Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
Bài học Lí thuyết toán 12: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã giới thiệu cho các em về định nghĩa, định lý giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số và quy tắc tìm max - min trên một đoạn. Bên cạnh đó là một số ví dụ bài tập có lời giải chi tiết, xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 12 và các câu hỏi trong đề thi THPT Quốc gia.
1. Khái niệm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
1.1. Định nghĩa
Cho hàm số 
\(y = f(x)\) xác định trên miền \(D\).
- Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f(x)\) trên \(D\) nếu: \(\left\{\begin{matrix} f(x) \leq M, \forall x \in D \\ \exists x_0
\in D, f(x_0)=M \end{matrix}\right.\).
Kí hiệu: \(M= \mathop {\max }\limits_{x \in D} f(x)\) hoặc \(M= \mathop {\max }\limits_{D} f(x)\).
- Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f(x)\) trên \(D\) nếu: \(\left\{\begin{matrix} f(x) \geq m, \forall x \in D \\ \exists x_0 \in D, f(x_0)=m \end{matrix}\right.\).
Kí hiệu: \(m = \mathop {\min }\limits_{x \in D} f(x)\) hoặc \(m = \mathop {\min }\limits_{D} f(x)\)
1.2. Định lý
Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó
2. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(K\) (\(K\) có thể là khoảng, đoạn, nửa khoảng, ...)
2.1. Sử dụng bảng biến thiên
- Bước 1: Tính đạo hàm \(f'(x)\).
- Bước 2: Tìm các nghiệm của \(f'(x)\) và các điểm \(f'(x)\) trên K.
- Bước 3: Lập bảng biến thiên của \(f(x)\) trên K.
- Bước 4: Căn cứ vào bảng biến thiên kết luận \(\mathop {\min }\limits_{K} f(x)\), \(\mathop {\max }\limits_{K} f(x)\)
2.2. Không sử dụng bảng biến thiên
Trường hợp 1. Tập K là đoạn \([a;b]\)
- Bước 1: Tính đạo hàm \(f'(x)\).
- Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm \(x_i \in [a,b]\) của phương trình \(f'(x) =0\) và tất cả các điểm \(\alpha_i \in [a,b]\) làm cho \(f'(x)\) không xác định.
- Bước 3: Tính \(f(a). f(b), f(x_i), f(\alpha_i)\)
- Bước 4: So sánh các giá trị tính được và kết luận \(M= \mathop {\max }\limits_{[a,b]} f(x)\), \(m = \mathop {\min }\limits_{[a,b]} f(x)\).
Trường hợp 2. Tập K là khoảng \((a;b)\)
- Bước 1: Tính đạo hàm \(f'(x)\).
- Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm \(x_i \in (a,b)\) của phương trình \(f'(x) =0\) và tất cả các điểm \(\alpha_i \in (a,b)\) làm cho \(f'(x)\) không xác định.
- Bước 3: Tính \(A=\lim_{x\rightarrow a^+} f(x)\), \(B=\lim_{x\rightarrow b^-} f(x)\), \(f(x_i)\), \(f (\alpha_i)\).
- Bước 4: So sánh các giá trị tính được và kết luận \(M= \mathop {\max }\limits_{(a,b)} f(x)\), \(m = \mathop {\min }\limits_{(a,b)} f(x)\).
Chú ý:
Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất).
Ví dụ 1: Tìm max – min của hàm số: \(y = f\left( x \right) = 3{x^3} - {x^2} - 7x + 1{\text{ }} \mbox{trên}{\text{ }}\left[ {0;2} \right]\).
Giải:
+) Hàm số đã cho liên tục và xác định trên đoạn \([0;2]\).
+) Ta có: \(y' = f'\left( x \right) = 9{x^2} - 2x - 7\)
\(\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 9{x^2} - 2x - 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 1 \in \left[ {0;2} \right]{\text{ }}\left( N \right) \hfill \\
x = - \frac{7}{9} \notin \left[ {0;2} \right]{\text{ }}\left( L \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
+) Tính \(f\left( 0 \right) = 1;f\left( 2 \right) = - 9;f\left( 1 \right) = - 6\)
\(\Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
\mathop {\mathop {\max }\limits_{[0;2]} f(x)}\limits_{} = 1{\text{ khi }}x = 0 \hfill \\
\mathop {\min }\limits_{[0;2]} f(x) = - 9{\text{ khi }}x = 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
Ví dụ 2: Tìm max – min của hàm số: \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 8{x^2} + 16x - 9{\text{ }} \text{trên}{\text{ }}\left[ {1;3} \right]\).
Giải:
+) Hàm số đã cho liên tục và xác định trên đoạn \([1;3]\).
+) Ta có: \(y' = f'\left( x \right) = 3{x^2} - 16x + 16\)
\(\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 16x + 16 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 4 \notin \left[ {1;3} \right]{\text{ }}\left( L \right) \hfill \\
x = \frac{4}{3} \in \left[ {1;3} \right]{\text{ }}\left( N \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
+) Tính \(f\left( 1 \right) = 0;f\left( 3 \right) = - 6;f\left( {\frac{4}{3}} \right) = \frac{{13}}{{27}}\)
\(\Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
\mathop {\max }\limits_{[1;3]} f(x) = \frac{{13}}{{27}}{\text{ khi }}x = \frac{4}{3} \hfill \\
\mathop {\min }\limits_{[1;3]} f(x) = - 6{\text{ khi }}x = 3 \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
