Đề thi giữa kì 1 Toán 12 Đề 2

Xét hàm số ta có:

Nên hàm số nghịch biến trên .

 Áp dụng định nghĩa khối đa diện, ta có:

“Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi 1 hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.”

Điều kiện

Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là

=>

Đặt

Nhận thấy với mọi m, n nên đồ thị nhận trục tung x = 0 làm tiệm cận đứng thì g(0) = 0

=> n – 6 = 0 => n = 6

Kết hợp với (*) => m = 3

Vậy m + n = 9

 Có thể lấy tứ diện làm đại diện để xét với số đỉnh là 4, số cạnh là 6 và số mặt là 4.

Hình chóp tam giác đều có các mặt bên là các tam giác cân.

Dựa và đồ thị suy ra

Vậy

Do là một đầu mút của tập xác định và nên đường thẳng ( hay là trục ) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Với , ta kiểm tra được giới hạn của hàm số tại (không có giới hạn tại ). Theo giả thiết, nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Tập xác định

Ta có: .

Để hàm số đồng biến trên khoảng xác định thì

Vậy đáp án cần tìm là: .

Tập xác định

suy ra là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

suy ra đường thẳng không là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

suy ra đường thẳng là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận.

Ta có

Khi

Số nghiệm của là số giao điểm của đồ thị hàm số và đường

Để hàm số có đúng 1 cực trị thì phương trình (1) phải có đúng 1 nghiệm bội lẻ. Dựa vào đồ thị trên, để có đúng 1 cực trị thì điều kiện là

.

Vậy số giá trị của là 18.

 Trong không gian chỉ có 5 loại khối đa diện đều như hình vẽ sau:

- Khối lập phương có 6 mặt.

"Mọi khối đa diện đều có số mặt là những số chia hết cho 4" Sai.

- Khối lập phương và khối bát diện đều có cùng số cạnh là 12. Đúng

- Khối tứ diện đều không có tâm đối xứng.

"Khối tứ diện đều và khối bát diện đều có 1 tâm đối xứng": Sai.

- Khối 12 mặt đều có 20 đỉnh. Khối 20 mặt đều có 12 đỉnh.

"Khối mười hai mặt đều và khối hai mươi mặt đều có cùng số đỉnh": Sai

Từ đồ thị hàm số ta có bảng biến thiên của hàm số

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có 1 cực đại và 1 cực tiểu.

Xét khối lăng trụ có đáy là tam giác đều và .

Diện tích xung quanh lăng trụ là

Diện tích tam giác là .

Vậy thể tích khối lăng trụ là .

Ta có:

Để phương trình có ba nghiệm ta phải có

Vậy có 2 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Xét phương trình x + 1 = 0 => x = -1

Và => x = -1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có .

.

Bảng xét dấu của đạo hàm hàm số đã cho

Từ bảng xét dấu suy ra hàm số đồng biến trên .

Trên đoạn ta có: và

Vậy .

TXĐ: .

Đạo hàm

Ta có

Áp dụng định nghĩa hình đa diện, ta có:

“Hình đa diện (còn gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác, gọi là các mặt của hình đa diện, thỏa mãn các tính chất sau:

TC1: Hai mặt phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.

TC2: Mỗi cạnh thuộc một mặt là cạnh cung của đúng hai mặt.

TC3: Cho hai mặt S và S’, luôn tồn tại một dãy các mặt sao cho trùng với trùng với S’ và bất kì hai mặt nào cũng đều có một cạnh chung.

Các đỉnh, cạnh của mặt theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.”

Ta thấy ngoai trừ "Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất ba mặt" các đáp án còn lại  đều đúng dựa vào khái niệm hình đa diện.

Tập xác định

Ta có:

Do đó hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định.

Do nên đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang; nên đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng. Do đó đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận nên (i) đúng.

Hàm số có cực tiểu tại đúng nên (ii) đúng.

Hàm số nghịch biến trên nên (iii) sai.

Hàm số không xác định tại nên (iv) sai.

Vậy có 2 khẳng định sai.

Ta có hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là nghiệm của phương trình (*)

.

Phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt, do đó đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.

Tứ diện đều có tất cả cạnh nên có tổng độ dài các cạnh là 

Tam giác vuông cân tại ,

suy ra

Vậy thể tích khối lăng trụ

Tập xác định

Ta có:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng

khi và chỉ khi

Xét hàm số trên ta có bảng biến thiên như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Do đó

Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Tâm tất cả các mặt của một hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều:

Ta có:

Hàm số đồng biến trên

Vì

Vậy số giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán là .

Từ biểu thức của ta có bảng xét dấu như sau:

Dễ thấy hàm số đạt cực tiểu tại nên mệnh đề “ đạt cực tiểu tại ” đúng và mệnh đề “ đạt cực tiểu tại ” sai.

Hàm số có đúng một điểm cực trị nên mệnh đề “ không có cực trị” sai và “ có hai điểm cực trị” sai.

Vì hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với (ABCD), suy ra . Do đó chiều cao khối chóp là .

Diện tích hình chữ nhật ABCD là

Vậy thể tích khối chóp

Ta có

 Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Nhận xét: hàm số là hàm số đơn điệu trên tập xác định nên phương trình có nghiệm đơn, phương trình có nghiệm đơn và nghiệm của phương trình và phương trình không trùng nhau.

không xác định

Nhận xét: không thuộc tập xác định của

Vậy có nghiệm đơn khác nên hàm số có điểm cực trị.

Ta có:

.

Xét hàm số có

Bảng biến thiên

Vậy bất phương trình nghiệm đúng với mọi khi và chỉ khi .

Quan sát hình vẽ và đếm các cạnh xung quanh, chú ý cả những cạnh được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được. 

Đặt và

Giả sử không phải là nghiệm của phương trình thì hàm số sẽ đổi dấu khi qua điểm , nghĩa là không nghiệm đúng với mọi .

Do đó yêu cầu bài toán được thỏa mãn thì một điều kiện cần là có nghiệm suy ra hoặc hoặc là phương trình có hai nghiệm và

Trường hợp 1:

Trường hợp 2: phương trình có hai nghiệm và

Ta thay vào phương trình có .

Với có phương trình

Vì cũng là nghiệm của phương trình nên .

Trong trường hợp 1: suy ra tích nhỏ nhất khi

Và với , tích thì bất phương trình đã cho tương đương với thỏa mãn với mọi (nhận)

Trong trường hợp 2: Tích

Vậy tích nhỏ nhất khi .

Các hàm số ; ; đều có một điểm cực trị.

Xét hàm số ta có: nên hàm số không có cực trị.

 Trong 5 loại khối đa diện đều không tồn tại khối chóp có đáy là tứ giác!

Ta có:

Ta có bảng xét dấu như sau:

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng và .

Xét khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng .

Hình hộp đứng có đáy là hình thoi (không phải là hình chữ nhật) có 3 mặt phẳng đối xứng bao gồm:

- Hai mặt phẳng chứa đường chéo của đáy và vuông góc với đáy.

- Một mặt phẳng là mặt phẳng trung trực của cạnh bên.

Ta có:

Ta có bảng biến thiên

Vậy hàm số có hai điểm cực trị.

Gọi số cạnh của 1 đáy hình lăng tụ là cạnh, nên số cạnh đáy của hình lăng trụ (2 mặt đáy ) là cạnh

Số cạnh bên là cạnh.

=> Tổng số cạnh của lăng trụ là cạnh.

Mặt khác, ta lại có Đ + M = C + 2 (Euler)

Nên suy ra: 

Vậy ta tính được số cạnh của hình lăng trụ là (cạnh)

Ta có:

Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của hàm số và đường thẳng

Quan sát đồ thị hàm số ta thấy hai đồ thị hàm số cắt nhau tại 3 điểm nên phương trình có ba nghiệm.

Tập xác định suy ra đồ thị hàm số không có đường tiệm cận ngang và đường tiệm cận xiên

suy ra đồ thị nhận đường thẳng làm tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số có một đường tiệm cận.