Phương trình bậc hai với hệ số thực
Bài học Lí thuyết toán 12: Phương trình bậc hai với hệ số thực cung cấp các tri thức về căn bậc 2, phương trình bậc hai của số phức, giúp các em giải được mọi bài toán liên quan đến số phức. Đây là phần kiến thức quan trọng, trong bài học đã triển khai kèm theo những ví dụ bài tập có hướng dẫn giải chi tiết, xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 12 và các câu hỏi trong đề thi THPT Quốc gia. Hi vọng các em sẽ ôn tập hiệu quả, hướng đến đạt mục tiêu trong các kì thi lớn sắp tới.
1. Căn bậc hai của số thực âm
Cho số phức 
\(w\). Mỗi số phức \(z\) thỏa mãn \(z^2=w\) được gọi là một căn bậc hai của \(w\).
Để tìm căn bậc hai của 1 số thực, ta xét hai trường hợp:
1.1. Trường hợp \(w\) là số thực:
Nếu \(w=a\) là một số thực
- \(a<0\) \(\Rightarrow\) \(a\) có các căn bậc hai là \(\pm i\sqrt {|a|}\).
- \(a=0\) \(\Rightarrow\) \(a\) có đúng một căn bậc hai là 0.
- \(a>0\) \(\Rightarrow\) \(a\) có hai căn bậc hai là \(\pm \sqrt a\).
Ví dụ:
\(-i\) là một căn bậc hai của -1, vì \((-i)^2=-1\)
\(\pm 2i\) là một căn bậc hai của -4 vì \((\pm 2i)^2=-4\)
1.2. Trường hợp \(w = a + bi\,\,\left( {a,\,b \in \mathbb R,\,b \ne 0} \right)\)
Gọi \(z=x+yi \,\,(x, y \in \mathbb R)\) là một căn bậc hai của \(w\) khi và chỉ khi \(z^2=w\), tức là:
\({\left( {x + yi} \right)^2} = a + bi \Leftrightarrow \,{x^2} - {y^2} + 2xyi = a + bi \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - {y^2} = a\\
2xy = b
\end{array} \right.\)
Mỗi cặp số thực \((x;y)\) nghiệm đúng hệ phương trình trên cho ta một căn bậc hai \(x+yi\) của số phức \(w = a + bi\,\,\left( {a,\,b \in \mathbb R,\,b \ne 0} \right)\).
Ví dụ: Tìm các căn bậc hai của \(w = - 5 + 12i\).
Giải:
Gọi \(z=x+yi \,\,(x, y \in \mathbb R)\) là một căn bậc hai của số phức \(w = - 5 + 12i\).
Ta có:
\({z^2} = w \Leftrightarrow \,{\left( {x + yi} \right)^2} = - 5 + 12i\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} = - 5\\2xy = 12\end{array} \right.\,\)
\(\Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 4\\y = \dfrac{6}{x}\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\end{array} \right.
\\\left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = - 3\end{array} \right.\end{array} \right.\)
Vậy \(w = - 5 + 12i\) có hai căn bậc hai là \(2+3i\) và \(-2-3i\).
2. Phương trình bậc hai với hệ số thực
2.1. Phương trình bậc hai hệ số thực có nghiệm phức
Cho phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,\left( {a,\,b,\,c \in \mathbb{R};\,a \ne 0} \right)\).
Xét \(\Delta = {b^2} - 4ac\), ta có 3 trường hợp sau:
TH1: \(\Delta = 0\): phương trình có nghiệm thực \(x = - \frac{b}{{2a}}\).
TH2: \(\Delta > 0\): phương trình có hai nghiệm thực được xác định bởi công thức:
\({x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}}\)
TH3: \(\Delta < 0\): phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi công thức:
\({x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm i\sqrt {|\Delta |} }}{{2a}}\)
Chú ý:
Nếu \(z_0 \in \mathbb C\) là một nghiệm của phương trình bậc hai với hệ số thực trên thì \(\overline {z_0}\) cũng là một nghiệm của phương trình đó.
Nhận xét:
Mọi phương trình bậc \(n\): \({A_o}{z^n} + {A_1}{z^{n - 1}} + ... + {A_{n - 1}}z + {A_n} = 0\) luôn có \(n\) nghiệm phức (không nhất thiết phân biệt).
Ví dụ:
a) Giải phương trình bậc hai sau: \({z^2} - z + 1 = 0\)
Giải:
Ta có \(\Delta = {b^2} - 4ac = - 3 < 0\)
Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt là \({x_{1,2}} = \frac{{1 \pm i\sqrt 3 }}{2}\).
b) Trong \(\mathbb{C}\), nghiệm của phương trình \({z^2} = - 5 + 12i\)
Giải:
Giả sử \(z=x+yi \,\,(x, y \in \mathbb R)\) là một nghiệm của phương trình.
\({z^2} = - 5 + 12i \Leftrightarrow {\left( {x + yi} \right)^2} = - 5 + 12i \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} + 2xy = - 5 + 12i\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - {y^2} = - 5\\
2xy = 12
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} = 4\\
y = \frac{6}{x}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
y = 3
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
x = - 2\\
y = - 3
\end{array} \right.
\end{array} \right.\)
Do đó phương trình có hai nghiệm là \(\left[ \begin{array}{l}
z = 2 + 3i\\
z = - 2 - 3i
\end{array} \right.\)
2.2. Hệ thức Vi–ét đối với phương trình bậc hai với hệ số thực
Cho phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,{x_2}\)(thực hoặc phức). Ta có hệ thức Vi–ét:
\(\left\{ \begin{array}{l}
S = {x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\
P = {x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}
\end{array} \right.\)
Ví dụ: Biết là hai nghiệm của phương trình \(2{z^2} + \sqrt 3 z + 3 = 0\). Khi đó giá trị của \(z_1^2 + z_2^2\) là?
Theo Viet, ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}S = {z_1} + {z_2} = - \dfrac{b}{a} = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\\P = {z_1}.{z_2} = \dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\)
Suy ra: \(z_1^2 + z_2^2 = {S^2} - 2P = \frac{3}{4} - 3 = - \frac{9}{4}\)
