Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Khóa học Lớp 12 Toán 12 (cũ)
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 1

Mô tả thêm:

Mời các bạn học cùng thử sức với Đề thi giữa HK2 môn Toán lớp 12 nha!
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Bắt đầu làm bài Rủ bạn học
Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!
Mua ngay Đổi điểm
  • Câu 1: Nhận biết

    Chọn đáp án đúng

    Hàm số F(x) = 5x^{3} + 4x^{2} - 7x + 120 + C là họ nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

    Ta có: \left( 5x^{3} + 4x^{2} - 7x + 120 \right)' = 15x^{2} + 8x - 7 nên hàm số F(x) = 5x^{3} + 4x^{2} - 7x + 120 + C là họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 15x^{2} + 8x - 7.

  • Câu 2: Nhận biết

    Công thức thể tích khối tròn xoay

    Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f\left( x ight), trục Ox và hai đường thẳng x = a;x = b,\left( {a < b} ight) xung quanh trục Ox.

    Thể tích của khối tròn xoay cần tính là: V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x ight)dx}

  • Câu 3: Vận dụng

    Độ dài đường sinh

    Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO. Gọi A, B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng a và \widehat {SAO} = {30^0},\widehat {SAB} = {60^0}. Độ dài đường sinh \ell của hình nón bằng:

     Độ dài đường sinh

    Gọi I là trung điểm AB, suy ra OI \bot AB,{m{ }}SI \bot AB và OI = a.

    Trong tam giác vuông SOA, ta có OA = SA.\cos \widehat {SAO} = \frac{{SA\sqrt 3 }}{2}

    Trong tam giác vuông SIA, ta có IA = SA.\cos \widehat {SAB} = \frac{{SA}}{2}

    Trong tam giác vuông OIA, ta có:

    O{A^2} = O{I^2} + I{A^2} \Leftrightarrow \frac{3}{4}S{A^2} = {a^2} + \frac{1}{4}S{A^2} \Rightarrow SA = a\sqrt 2 .

  • Câu 4: Thông hiểu

    Tính khoảng cách

    Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng R\sqrt 3. Hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng 30^0. Khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ bằng:

    Tính khoảng cách

    Từ hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có OA = O'B = R.

    Gọi AA’ là đường sinh của hình trụ thì O'A' = R,{m{ }}AA' = R\sqrt 3 và \widehat {BAA'} = {30^0}.

    Vì OO'\parallel \left( {ABA'} ight) nên d\left[ {OO',\left( {AB} ight)} ight] = d\left[ {OO',\left( {ABA'} ight)} ight] = d\left[ {O',\left( {ABA'} ight)} ight].

    Gọi H là trung điểm A’B, suy ra \left. \begin{array}{l}O'H \bot A'B\\O'H \bot AA'\end{array} ight\} \Rightarrow O'H \bot \left( {ABA'} ight)

    nên O'H = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}h.

    Tam giác ABA’ vuông tại A’ nên BA' = AA'\tan {30^0} = R

    Suy ra tam giác A’BO đều có cạnh bằng R nên O'H = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}.h

  • Câu 5: Thông hiểu

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{e^{x} + x.e^{x}.\ln x}{x} ?

    Ta có f(x) = \frac{e^{x} + x.e^{x}.\ln x}{x} = \frac{\left( 1 + x\ln x ight)e^{x}}{x}

    = \left( \frac{1}{x} + \ln x ight)e^{x} = \left\lbrack \left( \ln x ight)' + \ln x ightbrack e^{x}

    \Rightarrow F(x) = e^{x}.\ln x + C là nguyên hàm của hàm số đã cho.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Tính giá trị biểu thức

    Cho \int_{}^{}{\frac{1}{x^{2} - 1}dx} = a\ln|x - 1| + b\ln|x + 1| + C với a;b là các số hữu tỉ. Khi đó a - b bằng:

    Ta có: \frac{1}{x^{2} - 1} = \frac{1}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}

    \Rightarrow \int_{}^{}{\frac{1}{x^{2} - 1}dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} ight)dx} = \frac{1}{2}\ln|x - 1| - \frac{1}{2}\ln|x + 1| + C

    Suy ra a = \frac{1}{2};b = - \frac{1}{2} \Rightarrow a - b = 1.

  • Câu 7: Vận dụng cao

    Tính số tiền cần xây cầu

    Trong chương trình nông thôn mới của tỉnh Phú Yên, tại xã Hòa Mỹ Tây có xây một cây cầu bằng bê tông như hình vẽ (đường cong trong hình vẽ là các đường Parabol). Biết 1\ m^{3} khối bê tông để đổ cây cầu có giá 5 triệu đồng. Tính số tiền mà tỉnh Phú Yên cần bỏ ra để xây cây cầu trên.

    Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ.

    .

    Gọi \left( P_{1} \right):y = a_{1}x^{2} + b_{1} là Parabol đi qua hai điểm A\left( \frac{19}{2};0 \right),B(0;2)

    Nên ta có hệ phương trình sau: \left\{ \begin{matrix} 0 = a.\left( \frac{19}{2} \right)^{2} + 2 \\ 2 = b \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a_{1} = - \frac{8}{361} \\ b_{1} = 2 \\ \end{matrix} \right.

    \Rightarrow \left( P_{1} \right):y = - \frac{8}{361}x^{2} + 2.

    Gọi \left( P_{2} \right):y = a_{2}x^{2} + b_{2} là Parabol đi qua hai điểm C(10;0),D\left( 0;\frac{5}{2} \right)

    Nên ta có hệ phương trình sau: \left\{ \begin{matrix} 0 = a_{2}.(10)^{2} + \frac{5}{2} \\ \frac{5}{2} = b_{2} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a_{2} = - \frac{1}{40} \\ b_{2} = \frac{5}{2} \\ \end{matrix} \right.

    \Rightarrow \left( P_{2} \right):y = - \frac{1}{40}x^{2} + \frac{5}{2}.

    Ta có thể tích của bê tông là:

    V = 5.2\left\lbrack \int_{0}^{10}\left( - \frac{1}{40}x^{2} + \frac{5}{2} \right)dx - \int_{0}^{\frac{19}{2}}\left( - \frac{8}{361}x^{2} + 2 \right)dx \right\rbrack = 40\ m^{3}.

    Số tiền mà tỉnh Phú Yên cần bỏ ra để xây cây cầu là: 5.40 = 200 triệu đồng

  • Câu 8: Thông hiểu

    Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số

    Một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 2x+ \frac{1}{\sin^2x} thỏa mãn F(\frac{\pi}{4}) = - 1 là:

    Ta có:

    F(x) = \int_{}^{}{\left( 2x +\frac{1}{sin^{2}x} \right)dx = x^2- \cot x} + C

    F\left( \frac{\pi}{4} \right) = - 1 \Leftrightarrow \left( \frac{\pi}{4} \right)^{2} - \cot\frac{\pi}{4} + C = - 1

    \Leftrightarrow C = \frac{\pi^{2}}{16}

    Vậy F(x) = - cotx + x^{2} - \frac{\pi^{2}}{16}

  • Câu 9: Nhận biết

    Tính giá trị biểu thức

    Trên hệ trục tọa độ Oxyz, cho \overrightarrow{a} = (3; - 1;2), \overrightarrow{b} = ( - 2;1;3), tích \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} bằng

    Ta có \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 3.( - 2) + ( - 1).1 + 2.3 = - 6 - 1 + 6 = - 1

  • Câu 10: Nhận biết

    Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x^2 + 1

    Tìm họ nguyên hàm của hàm số  f\left( x ight) = 3{x^2} + 1

     Ta có:

    \int {\left( {3{x^2} + 1} ight)dx} = \int {3{x^2}dx} + \int {1.dx} = {x^3} + x + C

  • Câu 11: Thông hiểu

    Chọn phương án đúng

    Nguyên hàm của hàm số f(x) = e^{x}\left( 2 + \frac{e^{-x}}{\cos^{2}x} \right) là:

    Ta có:

    F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx = \int_{}^{}{e^{x}\left( 2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2}x} ight)dx}}

    = 2\int_{}^{}{e^{x}dx + \int_{}^{}{\frac{dx}{\cos^{2}x} = 2e^{x} + \tan x + C}}

  • Câu 12: Nhận biết

    Chọn đáp án đúng

    Tìm họ các nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x + 1?

    Ta có:

    \int_{}^{}{(3x + 1)dx} = \frac{1}{3}\int_{}^{}{(3x + 1)d(3x + 1)}

    = \frac{1}{3}.\frac{(3x + 1)^{2}}{2} + C = \frac{1}{6}(3x + 1)^{2} + C

  • Câu 13: Thông hiểu

    Chọn đáp án chính xác

    Biết rằng \int_{}^{}{\frac{2x - 13}{(x + 1)(x - 2)}dx} = a\ln|x + 1| + b\ln|x - 2| + C. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có: \frac{2x - 13}{(x + 1)(x - 2)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 2}

    = \frac{A(x - 2) + B(x + 1)}{(x + 1)(x - 2)} = \frac{(A + B)x + ( - 2A + B)}{(x + 1)(x - 2)}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} A + B = 2 \\ - 2A + B = - 13 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} A = 5 \\ B = - 3 \\ \end{matrix} ight.

    Khi đó \int_{}^{}{\frac{2x - 13}{(x + 1)(x - 2)}dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{5}{x + 1} - \frac{3}{x - 2} ight)dx}

    = 5\ln|x + 1| - 3\ln|x - 2| +C

    Suy ra a = 5;b = - 3 suy ra a - b = 8.

  • Câu 14: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm của hàm số

    Tìm nguyên hàm của hàm của hàm số f\left( x ight) = \frac{1}{{5x - 2}}

     \int {\left[ {\frac{1}{{5x - 2}}} ight]dx} = \frac{1}{5}\int {\frac{{d\left( {5x - 2} ight)}}{{5x - 2}}} = \frac{1}{5}\ln \left| {5x - 2} ight| + C

  • Câu 15: Nhận biết

    Xác định nguyên hàm của hàm số

    Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 2 - x^{2} biết F(2) = \frac{7}{3}

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} = 2x - \frac{x^{3}}{3} + C = F(x)

    Mặt khác F(2) = \frac{7}{3}

    \Leftrightarrow 2.2 - \frac{2^{3}}{3} + C = \frac{7}{3}

    \Leftrightarrow C = 1

    Vậy đáp án cần tìm là: F(x) = 2x - \frac{x^{3}}{3} + 1

  • Câu 16: Thông hiểu

    Chọn phương án thíchhợp

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2 ; - 2 ; 1), B(0; 1 ;2). Tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho ba điểm A, B, M thẳng hàng là

    Ta có: M \in (Oxy) \Rightarrow M(x\ ;\ y\ ;\ 0); \overrightarrow{AB} = ( - 2\ ;\ 3\ ;\ 1);\overrightarrow{AM} = (x - 2\ ;\ y + 2\ ;\ - 1).

    Để A, B, M thẳng hàng thì \overrightarrow{AB} và \overrightarrow{AM} cùng phương , khi đó :

    \frac{x - 2}{- 2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{- 1}{1} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 4 \\ y = - 5 \\ \end{matrix} ight. .

    Vậy M(4\ ;\ - 5\ ;\ 0).

  • Câu 17: Thông hiểu

    Viết PT mp đi qua 2 điểm

    Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua hai điểm E\left( {\,3,\,\, - 2,\,\,4\,} ight);\,\,\,F\left( {\,1,\,\,\,3,\,\,6\,} ight) và song song với trục y'Oy

     Vì  \left( P ight)//y'Oy \Rightarrow Vecto chỉ phương của (P)  là: \overrightarrow {{e_2}} = \left( {0,1,0} ight)

    Theo đề bài, ta có vecto chỉ phương thứ hai của (P) là: \overrightarrow {EF} = \left( { - 2,5,2} ight)
    Từ 2 VTCP, ta suy ra được VTPT của (P) là tích có hướng của 2 VTCT

    \Rightarrow \overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{e_2}} ,\overrightarrow {EF} } ight] = 2\left( {1,0,1} ight)

    Mp (P) đi qua E (3,-2,4) và nhận vecto \vec{n_p}(1, 0, 1) làm 1 VTPT có phương trình là:

    \Rightarrow \left( P ight):\left( {x - 3} ight).1 + \left( {y + 2} ight).0 + \left( {z - 4} ight).1

    \Leftrightarrow x + z - 7 = 0

  • Câu 18: Thông hiểu

    Xác định phương trình mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2; - 1; - 3) và mặt phẳng (P):3x - 2y + 4z - 5 = 0. Mặt phẳng (Q) đi qua A và song song với mặt phẳng (P) có phương trình là:

    Do mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) nên có vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (3; - 2;4)

    Phương trình mặt phẳng (Q) là:

    3(x - 2) - 2(y - 1) + 4(z - 3) = 0

    \Leftrightarrow 3x - 2y + 4z + 4 = 0

  • Câu 19: Nhận biết

    Chọn kết luận đúng

    Ba mặt phẳng x + 2y - z - 6 = 0,2x - y + 3z + 13 = 0,3x - 2y + 3z + 16 = 0 cắt nhau tại điểm A. Chọn kết luận đúng?

    Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình

    \left\{ \begin{matrix} x + 2y - z - 6 = 0 \\ 2x - y + 3z + 13 = 0 \\ 3x - 2y + 3z + 16 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 1 \\ y = 2 \\ z = - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A( - 1;2; - 3)

  • Câu 20: Thông hiểu

    Xác định một nguyên hàm của hàm số

    Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = x\sin x, biết rằng F\left( \frac{\pi}{2} ight) = 2019?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} u = x \\ dv = \sin xdx \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} du = dx \\ v = - \cos x \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \int_{}^{}{x\sin xdx} = - x\cos x - \int_{}^{}{\left( - \cos x ight)dx} + C = - x\cos x + \sin x + C

    F\left( \frac{\pi}{2} ight) = - \frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2} + \sin\frac{\pi}{2} + C = 2019 \Rightarrow C = 2018

    Vậy F(x) = - x\cos x + \sin x + 2018.

  • Câu 21: Vận dụng

    Ghi đáp án đúng vào ô trống

    Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, (đơn vị đo là kilômét), rađa phát hiện một máy bay chiến đấu của Nga di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm M(500;200;8)đến điểm N(800;300;10) trong 20 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là \left( a;b;\frac{c}{d} ight), trong đó a,b,c,d \in \mathbb{N}^{*},\ \ \frac{c}{d} là phân số tối giản. Khi đó, hãy tính a + b + c + d?

    Đáp án: 1223

    Đáp án là:

    Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, (đơn vị đo là kilômét), rađa phát hiện một máy bay chiến đấu của Nga di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm M(500;200;8)đến điểm N(800;300;10) trong 20 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là \left( a;b;\frac{c}{d} ight), trong đó a,b,c,d \in \mathbb{N}^{*},\ \ \frac{c}{d} là phân số tối giản. Khi đó, hãy tính a + b + c + d?

    Đáp án: 1223

    Gọi Q(x;y;z) là tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo.

    \overrightarrow{MN} = (300;100;2)

    \overrightarrow{NQ} = (x - 800;y - 300;z - 10)

    Do máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và thời gian bay từ M ightarrow N gấp 4 lần thời gian bay từ N ightarrow Q nên MN = 4NQ

    Mặt khác, máy bay giữ nguyên hướng bay nên \overrightarrow{MN} và \overrightarrow{NQ} cùng hướng.

    Suy ra \overrightarrow{MN} = 4\overrightarrow{NQ} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 300 = 4(x - 800) \\ 100 = 4(y - 300) \\ 2 = 4(z - 10) \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 875 \\ y = 325 \\ z = 10,5 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow Q\left( 875;325;\frac{21}{2} ight)

    Tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là \left( 875;325;\frac{21}{2} ight) \Rightarrow a = 875,\ \ b = 325,\ \ c = 21,\ \ d = 2.

    Do đó, a + b + c + d = 1223.

  • Câu 22: Vận dụng

    Tìm tập nghiệm của phương trình

    Cho F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{1}{e^{x} + 3} thỏa mãn F(0) = - \frac{1}{3}ln4. Tổng các nghiệm của phương trình 3F(x) + \ln\left( e^{x} + 3 ight) = 2 là:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{f(x)}dx = \int_{}^{}{\left( \frac{1}{e^{x} + 3} ight)dx} = \int_{}^{}{\frac{e^{x}}{e^{x}\left( e^{x} + 3 ight)}dx}

    Đặt t = e^{x} \Rightarrow dt = e^{x}dx

    \Rightarrow \int_{}^{}{\frac{e^{x}}{e^{x}\left( e^{x} + 3 ight)}dx} = \int_{}^{}{\frac{t}{t(t + 3)}dt}

    = \int_{}^{}{\left\lbrack \frac{1}{3t} - \frac{1}{3(t + 3)} ightbrack dt} = \frac{\ln|t|}{3} - \frac{\ln|t + 3|}{3} + C

    = \frac{\ln e^{x}}{3} - \frac{\ln\left( e^{x} + 3 ight)}{3} + C = \frac{x}{3} - \frac{\ln\left( e^{x} + 3 ight)}{3} + C

    Theo bài ra ta có:

    F(0) = - \frac{1}{3}\ln4

    \Leftrightarrow \frac{x}{3} -\frac{\ln\left( e^{x} + 3 ight)}{3} + C = -\frac{1}{3}\ln4

    \Leftrightarrow C = 0

    Ta có:

    3F(x) + \ln\left( e^{x} + 3 ight) = 2

    \Leftrightarrow 3\left( \frac{x}{3} - \frac{\ln\left( e^{x} + 3 ight)}{3} ight) + \ln\left( e^{x} + 3 ight) = 2

    \Leftrightarrow x = 2

    Vậy tổng các nghiệm của phương trình bằng 2.

  • Câu 23: Vận dụng cao

    Tìm chu vi nhỏ nhất của tam giác

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;4;3) và mặt phẳng (P):2y - z = 0. Tìm điểm C thuộc (P), điểm B thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho chu vi tam giác ABC bé nhất. Giá trị chu vi tam giác ABC bé nhất là:

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi H;K lần lượt là hình chiếu của A lên các mặt phẳng (P) và (Oxy) ta được H(1;2;4),K(1;4;0).

    Gọi M, N lần lượt là các điểm đối xứng với A qua các mặt phẳng (P) và (Oxy).

    Khi đó ta có AB = NB,CA = CM nên AB + BC + CA = NB + BC + CM \geq MN = 2KH = 4\sqrt{5}

    Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi B, C lần lượt là giao điểm của đường thẳng MN với các mặt phẳng (Oxy) và (P).

  • Câu 24: Thông hiểu

    Thể tích của khối trụ

    Cho hình trụ có chiều cao bằng 8a . Biết hai điểm A và C lần lượt nằm trên hai đáy thỏa mãn AC=10a, khoảng cách giữa AC và trục của hình trụ bằng 4a. Thể tích của khối trụ đã cho là:

      Thể tích của khối trụ

    Gọi (O) và (O') lần lượt là hai đường tròn đáy; A\in (O), C \in (O') .

    Dựng AD, CB lần lượt song song với OO' (D \in (O'), B \in (O). Dễ dàng có ABCD là hình chữ nhật.

    Do AC=10a,AD=8a\Rightarrow DC=6a..

    Gọi H là trung điểm của DC.

    \left\{\begin{matrix}O^\prime H\bot D C\\O^\prime H\bot A D\\\end{matrix}\Rightarrow O^\prime H\bot(ABCD)ight..

    Ta có O^\prime//(ABCD)\Rightarrow d\left(OO^\prime,ACight)=d\left(OO^\prime,(ABCD)ight)=O^\prime H=4a..

    Suy ra O^\prime H=4a,CH=3a\Rightarrow R=O^\prime C=5a..

    Vậy thể tích của khối trụ là V=\pi R^2h=\pi(5a)^28a=200\pi a^3.

  • Câu 25: Nhận biết

    Xác định nguyên hàm của hàm số

    Nguyên hàm của hàm số f(x) =e^{x} là:

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} =\int_{}^{}{e^{x}dx} = e^{x} + C

  • Câu 26: Nhận biết

    Tìm công thức tính diện tích thích hợp

    Xét hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường như hình vẽ (phần gạch sọc).

    Diện tích hình phẳng (H) được tính theo công thức

    Ta có:

    S = \int_{0}^{1}{\left| f(x) ight|dx} + \int_{1}^{4}{\left| g(x) ight|dx}

    = \int_{0}^{1}{f(x)dx} + \int_{1}^{4}{g(x)dx}

  • Câu 27: Thông hiểu

    Tìm câu sai

    Cho hai vectơ \overrightarrow{a} và \overrightarrow{b}. Xác định kết luận sai?

    Nhận thấy \vec a.\overrightarrow b = \frac{1}{2}\left( {{{\left| {\vec a + \overrightarrow b } ight|}^2} - {{\left| {\vec a - \overrightarrow b } ight|}^2}} ight) và \vec a.\overrightarrow b = \frac{1}{4}\left( {{{\left| {\vec a + \overrightarrow b } ight|}^2} - {{\left| {\vec a - \overrightarrow b } ight|}^2}} ight) chỉ khác nhau về hệ số \frac{1}{2} và \Rightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \frac{1}{2}\left( \left| \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight|^{2} - \left| \overrightarrow{a} ight|^{2} - \left| \overrightarrow{b} ight|^{2} ight).\frac{1}{4}

    Ta có \left| \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight|^{2} - \left| \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} ight|^{2}= \left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight)^{2} - \left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} ight)^{2}= 4\overrightarrow{a}\overrightarrow{b} \Rightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}= \frac{1}{4}\left( \left| \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight|^{2} - \left| \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} ight|^{2} ight)

    \vec a.\overrightarrow b = \frac{1}{2}\left( {{{\left| {\vec a + \overrightarrow b } ight|}^2} - {{\left| {\vec a} ight|}^2} - {{\left| {\overrightarrow b } ight|}^2}} ight) đúng, vì \left| \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight|^{2} = \left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight)^{2}= \left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight).\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight)= \overrightarrow{a}.\overrightarrow{a} + \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} + \overrightarrow{b}.\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}.\overrightarrow{b}= \left| \overrightarrow{a} ight|^{2} + \left| \overrightarrow{b} ight|^{2} + 2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}

    \vec a.\overrightarrow b = \frac{1}{2}\left( {{{\left| {\vec a} ight|}^2} + {{\left| {\overrightarrow b } ight|}^2} - {{\left| {\vec a - \overrightarrow b } ight|}^2}} ight) đúng, vì \left| \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} ight|^{2} = \left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} ight)^{2}= \left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} ight).\left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} ight)= \overrightarrow{a}.\overrightarrow{a} - \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} - \overrightarrow{b}.\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}.\overrightarrow{b}= \left| \overrightarrow{a} ight|^{2} + \left| \overrightarrow{b} ight|^{2} - 2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}

    \Rightarrow \vec a.\overrightarrow b = \frac{1}{2}\left( {{{\left| {\vec a} ight|}^2} + {{\left| {\overrightarrow b } ight|}^2} - {{\left| {\vec a - \overrightarrow b } ight|}^2}} ight)

  • Câu 28: Thông hiểu

    Tính giá trị biểu thức

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = \frac{\sqrt{1 + \ln x}}{x};y = 0;x = 1;x = e là S = a\sqrt{2} + b. Tính giá trị a^{2} + b^{2}?

    Diện tích hình phẳng cần tìm là:

    S = \int_{1}^{e}{\left| \frac{\sqrt{1 + \ln x}}{x} ight|dx} = \int_{1}^{e}{\frac{\sqrt{1 + \ln x}}{x}dx}

    Đặt \sqrt{1 + \ln x} = t \Rightarrow 1 + \ln x = t^{2} \Rightarrow \frac{dx}{x} = 2tdt

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow t = 1 \\ x = e \Rightarrow t = \sqrt{2} \\ \end{matrix} ight.. Khi đó:

    S = \int_{1}^{\sqrt{2}}{2t^{2}dt} = \frac{4}{3}.\sqrt{2} - \frac{2}{3} hay a = \frac{4}{3};b = \frac{2}{3}

    \Rightarrow a^{2} + b^{2} = \frac{20}{9}

  • Câu 29: Thông hiểu

    Tính giá trị biểu thức

    Cho I =\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{\ln\left( \sin x + 2\cos xight)}{\cos^{2}x}dx} = a\ln3 + b\ln2 + c\pi với a;b;c là các số hữu tỉ. Giá trị của biểu thức S = a.b.c bằng

    Đặt \left\{ \begin{matrix}u = \ln\left( \sin x + 2\cos x ight) \\dv = \dfrac{dx}{\cos x} \\\end{matrix} ight.\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = \dfrac{\cos x - 2\sin x}{\sin x + 2\cos x} \\v = \tan x + 2 = \dfrac{\sin x + 2\cos x}{\cos x} \\\end{matrix} ight. khi đó:

    I = \left. \ \left( \tan x + 2ight)\ln\left( \sin x + 2\cos x ight) ight|_{0}^{\frac{\pi}{4}} -\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\left( 1 - 2\frac{\sin x}{\cos x}ight)dx}

    I = 3\ln\frac{3\sqrt{2}}{2} - 2\ln2 -\left. \ \left\lbrack x + 2\ln\left( \cos x ight) ightbrackight|_{0}^{\frac{\pi}{4}}

    I = 3\ln\frac{3\sqrt{2}}{2} - 2\ln2 -\frac{\pi}{4} - 2\ln\frac{\sqrt{2}}{2}

    I = 3\ln3 - \dfrac{5}{2}\ln2 -\dfrac{1}{4}\pi \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 3 \\b = - \frac{5}{2} \\c = - \dfrac{1}{4} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow S = \dfrac{15}{8}

  • Câu 30: Thông hiểu

    Xác định nguyên hàm của hàm số

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = x\sqrt{x}.

    Ta có:

    \int_{}^{}{x\sqrt{x}dx = \int_{}^{}{x^{\frac{3}{2}}dx = \frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} + C = \frac{2}{5}x^{2}\sqrt{x} + C}}.

  • Câu 31: Nhận biết

    Tìm họ nguyên hàm của hàm số

    Họ nguyên hàm của hàm số: y = x^{2} - 3x + \frac{1}{x} là

    Vì \left( \frac{x^{3}}{3} - \frac{3}{2}x^{2} + \ln|x| \right)' = \frac{3x^{2}}{3} - \frac{3.2x}{2} + \frac{1}{x} với \forall x > 0

    Vậy đáp án cần tìm là: F(x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{3}{2}x^{2} + \ln|x| + C

  • Câu 32: Nhận biết

    Viết PT mp đi qua 3 điểm

    Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua ba điểm A\left( {\,2,\,\,0,\,\,3\,} ight);\,\,\,B\left( {\,4,\,\, - 3,\,\,2\,} ight);\,\,\,C\left( {\,0,\,\,2,\,\,5\,} ight)

    Theo đề bài, ta có cặp vecto chỉ phương của \left( P ight):\overrightarrow {AB} = \left( {2, - 3, - 1} ight);\overrightarrow {AC} = \left( { - 2,2,2} ight)

    Từ đó, ta suy ra vecto pháp tuyến của (P) là tích có hướng của 2 VTCP của

    \left( P ight):\overrightarrow n = \left( { - 4, - 2, - 2} ight) = - 2\left( {2,1,1} ight)

    Mp (P) đi qua A (2,0,3) và nhận vecto có tọa độ (2,1,1) làm 1 VTPT có phương trình là:

    \Rightarrow \left( P ight):\left( {x - 2} ight)2 + y.1 + \left( {z - 3} ight).1 = 0

    \Leftrightarrow 2x + y + z - 7 = 0

  • Câu 33: Nhận biết

    Chọn mệnh đề đúng

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

    Nếu giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng.

  • Câu 34: Nhận biết

    Chọn kết luận chính xác

    Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = 2x - x^{2};y = 0. Quay (H) quanh trục hoành tạo thành khối tròn xoay có thể tích là:

    Ta có: 2x - x^{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Theo công thức thể tích giới hạn bởi các đường ta có:

    V = \pi\int_{0}^{2}{\left( 2x - x^{2} ight)^{2}dx}

  • Câu 35: Nhận biết

    Phương trình tổng quát

    Cho tứ diện ABCD có A(3, -2,1), B\left( { - 4,0,3} ight),C\left( {1,4, - 3} ight),D\left( {2,3,5} ight). Phương trình tổng quát của mặt phẳng chứa AC và song song với BD là:

    Theo đề bài, ta có các vecto là

    \begin{array}{l}\overrightarrow {AC} = \left( { - 2,6, - 4} ight);\overrightarrow {BD} = \left( {6,3,2} ight)\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } ight] = \left( {24, - 20, - 42} ight).\end{array}

    Có thể chọn \overrightarrow n = \left( {12, - 10, - 21} ight) làm một vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng.

    Phương trình mặt phẳng này có dạng 12x - 10y - 21z + D = 0.

    Mặt khác, điểm A thuộc mặt phẳng nên ta thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng trên: 12.3 - 10( - 2) - 21.1 + D = 0 \Leftrightarrow D = - 35

    Vậy phương trình cần tìm 12x - 10y - 21z - 35 = 0.

  • Câu 36: Nhận biết

    Tìm tích phân

    Tính tích phân \int_{1}^{2}{\frac{x - 1}{x}dx}?

    Ta có: \int_{1}^{2}{\frac{x - 1}{x}dx} = \int_{1}^{2}{\left( 1 - \frac{1}{x} ight)dx} = \left. \ \left( x - \ln|x| ight) ight|_{1}^{2}

    = (2 - \ln2) - (1 - \ln1) = 1 -\ln2

  • Câu 37: Nhận biết

    Chọn kết luận đúng

    Xét hai câu sau:

    (I) \int_{}^{}\left( f(x) + g(x) \right)\ dx = \int_{}^{}{f(x)}\ dx + \int_{}^{}{g(x)}\ dx = F(x) + G(x) + C,

    trong đó F(x) và G(x) tương ứng là nguyên hàm của f(x),\ \ g(x).

    (II) Mỗi nguyên hàm của a.f(x) là tích của a với một nguyên hàm của f(x).

    Trong hai câu trên:

    Các câu đúng là :

    (I) \int_{}^{}\left( f(x) + g(x) \right)\ dx = \int_{}^{}{f(x)}\ dx + \int_{}^{}{g(x)}\ dx = F(x) + G(x) + C,

    trong đó F(x) và G(x) tương ứng là nguyên hàm của f(x),\ \ g(x).

    (II) Mỗi nguyên hàm của a.f(x) là tích của a với một nguyên hàm của f(x).

  • Câu 38: Nhận biết

    Tìm câu sai

    Các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai.

    Đáp án sai: \int_{}^{}{f(x).g(x)dx = \int_{}^{}{f(x)dx.\ \int_{}^{}{g(x)dx}\ }}.

  • Câu 39: Nhận biết

    Chọn đáp án chính xác

    Trong không gian, cho hai vectơ \overrightarrow{AB} và \overrightarrow{BC}. Vectơ \overrightarrow{AC} bằng

    Theo quy tắc ba điểm: \overrightarrow{AC}\ = \ \overrightarrow{\ AB}\ + \ \overrightarrow{BC}.

  • Câu 40: Vận dụng cao

    Chọn kết luận đúng

    Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) không âm, có đạo hàm trên đoạn [1; 4] và thỏa mãn các hệ thức f\left( 1 ight) + g\left( 1 ight) = 4;g\left( x ight) = - xf'\left( x ight);f\left( x ight) = - xg'\left( x ight). Kết luận nào sau đây đúng?

    Ta có:

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {g\left( x ight) = - xf'\left( x ight)} \\ {f\left( x ight) = - xg'\left( x ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow f\left( x ight) + g\left( x ight) = - x\left[ {f'\left( x ight) + g'\left( x ight)} ight] \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{{f'\left( x ight) + g'\left( x ight)}}{{f\left( x ight) + g\left( x ight)}} = \dfrac{{ - 1}}{x} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} \Rightarrow \int\limits_1^4 {\dfrac{{f'\left( x ight) + g'\left( x ight)}}{{f\left( x ight) + g\left( x ight)}}dx = \int\limits_1^4 {\dfrac{{ - 1}}{x}dx} } \hfill \\ \Leftrightarrow \int\limits_1^4 {\dfrac{{d\left[ {f\left( x ight) + g\left( x ight)} ight]}}{{f\left( x ight) + g\left( x ight)}} = } \left. {\ln \left| x ight|} ight|_1^4 = - \ln 4 \hfill \\ \Rightarrow \ln \left| {f\left( x ight) + g\left( x ight)} ight|_1^4 = - \ln 4 \hfill \\ \Rightarrow \ln \left| {f\left( 4 ight) + g\left( 4 ight)} ight| - \ln \left| {f\left( 1 ight) + g\left( 1 ight)} ight| = - \ln 4 \hfill \\ \Rightarrow \ln \left| {f\left( 4 ight) + g\left( 4 ight)} ight| = 0 \hfill \\ \Rightarrow f\left( 4 ight) + g\left( 4 ight) = 1 \hfill \\ \end{matrix}

     

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!
Mua ngay Đổi điểm
Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 1 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • Điểm thưởng: 0
Xem đáp án Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
41 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 1
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Tìm bài trong mục này