Đề thi giữa kì 1 Toán 12 Đề 2

 Xét các đáp án, ta có: 

- A Đúng: Ta chứng minh như sau:

Gọi M₁ là môt mặt khối đa diện, M₁ là đa giác nên có ít nhất 3 cạnh c₁; c₂; c₃.

M₂ chung cạnh c₁ với M₁(M₂≠M₁) , M3 chung cạnh c₂ với M₁(M₃≠M₁)

Vì c₁∈M₃⇒M₂≠M₃. Gọi M₄ là mặt có chung cạnh c₃ với M₁(M₄≠M₁)

Vì M₄ không chứa c₁, c₂ nên M₄ khác M₂ và M_3. Do đó khối đa diện có ít nhất 4 mặt ⇒ mỗi hình đa giác có ít nhất 4 đỉnh.

- B Sai.

- C Sai: Ví dụ như hình chóp tam giác có 4 đỉnh nhưng có 6 cạnh.

- D Sai: Lấy ví dụ là hình chóp tam giác có 4 mặt nhưng có 6 cạnh

Ta có: nên đồ thị hàm số luôn có một đường tiệm cận ngang là .

Vậy để đồ thị hàm số có duy nhất một đường tiệm cận thì đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng, hay phương trình vô nghiệm

 Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành các đỉnh của một hình bát diện đều:

Áp dụng định nghĩa hình đa diện, ta có:

“Hình đa diện (còn gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác, gọi là các mặt của hình đa diện, thỏa mãn các tính chất sau:

TC1: Hai mặt phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.

TC2: Mỗi cạnh thuộc một mặt là cạnh cung của đúng hai mặt.

TC3: Cho hai mặt S và S’, luôn tồn tại một dãy các mặt sao cho trùng với trùng với S’ và bất kì hai mặt nào cũng đều có một cạnh chung.

Các đỉnh, cạnh của mặt theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.”

Hàm số đạt cực trị tại

Xét hàm số

Bảng biến thiên của hàm số suy ra chỉ có phương trình cho ta nghiệm bội lẻ.

Nếu

=> Số điểm cực trị u là 1

=> Số nghiệm bội lẻ của phương trình u = 4 tối đa 2 nghiệm bội lẻ (Không thỏa yêu cầu)

Khi m > 0 => Số điểm cực trị u là 5 ta có bảng biến thiên của hàm số

Áp dụng công thức:

Số điểm cực trị của hàm số f(u) = số nghiệm bội lẻ của phương trình (u = 4) + số điểm cực trị của u

=> . Kết hợp với điều kiện

=> Có 29 giá trị nguyên thỏa mãn yêu cầu.

TXĐ:

.

Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của ta cần tìm để trên và và dấu "= " chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm trên các khoảng đó

ĐK:

Vì nên .

Vì .

Dựa vào bảng biến thiên.

Hàm số có đạo hàm trên và đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua nên hàm số đạt cực tiểu tại .

Ta có:

Hàm số có cực đại tại và cực tiểu tại khi và chỉ khi

Theo bài ra ta có:

Vậy đáp án cần tìm là .

Áp dụng định nghĩa hình đa diện, ta có:

“Hình đa diện (còn gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác, gọi là các mặt của hình đa diện, thỏa mãn các tính chất sau:

TC1: Hai mặt phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.

TC2: Mỗi cạnh thuộc một mặt là cạnh cung của đúng hai mặt.

TC3: Cho hai mặt S và S’, luôn tồn tại một dãy các mặt sao cho trùng với trùng với S’ và bất kì hai mặt nào cũng đều có một cạnh chung.

Các đỉnh, cạnh của mặt theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.”

Ta thấy ngoai trừ "Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất ba mặt" các đáp án còn lại  đều đúng dựa vào khái niệm hình đa diện.

Giả sử hình chóp có đa giác đáy n cạnh

=> Hình chóp có (n+1) đỉnh, (n+1) mặt và 2n cạnh

Theo hệ thức Euler ta có : Số đỉnh + Số mặt = Số cạnh +2

Quan sát hình vẽ và đếm các cạnh xung quanh, chú ý cả những cạnh được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được. 

Dựa vào bảng biến thiên ta có

=> Đồ thị hàm số đường tiệm cận ngang là y = 2

Ta thấy hình vẽ là đồ thị của hàm bậc ba có hệ số nên hàm số cần tìm là .

Điều kiện xác định:

Xét hàm số trên ta có:

Phương trình

Ta lại có:

=>

Ta có:

Khi đó

Ta có:

TH1: .

: hàm số luôn tăng trên (nhận).

: là hàm số bậc hai nên tăng trên khoảng , giảm trên khoảng (loại).

TH2:.

.

.

hàm số đồng biến trên .

Mặt khác ;; .

Vậy có giá trị nguyên của thỏa yêu cầu bài toán.

 Áp dụng định nghĩa khối đa diện, ta có:

“Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi 1 hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.”

Từ đồ thị ta thấy đây là đồ thị hàm số bậc ba có dạng với và đồ thị hàm số đi qua điểm nên hàm số tương ứng với đồ thị trong hình vẽ đã cho là .

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là:

Xét hàm số

Ta có:

Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi

Mà

Vậy tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số thỏa mãn yêu cầu bằng .

Hình vẽ minh họa

Gọi là tâm của đáy, gọi là trung điểm của .

Ta có nên

Suy ra .

Có , .

Thể tích khối chóp là

.

Hàm số xác định

Tập xác định

Ta có: suy ra là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Suy ra là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.

Hàm trùng phương không nghịch biến trên tập xác định của nó

Với

Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định

Với

=> Hàm số nghịch biến trên

Ta có:

Ta có bảng biến thiên như sau:

=> Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 4

=> y(2) = 4

=> m = 4

Xét hàm số ta có:

Suy ra hàm số đồng biến trên .

Xét hình hộp chữ nhật có đáy là hình chữ nhật.

Theo bài ra, ta có

Nhân vế theo vế, ta được

Vậy  .

Ta có:

Để hàm số có ba điểm cực trị thì đồ thị hàm số có đúng một cực trị nằm bên phải trục tung => phương trình (*) có 1 nghiệm dương => phương trình (*) có hai nghiệm dương thỏa mãn

Các mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều là các mặt phẳng chứa một cạnh và qua trung điểm cạnh đối diện.

Vậy hình tứ diện đều có 6 mặt phẳng đối xứng.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đối dấu từ sang  tại .

Nên hàm số đạt cực đại tại điểm .

Gọi là trung điểm của , suy ra .

Do theo giao tuyến nên .

Tam giác là đều cạnh   nên .

Tam giác vuông , có .

Diện tích tam giác vuông .

Vậy .

Xét hàm số g(x) = -x² – 4x + 5 liên tục trên đoạn [-6; 6]

Ta có: g’(x) = -2x – 4

=> g’(x) = 0 => x = -2 thuộc [-6; 6]

Ta lại có g(x) = 0 => x² – 4x + 5 = 0 => x = 1 (tm) hoặc x = -5 (tm)

Ta tính được:

Phương trình hoành độ giao điểm của và là: (đk: )

Để và cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì (*) phải có 2 nghiệm phân biệt khác

Giả sử.

Theo hệ thức viét :

và

Ta có:

(Áp dụng BĐT Côsi)

Suy ra: đạt giá trị nhỏ nhất là khi

Vậy (vì ).

Ta có

Dễ thấy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng

là TCN.

Vậy đồ thị hàm số có đúng hai tiệm cận.

Áp dụng khái niệm đa diện lồi, ta thấy hình hộp, tứ diện, lập phương đều là các đa diện lồi. Xét đáp án còn lại, ta có: 

- Hai tứ diện đều ghép vào nhau có thể không tạo thành một hình đa diện lồi.

- Hai tứ diện (đều là các đa diện lồi) nhưng khi ghép với nhau có thể không tạo thành một hình đa diện lồi.

 Trong không gian chỉ có 5 loại khối đa diện đều như hình vẽ sau:

- Khối lập phương có 6 mặt.

"Mọi khối đa diện đều có số mặt là những số chia hết cho 4" Sai.

- Khối lập phương và khối bát diện đều có cùng số cạnh là 12. Đúng

- Khối tứ diện đều không có tâm đối xứng.

"Khối tứ diện đều và khối bát diện đều có 1 tâm đối xứng": Sai.

- Khối 12 mặt đều có 20 đỉnh. Khối 20 mặt đều có 12 đỉnh.

"Khối mười hai mặt đều và khối hai mươi mặt đều có cùng số đỉnh": Sai

Ta có:

.

 Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của hình bát diện:

Ta có:

Hàm số đạt cực đại tại điểm khi

Vậy đáp án cần tìm là .

Ta có: => Đồ thị hàm số đã cho có TCĐ là x = 0

=> Đồ thị hàm số đã cho có TCĐ là x = 2

Đặt

Vì

Ta có: