành cốc. Tìm tỉ số bán kính của miệng cốc và đáy cốc (bỏ qua độ dày của cốc).

    Tỉ số bán kính

     

    Gọi bán kính viên bi là r; bán kính đáy cốc, miệng cốc lần lượt là r_1,r_2,\left(r_1 < r_2ight) . Theo giả thiết thì chiều cao của cốc là h=2r.

    Thể tích viên bi là V_B=\frac{4}{3}\pi r^3.

    Thể tích cốc là V_C=\frac{1}{3}\pi h\left(r_1^2+r_2^2+r_1r_2ight)=\frac{2}{3}\pi r\left(r_1^2+r_2^2+r_1r_2ight).

    Theo giả thiết thì  V_B=\frac{1}{3}V_C\Leftrightarrow6r^2=r_1^2+r_2^2+r_1r_2 (1).

    Mặt cắt chứa trục của cốc là hình thang cân  ABB^\prime A^\prime . Đường tròn tâm (O;r) là đường tròn lớn của viên bi, đồng thời là đường tròn nội tiếp hình thang ABB^\prime A^\prime, tiếp xúc với A'B', AB  lần lượt tại H_1, H_2 và tiếp xúc với BB' tại M.

    Tỉ số thể tích

    Dễ thấy tam giác BOB' vuông tại O.

    Ta có OM^2=MB\cdot MB^\prime\Leftrightarrow r^2=r_1r_2.

    Thay (2) vào (1) ta được 6r_1r_2=r_1^2+r_2^2+r_1r_2\Leftrightarrow\left(\frac{r_2}{r_1}ight)^2-5\frac{r_2}{r_1}+1=0..

    Giải phương trình với điều kiện \frac{r_2}{r_1}>1 ta được \frac{r_2}{r_1}=\frac{5+\sqrt{21}}{2}.

  • Câu 13: Nhận biết

    Tìm phương trình mặt cầu

    Cho hai điểm A(1;0; - 3) và B(3;2;1). Phương trình mặt cầu đường kính AB là:

    Ta có \overrightarrow{AB} = (2;2;4) \Rightarrow AB = 2\sqrt{6}. Mặt cầu đường kính AB có tâm I là trung điểm AB nên I(2;1; - 1), bán kính R = \frac{AB}{2} = \sqrt{6}.

    Vậy đáp án cần tìm là: x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x - 2y + 2z = 0..

  • Câu 14: Vận dụng cao

    Tính giá trị của biểu thức

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;-1) và mặt phẳng (P):x+y+2z-13=0. Xét các mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c), đi qua điểm A, tiếp xúc với mặt phẳng (P) . Tính giá trị của biểu thức T=a^2+2b^2+3c^2 khi (S) có bán kính nhỏ nhất.

     Gọi H là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P) ta có IA + IH =2R nên R nhỏ nhất khi I, A, H thẳng hàng và I là trung điểm của AH.

    Phương trình AH đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình là

    \left\{\begin{matrix} x=1+t \\ y=2+t \\ z=-1+2t \end{matrix}ight.

    Tọa độ H là nghiệm (x;y;z) của hệ:

    \left\{\begin{matrix} x=1+t \\ y=2+t \\ z=-1+2t \\ x+y+2z-13=0 \end{matrix}ight.

    \Rightarrow H(3;4;3)\Rightarrow I(2;3;1)

    Suy ra, ta có: T=a^2+2b^2+3c^2 =2^2+2.3^2+3.1^2=25

  • Câu 15: Thông hiểu

    Tính độ dài cạnh

    Một hình trụ có bán kính đáy R = 70{m{cm}} , chiều cao hình trụ h = 20{m{cm}}. Một hình vuông có các đỉnh nằm trên hai đường tròn đáy sao cho có ít nhất một cạnh không song song và không vuông góc với trục hình trụ. Khi đó cạnh của hình vuông bằng bao nhiêu?

    Tính độ dài cạnh

    Xét hình vuông ABCD có AD không song song và không vuông góc với trục OO’ của hình trụ.

    Dựng đường sinh AA', ta có \left\{ \begin{array}{l}CD \bot AA'\\CD \bot AD\end{array} ight. \Rightarrow CD \bot \left( {AA'D} ight) \Rightarrow CD \bot A'D.

    Suy ra A’C là đường kính đáy nên A'C = 2R = 140{m{cm}}{m{.}}

    Xét tam giác vuông AA’C, ta có AC = \sqrt {AA{'^2} + A'{C^2}} = 100\sqrt 2 {m{cm}}{m{.}}

    Suy ra cạnh hình vuông bằng 100 cm.

  • Câu 16: Thông hiểu

    Tính chu vi đường tròn

    Đường tròn giao tuyến của (S):(x - 1)^{2}+ (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 16 khi cắt bởi mặt phẳng (Oxy) có chu vi bằng :

    Mặt cầu (S) tâm I(1;2;3), bán kính R = 4.

    Ta có : d\left( I;(Oxy) \right) = \left| z_{I} \right| = 3.

    Gọi r là bán kính đường tròn (C) giao tuyến của mặt cầu (S) và mặt phẳng (Oxy), ta suy ra :

    r = \sqrt{R^{2} - \left\lbrack d\left( I;(Oxy) \right) \right\rbrack^{2}} = \sqrt{7}.

    Vậy chu vi (C) bằng: 2\sqrt{7} \pi.

  • Câu 17: Nhận biết

    Xác định đường kính mặt cầu

    Đường kính của mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + (z - 1)^{2} = 4 bằng:

    Mặt cầu (S) có bán kính R = 2 suy ra đường kính có độ dài: 2R = 4.

    Đường kính của mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + (z - 1)^{2} = 4 bằng: 4.

  • Câu 18: Thông hiểu

    Tìm tọa độ điểm B

    Cho mặt phẳng (P):x + 2y - 2z + 2 = 0 và điểm A(2; - 3;0). Gọi B là điểm thuộc tia Oy sao cho mặt cầu tâm B, tiếp xúc với mặt phẳng (P) có bán kính bằng 2. Tọa độ điểm B là:

    Vì B thuộc tia Oy nên B(0;b;0) (với b > 0)

    Bán kính của mặt cầu tâm B, tiếp xúc với (P) là R = d\left( B,(P) \right) = \frac{|2b + 2|}{3}.

    Theo giả thiết R = 2 \Leftrightarrow \frac{|2b + 2|}{3} = 2

    \Leftrightarrow |2b + 2| = 6 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 2b + 2 = 6 \\ 2b + 2 = - 6 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} b = 2 \\ b = - 4 \\ \end{matrix} \right.\ .

    Do b > 0 \Rightarrow b = 2

    Vậy B(0;2;0).

  • Câu 19: Vận dụng

    Diện tích thiết diện

    Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R và chiều cao bằng \frac{3R}{2}. Mặt phẳng (\alpha) song song với trục của hình trụ và cách trục một khoảng bằng \frac{R}{2}. Diện tích thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng (\alpha) là:

     Diện tích thiết diện

    Giả sử thiết diện là hình chữ nhật ABCD như hình vẽ.

    Gọi H là trung điểm BC suy ra OH\bot BC suy ra d(O;BC)=\frac{R}{2}

    Khi đó BC=2HB=2\sqrt{OB^2-OH^2}=2\sqrt{R^2-\left(\frac{R}{2}ight)^2}=R\sqrt3

    Suy ra S_{ABCD}=BC\cdot AB=R\sqrt3\cdot\frac{3R}{2}=\frac{3\sqrt3R^2}{2} .

  • Câu 20: Vận dụng

    Xác định phương trình mặt cầu

    Cho hình lập phương QABC.DEFG có cạnh bằng 1 có \overrightarrow{OA},\ \ \overrightarrow{OC},\ \ \overrightarrow{OG}trùng với ba trục \overrightarrow{Ox},\ \overrightarrow{Oy},\ \overrightarrow{Oz}. Viết phương trình mặt cầu \left( S_{3} \right) tiếp xúc với tất cả các cạnh của hình lập phương.

    \left( S_{2} \right) tiếp xúc với 12 cạnh của hình lập phương tại trung điểm của mỗi cạnh. Tâm I\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right) là trung điểm của 6 đoạn nối trung điểm của các cặp cạnh đối diện đôi một có độ dài bằng \sqrt{2}

    Bán kính R_{3} =\frac{\sqrt{2}}{2}

    \Rightarrow \left( S_{2} \right):\left( x - \frac{1}{2} \right)^{2} + \left( y - \frac{1}{2} \right)^{2} + \left( z - \frac{1}{2} \right)^{2} = \frac{1}{2}

    \Rightarrow \left( S_{3} \right):x^{2} + y^{2} + z^{2} - x - y - z + \frac{1}{4} = 0

  • Câu 21: Nhận biết

    Độ dài đường sinh

    Cho mặt cầu tâm O, bán kính R = a. Một hình nón có đỉnh S là ở trên mặt cầu và đáy là đường tròn tương giao của mặt cầu đó với mặt phẳng vuông góc với đường thẳng SO tại H sao cho SH = \frac{{3a}}{2}. Độ dài đường sinh \ell của hình nón bằng:

    Độ dài đường sinh

    Gọi S' là điểm đối xứng của S qua tâm O và A là một điểm trên đường tròn đáy của hình nón.

    Tam giác SAS’ vuông tại A và có đường cao AH nên S{A^2} = SH.SS' \Rightarrow SA = a\sqrt 3 .

  • Câu 22: Thông hiểu

    Thể tích của khối trụ

    Cho hình trụ có chiều cao bằng 8a . Biết hai điểm A và C lần lượt nằm trên hai đáy thỏa mãn AC=10a, khoảng cách giữa AC và trục của hình trụ bằng 4a. Thể tích của khối trụ đã cho là:

      Thể tích của khối trụ

    Gọi (O) và (O') lần lượt là hai đường tròn đáy; A\in (O), C \in (O') .

    Dựng AD, CB lần lượt song song với OO' (D \in (O'), B \in (O). Dễ dàng có ABCD là hình chữ nhật.

    Do AC=10a,AD=8a\Rightarrow DC=6a..

    Gọi H là trung điểm của DC.

    \left\{\begin{matrix}O^\prime H\bot D C\\O^\prime H\bot A D\\\end{matrix}\Rightarrow O^\prime H\bot(ABCD)ight..

    Ta có O^\prime//(ABCD)\Rightarrow d\left(OO^\prime,ACight)=d\left(OO^\prime,(ABCD)ight)=O^\prime H=4a..

    Suy ra O^\prime H=4a,CH=3a\Rightarrow R=O^\prime C=5a..

    Vậy thể tích của khối trụ là V=\pi R^2h=\pi(5a)^28a=200\pi a^3.

  • Câu 23: Thông hiểu

    Tính thể tích khối trụ

    Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chu vi đáy bằng 2a thì thể tích của nó bằng:

     Gọi bán kính đáy là R.

    Hình trụ có chu vi đáy bằng 2a nên ta có 2\pi R = 2a \Leftrightarrow R = \frac{a}{\pi }.

    Suy ra hình trụ này có đường cao h=a.

    Vậy thể tích khối trụ V = \pi {R^2}h = \pi {\left( {\frac{a}{\pi }} ight)^2}a = \frac{{{a^3}}}{\pi }(đvtt).

  • Câu 24: Thông hiểu

    Độ dài đường chéo

    Bán kính đáy hình trụ bằng 4 cm, chiều cao bằng 6cm. Độ dài đường chéo của thiết diện qua trục bằng:

     Thiết diện qua trục của một hình trụ là một hình chữ nhật có hai cạnh lần lượt bằng đường kính đáy và chiều cao của hình trụ.

    Vậy hai cạnh của hình chữ nhật là 8 cm và 6 cm.

    Do đó độ đài đường chéo: \sqrt {{8^2} + {6^2}} = 10{m{cm}}{m{.}}

  • Câu 25: Vận dụng

    Tính thể tích khối trụ

    Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O’, bán kính bằng chiều cao và bằng a. Trên đường tròn tâm O lấy điểm A, trên đường tròn tâm O’ lấy điểm B sao cho AB = 2a. Thể tích của khối tứ diện OO’AB bằng:

     Tính thể tích khối trụ

    Kẻ đường sinh AA’, gọi D là điểm đối xứng với A’ qua tâm O’ và H là hình chiếu của B trên A’D.

    Ta có BH \bot \left( {AOO'A'} ight) nên {V_{OO'AB}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta AOO'}}.BH.

    Trong tam giác vuông A'AB có A'B = \sqrt {A{B^2} - AA{'^2}} = \sqrt 3 a.

    Trong tam giác vuông A'BD có BD = \sqrt {A'{D^2} - A'{B^2}} = a.

    Do đó suy ra tam giác BO'D nên BH = \frac{{\sqrt 3 a}}{2}.

    Vậy  {V_{OO'AB}} = \frac{1}{3}.\left( {\frac{1}{2}{a^2}} ight).\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{{12}} (đvtt).

  • Câu 26: Thông hiểu

    Tính đường cao

    Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O, bán kính R. Dựng hai đường sinh SA và SB, biết AB chắn trên đường tròn đáy một cung có số đo bằng 60^0, khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (SAB) bằng \frac{R}{2}. Đường cao h của hình nón bằng:

    Theo giả thiết ta có tam giác OAB đều cạnh R.

    Gọi E là trung điểm AB, suy ra OE \bot AB và OE = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}.

    Gọi H là hình chiếu của O trên SE, suy ra OH \bot SE.

    Ta có \left\{ \begin{array}{l}AB \bot OE\\AB \bot SO\end{array} ight. \Rightarrow AB \bot \left( {SOE} ight) \Rightarrow AB \bot OH

    Từ đó suy ra OH \bot \left( {SAB} ight) nên d\left[ {O,\left( {SAB} ight)} ight] = OH = \frac{R}{2}.

    Trong tam giác vuông SOE, ta có  \frac{1}{{S{O^2}}} = \frac{1}{{O{H^2}}} - \frac{1}{{O{E^2}}} = \frac{8}{{3{R^2}}} \Rightarrow SO = \frac{{R\sqrt 6 }}{4}

  • Câu 27: Thông hiểu

    Tính bán kính mặt cầu

    Bán kính mặt cầu đi qua bốn điểm M(1;0;1),\ N(1;0;0),\ P(2;1;0) và Q(1;1;1) bằng:

    Gọi phương trình mặt cầu (S) có dạng x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 với a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0.

    Do (S) đi qua bốn điểm M, N, P, Q nên ta có hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix} - 2a - 2c + d = - 2 \\ - 2a + d = - 1 \\ - 4a - 2b + d = - 5 \\ - 2a - 2b - 2c + d = - 3 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = \dfrac{3}{2} \\ b = \dfrac{1}{2} \\ c = \dfrac{1}{2} \\ d = 2 \\ \end{matrix} \right..

    Vậy R = \sqrt{\left( \frac{3}{2} \right)^{2} + \left( \frac{1}{2} \right)^{2} + \left( \frac{1}{2} \right)^{2} - 2} = \frac{\sqrt{3}}{2}.

  • Câu 28: Vận dụng cao

    Tính thể tích khối tứ diện

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các điểm A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) trong đó a > 0,b > 0,c > 0 và \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 7. Biết mặt phẳng (ABC) tiếp xúc với mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = \frac{72}{7} Tính thể tích của khối tứ diện O.ABC

    +) Ta có (ABC):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

    +) Mặt cầu (ABC):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 có tâm I(1;2;3) và bán kính R = \sqrt{\frac{72}{7}}

    +) Mặt phẳng (ABC) tiếp xúc với (S) \Leftrightarrow d\left( I;(ABC) \right) = R \Leftrightarrow \frac{\left| \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} - 1 \right|}{\sqrt{\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}}}} = \sqrt{\frac{72}{7}}.

    +) Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có:

    \left( 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} \right)\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} \right) \geq \left( \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} \right)^{2} = 7^{2}

    \Rightarrow \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} \geq \frac{7}{2}

    +) Dấu xảy ra \left. \ \begin{matrix} \frac{1}{\frac{1}{a}} = \frac{2}{\frac{1}{b}} = \frac{3}{\frac{1}{c}} \\ \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 7 \end{matrix} \right\} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 2 \\ b = 1 \\ c = \frac{2}{3} \end{matrix} \right. khi đó V_{OABC} = \frac{1}{6}abc = \frac{2}{9}

  • Câu 29: Thông hiểu

    Viết phương trình mặt phẳng

    Cho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} -2x - 4y - 6z - 2 = 0 và mặt phẳng (\alpha):4x + 3y - 12z + 10 = 0 . Mặt phẳng tiếp xúc với (S) và song song với (\alpha) có phương trình là:

    Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) và bán kính R = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 2} = 4

    Gọi (\beta) là mặt phẳng tiếp xúc với (S) và song song với (\alpha).

    Vì (\beta)//(\alpha) \Rightarrow (\beta):4x + 3y - 12z + D = 0\ \ (D \neq 10)

    Mặt phẳng (\beta) tiếp xúc với mặt cầu (S) \Leftrightarrow d\left( I,(\beta) \right) = R

    \Leftrightarrow \frac{|4.1 + 3.2 - 12.3 + D|}{\sqrt{4^{2} + 3^{2} + ( - 12)^{2}}} = 4

    \Leftrightarrow |D - 26| = 52 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} D = 78 \\ D = - 26 \\ \end{matrix} \right. (thỏa điều kiện)

    Vậy phương trình mặt phẳng (\beta):4x + 3y - 12z + 78 = 0 hoặc (\beta):4x + 3y - 12z - 26 = 0 .

    Lưu ý: Nếu hình dung phác họa hình học bài toán được thì ta có thể dự đoán được có 2 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 30: Nhận biết

    Chọn kết luận đúng

    Trong không gian Oxyz, hai điểm A(7; - 2;2) và B(1;2;4). Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu đường kính AB?

    Mặt cầu nhận AB làm đường kính, do đó mặt cầu nhận trung điểm I(4;0;3) của AB làm tâm và có bán kính R = \frac{AB}{2} = \sqrt{56}

    Suy ra phương trình mặt cầu cần tìm là (x - 4)^{2} + y^{2} + (z - 3)^{2} = 56.

  • Câu 31: Thông hiểu

    Tỉ số diện tích

    Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O’), chiều cao R\sqrt 3 và bán kính đáy R. Một hình nón có đỉnh là O’ và đáy là hình tròn (O;R). Tỉ số diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón bằng:

    Tỉ số diện tích

    Diện tích xung quanh của hình trụ:

    {S_{{m{xq}}\left( {m{T}} ight)}} = 2\pi R.h = 2\pi R.R\sqrt 3 = 2\sqrt 3 \pi {R^2} (đvdt).

    Kẻ đường sinh O’M của hình nón, suy ra

    \ell = O'M = \sqrt {OO{'^2} + O{M^2}} = \sqrt {3{R^2} + {R^2}} = 2R.

    Diện tích xung quanh của hình nón: {S_{{m{xq}}\left( {m{N}} ight)}} = \pi R\ell = \pi R.2R = 2\pi {R^2} (đvdt).

    Vậy \frac{{{S_{{m{xq}}\left( {m{T}} ight)}}}}{{{S_{{m{xq}}\left( {m{N}} ight)}}}} = \sqrt 3.

  • Câu 32: Vận dụng

    Viết phương trình mặt cầu

    Cho hình lập phương QABC.DEFG có cạnh bằng 1 có \overrightarrow{OA},\ \ \overrightarrow{OC},\ \ \overrightarrow{OG}trùng với ba trục \overrightarrow{Ox},\ \overrightarrow{Oy},\ \overrightarrow{Oz}. Viết phương trình mặt cầu \left( S_{2} \right) nội tiếp hình lập phương.

    \left( S_{2} \right) có tâm I\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right) là trung điểm của 3 đoạn nối trung điểm các mặt đối diện đôi một có độ dài cạnh bằng 1. Bán kính R_{1} = \frac{1}{2}

    \Rightarrow \left( S_{2} \right):\left( x - \frac{1}{2} \right)^{2} + \left( y - \frac{1}{2} \right)^{2} + \left( z - \frac{1}{2} \right)^{2} = \frac{1}{4}

    \Rightarrow \left( S_{2} \right):x^{2} + y^{2} + z^{2} - x - y - z + \frac{1}{2} = 0

  • Câu 33: Nhận biết

    Diện tích và Thể tích

    Thiết diện qua trục hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a.  Diện tích toàn phần và thể tích hình nón có giá trị lần lượt là:

     Diện tích toàn phần

    Gọi S, O là đỉnh và tâm đường tròn đáy của hình nón,

    Khi đó, ta có thiết diện qua đỉnh là tam giác SAB.

    Theo đề bài, ta có tam giác SAB vuông cân tại S nên AB = SB\sqrt 2 = a\sqrt 2, SO = \frac{{SB\sqrt 2 }}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.

    Suy ra h = SO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2},  l = SA = a  và SB\sqrt 2 = 2R \Rightarrow R = \frac{{SB\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 2 a}}{2}.

     

    Diện tích toàn phần của hình nón: {S_{tp}} = \pi R\ell + \pi {R^2} = \frac{{\left( {1 + \sqrt 2 } ight)\pi {a^2}}}{2}(đvdt).

    Thể tích khối nón là: V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{{\sqrt 2 \pi {a^3}}}{{12}} (đvtt). 

  • Câu 34: Vận dụng

    Tỉ số giữa thể tích

    Một hình nón có đường cao bằng 9 cm nội tiếp trong một hình cầu bán kính bằng 5 cm. Tỉ số giữa thể tích khối nón và khối cầu là:

    Tỉ số giữa thể tích

    Hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có SH = 9cm, OS=OA=5cm

    Suy ra OH = 4{m{cm}} và AH = \sqrt {O{A^2} - O{H^2}} = 3{m{cm}}{m{.}}

    Thể tích khối nón {V_n} = \frac{1}{3}\pi A{H^2}.SH = 27\pi(đvtt).

    Thể tích khối cầu {V_c} = \frac{4}{3}\pi .S{O^3} = \frac{{500\pi }}{3}  (đvtt).

    Suy ra \frac{{{V_n}}}{{{V_c}}} = \frac{{81}}{{500}}

  • Câu 35: Nhận biết

    Chọn phương trình mặt cầu

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu

    Phương trình mặt cầu tâm I bán kính R có dạng: (x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}

    Vậy đáp án cần tìm là: (x - 13)^{2} + (y - 24)^{2} + (z - 36)^{2} = 7^{2} .

  • Câu 36: Nhận biết

    Thể tích khối trụ

    Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh bằng a. Thể tích khối trụ bằng:

     Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có h=a.

    Bán kính đáy R = \frac{a}{2}. Do đó thể tích khối trụ V = {R^2}\pi .h = \frac{{\pi {a^3}}}{4}(đvtt).

  • Câu 37: Nhận biết

    Mệnh đề đúng

    Xét các mệnh đề:

    (I) Tập hợp các đường thẳng d thay đổi nhưng luôn luôn song song và cách đường thẳng \triangle cố định một khoảng không đổi là một mặt trụ.

    (II) Hai điểm A, B cố định. Tập hợp các điểm M trong không gian mà diện tích tam giác MAB không đổi là một mặt trụ.

    Trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào đúng?

    Ta xét về khái niệm Mặt trụ suy ra  (I) đúng.

    Diện tích tam giác MAB không đổi khi và chỉ khi khoảng cách từ M đến đường thẳng AB không đổi (giả sử bằng R ).

    Vậy tập hợp các điểm M là mặt trụ bán kính R và trục là AB.

    Vì vậy Mệnh đề (II) cũng đúng.

  • Câu 38: Vận dụng

    Độ dài đường sinh

    Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO. Gọi A, B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng a và \widehat {SAO} = {30^0},\widehat {SAB} = {60^0}. Độ dài đường sinh \ell của hình nón bằng:

     Độ dài đường sinh

    Gọi I là trung điểm AB, suy ra OI \bot AB,{m{ }}SI \bot AB và OI = a.

    Trong tam giác vuông SOA, ta có OA = SA.\cos \widehat {SAO} = \frac{{SA\sqrt 3 }}{2}

    Trong tam giác vuông SIA, ta có IA = SA.\cos \widehat {SAB} = \frac{{SA}}{2}

    Trong tam giác vuông OIA, ta có:

    O{A^2} = O{I^2} + I{A^2} \Leftrightarrow \frac{3}{4}S{A^2} = {a^2} + \frac{1}{4}S{A^2} \Rightarrow SA = a\sqrt 2 .

  • Câu 39: Vận dụng

    Tính diện tích mặt cầu (S)

    Cho hình hợp chữ nhật ABCD.EFGH có A(0,0,0);\ \ \ B(4,0,0);\ \ \ D(0,6,0);\ \ \ E(0,0,2). Tính diện tích mặt cầu (S) ngoại tiếp hình hợp chữ nhật.

    Mặt cầu (S) ngoại tiếp hình hợp chữ nhật có tâm là trung điểm chung của 4 đường chéo bằng nhau của hình hộp và có đường chéo bằng đường chéo. (Học sinh tự vẽ hình)

    AG^{2} = AC^{2} + AE^{2} = AB^{2} + AD^{2} + AE^{2}= 16 + 36 + 4 = 56

    R = \frac{AG}{2} \Rightarrow R^{2} = \frac{AG^{2}}{4} = \frac{56}{4} = 14 \Rightarrow S = 4\pi R^{2} = 56\piđvdt

  • Câu 40: Thông hiểu

    Xác định phương trình mặt cầu thỏa mãn điều kiện

    Phương trình mặt cầu có tâm I(4;6; - 1) và cắt trục Ox tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông là:

    Gọi H là hình chiếu của I(4;6; - 1) trên Ox

    \Rightarrow H(4;0;0) \Rightarrow IH = d(I;Ox) = \sqrt{37}

    \Rightarrow R^{2} = IH^{2} + \left( \frac{AB}{2} \right)^{2} = 37 + 37 = 74

    Vậy phương trình mặt cầu là: (x - 4)^{2} + (y - 6)^{2} + (z + 1)^{2} = 74.

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay
Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
1
18 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Tìm bài trong mục này
🖼️

Toán 12 (cũ)
Xem thêm