Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Hàm số lũy thừa; hàm số mũ; hàm số Logarit

Mô tả thêm:

Hãy cùng thử sức kiểm tra đánh giá các kiến thức tổng quan với bài kiểm tra phút Chương 2: Hàm số lũy thừa - Hàm số mũ - Hàm số Logarit Toán 12 các em nhé!

  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Bắt đầu làm bài
Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!
Mua ngay Đổi điểm
  • Câu 1: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số

    Tính đạo hàm của hàm số y = {\left( {{x^2} - 3x + 2} ight)^{\sqrt 3 }}

    Ta có:

    \begin{matrix}  y' = \sqrt 3 .{\left( {{x^2} - 3x + 2} ight)^{\sqrt 3  - 1}}.\left( {{x^2} - 3x + 1} ight)\prime \hfill \\   \Rightarrow y' = \sqrt 3 .\left( {2x - 3} ight).{\left( {{x^2} - 3x + 2} ight)^{\sqrt 3  - 1}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 2: Vận dụng cao

    Khẳng định nào sau đây là đúng?

    Cho các số thực a và b thỏa mãn \sqrt[3]{{{a^{14}}}} > \sqrt[3]{{{a^7}}};{\log _b}\left( {2\sqrt {a + 1} } ight) < {\log _b}\left( {\sqrt a  + \sqrt {a + 2} } ight). Khẳng định nào sau đây là đúng?

    Điều kiện để các căn thức có nghĩa là a > 1

    Ta có: \sqrt[3]{{{a^{14}}}} > \sqrt[3]{{{a^7}}} \Leftrightarrow {a^{\frac{{14}}{3}}} > {a^{\frac{7}{4}}} \Rightarrow a > 1\left( * ight)

    Xét hiệu

    \begin{matrix}  {\left( {2\sqrt {a + 1} } ight)^2} - {\left( {\sqrt a  + \sqrt {a + 2} } ight)^2} \hfill \\   = 4a + 4 - \left( {2a + 2 + 2\sqrt {a\left( {a + 2} ight)} } ight) \hfill \\   = 2a + 2 - 2\sqrt {a\left( {a + 2} ight)}  \hfill \\ \end{matrix}

    a > 1 nên 2a + 2 = a + a + 2 \geqslant 2\sqrt {a\left( {a + 2} ight)}

    \begin{matrix}   \Leftrightarrow {\left( {2\sqrt {a + 1} } ight)^2} - {\left( {\sqrt a  + \sqrt {a + 2} } ight)^2} > 0 \hfill \\   \Leftrightarrow {\left( {2\sqrt {a + 1} } ight)^2} > {\left( {\sqrt a  + \sqrt {a + 2} } ight)^2} \hfill \\   \Leftrightarrow 2\sqrt {a + 1}  > \sqrt a  + \sqrt {a + 2}  \hfill \\ \end{matrix}

    Từ đó ta có: {\log _b}\left( {2\sqrt {a + 1} } ight) < {\log _b}\left( {\sqrt a  + \sqrt {a + 2} } ight) \Rightarrow 0 < b < 1\left( {**} ight)

    Từ (*) và (**) suy ra 0 < b < 1 < a

  • Câu 3: Nhận biết

    Tìm n

    Biết rằng \sqrt x .\sqrt[3]{{{x^2}.\sqrt x }} = {x^n} với x > 0. Tìm n?

     Ta có:

    \begin{matrix}  \sqrt x .\sqrt[3]{{{x^2}.\sqrt x }} \hfill \\   = {x^{\frac{1}{2}}}.\sqrt[3]{{{x^2}.{x^{\frac{1}{2}}}}} = {x^{\frac{1}{2}}}.\sqrt[3]{{{x^{\frac{5}{2}}}}} \hfill \\   = {x^{\frac{1}{2}}}.{x^{\frac{5}{6}}} = {x^{\frac{1}{2} + \frac{5}{6}}} = {x^{\frac{4}{3}}} \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy n = \frac{4}{3}

  • Câu 4: Vận dụng

    Khẳng định nào dưới đây đúng?

    Cho a,b,c > 0 và khác 1. Các hàm số y = {\log _a}x;y = {\log _b}x;y = {\log _c}x có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào dưới đây đúng?

    Khẳng định nào dưới đây đúng

     Kẻ đường thẳng y=1 cắt đồ thị các hàm số y = {\log _a}x;y = {\log _b}x;y = {\log _c}x lần lượt tại các điểm có hoành độ a,b,c

    Khẳng định nào dưới đây đúng

    Từ đồ thị ta có: a > c > b

  • Câu 5: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số

    Tính đạo hàm của hàm số y = {\log _9}\left( {{x^2} + 1} ight)

    Ta có:

    y' = \left[ {{{\log }_9}\left( {{x^2} + 1} ight)} ight]' = \frac{{2x}}{{\left( {{x^2} + 1} ight)\ln {3^2}}} = \frac{{2x}}{{\left( {{x^2} + 1} ight).2.\ln 3}} = \frac{x}{{\left( {{x^2} + 1} ight)\ln 3}}

  • Câu 6: Vận dụng cao

    Tìm m để BPT mũ có nghiệm thỏa mãn

    Cho bất phương trình: {9^x} + \left( {m - 1} ight){.3^x} + m > 0\,\,\left( 1 ight). Tìm tất cả các giá trị của tham số để bất phương trình (1) nghiệm đúng \forall x>1.

    Đặt t=3^x.

    Vì  x > 1 \Rightarrow t > 3. Bất phương trình đã cho thành: {t^2} + \left( {m - 1} ight).t + m > 0 nghiệm đúng \forall t \geqslant 3

    \Leftrightarrow \frac{{{t^2} - t}}{{t + 1}} >  - m nghiệm đúng \forall t \geqslant 3.

    Xét hàm số:  g\left( t ight) = t - 2 + \frac{2}{{t + 1}},\forall t > 3,g'\left( t ight) = 1 - \frac{2}{{{{\left( {t + 1} ight)}^2}}} > 0,\forall t > 3.

    Hàm số đồng biến trên \left[ {3; + \infty } ight)g\left( 3 ight) = \frac{3}{2}. Yêu cầu bài toán tương đương - m \leqslant \frac{3}{2} \Leftrightarrow m \geqslant  - \frac{3}{2}.

  • Câu 7: Vận dụng

    Xét tính đúng sai của các khẳng định

    Một sinh viên giỏi X được một công ty trao quỹ học bổng 60 triệu đồng, số tiền đó được công ty gửi vào ngân hàng với lãi suất 0,5\% mỗi tháng, cuối mỗi tháng sinh viên đó được rút đều đặn số tiền 4 triệu đồng.

    a) Quỹ học bổng còn lại sau 1 tháng là: 56,3 triệu đồng. Đúng||Sai

    b) Quỹ học bổng còn lại sau 2 tháng là:53,2 triệu đồng. Sai||Đúng

    c) Quỹ học bổng còn lại sau n tháng là:60.(1,005)^{n + 1} - 4.\frac{1 - 1,005^{n + 1}}{1
- 1,005} (triệu đồng). Sai||Đúng

    d) Tháng cuối cùng sinh viên đó rút được 2,527348056 triệu đồng thì hết quỹ học bổng trên. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Một sinh viên giỏi X được một công ty trao quỹ học bổng 60 triệu đồng, số tiền đó được công ty gửi vào ngân hàng với lãi suất 0,5\% mỗi tháng, cuối mỗi tháng sinh viên đó được rút đều đặn số tiền 4 triệu đồng.

    a) Quỹ học bổng còn lại sau 1 tháng là: 56,3 triệu đồng. Đúng||Sai

    b) Quỹ học bổng còn lại sau 2 tháng là:53,2 triệu đồng. Sai||Đúng

    c) Quỹ học bổng còn lại sau n tháng là:60.(1,005)^{n + 1} - 4.\frac{1 - 1,005^{n + 1}}{1
- 1,005} (triệu đồng). Sai||Đúng

    d) Tháng cuối cùng sinh viên đó rút được 2,527348056 triệu đồng thì hết quỹ học bổng trên. Sai||Đúng

    a) Quỹ học bổng còn lại sau 1 tháng là:

    P_{1} = 60(1 + 0.5\%) - 4 = 60.1,005 - 4
= 56,3 triệu đồng.

    Suy ra mệnh đề đúng.

    b) Quỹ học bổng còn lại sau 2 tháng là:

    P_{2} = P_{1}.1,005 - 4 = (60.1,005 -
4).1,005 - 4

    = 60.(1,005)^{2} - 4.1,005 - 4 =
52,5815 (triệu đồng)

    Suy ra mệnh đề sai.

    c) Quỹ học bổng còn lại sau n tháng là:

    P_{n} = 60.(1,005)^{n} - 4.\left(
1,005^{n - 1} + 1,005^{n - 2} + ... + 1 ight)

    = 60.(1,005)^{n} - 4.\frac{1 - 1,005^{n}}{1 -
1,005} (triệu đồng).

    Suy ra mệnh đề sai.

    d) Quỹ học bổng còn lại sau 16 tháng là:

    P_{16} = 60.(1,005)^{16} - 4.\frac{1 -
1,005^{16}}{1 - 1,005} = - 1,472651944 < 0.

    Quỹ học bổng còn lại sau 15 tháng là.

    P_{15} = 60.(1,005)^{15} - 4.\frac{1 -
1,005^{15}}{1 - 1,005} = 2,514774185 triệu đồng.

    Suy ra tháng cuối cùng sinh viên đó rút được 2,527348056 triệu đồng thì hết quỹ học bổng trên.

    Suy ra mệnh đề sai.

  • Câu 8: Vận dụng cao

    Tính tổng m + n

    Cho a,b,c > 1, biết rằng biểu thức H = {\log _a}\left( {bc} ight) + {\log _b}\left( {ac} ight) + 4{\log _c}\left( {ab} ight) đạt giá trị nhỏ nhất bằng m khi {\log _b}c = n. Tính giá trị của m+n.

    Do a,b,c > 1 nên {\log _a}b;{\log _b}c;{\log _c}a > 0

    Ta có:

    \begin{matrix}  H = {\log _a}\left( {bc} ight) + {\log _b}\left( {ac} ight) + 4{\log _c}\left( {ab} ight) \hfill \\  H = {\log _a}b + {\log _a}c + {\log _b}a + {\log _b}c + 4{\log _c}a + 4{\log _a}b \hfill \\  H = \left( {{{\log }_a}b + {{\log }_b}a} ight) + \left( {{{\log }_a}c + 4{{\log }_c}a} ight) + \left( {{{\log }_b}c + 4{{\log }_a}b} ight) \hfill \\  H = \left( {{{\log }_a}b + \dfrac{1}{{{{\log }_a}b}}} ight) + \left( {\dfrac{1}{{{{\log }_c}a}} + 4{{\log }_c}a} ight) + \left( {\dfrac{1}{{{{\log }_b}c}} + 4{{\log }_a}b} ight) \hfill \\  H \geqslant 2\sqrt {{{\log }_a}b.\dfrac{1}{{{{\log }_a}b}}}  + 2\sqrt {\dfrac{1}{{{{\log }_c}a}}.4{{\log }_c}a}  + 2\sqrt {\dfrac{1}{{{{\log }_b}c}}.4{{\log }_a}b}  = 2 + 4 + 4 = 10 \hfill \\ \end{matrix}

    Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{{\log }_a}b = \dfrac{1}{{{{\log }_a}b}}} \\   {\dfrac{1}{{{{\log }_c}a}} = 4{{\log }_c}a} \\   {\dfrac{1}{{{{\log }_b}c}} = 4{{\log }_a}b} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{{\log }_a}b = 1} \\   {{{\log }_c}a = \dfrac{1}{2}} \\   {{{\log }_b}c = 2} \end{array}} ight.

    Vậy H đạt giá trị nhỏ nhất là 10 khi {\log _b}c = 2 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {m = 10} \\   {n = 2} \end{array}} ight. \Rightarrow m + n = 12

  • Câu 9: Vận dụng

    Bài toán lãi suất

    Bác Thu có 600 triệu đồng mang đi gửi tiết kiện ở hai loại kì hạn khác nhau đều theo thể thức lãi kép. Bác gửi 300 triệu đồng theo kì hạn quý với lãi suất 2,1% một quý, 300 triệu đồng còn lại bác gửi theo kì hạn tháng với lãi suất 0,73%/tháng. Sau khi gửi được đúng một năm, bác rút ra một nửa số tiền ở loại kì hạn quý và gửi vào loại kì hạn theo tháng. Hỏi sau đúng hai năm kể từ khi gửi tiền lần đầu, bác Thu thu về tất cả bao nhiêu tiền lãi (làm tròn đến chữ số hàng nghìn)?

     Số tiền bác Thu thu được ở năm thứ nhất là:

    + Gửi kì hạn theo quý: 300.{\left( {1 + {r_1}} ight)^4} = A (triệu đồng)

    + Gửi kì hạn theo tháng: 300.{\left( {1 + {r_2}} ight)^{12}} = B (triệu đồng)

    Số tiền bác Thu thu được ở sau năm thứ hai là:

    + Gửi kì hạn theo quý: \frac{A}{2}{\left( {1 + {r_1}} ight)^4} (triệu đồng)

    + Gửi kì hạn theo tháng: \left( {\frac{A}{2} + B} ight){\left( {1 + {r_2}} ight)^{12}} (triệu đồng)

    Số tiền lãi bác Thu thu được là

    \frac{A}{2}{\left( {1 + {r_1}} ight)^4} + \left( {\frac{A}{2} + B} ight){\left( {1 + {r_2}} ight)^{12}} - 600 \approx 112,219 (triệu đồng)

  • Câu 10: Thông hiểu

    Tính P = ab + 1

    Cho hai số thực dương a và b thỏa mãn {\log _9}{a^4} + {\log _3}b = 8{\log _3}a + {\log _{\sqrt[3]{3}}}b = 9. Giá trị của biểu thức P = ab + 1 là:

    Theo điều kiện ta có:

     \begin{matrix}  \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{{\log }_9}{a^4} + {{\log }_3}b = 8} \\   {{{\log }_3}a + {{\log }_{\sqrt[3]{3}}}b = 9} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {2{{\log }_9}a + {{\log }_3}b = 8} \\   {{{\log }_3}a + 3{{\log }_3}b = 9} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{{\log }_9}a = 3} \\   {{{\log }_3}b = 2} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {a = 27} \\   {b = 9} \end{array}} ight. \hfill \\   \Rightarrow P = ab + 1 = 244 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 11: Vận dụng

    Chọn mệnh đề đúng

    Cho hình vẽ sau là đồ thị của ba hàm số y = {x^\alpha };y = {x^\beta };y = {x^\gamma } với x > 0\alpha ;\beta ;\gamma là các số thực cho trước, mệnh đề nào sau đây đúng?

    Chọn mệnh đề đúng

    Hàm số {x^\alpha } nghịch biến trên \alpha  < 0

    Các hàm số y = {x^\beta };y = {x^\gamma } đồng biến nên \beta ;\gamma  > 0

    Tại x = 3 thì {3^\beta } > {3^\gamma } \Rightarrow \beta  > \gamma

  • Câu 12: Thông hiểu

    Đạo hàm bậc nhất của hàm lũy thừa

    Cho hàm số f\left( x ight) = {\left( {2x - 3} ight)^{\frac{5}{6}}} . Tính f'\left( 2 ight)

    Tập xác định \left( {\frac{2}{3}; + \infty } ight)

    Ta có: f\left( x ight) = {\left( {2x - 3} ight)^{\frac{5}{6}}} \Rightarrow f'\left( x ight) = \frac{5}{3}.{\left( {2x - 3} ight)^{\frac{{ - 1}}{6}}} \Rightarrow f'\left( 2 ight) = \frac{5}{3}

  • Câu 13: Vận dụng cao

    Tính tổng các nghiệm

    Phương trình {3^{3 + 3x}} + {3^{3 - 3x}} + {3^{4 + x}} + {3^{4 - x}} = {10^3} có tổng các nghiệm là ?

    0 || không || Tổng các nghiệm bằng 0

    Đáp án là:

    Phương trình {3^{3 + 3x}} + {3^{3 - 3x}} + {3^{4 + x}} + {3^{4 - x}} = {10^3} có tổng các nghiệm là ?

    0 || không || Tổng các nghiệm bằng 0

    Ta có: {3^{3 + 3x}} + {3^{3 - 3x}} + {3^{4 + x}} + {3^{4 - x}} = {10^3} (*)

    Khi đó: \left( * ight) \Leftrightarrow {27.3^{3x}} + \frac{{27}}{{{3^{3x}}}} + {81.3^x} + \frac{{81}}{{{3^x}}} = {10^3}

    \Leftrightarrow 27.\left( {{3^{3x}} + \frac{1}{{{3^{3x}}}}} ight) + 81.\left( {{3^x} + \frac{1}{{{3^x}}}} ight) = {10^3}{\text{   }}\left( {**} ight)

    Đặt t = {3^x} + \frac{1}{{{3^x}}}\mathop  \geqslant \limits^{Cauchy} 2\sqrt {{3^x}.\frac{1}{{{3^x}}}}  = 2 (Áp dụng theo BĐT Cauchy cho 2 số không âm).

    \Rightarrow {t^3} = {\left( {{3^x} + \frac{1}{{{3^x}}}} ight)^3} = {3^{3x}} + {3.3^{2x}}.\frac{1}{{{3^x}}} + {3.3^x}.\frac{1}{{{3^{2x}}}} + \frac{1}{{{3^{3x}}}}

    \Leftrightarrow {3^{3x}} + \frac{1}{{{3^{3x}}}} = {t^3} - 3t

    Khi đó: \left( {**} ight) \Leftrightarrow 27\left( {{t^3} - 3t} ight) + 81t = {10^3} \Leftrightarrow {t^3} = \frac{{{{10}^3}}}{{27}} \Leftrightarrow t = \frac{{10}}{3} > 2{\text{  }}

    Với t = \frac{{10}}{3} \Rightarrow {3^x} + \frac{1}{{{3^x}}} = \frac{{10}}{3}{\text{   }}\left( {***} ight)

    Đặt y = {3^x} > 0. Khi đó: \left( {***} ight) \Leftrightarrow y + \frac{1}{y} = \frac{{10}}{3} \Leftrightarrow 3{y^2} - 10y + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}  y = 3{\text{  }} \hfill \\  y = \frac{1}{3}{\text{ }} \hfill \\ \end{gathered}  ight.

    Với y = 3 \Rightarrow {3^x} = 3 \Leftrightarrow \boxed{x = 1}

    Với y = \frac{1}{3} \Rightarrow {3^x} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \boxed{x =  - 1}.

  • Câu 14: Nhận biết

    Tìm tập xác định D của hàm số y = f(x)

    Tìm tập xác định D của hàm số y = {\left( {{x^2} + x - 2} ight)^{ - 3}}

    Điều kiện xác định {x^2} + x - 2 e 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {x e  - 2} \\   {x e 1} \end{array}} ight.

    Vậy tập xác định của hàm số là  D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2;1} ight\}

  • Câu 15: Thông hiểu

    Xét tính đúng sai của các khẳng định

    Cho x,y là các số thực thỏa mãn f(x,y) = \log_{4}(x + y) + \log_{4}(x - y)\geq 1\ \ (*) . Các khẳng định sau đúng hay sai?

    a) Điều kiện xác định của hàm số f(x,y)\left\{ \begin{matrix}
x + y > 0 \\
x - y > 0 \\
\end{matrix} ight. . Đúng||Sai

    b) Với cặp số x,y thỏa mãn điều kiện xác định của hàm số f(x,y) , ta có: f(x,y) = x^{2} - y^{2} . Sai||Đúng

    c) Cặp số \left\{ \begin{matrix}
x = 8 \\
y = 16 \\
\end{matrix} ight. thỏa mãn f(x,y) = \log_{4}(x + y) + \log_{4}(x - y) \geq 1 . Sai||Đúng

    d) Với P = 2x - y thì P_{\min} = 2\sqrt{3} . Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho x,y là các số thực thỏa mãn f(x,y) = \log_{4}(x + y) + \log_{4}(x - y)\geq 1\ \ (*) . Các khẳng định sau đúng hay sai?

    a) Điều kiện xác định của hàm số f(x,y)\left\{ \begin{matrix}
x + y > 0 \\
x - y > 0 \\
\end{matrix} ight. . Đúng||Sai

    b) Với cặp số x,y thỏa mãn điều kiện xác định của hàm số f(x,y) , ta có: f(x,y) = x^{2} - y^{2} . Sai||Đúng

    c) Cặp số \left\{ \begin{matrix}
x = 8 \\
y = 16 \\
\end{matrix} ight. thỏa mãn f(x,y) = \log_{4}(x + y) + \log_{4}(x - y) \geq 1 . Sai||Đúng

    d) Với P = 2x - y thì P_{\min} = 2\sqrt{3} . Đúng||Sai

    a) Điều kiện để bất phương trình có nghĩa là \left\{ \begin{matrix}
x + y > 0 \\
x - y > 0 \\
\end{matrix} ight., suy ra mệnh đề đúng.

    b) Ta có f(x,y) = \log_{4}(x + y) +\log_{4}(x - y) = \log_{4}\left( x^{2} - y^{2} ight), suy ra mệnh đề sai.

    c) Ta thấy x - y = 8 - 16 = - 8 <
0, suy ra mệnh đề sai.

    d) Ta có: \log_{4}(x + y) + \log_{4}(x - y)\geq 1

    \Leftrightarrow x^{2} - y^{2} \geq 4
\Rightarrow x \geq \sqrt{y^{2} + 4}

    Do đó P \geq 2\sqrt{y^{2} + 4} - y =
f(y).

    Khi đó P' = \frac{2y}{\sqrt{y^{2} +
4}} - 1 = 0\overset{y > 0}{ightarrow}y =
\frac{2}{\sqrt{3}}

    Suy ra P_{\min} = 2\sqrt{3}. suy ra mệnh đề đúng.

  • Câu 16: Vận dụng

    Đếm số nghiệm thực

    Phương trình {\left( {\sqrt 3  - \sqrt 2 } ight)^x} + {\left( {\sqrt 3  + \sqrt 2 } ight)^x} = {\left( {\sqrt {10} } ight)^x} có tất cả bao nhiêu nghiệm thực ?

     Ta có: {\left( {\sqrt 3  - \sqrt 2 } ight)^x} + {\left( {\sqrt 3  + \sqrt 2 } ight)^x} = {\left( {\sqrt {10} } ight)^x}\Leftrightarrow {\left( {\frac{{\sqrt 3  - \sqrt 2 }}{{\sqrt {10} }}} ight)^x} + {\left( {\frac{{\sqrt 3  + \sqrt 2 }}{{\sqrt {10} }}} ight)^x} = 1

    Xét hàm số f\left( x ight) = {\left( {\frac{{\sqrt 3  - \sqrt 2 }}{{\sqrt {10} }}} ight)^x} + {\left( {\frac{{\sqrt 3  + \sqrt 2 }}{{\sqrt {10} }}} ight)^x}

    Ta có: f\left( 2 ight) = 1

    Hàm số f (x) nghịch biến trên R do các cơ số \frac{{\sqrt 3  - \sqrt 2 }}{{\sqrt {10} }} < 1;\frac{{\sqrt 3  + \sqrt 2 }}{{\sqrt {10} }} < 1.

    Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x=2.

  • Câu 17: Vận dụng

    Tìm số cực trị của hàm số lũy thừa

    Hàm số y = \sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} - 2x - 3} ight)}^2}}} + 2 có bao nhiêu điểm cực trị?

    Tập xác định D = \mathbb{R}

    Ta có: y' = \frac{2}{3}.\frac{{2x - 2}}{{\sqrt[3]{{{x^2} - 2x - 3}}}};\left( {x e  - 1;x e 3} ight)

    Ta có bảng biến thiên như sau:

    Tìm số cực trị của hàm số lũy thừa

    Vậy hàm số đã cho có ba điểm cực trị

  • Câu 18: Nhận biết

    Mệnh đề nào sau đây là đúng

    Cho biểu thức P = \sqrt {x.\sqrt[3]{{{x^2}.\sqrt {{x^3}} }}} với x > 0. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

     Ta có: 

    \begin{matrix}  P = \sqrt {x.\sqrt[3]{{{x^2}.\sqrt {{x^3}} }}}  \hfill \\  P = \sqrt {x.\sqrt[3]{{{x^{\frac{7}{2}}}}}}  \hfill \\  P = \sqrt {x.{x^{\frac{7}{6}}}}  \hfill \\  P = \sqrt {{x^{\frac{{13}}{6}}}}  = {x^{\frac{{13}}{{12}}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 19: Nhận biết

    Định nghiệm của phương trình

    Nghiệm của phương trình 2^{2x - 1} =
8 là:

    Ta có:

    2^{2x - 1} = 8 \Leftrightarrow 2x - 1 = 3
\Leftrightarrow x = 2.

  • Câu 20: Thông hiểu

    Tìm nghiệm nguyên MIN

    Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình {\log _2}\left( {{{\log }_4}x} ight) > {\log _4}\left( {{{\log }_2}x} ight)là:

    17 || x=17 || x bằng 17 || X=17

    Đáp án là:

    Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình {\log _2}\left( {{{\log }_4}x} ight) > {\log _4}\left( {{{\log }_2}x} ight)là:

    17 || x=17 || x bằng 17 || X=17

     Điều kiện:

    {\log _2}\left( {{{\log }_4}x} ight) > {\log _4}\left( {{{\log }_2}x} ight) \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{{\log }_2}x} ight) > 2

    \Leftrightarrow {\log _2}x > 4 \Leftrightarrow x > 16

    Vậy nghiệm nguyên nhỏ nhất x=17.

  • Câu 21: Thông hiểu

    Biến đổi biểu thức P

    Viết biểu thức P = \sqrt {{x^5}} .\sqrt[3]{{{x^2}}}.\sqrt[5]{{{x^3}}};\left( {x > 0} ight) dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ

    Ta có: P = \sqrt {{x^5}} .\sqrt[3]{{{x^2}}}.\sqrt[5]{{{x^3}}} = {x^{\frac{1}{5}}}.{x^{\frac{2}{3}}}.{x^{\frac{3}{5}}} = {x^{\frac{{113}}{{30}}}}

  • Câu 22: Vận dụng cao

    Tính đạo hàm hàm số

    Cho hàm số f\left( x ight) = \frac{{{x^2}}}{{ - x + 1}}. Tính {f^{\left( {2018} ight)}}\left( x ight)

    Ta có: f\left( x ight) = \frac{{{x^2}}}{{ - x + 1}} =  - x - 1 - \frac{1}{{x - 1}}

    \begin{matrix}  f'\left( x ight) =  - 1 + \dfrac{1}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} \hfill \\  f''\left( x ight) =  - \dfrac{{1.2}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^3}}} \hfill \\  f'''\left( x ight) = \dfrac{{1.2.3}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^4}}} \hfill \\ \end{matrix}

    => {f^{\left( {2018} ight)\left( x ight)}} =  - \frac{{2018!}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^{2019}}}}

  • Câu 23: Thông hiểu

    Đẳng thức nào sau đây đúng với mọi số dương x?

    Đẳng thức nào sau đây đúng với mọi số dương x?

    Ta có: \left( {\log x} ight)' = \frac{1}{{x\ln 10}};\forall x > 0

  • Câu 24: Nhận biết

    Tính giá trị biểu thức

    Tính giá trị của {a^{{{\log }_{\sqrt a }}4}} với  a > 0;a e 1

     Ta có: {a^{{{\log }_{\sqrt a }}4}} = {a^{2{{\log }_a}4}} = {a^{{{\log }_a}16}} = 16

  • Câu 25: Nhận biết

    Tính đạo hàm của hàm số

    Hàm số y = {\log _{2019}}\left| x ight|;\forall x e 0 có đạo hàm là:

    Áp dụng công thức đạo hàm ta có: y' = \frac{1}{{x\ln 2019}}

  • Câu 26: Thông hiểu

    Biến đổi biểu thức

    Viết biểu thức Q = \sqrt x .\sqrt[3]{x}.\sqrt[6]{{{x^5}}} với x > 0 dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ?

    Ta có:

    Q = \sqrt x .\sqrt[3]{x}.\sqrt[6]{{{x^5}}} = {x^{\frac{1}{2}}}.{x^{\frac{1}{3}}}.{x^{\frac{5}{6}}} = {x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{5}{6}}} = {x^{\frac{5}{3}}}

  • Câu 27: Vận dụng

    Tính tích 2 nghiệm

    Gọi x_1, x_2 là 2 nghiệm của phương trình \frac{1}{{4 + {{\log }_2}x}} + \frac{2}{{2 - {{\log }_2}x}} = 1. Khi đó x_1.x_2 bằng:

     Điều kiện: \left\{ \begin{gathered}  x > 0 \hfill \\  x e 4 \hfill \\  x e \frac{1}{{16}} \hfill \\ \end{gathered}  ight..

    Đặt t = {\log _2}x ,điều kiện \left\{ \begin{gathered}  t e  - 4 \hfill \\  t e 2 \hfill \\ \end{gathered}  ight.. Khi đó phương trình trở thành:

    \frac{1}{{4 + t}} + \frac{2}{{2 - t}} = 1 \Leftrightarrow {t^2} + 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}  t =  - 1 \hfill \\  t =  - 2 \hfill \\ \end{gathered}  ight. \Rightarrow \left[ \begin{gathered}  x = \frac{1}{2} \hfill \\  x = \frac{1}{4} \hfill \\ \end{gathered}  ight.

    Vậy {x_1}.{x_2} = \frac{1}{8}.

  • Câu 28: Thông hiểu

    Giải PT

    PT {\log _4}\left( {{{\log }_2}x} ight) + {\log _2}\left( {{{\log }_4}x} ight) = 2 có nghiệm là?

     PT \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}  x > 0 \hfill \\  {\log _2}x > 0 \hfill \\  {\log _4}x > 0 \hfill \\  {\log _{{2^2}}}\left( {{{\log }_2}x} ight) + {\log _2}\left( {{{\log }_{{2^2}}}x} ight) = 2 \hfill \\ \end{gathered}  ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}  x > 1 \hfill \\  \frac{1}{2}{\log _2}\left( {{{\log }_2}x} ight) + {\log _2}\left( {\frac{1}{2}{{\log }_2}x} ight) = 2 \hfill \\ \end{gathered}  ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}  x > 1 \hfill \\  \frac{1}{2}{\log _2}\left( {{{\log }_2}x} ight) + {\log _2}\frac{1}{2} + {\log _2}\left( {{{\log }_2}x} ight) = 2 \hfill \\ \end{gathered}  ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}  x > 1 \hfill \\  \frac{3}{2}{\log _2}\left( {{{\log }_2}x} ight) - 1 = 2 \hfill \\ \end{gathered}  ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}  x > 1 \hfill \\  {\log _2}\left( {{{\log }_2}x} ight) = 2 \hfill \\ \end{gathered}  ight. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}  x > 1 \hfill \\  {\log _2}x = 4 \hfill \\ \end{gathered}  ight.

    \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}  x > 1 \hfill \\  x = 16 \hfill \\ \end{gathered}  ight. \Rightarrow x = 16

    Vậy PT có nghiệm là x=16.

  • Câu 29: Nhận biết

    Tìm x

    Cơ số x bằng bao nhiêu để {\log _x}\sqrt[{10}]{3} =  - 0,1?

    Điều kiện x > 0;x e 1

    Ta có:

    \begin{matrix}  {\log _x}\sqrt[{10}]{3} =  - 0,1 \hfill \\   \Leftrightarrow {x^{ - 0,1}} = {3^{0,1}} \hfill \\   \Leftrightarrow {x^{ - 1}} = 3 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{3}\left( {tm} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 30: Vận dụng

    Giải BPT

    Tập nghiệm của bất phương trình {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{{\log }_2}\left( {2x - 1} ight)} ight) > 0 là:

     Điều kiện: \left\{ \begin{gathered}  2x - 1 > 0 \hfill \\  {\log _2}(2x - 1) > 0 \hfill \\ \end{gathered}  ight. \Leftrightarrow x > 1.

    Ta có: {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{{\log }_2}\left( {2x - 1} ight)} ight) > 0 \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{{\log }_2}\left( {2x - 1} ight)} ight) > {\log _{\frac{1}{2}}}1

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}  {\log _2}(2x - 1) < 1 \hfill \\  {\log _2}(2x - 1) > 0 \hfill \\ \end{gathered}  ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}  0 < 2x - 1 < 2 \hfill \\  2x - 1 > 1 \hfill \\ \end{gathered}  ight. \Leftrightarrow 1 < x < \frac{3}{2} (thỏa mãn điều kiện)

    Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là  S = \left( {1;\frac{3}{2}} ight).

  • Câu 31: Thông hiểu

    Khẳng định nào sau đây đúng?

    Cho các số thực dương a, b với a e 1;{\log _a}b > 0. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Trường hợp 1: 0 < a < 1 \Rightarrow {\log _a}b > 0 = {\log _a}1 \Rightarrow 0 < b < 1

    Trường hợp 2: a > 1 \Rightarrow {\log _a}b > 0 = {\log _a}1 \Rightarrow b > 1

    Vậy \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {0 < a,b < 1} \\   {1 < a;b} \end{array}} ight.

  • Câu 32: Nhận biết

    Tập xác định của hàm số f(x)

    Tập xác định của hàm số f\left( x ight) = {\left( {{x^2} - 1} ight)^{ - 2}} là:

    Hàm số f\left( x ight) = {\left( {{x^2} - 1} ight)^{ - 2}} xác định khi {x^2} - 1 e 0 \Rightarrow x e  \pm 1

    Vậy tập xác định của hàm số là D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { \pm 1} ight\}

  • Câu 33: Thông hiểu

    PT trở thành?

    Nếu đặt t = \lg x thì phương trình \frac{1}{{4 - \lg x}} + \frac{2}{{2 + \lg x}} = 1 trở thành phương trình nào?

     Đặt t = \lg x

    PT \Leftrightarrow \frac{1}{{4 - t}} + \frac{2}{{2 + t}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{2 + t + 2(4 - t)}}{{(4 - t)(2 + t)}} = 1

    \Leftrightarrow 2 + t + 2(4 - t) = (4 - t)(2 + t)

    \Leftrightarrow 10 - t = 8 + 2t - {t^2} \Leftrightarrow {t^2} - 3t + 2 = 0.

  • Câu 34: Thông hiểu

    Tìm tập xác định của hàm số logarit

    Tìm tập xác định của hàm số {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - 3x + 2} ight)

    Điều kiện xác định {x^2} - 3x + 2 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {x < 1} \\   {x > 2} \end{array}} ight.

    => Tập xác định của hàm số là D = \left( { - \infty ;1} ight) \cup \left( {2; + \infty } ight)

  • Câu 35: Thông hiểu

    Khẳng định nào dưới đây đúng?

    Cho đồ thị hàm số y = {x^{ - \sqrt 2 }}. Khẳng định nào dưới đây đúng?

     Theo định nghĩa của hàm số lũy thừa, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 0

    Ta có: \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = 0 suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 0

    Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 0 và tiệm cận đứng là x = 0

  • Câu 36: Thông hiểu

    Nghiệm lớn nhất

    Nghiệm lớn nhất của phương trình - {\log ^3}x + 2{\log ^2}x = 2 - \log x  là:

    100 || 1 trăm || một trăm || Một trăm || x=100

    Đáp án là:

    Nghiệm lớn nhất của phương trình - {\log ^3}x + 2{\log ^2}x = 2 - \log x  là:

    100 || 1 trăm || một trăm || Một trăm || x=100

     Điều kiện: x>0

    - {\log ^3}x + 2{\log ^2}x = 2 - \log x \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}  \log x =  - 1 \hfill \\  \log x = 2 \hfill \\  \log x = 1 \hfill \\ \end{gathered}  ight.\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}  x = \frac{1}{{10}} \hfill \\  x = 100 \hfill \\  x = 10 \hfill \\ \end{gathered}  ight.

    Vậy nghiệm lớn nhất là x =100.

  • Câu 37: Thông hiểu

    Chọn phương án thích hợp

    Chỉ số hay độ pH của một dung dịch được tính theo công thức pH = -
\log\left\lbrack H^{+} ightbrack với \left\lbrack H^{+} ightbrack là nồng độ ion hydrogen. Độ pH của một loại sữa có \left\lbrack H^{+} ightbrack =
10^{- 7,8} là bao nhiêu?

    Độ pH là pH = - log10^{- 6,8} =
6,8.

  • Câu 38: Nhận biết

    Tập xác định của hàm số

    Tập xác định của hàm số y = \log {\left( {x - 2} ight)^2} là:

    Hàm số y = \log {\left( {x - 2} ight)^2} xác định nếu {\left( {x - 2} ight)^2} > 0 \Leftrightarrow x e 2

    Vậy tập xác định D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 ight\}

  • Câu 39: Thông hiểu

    Tìm tập xác định của hàm số y = f(x)

    Tìm tập xác định của hàm số y = {\left( {3x - {x^2}} ight)^{\frac{2}{3}}}

     Vì \frac{2}{3} otin \mathbb{Z} nên hàm số xác định khi 3x - {x^2} > 0 \Leftrightarrow 0 < x < 3

  • Câu 40: Nhận biết

    BPT có nghĩa khi nào?

    Điều kiện xác định của Bất phương trình {\log _2}\left[ {3{{\log }_2}\left( {3x - 1} ight) - 1} ight] \leq x là?

     Biểu thức {\log _2}\left[ {3{{\log }_2}\left( {3x - 1} ight) - 1} ight] \leq x xác định khi và chỉ khi:

     

    \left\{ \begin{gathered}  3{\log _2}\left( {3x - 1} ight) - 1 > 0 \hfill \\  3x - 1 > 0 \hfill \\ \end{gathered}  ight.  \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}  {\log _2}\left( {3x - 1} ight) > \frac{1}{3} \hfill \\  x > \frac{1}{3} \hfill \\ \end{gathered}  ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}  3x - 1 > {2^{\frac{1}{3}}} \hfill \\  x > \frac{1}{3} \hfill \\ \end{gathered}  ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}  x > \frac{{{2^{\frac{1}{3}}} + 1}}{3} \hfill \\  x > \frac{1}{3} \hfill \\ \end{gathered}  ight. \Leftrightarrow x > \frac{{{2^{\frac{1}{3}}} + 1}}{3}

     

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!
Mua ngay Đổi điểm

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Hàm số lũy thừa; hàm số mũ; hàm số Logarit Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • Điểm thưởng: 0
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo