Phương trình mũ
Bài học Lí thuyết toán 12: Phương trình mũ giới thiệu cho các em khái niệm về phương trình mũ cơ bản và cách giải phương trình mũ. Bên cạnh đó là các ví dụ bài tập có lời giải chi tiết giúp các em dễ dàng ôn tập củng cố.
1. Định nghĩa
- Phương trình mũ cơ bản có dạng
\({a^x} = b{\text{ }}\left( {a > 0,{\text{ }}a \ne 1} \right)\)
- Để giải phương trình mũ, ta xét hai trường hợp sau:
- Phương trình có một nghiệm duy nhất khi \(b > 0\)
- Phương trình vô nghiệm khi \(b \leq 0\)
Ví dụ: Phương trình \(3^x=9\) có một nghiệm duy nhất là \(x=2\) vì \(9>0\) và \(3^2=9\).
2. Cách giải phương trình mũ đơn giản
2.1. Biến đổi, quy về cùng cơ số
\({a^{f\left( x \right)}} = {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow a = 1\) hoặc \(\left\{ \begin{gathered}
0 < a \ne 1 \hfill \\
f\left( x \right) = g\left( x \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
Ví dụ 1:
Cho phương trình \({3^{{x^2} - 4x + 5}} = 9\). Tính tổng lập phương các nghiệm thực của phương trình ?
Giải:
Ta có:
\({3^{{x^2} - 4x + 5}} = 9 \Leftrightarrow {3^{{x^2} - 4x + 5}} = {3^2}\)
\(\Leftrightarrow {x^2} - 4x + 5 = 2 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 1 \hfill \\
x = 3 \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
Suy ra \({1^3} + {3^3} = 28\)
Vậy tổng lập phương các nghiệm thực của phương trình là \(28\).
Ví dụ 2:
Cho phương trình: \({3^{{x^2} - 3x + 8}} = {9^{2{\text{x}} - 1}}\). Tìm tập nghiệm của phương trình ?
Giải:
Ta có: \({3^{{x^2} - 3x + 8}} = {9^{2{\text{x}} - 1}}\)
\(\Leftrightarrow {3^{{x^2} - 3x + 8}} = {3^{4{\text{x}} - 2}} \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 8 = 4{\text{x}} - 2\)
\(\Leftrightarrow {x^2} - 7x + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 5} \\
{x = 2}
\end{array}} \right.\)
Vậy phương trình có tập nghiệm là \(S = \left\{ {2;5} \right\}\)
2.2. Đặt ẩn phụ
\(f\left[ {{a^{g\left( x \right)}}} \right] = 0 \,\ { }{\text{ }}\left( {0 < a \ne 1} \right){\text{ }} \Leftrightarrow {\text{ }}\left\{ \begin{gathered}
t = {a^{g\left( x \right)}} > 0 \hfill \\
f\left( t \right) = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
Ta thường gặp các dạng:
- \(m.{a^{2f\left( x \right)}} + n.{a^{f\left( x \right)}} + p = 0\)
- \(m.{a^{f\left( x \right)}} + n.{b^{f\left( x \right)}} + p = 0\), trong đó \(a.b=1\). Đặt \(t = {a^{f\left( x \right)}},{\text{ }}t > 0\), suy ra \({b^{f\left( x \right)}} = \frac{1}{t}\).
- \(m.{a^{2f\left( x \right)}} + n.{\left( {a.b} \right)^{f\left( x \right)}} + p.{b^{2f\left( x \right)}} = 0\). Chia hai vế cho \({b^{2f\left( x \right)}}\) và đặt \({\left( {\frac{a}{b}} \right)^{f\left( x \right)}} = t > 0\).
Ví dụ:
Phương trình \({3^{1 - x}} = 2 + {\left( {\frac{1}{9}} \right)^x}\) có bao nhiêu nghiệm âm?
Giải:
Phương trình tương đương với \(\frac{3}{{{3^x}}} = 2 + {\left( {\frac{1}{9}} \right)^x} \Leftrightarrow 3.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} = 2 + {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{2x}}\).
Đặt \(t = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}\), \(t > 0\).
Phương trình trở thành \(3t = 2 + {t^2} \Leftrightarrow {t^2} - 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
t = 1 \hfill \\
t = 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.\).
- Với \(t=1\), ta được \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0\).
- Với \(t=2\), ta được \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} = 2 \Leftrightarrow x = {\log _{\frac{1}{3}}}2 = - {\log _3}2 < 0\).
Vậy phương trình có một nghiệm âm.
2.3. Logarit hóa
- Phương trình \({a^{f\left( x \right)}} = b \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
0 < a \ne 1,{\text{ }}b > 0 \hfill \\
f\left( x \right) = {\log _a}b \hfill \\
\end{gathered} \right.\).
- Phương trình \({a^{f\left( x \right)}} = {b^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow {\log _a}{a^{f\left( x \right)}} = {\log _a}{b^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right).{\log _a}b\)
hoặc \({\log _b}{a^{f\left( x \right)}} = {\log _b}{b^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right).{\log _b}a = g\left( x \right).\)
Ví dụ: Ta có nghiệm của phương trình \(3^x=2\) là \(x = {\log _3}2\)
3. Một số cách giải mở rộng
3.1.Giải bằng phương pháp đồ thị
- Giải phương trình: \(a^x = f(x)\) \(\left( {0 < a \ne 1} \right)\). (*)
- Xem phương trình (*) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị \(y=a^x\) \(\left( {0 < a \ne 1} \right)\) và \(y=f(x)\). Khi đó ta thực hiện hai bước:
- Bước 1: Vẽ đồ thị các hàm số \(y=a^x\) \(\left( {0 < a \ne 1} \right)\) và \(y=f(x)\).
- Bước 2: Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của hai đồ thị.
3.2. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
- Tính chất 1:
Nếu hàm số \(y=f(x)\) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên \((a;b)\) thì số nghiệm của phương trình \(f(x)=k\) trên \((a;b)\) không nhiều hơn một và \(f\left( u \right) = f\left( v \right) \Leftrightarrow u = v\), \(\forall u,v \in \left( {a;b} \right)\) .
- Tính chất 2:
Nếu hàm số \(y=f(x)\) liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) ; hàm số \(y = g(x)\) liên tục và luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) trên D thì số nghiệm trên của phương trình \(f(x)=g(x)\) không nhiều hơn một.
- Tính chất 3:
Nếu hàm số \(y=f(x)\) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên D thì bất phương trình \(f\left( u \right) > f\left( v \right) \Leftrightarrow u > v{\text{ }}\left( {{\text{hoặc }}u < v} \right){\text{, }}\forall u,v \in D\).
3.3. Sử dụng đánh giá
- Giải phương trình \(f(x)=g(x)\).
- Nếu ta đánh giá được \(\left\{ \begin{gathered}
f\left( x \right) \geqslant m \hfill \\
g\left( x \right) \leqslant m \hfill \\
\end{gathered} \right.\) thì \(f\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
f\left( x \right) = m \hfill \\
g\left( x \right) = m \hfill \\
\end{gathered} \right.\) .
