Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 (cũ)
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 1

Mô tả thêm:

Mời các bạn học cùng thử sức với Đề thi giữa HK2 môn Toán lớp 12 nha!
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Bắt đầu làm bài
Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay
  • Câu 1: Thông hiểu

    Tính đường cao

    Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O, bán kính R. Dựng hai đường sinh SA và SB, biết AB chắn trên đường tròn đáy một cung có số đo bằng 60^0, khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (SAB) bằng \frac{R}{2}. Đường cao h của hình nón bằng:

    Theo giả thiết ta có tam giác OAB đều cạnh R.

    Gọi E là trung điểm AB, suy ra OE \bot AB và OE = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}.

    Gọi H là hình chiếu của O trên SE, suy ra OH \bot SE.

    Ta có \left\{ \begin{array}{l}AB \bot OE\\AB \bot SO\end{array} ight. \Rightarrow AB \bot \left( {SOE} ight) \Rightarrow AB \bot OH

    Từ đó suy ra OH \bot \left( {SAB} ight) nên d\left[ {O,\left( {SAB} ight)} ight] = OH = \frac{R}{2}.

    Trong tam giác vuông SOE, ta có  \frac{1}{{S{O^2}}} = \frac{1}{{O{H^2}}} - \frac{1}{{O{E^2}}} = \frac{8}{{3{R^2}}} \Rightarrow SO = \frac{{R\sqrt 6 }}{4}

  • Câu 2: Nhận biết

    Tìm họ nguyên hàm của hàm số

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x +\sin2x là:

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{(2x +\sin2x)dx}

    = 2.\frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2}\cos2x +c = x^{2} - \frac{1}{2}\cos2x + c

  • Câu 3: Thông hiểu

    Tính giá trị biểu thức

    Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng (S) giới hạn bởi các đường y = 4 - x^{2};y = 0 quanh trục Ox có kết quả có dạng \frac{\pi a}{b} với a;b là các số nguyên dương và \frac{a}{b} là phân số tối giản. Khi đó giá trị của a - 30b bằng:

    Phương trình hoành độ giao 4 - x^{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 2 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Thể tích cần tính V = \pi\int_{- 2}^{2}{\left( 4 - x^{2} ight)^{2}dx} = \left. \ \left( \frac{x^{5}}{5} - \frac{8x^{3}}{3} - 16x ight) ight|_{- 2}^{2} = \frac{512\pi}{15}

    Suy ra a = 512;b = 15 \Rightarrow a - 30b = 62.

  • Câu 4: Nhận biết

    Tính cosin của hai vectơ

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{a} = (2;1;0) và \overrightarrow{b} = ( - 1;0; - 2). Tính \cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight)?

    Ta có: \cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|} = \frac{- 2}{\sqrt{5}.\sqrt{5}} = - \frac{2}{5}

  • Câu 5: Thông hiểu

    Tìm m để hai mặt phẳng vuông góc

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):x + 2y - z + 3 = 0 và (Q):x - 4y + (m - 1)z + 1 = 0, với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q).

    Gọi \overrightarrow{n_{(P)}};\overrightarrow{n_{(Q)}} lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{n_{(P)}} = (1;2; - 1) \\ \overrightarrow{n_{(Q)}} = (1; - 4;m - 1) \\ \end{matrix} ight. . Để (P) ⊥ (Q)

    \Leftrightarrow \overrightarrow{n_{(P)}}.\overrightarrow{n_{(Q)}} = 0

    \Leftrightarrow 1 - 8 - (m - 1) = 0 \Leftrightarrow m = - 6

  • Câu 6: Thông hiểu

    Tìm nguyên hàm của hàm số

    Biết \int_{}^{}{f(x)dx} = 3x^{2} - 4x + C. Khi đó \int_{}^{}{f\left( e^{x} ight)}dx tương ứng bằng

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} = 3x^{2} - 4x + C \Rightarrow f(x) = 6x - 4

    \Rightarrow f\left( e^{x} ight) = 6e^{x} - 4

    \Rightarrow \int_{}^{}{f\left( e^{x} ight)}dx = \int_{}^{}{\left( 6e^{x} - 4 ight)dx} = 6e^{x} - 4e^{x} + C

  • Câu 7: Vận dụng

    Tìm nguyên hàm của hàm số

    Tìm R = \int_{}^{}{\frac{1}{x^{2}}\sqrt{\frac{2 - x}{2 + x}}\ dx}?

    Đặt x = 2cos2t với t \in \left( 0;\frac{\pi}{2} \right)

    Ta có : \left\{ \begin{matrix}dx = - 4sin2t.dt \\\sqrt{\dfrac{2 - x}{2 + x}} = \sqrt{\dfrac{2 - 2sin2t}{2 + 2cos2t}} =\sqrt{\dfrac{4sin^{2}t}{4cos^{2}t}} = \dfrac{\sin t}{\cos t} \\\end{matrix} \right.

    \Rightarrow R = - \int_{}^{}{\frac{1}{4cos^{2}2t}.\frac{\sin t}{\cos t}.}4sin2t.dt = - \int_{}^{}{\frac{2sin^{2}t}{cos^{2}2t}dt = - \int_{}^{}{\frac{1 - cos2t}{cos^{2}2t}dt}}

    \Leftrightarrow R = - \int_{}^{}{\frac{1}{cos^{2}2t}dt} + \int_{}^{}{\frac{1}{cos2t}dt} = - \frac{tan2t}{2} + \frac{1}{4}\ln\left| \frac{1 + sin2t}{1 - sin2t} \right| + C

  • Câu 8: Thông hiểu

    Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = cos5x.cosx

    Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \cos 5x.\cos x thỏa mãn F\left( {\frac{\pi }{5}} ight) = 0. Tính F\left( {\frac{\pi }{6}} ight).

     \begin{matrix} \cos 5x + \cos x = \dfrac{1}{2}\left( {\cos 6x + \cos 4x} ight) \hfill \\ \int {\cos 5x.\cos xdx} = \int {\dfrac{1}{2}\left( {\cos 6x + \cos 4x} ight)} dx = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sin 6x}}{6} + \dfrac{1}{2}\dfrac{{\sin 4x}}{4} + C \hfill \\ F\left( {\dfrac{\pi }{3}} ight) = 0 \Rightarrow C = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6} \hfill \\ F\left( {\dfrac{\pi }{6}} ight) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{8} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 9: Nhận biết

    Phương trình tổng quát

    Phương trình tổng quát của mặt phẳng (\alpha) qua điểm B (3, 4, -5) và có cặp vectơ chỉ phương \overrightarrow a = \left( {3,1, - 1} ight),\,\,\,\overrightarrow b = \left( {1, - 2,1} ight)  là:

    Vectơ pháp tuyến của (\alpha) là tích có hướng của 2 vecto chỉ phương \overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a \overrightarrow {,b} } ight] = \left( { - 1, - 4, - 7} ight) có thể thay thế bởi \overrightarrow n = \left( {1,4,7} ight)

    Phương trình  (\alpha) có dạng x + 4y + 7z + D = 0

    B \in \left( \alpha ight) \Leftrightarrow 3 + 16 - 35 + D = 0 \Leftrightarrow D = 16

    Vậy (\alpha): x + 4y +7z +16 = 0

  • Câu 10: Nhận biết

    Tìm mệnh đề sai

    Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai.

    Mệnh đề sai \left( \int_{}^{}{f(x)dx} \right)^{'} = f'(x).

  • Câu 11: Nhận biết

    Tọa độ trọng tâm tam giác

    Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có G là trọng tâm của tam giác, biết A\left( {2,4, - 3} ight);\,\,\overrightarrow {AB} = \left( { - 3, - 1,1} ight);\,\,\overrightarrow {AC} = \left( {2, - 6,6} ight).

    Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC đã cho?

     Ta có A\left( {2,4, - 3} ight);\,\,\overrightarrow {AB} = \left( { - 3, - 1,1} ight);\,\,\overrightarrow {AC} = \left( {2, - 6,6} ight) nên suy ra được tọa độ điểm B và C tương ứng theo hệ sau là:

    \overrightarrow {AB} \left\{ \begin{array}{l}x - {x_A} = - 3\\y - {y_A} = - 1\\z - {z_A} = 1\end{array} ight. \Rightarrow B\left( { - 1;3; - 2} ight);\,\,\,\,\,\,\,\,\,

    \overrightarrow {AC} \left\{ \begin{array}{l}x - {x_A} = 2\\y - {y_A} = - 6\\z - {z_A} = 6\end{array} ight. \Rightarrow C\left( {4; - 2;3} ight)

    Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có tọa độ điểm G là nghiệm của hệ:

    \Rightarrow G\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{3}\left( {2 - 1 + 4} ight) = \dfrac{5}{3}\\y = \frac{1}{3}\left( {4 + 3 - 2} ight) = \dfrac{5}{3}\\z = \frac{1}{3}\left( { - 3 - 2 + 3} ight) = \dfrac{{ - 2}}{3}\end{array} ight.

  • Câu 12: Thông hiểu

    Chọn công thức tính thể tích khối tròn xoay

    Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol (P):y = x^{2} và đường thẳng d:y = x xoay quanh trục Ox tính bởi công thức nào sau đây?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có (P) và d cắt nhau tại hai điểm (0;0),(1;1) và x > x^{2};\forall x \in (0;1)

    Suy ra thể tích khối tròn xoay đã cho T bằng thể tích khối tròn xoay T_{1} trừ đi thể tích khối tròn xoay T_{2}. Trong đó:

    T_{1} được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường d, trục Ox, x = 0, x = 1.

    T_{2} được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường (P), trục Ox, x = 0, x = 1.

    Vậy thể tích khối tròn xoay đã cho bằng \pi\int_{0}^{1}{x^{2}dx} - \pi\int_{0}^{1}{x^{4}dx}.

  • Câu 13: Nhận biết

    Xác định thể tích khối tròn xoay

    Cho hình (H) giới hạn bởi các đường y = - x^{2} + 2x, trục hoành. Quay hình phẳng (H) quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là:

    Phương trình hoành độ giao điểm của (H);Ox là: - x^{2} + 2x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Khi đó V = \pi\int_{0}^{2}{\left( - x^{2} + 2x ight)^{2}dx} = \pi\int_{0}^{2}{\left( x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2} ight)dx} = \frac{16\pi}{15}.

  • Câu 14: Nhận biết

    Xác định nguyên hàm của hàm số

    Nguyên hàm của hàm số f(x) =e^{x} là:

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} =\int_{}^{}{e^{x}dx} = e^{x} + C

  • Câu 15: Nhận biết

    Chọn đáp án đúng

    Một nguyên hàm F(x)của f(x) = 3x^{2} + 1 thỏa F(1) = 0 là:

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} = x^{3} + x + C = F(x)mà F(1) = 0 khi đó:

    1^{3} + 1 + C = 0 \Rightarrow C = - 2

    Vậy đáp án cần tìm là: F(x) = x^{3} + x - 2

  • Câu 16: Nhận biết

    Tìm thể tích khối tròn xoay

    Gọi (D) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y = \frac{x}{4};y = 0;x = 1;x = 4. Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình (D) quanh trục Ox?

    Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình (D) quanh trục Ox là

    V = \pi\int_{1}^{4}{\left( \frac{x}{4} ight)^{2}dx} = \left. \ \frac{\pi x^{3}}{48} ight|_{1}^{4} = \frac{21\pi}{16}.

  • Câu 17: Thông hiểu

    Tính giá trị biểu thức

    Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = e^{x}, thỏa mãn F(0) = 2020. Tính giá trị biểu thức T = F(0) + F(1) + ... + F(2018) + F(2019)?

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{e^{x}dx} = e^{x} + C

    F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = e^{x}, ta có: F(x) = e^{x} + C mà F(0) = 2020

    \Rightarrow C = 2019 \Rightarrow F(x) = e^{x} + 2019

    T = F(0) + F(1) + ... + F(2018) + F(2019)

    T = 1 + e + e^{2} + .... + e^{2018} + e^{2019} + 2019.2020

    T = \frac{e^{2020} - 1}{e - 1} + 2019.2020.

  • Câu 18: Thông hiểu

    Xác định tọa độ vectơ

    Trong không gian Oxyz, véctơ \overrightarrow{u} vuông góc với hai véctơ \overrightarrow{a} = (1 ; 1 ;1) và \overrightarrow{b} = (1\ ; - 1\ ;3); đồng thời \overrightarrow{u} tạo với tia Oz một góc tù và độ dài véctơ \overrightarrow{u} bằng 3. Tìm véctơ \overrightarrow{u}.

    Ta có \overrightarrow{a} và \overrightarrow{b} không cùng phương đồng thời

    \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{\mathbf{u}}\mathbf{\bot}\overrightarrow{\mathbf{a}} \\ \overrightarrow{\mathbf{u}}\mathbf{\bot}\overrightarrow{\mathbf{b}} \\ \end{matrix} ight.\mathbf{\Rightarrow}\overrightarrow{\mathbf{u}}\mathbf{\ }\mathbf{//}\mathbf{\ }\left\lbrack \overrightarrow{\mathbf{a}}\mathbf{\ }\mathbf{,}\mathbf{\ }\overrightarrow{\mathbf{b}} ightbrack\mathbf{=}\left( \mathbf{4}\mathbf{\ }\mathbf{;}\mathbf{\ -}\mathbf{2}\mathbf{\ }\mathbf{;}\mathbf{\ -}\mathbf{2} ight)\mathbf{\Rightarrow}\overrightarrow{\mathbf{u}}\mathbf{=}\left( \mathbf{2}\mathbf{k\ }\mathbf{;}\mathbf{\ - k\ }\mathbf{;}\mathbf{\ - k} ight).

    Do \left| \overrightarrow{u} ight| = 3\Leftrightarrow \sqrt{4k^{2} + k^{2} + k^{2}} = 3\Leftrightarrow k =\pm \frac{\sqrt{6}}{2}.

    Mặt khác \overrightarrow{u} tạo với tia Oz một góc tù nên

    \cos\left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{k} ight) < 0 \Leftrightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{k} < 0\Leftrightarrow 2k.0 + ( - k).1 < 0 \Leftrightarrow ( - k).1 < 0 \Leftrightarrow k > 0.

    Suy ra k = \frac{\sqrt{6}}{2}.

    Vậy \overrightarrow{u} = \left( \sqrt{6}\ ;\ - \frac{\sqrt{6}}{2}\ ;\ \frac{\sqrt{6}}{2} ight).

  • Câu 19: Nhận biết

    Xác định nguyên hàm

    \int_{}^{}{x^{2}dx} bằng

    Ta có \int_{}^{}{x^{2}dx} =\frac{1}{3}x^{3} + C.

  • Câu 20: Thông hiểu

    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số f(x) = cos3x.cosx. Một nguyên hàm của hàm số f(x) bằng 0 khi x = 0 là:

    Ta có:

    F(x) =\int_{}^{}{\cos3x.\cos x.dx}

    = \frac{1}{2}\int_{}^{}{(cos2x + cos4x)dx} = \frac{1}{8}sin4x + \frac{1}{4}sin2x + C

    F(0) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{8}sin0 + \frac{1}{4}sin0 + C = 0

    \Leftrightarrow C = 0

    Vậy F(x) = \frac{cos4x}{8} + \frac{cos2x}{4}

  • Câu 21: Nhận biết

    Tính tích vô hướng hai vectơ

    Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(2;1;4),B( - 2;2;6),C(6;0; - 1). Tích \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} bằng:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = ( - 4;1; - 10) \\ \overrightarrow{AC} = (4; - 1; - 5) \\ \end{matrix} ight.. Khi đó \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 33.

  • Câu 22: Thông hiểu

    Ghi đáp án vào ô trống

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A( - 1;2;4),B(0;1;5). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A sao cho khoảng cách từ B đến (P) là lớn nhất. Khi đó, khoảng cách d từ O đến mặt phẳng (P) bằng bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A( - 1;2;4),B(0;1;5). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A sao cho khoảng cách từ B đến (P) là lớn nhất. Khi đó, khoảng cách d từ O đến mặt phẳng (P) bằng bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 23: Thông hiểu

    Chọn đáp án thích hợp

    Nguyên hàm của hàm số x.lnx là

    Ta có \int_{}^{}{x.lnx}dx.

    Đặt \left\{ \begin{matrix} \ln x = u \Rightarrow \dfrac{1}{x}dx = du \\ dv = xdx \Rightarrow v = \dfrac{x^{2}}{2} \\ \end{matrix} ight.

    Theo phương pháp nguyên hàm từng phần ta có

    \int_{}^{}{x.\ln x}dx = \int_{}^{}{udv = uv - \int_{}^{}{vdu} = \frac{x^{2}}{2}.\ln x - \int_{}^{}{\frac{x^{2}}{2}.\frac{1}{x}dx}}

    = \frac{x^{2}.lnx}{2} - \int_{}^{}{\frac{x}{2}dx = \frac{x^{2}.\ln x}{2} - \frac{x^{2}}{4} + C}.

  • Câu 24: Nhận biết

    Tính giá trị của biểu thức

    Biết hàm số f(x) = (x - 1)^{2} có nguyên hàm là F(x) = \frac{x^{3}}{a} + bx^{2} + cx + C với a,b,c\mathbb{\in Z}. Tính giá trị biểu thức T = a + b + c.

    Ta có:

    f(x) = (x - 1)^{2} = x^{2} - 2x + 1

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} + x + C = F(x)\ \

    Theo bài ra ta có: F(x) = \frac{x^{3}}{a} + bx^{2} + cx + C khi đó:

    \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{a} = \frac{1}{3} \\ b = - 1 \\ c = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 3 \\ b = - 1 \\ c = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow T = 3 - 1 + 1 = 3

    Vậy đáp án cần tìm là: F(x) = \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} + x^{2} - x + \frac{49}{12}

  • Câu 25: Thông hiểu

    Tìm tọa độ vectơ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho \overrightarrow{a} = (2; - 3;3), \overrightarrow{b} = (0;2; - 1), \overrightarrow{c} = (3; - 1;5). Tìm tọa độ của vectơ \overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c}.

    Ta có:

    2\overrightarrow{a} = (4; - 6;6)

    3\overrightarrow{b} = (0;6; - 3)

    - 2\overrightarrow{c} = ( - 6;2; - 10)

    \Rightarrow \overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c} = ( - 2;2; - 7).

  • Câu 26: Nhận biết

    Xác định quãng đường vật chuyển động

    Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = 30 - 2t(m/s). Hỏi trong 5s trước khi dừng hẳn, vật di chuyển động được bao nhiêu mét?

    Khi dừng hẳn v(t) = 30 - 2t = 0 \Rightarrow t = 15(s)

    Khi đó trong 5s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được:

    S = \int_{10}^{15}{v(t)dt} = \int_{10}^{15}{(30 - 2t)dt} = 25m.

  • Câu 27: Vận dụng

    Xác định mệnh đề đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình thang ABCD có hai đáy AB,\ CD; có tọa độ ba đỉnh A(1;2;1),\ B(2;0; - 1),\ C(6;1;0). Biết hình thang có diện tích bằng 6\sqrt{2}. Giả sử đỉnh D(a;b;c), tìm mệnh đề đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có:

    \overrightarrow{AB} = (1; - 2; - 2);\overrightarrow{AC} = (5; - 1; - 1);\overrightarrow{DC} = (6 - a;1 - b; - c).

    Ta có S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2}\left| \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack ight| = \frac{9\sqrt{2}}{2}

    \Rightarrow S_{ACD} = 6\sqrt{2} - \frac{9\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}.

    AB//CD nên \overrightarrow{AB} và \overrightarrow{DC} cùng phương, cùng chiều \Leftrightarrow \frac{6 - a}{1} = \frac{1 - b}{- 2} = \frac{c}{2} > 0

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} c = 12 - 2a \\ b = 13 - 2a \\ a < 6 \\ b > 1 \\ c > 0 \\ \end{matrix} ight.

    \left\lbrack \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} ightbrack = (0;9a - 54;54 - 9a).

    S_{\Delta ACD} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left| \left\lbrack \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} ightbrack ight| = \frac{3\sqrt{2}}{2}

    \Leftrightarrow |54 - 9a| = 3 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = \frac{19}{3} \\ a = \frac{17}{3} \\ \end{matrix} ight.\ .

    So với điều kiện suy ra: a = \frac{17}{3} \Rightarrow a + b + c = 8.

  • Câu 28: Nhận biết

    Tính gia tốc của chuyển động

    Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S = 2t^{3} - t + 1, trong đó t được tính bằng giây và S được tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động khi t = 2s là:

    v = s' = 6{t^2} - 1

    a = v'' = 12t

    Khi t = 2 \Rightarrow a = 24\left( {m/{s^2}} ight)

  • Câu 29: Vận dụng cao

    Tính giá trị của biểu thức M

    Cho a, b là các số hữu tỉ thỏa mãn

    \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {x + 2} + \sqrt {x + 1} }} = a\left( {x + 2} ight)\sqrt {x + 2} + b\left( {x + 1} ight)\sqrt {x + 1} + C}

    Tính giá trị biểu thức M = a + b.

     I = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {x + 2} + \sqrt {x + 1} }} = \int {\frac{{\sqrt {x + 2} - \sqrt {x + 1} }}{{\left( {x + 2} ight) - \left( {x + 1} ight)}}dx} = \int {\left( {\sqrt {x + 2} - \sqrt {x + 1} } ight)dx} }

    => I = \frac{2}{3}.\left( {x + 2} ight)\sqrt {x + 2} - \frac{2}{3}\left( {x + 1} ight)\sqrt {x + 1} + C

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = \dfrac{2}{3}} \\ {b = \dfrac{{ - 2}}{3}} \end{array}} ight. \Rightarrow M = a + b = 0

  • Câu 30: Thông hiểu

    Chọn hàm số thích hợp

    Cho F(x) = \frac{1}{6}.\ln\left| \frac{x -3}{x + 3} \right| + \frac{1}{12}. Hỏi F(x) là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?

    Cách 1: Ta có

    F'(x) = \left( \frac{1}{6}.\ln\left| \frac{x - 3}{x + 3} ight| + \frac{1}{12} ight)'

    = \left( \frac{1}{6}.\ln|x - 3| - \frac{1}{6}.\ln|x + 3| + \frac{1}{12} ight)'

    = \left( \frac{1}{6}.\ln|x - 3| - \frac{1}{6}.\ln|x + 3| + \frac{1}{12} ight)'

    = \frac{1}{6}.\frac{1}{x - 3} - \frac{1}{6}.\frac{1}{x + 3} = \frac{1}{6}.\frac{6}{x^{2} - 3^{2}} = \frac{1}{x^{2} - 9}

    Cách 2: Thực chất đây là công thức nguyên hàm mà tôi đã giới thiệu ở bảng nguyên hàm phía trên (dòng số 6 trong bảng).

    Áp dụng công thức trên ta có ngay f(x) = \frac{1}{x^{2} - 9}.

  • Câu 31: Nhận biết

    Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P):2x - y + 3 = 0. Một véc tơ pháp tuyến của (P) có tọa độ là?

    Mặt phẳng (P) có VTPT là: \overrightarrow{n} = (2; - 1;0)

  • Câu 32: Vận dụng cao

    Chọn phương án đúng

    Tích phân I = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\cos x - \sin x}{\left( e^{x}\cos x + 1 \right)\cos x}dx} có giá trị là:

    Xét tích phân I = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}}{\frac{\cos x - \sin x}{\left( e^{x}\cos x + 1 ight)\cos x}dx} 

    Ta biến đổi:I = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{e^{x}.\left( \cos x - \sin x ight)}{\left( e^{x}\cos x + 1 ight)e^{x}\cos x}dx}.

    Đặtt = e^{x}\cos x \Rightarrow dt = e^{x}\left( \cos x - \sin x ight)dx.

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = \dfrac{\pi}{3} \Rightarrow t = \dfrac{1}{2}e^{\dfrac{\pi}{3}} \\ x = \dfrac{2\pi}{3} \Rightarrow t = - \dfrac{1}{2}e^{\dfrac{2\pi}{3}} \\ \end{matrix} ight..

    I =\int_{\frac{1}{2}e^{\frac{\pi}{3}}}^{- \frac{1}{2}e^{\frac{2\pi}{3}}}{\frac{1}{t(t + 1)}dt} = \left. \ \left( \ln\left| \frac{t}{t + 1} ight| ight) ight|_{\frac{1}{2}e^{\frac{\pi}{3}}}^{- \frac{1}{2}e^{\frac{2\pi}{3}}}

    = \ln\left| \frac{e^{\frac{2\pi}{3}}}{e^{\frac{2\pi}{3}} - 2} ight| - \ln\left| \frac{e^{\frac{\pi}{3}}}{e^{\frac{\pi}{3}} + 2} ight| = \ln\left| \frac{e^{\frac{\pi}{3}}\left( e^{\frac{\pi}{3}} + 2 ight)}{e^{\frac{2\pi}{3}} - 2} ight|

  • Câu 33: Thông hiểu

    Xác định hàm số f(x)

    Biết rằng f'(x) = x\sqrt{1 + x^{2}} và 3f(0) = 4. Tìm hàm số f(x)?

    Ta có: f(x) = \int_{}^{}{f'(x)dx} = \int_{}^{}{x\sqrt{1 + x^{2}}dx}

    = \frac{1}{2}\int_{}^{}{\left( 1 + x^{2} ight)^{\frac{1}{2}}d\left( 1 + x^{2} ight)} = \frac{\left( \sqrt{1 + x^{2}} ight)^{3}}{3} + C

    Mà 3f(0) = 4 \Leftrightarrow 3\frac{\left( \sqrt{1 + 0^{2}} ight)^{3}}{3} + 3C = 4 \Leftrightarrow C = 1

    Vậy f(x) = \frac{\left( \sqrt{1 + x^{2}} ight)^{3}}{3} + 1

  • Câu 34: Nhận biết

    Xác định nguyên hàm của hàm số

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 7^{x}.

    Ta có \int_{}^{}{7^{x}dx = \int_{}^{}{7^{x}.\frac{d\left( 7^{x} ight)}{7^{x}.\ln7} = \int_{}^{}{\frac{d\left( 7^{x} ight)}{\ln7} = \frac{7^{x}}{\ln7} + C}}}.

  • Câu 35: Vận dụng

    Tỉ số giữa thể tích

    Một hình nón có đường cao bằng 9 cm nội tiếp trong một hình cầu bán kính bằng 5 cm. Tỉ số giữa thể tích khối nón và khối cầu là:

    Tỉ số giữa thể tích

    Hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có SH = 9cm, OS=OA=5cm

    Suy ra OH = 4{m{cm}} và AH = \sqrt {O{A^2} - O{H^2}} = 3{m{cm}}{m{.}}

    Thể tích khối nón {V_n} = \frac{1}{3}\pi A{H^2}.SH = 27\pi(đvtt).

    Thể tích khối cầu {V_c} = \frac{4}{3}\pi .S{O^3} = \frac{{500\pi }}{3}  (đvtt).

    Suy ra \frac{{{V_n}}}{{{V_c}}} = \frac{{81}}{{500}}

  • Câu 36: Vận dụng cao

    Tìm tọa độ M

    Trong không gian Oxyz, cho điểm P(1;1;2). Mặt phẳng (\alpha) đi qua P cắt các trục Ox,Oy, Oz lần lượt tại A,B,C khác gốc tọa độ sao cho T = \frac{R_{1}^{2}}{S_{1}^{2}} + \frac{R_{2}^{2}}{S_{2}^{2}} + \frac{R_{3}^{2}}{S_{3}^{2}} đạt giá trị nhỏ nhất, trong đó S_{1},S_{2},S_{3} lần lượt là diện tích các tam giác OAB,OBC,OCA và R_{1},R_{2},R_{3} lần lượt là diện tích các tam giác PAB,PBC,PCA. Điểm M nào dưới đây thuộc (\alpha) ?

    Ta có \overrightarrow{OP} = (1;1;2) \Rightarrow OP = \sqrt{6}. Lại có d(P,(Oxy)) = 2, d(P,(Oxz)) = 1 và d(P,(Oyz)) = 1.

    Đặt d = d(O,(ABC)), ta có

    V_{P.OAB} = V_{O.PAB}

    \Leftrightarrow d(P,(Oxy)) \cdot S_{\bigtriangleup OAB} = d(O,(ABC)) \cdot S_{\bigtriangleup PAB}

    \Leftrightarrow 2S_{1} = dR_{1}

    \Leftrightarrow \frac{R_{1}}{S_{1}} = \frac{2}{d}

    Tương tự, ta có \frac{R_{2}}{S_{2}} = \frac{1}{d} và \frac{R_{3}}{S_{3}} = \frac{1}{d}.

    Khi đó T = \frac{R_{1}^{2}}{S_{1}^{2}} + \frac{R_{2}^{2}}{S_{2}^{2}} + \frac{R_{3}^{2}}{S_{3}^{2}} = \frac{6}{d^{2}} \geq \frac{6}{OP^{2}} = 1.

    Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi d = OP hay OP\bot(ABC).

    Từ đó suy ra (\alpha) nhận \overrightarrow{OP} = (1;1;2) làm vectơ pháp tuyến.

    Do đó (\alpha) có phương trình 1(x - 1) + 1(y - 1) + 2(z - 2) = 0 \Leftrightarrow x + y + 2z - 6 = 0.

    Vậy M(4;0;1) là điểm thuộc (\alpha).

  • Câu 37: Nhận biết

    Tìm câu sai

    Cho f(x),g(x) là các hàm số liên tục trên \mathbb{R} . Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau?

    Đáp án sai là: \int_{}^{}{\left\lbrack f(x).g(x) ightbrack dx = \int_{}^{}{f(x)dx.}\int_{}^{}{g(x)dx}}.

  • Câu 38: Nhận biết

    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian Oxyz cho A(2;0;0),B(0; - 2;0),C(0;0; - 1). Viết phương trình mặt phẳng (ABC)?

    Phương trình mặt phẳng (ABC) là \frac{x}{2} + \frac{y}{- 2} + \frac{z}{- 1} = 1

  • Câu 39: Nhận biết

    Tính giá trị của biểu thức

    Biết hàm số f(x) = (x - 3)^{4} có nguyên hàm là F(x) = \frac{(x - 3)^{a}}{b} + C với a,b\mathbb{\in Z}. Tính giá trị biểu thức T = a^{2} + b^{2}.

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} = \frac{(x - 3)^{5}}{5} + C = F(x)\ \

    Mà F(x) = \frac{(x - 3)^{a}}{b} + C \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 5 \\ b = 5 \\ \end{matrix} \right.

    \Rightarrow T = 5^{2} + 5^{2} = 50

  • Câu 40: Thông hiểu

    Tính tang của góc

    Cho hình nón có đỉnh S, đường cao SO = h, đường sinh SA. Nội tiếp hình nón là một hình chóp đỉnh S, đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Nửa góc ở đỉnh của hình nón có tan bằng:

     Tính tang của góc

    Nửa góc ở đỉnh của hình nón là góc \widehat {ASO} .

    Hình vuông ABCD cạnh a nên suy ra: OA = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}

    Trong tam giác vuông SOA, ta có \tan \widehat {ASO} = \frac{{OA}}{{SO}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{2h}}.

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay
Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 1 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • Điểm thưởng: 0
Xem đáp án Làm lại
1
27 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 1
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Tìm bài trong mục này
🖼️

Toán 12 (cũ)
Xem thêm