Các phương pháp tính tích phân
Bộ tài liệu Lí thuyết toán 12: Tích phân (tiếp theo) bao gồm các phương pháp tính tích phân sử dụng định nghĩa hoặc tính chất hay cả các phương pháp cần đổi biến số, tích phân từng phần và nhiều bài tập ứng dụng có hướng dẫn chi tiết, được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 12 và các câu hỏi trong đề thi THPT Quốc gia.
1. Phương pháp sử dụng công thức
Để tính các tích phân đơn giản, ta có thể sử dụng trực tiếp luôn các công thức nguyên hàm (đã học trong - link), các tính chất tích phân,... để biến đổi.
Sau khi biến đổi xong, áp dụng định nghĩa tích phân để thay các cận tương ứng.
Ví dụ: Tính các tính phân sau:
a) 
\(I=\int_0^1\frac{dx}{(1+x)^3}\)
Giải:
\(I=\int_0^1\frac{dx}{(1+x)^3}=\int_0^1\frac{d(1+x)}{(1+x)^3}=-\left.\frac{1}{2(1+x)^2}\right|_0^1=\frac{3}{8}\)
b) \(I=\int_0^1\frac{2x+9}{x+3}dx\)
Giải:
\(I=\int_0^1\frac{2x+9}{x+3}dx=\int_0^1\left(2+\frac{3}{x+3}\right)dx\)
\(=\left.(2x+3\ln(x+3))\right|_0^1=3+6\ln2-3\ln3\)
c) \(I=\int_0^1\frac{x}{4-x^2}dx\)
Giải:
\(I=\int_0^1\frac{x}{4-x^2}dx=-\frac{1}{2}\int_0^1\frac{d\left(4-x^2\right)}{4-x^2}=\ln\left|4-x^2\right|_0^1=\ln\frac{3}{4}\)
2. Tính tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối
(Dùng tính chất cận trung gian để tính tích phân)
Đối với những bài toán tính tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta cần sử dụng phương pháp áp dụng tính chất
\(\int_a^b[f(x)+g(x)]dx=∫ab f(x)dx+∫ab g(x)dx\)
để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
Ví dụ: Tính tích phân \(I=\int_{-2}^2|x+1|dx\).
Giải:
Nhận xét: \(|x+1|=\left\{\begin{matrix}x+1,&-1\le x\le2\\-x-1,&-2\le x<-1\\\end{matrix}\right.\).
Do đó \(I=\int_{-2}^2|x+1|dx=\int_{-2}^{-1}|x+1|dx+\int_{-1}^2|x+1|dx\)
\(=-\int_{-2}^{-1}x+1)dx+\int_{-1}^2(x+1)dx\)
\(=-\left.\left(\frac{x^2}{2}+x\right)\right|_{-2}^{-1}+\left.\left(\frac{x^2}{2}+x\right)\right|_{-1}^2=5.\)
3. Phương pháp đổi biến số
3.1. Đổi biến số loại 1
Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên đoạn \([a; b]\). Giả sử hàm số \(u=u(x)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \([a; b]\) và \(\alpha \le u(x) \le \beta\). Giả sử có thể viết \(f(x) = g(u(x))u'(x),x \in {\rm{[}}a{\rm{;}}b{\rm{]}}\), với \(g(u)\) liên tục trên đoạn \({\rm{[}}\alpha ;\beta {\rm{]}}\). Khi đó, ta có
\(I = \int\limits_a^b {f(x)dx} = \int\limits_{u(a)}^{u(b)} {g(u)du}\)
Ví dụ: Tính tích phân \(I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2 x \cos x dx\).
Giải:
Đặt \(u=\sin x\)
Ta có \(du=\cos xdx\)
Đổi cận: \(x=0\Rightarrow u(0)=0;x=\frac{\pi}{2}\Rightarrow u\left(\frac{\pi}{2}\right)=1\)
Khi đó \(I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2 x\cos xdx=\int_0^1 u^2du=\left.\frac{1}{3}u^3\right|_0^1=\frac{1}{3}\)
3.2. Đổi biến số loại 2
Cho hàm số \(f(x)\) liên tục và có đạo hàm trên đoạn \([a; b]\). Giả sử hàm số \(x = \varphi (t)\) có đạo hàm và liên tục trên đoạn \([\alpha;\beta]\) sao cho \(\varphi (\alpha ) = a,\varphi (\beta ) = b\) và \(a \le \varphi (t) \le b\) với mọi \(t\in[\alpha;\beta]\). Khi đó:
\(\int_{a}^{b} f(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(t))\varphi^\prime(t)dt\)
Nhận xét: Để giải bài toán nhanh hơn, chính xác hơn khi đổi biến số, ta cần ghi nhớ một số dạng tích phân cụ thể và cách đổi biến như sau:
Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng
- \(\sqrt{a^2-x^2}\): đặt \(=|a|\sin t ;t\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]\)
- \(\sqrt{x^2-a^2}\): đặt \(x=\frac{|a|}{\sin t};t\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]\setminus{0}\)
- \(\sqrt{x^2+a^2}\): đặt \(x=|a|\tan t;t\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)\)
- \(\sqrt{\frac{a+x}{a-x}}\) hoặc \(\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}\) : đặt \(x=a\cdot\cos2t\)
Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt này khi các dấu hiệu 1, 2, 3 đi với x mũ chẵn.
Ví dụ, để tính tích phân \(I=\int_0^{\sqrt3}\frac{x^2dx}{\sqrt{x^2+1}}\) thì phải đổi biến loại 2 còn với tích phân \(I=\int_0^{\sqrt3}\frac{x^3dx}{\sqrt{x^2+1}}\) thì nên đổi biến loại 1.
Ví dụ: Tính các tích phân sau:
a) \(I=\int_0^1\sqrt{1-x^2}dx\)
Giải:
Đặt \(x=\sin t\) ta có \(dx=\cos tdt\)
Đổi cận: \(x=0\Rightarrow t=0;x=1\Rightarrow t=\frac{\pi}{2}.\).
Vậy \(I=\int_0^1\sqrt{1-x^2}dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}|\cos t|dt=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos tdt=\left.\sin t\right|_0^{\frac{\pi}{2}}=1\)
b) \(I=\int_0^1\frac{dx}{1+x^2}\)
Giải:
Đặt \(x=\tan t\) ta có \(dx=\left(1+\tan^2 t\right)dt\).
Đổi cận: \(\left\{\begin{matrix}x=0\rightarrow t=0\\x=1\rightarrow t=\frac{\pi}{4}\\\end{matrix}\right.\)
Vậy \(I = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{1 + {x^2}}}} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {dt} = t|_0^{\frac{\pi }{4}} = \frac{\pi }{4}\)
4. Phương pháp tích phân từng phần
Nếu \(u=u(x)\) và \(v=v(x)\) là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn \([a; b]\) thì \(\int\limits_a^b {u(x)v'(x)dx} = \left. {\left( {u(x)v(x)} \right)} \right|_a^b - \int\limits_a^b {u'(x)v(x)dx}\)
hay viết gọn là
\(\int\limits_a^b {udv = uv|_a^b - } \int\limits_a^b {vdu}\).
Chú ý: Cách xác định u và v: Để xác định chính xác hơn, ta cần ghi nhớ các trường hợp sau:
Giả sử cần tính: \(I = \int\limits_a^b {P(x).Q(x)dx}\)
|
Dạng hàm
|
P(x): Đa thức Q(x): |
P(x): Đa thức Q(x): |
P(x): Đa thức Q(x): |
P(x): Đa thức Q(x): |
|
Cách đặt |
* * dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân |
* * dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân |
* * |
* * dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân |
Cách ghi nhớ nhanh: “Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ”.
Ví dụ: Tính các tích phân sau :
a) \(I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} x\sin xdx\)
Giải:
Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}
u = x\\
dv = \sin xdx
\end{array} \right.\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
du = dx\\
v = - \cos x
\end{array} \right.\)
Do đó \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x\sin xdx} = \left( { - x\cos x} \right)|_0^{\frac{\pi }{2}} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx} = 0 + \sin x|_0^{\frac{\pi }{2}}{\rm{ }} = {\rm{1}}\)
b)\(I=\int_0^{e-1} x \ln x+1)dx.\)
Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}
u = \ln (x + 1)\\
dv = xdx
\end{array} \right.\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{{x + 1}}dx\\v = \dfrac{{{x^2} - 1}}{2}\end{array} \right.\)
Suy ra \(I = \int\limits_0^{e - 1} {x\ln (x + 1)dx} = \left. {\left[ {\ln (x + 1)\frac{{{x^2} - 1}}{2}} \right]} \right|_0^{e - 1} - \frac{1}{2}\int\limits_0^{e - 1} {(x - 1)dx}\)
\(= \frac{{{e^2} - 2e + 2}}{2} - \frac{1}{2}\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - x} \right)\left| {_0^{e - 1}} \right.\\
= \frac{{{e^2} - 2e + 2}}{2} - \frac{1}{2}\frac{{{e^2} - 4e + 3}}{2} = \frac{{{e^2} + 1}}{4}.\)
